第 01 章 金融收益率及其统计特征

对应 Tsay《Analysis of Financial Time Series》（第 3 版）第 1 章。这一章是整册的地基：它规定了我们研究的对象（收益率而不是价格）、描述这些对象的语言（分布、矩、条件分布、似然），以及贯穿全书的几条实证事实（尖峰厚尾、波动聚集、个股与指数的差异）。

学习目标

读完本章，你应当能够：

1. 准确区分简单收益率、对数收益率、超额收益率、含分红收益率，知道它们各自在"跨时间累加"和"跨资产加权"时的规则。
2. 正确计算年化收益：理解几何平均与算术平均的差别，以及两者之间约 \(\sigma^2/2\) 的"波动拖累"。
3. 计算样本偏度、超额峰度，并用 \(6/T\)、\(24/T\) 的渐近方差和 Jarque–Bera 统计量检验正态性。
4. 说出收益率候选分布（正态、对数正态、稳定分布、正态尺度混合）各自的优缺点，会用对数正态矩公式在对数收益和简单收益之间换算。
5. 理解"联合分布 = 一串条件分布之积"的分解，以及它如何给出时间序列模型的似然函数——这是后面 ARMA、GARCH 估计的统一出发点。

读前导读

这一章在解决什么问题

这一章做两件事：统一"收益率"这门语言，然后说明真实收益率长什么样。

第一件事你在 CFA 一级的 Quantitative Methods 和 GIPS 部分都见过：持有期收益、几何平均与算术平均、连续复利。本章把它们重新放在一起，强调两条规则：跨时间累加用对数收益，跨资产加权用简单收益。CFA 里你记住了"几何平均 ≤ 算术平均"，本章告诉你差多少：约 \(\sigma^2/2\)，这个数来自 \(\ln(1+x)\) 的二阶泰勒展开。

第二件事是统计描述。CFA 讲过偏度、峰度和"金融收益厚尾"，但多半停在定性层面。本章给出可以直接计算的检验（偏度 t 检验、峰度 t 检验、Jarque–Bera），并引出一个贯穿全册的想法：如果方差本身随时间随机变化，那么即使每一天的收益都是正态的，混在一起看也会厚尾。这正是第 03a 章 GARCH 的出发点。

最后，1.5 节把"联合密度 = 条件密度连乘"写成似然函数。你在 CFA 二级见过 OLS 回归，但没见过时间序列的极大似然。本章的 (1.18) 是一个模板，后面 ARMA、GARCH 的估计都只是往里面填不同的 \(\mu_t\) 和 \(\sigma_t^2\)。

需要先想起来的数学

1. 泰勒展开（一阶、二阶）。 函数在某点附近可以用多项式近似：\(f(x)\approx f(0)+f'(0)x+\tfrac12 f''(0)x^2\)。对 \(\ln(1+x)\)，\(f'(0)=1\)，\(f''(0)=-1\)，所以 \(\ln(1+x)\approx x-x^2/2\)。数值例子：\(x=0.05\) 时 \(\ln1.05=0.04879\)，一阶近似 0.05，二阶近似 \(0.05-0.00125=0.04875\)，二阶几乎精确。久期是价格对收益率的一阶展开，凸性是二阶项，道理相同。见 第 00 册第 02 章 导数与泰勒展开。

2. 极限与 \(e\)。 \((1+r/m)^m\) 在 \(m\to\infty\) 时趋于 \(e^r\)，这就是连续复利。\(e^x\) 和 \(\ln x\) 互为反函数，\(\ln(ab)=\ln a+\ln b\)，所以"乘积取对数变成求和"。见 第 00 册第 04 章 级数与收敛 和 第 00 册第 01 章 函数极限与连续。

3. 积分形式的期望与密度。 连续随机变量的期望 \(E[g(X)]=\int g(x)f(x)\,dx\)，联合分布函数是联合密度的二重积分，"把 \(Y\) 积分掉"就得到 \(X\) 的边际分布。你只需把积分理解成"连续版的加权求和"。见 第 00 册第 03 章 积分。

4. 矩母函数与 Jensen 不等式。 正态变量 \(X\sim N(\mu,\sigma^2)\) 满足 \(E(e^X)=e^{\mu+\sigma^2/2}\)，这是对数正态矩公式 (1.17) 的来源。Jensen 不等式说：对凸函数 \(g\)，\(E[g(X)]\ge g(E[X])\)，例如 \(E(X^2)\ge(EX)^2\)（就是方差非负）。见 第 00 册第 07 章 概率中的分析工具。

5. 依分布收敛记号 \(\xrightarrow{d}\)。 表示"样本量 \(T\) 很大时，这个统计量的分布接近右边那个分布"。读作"渐近服从"，用法和 CFA 里"大样本下用 z 检验"一样。

怎么读这一章

1.2 节（收益率定义）和 1.3.3 节（正态性检验）是核心必读，尤其 1.2.2 的波动拖累和 1.2.5 的组合收益规则，回测中天天用到。1.4.3 的四种候选分布要读懂"正态尺度混合为什么厚尾"那一段，它是第 03a 章的伏笔。1.5.2 的似然函数必须读懂，后面每章都会回到它。1.3.1 的联合/边际/条件分布如果概率课学得扎实可以快速扫过；1.4.2 离散性、1.7 其他过程第一次可以只看结论。建议顺序：1.2 → 1.3.2–1.3.3 → 1.4.3 → 1.5.2 → 1.6，最后跑一遍量化实战的代码。

