第 04 章 利率

学习目标

读完本章，你应当能够：

1. 区分国债利率、LIBOR、联邦基金利率、回购利率，理解信用风险与担保如何决定利率高低，以及衍生品定价中"无风险利率"的含义。
2. 在不同计息频率与连续复利之间自如换算：\(R_c=m\ln(1+R_m/m)\)，\(R_m=m(e^{R_c/m}-1)\)。
3. 用零息利率为债券定价，求债券收益率（牛顿法）与平价收益率，并用自举法从债券价格构造零息曲线。
4. 由零息曲线计算远期利率与瞬时远期利率，为远期利率协议（FRA）估值。
5. 计算久期、修正久期、美元久期与凸性，用二阶近似估计债券价格变化，理解它们"只对平行移动有效"的局限。
6. 用预期理论、市场分割理论、流动性偏好理论解释收益率曲线形状，理解银行净利息收入管理与期限错配带来的流动性风险。

读前导读

这一章在解决什么问题。 后面所有定价公式都要贴现，这一章把"用什么利率、怎么贴现"彻底说清。内容表面上和 CFA 固定收益部分几乎一样：即期利率、远期利率、自举法、FRA、久期、凸性、期限结构理论。你可以把本章当成"把 CFA 的固定收益翻译成本册的语言"。

翻译的关键是连续复利。CFA 用 \((1+r)^{-t}\) 或 \((1+r/2)^{-2t}\) 贴现，本册统一用 \(e^{-rt}\)。换了这个记号，很多公式变简单：远期利率是零息率的时间加权平均（不再需要几何平均）；对数收益可以直接相加；久期公式里不再出现 CFA 中那个 \(1+y\) 的分母，麦考利久期和修正久期合二为一。本章还比 CFA 多走了两步：一是瞬时远期利率 \(-\partial\ln P(0,T)/\partial T\)，这是后面利率模型的基本变量；二是把久期和凸性明确写成价格对收益率的一阶、二阶导数，再用泰勒展开得到近似公式。CFA 告诉你"久期×收益率变化≈价格变化"，本章告诉你这个近似从哪里来、误差有多大。

需要先想起来的数学。

• \(e\)、指数与自然对数。 \(e^x\) 与 \(\ln x\) 互为反函数：\(\ln e^x=x\)，\(e^{\ln x}=x\)。常用规则：\(e^{a}e^{b}=e^{a+b}\)，\(\ln(ab)=\ln a+\ln b\)，\(\ln(a^n)=n\ln a\)。例：\(\ln(1.05)\approx0.04879\)，所以 5% 年复利约等于 4.879% 连续复利。见 第 00 册第 04 章 级数与收敛。
• 极限。 \(\lim_{m\to\infty}(1+R/m)^m=e^R\) 读作"当 \(m\) 越来越大，\((1+R/m)^m\) 越来越接近 \(e^R\)"。表 4.1 从年复利到日复利的数字就是这个过程。见 第 00 册第 01 章 函数极限与连续。
• 指数函数的导数与链式法则。 \(\frac{d}{dy}e^{-ty}=-t\,e^{-ty}\)：外层 \(e^u\) 的导数是它自己，内层 \(u=-ty\) 对 \(y\) 的导数是 \(-t\)，两者相乘（链式法则）。再求一次导得 \(t^2e^{-ty}\)。久期和凸性就是这两个导数的加权和。见 第 00 册第 02 章 导数与泰勒展开。
• 二阶泰勒展开。 \(f(y+\Delta y)\approx f(y)+f'(y)\Delta y+\tfrac12f''(y)(\Delta y)^2\)：用切线（一阶）加弯曲修正（二阶）近似函数。久期是一阶项，凸性是二阶项。
• 偏导数记号 \(\partial\)。 \(\partial R/\partial T\) 表示"只让 \(T\) 变、其他量不变时 \(R\) 的变化率"。本章里 \(R\) 只依赖 \(T\)，所以它和普通导数 \(dR/dT\) 是一回事。见 第 00 册第 05 章 多元微积分与优化。

怎么读这一章。 必读：4.2（连续复利与换算，后面全书都用）、4.3.1（贴现因子 \(P(0,T)\)）、4.5（远期利率，含瞬时远期）、4.7.1 与 4.8（久期、凸性的推导）。4.4 自举法、4.6 FRA 你在 CFA 中做过，跟着数例核对一遍即可。4.1、4.9 是背景知识，快速浏览。量化实战的代码把本章所有计算串成了一个小型曲线库，值得通读。

利率几乎是所有衍生品估值的要素：贴现要用它，远期定价要用它，期权定价也要用它。本章讲利率的度量、零息利率、债券定价、交易台每天在用的"自举法"、远期利率与 FRA、久期与凸性，以及期限结构理论。利率期货和用久期对冲在原书第 6 章，互换在第 7 章。本章忽略天数计算惯例（day count）。

4.1 利率的种类

利率规定借款人承诺付给贷款人的金额。同一种货币有许多利率，适用哪一个取决于信用风险（credit risk）——借款人违约、不能如约支付本息的风险。信用风险越高，承诺利率越高。利率常用基点（basis point）表示，1 基点 = 0.01%/年。

