第 17 章 股指期权与货币期权

第 10 章已经介绍过股指期权和货币期权的合约形式。本章先讲它们在实务中怎么用——股指看跌期权做组合保险、货币期权做外汇套保和零成本区间远期——然后把第 15a、15b 章的 BSM 结果推广到支付已知股息率（known dividend yield）的股票。推广的关键只是一个替换：把 \(S_0\) 换成 \(S_0e^{-qT}\)。股指可看作股息率为成分股平均股息率的股票，外币可看作股息率为外国无风险利率的股票，于是同一套公式覆盖股票、股指、外汇三类标的，第 18 章还会把期货也纳进来。

对量化交易者，本章最重要的是两件事：一是带连续收益率 \(q\) 的广义 BSM，它是任何期权定价库的统一接口；二是用远期价格表示的 Black 型公式，以及从看涨-看跌平价反推远期价格和隐含股息率——这是构建波动率曲面之前必做的预处理。

学习目标

1. 计算组合保险所需的指数看跌期权份数和执行价，包括 beta 不等于 1 的情形。
2. 理解区间远期（collar）的构造，会求零成本区间远期的执行价。
3. 掌握"\(S_0\to S_0e^{-qT}\)"规则，写出带股息率的下界、平价、Merton 公式及其 PDE 和风险中性漂移。
4. 用 Merton 公式为股指期权、用 Garman–Kohlhagen 公式为货币期权定价，并会改写为远期价格形式。
5. 用平价关系从期权报价反推远期价格和隐含股息率。
6. 判断哪些美式股指/货币期权最可能提前行权。

读前导读

这一章在解决什么问题

上两章的 BSM 只适用于不付息股票。现实中最活跃的期权标的——股指和外汇——都有"持有收益"：指数有股息，外币存在国外能赚外国利率。这一章说明，只要把这份持有收益看成连续支付的收益率 \(q\)，整个 BSM 框架只需改一处：把 \(S_0\) 换成 \(S_0e^{-qT}\)。

这个替换你其实在 CFA 里见过：远期定价 \(F_0=S_0e^{(r-q)T}\)，利率平价 \(F_0=S_0e^{(r-r_f)T}\)，都是"持有成本 = 融资成本 − 持有收益"。期权定价在这里和远期定价合流：Merton 公式写成远期价格的形式后，股息率完全消失在 \(F_0\) 里。这就是为什么做市系统喜欢直接用远期价格——远期可以从看涨看跌平价反推，比估计股息率可靠。

本章前两节（组合保险、区间远期）是 CFA 衍生品策略的内容，数学只用到 CAPM 和看涨-看跌平价；17.3 以后是定价。

需要先想起来的数学

1. 连续复利的贴现与增长。 \(e^{-qT}\) 是按连续利率 \(q\) 贴现 \(T\) 年的因子。例：\(q=3\%\)、\(T=2/12\)，\(e^{-0.005}=0.995\)。\(S_0-S_0e^{-qT}\) 约等于期内股息的现值。见 第 00 册第 04 章 级数与收敛（e 与指数对数）。

2. 对数的运算规则。 \(\ln(ab)=\ln a+\ln b\)，\(\ln e^{x}=x\)。所以 \(\ln(S_0e^{-qT}/K)=\ln(S_0/K)-qT\)，这就是 \(d_1\) 里多出 \(-q\) 的来源。

3. 看涨-看跌平价与线性回归。 平价 \(c-p=e^{-rT}(F_0-K)\) 是关于 \(K\) 的直线：截距 \(e^{-rT}F_0\)，斜率 \(-e^{-rT}\)。多个执行价的 \((K,c-p)\) 点做 OLS 拟合，就能同时估出远期和贴现因子。

4. 二叉树参数。 \(p=(a-d)/(u-d)\) 里的 \(a\) 是"风险中性下股价一步的期望增长倍数"。无股息时 \(a=e^{r\Delta t}\)，有收益率 \(q\) 时 \(a=e^{(r-q)\Delta t}\)。

怎么读这一章

必读：17.3（替换规则、Merton 公式、PDE 中 \(r-q\) 的来源）、17.4 中"用远期价格表示"和"隐含股息率"、17.5 的 Garman–Kohlhagen 公式。17.1 的 beta≠1 组合保险值得算一遍表 17.2，它是 CAPM 的一个漂亮应用。17.6 美式期权读结论即可。

17.1 股指期权

多家交易所交易股指期权，有的跟踪整体市场，有的跟踪特定行业。CBOE 的主要产品包括 S&P 100 的美式（OEX）与欧式（XEO）、S&P 500 欧式（SPX）、道琼斯工业平均指数欧式（DJX）、Nasdaq 100 欧式（NDX），也有指数 LEAPS 和 flex 期权。

