第 02a 章 平稳性、自相关与 ARMA 模型

对应 Tsay 第 2 章前半部分（2.1–2.6 节）。本章建立线性时间序列的基本语言：平稳性、自相关函数、白噪声与线性过程，以及三类基本模型 AR、MA、ARMA 的性质、识别、估计、诊断与预测。第 02b 章接着讨论单位根、季节性、带时间序列误差的回归与长记忆。

学习目标

读完本章，你应当能够：

1. 区分严平稳与弱平稳，计算并解释样本自相关函数（ACF），用 \(\sqrt T\hat\rho_\ell\)、Bartlett 公式和 Ljung–Box \(Q(m)\) 检验序列相关。
2. 推导 AR(1)、AR(2) 的均值、方差、ACF 和平稳条件，用特征根判断平稳性与"随机周期"，计算周期长度。
3. 用 PACF 和 AIC/BIC 给 AR 模型定阶，用条件最小二乘估计，并用自由度调整后的 Ljung–Box 检验残差。
4. 掌握 MA 模型的 ACF 截尾、可逆性、条件/精确似然估计，以及 ARMA 模型的 EACF 识别方法。
5. 用 ARMA 的 AR 表示、MA 表示（脉冲响应）推导多步预测和预测误差方差，解释均值回复并计算半衰期。

读前导读

这一章在解决什么问题

这一章回答一个朴素的问题：过去的收益能不能线性地预测明天的收益，能预测多少，预测误差多大。

你在 CFA 二级的 Quantitative Methods 里学过时间序列一节：AR(1)、均值回复水平 \(b_0/(1-b_1)\)、用残差自相关检验模型是否充分、单位根与协整的概念。本章是那一节的完整版。CFA 告诉你"AR(1) 的均值回复水平是 \(b_0/(1-b_1)\)"，本章告诉你为什么（对平稳方程两边取期望），以及 AR(2)、MA、ARMA 这些 CFA 没展开的模型长什么样、怎么识别、怎么预测。

几个连接点帮你定位：

• 自相关函数（ACF） 就是"收益和自己滞后 \(\ell\) 期的相关系数"，和你算两只股票的相关系数是同一个公式。
• AR 模型 形式上就是一个回归，解释变量是被解释变量自己的过去值。所以估计用最小二乘，你已经会了；新东西是平稳性条件和预测的递推。
• 均值回复与半衰期：配对交易、利率模型（Vasicek）里都用到。AR(1) 系数 0.9 意味着偏离每期保留 90%，约 6.6 期衰减一半。
• MA 模型 在金融中的典型来源是买卖价反弹：成交价在 bid 和 ask 之间来回跳，制造出负的一阶自相关。

需要先想起来的数学

1. 期望和协方差的线性运算。 本章几乎每个推导都只用三条规则：\(E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y)\)；\(\operatorname{Cov}(aX,bY)=ab\operatorname{Cov}(X,Y)\)；独立（或不相关）变量的协方差为零。典型手法是"方程两边乘以 \(r_{t-\ell}\) 再取期望"，得到自协方差之间的关系。见 第 00 册第 07 章 概率中的分析工具。

2. 几何级数。 \(1+x+x^2+\cdots=1/(1-x)\)，要求 \(|x|<1\)；平方和 \(1+x^2+x^4+\cdots=1/(1-x^2)\)。AR(1) 方差 \(\sigma_a^2/(1-\phi_1^2)\) 就是 \(\sigma_a^2(1+\phi_1^2+\phi_1^4+\cdots)\)。和永续年金现值 \(C/r\) 是同一类公式。见 第 00 册第 04 章 级数与收敛。

3. 二次方程与复数。 特征方程 \(1-\phi_1x-\phi_2x^2=0\) 是二次方程，判别式小于零时有一对复数根 \(a\pm bi\)（\(i^2=-1\)）。复数的模 \(\sqrt{a^2+b^2}\) 是它到原点的距离；"单位圆外"就是模大于 1。复根意味着序列有周期性摆动，周期由复数的辐角决定。见 第 00 册第 06 章 线性代数速成（特征值部分）和 第 00 册第 08 章 读懂数学证明与符号。

4. 差分方程（递推式）。 \(\rho_\ell=\phi_1\rho_{\ell-1}\) 这样"当前值由前几个值决定"的式子叫差分方程。一阶的解是 \(\rho_\ell=\phi_1^\ell\rho_0\)，就像复利 \(V_n=(1+r)^nV_0\)。二阶的解是两个"复利"的组合，底数就是特征根。

5. 卡方分布与自由度。 \(k\) 个独立标准正态的平方和服从 \(\chi^2_k\)。Ljung–Box 统计量本质上是把 \(m\) 个标准化的样本自相关平方后加总。

怎么读这一章

核心必读：2.1 平稳性、2.2 ACF 与 Ljung–Box、2.4.1 AR(1)、2.6 预测与半衰期、2.7.1–2.7.2 MA 的定义与 ACF 截尾、2.8.5 中的 MA 表示与 (2.34)。这些在量化工作中天天用。2.4.2 AR(2) 的特征根和随机周期第一次可以只记结论（"复根 → 周期摆动；根的模 < 1 → 平稳"），跳过周期公式的推导。2.8.3 EACF 只需理解"找 O 三角左上顶点"的规则，实际工作中更多用信息准则。2.7.4 精确似然与条件似然的区别可以只看结论。建议顺序：2.1 → 2.2 → 2.3 → 2.4.1 → 2.6 → 2.5 → 2.7 → 2.8，最后回头看 2.4.2。

2.0 本章的出发点

第 01 章说过，单变量建模的核心是条件分布 \(F(r_t\mid r_{t-1},r_{t-2},\dots)\)。本章只处理其中最简单也最重要的一部分：条件均值是过去值的线性函数。把资产收益看作随时间排列的随机变量 \(\{r_t\}\)，线性时间序列试图刻画 \(r_t\) 与 \(t\) 之前信息的线性关系，核心工具是序列相关（serial correlation），又称自相关（autocorrelation）。

参考书：Box–Jenkins–Reinsel（1994）第 2–3 章、Brockwell–Davis（1996）第 1–3 章。

2.1 平稳性

严平稳（strictly stationary）：对任意正整数 \(k\) 和任意时刻 \((t_1,\dots,t_k)\)，\((r_{t_1},\dots,r_{t_k})\) 与 \((r_{t_1+t},\dots,r_{t_k+t})\) 的联合分布相同，即联合分布对时间平移不变。这个条件很强，几乎无法用数据验证。

弱平稳（weakly stationary）：

• (a) \(E(r_t)=\mu\) 为常数；
• (b) \(\operatorname{Cov}(r_t,r_{t-\ell})=\gamma_\ell\) 只依赖滞后 \(\ell\)，不依赖 \(t\)。

直观上，弱平稳序列的时序图围绕一个固定水平、以大致恒定的幅度波动。正是这种"时间不变性"让我们能用过去推断未来。

两者关系：弱平稳隐含前两阶矩有限；严平稳且前两阶矩有限可推出弱平稳，反之一般不成立；但对正态序列二者等价。本书主要研究弱平稳序列。

自协方差（autocovariance）\(\gamma_\ell=\operatorname{Cov}(r_t,r_{t-\ell})\) 有两条基本性质：\(\gamma_0=\operatorname{Var}(r_t)\)；\(\gamma_{-\ell}=\gamma_\ell\)（在定义中令 \(t\) 换成 \(t+\ell\) 即得）。

金融中通常假设收益弱平稳。实证上可以把样本分成几段，检查各段统计量是否一致。

白话解释：为什么要平稳？因为我们手上只有一条历史路径，却想估计"均值""相关系数"这些总体量。如果均值每天都在变，那 2015 年的数据对估计 2025 年的均值毫无帮助。平稳假设说的是"游戏规则不随时间变"，这样过去 1000 天就像同一个总体的 1000 次抽样，样本均值、样本自相关才有意义。 金融例子：股价不平稳（没有固定水平，十年前的价格不能告诉你今天价格的"均值"）；日收益近似平稳（均值在 0 附近、波动幅度大致在一个范围内）。这就是 1.1 节说"研究收益率而不是价格"的统计理由。 注意弱平稳只约束前两阶矩，不要求分布不变。GARCH 序列（第 03a 章）条件方差每天在变，但无条件方差是常数，仍然弱平稳。

