第 02b 章 单位根、季节模型与带时间序列误差的回归

对应 Tsay 第 2 章后半部分（2.7–2.11 节）。第 02a 章处理的是平稳序列；本章先处理"没有固定水平"的单位根序列（价格、利率、汇率）以及如何检验单位根，再讨论季节序列、回归误差有序列相关时的正确做法（包括 HC/HAC 标准误），最后介绍介于平稳与单位根之间的长记忆过程。本章的回归部分是量化研究中出错最频繁、也最值得下功夫的地方。

学习目标

读完本章，你应当能够：

1. 解释随机游走（含漂移）的预测性质与"冲击永久影响"，区分差分平稳与趋势平稳，并知道各自该如何去除趋势。
2. 写出 DF/ADF 检验回归，说明为什么其统计量服从非标准分布，并能正确选择确定性项（无、常数、常数加趋势）。
3. 用常规差分与季节差分处理季节序列，推导航空模型的 ACF，知道何时改用虚拟变量（如一月效应）。
4. 识别伪回归，按"回归—检查残差—差分或为残差建 ARMA—联合估计"的流程建立带时间序列误差的回归。
5. 写出 White（HC）与 Newey–West（HAC）协方差估计量，理解它们为何能修正被夸大的 t 值，并能在重叠收益回归中正确选择截断参数。
6. 说出分数差分过程的 ACF 衰减速度与谱特征，识别长记忆现象。

读前导读

这一章在解决什么问题

第 02a 章的工具都建立在"序列平稳"之上。可金融里最常见的原始数据——价格、利率、汇率、GDP——都不平稳。这一章处理三个由此引出的实际问题。

第一，怎么判断一个序列是不是"随机游走"型的不平稳。 CFA 二级时间序列一节讲过单位根、Dickey–Fuller 检验和"有单位根就差分"。本章补上两件 CFA 没讲透的事：为什么 DF 统计量不能用普通 t 临界值（它的分布被"累积求和"扭曲了）；以及"带漂移的随机游走"和"围绕直线趋势波动"这两种外观相似的序列为什么要用不同方法处理。

第二，回归误差有序列相关时怎么办。 这是本章对量化工作最重要的部分。CFA 二级讲过：误差序列相关会让 OLS 标准误偏小、t 值虚高，可以用 Newey–West 修正。本章给出 Newey–West 的公式和它为什么成立（"三明治"结构），并用一个模拟说明：用持续性高的信号预测未来 20 日累计收益时，一个毫无预测力的信号可以得到 t=6 的"显著"结果。另外，两个互不相关的随机游走做回归，常常得到很高的 \(R^2\) 和显著的 t 值，这就是伪回归，也是配对交易里最常见的陷阱。

第三，季节性和长记忆。 季度 EPS 的季节模式（你在财报分析中天天看到 Q4 高、Q1 低）可以用"季节差分 + 季节 MA"建模；小盘股的一月效应可以用虚拟变量回归。长记忆讲的是一种介于"平稳"和"单位根"之间的序列，它的自相关衰减得很慢，收益的绝对值（波动率的代理）就有这种性质。

需要先想起来的数学

1. 方差的累加与 \(\sqrt t\) 法则。 独立冲击相加，方差相加：\(\operatorname{Var}(a_1+\cdots+a_t)=t\sigma^2\)，标准差按 \(\sqrt t\) 增长。这就是 CFA 里"年化波动 = 日波动 × \(\sqrt{252}\)"的来源，也是随机游走预测误差线性增长的原因。见 第 00 册第 07 章 概率中的分析工具。

2. 矩阵形式的 OLS。 \(\hat{\boldsymbol\beta}=(X'X)^{-1}X'\mathbf y\)，其中 \(X'X=\sum_t\mathbf x_t\mathbf x_t'\)。你需要会读"矩阵 × 向量"和"矩阵的逆"，不必会手算。核心是把 \(\hat{\boldsymbol\beta}-\boldsymbol\beta\) 写成 \((X'X)^{-1}X'\mathbf e\)，再求它的方差。见 第 00 册第 06 章 线性代数速成。

3. 和的方差 = 所有协方差之和。 \(\operatorname{Var}(\sum_tz_t)=\sum_t\sum_s\operatorname{Cov}(z_t,z_s)\)。若 \(z_t\) 互不相关，只剩对角项 \(\sum_t\operatorname{Var}(z_t)\)；若正相关，非对角项为正，方差更大。这一条是理解 HAC 的全部关键。例：两个方差为 1、相关 0.5 的变量相加，方差是 \(1+1+2\times0.5=3\)，不是 2。

4. 二项式展开推广到非整数幂。 \((1+x)^d=1+dx+\frac{d(d-1)}{2!}x^2+\cdots\)，对非整数 \(d\) 也成立（\(|x|<1\) 时）。例：\((1-x)^{0.5}\approx1-0.5x-0.125x^2\)。分数差分 \((1-B)^d\) 就是这样定义的。\(\Gamma\) 函数是阶乘的推广，\(\Gamma(n+1)=n!\)。见 第 00 册第 04 章 级数与收敛。

5. 大 O 与衰减速度。 "\(\rho_k\sim k^{2d-1}\)"表示 \(k\) 很大时 \(\rho_k\) 与 \(k^{2d-1}\) 成比例。多项式衰减（如 \(k^{-0.4}\)）比指数衰减（如 \(0.9^k\)）慢得多：\(k=100\) 时 \(100^{-0.4}\approx0.16\)，而 \(0.9^{100}\approx0.00003\)。见 第 00 册第 07 章 概率中的分析工具。

怎么读这一章

核心必读：2.9.1–2.9.3（随机游走、漂移、趋势平稳的区别）、2.9.5 的 ADF 检验用法（会选确定性项、会读结论即可）、2.11 整节、2.12 整节。2.11 和 2.12 是量化研究中最容易出错的地方，建议配合量化实战 B、C 两部分的代码结果一起读。2.10 季节模型如果你不做季度基本面预测，可以只读 2.10.3 的一月效应例子。2.13 长记忆第一次只需记住"绝对收益的 ACF 衰减极慢"这个实证事实，Hosking 的五条性质可以跳过。DF 统计量为什么服从"布朗运动的泛函"不必深究，记住"临界值比正态更负"即可。建议顺序：2.9 → 2.11 → 2.12 → 2.10 → 2.13。

2.9 单位根非平稳

利率、汇率、资产价格往往是非平稳的：价格没有一个固定的水平可以回归。这类序列在时间序列文献中称单位根非平稳（unit-root nonstationary）序列，最典型的例子是随机游走。

2.9.1 随机游走

\(p_0\) 为初值（例如股票 IPO 当日的对数价格），\(a_t\) 为白噪声。若 \(a_t\) 关于 0 对称，则给定 \(p_{t-1}\)，\(p_t\) 上涨和下跌的概率各为 50%。把它看作 AR(1)，系数恰为 1，不满足平稳条件 \(|\phi_1|<1\)，故称单位根非平稳。

