第 09 章 OIS 折现、信用调整与融资成本

对应原书：Hull《Options, Futures, and Other Derivatives》第 9 版（Global Edition）第 9 章 OIS Discounting, Credit Issues, and Funding Costs。

学习目标

读完本章，你应当能够：

说明为什么衍生品市场不用国债利率作为无风险利率，以及 LIBOR 为什么在 2007 年危机中失去了无风险代理的地位。
理解隔夜指数互换（OIS）的结构——以固定利率交换隔夜利率的几何平均，会算 OIS 结算金额，理解 LIBOR–OIS 利差为什么是银行间信用压力指标。
掌握多曲线框架：用 OIS 曲线折现，用"按市价互换价值为零"在 OIS 折现下反推远期 LIBOR，并能复现原书例 9.2、9.3。
理解"折现率不处理信用风险"，会写出 \(f_{nd}-\text{CVA}+\text{DVA}-\text{CRA}\) 的价值分解，并能用 \(\text{CVA}=\sum q_iv_i\) 做简单计算。
理解融资成本争论的核心论点：投资的估值不应取决于其融资方式；知道 FVA 是什么、为何有争议。

读前导读

这一章在解决什么问题。 你在 CFA 里给债券和互换估值时，默认"折现率 = 无风险利率"，而且这条曲线只有一条。本章要拆掉这个默认：2008 年以后，"预测浮动现金流用的曲线"和"折现用的曲线"分开了，前者是 LIBOR（今天是各期限的信用敏感利率），后者是 OIS（今天是 SOFR 等）。第二件事是把交易对手的违约风险从折现率里剥出来，单独记成 CVA/DVA——这和你在 CFA 信用分析里学的 \(\text{EL}=\text{PD}\times\text{LGD}\times\text{EAD}\) 是同一个思路，只是把时间切成了若干段再加总。第三件事是 FVA 之争，其实就是公司金融里"项目折现率应反映项目风险，而不是公司的平均资本成本（WACC）"这一老结论在衍生品上的翻版。

需要先想起来的数学。

连乘符号 \(\prod\) 与复利。 \(\prod_{j=1}^{n}a_j=a_1a_2\cdots a_n\)，和 \(\sum\) 是一对。每天按 \((1+r_j\delta_j/360)\) 滚动，\(n\) 天后本息就是这些因子的乘积。例：两天分别是 3% 和 3.6%，各 1 天，增长因子 \(=(1+0.03/360)(1+0.036/360)\approx1.0001833\)。见第 00 册第 04 章级数与收敛中 e 与复利的部分。
折现因子与自举（bootstrapping）。 折现因子 \(P(T)\) 是"\(T\) 年后 1 元今天值多少"，和 CFA 里的 spot rate 一一对应：\(P(T)=(1+R_T)^{-T}\)。自举就是从短到长，每次用已经求出的 \(P\) 解出下一个未知的 \(P\)。
随机变量的正部期望 \(E[\max(V,0)]\)。 对正态 \(V\sim N(\mu,s^2)\) 有闭式：\(\mu\Phi(\mu/s)+s\varphi(\mu/s)\)，\(\varphi\) 是标准正态密度。它就是"标的服从正态、行权价为 0 的看涨期权"的价值，你在 Black–Scholes 里会再见到类似结构。见第 00 册第 07 章概率中的分析工具。
违约强度（hazard rate）\(\lambda\)。 每单位时间的条件违约概率；若 \(\lambda\) 为常数，活到 \(t\) 的概率是 \(e^{-\lambda t}\)。信用利差 \(s\) 约等于 \(\lambda(1-R)\)，\(R\) 为回收率，这就是 CFA 里"利差 ≈ PD × LGD"的连续时间版本。

怎么读这一章。 核心必读是 9.2.2（OIS 的几何平均）、9.3.2（例 9.2、9.3，建议手算）、9.5（CVA/DVA 的定义和净额结算）。9.1 和 9.2.3–9.2.4 是背景，快速读。9.6 的思想实验值得细读，它是对"门槛利率"的一个漂亮反驳。量化实战的第 (3)、(4) 步第一次可以只看输出和解读。

9.0 本章要解决的三个问题

2007 年危机之后，衍生品估值中有三个问题变得重要：

无风险折现率选哪个？ 几乎所有衍生品估值都要把期望现金流按无风险利率折现。危机前大家用 LIBOR/swap 曲线（第 7 章正是这样做的），危机后在许多情形下改用了别的代理。
信用风险怎么处理？ 交易所和中央清算的产品已经很好地处理了信用风险，那么双边清算的场外衍生品，估值时如何考虑双方的违约可能？（本章给出定义，计算细节见原书第 24 章。）
融资成本要不要计入？ 是否应该做"融资价值调整（FVA）"，至今仍有争议。

这一章篇幅不长，却是现代利率衍生品定价和交易对手风险管理的入口。

9.1 无风险利率

9.1.1 无风险利率在估值中的角色

标准的衍生品估值思路是：构建一个无风险组合，论证在无套利的世界里它只能赚取无风险利率（如本册第 4 章 4.6 节对 FRA、第 5 章 5.7 节对远期的估值）。互换是 FRA 或远期的组合（第 7 章），所以同样依赖无风险折现率。问题在于：现实中哪个利率才算"无风险"？

9.1.2 为什么不用国债利率

美国政府几乎不会违约（它可以"印钞"偿还美元债务），但衍生品交易者认为国债利率被人为压低了（Business Snapshot 9.1），原因有三：

金融机构因各种监管要求必须持有国债，这部分需求推高国债价格、压低收益率；
持有国债所需的银行资本远少于持有其他风险极低的工具；
美国国债利息免征州税，税收待遇优惠。

