第 05 章 远期与期货价格的确定

学习目标

读完本章，你应当能够：

1. 区分投资资产与消费资产，说明为什么前者的远期价可以由无套利唯一确定、后者只能得到上界。
2. 用套利论证推导三个基本公式：\(F_0=S_0e^{rT}\)、\(F_0=(S_0-I)e^{rT}\)、\(F_0=S_0e^{(r-q)T}\)，并在价格偏离时写出具体的套利步骤。
3. 为已签订的远期合约估值：\(f=(F_0-K)e^{-rT}\)，理解期货盈亏与远期盈亏在时间上的差异。
4. 把一般结论应用到股指（指数套利）、外汇（利率平价）和商品（储存成本、便利收益），并统一成持有成本模型 \(F_0=S_0e^{(c-y)T}\)。
5. 理解远期价与期货价何时相等、何时不等，以及交割选择权对期货定价的影响。
6. 用系统风险解释期货价与预期未来即期价的关系：\(F_0=E(S_T)e^{(r-k)T}\)。

读前导读

这一章在解决什么问题。 给定今天的即期价，远期价和期货价应该是多少，已签的远期合约今天值多少。CFA 一级、二级你已经学过持有成本模型：\(F_0=S_0(1+r)^T\)，有股息时减去股息现值，外汇用利率平价，远期合约中途估值用"现值之差"。本章的结论和你学过的一一对应，只是全部改写成连续复利。

本章比 CFA 深在三处，值得放慢。第一，每个公式都配有完整的双向套利证明：价格偏高时怎么套利、偏低时怎么套利，两边都堵住才得到等式。CFA 通常只演示一个方向。第二，投资资产与消费资产的区分：对原油、铜这类消费资产，反向套利做不了，只能得到不等式（上界），由此引出"便利收益"。CFA 提到便利收益，但没有说清它其实是一个"让等式成立的反推参数"。第三，期货价与预期未来即期价的关系 \(F_0=E(S_T)e^{(r-k)T}\)：用 CAPM 的系统风险解释期货价为什么不是对未来价格的无偏预测。这一点对做商品和股指期货的量化研究尤其重要。

需要先想起来的数学。

• 指数运算规则。 \(e^{a}\cdot e^{b}=e^{a+b}\)，\(e^{a}/e^{b}=e^{a-b}\)，\(e^{-a}=1/e^a\)。所以 \(S_0e^{rT}\cdot e^{-qT}=S_0e^{(r-q)T}\)，"借钱的成本 \(r\)"和"持有的收益 \(q\)"可以直接在指数里相减。连续复利的好处就在这里。见 第 00 册第 04 章 级数与收敛。
• 用对数反解参数。 已知 \(F=S_0e^{xT}\) 求 \(x\)：两边除以 \(S_0\) 再取 \(\ln\)，\(x=\ln(F/S_0)/T\)。例：\(F=81\)，\(S_0=80\)，\(T=0.5\)，\(x=\ln(1.0125)/0.5\approx2.48\%\)。代码中的"隐含便利收益""年化基差率"都这样算。
• 连续复利贴现与现值求和。 多笔已知现金流的现值是 \(\sum_ic_ie^{-r_it_i}\)，每笔用自己期限的利率。例 5.2 中的 \(I\) 就是这样算的。见 第 00 册第 03 章 积分（连续复利与贴现）。
• 期望与风险调整贴现。 \(E(S_T)\) 是对到期价格的平均预期（真实世界的期望）。用要求收益率 \(k\) 贴现：现值 \(=E(S_T)e^{-kT}\)。这就是 CFA 中 DCF 的连续复利版本。见 第 00 册第 07 章 概率中的分析工具。
• 用不等式表述"界"。 "\(F_0\le(S_0+U)e^{rT}\)"只说明了一个方向的约束。证明一个等式往往要分别证"\(\le\)"和"\(\ge\)"，少了一边就只能得到不等式。见 第 00 册第 08 章 读懂数学证明与符号。

怎么读这一章。 核心必读：5.4（最基本的套利证明，把逻辑吃透后面就快了）、5.6（已知收益率，股指与外汇都由它推出）、5.7（远期估值）、5.11.2–5.12（消费资产与持有成本统一公式）、5.14（期货价与预期即期价）。5.2 卖空、5.3 假设可以快读；5.5 与 CFA 几乎一致；5.9、5.10 是 5.6 的应用，看例题和商业快照即可；5.8 在第 02 章导读里已经讲过直觉；5.13 交割选择权第一次可以只看结论，第 06 章国债期货会再用到。

本章研究远期价、期货价与标的即期价之间的关系。远期只在到期时一次结算，没有逐日盯市，更容易分析，所以我们先研究远期；幸运的是，同期限的远期价与期货价通常非常接近，结论一般也适用于期货。先推导一般结论，再应用到股指、外汇、商品（利率期货见原书第 6 章）。本章是全册第一次完整运用无套利定价方法，后面的期权定价沿用的是同一套逻辑。

5.1 投资资产与消费资产

• 投资资产（investment asset）：至少有一部分交易者为投资目的而持有的资产，如股票、债券、黄金、白银。不要求它只用于投资（白银有大量工业用途），只要有人纯粹为投资而持有，并在远期更有吸引力时愿意卖出现货、改持远期。
• 消费资产（consumption asset）：主要为消费而持有，通常不为投资而持有，如铜、原油、玉米、猪腩。

对投资资产，可以用套利论证由即期价和其他可观察变量确定远期/期货价；对消费资产不能，只能得到一个上界。原因在 5.8 节会清楚看到：反向套利需要有人愿意卖出现货，而消费资产的持有者不愿意。

5.2 卖空

卖空（short selling，shorting）是卖出自己并不拥有的资产，部分（不是全部）投资资产可以卖空。例：投资者让经纪人卖空 500 股 X 公司股票，经纪人从其他客户处借来股票，在市场上正常卖出；之后投资者买回 500 股归还，平掉空头。股价下跌获利，上涨亏损。持仓期间若经纪人需要归还借来的股票又借不到别的，投资者会被迫平仓（这就是逼空 short squeeze 的来源）。借股有时要付费。