2.2 相关系数与自相关函数

2.2.1 相关系数

度量线性相依强度，\(-1\le\rho\le1\)，对称。\(\rho=0\) 称不相关；若 \(X,Y\) 联合正态，不相关等价于独立。样本估计

2.2.2 自相关函数 ACF

弱平稳序列 \(r_t\) 与其滞后 \(r_{t-\ell}\) 的相关系数称滞后 \(\ell\) 的自相关，作为 \(\ell\) 的函数称自相关函数（autocorrelation function, ACF）。由于弱平稳下 \(\operatorname{Var}(r_t)=\operatorname{Var}(r_{t-\ell})=\gamma_0\)，

性质：\(\rho_0=1\)，\(\rho_\ell=\rho_{-\ell}\)，\(|\rho_\ell|\le1\)。弱平稳序列无序列相关当且仅当对所有 \(\ell>0\) 有 \(\rho_\ell=0\)。

样本 ACF：

2.2.3 单个自相关的检验

• iid 情形：若 \(\{r_t\}\) iid 且 \(E(r_t^2)<\infty\)，则对任意固定 \(\ell>0\)，\(\hat\rho_\ell\) 渐近服从 \(N(0,1/T)\)（Brockwell–Davis 1991 定理 7.2.2）。所以检验 \(H_0:\rho_1=0\) 用 \(t=\sqrt T\hat\rho_1\)；作图时常画 \(\pm2/\sqrt T\) 的界。
• Bartlett 公式：若 \(r_t=\mu+\sum_{i=0}^q\psi_ia_{t-i}\)（\(\psi_0=1\)，\(a_t\) iid 零均值，即 MA(\(q\)) 过程），则对 \(\ell>q\)，\(\hat\rho_\ell\) 渐近正态，均值 0，方差 \((1+2\sum_{i=1}^q\rho_i^2)/T\)。由此得到检验 \(H_0:\rho_\ell=0\) 的统计量

当序列是平稳高斯且 \(\rho_j=0\ (j\ge\ell)\) 时渐近标准正态，\(|t|>Z_{\alpha/2}\) 时拒绝。许多软件为简便起见对所有 \(\ell\) 都用 \(1/T\)（即默认 iid）。有限样本中 \(\hat\rho_\ell\) 有 \(O(1/T)\) 的偏差，但金融数据样本通常很大，影响不大。

2.2.4 混成检验（Portmanteau test）

金融应用常要联合检验多个自相关是否为零：\(H_0:\rho_1=\cdots=\rho_m=0\)。Box–Pierce（1970）统计量 \(Q^*(m)=T\sum_{\ell=1}^m\hat\rho_\ell^2\) 在 iid 下渐近 \(\chi^2_m\)。Ljung–Box（1978）做了小样本修正，提高了功效：

\(Q(m)>\chi^2_{m,\alpha}\) 或 p 值 \(\le\alpha\) 时拒绝。\(m\) 的选择影响功效，模拟研究建议 \(m\approx\ln T\)；季节序列要关注季节周期倍数的滞后。

推导拆解：为什么是 \(\chi^2_m\)？ 第一步：在 iid 下，每个 \(\hat\rho_\ell\) 近似服从 \(N(0,1/T)\)，所以 \(\sqrt T\hat\rho_\ell\) 近似标准正态。 第二步：不同滞后的 \(\hat\rho_\ell\) 渐近独立。\(m\) 个独立标准正态的平方和服从 \(\chi^2_m\)，这就是 Box–Pierce 的 \(Q^*(m)=\sum_{\ell=1}^m(\sqrt T\hat\rho_\ell)^2\)。 第三步：小样本里 \(\hat\rho_\ell\) 的方差其实更接近 \((T-\ell)/[T(T+2)]\) 而不是 \(1/T\)，Ljung–Box 用这个更准的方差去标准化，就得到 (2.3) 中的权重 \(T(T+2)/(T-\ell)\)。\(T\) 很大时两者几乎一样。 数值感觉：\(T=1000\)、\(m=10\) 时 \(\chi^2_{10}\) 的 5% 临界值是 18.3。如果每个 \(\hat\rho_\ell\) 都约 0.04（单看都不显著，界是 0.063），\(Q\approx1000\times10\times0.0016=16\)，仍不拒绝；但只要几个滞后同时偏大，联合检验就会抓到。这就是联合检验比逐个看更有功效的地方。

实例（原书图 2.1、2.2）。IBM 月简单收益与对数收益（1926–2008，\(T=996\)）的样本 ACF 都在两倍标准误界内：简单收益 \(Q(5)=3.37\)（p=0.64）、\(Q(10)=13.99\)（p=0.17）；对数收益 \(Q(5)=3.52\)（p=0.62）、\(Q(10)=13.39\)（p=0.20）。IBM 月收益无显著序列相关。而 CRSP 市值加权（VW）指数月收益：简单收益 \(Q(5)=29.71\)、\(Q(10)=39.55\)；对数收益 \(Q(5)=28.38\)、\(Q(10)=36.16\)，p 值都小于 0.0001。即指数收益比个股收益有更强的序列相依。

为什么？CAPM 的一种版本认为收益不可预测、应无自相关，检验零自相关常被当作检验有效市场假设。但价格形成机制和指数编制方式本身就可能引入自相关：买卖价反弹（bid–ask bounce）和非同步交易（nonsynchronous trading）——指数中部分成分股长时间没有成交，其价格"滞后"反映信息，造成指数收益正自相关（第 05 章；本套第 07 册）。高频数据中这些效应更明显。

2.3 白噪声与线性时间序列

白噪声（white noise）：\(\{r_t\}\) 为具有有限均值和方差的 iid 序列；若还服从 \(N(0,\sigma^2)\)，称高斯白噪声。白噪声所有滞后的 ACF 为零。实践中样本 ACF 都接近零就视为白噪声。注意本书的白噪声要求 iid，比"不相关"更强——第 03a 章会看到，收益常常不相关却不独立。

IBM 月收益接近白噪声，VW 指数则不是，说明对某些资产要先刻画序列相依再做别的分析。

线性时间序列（linear time series）：

\(\{a_t\}\) 为零均值 iid 白噪声，\(a_t\) 代表 \(t\) 时刻到达的新信息，称新息（innovation）或冲击（shock）；\(\psi_i\) 称 \(\psi\) 权重。弱平稳时，利用 \(a_t\) 互不相关，

方差有限要求 \(\psi_i^2\to0\)，即很久以前的冲击影响逐渐消失。自协方差

推导拆解：(2.6) 的中间步骤。 把 \(r_t-\mu=\sum_i\psi_ia_{t-i}\) 和 \(r_{t-\ell}-\mu=\sum_j\psi_ja_{t-\ell-j}\) 相乘再取期望。乘开后是很多 \(\psi_i\psi_jE(a_{t-i}a_{t-\ell-j})\) 的和。 关键一步：\(a\) 互不相关，所以只有当两个下标指向同一时刻（\(t-i=t-\ell-j\)，即 \(i=j+\ell\)）时期望才非零，等于 \(\sigma_a^2\)；其余全为零。 于是双重求和塌缩成单重求和 \(\sigma_a^2\sum_j\psi_{j+\ell}\psi_j\)。 金融直觉：可以把 \(r_t\) 想成一个"冲击的组合"，\(\psi_i\) 是对 \(i\) 期前冲击的持仓权重。两期收益的协方差，等于它们共同持有的那些冲击的权重乘积之和，正如两个组合的协方差来自它们共同的风险暴露。

所以线性时间序列模型就是描述 \(\psi\) 权重模式的模型；ACF 完全由 \(\psi\) 权重决定。平稳时 \(\rho_\ell\to0\)。不是所有金融序列都是线性的（第 04a、04b 章讨论非线性）。

