第 04 章级数与收敛

你每天都在用级数，只是没这么叫它。年金现值是有限项的等比求和，永续年金是无穷项的等比求和，Gordon 股利折现模型是「增长型」的无穷等比求和。连续复利里的 $e^r$，本身也是一个无穷级数的和。

本章把这些熟悉的公式放回数学框架里。读完后，你会知道「无穷多项加起来」在什么条件下有意义，为什么永续年金公式要求 $r>0$、Gordon 模型要求 $g<r$，以及 $\ln(1+x)\approx x$、$(1+r/n)^n\to e^r$ 这些近似从哪里来、误差有多大。

前置知识：第 01 章的数列极限，第 02 章的导数与泰勒展开。

学习目标

会区分数列与级数，理解「级数收敛」就是「部分和数列收敛」。
会推导等差、等比数列的求和公式，并用它们推出年金、永续年金、增长型永续年金的公式。
能用几个常用判别法（项趋于零、比较、比值、交错）判断级数是否收敛，知道调和级数为什么发散。
理解幂级数和收敛半径，会对幂级数逐项求导、逐项积分。
掌握 $e^x$ 和 $\ln(1+x)$ 的级数，会估计截断误差，理解对数收益与简单收益的差别。
会推导 $(1+r/n)^n\to e^r$，并估计离散复利与连续复利的差距。

4.1 数列：按顺序排好的一串数

金融例子。 一只债券每年付息 5 元，第 10 年还本 100 元。它的现金流可以写成一串数：$5,5,\dots,5,105$。一只基金每月的净值，也是一串数：$1.000,1.012,0.995,\dots$

定义。 数列是一串按编号排列的数 $a_1,a_2,a_3,\dots$，记作 $\{a_n\}$。$a_n$ 叫通项，$n$ 是下标。数列本质上是一个定义在正整数上的函数：输入 $n$，输出 $a_n$。

数值例。 $a_n=100\times1.05^{\,n}$ 是本金 100 元按 5% 年复利滚存 $n$ 年后的金额：$a_1=105$，$a_2=110.25$，$a_{10}=162.89$。

数列的极限（第 01 章已讲过，这里只复述结论）。如果 $n$ 越来越大时 $a_n$ 越来越贴近某个数 $L$，并且可以贴得任意近，就说数列收敛到 $L$，记作 $\lim_{n\to\infty}a_n=L$ 或 $a_n\to L$。严格写法是：

\forall\varepsilon>0,\ \exists N,\ \text{使得}\ n>N\ \text{时}\ |a_n-L|<\varepsilon.

白话解读：你随便给一个误差容忍度 $\varepsilon$（比如 0.001），我总能找到一个位置 $N$，从这个位置往后，所有项与 $L$ 的距离都小于这个容忍度。

数值例。 $a_n=1/1.05^{\,n}$ 是 $n$ 年后 1 元的现值。$a_{10}=0.6139$，$a_{100}=0.0076$，$a_{300}=4.4\times10^{-7}$，它收敛到 0。

4.2 等差数列与等比数列

4.2.1 等差数列

金融例子。 一笔 120 万元的贷款按「等额本金」偿还，分 10 年，每年还本 12 万。第 $k$ 年年初剩余本金是 $120,108,96,\dots$，每年减少同一个数。

定义。 相邻两项之差恒为常数 $d$ 的数列叫等差数列：$a_n=a_1+(n-1)d$。

求和公式。 前 $n$ 项和

S_n=a_1+a_2+\cdots+a_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}.

推导（倒序相加）：

正着写：$S_n=a_1+(a_1+d)+\cdots+a_n$。
倒着写：$S_n=a_n+(a_n-d)+\cdots+a_1$。
两式逐列相加，每一列都等于 $a_1+a_n$（一列加 $d$、一列减 $d$，互相抵消），共 $n$ 列，所以 $2S_n=n(a_1+a_n)$。

数值例。 上面的贷款，若年利率 4%，每年利息按年初剩余本金计算。10 年的剩余本金是 $120,108,\dots,12$，和为 $10\times(120+12)/2=660$ 万元，总利息就是 $660\times4\%=26.4$ 万元。

4.2.2 等比数列

金融例子。 本金按固定利率复利滚存，每年乘同一个因子 $1+r$。贴现因子 $v=1/(1+r)$ 的各次幂 $v,v^2,v^3,\dots$ 也是等比数列。

定义。 相邻两项之比恒为常数 $q$（公比）的数列叫等比数列：$a_n=a_1q^{\,n-1}$。

求和公式。 当 $q\neq1$ 时，

S_n=a_1+a_1q+\cdots+a_1q^{\,n-1}=a_1\frac{1-q^{\,n}}{1-q}.

推导（错位相减）：

写出 $S_n=a_1+a_1q+a_1q^2+\cdots+a_1q^{\,n-1}$。
两边乘 $q$：$qS_n=a_1q+a_1q^2+\cdots+a_1q^{\,n}$。
第 1 式减第 2 式。中间的 $a_1q,\dots,a_1q^{\,n-1}$ 两边都有，全部抵消，只剩 $S_n-qS_n=a_1-a_1q^{\,n}$。
因为 $q\ne1$，两边除以 $1-q$ 得到公式。

当 $q=1$ 时每项都是 $a_1$，直接得 $S_n=na_1$。

数值例。 每年年末存 1 元，利率 5%，10 年后的终值是 $1.05^9+1.05^8+\cdots+1$，即首项 1、公比 1.05、共 10 项：

S_{10}=\frac{1.05^{10}-1}{1.05-1}=\frac{0.628895}{0.05}=12.5779.

这就是 CFA 里的年金终值系数 FVIFA(5%, 10)。

4.3 级数：无穷多项相加是什么意思

问题。 永续年金每年付 $C$，现值是 $Cv+Cv^2+Cv^3+\cdots$，一直加下去。无穷多个数相加，不能真的一项一项加完。我们需要一个定义。

定义。 给定数列 $\{a_k\}$，把前 $n$ 项相加得到部分和

S_n=\sum_{k=1}^{n}a_k=a_1+a_2+\cdots+a_n.

部分和本身构成一个新数列 $S_1,S_2,S_3,\dots$。如果这个数列收敛到 $S$，就说级数 $\sum_{k=1}^\infty a_k$ 收敛，和为 $S$，写作

\sum_{k=1}^{\infty}a_k=S.