一份合约通常是指数的 100 倍（DJX 所用的道指是通常报价的 0.01 倍）。股指期权现金结算（cash settled）：看涨持有人行权得到 \((S-K)\times100\) 美元现金，\(S\) 为行权日收盘指数；看跌得 \((K-S)\times100\)。

组合保险：beta 等于 1

设经理管理一个 beta 为 1.0 的充分分散组合，组合股息率与指数相同，于是组合的百分比变化约等于指数的百分比变化。指数当前为 \(S_0\)，每 \(100S_0\) 美元组合买 1 份执行价 \(K\) 的看跌合约，就能防范指数跌破 \(K\)。

例 组合价值 50 万美元，指数 1,000，组合相当于 500 倍指数。为防止组合 3 个月内跌破 45 万，买 5 份 3 个月期、执行价 900 的看跌合约。若指数跌到 880，组合约值 44 万，期权收益 \(5\times(900-880)\times100=10{,}000\)，总值回到保险水平 45 万。

beta 不等于 1

每 \(100S_0\) 美元组合需买 \(\beta\) 份看跌。执行价不能再简单按比例换算，要用 CAPM（第 3 章附录）把"组合价值"映射为"指数水平"：组合的超额收益 = \(\beta\) × 指数的超额收益。

例（表 17.1、17.2） 组合 50 万，\(\beta=2.0\)，指数 1,000，无风险利率 12%，指数与组合股息率均为 4%，要求组合 3 个月内不低于 45 万。需要 \(2.0\times\frac{500{,}000}{1{,}000\times100}=10\) 份看跌。

若 3 个月后指数为 1,040：指数价格收益 4%，加股息 \(0.25\times4\%=1\%\)，总收益 5%；无风险利率 3 个月 3%，指数超额收益 2%；组合预期超额收益 \(2\times2\%=4\%\)，组合总收益 \(3\%+4\%=7\%\)，扣掉组合股息 1%，市值增长 6%，即 53 万。

对每个指数水平这样算，得到表 17.2：

3 个月后指数	1,080	1,040	1,000	960	920	880
组合价值（万美元）	57	53	49	45	41	37

组合 45 万对应指数 960，所以执行价取 960。若指数跌至 880，组合约 37 万，看跌收益 \((960-880)\times10\times100=80{,}000\)，恰好补足到 45 万。（3 个月约有 5,000 美元股息；若保险水平要把股息也算进去，可取对应 44.5 万的执行价 955。）

推导拆解：表 17.2 每一格都按同一条链计算，以指数 960 为例。

1. 指数价格收益 \((960-1000)/1000=-4\%\)，加股息 1%，指数总收益 \(-3\%\)。
2. 指数超额收益 \(=-3\%-3\%=-6\%\)（3 个月无风险收益 \(12\%\times0.25=3\%\)）。
3. CAPM：组合超额收益 \(=\beta\times(-6\%)=-12\%\)，组合总收益 \(=3\%-12\%=-9\%\)。
4. 组合总收益里含 1% 股息，股息已经发出去了，市值变化 \(=-9\%-1\%=-10\%\)，组合市值 \(50\times0.9=45\) 万。 所以 45 万对应指数 960。这里用 CAPM 是把"组合与指数之间的关系"当作确定的（忽略残差风险），所以保险只在期望意义上精确；组合分散得越好，残差越小，保险越可靠。

结论：组合 beta 越高，保险越贵——既要买更多看跌，执行价也更高（更接近平值）。

17.2 货币期权

货币期权主要在场外市场交易，优点是可以做大额交易，执行价、到期日等可以按公司财务主管的需要定制；美国 NASDAQ OMX 也有交易所货币期权，但规模远小于场外。

例 欧式看涨：有权以 1.3000 美元/欧元买入 100 万欧元；到期汇率 1.3500 时，收益 \(1{,}000{,}000\times(1.35-1.30)=50{,}000\) 美元。欧式看跌：有权以 0.9000 美元/澳元卖出 1,000 万澳元；到期汇率 0.8700 时，收益 \(10{,}000{,}000\times0.03=300{,}000\) 美元。

外汇套保：将收到英镑的美国公司可以买英镑看跌，保证汇率不低于执行价，又保留汇率有利变动的好处；将支付英镑的公司买英镑看涨，锁定成本上限。远期合约锁定汇率且建立无成本，期权则像保险，要预付期权费。

