第 17b 章单整、单位根检验的非标准分布与协整

学习目标

读完本章，你应当能够：

定义 I(0)、I(1)、I(2) 和单整阶数，判断一个序列需要差分几次才平稳，并用「对差分序列做单位根检验」区分 I(1) 与 I(2)。
推导无截距 Dickey–Fuller 统计量分子的极限分布 $\frac{\sigma_u^2}{2}(\chi^2_1-1)$，说明 DF 统计量为什么不服从正态、为什么必须用专门的临界值。
陈述协整的定义，写出向量误差修正模型（VECM），解释误差修正项的经济含义。
在协整系数已知和未知两种情形下检验协整：ADF 检验与 Engle–Granger ADF（EG-ADF）检验，并使用正确的临界值。
用动态 OLS（DOLS）估计协整系数并做有效的正态推断。
把以上工具用于配对交易：选对、估计对冲比、判断回复速度与半衰期，并知道协整检验在实务中的局限。

读前导读

这一章在解决什么问题

第 15b 章告诉你：价格有单位根，不要在价格水平上回归，要差分成收益。本章补上两块。

第一块是理论：为什么 Dickey–Fuller 统计量不服从正态分布。本章用一个只需要中学代数加中心极限定理的推导，证明 DF 回归分子的极限是「卡方减 1」，从而说明专用临界值表从何而来。如果你只想用检验，这部分可以只看结论；如果你想理解「为什么单位根这么特殊」，这是最短的路径。

第二块是实务的核心：协整。两只股票的价格各自都是随机游走，但某个组合（价差）可能是平稳的、会均值回复。这正是配对交易、期现套利、利率曲线交易的统计基础。你在 CFA 二级学过「两个都有单位根的序列，如果协整，回归才有意义」以及 Engle–Granger 检验的名字；本章讲清楚：协整系数已知时怎么检验，未知时为什么要用更严格的临界值，怎么得到对冲比的可靠标准误（DOLS），以及误差修正模型（VECM）里的调整系数如何告诉你「谁向谁回归、回得多快」。

需要先想起来的数学

伸缩求和（telescoping sum）：$\sum_{t=1}^T(a_t-a_{t-1})=a_T-a_0$，中间项全部抵消。DF 分子推导的关键一步。例：$(a_1-a_0)+(a_2-a_1)+(a_3-a_2)=a_3-a_0$。见第 00 册第 04 章级数与收敛。
卡方分布：若 $Z\sim N(0,1)$，则 $Z^2\sim\chi^2_1$，均值 1、方差 2，取值非负、右偏。$\chi^2_1-1$ 均值为 0，但下界为 −1、右尾很长。
依分布收敛与 Slutsky 定理：$\xrightarrow{d}$ 表示「分布越来越接近某个极限分布」；Slutsky 定理说，一个依分布收敛的量与一个依概率收敛到常数的量相加、相乘，结果的极限就按常数代入计算。连续映射定理说，依分布收敛的量经过连续函数（如平方），极限也跟着变换。见第 00 册第 07 章概率中的分析工具。
收敛速度：「$\sqrt T$ 一致」指估计误差约按 $1/\sqrt T$ 缩小，「超一致」指按 $1/T$ 缩小，后者快得多。样本扩大 4 倍，前者误差减半，后者降到四分之一。同见第 07 章的大 O 记号。
线性组合与秩：三个变量最多两个「线性无关」的协整关系，用的是线性代数里「线性无关」和「秩」的概念。见第 00 册第 06 章线性代数速成。

怎么读这一章

核心必读：17.3.2（单整阶数，KC 17.4）、17.4.1–17.4.3（协整定义、VECM、EG-ADF 检验和表 17.1）、17.4.4 的 DOLS（至少读懂它为什么要加超前和滞后）。17.3.3 的推导建议跟着纸笔走一遍，约 15 分钟，能真正理解 DF 分布为何非标准；时间紧可以只读最后两段。17.4.5 的多变量推广第一次可以只看利率三期限的例子。量化实战的配对交易流程和示例二是本章最实用的部分。

17.3 单整阶数与单位根检验统计量的非正态性

17.3.1 比随机游走更平滑的趋势：I(2)

回顾第 15.6 节的带漂移随机游走：

Y_t=\beta_0+Y_{t-1}+u_t,\tag{17.16}

$u_t$ 序列不相关。它有一个等于 1 的自回归根，即单位根（unit root）。

有些经济序列的趋势比随机游走更平滑，相邻两期的变化很小，例如价格水平的对数。一种描述平滑趋势的模型是：让序列的一阶差分服从随机游走，

\Delta Y_t=\beta_0+\Delta Y_{t-1}+u_t.\tag{17.17}

此时 $\Delta Y_t$ 本身是随机游走，有单位根；要再差分一次，二阶差分（second difference）$\Delta^2Y_t=\Delta Y_t-\Delta Y_{t-1}=\beta_0+u_t$ 才平稳。

为什么这种序列看起来「平滑」？因为 $Y_t$ 是 $\Delta Y_t$ 的累加，而 $\Delta Y_t$ 本身已经是随机游走的累加。累加两次，高频的抖动被大幅平均掉，剩下缓慢变化的曲线。

白话解释：小提醒，开头「回顾第 15.6 节」应为原书 15.7 节（本册第 15b 章 15.7.2），15.6 节讲的是滞后阶数选择。

用物理类比理解 I(0)/I(1)/I(2)：把 $u_t$ 想成每期随机的「加速度」冲击。I(1) 序列是「位置 = 冲击的累加」，像醉汉走路，方向随时改；I(2) 序列是「速度 = 冲击的累加，位置 = 速度的累加」，像一艘有惯性的船，速度慢慢漂移，位置画出的是平滑曲线。价格指数（对数）就像那艘船：通胀率（速度）本身在漂移，价格水平（位置）平滑上升。

17.3.2 单整阶数

术语：含随机游走趋势的序列称为一阶单整（integrated of order one），记作 I(1)；形如 (17.17) 的称为二阶单整，记作 I(2)；没有随机趋势、平稳的序列记作 I(0)。单整阶数（order of integration）就是使序列平稳所需差分的次数。

