第 11 章 股票期权的性质

第 10 章介绍了期权"是什么、怎么交易"。本章开始回答"值多少钱"——但先不回答精确的价格，而是回答一个更基础的问题：不对股价走势做任何概率假设，仅凭"市场上不存在套利机会"，我们能对期权价格说些什么？

答案出人意料地丰富。我们会得到期权价格的上下界、欧式看涨与看跌期权之间的精确关系（看涨-看跌平价），以及关于提前行权的两个重要结论：无股息股票的美式看涨期权永远不应提前行权，而美式看跌期权在深度实值时应当提前行权。本章的所有结论都不依赖股价服从何种分布，因此它们在任何模型下都成立——这正是它们在量化实务中被用作"数据健康检查"的原因。

本章使用的核心方法只有一个：构造两个在到期时价值相同（或一个总不低于另一个）的组合，从而推出它们今天的价格关系。 读者务必把这个"复制论证"练熟，它在后面的二叉树、BSM 模型中会反复出现。

学习目标

1. 说出影响股票期权价格的六个因素，以及每个因素对欧式、美式看涨看跌期权价格的影响方向和理由。
2. 用无套利论证推出期权价格的上界与下界（含有股息的情形），并能在价格违背界限时写出具体的套利操作。
3. 推导并熟练应用看涨-看跌平价 \(c+Ke^{-rT}=p+S_0\)（及其含股息形式），会用它识别套利、合成头寸、反推隐含利率与隐含股息。
4. 证明无股息股票的美式看涨期权不应提前行权，理解美式看跌期权提前行权的权衡，掌握美式期权的 \(C-P\) 不等式。
5. 用期权语言理解公司资本结构（Merton 模型的雏形）。

读前导读

这一章在解决什么问题。 在 CFA 衍生品部分你已经背过看涨-看跌平价，也知道"protective put = fiduciary call"。本章要做的是把这类结论的证明方法交到你手里：只用"无套利"一条公理，不假设股价怎么走，就能推出价格上下界、平价、美式看涨不提前行权、看涨价格对行权价是凸函数。这些结论是"模型无关"的，所以在量化工作里它们是检查数据和模型的第一道关卡——任何定价模型、任何报价，只要违反了它们，不是错了就是有套利。

方法只有一个，叫占优论证（dominance argument）：如果组合 A 在到期时的价值在每一种情形下都不低于组合 B，那么今天 A 的价格也不能低于 B，否则"买 A 卖 B"就是白拿钱。这和会计里的"成本与可变现净值孰低"一样，是一条看起来简单、用起来威力很大的规则。

需要先想起来的数学。

• 连续复利折现 \(e^{-rT}\)。 今天的 1 元按连续复利 \(r\) 投资 \(T\) 年变成 \(e^{rT}\) 元；反过来，\(T\) 年后的 \(K\) 元今天值 \(Ke^{-rT}\)。例：\(K=100\)，\(r=5\%\)，\(T=1\)，现值 \(100e^{-0.05}\approx95.12\)。\(r>0\) 时 \(e^{-rT}<1\)，这一事实在本章被反复使用。见 第 00 册第 04 章 级数与收敛。
• 不等式的方向与 \(\max\)。 两个不等式 \(c\ge S_0-Ke^{-rT}\) 和 \(c\ge0\) 同时成立，等价于 \(c\ge\max(S_0-Ke^{-rT},0)\)。读法："比两个数都大"就是"比两者中大的那个大"。
• 反证法。 先假设结论不成立，推出矛盾，从而结论成立。11.5 节"美式看涨不提前行权"就是这样证的。见 第 00 册第 08 章 读懂数学证明与符号。
• 凸函数与二阶差分。 函数 \(f\) 凸，指任意两点连线位于函数图像之上，即 \(f(\frac{x_1+x_3}{2})\le\frac{f(x_1)+f(x_3)}{2}\)。对光滑函数，凸等价于二阶导数 \(f''\ge0\)。等距三点的 \(f(x_1)-2f(x_2)+f(x_3)\) 除以间距平方，就是 \(f''\) 的近似。债券价格对收益率的凸性你很熟，这里换成"期权价格对行权价"。见 第 00 册第 02 章 导数与泰勒展开。

怎么读这一章。 11.3、11.4、11.5 是核心，务必自己画表把每个组合在 \(S_T>K\)、\(S_T<K\) 两种情形下的价值写一遍。11.1 是定性结论，读懂理由即可，表 11.1 不必死记，后面学了希腊字母会自然理解。11.6、11.7 读结论和直觉。11.8 对量化工作很重要，建议精读。美式期权的不等式（11.7）的证明第一次可以跳过，只记结论。

11.1 影响期权价格的因素

影响股票期权价格的因素有六个：

1. 当前股价 \(S_0\)；
2. 行权价 \(K\)；
3. 到期时间 \(T\)；
4. 股价波动率 \(\sigma\)；
5. 无风险利率 \(r\)；
6. 期权寿命内预期支付的股息。

原书图 11.1、11.2 以 \(S_0=50\)、\(K=50\)、\(r=5\%\)、\(\sigma=30\%\)、\(T=1\)、无股息为基准（此时看涨期权价格 7.116，看跌期权价格 4.677），每次只改变一个因素，画出期权价格的变化。结果汇总为表 11.1（"+"表示该变量增加时期权价格增加或不变，"−"表示减少或不变，"?"表示方向不确定）：

