第 15a 章 BSM 模型（上）：股价分布、波动率与 BSM 偏微分方程

20 世纪 70 年代初，Fischer Black、Myron Scholes 与 Robert Merton 解决了欧式股票期权的定价问题，得到今天无人不知的 Black–Scholes–Merton 模型（简称 BSM，或 Black–Scholes 模型）。1997 年 Merton 与 Scholes 因此获得诺贝尔经济学奖，Black 已于 1995 年去世。

在他们之前，研究者其实已经会算欧式期权的期望收益（expected payoff），卡住的地方是贴现率：期权的风险随股价和时间不断变化，没人知道该用什么利率把期望收益折回今天（第 13 章二叉树已经遇到过这个问题）。Black 和 Scholes 最初借助 CAPM 建立期权要求收益与股票要求收益的关系；Merton 给出了一条更一般、也更漂亮的路线——用期权和股票构造一个在极短时间内没有风险的组合，这个组合只能赚无风险利率。这条路线不依赖 CAPM，也是本章的主线。

BSM 是整册书的核心。为了讲透，我们把原书第 15 章拆成两章：本章（15a）讲清楚模型的"地基"——股价分布、波动率的含义和估计、BSM 偏微分方程的推导以及由此而来的风险中性定价；下一章（15b）在此基础上推出定价公式，讨论隐含波动率和股息。

学习目标

1. 写出几何布朗运动下 \(\ln S_T\) 的精确分布，会求股价的置信区间、期望和方差。
2. 分清 \(\mu\) 与 \(\mu-\sigma^2/2\)：知道哪一个是"期望收益"，哪一个是"实现的连续复利收益"，并能用 Jensen 不等式或算术/几何平均解释差别（波动率拖累）。
3. 用对数收益估计历史波动率及其标准误，掌握交易日年化和窗口选择的经验规则。
4. 独立推导 BSM 偏微分方程：说出无风险组合是什么、为什么无风险、为什么 \(\mu\) 消失。
5. 会用 PDE 检验一个价格函数是否可能是可交易衍生品的价格，并用边界条件区分不同衍生品。
6. 理解风险中性定价的三个步骤及其为什么在真实世界同样成立。

读前导读

这一章在解决什么问题

CFA 里你学过单步二叉树：用 \(\Delta\) 股股票加一份期权空头造出一个无风险组合，令它赚无风险利率，就能解出期权价格，而且价格里不出现"股票上涨的真实概率"。这一章做的事情完全一样，只是把"一步"切成无穷多个极短的小步。小步里股价不再只有上下两种结果，而是连续变化，所以要借助第 14 章的 Itô 引理写出期权价格的变化；然后照抄二叉树的思路——配比股票、消掉随机项、令组合赚 \(r\)——得到一个偏微分方程（PDE）。这个方程就是 BSM 方程，下一章的定价公式是它在"到期收益 \(=\max(S-K,0)\)"这个条件下的解。

前半章（15.1–15.4）是地基：股价为什么是对数正态的、"期望收益"到底指 \(\mu\) 还是 \(\mu-\sigma^2/2\)、历史波动率怎么估。这些内容和你熟悉的业绩评估直接相关——基金报告里的算术平均收益与几何平均收益之差，在连续时间里就是 \(\sigma^2/2\)。

后半章（15.5–15.7）是本章真正的核心：无风险组合 → 消去随机项 → PDE → 风险中性定价。如果只能读懂一件事，就读懂 15.6 节的三步推导，以及为什么 \(\mu\) 会在推导中消失。

需要先想起来的数学

1. 偏导数。 \(f(S,t)\) 同时依赖股价和时间。\(\partial f/\partial S\) 是"时间不动、只动股价时 \(f\) 变化的速度"，\(\partial f/\partial t\) 是"股价不动、只让时间流逝时 \(f\) 变化的速度"。例：\(f=S^2t\)，则 \(\partial f/\partial S=2St\)（把 \(t\) 当常数），\(\partial f/\partial t=S^2\)（把 \(S\) 当常数）。\(\partial^2f/\partial S^2\) 是对 \(S\) 再求一次导，表示斜率本身随股价变化的快慢，类似债券的凸性。见 第 00 册第 05 章 多元微积分与优化。

2. 泰勒展开与久期凸性。 债券价格变化 \(\Delta P\approx P'\Delta y+\tfrac12P''(\Delta y)^2\)，一阶项是久期，二阶项是凸性。期权价格变化同理：\(\Delta f\approx f_S\Delta S+\tfrac12 f_{SS}(\Delta S)^2+f_t\Delta t\)。本章的 Itô 引理就是这个展开，再加一条规则"\((\Delta S)^2\) 在随机世界里不可忽略，它约等于 \(\sigma^2S^2\Delta t\)"。见 第 00 册第 02 章 导数与泰勒展开。

3. 对数与指数。 \(\ln(S_T/S_0)\) 是连续复利收益；\(e^{x}\) 与 \(\ln\) 互为反函数。一个有用的公式：若 \(X\) 正态、均值 \(m\)、方差 \(v\)，则 \(E[e^X]=e^{m+v/2}\)，多出的 \(v/2\) 就是"波动率拖累"的来源。见 第 00 册第 04 章 级数与收敛。

4. 期望是积分、Jensen 不等式。 对凹函数（如 \(\ln\)），\(E[\ln X]\le\ln E[X]\)：先平均再取对数，比先取对数再平均大。例：\(X\) 等概率取 1 和 4，\(\ln E[X]=\ln2.5=0.92\)，\(E[\ln X]=(0+1.39)/2=0.69\)。见 第 00 册第 07 章 概率中的分析工具。