Key Concept 17.4（单整阶数、差分与平稳性）

$Y_t$ 为 I(1)：$Y_t$ 有单位自回归根，$\Delta Y_t$ 平稳；

$Y_t$ 为 I(2)：$\Delta Y_t$ 有单位自回归根，$\Delta^2Y_t$ 平稳；

$Y_t$ 为 I($d$)：须差分 $d$ 次才能消除随机趋势，即 $\Delta^dY_t$ 平稳。

如何检验 I(2) 与 I(1)。如果 $Y_t$ 是 I(2)，则 $\Delta Y_t$ 是 I(1)，有单位根；如果 $Y_t$ 是 I(1)，则 $\Delta Y_t$ 平稳。所以只需对 $\Delta Y_t$ 做第 15b 章的 ADF 单位根检验：拒绝「$\Delta Y_t$ 有单位根」，就拒绝了 I(2)，支持 I(1)。检验顺序是从高阶往低阶：先检验 $\Delta Y_t$，再检验 $Y_t$。

例：价格水平与通胀。通胀是价格水平的增长率，季度数据年化后

Infl_t=400\times\Delta\ln(P_t)

（100 把小数变成百分点，4 把季度变成年率）。实证练习 15.1 用美国 PCE 价格指数得出：通胀很可能含随机游走趋势，即通胀为 I(1)，$\Delta Infl_t$ 平稳。于是有一串等价关系：

Infl_t\ \text{为 I(1)}\iff\Delta\ln P_t\ \text{为 I(1)}\iff\ln P_t\ \text{为 I(2)}.

原书图 17.1（1960–2017）印证了这一点：(a) PCE 价格指数的对数从约 2.75 平滑上升到约 4.75，长期趋势非常平滑；(b) 通胀率在约 $-6\%$ 到 $12\%$ 之间波动，趋势的起伏明显大得多。平滑的趋势是 I(2) 序列的典型外观。

对量化读者，一个直接的对应是：对数价格通常视为 I(1)，收益（对数价格的差分）视为 I(0)。很少有资产价格表现为 I(2)；如果你的检验说某只股票的对数价格是 I(2)，多半是样本中有结构断点或检验设定有问题。

17.3.3 为什么单位根检验统计量不服从正态分布

第 15.7 节（本册第 15b 章）强调过：回归元非平稳时，大样本正态近似不适用。Dickey–Fuller 回归在单位根原假设下，回归元 $Y_{t-1}$ 是随机游走，正好非平稳。这就是 DF 统计量分布非标准的根源。

看最简单的情形：$\Delta Y_t$ 对 $Y_{t-1}$ 回归，无截距，原假设下 $\Delta Y_t=u_t$。OLS 估计量 $\hat\delta=\sum Y_{t-1}\Delta Y_t/\sum Y_{t-1}^2$，乘以 $T$ 后写成

T\hat\delta=\frac{\frac1T\sum_{t=1}^TY_{t-1}\Delta Y_t}{\frac1{T^2}\sum_{t=1}^TY_{t-1}^2}.\tag{17.19}

注意这里的缩放：平稳回归中 $\hat\delta$ 以 $\sqrt T$ 速度收敛，这里却要乘 $T$ 才有非退化的极限。这叫超一致（superconsistency），原因是随机游走的方差随时间线性增长，回归元的「信号」比平稳情形强得多。

推导拆解：为什么分母要除以 $T^2$、分子除以 $T$。

先看 (17.19) 本身：$T\hat\delta=T\cdot\frac{\sum Y_{t-1}\Delta Y_t}{\sum Y_{t-1}^2}$，分子分母同除以 $T^2$，分子变成 $\frac1T\sum Y_{t-1}\Delta Y_t$，分母变成 $\frac1{T^2}\sum Y_{t-1}^2$。这只是代数变形。

为什么这样缩放才对：$Y_{t-1}$ 的方差约为 $t\sigma_u^2$，所以 $E\sum_tY_{t-1}^2\approx\sigma_u^2\sum_tt\approx\sigma_u^2T^2/2$，按 $T^2$ 增长。除以 $T^2$ 才得到一个不发散、也不趋于 0 的量。

分子 $\sum Y_{t-1}u_t$ 的方差约为 $\sum_tE(Y_{t-1}^2)\sigma_u^2\approx\sigma_u^4T^2/2$，标准差按 $T$ 增长，所以除以 $T$。

于是 $\hat\delta$ 本身 $\approx\frac{O(T)}{O(T^2)}=O(1/T)$，乘 $T$ 才稳定。对比平稳情形：分母按 $T$ 增长，分子按 $\sqrt T$ 增长，$\hat\delta=O(1/\sqrt T)$。

这里 $O(\cdot)$ 读作「量级为」。直观说法：随机游走的 $Y_{t-1}$ 在样本中游走得很远，横轴拉得很宽，斜率自然估得很准。

分子。在附加假设 $Y_0=0$ 下（原书习题 17.5），

\frac1T\sum_{t=1}^TY_{t-1}\Delta Y_t=\frac12\left[\left(\frac{Y_T}{\sqrt T}\right)^2-\frac1T\sum_{t=1}^T(\Delta Y_t)^2\right].\tag{17.20}

推导只用一个代数恒等式。由 $Y_t=Y_{t-1}+\Delta Y_t$ 得 $Y_t^2=Y_{t-1}^2+2Y_{t-1}\Delta Y_t+(\Delta Y_t)^2$，所以

Y_{t-1}\Delta Y_t=\tfrac12\left[Y_t^2-Y_{t-1}^2-(\Delta Y_t)^2\right].