随机游走被广泛用作对数股价的模型。此时股价不可预测、不均值回复：对所有步长，

点预测就是当前值，没有实际价值。把 (2.35) 反复代入得 MA 表示

它有三点重要含义：

1. 预测误差方差线性增长：\(e_h(\ell)=a_{h+\ell}+\cdots+a_{h+1}\)，\(\operatorname{Var}[e_h(\ell)]=\ell\sigma_a^2\to\infty\)。预测区间宽度随步长无限增大，点预测的用处越来越小。
2. 无条件方差无界，\(p_t\) 理论上可以取任意实数。对个股的对数价格这可以接受；但对市场指数，负的对数价格（指数小于 1）极为罕见，所以随机游走对指数是否合适值得怀疑。
3. 冲击影响不衰减：对所有 \(i\)，\(\psi_i=1\)。过去的每一个冲击都永久地留在序列里，经济学称之为冲击的永久效应（permanent effect），序列有强记忆。相应地，随机游走的样本 ACF 在任何固定滞后上都随样本增大趋于 1。

2.9.2 带漂移的随机游走

市场指数的对数收益有小的正均值，所以更合适的对数价格模型是

\(\mu=E(p_t-p_{t-1})\) 称漂移（drift），代表对数价格的时间趋势。迭代得

即一条斜率为 \(\mu\) 的时间趋势 \(t\mu\) 加上一个纯随机游走。条件标准差 \(\sqrt t\sigma_a\) 的增长慢于条件期望 \(t\mu\)，所以时序图上呈现明显的斜率为 \(\mu\) 的趋势；\(\mu>0\) 时对数价格最终趋于 \(+\infty\)。

例（3M 月对数收益）。第 02a 章已知其无显著序列相关，模型为

均值的标准误 0.0023，\(t=4.44\)，1% 水平显著。构造 \(p_t=\sum_{i=1}^tr_i\)（设 1946 年 1 月的对数价格为 0）与去均值版本 \(p_t^*=\sum_{i=1}^ta_i\)（\(a_t=r_t-0.0103\)）。原书图 2.10 中，\(p_t\) 有明显的上升趋势，斜率正是 0.0103；\(p_t^*\) 则没有趋势。这直观地显示了漂移项的重要性：一个看起来只有 1% 的月均值，经过几百个月的累加，决定了价格路径的整体形状。

常数项的含义因模型而异——这是动态模型与普通回归的一个重要区别：

另一个区别：AR(1) 中 \(\phi_1\) 有意义的范围是 \(|\phi_1|\le1\)，而普通回归 \(y_t=\beta_0+\beta_1x_t+a_t\) 中 \(\beta_1\) 可以取任意实数。

2.9.3 趋势平稳序列

\(r_t\) 为平稳序列（例如平稳 AR(\(p\))）。它与带漂移随机游走外观相似，本质却不同：

• 带漂移随机游走：\(E(p_t)=p_0+\mu t\)，\(\operatorname{Var}(p_t)=t\sigma_a^2\)，均值和方差都随时间变化；
• 趋势平稳：\(E(p_t)=\beta_0+\beta_1t\) 随时间变化，但 \(\operatorname{Var}(p_t)=\operatorname{Var}(r_t)\) 有限且不变。

处理方法也不同：趋势平稳序列可以通过对时间做线性回归去掉趋势而变平稳（方法见 2.11 节）；单位根序列则需要差分。用错方法会出问题：对单位根序列去线性趋势，残差仍然非平稳；对趋势平稳序列差分，会引入不可逆的 MA 单位根（过度差分）。

金融直觉：两种模型对"一次大跌之后会怎样"给出完全不同的答案。 趋势平稳：价格围绕一条固定的直线波动。大跌后价格低于趋势线，之后会涨回去，冲击是暂时的。长期预测就是那条直线，预测误差有上限。 带漂移随机游走：没有固定的趋势线，大跌后新的起点就是现在的价格，之后从这里继续按漂移 \(\mu\) 增长，跌掉的不会补回来，冲击是永久的。长期预测误差按 \(\sqrt\ell\) 无限增长。 这对资产配置意义很大：如果股市是趋势平稳的，长期持有的风险会因均值回复而降低（"时间分散化"）；如果是随机游走，长期风险按 \(\sqrt T\) 增长，没有这种好处。 推导拆解：过度差分为什么产生 MA 单位根。设 \(p_t=\beta_0+\beta_1t+r_t\)，\(r_t\) 为白噪声。差分得 \(\Delta p_t=\beta_1+r_t-r_{t-1}\)，这是 \(\theta_1=1\) 的 MA(1)，正好落在不可逆的边界上，残差无法从数据中还原（见第 02a 章可逆性）。

2.9.4 一般的单位根模型：ARIMA

若 ARMA 模型的 AR 多项式以 1 为特征根，就得到自回归求和移动平均模型 ARIMA（autoregressive integrated moving-average）。它和随机游走一样有强记忆：MA 表示中的 \(\psi_i\) 不衰减，冲击有永久影响。

传统处理方法是差分：若 \(c_t=y_t-y_{t-1}=(1-B)y_t\) 服从平稳可逆的 ARMA(\(p,q\))，则称 \(y_t\) 服从 ARIMA(\(p\),1,\(q\))。金融中价格非平稳而对数收益平稳，所以对数价格可以看作 ARIMA 过程。若 \(y_t\) 与一阶差分 \(c_t\) 都非平稳，而二阶差分 \(s_t=c_t-c_{t-1}=y_t-2y_{t-1}+y_{t-2}\) 平稳，则 \(y_t\) 有双单位根；若 \(s_t\) 服从 ARMA(\(p,q\))，则 \(y_t\) 为 ARIMA(\(p\),2,\(q\))。若 \(s_t\) 的均值非零，\(y_t\) 含二次时间趋势。原书指出美国季度 GDP 隐含价格平减指数可能有双单位根，但其二阶差分的均值不显著（见原书习题 2.15）。

2.9.5 单位根检验：DF 与 ADF

要检验对数价格是随机游走还是带漂移随机游走，考虑

检验 \(H_0:\phi_1=1\) 对 \(H_a:\phi_1<1\)。这就是 Dickey & Fuller（1979）的单位根检验。对 (2.38)，最小二乘估计为

（取 \(p_0=0\)）。Dickey–Fuller 统计量就是通常的 t 比：

关键在于它的分布不是通常的 t 分布或正态分布。若 \(e_t\) 是矩略高于 2 阶有限的白噪声，在原假设下 DF 统计量收敛到标准布朗运动的一个泛函（Chan & Wei 1988；Phillips 1987）。直观原因：在单位根下 \(p_{t-1}\) 本身是累积的随机游走，\(\sum p_{t-1}^2\) 的量级是 \(T^2\) 而不是 \(T\)，通常的大数定律和中心极限定理不再适用。若真实 \(\phi_0=0\) 却用 (2.39) 估计，t 统计量收敛到另一种非标准分布；两种情况的临界值都要靠模拟得到（Fuller 1976 第 8 章）。若真实 \(\phi_0\ne0\) 且用 (2.39)，t 统计量渐近正态，但需要非常大的样本。