如果部分和数列不收敛（趋于无穷，或者来回摆动），就说级数发散。

白话解读：「无穷级数的和」不是加完了的结果，而是「越加越接近、可以任意接近」的那个数。这个定义把无穷求和变成了一个数列极限问题，第 01 章的工具全部可以用。

4.3.1 最重要的级数：几何级数

\sum_{k=0}^{\infty}q^k=1+q+q^2+\cdots=\frac{1}{1-q},\qquad |q|<1.

推导：

由等比求和公式，部分和 $S_n=\sum_{k=0}^{n-1}q^k=\dfrac{1-q^{\,n}}{1-q}$。
当 $|q|<1$ 时，$|q|^n\to0$（例如 $0.9^{50}=0.0052$，$0.9^{200}=7\times10^{-10}$），所以 $q^{\,n}\to0$。
于是 $S_n\to\dfrac{1-0}{1-q}=\dfrac1{1-q}$。

其他情况全部发散：

$q$ 的范围	部分和的行为	结论
$\lvert q\rvert<1$	趋于 $1/(1-q)$	收敛
$q=1$	$S_n=n\to\infty$	发散
$q=-1$	$1,0,1,0,\dots$ 来回摆动	发散
$\lvert q\rvert>1$	$\lvert q^{\,n}\rvert\to\infty$	发散

数值例。 $q=0.5$：$1+0.5+0.25+0.125+\cdots=2$。前 10 项和是 $(1-0.5^{10})/0.5=1.99805$，离 2 只差 0.002。

4.3.2 收敛的必要条件：项必须趋于零

结论。 如果 $\sum a_k$ 收敛，那么 $a_k\to0$。

推导：$a_n=S_n-S_{n-1}$。级数收敛意味着 $S_n\to S$，同时 $S_{n-1}\to S$，两者相减得 $a_n\to S-S=0$。

这个条件只是必要的，不是充分的。它最常见的用途是反过来：如果项不趋于零，级数一定发散。比如 $\sum_{k} \frac{k}{k+1}$ 的项趋于 1，直接判发散。

反例（项趋于零但级数发散）就是著名的调和级数：

\sum_{k=1}^{\infty}\frac1k=1+\frac12+\frac13+\frac14+\cdots=\infty.

经典证明是分组比较：

1+\frac12+\underbrace{\Big(\frac13+\frac14\Big)}_{>\frac14+\frac14=\frac12}+\underbrace{\Big(\frac15+\cdots+\frac18\Big)}_{>4\times\frac18=\frac12}+\underbrace{\Big(\frac19+\cdots+\frac1{16}\Big)}_{>8\times\frac1{16}=\frac12}+\cdots

每一组都大于 $\tfrac12$，而组数可以无穷多，所以和超过任意给定的数。它发散得非常慢：前一百万项的和只有约 14.39，大约等于 $\ln n+0.5772$。

4.3.3 收敛级数的运算规则

收敛级数可以像有限和一样做下面几种运算。依据都是「部分和是有限和，有限和满足这些规则，再取极限」。

线性。 若 $\sum a_k=A$，$\sum b_k=B$，则 $\sum(\alpha a_k+\beta b_k)=\alpha A+\beta B$。两个收敛级数逐项相加、乘常数，结果仍收敛。
去掉或加上有限项不影响收敛性。 只影响和的数值。收不收敛只由「尾巴」决定。
提取公因子。 $\sum_{k\ge m}cq^k=cq^m\sum_{j\ge0}q^j$（令 $j=k-m$ 重新编号）。

数值例：递延永续年金。 第 6 年起每年末付 100、利率 5% 的永续年金，现值是

\sum_{k\ge6}100v^k=v^5\sum_{j\ge1}100v^j=1.05^{-5}\times2000=1567.05.

用规则 2 换一种算法：完整永续年金 2000 减去前 5 年的年金 $100\times(1-1.05^{-5})/0.05=432.95$，同样得到 1567.05。

需要提醒的是，两个级数的逐项乘积、逐项相除没有这么简单的规则。$\sum a_kb_k$ 一般不等于 $(\sum a_k)(\sum b_k)$，两个无穷和相乘要用「双重求和」处理，第 07 章会讲。

4.4 几何级数与年金、永续年金

这一节把你熟悉的 TVM 公式全部归结为一个等式：$\sum q^k=(1-q^n)/(1-q)$。

4.4.1 普通年金

每期期末付 $C$，共 $n$ 期，每期利率 $r$。记 $v=1/(1+r)$。现值是

PV=Cv+Cv^2+\cdots+Cv^{\,n}=Cv\cdot\frac{1-v^{\,n}}{1-v}.

化简 $v/(1-v)$：

\frac{v}{1-v}=\frac{1/(1+r)}{1-1/(1+r)}=\frac{1/(1+r)}{r/(1+r)}=\frac1r.

所以

\boxed{PV=\frac{C}{r}\Big(1-\frac1{(1+r)^n}\Big)}

这就是年金现值公式。CFA 教材直接给出它，这里你看到了它的来历：一个首项 $Cv$、公比 $v$ 的等比数列求和。

数值例。 $C=100$，$r=5\%$，$n=10$：$PV=2000\times(1-1.05^{-10})=2000\times(1-0.613913)=772.17$。

期初年金（annuity due）每笔提前一期支付，每项都多乘一个 $(1+r)$，所以 $PV_{\text{due}}=(1+r)\cdot PV=772.17\times1.05=810.78$。

4.4.2 永续年金

让 $n\to\infty$。因为 $r>0$ 时 $0<v<1$，$v^{\,n}\to0$：

PV=\sum_{k=1}^\infty Cv^k=\frac{C}{r}.