区间远期

美国公司 3 个月后收到 100 万英镑，3 个月远期汇率 1.5200。做空远期可锁定 152 万美元。替代方案是：

• 买入执行价 \(K_1\) 的欧式看跌，卖出执行价 \(K_2\) 的欧式看涨，\(K_1<1.5200<K_2\)。这叫空头区间远期（short range forward）。
• 到期汇率 \(<K_1\)：行使看跌，以 \(K_1\) 卖出英镑；介于 \(K_1\) 和 \(K_2\) 之间：都不行权，按市价卖出；\(>K_2\)：看涨被行权，以 \(K_2\) 卖出。实现汇率被限制在 \([K_1,K_2]\) 内。

需要支付英镑的公司则卖出 \(K_1\) 看跌、买入 \(K_2\) 看涨，即多头区间远期，支付汇率同样被限制在 \([K_1,K_2]\)。

实务中通常让看跌价格等于看涨价格，使建立成本为零。

例 美国与英国利率均为 5%（所以即期 = 远期 = 1.5200），汇率波动率 14%。执行价 1.5000 的看跌与执行价 1.5413 的看涨价格相同（均为每英镑 0.03250），所以 \(K_1=1.5000\)、\(K_2=1.5413\) 构成零成本区间远期。（本章代码复现了这一结果。）

两执行价向中间靠拢至相等时，区间远期退化为普通远期。这种结构在股票上也很常见，叫领子期权（collar），第 12 章已介绍。

17.3 支付已知股息率股票的期权

核心论证：\(S_0\to S_0e^{-qT}\)

股息使股价在除息日下跌。以连续速率 \(q\) 支付股息，股价的增长率就降低 \(q\)。如果有股息率 \(q\) 时股价从 \(S_0\) 增长到 \(S_T\)，那么没有股息时它会增长到 \(S_Te^{qT}\)；等价地，没有股息时它会从 \(S_0e^{-qT}\) 增长到 \(S_T\)。因此以下两种情形下 \(S_T\) 的分布相同：

1. 股价 \(S_0\)，股息率 \(q\)；
2. 股价 \(S_0e^{-qT}\)，无股息。

于是得到规则：

为期限 \(T\)、股息率 \(q\) 的股票欧式期权估值时，把当前股价从 \(S_0\) 换成 \(S_0e^{-qT}\)，再按无股息股票估值。

这与第 15b 章离散股息时"减去股息现值"的做法完全类比：\(S_0-S_0e^{-qT}\) 正是期内股息的现值。

金融直觉：期权持有人拿不到股息，股息只归股东。所以对期权持有人来说，今天的股价 \(S_0\) 里有一块"期内会以股息形式流走"的价值与他无关，真正和他相关的是"扣掉这些股息后剩下的部分"，即 \(S_0e^{-qT}\)。另一个看法：买入 \(e^{-qT}\) 股、股息全部再投资于股票，到 \(T\) 时恰好持有 1 股——所以"\(T\) 时 1 股股票"今天的价格是 \(S_0e^{-qT}\)，这正是看涨期权里"资产或无"那一块需要的标的价格。

推导拆解：PDE (17.6) 里 \(r-q\) 的来源。沿用第 15a 章的组合 \(\Pi=-f+f_SS\)，但持股 \(f_S\) 股还能收到股息 \(qSf_S\Delta t\)，所以 \(\Delta\Pi=(-f_t-\tfrac12\sigma^2S^2f_{SS})\Delta t+qSf_S\Delta t\)。 令 \(\Delta\Pi=r\Pi\Delta t=r(-f+f_SS)\Delta t\)，两边除以 \(\Delta t\) 并整理： \(f_t+\tfrac12\sigma^2S^2f_{SS}-qSf_S=rf-rSf_S\)，即 \(f_t+(r-q)Sf_S+\tfrac12\sigma^2S^2f_{SS}=rf\)。 一阶项系数从 \(r\) 变成 \(r-q\)：持股的融资成本是 \(r\)，但股息补回了 \(q\)，净持有成本为 \(r-q\)。

下界与平价

直接证明也很容易，只需把第 11 章组合里的"1 股股票"换成"\(e^{-qT}\) 股股票，股息再投资于股票"——这样到期时恰好持有 1 股。例如 (17.1)：组合 A 为一份欧式看涨加现金 \(Ke^{-rT}\)，组合 B 为 \(e^{-qT}\) 股（股息再投资），A 到期值 \(\max(S_T,K)\ge S_T\) = B 的到期值。平价 (17.3)：A 与"看跌 + \(e^{-qT}\) 股"的组合 C 到期都值 \(\max(S_T,K)\)。

美式期权有不等式（原书习题 17.12）：

Merton 公式

对 BSM 公式做替换 \(S_0\to S_0e^{-qT}\)，并注意 \(\ln(S_0e^{-qT}/K)=\ln(S_0/K)-qT\)，得到 Merton (1973) 公式：

