第 18 章 期货期权与 Black 模型

到目前为止讨论的期权，行权时立即买卖标的资产本身，称为现货期权（spot options / options on spot）。本章讨论期货期权（futures options / options on futures）：行权时持有人得到的是一个期货头寸。美国商品期货交易委员会（CFTC）1982 年试点批准期货期权，1987 年永久批准，此后它迅速成为商品、利率和股指衍生品市场的主力品种。

本章的理论核心可以浓缩成一句话：在风险中性世界里，期货价格是一个零漂移的过程（鞅），因此它的行为就像一只股息率 \(q=r\) 的股票。 有了这句话，第 17 章的所有结果——平价、二叉树、Merton 公式——都可以直接套用，得到 Black (1976) 模型。更重要的是，Black 模型可以为任何欧式现货期权估值，只要知道与期权同时到期的期货（或远期）价格，而且完全不需要估计标的资产的股息或便利收益。这正是交易员偏爱它的原因。

学习目标

1. 说明期货期权的行权机制和到期月命名规则，会计算行权收益，了解利率期货期权的报价单位。
2. 推导期货期权的看涨-看跌平价与价格界限。
3. 用一步和多步二叉树为期货期权定价，理解 \(p=(1-d)/(u-d)\) 的来源。
4. 证明风险中性世界中期货价格的期望漂移为零，写出对应的 PDE。
5. 掌握 Black 模型，并会用它为欧式现货期权定价。
6. 比较美式期货期权与美式现货期权，理解期货式期权的定价。

读前导读

这一章在解决什么问题

CFA 里你学过期货的逐日盯市：进入期货不花钱，每天按价格变化结算盈亏。这一章抓住的正是"进入期货不花钱"这一点：既然持有期货的成本是零，在风险中性世界里它的期望收益也必须是零，所以期货价格没有漂移。把它代入第 17 章的框架，等于令持有收益 \(q=r\)（融资成本与持有收益恰好抵消），得到 Black (1976) 模型。

Black 模型的价值远超期货期权本身：只要知道与期权同时到期的期货或远期价格，任何欧式期权——商品、外汇、股指、甚至利率（第 29 章的利率上限、互换期权）——都可以用同一个公式定价，而不必关心股息、便利收益、仓储成本这些难以观测的量。它们全都已经体现在远期价格里了。对熟悉固定收益的读者，可以这样理解：Black 模型之于期权，就像"用远期利率定价远期利率协议"一样，只需要远期价格这一个输入。

需要先想起来的数学

1. 期望的迭代性质（塔性质）。 \(E[E(X\mid Y)]=E(X)\)：先在已知部分信息的条件下求期望，再对这部分信息求期望，等于直接求期望。例：明天期货价格的期望是今天的价格，后天价格在明天条件下的期望是明天的价格，那么今天看后天的期望也是今天的价格。见 第 00 册第 07 章 概率中的分析工具。

2. 鞅。 一个随机过程若"给定今天的信息，未来任意时刻的期望值等于今天的值"，就叫鞅（martingale）。直观地说，它是一场公平赌局：没有可预测的涨跌趋势。期货价格在风险中性世界里是鞅；股票价格不是（它的期望增长率为 \(r\)），但"股价 / 银行账户"是鞅。见 第 00 册第 07 章 概率中的分析工具（条件期望），正式定义在本册第 28 章。

3. 一步二叉树复制。 用 \(\Delta\) 份标的加现金复制期权，\(\Delta=(f_u-f_d)/(S_u-S_d)\)。本章唯一的变化是：标的是期货，买入期货不花钱，所以组合今天的价值只有期权本身。

4. 偏导数与 PDE。 第 15a 章的 BSM 方程中，一阶项 \(rSf_S\) 来自持有标的的融资成本。期货不需要融资，这一项就消失了。

怎么读这一章

必读：18.4（平价）、18.6（二叉树中 \(p=(1-d)/(u-d)\) 的来源）、18.7（期货价格零漂移的证明）、18.8（Black 模型及其用于现货期权）。18.1 的合约细节和报价单位对实盘很重要，但概念上可以快速浏览。18.9、18.10 第一次可以只看结论。

18.1 期货期权的性质

期货期权是在某日期之前以某个期货价格进入期货合约的权利（不是义务）。看涨期货期权是建立期货多头的权利，看跌期货期权是建立期货空头的权利。交易所交易的期货期权通常是美式的。

