第 16 章 员工股票期权

**员工股票期权（employee stock options, ESO）**是公司授予员工的、以本公司股票为标的的看涨期权。股价涨过执行价时，员工行权并按市价卖出股票获利。许多公司（尤其科技公司）把它视为吸引和留住人才的主要手段：微软是早期使用者，估计逾 1 万名员工因此成为百万富翁（但 2003 年微软宣布停用期权、改授股票）；初创企业现金不够支付市场薪酬，便用期权补足，一旦 IPO 成功，期权价值巨大，连暑期实习生都可能拿到数十万美元。

对量化交易者来说，ESO 本身不是交易对象，本章因此写得比较紧凑。但其中有三样东西值得认真学：一是带行为假设的二叉树——员工"不理性地"提前行权、离职导致作废，这种建模思路同样用于可转债、按揭提前还款等含行为期权的产品；二是估值方法之间的差异，它直接影响上市公司报告的股权激励费用和每股价值；三是用来揭露"倒签丑闻"的事件研究方法，它是量化研究中检验事件效应的标准工具。

学习目标

1. 说出 ESO 与普通交易所看涨期权的五点合约差别，解释为什么不可转让会导致提前行权。
2. 评价期权激励对股东-管理层利益一致的作用及其副作用，知道 RSU、MSU、指数挂钩执行价等替代方案。
3. 了解 ESO 的会计处理演变（内在价值 → 公允价值费用化）。
4. 会用"预期期限 + BSM"、带归属/离职/行权概率的二叉树、行权倍数法为 ESO 估值，并能比较结果。
5. 理解倒签的机制和识别方法，会做一个简单的异常收益事件研究。

读前导读

这一章在解决什么问题

作为 CPA，你对股份支付的会计处理不陌生：授予日按公允价值计量、在等待期内分摊为费用。这一章回答的是会计准则留给估值师的那个问题——"公允价值"到底怎么算。困难在于 ESO 不是普通期权：员工不能卖、离职会作废、经常提前行权。BSM 假设持有人理性且可以自由交易，这两点在 ESO 上都不成立，所以要么用"预期期限"这种经验性修补，要么在二叉树里把员工行为显式写进去。

本章数学不难，主要是第 13 章二叉树的倒推，外加概率加权。值得重视的是两种方法论：一是"在定价树里加入行为规则"，同样的思路用于 MBS 的提前还款、可转债的赎回与转股；二是 16.5 节的事件研究，你在 CFA 里学过市场模型和 \(t\) 检验，事件研究就是把它们组合起来检验"某个日子前后股价是否异常"。

需要先想起来的数学

1. 二叉树倒推。 从到期节点的收益出发，每个节点的值 \(=e^{-r\Delta t}[pV_u+(1-p)V_d]\)，\(p=(a-d)/(u-d)\)，\(a=e^{r\Delta t}\)。美式期权在每个节点再与立即行权的价值比较取大。第 13 章已讲，本章只是把"取大"改成"按概率加权"。

2. 全概率与条件概率。 节点上"行权"有两条路：主动行权（概率 \(p_e\)），或没有主动行权但离职被迫行权（概率 \((1-p_e)p_{\text{exit}}\)），合计 \(\pi=p_e+(1-p_e)p_{\text{exit}}\)。例：\(p_e=0.3\)，\(p_{\text{exit}}=0.05\)，\(\pi=0.3+0.7\times0.05=0.335\)。

3. 强度与概率的换算。 若某事件以每年 \(\lambda\) 的"强度"发生，一个长度 \(\Delta t\) 的小区间内发生的概率是 \(1-e^{-\lambda\Delta t}\approx\lambda\Delta t\)。例：\(\lambda=0.04\)，一个月内发生概率约 \(0.04/12=0.33\%\)。这和信用分析里的违约强度是同一个概念。见 第 00 册第 04 章 级数与收敛（指数函数）。

4. 市场模型回归与 \(t\) 检验。 \(r_{it}=a_i+b_ir_{mt}+\varepsilon_{it}\) 就是 CAPM 式的单因子回归；异常收益是实际收益减去回归预测值；对若干公司的平均异常收益做 \(t\) 检验 \(t=\bar x/(s/\sqrt n)\)。