5. 维纳过程记号。 \(dz\)（或 \(\Delta z=\epsilon\sqrt{\Delta t}\)，\(\epsilon\) 是标准正态随机数）表示一个极短时间内的随机冲击，均值 0、方差 \(\Delta t\)。\(dt\) 是确定的时间增量。第 14 章已讲过，这里只需记住：\(\Delta z\) 的量级是 \(\sqrt{\Delta t}\)，比 \(\Delta t\) 大得多。

怎么读这一章

必读：15.1（对数正态分布，后面所有 \(\sigma\sqrt T\) 都来自这里）、15.5、15.6、15.7。15.3 是概念澄清，读一遍理解"波动率拖累"即可。15.4 的历史波动率估计是实务操作，可以先只看例 15.4。15.6 中"永续衍生品"一段第一次可以跳过，它是解常微分方程的练习。建议顺序：15.1 → 15.5 → 15.6 → 15.7 → 回头读 15.2–15.4。

15.1 股价的对数正态性质

模型回顾

BSM 沿用第 14 章的股价模型——几何布朗运动（geometric Brownian motion, GBM）：极短时间 \(\Delta t\) 内，股价的百分比变化服从正态分布

其中 \(\phi(m,v)\) 表示均值 \(m\)、方差 \(v\) 的正态分布；\(\mu\) 是股票的年化期望收益率，\(\sigma\) 是年化波动率（volatility）。连续时间写法是 \(dS=\mu S\,dt+\sigma S\,dz\)，\(dz\) 是维纳过程增量。

\(\ln S_T\) 的精确分布

对 \(G=\ln S\) 用 Itô 引理（第 14 章）：\(\partial G/\partial S=1/S\)，\(\partial^2G/\partial S^2=-1/S^2\)，\(\partial G/\partial t=0\)，于是

右边的漂移和波动都是常数，所以 \(\ln S\) 是一个带常数漂移的算术布朗运动，从 0 到 \(T\) 的增量精确地（不是近似）服从正态分布：

推导拆解：Itô 引理可以理解为"带一条特殊规则的二阶泰勒展开"： \(dG=G_S\,dS+G_t\,dt+\tfrac12G_{SS}(dS)^2\)，其中特殊规则是 \((dS)^2=\sigma^2S^2dt\)（因为 \((dz)^2=dt\)，而 \(dt\cdot dz\)、\((dt)^2\) 都更小，可以丢掉）。 代入 \(G=\ln S\)：第一项 \(\frac1S(\mu S\,dt+\sigma S\,dz)=\mu\,dt+\sigma\,dz\)；第二项 \(0\)；第三项 \(\tfrac12\cdot(-\tfrac1{S^2})\cdot\sigma^2S^2dt=-\tfrac12\sigma^2dt\)。 三项相加就是 \(dG=(\mu-\sigma^2/2)dt+\sigma\,dz\)。那个 \(-\sigma^2/2\) 来自 \(\ln\) 的二阶导为负——也就是 \(\ln\) 的凹性。普通微积分里 \((dS)^2\) 是可以扔掉的高阶小量，在随机世界里它和 \(dt\) 同阶，扔掉就会算错。

（这一结果在第 14 章 14.7 节已经出现，这里为 BSM 的推导重新编号列出。）一个变量的对数服从正态分布，这个变量就服从对数正态分布（lognormal distribution）。\(\ln S_T\) 的标准差是 \(\sigma\sqrt T\)——不确定性随期限的平方根增长，这是后面所有公式里 \(\sigma\sqrt T\) 反复出现的原因。

例 15.1 \(S_0=40\)，\(\mu=16\%\)，\(\sigma=20\%\)，\(T=0.5\)。 \(\ln S_T\sim\phi[\ln40+(0.16-0.02)\times0.5,\ 0.04\times0.5]=\phi(3.759,\ 0.02)\)，标准差 \(\sqrt{0.02}=0.141\)。 95% 置信区间是 \(3.759\pm1.96\times0.141\)，取指数得 \(32.55<S_T<56.56\)。 注意区间关于 40 并不对称：向上走了 16.56，向下只走了 7.45，这就是对数正态的右偏。

期望与方差

对数正态变量只取正值、右偏，均值、中位数、众数各不相同。利用"若 \(X\sim\phi(m,v)\)，则 \(E[e^X]=e^{m+v/2}\)"可得

推导只用一行：\(E(S_T)=S_0\exp[(\mu-\sigma^2/2)T+\sigma^2T/2]=S_0e^{\mu T}\)；\(E(S_T^2)=S_0^2\exp[2(\mu-\sigma^2/2)T+2\sigma^2T]=S_0^2e^{2\mu T+\sigma^2T}\)，减去 \(E(S_T)^2\) 即得方差。式 (15.4) 正好说明 \(\mu\) 确实是"期望收益率"：股价的期望以速率 \(\mu\) 增长。

例 15.2 \(S_0=20\)，\(\mu=20\%\)，\(\sigma=40\%\)，\(T=1\)： \(E(S_T)=20e^{0.2}=24.43\)；\(\operatorname{var}(S_T)=400e^{0.4}(e^{0.16}-1)=103.54\)；标准差 \(10.18\)。

股价的中位数是 \(S_0e^{(\mu-\sigma^2/2)T}\)（因为 \(\ln S_T\) 的中位数等于其均值），在例 15.2 中为 \(20e^{0.12}=22.55\)，低于均值 24.43。均值被少数大涨路径拉高——这件事和下面的"期望收益陷阱"是同一枚硬币的两面。