1.1 研究对象：为什么是收益率

金融时间序列分析研究的是资产价值随时间的演化（asset valuation over time）。它和一般时间序列分析的关键区别在于：金融理论本身和实证序列都带着不确定性。例如波动率（volatility）有多种定义，而且不能直接观测，必须通过统计模型去估计。因此统计理论和方法在这里格外重要。

那为什么我们几乎总是研究收益率而不是价格？Campbell, Lo & MacKinlay（1997）给了两条理由：

• 对普通投资者来说，收益率是投资机会的完整且无量纲（scale-free）的概括。100 元的股票涨 1 元和 10 元的股票涨 1 元，含义完全不同，收益率把它们放到同一尺度上。
• 收益率序列的统计性质比价格序列"好处理"得多。价格通常没有固定水平（第 02b 章会说明它是单位根非平稳的），而收益率往往接近平稳，可以用平稳时间序列的工具分析。

下面先把各种收益率的定义和关系弄清楚。这部分看似简单，却是回测和绩效计算中最常见的出错来源。

1.2 收益率的定义

设 \(P_t\) 为资产在 \(t\) 时刻的价格，暂不考虑分红。

1.2.1 单期与多期简单收益率

从 \(t-1\) 到 \(t\) 持有一期，简单总收益率（simple gross return）为

简单净收益率（simple net return，常简称简单收益率）为

从 \(t-k\) 持有到 \(t\)，共 \(k\) 期，多期简单总收益率是各期总收益率之积，称复合收益率（compound return）：

对应的净收益率为 \(R_t[k]=(P_t-P_{t-k})/P_{t-k}\)。

1.2.2 年化收益率：几何平均而不是算术平均

不注明时间间隔时，收益率默认按年计。持有 \(k\) 年的年化收益率（annualized return）是各年总收益率的几何平均：

右边的写法说明：几何平均等价于"先取对数、做算术平均、再取指数"。当单期收益很小时，利用 \(\ln(1+x)\approx x\)、\(e^x\approx 1+x\) 的一阶 Taylor 展开，

Tsay 特别提醒：这个近似在某些应用中精度不够。原因是把展开做到二阶，\(\ln(1+R)\approx R-R^2/2\)，于是

其中 \(\sigma^2\) 是单期收益的方差。收益波动越大，算术平均对真实复利增长的高估越严重。一个极端的例子：第一年 \(+50\%\)、第二年 \(-50\%\)，算术平均为 0，但财富变成 \(1.5\times0.5=0.75\)，几何平均约为 \(-13.4\%\)。这就是常说的波动拖累（volatility drag）。

推导拆解：\(\sigma^2/2\) 是怎么来的？ 第一步：几何平均 \(g\) 满足 \(\ln(1+g)=\frac1k\sum\ln(1+R_j)\)（上面那个式子两边取对数）。 第二步：对右边每一项用二阶泰勒展开 \(\ln(1+R)\approx R-R^2/2\)，得到 \(\frac1k\sum R_j-\frac1{2k}\sum R_j^2=\bar R-\tfrac12\overline{R^2}\)。 第三步：样本二阶矩 \(\overline{R^2}=\sigma^2+\bar R^2\)（方差 = 二阶矩 − 均值平方），而日、月收益的 \(\bar R^2\) 远小于 \(\sigma^2\)，可略去，于是右边 \(\approx\bar R-\sigma^2/2\)。 第四步：左边 \(\ln(1+g)\approx g\)（一阶展开），所以 \(g\approx\bar R-\sigma^2/2\)。 数值检验：年波动 20% 时 \(\sigma^2/2=0.02\)，即算术平均比 CAGR 高约 2 个百分点。用 \(\pm50\%\) 的例子，\(\sigma^2/2=0.125\)，近似得 \(-12.5\%\)，与精确值 \(-13.4\%\) 接近；波动这么大时三阶以上的项不可忽略，所以略有误差。

1.2.3 连续复利

年利率 10%、本金 1 美元，一年付息 \(m\) 次时，年末净值为 \((1+0.1/m)^m\)。原书表 1.1 给出：

\(m\to\infty\) 时 \((1+r/m)^m\to e^r\)，得到连续复利（continuous compounding）。一般地，初始资本 \(C\)、年利率 \(r\)、持有 \(n\) 年，终值与现值为

(1.5) 就是连续复利下的现值（present value），期权定价（第 08 册）中的贴现因子 \(e^{-r\ell}\) 即来源于此。

1.2.4 对数收益率

资产的连续复利收益率又称对数收益率（log return）：

它有两个优点：

1. 时间上可加。多期对数收益是单期之和：
   \[r_t[k]=\ln(1+R_t[k])=\sum_{j=0}^{k-1}\ln(1+R_{t-j})=r_t+r_{t-1}+\cdots+r_{t-k+1}.\]
2. 统计性质更易处理。和的分布比积的分布好研究；如果单期对数收益是正态的，多期对数收益仍然是正态的。

两者的换算：\(r_t=\ln(1+R_t)\)，\(R_t=e^{r_t}-1\)。若以百分比表示，则 \(r_t=100\ln(1+R_t/100)\)，\(R_t=100(e^{r_t/100}-1)\)。

例 1.1（原书）月对数收益率 4.46%，对应的简单收益率为 \(100[\exp(0.0446)-1]=4.56\%\)。若一季度内三个月的对数收益率分别为 4.46%、−7.34%、10.77%，则季度对数收益率为 \(4.46-7.34+10.77=7.89\%\)——直接相加即可，这就是对数收益的方便之处。

