第 17c 章 波动率聚集、已实现波动率与 ARCH/GARCH

学习目标

读完本章，你应当能够：

1. 描述波动率聚集现象，解释为什么收益几乎不可预测而收益的方差可以预测，并说出预测方差的三种用途。
2. 计算 \(h\) 期已实现波动率，知道它为什么用均方而不是样本方差。
3. 写出 ARCH(\(p\)) 与 GARCH(\(p,q\)) 的条件方差方程，理解 GARCH 与 ARCH 的关系类似于 ADL 与分布滞后模型。
4. 推导 ARCH(1)、GARCH(1,1) 的无条件方差与平稳条件，用 \(\alpha_1+\phi_1\) 衡量波动的持续性，并计算冲击的半衰期。
5. 读懂原书 Wilshire 5000 的 GARCH(1,1) 估计，并用 arch 包完成估计、多步方差预测和波动率目标仓位管理。

读前导读

这一章在解决什么问题

你在 FRM 或 CFA 风险管理部分大概见过 EWMA 和 GARCH(1,1) 的公式，也知道 RiskMetrics 用 \(\lambda=0.94\)。本章从计量的角度把它们讲清楚：为什么收益几乎不可预测，但收益的方差可以预测；ARCH 和 GARCH 各自假设了什么；长期方差、持续性、半衰期这些数是怎么从模型里推出来的；多步波动率预测为什么会「回到长期水平」。

一个贯穿全章的视角：GARCH 对方差做的事，和 AR 模型对均值做的事几乎一模一样。GARCH(1,1) 的条件方差满足一个 AR(1) 式的递推，于是 AR(1) 的所有结论——均值 \(\beta_0/(1-\beta_1)\)、\(h\) 步预测按 \(\beta_1^h\) 回归、半衰期 \(\ln0.5/\ln\beta_1\)——都可以直接搬过来，只是把 \(\beta_1\) 换成 \(\alpha_1+\phi_1\)。如果你已经读懂了第 15a 和 17a 章的 AR(1)，本章的推导几乎没有新东西。

本章另一个实用要点是已实现波动率：有高频数据时，直接用日内收益的平方和度量波动，不需要任何模型。它与 GARCH 互补：一个是「测量」，一个是「预测」。

需要先想起来的数学

• 迭代期望律：\(E(X)=E[E(X\mid\mathcal F)]\)。推导 ARCH/GARCH 的无条件方差时，先在给定过去的条件下算 \(E(u_t^2\mid\text{过去})=\sigma_t^2\)，再对过去取期望。见 第 00 册第 07 章 概率中的分析工具。
• 平稳序列的「不动点」技巧：若 \(E(Z_t)=a+bE(Z_{t-1})\) 且平稳（\(E(Z_t)=E(Z_{t-1})\)），则 \(E(Z)=a/(1-b)\)。AR(1) 均值、ARCH 方差、GARCH 方差都用这一招。
• 几何级数：\(\sum_{j=0}^\infty\phi^j=1/(1-\phi)\)，\(\sum_{j=0}^{h-1}c^j=(1-c^h)/(1-c)\)。用于 GARCH 的 ARCH(\(\infty\)) 表示和累计方差预测。见 第 00 册第 04 章 级数与收敛。
• 正态分布的区间概率：\(\Pr(-c\le u\le c)=2\Phi(c/\sigma)-1\)，\(\Phi\) 是标准正态累积分布函数。例：\(c/\sigma=1.96\) 时为 0.95。
• 最大似然估计：选参数使「观测到这组数据的概率」最大。你只需知道 GARCH 无法用 OLS 估计（\(\sigma_t^2\) 不可观测），要用数值方法最大化对数似然，软件会完成。见 第 00 册第 05 章 多元微积分与优化 中无约束极值的部分。

怎么读这一章

核心必读：17.5.1（波动率聚集）、17.5.4（ARCH 及其无条件方差的推导）、17.5.5（GARCH、持续性与多步预测公式）、17.5.6（Wilshire 5000 的估计与解读）。17.5.3 已实现波动率很短，必读。17.5.2 和 17.5.7 是概念性的，快速浏览即可。ARCH 产生厚尾的峰度公式第一次可以只记结论。量化实战的波动率目标示例与你的日常工作最接近，建议对照代码读。

