第 06 章 利率期货

对应原书：Hull《Options, Futures, and Other Derivatives》第 9 版（Global Edition）第 6 章 Interest Rate Futures。

学习目标

读完本章，你应当能够：

1. 区分 actual/actual、30/360、actual/360 三种计息天数惯例，完成国库券贴现报价、国债净价与全价之间的换算。
2. 说清国债期货的交割机制：转换因子（conversion factor）怎么算、最便宜可交割债券（CTD）怎么挑、空方拥有哪些隐含期权。
3. 在已知 CTD 和交割日的前提下，按"现金价 → 扣收入现值 → 复利到期 → 扣应计利息 → 除以转换因子"的流程算出国债期货理论报价。
4. 理解欧洲美元期货的报价与 25 美元/基点规则，知道为什么期货利率高于远期利率，会用凸性调整公式 \(\frac12\sigma^2T_1T_2\) 修正，并用调整后的利率自举零息曲线。
5. 用基于久期的对冲比率 \(N^*=PD_P/(V_FD_F)\) 计算对冲合约数，并清楚它只对收益率曲线平行移动有效。

读前导读

这一章在解决什么问题。 用期货管理利率风险时，要先算清三件事：合约值多少（报价和计息惯例）、期货理论价是多少（国债期货要先确定交割哪只债券）、要做多少张（久期对冲）。CFA 三级你已经接触过国债期货的转换因子、CTD 和"用 BPV 计算对冲合约数"，CFA 一级学过天数惯例和贴现率报价，这部分可以快读。

本章比 CFA 深的地方有两处。第一，6.2.5 节给出国债期货理论价的完整计算流程，本质是把第 05 章的 \(F_0=(S_0-I)e^{rT}\) 套到"已知 CTD"的债券上，再处理应计利息和转换因子；反过来解出 \(r\) 就是隐含回购利率，这是国债期货基差交易的核心指标。第二，6.3.4–6.3.5 节的凸性调整：期货利率和远期利率不相等，期限越长差得越多，大约与期限的平方成正比。CFA 基本不讲这一点，但构建利率曲线时忽略它，5 年以上会出现几十个基点的系统性偏差。凸性调整公式本身来自后面的利率模型，本章只要求会用，并理解它为什么是"减"。

需要先想起来的数学。

• 离散复利贴现与几何级数。 \(\sum_{i=1}^{n}\frac{c}{(1+k)^i}=\frac{c}{k}\big(1-(1+k)^{-n}\big)\)，这就是年金现值公式，转换因子的计算用的就是它。例：\(c=5\)，\(k=3\%\)，\(n=40\)，和约为 115.57；加上本金现值 \(100/1.03^{40}\approx30.66\)，得 146.23。见 第 00 册第 04 章 级数与收敛。
• 不同报价口径之间的换算。 贴现率、单利、季度复利、连续复利描述的是同一件事，换算的通用方法是"先算出期间增长倍数，再取对数除以年数"。例：季度利率 1.5%，期间 90 天，连续复利年利率 \(=\frac{365}{90}\ln1.015\approx6.04\%\)。见第 04 章 4.2 节。
• 久期作为导数。 \(\frac{dP}{dy}\approx-PD\)（连续复利下）。所以 \(\ln P\) 对 \(y\) 的导数是 \(-D\)：久期越大，收益率变化时价格的百分比变化越大。6.2.3 节判断 CTD 和 6.4 节推导对冲比率都要用到。见 第 00 册第 02 章 导数与泰勒展开。
• 方差随时间累积。 若短期利率每年变化的标准差为 \(\sigma\)，\(T\) 年后利率的方差约为 \(\sigma^2T\)。凸性调整中的 \(\sigma^2T_1T_2\) 就是这类"方差 × 时间"的量。见 第 00 册第 07 章 概率中的分析工具。

怎么读这一章。 必读：6.2.2–6.2.3（转换因子与 CTD）、6.2.5（理论价流程，建议跟着例 6.2 算一遍）、6.3.4–6.3.5（期货利率与远期利率、凸性调整）、6.4（久期对冲）。6.1 是惯例，需要时回查。6.2.1 合约规格和 6.3.1–6.3.3 欧洲美元合约细节可以浏览，注意它已被 SOFR 期货取代。6.3.6 自举是第 04 章方法的重复。量化实战中代码 B 的第 3 部分（非平行移动下久期对冲失效）最值得看。

6.0 本章在全书中的位置

前几章讨论的期货标的大多是股票指数、商品或外汇，它们的"价格"很直观。利率期货的标的是"利率"或"对利率敏感的债券"，于是多了一层麻烦：同一笔现金流在不同市场有不同的计息方式和报价方式，期货合约又常常允许交割多种债券。本章先把这些惯例理清（6.1 节），然后介绍美国最有代表性的两类利率期货：

• 国债期货（Treasury bond futures）：长端利率工具，标的是一篮子可交割的长期国债。
• 欧洲美元期货（Eurodollar futures）：短端利率工具，标的是未来 3 个月期的美元同业利率（LIBOR）。

最后用本册第 4 章的久期（duration）概念，说明如何用利率期货对冲利率风险。世界上许多利率期货（包括中国金融期货交易所的国债期货、各国的 3 个月利率期货）都仿照这两种合约设计，因此本章的方法可以直接迁移。

6.1 计息天数与报价惯例

6.1.1 计息天数惯例

**计息天数惯例（day count convention）**写成 X/Y 的形式：X 规定两个日期之间的天数怎么数，Y 规定参考期（例如两次付息之间）的总天数怎么数。两个日期之间累计的利息为

美国常用三种惯例：

1. actual/actual (in period)：美国国债使用。两边都数实际日历天数。 例：面值 100、票息率 8%、付息日为 3 月 1 日和 9 月 1 日（每次付 4）。从 3 月 1 日到 7 月 3 日实际有 124 天，参考期 3 月 1 日到 9 月 1 日实际有 184 天，应计利息为 \(\frac{124}{184}\times4=2.6957\)。
2. 30/360：美国公司债和市政债使用。每月按 30 天、每年按 360 天数。同一张债券，3 月 1 日到 9 月 1 日算 180 天，3 月 1 日到 7 月 3 日算 \(4\times30+2=122\) 天，应计利息为 \(\frac{122}{180}\times4=2.7111\)。
3. actual/360：美国货币市场工具使用。参考期固定为 360 天，所以 90 天的利息正好是报价利率的 1/4，而一整年（365 天）的利息是报价利率的 \(365/360\) 倍。