• 国债利率（Treasury rate）：持有国库券和国债获得的利率，是政府以本币借款的利率。通常假设政府不会对本币债务违约，因此视为完全无风险。
• LIBOR（London Interbank Offered Rate，伦敦银行间同业拆出利率）：银行间无担保短期借款利率。传统上每个工作日对 10 种货币、15 个期限（1 天到 1 年）计算，是全球数百万亿美元交易（如利率互换）的参考利率。由英国银行家协会在伦敦时间 11:30 公布：请若干银行报出 11:00 前其估计能借入资金的利率，每个币种—期限去掉最高、最低各四分之一报价后取平均。报价银行通常为 AA 评级，因此 LIBOR 一般被视为 AA 级金融机构短期无担保借款利率。近年有银行操纵 LIBOR 报价的指控（动机是让自己的借款成本看起来更低，或从挂钩 LIBOR 的交易中获利）；根本问题是银行间借款太少，不足以支撑对所有币种—期限的准确估计，未来可能被基于实际交易的少量利率取代。
• 联邦基金利率（fed funds rate）：美国金融机构须在美联储保持一定现金准备金，日终有的机构有盈余、有的缺资金，由此产生的隔夜借贷利率。按成交规模加权的平均值称有效联邦基金利率，央行可以通过自身交易让它升降。英国对应 SONIA，欧元区对应 EONIA。除 2007 年 8 月至 2008 年 12 月的动荡期外，隔夜 LIBOR 平均比有效联邦基金利率高约 6 个基点。
• 回购利率（repo rate）：有担保借款利率。在回购协议（repurchase agreement）中，持有证券的机构同意以某价格卖出证券、之后以略高价格买回——实质是以证券为抵押借款，买卖价差即利息。设计良好的回购信用风险很小：借款方违约，贷款方保留证券；贷款方违约，借款方保留现金。最常见的是隔夜回购，也有较长期的定期回购（term repo）。因为有担保，回购利率一般略低于相应的联邦基金利率。

"无风险"利率。 衍生品估值通常构造一个无风险组合，论证它的收益应等于无风险利率，所以无风险利率处于定价的核心。从业者使用多种代理变量：传统上用 LIBOR（尽管 AA 级机构也有很小的违约可能），这一做法正在改变（原书第 9 章讨论 OIS 贴现）。本书多数地方不特别指明用哪种利率。

4.2 利率的度量

"1 年期存款利率 10%"的精确含义取决于计息频率（compounding frequency）。年复利：$100 → $110；半年复利（每 6 个月 5% 再投资）：\(100\times1.05^2=110.25\)；季度复利：\(100\times1.025^4=110.38\)。原书表 4.1（10% 年利率下 $100 一年后的价值）：

计息频率是利率的计量单位，不同单位之间可以换算——10.25% 年复利与 10% 半年复利是同一个利率，就像公里与英里描述同一段距离。

一般公式。 金额 \(A\) 以年利率 \(R\) 投资 \(n\) 年，每年复利 \(m\) 次，终值为

\(m=1\) 时的利率称为等价年利率（equivalent annual interest rate）。

连续复利（continuous compounding）是 \(m\to\infty\) 的极限。由 \(\lim_{m\to\infty}(1+R/m)^{m}=e^R\)，

推导拆解：为什么 \((1+R/m)^m\) 的极限是 \(e^R\)？取对数把乘方变成乘法：\(\ln(1+R/m)^m=m\ln(1+R/m)\)。 当 \(x\) 很小时，\(\ln(1+x)\approx x-\tfrac{x^2}{2}\)（\(\ln\) 的泰勒展开）。代入 \(x=R/m\)：\(m\ln(1+R/m)\approx m\big(\tfrac Rm-\tfrac{R^2}{2m^2}\big)=R-\tfrac{R^2}{2m}\)。 \(m\to\infty\) 时第二项趋于 0，对数趋于 \(R\)，所以原式趋于 \(e^R\)。 这个算式还顺便告诉你差距有多大：\(m\) 次复利比连续复利少的大约是 \(R^2/(2m)\)。\(R=10\%\)、\(m=2\) 时约 0.25%，\(m=365\) 时只有约 0.0014%，所以表 4.1 中日复利和连续复利几乎一样。

表 4.1 中 \(100e^{0.1}=110.52\)，与日复利（保留两位小数）一样，实用上连续复利可视为日复利。连续复利下，向后复利乘 \(e^{Rn}\)，贴现乘 \(e^{-Rn}\)。精算师称它为利息力（force of interest）。除非特别说明，本册的利率都按连续复利计。 连续复利的好处在后面会反复看到：多段利率的合成就是简单平均，对数收益可以相加。

换算公式。 设 \(R_c\) 为连续复利率，\(R_m\) 为每年复利 \(m\) 次的等价利率，由 \(Ae^{R_cn}=A(1+R_m/m)^{mn}\) 得

推导拆解：从等式 \(e^{R_cn}=(1+R_m/m)^{mn}\) 出发（两边的 \(A\) 约掉）。 求 \(R_c\)：两边取自然对数，左边 \(R_cn\)，右边 \(mn\ln(1+R_m/m)\)（用了 \(\ln a^k=k\ln a\)），两边除以 \(n\) 即得 (4.3)。注意 \(n\) 消掉了，说明换算结果与投资期限无关，这正是"计息频率只是计量单位"的含义。 求 \(R_m\)：两边开 \(mn\) 次方，\(e^{R_c/m}=1+R_m/m\)，移项乘 \(m\) 即得 (4.4)。 和 CFA 的对应：CFA 中"有效年利率 EAR \(=(1+R_m/m)^m-1\)"就是 \(m=1\) 的等价年利率；而连续复利下 EAR \(=e^{R_c}-1\)。

例 4.1。 半年复利 10% 换成连续复利：\(2\ln(1+0.1/2)=0.09758\)，即 9.758%。

例 4.2。 贷款报价 8%（连续复利），实际按季付息。季度复利等价利率为 \(4\times(e^{0.08/4}-1)=0.0808\)，即 8.08%；$1,000 贷款每季付息 \(1000\times0.0808/4=\$20.20\)。

4.3 零息利率与债券定价

4.3.1 零息利率

\(n\) 年零息利率（zero-coupon interest rate）是从今天开始、持续 \(n\) 年的投资所获的利率，全部本息在第 \(n\) 年末一次性实现，中间没有任何支付。它也称 \(n\) 年即期利率（spot rate）或简称 \(n\)-year zero。例：5 年零息率为 5%（连续复利），$100 投资 5 年变为 \(100e^{0.05\times5}=128.40\)。

市场上直接看到的多数利率不是纯零息利率。5 年期 6% 息票国债的价格不能直接告诉你 5 年零息率，因为一部分收益以中途息票的形式实现。

零息利率是定价的基本单元。 记 \(P(0,T)=e^{-R(T)\,T}\) 为 \(T\) 时支付 $1 的零息债券今天的价格（贴现因子），任何确定现金流的价值都是 \(\sum_i c_i P(0,t_i)\)。