17.5.0 与第 06 册的分工

第 06 册（Tsay）第 03a、03b 章是波动率模型的主战场：ARCH 效应检验、GARCH 的各种扩展（EGARCH、GJR、GARCH-M）、随机波动率模型、已实现波动率的高频细节。原书 17.5 节篇幅不长，目的是在一本计量教材里让读者知道这类模型「是什么、为什么、怎么估计」。本章忠实讲解原书内容，补上几个基本推导（无条件方差、持续性、多步预测），并把重点放在计量视角：它与时间序列回归的关系、预测区间、估计和推断。更深入的模型变体请到第 06 册。

17.5 波动率聚集与自回归条件异方差

17.5.1 波动率聚集

许多金融和宏观变量的波动幅度随时间变化。原书图 17.2 是 Wilshire 5000 全市场指数 1990–2017 年的日收益率，范围大约在 \(-10\%\) 到 \(+11\%\) 之间：2001 年、2008 年波动很大，2004 年、2017 年很平静。序列有时平静、有时剧烈，而且平静期和剧烈期各自「成簇」出现，这叫波动率聚集（volatility clustering）。

聚集意味着：日收益的方差可以预测，尽管日收益本身几乎无法预测。今天波动大，明天大概率也大。这种「方差随时间变化且依赖过去」的现象，在计量术语里叫条件异方差（conditional heteroskedasticity）：给定过去信息，误差的条件方差不是常数。

与第 5 章的异方差对比：那里的异方差是误差方差随回归元 \(X_i\) 变化（截面），处理办法是稳健标准误；这里的异方差是误差方差随时间和过去的冲击变化，我们不只是要修正标准误，而是要把方差本身当作预测对象。

白话解释：「收益不可预测、方差可预测」怎么能同时成立？收益不可预测是说 \(\text{corr}(r_t,r_{t-1})\approx0\)，你无法从昨天的涨跌判断今天的方向。方差可预测是说 \(\text{corr}(r_t^2,r_{t-1}^2)>0\)，昨天大涨或大跌，今天大概率也有大幅波动，只是方向不知道。两者并不矛盾：\(r_t=\sigma_tz_t\)，\(z_t\) 独立且对称，\(\sigma_t\) 依赖过去。方向由 \(z_t\) 决定，不可预测；幅度由 \(\sigma_t\) 决定，可以预测。

「条件」和「无条件」的区别在本章非常关键：无条件方差是长期平均的波动水平，一个常数；条件方差 \(\sigma_t^2\) 是「站在昨天看今天」的波动，随时间变化。序列可以是平稳的（无条件方差恒定），同时具有条件异方差。

17.5.2 为什么要预测方差

原书列出三种用途：

1. 风险度量。资产价格变化的方差衡量持有它的风险：方差越大，持有者在典型的一天可能赚得或亏得越多。厌恶风险的投资者在高波动期不愿持有。
2. 衍生品定价。期权等衍生品的价值取决于标的资产未来的方差，期权交易者需要最好的未来波动率预测来决定买卖价格（第 08 册）。
3. 改进预测区间。若预测误差方差恒定，可以用回归标准误或最终预测误差（第 15.5 节）构造区间；若方差随时间变化，区间宽度就应随之变化：冲击大时宽、平静时窄。如果方差变化缓慢，可以用伪样本外 MSFE 的估计（式 15.22）；但要捕捉图 17.2 那样的快速变化，需要其他方法。

度量波动率聚集有两类方法：观测频率很高时可以直接测量（已实现波动率）；频率较低时要建模估计（ARCH/GARCH）。

17.5.3 已实现波动率

用日数据估计某个月的波动率，自然想到算这个月日收益的样本方差。但高频资产收益的均值相对于其波动非常小（日收益均值在 0.03% 量级，标准差在 1% 量级），估计均值只会增加噪声。所以波动率不用样本方差，而用均方（mean square），即不减均值。