（"可以印钞"这个论证不适用于欧元区国家：意大利、西班牙等无法控制欧洲央行。）

9.1.3 LIBOR 的问题

危机前，市场用 LIBOR 和 LIBOR-for-fixed 互换利率作为无风险利率，理由是 AA 级银行一年内违约的概率很小。危机期间，银行之间不愿相互借款，LIBOR 飙升。第 8 章介绍的 TED 利差（3 个月 LIBOR − 3 个月国债利率）正常时低于 50bp，2007 年 10 月到 2009 年 5 月间很少低于 100bp，2008 年 10 月峰值超过 450bp。一个含有这么多银行信用风险的利率，显然不再适合充当"无风险"利率。

9.1.4 危机后的实践

大多数银行改为：

对有抵押交易，用隔夜指数互换（OIS）利率折现；
对无抵押交易，仍用 LIBOR 甚至更高的利率折现。

背后的理念是：折现率应当反映银行的平均融资成本，而不是真正的无风险利率。无抵押衍生品的融资成本至少和 LIBOR 一样高；有抵押衍生品由抵押品融资，而 OIS 利率近似反映这类融资的成本。9.4 节会说明 Hull 不同意这种"融资成本"论证。

9.2 OIS 利率

9.2.1 联邦基金利率与隔夜指数

联邦基金利率（fed funds rate）是美国金融机构之间隔夜无担保借款的利率，交易通常由经纪人撮合；按交易规模加权的平均值称为有效联邦基金利率（effective federal funds rate）。英国的对应指标是 SONIA（sterling overnight index average），欧元区是 EONIA（euro overnight index average）。中央银行会监控隔夜利率，并可能入市干预。

9.2.2 隔夜指数互换

隔夜指数互换（overnight indexed swap, OIS）：在一段时期（如 1 个月或 3 个月）内，以一个固定利率交换该期间内隔夜利率的几何平均。

为什么是几何平均？设一家银行每天在隔夜市场借入资金，并把利息滚入本金继续借（每日复利）。一段时间后它支付的实际利率，正是各日隔夜利率按复利累积的结果：

\text{期间浮动利率}=\left[\prod_{j=1}^{n}\Big(1+r_j\frac{\delta_j}{360}\Big)-1\right]\frac{360}{D},

其中 \(r_j\) 为第 \(j\) 个营业日的隔夜利率，\(\delta_j\) 为它适用的天数，\(D\) 为期间总天数。每天滚动借出资金的情况与此对称。所以 OIS 能把一段时间的隔夜滚动借贷换成固定利率借贷，这个固定利率就称为 OIS 利率。若几何平均低于固定利率，期末由固定方向浮动方支付差额；反之由浮动方向固定方支付。

推导拆解：公式分三层读。第一层，\(1+r_j\delta_j/360\) 是第 \(j\) 段的单利增长因子（美元货币市场按 actual/360 计息）。周五的利率适用到下周一，\(\delta_j=3\)。第二层，\(\prod_j(\cdot)\) 把各段连乘，得到整个期间 1 元本金滚动后的本息。减 1 得到期间总收益率。第三层，乘以 \(360/D\) 把它换算回年化单利，好和固定利率 \(K\) 直接比较。为什么是"几何"而不是"算术"？算术平均相当于每天只对原始本金计息、利息不滚入本金；而真实的隔夜滚动借贷，昨天的利息今天也要付息。所以几何平均总是略高于算术平均，差额是"利息的利息"，即本章量化实战里那约 1bp 的来源。

例 9.1：一笔 3 个月期美国 OIS，名义本金 1 亿美元，OIS 利率 3%；期间有效联邦基金利率的几何平均为 2.8%。固定利率支付方向浮动利率支付方支付

0.25\times(0.030-0.028)\times10^8=50{,}000\ \text{美元}

（忽略计息天数）。

OIS 的期限通常较短（3 个月或更短），但 5–10 年的交易也日益常见。期限超过 1 年的 OIS 通常划分为若干 3 个月的子期间，每个子期间末交换一次。正如互换利率是"持续刷新"的 LIBOR（第 7 章 7.4.1 节），OIS 利率是"持续刷新"的隔夜利率。

9.2.3 LIBOR–OIS 利差

设银行 A 做三件事：(1) 在隔夜市场借入 1 亿美元，连续 3 个月每晚滚动；(2) 以 3 个月 LIBOR 把这笔钱借给银行 B；(3) 用 OIS 把隔夜借款成本换成 3 个月 OIS 固定利率。只要 A 的信用一直被隔夜市场接受，A 就收 3 个月 LIBOR、付 3 个月 OIS。

看起来两者应该相等，但实际上 OIS 通常更低。原因是两边承担的信用风险不同：A 承担 B 在 3 个月贷款上违约的风险，需要补偿；而 A 的隔夜贷款人可以在 A 信用一出问题时随时停止放贷，承担的风险小得多。

3 个月 LIBOR 超出 3 个月 OIS 的部分称为 3 个月 LIBOR–OIS 利差，是常用的金融市场压力指标（原书图 9.1，2002 年 1 月—2013 年 5 月）：正常时约 10bp；2008 年 10 月达到历史最高的 364bp；一年后恢复正常；2011 年 12 月底因对希腊等欧洲国家经济的担忧升至约 50bp。

9.2.4 OIS 为什么是无风险利率的好代理

OIS 利率并非完全无风险，但它包含的两类风险都很小：

金融机构之间隔夜贷款违约的风险——任何信用问题的迹象都会使一家机构被排除出隔夜市场；
OIS 互换本身的违约风险——对 OIS 利率的违约调整通常很小，有抵押时更小。