15.2 收益率的分布

定义 \(0\) 到 \(T\) 实现的年化连续复利收益率 \(x\)：\(S_T=S_0e^{xT}\)，即

由 (15.2) 直接得到

两点值得记住：

• 均值是 \(\mu-\sigma^2/2\)，不是 \(\mu\)；
• 标准差 \(\sigma/\sqrt T\) 随 \(T\) 增加而减小。我们对"未来 20 年平均每年赚多少"的把握，比对"明年赚多少"的把握大得多。但请注意这说的是年化收益；总收益 \(xT\) 的标准差 \(\sigma\sqrt T\) 是随 \(T\) 增大的。

例 15.3 \(\mu=17\%\)，\(\sigma=20\%\)，\(T=3\)。均值 \(0.17-0.04/2=15\%\)，标准差 \(\sqrt{0.04/3}=11.55\%\)。三年平均年收益的 95% 区间为 \(15\%\pm1.96\times11.55\%\)，即 \(-7.6\%\) 到 \(37.6\%\)。

15.3 期望收益：\(\mu\) 还是 \(\mu-\sigma^2/2\)？

投资者要求的期望收益 \(\mu\) 取决于股票的系统性风险和利率水平——这本来是个麻烦的量。好消息是：我们马上会看到，用股价表示的期权价值与 \(\mu\) 完全无关。但在那之前，先澄清一个初学者几乎都会掉进去的坑。

既然短时间内的期望收益是 \(\mu\Delta t\)，似乎 \(\mu\) 就是期望的连续复利收益率。错。由 (15.7)，\(E(x)=\mu-\sigma^2/2\)。有两种直观解释：

解释一：算术平均与几何平均。 把时间切成很多长度为 \(\Delta t\) 的小区间，每个区间的收益 \(\Delta S_i/S_i\) 的算术平均接近 \(\mu\Delta t\)；但以 \(\Delta t\) 为复利区间，整个时期真正实现的年化收益是几何平均，接近 \(\mu-\sigma^2/2\)。

解释二：Jensen 不等式。 由 (15.4)，\(\ln E(S_T)=\ln S_0+\mu T\)。如果把 \(\ln E(S_T)\) 误当作 \(E[\ln S_T]\)，就会得到 \(E(x)=\mu\)。但 \(\ln\) 是凹函数，\(E[\ln S_T]<\ln E(S_T)\)，所以 \(E(x)<\mu\)。

金融直觉：这就是你在 CFA 业绩评估里见过的"几何平均 ≈ 算术平均 − 方差/2"。一个直观例子：涨 50% 再跌 50%，算术平均 0%，实际 \(1.5\times0.5=0.75\)，亏 25%。波动越大，算术平均和真实复利增长之间的缺口越大，缺口约等于方差的一半。\(\mu\) 是"下一瞬间的期望收益"，对应算术平均；\(\mu-\sigma^2/2\) 是"一条典型路径长期的复利增长率"，对应几何平均。两者都对，只是回答的问题不同。

原书默认"期望收益"指 \(\mu\)。在量化实务里，\(\sigma^2/2\) 这一差额常被称作波动率拖累（volatility drag）：波动率 30% 时它是 4.5 个百分点/年，绝不可忽略。

Business Snapshot 15.1 共同基金收益可能误导 某基金五年的年收益（年复利）为 15%、20%、30%、−20%、25%，算术平均 14%。但 100 美元五年后变成 \(100\times1.15\times1.20\times1.30\times0.80\times1.25=179.40\)， 而按 14% 复利应是 \(100\times1.14^5=192.54\)。实际年化收益只有 12.4%（\(1.124^5\times100=179.40\)）。几何平均（1.124）总小于算术平均（1.140），而几何平均才对应真实实现的收益。有些司法辖区要求基金按几何平均报告。

15.4 波动率

含义

波动率 \(\sigma\) 度量我们对股票收益的不确定程度，股票通常在 15%–60% 之间。由 (15.7)，波动率可以定义为以连续复利表示的一年期收益率的标准差。

\(\Delta t\) 很小时，\(\sigma^2\Delta t\) 近似为 \(\Delta t\) 内百分比变化的方差，\(\sigma\sqrt{\Delta t}\) 近似为其标准差。例如 \(\sigma=30\%\)、\(S=50\) 时，一周百分比变化的标准差是 \(30\%\times\sqrt{1/52}=4.16\%\)，即一个标准差的价格变动约为 \(50\times0.0416=2.08\) 美元。不确定性随时间跨度的平方根增长：4 周的标准差约是 1 周的 2 倍。

用历史数据估计波动率

设有 \(n+1\) 个价格观测 \(S_0,\dots,S_n\)，间隔为 \(\tau\) 年。令对数收益 \(u_i=\ln(S_i/S_{i-1})\)，样本标准差

由 (15.2)，\(u_i\) 的标准差是 \(\sigma\sqrt\tau\)，所以

（实务中常直接假设 \(\bar u=0\)。标准误公式来自正态样本方差的抽样分布：\(\operatorname{var}(s^2)\approx2\sigma^4/n\)，再用 delta 方法得 \(\operatorname{sd}(s)\approx\sigma/\sqrt{2n}\)，参见第 03 册第 09 章 9.9 节的 Delta 方法。）

\(n\) 取多大？ 数据越多估计越准，但 \(\sigma\) 本身随时间变化，太旧的数据不相关。经验做法是用最近 90–180 天的日收盘价；或令 \(n\) 等于波动率要用到的天数——为 2 年期期权估值就用过去 2 年的日数据。更好的方法（EWMA、GARCH）见本册第 23 章与第 06 册第 03a 章。

例 15.4（表 15.1） 连续 21 个交易日的收盘价：20.00, 20.10, 19.90, 20.00, 20.50, 20.25, 20.90, 20.90, 20.90, 20.75, 20.75, 21.00, 21.10, 20.90, 20.90, 21.25, 21.40, 21.40, 21.25, 21.75, 22.00。 \(n=20\)，\(\sum u_i=0.09531\)，\(\sum u_i^2=0.00326\)。日收益标准差 \(\sqrt{0.00326/19-0.09531^2/(20\times19)}=0.01216\)。 取 \(\tau=1/252\)，年化波动率 \(0.01216\sqrt{252}=19.3\%\)，标准误 \(0.193/\sqrt{40}=3.1\%\)。