怎么读这一章

必读：16.1（为什么不可转让导致提前行权）、16.4（三种估值方法，重点是例 16.2 的二叉树）、16.5 与量化实战第二部分（事件研究）。16.2、16.3 是公司治理与会计背景，CPA 读者可快速浏览。量化实战第一部分里"概率与强度"的说明值得细读，它是在树上建模行为的常见陷阱。

16.1 合约安排

ESO 期限常长达 10–15 年，执行价通常等于授予日股价（即授予时平值）。典型条款：

1. 有等待期 / 归属期（vesting period），其间不能行权，可长达 4 年；
2. 等待期内离职（不论自愿与否），期权作废；
3. 等待期后离职，虚值期权作废，实值的已归属期权必须几乎立即行权；
4. 员工不得出售期权；
5. 行权时公司增发新股，按执行价卖给员工。

提前行权

第 4 条影响最大。员工想把已归属期权的价值变现，唯一的办法是行权再卖股，不能把期权卖给别人。所以 ESO 往往比同类交易所或场外看涨期权行权得早。第 11 章"不付息股票的美式看涨永不提前行权"的论证依赖于"卖掉期权比行权更划算"，这一条对 ESO 不成立。为了兑现或分散持仓（员工的工资、期权、可能还有退休金都押在同一家公司上）而提前行权非常常见。

那么员工提前行权后继续持有股票是否合理？把 ESO（期权 A）与条款相同但可在市场出售的普通期权（期权 B）比较。不付息时 B 不应提前行权，所以"行权 A 并持股"也不是最优的；想保留公司股份的员工，更好的做法是继续持有期权——推迟支付执行价，并保留期权的保险价值。只有当行权 B 也是最优时（例如即将派发较高股息，见第 15b 章），提前行权 A 并持股才可能理性（例外是高管想获得投票权）。

白话解释：一份期权的价值 = 内在价值 + 时间价值。提前行权只能拿到内在价值，时间价值（继续等待的保险价值和推迟付款的利息）直接丢掉；卖出期权则两者都能拿到。普通期权持有人永远可以卖，所以不会提前行权。员工不能卖，想变现就只能行权，被迫放弃时间价值。员工损失的这部分，正是 ESO 价值低于普通期权的主要原因，也是公司成本低于 BSM 估值的原因。

实务中各公司差别很大：有的公司文化是不提前行权，有的员工在等待期一结束、哪怕只是略微实值也会行权卖股。

16.2 期权能否使股东与管理层利益一致？

管理者是股东的代理人，二者利益不一致造成的损失称为代理成本（agency costs）。

• 初创公司：期权很有效。主要股东（常常就是高管）借此激励员工长时间工作；公司 IPO 成功员工大赚，失败则期权一文不值。
• 上市公司高管：最具争议。估计美国高管薪酬约一半来自 ESO，被称为"按绩效付酬（pay for performance）"。但期权收益是不对称的：公司表现差时股东亏钱，高管只是没赚到。期权变成虚值后，公司有时用新的平值期权替换，即重新定价（repricing），使两者更加脱节。不对称性还可能诱使高管承担本不会承担的风险。许多人认为**限制性股票单位（restricted stock unit, RSU）**更好：高管在归属日获得股票，盈亏与普通股东一致。

期权也带来操纵的诱惑：计划三个月后行权卖股的高管，可能调整好消息的发布时机或在季度间挪动利润；若即将获授平值期权，可能设法在授予日前压低股价。这类行为不可接受，可能违法（16.5 节的倒签丑闻表明确实发生过）。即使没有不当行为，期权也可能让高管偏重短期利润。

原书提到一个激进的建议：要求高管提前（比如一周）向市场预告买卖本公司股票的意图，预告后具有约束力，由市场自行判断其动机。

16.3 会计问题

ESO 和其他薪酬一样，是公司的成本。很多高管认为平值期权"没有内在价值、对公司没有成本"，这是错误的：期权对员工有价值，就必然是股东的成本——没有免费午餐。成本来自公司承诺在股价表现好时以低于市价的价格向员工卖股。