这里的"股息"应定义为已宣告股息导致的除息日股价下降。若股息率已知但非常数，公式仍然成立，\(q\) 取期权期内的平均年化股息率。

PDE 与风险中性漂移

加入股息率后，BSM 方程变为（证明见作者网站 Technical Note 6）

推导思路与第 15a 章相同，唯一的区别是：持有 \(\partial f/\partial S\) 股股票在 \(\Delta t\) 内还收到股息 \(qS\frac{\partial f}{\partial S}\Delta t\)，于是 \(\Delta\Pi\) 多出这一项，最终使一阶项系数从 \(r\) 变为 \(r-q\)。

方程仍不含风险偏好，可以用风险中性定价。风险中性世界中股票的总收益为 \(r\)，其中股息贡献 \(q\)，所以价格的期望增长率为 \(r-q\)：

期望股价 \(\hat E(S_T)=S_0e^{(r-q)T}\)。用第 15b 章的对数正态引理，看涨的风险中性期望收益为 \(e^{(r-q)T}S_0N(d_1)-KN(d_2)\)，以 \(r\) 贴现即得 (17.4)。

17.4 欧式股指期权估值

和第 5 章处理股指期货一样，把指数看作支付已知收益率的资产：(17.1)(17.2) 是下界，(17.3) 是平价，(17.4)(17.5) 是定价公式，美式期权用二叉树。\(S_0\) 是指数值，\(\sigma\) 是指数波动率，\(q\) 是期权期内的平均年化股息率。

例 17.1 S&P 500 两个月期欧式看涨。\(S_0=930\)，\(K=900\)，\(r=8\%\)，\(\sigma=20\%\)；第一、二个月预期股息率分别为 0.2%、0.3%，合计 0.5%，年化 3%，即 \(q=0.03\)，\(T=2/12\)。 \(d_1=\dfrac{\ln(930/900)+(0.08-0.03+0.02)\times2/12}{0.2\sqrt{2/12}}=0.5444\)，\(d_2=0.4628\)；\(N(d_1)=0.7069\)，\(N(d_2)=0.6782\)。 \(c=930\times0.7069e^{-0.03\times2/12}-900\times0.6782e^{-0.08\times2/12}=51.83\)，一份合约 5,183 美元。

几点实务说明：

• \(q\) 只应包含除息日落在期权期内的股息。美国公司的除息日多集中在 2、5、8、11 月的第一周，所以合适的 \(q\) 依期限而异；其他国家更明显，例如日本公司多用相同的除息日。
• 若已知的是成分股的绝对股息额，可以用"指数减股息现值"的方法（第 15b 章），但宽基指数需要每只成分股的预期股息，难以实施。

用远期价格表示

指数远期价格 \(F_0=S_0e^{(r-q)T}\)（式 5.3），代入 (17.4)(17.5)：

平价写成 \(c+Ke^{-rT}=p+F_0e^{-rT}\)，即

推导拆解：(17.8) 只是代入。\(S_0e^{-qT}=F_0e^{-rT}\)（由 \(F_0=S_0e^{(r-q)T}\) 两边乘 \(e^{-rT}\)），所以 \(S_0e^{-qT}N(d_1)\) 直接换成 \(F_0e^{-rT}N(d_1)\)。\(d_1\) 的分子 \(\ln(S_0/K)+(r-q)T=\ln(S_0e^{(r-q)T}/K)=\ln(F_0/K)\)，于是 \(r\) 和 \(q\) 在 \(d_1\)、\(d_2\) 中都消失了，只剩下 \(\pm\sigma^2T/2\)。 这说明一件事：期权价格只依赖远期价格 \(F_0\)、贴现因子 \(e^{-rT}\)、波动率和期限。\(r\) 和 \(q\) 各自是多少并不重要，重要的是它们通过 \(F_0\) 表现出来的组合 \(r-q\)。

交易所中同一到期日、同一执行价的看涨和看跌常常都很活跃，用 (17.10) 就能估计该期限的远期价格。得到若干期限的远期价格后，就有了远期价格的期限结构，再用 (17.8)(17.9) 为其他期权估值——好处是完全不需要显式估计股息率。

隐含股息率

需要股息率时（例如为美式期权估值），由 (17.3)：

单一执行价、单一期限的估计并不可靠（报价噪声、买卖价差），但综合多对看涨看跌可以得到市场隐含的股息率期限结构。本章代码演示了这一过程。

Business Snapshot 17.1 能保证股票长期跑赢债券吗？ 有观点认为，长期看分散的股票组合几乎必然跑赢债券；美国历史上股票几乎在任何 10 年都跑赢了债券。某基金经理据此想向跟踪标普 500 的基金投资者免费保证：10 年收益不低于无风险债券。 设指数 1,000，股息率 1%，波动率 15%，10 年无风险利率 5%。股票年化收益要超过 5%，股息贡献 1%，资本利得需 4%，即 10 年后指数至少为 \(1{,}000e^{0.04\times10}=1{,}492\)。这个保证等价于一份 10 年后以 1,492 卖出指数的欧式看跌：\(S_0=1000\)，\(K=1492\)，\(r=5\%\)，\(\sigma=15\%\)，\(T=10\)，\(q=1\%\)，价值 169.7，约占基金价值的 17%——绝不该白送。 教训：历史上"几乎总是"发生的事，在风险中性定价下可能代价高昂。