9.2.5 构建 OIS 零息曲线

方法与第 7 章 7.4.2 节的 LIBOR/swap 曲线自举相同。关键前提是被自举的利率与用于折现的利率是同一个，这样 OIS 利率才定义一组平价债券：

1 个月 OIS 利率就是 1 个月零息利率，3 个月同理；
有定期结算的 OIS，其利率定义一只平价债券。例如 5 年 OIS 利率 3.5%、按季结算（每季度以 \(0.25\times3.5\%=0.875\%\) 交换该季隔夜利率的几何平均），就假定每季付 3.5% 年息的 5 年期债券按面值出售。

延伸长端：OIS 的流动性期限不如 LIBOR 互换长，常用两种办法：

假设长端 OIS 与 LIBOR/swap 利率的利差，等于最长可靠 OIS 期限处的利差。例：5 年以上没有可靠数据，5 年 OIS 为 4.7%、5 年互换利率为 4.9%，则假设 5 年以上所有期限的 OIS 都比 LIBOR/swap 低 20bp。
利用 3 个月 LIBOR 交换平均联邦基金利率的基差互换，美国最长可到 30 年。例如 30 年 LIBOR 互换利率为 5%，而 LIBOR 与"联邦基金平均 + 20bp"交换，则可近似认为 30 年 OIS 为 4.8%。不过这类基差互换用的是隔夜利率的算术平均而非几何平均，严格说需要凸性调整（参见 Takada 2011）。

现状补充：美元 LIBOR 已停止报价，美元衍生品的基准浮动利率改为 SOFR（Secured Overnight Financing Rate，以国债回购交易为基础的担保隔夜利率）。SOFR 互换本身就是一种 OIS：浮动端是 SOFR 的每日复利。英镑改用 SONIA，欧元改用 €STR（取代 EONIA）。于是"OIS 折现"与"按基准利率预测现金流"在很大程度上重新合一，本章的几何平均、持续刷新、平价自举等概念直接适用；而银行信用风险溢价则体现在 SOFR 与各种信用敏感利率之间的利差上。

9.3 用 OIS 折现为互换和 FRA 估值

9.3.1 一般思路

有了 OIS 零息曲线，许多衍生品就可以用 OIS 利率作为无风险折现率来估值。例如远期合约用本册第 5 章的式 (5.4)，\(r\) 取期限 \(T\) 的 OIS 零息利率（远期价格 \(F_0\) 通常由市场远期价格插值得到）。

对 LIBOR 互换和 FRA 则多一步：先要求出与 OIS 折现一致的远期 LIBOR。原理是：

LIBOR-for-fixed 互换可以"假设远期 LIBOR 实现"来估值（第 7 章 FRA 法）；
按当前中间价互换利率成交的新互换价值为零；
用这一条件就能反推出远期 LIBOR。

由于折现因子不同，OIS 折现与 LIBOR 折现推出的远期 LIBOR 也不同。

9.3.2 例题：远期 LIBOR 的变化

例 9.2（LIBOR 折现）：1 年 LIBOR 为 5%，2 年互换利率为 6%（年付，均为年复利）。用 LIBOR 折现时，6% 票息的债券是平价债券：

\frac{6}{1.05}+\frac{106}{(1+R)^2}=100\ \Rightarrow\ R=6.030\%.

1 年后起 1 年期的远期 LIBOR 为

F=\frac{1.06030^2}{1.05}-1=7.0707\%.

校验：收固定方第 1 年的交换为 \(+1\)（收 6、付 5），第 2 年为 \(6-100F\)；令 \(\frac{1}{1.05}+\frac{6-100F}{1.06030^2}=0\)，同样得到 \(F=7.0707\%\)。

例 9.3（OIS 折现）：LIBOR 与互换利率同上，但 1 年、2 年 OIS 零息利率为 4.5%、5.5%（年复利，比 LIBOR 低约 50bp）。新互换价值为零：

\frac{1}{1.045}+\frac{6-100F}{1.055^2}=0\ \Rightarrow\ F=7.0651\%.

从 LIBOR 折现切换到 OIS 折现，远期 LIBOR 从 7.0707% 变为 7.0651%，变化略多于半个基点。数值虽小，交易员绝不会忽视。影响大小取决于零息曲线的陡峭程度和远期利率的期限：曲线越陡、期限越长，差异越大。

注意这里的逻辑：远期 LIBOR 不再是由某一条零息曲线"算出来"的，而是由"市场互换利率 + 折现曲线"联合校准出来的。

推导拆解：例 9.3 的式子是怎么解出 \(F\) 的。第一步，写出收固定方两期的净现金流：第 1 年 \(6-5=+1\)（第 1 期 LIBOR 已知为 5%），第 2 年 \(6-100F\)（假设远期实现）。第二步，用 OIS 折现因子 \(1/1.045\) 和 \(1/1.055^2\) 折现并令总和为零（新成交互换价值为零）。第三步，移项：\(\frac{6-100F}{1.055^2}=-\frac{1}{1.045}=-0.95694\)，乘以 \(1.055^2=1.113025\) 得 \(6-100F=-1.06510\)，所以 \(F=7.0651\%\)。为什么折现曲线变了 \(F\) 也变？第 1 年的 \(+1\) 是确定的正值，第 2 年的现金流必须用负值把它抵消。由 \(P(1)\cdot1+P(2)(6-100F)=0\) 得 \(6-100F=-P(1)/P(2)\)，而两期折现因子之比 \(P(1)/P(2)\) 由折现曲线的斜率决定。OIS 曲线下这个比值是 \(1.055^2/1.045=1.0651\)，LIBOR 曲线下是 \(1.06030^2/1.05=1.0707\)，于是第 2 年要抵消的金额不同，\(F\) 也就不同。曲线越陡、期数越多，这种差异累积得越大。