\(X_t\) 的 \(h\) 期已实现波动率（realized volatility）定义为 \(h\) 个连续期上的样本均方根：

原书图 17.3 画出了 2015–2017 年 Wilshire 5000 日收益及 20 日已实现波动率的 \(\pm RV\) 带，它平滑地刻画了波动聚集。

17.5.4 ARCH 模型

考虑一个 ADL(1,1) 回归：

若系数为正，近期误差平方大时，模型预测当期误差的方差 \(\sigma_t^2\) 也大，这正是聚集。ARCH 可以套在任何条件均值为零的时间序列回归的误差上：高阶 ADL、AR、多预测变量回归都可以。

ARCH(1) 的无条件方差（原书习题 17.3、17.9）。设 \(\sigma_t^2=\alpha_0+\alpha_1u_{t-1}^2\)，且 \(u_t\) 平稳。由迭代期望律，

推导拆解：上面那串等式的每一步。

1. \(\text{var}(u_t)=E(u_t^2)\)：因为 \(E(u_t)=0\)。
2. \(E(u_t^2)=E[E(u_t^2\mid u_{t-1})]\)：迭代期望律，先固定过去，再对过去平均。
3. \(E(u_t^2\mid u_{t-1})=\sigma_t^2\)：模型假设，给定过去时 \(u_t\) 的方差就是 \(\sigma_t^2\)，均值为 0，所以二阶矩等于方差。
4. \(E(\sigma_t^2)=\alpha_0+\alpha_1E(u_{t-1}^2)\)：代入 ARCH 方程，期望是线性的。
5. 平稳：\(E(u_t^2)=E(u_{t-1}^2)=V\)，于是 \(V=\alpha_0+\alpha_1V\)，\(V=\alpha_0/(1-\alpha_1)\)。

另外，所有系数都要非负（\(\alpha_0>0\)，\(\alpha_i\ge0\)），否则 \(\sigma_t^2\) 可能算出负数。这是估计时软件施加的约束。

数值例（习题 17.3）：\(\sigma_t^2=1.0+0.5u_{t-1}^2\)，无条件方差 \(=1/(1-0.5)=2\)。条件正态下：

• 若 \(u_{t-1}=0.2\)：\(\sigma_t^2=1.02\)，\(\Pr(-3\le u_t\le3)=2\Phi(3/\sqrt{1.02})-1\approx0.997\)；
• 若 \(u_{t-1}=2.0\)：\(\sigma_t^2=3.0\)，\(\Pr(-3\le u_t\le3)=2\Phi(3/\sqrt3)-1\approx0.917\)。

同一个区间 \([-3,3]\)，昨天冲击小时几乎必然覆盖今天的误差，昨天冲击大时有 8% 的概率落在外面。这就是「宽度随近期波动变化的预测区间」的含义。

ARCH 产生厚尾。即使条件分布是正态，无条件分布也比正态更厚尾：它是方差不同的正态分布的混合。对 ARCH(1) 可以算出，在四阶矩存在（\(3\alpha_1^2<1\)）时，无条件峰度为 \(3(1-\alpha_1^2)/(1-3\alpha_1^2)>3\)。这解释了金融收益「尖峰厚尾」的一部分来源（第 06 册第 01、03a 章）。

金融直觉：「正态的混合会厚尾」可以这样理解：一半日子波动率 0.5%，一半日子 1.5%，每天都是正态。把所有日子放在一起看，大部分观测挤在 0 附近（来自平静日），又有一些极端值（来自剧烈日），中间不多不少的部分相对较少——这正是「尖峰厚尾」。用一个不变的 \(\sigma\) 计算 VaR，平静期高估风险、危机期严重低估风险。代入数字：\(\alpha_1=0.5\) 时峰度 \(=3\times0.75/0.25=9\)，是正态的 3 倍。

17.5.5 GARCH 模型

ARCH 要刻画缓慢变化的方差，往往需要很多阶滞后。Tim Bollerslev（1986）的广义 ARCH（generalized ARCH，GARCH）让 \(\sigma_t^2\) 还依赖它自己的滞后。GARCH(\(p,q\))：