补充：常用的 5% 渐近临界值大约为：无确定性项 −1.95，含常数 −2.86，含常数与线性趋势 −3.41。它们远比正态的 −1.645 更负，用正态临界值会过度拒绝单位根。

白话解释：为什么普通 t 检验在这里失灵。 普通回归里，解释变量是"稳定"的，\(\sum x_t^2\) 大约按 \(T\) 增长，于是 \(\hat\beta\) 的误差按 \(1/\sqrt T\) 缩小，中心极限定理让 t 统计量趋于正态。 单位根下，解释变量 \(p_{t-1}\) 本身是累积的随机游走，它的方差按 \(t\) 增长，所以 \(\sum p_{t-1}^2\) 按 \(T^2\) 增长，\(\hat\phi_1\) 收敛到 1 的速度是 \(1/T\)（称为"超一致"），比通常快得多。但代价是分布不再是正态：\(\hat\phi_1\) 系统性地偏向小于 1，t 统计量整体左移、左偏。"布朗运动的泛函"（布朗运动可以理解为随机游走在时间切得无限细时的连续版本；泛函是"以整条路径为输入、输出一个数的函数"）只是这个极限分布的数学名字，实际使用只需查临界值表。 实操要点：原假设是"有单位根"。ADF 不显著只说明"数据不足以拒绝单位根"，不等于"证明了有单位根"。当真实的 \(\phi_1\) 是 0.98 这种接近 1 的值时，ADF 在常见样本量下功效很低（练习 9）。

ADF 检验（augmented Dickey–Fuller）。实际序列的差分往往有序列相关，需要在回归中加入差分滞后项。对 AR(\(p\)) 序列 \(x_t\)，回归

\(c_t\) 为确定性的时间函数（0、常数，或 \(\omega_0+\omega_1t\)），\(\Delta x_j=x_j-x_{j-1}\)。检验 \(H_0:\beta=1\) 对 \(H_a:\beta<1\)，统计量

(2.40) 只是带确定性项的 AR(\(p\)) 的重新参数化。也常写成差分形式

检验 \(H_0:\beta_c=0\) 对 \(H_a:\beta_c<0\)。确定性项的选择要与备择假设对应：价格有明显趋势时，要区分"带漂移的单位根"与"趋势平稳"，就该用含常数与趋势的版本。

推导拆解：(2.40) 为什么"只是 AR(\(p\)) 的重新参数化"。以 AR(2) \(x_t=\phi_1x_{t-1}+\phi_2x_{t-2}+e_t\) 为例： 第一步：在右边加减 \(\phi_2x_{t-1}\)：\(x_t=(\phi_1+\phi_2)x_{t-1}-\phi_2(x_{t-1}-x_{t-2})+e_t\)。 第二步：记 \(\beta=\phi_1+\phi_2\)，\(\Delta x_{t-1}=x_{t-1}-x_{t-2}\)，就得到 \(x_t=\beta x_{t-1}-\phi_2\Delta x_{t-1}+e_t\)，正是 (2.40) 的形式。 第三步：单位根意味着特征方程 \(1-\phi_1z-\phi_2z^2=0\) 有解 \(z=1\)，即 \(1-\phi_1-\phi_2=0\)，也就是 \(\beta=1\)。所以检验 \(\beta=1\) 就是检验单位根。 加入差分滞后项的作用是"吸收"短期的序列相关，让 \(e_t\) 成为白噪声，否则 DF 的临界值不成立。

例 2.2 美国季度对数 GDP（1947Q1–2008Q4）。对数 GDP 呈上升趋势、样本 ACF 很高；一阶差分（增长率）围绕固定均值波动（近年波动变小）。按差分序列的 PACF 取 \(p=10\)，ADF 统计量 −1.701，p=0.4297，不能拒绝单位根；\(\hat\beta=1+\hat\beta_c=1-0.0008=0.9992\)。（R 的 fUnitRoots::adfTest(gdp,lags=10,type="c") 得 −1.6109，p=0.4569。）

例：S&P 500 日对数指数（1950-01-03—2008-04-16，14,462 个观测）。检验它是否为带漂移随机游走，取 \(c_t=\omega_0+\omega_1t\)，按差分序列 PACF 取 \(p=15\)：ADF=−1.998，p=0.602，不能拒绝单位根；常数项显著（0.0019，t=2.39），时间趋势项在 5% 水平不显著（t=1.85，10% 显著）。结论：该期间 S&P 500 对数指数含单位根与正漂移，没有强的确定性时间趋势证据。（R 中 ar(diff(sp5),method='mle') 选 2 阶，adfTest(sp5,lags=2,type="ct") 得 −2.0179，p=0.5708；lags=15 得 −1.9946，p=0.5807——结论对滞后阶数不敏感。）

2.10 季节模型

有些金融序列呈周期性，例如公司季度每股收益（EPS），称季节时间序列。原书图 2.13 是 Johnson & Johnson 1960Q1–1980Q4 的季度 EPS（数据来自 Shumway & Stoffer 2000）：指数增长、强季节性、波动随时间增大，周期为 4（月度数据如沃尔玛月销售额，周期为 12）。季节模型也用于天气衍生品和能源期货定价，因为环境序列季节性很强。

季节调整（seasonal adjustment）：如果季节性是次要的，可以先去掉（美国政府发布的 GDP 增长率、失业率多为季调数据）；但在预测中季节性与其他特征同等重要，应直接建模。本节采用后一思路。

2.10.1 季节差分

先取对数，理由有二：(1) 处理指数增长，对数尺度下增长变成线性；(2) 稳定方差，原书图 2.13(b) 中波动递增的模式在对数尺度下消失。对数变换在金融经济序列中很常用；若序列有非正值，可先加一个正常数。

设 \(x_t\) 为对数 EPS。原书图 2.14 显示：(a) \(x_t\) 的 ACF 很强、衰减很慢（单位根迹象）；(b) 一阶差分 \(\Delta x_t=(1-B)x_t\) 的 ACF 在周期 4 的倍数处很强——这是季节序列的典型表现。按 Box–Jenkins–Reinsel（1994，第 9 章）再做季节差分：

一般周期 \(s\) 的季节差分为 \(\Delta_sy_t=y_t-y_{t-s}=(1-B^s)y_t\)；与之相对，\(\Delta y_t=(1-B)y_t\) 称常规差分（regular differencing）。原书图 2.14(d) 中 \(\Delta_4\Delta x_t\) 的 ACF 在滞后 1 有显著负相关，在滞后 4 有边缘负相关。