下面逐一说明理由。

股价与行权价。 看涨期权行权时的收益是股价超出行权价的部分，所以股价越高、行权价越低，看涨期权越值钱；看跌期权恰好相反。

到期时间。 美式期权的期限越长，价值至少不会减少：长期期权拥有短期期权的全部行权机会，而且更多。欧式期权通常也随期限增加而增值，但不必然。例如，同一股票上 1 个月与 2 个月到期的两个欧式看涨期权，若 6 周后预计有一笔很大的股息，使股价在除息日大幅下跌，那么短期期权（在派息前到期）可能比长期期权更值钱。另一个例子是深度实值的欧式看跌期权：它的价值接近 \(Ke^{-rT}-S_0\)，期限越长，\(Ke^{-rT}\) 越小，价值反而下降（原书习题 11.30）。

波动率。 波动率粗略地说是对股价未来变动不确定性的度量（精确定义见第 15a 章）。波动率上升意味着股价大涨和大跌的可能性都增加。对于持有股票的人，这两种变化大致相互抵消；但期权持有人的下行损失以期权费为限，只受益于有利方向的变动。因此看涨与看跌期权的价值都随波动率上升而增加。这一单调性是"交易波动率"的前提：买期权本质上是做多波动率。

无风险利率。 利率的影响不那么直接。利率上升时，投资者对股票要求的预期收益上升；同时，期权持有人未来现金流的现值下降。两者的综合效果是看涨期权增值、看跌期权贬值。直观上看，看涨期权的持有人是"晚付钱买股票"（行权价晚付，利率越高越划算），看跌期权的持有人是"晚收钱卖股票"（利率越高越吃亏）。注意：这是在股价不变的假设下的结论。现实中利率上升时股价往往下跌，综合效果可能使看涨期权贬值、看跌期权增值。

股息。 股息使股价在除息日下跌，这对看涨期权不利、对看跌期权有利。因此看涨期权价值与期权寿命内的预期股息负相关，看跌期权价值与之正相关。

11.2 假设与记号

本章假设市场上存在某些参与者（例如大型投资银行）满足以下条件：

1. 没有交易成本；
2. 所有交易的净利润适用相同的税率；
3. 可以按无风险利率借入和贷出资金。

并假设这些参与者会迅速利用任何套利机会，因此市场上不存在套利机会。注意我们并不要求所有投资者都满足这些条件，只要求有一部分关键参与者满足。

记号如下：

\(r\) 是名义利率，不是实际利率。我们假设 \(r>0\)，否则无风险投资相对持有现金没有优势。

11.3 期权价格的上下界

本节的界只依赖 \(r>0\) 和无套利，不依赖任何关于股价分布的假设。若期权价格违背了这些界，就存在套利机会。

上界

看涨期权。 无论美式还是欧式，看涨期权给的只是"以 \(K\) 买一股"的权利，它不可能比股票本身更值钱：

若违背，买入股票并卖出看涨期权就能无风险获利。

看跌期权。 美式看跌期权最多让持有人以 \(K\) 卖出一股，股价最低为零，所以无论何时行权收益都不超过 \(K\)：

欧式看跌期权到期时最多值 \(K\)，所以今天最多值 \(K\) 的现值：

若违背，卖出期权并把所得按无风险利率投资，就能无风险获利。

无股息股票欧式看涨期权的下界

结论：下界为 \(S_0-Ke^{-rT}\)。

先看一个数值例子。 \(S_0=20\)，\(K=18\)，\(r=10\%\)（每年），\(T=1\)。下界为 \(20-18e^{-0.1}=3.71\)。假设市场上该欧式看涨期权价格只有 3.00。套利者可以：卖空一股股票、买入一份看涨期权，得到现金 \(20-3=17\)，按 10% 投资一年得到 \(17e^{0.1}=18.79\)。一年后：

• 若股价高于 18，行权以 18 买入一股平掉空头，剩 \(18.79-18=0.79\)；
• 若股价低于 18，直接在市场上买股平仓，获利更多。例如股价 17 时获利 \(18.79-17=1.79\)。

无论哪种情况都赚钱，这就是套利。

一般论证。 考虑两个组合：

• 组合 A：一份欧式看涨期权 + 一份到期支付 \(K\) 的零息债券；
• 组合 B：一股股票。

到期时，组合 A 中零息债券值 \(K\)。若 \(S_T>K\)，行权，组合 A 值 \((S_T-K)+K=S_T\)；若 \(S_T\le K\)，期权作废，组合 A 值 \(K\)。所以组合 A 到期价值为 \(\max(S_T,K)\)。组合 B 到期价值为 \(S_T\)。

组合 A 在到期时总不低于组合 B，并且有时严格更高。无套利要求今天组合 A 也不低于组合 B：

又因为期权最坏结局是作废，价格不能为负，所以

推导拆解：为什么"到期时 A ≥ B"能推出"今天 A ≥ B"？用反证法。假设今天 \(c+Ke^{-rT}<S_0\)，即 A 比 B 便宜。那么今天卖空一股（组合 B 的反向）、买入组合 A，手里净剩 \(S_0-(c+Ke^{-rT})>0\) 的现金。到期时组合 A 价值 \(\max(S_T,K)\)，足够买回一股平掉空头（需 \(S_T\)），还可能剩 \(K-S_T\)。也就是说：今天净收入为正，到期净支出不会为负——这就是套利。无套利市场不允许这种情况，所以假设不成立。 本章所有不等式都是这一个模板：写出两个组合 → 比较到期价值 → 由无套利得到今天的价格关系。数值例子里"卖空、买期权、投资 17 元"正是这个模板的具体执行。

例 11.1 无股息股票欧式看涨期权，\(S_0=51\)，\(K=50\)，\(T=0.5\)，\(r=0.12\)。下界为 \(51-50e^{-0.06}=3.91\)。