4.3.2 债券定价

多数债券定期付息，本金（principal，也称面值 par value / face value）到期偿还。理论价格等于全部现金流的现值，更准确的做法是每笔现金流用对应期限的零息利率贴现。原书表 4.2 给出国债零息利率（连续复利）：0.5 年 5.0%，1.0 年 5.8%，1.5 年 6.4%，2.0 年 6.8%。一只 2 年期、面值 $100、年息票率 6%、半年付息的国债，理论价格为

4.3.3 债券收益率

债券收益率（bond yield）是对所有现金流使用同一个贴现率、使理论价格等于市场价的那个利率。若市场价恰为 98.39，连续复利收益率 \(y\) 满足

解得 \(y=6.76\%\)。这类方程没有解析解，标准做法是牛顿—拉弗森法（Newton–Raphson）：求 \(f(y)=0\) 时迭代

其中 \(f'(y)=-\sum_i t_ic_ie^{-yt_i}\)。下一节会看到，这个导数正好与久期有关。（数值求根的一般理论见第 04 册第 11 章。）

白话解释：牛顿法的想法是"用切线代替曲线"。在当前猜测 \(y_i\) 处，函数 \(f\) 近似为一条直线 \(f(y_i)+f'(y_i)(y-y_i)\)；令这条直线等于 0，解出的 \(y\) 就是下一个猜测，即迭代公式。 这里 \(f(y)=\sum_ic_ie^{-yt_i}-98.39\)。它的导数用了 \(\frac{d}{dy}e^{-yt_i}=-t_ie^{-yt_i}\)（链式法则，内层 \(-yt_i\) 对 \(y\) 的导数是 \(-t_i\)）。 用债券语言说：\(f(y_i)\) 是"按当前猜测算出的价格比市价高多少"，\(-f'(y_i)\) 是"收益率升 1 单位价格降多少"（美元久期）。价格高了多少，除以每单位收益率对应的价格变化，就是收益率还需要上调多少。这和交易员心算"价格差 0.5、DV01 是 0.05，所以收益率差 10 个基点"是同一个逻辑。 由于价格—收益率曲线很平滑，牛顿法通常 3–5 步就收敛到小数点后很多位，你的财务计算器求 YTM 用的也是这类迭代。

4.3.4 平价收益率

平价收益率（par yield）是使债券价格恰好等于面值的息票率，通常假设半年付息。设 2 年期债券年息票为 \(c\)（每半年 \(c/2\)）：

解得 \(c=6.87\)，即 2 年平价收益率为 6.87%（半年复利），约合 6.75% 连续复利。

一般公式。 设 \(d\) 为到期日收到 $1 的现值，\(A\) 为每个付息日支付 $1 的年金现值，\(m\) 为每年付息次数，则 \(100=A\,c/m+100d\)，

例中 \(m=2\)，\(d=e^{-0.068\times2}=0.87284\)，\(A=e^{-0.05\times0.5}+e^{-0.058\times1.0}+e^{-0.064\times1.5}+e^{-0.068\times2.0}=3.70027\)，得 \(c=6.87\%\)。

4.4 自举法：构造零息曲线

求国债零息利率有两条路。一是直接观察本息分离债券（STRIPS）的收益率——交易员把国债的每笔息票与本金拆开单独出售，相当于合成的零息债券。二是从国库券和附息国债价格倒推，最流行的方法是自举法（bootstrap method）。

原书表 4.3（面值均为 $100，年息票的一半每 6 个月支付）：

第一步：零息债券直接求。

（等价地写成 \(97.5=100e^{-0.25R}\) 等。）

第二步：1.5 年债券。 现金流为 6 个月 $4、1 年 $4、1.5 年 $104。前两笔的贴现率已知：

得 \(e^{-1.5R}=0.85196\)，\(R=-\ln(0.85196)/1.5=10.681\%\)。这是唯一与 6 个月、1 年利率及该债券价格相容的 1.5 年零息率。

第三步：2 年债券。

汇总（原书表 4.4）：0.25 年 10.127%，0.5 年 10.469%，1 年 10.536%，1.5 年 10.681%，2 年 10.808%。零息利率随期限变化的图称为零息曲线（zero curve）。常用约定：节点之间线性插值（1.25 年零息率 \(=0.5\times10.536+0.5\times10.681=10.6085\%\)），第一个节点之前与最后一个节点之后水平外推（原书图 4.1）。

实践中很少恰好有 1.5、2、2.5 年……期限的债券。分析师常先对债券价格插值，再做自举：如已知 2.3 年、息票 6% 的债券价格 98，2.7 年、息票 6.5% 的债券价格 99，可以假设 2.5 年、息票 6.25% 的债券价格为 98.5。

自举法的思想——从短到长，每一步只解一个未知数，并保证与该步工具的市场价格完全一致——同样适用于用存款、FRA、期货、互换构造 LIBOR/OIS 曲线（原书第 7、9 章）。

4.5 远期利率

远期利率（forward rate）是由当前零息利率隐含的未来某段时期的利率。原书表 4.5（连续复利）：

1 年 3% 意味着 $100 一年后得 \(100e^{0.03}=103.05\)；2 年 4% 意味着两年后得 \(100e^{0.08}=108.33\)。第 2 年的远期利率 \(R\) 必须满足 \(100e^{0.03}e^{R}=100e^{0.08}\)，所以 \(R=5\%\)。连续复利下，相继时段的利率合成后的总利率就是各段利率的时间加权平均（3% 与 5% 平均为 4%）；非连续复利时只近似成立。

一般公式。 设 \(R_1,R_2\) 为期限 \(T_1<T_2\) 的零息率，\(T_1\) 到 \(T_2\) 的远期利率由 \(e^{R_1T_1}e^{R_F(T_2-T_1)}=e^{R_2T_2}\) 给出：