卖空者须向经纪人支付被卖空证券本应产生的收入（股息、利息），经纪人再转给出借股票的客户。原书表 5.1：4 月以 $120 卖空 500 股，收入 $60,000；5 月每股派息 $1，付 $500；7 月以 $100 买回，付 $50,000。净利 \(60{,}000-500-50{,}000=\$9{,}500\)（不计借股费）。这恰好是"4 月买入、7 月卖出"现金流的镜像（后者净亏 $9,500）。

卖空者要在经纪人处维持保证金账户，与期货保证金类似：股价上涨时可能被追保，不补足就被强制平仓。保证金不构成真正成本——余额通常计息，也可用国库券充抵；卖空所得属于投资者，通常构成初始保证金的一部分。

监管。 美国 1938 年引入提价规则（uptick rule）：只能在股价最近一次变动为上涨时卖空；SEC 于 2007 年 7 月废除，2010 年 2 月引入"替代提价规则"：某股票单日跌幅超过 10% 时，当日及次日只能以高于当前最优买价的价格卖空。2008 年多国曾临时禁止卖空。

5.3 假设与记号

假设对部分市场参与者以下各条成立：

1. 交易没有交易成本；
2. 所有净交易利润适用相同税率；
3. 能以同一无风险利率借入和贷出；
4. 一有套利机会就利用。

这些假设不需要对所有人成立，只需要对少数关键参与者（如大型衍生品交易商）近似成立——正是他们的交易与对套利的追逐，决定了远期价与即期价的关系。

记号：

• \(T\)：到交割日的时间（年）；
• \(S_0\)：标的资产今日价格；
• \(F_0\)：今日的远期/期货价；
• \(r\)：期限 \(T\) 的连续复利零息无风险利率（传统用 LIBOR 作代理，危机后部分场合改用 OIS 等替代，见原书第 9 章）。

5.4 无收益投资资产

5.4.1 数例

不付息股票现价 $40，3 个月无风险利率 5%/年（连续复利），考虑 3 个月远期。

• 远期价 $43（偏高）。 借 $40 买 1 股，同时卖出远期。3 个月后交割得 $43，还贷 \(40e^{0.05\times3/12}=\$40.50\)，锁定利润 $2.50。
• 远期价 $39（偏低）。 卖空 1 股，所得 $40 按 5% 投资 3 个月得 $40.50，同时买入远期。到期付 $39 接收股票平掉空头，净赚 $1.50。

远期价高于 $40.50 时第一种策略有利可图，低于时第二种有利可图，所以无套利要求远期价恰为 $40.50（原书表 5.2）。

5.4.2 一般公式

• 若 \(F_0>S_0e^{rT}\)：借钱买资产，卖出远期（正向套利，cash-and-carry）；
• 若 \(F_0<S_0e^{rT}\)：卖空资产，买入远期（反向套利，reverse cash-and-carry）。

另一种证法：买 1 单位资产并卖出 1 份远期，成本 \(S_0\)，在 \(T\) 确定收到 \(F_0\)，这是无风险投资，所以 \(S_0=F_0e^{-rT}\)。

直观。 远期多头与即期买入在 \(T\) 时都拥有资产；远期价之所以高于即期价，是因为远期在合约期内替你省下了为即期购买融资的成本。

推导拆解：把两个方向的论证并排写，就是一个完整的无套利证明。每一行写清"今天的现金流"和"\(T\) 时的现金流"： 正向（检验 \(F_0>S_0e^{rT}\) 是否可能）：今天借 \(S_0\)（\(+S_0\)）、买资产（\(-S_0\)）、卖远期（\(0\)），合计 \(0\)；\(T\) 时交割收 \(F_0\)、还贷 \(-S_0e^{rT}\)，合计 \(F_0-S_0e^{rT}\)。今天不花钱，到期确定拿到正数，这就是套利，所以必须 \(F_0\le S_0e^{rT}\)。 反向（检验 \(F_0<S_0e^{rT}\) 是否可能）：今天卖空或卖出资产（\(+S_0\)）、存款（\(-S_0\)）、买远期（\(0\)），合计 \(0\)；\(T\) 时取回存款 \(+S_0e^{rT}\)、付 \(F_0\) 接收资产还给出借人，合计 \(S_0e^{rT}-F_0\)。同理必须 \(F_0\ge S_0e^{rT}\)。 两个不等式同时成立，得到 (5.1)。注意整个论证没有用到 \(S_T\) 的任何信息：不需要知道股价会涨还是会跌、概率多少、投资者风险偏好如何。这就是"无套利定价不依赖预期"的含义，后面期权定价的二叉树和 BSM 也是同一种逻辑，只是复制组合更复杂。

例 5.1。 4 个月远期，买入 1 年后到期的零息债券（远期到期时债券还剩 8 个月），债券现价 $930，4 个月无风险利率 6%：

5.4.3 不能卖空怎么办

推导 (5.1) 其实不需要能卖空，只需要存在纯为投资而持有该资产的参与者——对投资资产，按定义总是如此。设无储存成本、无收益：

• 若 \(F_0>S_0e^{rT}\)：借 \(S_0\) 买资产、卖远期，\(T\) 时利润 \(F_0-S_0e^{rT}\)；
• 若 \(F_0<S_0e^{rT}\)：已持有资产的投资者卖出资产得 \(S_0\)，按 \(r\) 投资 \(T\) 年，买入远期；\(T\) 时现金为 \(S_0e^{rT}\)，以 \(F_0\) 买回资产，比一直持有多赚 \(S_0e^{rT}-F_0\)。