2.10.2 乘积季节模型与航空模型

上述 ACF 形态在季节序列中很常见，由此产生了著名的航空模型（airline model）：

\(|\theta|<1\)，\(|\Theta|<1\)。AR 部分就是常规差分与季节差分，MA 部分只有两个参数。

ACF 推导。记 \(w_t=(1-B^s)(1-B)x_t\)，展开右边：

\(E(w_t)=0\)，逐项计算协方差：

• \(\operatorname{Var}(w_t)=(1+\theta^2+\Theta^2+\theta^2\Theta^2)\sigma_a^2=(1+\theta^2)(1+\Theta^2)\sigma_a^2\)；
• \(\operatorname{Cov}(w_t,w_{t-1})=-\theta(1+\Theta^2)\sigma_a^2\)；
• \(\operatorname{Cov}(w_t,w_{t-s+1})=\operatorname{Cov}(w_t,w_{t-s-1})=\theta\Theta\sigma_a^2\)；
• \(\operatorname{Cov}(w_t,w_{t-s})=-\Theta(1+\theta^2)\sigma_a^2\)；
• 其余滞后为 0。

于是

其他 \(\ell>0\) 的 ACF 为 0。季度数据 \(s=4\) 时，只有滞后 1、3、4、5 非零。

推导拆解：以 \(\operatorname{Cov}(w_t,w_{t-1})\) 为例，演示"找共同冲击"的方法。 \(w_t=a_t-\theta a_{t-1}-\Theta a_{t-s}+\theta\Theta a_{t-s-1}\)， \(w_{t-1}=a_{t-1}-\theta a_{t-2}-\Theta a_{t-s-1}+\theta\Theta a_{t-s-2}\)。 两式中同时出现的冲击只有 \(a_{t-1}\)（系数 \(-\theta\) 和 \(1\)）和 \(a_{t-s-1}\)（系数 \(\theta\Theta\) 和 \(-\Theta\)）。不同时刻的冲击不相关，所以协方差 \(=[(-\theta)(1)+(\theta\Theta)(-\Theta)]\sigma_a^2=-\theta(1+\Theta^2)\sigma_a^2\)。 其余各项完全一样：把两个表达式写出来，找共同下标，系数相乘再相加。这和第 02a 章 (2.6) 的思路相同。 金融直觉：\(\theta\) 刻画"本季度的意外有多少在下季度被修正"，\(\Theta\) 刻画"今年 Q4 的意外有多少在明年 Q4 被修正"。乘积项 \(\rho_{s\pm1}\) 是两种修正交叉产生的。

与 MA(1) \(y_t=(1-\theta B)a_t\) 和季节 MA \(z_t=(1-\Theta B^s)a_t\) 比较：\(\rho_1=\rho_1(y)\)，\(\rho_s=\rho_s(z)\)，\(\rho_{s\pm1}=\rho_1(y)\rho_s(z)\)。滞后 \(s\pm1\) 处的 ACF 正是滞后 1 相依与滞后 \(s\) 相依的"交互作用"，所以称乘积季节 MA 模型（multiplicative seasonal MA）。实践含义是：常规成分与季节成分的动态近似相互正交。

非乘积季节 MA：\(w_t=(1-\theta B-\Theta B^s)a_t\) (2.42)，此时 \(\rho_{s+1}=0\)。参数个数相同，但乘积模型能产生更多非零 ACF，因此更节约。

例 2.3 J&J 对数 EPS 的航空模型（精确似然）：

两个 MA 参数的标准误为 0.080、0.101；残差 \(Q(12)=10.0\)，p=0.44，模型充分。用前 76 个观测重估、保留最后 8 个检验：原点 \(h=76\)（1978Q4）做 1–8 步预测，再用第 01 章正态与对数正态的关系反变换回 EPS（注意 \(\sigma^2/2\) 修正）。原书图 2.15 显示预测呈强季节模式、接近实际值，95% 区间覆盖良好。

2.10.3 确定性季节性与虚拟变量

若季节模式稳定、近似确定性，可以用虚拟变量（dummy variables）。确定性季节性其实是乘积季节模型的特例：(2.41) 中 \(\Theta=1\) 时，季节 MA 因子 \((1-B^s)\) 与季节差分抵消，模型含确定性季节成分，此时虚拟变量与乘积季节模型的预测相同。但若季节模式不是确定性的，虚拟变量的预测会较差。Tsay 建议用精确似然估计乘积季节模型，尤其在样本小或可能存在确定性季节成分时。

例 2.4 CRSP Decile 1（最小市值组）指数月简单收益（1970-01—2008-12，468 个观测）。时序图看不出季节性，但样本 ACF 在滞后 1、12、24、36 显著。识别为季节 ARMA

条件似然估计：\((1-0.18B)(1-0.87B^{12})R_t=(1-0.74B^{12})a_t\)，\(\tilde\sigma_a=0.069\)； 精确似然估计：\((1-0.188B)(1-0.951B^{12})R_t=(1-0.997B^{12})a_t\)，\(\tilde\sigma_a=0.063\)。

精确似然下季节 AR 因子与季节 MA 因子几乎完全抵消（0.951 对 0.997），这既显示了精确似然法的价值，也提示季节行为可能是确定性的。于是构造一月虚拟变量 \(\text{Jan}_t\)（一月为 1，否则为 0），回归

标准误 0.0033、0.0115（\(t=10.85\)），\(R^2=0.2016\)。残差 ACF 在 12、24、36 处的相关基本消失。结论：Decile 1 月收益的季节性主要来自一月效应（January effect），小盘股在一月平均多赚约 12.5%。

（R 中可用 jan=rep(c(1,rep(0,11)),39)、lm(d1~jan)；季节 ARMA 用 arima(d1,order=c(1,0,0),seasonal=list(order=c(1,0,1),period=12))，注意 R 的 MA 系数取加号约定。Python 中对应 statsmodels 的 SARIMAX(..., seasonal_order=(1,0,1,12))。）

2.11 带时间序列误差的回归

很多应用关心两个时间序列之间的关系，例如市场模型（个股超额收益对指数超额收益的回归）、利率期限结构。考虑

若 \(e_t\) 是白噪声，最小二乘估计是一致的；但 \(e_t\) 常有序列相关，此时 LS 估计可能不一致，标准误也不对。Tsay 直言这个模型应用广泛，却也是最常被误用的计量模型之一，原因就是误差的序列相依常被忽略。

2.11.1 美国周度利率的例子

\(r_{1t}\) 为 1 年期、\(r_{3t}\) 为 3 年期国债固定期限利率（1962-01-05—2009-04-10，2467 个周度观测，百分比）。严格说两者应用第 08a 章的多元方法联合建模，这里先忽略联立性。两者高度相关。

第一步：朴素回归

系数标准误 0.024、0.004。看起来极好，但残差 ACF（原书图 2.19）高度显著且缓慢衰减，呈单位根非平稳特征。用现代术语：若两个利率都是单位根序列，残差仍非平稳说明它们不协整（not cointegrated，第 08b 章），数据不支持二者存在稳定的长期均衡关系——样本期内确实出现过收益率曲线倒挂（inverted yield curve）。