9.3.3 多曲线框架

把上面的思路推广，就是现代利率衍生品定价的标准架构——多曲线框架（multi-curve framework）：

用 OIS 构建折现曲线；
用一系列每 3 个月交换的互换构造 3 个月远期 LIBOR 曲线（作为期间起点的函数），用每 6 个月交换的互换构造 6 个月远期曲线，等等；中间点插值；1 个月对 6 个月 LIBOR 等基差互换提供额外信息；
为一笔互换估值时：从对应期限的远期 LIBOR 曲线取远期利率，假设其实现来计算现金流，再用 OIS 零息利率折现。

为什么需要多条远期曲线？因为 3 个月 LIBOR 和 6 个月 LIBOR 包含的银行信用风险不同（期限越长风险越大），危机后两者之差不再可以忽略，同一条曲线无法同时为它们定价。

9.4 OIS 还是 LIBOR：哪个正确？

多数交易商对有抵押的衍生品（有本册第 2 章 2.5 节所述的抵押协议）用 OIS 折现，对无抵押的衍生品用 LIBOR 折现，理由是融资成本：有抵押衍生品由抵押品融资，抵押品通常支付联邦基金利率（与 OIS 相连）；无抵押衍生品的融资成本更高。LCH.Clearnet（2013 年清算的利率互换名义本金超过 350 万亿美元，以初始与变动保证金作抵押）也已跟随交易商改用 OIS 折现。

Hull 的观点不同。他认为基于融资成本的论证有问题：金融学中一个长期确立的原则是，投资的估值不应取决于它的融资方式，重要的是它的风险和期望现金流。在构建了无风险组合的情形下，就应使用无风险利率的最佳代理来折现；OIS 零息曲线是最接近无风险的曲线，因此无论是否有抵押，都应使用 OIS 折现（参见 Hull & White 2013 "LIBOR vs. OIS"）。无抵押带来的信用风险，应当通过下一节的 CVA/DVA 单独处理，而不是塞进折现率里。

9.5 信用风险：CVA 与 DVA

9.5.1 无违约价值

折现率不是用来处理信用风险的。 前面的估值（无论用 OIS 还是 LIBOR 折现）计算的都是"假设双方都不违约"的价值，称为无违约价值（no-default value），记为 \(f_{nd}\)。信用风险通过单独的计算加以处理。

9.5.2 净额结算与提前终止

银行与某一交易对手之间的双边衍生品组合，几乎都受净额结算（netting）协议约束：一旦违约，所有未平仓衍生品被视为一个整体。一方破产、未按要求提交抵押品或有其他不履约行为时，另一方可以宣布违约事件（event of default），导致整个组合提前终止（early termination）。在无抵押的情形下：

若终止时组合对银行价值为正，银行成为该金额的无担保债权人，可能无法全额收回；
若对银行价值为负，银行向对手（或其清算人）支付结算款，银行没有损失。

这就是第 7 章 \(\max(V,0)\) 敞口在组合层面的推广：净额结算后，敞口是 \(\max(\sum_k V_k,0)\) 而不是 \(\sum_k\max(V_k,0)\)，前者通常小得多。所以 CVA、DVA 必须按"净额结算集"计算，而不是逐笔计算（原书习题 9.11）。

白话解释：为什么 \(\max(\sum_kV_k,0)\le\sum_k\max(V_k,0)\) 总成立？右边把每笔正值都算作敞口、把负值一律当 0；左边让负值先抵掉正值，再看剩下是否为正。正负能相互抵消，左边就小。这和会计上的"抵销权（right of set-off）"是一回事：有抵销权时，资产负债表上列示净额，信用风险也按净额算。用期权语言说，"一篮子期权的价值 ≤ 各期权价值之和"——净额结算把多个看涨期权换成了一个篮子期权，对手违约时银行"持有的期权"变便宜了。

9.5.3 CVA

**信用价值调整（credit value adjustment, CVA）**是银行对"交易对手违约给自己造成的期望成本"的现值估计。设与该对手的交易最长期限为 \(T\) 年，把 \([0,T]\) 分成 \(N\) 个区间，对每个区间计算：

\(q_i\)：该区间内因对手违约而提前终止的概率；
\(v_i\)：若在区间中点提前终止，衍生品组合的期望损失的现值。

则

\text{CVA}=\sum_{i=1}^{N}q_i\,v_i.

公式看似简单，难点在 \(v_i\)：它要求知道未来每个时点组合价值的分布（以计算 \(\max(V,0)\) 的期望），通常要用蒙特卡洛模拟（原书第 24 章）。考虑对手违约后，组合对银行的价值为 \(f_{nd}-\text{CVA}\)。

金融直觉：把 \(\text{CVA}=\sum q_iv_i\) 对照 CFA 的 \(\text{EL}=\text{PD}\times\text{LGD}\times\text{EAD}\)。\(q_i\) 就是"在第 \(i\) 段时间里违约"的 PD；\(v_i\) 把 LGD、EAD 和折现揉在一起：\(v_i\approx(1-R)\times E[\max(V(t_i),0)]\times P(t_i)\)，其中 \(E[\max(V,0)]\) 叫期望正敞口（expected exposure, EE）。和贷款不同的是，衍生品的 EAD 不是固定本金，而是随利率、汇率等市场变量浮动的未来价值的正部，所以要用模拟求它的分布。分段求和是因为"什么时候违约"会影响"违约时欠我多少"。

9.5.4 DVA

银行自己也可能违约，从而给对手造成损失；这在会计上对银行是等额相反的"收益"。**借方价值调整（debit value adjustment 或 debt value adjustment, DVA）**是银行从自身违约中获得的期望收益的现值：

\text{DVA}=\sum_{i=1}^{N}q_i^*\,v_i^*,

\(q_i^*\) 为银行在第 \(i\) 个区间违约的概率，\(v_i^*\) 为银行在区间中点违约时其收益（即对手损失）的现值。综合起来，组合对银行的价值为

f_{nd}-\text{CVA}+\text{DVA}.