1.2.5 组合收益率：只有简单收益可以加权

设组合把价值比例 \(w_i\) 投入资产 \(i\)（\(\sum w_i=1\)），则组合的简单收益是成分资产简单收益的加权平均：

推导很直接：组合期末价值 \(=\sum_i w_iV(1+R_{it})=V(1+\sum_iw_iR_{it})\)。但对数收益没有这个性质，因为 \(\ln(\sum w_ie^{r_{it}})\neq\sum w_ir_{it}\)；只有当收益都很小时才近似成立 \(r_{p,t}\approx\sum w_ir_{it}\)。

金融直觉：可以把它想成会计里的"金额可加、比率不可加"。各资产期末市值是金额，金额能直接加总，所以简单收益（金额变动 / 期初金额）按期初市值权重加权就是组合收益。对数收益是 \(\ln\) 之后的量，\(\ln\) 不是线性函数，"先取对数再加权"和"先加权再取对数"不相等。而且由 Jensen 不等式（\(\ln\) 是凹函数），\(\sum w_i r_{it}\le r_{p,t}\)，对数收益加权总是低估组合的真实对数收益，波动越大低估越多。练习 2 的 ±20% 例子里差了约 2 个百分点。

把两条规则放在一起记：

时间上累加用对数收益（或简单总收益连乘）；横截面上加权用简单收益。

量化回测中最常见的错误之一，就是把各资产的对数收益按权重相加当作组合收益。在大波动时期，这个误差会很明显。

1.2.6 分红、超额收益与多空头寸

含分红收益。若 \(D_t\) 为 \(t-1\) 到 \(t\) 之间支付的分红，\(P_t\) 为不含分红的价格，则

原书实证数据（芝加哥大学 CRSP 数据库）中的收益都含分红。

超额收益（excess return）是资产收益与某个参考资产收益之差，参考资产常取短期国库券（T-bill）：

金融文献把超额收益看作一个"做多该资产、做空参考资产、初始投入为零"的套利组合的收益。

多头与空头。多头（long）指持有资产；空头（short）指借入资产卖出，日后买回同样数量归还，因此价格下跌对空头有利。注意一个回测细节：持有空头期间若标的发放现金分红，空头必须自掏腰包向出借方支付等额分红。

1.3 分布与矩：一个快速回顾

研究收益率就是研究一组随机变量 \(\{r_{it};\ i=1,\dots,N;\ t=1,\dots,T\}\) 的分布。下面回顾本书要用到的概率工具（系统的概率论见第 02 册，统计推断见第 03 册）。

1.3.1 联合、边际与条件分布

联合分布（joint distribution）：\(F_{X,Y}(x,y;\theta)=P(X\le x,Y\le y;\theta)\)，\(\theta\) 为参数。若联合密度存在，\(F_{X,Y}(x,y)=\int_{-\infty}^x\int_{-\infty}^y f(w,z)\,dz\,dw\)。

边际分布（marginal distribution）：\(F_X(x;\theta)=F_{X,Y}(x,\infty;\theta)\)，即把 \(Y\) 积分掉。标量情形就是累积分布函数（CDF），单调不减，\(F(-\infty)=0\)，\(F(\infty)=1\)。

分位数（quantile）：\(x_p=\inf_x\{x\mid p\le F_X(x)\}\)（\(\inf\) 读作"下确界"，可以先理解为"满足条件的最小的 \(x\)"）称为第 \(100p\) 百分位数。在险价值 VaR 本质上就是损失分布的分位数（第 07a 章）。

条件分布（conditional distribution）：条件密度

等价地写成乘法形式

(1.9) 看似平凡，却是时间序列极大似然估计的核心：把一段序列的联合密度拆成"一步一步的条件密度"之积（见 1.5 节）。\(X\) 与 \(Y\) 独立当且仅当 \(f_{x|y}=f_x\)。

1.3.2 矩、偏度与峰度

第 \(\ell\) 阶原点矩 \(m'_\ell=E(X^\ell)\)，中心矩 \(m_\ell=E[(X-\mu_x)^\ell]\)。一阶矩是均值 \(\mu_x\)，二阶中心矩是方差 \(\sigma_x^2\)。正态分布由前两阶矩唯一确定；对其他分布，三阶、四阶矩提供额外信息：

• 偏度（skewness）\(S\) 衡量不对称性。正态分布 \(S=0\)。
• 峰度（kurtosis）\(K\) 衡量尾部厚度。正态分布 \(K=3\)，所以把 \(K-3\) 称为超额峰度（excess kurtosis）。超额峰度为正称厚尾或尖峰（heavy tails, leptokurtic），样本中更容易出现极端值；为负称短尾（platykurtic），例如有限区间上的均匀分布。

软件陷阱：不同软件的 kurtosis 含义不同。R 的 fBasics::kurtosis 和 Python 的 scipy.stats.kurtosis（默认 fisher=True）输出超额峰度；原书提到的 S-Plus 输出的是普通峰度（未减 3）。读输出前先查文档。