20 个观测给出的波动率估计，误差有 ±3 个百分点——这提醒我们历史波动率其实是相当"粗"的量。

股息的处理。 包含除息日的区间收益应改为 \(u_i=\ln[(S_i+D)/S_{i-1}]\)。但除息日附近的价格受税收影响，更稳妥的做法是直接剔除这些区间。

交易日还是日历日？

研究表明交易所开市时的波动率远高于闭市时，因此实务中估计和使用波动率时都忽略非交易日：

股票通常取每年 252 个交易日；期权期限也按交易日计，\(T=\text{剩余交易日数}/252\)。

Business Snapshot 15.2 波动率从何而来？ 直觉上，新信息的到达造成波动。若信息按日历时间均匀到达，周五收盘到周一收盘（3 天）的收益方差应是相邻交易日的 3 倍。Fama (1965)、French (1980)、French & Roll (1986) 发现只高 22%、19%、10.7%。也许新闻多在开市时发布？Roll (1984) 研究橙汁期货——其最重要的信息是天气，任何时间到达的概率都一样——周五到周一的方差也只是相邻交易日的 1.54 倍。合理的结论是：波动率在很大程度上由交易本身造成。

15.5 BSM 微分方程背后的思想

核心直觉

BSM 微分方程是任何依赖于不付息股票的衍生品价格都必须满足的方程。推导思路与第 13 章二叉树完全相同：用衍生品和股票构造一个无风险组合，无套利要求它只赚无风险利率 \(r\)。

为什么能构造出无风险组合？因为股价和衍生品价格受同一个不确定性来源——股价变动——驱动。在极短时间内，二者完全相关，适当配比就能把这个共同的不确定性对消。

数值例。 设当前 \(\Delta c=0.4\,\Delta S\)（期权价格对股价的斜率为 0.4）。组合"买 40 股 + 卖 100 份看涨"是无风险的：股价涨 0.10，股票赚 \(40\times0.10=4\) 美元，期权空头亏 \(100\times0.04=4\) 美元。

金融直觉：这和用国债期货对冲债券组合的久期是同一件事。债券组合久期 6、期货久期 4，就按 6:4 的比例做空期货，让利率小幅变动时两边损益对消；利率大幅变动后久期会变，要重新调整。这里的 0.4 就是期权对股价的"久期"（delta），对冲比例跟着它走。

与二叉树的关键区别在于：BSM 中这个组合只在瞬间无风险。股价和时间一变，斜率就变——比如明天变成 0.5，每卖 100 份看涨就得持有 50 股，需要再买 10 股。这就是再平衡（rebalancing），第 19a 章会详细讨论。但无论斜率如何变化，在任意一个极短时间段里，无风险组合的收益都必须是无风险利率——这是 BSM 分析的全部核心。

模型假设

1. 股价服从 GBM，\(\mu\)、\(\sigma\) 为常数；
2. 允许卖空，且可充分使用卖空所得；
3. 无交易成本和税收，证券完全可分；
4. 衍生品存续期内股票不支付股息；
5. 不存在无风险套利机会；
6. 证券交易连续进行；
7. 无风险利率 \(r\) 为常数，且对所有期限相同。

其中一部分可以放松：\(\sigma\) 和 \(r\) 可以是 \(t\) 的已知函数；利率甚至可以是随机的，只要期权到期时的股价分布仍是对数正态。股息的放松见第 15b 章和第 17 章。

15.6 BSM 偏微分方程的推导

第一步：写出股价和衍生品的动态

股价过程

设衍生品价格为 \(f(S,t)\)。由 Itô 引理

离散化：

关键观察：两式中的 \(\Delta z=\epsilon\sqrt{\Delta t}\) 是同一个随机量。所以只要配比得当，就能把它消掉。

推导拆解：先看 (15.9) 每一项从哪来。对 \(f(S,t)\) 做二阶泰勒展开：\(df=f_S\,dS+f_t\,dt+\tfrac12f_{SS}(dS)^2\)（交叉项 \(dS\,dt\) 和 \((dt)^2\) 太小，丢掉）。 代入 \(dS=\mu S\,dt+\sigma S\,dz\)：\(f_S\,dS=f_S\mu S\,dt+f_S\sigma S\,dz\)；\((dS)^2\) 按 Itô 规则只留下 \(\sigma^2S^2dt\)，所以第三项是 \(\tfrac12f_{SS}\sigma^2S^2dt\)。 把所有 \(dt\) 项归到一起、\(dz\) 项单独放，就是 (15.9)。要点是：\(df\) 的随机部分只有 \(f_S\sigma S\,dz\)，它正好是股票随机部分 \(\sigma S\,dz\) 的 \(f_S\) 倍。所以持有 \(f_S\) 股股票，随机部分就和一份衍生品完全一样——这就是下一步配比的依据。

白话解释：\(dS\) 和 \(df\) 都可以拆成"可预测的漂移"加"随机冲击"两块。关键在于两者的随机冲击来自同一个 \(dz\)，只是大小不同：股票的冲击是 \(\sigma S\,dz\)，衍生品是 \(f_S\sigma S\,dz\)。就像两只债券对同一个利率因子有不同的久期，按久期比例配比就能对消利率风险。