17.5 欧式货币期权估值

\(S_0\) 为即期汇率（1 单位外币值多少美元）。持有外币可以赚外国无风险利率 \(r_f\)，所以外币就像股息率为 \(r_f\) 的股票。把 \(q\) 换成 \(r_f\)：

这就是 Garman–Kohlhagen 模型。\(r\) 和 \(r_f\) 都取期限为 \(T\) 的利率。

金融直觉：把 1 英镑想成一只"股票"：它今天值 \(S_0\) 美元，持有它（存在英国）每年能赚 \(r_f\) 的"股息"。这样外汇期权就成了带股息率的股票期权。风险中性漂移 \(r-r_f\) 正是 CFA 里利率平价的连续复利版：本币利率高于外币利率时，远期汇率高于即期（外币远期升水），反之贴水。

白话解释：例 17.2 里 \(r_f=11\%>r=8\%\)，所以 \(F_0=1.6e^{-0.03/3}=1.584<K=1.6\)，平值即期的看涨按远期看其实略虚值，价格比无股息时便宜。

例 17.2 4 个月期英镑欧式看涨，\(S_0=K=1.6\)，\(r=8\%\)，\(r_f=11\%\)，\(T=0.3333\)，期权价格 4.3 美分（0.043）。试错：\(\sigma=20\%\) 得 0.0639，\(\sigma=10\%\) 得 0.0285……隐含波动率为 14.1%。

对称性。 以执行价 \(K\)（用货币 B 计价）卖出 1 单位货币 A 的看跌期权，等价于以执行价 \(1/K\)（用货币 A 计价）买入 \(K\) 单位货币 B 的看涨期权（原书习题 17.8）。外汇交易员因此可以在两种报价习惯间自由转换。

用远期汇率

金融机构活跃交易外汇远期，常用远期汇率估值。\(F_0=S_0e^{(r-r_f)T}\)（式 5.9），所以

这与 (17.8)(17.9) 完全相同。第 18 章将说明：任何资产的欧式现货期权，都可以用期限相同的远期或期货价格，通过这组公式估值。

17.6 美式期权

用第 13 章的二叉树：\(u=e^{\sigma\sqrt{\Delta t}}\)，\(d=1/u\)，\(p=(a-d)/(u-d)\)。不付息股票 \(a=e^{r\Delta t}\)，而

美式股指/货币期权有时提前行权是最优的，所以价值高于欧式。高利率货币的看涨、低利率货币的看跌最可能提前行权：高利率货币在风险中性世界中预期贬值（漂移 \(r-r_f<0\)），看涨持有人宁可早点行权拿到外币赚 \(r_f\)；低利率货币预期升值，看跌持有人宁可早点拿到本币赚 \(r\)。同理，高股息率指数的看涨、低股息率指数的看跌最可能提前行权。

白话解释：提前行权的账可以这样算。美式看涨提前行权：得到标的（开始收 \(q\) 或 \(r_f\)），付出 \(K\)（失去 \(K\) 的利息 \(r\)），放弃保险价值。所以只有当标的收益率 \(q\) 明显高于 \(r\)、且期权深度实值（保险价值小）时才划算。看跌反过来：行权得到 \(K\)（开始赚 \(r\)），交出标的（不再收 \(q\)），所以 \(r\) 远高于 \(q\) 时看跌更可能提前行权。不付息股票 \(q=0\)，看涨永远不提前行权，看跌却可能，这是这个一般规律的特例。

量化实战：统一的广义 BSM 接口、平价反推远期与隐含股息

在期权系统中，股票、股指、外汇（以及下一章的期货）期权通常共用一个"带连续收益率 \(q\) 的 BSM"函数：股票 \(q\) 为股息率，股指 \(q\) 为指数股息率，外汇 \(q=r_f\)，期货 \(q=r\)。实际做市系统更进一步，直接用远期价格作为输入（Black 型公式），而远期价格由平价从期权报价本身反推——这样就绕开了"股息率是多少、借券成本是多少"这些难以直接观测的量。从期权价格中提取的隐含股息率、隐含借券成本，本身也可以作为股息预期或卖空压力的信号。