样本估计。设样本 \(\{x_1,\dots,x_T\}\)：

1.3.3 正态性检验

在正态假设下，\(\hat S\) 与 \(\hat K-3\) 渐近服从均值为 0、方差分别为 \(6/T\) 与 \(24/T\) 的正态分布。于是：

• 偏度检验：\(H_0:S(r)=0\)，统计量 \(t=\hat S(r)/\sqrt{6/T}\)，\(|t|>Z_{\alpha/2}\) 时拒绝（\(Z_{\alpha/2}\) 是标准正态的上 \(\alpha/2\) 分位数）。
• 峰度检验：\(H_0:K(r)-3=0\)，统计量 \(t=[\hat K(r)-3]/\sqrt{24/T}\)。
• Jarque–Bera 检验（1987）把两者合在一起：
  \[JB=\frac{\hat S^2(r)}{6/T}+\frac{[\hat K(r)-3]^2}{24/T}\ \xrightarrow{d}\ \chi^2_2 .\]
  它就是两个渐近独立的标准正态统计量的平方和，所以自由度为 2。p 值小于显著性水平时拒绝正态。

白话解释：这三个检验和 CFA 里的均值 t 检验是同一个套路：（估计值 − 原假设下的值）/ 标准误。区别只在标准误。正态分布下样本偏度的标准误是 \(\sqrt{6/T}\)，超额峰度的标准误是 \(\sqrt{24/T}\)，这两个数是理论推出来的常数，记住即可。例如 \(T=2500\) 个交易日（约 10 年），偏度标准误约 0.049，超额峰度标准误约 0.098。所以样本超额峰度只要超过 0.2 左右就显著，而日收益动辄 5–10，几乎必然拒绝正态。 JB 把两个 z 统计量各自平方再相加。一个标准正态的平方服从 \(\chi^2_1\)，两个独立的相加服从 \(\chi^2_2\)；\(\chi^2_2\) 的 5% 临界值是 5.99。注意：样本很大时 JB 对微小偏离也会拒绝，所以"拒绝正态"本身信息不多，要看偏离的方向和大小（峰度大多少、偏向哪边）。

例 1.2（原书，IBM 日简单收益）数据为 1970-01-02 起到 2008 年底的 IBM 日简单收益，\(T=9845\)。以百分比计，样本均值 0.0402、标准差 1.693、偏度 0.0614、超额峰度 9.916。

• 偏度检验：\(t=0.0614/\sqrt{6/9845}=0.0614/0.0247=2.49\)，双侧 p 值约 0.013，5% 水平下显著右偏。
• 对数收益 \(100\ln(1+R_t/100)\) 的均值 t 检验：\(t=1.5126\)，p=0.1304，不能拒绝"期望收益为零"。
• 对数收益的 JB 统计量为 60921.9，p 值小于 \(2.2\times10^{-16}\)，强烈拒绝正态。

注意这个例子的"规模感"：日收益超额峰度接近 10，而正态分布为 0。几乎所有日频金融收益都会得到类似结论。

1.4 收益率的分布

1.4.1 最一般的框架

最一般的模型是所有资产、所有时期对数收益的联合分布：

\(\mathbf Y\) 为描述经济环境的状态向量，\(\theta\) 为参数。这个分布太一般，没有直接的实用价值，但它给了一个"定位"各类模型的坐标系：

• 资本资产定价模型 CAPM（Sharpe 1964）关心的是同一时刻 \(N\) 个资产的横截面联合分布；
• 时间序列模型关心的是单个资产随时间的动态结构。本册第 02a–07b 章的单变量分析就属于后者。

对单个资产 \(i\)，把它的 \(T\) 期收益的联合分布按时间顺序反复使用 (1.9)，得到分解

密度形式为

推导拆解：(1.16) 只是把 (1.9) 用了 \(T-1\) 次。以 \(T=3\) 为例： 第一步，把 \((r_1,r_2)\) 看成 \(Y\)、\(r_3\) 看成 \(X\)，用 (1.9)：\(f(r_1,r_2,r_3)=f(r_3\mid r_2,r_1)\,f(r_1,r_2)\)。 第二步，对 \(f(r_1,r_2)\) 再用一次 (1.9)：\(f(r_1,r_2)=f(r_2\mid r_1)\,f(r_1)\)。 合起来：\(f(r_1,r_2,r_3)=f(r_1)\,f(r_2\mid r_1)\,f(r_3\mid r_2,r_1)\)。\(T\) 期时依此类推，每一步都把"最新的一期"剥离出来，条件放在它之前的全部历史上。 这个分解不需要任何假设，对任何分布都成立。它的价值在于：时间序列模型通常只告诉你"给定过去，今天怎么分布"，而这正好就是每个因子 \(f(r_t\mid\text{过去})\)。

于是建模的核心问题变成：条件分布 \(F(r_{it}\mid r_{i,t-1},\dots)\) 怎么设定、怎么随时间演化。 第 02a 章的 ARMA 设定条件均值，第 03a 章的 GARCH 设定条件方差，第 04a 章的非线性模型设定更一般的条件结构。

随机游走假说（random-walk hypothesis）的一种版本说：条件分布等于边际分布。那么收益在时间上独立、不可预测，(1.15) 退化为边际分布之积。

1.4.2 离散性：高频价格不是连续的

在高频层面，价格只能按最小报价单位（tick size）变动。纽约证券交易所（NYSE）1997 年 7 月以前的 tick 是 1/8 美元，1997 年 7 月到 2001 年 1 月是 1/16 美元；2000 年 8 月起分批试点十进制报价，2001-01-29 起 NYSE 与 AMEX 全部改为十进制。离散性对高频收益分布影响很大，第 05 章（及本套教材第 07 册）再讨论。