两种机会都会被利用，所以 (5.1) 必然成立。

商业快照：Kidder Peabody 的尴尬错误。 投行可以把附息国债的每笔现金流拆开，作为本息分离零息债券（strip）单独出售。交易员 Joseph Jett 的策略是：买入 strips，同时在远期市场卖出。由 (5.1)，无收益证券的远期价总高于即期价，例如 3 个月利率 4%、strip 即期价 $70，3 个月远期价 \(70e^{0.04\times3/12}=\$70.70\)。公司系统把远期价超出即期价的部分（$0.70）记为每笔交易的利润，而这其实只是购买 strip 的融资成本；Jett 通过不断展期避免这一成本落到自己头上。系统报告他盈利 $1 亿（他也拿到巨额奖金），实际却亏损约 $3.5 亿。教训：P&L 系统必须正确计入融资成本。

5.5 已知现金收益

标的投资资产在合约期内提供完全可预测的现金收益，如付已知股息的股票、附息债券。

5.5.1 数例

附息债券现价 $900，考虑 9 个月远期；4 个月后有 $40 息票；4 个月与 9 个月的连续复利无风险利率分别为 3% 与 4%。

• 远期价 $910（偏高）。 借 $900 买债券，卖出远期。息票的现值为 \(40e^{-0.03\times4/12}=\$39.60\)，把这 $39.60 借 4 个月，用息票偿还；其余 $860.40 借 9 个月，到期欠 \(860.40e^{0.04\times0.75}=\$886.60\)。按远期收 $910，净赚 $23.40。
• 远期价 $870（偏低）。 卖空债券，买入远期。所得 $900 中 $39.60 投资 4 个月用来支付息票，$860.40 投资 9 个月得 $886.60；按远期付 $870 买回债券平空，赚 $16.60。

无套利远期价必为 $886.60（原书表 5.3）。

5.5.2 一般公式

设合约期内资产所提供收益的现值为 \(I\)：

上例 \(F_0=(900-39.60)e^{0.04\times0.75}=886.60\)。若 \(F_0>(S_0-I)e^{rT}\)，买资产、卖远期；若 \(F_0<(S_0-I)e^{rT}\)，卖空资产、买远期（不能卖空时，由持有者卖出资产并买远期）。另证：买资产并卖远期，今天付 \(S_0\)，未来收入的现值为 \(I+F_0e^{-rT}\)，故 \(S_0=I+F_0e^{-rT}\)。

例 5.2。 10 个月股票远期，股价 $50，各期限无风险利率 8%，3、6、9 个月后各派息 $0.75：

5.6 已知收益率

有些资产的收益按支付时资产价格的百分比给出，即已知收益率。年收益率 5% 可以是每年一次支付当时价格的 5%（年复利），也可以是每年两次各 2.5%（半年复利）；本书通常按连续复利度量，换算公式同第 04 章。设 \(q\) 为合约期内资产的平均年收益率（连续复利），则

证明思路（原书习题 5.20）：持有 \(e^{-qT}\) 单位资产，把所有收益再投资于该资产，到 \(T\) 时恰好变成 1 单位。所以今天花 \(S_0e^{-qT}\) 买资产、同时卖出 1 份远期，在 \(T\) 确定收到 \(F_0\)，即 \(S_0e^{-qT}=F_0e^{-rT}\)。

推导拆解：为什么 \(e^{-qT}\) 单位资产再投资后恰好变成 1 单位？先看离散的情形：资产每半年支付相当于价格 2.5% 的收益，把收益全部买成同一资产，持有份数每半年乘 1.025，一年后是 \(1.025^2\) 倍。收益率 \(q\) 按连续复利计时，份数按 \(e^{qt}\) 增长，与"本金按 \(e^{rt}\) 增长"完全同理。今天持有 \(n_0\) 份，\(T\) 时变成 \(n_0e^{qT}\) 份；令其等于 1，得 \(n_0=e^{-qT}\)。 关键在于：收益按资产价格的百分比支付，所以再投资后增加的是份数，与价格怎么变无关，\(T\) 时的份数是确定的。这就把"有收益的资产"化成了"无收益的资产"，可以套用 (5.1) 的论证。 最后一步：\(S_0e^{-qT}=F_0e^{-rT}\) 两边同乘 \(e^{rT}\)，用 \(e^{-qT}e^{rT}=e^{(r-q)T}\) 即得 (5.3)。 对比 CFA：CFA 写成 \(F_0=S_0e^{-qT}\cdot e^{rT}\) 或离散形式 \(F_0=S_0(1+r)^T/(1+q)^T\)，本质相同。

例 5.3。 6 个月远期，资产在 6 个月内支付一次相当于价格 2% 的收益，无风险利率 10%，资产价 $25。收益率为 4%/年（半年复利），换成连续复利 \(q=2\ln1.02=3.96\%\)，

5.7 远期合约的估值

远期合约签订时价值为零，之后可正可负。银行等机构须每日估值（盯市）。记 \(K\) 为此前所签合约的交割价，到期还有 \(T\) 年；\(F_0\) 为今天新签同一到期日合约适用的远期价；\(f\) 为该合约今天的价值。

一般结论（对投资资产与消费资产的所有远期多头都成立）：

论证（与第 04 章 FRA 估值相同）：考虑组合 (a) 以 \(K\) 在 \(T\) 买资产的远期多头 + (b) 以 \(F_0\) 在 \(T\) 卖资产的远期空头。\(T\) 时收益为 \((S_T-K)+(F_0-S_T)=F_0-K\)，今天已知，是无风险的，现值为 \((F_0-K)e^{-rT}\)。(b) 按今天的远期价签订，价值为零，所以 (a) 的价值就是 \((F_0-K)e^{-rT}\)。空头价值为 \((K-F_0)e^{-rT}\)。

估值法则：假设到期资产价格等于今天的远期价 \(F_0\)，算出收益 \(F_0-K\)，再按无风险利率贴现。 这与 FRA 的"假设远期利率实现"是同一条法则。

例 5.4。 不付息股票远期多头，剩 6 个月，无风险利率 10%，股价 $25，交割价 $24。\(F_0=25e^{0.1\times0.5}=\$26.28\)，