数值例。 每年付 100、利率 5% 的永续年金值 2000。

收敛条件的金融含义。 公式要求 $|v|<1$，也就是 $r>0$。若 $r=0$，每笔现金流都不打折，加起来是无穷大；若 $r<0$（负利率），越远的现金流现值越大，同样发散。负利率环境下，「永续」资产的估值在数学上就是不良定义的，模型必须做截断或换假设。

4.4.3 用 Python 验证

import numpy as np

# 年金现值：逐期贴现求和 vs 等比级数公式
C, r, n = 100.0, 0.05, 10
v = 1 / (1 + r)
pv_loop = sum(C * v**k for k in range(1, n + 1))
pv_formula = C * (1 - v**n) / r
print(f"逐期求和   PV = {pv_loop:.6f}")
print(f"年金公式   PV = {pv_formula:.6f}")

# 期数越来越长，年金现值逼近永续年金 C/r
for n in [10, 30, 100, 300]:
    print(f"n={n:4d}  PV={C * (1 - v**n) / r:10.4f}")
print(f"永续年金 C/r = {C / r:.4f}")

输出：

逐期求和   PV = 772.173493
年金公式   PV = 772.173493
n=  10  PV=  772.1735
n=  30  PV= 1537.2451
n= 100  PV= 1984.7910
n= 300  PV= 1999.9991
永续年金 C/r = 2000.0000

可以看到部分和一步步爬向 2000。到第 100 年，已经拿到了永续年金价值的 99.2%。这也说明为什么长期限的年金和永续年金估值差不多：远期现金流的现值极小。

4.4.4 增长型永续年金与 Gordon 模型

股利第 1 年末为 $D_1$，之后每年增长 $g$。现值

P=\frac{D_1}{1+r}+\frac{D_1(1+g)}{(1+r)^2}+\frac{D_1(1+g)^2}{(1+r)^3}+\cdots=\frac{D_1}{1+r}\sum_{k=0}^\infty\Big(\frac{1+g}{1+r}\Big)^k.

这是公比 $q=\frac{1+g}{1+r}$ 的几何级数。

收敛条件 $|q|<1$。在 $g>-1$ 的正常情形下，就是 $1+g<1+r$，即 $g<r$。
收敛时，$\sum q^k=\dfrac1{1-q}=\dfrac{1+r}{r-g}$。
所以 $P=\dfrac{D_1}{1+r}\cdot\dfrac{1+r}{r-g}=\dfrac{D_1}{r-g}$。

数值例。 $D_1=2$，$r=8\%$，$g=3\%$：$P=2/0.05=40$。

$g<r$ 不是一个技术细节，它就是级数收敛条件。$g$ 越接近 $r$，公比越接近 1，级数收敛越慢，价格对假设也越敏感：

# 增长型永续年金（Gordon 模型）：D1/(r-g)，要求 g<r
D1, r = 2.0, 0.08
for g in [0.03, 0.06, 0.079]:
    partial = sum(D1 * (1 + g)**(k - 1) / (1 + r)**k for k in range(1, 2001))
    print(f"g={g:.3f}  前2000期和={partial:9.3f}  公式={D1 / (r - g):9.3f}")
g = 0.09
for N in [100, 500, 1000]:
    partial = sum(D1 * (1 + g)**(k - 1) / (1 + r)**k for k in range(1, N + 1))
    print(f"g=0.090  前{N}期和={partial:12.1f}")

输出：

g=0.030  前2000期和=   40.000  公式=   40.000
g=0.060  前2000期和=  100.000  公式=  100.000
g=0.079  前2000期和= 1686.377  公式= 2000.000
g=0.090  前100期和=       302.7
g=0.090  前500期和=     19863.2
g=0.090  前1000期和=   2012469.4

三点观察：

$g=7.9\%$ 时公比 $1.079/1.08=0.99907$，非常接近 1。加了 2000 年还只到公式值的 84%。估值几乎全部来自极远的未来，这样的估值没有实际意义。
$g$ 从 6% 变成 7.9%，价格从 100 跳到 2000。这是分母 $r-g$ 趋于零带来的爆炸。
$g=9\%>r$ 时部分和无限增长，套公式会得到 $2/(0.08-0.09)=-200$，一个负价格。**公式在收敛条件外给出的数是错的，而且不会自己报错。**这是级数最常见的误用。

实务中的两阶段 DCF 模型（前若干年显式预测，之后用永续增长计算终值）正是为了避开这个问题：高增长只放在有限项里，进入无穷级数的那一段必须满足 $g<r$。

4.4.5 附息债券 = 年金 + 零息债券

面值 100、票息率 $c$、期限 $n$ 年、到期收益率 $y$ 的债券，价格是 $n$ 期票息年金加上到期本金的现值：

P=\frac{100c}{y}\big(1-v^n\big)+100v^n,\qquad v=\frac1{1+y}.

数值例。 $c=5\%$，$n=10$，$y=6\%$：票息部分 $\frac{5}{0.06}(1-1.06^{-10})=36.80$，本金部分 $100\times1.06^{-10}=55.84$，合计 $92.64$，折价发行。

为什么票息率等于收益率时债券平价？ 令 $c=y$，代入：

P=\frac{100y}{y}(1-v^n)+100v^n=100-100v^n+100v^n=100.

一行代数就说明了「平价债券的票息率等于到期收益率」，不需要背结论。这类「用级数闭式解推结论」的方法，在第 08 册推导互换利率、远期利率时会反复使用。

4.5 收敛判别的直观

多数级数没有 $\sum q^k$ 那样的闭式和。实际工作中更常问的是「它收不收敛」。下面几个判别法够应付本书的绝大多数场合。

4.5.1 比较判别法

直觉。 正项级数（每项 $\ge0$）的部分和只增不减。只增不减的数列，只要有上界就一定收敛（单调有界原理）。所以只需找一个已知收敛的「更大的」级数压住它。

结论。 设 $0\le a_k\le b_k$。

若 $\sum b_k$ 收敛，则 $\sum a_k$ 收敛（被压住）。
若 $\sum a_k$ 发散，则 $\sum b_k$ 发散（托不住）。

数值例。 $\sum_{k\ge1}\dfrac{1}{2^k+k}$：每项小于 $1/2^k$，而 $\sum 1/2^k=1$，所以原级数收敛，且和小于 1。

常用的比较对象：$p$-级数。

\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^p}\quad\begin{cases}p>1&\text{收敛}\\ p\le1&\text{发散}\end{cases}

直觉来自积分：$\sum 1/k^p$ 和 $\int_1^\infty x^{-p}dx$ 同时收敛或同时发散。后者在 $p>1$ 时等于 $1/(p-1)$，在 $p\le1$ 时为无穷（第 03 章反常积分）。$p=2$ 时和为 $\pi^2/6\approx1.6449$。