第二步：构造无风险组合

取组合：空 1 份衍生品，多 \(\partial f/\partial S\) 股股票。组合价值

在 \(\Delta t\) 内（持股数量 \(\partial f/\partial S\) 保持不变）

代入 (15.10)(15.11)，含 \(\mu\) 的项和含 \(\Delta z\) 的项都两两抵消：

• \(\Delta z\) 项：\(-\frac{\partial f}{\partial S}\sigma S\Delta z+\frac{\partial f}{\partial S}\sigma S\Delta z=0\)；
• \(\mu\) 项：\(-\frac{\partial f}{\partial S}\mu S\Delta t+\frac{\partial f}{\partial S}\mu S\Delta t=0\)。

剩下

这里没有任何随机项，所以组合在 \(\Delta t\) 内无风险。

推导拆解：把 (15.13) 完整展开一遍，看清每一项去了哪里。 \(-\Delta f=-f_S\mu S\Delta t-f_t\Delta t-\tfrac12f_{SS}\sigma^2S^2\Delta t-f_S\sigma S\Delta z\) \(+f_S\Delta S=+f_S\mu S\Delta t+f_S\sigma S\Delta z\) 逐列相加：第一列 \(\mu\) 项对消；最后一列 \(\Delta z\) 项对消；中间两项 \(-f_t\Delta t\) 和 \(-\tfrac12f_{SS}\sigma^2S^2\Delta t\) 没有对手，留下来，就是 (15.14)。 注意 \(\mu\) 的消失不是额外假设，而是"消掉 \(\Delta z\)"的副产品：\(\mu\) 和 \(\Delta z\) 都只通过 \(\Delta S\) 进入 \(\Delta f\)，系数都是 \(f_S\)，所以对冲掉 \(\Delta S\) 的一阶敞口，就同时把两者都拿掉了。 剩下的两项也有含义：\(-f_t\) 是空头吃到的时间衰减（期权多头亏时间价值，空头赚），\(-\tfrac12f_{SS}\sigma^2S^2\) 是空头付出的凸性成本。组合没有随机性，但并非没有盈亏——它的盈亏是确定的。

第三步：无套利

无风险组合必须赚无风险利率。若它赚得更多，套利者借钱买入组合；若赚得更少，就卖空组合、把钱存入无风险资产。因此

把 (15.12)(15.14) 代入：

整理得到 Black–Scholes–Merton 偏微分方程：

推导拆解：从 (15.15) 到 (15.16) 只是代数整理。左边 \(\Delta\Pi\) 用 (15.14)，右边 \(\Pi\) 用 (15.12)： \((-f_t-\tfrac12\sigma^2S^2f_{SS})\Delta t=r(-f+f_SS)\Delta t\)。 两边除以 \(\Delta t\)，再同乘 \(-1\)：\(f_t+\tfrac12\sigma^2S^2f_{SS}=rf-rSf_S\)。 把 \(rSf_S\) 移到左边，就是 (15.16)。 这是"偏微分方程"，因为未知量是一个函数 \(f(S,t)\)，方程约束的是它对两个变量的导数之间的关系，而不是某个数。

金融直觉：把 (15.16) 读成一张持有期损益表。左边是持有一份衍生品、并用 \(f_S\) 股股票对冲后的确定收益来源：时间流逝 \(f_t\)、凸性收益 \(\tfrac12\sigma^2S^2f_{SS}\)，再加上卖空 \(f_S\) 股所得资金（或买股所需融资）的利息 \(rSf_S\)；右边是把 \(f\) 这笔钱存银行的利息 \(rf\)。方程说：对冲好的期权头寸，和存银行一样赚 \(r\)，不多不少。

方程的含义

1. \(\mu\) 不见了。 投资者对风险的态度只通过 \(\mu\) 进入模型，而 \(\mu\) 在第二步就被对消掉了。这是下一节风险中性定价的根源。
2. 方程有无穷多个解。 任何以 \(S\) 为标的的衍生品都满足它；具体是哪种衍生品由**边界条件（boundary conditions）**决定。欧式看涨：\(t=T\) 时 \(f=\max(S-K,0)\)；欧式看跌：\(t=T\) 时 \(f=\max(K-S,0)\)。
3. 用希腊字母的语言重读。 记 \(\Theta=\partial f/\partial t\)、\(\Delta=\partial f/\partial S\)、\(\Gamma=\partial^2f/\partial S^2\)，方程就是 \(\Theta+rS\Delta+\frac12\sigma^2S^2\Gamma=rf\)。第 19b 章会看到，它把时间衰减和凸性（gamma）绑在一起：delta 中性时，赚 gamma 的钱必须用 theta 来付。
4. 一个技术细节。 第二步中我们把 \(\partial f/\partial S\) 当作 \(\Delta t\) 内的常数，这正是"每隔 \(\Delta t\) 再平衡一次"的含义；严格的连续时间推导要用自融资组合的随机积分，结论相同。

例 15.5（远期合约） 不付息股票远期多头的价值 \(f=S-Ke^{-r(T-t)}\)。 \(\partial f/\partial t=-rKe^{-r(T-t)}\)，\(\partial f/\partial S=1\)，\(\partial^2f/\partial S^2=0\)。 左边 \(=-rKe^{-r(T-t)}+rS=r\big(S-Ke^{-r(T-t)}\big)=rf\)。✓

白话解释：第 2 点很重要。PDE 本身只是"无套利"的一般约束，所有以同一只股票为标的的衍生品——看涨、看跌、远期、障碍期权——都满足同一个方程。区分它们的是"到期时付多少"这一终值条件，以及障碍等边界上的条件。这和债券定价类似：所有现金流都按同一条收益率曲线贴现，不同债券的区别只在现金流本身。

永续衍生品：一个可以手解的例子

设某永续衍生品在股价首次触及 \(H\) 时支付固定金额 \(Q\)。它的价值与 \(t\) 无关，\(\partial f/\partial t=0\)，PDE 退化为常微分方程