行权机制。 看涨期权行权时，持有人得到标的期货的多头头寸，外加现金 = 最近结算的期货价格 − 执行价；看跌期权行权时，持有人得到期货空头，外加现金 = 执行价 − 最近结算期货价格。由于期货头寸本身价值为零（可立即按当前价平仓），持有人的有效收益为看涨 \(\max(F-K,0)\)、看跌 \(\max(K-F,0)\)，\(F\) 为行权时的期货价格。

例 18.1 8 月 15 日，投资者持有一份 9 月铜期货看涨期权，执行价 320 美分/磅，一份期货 25,000 磅。当前 9 月期货价 331 美分，8 月 14 日收盘结算价 330。 行权得现金 \(25{,}000\times(330-320)\) 美分 = 2,500 美元，外加 9 月期货多头。若立即平仓，再得 \(25{,}000\times(331-330)\) 美分 = 250 美元（上次结算以来的价格变化）。总收益 2,750 美元 = \(25{,}000(F-K)\)。

例 18.2 12 月玉米期货看跌，执行价 600 美分/蒲式耳，一份 5,000 蒲式耳；当前期货价 580，最近结算价 579。 行权得现金 \(5{,}000\times(600-579)\) 美分 = 1,050 美元，外加期货空头；平仓需付 \(5{,}000\times(580-579)\) 美分 = 50 美元，净收益 1,000 美元 = \(5{,}000(K-F)\)。

到期月份

期货期权以标的期货的交割月命名，而不是以期权到期月命名。期权到期日通常在标的期货最后交易日之前不久（例如 CME 国债期货期权在期货交割月前一个月月底之前、至少两个营业日的最后一个周五到期）。例外是 CME 的中间曲线（mid-curve）欧洲美元期权，其标的期货在期权到期后 1 年或 2 年才到期。

美国热门的期货期权合约包括：玉米、大豆、棉花、国际原糖、原油、天然气、黄金、长期国债、中期国债、5 年期国债、30 天联邦基金、欧洲美元、1 年和 2 年 mid-curve 欧洲美元、Euribor、欧洲 Bund、S&P 500。

利率期货期权

美国最活跃的是长期国债期货、中期国债期货和欧洲美元期货的期权（这些期货本身见第 6 章）。

• 国债期货期权（CME）：标的是面值 10 万美元国债的期货合约；期权价格以面值百分比报价，精确到 1% 的 1/64。
• 欧洲美元期货期权（CME）：期货报价变动 1 个基点（0.01）对应 25 美元盈亏；期权定价中 1 个基点同样代表 25 美元。

利率期货价格随债券价格上涨（即利率下降）而上涨。所以：预期短期利率上升，买欧洲美元期货看跌；预期下降，买看涨。预期长期利率上升，买中/长期国债期货看跌；预期下降，买看涨。

例 18.3 2 月，6 月欧洲美元期货价格 93.82（对应 3 个月利率 6.18%）；执行价 94.00 的看涨报价 0.1（10 个基点）。若利率下降约 100 个基点，在期货价 94.78（利率 5.22%）时行权，收益 \(25\times(94.78-94.00)\times100=1{,}950\) 美元；成本 \(10\times25=250\) 美元；利润 1,700 美元。

例 18.4 8 月，12 月国债期货价格 96-09（即 \(96\tfrac{9}{32}=96.28125\)），长期国债收益率约 6.4%。预期收益率下降的投资者买执行价 98 的 12 月看涨，价格 1-04（即 \(1\tfrac{4}{64}=1.0625\%\) 面值）。若长期利率降到 6%、期货价升到 100-00，每 100 美元面值净利 \(100-98-1.0625=0.9375\)；合约面值 10 万美元，每份利润 937.50 美元。

注意两种报价的分母不同：国债期货以 1/32 报价，国债期货期权以 1/64 报价。回测或实盘计算盈亏时弄错这类单位是常见事故。

18.2 期货期权为什么流行

• 期货合约在许多情况下比标的资产流动性更好、更容易交易；期货价格可从交易所即时获得，现货价格未必。以国债为例：国债期货市场远比任何单只国债活跃，债券价格则需要向交易商询价。
• 交割期货比交割实物方便得多——交割活牛期货比交割活牛本身容易。
• 期货期权行权通常不会导致标的资产交割，期货大多在交割前平仓，所以期货期权最终多以现金结算，对资金有限的投资者有吸引力。
• 期货和期货期权在同一交易所并列交易，便于对冲、套利和投机，交易成本往往低于现货期权。

18.3 欧式现货期权与期货期权

欧式现货看涨的收益为 \(\max(S_T-K,0)\)，欧式期货看涨的收益为 \(\max(F_T-K,0)\)，\(F_T\) 是期权到期时的期货价格。若期货与期权同时到期，则 \(F_T=S_T\)（期货到期价格收敛于现货），两者完全等价；看跌同理。