原书的类比很好记：ARCH 像分布滞后模型，GARCH 像 ADL 模型。第 16 章说过，ADL 能比分布滞后模型更简洁地表示一长串动态乘数；同理，GARCH 通过加入 \(\sigma_t^2\) 的滞后，用很少的参数刻画缓慢变化的方差。事实上，把 GARCH(1,1) 反复代入可得

推导拆解：反复代入的过程。

1. \(\sigma_t^2=\alpha_0+\alpha_1u_{t-1}^2+\phi_1\sigma_{t-1}^2\)。
2. 把 \(\sigma_{t-1}^2=\alpha_0+\alpha_1u_{t-2}^2+\phi_1\sigma_{t-2}^2\) 代入：\(\sigma_t^2=\alpha_0(1+\phi_1)+\alpha_1(u_{t-1}^2+\phi_1u_{t-2}^2)+\phi_1^2\sigma_{t-2}^2\)。
3. 继续代入 \(k\) 次：常数项是 \(\alpha_0(1+\phi_1+\cdots+\phi_1^{k})\)，冲击项是 \(\alpha_1\sum_{j=0}^{k}\phi_1^ju_{t-1-j}^2\)，尾项 \(\phi_1^{k+1}\sigma_{t-k-1}^2\)。
4. \(|\phi_1|<1\) 时尾项趋于 0，常数项的几何级数趋于 \(\alpha_0/(1-\phi_1)\)。

金融直觉：这就是 EWMA 的推广。RiskMetrics 的 EWMA 是 \(\sigma_t^2=(1-\lambda)u_{t-1}^2+\lambda\sigma_{t-1}^2\)，即 GARCH(1,1) 取 \(\alpha_0=0\)、\(\alpha_1=1-\lambda\)、\(\phi_1=\lambda\)，持续性 \(\alpha_1+\phi_1=1\)。所以 EWMA 是「没有长期均值、波动预测永不回归」的 GARCH。原书 Wilshire 的估计 \(\phi_1=0.908\)、\(\alpha_1=0.088\)，与 \(\lambda=0.94\) 的 EWMA 相比，对新冲击反应更大、记忆更短，并且多了一个回归中枢。

GARCH(1,1) 的无条件方差与持续性（原书习题 17.9）。同样取期望：\(E(\sigma_t^2)=\alpha_0+\alpha_1E(u_{t-1}^2)+\phi_1E(\sigma_{t-1}^2)\)，而 \(E(u_{t-1}^2)=E(\sigma_{t-1}^2)\)，平稳时得

\(\alpha_1+\phi_1\) 是方差变动持续性的度量。把 \(\sigma_{t+h}^2\) 的预测写成偏离长期水平的形式：

推导拆解：把上面的递推补全成闭式。

1. 为什么 \(E_t(u_{t+j}^2)=E_t(\sigma_{t+j}^2)\)：迭代期望，\(E_t(u_{t+j}^2)=E_t[E_{t+j-1}(u_{t+j}^2)]=E_t(\sigma_{t+j}^2)\)。
2. 递推：\(E_t\sigma_{t+j+1}^2=\alpha_0+\alpha_1E_tu_{t+j}^2+\phi_1E_t\sigma_{t+j}^2=\alpha_0+(\alpha_1+\phi_1)E_t\sigma_{t+j}^2\)。
3. 两边减去 \(\bar\sigma^2\)，利用 \(\alpha_0=\bar\sigma^2(1-\alpha_1-\phi_1)\)：\(E_t\sigma_{t+j+1}^2-\bar\sigma^2=(\alpha_1+\phi_1)(E_t\sigma_{t+j}^2-\bar\sigma^2)\)。
4. 从 \(j=1\)（\(\sigma_{t+1}^2\) 在 \(t\) 期已知）出发迭代 \(h-1\) 次，得到正文公式。

数值例：用原书估计，\(\bar\sigma^2=3.25\)，设今天算出 \(\sigma_{t+1}^2=1.0\)，持续性 0.996。20 天后的日方差预测 \(=3.25+0.996^{19}\times(1.0-3.25)\approx3.25-0.927\times2.25\approx1.16\)，几乎没动。持续性越接近 1，预测越像「明天和今天一样」，这也是 EWMA（持续性恰为 1）在实务中够用的原因。