DVA 有一个违反直觉的后果：银行自身信用恶化时，\(q_i^*\) 上升，DVA 增大，报告的利润反而增加（原书习题 9.7）。这在危机期间曾引起很大争议。

9.5.5 抵押品与 CRA

当协议要求提交抵押品时，计算更复杂：

抵押品影响 CVA、DVA 的计算：需要计算提前终止时双方已提供的抵押品。通常假设违约方在提前终止前若干天（称为风险期，margin period of risk）就停止提交抵押品、停止返还超额抵押品。
现金抵押品的利息可能影响估值。抵押品可以是现金或可流通证券（可接受的证券及其折扣率 haircut 在抵押协议中规定）。现金抵押品通常付息：若利息等于无风险利率，无需调整；否则要估计"实际支付的净利息超出按无风险利率支付的净利息"的期望现值，它可正可负，称为抵押利率调整（collateral rate adjustment, CRA）。

f_{nd}-\text{CVA}+\text{DVA}-\text{CRA}.

银行通常视 OIS 为有抵押交易的无风险利率；若隔夜现金抵押余额按有效联邦基金利率付息（常见情形），CRA 为零。这也从另一个角度解释了为什么"有抵押就用 OIS 折现"在实务中能自洽。

9.6 融资成本

9.6.1 一个思想实验

设无风险利率为 5%，银行的平均融资成本为 7%。现在有一个无风险项目，回报率 6%。银行应不应该做？

应该做。 项目现金流无风险，合适的折现率是 5%，按 5% 折现项目净现值为正。不能因为银行的融资成本是 7%，就只做回报超过 7% 的项目。银行全部项目的平均回报应当超过 7%，否则会亏损，但这并不意味着每个项目都要超过 7%。

关键在于增量融资成本：银行承接无风险项目后，它整体的风险下降，融资成本也会下降，因此这个无风险项目的增量融资成本是 5% 而不是 7%。极端例子：一家银行完全靠无风险项目把规模翻倍，它的融资成本会变成 6%（旧项目 7% 与新项目 5% 的平均），新项目的增量融资成本恰好是 5%。

反过来，如果公司把平均融资成本作为所有项目的门槛利率，低风险项目会显得没有吸引力，高风险项目会显得有吸引力，公司会逐渐偏向高风险项目——这正是错误使用"统一资金成本"的危害。

金融直觉：这就是 CFA 公司金融里"不要用公司 WACC 给风险不同的项目折现"的结论，背后是 Modigliani–Miller 的思想：资产的价值由资产本身的现金流和风险决定，与右边的负债结构无关。在资本预算中，正确的做法是用项目自己的 beta 定折现率；这里，无风险的衍生品对冲组合就用无风险利率折现。银行的 7% 融资成本里包含了银行整体资产的风险溢价，把它强加给无风险项目，就是把别人的风险算到这个项目头上。

9.6.2 FVA

认为融资成本与估值相关的银行，会对无抵押衍生品做融资价值调整（funding value adjustment, FVA），目的是把衍生品价值调整为"以银行平均融资成本作为'无风险'折现率"时的价值。例：银行平均融资成本 3.8%，银行使用的无风险折现率 3%，FVA 体现的是折现率提高 80bp 的影响。

（原书脚注的细节：利率在衍生品估值中有两个作用——定义折现率，以及定义风险中性世界里标的资产的增长率。FVA 只提高前者，因为用于对冲的标的资产头寸可以通过回购融资，成本接近无风险利率，而衍生品头寸本身不能做回购。）

9.6.3 FVA 的争议

Hull 的立场：

融资成本不应影响投资估值，风险才重要。CVA、DVA 应当做，但很多 FVA 之争源于把 FVA 和 DVA 混为一谈（银行自身的违约风险既体现在 DVA 中，也体现在其高融资成本中，两者同时计入有重复计算之嫌）。
FVA 会扭曲报价：高融资成本的银行做 FVA 时，对产生资金的衍生品（如卖出期权、先收权利金）报价更有竞争力；低融资成本的银行做 FVA 时，对需要资金的衍生品报价更有竞争力。这会给终端用户制造套利：从高融资成本交易商那里买期权，再卖给低融资成本交易商。
会计上，每日逐日盯市（marking-to-market）须按**退出价格（exit price）**估值——即银行当前与市场上其他参与者做对冲交易的价格、出清市场的价格。退出价格不应依赖持有方自身的融资成本。

交易员可以用任何方法决定交易价格，但这与公允价值会计之间的冲突，使 FVA 成为会计、风险分析和交易部门之间分歧的来源。（实务补充：尽管有理论争议，多家大型银行自 2012 年前后开始在财报中计入 FVA，例如摩根大通在 2013 年第四季度确认了约 15 亿美元的 FVA 损失；CVA、DVA、FVA 以及资本和保证金相关的调整如今被统称为 XVA。）

量化实战

本章内容在量化系统中的落点：

曲线引擎的架构。现代利率定价库都把"折现曲线"和"预测曲线"分开：用 OIS（SOFR/SONIA/€STR）曲线折现，用对应期限的预测曲线计算浮动现金流。校准时先自举折现曲线，再在固定折现曲线的前提下，让每个市场互换按中间价的价值为零，逐个求出远期利率。做利率策略回测时，如果用单曲线近似，长端互换和远期价差会有系统性偏差。
压力指标。LIBOR–OIS（以及其后继者，如 FRA–OIS、商业票据与 OIS 之差）、TED 利差刻画银行间信用与流动性压力，可作为跨资产风险状态因子：利差扩大往往伴随风险资产波动上升和相关性上升。
交易对手风险与 XVA。CVA = \(\sum q_iv_i\) 中，\(q_i\) 来自 CDS 利差隐含的违约强度，\(v_i\) 来自未来敞口的模拟。对做市和场外衍生品业务，XVA 直接进入报价和每日损益；对量化团队来说，它是一个大规模蒙特卡洛 + 组合聚合的系统工程。
门槛利率与策略选择。9.6.1 节的论证同样适用于对冲基金和自营团队：用统一资金成本作为所有策略的门槛，会系统性地偏好高风险策略；合理的做法是按风险调整后的增量成本评估每个策略。