例：\(T_1=3,\ T_2=4,\ R_1=4.6\%,\ R_2=5\%\)，得 \(R_F=(0.20-0.138)/1=6.2\%\)。改写为

可见零息曲线在 \([T_1,T_2]\) 上向上倾斜（\(R_2>R_1\)）时 \(R_F>R_2\)，向下倾斜时 \(R_F<R_2\)。

推导拆解：(4.5) 是在等式 \(e^{R_1T_1}e^{R_F(T_2-T_1)}=e^{R_2T_2}\) 两边取对数：左边乘积变成指数相加 \(R_1T_1+R_F(T_2-T_1)\)，右边 \(R_2T_2\)，移项除以 \(T_2-T_1\) 即得。CFA 用年复利时要解 \((1+R_1)^{T_1}(1+R_F)^{T_2-T_1}=(1+R_2)^{T_2}\)，得到的是开方形式；连续复利把乘法变加法，结果变成线性的。 (4.6) 是 (4.5) 的代数变形：在分子里加减 \(R_2T_1\)，\(R_2T_2-R_1T_1=R_2(T_2-T_1)+(R_2-R_1)T_1\)，再除以 \(T_2-T_1\)。 金融直觉：\(R(T)T\) 可以看作"到 \(T\) 为止累计的利息"，零息率 \(R(T)\) 是平均利率，远期利率是边际利率。这和会计里平均成本与边际成本的关系完全一样：边际成本高于平均成本时，平均成本被拉高（曲线向上倾斜）；反之被拉低。

瞬时远期利率。 令 \(T_2\to T_1=T\)，得到从 \(T\) 开始的极短时期的远期利率

其中 \(P(0,T)=e^{-RT}\)。第二个等号只需对 \(-\ln P=RT\) 求导。这个量是 HJM 等利率模型（原书第 32 章）的基本变量。

推导拆解：第一个等号的来源。在 (4.5) 中令 \(T_1=T\)、\(T_2=T+h\)，\(R\) 写成期限的函数 \(R(T)\)： \(R_F=\dfrac{R(T+h)(T+h)-R(T)T}{h}\)。分子是函数 \(g(T)=R(T)\,T\) 在 \(T\) 和 \(T+h\) 两点的差，除以 \(h\) 就是 \(g\) 的平均变化率；令 \(h\to0\)，它变成 \(g\) 的导数 \(g'(T)\)。这正是"导数 = 差商的极限"的定义。 对乘积 \(R(T)\cdot T\) 求导用乘积法则 \((uv)'=u'v+uv'\)：\(g'(T)=R'(T)\,T+R(T)\cdot1=R+T\,\partial R/\partial T\)。 第二个等号：\(\ln P(0,T)=-R(T)T=-g(T)\)，所以 \(-\frac{\partial}{\partial T}\ln P=g'(T)\)，两种写法相同。 读法：瞬时远期利率是贴现因子曲线 \(\ln P\) 的"斜率"（取负）。实务中曲线插值方法对它影响很大：对零息率做线性插值，\(\partial R/\partial T\) 在节点处突变，远期曲线就是锯齿状的，这就是量化实战第 1 条提醒的问题。

锁定远期利率。 能按表 4.5 借贷的大机构可以锁定远期利率：借 $100 一年（3%）、投资两年（4%），则第 1 年末流出 103.05、第 2 年末流入 108.33，而 \(108.33=103.05e^{0.05}\)，相当于第 2 年以 5% 的远期利率放贷。反过来，借 $100 四年（5%）、投资三年（4.6%）：第 3 年末流入 \(100e^{0.138}=114.80\)，第 4 年末流出 \(100e^{0.20}=122.14\)，\(122.14=114.80e^{0.062}\)，相当于以 6.2% 借第 4 年的钱。这种"用现货复制远期"的思路是下一节 FRA 估值的基础。

商业快照：橘郡的收益率曲线博弈。 若能按表 4.5 借贷，且认为 1 年期利率未来 5 年基本不变，就可以借 1 年期资金、投资 5 年期债券，每年滚动借款；若利率真的不变，每年赚约 2.3%（收 5.3%、付 3%）。这类收益率曲线博弈（yield curve play）本质上是押注"未来利率会显著不同于今天的远期利率（5%、5.8%、6.2%、6.5%）"。橘郡财务官 Robert Citron 1992–1993 年用类似策略非常成功；1994 年他扩大操作，大量投资逆浮动利率债券（inverse floater，支付固定利率减浮动利率），并通过回购市场加杠杆。1994 年利率急升，橘郡宣布投资组合亏损 $15 亿，几天后申请破产保护。

4.6 远期利率协议（FRA）

FRA（forward rate agreement）是场外合约，用来锁定未来某指定期间借入或贷出一定本金适用的利率，通常假设该借贷本应按 LIBOR 进行。若约定的固定利率高于该期间实际 LIBOR，借款方向贷款方支付利差 × 本金；反之贷款方向借款方支付。

例 4.3。 公司签 FRA，确保 3 年后开始的 3 个月期间，就 $1 亿本金收取固定 4%（即付 LIBOR、收 4%）。若该期间 3 个月 LIBOR 为 4.5%，公司在 3.25 年时的现金流为

等价于 3 年时 \(-125{,}000/(1+0.045\times0.25)=-\$123{,}609\)。

一般设定。 公司 X 同意在 \(T_1\) 到 \(T_2\) 期间向公司 Y 放贷。记 \(R_K\) 为 FRA 约定的固定利率，\(R_F\) 为今天计算的 \(T_1\)–\(T_2\) 远期 LIBOR，\(R_M\) 为 \(T_1\) 时实际观察到的 \(T_1\)–\(T_2\) LIBOR，\(L\) 为本金。按 FRA 市场惯例，这些利率以与期间长度对应的频率计息（0.5 年用半年复利，0.25 年用季度复利）。

X 原本按 LIBOR 放贷赚 \(R_M\)，FRA 使它赚 \(R_K\)，额外利率 \(R_K-R_M\) 在 \(T_1\) 确定、\(T_2\) 支付：

另一种理解：X 在 \(T_1\)–\(T_2\) 期间收固定利率 \(R_K\)、付实现的 LIBOR \(R_M\)——这就是一笔单期的"固定换浮动"，多笔 FRA 拼起来就是利率互换（原书第 7 章）。实际结算通常在 \(T_1\) 进行，金额为 \(T_2\) 现金流按 \(R_M\) 贴现到 \(T_1\)：X 收到 \(\dfrac{L(R_K-R_M)(T_2-T_1)}{1+R_M(T_2-T_1)}\)。