把 (5.1)–(5.3) 代入 (5.4)：

推导拆解：以 (5.5) 为例。由 (5.1)，\(F_0=S_0e^{rT}\)；代入 (5.4)：\(f=(S_0e^{rT}-K)e^{-rT}=S_0e^{rT}e^{-rT}-Ke^{-rT}=S_0-Ke^{-rT}\)，因为 \(e^{rT}e^{-rT}=e^0=1\)。(5.6)、(5.7) 同理。 金融直觉：(5.5) 可以直接按资产负债表来读。远期多头 = 持有 1 单位资产（资产方，公允价值 \(S_0\)）+ 一笔到期偿还 \(K\) 的负债（负债方，现值 \(Ke^{-rT}\)）。净值就是合约价值。这与你在 CFA 中学的"远期多头 = 买入标的 + 借入 \(K\) 的现值"完全一致。(5.7) 中资产方变成 \(S_0e^{-qT}\)，是因为远期多头到期才拿到资产，拿不到合约期内的收益，所以要从资产价值中扣掉这部分收益。

期货与远期盈亏的时间差。 期货价变化时，盈亏 = 期货价变化 × 头寸规模，因逐日结算几乎立即实现；远期价变化时，盈亏 = 远期价变化的现值 × 头寸规模（由 5.4）。

商业快照：系统错误？ 某行一位外汇交易员做多 3 个月 £100 万远期（汇率 1.5000），邻桌交易员做多 16 张 3 个月英镑期货（期货价 1.5000，每张 £62,500），头寸相同。几分钟后两个价格都升到 1.5040，系统显示期货交易员赚 $4,000，远期交易员只赚 $3,900，后者投诉系统出错。投诉不成立：期货的利润几乎立即到账；远期交易员若以 1.5040 做空平仓，等于 3 个月后买入并卖出 £100 万，$4,000 要 3 个月后才拿到，今天的价值是它的现值。下跌时同理，期货亏 $4,000，远期只亏 $3,900。

5.8 远期价与期货价相等吗？

原书技术注释 24 用套利论证：短期无风险利率恒定（或为已知的时间函数）时，同一交割日的远期价与期货价理论上相同。

利率随机时就不同了。设标的价格 \(S\) 与利率强正相关：\(S\) 上涨时期货多头因逐日结算立即获利，而此时利率很可能也在上升，收益可以按高于平均的利率再投资；\(S\) 下跌时立即亏损，亏损可以按低于平均的利率融资。远期多头不受这种影响，所以期货多头略有吸引力，期货价略高于远期价。\(S\) 与利率强负相关时，远期价略高于期货价。

对期限只有几个月的合约，这一理论差异多数情况下小到可以忽略。实践中还有模型没有反映的因素：税收、交易成本、保证金；期货有清算所，对手违约风险更小；期货有时流动性更好。尽管如此，多数场合假设两者相同是合理的，本书用 \(F_0\) 同时表示两者。例外是欧洲美元期货（本册第 6 章 6.3 节，期限长、与利率直接相关）。

5.9 股指期货

股票指数通常可以看作支付股息的投资资产的价格（资产是成分股组合，股息是持有组合收到的股息），一般把股息看作已知收益率 \(q\)：

期货价随期限以 \(r-q\) 的速率增长。原书表 3.3 中，2013 年 5 月 14 日 S&P 500 12 月期货结算价比 6 月低约 0.75%，说明当时短期无风险利率比股息收益率低约 1.5%/年。

例 5.5。 3 个月指数期货，股息收益率 1%，指数 1,300，无风险利率 5%：

实践中股息率逐周变化（如 NYSE 股票大部分股息在 2、5、8、11 月的第一周支付），所选 \(q\) 应是合约期内的平均年化股息率，用除息日落在合约期内的股息估计。

指数套利（index arbitrage）：

• 若 \(F_0>S_0e^{(r-q)T}\)：买入成分股、卖出期货——常由持有短期货币市场投资的银行或企业执行；
• 若 \(F_0<S_0e^{(r-q)T}\)：卖空或卖出成分股、买入期货——常由持有指数化组合的养老基金执行。

成分股众多的指数，常用一小部分能紧密跟踪指数的股票来套利。交易通常通过程序化交易（program trading）由计算机生成。多数时候套利者确保 (5.8) 成立，但偶尔套利无法进行，期货价就会偏离。

商业快照：CME 日经 225 期货。 上述论证要求指数是可交易资产组合的价值。CME 日经 225 期货不满足：设 \(S\) 为日经 225 指数（以日元计的组合价值），CME 合约标的的美元价值为 \(5S\)——把以日元计的数字直接当美元。没有任何组合的价值始终是 \(5S\) 美元（只能做到 \(5S\) 日元，即 \(5QS\) 美元，\(Q\) 为 1 日元的美元价），所以 (5.8) 不适用。这类"标的以一种货币计量、收益以另一种货币支付"的衍生品称为 quanto（原书第 30 章）。

商业快照：1987 年 10 月的指数套利。 指数套利要求能以报价迅速交易期货和成分股组合。1987 年 10 月 19 日"黑色星期一"市场跌超 20%，NYSE 成交 6.04 亿股，远超纪录，系统超负荷，指令最多延迟 2 小时执行。当天多数时间期货大幅贴水：收盘 S&P 500 指数 225.06（当日 −57.88），12 月期货 201.50（当日 −80.75）。10 月 20 日 NYSE 临时限制程序化交易，期货一度比指数低 18%。几天后市场恢复正常，套利再次使 (5.8) 成立。无套利关系依赖于"能够执行"这一前提。

5.10 外汇远期与期货

从美国投资者角度，标的是 1 单位外币：\(S_0\) 是 1 单位外币的即期美元价，\(F_0\) 是远期/期货美元价。（这与报价方式不一定一致：除英镑、欧元、澳元、纽元外，主要汇率通常报为每美元外币数。）外币持有者可以按外国无风险利率 \(r_f\) 赚取利息。于是