第二步：改用变化量。\(c_{1t}=(1-B)r_{1t}\)，\(c_{3t}=(1-B)r_{3t}\)，回归

标准误 0.0073。残差 ACF 仍有显著但小得多的序列相关。

第三步：为残差建模。由残差 ACF 设定 MA(1) 误差：

计算机普及前需要 Cochrane–Orcutt 等专门方法（Greene 2003）；如今只要误差模型平稳可逆，就可以用极大似然联合估计：

标准误 0.0075、0.0196。滞后 1 的残差 ACF 不再显著；滞后 4、6、7 仍有小相关，但再加 MA 项改进很小。

比较结论：(1) (2.44) 的高 \(R^2\) 和系数 0.930 都有误导性——残差强序列相关，属于伪回归；(2) 对变化量，(2.45) 与 (2.47) 的 \(R^2\) 和系数很接近，加 MA(1) 只是边际改进（MA 系数数值小但高度显著）；(3) 回归分析中检查残差的序列相依至关重要。把 (2.47) 写回水平形式：

说明两个利率既同期相关，又各自序列相关。

白话解释：为什么 (2.44) 的 \(R^2=96.5\%\) 不可信。两个各自有趋势、各自漂移的序列，即使毫无经济联系，只要在样本期内碰巧都往上走（或都往下走），回归就会给出很高的 \(R^2\) 和巨大的 t 值。量化实战 B 部分的模拟显示：两条独立的随机游走，87% 的情况下 t 值"显著"。 识别信号就是残差：如果两个变量真有稳定的长期关系（协整），残差应该围绕 0 平稳波动；如果残差本身像随机游走（ACF 接近 1、缓慢衰减），说明回归只是拟合了两个趋势的偶然重合。 金融直觉：配对交易里，两只同行业股票的价格回归 \(R^2\) 高达 95% 是常态，但这本身说明不了任何事；能交易的是"价差会回来"，即残差平稳。所以先看残差的 ADF，再谈对冲比例。

2.11.2 一般建模步骤

1. 拟合线性回归，检查残差的序列相关；
2. 若残差单位根非平稳，对因变量和解释变量都做一阶差分，回到第 1 步；若残差平稳，为残差识别一个 ARMA 模型，相应修改回归模型；
3. 用极大似然联合估计，检查拟合模型，必要时改进。

检查残差序列相关时，用 Ljung–Box 而不是 Durbin–Watson。DW 统计量

只考虑滞后 1，而残差相依可能出现在更高阶，特别是有季节性时。

2.12 一致协方差矩阵估计：HC 与 HAC

有时我们的主要目的只是推断回归系数，而在误差有序列相关和/或条件异方差的情况下，OLS 系数估计本身仍然一致。这时不必为误差建完整模型，只要把系数的标准误算对即可。工具是异方差一致（heteroscedasticity consistent, HC；Eicker 1967，White 1980）和异方差与自相关一致（heteroscedasticity and autocorrelation consistent, HAC；Newey & West 1987）的协方差估计。

把回归写成

\(\mathbf x_t\) 为含常数项的 \(k\) 维解释变量。LS 估计及其"通常"的协方差为

为什么后者会出错？写出 \(\hat{\boldsymbol\beta}-\boldsymbol\beta=(\sum\mathbf x_t\mathbf x_t')^{-1}\sum\mathbf x_te_t\)，所以

只有当 \(e_t\) 同方差且无序列相关时，中间的 \(\operatorname{Var}(\sum\mathbf x_te_t)\) 才化简为 \(\sigma_e^2\sum\mathbf x_t\mathbf x_t'\)。否则通常的公式不一致，并且在实践中（正相关的回归元与正相关的误差）往往夸大 t 值。HC 与 HAC 就是用不同方式估计中间这块"肉"（这类估计量因此被称为"三明治"估计量）。

推导拆解：用只有一个回归元、无常数项的情形看清楚（此时矩阵都退化成数）。 第一步：\(\hat\beta-\beta=\dfrac{\sum_tx_te_t}{\sum_tx_t^2}\)。分母视为给定，所以 \(\operatorname{Var}(\hat\beta)=\dfrac{\operatorname{Var}(\sum_tx_te_t)}{(\sum_tx_t^2)^2}\)。这就是"面包 × 肉 × 面包"：两片面包是 \(1/\sum x_t^2\)，肉是 \(\operatorname{Var}(\sum x_te_t)\)。 第二步：记 \(z_t=x_te_t\)，和的方差等于所有协方差之和：\(\operatorname{Var}(\sum z_t)=\sum_t\operatorname{Var}(z_t)+2\sum_{j\ge1}\sum_t\operatorname{Cov}(z_t,z_{t-j})\)。 第三步：普通 OLS 公式假设 \(\operatorname{Var}(z_t)=\sigma_e^2x_t^2\)（同方差）且所有交叉项为零（无序列相关），于是肉 \(=\sigma_e^2\sum x_t^2\)，约掉一片面包得 \(\sigma_e^2/\sum x_t^2\)。 第四步：White 只修正第一项（用 \(\hat e_t^2x_t^2\) 代替 \(\sigma_e^2x_t^2\)）；Newey–West 再把交叉项 \(\operatorname{Cov}(z_t,z_{t-j})\) 用 \(x_t\hat e_t\hat e_{t-j}x_{t-j}\) 估计出来、乘权重 \(w_j\) 后加上。 数值感觉：如果 \(z_t\) 的一阶自相关是 0.5 且只到一阶，那么真实方差约是普通公式的 \(1+2\times0.5=2\) 倍，标准误被低估约 \(\sqrt2\) 倍，t 值被夸大约 41%。20 日重叠收益相当于 19 阶都高度相关，t 值可以被夸大三四倍（量化实战 C 部分）。

White 估计量（HC）：只容许异方差，用 \(\hat e_t^2\) 代替各期方差：

\(\hat e_t=y_t-\mathbf x_t'\hat{\boldsymbol\beta}\)。

Newey–West 估计量（HAC）：再加上各滞后的交叉项：

\(\ell\) 为截断参数（bandwidth），\(w_j\) 为权函数，例如 Bartlett 权 \(w_j=1-j/(\ell+1)\)，它保证估计出的矩阵正定（正定矩阵是"方差"概念在矩阵上的推广：用它算出的任何线性组合的方差都为正。不加权直接截断，估出来的"方差"可能是负数）。Newey–West 建议 \(\ell\) 取 \(4(T/100)^{2/9}\) 的整数部分。本质上，HAC 是用非参数方法估计 \(\sum_t\hat e_t\mathbf x_t\) 的长期方差（long-run variance）。

例（利率变化回归 (2.45) 中 \(c_{1t}\) 的 t 值）：忽略序列相关和异方差时为 107.91；HC 修正后为 48.44（标准误 0.0163）；HAC 修正后为 39.92（标准误 0.0198）。t 值缩小到不足原来的四成。另一个办法是在回归中加入滞后项来吸收残差序列相关：