下面的代码分四步：(1) 模拟一段隔夜利率，计算 OIS 浮动端的几何平均和结算金额；(2) 复现例 9.2、9.3；(3) 在一组模拟的互换与 OIS 报价上，分别用单曲线和多曲线框架反推远期 LIBOR，并为一笔存量互换估值；(4) 用一个粗略的正态敞口模型和 CDS 隐含违约概率，计算 CVA 与 DVA。第 (4) 步的敞口模型只为演示公式的用法，真实系统应当用利率期限结构模型模拟。

import numpy as np
from scipy.optimize import brentq
rng = np.random.default_rng(1)

# ---------- 1) OIS 浮动端：隔夜利率的几何平均（复利） ----------
days = 91
on = 0.028 + np.cumsum(rng.normal(0, 0.0004, days))          # 模拟每日隔夜利率（actual/360）
growth = np.prod(1 + on / 360)                                 # 每日滚动借贷的本息增长
geo = (growth - 1) * 360 / days                                # 期间复利对应的年化利率
ari = on.mean()
N, K = 1e8, 0.030
print(f"几何平均 {geo:.4%}  算术平均 {ari:.4%}  差 {1e4*(geo-ari):.2f}bp")
print(f"OIS 结算：固定方净付 {N*(K-geo)*days/360:,.0f} 美元")

# ---------- 2) 例 9.2 / 9.3：LIBOR 折现 vs OIS 折现下的远期 LIBOR ----------
R2 = (106 / (100 - 6 / 1.05)) ** 0.5 - 1
F_libor = (1 + R2) ** 2 / 1.05 - 1
F_ois = brentq(lambda F: 1 / 1.045 + (6 - 100 * F) / 1.055**2, 0, 0.2)
print(f"2 年 LIBOR 零息 {R2:.3%}；远期 LIBOR：LIBOR 折现 {F_libor:.4%}，OIS 折现 {F_ois:.4%}")

# ---------- 3) 多期限：先自举 OIS 折现曲线，再反推远期 LIBOR ----------
T = np.arange(1, 11)
swap = 0.02 + 0.03 * (1 - np.exp(-T / 4))                     # 模拟 LIBOR 互换利率（年付）
ois_par = swap - 0.0025                                        # 设 OIS 平价利率低 25bp
def boot_par(par):                                             # 平价利率 → 折现因子
    d = []
    for c in par:
        d.append((1 - c * sum(d)) / (1 + c))
    return np.array(d)
P_ois, P_lib = boot_par(ois_par), boot_par(swap)

def fwd_libor(P_disc):                                         # 让每个期限的平价互换价值为零
    F = []
    for n in range(len(T)):
        known = sum(P_disc[i] * F[i] for i in range(n))
        F.append((swap[n] * P_disc[:n + 1].sum() - known) / P_disc[n])
    return np.array(F)
F1, F2 = fwd_libor(P_lib), fwd_libor(P_ois)
for n in [0, 1, 4, 9]:
    print(f"{T[n]-1:>2}→{T[n]:>2} 年 远期 LIBOR  单曲线 {F1[n]:.4%}  OIS 折现 {F2[n]:.4%}  差 {1e4*(F2[n]-F1[n]):+.2f}bp")

# 一笔"收固定 5%、付 LIBOR"的 10 年期存量互换，两种框架下的价值（名义本金 1 亿）
K_old = 0.050
v_single = 1e8 * ((K_old - F1) * P_lib).sum()
v_multi = 1e8 * ((K_old - F2) * P_ois).sum()
print(f"存量互换价值：单曲线 {v_single:,.0f}  多曲线 {v_multi:,.0f}")

# ---------- 4) CVA / DVA：按区间求和 sum q_i v_i ----------
# 粗略的正态敞口模型：V(t) ~ N(mu(t), s(t)^2)
#   mu(t)：今天的价值按剩余期限线性摊销；s(t)：利率年波动 1%，乘以剩余年金（约等于剩余年数）
from scipy.stats import norm
grid = np.linspace(0, 10, 41)
mid = (grid[:-1] + grid[1:]) / 2
mu = v_multi * (1 - mid / 10)
s = 1e8 * 0.01 * np.sqrt(mid) * (10 - mid)
EE = mu * norm.cdf(mu / s) + s * norm.pdf(mu / s)              # E[max(V,0)]
NEE = -mu * norm.cdf(-mu / s) + s * norm.pdf(mu / s)           # E[max(-V,0)]
disc = np.interp(mid, np.r_[0, T], np.r_[1, P_ois])
def default_prob(spread, R=0.4):                               # 由 CDS 利差估计违约强度
    lam = spread / (1 - R)
    return np.exp(-lam * grid[:-1]) - np.exp(-lam * grid[1:])
q_cp, q_bank, R = default_prob(0.0200), default_prob(0.0100), 0.4
CVA = (q_cp * (1 - R) * EE * disc).sum()
DVA = (q_bank * (1 - R) * NEE * disc).sum()
print(f"最大 EE {EE.max():,.0f}（t={mid[EE.argmax()]:.2f} 年）  最大 NEE {NEE.max():,.0f}")
print(f"f_nd {v_multi:,.0f}  CVA {CVA:,.0f}  DVA {DVA:,.0f}  调整后 {v_multi - CVA + DVA:,.0f}")