4.5.2 比值判别法

直觉。 如果后一项与前一项之比最终稳定在某个 $\rho<1$，那么尾部就像公比为 $\rho$ 的几何级数，收敛。

结论。 设 $\lim_{k\to\infty}\left|\dfrac{a_{k+1}}{a_k}\right|=\rho$。

$\rho<1$：收敛（而且是绝对收敛）。
$\rho>1$：发散。
$\rho=1$：判别法失效，需要别的办法。

数值例。 $\sum_{k\ge1}k\cdot0.9^k$。比值 $\dfrac{(k+1)0.9^{k+1}}{k\cdot0.9^k}=0.9\cdot\dfrac{k+1}{k}\to0.9<1$，收敛。线性增长的 $k$ 打不过指数衰减的 $0.9^k$。

失效的例子。 对 $1/k$ 和 $1/k^2$，比值都趋于 1，但一个发散一个收敛。所以 $\rho=1$ 时什么也不能说。

4.5.3 交错级数与绝对收敛

交错级数判别法（Leibniz）。 若 $b_k\ge0$ 单调递减且趋于 0，则 $\sum(-1)^{k+1}b_k$ 收敛，而且用前 $n$ 项近似时，误差不超过第一个被丢掉的项 $b_{n+1}$。

数值例。 $1-\tfrac12+\tfrac13-\tfrac14+\cdots=\ln2\approx0.6931$。正负项互相抵消，使本来发散的调和级数变成收敛。

绝对收敛与条件收敛。

若 $\sum|a_k|$ 收敛，称 $\sum a_k$ 绝对收敛。绝对收敛一定收敛。
若 $\sum a_k$ 收敛但 $\sum|a_k|$ 发散，称条件收敛。交错调和级数就是条件收敛。

这个区分有实际后果：绝对收敛的级数可以任意调换求和顺序，和不变；条件收敛的级数换个顺序可以得到任何你想要的值（Riemann 重排定理）。在概率论里，期望 $E[X]=\sum x_ip_i$ 要求绝对收敛，正是为了保证期望不依赖于把样本点排成什么顺序。第 07 章讲求和与积分交换时会再遇到这个条件。

4.5.4 用 Python 看收敛的快慢

import numpy as np
# 调和级数 1/k 发散但极慢；p=2 级数收敛到 pi^2/6
for N in [10, 1_000, 1_000_000]:
    k = np.arange(1, N + 1, dtype=float)
    print(f"N={N:>9,d}  sum 1/k = {np.sum(1/k):8.4f}   ln N = {np.log(N):8.4f}   sum 1/k^2 = {np.sum(1/k**2):.6f}")
print(f"pi^2/6 = {np.pi**2/6:.6f}")
# 交错调和级数收敛到 ln 2
k = np.arange(1, 1_000_001, dtype=float)
print(f"交错调和级数前一百万项 = {np.sum((-1)**(k+1)/k):.6f}, ln2 = {np.log(2):.6f}")

输出：

N=       10  sum 1/k =   2.9290   ln N =   2.3026   sum 1/k^2 = 1.549768
N=    1,000  sum 1/k =   7.4855   ln N =   6.9078   sum 1/k^2 = 1.643935
N=1,000,000  sum 1/k =  14.3927   ln N =  13.8155   sum 1/k^2 = 1.644933
pi^2/6 = 1.644934
交错调和级数前一百万项 = 0.693147, ln2 = 0.693147

注意：数值求和永远不能证明一个级数发散或收敛。调和级数加到一百万项才 14.39，单看数字你可能以为它收敛。判断收敛靠的是上面的判别法，数值计算只用来估计和的大小。

4.5.5 这些判别法在量化中的样子

ARMA 平稳性。 AR(1) 模型 $r_t=\phi r_{t-1}+a_t$ 反复代入得 $r_t=\sum_{j\ge0}\phi^ja_{t-j}$。方差是 $\sigma_a^2\sum\phi^{2j}=\sigma_a^2/(1-\phi^2)$，有限的条件正是几何级数收敛条件 $|\phi|<1$（第 06 册第 02a 章）。
GARCH 的无条件方差。 GARCH(1,1) 的长期方差 $\omega/(1-\alpha-\beta)$ 来自几何级数 $\omega\sum_k(\alpha+\beta)^k$，要求 $\alpha+\beta<1$。$\alpha+\beta$ 越接近 1，冲击衰减越慢，与 Gordon 模型中 $g\to r$ 是同一件事（第 06 册第 03a 章）。
长记忆。 若自相关系数按 $k^{-p}$ 衰减且 $p\le1$，自相关之和发散，这就是「长记忆」过程；按 $\phi^k$ 衰减的是「短记忆」。$p$-级数的分界线在这里有直接含义。
算法复杂度。 「每次把问题规模减半」的递归总工作量是 $n(1+\tfrac12+\tfrac14+\cdots)\le2n$，即几何级数（第 09 册第 04b 章）。

4.6 幂级数

4.6.1 定义与收敛半径

直觉。 几何级数 $1+x+x^2+\cdots$ 是关于 $x$ 的「无穷次多项式」。把系数换成一般的 $c_k$，就得到幂级数：

\sum_{k=0}^{\infty}c_kx^k=c_0+c_1x+c_2x^2+\cdots

它在某些 $x$ 处收敛，在另一些 $x$ 处发散。

结论。 每个幂级数都有一个收敛半径 $R$（$0\le R\le\infty$）：

$|x|<R$ 时绝对收敛；
$|x|>R$ 时发散；
$|x|=R$ 的两个端点要单独检查。

求法。 对通项 $c_kx^k$ 用比值判别法：

\left|\frac{c_{k+1}x^{k+1}}{c_kx^k}\right|=|x|\cdot\left|\frac{c_{k+1}}{c_k}\right|\to|x|\cdot L.

要求 $|x|L<1$，得 $R=1/L$（$L=0$ 时 $R=\infty$）。

数值例。

级数	$\lvert c_{k+1}/c_k\rvert$ 的极限	收敛半径
$\sum x^k$	1	$R=1$
$\sum kx^k$	$(k+1)/k\to1$	$R=1$
$\sum x^k/k!$	$1/(k+1)\to0$	$R=\infty$
$\sum k!\,x^k$	$k+1\to\infty$	$R=0$（只在 $x=0$ 收敛）

4.6.2 收敛区间内可以逐项求导、逐项积分

结论。 在 $|x|<R$ 内，幂级数定义的函数 $f(x)=\sum c_kx^k$ 可以像多项式一样逐项求导、逐项积分，得到的新级数收敛半径不变：

f'(x)=\sum_{k\ge1}kc_kx^{k-1},\qquad \int_0^xf(t)\,dt=\sum_{k\ge0}\frac{c_k}{k+1}x^{k+1}.