• 1995 年以前，计入损益表的成本是内在价值（intrinsic value），平值授予的成本为零。
• 1995 年 FAS 123 发布，原本打算要求按公允价值费用化，但经激烈游说后只是"鼓励"，不费用化者须在附注中披露。
• 2004 年 2 月国际会计准则理事会发布 IFRS 2（原书此处写作 IAS 2，实为 IFRS 2），要求 2005 年起费用化；2004 年 12 月 FAS 123 修订，美国也从 2005 年起要求费用化。

现行准则要求在授予日按公允价值估值并费用化，此后不再重估。Hull 与 White 主张在每个财年末（或每季度）重估，直到行权或到期，像公司的其他衍生品交易一样：期权增值则追加费用，贬值则冲回。这样累计费用等于期权的真实成本（未行权则为零，行权则为员工所得），且累计数不依赖定价模型；还能削弱倒签的动机。有人担心重估加大利润波动，但重估反而可能降低波动：公司表现好时（股价涨）重估减少利润，表现差时增加利润。

股票期权的替代品

2005 年新规促使公司考虑替代方案：

• RSU 被广泛采用；
• 市场杠杆股票单位（market-leveraged stock unit, MSU）：归属日获得的股数为 \(S_T/S_0\)（\(S_0\)、\(S_T\) 为授予日、归属日股价，有时取若干天均价，并设上下限）；
• 指数挂钩执行价：大盘上涨时，即使本公司跑输市场，期权也会获利。改进办法是让执行价随标普 500（或行业指数）变化。例：授予日股价 30、标普 500 为 1,500，初始执行价 30；指数涨 10% 到 1,650，执行价升至 33；指数跌 15% 到 1,275，执行价降至 25.50。股价必须跑赢指数才实值。

16.4 估值

会计准则给了公司相当大的估值方法选择空间。

"快速粗略"法：预期期限 + BSM

**预期期限（expected life）**是员工持有期权直到行权或到期的平均时间，可用历史行权数据估计，它综合反映了等待期、离职和提前行权倾向。做法是在 BSM 中令 \(T\) 等于预期期限，波动率用数年历史数据估计。

金融直觉：为什么理论上没依据？期权价值对期限是非线性的（凹的）。一个员工可能 2 年就行权，另一个持有 8 年，平均 5 年；但"2 年期权和 8 年期权价值的平均"不等于"5 年期权的价值"。这和债券组合的平均久期不能代替逐笔现金流贴现是一个道理——函数的平均不等于平均处的函数（Jensen 不等式）。此外，员工何时行权还和股价路径相关（股价涨得多就早行权），用一个固定期限把这种相关性也一并抹掉了。

这在理论上没有依据——没有理由认为期限取预期期限的欧式期权价值接近美式 ESO 的价值——但结果并非不合理，公司报告 ESO 费用时常披露所用的波动率与预期期限。

例 16.1 2014 年 11 月 1 日授予高管 100 万份期权，股价与执行价均为 30，期限 10 年，3 年后归属。过去 10 年类似平值期权的平均行权/到期时间为 4.5 年，故预期期限取 4.5 年；用 5 年历史数据估计的长期波动率 25%；未来 4.5 年股息现值 4；4.5 年零息利率 5%。 股息调整后的 BSM：\(S_0=30-4=26\)，\(K=30\)，\(r=5\%\)，\(\sigma=25\%\)，\(T=4.5\)，每份 6.31 美元，损益表费用 631 万美元。

二叉树方法

构造第 13 章的二叉树，倒推时修改规则以反映：(a) 期权是否已归属；(b) 员工离职的概率；(c) 员工主动行权的概率。归属状态由条款决定；离职概率可由历史离职率估计；主动行权概率最难量化——它随股价/执行价之比上升、随剩余期限缩短而上升，数据充足时可估计为这两个变量的函数。

例 16.2 期限 8 年，3 年后归属，股价与执行价均为 40，\(\sigma=30\%\)，\(r=5\%\)，无股息。用四步树示意（\(\Delta t=2\)）： \(a=e^{0.05\times2}=1.1052\)，\(u=e^{0.3\sqrt2}=1.5285\)，\(d=1/u=0.6543\)，\(p=(a-d)/(u-d)=0.5158\)。