还可以对它再用 HC/HAC 修正 t 值。

单个系数的 HC 方差：辅助回归法。\(k>1\) 时，令 \(\mathbf x_{-j,t}\) 为去掉 \(x_{jt}\) 后的 \((k-1)\) 维向量，做辅助回归

得残差 \(\hat v_t\)，则

辅助回归使 \(\hat v_t\) 与其他回归元正交（Frisch–Waugh 定理），\(\hat\beta_j=\sum\hat v_ty_t/\sum\hat v_t^2\)，从而 (2.49) 中第 \(j\) 个对角元化简为上式。

2.13 长记忆模型

平稳 ARMA 的 ACF 指数衰减；单位根序列的样本 ACF 对任何固定滞后都随样本增大趋于 1（Chan & Wei 1988；Tiao & Tsay 1983）。介于两者之间，有些序列的 ACF 以多项式速率缓慢衰减，称长记忆（long-memory）序列。典型例子是分数差分过程（fractionally differenced process）：

\(\{a_t\}\) 为白噪声。分数差分算子用非整数幂的二项展开定义：

Hosking（1981）给出的性质：

1. \(d<0.5\) 时 \(x_t\) 弱平稳，有 MA(∞) 表示 \(x_t=a_t+\sum_{k\ge1}\psi_ka_{t-k}\)，
   \[\psi_k=\frac{d(1+d)\cdots(k-1+d)}{k!}=\frac{(k+d-1)!}{k!(d-1)!}.\]
2. \(d>-0.5\) 时可逆，有 AR(∞) 表示 \(x_t=\sum_{k\ge1}\pi_kx_{t-k}+a_t\)，
   \[\pi_k=\frac{-d(1-d)\cdots(k-1-d)}{k!}=\frac{(k-d-1)!}{k!(-d-1)!}.\]
3. \(-0.5<d<0.5\) 时 ACF 为
   \[\rho_k=\frac{d(1+d)\cdots(k-1+d)}{(1-d)(2-d)\cdots(k-d)},\qquad\rho_1=\frac{d}{1-d},\qquad\rho_k\approx\frac{(-d)!}{(d-1)!}k^{2d-1}\ (k\to\infty).\]
   （这里的阶乘按 Gamma 函数理解：\((-d)!=\Gamma(1-d)\)，\((d-1)!=\Gamma(d)\)。）
4. PACF 为 \(\phi_{k,k}=d/(k-d)\)。
5. 谱密度（ACF 的 Fourier 变换）在零频附近满足
   \[f(\omega)\sim\omega^{-2d},\qquad\omega\to0, \tag{2.53}\]
   \(\omega\in[0,2\pi]\) 为角频率。

白话解释：这五条性质读起来很重，抓住两点就够。 第一，\(d\) 是"介于 0 和 1 之间的差分次数"。\(d=0\) 是白噪声（不差分），\(d=1\) 是随机游走的一阶差分（整数差分），\(0<d<0.5\) 是"差分了一部分"，序列平稳但记性很长。 第二，记性有多长：取 \(d=0.3\)，\(\rho_k\approx0.43\times k^{-0.4}\)，于是 \(\rho_{10}\approx0.17\)、\(\rho_{100}\approx0.07\)。对比 \(\rho_1\) 相同（0.43）的 AR(1)：\(\rho_{10}=0.43^{10}\approx0.0002\)。长记忆过程在 100 期后仍保留可观的相关，AR(1) 十期后就几乎忘光了。 "谱密度"（把序列分解成不同频率的波动、看每个频率贡献多少方差）在零频（即极长周期）处发散，说的是同一件事：极长期的成分占了很大的方差比重。

关键在于第 3、5 条：\(\rho_k\sim k^{2d-1}\) 是多项式衰减，比 ARMA 的指数衰减慢得多；\(d>0\) 时谱密度在零频处发散，而平稳 ARMA 的谱密度在 \([0,2\pi]\) 上有界。若 \((1-B)^dx_t\) 服从 ARMA(\(p,q\))，则称 \(x_t\) 为 ARFIMA(\(p,d,q\))，即允许非整数 \(d\) 的广义 ARIMA。

识别：样本 ACF 数值不大、衰减却很慢，提示长记忆。原书图 2.22 是 CRSP VW 与 EW 指数日简单收益的绝对值序列（1970-01-02—2008-12-31）的 ACF：数值小但衰减极慢，300 阶后仍在 5% 水平显著（参见 Ding, Granger & Engle 1993）。注意是收益的绝对值（波动的代理）而非收益本身有长记忆——这为第 03b 章的长记忆随机波动率模型埋下伏笔。纯分数差分模型的 \(d\) 可以用极大似然或低频对数周期图回归（log-periodogram regression）估计。长记忆在金融中受关注，部分源于连续时间模型中分数布朗运动的研究。

量化实战

本章内容在量化中的用途

1. 配对交易与统计套利的前置检验。两条价格序列的回归高 \(R^2\) 毫无意义（伪回归），必须检查价差（回归残差）是否平稳。ADF 检验可以直接用在价差上，但要注意：用估计出的对冲比例构造的残差做 ADF，临界值要用 Engle–Granger 的协整临界值而不是普通 ADF 临界值（第 08b 章）。
2. 预测回归的 t 值。用估值、动量等持续性高的变量预测未来 \(h\) 日累计收益时，因变量是重叠的，误差天然有 MA(\(h-1\)) 结构，OLS t 值会严重夸大；Fama–MacBeth 的时间序列 t、alpha 检验、事件研究里的累计异常收益检验都有同样问题。标准做法是 Newey–West HAC，截断参数至少取 \(h-1\)——Newey–West 的默认规则 \(4(T/100)^{2/9}\) 是为一般弱相关设计的，面对 20 日重叠远远不够。
3. 日历效应。一月效应、星期效应（原书习题 2.7–2.9）、月末效应等的标准检验就是"虚拟变量回归 + HAC 标准误 + 残差序列相关检查"。
4. 差分与否的工程决策。价格、利率、波动率指数等建模前先做单位根检验：价格用收益（差分），利率是否差分取决于检验结果和用途；单纯为平稳而过度差分会丢掉水平信息并引入不可逆 MA。
5. 波动的长记忆。绝对收益的长记忆意味着短窗口的历史波动估计"忘得太快"；HAR 型已实现波动模型、FIGARCH 等都是对此的回应。

Python 示例：ADF、伪回归、重叠收益与 HAC、一月效应、长记忆

import numpy as np
import pandas as pd
import statsmodels.api as sm
from statsmodels.tsa.stattools import adfuller, acf
from statsmodels.stats.diagnostic import acorr_ljungbox
from statsmodels.tsa.arima.model import ARIMA

rng = np.random.default_rng(2024)