交易所交易的期货期权多为美式，但研究欧式期货期权很有用：其结果可以直接用来为对应的欧式现货期权估值（18.8 节）。

18.4 看涨-看跌平价

考虑两个组合：

• 组合 A：一份欧式看涨期货期权 + 现金 \(Ke^{-rT}\)；
• 组合 B：一份欧式看跌期货期权 + 一份期货多头 + 现金 \(F_0e^{-rT}\)。

到期时：A 的现金增长到 \(K\)，若 \(F_T>K\) 看涨行权，A 值 \(F_T\)，否则值 \(K\)，即 A \(=\max(F_T,K)\)。B 的现金增长到 \(F_0\)，看跌收益 \(\max(K-F_T,0)\)，期货收益 \(F_T-F_0\)（假设期货像远期一样到期才结算），B \(=F_0+(F_T-F_0)+\max(K-F_T,0)=\max(F_T,K)\)。

两组合到期价值相等，欧式期权又不能提前行权，所以今天价值相等。期货合约今天价值为零，于是

白话解释：组合 B 里为什么要放现金 \(F_0e^{-rT}\)？因为期货多头到期只给你 \(F_T-F_0\) 这个差额，不给你 \(F_T\) 本身。要让 B 到期时"相当于持有一单位标的"，必须另外备好 \(F_0\) 的现金，今天的成本是 \(F_0e^{-rT}\)。股票平价里的 \(S_0\) 是"今天就拿到一股"的成本；这里的 \(F_0e^{-rT}\) 是"\(T\) 时拿到一单位标的"的成本。

与不付息股票的平价相比，只是把 \(S_0\) 换成了贴现的期货价格 \(F_0e^{-rT}\)。当期货与期权同时到期时，(18.1) 也给出了现货看涨、现货看跌与期货价格之间的关系。

例 18.5 6 个月期现货白银欧式看涨价格 0.56 美元/盎司，执行价 8.50；6 个月白银期货价格 8.00，\(r=10\%\)。 看跌价格 \(=0.56+8.50e^{-0.1\times0.5}-8.00e^{-0.1\times0.5}=1.04\)。

美式期货期权满足（原书习题 18.19）

18.5 期货期权的价格界限

由 (18.1) 和 \(p\ge0\)、\(c\ge0\)：

深度实值时欧式期权价格非常接近下界：看涨深度实值时对应的看跌深度虚值，\(p\approx0\)，而 \(c\) 与下界之差恰好是 \(p\)。

美式期权可随时行权，所以 \(C\ge\max(F_0-K,0)\)，\(P\ge\max(K-F_0,0)\)。利率为正时，美式的下界总是高于欧式的下界（少了贴现因子）——这意味着美式期货期权总有一定的提前行权可能，看涨和看跌都如此。直觉是：深度实值时，提前行权能立即拿到 \(F-K\) 的现金并开始计息，而继续持有只是等待一个期望不变的期货价格。

18.6 用二叉树为期货期权定价

与股票期权的关键区别：进入期货合约不需要前期成本。

一步树例 期货价格 30，一个月后升到 33 或降到 28；一个月期看涨期货期权执行价 29，忽略逐日结算。上升时期权收益 4、期货头寸价值 3；下降时期权收益 0、期货价值 −2。 组合"空 1 份期权 + 多 \(\Delta\) 份期货"：上升时值 \(3\Delta-4\)，下降时值 \(-2\Delta\)，令二者相等得 \(\Delta=0.8\)。一个月后组合值 \(-2\times0.8=-1.6\)，\(r=6\%\)，今天值 \(-1.6e^{-0.06/12}=-1.592\)。期货今天价值为零，所以期权价值为 1.592。

一般化。 期货价格从 \(F_0\) 升到 \(F_0u\) 或降到 \(F_0d\)，期权收益 \(f_u\)、\(f_d\)。无风险组合为空 1 份期权 + 多 \(\Delta=\frac{f_u-f_d}{F_0u-F_0d}\) 份期货。\(T\) 时组合值 \((F_0u-F_0)\Delta-f_u\)，今天值等于 \(-f\)（期货价值为零），化简得

验证：\(u=1.1\)，\(d=0.9333\)，\(p=\frac{1-0.9333}{1.1-0.9333}=0.4\)，\(f=e^{-0.06/12}(0.4\times4)=1.592\)。