节点命名：第 4 年为 D（股价 93.45）、E（40）、F（17.12）；第 6 年为 G（142.83）、H（61.14）、I、J。可能提前行权的节点是 D、G、H（第 2 年的 B 未归属，其余到期前节点虚值或平值）。假设在 D、G、H 主动行权的概率（以此前未行权为条件）分别为 40%、80%、30%；每个时间步离职概率 5%（约对应年离职率 2.5%），离职发生在步末；未归属或非实值时离职则期权作废，否则必须立即行权。

• 到期节点取内在价值。第 6 年：I、J 只能通向零值，期权值 0。
• H（股价 61.14）：总行权概率 \(0.3+0.7\times0.05=0.335\)；行权价值 \(21.14\)；继续持有价值 \(e^{-0.1}(0.5158\times53.45+0.4842\times0)=24.95\)；H 值 \(0.335\times21.14+0.665\times24.95=23.67\)。
• G（股价 142.83）：总行权概率 \(0.8+0.2\times0.05=0.81\)，值 \(0.81\times102.83+0.19\times106.64=103.56\)。
• 第 4 年：F 为 0；E（平值）：5% 离职作废，保留价值 \(e^{-0.1}\times0.5158\times23.67=11.05\)，值 \(0.95\times11.05=10.49\)；D：总行权概率 \(0.4+0.6\times0.05=0.43\)，值 56.44。
• 第 2 年和初始节点未归属：5% 作废、95% 保留。

初始价值 14.97；同一棵树上的普通期权价值 17.98。员工行为使期权价值降低了约 17%。

推导拆解：以 H 节点为例，把每个数字的来源写清楚。

1. 股价 \(61.14=40u^2d=40u\)（第 6 年，三步中两上一下）。执行价 40，行权价值 \(21.14\)。
2. 继续持有：下一步到期，上行节点股价 \(40u^3d=40u^2=93.45\)，收益 \(53.45\)；下行节点 \(40u^2d^2=40\)，平值，收益 0。按风险中性概率加权再贴现 \(e^{-0.05\times2}\)，得 24.95。
3. 节点上实际发生的事：30% 主动行权；剩下 70% 中有 5% 离职，因已归属且实值，被迫行权。合计行权概率 0.335，得 21.14；其余 0.665 继续持有，得 24.95。
4. 加权：\(0.335\times21.14+0.665\times24.95=23.67\)。 注意 H 的继续持有价值（24.95）高于行权价值（21.14），理性持有人不会在此行权；员工行权纯属行为因素，每次这样的"非最优"行权都会把期权价值往下拉。E 节点虚值，不会行权，离职则作废，所以只乘 0.95。

金融直觉：对公司而言，这里的期权价值就是股权激励成本。普通期权 17.98、ESO 14.97，差的 3 元来自员工提前行权和离职作废。这和 MBS 定价完全同构：借款人提前还款不一定"理性"（搬家、离婚也会还），定价模型用提前还款率（CPR）描述行为，再在利率树上倒推。行为参数估错，价格就错，所以两者都需要大量历史数据来校准。

行权倍数法

Hull–White 模型假设：员工在期权归属后、一旦股价/执行价之比超过某个水平就行权，这个比值称为行权倍数（exercise multiple）。用二叉树或三叉树估值时，重要的是让树的节点恰好落在触发行权的股价上（第 27b 章 27.6 节），例如执行价 30、倍数 1.5，树就应在 45 处有节点。离职概率照常加入。

行权倍数用历史数据估计：计算历次行权时股价/执行价之比的平均值（不含到期行权和因离职被迫的行权）。它可能比预期期限更容易从历史数据估计，因为预期期限高度依赖股价走过的具体路径。

市场化方法

看市场愿意付多少。思科 2006 年首先尝试向机构投资者出售与其 ESO 条款相同的期权，SEC 以竞买者范围不够广为由否决。Zions Bancorp 的方案是出售一种复制员工实际所得的证券：比如执行价 40，1% 的员工恰在第 5 年股价 60 时行权、2% 在第 6 年股价 65 时行权……则投资者所持证券的 1% 在 5 年后付 20、2% 在 6 年后付 25，依此类推。证券用**荷兰式拍卖（Dutch auction）**出售：投标者提交价格与数量，清算价为使"出价不低于该价的总需求 ≥ 供给"的最高价格；出价高于清算价者按清算价全额成交，等于清算价者分配剩余部分。该方案 2007 年 10 月获 SEC 批准，但没有被广泛采用。