国际上还有差异：澳大利亚、加拿大、新西兰的货币市场工具用 actual/365；LIBOR 除英镑（actual/365）外都用 actual/360；欧元和英镑债券通常用 actual/actual。

Business Snapshot 6.1 计息天数可能具有欺骗性。 设 2015 年 2 月 28 日到 3 月 1 日之间，你可以在票息相同、报价相同的一张美国国债和一张美国公司债之间二选一，应该选公司债。按 30/360，2 月 28 日到 3 月 1 日算 3 天；按 actual/actual 只有 1 天。持有公司债这两天赚到的利息约是国债的三倍。

这个例子提醒我们：做固定收益数据处理或回测时，月末、闰年、2 月这几个位置最容易出错，应计利息算错会在收益序列里留下有规律的"毛刺"。

6.1.2 美国国库券的报价：贴现率

国库券（Treasury bill）用贴现率（discount rate）报价：报价是利息占面值（而不是买入价）的百分比，并按 360 天年化。设 \(P\) 为报价，\(Y\) 为每 100 面值的现金价格，\(n\) 为剩余日历天数，则

例：91 天国库券报价 8，面值 100，91 天内的利息是 \(100\times0.08\times\frac{91}{360}=2.0222\)，现金价格为 \(100-2.0222=97.9778\)。真实的期间收益率是 \(\frac{2.0222}{97.9778}=2.064\%\)，比 \(8\%\times91/360=2.022\%\) 高——因为分母是买入价而不是面值。又如 90 天国库券现金价格为 99，则报价为 \(\frac{360}{90}\times1=4\)。

贴现率报价不是收益率，更不是连续复利利率。把它转换成连续复利零息利率（本册第 4 章）后才能和其他利率比较，这是原书习题 6.8 的内容。

推导拆解：从报价到连续复利零息率分三步，以 91 天、报价 8 为例。 第一步，由报价得现金价格：\(Y=100-P\cdot n/360=97.9778\)。 第二步，算期间增长倍数：持有到期收回 100，倍数为 \(100/Y=1.02064\)。 第三步，换成连续复利年利率：\(R=\frac{365}{n}\ln\frac{100}{Y}=\frac{365}{91}\ln1.02064\approx8.19\%\)。这里用 365 是因为本册的连续复利利率按实际日历年计；取 \(\ln\) 是因为 \(e^{RT}=\) 增长倍数。 结果比报价 8% 高出约 19 个基点，来源有两个：分母从面值换成了买入价，年化天数从 360 换成了 365。数据清洗时如果直接把国库券报价当作无风险利率，就会系统性低估。

6.1.3 美国国债的报价：净价与全价

**国债（Treasury bond）**以美元和 1/32 美元报价，针对面值 100。报价 90-05 表示 \(90\tfrac{5}{32}=90.15625\)，面值 10 万美元的债券报价为 90,156.25 美元。

报价称为净价（clean price），买方实际支付的是全价（dirty price）：

例：2015 年 3 月 5 日，票息 11%、2038 年 7 月 10 日到期的国债报价 95-16，即 95.50。上一次付息在 2015 年 1 月 10 日，下一次在 2015 年 7 月 10 日，两者相隔实际 181 天；1 月 10 日到 3 月 5 日为 54 天；每次付息 5.50。应计利息为 \(\frac{54}{181}\times5.50=1.64\)，现金价格为 \(95.50+1.64=97.14\)，面值 10 万美元对应 97,140 美元。

为什么市场习惯报净价？因为全价在每个付息日会"跳水"一次（付息后应计利息归零），而净价只反映利率变化带来的价格变化，更便于比较。量化系统里要牢记：估值和收益计算用全价，行情显示用净价。

6.2 国债期货

6.2.1 合约规格与报价

CME Group 的国债期货允许空方交割在交割月第一天剩余期限 15–25 年的任一国债；2010 年推出的超长期国债期货（Ultra T-bond）可交割期限 25 年以上的债券。10 年期国债票据期货（10-year Treasury note futures）可交割剩余期限 6.5–10 年的国债；5 年期、2 年期票据期货交割剩余期限约 5 年、2 年（且原始期限小于 5.25 年）的票据。每张合约交割面值 10 万美元（2 年期为 20 万美元）。

报价精度各不相同，这是交易系统中常见的坑：

原书表 6.1 给出了 2013 年 5 月 14 日 CME 各利率期货的行情：10 年期票据期货当日成交约 115 万张，是最活跃的合约；欧洲美元期货报价从 99.725（2013 年 6 月合约）递减到 96.760（2019 年 12 月合约），说明当时利率期限结构向上倾斜。

6.2.2 转换因子

可交割的债券票息、期限各不相同，价值差别很大。为了让它们"可比"，交易所给每只可交割债券一个转换因子（conversion factor, CF）。空方交割某债券时，适用的报价等于转换因子乘以最近结算价，每 100 面值实际收到的现金为

例：结算价 90-00，CF = 1.3800，应计利息 3，则每 100 面值收到 \(1.38\times90+3=127.20\)，一张合约（面值 10 万）收 127,200 美元。

定义：转换因子等于假设所有期限利率均为 6%（半年复利） 时，该债券在交割月第一天每 1 美元本金的报价（净价）。计算时，债券剩余期限和付息时间向下取整到最近的 3 个月：

• 取整后若恰为若干个 6 个月，就假设第一次付息在 6 个月后；
• 若多出 3 个月，就假设第一次付息在 3 个月后，并扣除应计利息。

例 1：票息 10%、剩余 20 年 2 个月的债券，取整为恰好 20 年，按每半年 3% 折现：

所以 CF = 1.4623。

例 2：票息 8%、剩余 18 年 4 个月的债券，取整为 18 年 3 个月。先把现金流折现到 3 个月后的时点（那时恰好付一次息 4）：

3 个月的利率为 \(\sqrt{1.03}-1=1.4889\%\)，再折回今天得 \(125.83/1.014889=123.99\)；减去 3 个月的应计利息 2.0，得 121.99，所以 CF = 1.2199。