无股息股票欧式看跌期权的下界

结论：下界为 \(Ke^{-rT}-S_0\)。

数值例子。 \(S_0=37\)，\(K=40\)，\(r=5\%\)，\(T=0.5\)。下界为 \(40e^{-0.025}-37=2.01\)。若期权价格只有 1.00，套利者借入 38 美元，买入看跌期权和一股股票。6 个月后需还款 \(38e^{0.025}=38.96\)。

• 若股价低于 40，行权以 40 卖出股票，还款后获利 \(40-38.96=1.04\)；
• 若股价高于 40，放弃期权，在市场上卖股获利更多。例如股价 42 时获利 \(42-38.96=3.04\)。

一般论证。 考虑：

• 组合 C：一份欧式看跌期权 + 一股股票；
• 组合 D：一份到期支付 \(K\) 的零息债券。

到期时，若 \(S_T<K\)，行权以 \(K\) 卖出股票，组合 C 值 \(K\)；若 \(S_T\ge K\)，期权作废，组合 C 值 \(S_T\)。所以组合 C 到期价值为 \(\max(S_T,K)\)，总不低于组合 D 的 \(K\)。于是 \(p+S_0\ge Ke^{-rT}\)，结合 \(p\ge0\)：

例 11.2 无股息股票欧式看跌期权，\(S_0=38\)，\(K=40\)，\(T=0.25\)，\(r=0.10\)。下界为 \(40e^{-0.025}-38=1.01\)。

11.4 看涨-看跌平价

推导

注意上一节的组合 A 与组合 C 在到期时价值都是 \(\max(S_T,K)\)。把它们并排列出（原书表 11.2），两者的行权价、期限相同，股票不付股息：

两个组合在到期时的价值在所有状态下都完全相同。由于是欧式期权，到期前不能行权，组合在到期前不会有其他现金流。因此无套利要求两个组合今天的价值必须相等：

这就是看涨-看跌平价（put–call parity）。它说明：已知某行权价、某到期日的欧式看涨期权价格，就能推出相同行权价、相同到期日的欧式看跌期权价格，反之亦然。

平价关系的价值在于它完全不依赖模型：不需要知道波动率，不需要知道股价分布，不需要知道投资者的风险偏好。任何正确的期权定价模型都必须满足它。

金融直觉：CFA 教材里把组合 A 叫 fiduciary call（看涨 + 现金），组合 C 叫 protective put（股票 + 看跌）。两者到期收益都是"\(S_T\) 与 \(K\) 取大"，即"保底 \(K\)、上不封顶"。一个是"拿着现金、用看涨期权参与上涨"，另一个是"拿着股票、用看跌期权兜住下跌"——殊途同归。平价说的就是：保底产品有两种做法，价格必须一致。结构化理财里的"保本型产品"正是组合 A 的变体。

平价套利

例（原书表 11.3） \(S_0=31\)，\(K=30\)，\(r=10\%\)，3 个月期欧式看涨期权价格 \(c=3\)。平价左边 \(c+Ke^{-rT}=3+30e^{-0.1\times3/12}=32.26\)。

情形一：看跌期权价格 2.25。 平价右边 \(p+S_0=33.25>32.26\)，组合 C 相对组合 A 被高估。套利策略是"买低卖高"：买入看涨期权、卖出看跌期权、卖空股票。初始现金流 \(-3+2.25+31=30.25\)，按无风险利率投资 3 个月得 \(30.25e^{0.025}=31.02\)。到期时，若股价高于 30，行使看涨期权以 30 买入一股；若股价低于 30，卖出的看跌期权被行权，同样以 30 买入一股。两种情况下都用 30 买入的股票平掉空头，净利 \(31.02-30=1.02\)。

情形二：看跌期权价格 1。 平价右边 \(p+S_0=32.00<32.26\)，组合 A 被高估。卖出看涨期权、买入看跌期权、买入股票，初始投资 \(31+1-3=29\)，借款 3 个月后需还 \(29e^{0.025}=29.73\)。到期时，要么行使看跌期权，要么卖出的看涨期权被行权，总之以 30 卖出股票，净利 \(30-29.73=0.27\)。

注意情形一的利润 1.02 恰好是平价偏差 \(33.25-32.26=0.99\) 的到期值 \(0.99e^{0.025}\approx1.02\)，情形二同理。

平价的若干变形

把平价改写成不同形式，可以得到许多合成头寸：

• \(p=c+Ke^{-rT}-S_0\)：用看涨期权、债券和卖空股票合成看跌期权（原书习题 11.22）。
• \(S_0=c-p+Ke^{-rT}\)：多头看涨 + 空头看跌 + 债券 = 股票，即合成股票。
• \(c-p=S_0-Ke^{-rT}\)：多头看涨 + 空头看跌 = 以 \(K\) 交割的远期多头（其价值正是第 5 章的远期合约价值），即合成远期。

第 12 章会大量使用这些关系来解释期权策略的盈亏形状。

平价与资本结构（Business Snapshot 11.1）

Black、Scholes 和 Merton 在 20 世纪 70 年代初就指出，期权可以用来刻画公司的资本结构，这一思想如今被金融机构广泛用于评估信用风险。

设公司资产由两部分融资：5 年后到期、本金为 \(K\) 的零息债券，以及股权；公司不付股息。记 \(A_T\) 为 5 年后公司资产价值。

• 若 \(A_T>K\)，股东偿还债务，保留剩余价值 \(A_T-K\)；
• 若 \(A_T<K\)，股东宣布破产，债权人得到公司全部资产 \(A_T\)。

于是股权价值为 \(\max(A_T-K,0)\)：股权是以公司资产为标的、行权价为 \(K\) 的 5 年期欧式看涨期权，今天价值记为 \(c\)。债权人得到 \(\min(A_T,K)=K-\max(K-A_T,0)\)，即无风险债券减去一个以公司资产为标的的看跌期权，今天价值为 \(\mathrm{PV}(K)-p\)。