这就是国际金融中著名的利率平价（interest rate parity）。论证（原书图 5.1）：持有 1,000 单位外币，有两种办法在 \(T\) 时换成美元：(1) 按 \(r_f\) 投资 \(T\) 年，再用远期卖出本息，得 \(1000e^{r_fT}F_0\) 美元；(2) 现在即期换成美元，按 \(r\) 投资，得 \(1000S_0e^{rT}\) 美元。无套利要求两者相等。

金融直觉：CFA 中的抵补利率平价写作 \(F=S\times\frac{1+i_{\text{price}}}{1+i_{\text{base}}}\)，其中汇率报价为"每单位基础货币的计价货币数"。本章 \(S_0\) 是"每单位外币的美元数"，外币是基础货币、美元是计价货币，所以 \(r\)（美元利率）在分子、\(r_f\) 在分母，连续复利下分式变成指数相减 \(e^{(r-r_f)T}\)。最容易出错的是报价方向：如果汇率报成"每美元多少日元"，\(r\) 和 \(r_f\) 的位置要对调。记法是"高利率货币远期贴水"：本例澳元利率高，所以澳元的远期美元价低于即期。

例 5.6。 澳大利亚与美国 2 年利率分别为 3% 与 1%，即期 0.9800 USD/AUD，2 年远期应为 \(0.9800e^{(0.01-0.03)\times2}=0.9416\)。

• 远期为 0.9300（偏低）。 借 1,000 AUD（3%，2 年），换成 980 USD 按 1% 投资；签远期以 \(1061.84\times0.93=987.51\) USD 买入 1,061.84 AUD。2 年后 980 USD 增至 \(980e^{0.02}=999.80\) USD，用其中 987.51 USD 买入 1,061.84 AUD，正好偿还 AUD 借款本息（\(1000e^{0.06}=1061.84\)），无风险利润 \(999.80-987.51=12.29\) USD。
• 远期为 0.9600（偏高）。 借 1,000 USD（1%），换成 \(1000/0.98=1020.41\) AUD 按 3% 投资；签远期卖出 1,083.51 AUD 得 \(1083.51\times0.96=1040.17\) USD。2 年后 AUD 增至 \(1020.41e^{0.06}=1083.51\)，换得 1,040.17 USD，偿还 \(1000e^{0.02}=1020.20\) USD，利润 19.97 USD。

原书表 5.4 给出 2013 年 5 月 14 日 CME 外汇期货。当时日元、瑞郎、欧元的短期利率低于美元（\(r>r_f\)），期货价随期限上升；澳元、英镑、加元的短期利率高于美元（\(r_f>r\)），期货价随期限下降。

例 5.7。 澳元 9 月期货结算价 0.9869 比 6 月 0.9930 低约 0.6%，即期货价每年约下降 2.4%。由 (5.9)，这是当时澳元短期利率高出美元短期利率的估计值。

外币是已知收益率资产。 (5.9) 与 (5.3) 在 \(q\) 换成 \(r_f\) 后完全相同，这不是巧合：若英镑利率 5%，对美国投资者而言，英镑每年提供相当于其价值 5% 的收入，正是一种收益率为 5% 的资产。

5.11 商品期货

5.11.1 投资型商品：金银

金银可以给持有者带来收益：央行等持有者出借黄金，收取黄金租借利率（gold lease rate）——还记得第 03 章投行向央行借金来对冲金矿远期的例子吗？同时，金银有储存成本。

无储存成本和收益时，\(F_0=S_0e^{rT}\)。储存成本可以看作负收益：设 \(U\) 为合约期内全部储存成本（扣除收益后）的现值，由 (5.2)：

例 5.8。 1 年期期货，标的为无收益投资资产，每单位储存成本 $2 于年末支付，即期 $450，无风险利率 7%。\(U=2e^{-0.07}=1.865\)，

若储存成本（扣除收益后）与价格成比例，比例为 \(u\)，则看作负收益率，由 (5.3)：

5.11.2 消费型商品与便利收益

消费型商品通常没有收益，但可能有可观的储存成本。

• 若 \(F_0>(S_0+U)e^{rT}\)：借 \(S_0+U\) 买入商品并支付储存成本，卖出期货，\(T\) 时获利 \(F_0-(S_0+U)e^{rT}\)。这对任何商品都可执行，所以这种情况不能持续。
• 若 \(F_0<(S_0+U)e^{rT}\)：对投资资产，纯投资持有者会卖出现货、省下储存成本、所得按无风险利率投资并买入期货。但对消费资产，持有者打算使用商品，不愿意卖出现货改持期货（期货不能投入生产），这种情况可以持续存在。

所以对消费型商品，只能断言上界：

不等号为什么可以严格成立？因为使用者认为持有实物带来期货持有者得不到的好处。炼油商不会把原油期货与库存原油同等看待——库存原油可以投入炼油，期货不能。持有实物可以让生产不中断，还可能从临时性的地区短缺中获利。这些好处称为便利收益（convenience yield）\(y\)，定义为

若储存成本为价格的固定比例 \(u\)，则

便利收益衡量 (5.15)/(5.16) 左边比右边小多少。

白话解释：注意便利收益是怎么"定义"出来的：先有市场上观察到的 \(F_0\)、\(S_0\)、\(U\)、\(r\)，再找一个 \(y\) 让等式 \(F_0e^{yT}=(S_0+U)e^{rT}\) 成立。它不是从别处独立测出来的，而是一个反推参数，和从期权价格反推的隐含波动率、从债券价格反推的到期收益率是同一类东西。取对数可以直接解出：\(y=r-\ln\big(F_0/(S_0+U)\big)/T\)。 正因为是反推的，\(y\) 把所有模型没有显式写进去的因素都吸收进来了：真实的生产便利、对短缺的担忧、甚至数据误差。\(y\ge0\) 等价于不等式 (5.15)，所以便利收益就是"上界没有取到等号时的缺口"。对投资资产，反向套利能做，缺口会被抹平，\(y\) 只能是零。

