第 15b 章 BSM 模型（下）：定价公式、隐含波动率与股息

上一章我们得到了 BSM 偏微分方程和风险中性定价原理。本章把它们变成一个可以直接计算的公式，并回答实务中马上会碰到的三个问题：公式里唯一观测不到的参数——波动率——从哪里来？股票分红怎么办？公司自己发行的认股权证与普通期权有什么不同？

本章的公式和代码是全册后续内容（希腊字母、波动率微笑、数值方法）的基础，建议读者亲手把 BSM 定价与隐含波动率求解写一遍。

学习目标

1. 写出并会用 BSM 欧式看涨、看跌公式，能用风险中性定价完整证明看涨公式。
2. 解释 \(N(d_1)\) 与 \(N(d_2)\) 的含义，并用极限情形检查公式是否合理。
3. 理解隐含波动率的定义与用途，会用二分法和 Newton–Raphson 法稳健地反解，知道什么情况下无解。
4. 处理已知离散股息的欧式期权，判断含股息的美式看涨何时可能提前行权，会用 Black 近似。
5. 计算新发行认股权证的价值与稀释成本，说明为何已公告的权证不必再做稀释调整。

读前导读

这一章在解决什么问题

CFA 一级、二级你已经背过 BSM 公式，也知道"\(N(d_2)\) 和行权概率有关、\(N(d_1)\) 是 delta"。这一章回答的是为什么：公式是怎么从上一章的风险中性定价"期望收益按 \(r\) 贴现"一步步算出来的，\(d_1\) 和 \(d_2\) 为什么只差一个 \(\sigma\sqrt T\)，\(N(d_1)\) 为什么不是概率而 \(N(d_2)\) 是。

整条推导的骨架很简单：看涨期权到期收益是 \(\max(S_T-K,0)\)，把它拆成两块——"行权时拿到一股股票"减去"行权时付出 \(K\) 元现金"。第二块的期望就是 \(K\times\) 行权概率，第一块是"股票价值 \(\times\) 只在行权时才计入"的期望。两块分别算出来、再贴现，就是 BSM 公式。数学上用到的只是正态分布的积分和一个配方技巧。

后半章是实务：隐含波动率（期权市场真正的"报价单位"，类似债券用收益率而不是价格报价）、离散股息、含股息美式看涨的提前行权、认股权证的稀释。

需要先想起来的数学

1. 累积正态分布 \(N(x)\) 与密度 \(N'(x)\)。 \(N(x)=P(Z\le x)\)，\(Z\) 为标准正态；\(N'(x)=\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}\) 是钟形曲线的高度。对称性：\(N(-x)=1-N(x)\)。例：\(N(0)=0.5\)，\(N(1.96)=0.975\)，\(N'(0)=0.399\)。见 第 00 册第 07 章 概率中的分析工具。

2. 期望是积分、截断期望。 连续变量的期望 \(E[g(V)]=\int g(v)f(v)\,dv\)。期权只在 \(V>K\) 时有收益，所以积分下限是 \(K\)，这叫"截断"。例：\(Z\) 标准正态，\(E[Z\mathbf 1_{Z>0}]=\int_0^\infty z N'(z)dz=N'(0)=0.399\)。\(\mathbf 1_{A}\) 是示性函数：事件 \(A\) 发生取 1，否则取 0。见 第 00 册第 03 章 积分。

3. 积分换元。 把对 \(V\) 的积分换成对标准化变量 \(Q=(\ln V-m)/w\) 的积分，积分上下限要跟着换。就像把债券的现金流从按日期排列换成按"距今年数"排列，内容不变，只是坐标变了。见 第 00 册第 03 章 积分。

4. 配方。 \(-\tfrac12Q^2+wQ=-\tfrac12(Q-w)^2+\tfrac12w^2\)。这一步把"指数函数乘正态密度"变成"平移后的正态密度乘常数"，是 BSM 证明的核心技巧。可以展开右边自己验算一次。

5. 牛顿法。 解 \(g(x)=0\)：从猜测 \(x_0\) 出发，\(x_{1}=x_0-g(x_0)/g'(x_0)\)，即沿切线走到零点。你在 CFA 里用计算器求 IRR/YTM 时，计算器内部做的就是这件事。见 第 00 册第 02 章 导数与泰勒展开。

怎么读这一章

核心必读：15.8 节（公式、证明、\(N(d_1)\) 与 \(N(d_2)\) 的含义、极限检查）和 15.11 节（隐含波动率）。15.8 的引理证明建议对照讲解框逐行推一遍，这是全册最值得亲手推导的一段。15.12 节股息中"美式看涨提前行权"的条件推导可以先看结论；15.10 节权证是 CFA 熟悉的稀释概念，快速阅读即可。"验证 PDE"一段第一次可以跳过，第 19a 章算希腊字母时再回来读。

15.8 BSM 定价公式

公式

第 11–13 章已经提前借用这组公式生成"理论价"、作为二叉树收敛的参照，这里给出它的正式推导与含义。不付息股票的欧式看涨与看跌期权价格为

\(N(x)\) 是标准正态分布的累积分布函数（cumulative distribution function），即标准正态变量小于 \(x\) 的概率。\(S_0\) 为当前股价，\(K\) 为执行价，\(r\) 为连续复利无风险利率，\(\sigma\) 为波动率，\(T\) 为期限。