推导拆解：代码里有三个公式没有在正文出现，这里补上来历。其一，boot_par 中 \(d_n=\frac{1-c\sum_{i<n}d_i}{1+c}\)：平价债券条件是 \(c\sum_{i\le n}d_i+d_n=1\)（票息现值 + 本金现值 = 面值 1），把未知的 \(d_n\) 单独移到一边就得到它。其二，EE 中 \(E[\max(V,0)]=\mu\Phi(\mu/s)+s\varphi(\mu/s)\)：设 \(V=\mu+sZ\)，\(V>0\) 等价于 \(Z>-\mu/s\)。于是 \(E[V\cdot1_{V>0}]=\mu P(Z>-\mu/s)+sE[Z\cdot1_{Z>-\mu/s}]\)。第一项用对称性 \(P(Z>-x)=\Phi(x)\)；第二项用标准正态的性质 \(\int_a^\infty z\varphi(z)dz=\varphi(a)\)（因为 \(\varphi'(z)=-z\varphi(z)\)），再用 \(\varphi\) 是偶函数得 \(\varphi(-\mu/s)=\varphi(\mu/s)\)。NEE 同理，对 \(-V\) 做一遍。其三，default_prob 中 \(\lambda=s/(1-R)\)：CDS 买方每年付利差 \(s\)，换取违约时获赔 \(1-R\)；公平定价要求"每年付出的保费 ≈ 每年的期望赔付"，即 \(s\approx\lambda(1-R)\)。区间 \([t_{i-1},t_i]\) 内的违约概率是"活到 \(t_{i-1}\) 减去活到 \(t_i\)"：\(e^{-\lambda t_{i-1}}-e^{-\lambda t_i}\)。

关键输出：

几何平均 2.7352%  算术平均 2.7259%  差 0.93bp
OIS 结算：固定方净付 66,941 美元
2 年 LIBOR 零息 6.030%；远期 LIBOR：LIBOR 折现 7.0707%，OIS 折现 7.0651%
 0→ 1 年 远期 LIBOR  单曲线 2.6636%  OIS 折现 2.6636%  差 +0.00bp
 1→ 2 年 远期 LIBOR  单曲线 3.7164%  OIS 折现 3.7151%  差 -0.13bp
 4→ 5 年 远期 LIBOR  单曲线 5.2405%  OIS 折现 5.2337%  差 -0.68bp
 9→10 年 远期 LIBOR  单曲线 5.5793%  OIS 折现 5.5686%  差 -1.07bp
存量互换价值：单曲线 1,959,957  多曲线 1,984,477
最大 EE 5,561,187（t=3.12 年）  最大 NEE 4,235,944
f_nd 1,984,477  CVA 588,141  DVA 229,391  调整后 1,625,726

解读：

几何 vs 算术平均：复利使几何平均略高于算术平均（这里约 1bp），这正是 9.2.5 节提到"算术平均基差互换需要凸性调整"的原因。实际 SOFR 系统必须按营业日逐日复利，周末和节假日的利率要按跨越的天数计息。
多曲线的影响：第 1 年的远期就是 1 年 LIBOR 本身，不受折现曲线影响；越往后，OIS 折现推出的远期 LIBOR 越低，10 年处约低 1bp，与例 9.3 的方向一致。存量互换的价值在两种框架下相差约 2.5 万美元（约 1.2%），对一个大型互换账簿来说就是可观的损益。
CVA 与 DVA：这笔互换对银行价值为正，且对手的 CDS 利差（2%）高于银行自身（1%），所以 CVA 远大于 DVA；预期正敞口在约 3 年处最大，与第 7 章代码 B 的"驼峰"形状一致。调整后的价值约为无违约价值的 82%——信用调整完全不是可以忽略的小项。

本章小结

危机使场外衍生品受到更严格的监管，也促使市场重新审视估值做法。危机前，LIBOR 被视为无风险利率的合理代理，这让 LIBOR-for-fixed 互换的估值非常方便；危机后，至少对有抵押交易，市场已改用 OIS 利率。OIS 利率是交换隔夜利率（如联邦基金利率）几何平均的固定利率，它是"持续刷新"的隔夜利率，不完全无风险，但远比 LIBOR 接近；LIBOR–OIS 利差是银行间信用压力的指标。改用 OIS 折现会改变远期 LIBOR 的估计：远期 LIBOR 必须使所有按中间价新成交的互换价值为零，由此形成"OIS 折现 + 分期限远期曲线"的多曲线框架。折现率不处理信用风险，信用风险通过 CVA（对手违约，降低价值）和 DVA（自身违约，提高价值）单独调整，计算在净额结算组合层面进行；现金抵押品利息不等于无风险利率时还需 CRA。金融理论表明融资方式不应影响估值，但部分银行仍做 FVA，它可能造成套利，并与按退出价格计量的公允价值会计冲突。

概念 / 公式	内容
国债利率偏低的原因	监管需求、资本优惠、税收优惠
OIS 浮动端	隔夜利率几何平均：\(\big[\prod_j(1+r_j\delta_j/360)-1\big]\cdot360/D\)
OIS 结算	固定方净付 \(N\tau(K-\bar r_{\text{geo}})\)
LIBOR–OIS 利差	正常约 10bp，2008 年 10 月 364bp
远期 LIBOR 校准	在 OIS 折现下令按市价互换价值为零，如 \(\frac{1}{1.045}+\frac{6-100F}{1.055^2}=0\)
多曲线框架	OIS 折现曲线 + 1M/3M/6M 各自的远期曲线
价值分解	\(f_{nd}-\text{CVA}+\text{DVA}-\text{CRA}\)
CVA / DVA	\(\sum q_iv_i\) / \(\sum q_i^v_i^\)，按净额结算集计算
融资成本原则	估值不取决于融资方式；增量融资成本 ≠ 平均融资成本
FVA	以平均融资成本替代无风险折现率的调整，有争议