投资资产的便利收益必须为零，否则存在套利。原书表 2.2 中，2013 年 5 月 14 日大豆期货价从 2013 年 7 月到 11 月随期限下降，说明这段时期 \(y>r+u\)。

便利收益反映市场对商品未来可得性的预期：短缺可能性越大，便利收益越高。使用者库存充足时，近期短缺可能性小，便利收益低；库存低时，便利收益通常较高——这时期货曲线往往呈反向（远月低于近月）。

5.12 持有成本：统一的公式

持有成本（cost of carry）\(c\) = 储存成本 + 为资产融资支付的利息 − 资产产生的收益：

于是

本章前面所有公式都是这两个式子的特例。

5.13 交割选择权

远期通常规定在某一天交割；期货常允许空头在一段时期内任意时间交割，这让期货定价复杂化：计算理论期货价时，到期日该取交割期的开始、中间还是结束？

• 若期货价随期限递增，由 (5.19) 有 \(c>y\)：持有资产的好处（含便利收益、扣除储存成本）小于无风险利率，空头宜尽早交割（拿到现金赚利息更划算），期货价一般按交割期开始时交割计算。
• 若期货价随期限递减（\(c<y\)），空头宜尽量晚交割，期货价按交割期结束时计算。

空头拥有的这类选择权（时间、等级、地点）对多头不利，会压低期货价。原书第 6 章国债期货的"最便宜可交割债券"是它最重要的例子。

5.14 期货价格与预期未来即期价格

预期即期价格（expected spot price）是市场对资产未来某时即期价格的平均看法。6 月时 9 月玉米期货价 350 美分，那么 9 月的预期即期价是高于、低于还是等于 350？期货价到期收敛于即期价，所以若预期即期价低于 350，市场必然预期期货价下跌，空头平均获利；高于 350 则多头平均获利。

凯恩斯与希克斯（Keynes 1930，Hicks 1939）：若对冲者倾向于做空、投机者倾向于做多，期货价将低于预期即期价——投机者承担风险需要补偿，只有平均能赚钱才会交易；对冲者平均亏一点，但因风险降低而愿意接受。反之，若对冲者做多、投机者做空，期货价高于预期即期价。

现代观点：系统风险决定。 设投机者持有 \(T\) 年期货多头（视作远期），同时把期货价的现值 \(F_0e^{-rT}\) 存入无风险资产，到期用本息按 \(F_0\) 买入资产，再按市价 \(S_T\) 卖出。现金流：今天 \(-F_0e^{-rT}\)，到期 \(+S_T\)。设投资者对这项投资要求的收益率为 \(k\)，假设市场上所有投资的净现值为零：

这项投资本质上就是对标的资产的投资，要求收益率 \(k\) 取决于其系统风险（CAPM，见第 03 章附录）：

推导拆解：(5.20) 的每一步。 第一步，构造的投资今天付出 \(F_0e^{-rT}\)（存入无风险资产），到期本息正好是 \(F_0\)，用来按期货价买入资产，再按 \(S_T\) 卖出。两笔 \(F_0\) 抵消，到期净得 \(S_T\)。所以这项投资等价于"今天付 \(F_0e^{-rT}\)，到期拿到一单位资产"。 第二步，到期现金流 \(S_T\) 是不确定的，按 DCF 的做法用期望值、以要求收益率 \(k\) 贴现：现值 \(E(S_T)e^{-kT}\)。 第三步，令 NPV 为零：\(F_0e^{-rT}=E(S_T)e^{-kT}\)，两边同乘 \(e^{rT}\) 得 \(F_0=E(S_T)e^{(r-k)T}\)。 和前面的区别：前面的定价公式只用无风险利率 \(r\)，不涉及任何期望；这里出现了真实世界的期望 \(E(S_T)\) 和风险溢价 \(k-r\)。两者并不矛盾。(5.3) 决定 \(F_0\) 与 \(S_0\) 的关系，(5.20) 解释 \(F_0\) 与"大家预期的未来价格"之间差多少，差的正是承担系统风险应得的补偿。后面期权定价中的"风险中性定价"就是把这两者区分开的系统方法。

以股指为例：投资者对成分股要求的预期收益高于 \(r\)，股息提供 \(q\)，所以指数的预期涨幅大于 \(r-q\)；而 (5.8) 说期货价只按 \(r-q\) 增长——两者一致地给出"股指期货价低于未来预期指数"。

术语。 期货价低于预期未来即期价称正常现货溢价（normal backwardation），高于称期货溢价（contango）。注意这两个词有时也被用来指期货价低于或高于当前即期价。

量化实战

本章内容在量化交易中的用法

1. 期现套利与无套利区间。 股指期货理论价 \(S_0e^{(r-q)T}\) 是期现套利、ETF 套利、跨期套利的基准。现实中借贷利率不同、有交易成本、有卖空限制，理论价扩展成一个区间：期货价高于上界做正向套利，低于下界做反向套利（原书习题 5.33）。在中国市场，融券困难使反向套利几乎不可行，所以股指期货可以长期贴水而不被套利修复——这正是 1987 年案例"可执行性决定无套利是否成立"的现代版本。
2. 年化基差率与隐含参数。 由 \(F_0=S_0e^{(r-q)T}\) 可以反推隐含股息率 \(q=r-\ln(F_0/S_0)/T\)，或隐含融资利率；外汇期货期限结构反推利差（例 5.7）是 carry 因子的来源；商品期货曲线反推便利收益，是期限结构/展期收益因子的理论基础（库存低 → 便利收益高 → backwardation → 多头展期收益为正）。
3. 期货价不是预测。 由 (5.20)，期货价与预期即期价相差一个风险溢价。把期货价当作"市场预测"会系统性出错；商品期货的风险溢价（对冲压力假说）本身就是一类可交易的因子。
4. P&L 系统。 Kidder Peabody 与"系统错误？"两个案例说明：远期的盈亏应按现值计，期货盈亏逐日实现；持有现货对冲远期时，融资成本必须计入。