推导拆解：从组合价值到 (18.6) 的化简如下。组合"空 1 份期权 + 多 \(\Delta\) 份期货"今天价值 \(-f\)（期货不占资金）。\(T\) 时价值（上行情形，下行情形相同）为 \((F_0u-F_0)\Delta-f_u\)。无风险，所以 \(-f=e^{-rT}[(F_0u-F_0)\Delta-f_u]\)。 代入 \(\Delta=\frac{f_u-f_d}{F_0(u-d)}\)：\((F_0u-F_0)\Delta=\frac{(u-1)(f_u-f_d)}{u-d}\)。 于是 \(f=e^{-rT}\Big[f_u-\frac{(u-1)(f_u-f_d)}{u-d}\Big]=e^{-rT}\Big[\frac{(1-d)f_u+(u-1)f_d}{u-d}\Big]\)。 令 \(p=\frac{1-d}{u-d}\)，则 \(1-p=\frac{u-1}{u-d}\)，即得 (18.5)。 和股票树比：股票组合今天要花 \(\Delta S_0\) 买股票，这笔资金按 \(r\) 增长，于是分子出现 \(e^{r\Delta t}\)；期货不用花钱，分子就是 1。这个"1"的含义是 \(pF_0u+(1-p)F_0d=F_0\)：风险中性下期货价格的期望不变。

和股票的 \(p=(e^{r\Delta t}-d)/(u-d)\) 相比，这里分子中的 \(a\) 变成了 1——期货价格在风险中性世界中不增长。多步树与股票期权完全相同：\(u=e^{\sigma\sqrt{\Delta t}}\)，\(\sigma\) 为期货价格波动率，\(p=(1-d)/(u-d)\)，美式期权在每个节点比较行权价值与继续持有价值。

18.7 风险中性世界中期货价格的漂移

结论：风险中性世界中，期货价格的行为与股息率 \(q=r\) 的股票相同。

两条线索：期货二叉树的 \(p\) 与 \(q=r\) 时股息率股票的 \(p\) 相同（(17.15) 中 \(a=e^{(r-q)\Delta t}=1\)）；期货期权平价 (18.1) 与股息率股票的平价 (17.3) 在 \(S_0\to F_0\)、\(q=r\) 时相同。

证明。 设结算日为 \(0,\Delta t,2\Delta t,\dots\)。在时刻 0 建立期货多头，价值为零；\(\Delta t\) 时收到 \(F_{\Delta t}-F_0\)。用 \(\Delta t\) 期短期利率 \(r\) 做风险中性定价：

同理 \(\hat E(F_{2\Delta t}\mid F_{\Delta t})=F_{\Delta t}\)……由期望的迭代性质，\(\hat E(F_T)=F_0\) 对任何 \(T\) 成立。所以风险中性世界中期货价格漂移为零；由 (17.7)，这相当于 \(q=r\) 的股票。这个结论极其一般，不依赖利率是否随机、波动率是否恒定。

推导拆解：证明的每一步依据。(1) 进入期货的成本为零，所以今天的价值为 0。(2) 期货在 \(\Delta t\) 时结算一次，现金流 \(F_{\Delta t}-F_0\)；按风险中性定价，今天价值 = 贴现的风险中性期望。(3) 两者相等，且 \(e^{-r\Delta t}>0\) 可以约去，得到 \(\hat E(F_{\Delta t})=F_0\)。(4) 在 \(\Delta t\) 时重新进入期货（成本仍为 0），同样的论证给出 \(\hat E(F_{2\Delta t}\mid F_{\Delta t})=F_{\Delta t}\)。(5) 对第 (4) 步两边再对 \(F_{\Delta t}\) 取期望，用塔性质得 \(\hat E(F_{2\Delta t})=\hat E(F_{\Delta t})=F_0\)，逐步推到 \(T\)。 第 (2) 步中的利率 \(r\) 是 \([0,\Delta t]\) 这一小段的利率，在期初已知，所以即使利率随机，论证也成立——这就是"不依赖利率是否随机"的含义。

金融直觉：为什么零漂移？期货是"零成本的赌约"。如果风险中性下期货价格预期上涨，买入期货就是不花钱、期望赚钱，这在风险中性世界里不可能存在。股票不同：买股票要付 \(S_0\)，这笔钱本可以存银行赚 \(r\)，所以股票必须预期上涨 \(r\) 才公平。期货没有这笔机会成本，所以期望涨幅是零。

更精确的说法（原书第 28 章）：在以货币市场账户为计价单位（numeraire）的传统风险中性世界中，期货价格是一个鞅（martingale）——零漂移过程；而远期价格是以 \(T\) 到期零息债为计价单位的风险中性世界中的鞅。利率确定时二者一致。