公司资产今天的价值等于各融资工具价值之和：

恰好是以公司资产为标的的看涨-看跌平价。这是 Merton 结构化信用模型的基础：债权人实际上卖出了一个公司资产上的看跌期权，看跌期权的价值就是信用风险的价格。由此还可以理解"资产替代"问题：股东持有看涨期权，波动率越高看涨期权越值钱，因此高杠杆公司的股东有动机提高资产风险（原书习题 11.27）。

美式期权的平价不等式

平价只对欧式期权成立。对无股息股票的美式期权，可以证明：

证明思路（原书习题 11.18）。

右侧不等式。 无股息时 \(C=c\)（11.5 节将证明），而 \(P\ge p\)，所以 \(C-P\le c-p=S_0-Ke^{-rT}\)。

左侧不等式。 考虑两个组合：组合 I 为一份欧式看涨期权加现金 \(K\)（按无风险利率投资）；组合 J 为一份美式看跌期权加一股股票。

• 若美式看跌期权在某时刻 \(\tau<T\) 被提前行权，组合 J 在 \(\tau\) 时价值为 \(K\)；而组合 I 价值为 \(c_\tau+Ke^{r\tau}>K\)。
• 若看跌期权一直持有到期，组合 J 到期价值 \(\max(S_T,K)\)；组合 I 到期价值 \(\max(S_T-K,0)+Ke^{rT}=\max(S_T,K)+K(e^{rT}-1)>\max(S_T,K)\)。

无论哪种情况，组合 I 都更值钱，所以 \(c+K\ge P+S_0\)。又 \(C=c\)，得 \(C-P\ge S_0-K\)。

推导拆解：这一证明比平价多了一个难点：美式看跌可能提前行权，组合 J 的现金流时间不确定。解决办法是"无论 J 什么时候结束，都在那一刻比较"。 情形一（提前行权于 \(\tau\)）：J 中的看跌以 \(K\) 卖掉那一股，J 变成现金 \(K\)。I 的现金 \(K\) 已经滚到 \(Ke^{r\tau}>K\)（这一步用了 \(r>0\)），再加上非负的欧式看涨 \(c_\tau\)，所以 I > J。 情形二（持有到期）：J 值 \(\max(S_T,K)\)。I 中的看涨值 \(\max(S_T-K,0)\)，现金值 \(Ke^{rT}\)；把 \(Ke^{rT}\) 拆成 \(K+K(e^{rT}-1)\)，前一个 \(K\) 和看涨合起来正好是 \(\max(S_T,K)\)，多出来的 \(K(e^{rT}-1)>0\) 是利息。 两种情形 I 都占优，所以今天 \(c+K\ge P+S_0\)。注意组合 I 用的是现金 \(K\) 而不是 \(Ke^{-rT}\)，所以左侧界是 \(S_0-K\)，比右侧的 \(S_0-Ke^{-rT}\) 小，两者之间的空隙就是美式看跌"提前行权权利"的价值空间。

例 11.3 无股息股票美式看涨期权，\(K=20\)，5 个月到期，价格 1.50；\(S_0=19\)，\(r=10\%\)。由 (11.7)：

\[19-20\le C-P\le19-20e^{-0.1\times5/12},\]

即 \(-1.00\le C-P\le-0.18\)，也就是 \(0.18\le P-C\le1.00\)。又 \(C=1.50\)，所以同一行权价、同一期限的美式看跌期权价格在 1.68 与 2.50 之间。

11.5 无股息股票的看涨期权：永远不提前行权

结论：无股息股票的美式看涨期权永远不应提前行权。 因此 \(C=c\)。

直观理解

考虑一个 1 个月后到期的深度实值美式看涨期权，股价 70，行权价 40。是否该立即行权？

• 若投资者打算持股超过 1 个月：立即行权不是最佳选择。保留期权到月末再行权，40 美元可以晚一个月支付，期间能赚利息；股票无股息，提前持股不能带来任何收入；而且股价仍有（哪怕极小的）可能在一个月内跌破 40，届时投资者会庆幸自己没有行权。
• 若投资者认为股票被高估、想现在就退出：应该卖出期权而不是行权。市场上总有想持有该股票的投资者愿意买这个期权（否则股价不会是 70），而期权价格一定高于内在价值 30。另一种做法是保留期权并卖空股票，锁定一个大于 30 的利润。

正式证明

由 (11.4)，\(c\ge S_0-Ke^{-rT}\)。美式期权拥有欧式期权的全部行权机会，所以 \(C\ge c\)，从而

因为 \(r>0\)，当 \(T>0\) 时 \(Ke^{-rT}<K\)，于是 \(C>S_0-K\)。也就是说，在到期前的任何时刻，美式看涨期权的价值都严格大于其内在价值。如果某时刻提前行权是最优的，期权在那时的价值就应等于内在价值 \(S_0-K\)——矛盾。所以提前行权永远不是最优的。

白话解释：这段证明的逻辑链只有三环：(1) 美式 ≥ 欧式（多一项权利不会更便宜）；(2) 欧式 ≥ \(S_0-Ke^{-rT}\)（上一节的下界）；(3) \(S_0-Ke^{-rT}>S_0-K\)（因为 \(e^{-rT}<1\)）。串起来就是"不行权、继续持有（或卖出）的价值"严格大于"现在行权拿到的 \(S_0-K\)"。行权等于用一个更值钱的东西换一个更不值钱的东西，所以永远不该这样做。这里的"\(S_0\)"可以理解为到期前任意时刻的股价，论证在每个时刻都成立。