2.4 自回归（AR）模型

2.4.1 从 AR(1) 开始

VW 指数月收益滞后 1 阶自相关显著，提示 \(r_{t-1}\) 可以帮助预测 \(r_t\)。最简单的模型是 AR(1)：

\(a_t\) 为零均值、方差 \(\sigma_a^2\) 的白噪声。形式上与简单线性回归相同，但有重要区别（解释变量是被解释变量自己的滞后，见 2.4.3 节 \(R^2\) 的讨论和第 02b 章）。AR(1) 也广泛用于随机波动率模型（把 \(r_t\) 换成对数波动率，第 03b 章）。

条件矩：\(E(r_t\mid r_{t-1})=\phi_0+\phi_1r_{t-1}\)，\(\operatorname{Var}(r_t\mid r_{t-1})=\sigma_a^2\)。这是马尔可夫性质：给定 \(r_{t-1}\)，\(r_t\) 与 \(r_{t-i}\ (i>1)\) 不相关。推广为 AR(\(p\))：

形式上是以 \(p\) 个滞后值为解释变量的多元回归。

均值。设平稳，两边取期望，\(\mu=\phi_0+\phi_1\mu\)，故

均值为零当且仅当 \(\phi_0=0\)。用 \(\phi_0=(1-\phi_1)\mu\) 改写模型：

反复代入得到 MA(∞) 表示：

即 \(\psi_i=\phi_1^i\)。由此 \(r_{t-1}\) 只依赖 \(a_{t-1},a_{t-2},\dots\)，所以 \(\operatorname{Cov}(r_{t-1},a_t)=0\)。

方差与平稳条件。对 (2.8) 取方差，利用 \(\operatorname{Cov}(r_{t-1},a_t)=0\)：\(\operatorname{Var}(r_t)=\phi_1^2\operatorname{Var}(r_{t-1})+\sigma_a^2\)。平稳时 \(\operatorname{Var}(r_t)=\operatorname{Var}(r_{t-1})\)，

方差为正有限要求 \(\phi_1^2<1\)。反过来，若 \(|\phi_1|<1\)，由 (2.11) 与 (2.5)(2.6) 知均值、方差、自协方差都有限且不随时间变化。结论：AR(1) 弱平稳的充要条件是 \(|\phi_1|<1\)。 金融文献常写成 \(r_t=(1-\phi_1)\mu+\phi_1r_{t-1}+a_t\)，\(\phi_1\) 度量动态相依的持续性（persistence）。

ACF。(2.10) 两边乘 \(a_t\) 取期望得 \(E[a_t(r_t-\mu)]=\sigma_a^2\)；乘 \((r_{t-\ell}-\mu)\) 取期望得

于是 \(\rho_\ell=\phi_1\rho_{\ell-1}\)，结合 \(\rho_0=1\) 得 \(\rho_\ell=\phi_1^\ell\)：ACF 从 1 开始以速率 \(\phi_1\) 指数衰减；\(\phi_1<0\) 时正负交替（原书图 2.3 示 \(\phi_1=\pm0.8\)）。

推导拆解：\(\ell>0\) 那一行是怎么来的。 第一步：(2.10) 两边乘以 \((r_{t-\ell}-\mu)\)：\((r_t-\mu)(r_{t-\ell}-\mu)=\phi_1(r_{t-1}-\mu)(r_{t-\ell}-\mu)+a_t(r_{t-\ell}-\mu)\)。 第二步：取期望。左边是 \(\gamma_\ell\)；右边第一项是 \(\phi_1\gamma_{\ell-1}\)（\(r_{t-1}\) 与 \(r_{t-\ell}\) 相隔 \(\ell-1\) 期）；第三项为零，因为 \(r_{t-\ell}\) 只依赖 \(t-\ell\) 及以前的冲击，与未来的 \(a_t\) 不相关。 第三步：两边除以 \(\gamma_0\) 得 \(\rho_\ell=\phi_1\rho_{\ell-1}\)，这是一个"每期乘 \(\phi_1\)"的递推，和复利同构。 \(\ell=0\) 时第三项变成 \(E[a_t(r_t-\mu)]=\sigma_a^2\)（\(r_t\) 里含有 \(a_t\) 本身），所以多出一个 \(\sigma_a^2\)。 数值：\(\phi_1=0.5\) 时 \(\rho_1=0.5\)、\(\rho_2=0.25\)、\(\rho_3=0.125\)；VW 月收益 \(\phi_1\approx0.1\)，\(\rho_2\) 已只剩 0.01，可预测性几乎只在一期内。

2.4.2 AR(2)：特征根与随机周期

均值 \(\mu=\phi_0/(1-\phi_1-\phi_2)\)（需 \(\phi_1+\phi_2\ne1\)）。中心化后乘 \((r_{t-\ell}-\mu)\) 取期望，得矩方程（moment equation）\(\gamma_\ell=\phi_1\gamma_{\ell-1}+\phi_2\gamma_{\ell-2}\ (\ell>0)\)，于是

取 \(\ell=1\)，利用 \(\rho_{-1}=\rho_1\) 得 \(\rho_1=\phi_1/(1-\phi_2)\)；之后用 (2.13) 递推。

引入后移算子（back-shift operator）\(B\)：\(B\rho_\ell=\rho_{\ell-1}\)，\(Br_t=r_{t-1}\)（也有文献记作滞后算子 \(L\)）。(2.13) 可写成二阶差分方程

这个差分方程决定 ACF 的形状，也决定预测的行为。对应的特征方程

的解为 \(x=\dfrac{\phi_1\pm\sqrt{\phi_1^2+4\phi_2}}{-2\phi_2}\)，它们的倒数称特征根（characteristic roots）\(\omega_1,\omega_2\)，满足 \(1-\phi_1B-\phi_2B^2=(1-\omega_1B)(1-\omega_2B)\)。

• 实根（\(\phi_1^2+4\phi_2\ge0\)）：AR(2) 相当于一个 AR(1) 叠加在另一个 AR(1) 上，ACF 是两个指数衰减的混合。
• 复根（\(\phi_1^2+4\phi_2<0\)）：两根共轭，ACF 呈阻尼正弦/余弦波（damping sine and cosine waves）。这在经济学中对应商业周期（business cycle）。随机周期的平均长度为

若特征方程的复数解写作 \(a\pm bi\)，则 \(\phi_1=2a/(a^2+b^2)\)、\(\phi_2=-1/(a^2+b^2)\)，周期等价地写成 \(k=2\pi/\cos^{-1}\big(a/\sqrt{a^2+b^2}\big)\)。（原书此处以特征根 \(a\pm bi\) 表述，此时 \(\phi_1=2a\)、\(\phi_2=-(a^2+b^2)\)；两种写法得出同一个角度。）

原书图 2.4 画了四个平稳 AR(2) 的 ACF：(a) \(\phi_1=1.2,\phi_2=-0.35\)（实根）；(b) \(\phi_1=0.6,\phi_2=-0.4\)，\(0.36-1.6=-1.24<0\)，复根，阻尼正弦；(c) \((0.2,0.35)\) 与 (d) \((-0.2,0.35)\) 均为实根、指数衰减。

平稳条件：AR(2) 平稳当且仅当两个特征根的模都小于 1，等价于特征方程两个解的模都大于 1（"在单位圆外"）。此时 (2.13) 保证 ACF 随滞后趋于 0。AR(1) 的特征根就是 \(\phi_1\)，条件同为 \(|\phi_1|<1\)。

白话解释：特征根是什么、为什么它决定一切。 二阶递推 \(\rho_\ell=\phi_1\rho_{\ell-1}+\phi_2\rho_{\ell-2}\) 的解总能写成 \(\rho_\ell=c_1\omega_1^\ell+c_2\omega_2^\ell\)，即两个"以 \(\omega\) 为底的复利"之和，\(\omega_1,\omega_2\) 就是特征根（把 \(\rho_\ell=\omega^\ell\) 代进递推，约掉 \(\omega^{\ell-2}\)，得 \(\omega^2-\phi_1\omega-\phi_2=0\)，正是特征根满足的方程）。 于是：\(|\omega|<1\)，\(\omega^\ell\) 随 \(\ell\) 衰减到 0，过去的影响消失，序列平稳；\(|\omega|=1\)，影响永不衰减（单位根，第 02b 章）；\(|\omega|>1\)，影响越滚越大（爆炸）。 复根时 \(\omega=|\omega|e^{\pm i\theta}\)，\(\omega^\ell=|\omega|^\ell(\cos\ell\theta\pm i\sin\ell\theta)\)：模控制衰减速度，角度 \(\theta\) 控制摆动频率，转一整圈需要 \(2\pi/\theta\) 期，这就是周期公式 \(k=2\pi/\theta\) 的来源。图 2.4(b) \(\phi_1=0.6\)、\(\phi_2=-0.4\)：模 \(=\sqrt{0.4}\approx0.63\)，周期约 5.8 期（练习 3）。 "特征根模 < 1"与"特征方程的解模 > 1"说的是同一件事，因为两者互为倒数。软件（如 polyroot、statsmodels 的 arroots）通常给后者，读输出时注意看是哪个。