• \(S<H\)（需要股价上涨到 \(H\)）：边界条件 \(f(0)=0\)、\(f(H)=Q\)。试 \(f=QS/H\)：\(rS\cdot Q/H=rQS/H\) ✓，两个边界也满足。
• \(S>H\)（需要股价下跌到 \(H\)）：边界条件 \(S\to\infty\) 时 \(f\to0\)，\(f(H)=Q\)。试 \(f=Q(S/H)^{-\alpha}\)，\(\alpha>0\)，代入得 \(-r\alpha+\tfrac12\sigma^2\alpha(\alpha+1)-r=0\)，即 \((\alpha+1)(\tfrac12\sigma^2\alpha-r)=0\)，取正根 \(\alpha=2r/\sigma^2\)：

原书习题 15.23 用它为永续美式看跌定价：持有人选择一个行权边界 \(H\)，股价首次跌到 \(H\) 时行权得 \(K-H\)，于是 \(f=(K-H)(S/H)^{-2r/\sigma^2}\)，再对 \(H\) 求最优即可。

可交易衍生品的价格

反过来看：任何满足 (15.16) 的函数 \(f(S,t)\) 都是某个可交易衍生品的理论价格；不满足 (15.16) 的函数不可能是衍生品价格，否则存在套利。

• \(e^S\) 不满足方程。若某工具价格恒为 \(e^S\)，就存在套利。
• \(\dfrac{e^{(\sigma^2-2r)(T-t)}}{S}\) 满足方程，它是到期支付 \(1/S_T\) 的衍生品的价格（原书习题 15.11、15.12、15.28 是同类练习）。

本章"量化实战"用有限差分把这两个例子数值检验了一遍。

15.7 风险中性定价

为什么可以假设投资者风险中性

BSM 方程只含股价、时间、波动率和无风险利率，这些量都与投资者的风险偏好无关。唯一依赖风险偏好的 \(\mu\)（风险厌恶越强，要求的 \(\mu\) 越高）在推导中被消去了。

既然风险偏好不进入方程，它就不影响方程的解。于是我们可以任意假设一种风险偏好来求解——最方便的是所有投资者都风险中性。在风险中性世界里：

• 所有投资资产的期望收益都是 \(r\)（不需要风险溢价）；
• 任何现金流的现值 = 其期望值按 \(r\) 贴现。

定价三步法

对在单一时点支付的衍生品：

1. 假设标的资产的期望收益为 \(r\)，即令 \(\mu=r\)；
2. 计算衍生品到期收益的期望值；
3. 按无风险利率贴现。

记风险中性期望为 \(\hat E\)，则 \(f_0=e^{-rT}\hat E[\text{到期收益}]\)。

这不是"假设世界真的风险中性"

风险中性定价只是求解 BSM 方程的技巧，得到的价格在真实世界里同样正确。原因是：从风险中性世界换到风险厌恶世界时，有两件事同时变化——股价的期望增长率从 \(r\) 变成 \(\mu\)，衍生品的贴现率也从 \(r\) 变成某个更高的值——两种变化恰好完全抵消。第 13 章一步二叉树里，这一点可以显式算出来；BSM 方程是它的连续时间版本。

金融直觉：用 CFA 的单步二叉树最容易看清这种抵消。\(S_0=20\)，一年后 22 或 18，\(r=0\)（简化），看涨 \(K=21\) 到期支付 1 或 0。复制组合是 0.25 股股票、借 4.5 元，成本 \(0.25\times20-4.5=0.5\)，这就是期权价格，里面没有用到任何概率。 风险中性下上涨概率 \(p=(20-18)/(22-18)=0.5\)，期望收益 \(0.5\times1=0.5\)，按 \(r=0\) 贴现得 0.5。真实世界若上涨概率是 0.7，期权期望收益变成 0.7，但期权比股票风险大得多，贴现率也要大幅提高，最后算出来仍是 0.5。"概率换了，贴现率也跟着换"，两者对消，这就是风险中性定价"恰好正确"的原因。

由此也能看清 \(\mu\) 的角色：\(\mu\) 决定真实世界的行权概率、期望收益，也决定对冲策略在真实世界的盈亏分布（第 19a 章模拟中会看到），但不决定期权价格。

应用：股票远期合约

设利率恒为 \(r\)。远期多头到期价值 \(S_T-K\)，

风险中性下 \(\mu=r\)，由 (15.4)

所以 \(f=S_0-Ke^{-rT}\)，与第 5 章用无套利得到的式 (5.5) 一致。下一章我们用同样的三步法得到 BSM 期权定价公式。

量化实战：波动率估计、波动率拖累与 PDE 检验

本章内容在量化工作中有三类直接用途。

风险模型与仓位缩放。 历史波动率（对数收益、交易日年化）是风险平价、波动率目标（vol targeting）等仓位管理方法的输入。标准误 \(\hat\sigma/\sqrt{2n}\) 告诉你：用 60 个日收益估计 25% 的波动率，误差约 ±2.3 个百分点——这决定了波动率目标策略中仓位"抖动"有多少来自估计噪声，也是选择窗口长度、是否引入 EWMA/GARCH 的依据。"波动率主要由交易产生"则意味着隔夜收益和日内收益应分开建模，节假日不应按日历日计入方差。

回测与业绩评估。 算术平均与几何平均之差 \(\sigma^2/2\) 是回测报告里最常见的陷阱之一：用日收益均值乘 252 得到的"年化收益"系统性高于真实复利增长率。对杠杆策略尤其严重——杠杆 \(L\) 倍时拖累为 \(L^2\sigma^2/2\)，这也是杠杆 ETF 长期损耗的来源。