下面的代码依次：复现例 17.1、Business Snapshot 17.1、例 17.2、零成本区间远期、beta=2 的组合保险执行价；模拟一条带报价噪声的股指期权链，用两种方法反推远期价格和隐含股息率；验证 Black 型公式与 Merton 公式一致；用二叉树比较美式与欧式货币期权的提前行权溢价。

import numpy as np
from scipy.stats import norm
from scipy.optimize import brentq

def gbsm(S, K, T, r, q, sigma, kind="call"):
    """广义 BSM：q 为股息率（股指）或外币利率 r_f（货币，即 Garman–Kohlhagen）。"""
    d1 = (np.log(S / K) + (r - q + 0.5 * sigma**2) * T) / (sigma * np.sqrt(T))
    d2 = d1 - sigma * np.sqrt(T)
    if kind == "call":
        return S * np.exp(-q * T) * norm.cdf(d1) - K * np.exp(-r * T) * norm.cdf(d2)
    return K * np.exp(-r * T) * norm.cdf(-d2) - S * np.exp(-q * T) * norm.cdf(-d1)

def binom_american(S, K, T, r, q, sigma, n=500, kind="call"):
    """CRR 二叉树，a = e^{(r-q)dt}；返回 (美式, 欧式)。"""
    dt = T / n; u = np.exp(sigma * np.sqrt(dt)); d = 1 / u
    p = (np.exp((r - q) * dt) - d) / (u - d); disc = np.exp(-r * dt)
    ST = S * u ** np.arange(n, -1, -1) * d ** np.arange(0, n + 1)
    pay = (lambda s: np.maximum(s - K, 0)) if kind == "call" else (lambda s: np.maximum(K - s, 0))
    Va = pay(ST); Ve = Va.copy()
    for i in range(n - 1, -1, -1):
        Si = S * u ** np.arange(i, -1, -1) * d ** np.arange(0, i + 1)
        Ve = disc * (p * Ve[:-1] + (1 - p) * Ve[1:])
        Va = np.maximum(disc * (p * Va[:-1] + (1 - p) * Va[1:]), pay(Si))
    return Va[0], Ve[0]

# ---- 1) 例 17.1：S&P 500 两个月欧式看涨 ----
c = gbsm(930, 900, 2/12, 0.08, 0.03, 0.20)
print(f"例17.1 c={c:.2f}，一份合约 {100*c:,.0f} 美元")

# ---- 2) Business Snapshot 17.1：10 年"股票不输债券"保证 = 执行价 1492 的看跌 ----
K = round(1000 * np.exp(0.04 * 10))                  # = 1492
print(f"BS17.1 K={K:.0f}  看跌价值={gbsm(1000, K, 10, 0.05, 0.01, 0.15, 'put'):.1f}")

# ---- 3) 例 17.2：英镑看涨的隐含波动率（Garman–Kohlhagen）----
iv = brentq(lambda s: gbsm(1.6, 1.6, 0.3333, 0.08, 0.11, s) - 0.043, 1e-4, 2)
print(f"例17.2 隐含波动率={iv:.4f}；sigma=20%→{gbsm(1.6,1.6,0.3333,0.08,0.11,0.2):.4f}，10%→{gbsm(1.6,1.6,0.3333,0.08,0.11,0.1):.4f}")

# ---- 4) 零成本区间远期：给定 K1=1.50，求使看涨=看跌的 K2 ----
S0, r, rf, sig, T = 1.52, 0.05, 0.05, 0.14, 0.25
put = gbsm(S0, 1.50, T, r, rf, sig, "put")
K2 = brentq(lambda k: gbsm(S0, k, T, r, rf, sig, "call") - put, 1.52, 2.0)
print(f"区间远期：K1=1.5000 看跌={put:.5f}，零成本 K2={K2:.4f}")

# ---- 5) beta=2 的组合保险：用 CAPM 把组合保险水平映射成指数执行价 ----
V0, I0, beta, r, q, T = 500_000, 1000, 2.0, 0.12, 0.04, 0.25
def port_value(I_T):          # 按表 17.1 口径：CAPM 给出组合总收益，减去组合股息得市值
    idx_ret = (I_T - I0) / I0 + q * T                 # 指数总收益
    port_ret = r * T + beta * (idx_ret - r * T)        # CAPM
    return V0 * (1 + port_ret - q * T)                 # 扣掉组合股息，得到组合市值
for I_T in (1080, 1040, 1000, 960, 920, 880):
    print(f"  指数 {I_T} -> 组合 {port_value(I_T):,.0f}")
K_idx = brentq(lambda I: port_value(I) - 450_000, 500, 1500)
n_puts = beta * V0 / (100 * I0)
print(f"所需执行价={K_idx:.0f}，看跌合约份数={n_puts:.0f}")