这条性质让我们从一个已知级数「变出」许多新级数。

例：永续年金的久期。 永续年金的 Macaulay 久期是

D=\frac{\sum_{k\ge1}k\,Cv^k}{\sum_{k\ge1}Cv^k}.

分母已知是 $C/r$。分子要算 $\sum kv^k$。办法是对几何级数逐项求导：

已知 $\sum_{k\ge0}x^k=\dfrac1{1-x}$，$|x|<1$。
两边对 $x$ 求导：$\sum_{k\ge1}kx^{k-1}=\dfrac1{(1-x)^2}$。
两边乘 $x$：$\sum_{k\ge1}kx^k=\dfrac{x}{(1-x)^2}$。
代入 $x=v$，并利用 $1-v=r/(1+r)$：$\sum kv^k=\dfrac{1/(1+r)}{r^2/(1+r)^2}=\dfrac{1+r}{r^2}$。
所以 $D=\dfrac{C(1+r)/r^2}{C/r}=\dfrac{1+r}{r}$。

数值例。 $r=5\%$ 时，永续年金的 Macaulay 久期是 $1.05/0.05=21$ 年。这个结果和 CFA 教材给出的 $(1+y)/y$ 一致，现在你知道它来自对几何级数求导。

例：等待第一次成功的期望次数。 一个信号每天独立地以概率 $p$ 触发，第 $k$ 天首次触发的概率是 $p(1-p)^{k-1}$（几何分布）。期望等待天数是

E[K]=\sum_{k\ge1}k\,p(1-p)^{k-1}=p\sum_{k\ge1}kx^{k-1}\Big|_{x=1-p}=p\cdot\frac1{(1-(1-p))^2}=\frac1p.

第二步直接用了上面第 2 步的求导结果。数值例：$p=0.2$ 时平均等 5 天。数值求和 $\sum_{k=1}^{1999}k\times0.2\times0.8^{k-1}$ 得到 5.000000，与公式一致。

4.6.3 泰勒级数

第 02 章讲过泰勒展开：$f(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n+R_n(x)$。如果当 $n\to\infty$ 时余项 $R_n(x)\to0$，就得到泰勒级数（在 0 点展开时也叫麦克劳林级数）：

f(x)=\sum_{k=0}^\infty\frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^k.

泰勒展开截断到有限项是近似；泰勒级数是精确等式，但只在收敛半径内成立。下面两节是全书最常用的两个泰勒级数。

4.7 $e^x$ 的级数

4.7.1 公式与来历

e^x=\sum_{k=0}^\infty\frac{x^k}{k!}=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots,\qquad\text{对所有实数 }x\text{ 成立}.

推导：

$f(x)=e^x$ 的各阶导数都是 $e^x$，在 0 点都等于 1。
代入泰勒公式，系数 $f^{(k)}(0)/k!=1/k!$。
收敛半径：$c_{k+1}/c_k=1/(k+1)\to0$，所以 $R=\infty$。
余项（拉格朗日形式）$|R_n(x)|\le e^{|x|}\dfrac{|x|^{n+1}}{(n+1)!}$。阶乘增长比任何指数都快，所以对每个固定的 $x$，余项都趋于 0。

反向验证。 对右边逐项求导：$\frac{d}{dx}\frac{x^k}{k!}=\frac{x^{k-1}}{(k-1)!}$，求导后的级数和原级数一模一样。「导数等于自身」正是指数函数的本质。

4.7.2 数值例与截断误差

$x=0.05$（比如 5% 的连续复利一年）：

1 项：$1$
2 项：$1.05$（这就是单利）
3 项：$1.05+0.00125=1.05125$
真值：$1.051271$

前两项给出单利，第三项 $x^2/2$ 就是「利滚利」的主要部分。

import math

def exp_partial(x, N):
    return sum(x**k / math.factorial(k) for k in range(N + 1))

def log1p_partial(x, N):
    return sum((-1)**(k + 1) * x**k / k for k in range(1, N + 1))

for x in [0.05, 1.0, 5.0]:
    row = "  ".join(f"N={N}:{exp_partial(x, N):.8f}" for N in [1, 2, 4, 10])
    print(f"e^{x}: {row}  真值={math.exp(x):.8f}")

for x in [0.05, 0.5, 0.99]:
    row = "  ".join(f"N={N}:{log1p_partial(x, N):.6f}" for N in [1, 2, 5, 50])
    print(f"ln(1+{x}): {row}  真值={math.log1p(x):.6f}")

# 收敛半径之外：x=1.5 时部分和发散
print("ln(1+1.5) 部分和:", [round(log1p_partial(1.5, N), 2) for N in [5, 10, 20, 40]], " 真值=", round(math.log(2.5), 4))

输出：

e^0.05: N=1:1.05000000  N=2:1.05125000  N=4:1.05127109  N=10:1.05127110  真值=1.05127110
e^1.0: N=1:2.00000000  N=2:2.50000000  N=4:2.70833333  N=10:2.71828180  真值=2.71828183
e^5.0: N=1:6.00000000  N=2:18.50000000  N=4:65.37500000  N=10:146.38060103  真值=148.41315910
ln(1+0.05): N=1:0.050000  N=2:0.048750  N=5:0.048790  N=50:0.048790  真值=0.048790
ln(1+0.5): N=1:0.500000  N=2:0.375000  N=5:0.407292  N=50:0.405465  真值=0.405465
ln(1+0.99): N=1:0.990000  N=2:0.499950  N=5:0.773432  N=50:0.682175  真值=0.688135
ln(1+1.5) 部分和: [1.75, -2.4, -96.83, -164192.64]  真值= 0.9163

$e^x$ 的级数处处收敛，但 $x$ 越大需要的项越多：$x=0.05$ 时 4 项已精确到 $10^{-8}$，$x=5$ 时 10 项还差 1.4%。在金融里 $x$ 通常是利率乘期限或小幅对数收益，几项就够。

4.7.3 它在书里出现的地方

Poisson 分布概率和为 1。 $\sum_{k\ge0}e^{-\lambda}\dfrac{\lambda^k}{k!}=e^{-\lambda}\cdot e^{\lambda}=1$。用的正是 $e^\lambda$ 的级数（第 02 册第 04b 章）。
矩母函数。 $M(t)=E[e^{tX}]=E\big[\sum_k t^kX^k/k!\big]=\sum_k\dfrac{t^k}{k!}E[X^k]$，所以 $M$ 在 0 点的第 $k$ 阶导数就是 $E[X^k]$，「矩母」的名字来源于此（第 02 册第 07c 章）。
矩阵指数。 $e^{At}=\sum_k\dfrac{(At)^k}{k!}$，把 $x$ 换成方阵 $At$，用来解线性动态系统（第 01 册第 03a 章）。

4.8 $\ln(1+x)$ 的级数

4.8.1 公式与来历

\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\cdots=\sum_{k=1}^\infty(-1)^{k+1}\frac{x^k}{k},\qquad-1<x\le1.