通常假设风险中性下期货价格服从

依赖于期货价格的衍生品满足的 PDE（Technical Note 7）是 (17.6) 中令 \(q=r\)、\(S\to F\)：

注意它没有一阶项。量化实务的直接推论是：在风险中性蒙特卡洛模拟中，期货价格（以及远期价格）不加漂移——只有 \(-\frac12\sigma^2\) 的对数修正。

18.8 期货期权的 Black 模型

Fischer Black 1976 年首先给出。假设期货价格服从对数正态过程 (18.7)，在 Merton 公式 (17.4)(17.5) 中令 \(S_0\to F_0\)、\(q=r\)：

\(\sigma\) 是期货价格的波动率。当持有成本和便利收益只是时间的函数时，期货价格波动率等于标的资产波动率。用第 15b 章的对数正态引理看，这只是把 \(E(V)\) 取为 \(\hat E(F_T)=F_0\)。

例 18.6 商品期货欧式看跌，\(T=4/12\)，\(F_0=K=20\)，\(r=9\%\)，\(\sigma=25\%\)。\(\ln(F_0/K)=0\)，\(d_1=\sigma\sqrt T/2=0.07216\)，\(d_2=-0.07216\)；\(N(-d_1)=0.4712\)，\(N(-d_2)=0.5288\)。 \(p=e^{-0.09\times4/12}(20\times0.5288-20\times0.4712)=1.12\)。

平值（\(F_0=K\)）时，看涨与看跌价格相等——这是平价 (18.1) 的直接结果（原书习题 18.17）。

白话解释：Black 公式里的 \(N(d_1)\)、\(N(d_2)\) 与 BSM 含义相同：\(N(d_2)\) 是风险中性行权概率 \(\hat P(F_T>K)\)；\(F_0N(d_1)\) 是"行权时拿到的期货价格"的截断期望。和 BSM 唯一不同的是把 \(e^{-rT}\) 提到了最外面：\(F_0\) 和 \(K\) 都是 \(T\) 时的金额，先在 \(T\) 时算出期望收益 \(F_0N(d_1)-KN(d_2)\)，再整体贴现一次。注意 Black 看涨期权对期货价格的 delta 是 \(e^{-rT}N(d_1)\)，不是 \(N(d_1)\)，对冲时容易弄错。

金融直觉：例 18.7 里的黄金期货价格 1,240 已经包含了现货价格、利率、仓储成本和便利收益的全部信息（\(F_0=S_0e^{(r+u-y)T}\)）。如果用 BSM 给现货期权定价，你需要分别估计仓储成本 \(u\) 和便利收益 \(y\)，而后者几乎无法直接观测。Black 模型绕过了这一步，这和固定收益里"直接用市场远期曲线，而不是自己推导每个期限的期限溢价"是同一种思路。

用 Black 模型为现货期权估值

18.3 节说过，期权与期货同时到期时，欧式期货期权与欧式现货期权等价。所以 (18.9)(18.10) 可以为欧式现货期权估值。

例 18.7 6 个月期现货黄金欧式看涨，执行价 1,200；6 个月黄金期货价格 1,240，\(r=5\%\)，期货价格波动率 20%。等同于 6 个月期货上的 6 个月欧式期权： \(d_1=\dfrac{\ln(1240/1200)+0.04\times0.5/2}{0.2\sqrt{0.5}}=0.3026\)，\(d_2=0.1611\)，\(c=e^{-0.025}[1240N(d_1)-1200N(d_2)]=88.37\)。

交易员偏好用 Black 模型为欧式现货期权估值，原因是：

• 适用面广：标的可以是消费型或投资型资产，可以有收益也可以没有；\(F_0\) 取与期权同时到期的期货或远期价格即可。(17.13)(17.14) 就是 Black 模型用于货币现货期权，(17.8)(17.9) 是用于指数现货期权。
• 无须估计收益或便利收益：期货/远期价格已经包含了市场对它们的估计。对商品而言，便利收益几乎不可能直接观测，这一点尤其重要。

实务上，像第 17.4 节那样，对有活跃期权的期限用平价反推远期价格，再插值得到其他期限的远期价格，这一方法适用于各种标的。

18.9 美式期货期权与美式现货期权

交易的期货期权通常是美式的。只要 \(r>0\)，美式期货期权总有提前行权的可能，所以价值高于对应的欧式期货期权。

即使期货与期权同时到期，美式期货期权一般不等于对应的美式现货期权（执行价、到期日相同）：

• 正向市场（normal market）：到期前期货价格始终高于现货价格。提前行权时，期货看涨拿到 \(F-K>S-K\)，所以美式看涨期货期权 > 美式现货看涨；反之美式看跌期货期权 < 美式现货看跌。
• 反向市场（inverted market）：期货价格始终低于现货价格，结论相反。