估值。 签约时 \(R_K\) 设为当时的远期利率 \(R_F\)，合约价值为零（做市银行实际报买卖价，签约时 FRA 对银行有小正值）。之后利率变化，价值就不再为零。构造组合：FRA1 收 \(R_K\)、FRA2 付 \(R_F\)（同本金、同期间）。\(T_2\) 时两者收益之和为

今天就已确定，按无风险利率贴现即为组合价值。FRA2 按当前远期利率签订，价值为零，所以收取 \(R_K\) 的 FRA 价值为

支付 \(R_K\) 的 FRA 价值为

\(R_2\) 是 \(T_2\) 期限的连续复利无风险零息率。

估值法则：(1) 假设远期利率会实现（\(R_M=R_F\)）计算收益；(2) 按无风险利率贴现。 第 05 章的远期合约估值、原书第 7 章的互换估值都用同一法则。

白话解释：这条法则容易被误读成"假设市场预期远期利率会实现"。它其实不需要任何预期假设。上面的论证用的是对冲：再签一份按当前远期利率 \(R_F\) 付固定的 FRA2（价值为零），两份合约中不确定的 \(R_M\) 互相抵消，剩下的现金流 \(L(R_K-R_F)(T_2-T_1)\) 今天已经确定，所以直接按无风险利率贴现。即使你认为未来 LIBOR 会远高于 \(R_F\)，这份 FRA 今天的价值也不变，因为任何人都可以用零成本的 FRA2 把它锁定。这就是"无套利定价"和"预期定价"的区别，也是本册与 CFA 在思路上最一致的地方：CFA 的 FRA 估值同样是"用新的远期利率替换、再贴现"。 一个口径细节：(4.7) 中利率按单利计（乘以期间长度），而 (4.9) 的贴现用连续复利。一个公式里混用两种口径并没有错，因为它们描述的是不同的东西：前者是合约条款约定的计息方式，后者是贴现工具。写代码时要分清。

例 4.4。 1.5 年至 2 年的远期 LIBOR 为 5%（半年复利）。公司此前签了 FRA，收 5.8%、付 LIBOR，本金 $1 亿；2 年无风险利率 4%（连续复利）。

4.7 久期

4.7.1 定义与推导

久期（duration）衡量债券持有人平均要等多久才收到现金。\(n\) 年零息债券的久期是 \(n\) 年；\(n\) 年附息债券的久期小于 \(n\) 年，因为部分现金提前收到。

设债券在 \(t_i\) 时支付 \(c_i\)（\(1\le i\le n\)），价格 \(B\) 与连续复利收益率 \(y\) 满足

麦考利久期（Macaulay duration）定义为

方括号是 \(t_i\) 现金流现值占债券价格的比例，权重之和为 1，所以久期是付款时间的加权平均。注意：定义久期时所有贴现都用债券收益率 \(y\)，而不是各自的零息率。

对 (4.11) 求导：\(\dfrac{dB}{dy}=-\sum_i c_it_ie^{-yt_i}=-BD\)。于是收益率小变化 \(\Delta y\) 时

这是债券价格百分比变化与收益率变化之间简单易用的线性关系，也是 Macaulay 1938 年提出的久期广受欢迎的原因。

推导拆解：求导一步一步看。\(B=\sum_ic_ie^{-yt_i}\) 是若干项之和，和的导数等于导数之和；每一项 \(c_ie^{-yt_i}\) 中 \(c_i\) 是常数，\(\frac{d}{dy}e^{-yt_i}=-t_ie^{-yt_i}\)（链式法则）。所以 \(\frac{dB}{dy}=-\sum_ic_it_ie^{-yt_i}\)，而按 (4.12) 这个和正好等于 \(BD\)。 (4.15) 用的是"导数 ≈ 变化量之比"：\(\Delta B\approx\frac{dB}{dy}\Delta y\)，即一阶泰勒展开。 与 CFA 的差别：CFA 中修正久期 \(=\) 麦考利久期 \(/(1+y)\)，你可能一直记得"麦考利久期是时间，修正久期才是价格敏感度"。在连续复利下这个分母消失了，因为 \(e^{-yt}\) 对 \(y\) 的导数直接带出 \(t\)，而 \((1+y)^{-t}\) 对 \(y\) 的导数是 \(-t(1+y)^{-t-1}\)，多出一个 \(1/(1+y)\)。所以本册中麦考利久期本身就是价格对连续复利收益率的敏感度，4.7.3 节的修正久期只是在离散复利下把那个分母补回来。

4.7.2 数例

原书表 4.6：3 年期、息票率 10%、面值 $100，连续复利收益率 12%，每半年付息 $5。

如 \(5e^{-0.12\times0.5}=4.709\)。价格 94.213，久期 2.653 年。

例 4.5（检验精度）。 \(\Delta B=-94.213\times2.653\,\Delta y=-249.95\,\Delta y\)。收益率升 10 个基点（\(\Delta y=0.001\)），预测 \(\Delta B=-0.250\)，价格降到 93.963；按 12.1% 精确计算 \(5e^{-0.121\times0.5}+\dots+105e^{-0.121\times3.0}=93.963\)，三位小数一致。

4.7.3 修正久期、美元久期、DV01

以上假设 \(y\) 是连续复利。若 \(y\) 为每年复利 \(m\) 次，则 \(\Delta B=-\dfrac{BD\,\Delta y}{1+y/m}\)。定义修正久期（modified duration）

例 4.6。 表 4.6 债券的半年复利收益率为 \(2(e^{0.06}-1)=12.3673\%\)，\(D^*=2.653/(1+0.123673/2)=2.499\)，\(\Delta B=-94.213\times2.4985\,\Delta y=-235.39\,\Delta y\)。半年复利收益率升 10 个基点，预测价格 93.978；按 12.4673% 精确计算也是 93.978。

美元久期（dollar duration）\(D_\$=D^*B\)，\(\Delta B=-D_\$\Delta y\)。DV01 是所有利率上升 1 个基点时的价格变化，等于 \(D_\$\times0.0001\)（符号取负）。DerivaGem 中的 Gamma 指所有利率上升 1 个基点时 DV01 的变化。