一般时刻 \(t\) 的形式只需把 \(S_0\) 换成 \(S\)、\(T\) 换成剩余期限 \(T-t\)：

得到这个公式有两条路：一是在边界条件 \(c(S,T)=\max(S-K,0)\) 下求解 PDE (15.16)；二是风险中性定价

下面走第二条路，它只需要一个关于对数正态变量的引理。

白话解释：先看整体结构再看证明。\(\max(S_T-K,0)=S_T\mathbf 1_{S_T>K}-K\mathbf 1_{S_T>K}\)（\(\mathbf 1_{S_T>K}\) 是"行权则为 1，否则为 0"）。所以看涨期权 = 一个"到期若 \(S_T>K\) 就给你一股股票"的合约，减去一个"到期若 \(S_T>K\) 就给你 \(K\) 元现金"的合约。 第二个合约好算：期望是 \(K\times\hat P(S_T>K)\)，贴现后是 \(Ke^{-rT}N(d_2)\)。 第一个合约难一点：股票只在涨得高时才计入，所以期望不是"股价期望 × 概率"，而要算条件期望。下面的引理就是在处理这一块，结果是 \(S_0N(d_1)\)。 两块相减就是 BSM 公式。\(S_0N(d_1)\) 和 \(Ke^{-rT}N(d_2)\) 分别是这两个"二元期权"（资产或无、现金或无）今天的价值。

证明：一个关于对数正态的引理

引理。 若 \(V\) 服从对数正态分布，\(\ln V\) 的标准差为 \(w\)，则

证明。 设 \(g(V)\) 为 \(V\) 的密度，则

记 \(\ln V\) 的均值为 \(m\)。由对数正态的期望公式 \(E(V)=e^{m+w^2/2}\)，

作标准化 \(Q=(\ln V-m)/w\)，\(Q\) 为标准正态，密度 \(h(Q)=\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-Q^2/2}\)。\(V=e^{Qw+m}\)，\(V>K\) 等价于 \(Q>(\ln K-m)/w\)，于是

推导拆解：从 (15A.2) 到 (15A.5) 做了三件事。 第一，换元：\(V=e^{Qw+m}\)，所以对 \(V\) 的积分换成对 \(Q\) 的积分，\(g(V)dV\) 换成 \(h(Q)dQ\)（两者都表示"落在这一小段的概率"，换元前后概率不变）。 第二，换积分下限：\(V>K\iff\ln V>\ln K\iff Q>(\ln K-m)/w\)。 第三，把 \((V-K)\) 拆开：\(\int(V-K)h\,dQ=\int Vh\,dQ-K\int h\,dQ\)，其中 \(V=e^{Qw+m}\)。 第二个积分 \(\int_{a}^\infty h(Q)dQ\) 就是 \(P(Q>a)=1-N(a)=N(-a)\)，所以它等于 \(N[(m-\ln K)/w]\)，这就是行权概率。

第一个被积函数可以配方：

所以

第一个积分等于 \(1-N[(\ln K-m)/w-w]=N[(m-\ln K)/w+w]\)，代入 (15A.3)：

第二个积分等于 \(N[(m-\ln K)/w]=N(d_2)\)。又 \(e^{m+w^2/2}=E(V)\)，引理得证。\(\square\)

推导拆解：配方这一步逐项展开如下。 \(e^{Qw+m}h(Q)=\frac1{\sqrt{2\pi}}\exp\!\big(Qw+m-\tfrac12Q^2\big)\)。 指数里 \(-\tfrac12Q^2+wQ=-\tfrac12(Q^2-2wQ+w^2)+\tfrac12w^2=-\tfrac12(Q-w)^2+\tfrac12w^2\)（加一个 \(w^2\) 再减一个 \(w^2\)）。 所以整体 \(=e^{m+w^2/2}\cdot\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-(Q-w)^2/2}=E(V)\cdot h(Q-w)\)。 \(h(Q-w)\) 是均值为 \(w\) 的正态密度，即整条钟形曲线向右平移了 \(w\)。对它从 \(a=(\ln K-m)/w\) 积到 \(\infty\)，等价于标准正态从 \(a-w\) 积到 \(\infty\)，结果是 \(N(w-a)\)。 再把 \(m=\ln E(V)-w^2/2\) 代进去，就得到 \(d_1\) 的表达式。\(d_1\) 和 \(d_2\) 正好差 \(w=\sigma\sqrt T\)，来源就是这次平移。

白话解释：这次平移有明确含义。"股票乘以行权示性函数"的期望里，股价高的情形权重更大（股价越高，那一股越值钱）。数学上，乘以 \(e^{Qw}\) 就是把概率重心往高股价方向推，推的距离恰好是一个 \(\sigma\sqrt T\)。所以 \(N(d_1)>N(d_2)\)：在"以股票价值加权"的眼光看，行权的可能性比按普通概率看更大。第 28 章会把这个加权正式称为"以股票为计价单位的测度"。

应用到 BSM。 风险中性世界中 \(S_T\) 是对数正态的，\(\hat E(S_T)=S_0e^{rT}\)，\(\ln S_T\) 的标准差 \(w=\sigma\sqrt T\)。代入引理：

看跌公式 (15.21) 可类似证明，或直接由看涨-看跌平价 \(c+Ke^{-rT}=p+S_0\) 加上 \(N(x)+N(-x)=1\) 得到。

这个引理很值得记住：后面第 17 章的 Merton 公式、第 18 章的 Black 模型，都只是把 \(E(V)\) 换成别的东西——分别是 \(S_0e^{(r-q)T}\) 和 \(F_0\)。

理解 \(N(d_1)\) 与 \(N(d_2)\)