对 $t=1,\dots,T$ 求和，$Y_t^2-Y_{t-1}^2$ 伸缩相消只剩 $Y_T^2-Y_0^2=Y_T^2$，再除以 $T$ 即得 (17.20)。

现在逐项取极限：

第二项：原假设下 $\Delta Y_t=u_t$ 序列不相关、方差有限，由大数定律 $\frac1T\sum(\Delta Y_t)^2\xrightarrow{p}\sigma_u^2$。
第一项：$Y_T/\sqrt T=\sqrt T\cdot\frac1T\sum_{t=1}^Tu_t$，由中心极限定理 $\xrightarrow{d}N(0,\sigma_u^2)$，可写成 $\sigma_uZ$，$Z$ 为标准正态。

由连续映射定理和 Slutsky 定理（18.2 节），方括号 $\xrightarrow{d}\sigma_u^2(Z^2-1)$。而 $Z^2\sim\chi^2_1$，因此

\frac1T\sum_{t=1}^TY_{t-1}\Delta Y_t\xrightarrow{d}\frac{\sigma_u^2}{2}(\chi_1^2-1).\tag{17.21}

分子的极限是「卡方减 1」的倍数，不是正态。它偏斜：$\chi^2_1-1$ 的取值下界是 $-1$，右尾很长，而且有约 68% 的概率为负（$\Pr(\chi^2_1<1)\approx0.683$）。

白话解释：这个结果直观上说的是什么？$(Y_T/\sqrt T)^2$ 是「终点离起点有多远」的平方，$\frac1T\sum(\Delta Y_t)^2$ 是「每步步长的平方的平均」。随机游走大多数时候终点离起点不太远（$Z^2<1$ 的概率 68%），所以分子多半为负，$\hat\delta$ 多半为负，即 $\hat\beta_1=1+\hat\delta$ 多半小于 1。这就是第 15b 章所说「单位根下 AR 系数向下偏」的数学来源，也解释了 DF 分布为何整体左移：即使真值恰好是 1，估计值也倾向于看起来「有点均值回复」。

金融直觉：这对研究者是一个系统性的陷阱。拿任意一条价格序列跑 AR(1)，大概率会得到 $\hat\beta_1<1$，看上去「会回归」。如果用正态临界值判断，很容易得出「这个价格均值回复、可以做反转」的错误结论。

分母同样异常。平稳情形下 $\frac1T\sum Y_{t-1}^2$ 收敛到常数；随机游走下它不收敛，要除以 $T^2$ 才有极限，而 $\frac1{T^2}\sum Y_{t-1}^2$ 即使在大样本中仍是随机变量，并与分子联合依分布收敛（极限可以用布朗运动的积分表示，属于高级时间序列内容，见 Hamilton 1994 第 17 章）。

分子分母的这种非常规联合分布，导致 DF 统计量的分布非标准，所以 ADF 检验需要专门的临界值表（原书表 15.4：含截距时 10%、5%、1% 临界值为 $-2.57$、$-2.86$、$-3.43$；含截距和时间趋势时为 $-3.12$、$-3.41$、$-3.96$）。最常见的错误是把 DF 的 t 统计量拿去和 $\pm1.96$ 或 $-1.645$ 比较。本章示例一会用模拟显示这样做的真实拒绝率高达 46%。

原书习题 17.7 是同一现象的另一个版本：$\Delta Y_t=u_t$ 为 i.i.d. $N(0,1)$，把 $Y_t$ 对 $X_t=\Delta Y_{t+1}$ 回归，可以证明 $\hat\beta\xrightarrow{d}\frac12(\chi_1^2-1)$。

17.4 协整

17.4.1 共同随机趋势

两个或多个含随机趋势的序列，有时长期紧密同行，像是共享同一个趋势成分。原书图 15.3：90 天与 10 年期美国国债利率在 1960 年代都低，1970 年代都上升，1980 年代初同时见顶，1990 年代同时下降。但两者之差（期限利差，图 15.3b）看不出趋势。相减能消掉各自的趋势，说明它们有共同随机趋势（common stochastic trend）。

Key Concept 17.5（协整） 设 $X_t,Y_t$ 都是 I(1)。若对某个系数 $\theta$，$Y_t-\theta X_t$ 为 I(0)，则称 $X_t$ 与 $Y_t$ 协整（cointegrated），$\theta$ 称为协整系数（cointegrating coefficient）。协整意味着两者有相同的随机趋势，作差 $Y_t-\theta X_t$ 把共同趋势消掉。

这个正式定义来自 Clive Granger。用一个简单模型可以看清结构：

X_t=X_{t-1}+v_{2t},\qquad Y_t=\theta X_t+v_{1t},

其中 $v_{1t},v_{2t}$ 平稳。$X_t$ 是随机游走，$Y_t$ 继承了 $X_t$ 的随机趋势，而 $Y_t-\theta X_t=v_{1t}$ 平稳。这正是原书习题 17.10 的出发点。

17.4.2 向量误差修正模型

若 $X_t,Y_t$ 协整，第 15b 章的建议「对 I(1) 变量差分后建模」就丢掉了信息：差分消去了趋势，也消去了两者水平之间的长期关系。正确做法是对一阶差分建 VAR，同时把 $Y_{t-1}-\theta X_{t-1}$ 作为额外回归元加进去：

\Delta Y_t=\beta_{10}+\beta_{11}\Delta Y_{t-1}+\cdots+\beta_{1p}\Delta Y_{t-p}+\gamma_{11}\Delta X_{t-1}+\cdots+\gamma_{1p}\Delta X_{t-p}+\alpha_1(Y_{t-1}-\theta X_{t-1})+u_{1t},\tag{17.22}

\Delta X_t=\beta_{20}+\beta_{21}\Delta Y_{t-1}+\cdots+\beta_{2p}\Delta Y_{t-p}+\gamma_{21}\Delta X_{t-1}+\cdots+\gamma_{2p}\Delta X_{t-p}+\alpha_2(Y_{t-1}-\theta X_{t-1})+u_{2t}.\tag{17.23}

$Y_t-\theta X_t$ 称为误差修正项（error correction term）。两变量共享趋势，若某一期相距过远，预期会随时间靠拢，「误差」被「修正」。(17.22)(17.23) 合称向量误差修正模型（vector error correction model，VECM）。在 VECM 中，误差修正项的过去值帮助预测 $\Delta Y_t$ 和/或 $\Delta X_t$。

系数 $\alpha_1,\alpha_2$ 称为调整系数或载荷。若 $Y_{t-1}-\theta X_{t-1}$ 偏高（$Y$ 相对太贵），要恢复均衡，需要 $Y$ 下跌或 $X$ 上涨，所以通常 $\alpha_1<0$ 和/或 $\alpha_2>0$。$\alpha$ 的大小决定回复速度：$|\alpha|$ 越大，偏离消失越快。