4.7.4 组合久期与局限

债券组合的久期等于各债券久期按价格加权的平均，把 (4.15)–(4.17) 中的 \(B\) 换成组合价值，即可估计所有债券收益率同时变化 \(\Delta y\) 时的组合价值变化。这隐含假设所有债券的收益率变化相同——期限差异大时，这只在零息曲线平行移动时成立。所以应把久期公式理解为"零息曲线小幅平行移动 \(\Delta y\) 对组合价值的影响"。金融机构让资产久期等于负债久期（净久期为零），可以免疫小幅平行移动，但仍暴露于大幅或非平行移动。

4.8 凸性

久期关系只适用于小幅变化。原书图 4.2 画了两个久期相同的组合 X、Y：在原点处斜率相同，收益率小幅变动时价值变化相同；大幅变动时表现不同，曲率更大的 X 更好。

凸性（convexity）度量这种曲率：

二阶泰勒展开给出更精确的近似：

推导拆解：\(C\) 的表达式来自对 \(\frac{dB}{dy}=-\sum c_it_ie^{-yt_i}\) 再求一次导：每项再乘一个 \(-t_i\)，负负得正，\(\frac{d^2B}{dy^2}=\sum c_it_i^2e^{-yt_i}\)，除以 \(B\) 即得。 (4.18) 是二阶泰勒展开：\(B(y+\Delta y)\approx B(y)+B'(y)\Delta y+\tfrac12B''(y)(\Delta y)^2\)。一阶项是在当前点画切线，二阶项修正切线与真实曲线之间的弯曲。\(\tfrac12\) 来自泰勒公式的通项 \(f^{(k)}(y)(\Delta y)^k/k!\)，\(k=2\) 时 \(2!=2\)。两边除以 \(B\)，并把 \(B'/B=-D\)、\(B''/B=C\) 代入就得到第二个式子。 这和 CFA 中"价格变化 ≈ \(-\)修正久期 × Δy \(+\tfrac12\) × 凸性 × Δy²"完全相同，只是在连续复利下用麦考利久期。量化实战输出中，\(\Delta y=3\%\) 时纯久期误差 0.31，加凸性后降到 0.01，剩下的误差来自三阶及更高阶项。

直观。 记权重 \(w_i=c_ie^{-yt_i}/B\)，则 \(D=\sum w_it_i\)，\(C=\sum w_it_i^2=\operatorname{Var}_w(t)+D^2\)。给定久期，现金流在时间上越分散，凸性越大：现金流均匀铺开在长时期内的组合（"哑铃型"）凸性最大，集中在某一时点附近的组合（"子弹型"）凸性最小。资产与负债净久期、净凸性都为零的机构可以免疫较大幅度的平行移动，但仍暴露于非平行移动。

推导拆解：\(C=\operatorname{Var}_w(t)+D^2\) 是"方差 = 二阶矩 − 均值平方"的直接应用。把权重 \(w_i\) 看成一个概率分布（非负、和为 1），付款时间 \(t\) 是随机变量：均值 \(\sum w_it_i=D\)，二阶矩 \(\sum w_it_i^2=C\)。方差公式 \(\operatorname{Var}(t)=\mathbb E[t^2]-(\mathbb E[t])^2\) 移项就是 \(C=\operatorname{Var}_w(t)+D^2\)。\(\operatorname{Var}_w\) 的下标 \(w\) 表示"按权重 \(w_i\) 计算的方差"。 结论：久期固定时，凸性只取决于现金流时间的离散程度。哑铃型组合（1 年 + 10 年）的时间分布很分散，方差大；子弹型（单个 7.75 年零息债）方差为零，凸性就是 \(D^2\)。

对普通债券，凸性项 \(\frac12C(\Delta y)^2\) 恒为正：收益率无论升降，只用久期的近似都会高估跌幅、低估涨幅。

4.9 利率期限结构理论

零息曲线为什么有时向上、有时向下、有时部分上部分下？

• 预期理论（expectations theory）：长期利率反映对未来短期利率的预期；更准确地说，某未来期间的远期利率等于该期间的预期未来零息利率。
• 市场分割理论（market segmentation theory）：短、中、长期利率之间不必有关系；大型养老金、保险公司等投资某一期限的债券，不轻易换期限，各期限利率由各自的供求决定。
• 流动性偏好理论（liquidity preference theory，原书作者认为最有说服力）：投资者偏好保持流动性、做短期投资，借款人偏好长期固定利率借款，结果是远期利率高于预期未来零息利率。这与"收益率曲线向上倾斜比向下倾斜更常见"的经验事实一致。

4.9.1 银行如何"制造"流动性偏好

银行的净利息收入（net interest income）= 收到的利息 − 支付的利息。原书表 4.7：1 年与 5 年存款利率都是 3%，按揭利率都是 6%；若市场预期未来 1 年期利率等于今天（升降同样可能），这些利率是"公平的"。但存款人会选 1 年期（灵活），借款人会选 5 年期按揭（锁定成本）。银行于是资产长、负债短：利率下降无妨，利率上升则存款成本超过 3%，净利息收入下降；利率升 3% 时净利息收入降为零。

资产/负债管理（asset/liability management）部门的职责就是匹配期限。办法是提高 5 年期存款和按揭利率（表 4.8：5 年存款 4%、5 年按揭 7%），让 5 年存款和 1 年按揭更有吸引力，直到两边平衡。所有银行都这样做的净结果就是流动性偏好理论：长期利率倾向于高于由预期短期利率推出的水平，收益率曲线多数时间向上倾斜，只有市场预期短期利率大幅下降时才向下。许多银行用精密系统监测客户选择，发现失衡就微调利率，也用利率互换管理敞口，因此净利息收入通常很稳定。反例是 1980 年代美国储贷机构的倒闭和 1984 年 Continental Illinois 的倒闭，很大程度上源于期限错配。

流动性风险。 期限错配还会造成融资问题：用 3 个月批发存款为 5 年固定利率贷款融资的机构，即使用互换对冲了利率风险，批发存款人也可能失去信心、拒绝续借，资本充足的机构也可能因此倒闭。