把公式拆开看：

• \(N(d_2)\) 是风险中性世界中看涨期权被行权的概率 \(\hat P(S_T>K)\)。
• \(S_0N(d_1)e^{rT}\) 是风险中性世界中"\(S_T\) 若低于 \(K\) 记为 0"之后的期望，即 \(\hat E[S_T\mathbf 1_{S_T>K}]\)。

所以风险中性期望收益是 \(\hat E[S_T\mathbf 1_{S_T>K}]-K\hat P(S_T>K)=S_0N(d_1)e^{rT}-KN(d_2)\)，贴现即得 (15.20)。也可以写成

各因子依次为：贴现因子、行权概率、行权条件下股价的期望值、行权时支付的执行价。

金融直觉：用例 15.6 的数字体会一下（\(S_0=42\)，\(K=40\)，\(N(d_1)=0.7791\)，\(N(d_2)=0.7349\)，\(Ke^{-rT}=38.049\)，\(e^{rT}=1.0513\)）。 风险中性行权概率 73.5%。若行权，你付 40 元，这部分现值 \(38.049\times0.7349=27.96\)。 若行权，你拿到股票；行权条件下股价的风险中性期望是 \(\frac{S_0e^{rT}N(d_1)}{N(d_2)}=\frac{42\times1.0513\times0.7791}{0.7349}=46.81\)，高于执行价，这部分现值 \(42\times0.7791=32.72\)。 期权价值 \(32.72-27.96=4.76\)。 再看 delta：股价涨 1 元，期权大约涨 \(N(d_1)=0.78\) 元。这和债券的久期一样，是价格对标的的一阶敏感度。所以 \(N(d_1)\) 同时有两个身份：公式里"资产或无"那一块的权重，以及对冲时每份期权需要的股数。

两点提醒：（1）\(N(d_2)\) 是风险中性概率，真实世界的行权概率要把 \(d_2\) 中的 \(r\) 换成 \(\mu\)（原书习题 15.8）；（2）\(N(d_1)\) 不是任何"行权概率"，它的主要身份是看涨期权的 delta（第 19a 章），也是以股票为计价单位时的行权概率（第 28 章测度变换）。

极限检查

好的公式应当在极端情况下给出显然的答案。

\(S_0\) 很大。 看涨几乎必被行权，相当于交割价为 \(K\) 的远期，价值应为 \(S_0-Ke^{-rT}\)。此时 \(d_1,d_2\to+\infty\)，\(N(d_1),N(d_2)\to1\)，公式给出 \(S_0-Ke^{-rT}\)；看跌价格 \(\to0\)。✓

\(\sigma\to0\)。 股票几乎无风险，\(S_T=S_0e^{rT}\)，看涨收益为 \(\max(S_0e^{rT}-K,0)\)，现值 \(\max(S_0-Ke^{-rT},0)\)。若 \(S_0>Ke^{-rT}\)，则 \(\ln(S_0/K)+rT>0\)，\(d_1,d_2\to+\infty\)，\(c=S_0-Ke^{-rT}\)；若 \(S_0<Ke^{-rT}\)，则 \(d_1,d_2\to-\infty\)，\(c=0\)。✓ 看跌同理趋于 \(\max(Ke^{-rT}-S_0,0)\)。

验证 PDE。 原书习题 15.17 要求直接验证 (15.20) 满足 PDE。关键恒等式是

推导拆解：下面的证明每一步依据如下。\(N'(x)=\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}\)，所以 \(N'(d_2)/N'(d_1)=e^{-d_2^2/2+d_1^2/2}\)；平方差公式 \(d_1^2-d_2^2=(d_1+d_2)(d_1-d_2)\)；\(d_1-d_2=\sigma\sqrt{T-t}\)，\(d_1+d_2=2[\ln(S/K)+r(T-t)]/(\sigma\sqrt{T-t})\)，两者相乘再除以 2 正好是 \(\ln(S/K)+r(T-t)\)。求 \(\partial c/\partial S\) 时 \(d_1\)、\(d_2\) 都依赖 \(S\)，所以要用链式法则（乘积法则加上 \(N(d_1(S))\) 对 \(S\) 求导 \(=N'(d_1)\cdot\partial d_1/\partial S\)）。

证明：\(N'(d_2)/N'(d_1)=e^{(d_1^2-d_2^2)/2}=e^{(d_1+d_2)(d_1-d_2)/2}=e^{\ln(S/K)+r(T-t)}=\dfrac{S}{K}e^{r(T-t)}\)。有了它，\(\partial c/\partial S=N(d_1)+SN'(d_1)\partial d_1/\partial S-Ke^{-r(T-t)}N'(d_2)\partial d_2/\partial S=N(d_1)\)（后两项因 \(\partial d_1/\partial S=\partial d_2/\partial S\) 而抵消）。这个恒等式在第 19a、19b 章计算希腊字母时会反复用到。

美式期权与实务细节

• 不付息股票的美式看涨永远不应提前行权（第 11 章），所以 (15.20) 也是美式看涨的价格。
• 美式看跌没有精确的解析公式，需用二叉树等数值方法（原书第 21 章）。
• 实务中 \(r\) 取与期权期限 \(T\) 相同的零息利率。当 \(r\) 是时间的已知函数时这在理论上正确；利率随机时，只要 \(S_T\) 对数正态且波动率参数选得恰当，也正确。期限按"剩余交易日数 / 252"计。