1.4.3 候选的边际分布

条件分布比边际分布更重要，但边际分布更容易估计；而且很多资产收益的序列相关很弱，边际分布与条件分布相差不大。文献中提出过以下几种边际分布。

(1) 正态分布。 传统假设简单收益 \(R_{it}\) 独立同分布（iid）正态。它有三个困难：

• 简单收益的下界是 −1（最多亏光），而正态分布没有下界；
• 若单期 \(R_{it}\) 正态，多期 \(R_{it}[k]\) 是总收益的乘积，不再是正态；
• 实证收益普遍有正的超额峰度。

(2) 对数正态分布（lognormal）。假设对数收益 \(r_t\) iid \(N(\mu,\sigma^2)\)，于是 \(1+R_t=e^{r_t}\) 服从对数正态，自动满足 \(R_t>-1\)，且多期对数收益仍正态。利用正态变量的矩母函数 \(E(e^{X})=e^{\mu+\sigma^2/2}\)，可得

反过来，若已知简单收益的均值 \(m_1\) 和方差 \(m_2\)，则对数收益的均值与方差为

推导拆解：(1.17) 的两步。 均值：\(1+R_t=e^{r_t}\)，\(r_t\sim N(\mu,\sigma^2)\)，直接用矩母函数 \(E(e^{r_t})=e^{\mu+\sigma^2/2}\)，减 1 即得。 方差：\(\operatorname{Var}(R_t)=\operatorname{Var}(e^{r_t})=E(e^{2r_t})-[E(e^{r_t})]^2\)。\(2r_t\sim N(2\mu,4\sigma^2)\)，再用一次矩母函数得 \(E(e^{2r_t})=e^{2\mu+2\sigma^2}\)。所以方差 \(=e^{2\mu+2\sigma^2}-e^{2\mu+\sigma^2}=e^{2\mu+\sigma^2}(e^{\sigma^2}-1)\)。 为什么多出 \(\sigma^2/2\)：\(e^x\) 是凸函数，由 Jensen 不等式 \(E(e^{r})>e^{E(r)}\)。直观上，上涨时 \(e^r\) 放大得多、下跌时缩小得少，波动越大，均值被往上拉得越多。这和期权的凸性收益是同一回事。

(1.17) 有一个很实用的含义：用对数收益模型预测简单收益或价格时，\(E(R_t)\neq e^{\mu}-1\)，要加上 \(\sigma^2/2\) 的修正，否则预测会系统性偏低。第 02b 章季节模型的例 2.3 把对数 EPS 的预测反变换回 EPS 时，用的就是这个关系。

对数正态的缺点是：它仍然无法解释正的超额峰度。

(3) 稳定分布（stable distribution）。稳定分布族对加法封闭，正好适合对数收益的时间聚合，也能刻画厚尾。但非正态的稳定分布方差无穷，这与绝大多数以方差为核心的金融理论冲突，统计建模也困难。代表是 Cauchy 分布，密度 \(f(x)=\dfrac{1}{\pi(1+x^2)}\)，关于中位数对称、均值和方差都不存在。

(4) 正态尺度混合（scale mixture of normals）。设 \(r_t\sim N(\mu,\sigma^2)\)，但 \(\sigma^2\) 本身是随机的（例如 \(\sigma^{-2}\) 服从 Gamma 分布）。最简单的是有限混合：

\(\sigma_1^2\) 小、\(\sigma_2^2\) 大。取 \(\alpha=0.05\)，意思是 95% 的收益来自"平静"状态，5% 来自"剧烈"状态。剧烈状态偶尔出现，就把尾部拉厚了。优点：保持了正态的易处理性，所有阶矩有限，又能刻画超额峰度；缺点：混合参数（如 \(\alpha\)）很难估计。

可以算出混合分布（设 \(\mu=0\)）的峰度：\(E(r^4)=3[(1-\alpha)\sigma_1^4+\alpha\sigma_2^4]\)，\(E(r^2)=(1-\alpha)\sigma_1^2+\alpha\sigma_2^2\)，由 Jensen 不等式 \(E(r^4)/[E(r^2)]^2>3\)（只要 \(\sigma_1\neq\sigma_2\)）。这也预告了第 03a 章的核心思想：方差随时间随机变化，会让无条件分布呈现厚尾。

推导拆解：把"随机的方差"记作 \(V\)，它以概率 \(1-\alpha\) 取 \(\sigma_1^2\)、以概率 \(\alpha\) 取 \(\sigma_2^2\)。 第一步（条件期望）：给定 \(V\)，\(r\sim N(0,V)\)，正态的四阶矩是 \(3V^2\)、二阶矩是 \(V\)。 第二步（对 \(V\) 再取期望，即全期望公式）：\(E(r^4)=3E(V^2)\)，\(E(r^2)=E(V)\)。 第三步：峰度 \(=3E(V^2)/[E(V)]^2\)。因为 \(E(V^2)-[E(V)]^2=\operatorname{Var}(V)>0\)，所以比值大于 1，峰度大于 3。 结论很干净：超额峰度 \(=3\operatorname{Var}(V)/[E(V)]^2\)，方差本身波动越大（相对于其均值），尾巴越厚。这条式子在第 03a 章算 GARCH 峰度时会再出现。

原书图 1.1 比较了标准正态、Cauchy 与混合 \(0.95N(0,1)+0.05N(0,16)\) 的密度：Cauchy 尾最厚，混合正态次之，标准正态最薄。