两个原因

1. 保险作用。 持有看涨期权而不是股票，相当于对"股价跌破行权价"买了保险。一旦行权，期权变成股票，保险就消失了。
2. 货币时间价值。 行权价是持有人要付出的钱，付得越晚越好。

（原书习题 11.4 指出，即使利率为零，第一个原因仍然成立。）

价格界限与图形

既然 \(C=c\)，无股息股票美式与欧式看涨期权价格的下界和上界都是 \(\max(S_0-Ke^{-rT},0)\) 与 \(S_0\)（原书图 11.3）。原书图 11.4 显示，看涨期权价格作为 \(S_0\) 的函数是一条凸曲线，始终位于下界 \(\max(S_0-Ke^{-rT},0)\) 之上；\(r\)、\(T\) 或波动率增加时，曲线向上移动。

11.6 无股息股票的看跌期权：深度实值时应提前行权

结论：无股息股票的美式看跌期权提前行权可能是最优的。 事实上，在期权寿命中的任何时刻，只要看跌期权足够深度实值，就应该提前行权。

直观理解

考虑一个极端情形：行权价 10，股价几乎为零。立即行权得到 10 美元。如果等待，未来能拿到的最多也是 10 美元（股价不可能为负），而今天的 10 美元比将来的 10 美元更值钱。所以应立即行权。

和看涨期权一样，看跌期权与股票的组合也提供保险（防止股价跌破某个水平）。但与看涨期权不同，放弃保险、立即拿到行权价可能更划算，因为立即拿到 \(K\) 可以开始赚利息。提前行权是"保险价值"与"货币时间价值"之间的权衡：

• \(S_0\) 越低（期权越深度实值，保险的边际价值越小），
• \(r\) 越高（早拿钱的利息越多），
• 波动率越低（保险越不值钱），

提前行权越有吸引力。

价格界限

欧式看跌期权满足

美式看跌期权随时可以行权，所以必有 \(P\ge\max(K-S_0,0)\)——这比欧式期权的下界更强。结合 (11.2)：

（原书图 11.5。）

图形

原书图 11.6 画出了美式看跌期权价格与 \(S_0\) 的关系：当 \(S_0\) 足够小（低于某个临界点 A）时，价格曲线与内在价值线 \(K-S_0\) 重合——此时立即行权最优，期权价值就等于内在价值。当 \(r\) 下降、波动率上升、\(T\) 增加时，曲线向上移动。

由此可得两个推论：

1. 因为提前行权有时可取，美式看跌期权总比相应的欧式看跌期权更值钱（\(P>p\)）。
2. 因为美式看跌期权有时恰好等于内在价值，而欧式看跌期权在其下方，欧式看跌期权的价格有时低于其内在价值。

金融直觉：欧式看跌"低于内在价值"并不矛盾，因为欧式期权不能现在行权，"内在价值"\(K-S_0\) 根本拿不到手。股价为 0 时，欧式看跌到期必然得到 \(K\)，今天只值 \(Ke^{-rT}<K\)。这和"一张 1 年后到期、面值 100 的零息债今天只值 95"是同一件事：钱拿到得晚，就要打折。

原书图 11.7：欧式看跌期权曲线位于美式曲线之下，它与内在价值线相交于点 B，点 B 对应的股价高于点 A；在 \(S_0=0\) 的点 E，欧式看跌期权价格为 \(Ke^{-rT}\)（必定在到期时拿到 \(K\)）。

美式看跌期权的提前行权边界没有解析解，需要用数值方法（第 13、21a 章的二叉树、第 21c 章的有限差分等）求解。

11.7 股息的影响

以上结论都假设股票不付股息。现在引入股息。假设期权寿命内的股息是已知的——交易所期权多数寿命不足一年，这个假设通常合理。记 \(D\) 为期权寿命内股息的现值，并假设股息在除息日支付。

下界

把组合 A 改为"一份欧式看涨期权 + 现金 \(D+Ke^{-rT}\)"，组合 B 仍为一股股票（股东会收到股息，现金部分正好覆盖股息与行权价）。同样的论证给出

把组合 C 取为"一份欧式看跌期权 + 一股股票"，组合 D 为现金 \(D+Ke^{-rT}\)，得到

直观上，有股息时只需把 \(S_0\) 换成"扣除股息现值后的股价" \(S_0-D\)。

提前行权

有股息时，美式看涨期权不再是"永不提前行权"。可以证明：提前行权只可能在除息日之前的瞬间是最优的，其他时刻都不是（详见第 15b 章 15.12 节）。直观上，持有看涨期权的人拿不到股息，而股价在除息日会下跌；若股息足够大，在除息前行权、拿到股票并领取股息可能更划算。

含股息的平价

美式期权的不等式（原书习题 11.19）：

11.8 看涨期权价格对行权价的凸性

这一结论原书放在习题 11.25、11.26 中，但它在量化实务中极其重要，我们单独讲。

命题。 设 \(K_1<K_2<K_3\)，\(K_2=(K_1+K_3)/2\)，三个欧式看涨期权到期日相同，价格分别为 \(c_1,c_2,c_3\)。则

看跌期权同理：\(p_2\le\frac12(p_1+p_3)\)。

证明。 考虑组合：买入一份 \(K_1\) 看涨、买入一份 \(K_3\) 看涨、卖出两份 \(K_2\) 看涨。这就是第 12 章的蝶式价差。逐段检查其到期收益：