例 2.1 美国季度实际 GNP 增长率（季调，1947Q2–1991Q1，176 个观测）。拟合 AR(3)：

特征多项式 \(1-0.348B-0.179B^2+0.142B^3\) 近似分解为 \((1+0.521B)(1-0.869B+0.274B^2)\)。第一个因子贡献一个指数衰减（负根，正负交替）；第二个因子 \(\phi_1^2+4\phi_2=0.869^2-4(0.274)=-0.341<0\)，复根，证实存在随机商业周期，平均周期

约 3 年。若用第 04a 章的非线性模型分离扩张与收缩期，收缩期平均约 3 个季度、扩张期约 3 年，10.62 季度是两者的折中。

软件提示：R 中 arima(gnp, order=c(3,0,0)) 输出的 intercept 是序列均值（0.0077）而非常数项，\(\phi_0=(1-0.348-0.1793+0.1423)\times0.0077=0.0047\)。Python 的 statsmodels ARIMA 中 const 同样是均值。R 的 polyroot(c(1,-coef)) 求得特征方程的解 \(1.590\pm1.064i\)（模 1.913）和 \(-1.920\)，都在单位圆外，平稳。

2.4.3 AR(\(p\)) 的一般性质

平稳时 \(E(r_t)=\phi_0/(1-\phi_1-\cdots-\phi_p)\)；特征方程 \(1-\phi_1x-\cdots-\phi_px^p=0\) 的所有解的模都大于 1（等价于所有特征根的模小于 1）则平稳；ACF 满足 \((1-\phi_1B-\cdots-\phi_pB^p)\rho_\ell=0\ (\ell>0)\)，图形是指数衰减与阻尼正弦的混合，拖尾而不截尾。

2.5 AR 模型的识别、估计与检验

2.5.1 偏自相关函数 PACF

阶数 \(p\) 要由数据决定（定阶，order determination）。第一种方法是偏自相关函数（partial autocorrelation function, PACF）。依次拟合

第 \(j\) 个回归的最后一个系数估计 \(\hat\phi_{j,j}\) 称滞后 \(j\) 的样本 PACF，含义是"在 AR(\(j-1\)) 基础上再加入 \(r_{t-j}\) 的额外贡献"，思想与多元回归的偏 F 检验相同。对平稳高斯 AR(\(p\))：

• \(\hat\phi_{p,p}\to\phi_p\)；
• 对所有 \(\ell>p\)，\(\hat\phi_{\ell,\ell}\to0\)；
• \(\ell>p\) 时 \(\hat\phi_{\ell,\ell}\) 的渐近方差为 \(1/T\)。

即 AR(\(p\)) 的样本 PACF 在滞后 \(p\) 处截尾（cuts off）。

金融直觉：PACF 和多因子回归里的"偏回归系数"是一回事。ACF 在滞后 2 处的值，混进了"\(r_{t-2}\) 通过 \(r_{t-1}\) 间接影响 \(r_t\)"的部分（AR(1) 里 \(\rho_2=\phi_1^2\neq0\)，尽管模型中根本没有 \(r_{t-2}\)）。PACF 在滞后 2 处问的是"控制住 \(r_{t-1}\) 之后，\(r_{t-2}\) 还有没有额外的解释力"。这就像在 CAPM 回归里加入 SMB 因子后，看它的系数是否显著：显著才说明它带来了市场因子之外的信息。AR(\(p\)) 里滞后超过 \(p\) 的值都不带额外信息，所以 PACF 截尾。

例（VW 月简单收益，1926–2008，\(T=996\)）标准误约 \(1/\sqrt{996}\approx0.032\)。原书表 2.1 的 PACF（滞后 1–12）为 0.115、−0.030、−0.102、0.033、0.062、−0.050、0.031、0.052、0.063、0.005、−0.005、0.011。5% 水平下可识别为 AR(3) 或 AR(9)，1% 水平下为 AR(3)。GNP 增长率的 PACF（原书图 2.6，界 \(\pm2/\sqrt{176}\)）前三阶较大，提示 AR(3)。

2.5.2 信息准则

第二种方法是基于似然的信息准则（information criteria）。

AIC（Akaike 1973）：

对高斯 AR(\(\ell\)) 化简为

\(\tilde\sigma_\ell^2\) 为 \(\sigma_a^2\) 的 MLE。第一项衡量拟合优度，第二项是惩罚函数（penalty function）。

BIC（Schwarz–Bayesian）：

每个参数的惩罚，AIC 为 2，BIC 为 \(\ln T\)。\(T>e^2\approx7.4\) 时 BIC 惩罚更重，中大样本下BIC 倾向选更低阶。选择规则：对 \(\ell=0,\dots,P\) 计算，取最小值对应的阶数。

原书表 2.1 中 VW 收益的 AIC 在 \(p=9\) 最小（−5.849），BIC 在 \(p=1\) 最小（−5.833），\(p=3\) 次之（−5.831）。不同方法给出不同阶数，没有证据表明哪种方法在实践中总更好；问题的实质背景与模型的简洁性同样重要。（R 的 ar() 把 AIC 平移到最小值为 0 输出，GNP 例中 4 个候选为 27.847、2.742、1.603、0.000，选 AR(3)。）

2.5.3 参数估计

最常用的是条件最小二乘（conditional least squares）：以前 \(p\) 个观测为条件，对 \(t=p+1,\dots,T\) 做多元回归，得拟合值 \(\hat r_t\) 与残差 \(\hat a_t=r_t-\hat r_t\)，

（分母是有效观测数 \(T-p\) 减去参数个数 \(p+1\)。）若用条件似然法，\(\phi_i\) 的估计不变，\(\tilde\sigma_a^2=\hat\sigma_a^2\times(T-2p-1)/(T-p)\)；有的软件用 \((T-2p-1)/T\) 调整。

VW 月收益 AR(3)：

系数标准误 0.002、0.032、0.032、0.032，除滞后 2 外均在 1% 水平显著。系数都很小，说明序列相依虽然显著但很弱。\(\hat\mu=0.0091/(1-0.116+0.019+0.104)=0.009\)，月均 0.9% 看似很小，长期意义却很大：年化简单总收益 \([\prod_{t=1}^{996}(1+R_t)]^{12/996}-1\approx0.093\)，即 1926–2008 年约 9.3%/年；1926 年初投入 1 美元，2008 年末约值 1593 美元。

2.5.4 模型检验

充分的模型，其残差应为白噪声。检查残差 ACF 与 Ljung–Box 统计量。对 AR(\(p\)) 残差，\(Q(m)\) 渐近服从 \(\chi^2_{m-g}\)，\(g\) 为模型中 AR 系数个数——自由度要扣除，因为拟合给残差施加了约束。若有不显著系数就简化，若残差仍有序列相关就扩展。多数软件不调整自由度（当 \(m\le g\) 时不调整可以理解），使用时要自己算。

VW 例：AR(3) 残差 \(Q(12)=16.35\)，按 \(\chi^2_9\) 得 p=0.060，勉强不拒绝（若错按 \(\chi^2_{12}\) 则 p=0.176，显得过于乐观）。去掉不显著的滞后 2 项：