15.9 累积正态分布函数与数值例

计算 \(N(x)\) 可以查书末附表，在 Excel 中用 NORMSDIST，在 Python 中用 scipy.stats.norm.cdf。

例 15.6 \(S_0=42\)，\(K=40\)，\(r=0.1\)，\(\sigma=0.2\)，\(T=0.5\)。 \(d_1=\dfrac{\ln(42/40)+(0.1+0.02)\times0.5}{0.2\sqrt{0.5}}=0.7693\)，\(d_2=\dfrac{\ln(42/40)+(0.1-0.02)\times0.5}{0.2\sqrt{0.5}}=0.6278\)，\(Ke^{-rT}=40e^{-0.05}=38.049\)。 \(N(0.7693)=0.7791\)，\(N(0.6278)=0.7349\)，\(N(-0.7693)=0.2209\)，\(N(-0.6278)=0.2651\)。 \(c=42\times0.7791-38.049\times0.7349=4.76\)，\(p=38.049\times0.2651-42\times0.2209=0.81\)。

不计资金的时间价值，看涨买方要股价上涨 2.76 才盈亏平衡（\(40+4.76-42\)），看跌买方要股价下跌 2.81（\(42-(40-0.81)\)）。

15.11 隐含波动率

定义与求解

BSM 公式中，\(S_0\)、\(K\)、\(r\)、\(T\) 都能直接观测，唯一观测不到的是 \(\sigma\)。交易员实际使用的是隐含波动率（implied volatility）：使模型价格等于市场价格的那个 \(\sigma\)。

例 不付息股票欧式看涨的市场价格为 1.875，\(S_0=21\)，\(K=20\)，\(r=0.1\)，\(T=0.25\)。(15.20) 不能解析地反解出 \(\sigma\)，只能迭代：

• 试 \(\sigma=0.20\)，得 \(c=1.76\)，偏低；看涨价格随 \(\sigma\) 递增，所以 \(\sigma\) 应更大。
• 试 \(\sigma=0.30\)，得 \(c=2.10\)，偏高；试 \(0.25\) 仍偏高，所以 \(\sigma\in(0.20,0.25)\)。
• 每次把区间减半（二分法），可达任意精度。答案 \(\sigma=23.5\%\)。

二分法稳健但慢（每次只减半区间）。实务多用 Newton–Raphson 法：

通常 3–5 次迭代就收敛到 \(10^{-10}\)。工程上要注意三件事：

金融直觉：隐含波动率之于期权价格，正如到期收益率之于债券价格。债券价格不同票息、不同期限无法直接比，换算成 YTM 就能比；期权价格不同执行价、不同期限无法直接比，换算成隐含波动率就能比。求 YTM 时你用的是"价格对收益率的导数（修正久期 × 价格）"做牛顿迭代，求隐含波动率时用的是 vega。vega 小时迭代不稳，正像久期很短的票据，价格差一点，倒推出的收益率会差很多。

1. 解的存在性。 看涨价格关于 \(\sigma\) 严格递增，且 \(\sigma\to0\) 时趋于下界 \(\max(S_0-Ke^{-rT},0)\)、\(\sigma\to\infty\) 时趋于上界 \(S_0\)。所以只有当市场价格严格落在这两个界之间时才有唯一解；越界的报价（常见于深度实值、报价陈旧或含提前行权溢价的美式期权）应标记为无解，而不是硬算。
2. vega 很小时 Newton 不稳定。 深度实值或虚值期权的 vega 接近 0，牛顿步长会爆炸。稳健做法是 Newton 失败时退回二分法或 Brent 法。
3. 深度虚实值的隐含波动率噪声大。 价格误差 \(\delta c\) 造成的隐含波动率误差约为 \(\delta c/\mathcal V\)，vega 越小放大得越厉害。构建波动率曲面时通常只用平值附近和虚值一侧的期权。

美式期权的隐含波动率用二叉树配合同样的搜索得到。

用途

• 隐含波动率反映市场对未来波动的看法，是向前看的；历史波动率是向后看的。
• 交易员常直接用隐含波动率报价而不是用价格报价，因为它比价格稳定得多：股价一动，期权价格就变，但隐含波动率可能几乎不动。
• 第 20 章将看到：同一标的、不同执行价和期限的期权，隐含波动率并不相同（波动率微笑），交易员用活跃期权的隐含波动率来推断其他期权的合适波动率。

VIX 指数

芝加哥期权交易所（CBOE）发布隐含波动率指数。最有名的 VIX 由大量标普 500 指数看涨、看跌期权计算，代表标普 500 的 30 天期隐含波动率，俗称"恐慌指数（fear factor）"；VIX 为 15 表示 30 天隐含波动率约为 15%。计算方法见原书第 26.15 节。类似指数还有 Nasdaq 100 的 VXN、道琼斯工业指数的 VXD。

VIX 期货 2004 年上市，VIX 期权 2006 年上市，每份合约为指数 × 1,000 美元。

例 15.8 以 18.5 买入 4 月 VIX 期货，在 19.3 平仓，盈利 \((19.3-18.5)\times1{,}000=800\) 美元。

标普 500 期货和期权同时押注指数水平与波动率，VIX 期货、期权则只押注波动率。原书图 15.4 展示了 2004 年 1 月至 2013 年 6 月的 VIX：2004 年到 2007 年中多在 10–20 之间；2007 年下半年升到 30；雷曼破产后的 2008 年 10–11 月创下 80 的纪录；2010 年初回落，2010 年 5 月和 2011 年下半年因市场压力再次飙升。

15.12 股息

假设期权期内股息的金额和时间都能确定地预测（短期期权比较合理；长期期权通常改为假设已知股息率，见第 17 章）。股息按除息日（ex-dividend date）处理：除息日股价下跌股息额。严格说，因税收原因股价跌幅可能小于现金股息，期权定价中的"股息"应理解为除息日股价因股息而下跌的量——若股息 1 美元而股价通常下跌其 80%，就取 0.80。