Python 示例：持有成本定价器、隐含便利收益与套利区间监控

import numpy as np
import pandas as pd

def fwd_price(S0, r, T, q=0.0, I=0.0, U=0.0, u=0.0, y=0.0):
    """持有成本模型：F0 = (S0 - I + U) * exp((r - q + u - y) T)"""
    return (S0 - I + U) * np.exp((r - q + u - y) * T)

def fwd_value(F0, K, r, T):            # 已签远期多头的价值 (5.4)
    return (F0 - K) * np.exp(-r * T)

# ---- 1. 复现原书例题 ----
I52 = sum(0.75 * np.exp(-0.08 * t) for t in (3/12, 6/12, 9/12))
q53 = 2 * np.log(1.02)                                   # 半年复利4% -> 连续复利
ex = {
    "5.1 零息债远期":   fwd_price(930, 0.06, 4/12),
    "5.2 三次派息股票": fwd_price(50, 0.08, 10/12, I=I52),
    "5.3 已知收益率":   fwd_price(25, 0.10, 0.5, q=q53),
    "5.4 远期多头价值": fwd_value(fwd_price(25, 0.10, 0.5), 24, 0.10, 0.5),
    "5.5 股指期货":     fwd_price(1300, 0.05, 0.25, q=0.01),
    "5.6 澳元2年远期":  fwd_price(0.98, 0.01, 2, q=0.03),
    "5.8 含储存成本":   fwd_price(450, 0.07, 1, U=2*np.exp(-0.07)),
}
for k, v in ex.items():
    print(f"{k:12s} {v:10.4f}")
print("例5.2中 I = %.3f, 例5.3中 q = %.4f" % (I52, q53))

# ---- 2. 期货曲线反推隐含持有成本 / 便利收益 ----
S0, r = 80.0, 0.05
T = np.array([0.25, 0.5, 0.75, 1.0])
F = np.array([79.0, 78.2, 77.6, 77.1])                   # 假想的反向原油曲线
u = 0.02                                                 # 储存成本率
implied_c = np.log(F / S0) / T                           # F = S0 e^{(c-y)T} 中的 c-y
conv_y = r + u - implied_c                               # 便利收益 y
print(pd.DataFrame({"T": T, "F": F, "隐含(c-y)": implied_c.round(4), "便利收益y": conv_y.round(4)}).to_string(index=False))

# ---- 3. 指数期现套利：带交易成本与借贷利差的无套利区间 ----
rng = np.random.default_rng(1)
n, T0 = 60, 60/252
S = 4000 * np.exp(np.cumsum(rng.normal(0, 0.01, n)))
tau = T0 - np.arange(n) / 252                            # 剩余期限
rb, rl, q, tc = 0.035, 0.025, 0.02, 0.0015               # 借入/贷出利率、股息率、单边成本
fair = S * np.exp((0.03 - q) * tau)
mispricing = rng.normal(0, 0.002, n) * S                 # 期货价相对公允价的随机偏离
Fut = fair + mispricing
upper = S * (1 + tc) * np.exp((rb - q) * tau) * (1 + tc) # 借钱买现货+卖期货 盈亏平衡
lower = S * (1 - tc) * np.exp((rl - q) * tau) * (1 - tc) # 卖现货+买期货 盈亏平衡
basis_ann = np.log(Fut / S) / tau                        # 年化基差率(=隐含 r-q)
sig = np.where(Fut > upper, "正向套利", np.where(Fut < lower, "反向套利", ""))
df = pd.DataFrame({"S": S, "F": Fut, "下界": lower, "上界": upper, "年化基差": basis_ann, "信号": sig}).round(3)
print(df.head(5).to_string())
print("触发正向套利天数:", (sig == "正向套利").sum(), " 反向:", (sig == "反向套利").sum(), " / ", n)
print("平均无套利区间宽度(指数点): %.1f" % (upper - lower).mean())

关键输出：

5.1 零息债远期      948.7872
5.2 三次派息股票      51.1358
5.3 已知收益率       25.7664
5.4 远期多头价值       2.1705
5.5 股指期货      1313.0652
5.6 澳元2年远期       0.9416
5.8 含储存成本      484.6287
例5.2中 I = 2.162, 例5.3中 q = 0.0396
   T    F  隐含(c-y)  便利收益y
0.25 79.0  -0.0503 0.1203
0.50 78.2  -0.0455 0.1155
0.75 77.6  -0.0406 0.1106
1.00 77.1  -0.0369 0.1069
          S         F        下界        上界   年化基差 信号
0  4013.847  4023.850  4006.582  4040.302  0.010   
1  4046.962  4058.656  4039.556  4073.392  0.012   
2  4060.356  4061.736  4052.846  4086.631  0.001   
3  4007.787  4007.986  4000.294  4033.481  0.000   
4  4044.236  4054.848  4036.595  4069.922  0.012   
触发正向套利天数: 1  反向: 1  /  60
平均无套利区间宽度(指数点): 28.9

解读：

• 第一部分用一个统一的持有成本函数复现了本章全部定价例题（948.79、51.14、25.77、2.17、1,313.07、0.9416、484.63）。
• 第二部分从一条假想的反向原油曲线反推便利收益：近月便利收益约 12%/年、远月约 10.7%/年，高于 \(r+u=7\%\)，说明市场认为近期现货稀缺。真实研究中把这条时间序列与库存数据对照，就是商品期限结构因子的经济含义。
• 第三部分在现货建仓和到期平仓两端各计一次单边成本（0.15%），并区分借入利率 3.5% 与贷出利率 2.5%，得到约 29 个指数点宽的无套利区间。期货价的随机偏离（标准差约 0.2%，即 8 个点）绝大多数时候落在区间内，60 天里只有 2 天触发信号。交易成本与利差决定了套利区间的宽度，区间越宽，"看起来的错价"越不可交易。 实盘中还要考虑成分股复制误差、分红预测误差和保证金占用，这些都会进一步拓宽区间。