推导拆解：例 2 的三个细节。 为什么 3 个月利率是 \(\sqrt{1.03}-1\)：半年利率 3% 意味着半年增长倍数 1.03；连续两个 3 个月合成半年，所以 3 个月的倍数 \(x\) 满足 \(x^2=1.03\)，\(x=\sqrt{1.03}\)。这和第 04 章"计息频率只是单位"的思路一样。 为什么第一项是"4 +"：取整后的时间线是"3 个月后付第一次息，之后每半年一次，共 36 次，最后一次连本金"。站在 3 个月后那一刻，当期的 4 不用贴现，后面 36 期按每期 3% 贴现。原式的 \(\sum_{i=1}^{36}\) 正是这 36 期。 为什么要减 2.0：转换因子定义为净价。站在今天，距下次付息 3 个月，即上次付息在 3 个月前，已累计半期票息 \(4\times\frac{3}{6}=2\)。前面算出的 123.99 是全价，减去应计利息才是净价。

直觉：转换因子就是"这只债券值多少份 6% 票息的标准债券"。如果市场收益率恰好处处等于 6%，所有可交割债券按 CF 折算后完全等价；市场一旦偏离 6%，折算就会出现系统性偏差，CTD 也由此产生。

6.2.3 最便宜可交割债券（CTD）

空方交割一只债券，收到 \((\text{结算价}\times\text{CF})+\text{应计利息}\)，而买入这只债券要付 \(\text{报价}+\text{应计利息}\)。两者相减，应计利息抵消，所以**最便宜可交割债券（cheapest-to-deliver bond, CTD）**是使

最小的那只债券。

例 6.1：结算价 93-08 = 93.25，空方可在三只债券中选择：

CTD 是债券 2。

什么决定 CTD？ 经验规律是：

• 收益率高于 6% 时，转换因子体系倾向于让低票息、长期限债券成为 CTD；
• 收益率低于 6% 时，倾向于高票息、短期限债券；
• 收益率曲线向上倾斜时倾向长期限债券，向下倾斜时倾向短期限债券。

原因在于久期。CF 是用 6% 折现得到的；当市场收益率高于 6%，所有债券实际价格都低于"按 6% 算的价格"，而久期越长的债券（低票息、长期限）跌得越多，也就是"被 CF 高估"得越多，因此用它交割最划算。收益率低于 6% 时道理相反。本章量化实战部分会用模拟数据把这条规律跑出来。

推导拆解：用导数把这段话写精确。空方要找的是"每份标准债券最便宜"的那只，即 \(P_i(y)/\text{CF}_i\) 最小的债券（交割成本最小等价于这个比值最小）。在 \(y=6\%\) 时，按定义 \(P_i(6\%)/\text{CF}_i=1\) 对所有债券都相同（忽略取整与应计利息）。 收益率从 6% 移动到 \(y\) 时，比值的对数变化为 \(\ln\frac{P_i(y)}{\text{CF}_i}\approx-D_i\,(y-6\%)\)，因为 \(\frac{d\ln P}{dy}=\frac{1}{P}\frac{dP}{dy}=-D\)（这里用了链式法则：\(\ln P\) 对 \(y\) 求导 \(=\frac1P\cdot P'\)）。 \(y>6\%\) 时，\(y-6\%>0\)，\(D_i\) 越大，比值降得越多，于是久期最长（低票息、长期限）的债券最便宜。\(y<6\%\) 时符号反过来，久期最短的债券最便宜。 这也解释了为什么 6% 附近 CTD 最容易切换：所有比值都挤在 1 附近，曲线稍有移动排序就会变。空方的交割券选择权在这里最值钱，和期权在平值附近时间价值最大是一个道理。

6.2.4 空方的交割期权与通配符

国债期货的空方拥有三类选择权：

1. 交割时点选择：可在交割月内任一天交割；
2. 交割券选择：可在多只可交割债券中挑选（即 CTD 选择权）；
3. 通配符期权（wild card play）。

Business Snapshot 6.2 通配符期权。 CME 国债期货的结算价取芝加哥时间下午 2:00 的价格，但现货国债在此之后继续交易，空方可以在当天晚些时候发出交割意向通知，而发票价格仍按当日 2:00 的结算价计算。如果下午 2:00 之后债券价格下跌，空方可以在比如 3:45 发出通知，并在现货市场低价买入债券交割；如果没有下跌，空方就保留头寸，第二天再用同样的策略。

这些选择权都在空方手中，都不是免费的，它们的价值体现为期货价格偏低。这也是国债期货"基差交易（basis trade）"的核心：持有"现券多头 + 期货空头"（做多基差）的一方站在空方位置，拥有这些交割期权；期货多头则是期权的卖方，所以期货价格要比不含期权的理论价格低一些作为补偿。基差交易者赚取的，一部分是持有收益，一部分正是这些期权的价值。

6.2.5 国债期货价格的确定

由于交割时点和交割券都不确定，国债期货的精确理论价格很难计算。若假设 CTD 和交割日已知，国债期货就成了"标的为提供已知收入的可交易证券"的期货，可以直接套用本册第 5 章的式 (5.2)：

其中 \(S_0\) 为债券现金价格（全价），\(I\) 为期货存续期内票息的现值，\(T\) 为期货到期时间，\(r\) 为对应期限的无风险利率。实务中估计 CTD 时，分析师通常假设期货到期时的零息利率等于今天的远期利率，再看届时哪只债券最便宜。

例 6.2（完整计算流程）：已知 CTD 为票息 12%、CF = 1.6000 的债券；交割在 270 天后；上次付息在 60 天前，下次付息在 122 天后，再下一次在 305 天后；利率期限结构平坦，连续复利利率为 10%；债券报价 115。

1. 算现金价格：\(115+\frac{60}{60+122}\times6=116.978\)。
2. 算收入现值：122 天（0.3342 年）后收到票息 6，现值为 \(6e^{-0.1\times0.3342}=5.803\)。
3. 复利到期货到期：期货存续 270 天（0.7397 年），以该债券为标的的现金期货价格为 \((116.978-5.803)\,e^{0.1\times0.7397}=119.711\)。
4. 扣除交割时的应计利息：交割时距上次付息（第 122 天）已过 148 天，距再下次付息还有 35 天，所以报价形式的期货价格为 \(119.711-6\times\frac{148}{148+35}=114.859\)。
5. 除以转换因子：按 CF 定义，1.6 份标准债券等价于 1 份这只 12% 债券，故期货报价为 \(114.859/1.6=71.79\)。