欧式期权

把股价分成两部分：

• 无风险部分：期权期内已知股息的现值（各笔股息从除息日按无风险利率贴现到今天）；
• 风险部分：其余。

到期时股息已经支付，无风险部分消失。所以只要把 \(S_0\) 换成风险部分、把 \(\sigma\) 理解为风险部分的波动率，BSM 公式依然正确。操作上就是：

将股价减去期权期内（除息日落在期内的）所有股息的现值，再代入 BSM。

（严格说，风险部分的波动率与整只股票的波动率不同，二者不可能同时服从 GBM；时刻 0 时前者约为后者乘以 \(S_0/(S_0-D)\)，\(D\) 为股息现值。）

例 15.9 除息日在 2 个月和 5 个月后，每次 0.50 美元；\(S_0=40\)，\(K=40\)，\(\sigma=30\%\)，\(r=9\%\)，\(T=0.5\)。 股息现值 \(0.5e^{-0.09\times2/12}+0.5e^{-0.09\times5/12}=0.9742\)，调整后 \(S_0=39.0258\)。 \(d_1=\dfrac{\ln(39.0258/40)+(0.09+0.045)\times0.5}{0.3\sqrt{0.5}}=0.2020\)，\(d_2=0.0102\)，\(N(d_1)=0.5800\)，\(N(d_2)=0.4959\)。 \(c=39.0258\times0.5800-40e^{-0.045}\times0.4959=3.67\)。

一个争论。 有学者认为波动率应作用于整个股价，而不是扣除股息现值后的部分，并提出了多种数值方法（如 Areal & Rodrigues 2013 的离散股息快速树）。如果波动率来自历史数据，这些方法或许有意义；但实务中波动率几乎总是从其他期权价格隐含出来的（第 20 章），只要隐含和应用使用同一个模型，价格就是准确的，对模型细节不敏感。另外，实务中欧式期权常以标的的远期价格估值（第 18 章），不必显式估计股息；远期股价的波动率恰好等于"股价减股息现值"的波动率。所以这个两部分模型内部一致，被广泛使用。

美式看涨期权的提前行权

第 11 章证明了无股息时美式看涨不应提前行权。有股息时，提前行权只可能在除息日前的瞬间是最优的（其他时刻行权只会损失利息和期权的保险价值）。

设有 \(n\) 个除息日 \(t_1<\dots<t_n\)，股息为 \(D_1,\dots,D_n\)。

最后一个除息日 \(t_n\)。 若在除息前行权，得 \(S(t_n)-K\)。若不行权，股价跌为 \(S(t_n)-D_n\)，此后再无股息，期权价值由下界 (11.4) 不低于 \(S(t_n)-D_n-Ke^{-r(T-t_n)}\)。因此若

在 \(t_n\) 行权就不是最优的。反之若

白话解释：(15.24) 是一笔账：除息前行权，你拿到这笔股息 \(D_n\)；但你要提前付出 \(K\)，损失这笔钱从 \(t_n\) 到 \(T\) 的利息 \(K[1-e^{-r(T-t_n)}]\)，同时放弃剩余期限内"股价跌回 \(K\) 以下可以不行权"的保险。下界只算了利息、没算保险价值，所以当股息连利息都抵不过时，提前行权一定不划算；股息超过利息时，只有在期权深度实值、保险几乎不值钱时才划算。

那么对任何合理的股价过程，当 \(S(t_n)\) 足够高时在 \(t_n\) 行权是最优的。最后除息日离到期越近（\(T-t_n\) 越小）、股息越大，(15.25) 越容易成立。

更早的除息日 \(t_i\)（\(i<n\)）。 不行权时最早的下一个行权时点是 \(t_{i+1}\)，同理可得：若

则在 \(t_i\) 之前行权不是最优。(15.26) 近似为 \(D_i\le Kr(t_{i+1}-t_i)\)：当 \(K\) 接近股价时，相当于"两次除息之间的股息率低于无风险利率"，通常成立。

结论。 在许多情况下，美式看涨最可能提前行权的时点是最后一个除息日之前。若对 \(i=1,\dots,n-1\) 都满足 (15.26)，且 (15.24) 也成立，提前行权就从不是最优的，美式看涨可以按欧式处理。

Black 近似

Black 建议：分别计算到期日为 \(T\) 和 \(t_n\) 的两个欧式期权价格（都用上面的股息调整法），取两者中的较大者作为美式看涨价格的近似。之所以只是近似，是因为它实际上假设持有人必须在时刻 0 就决定在 \(T\) 还是在 \(t_n\) 行权，而真实的持有人可以等到 \(t_n\) 看情况再决定——所以 Black 近似低估美式期权价值。只有一个除息日时有 Roll–Geske–Whaley 精确公式，涉及二元正态分布（作者网站 Technical Notes 4、5）。

在例 15.9 的数据下，最后除息日 \(t_n=5/12\)，\(K[1-e^{-r(T-t_n)}]=40[1-e^{-0.09/12}]=0.30<0.50\)，满足 (15.25)，提前行权可能最优。到期日 5 个月的欧式看涨（只扣除第一笔股息）价值 3.52，小于 6 个月欧式看涨的 3.67，因此 Black 近似给出 3.67（见下面代码输出）。