稀释

如第 15b 章所述，稀释在市场得知授予消息时就已体现在股价中。只要用公告后的股价估值，就不必再为稀释调整。若市场预期公司会定期授予期权，股价甚至在公告前就已反映。若授予会出乎市场意料，其成本可按例 15.7 的方法计算，再与降低常规薪酬、减少离职等收益相比较。

16.5 倒签丑闻

**倒签（backdating）**就是在文件上标注一个早于实际的日期。例：公司 4 月 30 日（股价 50）决定授予平值期权，而 4 月 3 日股价是 42，于是假装 4 月 3 日授予、执行价 42。如果公司如实报告"这些期权在 4 月 30 日决策日已实值 8 美元"，是合法的；若报告为"4 月 3 日授予的平值期权"，就是违法的——执行价 42 的期权在 4 月 3 日的价值远低于在 4 月 30 日的价值，股东被误导而低估了成本。

证据。 Yermack (1997) 发现报告的授予日之后股价倾向上涨；Lie (2005) 发现授予日之前股价倾向下跌，而且这一模式随时间越来越明显。原书图 16.2 展示了 1993–94、1995–98、1999–2002 三个时期授予日前后 ±30 天的平均异常收益（abnormal returns）——剔除市场组合收益和 beta 影响后的收益——呈先跌后涨的 V 形，统计上几乎不可能是偶然。2002 年 8 月 SEC 要求上市公司在两个工作日内报告期权授予。Heron & Lie (2007) 表明此后授予日附近的异常收益大幅减少（尤其对合规报告的公司），这有力地排除了"公司只是在坏消息之后、好消息之前选择授予日"的解释。

规模与后果。 美国可能有数十到数百家公司非法倒签，许多公司认为倒签一个月以内可以接受，部分 CEO 辞职。2007 年 8 月 Brocade 的 Gregory Reyes 成为首位因倒签受审的 CEO（据称说过"不被抓到就不违法"），2010 年 6 月被判 18 个月监禁、罚款 1,500 万美元。涉事公司须重述财报并面临集体诉讼，如 McAfee 2007 年 12 月宣布重述 1995–2005 年盈利 1.374 亿美元，并在 2006 年预留 1,380 万美元应对诉讼。

量化实战：ESO 二叉树与授予日事件研究

一、带员工行为的二叉树

下面的 eso_tree 实现例 16.2 的规则，并在更细的树上做两种推广：行为模型（行权强度随实值程度上升、随剩余期限缩短上升）和行权倍数法。实现中有一个容易出错的细节：原书习题 16.16 给的"每个节点的行权概率"在四步树上没问题，但若直接搬到几百步的树上，每步都按同样的概率行权，累计行权概率会随步数暴涨，结果不收敛。正确做法是把它理解为强度（每年），每步概率取 \(1-e^{-\lambda\Delta t}\)。

import numpy as np

def eso_tree(S0, K, T, r, sigma, n_steps, vest, exit_prob, exer_prob, exit_at_root=True):
    """员工期权二叉树（Hull 例 16.2 的规则）。
    exit_prob: 每个时间步员工离职概率（离职发生在步末）
    exer_prob(i, j, S, t): 节点处（以此前未行权为条件）员工主动行权的概率
    规则：未归属 -> 离职则作废；已归属且实值 -> 主动行权或离职被迫行权；
          已归属但非实值 -> 离职则作废。"""
    dt = T / n_steps
    u = np.exp(sigma * np.sqrt(dt)); d = 1 / u
    a = np.exp(r * dt); p = (a - d) / (u - d); disc = np.exp(-r * dt)
    S = S0 * u ** np.arange(n_steps, -1, -1) * d ** np.arange(0, n_steps + 1)
    V = np.maximum(S - K, 0.0)                                # 到期节点
    for i in range(n_steps - 1, -1, -1):
        t = i * dt
        S = S0 * u ** np.arange(i, -1, -1) * d ** np.arange(0, i + 1)
        cont = disc * (p * V[:-1] + (1 - p) * V[1:])
        newV = np.empty_like(cont)
        for j in range(i + 1):
            ex = exit_prob if (i > 0 or exit_at_root) else 0.0
            if t >= vest and S[j] > K:
                pe = exer_prob(i, j, S[j], t)
                tot = pe + (1 - pe) * ex                      # 主动行权 + 离职被迫行权
                newV[j] = tot * (S[j] - K) + (1 - tot) * cont[j]
            else:
                newV[j] = (1 - ex) * cont[j]                  # 离职则作废
        V = newV
    return V[0], u, d, p