所有系数 1% 显著，\(Q(12)=16.83\)，按 \(\chi^2_{10}\) 得 p=0.078，模型充分。

2.5.5 拟合优度

\(0\le R^2\le1\)，越大越好，但只对平稳序列有意义：对单位根非平稳序列，不论真实模型如何，AR(1) 拟合的 \(R^2\) 随样本增大趋于 1——这是"伪高拟合"。\(R^2\) 随参数增加单调不减，故有调整 \(R^2\)：\(\text{Adj-}R^2=1-\hat\sigma_a^2/\hat\sigma_r^2\)，考虑了参数个数，但不再限于 \([0,1]\)。（作为参照，原书用 S-Plus 拟合 VW 的 AR(3)，\(R^2\) 仅 0.0246——月度收益可预测部分很小，这是常态。）

2.6 AR 模型的预测

设预测原点（forecast origin）为 \(h\)，预测步长（horizon）为 \(\ell\ge1\)，\(F_h\) 为 \(h\) 时刻可得的信息集。在均方误差意义下最优的预测 \(\hat r_h(\ell)\) 满足

答案是条件期望 \(\hat r_h(\ell)=E(r_{h+\ell}\mid F_h)\)。

1 步预测：

误差方差 \(\sigma_a^2\)。正态时 95% 区间为 \(\hat r_h(1)\pm1.96\sigma_a\)。对线性模型 (2.4)，\(a_{t+1}\) 既是 1 步预测误差，也是 \(t+1\) 时刻的冲击。实际中用估计参数得到的是条件预测，没有计入参数不确定性；考虑参数和模型不确定性的自然方法是贝叶斯预测（第 12b 章 12.11 节），样本大时两者接近。

2 步预测：

方差 \((1+\phi_1^2)\sigma_a^2\ge\sigma_a^2\)：预测越远越不确定。

多步预测：

递推计算。对平稳 AR(\(p\))，\(\hat r_h(\ell)\to E(r_t)\)，预测误差方差趋于无条件方差 \(\operatorname{Var}(r_t)\)——这称为均值回复（mean reversion）。

推导拆解：2 步预测误差为什么是 \(a_{h+2}+\phi_1a_{h+1}\)。 真实值：\(r_{h+2}=\phi_0+\phi_1r_{h+1}+\phi_2r_h+\cdots+a_{h+2}\)。 预测值：\(\hat r_h(2)\) 把式中唯一未知的 \(r_{h+1}\) 换成它的预测 \(\hat r_h(1)\)，把 \(a_{h+2}\) 换成其期望 0。 两者相减：\(e_h(2)=\phi_1[r_{h+1}-\hat r_h(1)]+a_{h+2}=\phi_1a_{h+1}+a_{h+2}\)，因为 \(r_{h+1}-\hat r_h(1)\) 正是 1 步误差 \(a_{h+1}\)。 两个冲击独立，方差相加：\((1+\phi_1^2)\sigma_a^2\)。一般地，\(\ell\) 步误差是未来 \(\ell\) 个冲击按 \(\psi\) 权重的组合，这就是 (2.34)。 白话解释：预测得越远，中间"还没发生的冲击"越多，误差就越大；但对平稳序列，远期冲击的影响打了折扣，误差方差不会无限增大，而是封顶在序列本身的方差。换句话说，预测很远的未来时，模型能给的最好答案就是"长期均值"，不确定性就是"长期波动"。

半衰期（half-life）。对 AR(1)，记 \(x_t=r_t-\mu\)，则 \(\hat x_h(\ell)=\phi_1^\ell x_h\)。偏离衰减到一半所需步数满足 \(\phi_1^\ell=1/2\)：

例如 \(\phi_1=0.9\) 时半衰期约 6.6 期，\(\phi_1=0.97\) 时约 22.8 期。

原书表 2.2：用 VW 前 984 个观测重估 AR(3)：\(r_t=0.0098+0.1024r_{t-1}-0.0201r_{t-2}-0.1090r_{t-3}+a_t\)，\(\hat\sigma_a=0.054\)。以 \(h=984\)（2007 年 12 月）为原点做 1–12 步预测：预测值 0.0076、0.0161、0.0118、0.0099、0.0089、0.0093、0.0095、…；标准误 0.0534、0.0537、0.0537、0.0540、…。因序列相依弱，预测值和标准误很快收敛到样本均值 0.0095 和标准差 0.0540。而 2008 年的实际值是 −0.0623、−0.0220、−0.0105、0.0511、0.0238、−0.0786、−0.0132、0.0110、−0.0981、−0.1847、−0.0852、0.0215。除 2008 年 10 月（−18.47%）外，实际收益都落在 95% 预测区间内。这个例子说明了线性模型在危机期的局限：它能给出合理的区间，却无法预见尾部事件。

2.7 移动平均（MA）模型

2.7.1 从受约束的无穷阶 AR 引出 MA

第 05 章将说明，买卖价反弹会在收益中引入 MA(1) 结构。Tsay 用一个巧妙的角度引入 MA：把它看作参数受约束的无穷阶 AR。无穷阶 AR 参数太多不现实，令所有系数由一个参数决定，\(\phi_i=-\theta_1^i\)：

平稳需 \(|\theta_1|<1\)，此时远期收益的贡献指数衰减。移项写成

对 \(t-1\) 写同样的式子

(2.18) 减去 \(\theta_1\times\)(2.19)，左边只剩 \(r_t\)：

除常数外，\(r_t\) 是两个冲击 \(a_t,a_{t-1}\) 的加权平均，故称移动平均模型。一般形式：

符号约定：本书 MA 系数前用减号；R 的 arima 和 Python 的 statsmodels 用加号 \(r_t=c_0+a_t+\theta_1a_{t-1}\)。读软件输出时要换号。

2.7.2 MA 模型的性质

平稳性：MA 模型是白噪声的有限线性组合，总是弱平稳。\(E(r_t)=c_0\)（常数项就是均值），

ACF：MA(1)（设 \(c_0=0\)）两边乘 \(r_{t-\ell}\) 取期望，\(\gamma_1=-\theta_1\sigma_a^2\)，\(\gamma_\ell=0\ (\ell>1)\)，所以

ACF 在滞后 1 截尾。由于 \(|\theta_1|/(1+\theta_1^2)\le1/2\)，MA(1) 的 \(|\rho_1|\) 不超过 0.5。MA(2)：

一般 MA(\(q\)) 的 ACF 在滞后 \(q\) 截尾，是"有限记忆"（finite-memory）模型：\(q\) 期以前的信息对当前没有线性影响。

可逆性（invertibility）：零均值 MA(1) 写成 \(a_t=r_t+\theta_1a_{t-1}\)，反复代入得

即当前冲击是当前与过去收益的线性组合。直观上很久以前的收益影响应趋于零，故要求 \(|\theta_1|<1\)，称模型可逆；\(|\theta_1|=1\) 时不可逆。可逆性保证我们能从观测到的收益唯一地"还原"冲击序列，这是估计和预测所必需的。

白话解释：为什么需要"唯一地还原"？因为 MA 模型存在"双胞胎"。\(\theta_1=0.5\) 和 \(\theta_1=2\) 两个 MA(1) 给出相同的 \(\rho_1\)：\(-0.5/1.25=-0.4\)，\(-2/5=-0.4\)。只看数据（只看 ACF），无法区分它们。可逆性约束 \(|\theta_1|<1\) 相当于约定"从一对双胞胎里永远选那个能用过去收益算出当前冲击的"，模型因此可识别。 实际意义：预测时要用 \(a_h\)，而 \(a_h\) 观测不到，只能由 \(a_t=r_t+\theta_1a_{t-1}\) 从头递推。\(|\theta_1|<1\) 时初始值 \(a_0=0\) 设错的影响会按 \(\theta_1^t\) 衰减掉；\(|\theta_1|\ge1\) 时误差不衰减甚至放大，算出来的残差毫无意义。

2.7.3 识别 MA 阶数

若 \(\rho_q\ne0\) 而 \(\rho_\ell=0\ (\ell>q)\)，则 \(r_t\) 为 MA(\(q\))。用 ACF 定 MA 阶，正如用 PACF 定 AR 阶。