1.5 多元收益与似然函数

1.5.1 多元收益

记 \(\mathbf r_t=(r_{1t},\dots,r_{Nt})'\)。第 08a、08b、10 章研究 \(\{\mathbf r_t\}\) 的联合分布，同样按 (1.15) 分解，重点是条件均值向量与条件协方差矩阵如何随时间演化。均值向量 \(\boldsymbol\mu_x=E(\mathbf X)\)，协方差矩阵 \(\boldsymbol\Sigma_x=E[(\mathbf X-\boldsymbol\mu_x)(\mathbf X-\boldsymbol\mu_x)']\)，样本估计

协方差存在时它们是一致估计。金融文献常假设 \(\mathbf r_t\) 服从多元正态。

1.5.2 收益率的似然函数

若 (1.16) 中的条件分布 \(f(r_t\mid r_{t-1},\dots,r_1;\theta)\) 是均值 \(\mu_t\)、方差 \(\sigma_t^2\) 的正态分布（\(\mu_t\)、\(\sigma_t^2\) 都是过去信息和参数 \(\theta\) 的函数），则

对数似然为

使之最大的 \(\theta\) 就是极大似然估计（maximum-likelihood estimate, MLE）。请把这个式子记牢：

• 若 \(\mu_t\) 由 ARMA 给出、\(\sigma_t^2\) 为常数，就是第 02a 章 ARMA 的（条件）似然；
• 若 \(\sigma_t^2\) 由 GARCH 递推给出，就是第 03a 章 GARCH 的条件似然；
• 把正态密度换成 Student-t、GED 等，就得到非正态条件分布下的似然。

全书大部分模型的估计，都只是在这一个模板里替换 \(\mu_t\)、\(\sigma_t^2\) 和密度函数。常把第一项 \(\ln f(r_1;\theta)\) 略去，得到条件似然；样本大时影响很小。

白话解释：似然函数回答的问题是"如果参数是 \(\theta\)，观察到手上这串数据的可能性有多大"，MLE 就是挑一个让这串数据"最不意外"的 \(\theta\)。取对数是为了把连乘变成求和，求和更容易求导和数值优化。 看对数似然方括号里的三项：\(\ln(2\pi)\) 是常数，不影响最优解；\((r_t-\mu_t)^2/\sigma_t^2\) 是"标准化后的预测误差平方"，惩罚预测得不准；\(\ln\sigma_t^2\) 惩罚把方差设得太大。没有第二项，模型会把 \(\sigma_t^2\) 设成无穷大来让误差项归零；没有第三项，模型不关心预测精度。两项权衡，才得到合理的方差估计。 当 \(\sigma_t^2=\sigma^2\) 是常数时，最大化对数似然就等价于最小化 \(\sum(r_t-\mu_t)^2\)，即你在 CFA 二级熟悉的最小二乘。所以 OLS 是"正态 + 常数方差"下 MLE 的特例。

1.6 收益率的实证性质

原书表 1.2 汇总了指数和个股的日、月收益描述统计（百分比，样本截至 2008-12-31；SP 为 S&P 综合指数，VW、EW 为 CRSP 市值加权与等权指数）。摘录代表性数字如下：

从这张表可以读出几条一般规律：

1. 日收益（无论指数还是个股）的超额峰度都很高；月度上，指数的超额峰度反而高于个股。
2. 日收益均值接近 0，月收益均值略大。
3. 月收益标准差大于日收益（时间聚合，方差累加）。
4. 日收益中，指数的标准差小于个股——这是分散化的效果。
5. 偏度不是严重问题。
6. 简单收益与对数收益的统计量差别不大（日频尤其如此）。

原书图 1.4 把 IBM 月收益的经验密度与同均值、同方差的正态密度放在一起：经验密度峰更高、更瘦，尾部更厚、支撑更宽——这就是"尖峰厚尾"的直观形象。

1.7 本书研究的其他过程

除了收益率本身，本书还研究：

• 波动率过程（volatility process），即条件方差随时间的演化。原书图 1.2、1.3 的月收益时序图里，收益的变异幅度随时间变化，而且成簇出现，称波动聚集。波动率是期权定价和风险管理的关键输入，是第 03a、03b 章的主题。
• 极端收益。大的负收益对多头风险管理重要，大的正收益对空头重要。第 07b 章研究极值的频率、幅度和影响因素。
• 其他金融序列：利率、汇率、债券收益率、公司季度每股收益（EPS）等。原书图 1.5 是 1953-04 到 2009-02 美国 10 年期与 1 年期国债固定期限利率，两者同步变动，1 年期更易波动；图 1.6 是美元/日元日汇率，偶有大幅跳动。

原书表 1.3 给出几类债券和利率序列的统计（百分比）。例如 Fama 月度债券组合收益（1952-01—2008-12，\(T=684\)）中，期限 1–12 个月组合均值 0.45、标准差 0.35、超额峰度 13.14；期限 61–120 个月组合均值 0.55、标准差 1.69、超额峰度 4.79。月度国债利率中，1 年期均值 5.59、标准差 2.98，10 年期均值 6.40、标准差 2.69。规律是：利率的均值随期限上升、标准差随期限下降；债券收益的标准差随期限上升、均值大致稳定；多数序列有正超额峰度。

全书分工：第 02a–04b 章关注收益的前四阶矩（条件均值、条件方差、非线性结构）；第 05 章关注小时间间隔（高频与微观结构）；第 06 章介绍连续时间模型与期权定价；第 07a、07b 章关注极端收益与 VaR；第 08a、08b、10 章关注多资产的联合动态；第 09 章是主成分与因子模型；第 11a–12b 章是状态空间与 MCMC 方法。