推导拆解：调整系数与价差回复速度的关系。记价差 $z_t=Y_t-\theta X_t$。忽略差分滞后项，用 (17.22) 减去 $\theta$ 倍的 (17.23)：
$\Delta z_t=\Delta Y_t-\theta\Delta X_t=(\alpha_1-\theta\alpha_2)z_{t-1}+\text{噪声}.$ 所以 $z_t=(1+\alpha_1-\theta\alpha_2)z_{t-1}+\text{噪声}$，价差是 AR(1)，系数 $\phi=1+\alpha_1-\theta\alpha_2$。要平稳，需要 $\phi<1$，即 $\alpha_1-\theta\alpha_2<0$。半衰期 $=\ln0.5/\ln\phi$。

金融直觉：$\alpha_1$ 和 $\alpha_2$ 分别回答「谁来修正偏离」。在期现套利中，若 $\alpha_{期货}$ 显著、$\alpha_{现货}\approx0$，说明价格发现在现货、期货跟随；反之亦然。这在研究 ADR 与原股、A 股与 H 股谁主导定价时是标准分析。在配对交易中，若只有一只股票在调整，那么持仓风险主要集中在那一条腿上。

把习题 17.10 的简单模型代入可以亲手推出 VECM。$\Delta X_t=v_{2t}$，而

\Delta Y_t=\theta\Delta X_t+\Delta v_{1t}=\theta v_{2t}+v_{1t}-v_{1,t-1}=-(Y_{t-1}-\theta X_{t-1})+\theta v_{2t}+v_{1t}.

若 $v_{1t}$ 是白噪声，这就是 $\alpha_1=-1$、$\alpha_2=0$ 的 VECM：所有调整都由 $Y$ 完成，偏离在一期内完全消除。

17.4.3 如何判断两个变量是否协整

原书强调三种手段应同时使用：专业知识与经济理论、作图看是否有共同随机趋势、统计检验。

理论例：利率期限结构的预期理论。它认为 10 年期国债利率等于未来 10 年 3 个月国库券利率预期值的平均（加一个期限溢价）。所以若 3 个月利率有随机游走趋势，10 年利率会继承这一趋势（原书习题 17.2）。具体地，设 $k$ 期利率 $R_{kt}=\frac1k\sum_{i=0}^{k-1}R1_{t+i|t}+e_t$，$e_t$ 为 I(0) 的期限溢价。若 $R1_t$ 是随机游走，则对所有 $i$ 有 $R1_{t+i|t}=R1_t$，于是 $R_{kt}=R1_t+e_t$，两利率协整，协整系数为 1。图上两利率看起来是 I(1)、利差看起来是 I(0)，与理论吻合。

检验原理。若协整系数为 $\theta$，则 $Y_t-\theta X_t$ 平稳；否则它是 I(1)。于是「不协整」的原假设等价于「$Y_t-\theta X_t$ 有单位根」，拒绝即可视为协整。细节取决于 $\theta$ 是否已知。

情形一：$\theta$ 已知。直接构造 $z_t=Y_t-\theta X_t$，对它做 ADF 单位根检验，使用普通 ADF 临界值。

例：1962–2017 年 10 年期与 90 天利率之差（$\theta=1$），含截距、AIC 选 6 阶滞后，ADF $=-4.13<-3.43$（表 15.4 的 1% 临界值），在 1% 水平拒绝「无协整」。

情形二：$\theta$ 未知——Engle–Granger ADF 检验（Engle & Granger 1987）。两步：

用 OLS 估计协整回归 $Y_t=\alpha+\theta X_t+z_t;\tag{17.24}$
对残差 $\hat z_t$ 做含截距、无时间趋势的 DF t 检验（实际中常加差分滞后，即 ADF）。

由于第一步估计了 $\theta$，第二步要用不同的临界值。原因是 OLS 会挑选使残差方差最小的 $\hat\theta$，这让残差看起来比真实的 $z_t$ 更「平稳」，DF 统计量系统性地偏负。如果仍用普通 ADF 临界值，就会太容易拒绝「无协整」。

白话解释：设想两只其实不协整的股票。OLS 在所有可能的对冲比里，挑出那个让价差在样本内波动最小、看上去最「贴着均值」的。这相当于「在很多条曲线中挑一条最像平稳的」——和第 15b 章「看图挑日期」是同一类数据窥探。即使原假设为真，被挑出来的残差也比随便一条随机游走更像平稳序列，所以 ADF 统计量更负。表 17.1 的临界值就是在原假设下模拟「挑过之后」的 DF 分布得到的。X 越多，可挑的组合越多，临界值越负。

表 17.1 EG-ADF 统计量的临界值（取自 Fuller 1976、Phillips & Ouliaris 1990，按 Hansen 1992 的建议使其对 $X,Y$ 是否含漂移都适用）：

(17.24) 中 X 的个数	10%	5%	1%
1	−3.12	−3.41	−3.96
2	−3.52	−3.80	−4.36
3	−3.84	−4.16	−4.73
4	−4.20	−4.49	−5.07

第一行用于两个变量的情形，其余行用于多个协整变量。所有临界值都比普通 ADF 更负，X 越多越负。

17.4.4 协整系数的估计：动态 OLS

若变量协整，(17.24) 的 OLS 估计量 $\hat\theta$ 一致，而且是超一致的（以 $T$ 而非 $\sqrt T$ 的速度收敛）。但它一般不服从正态分布，基于它的 t 统计量，无论是否用 HAC 标准误，推断都可能误导。原因与上一节相同：回归元 $X_t$ 是 I(1)；而且 $X_t$ 的变化可能与 $z_t$ 相关，带来二阶偏差。

为此发展出若干估计量，最简便的是动态 OLS（dynamic OLS，DOLS，Stock & Watson 1993）：在 (17.24) 中加入 $\Delta X_t$ 的过去、当期和未来值（超前与滞后，leads and lags）：