记住口诀：全价 → 减收入现值 → 无风险复利 → 减交割时应计利息得净价 → 除以 CF。这条流程在实务中就是计算国债期货"理论基差"和"隐含回购利率（implied repo rate）"的骨架：把式 (6.1) 反过来，用市场期货价倒推出 \(r\)，就得到隐含回购利率；它高于实际回购利率时，"买现券卖期货"有利可图。

推导拆解：隐含回购利率怎么反推？把 5 步流程倒着走。给定市场期货报价 \(F^{mkt}\)：先乘 CF、加回交割时的应计利息，得到现金期货价 \(F_{cash}\)；再由 \(F_{cash}=(S_0-I)e^{rT}\) 两边取对数，\(r_{\text{implied}}=\frac1T\ln\frac{F_{cash}}{S_0-I}\)。严格说 \(I\) 本身也用 \(r\) 贴现，需要迭代，但影响很小。 金融直觉：隐含回购利率就是"买现券、卖期货、持有到交割"这笔组合的年化收益率。它和你能借到钱的实际回购利率比较：前者更高，说明借钱买券、卖期货能赚利差（正向套利）；前者更低，则反向。实务中隐含回购利率最高的那只债券通常就是 CTD，这比"交割成本最小"的判别更准确，因为它考虑了持有期的票息和融资成本。

6.3 欧洲美元期货

6.3.1 合约定义与结算

**欧洲美元（Eurodollar）**是存放在美国境外银行（包括美国银行的海外分支）的美元，欧洲美元利率就是银行间欧洲美元存款利率，基本等同于美元 LIBOR。

3 个月欧洲美元期货是对未来某个 3 个月期间、100 万美元本金上将支付利息的期货。到期月为 3、6、9、12 月，最长可达 10 年；近期合约也有其他月份。

• 最后交易日：交割月第三个星期三之前两个营业日（例如 2013 年 6 月合约为 2013 年 6 月 17 日）。
• 结算方式：之前按常规每日结算；最后交易日上午 11 点的最终结算价为 \(100-R\)，\(R\) 为当日 3 个月 LIBOR 定盘利率（季度复利、actual/360）。若 2013 年 6 月 17 日 LIBOR 为 0.75%，最终结算价为 99.250。

6.3.2 25 美元/基点规则

报价变动 1 个基点（0.01）对应每张合约盈亏 25 美元。原因是：利率变动 0.01% 使 100 万美元 3 个月的利息变化

例：结算价从 99.725 变为 99.685，下降 4 个基点，多头每张亏 \(4\times25=100\) 美元。

由于报价 \(=100-\text{期货利率}\)，多头在利率下降时获利，空头在利率上升时获利。这和国债期货的方向一致：利率涨，价格跌。

交易所把合约价格定义为

\(Q\) 为报价。报价 99.725 对应 999,312.5 美元，99.615 对应 999,037.5 美元，两者相差 275 美元，正好等于 11 个基点 × 25 美元。原书表 6.2 列出了 2013 年 5 月 13 日至 6 月 17 日的逐日价格，累计变动 −0.110、累计亏损 275 美元，与此一致。

6.3.3 用欧洲美元期货锁定利率

例 6.3：投资者想锁定 9 月第三个星期三前两天开始的 3 个月期、1 亿美元本金的投资利率。9 月合约报价 96.50，可锁定 3.5%。他买入 100 张合约（\(10^8/10^6=100\)）。

• 若届时 3 个月利率为 2.6%，最终结算价 97.40，期货盈利 \(100\times25\times(9740-9650)=225{,}000\) 美元；
• 投资利息为 \(10^8\times0.25\times0.026=650{,}000\) 美元；
• 合计 875,000 美元，恰好是 3.5% 下的利息 \(10^8\times0.25\times0.035\)。

对冲并不完美，原因有两个：(a) 期货每日结算，盈亏分布在整个持有期；(b) 期货在合约到期时（期间开始时）就最终结算，而投资利息要到 3 个月后才收到。对 (b) 的近似处理是把合约数按 \(1/(1+0.035\times0.25)=0.9913\) 缩减，买 99 张而不是 100 张。这和本册第 3 章讲过的"尾随对冲（tailing the hedge）"思想相同：今天到手的 1 美元比 3 个月后到手的 1 美元多值一点利息。

由表 6.1 的前结算价可以读出：从 2013-06-17、2013-09-16、2013-12-16、2015-12-14、2017-12-18、2019-12-16 开始的 3 个月期货利率分别为 0.275%、0.295%、0.325%、0.900%、2.270%、3.324%，期限结构明显向上倾斜。类似合约还有 CME 的 Euroyen，以及 LIFFE（Euronext）的 3 个月 Euribor 和 Euroswiss 期货。

现状补充：LIBOR 已于 2023 年 6 月后停止美元主要期限报价，CME 的欧洲美元期货已转换为 3 个月 SOFR 期货。SOFR 期货按参考季度内每日 SOFR 的复利结算（"后置"计算），而不是在期初观察一个定盘利率，但报价方式 \(100-R\)、基点价值和本节的对冲思路都可以直接迁移。

6.3.4 远期利率与期货利率

欧洲美元期货和远期利率协议（FRA，本册第 4 章）都锁定未来某期间的利率。期限较短（约 1 年内）时可以视两者相等；期限较长时差异显著，必须调整。

考虑 \(T_1\) 到 \(T_2\) 期间的利率。欧洲美元期货每日结算，最终结算在 \(T_1\)；FRA 不每日结算，在 \(T_2\) 结算（或在 \(T_1\) 支付 \(T_2\) 收益的现值）。设一份合约让你收取 \(R_M-R_F\)，\(R_M\) 为实现的市场利率，\(R_F\) 为合约固定利率。两点差异：