定价代码的单元测试。 任何自己写的衍生品定价函数，都可以用"是否满足 BSM 方程"做快速检验：用有限差分算 \(\partial_t f\)、\(\partial_S f\)、\(\partial_{SS}f\)，看残差是否为零。

下面的代码依次：复现例 15.4；用模拟验证 (15.4)(15.5) 和 \(E(x)=\mu-\sigma^2/2\)；展示波动率拖累；验证标准误公式；用 PDE 残差检验几个候选价格函数。

import numpy as np

# ---- 1) 复现例 15.4（表 15.1）：历史波动率及其标准误 ----
S = np.array([20.00, 20.10, 19.90, 20.00, 20.50, 20.25, 20.90, 20.90, 20.90, 20.75,
              20.75, 21.00, 21.10, 20.90, 20.90, 21.25, 21.40, 21.40, 21.25, 21.75, 22.00])
u = np.diff(np.log(S))                      # u_i = ln(S_i / S_{i-1})
n = len(u)
s = u.std(ddof=1)                           # 日对数收益样本标准差
sigma_hat = s * np.sqrt(252)                # 交易日年化
se = sigma_hat / np.sqrt(2 * n)
print(f"n={n}, sum u={u.sum():.5f}, sum u^2={np.sum(u**2):.5f}")
print(f"日波动率={s:.5f}, 年化波动率={sigma_hat:.3f}, 标准误={se:.3f}")

# ---- 2) 模拟几何布朗运动，检验对数正态性质（例 15.2）----
rng = np.random.default_rng(2024)
S0, mu, sigma, T = 20.0, 0.20, 0.40, 1.0
Z = rng.standard_normal(2_000_000)
ST = S0 * np.exp((mu - 0.5 * sigma**2) * T + sigma * np.sqrt(T) * Z)
print(f"E(S_T): 模拟 {ST.mean():.2f}  理论 {S0*np.exp(mu*T):.2f}")
print(f"var(S_T): 模拟 {ST.var():.2f}  理论 {S0**2*np.exp(2*mu*T)*(np.exp(sigma**2*T)-1):.2f}")
print(f"E[ln(S_T/S0)]/T: 模拟 {np.log(ST/S0).mean()/T:.4f}  理论 mu-sigma^2/2 = {mu-sigma**2/2:.4f}")

# ---- 3) 波动率拖累：日度模拟 10 年，算术平均 vs 几何（连续复利）收益 ----
days, years, n_paths = 252, 10, 20000
dt = 1 / days
mu, sigma = 0.10, 0.30
eps = rng.standard_normal((n_paths, days * years))
simple_ret = mu * dt + sigma * np.sqrt(dt) * eps     # 离散形式 dS/S = mu dt + sigma dz
arith = simple_ret.mean() / dt
log_growth = np.log1p(simple_ret).sum(axis=1).mean() / years
print(f"日收益算术平均年化 {arith:.4f}，实现的连续复利年收益均值 {log_growth:.4f}，理论 {mu - sigma**2/2:.4f}")

# ---- 4) 标准误 sigma/sqrt(2n) 的蒙特卡洛验证（真实 sigma=25%，用 60 个日收益估计）----
true_sig, n_obs = 0.25, 60
r = true_sig / np.sqrt(252) * rng.standard_normal((50000, n_obs))
est = r.std(axis=1, ddof=1) * np.sqrt(252)
print(f"估计量标准差 {est.std():.4f}，公式 {true_sig/np.sqrt(2*n_obs):.4f}")

# ---- 5) 用有限差分检查一个函数是否满足 BSM 偏微分方程 ----
def pde_residual(f, S, t, r, sigma, h=1e-3, k=1e-5):
    f_t = (f(S, t + k) - f(S, t - k)) / (2 * k)
    f_S = (f(S + h, t) - f(S - h, t)) / (2 * h)
    f_SS = (f(S + h, t) - 2 * f(S, t) + f(S - h, t)) / h**2
    return f_t + r * S * f_S + 0.5 * sigma**2 * S**2 * f_SS - r * f(S, t)

r, sigma, T, K = 0.05, 0.2, 1.0, 50.0
cands = {
    "远期 S-K e^{-r(T-t)}": lambda S, t: S - K * np.exp(-r * (T - t)),
    "支付 1/S_T 的衍生品":   lambda S, t: np.exp((sigma**2 - 2 * r) * (T - t)) / S,
    "e^S（不可交易）":        lambda S, t: np.exp(S),
    "S^2（缺少时间因子）":     lambda S, t: S**2,
}
for name, f in cands.items():
    print(f"{name:<22s} 残差 = {pde_residual(f, 3.0, 0.3, r, sigma):+.6f}")

关键输出：

n=20, sum u=0.09531, sum u^2=0.00326
日波动率=0.01216, 年化波动率=0.193, 标准误=0.031
E(S_T): 模拟 24.44  理论 24.43
var(S_T): 模拟 103.87  理论 103.54
E[ln(S_T/S0)]/T: 模拟 0.1202  理论 mu-sigma^2/2 = 0.1200
日收益算术平均年化 0.0996，实现的连续复利年收益均值 0.0545，理论 0.0550
估计量标准差 0.0230，公式 0.0228
远期 S-K e^{-r(T-t)}     残差 = +0.000000
支付 1/S_T 的衍生品          残差 = -0.000000
e^S（不可交易）              残差 = +5.623951
S^2（缺少时间因子）            残差 = +0.810000

读输出时注意三点。第一，例 15.4 的数字完全复现。第二，期望收益 10%、波动率 30% 的资产，日收益均值年化后是 10%，但真实的复利增长只有约 5.5%——差额正是 \(\sigma^2/2=4.5\%\)。第三，\(S^2\) 的残差 \(0.81=(r+\sigma^2)S^2\)：它不满足方程，但乘上合适的时间因子 \(e^{(r+\sigma^2)(T-t)}\) 后就满足（原书习题 15.29 的结论：支付 \(S_T^2\) 的衍生品价格为 \(S^2e^{(r+\sigma^2)(T-t)}\)）。