• \(S_T\le K_1\)：全部作废，收益 0；
• \(K_1<S_T\le K_2\)：收益 \(S_T-K_1\ge0\)；
• \(K_2<S_T<K_3\)：收益 \((S_T-K_1)-2(S_T-K_2)=K_3-S_T>0\)；
• \(S_T\ge K_3\)：收益 \((S_T-K_1)+(S_T-K_3)-2(S_T-K_2)=0\)。

收益总是非负，所以组合今天的价值也非负：\(c_1+c_3-2c_2\ge0\)。证毕。

这说明欧式期权价格作为行权价的函数是凸函数。第 12 章会进一步看到，二阶差分 \(c_1-2c_2+c_3\) 除以 \((\Delta K)^2\) 再乘以 \(e^{rT}\)，就是风险中性概率密度的离散近似（Breeden–Litzenberger），凸性等价于"概率密度非负"。

把本章得到的约束汇总，期权价格作为行权价的函数必须满足：单调（看涨关于 \(K\) 递减，看跌递增）、斜率有界（\(-e^{-rT}\le\partial c/\partial K\le0\)，可由牛市价差推出）、凸、满足平价、满足上下界。构建无套利波动率曲面时，这些就是必须施加的约束。

推导拆解：两处新符号的来历。 其一，\(\partial c/\partial K\)（偏导数，读作"\(c\) 对 \(K\) 的偏导"）：其他变量 \(S_0,r,T,\sigma\) 都不动，只让 \(K\) 变一点，\(c\) 变多少。斜率的界来自牛市价差：买 \(K_1\) 看涨、卖 \(K_2\) 看涨（\(K_1<K_2\)），到期收益在 0 与 \(K_2-K_1\) 之间，所以今天 \(0\le c_1-c_2\le(K_2-K_1)e^{-rT}\)。两边除以 \(K_2-K_1\) 并让间距趋于 0，得 \(-e^{-rT}\le\partial c/\partial K\le0\)。 其二，Breeden–Litzenberger：把看涨价格写成风险中性期望 \(c(K)=e^{-rT}\int_K^\infty(S-K)q(S)\,dS\)，\(q\) 是到期股价的风险中性密度（第 13 章起会讲风险中性）。对 \(K\) 求一次导数（积分下限 \(S=K\) 处被积函数 \(S-K=0\)，所以下限移动不贡献，只剩对被积函数求导，得到 \(-1\)）得 \(-e^{-rT}\int_K^\infty q(S)dS\)，即 \(-e^{-rT}\) 乘以"到期实值的概率"；再求一次得 \(e^{-rT}q(K)\)。所以 \(q(K)=e^{rT}\,\partial^2c/\partial K^2\approx e^{rT}\frac{c_1-2c_2+c_3}{(\Delta K)^2}\)。密度不能为负，凸性就是这一事实的价格表现。 金融上，蝶式价差的价格 ≈ "到期股价落在 \(K_2\) 附近"的概率乘以折现与间距平方，所以蝶式价差就是一张"押注股价落在某个区间"的彩票。

量化实战：用平价关系清洗期权数据、提取隐含参数

本章的结论在量化实务中有三类直接用途。

第一，数据健康检查。 平价、上下界、凸性都是模型无关的硬约束。在真实数据中，违背这些约束的报价绝大多数不是套利机会，而是陈旧报价（某条腿很久没有成交）、买卖价不同步、错误的合约乘数或除权调整遗漏。期权回测的第一步应当是把这些报价识别出来并剔除或降权，否则策略会"发现"大量虚假套利。

第二，提取隐含参数。 平价 \(c-p=(S_0-D)-Ke^{-rT}\) 说明，同一到期日下 \(c-p\) 是行权价 \(K\) 的线性函数：斜率为 \(-e^{-rT}\)，截距为 \(S_0-D\)。对一条期权链上的 \((K,\,c-p)\) 做回归，就能同时得到市场隐含的折现因子（隐含利率，对应原书习题 11.23）和隐含股息现值（或股指的隐含远期价格 \(F=(S_0-D)e^{rT}\)）。实务中，波动率曲面的构建通常就是从这一步开始的：先用平价求出每个到期日的隐含远期价格，再在远期价格上计算隐含波动率。对于难以借券的股票，平价偏离还反映了隐含借券费。

第三，套利与做市。 盒式价差（第 12 章）、转换与反转套利（conversion / reversal，即用股票、看涨、看跌三条腿锁定平价）是做市商日常对冲与融资的工具；美式期权的提前行权、除息前的股息风险是这些头寸的主要风险点。

下面的示例分两部分。第一部分复核原书的数值例子。第二部分用随机模拟生成一条带离散股息的欧式期权链（"理论价"借用第 15b 章的 BSM 公式生成，这里只把它当成数据来源），加入报价噪声，并人为把行权价 105 的看跌期权报价抬高 0.60 模拟陈旧报价，然后：(a) 用普通最小二乘（OLS）和稳健的 Theil-Sen 回归从平价中提取隐含利率与隐含股息；(b) 计算平价残差并标记异常；(c) 检查上下界与凸性。

import numpy as np
import pandas as pd
from scipy.stats import norm, theilslopes

# ---- 1) 原书数值例复核 ----
lb_call = lambda S, K, r, T, D=0: max(S - D - K*np.exp(-r*T), 0)
lb_put  = lambda S, K, r, T, D=0: max(D + K*np.exp(-r*T) - S, 0)
print("例11.1 看涨下界:", round(lb_call(51, 50, 0.12, 0.5), 2))
print("例11.2 看跌下界:", round(lb_put(38, 40, 0.10, 0.25), 2))
# 例11.3：美式 C-P 的界，S0-K <= C-P <= S0-K e^{-rT}
S0, K, r, T, C = 19, 20, 0.10, 5/12, 1.50
print("例11.3 美式看跌区间: [%.2f, %.2f]" % (C - (S0 - K*np.exp(-r*T)), C - (S0 - K)))
# 表11.3 平价套利
c, S0, K, r, T = 3, 31, 30, 0.10, 0.25
for p in (2.25, 1.00):
    lhs, rhs = c + K*np.exp(-r*T), p + S0
    print(f"p={p}: c+Ke^-rT={lhs:.2f}, p+S0={rhs:.2f}, 套利利润={abs(rhs-lhs)*np.exp(r*T):.2f}")