商业快照：流动性与 2007–2009 年危机。 2007 年 7 月起出现"逃往优质资产"，依赖短期融资的机构陷入困境。英国北岩银行（Northern Rock）用批发存款（部分仅 3 个月）为大量按揭融资，2007 年 9 月起存款人拒绝展期，2008 年初被政府接管。贝尔斯登和雷曼也因部分业务依赖短期资金遭遇类似问题。

量化实战

本章内容在量化交易中的用法

1. 曲线构建是定价库的地基。 任何衍生品定价、回测中的融资成本、无风险利率与贴现因子都来自一条零息曲线。自举 + 插值 + 外推是最基础的实现；插值方式（对零息率线性、对 \(\ln P\) 线性等）会直接影响远期利率的平滑程度，从而影响 FRA、互换和利率期权的价格。
2. 利率风险的一阶、二阶敏感度。 久期/DV01 与凸性是债券组合、利率衍生品账簿的基本风险指标，可按价格加权汇总到组合层面。但它们只覆盖平行移动；实务中会扩展为关键利率久期（key rate duration）和对收益率曲线做主成分分析（水平、斜率、曲率三因子，见本册第 22 章 22.9 节；PCA 数学见第 01 册第 02b 章），这是多因子利率风险模型的起点。
3. 期限结构因子与 carry。 远期利率与未来实现利率的差异（期限溢价）、曲线斜率、"骑乘收益率曲线"（roll-down）都是利率择时与 carry 策略的信号来源。橘郡案例说明这类策略本质上是押注"未来利率偏离今天的远期利率"，加杠杆时尾部风险巨大。
4. 口径一致。 回测中混用年复利、连续复利、单利（FRA）是常见 bug。建议系统内部统一用连续复利零息率或贴现因子存储，只在输入输出边界转换。

Python 示例：曲线、收益率、久期与凸性

import numpy as np
import pandas as pd

# ---------- 1. 自举法（原书表4.3 → 表4.4）----------
bonds = [(0.25, 0, 97.5), (0.50, 0, 94.9), (1.00, 0, 90.0), (1.50, 8, 96.0), (2.00, 12, 101.6)]
zeros = {}                                   # 期限 -> 连续复利零息率

def zero_rate(t):
    """已求出节点间线性插值，两端水平外推。"""
    ts = np.array(sorted(zeros)); rs = np.array([zeros[k] for k in ts])
    return np.interp(t, ts, rs)

for T, cpn, price in bonds:
    times = np.arange(0.5, T + 1e-9, 0.5) if cpn > 0 else np.array([T])
    cfs = np.full(len(times), cpn / 2.0); cfs[-1] += 100
    pv_known = sum(cf * np.exp(-zero_rate(t) * t) for t, cf in zip(times[:-1], cfs[:-1]))
    zeros[T] = -np.log((price - pv_known) / cfs[-1]) / T
print("零息曲线:", {k: f"{v*100:.3f}%" for k, v in zeros.items()})
print("1.25年插值: %.4f%%" % (zero_rate(1.25) * 100))

# ---------- 2. 债券定价、收益率（牛顿法）、平价收益率（表4.2）----------
z = {0.5: 0.05, 1.0: 0.058, 1.5: 0.064, 2.0: 0.068}
t = np.array(list(z)); d = np.exp(-np.array(list(z.values())) * t)
cf = np.array([3, 3, 3, 103.0])
price = cf @ d
y = 0.05
for _ in range(20):                          # Newton-Raphson
    f  = cf @ np.exp(-y * t) - price
    fp = -(cf * t) @ np.exp(-y * t)
    y -= f / fp
A, dT = d.sum(), d[-1]
c = (100 - 100 * dT) * 2 / A
print(f"债券价格={price:.2f}  连续复利收益率={y*100:.2f}%  平价收益率={c:.2f}% (半年复利)"
      f" = {2*np.log(1+c/200)*100:.2f}% (连续)")

# ---------- 3. 远期利率（表4.5）----------
T = np.arange(1, 6); R = np.array([3.0, 4.0, 4.6, 5.0, 5.3]) / 100
fwd = (R[1:] * T[1:] - R[:-1] * T[:-1]) / (T[1:] - T[:-1])
print("第2-5年远期利率:", np.round(fwd * 100, 2))

# ---------- 4. FRA 估值（例4.4）----------
L, RK, RF, t1, t2, r2 = 1e8, 0.058, 0.050, 1.5, 2.0, 0.04
print("FRA价值 = %.0f" % (L * (RK - RF) * (t2 - t1) * np.exp(-r2 * t2)))

# ---------- 5. 久期与凸性（表4.6、例4.5）----------
def bond_stats(times, cfs, y):
    pv = cfs * np.exp(-y * times); B = pv.sum()
    D = (times * pv).sum() / B; C = (times**2 * pv).sum() / B
    return B, D, C
times = np.arange(0.5, 3.01, 0.5); cfs = np.array([5, 5, 5, 5, 5, 105.0])
B, D, C = bond_stats(times, cfs, 0.12)
print(f"B={B:.3f} D={D:.3f} C={C:.3f}")
rows = []
for dy in (0.001, 0.01, 0.03, -0.03):
    exact = bond_stats(times, cfs, 0.12 + dy)[0] - B
    rows.append((dy, exact, -B * D * dy, -B * D * dy + 0.5 * B * C * dy**2))
print(pd.DataFrame(rows, columns=["Δy", "精确ΔB", "久期近似", "久期+凸性"]).round(4).to_string(index=False))

# ---------- 6. 同久期不同凸性：哑铃 vs 子弹（原书4.35思路）----------
def pf_value(y, legs):  return sum(a * np.exp(-y * T) for T, a in legs)
y0 = 0.10
bar = [(1, 2000 * np.exp(0.10 * 1)), (10, 6000 * np.exp(0.10 * 10))]   # 现值2000与6000
Dbar = (1 * 2000 + 10 * 6000) / 8000
bul = [(Dbar, 8000 * np.exp(0.10 * Dbar))]                          # 同现值同久期的零息债
print(f"哑铃久期={Dbar:.2f}年")
for dy in (0.001, 0.05, -0.05):
    vb, vu = pf_value(y0 + dy, bar), pf_value(y0 + dy, bul)
    print(f"Δy={dy:+.3f}  哑铃变化={vb/8000-1:+.4%}  子弹变化={vu/8000-1:+.4%}")