15.10 认股权证与员工股票期权

普通看涨期权行权时，卖方需从市场上买股票交给买方，公司流通股数不变。认股权证（warrants）和员工股票期权（employee stock options, ESO）不同：行权时公司增发新股，以执行价卖给持有人，这会稀释现有股东。

拟新发行权证的成本

公司有 \(N\) 股，股价 \(S_0\)，计划发行 \(M\) 份期权，每份可按 \(K\) 买 1 股，期限 \(T\)。设"不发行权证"时到期股价为 \(S_T\)，则权益总值为 \(NS_T\)。若持有人行权，公司收到 \(MK\) 现金，权益总值变为 \(NS_T+MK\)，分摊到 \(N+M\) 股，每股值 \(\frac{NS_T+MK}{N+M}\)。持有人的收益为

所以每份权证的价值等于 \(\dfrac{N}{N+M}\) 份普通看涨期权（执行价 \(K\)、期限 \(T\)）的价值，总成本是它的 \(M\) 倍。若发行没有带来补偿性收益，消息公布后股价会立即下跌 \(\dfrac{M}{N+M}\) 份普通看涨的价值。

例 15.7 公司有 100 万股，股价 40；拟发行 20 万份 5 年期权证，执行价 60；\(r=3\%\)，\(\sigma=30\%\)，无股息。 5 年期欧式看涨 BSM 价值 7.04；每份权证 \(\frac{1{,}000{,}000}{1{,}200{,}000}\times7.04=5.87\)；总成本 \(200{,}000\times5.87\approx117\) 万美元；若市场认为发行毫无收益，股价下跌 1.17 至 38.83。

已发行的权证不必再调整稀释

Business Snapshot 15.3 权证、员工期权与稀释 公司有 10 万股，股价 50，意外宣布授予员工 10 万份执行价 50 的期权。若市场认为这对股东好处不大，股价立即下跌，比如跌到 45，现有股东的稀释成本为每股 5 美元、共 50 万美元。三年后股价 100，员工全部行权，每份获利 50。 有人会说"届时 10 万股每股值 100 的老股和 10 万股只付了 50 的新股合并，股价降到 75，员工每份只赚 25"——这是错的。行权早已被市场预期并反映在股价中，100 已经是"稀释后"的价格。

结论：市场有效时，稀释的影响在公告时就体现在股价里。为已发行（已公告）的权证或员工期权估值时，直接用观测到的股价，不要再做稀释调整。（也有分析师假设"权益 + 权证"总值服从对数正态，得到以权证价值表示的 BSM 型方程，见作者网站 Technical Note 3。）员工期权的其他特殊性（归属期、不可转让、提前行权）是第 16 章的主题。

量化实战：BSM 定价库与隐含波动率求解器

任何期权相关的量化系统——做市、波动率套利、风险管理、回测——底层都有两个函数：给定波动率算价格、给定价格反解隐含波动率。下面的实现：

• bsm 支持连续股息率 \(q\)（第 17 章会用到；\(q=0\) 即本章情形）且支持 numpy 向量化；
• implied_vol 先做无套利界检查，再用 Newton–Raphson，失败时退回 Brent 法；
• 依次复现例 15.6、隐含波动率例子（并对比二分法的迭代次数）、模拟一条有偏斜的期权链并加上报价噪声后反解隐含波动率、用风险中性蒙特卡洛核对价格和 \(N(d_2)\)、例 15.9 与 Black 近似、例 15.7 权证。

import numpy as np
from scipy.stats import norm
from scipy.optimize import brentq

def bsm(S, K, T, r, sigma, q=0.0, kind="call"):
    """欧式期权 BSM 价格（q 为连续股息率，q=0 即不付息股票）。支持 numpy 广播。"""
    S, K, T, sigma = map(np.asarray, (S, K, T, sigma))
    d1 = (np.log(S / K) + (r - q + 0.5 * sigma**2) * T) / (sigma * np.sqrt(T))
    d2 = d1 - sigma * np.sqrt(T)
    if kind == "call":
        return S * np.exp(-q * T) * norm.cdf(d1) - K * np.exp(-r * T) * norm.cdf(d2)
    return K * np.exp(-r * T) * norm.cdf(-d2) - S * np.exp(-q * T) * norm.cdf(-d1)

def vega(S, K, T, r, sigma, q=0.0):
    d1 = (np.log(S / K) + (r - q + 0.5 * sigma**2) * T) / (sigma * np.sqrt(T))
    return S * np.exp(-q * T) * np.sqrt(T) * norm.pdf(d1)

def implied_vol(price, S, K, T, r, q=0.0, kind="call", tol=1e-10):
    """先检查无套利界，再用 Newton–Raphson（以 vega 为导数），失败时退回 Brent 法。"""
    disc_S, disc_K = S * np.exp(-q * T), K * np.exp(-r * T)
    lower = max(disc_S - disc_K, 0) if kind == "call" else max(disc_K - disc_S, 0)
    upper = disc_S if kind == "call" else disc_K
    if not (lower < price < upper):
        return np.nan                                   # 价格越界，无解
    sig = np.sqrt(2 * abs(np.log(S / K) + (r - q) * T) / T) + 0.1   # 常用初值
    for _ in range(50):
        diff = bsm(S, K, T, r, sig, q, kind) - price
        v = vega(S, K, T, r, sig, q)
        if abs(diff) < tol:
            return float(sig)
        if v < 1e-8:
            break
        sig -= diff / v
        if not (1e-4 < sig < 5):
            break
    f = lambda s: bsm(S, K, T, r, s, q, kind) - price
    return brentq(f, 1e-6, 5.0, xtol=tol)