1. 每日结算 vs. 在 \(T_1\) 一次结算。每日结算使你在利率高时拿到现金（可以按高利率再投资），在利率低时付出现金（可以按低利率融资）。这对收 \(R_M\) 的一方有利，所以市场会把每日结算版本的 \(R_F\) 定得更高。反过来说，从每日结算改成 \(T_1\) 一次结算，\(R_F\) 会降低。（论证方法与本册第 5 章 5.8 节比较远期与期货价格的思路相同。）
2. 在 \(T_1\) 结算 vs. 在 \(T_2\) 结算。\(R_M\) 高时收益为正，但利率高使"推迟到 \(T_2\) 才拿钱"的代价较大；\(R_M\) 低时收益为负，但利率低使"推迟付款"的好处较小。所以收 \(R_M\) 的一方更愿意在 \(T_1\) 结算；若推迟到 \(T_2\)，就要以更低的 \(R_F\) 补偿。

两点都使远期利率低于期货利率。对长期合约，第一点的影响远大于第二点。

金融直觉：第 1 点和第 05 章 5.8 节是同一个机制，但这里的效应大得多。5.8 节说"期货与远期的差别取决于标的价格与利率的相关性"，对股指或商品，这个相关性通常不强，差别可以忽略。欧洲美元期货的标的就是利率，相关性几乎是 1，所以效应被放大到最大。另一个放大器是期限：差别来自"逐日结算资金的再投资收益"，期限越长、利率在期间内可能变动得越多，累积效应越大。所以短期合约可以忽略，8 年期合约就会差出约 47.5 个基点。

6.3.5 凸性调整

一种常用的调整（基于本册后续将介绍的 Ho–Lee 利率模型，原书第 31 章；证明见原书 Technical Note 1）是

其中 \(T_1\) 为期货到期时间，\(T_2\) 为期货标的利率的到期时间，\(\sigma\) 为短期利率一年内变化的标准差，两种利率都用连续复利表示。这一调整称为凸性调整（convexity adjustment）。

白话解释：这个公式的严格证明要用到后面的利率模型，这里先读懂它的结构。 一是单位：\(\sigma\) 是"利率每年变动的标准差"，以小数计（0.012 即每年 120 个基点）；\(\sigma^2T\) 是利率在 \(T\) 年内累积变动的方差，单位是"利率的平方"。乘以另一个时间 \(T_2\) 后，量纲又回到"利率"，所以可以直接从期货利率中减去。 二是为什么近似与期限平方成正比：\(T_1\) 和 \(T_2\) 只差 0.25 年，\(T_1T_2\approx T_1^2\)。期限翻倍，调整变成约 4 倍。 三是为什么叫"凸性"：远期利率由两只零息债的价格之比 \(P(0,T_1)/P(0,T_2)\) 决定，而债券价格是利率的凸函数（第 04 章 4.8 节）；期货利率则通过逐日结算对利率线性地结算盈亏。两者的差来自"利率变动"与"贴现因子/再投资利率变动"之间的协方差，波动越大差得越多，所以与 \(\sigma^2\) 成正比。直观的结论只有一句：利率波动越大、期限越长，期货利率比远期利率高得越多，因此要从期货利率中减去这一项。 四是使用时的注意：\(\sigma\) 需要估计或从利率期权中反推，调整量对它很敏感（与 \(\sigma^2\) 成正比，\(\sigma\) 估高 20%，调整就大 44%）。

例 6.4：\(\sigma=0.012\)，8 年期欧洲美元期货报价 94，\(T_1=8\)，\(T_2=8.25\)。调整量为

期货利率 6%（actual/360、季度复利）意味着每 90 天 1.5%，换成连续复利、actual/365：\(\frac{365}{90}\ln1.015=6.038\%\)。远期利率估计为 \(6.038\%-0.475\%=5.563\%\)。

调整量随期限快速增长：2 年 3.2bp、4 年 12.2bp、6 年 27.0bp、8 年 47.5bp、10 年 73.8bp，大致与期限的平方成正比——期限翻倍，调整约变为 4 倍。所以对 1–2 年以内的合约，忽略凸性调整误差很小；对 5 年以上的合约，不调整就会在曲线上留下几十个基点的系统性偏差。

6.3.6 用欧洲美元期货延伸零息曲线

1 年以内的 LIBOR 零息曲线可以由 1、3、6、12 个月 LIBOR 直接得到。再往后，经凸性调整的欧洲美元期货常被用来延长曲线（通常到 2 年，有时到 5 年），然后再用互换利率延伸（下一章 7.6 节）。

设第 \(i\) 份期货在 \(T_i\) 到期，假设它对应的（已调整的）远期利率 \(F_i\) 适用于 \(T_i\) 到 \(T_{i+1}\) 的整个期间。由本册第 4 章的远期利率公式 \(F_i=\frac{R_{i+1}T_{i+1}-R_iT_i}{T_{i+1}-T_i}\)（连续复利），解出

这就是自举（bootstrap）：从已知的短端零息利率出发，用一个个远期利率逐段"接"出更长期限的零息利率。

例 6.5：400 天零息利率为 4.80%（连续复利）；从 400 天开始的 90 天期远期利率为 5.30%，从 491 天开始的为 5.50%，从 589 天开始的为 5.60%。则

注意：期货标的虽是 90 天利率，这里却假定它适用于相邻两个期货到期日之间的 91 天或 98 天。这是实务中的近似，Euroswiss、Euroyen、Euribor 期货的用法相同。

6.4 基于久期的期货对冲

6.4.1 对冲比率的推导

记号：

• \(V_F\)：一张利率期货的合约价格；
• \(D_F\)：期货标的资产在期货到期时的久期；
• \(P\)：被对冲组合在对冲到期时的远期价值（实务中常直接用今天的价值）；
• \(D_P\)：组合在对冲到期时的久期。

假设所有期限的收益率都变动相同的 \(\Delta y\)（即收益率曲线只做平行移动），由久期的定义（本册第 4 章）近似有

要让 \(\Delta P\) 被 \(N^*\) 张期货的盈亏抵消，需要 \(N^*\Delta V_F=\Delta P\)，即

这称为基于久期的对冲比率（duration-based hedge ratio），也叫价格敏感度对冲比率（price sensitivity hedge ratio）。用它对冲后，整个头寸的久期为零。