# ---- 例 16.2：8 年期、3 年归属、四步树 ----
probs = {(2, 0): 0.40, (3, 0): 0.80, (3, 1): 0.30}             # 节点 D、G、H
val, u, d, p = eso_tree(40, 40, 8, 0.05, 0.30, 4, vest=3, exit_prob=0.05,
                        exer_prob=lambda i, j, S, t: probs.get((i, j), 0.0))
print(f"u={u:.4f} d={d:.4f} p={p:.4f}  ESO 价值={val:.2f}")
plain, *_ = eso_tree(40, 40, 8, 0.05, 0.30, 4, vest=0, exit_prob=0.0,
                     exer_prob=lambda *a: 0.0)
print(f"同一棵树上的普通欧式/美式(无股息)看涨={plain:.2f}")

# ---- 更细的树 + 行为模型：行权"强度" lambda = a(S/K-1)/剩余期限（每年），
#      每步行权概率 = 1-exp(-lambda*dt)，这样结果不随步数漂移 ----
K = 40
for n in (100, 400, 1600):
    dt = 8 / n
    behav = lambda i, j, S, t, dt=dt: 1 - np.exp(-2.0 * (S / K - 1) / max(8 - t, dt) * dt)
    v, *_ = eso_tree(40, 40, 8, 0.05, 0.30, n, vest=3,
                     exit_prob=1 - 0.96 ** dt, exer_prob=behav)
    print(f"n={n:4d}  行为模型 ESO 价值={v:.3f}")

# ---- 行权倍数法：股价/执行价 >= M 时（已归属）立即行权 ----
for M in (1.5, 2.0, 3.0):   # 400 步；严格做法应让树的节点落在触发价上
    v, *_ = eso_tree(40, 40, 8, 0.05, 0.30, 400, vest=3,
                     exit_prob=1 - 0.96 ** (8 / 400),
                     exer_prob=lambda i, j, S, t, M=M: 1.0 if S >= M * 40 else 0.0)
    print(f"行权倍数 {M}: ESO 价值={v:.3f}")

# ---- "快速粗略"法：例 16.1 ----
from scipy.stats import norm
def bs_call(S, K, T, r, s):
    d1 = (np.log(S/K) + (r + s*s/2)*T) / (s*np.sqrt(T)); d2 = d1 - s*np.sqrt(T)
    return S*norm.cdf(d1) - K*np.exp(-r*T)*norm.cdf(d2)
c = bs_call(30 - 4, 30, 4.5, 0.05, 0.25)
print(f"例16.1 每份 {c:.2f}，100 万份费用 {c*1e6/1e6:.2f} 百万美元")

关键输出：

u=1.5285 d=0.6543 p=0.5158  ESO 价值=14.97
同一棵树上的普通欧式/美式(无股息)看涨=17.98
n= 100  行为模型 ESO 价值=14.007
n= 400  行为模型 ESO 价值=14.029
n=1600  行为模型 ESO 价值=14.035
行权倍数 1.5: ESO 价值=12.604
行权倍数 2.0: ESO 价值=14.128
行权倍数 3.0: ESO 价值=15.212
例16.1 每份 6.31，100 万份费用 6.31 百万美元

例 16.2 的 14.97 和 17.98 完全复现。行权倍数越低（员工越"急"），期权对员工的价值、也就是公司的成本越低；倍数从 1.5 到 3.0，成本差 20% 以上。这说明在估计股权激励费用、从而估计公司真实盈利时，行为参数和波动率一样重要。