推导（从几何级数出发，逐项积分）：

在几何级数 $\frac1{1-q}=\sum q^k$ 中令 $q=-t$：$\dfrac1{1+t}=1-t+t^2-t^3+\cdots$，$|t|<1$。
两边从 0 积到 $x$。左边 $\int_0^x\frac{dt}{1+t}=\ln(1+x)$。
右边逐项积分：$\int_0^xt^k\,dt=\dfrac{x^{k+1}}{k+1}$，得 $x-\frac{x^2}2+\frac{x^3}3-\cdots$。
收敛半径与几何级数相同，$R=1$。端点 $x=1$ 是交错调和级数，收敛到 $\ln2$；端点 $x=-1$ 是负的调和级数，发散（对应 $\ln0=-\infty$）。

上面的代码输出显示了收敛半径的意义：$x=0.05$ 时 5 项精确到 6 位；$x=0.99$ 接近边界，50 项还差 0.006；$x=1.5$ 已在收敛半径之外，部分和剧烈发散，尽管 $\ln2.5=0.9163$ 本身是个正常的数。函数有定义，不代表它的级数在那里收敛。

4.8.2 对数收益与简单收益

简单收益 $R=P_1/P_0-1$，对数收益 $r=\ln(P_1/P_0)=\ln(1+R)$。由级数：

r=R-\frac{R^2}{2}+\frac{R^3}{3}-\cdots

数值例。

简单收益 $R$	对数收益 $\ln(1+R)$	一阶近似 $R$ 的误差	二阶近似 $R-R^2/2$
5%	4.879%	0.121%	4.875%
20%	18.232%	1.768%	18.000%
−20%	−22.314%	2.314%	−22.000%
−50%	−69.315%	19.315%	−62.500%

三条结论：

日度或更短频率的收益，$|R|$ 通常在 1% 以内，$\ln(1+R)\approx R$ 的误差在万分之一量级，可以混用。
误差的主项是 $-R^2/2$，永远为负：对数收益总是小于简单收益。
大幅下跌时差距很大。$-50\%$ 的简单收益对应 $-69.3\%$ 的对数收益，这也是为什么跌 50% 需要涨 100% 才能回本。

4.8.3 波动率拖累：$g\approx\mu-\sigma^2/2$

问题。 一个策略每年简单收益的均值是 $\mu$，标准差是 $\sigma$。长期复合增长率是多少？

长期增长率由对数收益的均值决定。对 $\ln(1+R)$ 取前两项，再取期望：

$\ln(1+R)\approx R-\dfrac{R^2}{2}$。
取期望：$E[\ln(1+R)]\approx E[R]-\dfrac12E[R^2]$。
用 $E[R^2]=\operatorname{Var}(R)+(E[R])^2=\sigma^2+\mu^2$。
当 $\mu$ 较小时 $\mu^2$ 可略，得 $g\approx\mu-\dfrac{\sigma^2}{2}$。

数值例。 $\mu=10\%$，$\sigma=25\%$：$g\approx10\%-3.125\%=6.875\%$。一个极端的离散例子更直观：先涨 50% 再跌 40%，算术平均收益是 $+5\%$，但两年后的净值是 $1.5\times0.6=0.9$，几何平均是 $\sqrt{0.9}-1=-5.13\%$。波动越大，算术平均与几何平均的差距越大。在 BSM 模型里，股价对数的漂移项是 $\mu-\sigma^2/2$，来源是同一个二阶项，严格推导用伊藤引理（第 08 册第 14 章）。

4.9 复利极限 $(1+r/n)^n\to e^r$

4.9.1 金融问题

名义年利率 $r$，一年复利 $n$ 次，每次利率 $r/n$，一年后 1 元变成 $(1+r/n)^n$。$n$ 越大，复利越频繁。问：$n\to\infty$ 时它是否趋于无穷？

答案是否定的，它收敛到 $e^r$。这就是连续复利。

4.9.2 推导（取对数 + $\ln(1+x)$ 级数）

取对数：$\ln\big(1+\tfrac rn\big)^n=n\ln\big(1+\tfrac rn\big)$。
$n$ 足够大时 $|r/n|<1$，可以用 4.8 节的级数，取 $x=r/n$： $n\ln\Big(1+\frac rn\Big)=n\Big(\frac rn-\frac{r^2}{2n^2}+\frac{r^3}{3n^3}-\cdots\Big)=r-\frac{r^2}{2n}+\frac{r^3}{3n^2}-\cdots$
令 $n\to\infty$，除 $r$ 以外的每一项都趋于 0，所以对数趋于 $r$。
指数函数连续（第 01 章），所以 $(1+r/n)^n=e^{n\ln(1+r/n)}\to e^r$。

误差估计。 由第 2 步，$(1+r/n)^n=e^{r-r^2/(2n)+\cdots}=e^r\cdot e^{-r^2/(2n)+\cdots}\approx e^r\big(1-\frac{r^2}{2n}\big)$。所以

e^r-\Big(1+\frac rn\Big)^n\approx e^r\cdot\frac{r^2}{2n}.