白话解释：期货与期权同时到期时，到期那一刻 \(F_T=S_T\)，所以欧式期货期权与欧式现货期权相同。美式的区别只在提前行权的那一刻：提前行权时，期货期权拿到的是当时的期货价格 \(F_t\)，现货期权拿到的是当时的现货价格 \(S_t\)，两者此时并不相等。正向市场 \(F_t>S_t\)，期货看涨提前行权时拿得更多，所以更值钱；期货看跌则拿得更少，所以更便宜。

当期货比期权晚到期时，差异同样存在，而且期货到期越晚，差异越大。本章代码用同一棵现货树分别对现货价格和对应期货价格行权，演示了这一结论。

18.10 期货式期权

一些交易所（尤其在欧洲）交易期货式期权（futures-style options）：以期权收益为标的的期货合约。普通期权的买方前期付现金、卖方收现金；期货式期权则像普通期货一样，双方缴纳保证金、逐日结算，最终结算价为期权收益。期货是对资产未来价格的押注，期货式期权是对期权收益的押注。

利率为常数时，期货式期权的"期货价格"等于以期权收益为标的的远期价格，也就是**延后支付（in arrears）**的期权价格——普通期权价值按无风险利率复利到到期日。由 Black 模型：

它们与利率水平无关。对期货上的期货式期权，\(F_0\) 为标的期货的当前价格；对资产现货的期货式期权，\(F_0\) 为与期权同时到期的期货价格。平价关系为 \(p+F_0=c+K\)。

美式期货式期权可以提前行权，届时按内在价值立即最终结算。期货上的美式期货式期权永远不应提前行权——其期货价格总大于内在价值——可以按对应的欧式期权处理。

量化实战：Black-76 定价引擎与期货期权二叉树

Black-76 是商品期权、利率期货期权以及所有"基于远期价格"的欧式期权的行业标准定价引擎。下面的代码：复现例 18.5、一步树、例 18.6、例 18.7；用二叉树计算美式与欧式期货期权并观察树收敛到 Black 价格；在正向市场中比较美式期货期权和美式现货期权；展示期货式期权价格与利率无关；用蒙特卡洛验证期货价格的鞅性质。

代码中的 tree 函数有一个技巧：对"期货价格"行权的美式期权，可以在现货树上计算，只要行权收益改用节点上的期货价格 \(F_t=S_te^{(r-q)(T-t)}\)。这样同一棵树上就能公平地比较现货期权和期货期权。

import numpy as np
from scipy.stats import norm

def black76(F, K, T, r, sigma, kind="call"):
    """Black (1976) 期货期权 / 基于远期价格的欧式期权定价。"""
    d1 = (np.log(F / K) + 0.5 * sigma**2 * T) / (sigma * np.sqrt(T)); d2 = d1 - sigma * np.sqrt(T)
    if kind == "call":
        return np.exp(-r * T) * (F * norm.cdf(d1) - K * norm.cdf(d2))
    return np.exp(-r * T) * (K * norm.cdf(-d2) - F * norm.cdf(-d1))

def tree(X0, K, T, r, q, sigma, n, kind, american=True, payoff_on=None):
    """通用 CRR 树。期货：q=r（p=(1-d)/(u-d)）。
    payoff_on: 若给定函数 g(X, t)，则行权收益用 g 计算（用来对现货树上的'期货价格'行权）。"""
    dt = T / n; u = np.exp(sigma * np.sqrt(dt)); d = 1 / u
    p = (np.exp((r - q) * dt) - d) / (u - d); disc = np.exp(-r * dt)
    sgn = 1 if kind == "call" else -1
    g = payoff_on or (lambda X, t: X)
    X = X0 * u ** np.arange(n, -1, -1) * d ** np.arange(0, n + 1)
    V = np.maximum(sgn * (g(X, T) - K), 0)
    for i in range(n - 1, -1, -1):
        X = X0 * u ** np.arange(i, -1, -1) * d ** np.arange(0, i + 1)
        V = disc * (p * V[:-1] + (1 - p) * V[1:])
        if american:
            V = np.maximum(V, sgn * (g(X, i * dt) - K))
    return V[0]

# ---- 1) 例 18.5：用期货期权平价由看涨求看跌 ----
c, K, F, r, T = 0.56, 8.50, 8.00, 0.10, 0.5
print(f"例18.5 p = {c + K*np.exp(-r*T) - F*np.exp(-r*T):.2f}")