# ---------- A. 单位根检验：带漂移随机游走 vs 趋势平稳 ----------
T = 2000
rw = np.cumsum(0.0004 + rng.normal(0, 0.01, T))            # 对数价格：带漂移随机游走
ts = 0.0004 * np.arange(T) + np.zeros(T)
e = np.zeros(T)
for t in range(1, T):                                      # 趋势 + 平稳 AR(1) 偏离
    e[t] = 0.9 * e[t-1] + rng.normal(0, 0.01)
ts = ts + e
for name, x in [("带漂移随机游走", rw), ("趋势平稳", ts)]:
    stat, p, lags, *_ = adfuller(x, regression="ct", autolag="AIC", result_object=False)
    print("%-8s ADF=%.3f p=%.3f (滞后 %d)" % (name, stat, p, lags))

# ---------- B. 伪回归：两条相互独立的随机游走 ----------
x = np.cumsum(rng.normal(size=T)); y = np.cumsum(rng.normal(size=T))
lev = sm.OLS(y, sm.add_constant(x)).fit()
dif = sm.OLS(np.diff(y), sm.add_constant(np.diff(x))).fit()
print("\n水平回归: beta=%.3f t=%.1f R2=%.3f 残差ACF(1)=%.3f"
      % (lev.params[1], lev.tvalues[1], lev.rsquared, acf(lev.resid, nlags=1)[1]))
print("差分回归: beta=%.3f t=%.2f R2=%.4f" % (dif.params[1], dif.tvalues[1], dif.rsquared))
tl, r2 = [], []
for _ in range(500):                                       # 重复 500 次看分布
    x = np.cumsum(rng.normal(size=500)); y = np.cumsum(rng.normal(size=500))
    f = sm.OLS(y, sm.add_constant(x)).fit(); tl.append(abs(f.tvalues[1]) > 1.96); r2.append(f.rsquared)
print("水平回归 |t|>1.96 的比例 = %.2f, R2 中位数 = %.2f, R2>0.3 的比例 = %.2f"
      % (np.mean(tl), np.median(r2), np.mean(np.array(r2) > 0.3)))

# ---------- C. 重叠收益的预测回归：OLS t vs HC vs HAC ----------
n, h = 3000, 20
sig = rng.normal(size=n)                                   # 无预测力的"信号"
sig = pd.Series(sig).rolling(20).mean().bfill().values     # 信号本身持续（像估值、动量类变量）
ret = rng.normal(0, 0.01, n + h)                           # 日收益：白噪声
fwd = np.array([ret[t+1:t+1+h].sum() for t in range(n)])  # 未来 20 日累计收益（重叠）
X = sm.add_constant(sig)
L = int(4 * (n / 100) ** (2 / 9))                          # Newey-West 建议的截断参数
res = {"OLS": sm.OLS(fwd, X).fit(),
       "HC(White)": sm.OLS(fwd, X).fit(cov_type="HC0"),
       "HAC(L=%d)" % L: sm.OLS(fwd, X).fit(cov_type="HAC", cov_kwds={"maxlags": L}),
       "HAC(L=%d)" % (2*h): sm.OLS(fwd, X).fit(cov_type="HAC", cov_kwds={"maxlags": 2*h})}
for k, v in res.items():
    print("%-12s beta=%.5f se=%.5f t=%.2f" % (k, v.params[1], v.bse[1], v.tvalues[1]))
print("残差 ACF(1,5,10,15,25):", acf(res["OLS"].resid, nlags=25)[[1, 5, 10, 15, 25]].round(3))

# 用蒙特卡洛看"虚假显著"的比例
rej = {"OLS": 0, "HAC(2h)": 0}
for _ in range(300):
    s = pd.Series(rng.normal(size=n)).rolling(20).mean().bfill().values
    rr = rng.normal(0, 0.01, n + h)
    f = np.convolve(rr[1:], np.ones(h), "valid")[:n]
    Xs = sm.add_constant(s)
    rej["OLS"] += abs(sm.OLS(f, Xs).fit().tvalues[1]) > 1.96
    rej["HAC(2h)"] += abs(sm.OLS(f, Xs).fit(cov_type="HAC", cov_kwds={"maxlags": 2*h}).tvalues[1]) > 1.96
print("名义 5% 检验的实际拒绝率:", {k: v / 300 for k, v in rej.items()})

# ---------- D. 一月效应：虚拟变量回归 ----------
months = np.tile(np.arange(1, 13), 39)                     # 39 年月度数据
jan = (months == 1).astype(float)
R = 0.003 + 0.125 * jan + rng.normal(0, 0.06, months.size)
m = sm.OLS(R, sm.add_constant(jan)).fit()
print("\n一月效应: b0=%.4f b1=%.4f t=%.2f R2=%.3f" % (*m.params, m.tvalues[1], m.rsquared))
print("原始序列 ACF(12,24):", acf(R, nlags=24)[[12, 24]].round(3),
      " 残差 ACF(12,24):", acf(m.resid, nlags=24)[[12, 24]].round(3))

# ---------- E. 长记忆：分数差分过程与 GPH 估计 ----------
d, N, K = 0.3, 6000, 3000
k = np.arange(1, K)
psi = np.r_[1, np.cumprod((k - 1 + d) / k)]                # psi_k = psi_{k-1}(k-1+d)/k
eps = rng.normal(size=N + K)
xlm = np.convolve(eps, psi, "valid")[:N]                   # MA(∞) 截断近似
print("\nFI(d=0.3) 样本 ACF(1,10,50,100):", acf(xlm, nlags=100)[[1, 10, 50, 100]].round(3))
print("理论 rho1=d/(1-d)=%.3f" % (d / (1 - d)))
# GPH 低频对数周期图回归：ln I(w_j) = c - 2d ln(2 sin(w_j/2)) + 误差
m_ = int(N ** 0.5)
I = np.abs(np.fft.fft(xlm - xlm.mean())) ** 2 / (2 * np.pi * N)
w = 2 * np.pi * np.arange(1, m_ + 1) / N
reg = sm.OLS(np.log(I[1:m_ + 1]), sm.add_constant(-2 * np.log(2 * np.sin(w / 2)))).fit()
print("GPH 估计 d = %.3f (se %.3f)" % (reg.params[1], reg.bse[1]))

关键输出：

带漂移随机游走  ADF=-1.715 p=0.744 (滞后 2)
趋势平稳     ADF=-10.533 p=0.000 (滞后 0)

水平回归: beta=0.012 t=1.6 R2=0.001 残差ACF(1)=0.986
差分回归: beta=-0.007 t=-0.30 R2=0.0000
水平回归 |t|>1.96 的比例 = 0.87, R2 中位数 = 0.15, R2>0.3 的比例 = 0.30
OLS          beta=0.02112 se=0.00355 t=5.95
HC(White)    beta=0.02112 se=0.00350 t=6.04
HAC(L=8)     beta=0.02112 se=0.00902 t=2.34
HAC(L=40)    beta=0.02112 se=0.01175 t=1.80
残差 ACF(1,5,10,15,25): [0.951 0.746 0.493 0.262 0.092]
名义 5% 检验的实际拒绝率: {'OLS': np.float64(0.61), 'HAC(2h)': np.float64(0.07)}