二、授予日前后的事件研究

图 16.2 的方法——事件研究（event study）——是量化研究检验"某类事件前后是否有异常收益"的标准工具，可直接迁移到财报公告、内部人交易、指数调整、股权激励公告等信号研究。步骤是：用事件前的估计窗口拟合市场模型 \(r_{it}=a_i+b_ir_{mt}+\varepsilon_{it}\)；在事件窗口内计算异常收益 \(AR_{it}=r_{it}-(\hat a_i+\hat b_ir_{mt})\)；按事件时间对齐、跨公司平均并累加得 CAR；做 \(t\) 检验。

白话解释：事件研究的逻辑是"先建立正常水平，再看事件附近偏离多少"。估计窗口（事件前 250 到 31 天）里，用市场模型学出这只股票平时和大盘的关系（截距 \(\hat a\)、beta \(\hat b\)）；事件窗口里，用当天大盘收益算出"正常应该涨多少"，实际收益减去它就是异常收益 AR。单家公司的 AR 噪声很大，把上千家公司按"距授予日第几天"对齐后平均，噪声相互抵消，系统性的模式才显现出来。CAR 是把每天的平均 AR 累加，表示从窗口起点到某一天的累计超额收益。估计窗口和事件窗口不重叠，是为了避免事件本身污染"正常水平"的估计。

下面模拟 1,000 家公司，其中 30% 把授予日挑在局部低点（授予日前 10 天每天 −0.3%、后 10 天每天 +0.3%），看事件研究能否识别出来。

import numpy as np
import pandas as pd
import statsmodels.api as sm

rng = np.random.default_rng(16)
n_firms, n_days = 1000, 500
mkt = rng.normal(0.0004, 0.01, n_days)                       # 市场日收益
beta = rng.uniform(0.6, 1.6, n_firms)
ret = 0.0002 + beta[:, None] * mkt + rng.normal(0, 0.02, (n_firms, n_days))

# 每家公司一个授予日；"倒签"公司把授予日挑在局部低点 -> 授予日前跌、后涨
grant = rng.integers(300, 460, n_firms)
backdater = rng.random(n_firms) < 0.3
for i in np.where(backdater)[0]:
    g = grant[i]
    ret[i, g-10:g] -= 0.003                                   # 授予日前 10 天每天 -0.3%
    ret[i, g+1:g+11] += 0.003                                 # 授予日后 10 天每天 +0.3%

# 事件研究：估计窗 [-250,-31] 用市场模型 r_i = a + b r_m，事件窗 [-30,+30]
win = np.arange(-30, 31)
ar = np.zeros((n_firms, win.size))
for i in range(n_firms):
    g = grant[i]
    est = slice(g - 250, g - 30)
    X = sm.add_constant(mkt[est]); fit = sm.OLS(ret[i, est], X).fit()
    a, b = fit.params
    ar[i] = ret[i, g + win] - (a + b * mkt[g + win])          # 异常收益

def summary(mask, name):
    car = ar[mask].mean(axis=0).cumsum()
    pre = ar[mask][:, (win >= -10) & (win < 0)].sum(axis=1); post = ar[mask][:, (win > 0) & (win <= 10)].sum(axis=1)
    t_pre = pre.mean() / (pre.std(ddof=1) / np.sqrt(mask.sum()))
    t_post = post.mean() / (post.std(ddof=1) / np.sqrt(mask.sum()))
    print(f"{name}: CAR[-10,-1]={pre.mean():+.4f} (t={t_pre:+.2f})  CAR[+1,+10]={post.mean():+.4f} (t={t_post:+.2f})")
    return car

car_all = summary(np.ones(n_firms, bool), "全部公司")
summary(~backdater, "合规公司")
print(pd.Series(car_all, index=win).iloc[::10].round(4).to_string())

关键输出：

全部公司: CAR[-10,-1]=-0.0099 (t=-4.63)  CAR[+1,+10]=+0.0107 (t=+5.19)
合规公司: CAR[-10,-1]=-0.0003 (t=-0.11)  CAR[+1,+10]=+0.0033 (t=+1.36)
-30   -0.0002
-20   -0.0024
-10   -0.0051
 0    -0.0141
 10   -0.0034
 20   -0.0001
 30    0.0014