# ---- 1) 例 15.6 ----
c = bsm(42, 40, 0.5, 0.10, 0.20); p = bsm(42, 40, 0.5, 0.10, 0.20, kind="put")
print(f"例15.6  c={c:.4f}  p={p:.4f}  平价检查 c+Ke^-rT-p-S0={c+40*np.exp(-0.05)-p-42:.2e}")

# ---- 2) 隐含波动率：原书 15.11 节的例子，二分法与 Newton 对比 ----
S, K, T, r, mkt = 21, 20, 0.25, 0.10, 1.875
lo, hi, it = 0.20, 0.30, 0
while hi - lo > 1e-6:
    mid = 0.5 * (lo + hi); it += 1
    lo, hi = (mid, hi) if bsm(S, K, T, r, mid) < mkt else (lo, mid)
print(f"二分法 {it} 次迭代: sigma={0.5*(lo+hi):.5f}；Newton+Brent: {implied_vol(mkt, S, K, T, r):.5f}")
print("越界价格 0.5（低于下界 S-Ke^-rT）的隐含波动率:", implied_vol(0.5, S, K, T, r))

# ---- 3) 模拟一条期权链：带偏斜的"真实"波动率 -> 价格 -> 反解隐含波动率 ----
S0, T, r = 100.0, 0.5, 0.03
strikes = np.arange(70, 135, 5.0)
true_iv = 0.22 - 0.25 * np.log(strikes / S0) + 0.4 * np.log(strikes / S0)**2
prices = bsm(S0, strikes, T, r, true_iv)
rng = np.random.default_rng(7)
noisy = prices + rng.normal(0, 0.005, size=prices.size)          # 半个美分的报价噪声
iv_back = np.array([implied_vol(pr, S0, k, T, r) for pr, k in zip(noisy, strikes)])
for k, a, b, pr in zip(strikes, true_iv, iv_back, noisy):
    print(f"K={k:5.0f} 价格={pr:7.3f} 真实IV={a:.4f} 反解IV={b:.4f}")

# ---- 4) 风险中性蒙特卡洛核对 BSM，以及 N(d2) = 风险中性行权概率 ----
S0, K, T, r, sig = 42, 40, 0.5, 0.10, 0.20
Z = rng.standard_normal(1_000_000)
ST = S0 * np.exp((r - 0.5 * sig**2) * T + sig * np.sqrt(T) * Z)
mc = np.exp(-r * T) * np.maximum(ST - K, 0)
d2 = (np.log(S0 / K) + (r - 0.5 * sig**2) * T) / (sig * np.sqrt(T))
print(f"MC 价格 {mc.mean():.4f} ± {1.96*mc.std()/np.sqrt(mc.size):.4f}；P(S_T>K)={np.mean(ST>K):.4f}，N(d2)={norm.cdf(d2):.4f}")

# ---- 5) 离散股息：例 15.9 与 Black 近似 ----
S0, K, sig, r, T = 40, 40, 0.30, 0.09, 0.5
divs = [(2/12, 0.5), (5/12, 0.5)]
pv_all = sum(D * np.exp(-r * t) for t, D in divs)
c_T = bsm(S0 - pv_all, K, T, r, sig)                     # 持有到期
pv_first = divs[0][1] * np.exp(-r * divs[0][0])
c_tn = bsm(S0 - pv_first, K, 5/12, r, sig)               # 在最后除息日前行权
print(f"股息现值={pv_all:.4f}  欧式看涨={c_T:.4f}  到期日=5个月的欧式={c_tn:.4f}  Black 近似={max(c_T, c_tn):.4f}")
print(f"最后除息日能否提前行权? D_n={divs[1][1]} vs K(1-e^(-r(T-t_n)))={K*(1-np.exp(-r*(T-5/12))):.4f}")

# ---- 6) 例 15.7：认股权证 ----
c5 = bsm(40, 60, 5, 0.03, 0.30)
w = 1_000_000 / 1_200_000 * c5
print(f"5年看涨={c5:.4f}  每份权证={w:.4f}  总成本={200_000*w/1e6:.3f} 百万  股价跌幅={200_000*w/1_000_000:.3f}")

关键输出：

例15.6  c=4.7594  p=0.8086  平价检查 c+Ke^-rT-p-S0=0.00e+00
二分法 17 次迭代: sigma=0.23451；Newton+Brent: 0.23451
越界价格 0.5（低于下界 S-Ke^-rT）的隐含波动率: nan
K=   70 价格= 31.717 真实IV=0.3601 反解IV=0.3601
K=   75 价格= 26.982 真实IV=0.3250 反解IV=0.3252
K=   80 价格= 22.364 真实IV=0.2957 反解IV=0.2956
...
K=  100 价格=  6.927 真实IV=0.2200 反解IV=0.2200
...
K=  125 价格=  0.338 真实IV=0.1841 反解IV=0.1843
K=  130 价格=  0.152 真实IV=0.1819 反解IV=0.1820
MC 价格 4.7581 ± 0.0097；P(S_T>K)=0.7353，N(d2)=0.7349
股息现值=0.9742  欧式看涨=3.6712  到期日=5个月的欧式=3.5246  Black 近似=3.6712
最后除息日能否提前行权? D_n=0.5 vs K(1-e^(-r(T-t_n)))=0.2989
5年看涨=7.0402  每份权证=5.8669  总成本=1.173 百万  股价跌幅=1.173