Y_t=\beta_0+\theta X_t+\sum_{j=-p}^{p}\delta_j\Delta X_{t-j}+u_t.\tag{17.25}

回归元是 $X_t,\Delta X_{t+p},\dots,\Delta X_{t-p}$，DOLS 估计量就是这个回归中 $\theta$ 的 OLS 估计。

白话解释：为什么要加未来的 $\Delta X$？协整回归的误差 $z_t$ 可能与 $X$ 的新息在不同时间相关：既可能与过去的 $\Delta X$ 相关（$Y$ 对 $X$ 的变化反应有滞后），也可能与未来的 $\Delta X$ 相关（$Y$ 先动、$X$ 后跟，比如期货领先现货）。这和第 16 章「严格外生」的问题是一回事。DOLS 的做法是：把 $z_t$ 中能被 $\Delta X$ 过去、现在、未来解释的部分都显式放进回归，剩下的 $u_t$ 与 $X$ 的整个路径无关，相当于人为造出了严格外生，于是标准的正态推断恢复有效。

直觉：$z_t$ 与 $\Delta X$ 的相关性是 OLS 非正态的来源，加入 $\Delta X$ 的超前和滞后，把这部分相关「吸收」进回归，剩下的误差 $u_t$ 与 $X$ 的整个路径近似无关。若变量协整，DOLS 估计量在大样本中有效，基于 HAC 标准误的 $\theta$ 和 $\delta$ 的推断有效，t 统计量大样本服从标准正态。注意 $u_t$ 一般序列相关，HAC 不可省略。

例：90 天利率对 10 年利率的 DOLS，$p=4$，$\hat\theta=1.02$，HAC 标准误（$m=5$）为 0.05，在 10% 水平不能拒绝 $\theta=1$。这与「利差平稳」的发现一起，与期限结构的预期理论一致。

原书习题 17.6 帮助理解 DOLS 的结构：把 $Y_t=2.0+1.5X_{t+1}+0.9X_t-0.3X_{t-1}+u_t$ 改写成 (17.25) 的形式。利用 $X_{t+1}=X_t+\Delta X_{t+1}$、$X_{t-1}=X_t-\Delta X_t$，得 $Y_t=2.0+2.1X_t+1.5\Delta X_{t+1}+0.3\Delta X_t+u_t$，所以 $\theta=1.5+0.9-0.3=2.1$，$\delta_{-1}=1.5$，$\delta_0=0.3$，$\delta_1=0$。协整系数是各期水平系数之和，即长期乘数。

17.4.5 推广到多个协整变量

三个 I(1) 变量 $Y_t,X_{1t},X_{2t}$，若 $Y_t-\theta_1X_{1t}-\theta_2X_{2t}$ 平稳，则它们协整。三个及以上变量可能存在多个协整关系。

例：3 个月（R3m）、1 年（R1y）、10 年（R10y）利率。若三者都是 I(1)，期限结构理论表明它们协整，协整关系为 $R10y_t-R3m_t$ 与 $R1y_t-R3m_t$。$R10y_t-R1y_t$ 也是协整关系，但它是前两者之差，完全共线，不提供新信息。三个变量最多两个线性无关的协整关系，对应一个共同随机趋势。

白话解释：一个计数规则：$n$ 个 I(1) 变量，若有 $r$ 个线性无关的协整关系，就有 $n-r$ 个共同随机趋势。直观上，每个协整关系「消掉」一个独立的随机趋势。$r$ 不可能等于 $n$：如果 $n$ 个变量的 $n$ 个独立组合都平稳，那每个变量本身（作为这些组合的线性组合）也平稳，与 I(1) 矛盾。

三个利率、两个协整关系、一个共同趋势，对应「整条曲线一起上下平移」的水平因子；两个平稳的利差对应斜率和曲率。这与第 14 章利率 PCA 的「水平、斜率、曲率」是同一幅图的两种视角。

多变量 EG-ADF：第一步回归同时放入 $X_{1t},X_{2t}$，第二步临界值按表 17.1 中对应 X 个数的行。多变量 DOLS：每个 X 的水平值，加上各自一阶差分的超前和滞后。多个协整关系的系统估计（Johansen 方法等）见 Hamilton（1994）；第 06 册（Tsay）第 08b 章从多元时间序列角度介绍协整 VAR 与 Johansen 检验，可与本章对照。

17.4.6 实践提醒

即使理论没有给出协整系数，也要检查估计出的协整关系在实际中说不说得通。原书特别提醒：协整检验可能误导。它既可能过多地错误拒绝「无协整」，也常常在应该拒绝时拒绝不了（功效低，尤其是回复很慢、样本较短时）。因此尤其要依靠经济理论、制度知识和常识。

专栏：2003 年诺贝尔奖与协整

2003 年诺贝尔经济学奖授予 Robert Engle 与 Clive Granger。Granger 的贡献之一是研究随机趋势：两个毫无关系、各自含随机趋势的序列，按 t 统计量和 $R^2$ 看可能显著相关，这就是伪回归（spurious regression，见第 14、15 章）。

白话解释：这里「第 14、15 章」指原书编号；在本册中伪回归的讨论在第 15b 章 15.7.3 节，第 14 章是大数据预测，与伪回归无关。他进一步发现，当变量确实共享共同趋势时，用误差修正模型可以揭示有意义的长期关系。协整分析如今是宏观计量的标准工具。Engle 的贡献 ARCH 见 17c 章。

量化实战

1. 本章内容在量化中的用途

配对交易与统计套利的理论基础。 两只股票的对数价格都是 I(1)，若某个线性组合（价差）是 I(0)，价差就会均值回复：偏离过大时做空贵的、做多便宜的，等待回归。标准筛选流程正是 Engle–Granger 两步法：

用 OLS 估计 $\ln P^A_t=\alpha+\theta\ln P^B_t+z_t$，$\hat\theta$ 就是对冲比；
对残差 $\hat z_t$ 做 ADF 检验，用表 17.1 的临界值（或软件给出的 MacKinnon 协整临界值），不能用普通 ADF 临界值；
用 DOLS 得到 $\theta$ 的可靠标准误，判断对冲比是否稳定、是否等于理论值（例如期现套利中 $\theta=1$）；
用 VECM 的 $\alpha$ 或价差 AR(1) 系数 $\phi$ 估计回复速度，半衰期 $=\ln0.5/\ln\phi$。半衰期决定持仓周期和信号窗口。