推导拆解：把两个近似式代入 \(N^*\Delta V_F=\Delta P\)：\(N^*(-V_FD_F\Delta y)=-PD_P\Delta y\)。两边的 \(-\Delta y\) 同时约去，这一步要求组合和期货面对的是同一个 \(\Delta y\)，也就是平行移动假设被用到的地方。解出 \(N^*\) 即得 (6.5)。 与 CFA 和第 03 章的对应：\(PD_P\) 和 \(V_FD_F\) 都是"美元久期"，乘以 0.0001 就是 BPV（DV01）。所以 (6.5) 就是 CFA 三级的"组合 BPV ÷ 期货 BPV"。CFA 中期货 BPV 写成 BPV\(_{\text{CTD}}\)/CF，本章用 CTD 在期货到期时的久期计算 \(D_F\)，思路一致。再和第 03 章的股指对冲 \(N^*=\beta V_A/V_F\) 并排看：\(D_P/D_F\) 扮演 \(\beta\) 的角色，即"组合对共同因子的敏感度 ÷ 期货对共同因子的敏感度"。练习 9 的提示说的就是：当两者对利率变动的反应不是一比一时，要再乘一个回归系数，这正是第 03 章最小方差对冲比率的思想。

6.4.2 使用要点与常见误区

• \(D_F\) 依赖 CTD 假设。用国债期货对冲时，\(D_F\) 必须基于某一具体 CTD 债券的久期。如果利率环境变化使 CTD 改变，\(D_F\) 就会跳变，对冲必须重新调整，效果可能变差。
• 方向别弄反。利率与利率期货价格反向变动：利率下降会亏损的公司应做多期货；利率上升会亏损的公司应做空期货。
• 选久期接近的期货。应选择标的资产久期尽量接近被对冲资产久期的合约：短期利率敞口用欧洲美元（SOFR）期货，长期利率敞口用超长国债、国债、国债票据期货。

例 6.6：8 月 2 日，基金经理持有 1,000 万美元国债，担心未来 3 个月利率剧烈波动，决定用 12 月国债期货对冲。期货价格 93-02 = 93.0625，合约价格 93,062.50 美元。组合 3 个月后的久期为 6.80 年；预计 CTD 为 20 年期、12% 票息的债券，当前收益率 8.80%，期货到期时久期为 9.20 年。需做空

取整做空 79 张。

6.5 资产与负债组合的对冲

金融机构常让资产的平均久期等于负债的平均久期（负债可视为债券空头），称为久期匹配（duration matching）或组合免疫（portfolio immunization）。它保证收益率曲线小幅平行移动时，资产与负债的盈亏相互抵消。

缺点同样明显：它不能防范零息曲线的非平行移动。实务中短期利率的波动通常大于长期利率，两者不完全相关，有时甚至反向变动。因此久期匹配只是第一步。

Business Snapshot 6.3 银行的资产负债管理（ALM）。 银行常用 GAP 管理：把零息收益率曲线分成若干区间（bucket，如 0–1 个月、1–3 个月……），考察某一区间零息利率变动而其他区间不变时对组合价值的影响。若发现错配，可以调整存贷款利率（本册第 4 章 4.9 节），或使用互换、FRA、债券期货、欧洲美元期货等利率衍生品纠正。

GAP 分区分析在今天的风险系统里叫作"关键利率久期（key rate duration）"或"分桶 DV01"，它是多因子利率风险模型（水平、斜率、曲率）的出发点。

量化实战

本章内容在量化交易里主要出现在三个地方：

1. 国债期货基差与 CTD 分析。国债期货的价值由 CTD 决定，CTD 又随收益率水平和曲线形状变化。做期现套利、跨期价差或用国债期货表达利率观点时，系统必须实时计算每只可交割券的转换因子、交割成本、隐含回购利率，并判断 CTD 是否可能切换。中国金融期货交易所的 2/5/10/30 年期国债期货同样采用"名义标准券 + 转换因子 + 空方选券"的机制（名义标准券票面利率为 3%，所以"临界收益率"是 3% 而不是 6%），本章的逻辑可以原样迁移。
2. 利率曲线构建。零息曲线是一切利率衍生品定价和固定收益回测的基础设施。短端用存款/隔夜利率，中段用经凸性调整的期货，长端用互换，逐段自举——这一流水线在今天的 SOFR 世界里依然成立。
3. 利率风险对冲。久期对冲是一阶方法，简单但只对平行移动有效。实际组合要按关键期限分桶计算 DV01，再用多个期限的期货组合对冲。

下面两段代码分别实现：(A) CME 转换因子计算、CTD 判别（复现例 6.1）、模拟展示收益率水平如何改变 CTD、复现例 6.2 的期货理论报价；(B) 凸性调整与零息曲线自举（复现例 6.4、6.5），以及在模拟的平行与非平行利率冲击下检验久期对冲的效果。

代码 A：转换因子、CTD 与理论期货价格

import numpy as np
import pandas as pd

def conversion_factor(coupon, years, months):
    """CME 转换因子：6% 半年复利、期限向下取整到 3 个月，返回每 1 美元面值的净价"""
    months_total = years * 12 + months
    q = months_total // 3                 # 取整后的季度数
    n_half, extra = divmod(q, 2)          # 半年期个数，是否多出一个季度
    c = coupon * 100 / 2                  # 每半年票息（面值 100）
    disc = 1.03 ** -np.arange(1, n_half + 1)
    pv = c * disc.sum() + 100 * 1.03 ** -n_half
    if extra == 0:
        return pv / 100
    # 多出 3 个月：先折到 3 个月后（含当期票息），再折回今天并扣应计利息
    pv3 = c + pv
    pv0 = pv3 / np.sqrt(1.03)
    return (pv0 - c / 2) / 100

print("例1 CF =", round(conversion_factor(0.10, 20, 2), 4))
print("例2 CF =", round(conversion_factor(0.08, 18, 4), 4))

# 例 6.1：CTD 判别
F = 93.25
bonds = pd.DataFrame({"quote": [99.50, 143.50, 119.75],
                      "cf": [1.0382, 1.5188, 1.2615]}, index=["债券1", "债券2", "债券3"])
bonds["交割成本"] = bonds["quote"] - F * bonds["cf"]
print(bonds.round(3)); print("CTD:", bonds["交割成本"].idxmin())