# ---- 2) 一步二叉树：F=30 -> 33 或 28，K=29，r=6%，一个月 ----
u, d = 1.1, 28 / 30
p = (1 - d) / (u - d)
print(f"一步树 p={p:.4f}，Delta={(4-0)/(33-28):.2f}，期权价值={np.exp(-0.06/12)*(p*4):.3f}")

# ---- 3) 例 18.6、18.7：Black 模型 ----
print(f"例18.6 看跌={black76(20, 20, 4/12, 0.09, 0.25, 'put'):.2f}")
print(f"例18.7 现货黄金看涨（用期货价格）={black76(1240, 1200, 0.5, 0.05, 0.20):.2f}")

# ---- 4) 美式 vs 欧式期货期权（二叉树收敛到 Black）----
for n in (50, 200, 800):
    eu = tree(20, 20, 4/12, 0.09, 0.09, 0.25, n, "put", american=False)
    am = tree(20, 20, 4/12, 0.09, 0.09, 0.25, n, "put", american=True)
    print(f"n={n:3d} 欧式树={eu:.4f}  美式树={am:.4f}")

# ---- 5) 正向市场（期货 > 现货）：美式期货期权 vs 美式现货期权 ----
S0, K, T, r, q, sig = 100.0, 100.0, 1.0, 0.08, 0.0, 0.25    # 期货与期权同时到期，F_t = S_t e^{(r-q)(T-t)}
fut = lambda S, t: S * np.exp((r - q) * (T - t))
for kind in ("call", "put"):
    on_spot = tree(S0, K, T, r, q, sig, 1000, kind)
    on_fut = tree(S0, K, T, r, q, sig, 1000, kind, payoff_on=fut)
    eu = tree(S0, K, T, r, q, sig, 1000, kind, american=False)
    print(f"{kind:4s}: 美式现货期权={on_spot:.4f}  美式期货期权={on_fut:.4f}  欧式(二者相同)={eu:.4f}")

# ---- 6) 期货式期权：价格 = 普通期权价值复利到到期日，与利率无关 ----
for r in (0.01, 0.05, 0.10):
    c = black76(1240, 1200, 0.5, r, 0.20)
    print(f"r={r:.2f}: 普通期权={c:.3f}  期货式期权价格 c*e^(rT)={c*np.exp(r*0.5):.3f}")

# ---- 7) 风险中性下期货价格是鞅：dF = sigma F dz，F_T = F0 exp(-sigma^2 T/2 + sigma sqrt(T) Z) ----
rng = np.random.default_rng(18)
F0, sig, T, r = 50.0, 0.3, 2.0, 0.05
FT = F0 * np.exp(-0.5 * sig**2 * T + sig * np.sqrt(T) * rng.standard_normal(1_000_000))
pay = np.exp(-r * T) * np.maximum(FT - 50, 0)
print(f"E[F_T]={FT.mean():.3f}（F0={F0}），MC 看涨={pay.mean():.3f}±{1.96*pay.std()/np.sqrt(pay.size):.3f}，Black={black76(50,50,T,r,sig):.3f}")

关键输出：

例18.5 p = 1.04
一步树 p=0.4000，Delta=0.80，期权价值=1.592
例18.6 看跌=1.12
例18.7 现货黄金看涨（用期货价格）=88.37
n= 50 欧式树=1.1111  美式树=1.1185
n=200 欧式树=1.1152  美式树=1.1222
n=800 欧式树=1.1163  美式树=1.1231
call: 美式现货期权=13.8897  美式期货期权=14.2462  欧式(二者相同)=13.8897
put : 美式现货期权=7.0740  美式期货期权=6.3004  欧式(二者相同)=6.2013
r=0.01: 普通期权=90.159  期货式期权价格 c*e^(rT)=90.611
r=0.05: 普通期权=88.374  期货式期权价格 c*e^(rT)=90.611
r=0.10: 普通期权=86.192  期货式期权价格 c*e^(rT)=90.611
E[F_T]=49.995（F0=50.0），MC 看涨=7.604±0.029，Black=7.600

读输出要点：

• 原书数字（1.04、1.592、1.12、88.37）全部复现；欧式树随步数增加收敛到 Black 价格 1.12，美式期货看跌比欧式贵约 0.007——平值、4 个月、利率 9% 时提前行权溢价很小但不为零。
• 正向市场（\(r=8\%>q=0\)，期货高于现货）中：美式期货看涨 14.25 > 美式现货看涨 13.89（后者等于欧式，因为不付息股票的美式看涨不提前行权）；美式期货看跌 6.30 < 美式现货看跌 7.07。与 18.9 节的结论一致。
• 期货式期权价格在利率 1%、5%、10% 下都是 90.611，而普通期权价格随利率下降。
• 风险中性模拟中 \(E[F_T]\approx F_0\)，蒙特卡洛价格与 Black 价格在误差范围内一致。