推导拆解：第三部分上下界的来源，可以对照练习 9。正向套利（卖期货、买现货）：买入成分股要付 \(S(1+tc)\)，按借入利率 \(r_b\) 融资，持有期间收股息率 \(q\)，到期卖出现货还要再付一次成本，所以期货价至少要达到 \(S(1+tc)e^{(r_b-q)\tau}(1+tc)\) 才有利可图，这就是 upper。反向套利（买期货、卖现货）：卖出现货只收到 \(S(1-tc)\)，按较低的贷出利率 \(r_l\) 投资，到期买回现货再付成本，所以期货价要低于 lower 才有利可图。 代码中的公允价用了中间利率 3%，而上下界分别用 3.5% 和 2.5%：借贷利差本身把区间拉宽了约 \(S\times1\%\times\bar\tau\approx4000\times0.01\times0.12\approx5\) 点（\(\bar\tau\) 是 60 天里剩余期限的平均值，约 0.12 年）；交易成本让上界乘 \((1+tc)^2\)、下界乘 \((1-tc)^2\)，两者相差约 \(4\,tc=0.6\%\)，即约 24 点。合起来约 29 点，与输出的 28.9 点吻合。用这种粗算来检查代码结果是否合理，是读量化代码时的好习惯。

本章小结

区分投资资产与消费资产是远期/期货定价的出发点：投资资产可由无套利唯一确定远期价，消费资产只能得到上界。核心公式是无收益 \(F_0=S_0e^{rT}\)、已知现金收益 \(F_0=(S_0-I)e^{rT}\)、已知收益率 \(F_0=S_0e^{(r-q)T}\)，股指和外汇（利率平价）分别是 \(q\) 取股息率和外国利率的特例；储存成本视为负收益，消费商品需要引入便利收益，全部统一为持有成本形式 \(F_0=S_0e^{(c-y)T}\)。推导只需要少数关键参与者满足无交易成本、同税率、借贷同利率并积极套利；不能卖空时，持有资产的投资者卖出现货、买入远期即可完成反向套利。已签远期合约价值 \(f=(F_0-K)e^{-rT}\)，等价于"假设到期价格等于远期价再贴现"；期货盈亏立即实现，远期盈亏按现值计。利率确定时远期价等于期货价，利率随机时差异取决于标的与利率的相关性，通常可忽略。期货价与预期未来即期价的关系由标的的系统风险决定：\(F_0=E(S_T)e^{(r-k)T}\)。

练习

基础

1. 不付息股票现价 $30，6 个月无风险利率 12%（连续复利），求 6 个月远期价。（提示：\(30e^{0.06}=31.86\)；原书 5.3。）
2. 股指现为 350，无风险利率 8%，股息收益率 4%，求 4 个月期货价。（提示：\(350e^{0.04/3}\approx354.7\)；原书 5.4。）
3. 为什么黄金期货价可以由即期价算出，而铜期货价不能？（提示：投资资产 vs 消费资产；原书 5.5。）
4. "远期价"与"远期合约的价值"有什么区别？签约时和签约后各是多少？
5. 例 5.6 中若 2 年远期汇率为 0.9500，套利方向如何？每借入 1,000 USD 利润多少？（提示：高于 0.9416，借 USD 换 AUD 投资并远期卖出 AUD；\(1083.51\times0.95-1020.20\approx9.13\) USD。）

进阶

6. 证明 (5.3)：说明为什么持有 \(e^{-qT}\) 单位资产并把收益再投资，到 \(T\) 时恰好是 1 单位，再完成套利论证。（原书 5.20。）
7. 跨期价差的上界：设 \(F_1,F_2\) 为同一投资资产、交割时间 \(t_1<t_2\) 的期货价，无储存成本和收益，证明 \(F_2\le F_1e^{r(t_2-t_1)}\)，并给出违反时的套利策略。（提示：买 \(t_1\) 期货、卖 \(t_2\) 期货，\(t_1\) 借钱接货、持有到 \(t_2\) 交割；原书 5.16。）
8. 原油现价 $80/桶，1 年储存成本 $3/桶于年末支付，无风险利率 5%，求 1 年期期货价的上界。为什么只是上界？（提示：\((80+3e^{-0.05})e^{0.05}=87.10\)；原书 5.29。）
9. 借入利率 \(r_b\)、贷出利率 \(r_l\)（\(r_b>r_l\)）；现货的买价（bid）为 \(S^{bid}\)、卖价（ask）为 \(S^{ask}\)。推导无收益投资资产远期价的无套利区间。若远期本身也有买卖价，应分别用哪一个与上下界比较？（提示：正向套利按 \(S^{ask}\) 买现货、按 \(r_b\) 借钱，反向套利按 \(S^{bid}\) 卖现货、按 \(r_l\) 投资，得 \(S^{bid}e^{r_lT}\le F_0\le S^{ask}e^{r_bT}\)；远期的 bid 不能高于上界，ask 不能低于下界。原书 5.33。）
10. 用"量化实战"第三部分的代码，把单边成本从 0.15% 改为 0.05% 和 0.30%，统计触发套利的天数，并解释为什么高频套利者的成本优势直接转化为可交易机会。
11. 某商品与股市的相关性为负。根据 (5.20)，它的期货价相对预期未来即期价如何？长期持有这类商品期货多头的平均收益可能如何？（提示：\(k<r\)，\(F_0>E(S_T)\)，多头平均略亏，但可作为组合的风险对冲。）

原书推荐习题： 5.3、5.4、5.10（基本定价）；5.9、5.30（远期合约后续估值）；5.12、5.14、5.26（构造指数与外汇的期现套利）；5.15、5.29（含储存成本的商品期货定价与上界）；5.16（跨期价差上界）；5.20（证明已知收益率公式）；5.23（外汇对冲的最优对冲比率 \(e^{(r_f-r)(T-t)}\) 与尾随调整，连接第 03 章）；5.33（有买卖价差与借贷利差时的无套利区间）。

原书对照