# 模拟一篮子可交割券，看收益率水平如何改变 CTD
basket = pd.DataFrame({"coupon": [0.03, 0.045, 0.06, 0.08, 0.03, 0.05],
                       "years":  [15,   16,    18,   15,   25,   24]})
basket["cf"] = [conversion_factor(c, y, 0) for c, y in zip(basket.coupon, basket.years)]

def price(coupon, years, y):          # 平坦收益率 y（半年复利）下的净价
    k = np.arange(1, 2 * years + 1)
    return (coupon * 50 * (1 + y / 2) ** -k).sum() + 100 * (1 + y / 2) ** -(2 * years)

rows = []
for y in [0.03, 0.045, 0.06, 0.075, 0.09]:
    p = np.array([price(c, n, y) for c, n in zip(basket.coupon, basket.years)])
    # 无套利下期货价近似为 min(P/CF)：此时 CTD 交割成本为 0
    fut = (p / basket.cf).min()
    cost = p - fut * basket.cf
    i = cost.argmin()
    tie = np.sort(cost)[1] < 1e-8           # 次便宜券成本也为 0：打平
    ctd = "全部打平" if tie else f"{basket.coupon[i]:.1%} / {basket.years[i]}年"
    rows.append((y, round(fut, 3), ctd))
print(pd.DataFrame(rows, columns=["收益率", "隐含期货价", "CTD(票息/期限)"]))

# 例 6.2：已知 CTD 的国债期货理论报价
r = 0.10
cash = 115 + 60 / (60 + 122) * 6
I = 6 * np.exp(-r * 122 / 365)
F_cash = (cash - I) * np.exp(r * 270 / 365)
F_clean = F_cash - 6 * 148 / (148 + 35)
print(f"现金价 {cash:.3f}，票息现值 {I:.3f}，现金期货价 {F_cash:.3f}，"
      f"净价期货 {F_clean:.3f}，报价 {F_clean / 1.6:.2f}")

关键输出：

例1 CF = 1.4623
例2 CF = 1.2199
      quote     cf   交割成本
债券1   99.50  1.038  2.688
债券2  143.50  1.519  1.872
债券3  119.75  1.262  2.115
CTD: 债券2
     收益率    隐含期货价  CTD(票息/期限)
0  0.030  133.812  8.0% / 15年
1  0.045  115.283  8.0% / 15年
2  0.060  100.000        全部打平
3  0.075   80.648  3.0% / 25年
4  0.090   66.304  3.0% / 25年
现金价 116.978，票息现值 5.803，现金期货价 119.711，净价期货 114.859，报价 71.79

解读：两个转换因子例子与原书一致。模拟篮子清楚地展示了 6.2.3 节的规律——收益率为 6% 时所有债券按 CF 折算后完全等价（"全部打平"）；收益率低于 6% 时 CTD 是高票息、短期限的 8%/15 年券；高于 6% 时 CTD 切换为低票息、长期限的 3%/25 年券。在 6% 附近，CTD 切换的可能性最大，空方的交割券选择权也最值钱。（这里为了突出 CTD 规律，用平坦收益率曲线和"期货价 = min(P/CF)"的简化定价，忽略了持有成本和交割期权价值。）

代码 B：凸性调整、自举与久期对冲检验

import numpy as np

# 1) 凸性调整：远期利率 = 期货利率 - 0.5*sigma^2*T1*T2（连续复利）
sigma = 0.012
for T1 in [2, 4, 6, 8, 10]:
    adj = 0.5 * sigma**2 * T1 * (T1 + 0.25)
    print(f"T1={T1:>2} 年  凸性调整 {adj*1e4:5.1f} bp")
fut_cc = 365 / 90 * np.log(1 + 0.06 / 4)          # 报价 94 → 6% actual/360 季度复利
print(f"例6.4: 期货利率(连续,365) {fut_cc:.4%}, 远期 {fut_cc - 0.5*sigma**2*8*8.25:.4%}")

# 2) 用(已调整的)期货远期利率自举零息曲线，式(6.4)
T = np.array([400, 491, 589]) / 365
R = [0.048]
F = [0.053, 0.055]                     # 适用于 [T_i, T_{i+1}]
for i in range(len(F)):
    R.append((F[i] * (T[i+1] - T[i]) + R[i] * T[i]) / T[i+1])
print("零息利率:", [f"{x:.3%}" for x in R])

# 3) 久期对冲：平行移动 vs 非平行移动下的对冲误差（模拟）
rng = np.random.default_rng(0)
P, DP = 10_000_000, 6.80          # 组合价值与久期
VF, DF = 93_062.50, 9.20          # 期货合约价格与 CTD 久期
N = P * DP / (VF * DF)
print(f"对冲合约数 N* = {N:.2f}")
n = 10_000
level = rng.normal(0, 0.008, n)               # 共同水平因子
twist = rng.normal(0, 0.004, n)               # 斜率因子：短端与长端反向
for name, k in [("仅平行移动", 0.0), ("含斜率扭转", 1.0)]:
    dy_port = level - 0.3 * k * twist          # 组合久期 6.8，偏中段
    dy_fut  = level + 0.5 * k * twist          # CTD 久期 9.2，偏长端
    pnl_port = -P * DP * dy_port
    pnl_fut  = -VF * DF * dy_fut
    hedged = pnl_port - round(N) * pnl_fut     # 做空 79 张
    print(f"{name}: 未对冲 P&L 标准差 {pnl_port.std():>9,.0f}  "
          f"对冲后 {hedged.std():>8,.0f}  降幅 {1 - hedged.std()/pnl_port.std():.1%}")

关键输出：

T1= 2 年  凸性调整   3.2 bp
T1= 4 年  凸性调整  12.2 bp
T1= 6 年  凸性调整  27.0 bp
T1= 8 年  凸性调整  47.5 bp
T1=10 年  凸性调整  73.8 bp
例6.4: 期货利率(连续,365) 6.0382%, 远期 5.5630%
零息利率: ['4.800%', '4.893%', '4.994%']
对冲合约数 N* = 79.42
仅平行移动: 未对冲 P&L 标准差   542,954  对冲后    2,892  降幅 99.5%
含斜率扭转: 未对冲 P&L 标准差   550,139  对冲后  215,634  降幅 60.8%