协整检验的局限在实务中更突出。 在几千只股票里两两做协整检验，$5\%$ 的假阳性意味着成千上万个「伪配对」；样本内协整的配对样本外常常失效（结构变化、并购、行业轮动）。原书「依靠经济理论和常识」的提醒对应实务中的做法：只在同行业、同产业链、同一标的的不同合约（期现、跨期、ADR 与原股）之间找对，并做样本外检验。

利率曲线交易。 期限结构的协整关系（各期限利率共享一个随机趋势，利差平稳）是曲线陡峭化/平坦化交易的基础；三个利率的两个协整关系对应「斜率」和「曲率」。

伪回归的警示。 把两个价格水平直接回归、看 t 值和 $R^2$ 来「发现关系」，是新手最常犯的错误。价格水平之间的回归，除非协整，否则没有意义；应该用收益（差分）或先检验协整。

2. 示例一：用模拟看清 Dickey–Fuller 分布

import numpy as np
rng = np.random.default_rng(1)
T, nsim = 500, 20000
Td, tstat, tstat_c = np.empty(nsim), np.empty(nsim), np.empty(nsim)
for k in range(nsim):
    u = rng.standard_normal(T)
    Y = np.cumsum(u)                     # 随机游走，Y_0 = 0
    ylag, dy = np.r_[0.0, Y[:-1]], u
    # 无截距 DF 回归 dY_t = delta * Y_{t-1} + e
    d = (ylag @ dy) / (ylag @ ylag)
    e = dy - d * ylag
    se = np.sqrt(e @ e / (T - 1) / (ylag @ ylag))
    Td[k], tstat[k] = T * d, d / se
    # 含截距 DF 回归
    X = np.c_[np.ones(T), ylag]
    b, *_ = np.linalg.lstsq(X, dy, rcond=None)
    e = dy - X @ b
    V = (e @ e / (T - 2)) * np.linalg.inv(X.T @ X)
    tstat_c[k] = b[1] / np.sqrt(V[1, 1])
q = [0.01, 0.05, 0.10, 0.50]
print("分位数            1%     5%     10%    50%")
print("T*delta       ", np.round(np.quantile(Td, q), 2))
print("DF t(无截距)  ", np.round(np.quantile(tstat, q), 2))
print("DF t(含截距)  ", np.round(np.quantile(tstat_c, q), 2))
print("N(0,1)        ", [-2.33, -1.64, -1.28, 0.0])
print("含截距时用 -1.64 作单侧 5% 临界值的真实拒绝率:", np.mean(tstat_c < -1.645).round(3))

输出：

分位数            1%     5%     10%    50%
T*delta        [-13.38  -8.07  -5.7   -0.88]
DF t(无截距)   [-2.56 -1.95 -1.62 -0.51]
DF t(含截距)   [-3.46 -2.88 -2.57 -1.57]
N(0,1)         [-2.33, -1.64, -1.28, 0.0]
含截距时用 -1.64 作单侧 5% 临界值的真实拒绝率: 0.464

模拟得到的含截距 DF 分位数 $-3.46/-2.88/-2.57$ 与原书表 15.4 的 $-3.43/-2.86/-2.57$ 几乎一致。整个分布明显左移，中位数是 $-1.57$ 而不是 0。用正态临界值 $-1.645$ 做检验，即使序列真的是随机游走，也有 46% 的概率得出「平稳」的错误结论。$T\hat\delta$ 的中位数为负、左尾长，正是 (17.21) 中 $\chi^2_1-1$ 偏斜性的体现。

3. 示例二：配对交易的完整流程

模拟两只股票：$x$ 是共同随机趋势，价差 $z$ 是 $\phi=0.95$ 的 AR(1)（真实半衰期约 13.5 天），真实对冲比 $\theta=1.3$。另有一只与之无关的股票 $w$。

import numpy as np
import pandas as pd
import statsmodels.api as sm
from statsmodels.tsa.stattools import adfuller, coint
from statsmodels.tsa.vector_ar.vecm import VECM

rng = np.random.default_rng(7)
T = 1000
# 两只股票的对数价格：共享随机趋势 x，价差 z 是 AR(1)（phi=0.95，半衰期约 13.5 天）
x = np.cumsum(0.0002 + 0.015 * rng.standard_normal(T)) + np.log(20)
z = np.zeros(T)
for t in range(1, T):
    z[t] = 0.95 * z[t-1] + 0.01 * rng.standard_normal()
theta_true = 1.3
y = 0.5 + theta_true * x + z
w = np.cumsum(0.015 * rng.standard_normal(T)) + np.log(20)   # 一只无关股票

# 1) 伪回归：两条独立随机游走
spur = sm.OLS(w, sm.add_constant(x)).fit()
print(f"伪回归 w~x: slope={spur.params[1]:.2f}, t={spur.tvalues[1]:.1f}, R2={spur.rsquared:.2f}")

# 2) Engle-Granger 两步法
step1 = sm.OLS(y, sm.add_constant(x)).fit()
zhat = step1.resid
adf_stat = adfuller(zhat, regression="c", autolag="AIC", result_object=False)[0]
print(f"EG 第一步 theta_hat={step1.params[1]:.4f}; 残差 ADF={adf_stat:.2f}"
      f"（EG 5% 临界值 -3.41，普通 ADF 5% 临界值 -2.86）")
t_eg, p_eg, cv = coint(y, x, trend="c")
print(f"statsmodels.coint: t={t_eg:.2f}, p={p_eg:.4f}, 5%临界值={cv[1]:.2f}")
t_w, p_w, _ = coint(w, x, trend="c")
print(f"无关股票 w 与 x: EG t={t_w:.2f}, p={p_w:.2f}")