关于软件：原书用 R（Rmetrics 的 fBasics、timeSeries、fGarch 等包）、S-Plus、SCA、RATS 演示。原书附录说明了 R 的 ts() 时间序列对象，例如 ts(gm, frequency=12, start=c(1975,1)) 把 GM 月收益设为从 1975 年 1 月开始的月度序列。本教材统一用 Python（numpy/pandas/scipy/statsmodels/arch）给出示例，对应关系会在各章注明。

量化实战

本章内容在量化中的用途

1. 回测的收益计算。组合 PnL 必须用各资产简单收益按权重加权；跨期累计用对数收益相加或简单总收益连乘；年化收益报告 CAGR（几何平均），不要用"日均收益 × 252"去充当复利增长率。两者之差约为 \(\sigma^2/2\)，高波动策略的差距可以达到每年几个百分点。
2. 数据预处理。因子研究的标准流程是：用复权价格（含分红、拆股调整，即 \(P_t+D_t\) 口径）计算收益，再减无风险利率得到超额收益。做空回测要计入借券期间应付的分红。
3. 分布诊断与风险。日收益几乎总是拒绝正态，正态 VaR 会低估尾部风险。偏度/超额峰度/JB 是检查收益、因子收益、模型残差分布的最快诊断；有限混合正态是生成厚尾压力情景的简单工具。
4. 预测转换。如果你的模型预测的是对数收益的均值 \(\mu\) 和方差 \(\sigma^2\)，要换成简单收益或价格的期望，必须用 \(e^{\mu+\sigma^2/2}\)。

Python 示例：收益计算、波动拖累与正态性检验

下面用 95% 平静期（日波动 1%）+ 5% 剧烈期（日波动 3.5%）的有限混合正态模拟 10 年日频对数收益，演示上面四件事。

import numpy as np
import pandas as pd
from scipy import stats

rng = np.random.default_rng(42)
T = 2520                      # 约 10 年日频数据
# 1) 用"有限混合正态"生成厚尾日对数收益：95% 平静期 + 5% 剧烈期
calm, wild, alpha = 0.010, 0.035, 0.05
is_wild = rng.random(T) < alpha
r = np.where(is_wild, rng.normal(0.0004, wild, T), rng.normal(0.0004, calm, T))
price = 100 * np.exp(np.cumsum(r))          # 对数收益累加得到价格
px = pd.Series(price, index=pd.bdate_range("2015-01-01", periods=T))

# 2) 由价格计算简单收益与对数收益
R = px.pct_change().dropna()                # R_t = P_t/P_{t-1} - 1
lr = np.log(px).diff().dropna()             # r_t = ln P_t - ln P_{t-1}
print("max |R - (e^r - 1)| =", float(np.max(np.abs(R - np.expm1(lr)))))

# 3) 时间聚合：对数收益相加 = 简单总收益连乘
print("总对数收益 %.6f  ln(prod(1+R)) %.6f" % (lr.sum(), np.log1p(R).sum()))

# 4) 几何平均 vs 算术平均：差值约为 sigma^2/2（波动拖累）
g_daily = np.expm1(lr.mean())               # 日几何平均收益
a_daily = R.mean()                          # 日算术平均收益
print("日算术 %.6f, 日几何 %.6f, 差 %.6f, sigma^2/2 = %.6f"
      % (a_daily, g_daily, a_daily - g_daily, R.var() / 2))
years = len(R) / 252
cagr = (px.iloc[-1] / px.iloc[0]) ** (1 / years) - 1
print("CAGR = %.4f, 按算术平均复利 = %.4f" % (cagr, (1 + a_daily) ** 252 - 1))

# 5) 描述统计与正态性检验（偏度、超额峰度、JB）
def moment_tests(x):
    x = np.asarray(x); n = len(x)
    S = stats.skew(x, bias=False)
    K = stats.kurtosis(x, fisher=True, bias=False)   # 超额峰度
    tS, tK = S / np.sqrt(6 / n), K / np.sqrt(24 / n)
    JB = tS**2 + tK**2
    return dict(n=n, mean=x.mean(), std=x.std(ddof=1), skew=S, exkurt=K,
                t_skew=tS, t_kurt=tK, JB=JB, p_JB=1 - stats.chi2.cdf(JB, 2))
res = pd.DataFrame({"daily_log": moment_tests(lr),
                    "monthly_log": moment_tests(lr.resample("ME").sum())})
print(res.round(4))

# 6) 均值 t 检验：H0: E(r)=0
t, p = stats.ttest_1samp(lr, 0.0)
print("均值 t = %.3f, p = %.3f" % (t, p))

# 7) 对数正态修正：用对数收益参数预测简单收益期望
mu, s2 = lr.mean(), lr.var()
print("E(R) 朴素 e^mu-1 = %.6f, 修正 e^(mu+s2/2)-1 = %.6f, 样本均值 = %.6f"
      % (np.expm1(mu), np.expm1(mu + s2 / 2), R.mean()))

关键输出：

max |R - (e^r - 1)| = 9.610368056911511e-16
总对数收益 2.084181  ln(prod(1+R)) 2.084181
日算术 0.000907, 日几何 0.000828, 差 0.000080, sigma^2/2 = 0.000080
CAGR = 0.2318, 按算术平均复利 = 0.2567
        daily_log  monthly_log
n       2519.0000     116.0000
mean       0.0008       0.0180
std        0.0126       0.0597
skew       0.2849       0.4791
exkurt     7.2640       1.7969
t_skew     5.8386       2.1065
t_kurt    74.4188       3.9504
JB      5572.2527      20.0427
p_JB       0.0000       0.0000
均值 t = 3.295, p = 0.001
E(R) 朴素 e^mu-1 = 0.000828, 修正 e^(mu+s2/2)-1 = 0.000907, 样本均值 = 0.000907