误差与 $1/n$ 成正比：复利频率翻倍，与连续复利的差距减半。

另一个视角（二项式展开）。 $(1+r/n)^n=\sum_{k=0}^n\binom nk\dfrac{r^k}{n^k}$。第 $k$ 项的系数 $\binom nk\dfrac1{n^k}=\dfrac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{n^k}\cdot\dfrac1{k!}$，前面的分式在 $n\to\infty$ 时趋于 1，所以第 $k$ 项趋于 $r^k/k!$，整体趋于 $e^r$ 的级数。（把逐项极限换成整体极限需要一点论证，这里只给直观。）

4.9.3 数值验证

import math
r = 0.06
print(f"{'每年复利次数 n':>14s} {'(1+r/n)^n':>14s} {'与 e^r 的差':>12s}")
for n in [1, 2, 4, 12, 365, 10_000, 1_000_000]:
    a = (1 + r / n)**n
    print(f"{n:>14,d} {a:14.10f} {math.exp(r) - a:12.2e}")
print(f"{'e^r':>14s} {math.exp(r):14.10f}")
# 误差近似 e^r * r^2/(2n)
n = 12
print(f"n=12 误差近似 e^r*r^2/(2n) = {math.exp(r) * r**2 / (2 * n):.2e}")

输出：

      每年复利次数 n      (1+r/n)^n     与 e^r 的差
             1   1.0600000000     1.84e-03
             2   1.0609000000     9.37e-04
             4   1.0613635506     4.73e-04
            12   1.0616778119     1.59e-04
           365   1.0618313107     5.24e-06
        10,000   1.0618363554     1.91e-07
     1,000,000   1.0618365447     1.83e-09
           e^r   1.0618365465
n=12 误差近似 e^r*r^2/(2n) = 1.59e-04

误差近似公式在 $n=12$ 时与实际误差吻合到三位有效数字。$n$ 每扩大 100 倍，误差约缩小 100 倍，与 $1/n$ 的结论一致。

4.9.4 利率换算

从 $(1+r_n/n)^n=e^{r_c}$ 两边取对数，得到离散复利利率与连续复利利率的换算：

r_c=n\ln\Big(1+\frac{r_n}{n}\Big),\qquad r_n=n\big(e^{r_c/n}-1\big).

数值例。 名义年利率 12%、按月复利：有效年利率 $1.01^{12}-1=12.68\%$；等价的连续复利利率 $12\ln1.01=11.94\%$。Hull 第 4 章的利率换算全部基于这两个式子（第 08 册第 04 章）。

本章小结

内容	公式	成立条件 / 备注
等差数列求和	$S_n=\dfrac{n(a_1+a_n)}2$	倒序相加
等比数列求和	$S_n=a_1\dfrac{1-q^n}{1-q}$	$q\ne1$；错位相减
级数收敛	$\sum a_k=S\iff S_n\to S$	定义
几何级数	$\sum_{k\ge0}q^k=\dfrac1{1-q}$	$\lvert q\rvert<1$
年金现值	$\dfrac Cr\big(1-(1+r)^{-n}\big)$	期末支付
永续年金	$C/r$	$r>0$
增长型永续年金	$D_1/(r-g)$	$g<r$
永续年金久期	$(1+r)/r$	由 $\sum kx^k=x/(1-x)^2$
必要条件	$\sum a_k$ 收敛 $\Rightarrow a_k\to0$	反之不成立（调和级数）
$p$-级数	$\sum k^{-p}$ 收敛 $\iff p>1$	比较判别的标尺
比值判别	$\lvert a_{k+1}/a_k\rvert\to\rho$	$\rho<1$ 收敛，$\rho>1$ 发散，$\rho=1$ 不定
收敛半径	$R=1/\lim\lvert c_{k+1}/c_k\rvert$	区间内可逐项求导、积分
指数级数	$e^x=\sum x^k/k!$	所有 $x$
对数级数	$\ln(1+x)=\sum(-1)^{k+1}x^k/k$	$-1<x\le1$
对数收益	$\ln(1+R)\approx R-R^2/2$	$\lvert R\rvert$ 小
波动率拖累	$g\approx\mu-\sigma^2/2$	二阶近似
复利极限	$(1+r/n)^n\to e^r$	误差 $\approx e^rr^2/(2n)$
利率换算	$r_c=n\ln(1+r_n/n)$

练习

1. 每年末存 1 万元，年利率 5%，10 年后账户余额是多少？

答：$\dfrac{1.05^{10}-1}{0.05}=12.5779$ 万元。首项 1、公比 1.05 的 10 项等比数列求和。

2. 一笔 20 年期年金，每年末付 50，折现率 4%，求现值。

答：$\dfrac{50}{0.04}(1-1.04^{-20})=1250\times(1-0.45639)=679.52$。

3. 某股票明年股利 3 元，要求回报率 9%。（a）股利增长率 4% 时，Gordon 模型给出的价格是多少？（b）增长率改为 5% 呢？（c）增长率 10% 时能否套用公式？

答：（a）$3/0.05=60$。（b）$3/0.04=75$，增长率只变 1 个百分点，价格涨 25%。（c）不能。公比 $1.10/1.09>1$，级数发散，公式给出的 $-300$ 没有意义。

4. 判断下列级数是否收敛，并说明用了哪个判别法：（a）$\sum_{k\ge1}k^{-1.5}$；（b）$\sum_{k\ge1}\frac{k}{k+1}$；（c）$\sum_{k\ge1}k\cdot0.9^k$；（d）$\sum_{k\ge1}\frac{(-1)^k}{\sqrt k}$。

答：（a）收敛，$p=1.5>1$ 的 $p$-级数。（b）发散，通项趋于 1 而不是 0。（c）收敛，比值趋于 0.9。（d）收敛（交错级数判别法，$1/\sqrt k$ 单调递减趋于 0），但 $\sum1/\sqrt k$ 是 $p=0.5$ 的 $p$-级数，发散，所以是条件收敛。

5. 求 $\sum_{k\ge1}\dfrac{1}{k(k+1)}$。

答：拆项 $\dfrac1{k(k+1)}=\dfrac1k-\dfrac1{k+1}$。部分和 $S_n=\big(1-\tfrac12\big)+\big(\tfrac12-\tfrac13\big)+\cdots+\big(\tfrac1n-\tfrac1{n+1}\big)=1-\dfrac1{n+1}\to1$。中间项两两抵消，这叫「裂项相消」（telescoping）。

6. 求下列幂级数的收敛半径：（a）$\sum kx^k$；（b）$\sum x^k/k!$；（c）$\sum k!\,x^k$；（d）$\sum 2^kx^k$。