全样本 CAR 呈现与图 16.2 相同的 V 形，前后两段都高度显著；只看合规公司则不显著——这正是 Heron & Lie (2007) 用来排除"择时授予"解释的思路：把样本按报告及时与否分组，比较 V 形是否只出现在可能倒签的组里。实际研究中还要注意事件日聚集（多家公司同一天授予，横截面不独立）、估计窗口与事件窗口不重叠、以及用更稳健的检验统计量。

本章小结

ESO 是公司授予员工的长期看涨期权，有归属期、离职作废或强制行权、不可转让、行权时增发新股等特点；不可转让使员工倾向于提前行权，所以 ESO 价值低于条款相同的普通期权。期权激励收益不对称，可能诱发短视、操纵信息发布时机和过度冒险；RSU、MSU 和指数挂钩执行价是替代方案。2005 年起 ESO 须按授予日公允价值费用化。估值方法有预期期限 + BSM（常用但无理论依据）、加入归属/离职/行权概率的二叉树、行权倍数法和市场化拍卖。稀释在公告时已反映在股价中。倒签可以通过授予日前后异常收益的事件研究识别，2002 年两日报告规则后显著减少。

练习

基础

1. 2005 年以前，为什么公司偏好授予平值期权？2005 年发生了什么变化？ 提示：当时按内在价值计费用，平值期权费用为零而对员工很有价值；2005 年起须按公允价值费用化（原书习题 16.1）。
2. 列出 ESO 与普通交易所美式看涨期权的主要区别。 提示：见 16.1 节五条（原书习题 16.2）。
3. 为什么 ESO 常被提前行权，而普通不付息股票的美式看涨不会？ 提示：不可转让（原书习题 16.3）。
4. 某公司宣布员工将行权 100 万份期权，这一消息公布当天股价会怎样变化？ 提示：行权早已被预期并反映在股价中，没有影响（原书习题 16.9）。
5. 用"预期期限 + BSM"为一份期权估值：股价 = 执行价 = 50，预期期限 5 年，\(\sigma=30\%\)，\(r=4\%\)，无股息。 提示：BSM 约 16.98。

进阶

6. 解释为什么季度重估 ESO 会削弱倒签的动机。 提示：重估后累计费用等于期权最终的真实成本，与授予日的执行价无关地"追上"实际收益，倒签降低授予日费用的好处被后续重估抵消（原书习题 16.7）。
7. 设计一项事件研究，检验某国上市公司在股权激励授予日前后是否存在倒签。说明数据、估计窗、事件窗、检验统计量和对照组。 提示：参考量化实战；对照组可用报告及时的公司或监管新规后的样本（原书习题 16.8）。
8. 在例 16.2 中，求员工持有期权的风险中性预期期限，并用它作为 \(T\) 代入 BSM，与 14.97 比较。 提示：在树上用同样的概率倒推"期权终止时间"的风险中性期望（原书习题 16.14）。若把行权和离职都记在节点时刻，预期期限约 6.4 年，代入 BSM 得约 16.56，高于树值 14.97——预期期限法并不能复现行为树的结果。
9. 用四步树重做例 16.2，但主动行权概率改为 \(1-\exp[-a(S/K-1)/\tau]\)，\(a=2\)，\(\tau\) 为剩余期限，年离职率 4%。 提示：原书习题 16.16；可直接用 eso_tree，把 exer_prob 换成该函数、exit_prob 取 \(1-0.96^2\)。
10. 荷兰式拍卖：供给 1 万份。投标 A 3,000 份@30、B 2,500 份@33、C 5,000 份@29、D 4,000 份@28、E 2,000 份@32。清算价是多少？各投标者成交多少？ 提示：按价从高到低累计：B 2,500、E 4,500、A 7,500、C 12,500 ≥ 10,000，清算价 29；B、E、A 全额成交，C 获得 2,500 份（原书习题 16.11 的同类题）。

原书推荐习题：16.3（不可转让导致提前行权）；16.8（事件研究设计）；16.11（荷兰式拍卖）；16.14、16.16（二叉树中的行为性行权与离职，与预期期限 BSM 比较）；16.9（稀释已被预期）。

原书对照