# ---- 2) 模拟一条带离散股息的欧式期权链，并做无套利检查 ----
rng = np.random.default_rng(42)
S0, r, T, sigma = 100.0, 0.04, 0.5, 0.25
D = 1.5 * np.exp(-r * 0.25)                 # 3 个月后派息 1.5，现值 D
Ks = np.arange(80, 121, 5.0)

def bs(S, K, r, T, sig, kind):              # 第 15b 章的 BSM 公式，这里只用来生成"理论价"
    d1 = (np.log(S/K) + (r + sig**2/2)*T) / (sig*np.sqrt(T)); d2 = d1 - sig*np.sqrt(T)
    return S*norm.cdf(d1) - K*np.exp(-r*T)*norm.cdf(d2) if kind == "c" else \
           K*np.exp(-r*T)*norm.cdf(-d2) - S*norm.cdf(-d1)

Sx = S0 - D                                  # 已知股息：用 S0-D 代替 S0
chain = pd.DataFrame({"K": Ks,
                      "c": bs(Sx, Ks, r, T, sigma, "c") + rng.normal(0, 0.03, len(Ks)),
                      "p": bs(Sx, Ks, r, T, sigma, "p") + rng.normal(0, 0.03, len(Ks))})
chain.loc[chain.K == 105, "p"] += 0.60       # 人为制造一个"陈旧报价"

# (a) 由平价 c - p = (S0 - D) - K e^{-rT}：对 K 回归，斜率 = -e^{-rT}，截距 = S0 - D
y = chain.c - chain.p
b_ols, a_ols = np.polyfit(chain.K, y, 1)
b_ts, a_ts, _, _ = theilslopes(y, chain.K)          # 稳健回归，抗个别坏报价
for name, b, a in (("OLS", b_ols, a_ols), ("Theil-Sen", b_ts, a_ts)):
    print(f"{name:9s}: 隐含 r = {-np.log(-b)/T:.4f}（真值 {r}），隐含 D = {S0 - a:.3f}（真值 {D:.3f}）")

# (b) 平价残差与上下界检查
chain["parity_resid"] = y - (a_ts + b_ts * chain.K)
chain["flag_parity"] = chain.parity_resid.abs() > 0.25
chain["call_lb_ok"] = chain.c >= np.maximum(S0 - D - chain.K*np.exp(-r*T), 0)
chain["put_lb_ok"]  = chain.p >= np.maximum(D + chain.K*np.exp(-r*T) - S0, 0)
# (c) 看涨价格对行权价的凸性：c(K-5) - 2c(K) + c(K+5) >= 0（蝶式价差非负）
fly = chain.c.shift(1) - 2*chain.c + chain.c.shift(-1)
chain["call_fly"] = fly
print(chain.round(3).to_string(index=False))

关键输出：

例11.1 看涨下界: 3.91
例11.2 看跌下界: 1.01
例11.3 美式看跌区间: [1.68, 2.50]
p=2.25: c+Ke^-rT=32.26, p+S0=33.25, 套利利润=1.02
p=1.0: c+Ke^-rT=32.26, p+S0=32.00, 套利利润=0.27
OLS      : 隐含 r = 0.0364（真值 0.04），隐含 D = 1.386（真值 1.485）
Theil-Sen: 隐含 r = 0.0397（真值 0.04），隐含 D = 1.563（真值 1.485）
    K      c      p  parity_resid  flag_parity  call_lb_ok  put_lb_ok  call_fly
 80.0 20.828  0.694         0.124        False        True       True       NaN
 85.0 16.635  1.495         0.033        False        True       True     0.541
 90.0 12.984  2.688         0.090        False        True       True     0.480
 95.0  9.814  4.391         0.118        False        True       True     0.470
100.0  7.113  6.710         0.000        False        True       True     0.655
105.0  5.067 10.126        -0.560         True        True       True     0.519
110.0  3.541 12.818         0.123        False        True       True     0.363
115.0  2.378 16.606         0.074        False        True       True     0.358
120.0  1.572 20.653         0.124        False        True       True       NaN

几点解读：

• 第一部分完全复现了原书例 11.1–11.3 和表 11.3 的数字。
• 一个坏报价就把 OLS 估出的隐含利率从 4% 拉到 3.64%；稳健回归 Theil-Sen 给出 3.97%，接近真值。实务中提取隐含参数时应当使用稳健方法，或者先剔除异常报价再回归。
• 隐含股息对噪声更敏感：截距 \(S_0-D\) 是把直线外推到 \(K=0\) 得到的，而行权价集中在 100 附近，斜率上的小误差会被放大约 100 倍。实务中常只用平值附近、流动性好的行权价，并结合多个到期日的信息。
• 平价残差准确地把行权价 105 的陈旧报价标记了出来（残差 −0.56，其余都在 ±0.13 以内）。注意这个坏报价并没有违反单个期权的上下界，也没有破坏看涨期权的凸性——只有平价这种"跨期权"的约束才能发现它。这说明数据清洗要多种约束配合使用。