几点解读：

• 算术平均与几何平均的日差值 0.000080 与 \(\sigma^2/2\) 完全吻合；按算术平均复利会把年化收益从 23.2% 高估到 25.7%。
• 这个混合分布理论超额峰度为 \(3[(0.95\cdot0.01^4+0.05\cdot0.035^4)]/(0.95\cdot0.01^2+0.05\cdot0.035^2)^2-3\approx7.39\)，样本估计 7.26，JB 强烈拒绝正态。
• 聚合到月度后超额峰度降到 1.8 左右——这正是表 1.2"日频比月频更厚尾"的机制：独立的厚尾冲击相加后向正态靠拢（中心极限定理）。实际数据中月度厚尾衰减得更慢，原因是波动聚集（第 03a 章）。
• 对数正态修正 \(e^{\mu+\sigma^2/2}-1\) 准确地还原了简单收益的样本均值，朴素的 \(e^\mu-1\) 偏低。

本章小结

金融时间序列分析以收益率为主要研究对象：简单收益在横截面上可加权、对数收益在时间上可相加，年化收益是几何平均，比算术平均低约 \(\sigma^2/2\)。描述收益分布要看四阶矩，实证日收益普遍尖峰厚尾，偏度、峰度检验和 JB 检验几乎总是拒绝正态。候选分布中，对数正态解决了下界和时间聚合问题但不能解释厚尾，稳定分布方差无穷，正态尺度混合能产生厚尾而保持易处理性，并预示了"随机方差导致厚尾"的思想。把联合分布分解为条件分布之积 (1.15)–(1.16) 给出了似然函数 (1.18)，后面所有 ARMA、GARCH 模型的估计都从这里出发。

练习

基础

1. 某股票四个季度的简单收益为 10%、−5%、8%、−12%。求年度简单收益、年度对数收益、季度算术平均与几何平均。 提示：年度总收益 \(1.1\times0.95\times1.08\times0.88\)；对数收益为其对数，也等于四个季度对数收益之和；几何平均 \(=(\text{年度总收益})^{1/4}-1\)。
2. 两资产组合，权重各 50%，某日简单收益分别为 +20% 和 −20%。比较正确的组合收益与"对数收益加权"得到的结果。 答案要点：正确组合简单收益为 0；对数收益加权为 \(0.5[\ln1.2+\ln0.8]=-0.0204\)，换回简单收益约 −2.02%，误差约 2 个百分点。
3. 若 \(r_t\sim N(0.005,0.04^2)\)（月度），求 \(E(R_t)\) 与 \(\operatorname{Var}(R_t)\)，并说明为什么 \(E(R_t)>e^{0.005}-1\)。 提示：用 (1.17)，\(E(R_t)=e^{0.0058}-1\approx0.582\%\)。
4. 样本 \(T=2500\) 的日收益，样本偏度 −0.4、超额峰度 6。分别做偏度、峰度检验并计算 JB。 答案要点：\(t_S=-0.4/\sqrt{6/2500}\approx-8.16\)；\(t_K=6/\sqrt{24/2500}\approx61.2\)；\(JB\approx66.7+3750\approx3817\)，强烈拒绝正态。

进阶

5. 证明有限混合 \((1-\alpha)N(0,\sigma_1^2)+\alpha N(0,\sigma_2^2)\) 的峰度大于 3（\(\sigma_1\neq\sigma_2\)），并求 \(\alpha=0.05\)、\(\sigma_1=1\)、\(\sigma_2=4\)（即原书图 1.1 的设定）时的超额峰度。 提示：峰度 \(=3E(\sigma^4)/[E(\sigma^2)]^2\)，由 Jensen 不等式即得；数值为 \(3(0.95+0.05\cdot256)/(0.95+0.05\cdot16)^2-3=3\times13.75/3.0625-3\approx10.47\)。
6. 证明 (1.17)，并推导由 \((m_1,m_2)\) 反解 \(E(r_t)\)、\(\operatorname{Var}(r_t)\) 的公式。 提示：\(1+m_1=e^{\mu+\sigma^2/2}\)，\(m_2/(1+m_1)^2=e^{\sigma^2}-1\)，先解出 \(\sigma^2\) 再代回。
7. 写出 AR(1) 模型 \(r_t=\phi_0+\phi_1r_{t-1}+a_t\)、\(a_t\sim N(0,\sigma^2)\) 的条件对数似然（以 \(r_1\) 为条件），并说明它与 (1.18) 的关系。 提示：\(\mu_t=\phi_0+\phi_1r_{t-1}\)，\(\sigma_t^2=\sigma^2\)；最大化等价于对 \(\phi_0,\phi_1\) 做最小二乘。
8. 用本章 Python 代码，把剧烈期比例 \(\alpha\) 从 0.01 调到 0.20，画出日、周、月对数收益超额峰度随 \(\alpha\) 的变化，并解释为什么聚合频率越低峰度越小。

原书推荐习题：1.1、1.2（日频与月频描述统计及均值检验）、1.3（平均对数收益与财富终值的复利计算）、1.4（偏度/峰度 t 检验的手算实现）、1.5（汇率收益的厚尾特征）。

原书对照