# 3) DOLS：加入 dx 的 p 个超前与滞后，HAC 标准误
p = 4
d = pd.DataFrame({"y": y, "x": x})
d["dx"] = d["x"].diff()
for j in range(-p, p + 1):
    d[f"dx_{j}"] = d["dx"].shift(j)      # shift(-j) 是超前
d = d.dropna()
Xd = sm.add_constant(d[["x"] + [f"dx_{j}" for j in range(-p, p + 1)]])
dols = sm.OLS(d["y"], Xd).fit(cov_type="HAC", cov_kwds={"maxlags": 10})
th, se = dols.params["x"], dols.bse["x"]
print(f"DOLS theta={th:.4f}, HAC se={se:.4f}, 检验 theta=1.3 的 t={(th-1.3)/se:.2f}")

# 4) VECM：误差修正系数与半衰期
data = np.c_[y, x]
vecm = VECM(data, k_ar_diff=1, coint_rank=1, deterministic="ci").fit()
alpha = vecm.alpha.ravel()
beta = vecm.beta.ravel()
print("VECM beta(归一化):", np.round(beta / beta[0], 4), " alpha:", np.round(alpha, 4))
# 价差 z 的 AR(1) 系数与半衰期
phi = sm.OLS(zhat[1:], sm.add_constant(zhat[:-1])).fit().params[1]
print(f"价差 AR(1) phi={phi:.3f}, 半衰期 = ln(0.5)/ln(phi) = {np.log(0.5)/np.log(phi):.1f} 天")

输出：

伪回归 w~x: slope=-0.04, t=-5.3, R2=0.03
EG 第一步 theta_hat=1.2872; 残差 ADF=-4.98（EG 5% 临界值 -3.41，普通 ADF 5% 临界值 -2.86）
statsmodels.coint: t=-4.98, p=0.0002, 5%临界值=-3.34
无关股票 w 与 x: EG t=-2.50, p=0.28
DOLS theta=1.2865, HAC se=0.0092, 检验 theta=1.3 的 t=-1.46
VECM beta(归一化): [ 1.     -1.2833]  alpha: [-0.0532 -0.0032]
价差 AR(1) phi=0.952, 半衰期 = ln(0.5)/ln(phi) = 14.0 天

逐项解读：

伪回归：两条独立随机游走，斜率的 t 值竟有 $-5.3$。这就是 Granger 警告的现象。但 EG 检验正确地不拒绝「无协整」（$p=0.28$）。
EG 检验：残差 ADF $=-4.98$，远低于表 17.1 的 $-3.41$。statsmodels.coint 给出的 5% 临界值 $-3.34$ 来自 MacKinnon 的响应面，未做 Hansen 的漂移调整，所以比原书表 17.1 略宽松；两者差别不大，保守起见可用原书数值。
DOLS：$\hat\theta=1.2865$，HAC 标准误 0.0092，检验真值 1.3 的 $t=-1.46$，不拒绝，推断有效。
VECM：归一化后协整向量 $(1,-1.283)$。调整系数 $\alpha_y=-0.053$ 显著为负、$\alpha_x\approx0$：价差偏高时由 $y$ 下跌来修正，与模拟设定一致（$x$ 是纯随机游走）。
半衰期：价差 AR(1) 系数 0.952，半衰期 14 天，与真实值 13.5 天吻合。$\alpha_y\approx\phi-1=-0.05$，两种度量是一致的。

实盘中，下一步是用 $\hat z_t$ 的滚动均值和标准差构造 z 分数，设定开平仓阈值，并在样本外检验。注意对冲比和均值标准差都必须只用当时可得的数据估计，否则会引入前视偏差。

本章小结

单整阶数是使序列平稳所需的差分次数：随机游走为 I(1)，其差分为随机游走的序列为 I(2)，对数价格水平常为 I(2)（宏观价格指数）或 I(1)（资产价格），检验 I(2) 对 I(1) 只需对差分序列做单位根检验。DF 统计量不服从正态，根源在于非平稳回归元：分子收敛到 $\frac{\sigma^2}{2}(\chi^2_1-1)$，分母不收敛到常数，必须使用专门临界值。两个 I(1) 序列若存在平稳的线性组合 $Y_t-\theta X_t$，就是协整的，意味着共享随机趋势；协整变量用 VECM 建模，误差修正项帮助预测差分。$\theta$ 已知时对 $Y-\theta X$ 做 ADF；$\theta$ 未知时用 EG-ADF 两步法和表 17.1 的临界值；$\theta$ 的推断用 DOLS 加 HAC 标准误。协整检验在实践中既会误拒也会漏拒，应以经济理论和常识为依托。

概念	公式 / 要点
I($d$)	$\Delta^dY_t$ 平稳；I(2) vs I(1)：对 $\Delta Y_t$ 做 ADF
DF 分子极限	$\frac1T\sum Y_{t-1}\Delta Y_t\xrightarrow{d}\frac{\sigma_u^2}{2}(\chi^2_1-1)$
DF 临界值（含截距）	10%/5%/1%：$-2.57/-2.86/-3.43$
协整	$X,Y\sim$ I(1)，$Y-\theta X\sim$ I(0)
VECM	$\Delta Y_t=\cdots+\alpha_1(Y_{t-1}-\theta X_{t-1})+u_{1t}$
EG-ADF	OLS 协整回归 → 残差 DF；两变量 5% 临界值 $-3.41$
DOLS	$Y_t=\beta_0+\theta X_t+\sum_{j=-p}^p\delta_j\Delta X_{t-j}+u_t$，HAC 标准误
半衰期	$\ln0.5/\ln\phi$，$\phi$ 为价差 AR(1) 系数
多变量	$n$ 个 I(1) 变量最多 $n-1$ 个独立协整关系