关键输出：

零息曲线: {0.25: '10.127%', 0.5: '10.469%', 1.0: '10.536%', 1.5: '10.681%', 2.0: '10.808%'}
1.25年插值: 10.6085%
债券价格=98.39  连续复利收益率=6.76%  平价收益率=6.87% (半年复利) = 6.76% (连续)
第2-5年远期利率: [5.  5.8 6.2 6.5]
FRA价值 = 369247
B=94.213 D=2.653 C=7.570
    Δy    精确ΔB    久期近似   久期+凸性
 0.001 -0.2496 -0.2499 -0.2496
 0.010 -2.4642 -2.4995 -2.4638
 0.030 -7.1867 -7.4984 -7.1775
-0.030  7.8290  7.4984  7.8194
哑铃久期=7.75年
Δy=+0.001  哑铃变化=-0.7712%  子弹变化=-0.7720%
Δy=+0.050  哑铃变化=-30.7295%  子弹变化=-32.1248%
Δy=-0.050  哑铃变化=+49.9359%  子弹变化=+47.3293%

解读：

• 自举结果、债券价格 98.39、收益率 6.76%、平价收益率 6.87%、远期利率表、FRA 价值（原书取整为 $369,200）均与原书一致。平价收益率换成连续复利是 6.76%，原书写 6.75%，差别来自原书先把 \(c\) 取整到 6.87 再换算。
• 久期近似在 10 个基点时几乎精确，在 300 个基点时误差约 0.31（相对 4%）；加入凸性项后误差降到 0.01 以下。收益率上升和下降时，纯久期近似分别高估跌幅、低估涨幅，正如 4.8 节所说。
• 哑铃型（1 年 + 10 年）与子弹型（7.75 年零息）组合现值、久期相同，小幅变动时几乎一样；收益率大幅上升时哑铃跌得少、大幅下降时涨得多——这就是凸性的价值。但凸性不是免费的：在真实市场中，高凸性组合通常要以较低的收益率为代价，且哑铃与子弹在非平行移动（如曲线变陡）下表现可以截然不同。

本章小结

利率有国债利率、LIBOR、联邦基金利率、回购利率等，信用风险与是否有担保决定其高低；衍生品定价所用"无风险利率"的代理正在从 LIBOR 转向 OIS。计息频率是利率的单位，连续复利与 \(m\) 次复利之间按 \(R_c=m\ln(1+R_m/m)\)、\(R_m=m(e^{R_c/m}-1)\) 换算。零息利率是定价的基本单元：债券理论价格用各期零息率贴现，收益率是单一贴现率（用牛顿法求），平价收益率使价格等于面值。自举法从短到长逐个求零息率，并用线性插值、两端水平外推得到零息曲线。远期利率 \(R_F=(R_2T_2-R_1T_1)/(T_2-T_1)\)，瞬时远期利率 \(-\partial\ln P(0,T)/\partial T\)。FRA 相当于单期的固定换浮动，按"假设远期利率实现再贴现"估值。久期 \(\Delta B/B=-D\Delta y\)（离散复利用修正久期），凸性加入二阶项 \(\frac12C(\Delta y)^2\)，两者都只针对平行移动。流动性偏好理论解释了收益率曲线通常向上倾斜；期限错配同时带来利率风险与流动性风险。

练习

基础

1. 季度复利 12% 对应的连续复利与年复利利率各是多少？（提示：\(4\ln1.03=11.82\%\)；\(1.03^4-1=12.55\%\)。）
2. 6 个月、1 年零息率（连续复利）分别为 4% 和 4.5%，求 6 个月到 1 年的远期利率。（提示：\((0.045-0.02)/0.5=5\%\)。）
3. 一只 2 年期、息票 8%、半年付息的债券，收益率 6%（连续复利），求价格与麦考利久期。
4. 为什么零息曲线向上倾斜时，远期利率高于零息利率，零息利率又高于附息债券收益率？（提示：由 (4.6)；附息债收益率是各期零息率的某种加权平均。原书 4.7。）
5. 解释为什么 LIBOR 高于回购利率。

进阶

6. 证明 \(C=\operatorname{Var}_w(t)+D^2\)，并据此说明在久期相同时，为什么现金流越分散凸性越大。
7. 用"两只附息债消去息票"的方法：某 10 年期 4% 息票债券价格 80，10 年期 8% 息票债券价格 90（均年付息、面值 100），求 10 年零息债券价格和零息率。（提示：买 2 只 4% 债、卖 1 只 8% 债，息票抵消，得面值 100 的零息债价格 \(2\times80-90=70\)；\(R=-\ln0.7/10=3.57\%\)。原书 4.16。）
8. 某机构签了 FRA：3 年后开始的 6 个月期间，就 $5,000 万本金付固定 5%（半年复利）、收 LIBOR。现在该期间远期 LIBOR 为 5.5%（半年复利），3.5 年零息率 4.8%（连续复利）。求 FRA 价值。（提示：\(5\times10^7\times0.005\times0.5\times e^{-0.048\times3.5}\approx\$105{,}700\)。）
9. 修改"量化实战"代码：把自举中的线性插值改为"对 \(\ln P(0,t)\) 线性插值"，比较两种方法下 0.5–1 年之间的瞬时远期利率曲线形状。
10. 某银行资产为 5 年期固定利率按揭 $100 亿，负债为 1 年期存款 $100 亿。若想用零息债券使净久期为零，需要做什么？这能消除哪些风险、不能消除哪些风险？

原书推荐习题： 4.1、4.9、4.25（复利换算）；4.5、4.14、4.28（远期利率）；4.6、4.15、4.32（FRA 估值）；4.23、4.34（完整自举法，适合编程）；4.16（组合复制求零息率）；4.22、4.35、4.36（久期与凸性的计算与检验）；4.29、4.30（利率结构中的套利识别）。

原书对照