解读：凸性调整和自举结果与原书例 6.4、6.5 完全一致。久期对冲的模拟说明了本章最重要的风险提示：只有平行移动时，79 张期货几乎消除了全部利率风险（剩下的一点来自合约数取整）；一旦加入让中段和长端反向变动的"斜率因子"，同样的对冲只能去掉约六成风险。实际工作中的改进办法是按关键期限分桶，用 2 年、5 年、10 年、30 年等多个期货合约分别对冲各桶的 DV01，或者对水平、斜率、曲率三个主成分分别做中性化（主成分分析见本册第 22 章 22.9 节与第 01 册第 02b 章的特征分解）。

本章小结

利率期货的难点不在定价原理（仍然是第 5 章的持有成本模型），而在细节：计息天数、报价惯例、净价/全价、转换因子、交割选择权。国债期货让空方在一篮子债券中挑选交割券，转换因子以 6% 为基准把它们折算成可比，但市场收益率偏离 6% 时会产生系统性的 CTD；假设 CTD 和交割日已知后，可按"全价 → 减收入现值 → 复利 → 减应计利息 → 除以 CF"求理论报价，空方的各种选择权使实际期货价格偏低。欧洲美元期货报价 \(100-R\)、每基点 25 美元，可以锁定未来 3 个月利率；由于每日结算，期货利率高于远期利率，长期限合约需做与期限平方成正比的凸性调整，调整后的利率可用于自举零息曲线。久期对冲比率 \(N^*=PD_P/(V_FD_F)\) 是利率对冲的一阶工具，但只对平行移动有效，非平行移动需要分桶或多因子对冲。

练习

基础题

1. 票息 6%、每年 1 月 15 日和 7 月 15 日付息的债券，计算 1 月 15 日到 4 月 20 日的应计利息：(a) 按 actual/actual（美国国债）；(b) 按 30/360（公司债）。设该年非闰年。 提示：(a) 实际天数 95 天，参考期 181 天，利息 \(95/181\times3=1.5746\)；(b) 30/360 下 \(3\times30+5=95\) 天，参考期 180 天，利息 \(95/180\times3=1.5833\)。

2. 120 天国库券报价 5.20（贴现率），求每 100 面值的现金价格和 120 天的期间收益率；再换成连续复利年利率（按 365 天计）。 提示：现金价格 \(100-5.20\times120/360=98.2667\)；期间收益率 \(1.7333/98.2667=1.7639\%\)；连续复利 \(\frac{365}{120}\ln(1.017639)=5.32\%\)。

3. 期货结算价 101-16，三只可交割债券报价与 CF 分别为 (120.00, 1.1720)、(108.50, 1.0650)、(95.25, 0.9310)。哪只是 CTD？ 提示：结算价 101.5；交割成本分别为 \(120-118.958=1.042\)、\(108.5-108.098=0.402\)、\(95.25-94.497=0.753\)，第二只最便宜。

4. 某投资者买入 5 张欧洲美元期货，报价从 97.85 变为 97.62，他的盈亏是多少？ 提示：下降 23bp，亏损 \(5\times23\times25=2{,}875\) 美元。

5. 解释为什么国债期货空方拥有的交割选择权会使期货价格低于式 (6.1) 的理论值。 提示：选择权归空方所有、有正价值；多方要求以更低的期货价作为补偿。

进阶题

6. 用例 6.2 的数据，但设期限结构平坦利率为 8%，重新计算期货报价。比较结果并说明利率上升为何抬高期货价格。 提示：按同一流程，票息现值 5.842，净价期货 113.059，报价约 70.66，低于利率 10% 时的 71.79。持有成本模型中，利率越高、持有现券的融资成本越高，期货价相对现货越高。

7. 设 \(\sigma=0.015\)，计算 5 年期欧洲美元期货（\(T_1=5\)，\(T_2=5.25\)）的凸性调整；若期货报价 95.00，估计对应的连续复利远期利率。 提示：调整 \(=\frac12\times0.015^2\times5\times5.25=0.295\%\)；期货利率 5%（季度复利、actual/360）换算为 \(\frac{365}{90}\ln(1.0125)=5.038\%\)，远期约 4.74%。

8. 某公司持有 5,000 万美元、久期 4.2 年的债券组合，计划 4 个月后卖出。可用的期货合约价格 108,500 美元，CTD 久期 7.6 年。应如何对冲？若希望把组合久期降到 2 年而不是 0，应如何操作？ 提示：完全对冲做空 \(\frac{5\times10^7\times4.2}{108{,}500\times7.6}=254.7\) 张；降到 2 年则做空 \(\frac{5\times10^7\times(4.2-2)}{108{,}500\times7.6}=133.4\) 张（原书习题 6.17、6.18 同类）。

9. 用代码 B 的框架，把斜率因子的系数改为让组合与期货标的同向但幅度不同（例如组合 \(1.2\times\)、期货 \(0.8\times\)），观察对冲效果，并说明此时应如何修改 \(N^*\)。 提示：若两者对水平因子的敏感度不同（"贝塔"不同），应把 \(N^*\) 乘以 \(\Delta y_P/\Delta y_F\) 的回归系数，与原书习题 6.15 的思想一致。

10. 解释"用欧洲美元期货延伸零息曲线"时，为什么假设期货远期利率适用于相邻两个到期日之间（91 天或 98 天）而不是严格的 90 天？这种近似对曲线有什么影响？ 提示：期货到期日并不连续首尾相接，为了得到无缝的零息曲线，需要把每个远期利率"拉伸"覆盖整个区间；误差通常很小，因为相邻期间的远期利率相差不大。

原书推荐习题：6.2、6.9、6.23（净价与全价、两种计息惯例）；6.10、6.24、6.30（转换因子与 CTD）；6.11、6.27（国债期货理论价格）；6.14（自举零息利率）；6.21、6.26（凸性调整）；6.28（LIBOR 与期货的套利）；6.31（久期对冲及 CTD 改变、非平行移动的影响）。

原书对照

延伸阅读：Burghardt & Hoskins (1995) 关于欧洲美元期货的凸性偏差；Grinblatt & Jegadeesh (1996) 关于欧洲美元期货与远期的相对价格。