# ---- 6) 由一条看涨/看跌报价链反推远期价格与隐含股息率 ----
rng = np.random.default_rng(17)
S0, r, q_true, T, sig = 4500.0, 0.045, 0.016, 0.5, 0.18
Ks = np.arange(4000, 5001, 50.0)
cp = gbsm(S0, Ks, T, r, q_true, sig) - gbsm(S0, Ks, T, r, q_true, sig, "put")
cp_obs = cp + rng.normal(0, 0.5, Ks.size)            # 平价残差含报价噪声
# c - p = F e^{-rT} - K e^{-rT}：对 K 回归，截距 = F e^{-rT}，斜率 = -e^{-rT}
# (a) 利率已知：式 (17.10) F = K + (c-p)e^{rT}，对各执行价取平均
F_a = np.mean(Ks + cp_obs * np.exp(r * T))
q_a = -np.log(np.mean(cp_obs + Ks * np.exp(-r * T)) / S0) / T     # 隐含股息率公式
print(f"(a) 隐含远期={F_a:.2f}（真值 {S0*np.exp((r-q_true)*T):.2f}），隐含股息率={q_a:.4f}（真值 {q_true}）")
# (b) 利率也未知：对 K 回归，截距 = F e^{-rT}，斜率 = -e^{-rT}
slope, intercept = np.polyfit(Ks, cp_obs, 1)
F_b = -intercept / slope; r_b = -np.log(-slope) / T
print(f"(b) 隐含远期={F_b:.2f}，隐含利率={r_b:.4f}，隐含股息率={r_b - np.log(F_b / S0) / T:.4f}")
# 用 Black 型公式（远期价格）定价，与用 S0、q 的结果一致
K = 4600; F = S0 * np.exp((r - q_true) * T)
d1 = (np.log(F / K) + 0.5 * sig**2 * T) / (sig * np.sqrt(T)); d2 = d1 - sig * np.sqrt(T)
print(f"Black 型 c={np.exp(-r*T)*(F*norm.cdf(d1)-K*norm.cdf(d2)):.4f}  Merton c={gbsm(S0,K,T,r,q_true,sig):.4f}")

# ---- 7) 美式货币期权：高利率货币的看涨、低利率货币的看跌更可能提前行权 ----
for rf, kind in [(0.10, "call"), (0.10, "put"), (0.01, "call"), (0.01, "put")]:
    am, eu = binom_american(1.0, 1.0, 1.0, 0.04, rf, 0.12, kind=kind)
    print(f"r=4%, r_f={rf:.0%}, {kind:4s}: 美式={am:.5f} 欧式={eu:.5f} 提前行权溢价={am-eu:.5f}")

关键输出：

例17.1 c=51.83，一份合约 5,183 美元
BS17.1 K=1492  看跌价值=169.7
例17.2 隐含波动率=0.1411；sigma=20%→0.0639，10%→0.0285
区间远期：K1=1.5000 看跌=0.03250，零成本 K2=1.5413
  指数 1080 -> 组合 570,000
  指数 1040 -> 组合 530,000
  指数 1000 -> 组合 490,000
  指数 960 -> 组合 450,000
  指数 920 -> 组合 410,000
  指数 880 -> 组合 370,000
所需执行价=960，看跌合约份数=10
(a) 隐含远期=4565.67（真值 4565.73），隐含股息率=0.0160（真值 0.016）
(b) 隐含远期=4565.71，隐含利率=0.0462，隐含股息率=0.0172
Black 型 c=211.0093  Merton c=211.0093
r=4%, r_f=10%, call: 美式=0.02867 欧式=0.02209 提前行权溢价=0.00658
r=4%, r_f=10%, put : 美式=0.07804 欧式=0.07804 提前行权溢价=0.00000
r=4%, r_f=1%, call: 美式=0.06272 欧式=0.06272 提前行权溢价=0.00000
r=4%, r_f=1%, put : 美式=0.03657 欧式=0.03346 提前行权溢价=0.00311

读输出要点：

• 原书数字（51.83、169.7、14.1%、1.5413、表 17.2、执行价 960）全部复现。区间远期的 0.03250 也与原书一致。
• 反推远期时，若利率已知，(17.10) 平均后给出的隐含股息率非常准（1.60%）；若利率也要估计，回归斜率对噪声敏感，隐含利率偏 12 个基点，隐含股息率随之偏 12 个基点——两者被同一个远期价格约束，误差是相互抵消的。实务中通常用 OIS/国债曲线给定 \(r\)，只从期权中提取远期（或"隐含利率 − 隐含股息"这一组合，即隐含持有成本）。
• 远期价格一旦确定，Black 型公式和 Merton 公式给出完全相同的价格，所以系统只需维护远期曲线而无需维护股息曲线。
• 外币利率 10%（高于本币 4%）时，美式看涨有明显的提前行权溢价，看跌几乎没有；外币利率 1% 时恰好相反。