答：（a）1；（b）$\infty$；（c）0；（d）$1/2$，因为它是公比 $2x$ 的几何级数，需要 $|2x|<1$。

7. 用 $e^x$ 级数的前三项估计 $e^{0.1}$，并与真值比较。

答：$1+0.1+0.005=1.105$，真值 $1.105171$，误差 $0.000171$，接近被丢掉的第四项 $0.1^3/6=0.000167$。

8. 用 $\ln(1+x)$ 级数的前三项估计 $\ln1.1$。若一只股票一天涨 10%，用简单收益代替对数收益误差多大？

答：$0.1-0.005+0.000333=0.095333$，真值 $0.095310$。简单收益 0.1 比对数收益大 $0.0047$，即 0.47 个百分点。

9. 名义年利率 12%，按月复利。求有效年利率和等价的连续复利利率。

答：有效年利率 $1.01^{12}-1=12.6825\%$；连续复利 $r_c=12\ln1.01=11.9404\%$。

10. 证明利率为 $r$ 的永续年金 Macaulay 久期为 $(1+r)/r$，并计算 $r=5\%$ 时的值。

答：见 4.6.2 节。对 $\sum x^k=1/(1-x)$ 逐项求导再乘 $x$ 得 $\sum kx^k=x/(1-x)^2$，代入 $x=1/(1+r)$ 后除以 $\sum v^k=1/r$。$r=5\%$ 时 $D=21$ 年。

11. GARCH(1,1) 模型参数 $\omega=10^{-5}$，$\alpha+\beta=0.98$。长期日方差 $\omega\sum_{k\ge0}(\alpha+\beta)^k$ 是多少？换算成年化波动率（按 252 个交易日）。

答：$\dfrac{10^{-5}}{1-0.98}=0.0005$，日波动率 $\sqrt{0.0005}=2.236\%$，年化 $2.236\%\times\sqrt{252}=35.5\%$。若 $\alpha+\beta\ge1$，几何级数发散，长期方差不存在。

12. 某策略年简单收益均值 8%、标准差 20%。估计其长期年化复合增长率。

答：$g\approx0.08-0.2^2/2=0.08-0.02=6\%$。

在全书中用到的地方

第 01 册第 03a 章（Jordan 标准形与线性动态）：矩阵指数 $e^{At}$ 用 $e^x$ 的级数定义。
第 01 册第 05b 章（矩阵范数、谱半径与条件数）：矩阵几何级数 $\sum A^k=(I-A)^{-1}$ 在谱半径小于 1 时收敛，是标量几何级数的推广。
第 02 册第 04b 章（常见离散分布与泊松过程）：Poisson 概率求和、几何分布的期望 $\sum kp(1-p)^{k-1}$ 用到逐项求导。
第 02 册第 07c 章（矩母函数）：MGF 的级数展开与各阶矩。
第 03 册第 01 章（概率论速览）：$(1+a/n)^n\to e^a$ 用于中心极限定理证明的最后一步。
第 05 册第 08 章（非线性回归函数）：对数差近似百分比变化，即 $\ln(1+x)\approx x$。
第 06 册第 01 章、第 02a 章、第 03a 章：对数收益；AR 模型的 MA($\infty$) 表示与平稳性条件 $|\phi|<1$；GARCH 长期方差与 $\alpha+\beta<1$。
第 08 册第 04 章（利率）：连续复利与利率换算。
第 08 册第 14 章（维纳过程与伊藤引理）：对数价格漂移 $\mu-\sigma^2/2$。
第 09 册第 04b 章（递归式求解与主定理）：递归树各层工作量的等比求和。

\(q\) 的范围	部分和的行为	结论
\(\lvert q\rvert<1\)	趋于 \(1/(1-q)\)	收敛
\(q=1\)	\(S_n=n\to\infty\)	发散
\(q=-1\)	\(1,0,1,0,\dots\) 来回摆动	发散
\(\lvert q\rvert>1\)	\(\lvert q^{\,n}\rvert\to\infty\)	发散

级数	\(\lvert c_{k+1}/c_k\rvert\) 的极限	收敛半径
\(\sum x^k\)	1	\(R=1\)
\(\sum kx^k\)	\((k+1)/k\to1\)	\(R=1\)
\(\sum x^k/k!\)	\(1/(k+1)\to0\)	\(R=\infty\)
\(\sum k!\,x^k\)	\(k+1\to\infty\)	\(R=0\)（只在 \(x=0\) 收敛）

内容	公式	成立条件 / 备注
等差数列求和	\(S_n=\dfrac{n(a_1+a_n)}2\)	倒序相加
等比数列求和	\(S_n=a_1\dfrac{1-q^n}{1-q}\)	\(q\ne1\)；错位相减
级数收敛	\(\sum a_k=S\iff S_n\to S\)	定义
几何级数	\(\sum_{k\ge0}q^k=\dfrac1{1-q}\)	\(\lvert q\rvert<1\)
年金现值	\(\dfrac Cr\big(1-(1+r)^{-n}\big)\)	期末支付
永续年金	\(C/r\)	\(r>0\)
增长型永续年金	\(D_1/(r-g)\)	\(g<r\)
永续年金久期	\((1+r)/r\)	由 \(\sum kx^k=x/(1-x)^2\)
必要条件	\(\sum a_k\) 收敛 \(\Rightarrow a_k\to0\)	反之不成立（调和级数）
\(p\)-级数	\(\sum k^{-p}\) 收敛 \(\iff p>1\)	比较判别的标尺
比值判别	\(\lvert a_{k+1}/a_k\rvert\to\rho\)	\(\rho<1\) 收敛，\(\rho>1\) 发散，\(\rho=1\) 不定
收敛半径	\(R=1/\lim\lvert c_{k+1}/c_k\rvert\)	区间内可逐项求导、积分
指数级数	\(e^x=\sum x^k/k!\)	所有 \(x\)
对数级数	\(\ln(1+x)=\sum(-1)^{k+1}x^k/k\)	\(-1<x\le1\)
对数收益	\(\ln(1+R)\approx R-R^2/2\)	\(\lvert R\rvert\) 小
波动率拖累	\(g\approx\mu-\sigma^2/2\)	二阶近似
复利极限	\((1+r/n)^n\to e^r\)	误差 \(\approx e^rr^2/(2n)\)
利率换算	\(r_c=n\ln(1+r_n/n)\)

第 04 章 级数与收敛