练习

基础题

一笔 3 个月 OIS，名义本金 5,000 万美元，OIS 利率 2.0%，期间隔夜利率的几何平均为 2.3%。谁向谁支付多少？提示：几何平均高于固定利率，浮动方向固定方支付 \(0.25\times0.003\times5\times10^7=37{,}500\) 美元。
解释为什么 3 个月 LIBOR 通常高于 3 个月 OIS 利率，以及 LIBOR–OIS 利差为什么能衡量金融市场压力。提示：见 9.2.3 节；3 个月定期贷款承担对手 3 个月的信用风险，隔夜贷款人可随时撤出。利差扩大说明银行间信用担忧加剧。
给出衍生品交易者不使用国债利率作为无风险利率的三个理由。提示：监管要求的持有需求、较低的资本要求、免征州税。
5 年 OIS 利率 3.1%，5 年 LIBOR 互换利率 3.4%，5 年以上没有可靠的 OIS 报价；10 年互换利率为 3.9%。用"利差不变"假设估计 10 年 OIS 利率。提示：利差 30bp，10 年 OIS 约 3.6%。
银行与某对手有两笔无抵押互换，当前价值分别为 +800 万和 −500 万美元。在有净额结算和没有净额结算两种情况下，若对手立即违约（回收率为 0），银行的损失分别是多少？提示：有净额结算时损失 \(\max(800-500,0)=300\) 万；没有时损失 \(\max(800,0)=800\) 万，而 −500 万那笔仍须照付。

进阶题

1 年 LIBOR 为 4%，2 年互换利率为 4.5%（年付、年复利）。(a) 用 LIBOR 折现求 2 年 LIBOR 零息利率和 1→2 年远期 LIBOR；(b) 若 1 年、2 年 OIS 零息利率为 3.7%、4.1%，求 OIS 折现下的远期 LIBOR（参考原书习题 9.3、9.4）。提示：(a) \(\frac{4.5}{1.04}+\frac{104.5}{(1+R)^2}=100\)，\(R=4.5113\%\)，\(F=1.045113^2/1.04-1=5.0251\%\)；(b) \(\frac{0.5}{1.037}+\frac{4.5-100F}{1.041^2}=0\)，\(F=5.0225\%\)，低约 0.26bp。
银行与某对手的交易分为两个区间：第 1 个区间对手违约概率 1%，期望损失现值 200 万美元；第 2 个区间违约概率 1.5%，期望损失现值 120 万美元。求 CVA。若银行自身违约的 \(q^*\) 为 0.5%、0.8%，\(v^*\) 为 50 万、90 万美元，求 DVA 和调整后价值（设 \(f_{nd}=1{,}000\) 万美元）。提示：CVA \(=0.01\times200+0.015\times120=3.8\) 万；DVA \(=0.005\times50+0.008\times90=0.97\) 万；价值 \(=1000-3.8+0.97=997.17\) 万美元。
某银行的平均融资成本为 6%，无风险利率为 4%。它新增一批无风险项目，规模等于现有资产的 25%，且新增资金按 4% 融资。新的平均融资成本是多少？这说明了 FVA 争论中的什么论点（参考原书习题 9.9）？提示：\((6\%\times1+4\%\times0.25)/1.25=5.6\%\)。无风险项目的增量融资成本是 4% 而不是 6%，所以不应以平均融资成本为这些项目估值。
解释为什么一家银行的信用评级下降可能导致它报告的利润增加。你认为这在经济上合理吗？（原书习题 9.7）提示：DVA 随自身违约概率上升而增大；但银行无法真正"变现"自身违约的收益（除非违约），所以经济上存在争议，这也是监管资本计算中剔除 DVA 收益的原因之一。
在代码第 (3) 步中，把 ois_par = swap - 0.0025 改为 swap - 0.0050，并把互换利率曲线变得更陡（例如 0.01 + 0.05 * (1 - np.exp(-T / 4))），观察 10 年远期 LIBOR 在两种框架下的差异如何变化，并解释。提示：OIS–LIBOR 利差越大、曲线越陡，两种折现因子的相对差异越大，校准出的远期 LIBOR 差异也越大（与原书习题 9.14 用 DerivaGem 探究的问题相同）。

原书推荐习题：9.3、9.4（对比 LIBOR 与 OIS 折现下的远期 LIBOR）；9.12（完整的多期限自举，两版）；9.13（OIS 折现下求远期 LIBOR 并为 3 年期互换估值）；9.7（DVA 悖论）；9.9（增量融资成本）；9.11（净额结算对 CVA/DVA 的意义）。

原书对照

本章小节	原书小节	PDF 页码	原书页码
9.1 无风险利率	9.1 The Risk-Free Rate	223–225	222–224
9.2 OIS 利率	9.2 The OIS Rate	225–228	224–227
9.3 用 OIS 折现为互换和 FRA 估值	9.3 Valuing Swaps and FRAs with OIS Discounting	228–229	227–228
9.4 OIS 还是 LIBOR	9.4 OIS vs. LIBOR: Which Is Correct?	229–230	228–229
9.5 信用风险：CVA 与 DVA	9.5 Credit Risk: CVA and DVA	230–232	229–231
9.6 融资成本	9.6 Funding Costs	231–233	230–232
小结与习题	Summary, Further Reading, Practice Questions	233–235	232–234

延伸阅读：Demiralp 等 (2004) 隔夜同业市场；Filipović & Trolle (2013) 同业风险的期限结构；Hull & White (2012) "The FVA Debate"、(2013) "LIBOR vs. OIS: The Derivatives Discounting Dilemma"、(2013) OIS 折现与利率衍生品定价；Smith (2013) 用 OIS 折现为利率互换估值；Takada (2011) 联邦基金基差互换的凸性调整。