本章小结

股指期权现金结算，乘数通常 100；组合保险每 \(100S_0\) 美元组合买 \(\beta\) 份看跌，执行价用 CAPM 由保险水平映射得到。货币期权多为场外交易，用于企业外汇套保；区间远期（买看跌、卖看涨、零成本）把汇率锁定在一个区间内。支付股息率 \(q\) 的股票只需把 \(S_0\) 换成 \(S_0e^{-qT}\)，即得下界、平价和 Merton 公式；风险中性漂移为 \(r-q\)。股指取 \(q\) 为期内平均股息率，货币取 \(q=r_f\)（Garman–Kohlhagen）。用远期价格表示的 Black 型公式无须估计股息；平价可以反推远期价格和隐含股息率。美式期权用 \(a=e^{(r-q)\Delta t}\) 的二叉树，高收益率标的的看涨、低收益率标的的看跌最可能提前行权。

练习

基础

1. 组合价值 1,000 万美元，beta 为 1，指数 2,000。为防组合跌破 900 万，应买多少份什么执行价的指数看跌？ 提示：\(10{,}000{,}000/(2{,}000\times100)=50\) 份，执行价 1,800（原书习题 17.1 同类）。
2. 指数 300，股息率 3%，\(r=8\%\)，3 个月期执行价 290 的欧式看涨下界是多少？ 提示：\(300e^{-0.0075}-290e^{-0.02}=297.76-284.26=13.50\)（原书习题 17.3）。
3. 货币即期 0.80，\(K=0.79\)，\(r=8\%\)，\(r_f=6\%\)，\(\sigma=15\%\)，\(T=0.5\)，用 Garman–Kohlhagen 公式求看涨和看跌价格，并验证平价。 提示：直接调用 gbsm；平价残差应为 0。
4. 解释为什么高利率货币的美式看涨比欧式看涨更有价值。 提示：风险中性漂移 \(r-r_f<0\)，行权后持有外币能赚 \(r_f\)。
5. 远期汇率等于执行价时，欧式货币看涨与看跌价格有什么关系？ 提示：由平价 \(c-p=e^{-rT}(F_0-K)=0\)，二者相等（原书习题 17.13）。

进阶

6. 重做 17.1 节 beta=2 的组合保险，但改为 beta=1.5、保险水平 47 万。求执行价与份数。 提示：用代码中的 port_value 改 beta、目标值后求根；份数 \(1.5\times5=7.5\) 份（原书习题 17.17 同类）。
7. 证明零成本区间远期的上执行价 \(K_2\) 在给定 \(K_1\)、\(\sigma\)、\(T\) 和 \(F_0/S_0\) 时与利率水平无关。 提示：用远期形式 (17.13)(17.14)，\(e^{-rT}\) 在等式两边约去，条件只依赖 \(F_0\)、\(K\)、\(\sigma\)、\(T\)（原书习题 17.28）。
8. 某指数 1,200，6 个月期执行价 1,200 的欧式看涨 80、看跌 60，\(r=5\%\)。求隐含远期价格和隐含股息率。 提示：\(F_0=1200+20e^{0.025}=1220.51\)；\(q=r-\ln(F_0/S_0)/T=0.05-0.0339=1.61\%\)（原书习题 17.18 同类）。
9. 一家欧洲公司持有美元资产，希望保证以欧元计价的收益。说明它应该买哪种货币期权，并用对称性把它改写为另一种报价方式。 提示：买美元看跌/欧元看涨；以 \(K\) 欧元/美元卖 1 美元的看跌 = 以 \(1/K\) 美元/欧元买 \(K\) 欧元的看涨。
10. 某保本产品承诺 5 年后返还本金并按指数涨幅的一定比例付息。说明如何用零息债和指数看涨期权复制它，并在给定 \(r\)、\(q\)、\(\sigma\) 下求最大参与率。 提示：本金 \(\times e^{-rT}\) 买零息债，剩余资金买平值看涨，参与率 = 剩余资金 / 平值看涨价格（与原书习题 17.29、19.27 思路相同）。

原书推荐习题：17.17（beta≠1 的组合保险）；17.18、17.26（隐含股息率与隐含波动率）；17.12（美式平价不等式证明）；17.8、17.27（货币对称性与计价货币转换）；17.28（零成本区间远期）；17.4、17.24（带收益率的二叉树）；17.29（保本保证的期权定价）。

原书对照

延伸阅读：Biger & Hull (1983)、Garman & Kohlhagen (1983)、Grabbe (1983) 货币期权定价；Bodie (1995) 论股票长期风险；Merton (1973) 带股息率的期权定价。