例：CRSP 等权（EW）指数月简单收益（1926–2008，原书图 2.8），样本 ACF 在滞后 1、3、9 显著（更高滞后有零星边缘显著，忽略），识别为

注意 ACF 还能直接指出哪些 MA 滞后非零，这一点 PACF 对 AR 做不到这么干净。

2.7.4 估计

MA 模型通常用极大似然估计，有两种算法：

• 条件似然法（conditional likelihood）：假设初始冲击 \(a_t=0\ (t\le0)\)，递推 \(a_1=r_1-c_0\)，\(a_2=r_2-c_0+\theta_1a_1\)，…，代入 (1.18) 得条件 MLE。
• 精确似然法（exact likelihood）：把初始冲击作为附加参数联合估计。模型接近不可逆时精确法更好，但计算量更大；样本大时两者接近。

EW 指数例，条件 MLE：

标准误 0.003、0.031、0.031、0.031；残差 \(Q(12)=17.5\)，按 \(\chi^2_9\) p=0.041（按 12 个自由度 p=0.132），模型还可改进。精确 MLE：

\(Q(12)=17.6\)，p=0.040（9 个自由度），仅勉强充分。两种方法的差异可以忽略。

2.7.5 MA 模型的预测

MA(1)：\(r_{h+1}=c_0+a_{h+1}-\theta_1a_h\)，于是

\(a_h\) 可以设 \(a_0=0\) 后由 \(a_t=r_t-c_0+\theta_1a_{t-1}\) 递推得到（即拟合残差）。2 步：\(\hat r_h(2)=c_0\)，\(e_h(2)=a_{h+2}-\theta_1a_{h+1}\)，方差 \((1+\theta_1^2)\sigma_a^2\)，正好是序列方差。一般 \(\hat r_h(\ell)=c_0\ (\ell\ge2)\)：MA(1) 的均值回复只需一期。MA(2)：\(\hat r_h(1)=c_0-\theta_1a_h-\theta_2a_{h-1}\)，\(\hat r_h(2)=c_0-\theta_2a_h\)，\(\hat r_h(\ell)=c_0\ (\ell>2)\)。一般 MA(\(q\)) 在 \(q\) 步后预测等于均值，误差方差等于序列方差。

原书表 2.3：EW 指数 MA(9)（精确 MLE，前 986 个观测重估），原点 \(h=986\)（2008 年 2 月），样本均值 0.0128、标准差 0.0736。1–10 步预测 0.0043、0.0136、0.0150、0.0144、0.0120、0.0019、0.0122、0.0056、0.0085、0.0128——第 10 步恰好等于均值；标准误从 0.0712 增至 0.0734，收敛到序列标准差。而实际值中有 −0.1209、−0.2060、−0.1366（次贷危机与雷曼倒闭），点预测偏离很大。

2.7.6 AR 与 MA 对照

2.8 ARMA 模型

2.8.1 ARMA(1,1)

纯 AR 或纯 MA 有时需要很高阶、很多参数。ARMA（Box–Jenkins–Reinsel 1994）把二者结合以实现参数节约（parsimony）。在金融收益上直接用 ARMA 的机会不多，但其概念对波动率建模至关重要：GARCH 可以看作 \(a_t^2\) 的一个（非标准的）ARMA 模型（第 03a 章）。

ARMA(1,1)：

左边是 AR 部分，右边是 MA 部分。要求 \(\phi_1\ne\theta_1\)，否则两边公因子 \((1-\phi_1B)\) 约掉后退化为白噪声。

性质。均值 \(\mu=\phi_0/(1-\phi_1)\)，与 AR(1) 相同。设 \(\phi_0=0\)，(2.25) 乘 \(a_t\) 取期望得

对 \(r_t=\phi_1r_{t-1}+a_t-\theta_1a_{t-1}\) 取方差，注意 \(r_{t-1}\) 与 \(a_{t-1}\) 相关（由 (2.26) 平移得 \(E(r_{t-1}a_{t-1})=\sigma_a^2\)）：

平稳时

要求 \(|\phi_1|<1\)：ARMA(1,1) 的平稳条件与 AR(1) 相同，MA 部分不影响平稳性。

自协方差：乘 \(r_{t-1}\) 取期望得 \(\gamma_1-\phi_1\gamma_0=-\theta_1\sigma_a^2\)；乘 \(r_{t-\ell}\ (\ell>1)\) 得

所以

ACF 像 AR(1)，但指数衰减从滞后 2 开始，不在任何有限滞后截尾；PACF 也不截尾，形状像 MA(1) 但衰减从滞后 2 开始。这正是 ARMA 难以用 ACF/PACF 定阶的原因。

2.8.2 一般 ARMA(\(p,q\))

用后移算子写成

简记 \(\phi(B)r_t=\phi_0+\theta(B)a_t\)。AR 多项式与 MA 多项式不能有公因子（否则可以降阶）。若 AR 多项式的所有特征根模长小于 1，则弱平稳，均值 \(E(r_t)=\phi_0/(1-\phi_1-\cdots-\phi_p)\)。

2.8.3 识别：扩展自相关函数 EACF

ACF 和 PACF 对 ARMA 定阶信息不足。Tsay & Tiao（1984）提出扩展自相关函数（extended autocorrelation function, EACF）。思想是：如果能一致地估计出 AR 部分，就能从序列中"滤掉" AR 部分，得到一个纯 MA 序列，再用其 ACF 识别 MA 阶数。具体做法是对每个候选 AR 阶 \(p\) 迭代回归求 AR 系数，构造滤波后序列，计算其各阶样本自相关。

输出是一个二维表，行为 AR 阶 \(p\)、列为 MA 阶 \(q\)。原书表 2.4 给出 ARMA(1,1) 的理论 EACF（X 表示非零，O 表示零，* 表示可零可非零）：

关键特征是以 (1,1) 为左上顶点的 O 三角形。一般 ARMA(\(p,q\)) 的 O 三角左上顶点位于 \((p,q)\)。

实践中用简化表：\(|\text{EACF}|\ge2/\sqrt T\) 记 X，否则记 O。例：3M 公司月对数收益（1946-02—2008-12，755 个观测），ACF 在 1% 水平无显著序列相关。其简化 EACF（原书表 2.5）的 O 三角左上顶点在 (0,0)；\(q=2,5,9,11\) 处有少数 X，但对应值仅 0.08–0.09，略大于 \(2/\sqrt{755}=0.073\)，用 1% 临界值就都变成 O。结论：3M 月对数收益为 ARMA(0,0)，即白噪声，与 ACF 一致。

信息准则法：对 \(0\le p\le P\)、\(0\le q\le Q\) 逐一计算 AIC/BIC 取最小。需要估计很多模型，也可能过度拟合。定阶后用条件或精确似然估计，残差 Ljung–Box \(Q(m)\sim\chi^2_{m-g}\)，\(g\) 为 AR 与 MA 系数总数。

2.8.4 ARMA 的预测

其中 \(\ell-i\le0\) 时 \(\hat r_h(\ell-i)=r_{h+\ell-i}\)、\(a_h(\ell-i)=a_{h+\ell-i}\)；\(\ell-i>0\) 时 \(a_h(\ell-i)=0\)（未来冲击的条件期望为零）。递推计算即可，误差方差见 (2.34)。

2.8.5 ARMA 的三种表示

(1) ARMA 表示 (2.28)：紧凑，用于参数估计和递推预测。

利用多项式长除法定义

推导拆解：把后移算子 \(B\) 当成一个普通变量 \(x\) 来做代数，是这一节的核心技巧。以 ARMA(1,1) 为例求 \(\psi(B)\)： 第一步：\(\psi(B)=\dfrac{1-\theta_1B}{1-\phi_1B}\)。 第二步：用几何级数展开分母，\(\dfrac1{1-\phi_1B}=1+\phi_1B+\phi_1^2B^2+\cdots\)（要求 \(|\phi_1|<1\)，这就是平稳条件在代数里的体现）。 第三步：乘以 \((1-\theta_1B)\) 并合并同类项：\(B^1\) 的系数是 \(\phi_1-\theta_1\)，\(B^2\) 的系数是 \(\phi_1^2-\theta_1\phi_1=\phi_1(\phi_1-\theta_1)\)，依此类推，即 \(\psi_i=\phi_1^{i-1}(\phi_1-\theta_1)\)。 求 \(\pi(B)\) 完全对称，只是对分母 \(1-\theta_1B\) 展开，需要 \(|\theta_1|<1\)（可逆条件）。所以平稳性 = \(\psi\) 展开收敛，可逆性 = \(\pi\) 展开收敛，两者是一个硬币的两面。