一月效应: b0=0.0037 b1=0.1295 t=12.98 R2=0.265
原始序列 ACF(12,24): [0.2   0.296]  残差 ACF(12,24): [-0.081  0.046]

FI(d=0.3) 样本 ACF(1,10,50,100): [0.404 0.111 0.057 0.006]
理论 rho1=d/(1-d)=0.429
GPH 估计 d = 0.359 (se 0.076)

解读：

• ADF：带漂移随机游走 p=0.74，不能拒绝单位根；趋势平稳序列 ADF=−10.5，远低于含趋势版本的 5% 临界值约 −3.41，拒绝单位根。两条序列的时序图看上去都是"一条向上的线"，只有检验能区分。
• 伪回归：两条相互独立的随机游走做水平回归，87% 的情况下 \(|t|>1.96\)，\(R^2\) 中位数 0.15，三成情况 \(R^2>0.3\)；残差 ACF(1) 接近 1 是最直接的警报。差分后回归给出正确的"无关系"。
• 重叠收益：信号对未来收益毫无预测力，OLS t 值却是 5.95，HC 只修正异方差、对此无能为力（6.04）；Newey–West 默认截断 \(L=8\) 只修正了一半（2.34，仍"显著"），\(L=40\ge h\) 时 t=1.80，回到不显著。蒙特卡洛显示 OLS 的名义 5% 检验实际拒绝率高达 61%，HAC(\(L=2h\)) 降到 7%。残差 ACF 从 0.95 线性衰减到 20 阶附近，正是 MA(19) 的特征。这是本章对量化研究最重要的一课。
• 一月效应：虚拟变量吸收了滞后 12、24 的自相关（0.20、0.30 → −0.08、0.05），与原书例 2.4 的逻辑一致。
• 长记忆：理论 ACF 在滞后 1、10、50、100 处为 0.429、0.173、0.091、0.069；样本 ACF 偏低（长记忆过程的样本 ACF 有明显的向下偏差），但衰减远慢于任何低阶 AR。GPH 估计 \(\hat d=0.36\)，标准误 0.08，覆盖真值 0.3。

本章小结

单位根序列（随机游走、ARIMA）的冲击有永久影响，预测误差方差随步长线性增长，样本 ACF 趋于 1；带漂移随机游走的常数项是趋势斜率，与趋势平稳序列外观相似但需要不同处理（差分对去趋势）。DF/ADF 检验的 t 统计量在单位根下服从非标准分布，临界值靠模拟得到，确定性项的设定要与备择假设对应。季节序列用常规差分加季节差分，航空模型 \((1-B)(1-B^s)x_t=(1-\theta B)(1-\Theta B^s)a_t\) 的 ACF 只在 \(1,s-1,s,s+1\) 非零；季节模式确定时用虚拟变量（一月效应）。带时间序列误差的回归必须检查残差：残差非平稳则差分，平稳则为残差建 ARMA 并联合估计，诊断用 Ljung–Box 而非 DW。只关心系数推断时，用 HC/HAC 三明治估计修正标准误，重叠收益要把截断参数取到至少 \(h-1\)。分数差分过程的 ACF 以 \(k^{2d-1}\) 多项式衰减、谱在零频发散，收益绝对值序列表现出这种长记忆。

练习

基础

1. 对随机游走 \(p_t=p_{t-1}+a_t\)（\(p_0=0\)），证明 \(\operatorname{Corr}(p_t,p_{t-\ell})=\sqrt{(t-\ell)/t}\)，并据此解释为什么样本 ACF 在固定滞后处随样本增大趋于 1。 提示：\(\operatorname{Cov}(p_t,p_{t-\ell})=(t-\ell)\sigma_a^2\)。
2. 带漂移随机游走中 \(\mu=0.0103\)、\(\sigma_a=0.0637\)（原书 3M 例）。求 120 个月后对数价格的条件均值与条件标准差，并说明"趋势在图上可见"的原因。 答案要点：均值 \(1.236\)，标准差 \(0.0637\sqrt{120}\approx0.698\)；均值随 \(t\) 线性增长而标准差随 \(\sqrt t\) 增长。
3. 写出季度数据（\(s=4\)）航空模型 \(w_t\) 的前 6 阶理论 ACF，取 \(\theta=0.678\)、\(\Theta=0.314\)（原书例 2.3）。 答案要点：\(\rho_1=-0.678/1.460\approx-0.464\)，\(\rho_4=-0.314/1.099\approx-0.286\)，\(\rho_3=\rho_5\approx0.133\)，\(\rho_2=\rho_6=0\)。
4. 说明 DW≈2 能否保证回归残差无序列相关，举一个反例。 答案要点：不能；例如残差为季节 MA \(e_t=a_t-0.8a_{t-4}\)，\(\rho_1=0\)，DW≈2，但滞后 4 相关很强。

进阶

5. 推导 Bartlett 权下、仅含一个回归元（无常数）的 HAC 方差公式，并说明当 \(x_t\) 与 \(e_t\) 都有正的一阶自相关时为何 OLS 标准误偏小。 提示：\(\operatorname{Var}(\sum x_te_t)=\sum_t\sum_s E(x_tx_se_te_s)\)，正相关使交叉项为正。
6. 证明辅助回归公式 \(\operatorname{Var}(\hat\beta_j)_{HC}=\sum\hat e_t^2\hat v_t^2/(\sum\hat v_t^2)^2\)。 提示：Frisch–Waugh 定理给出 \(\hat\beta_j=\sum\hat v_ty_t/\sum\hat v_t^2\)。
7. 用 \(\psi_k\) 的递推 \(\psi_k=\psi_{k-1}(k-1+d)/k\) 证明 \(\psi_k\sim k^{d-1}/\Gamma(d)\)，并解释为什么 \(d<0.5\) 保证平稳。 提示：\(\sum\psi_k^2<\infty\iff2(d-1)<-1\)。
8. 修改本章代码 C 部分：把预测期 \(h\) 依次取 5、20、60，记录 OLS、HAC(\(L=8\))、HAC(\(L=h\))、HAC(\(L=2h\)) 的实际拒绝率，给出截断参数选择的经验规则。
9. 修改代码 A 部分：把趋势平稳序列的 AR 系数从 0.9 逐步提高到 0.99、0.999，观察 ADF 检验的功效如何下降，并讨论"不能拒绝单位根"在有限样本中的含义。

原书推荐习题：2.5（IBM 日收益绝对值的长程相依）；2.6（季节模型与 1–24 步预测）；2.7–2.9（星期效应：虚拟变量回归 + HAC + 带时间序列误差的回归，最贴近量化实务）；2.12（Aaa 对 Baa 的带时间序列误差回归）；2.14（期现货 1 分钟数据的回归，指数套利背景）；2.15（GDP 平减指数的 ARIMA 建模与双单位根判断）。

原书对照