练习

基础

什么是单位根？如何检验？如果 ADF 检验不拒绝单位根，能否断定序列有单位根？（原书复习题 17.5）提示：不能，可能是功效不足；尤其根接近 1（如 0.98）时。
永久收入理论认为对数 GDP 与对数消费协整，协整系数为 1。说明如何用作图和统计检验考察这一点。（原书复习题 17.3） 答案要点：画 $\ln Y$、$\ln C$ 和 $\ln Y-\ln C$；$\theta=1$ 已知，对 $\ln Y-\ln C$ 做 ADF，用普通 ADF 临界值。
验证式 (17.20)。（原书习题 17.5）提示：$Y_{t-1}\Delta Y_t=\frac12[Y_t^2-Y_{t-1}^2-(\Delta Y_t)^2]$，求和伸缩。
（原书习题 17.6）把 $Y_t=2.0+1.5X_{t+1}+0.9X_t-0.3X_{t-1}+u_t$ 写成 DOLS 形式，求 $\theta,\delta_{-1},\delta_0,\delta_1$。若 $X$ 为 I(1)、$u$ 为 I(0)，$X,Y$ 是否协整？若 $u$ 为 I(1) 呢？ 答案要点：$\theta=2.1$，$\delta_{-1}=1.5$，$\delta_0=0.3$，$\delta_1=0$；前者协整，后者不协整。
某研究员对两只股票的对数价格做 EG 两步法，残差 ADF $=-3.0$，他按普通 ADF 5% 临界值 $-2.86$ 宣布协整。错在哪里？提示：应用表 17.1 第一行，5% 临界值 $-3.41$，不能拒绝无协整。

进阶

（原书习题 17.2）期限结构：$R_{kt}=\frac1k\sum_{i=0}^{k-1}R1_{t+i|t}+e_t$。(a) $R1$ 为随机游走时证明 $R_{kt}=R1_t+e_t$，二者协整，协整系数为 1。(b) 若 $\Delta R1_t=0.5\Delta R1_{t-1}+u_t$，是否仍协整？(c) 若 $R1_t=0.5R1_{t-1}+u_t$ 呢？提示：(b) $R1_{t+i|t}$ 等于 $R1_t$ 加上一项依赖 $\Delta R1_t$ 的平稳项，仍协整、系数为 1；(c) $R1$ 平稳，协整概念不适用。
（原书习题 17.10）由 $Y_t=\theta X_t+v_{1t}$、$X_t=X_{t-1}+v_{2t}$ 推导 VECM，写出 $\alpha_1,\alpha_2$。若 $v_{1t}$ 是 AR(1)：$v_{1t}=\rho v_{1,t-1}+\varepsilon_t$，$\alpha_1$ 变成多少？提示：白噪声时 $\alpha_1=-1,\alpha_2=0$；AR(1) 时 $\alpha_1=\rho-1$。
（原书习题 17.7）$\Delta Y_t=u_t$ i.i.d. $N(0,1)$，$Y_t$ 对 $X_t=\Delta Y_{t+1}$ 回归（无截距）。证明 $\hat\beta\xrightarrow{d}\frac12(\chi^2_1-1)$。提示：$\hat\beta=\sum Y_tu_{t+1}/\sum u_{t+1}^2$，分子用 (17.20) 的技巧，分母除以 $T$ 收敛到 1。
修改示例二：把价差的 AR 系数改为 0.995（半衰期约 140 天），$T=500$，重复 500 次，统计 EG 检验在 5% 水平拒绝「无协整」的比例。结论说明了什么？提示：功效很低，多数情况下检验不出真实存在的协整，这正是原书「协整检验可能误导」的一面。
在 100 只互相独立的随机游走股票中两两做 EG 检验（4950 对），预计会有多少对在 5% 水平「通过」？这对配对交易选股有什么启示？提示：约 250 对；需要经济先验、多重检验调整和样本外验证。

原书推荐习题：17.2（期限结构推导协整）、17.5、17.7（单位根下非标准极限分布）、17.6（DOLS 结构）、17.10（推导 VECM）；复习题 17.3、17.5。

原书对照

本章内容	原书章节	PDF 页码
单整阶数、单位根检验统计量的非正态性（Key Concept 17.4，式 17.16–17.21，图 17.1）	17.3	p.659–663
协整、VECM、EG-ADF 检验、DOLS、多个协整变量（Key Concept 17.5，式 17.22–17.25，表 17.1）	17.4	p.664–668
专栏：时间序列计量经济学的诺贝尔奖得主	17.6 后	p.681–682
习题 17.2、17.5、17.6、17.7、17.10，复习题 17.3、17.5	第 17 章末	p.684–688
配对交易流程、MacKinnon 临界值对照（本教材补充）	—	—

注：原书页码 = PDF 页码 − 1。

概念	公式 / 要点
I(\(d\))	\(\Delta^dY_t\) 平稳；I(2) vs I(1)：对 \(\Delta Y_t\) 做 ADF
DF 分子极限	\(\frac1T\sum Y_{t-1}\Delta Y_t\xrightarrow{d}\frac{\sigma_u^2}{2}(\chi^2_1-1)\)
DF 临界值（含截距）	10%/5%/1%：\(-2.57/-2.86/-3.43\)
协整	\(X,Y\sim\) I(1)，\(Y-\theta X\sim\) I(0)
VECM	\(\Delta Y_t=\cdots+\alpha_1(Y_{t-1}-\theta X_{t-1})+u_{1t}\)
EG-ADF	OLS 协整回归 → 残差 DF；两变量 5% 临界值 \(-3.41\)
DOLS	\(Y_t=\beta_0+\theta X_t+\sum_{j=-p}^p\delta_j\Delta X_{t-j}+u_t\)，HAC 标准误
半衰期	\(\ln0.5/\ln\phi\)，\(\phi\) 为价差 AR(1) 系数
多变量	\(n\) 个 I(1) 变量最多 \(n-1\) 个独立协整关系

第 17b 章 单整、单位根检验的非标准分布与协整

学习目标

读前导读

这一章在解决什么问题

需要先想起来的数学

怎么读这一章

17.3 单整阶数与单位根检验统计量的非正态性

17.3.1 比随机游走更平滑的趋势：I(2)

17.3.2 单整阶数

17.3.3 为什么单位根检验统计量不服从正态分布

17.4 协整

17.4.1 共同随机趋势

17.4.2 向量误差修正模型

17.4.3 如何判断两个变量是否协整

17.4.4 协整系数的估计：动态 OLS

17.4.5 推广到多个协整变量

17.4.6 实践提醒

专栏：2003 年诺贝尔奖与协整

量化实战

1. 本章内容在量化中的用途

2. 示例一：用模拟看清 Dickey–Fuller 分布

3. 示例二：配对交易的完整流程

本章小结

练习

原书对照

第 17b 章单整、单位根检验的非标准分布与协整