本章小结

几何布朗运动下，\(\ln S_T\) 精确服从正态分布，股价对数正态，\(E(S_T)=S_0e^{\mu T}\)；实现的年化连续复利收益服从均值 \(\mu-\sigma^2/2\)、标准差 \(\sigma/\sqrt T\) 的正态分布，\(\sigma^2/2\) 是算术与几何平均之差。波动率用对数收益的样本标准差除以 \(\sqrt\tau\) 估计，按交易日年化，标准误约 \(\hat\sigma/\sqrt{2n}\)。BSM 方程来自一个简单想法：空 1 份衍生品、多 \(\partial f/\partial S\) 股股票，股价风险在瞬间被完全对消，组合只能赚无风险利率；推导中 \(\mu\) 被消去，于是风险偏好不影响价格，可以在风险中性世界中按"令 \(\mu=r\)、求期望、按 \(r\) 贴现"来定价。

练习

基础

1. 股价 50，\(\mu=12\%\)，\(\sigma=25\%\)。求 1 年后股价的 95% 置信区间、期望和中位数。 提示：\(\ln S_T\sim\phi(\ln50+0.12-0.03125,\ 0.0625)\)；区间 \(e^{4.0007\pm1.96\times0.25}\)，约 33.47 到 89.19；期望 \(50e^{0.12}=56.37\)；中位数 \(50e^{0.08875}=54.64\)。
2. 波动率 30%，一个交易日内股价变动的标准差约为百分之多少？一年按 252 个交易日计。 提示：\(30\%/\sqrt{252}=1.89\%\)（原书习题 15.2）。
3. 某基金 4 年的年收益为 +40%、−30%、+40%、−30%。算术平均与几何平均年收益各是多少？投资者 4 年后赚了还是赔了？ 提示：算术平均 5%；\(1.4\times0.7=0.98\)，四年后 \(0.98^2=0.9604\)，几何平均约 \(-1.0\%\)，赔了。
4. 验证 \(f=S\,e^{\,q(t)}\) 满足 BSM 方程时 \(q(t)\) 必须是什么。这个衍生品是什么？ 提示：代入得 \(q'(t)S+rS=rS\)，\(q'=0\)，\(f=S\)，即股票本身。
5. 解释为什么 BSM 方程中没有 \(\mu\)，以及这是否意味着期权价格与股票的"好坏"无关。 提示：\(\mu\) 在构造无风险组合时被消去。期权价格以当前股价表示，股票前景已体现在 \(S_0\) 中；给定 \(S_0\)，\(\mu\) 不再提供额外信息。

进阶

6. 用 30 个周收益估计年化波动率得 28%。给出标准误和近似 95% 置信区间。若改用 150 个日收益，标准误变为多少？ 提示：\(0.28/\sqrt{60}=3.6\%\)，区间约 \([21\%,35\%]\)；日数据 \(0.28/\sqrt{300}=1.6\%\)。
7. 推导到期支付 \(S_T^n\) 的衍生品价格，并验证它满足 BSM 方程。 提示：风险中性下 \(\hat E(S_T^n)=S^n\exp\{[nr+\tfrac12n(n-1)\sigma^2](T-t)\}\)，贴现得 \(f=S^n e^{[(n-1)r+\frac12 n(n-1)\sigma^2](T-t)}\)，即原书习题 15.12 的 \(h(t,T)\)。
8. 用 (15.17) 为永续美式看跌定价：求最优行权边界 \(H^*\) 和期权价值。 提示：最大化 \((K-H)(S/H)^{-\alpha}\)，\(\alpha=2r/\sigma^2\)，得 \(H^*=\alpha K/(1+\alpha)\)，价值 \(\frac{K}{1+\alpha}\left(\frac{\alpha K}{(1+\alpha)S}\right)^{\alpha}\)（原书习题 15.23）。
9. 若周五到周一的方差只比普通交易日高约 20%，用日历日年化（\(\sqrt{365}\)）与用交易日年化（\(\sqrt{252}\)）会怎样影响一周期期权的估值？ 提示：日历日假设周末贡献 3 天方差，高估周末风险；按交易日计时，跨周末的期权剩余期限应按剩余交易日数计算。
10. 在 BSM 推导中，若组合改为"空 1 份衍生品、多 \(h\) 股"，\(h\ne\partial f/\partial S\)，组合收益的方差是多少？说明为什么只有 \(h=\partial f/\partial S\) 能得到 PDE。 提示：\(\Delta\Pi\) 的随机项为 \((h-\partial f/\partial S)\sigma S\Delta z\)，方差 \((h-f_S)^2\sigma^2S^2\Delta t\)；只有为零时组合无风险，才能使用无套利条件。

原书推荐习题：15.1、15.3（模型假设与风险中性原理）；15.7、15.9、15.27（股价与收益分布、置信区间）；15.10（基金收益误导）；15.2、15.26、15.28（波动率换算、历史波动率与标准误）；15.11、15.12、15.29（幂型支付的定价与 PDE 验证）；15.23（永续美式看跌）。

原书对照

原书为 Hull《Options, Futures, and Other Derivatives》Global Edition，表中为 PDF 页码。\(E(S_T)\)、\(\operatorname{var}(S_T)\) 的证明见作者网站 Technical Note 2。延伸阅读：Black & Scholes (1973)、Merton (1973) 原始论文；Cox & Ross (1976) 风险中性定价；Fama (1965)、French (1980)、French & Roll (1986)、Roll (1984) 关于波动率成因。