显然 \(\psi(B)\pi(B)=1\)。ARMA(1,1) 的例子：

对常数 \(c\) 有 \(Bc=c\)，所以 \(\phi_0/\theta(1)=\phi_0/(1-\theta_1-\cdots-\theta_q)\)，\(\phi_0/\phi(1)=\phi_0/(1-\phi_1-\cdots-\phi_p)\)。

(2) AR 表示：(2.28) 两边乘 \(\pi(B)\) 的分母形式，得

\(\pi_i\) 称 \(\pi\) 权重，体现当前收益对过去收益的依赖。若 \(\pi_i\to0\)，称模型可逆。纯 AR 总可逆；一般 ARMA 可逆的充分条件是 \(\theta(B)\) 的所有零点模长大于 1。MA(1) 的零点是 \(B=1/\theta_1\)，可逆当且仅当 \(|\theta_1|<1\)。可逆 ARMA 可以理解为"当前冲击 + 过去值的指数衰减加权平均"。

(3) MA 表示：

\(\mu=\phi_0/(1-\phi_1-\cdots-\phi_p)\)。\(\{\psi_i\}\) 称脉冲响应函数（impulse response function）：\(\psi_i\) 就是 \(t\) 时刻一个单位冲击在 \(i\) 期后对 \(r_{t+i}\) 的影响。平稳时 \(\psi_i\) 指数衰减，冲击没有永久影响。

MA 表示最方便的用途是求预测误差：

它是 \(\ell\) 的非减函数。MA 表示还给出均值回复的简洁证明：\(\psi_i\to0\) 推出 \(\hat r_h(\ell)\to\mu\)；又 \(\operatorname{Var}(r_t)=(1+\sum_{i\ge1}\psi_i^2)\sigma_a^2\)，所以 \(\operatorname{Var}[e_h(\ell)]\to\operatorname{Var}(r_t)\)。\(\hat r_h(\ell)\) 趋近 \(\mu\) 的速度就是均值回复的速度。

量化实战

本章内容在量化中的用途

1. 可预测性检验是信号研究的第一步。拿到任何收益序列（个股、指数、因子组合、价差），先看 ACF 和 Ljung–Box。个股月收益通常接近白噪声，而指数、小盘组合、流动性差的资产会显示正的一阶自相关——在把它当作"动量/反转信号"之前，要先排除非同步交易和买卖价反弹这类微观结构伪相关。
2. 买卖价反弹与 MA(1)。即便有效价格是随机游走，成交价在买价与卖价间跳动也会使收益出现负的一阶自相关，形成 MA(1) 结构。Roll（1984）据此给出了用一阶自协方差估计有效价差的公式 \(s=2\sqrt{-\operatorname{Cov}(\Delta p_t,\Delta p_{t-1})}\)，常用于缺少报价数据时估计交易成本。高频策略回测若用成交价而非中间价，会被这种负相关"骗出"虚假的反转收益。
3. 均值回复交易。配对交易、统计套利中的价差常建模为 AR(1)（离散时间的 Ornstein–Uhlenbeck 过程），半衰期 \(\ln0.5/\ln|\phi_1|\) 用于设定持仓周期和时间止损；(2.34) 给出的预测误差标准差用于设定入场/出场阈值。
4. 模型选择与过拟合控制。AIC/BIC、自由度调整后的残差检验，是控制任何预测模型过拟合的基本纪律。
5. 样本外评估。原书表 2.2、2.3"只用原点前数据重估、再向前预测"的做法，就是回测中滚动/扩展窗口估计的雏形。

Python 示例：AR 定阶、诊断与预测；买卖价反弹；半衰期

A 部分用原书 VW 指数 AR(3) 的参数（\(\phi_0=0.0091\)，\(\phi=(0.116,-0.019,-0.104)\)，\(\sigma_a=0.054\)）模拟 996 个月收益，走一遍"ACF → PACF/信息准则 → 估计 → 残差检验 → 预测"的流程。B 部分模拟买卖价反弹。C 部分算半衰期。

import numpy as np
import pandas as pd
from statsmodels.tsa.stattools import acf, pacf
from statsmodels.stats.diagnostic import acorr_ljungbox
from statsmodels.tsa.ar_model import ar_select_order
from statsmodels.tsa.arima.model import ARIMA
from scipy import stats

rng = np.random.default_rng(11)

# ---------- A. 用原书 VW 指数 AR(3) 的参数模拟"月度指数收益" ----------
T, phi0, phi = 996, 0.0091, np.array([0.116, -0.019, -0.104])
burn = 200
a = rng.normal(0, 0.054, T + burn)
r = np.zeros(T + burn)
for t in range(3, T + burn):
    r[t] = phi0 + phi @ r[t-3:t][::-1] + a[t]
r = pd.Series(r[burn:])

print("样本 ACF(1..5):", acf(r, nlags=5)[1:].round(3), " 2/sqrt(T)=%.3f" % (2/np.sqrt(T)))
lb = acorr_ljungbox(r, lags=[5, 10])
print("Ljung-Box:\n", lb.round(4))
print("样本 PACF(1..6):", pacf(r, nlags=6, method="ols")[1:].round(3))

# 定阶：AIC 与 BIC
for ic in ["aic", "bic"]:
    sel = ar_select_order(r, maxlag=12, ic=ic, trend="c")
    print(ic.upper(), "选出的滞后:", sel.ar_lags)

# 估计 AR(3)，注意 statsmodels 的 const 是均值 mu，不是 phi0
m = ARIMA(r, order=(3, 0, 0)).fit()
mu, ar = m.params["const"], m.params[["ar.L1", "ar.L2", "ar.L3"]].values
print("AR 系数:", ar.round(4), " mu=%.4f  phi0=mu*(1-sum phi)=%.4f" % (mu, mu*(1-ar.sum())))
print("特征根模长:", np.abs(1/np.roots(np.r_[-ar[::-1], 1])).round(3))

# 残差 Ljung-Box：自由度应扣除 AR 系数个数 g=3
Q12 = acorr_ljungbox(m.resid, lags=[12])["lb_stat"].iloc[0]
print("残差 Q(12)=%.2f, p(df=12)=%.3f, p(df=9)=%.3f"
      % (Q12, 1-stats.chi2.cdf(Q12, 12), 1-stats.chi2.cdf(Q12, 9)))

# 多步预测：收敛到均值，标准误收敛到序列标准差
fc = m.get_forecast(12)
out = pd.DataFrame({"forecast": fc.predicted_mean.values, "se": fc.se_mean.values},
                   index=range(1, 13))
print(out.iloc[[0, 1, 2, 5, 11]].round(4))
print("样本均值 %.4f, 样本标准差 %.4f" % (r.mean(), r.std()))

# ---------- B. 买卖价反弹 → 收益的负一阶自相关（MA(1) 结构） ----------
n, spread = 20000, 0.002
p_star = np.cumsum(rng.normal(0, 0.0005, n))          # 有效（对数）价格：随机游走
side = rng.choice([-1, 1], n)                           # 成交在买价或卖价
p_obs = p_star + side * spread / 2
ret = np.diff(p_obs)
print("\n成交价收益 ACF(1..3):", acf(ret, nlags=3)[1:].round(3))
ma1 = ARIMA(ret * 100, order=(0, 0, 1), trend="n").fit()   # 以百分比为单位，数值更稳定
th = ma1.params[0]                                     # statsmodels 用 +theta 约定
print("MA(1) 系数(加号约定)=%.3f, 隐含 rho1=%.3f" % (th, th/(1+th**2)))
print("Roll 价差估计 2*sqrt(-cov1)=%.4f (真值 %.4f)"
      % (2*np.sqrt(-np.cov(ret[1:], ret[:-1])[0, 1]), spread))

# ---------- C. AR(1) 价差的半衰期 ----------
for phi1 in [0.5, 0.9, 0.97]:
    print("phi1=%.2f 半衰期 = %.2f 期" % (phi1, np.log(0.5)/np.log(abs(phi1))))