本章小结

不对股价分布做任何假设，仅凭无套利就能推出大量关于期权价格的结论。看涨期权价格随股价、波动率、利率上升而增加，随行权价和股息增加而下降；看跌期权大体相反；美式期权随期限增加而增值，欧式期权则不一定。期权价格有上界（看涨不超过股价，看跌不超过行权价或其现值）和下界（欧式看涨不低于 \(S_0-D-Ke^{-rT}\)，欧式看跌不低于 \(D+Ke^{-rT}-S_0\)）。看涨-看跌平价 \(c+D+Ke^{-rT}=p+S_0\) 由"两个组合到期价值相同"的复制论证得到，违背即可构造无风险套利，并可以用来合成头寸、反推隐含利率与股息。无股息股票的美式看涨期权永远不应提前行权（保险价值 + 延迟付款），因此 \(C=c\)；美式看跌期权在深度实值时应提前行权，因此 \(P>p\)，而欧式看跌期权可能低于内在价值。有股息时，美式看涨期权可能在除息日前提前行权。公司股权可以看成公司资产上的看涨期权，债权等于无风险债减去看跌期权。第 15a、15b 章将加入股价分布假设，得到精确的定价公式；第 13、21a–21c 章介绍美式期权的数值定价方法。

练习

基础

1. 无股息股票，\(S_0=28\)，\(K=25\)，\(r=8\%\)，\(T=4\) 个月。求欧式看涨期权价格的下界。 提示：\(28-25e^{-0.08/3}=3.66\)。

2. 无股息股票，\(S_0=12\)，\(K=15\)，\(r=6\%\)，\(T=1\) 个月。求欧式看跌期权价格的下界。 提示：\(15e^{-0.005}-12=2.93\)。

3. 无股息股票，\(S_0=29\)，\(K=30\)，\(r=5\%\)，\(T=3\) 个月，欧式看涨期权价格 2.00。按平价，同条件欧式看跌期权价格应为多少？若实际看跌价格为 3.00，写出套利操作和到期利润。 提示：\(p=2+30e^{-0.0125}-29=2.63\)。看跌期权被高估 0.37：卖看跌、买看涨、卖空股票，得 \(-2+3+29=30\)，投资 3 个月得 \(30e^{0.0125}=30.38\)，到期以 30 买回股票，获利 0.38。

4. 用你自己的话解释为什么无股息股票的美式看涨期权不应提前行权，而美式看跌期权可能应当提前行权。 提示：看涨——保险价值和延迟付款都支持等待；看跌——等待保留保险价值，但推迟收到 \(K\) 损失利息，深度实值时后者占优。

5. 判断：欧式看跌期权价格可以低于其内在价值；欧式看涨期权（无股息）价格可以低于其内在价值。 提示：前者对（深度实值时 \(p\) 接近 \(Ke^{-rT}-S_0<K-S_0\)）；后者错，\(c\ge S_0-Ke^{-rT}>S_0-K\)。

进阶

6. 某股票 2 个月和 5 个月后各派息 0.50，\(S_0=40\)，\(K=40\)，\(T=6\) 个月，\(r=9\%\)，欧式看涨期权价格 3。求欧式看跌期权价格。 提示：\(D=0.5e^{-0.09\times2/12}+0.5e^{-0.09\times5/12}=0.9741\)，\(p=c+D+Ke^{-rT}-S_0=3+0.9741+40e^{-0.045}-40=2.21\)（原书习题 11.14）。

7. 证明 \(C-P\le S_0-Ke^{-rT}\) 对无股息股票成立，并说明为什么 \(c+Ke^{-rT}=p+S_0\) 的论证不能直接用于美式期权。 提示：前半见 11.4 节。美式看跌期权可能被提前行权，组合在到期前就会出现现金流，"到期价值相同"不再足以保证"今天价值相同"（原书习题 11.8）。

8. 同一到期日，行权价 30、35、40 的欧式看涨期权价格分别为 4、2.5、0.5。是否存在套利？如何操作？ 提示：\(2c_2=5>c_1+c_3=4.5\)，违背凸性。买入 \(K=30\) 和 \(K=40\) 各一份、卖出两份 \(K=35\)，期初收入 0.5，到期收益非负。

9. 一家公司资产价值 100，有一笔 5 年后到期、面值 80 的零息债。用期权语言描述股东和债权人的头寸。股东为什么可能偏好高风险项目？ 提示：股权 = 资产上行权价 80 的看涨期权；债权 = 无风险债 − 看跌期权。看涨期权价值随波动率上升而增加，提高资产风险把价值从债权人转移给股东。

10. 给定一条期权链的 \(c-p\) 与 \(K\) 数据，说明如何估计隐含利率和隐含远期价格，并讨论应选择哪些行权价参与估计。 提示：对 \(c-p=(S_0-D)-Ke^{-rT}\) 做稳健线性回归；远期价格 \(F=(S_0-D)e^{rT}\)。优先使用平值附近、买卖价差小、两条腿都有新近报价的行权价；美式期权含提前行权溢价，平价只是近似。

原书推荐习题：11.4、11.5、11.13（提前行权的直觉）；11.11、11.12、11.24（识别并执行违背下界/平价的套利）；11.14、11.15（含离散股息的平价与套利）；11.18、11.19（证明美式期权的 \(C-P\) 不等式）；11.23（由平价反推隐含利率）；11.25、11.26（期权价格对行权价的凸性）；11.27（用期权语言表述股东与债权人，理解资产替代）。

原书对照

原书为 Hull《Options, Futures, and Other Derivatives》第 9 版 Global Edition（Pearson 2018），表中为 PDF 页码。延伸阅读：Broadie & Detemple (1996) 美式期权的界与近似；Merton (1974) 公司债定价；Merton (1973) 关于平价关系的评论；Stoll (1969) 看涨与看跌期权价格的关系。