在回测商品或利率期货期权策略时，这些细节都很关键：用 Black-76 而不是 BSM（标的是期货价格，没有 \(S_0\) 和股息）；期货价格模拟不加漂移；美式期货期权要考虑提前行权；合约乘数和报价单位（铜 25,000 磅、欧洲美元 1 基点 25 美元、国债期货期权 1/64）必须与交易所规则一致。

本章小结

期货期权行权时交割标的期货：看涨得到期货多头加"期货价格 − 执行价"的现金，看跌得到期货空头加"执行价 − 期货价格"的现金，有效收益为 \(\max(F-K,0)\) 或 \(\max(K-F,0)\)；期权以标的期货交割月命名。风险中性世界中期货价格是鞅，相当于股息率为 \(r\) 的股票，于是平价为 \(c+Ke^{-rT}=p+F_0e^{-rT}\)、二叉树 \(p=(1-d)/(u-d)\)、PDE 没有一阶项，欧式期权由 Black 模型给出。期货与期权同时到期时，欧式期货期权等价于欧式现货期权，所以 Black 模型常用来为现货期权估值，无须估计标的收益。美式期货期权总有提前行权可能；正向市场中美式期货看涨比美式现货看涨贵、看跌便宜，反向市场相反。期货式期权价格与利率无关，期货上的美式期货式期权不会提前行权。

练习

基础

1. 解释"日元看涨期权"与"日元期货看涨期权"的区别。 提示：前者行权得到日元，后者行权得到日元期货多头和现金差额（原书习题 18.1）。
2. 为什么债券期货期权比债券期权交易活跃？ 提示：期货流动性好、价格透明、易交割（原书习题 18.2）。
3. "期货价格就像一只股息率为 \(q\) 的股票"，\(q\) 等于多少？为什么？ 提示：\(q=r\)，风险中性期望漂移为零（原书习题 18.3）。
4. 期货价格 19，4 个月后要么 22 要么 17，执行价 18 的欧式看涨期货期权，\(r=12\%\)。用一步树求价格。 提示：\(u=22/19\)，\(d=17/19\)，\(p=(1-d)/(u-d)=0.4\)，\(c=e^{-0.04}\times0.4\times4=1.537\)（原书习题 18.4）。
5. 期货价格 25，执行价 26，\(r=10\%\)，\(\sigma=30\%\)，\(T=1\)，求欧式看涨与看跌期货期权的价格。 提示：\(d_1=0.0193\)，\(d_2=-0.2807\)，\(c\approx2.32\)，\(p\approx3.23\)；平价检验 \(c-p=(25-26)e^{-0.1}\)。

进阶

6. 9 个月期欧式看涨期货期权价格 2，看跌 2（同执行价 30），\(r=10\%\)，期货价格 30.5。是否存在套利？ 提示：平价要求 \(c-p=(F_0-K)e^{-rT}=0.464\)，实际为 0；买看涨、卖看跌、卖期货（原书习题 18.16 同类）。
7. 证明美式期货期权的不等式 (18.2)。 提示：仿照第 11 章美式股票期权不等式的证明，组合中用期货代替股票（原书习题 18.19）。
8. 用两步树（每步 3 个月，\(u=1.12\)，\(d=0.92\)）为执行价 60、期货价格 60、\(r=8\%\) 的 6 个月期欧式和美式看跌期货期权定价，并检验欧式结果满足平价。 提示：\(p=(1-0.92)/(1.12-0.92)=0.4\)；美式在下行节点提前行权（原书习题 18.12、18.13 同类，可用 tree 函数的思路手算）。
9. 用玉米期货期权的报价（多个执行价）反解隐含波动率，你预期会看到什么形状？ 提示：多为波动率偏斜/微笑，不是一条水平线（原书习题 18.25，详见第 20 章）。
10. 某投资者希望保证 3 个月后一笔 90 天投资的收益率不低于 6.5%。说明如何用欧洲美元期货期权实现，并计算所需执行价。 提示：利率下降对应期货价格上升，所以要买看涨期货期权；执行价 \(100-6.5=93.50\)（原书习题 18.21）。

原书推荐习题：18.12、18.13（两步树、平价与提前行权）；18.16（平价违背的套利）；18.19（美式期货期权平价不等式）；18.25（真实报价的隐含波动率与偏斜）；18.28（Black 模型与期货式期权）；18.21（利率期货期权套保设计）。

原书对照

延伸阅读：Black, F. (1976), "The Pricing of Commodity Contracts," Journal of Financial Economics.