关键输出：

样本 ACF(1..5): [ 0.124 -0.032 -0.089 -0.073 -0.015]  2/sqrt(T)=0.063
Ljung-Box:
     lb_stat  lb_pvalue
5   29.8418     0.0000
10  35.0519     0.0001
样本 PACF(1..6): [ 0.124 -0.048 -0.08  -0.054 -0.005  0.028]
AIC 选出的滞后: [1, 2, 3, 4]
BIC 选出的滞后: [1]
AR 系数: [ 0.1263 -0.0375 -0.0801]  mu=0.0099  phi0=mu*(1-sum phi)=0.0098
特征根模长: [0.367 0.467 0.467]
残差 Q(12)=9.15, p(df=12)=0.690, p(df=9)=0.423
    forecast      se
1     0.0154  0.0550
2     0.0166  0.0554
3     0.0081  0.0555
6     0.0100  0.0557
12    0.0099  0.0557
样本均值 0.0099, 样本标准差 0.0557

成交价收益 ACF(1..3): [-0.441 -0.     0.004]
MA(1) 系数(加号约定)=-0.603, 隐含 rho1=-0.442
Roll 价差估计 2*sqrt(-cov1)=0.0020 (真值 0.0020)
phi1=0.50 半衰期 = 1.00 期
phi1=0.90 半衰期 = 6.58 期
phi1=0.97 半衰期 = 22.76 期

解读：

• 模拟序列的 Ljung–Box 强烈拒绝无相关，与原书 VW 结果一致（\(Q(5)\approx30\)）。AIC 选 4 阶、BIC 选 1 阶，再现了原书"AIC 偏高阶、BIC 偏低阶"的现象；而真实模型是 AR(3)——信息准则只是参考，不是答案。
• 特征根模长都小于 1，平稳；其中一对共轭复根，对应很弱的周期成分。
• 自由度从 12 调到 9 后 p 值从 0.69 降到 0.42，结论不变，但在边缘情形下调整与否会改变判断（原书 VW 例中 0.176 对 0.060）。
• 12 步预测收敛到样本均值 0.0099，标准误收敛到样本标准差 0.0557，正是 (2.34) 描述的均值回复。
• 买卖价反弹：设成交价 = 有效价格 + 半个价差 × 随机方向，则理论上 \(\operatorname{Cov}(\Delta p_t,\Delta p_{t-1})=-s^2/4\)、\(\operatorname{Var}(\Delta p_t)=\sigma^2+s^2/2\)，代入 \(s=0.002\)、\(\sigma=0.0005\) 得 \(\rho_1=-0.444\)，样本为 −0.441；MA(1) 系数在加号约定下为 −0.603，即本书约定的 \(\theta_1=0.603\)；Roll 公式准确还原了 0.2% 的价差。

本章小结

弱平稳要求均值和自协方差不随时间变化，ACF \(\rho_\ell=\gamma_\ell/\gamma_0\) 是线性时间序列的核心工具，可用 \(\pm2/\sqrt T\) 界、Bartlett 公式和 Ljung–Box \(Q(m)\) 检验。线性序列是白噪声冲击的加权和，\(\psi\) 权重决定 ACF。AR(\(p\)) 的平稳性由特征根决定，ACF 拖尾、PACF 在 \(p\) 截尾，复根产生随机周期；MA(\(q\)) 恒平稳，ACF 在 \(q\) 截尾，需可逆；ARMA 的 ACF、PACF 都拖尾，用 EACF 的 O 三角顶点或信息准则定阶。诊断看残差 Ljung–Box，自由度扣除系数个数。平稳 ARMA 的多步预测均值回复到无条件均值，预测误差方差 \((1+\psi_1^2+\cdots+\psi_{\ell-1}^2)\sigma_a^2\) 单调增至序列方差，AR(1) 半衰期为 \(\ln0.5/\ln|\phi_1|\)。

练习

基础

1. （原书习题 2.1）月度债券指数简单收益服从 \(R_t=a_t+0.2a_{t-1}\)，\(\sigma_a=0.025\)，\(a_{100}=0.01\)。求原点 100 的 1 步、2 步预测及其误差标准差，以及滞后 1、2 的 ACF。 答案要点：本书约定下 \(\theta_1=-0.2\)。\(\hat R_{100}(1)=0.2\times0.01=0.002\)，标准差 0.025；\(\hat R_{100}(2)=0\)，标准差 \(0.025\sqrt{1.04}\approx0.0255\)；\(\rho_1=0.2/1.04\approx0.192\)，\(\rho_2=0\)。
2. （原书习题 2.2）\(r_t=0.01+0.2r_{t-2}+a_t\)，\(\operatorname{Var}(a_t)=0.02\)。求均值、方差、\(\rho_1,\rho_2\)；给定 \(r_{100}=-0.01\)、\(r_{99}=0.02\)，求 1、2 步预测及误差标准差。 答案要点：\(\mu=0.01/0.8=0.0125\)；\(\operatorname{Var}=0.02/(1-0.04)\approx0.0208\)；\(\rho_1=0\)，\(\rho_2=0.2\)；\(\hat r(1)=0.01+0.2\times0.02=0.014\)，\(\hat r(2)=0.01+0.2\times(-0.01)=0.008\)；由于 \(\psi_1=0\)，两步误差标准差都是 \(\sqrt{0.02}\approx0.141\)。
3. 判断 AR(2) \(r_t=0.6r_{t-1}-0.4r_{t-2}+a_t\) 是否平稳，是否有随机周期；若有，求平均周期长度。 答案要点：\(\phi_1^2+4\phi_2=-1.24<0\) 复根，模 \(\sqrt{0.4}<1\) 平稳；\(k=2\pi/\cos^{-1}(0.6/(2\sqrt{0.4}))=2\pi/\cos^{-1}(0.474)\approx2\pi/1.077\approx5.83\) 期。
4. 给出 MA(1) \(\rho_1\) 的取值范围并证明；若某收益序列 \(\hat\rho_1=-0.6\) 且其余不显著，MA(1) 能否刻画？ 答案要点：\(|\rho_1|\le0.5\)；\(-0.6\) 超出范围，需更高阶或考虑过度差分等原因。

进阶

5. 推导 ARMA(1,1) 的 \(\psi\) 权重，并据此验证 \(\operatorname{Var}(r_t)=(1-2\phi_1\theta_1+\theta_1^2)\sigma_a^2/(1-\phi_1^2)\)。 提示：\(\psi_i=\phi_1^{i-1}(\phi_1-\theta_1)\)，\(\sum_{i\ge1}\psi_i^2=(\phi_1-\theta_1)^2/(1-\phi_1^2)\)。
6. 对 AR(1)，写出 \(\ell\) 步预测误差方差的闭式，并说明其极限。 答案要点：\(\psi_i=\phi_1^i\)，\(\operatorname{Var}[e_h(\ell)]=\sigma_a^2(1-\phi_1^{2\ell})/(1-\phi_1^2)\to\sigma_a^2/(1-\phi_1^2)\)。
7. 修改本章代码：模拟 ARMA(1,1)（\(\phi_1=0.8\)、本书约定 \(\theta_1=0.5\)），画 ACF 与 PACF，验证"二者都不截尾"；再用 statsmodels 按 BIC 在 \(p,q\le3\) 网格中选模，看能否选回 (1,1)。
8. 在买卖价反弹模拟中加入有效价格的正一阶自相关（例如有效收益为 AR(1)，\(\phi=0.2\)），观察成交价收益 ACF 的变化，并讨论 Roll 价差估计会怎样偏差。
9. 证明：对平稳 AR(\(p\))，以 \(p\) 个初值为条件的高斯条件 MLE 与条件最小二乘给出相同的 \(\phi\) 估计。 提示：把第 01 章 (1.18) 中 \(\mu_t\) 设为 AR 线性组合、\(\sigma_t^2\) 设为常数，对 \(\phi\) 求导。

原书推荐习题：2.1、2.2（手算 MA/AR 预测和 ACF）；2.3（失业率 AR 建模与商业周期判断，复根应用）；2.4（CRSP 分位组合的联合 ACF 检验、ARMA 建模与预测）；2.13（同一序列 AR 与 MA 建模的比较）。

原书对照