几点观察：

• 原书例题（4.76、0.81、23.5%、3.67、7.04、5.87）全部复现。二分法要 17 次迭代才达到 \(10^{-6}\) 精度，Newton 法一般只需 3–4 次；在需要每秒反解成千上万个报价的做市系统里，这个差别很重要。
• 越界价格直接返回 nan。这一步不能省：真实期权数据里总有违背无套利下界的陈旧报价，若不过滤，求解器要么报错，要么返回一个毫无意义的极小波动率污染曲面。
• 同样 0.005 的报价噪声，在平值附近（vega 大）几乎不改变隐含波动率，在 \(K=75\)、\(K=125\) 等两翼（vega 小）造成约 2 个基点的误差；真实市场的买卖价差远大于 0.005，两翼隐含波动率的不确定性要大得多。
• 风险中性模拟的行权频率 0.7353 与 \(N(d_2)=0.7349\) 一致，印证了 \(N(d_2)\) 的概率含义。

在量化工作中，这套函数会被用来：把期权链的价格转换为隐含波动率曲面（第 20 章）；比较隐含波动率与历史/预测波动率以构建波动率风险溢价策略；监控 VIX 期限结构；以及在回测中用隐含波动率而不是价格作为期权的状态变量。

本章小结

BSM 公式 \(c=S_0N(d_1)-Ke^{-rT}N(d_2)\) 可以由风险中性定价加上对数正态引理 \(E[\max(V-K,0)]=E(V)N(d_1)-KN(d_2)\) 一步得到；\(N(d_2)\) 是风险中性行权概率，\(N(d_1)\) 是看涨 delta；公式在股价极大、波动率趋零等极端情形下都给出正确的极限。波动率是唯一不可观测的参数，市场用隐含波动率报价和交流，反解时要先检查无套利界，并用 Newton 加二分/Brent 的稳健组合。已知离散股息时把股价减去期内股息现值；含股息的美式看涨只可能在除息前提前行权，最可能是最后一个除息日，Black 近似取两个欧式价格的较大者。新发行权证的价值是 \(N/(N+M)\) 份普通看涨，而已公告的权证稀释已反映在股价中。

练习

基础

1. \(S_0=52\)，\(K=50\)，\(r=12\%\)，\(\sigma=30\%\)，\(T=0.25\)，求欧式看涨价格。 提示：\(d_1=0.5365\)，\(d_2=0.3865\)，\(c\approx5.06\)（原书习题 15.13）。
2. \(S_0=69\)，\(K=70\)，\(r=5\%\)，\(\sigma=35\%\)，\(T=0.5\)，求欧式看跌价格。 提示：\(p\approx6.40\)（原书习题 15.14）。
3. 用例 15.6 的数据计算风险中性世界中看涨期权被行权的概率；若股票真实期望收益为 15%，真实世界的行权概率是多少？ 提示：\(N(d_2)=0.7349\)；把 \(d_2\) 中的 \(r=0.10\) 换成 \(\mu=0.15\) 得 \(d_2'=0.8046\)，概率约 0.789。
4. 某看涨期权市场价为 2.5，\(S_0=15\)，\(K=13\)，\(T=0.25\)，\(r=5\%\)。求隐含波动率。 提示：迭代可得约 39.6%（原书习题 15.16）。
5. 证明 BSM 看涨、看跌公式满足看涨-看跌平价。 提示：\(c-p=S_0[N(d_1)+N(-d_1)]-Ke^{-rT}[N(d_2)+N(-d_2)]=S_0-Ke^{-rT}\)（原书习题 15.18）。

进阶

6. 证明 \(SN'(d_1)=Ke^{-r(T-t)}N'(d_2)\)，并由此推出 \(\partial c/\partial S=N(d_1)\)。 提示：见 15.8 节"验证 PDE"（原书习题 15.17）。
7. 股价 70，执行价 65，\(\sigma=32\%\)，\(r=10\%\)，\(T=0.5\)，3 个月后有 1 美元股息。求欧式看涨价格，并判断美式看涨是否可能在除息日提前行权。 提示：调整后股价 \(70-e^{-0.025}=69.025\)，\(c\approx10.17\)；\(K[1-e^{-0.1\times0.25}]=1.60>1\)，不应提前行权（原书习题 15.15 的同类计算）。
8. 解释 Black 近似为什么会低估美式看涨价格。 提示：它强迫持有人在时刻 0 就选定行权时点，而实际持有人可在 \(t_n\) 根据股价再决定，多一个选择权（原书习题 15.20）。
9. 一个反解器在某个看涨报价上返回了 0.1% 的隐含波动率。列出至少三种可能原因及处理办法。 提示：报价几乎等于下界（深度实值，时间价值近零）；报价陈旧或买卖价中点偏离；美式期权含提前行权溢价、或股息/利率参数错误使下界计算偏差。处理：检查下界、改用虚值一侧期权、用平价反推远期替代 \(S_0\) 与股息。
10. 公司有 50 万股，股价 30，拟发行 10 万份 3 年期执行价 35 的权证。\(r=4\%\)，\(\sigma=35\%\)。估计每份权证价值和股价下跌幅度。 提示：普通看涨约 6.76，乘 \(500/600\) 得每份约 5.63，股价下跌约 \(100{,}000\times5.63/500{,}000\approx1.13\)。

原书推荐习题：15.4、15.13、15.14（BSM 基本计算）；15.5、15.31（离散股息调整与提前行权判断）；15.8、15.22（\(N(d_2)\) 与真实世界概率）；15.16、15.19（隐含波动率，15.19 引出波动率微笑）；15.17、15.18（验证 PDE 与平价）；15.20、15.32（Black 近似）；15.24、15.25（稀释与员工期权成本）。

原书对照