金融直觉：期权定价要的是从今天到到期日的累计方差（练习 7 的公式）。当前波动低于长期水平时，GARCH 预测的波动率期限结构向上倾斜（远期合约隐含波动更高）；当前高于长期水平时向下倾斜。这与隐含波动率期限结构「平静时正斜率、危机时倒挂」的常见形态一致。

主要应用：度量和预测金融资产收益（特别是日收益等高频数据）的时变波动率。此时收益本身通常被视为不可预测，(17.27) 只保留截距。

估计与推断。ARCH/GARCH 用最大似然（附录 11.2）估计：条件正态下，第 \(t\) 期的对数似然贡献是 \(-\frac12[\ln2\pi+\ln\sigma_t^2+u_t^2/\sigma_t^2]\)，\(\sigma_t^2\) 由 (17.29) 递推。

白话解释：这个对数似然在「奖励」什么？忽略常数，每期贡献是 \(-\frac12(\ln\sigma_t^2+u_t^2/\sigma_t^2)\)。对给定的 \(u_t^2\)，把它看成 \(\sigma_t^2\) 的函数求最大：对 \(\sigma_t^2\) 求导得 \(-\frac12(1/\sigma_t^2-u_t^2/\sigma_t^4)\)，令其为 0 得 \(\sigma_t^2=u_t^2\)。也就是说，似然函数希望模型给出的 \(\sigma_t^2\) 尽量贴近实际出现的 \(u_t^2\)；预测太小（\(u_t^2/\sigma_t^2\) 很大）罚得很重，预测太大（\(\ln\sigma_t^2\) 偏大）罚得较轻。这正是风险管理需要的不对称：低估风险的代价大于高估。

17.5.6 应用：股价波动率

Wilshire 5000 日百分比收益 \(R_t\)，样本为 1990 年 1 月 2 日至 2017 年 12 月 29 日的全部交易日，GARCH(1,1) 估计为

解读：

• 均值方程没有滞后预测变量，因为日收益本质上不可预测。日均收益 0.063%，约合年化 16%。
• 两个 GARCH 系数在 5% 水平都显著。
• 持续性 \(0.088+0.908=0.996\)，原书说「约 0.99，很大」。条件方差变动高度持续：高波动期会持续很久，与图 17.2 中长时间的波动聚集一致。按 0.996 计算，冲击对方差预测的半衰期约 \(\ln0.5/\ln0.996\approx173\) 个交易日，接近 8 个月。
• 隐含的长期日方差为 \(0.013/(1-0.996)=3.25\)。注意持续性接近 1 时，这个数对估计误差极其敏感：如果持续性是 0.99，它就变成 1.3。所以实务中常常不直接相信 GARCH 隐含的长期方差，而是用样本方差来「锚定」它（方差目标法，variance targeting）。

白话解释：3.25 的日方差对应日标准差约 1.8%、年化约 29%，明显高于美股全市场长期约 17%–19% 的实际年化波动。这说明这里的长期方差主要是估计不稳定的产物，而不是对现实的可靠刻画。原因就在分母：\(1-0.996=0.004\)，持续性只要有 \(\pm0.003\) 的估计误差（约一个标准误的量级），分母就在 0.001 到 0.007 之间，长期方差可以从 1.9 变到 13。

用 (17.30) 的残差和 (17.31) 的系数可以递推出 \(\hat\sigma_t^2\)。原书图 17.3 中，2015–2017 年 GARCH(1,1) 的 \(\pm\hat\sigma_t\) 带与 20 日已实现波动率带在数量上相近。2015 年上半年带较窄，持有 Wilshire 5000 组合的风险低；下半年变宽，日波动增大。

17.5.7 两种方法比较

原书的结论是：两者是互补的波动率聚集度量工具。实务中两者常结合使用：用已实现波动率作为「观测到的」波动率，在其上建立 HAR 等时间序列模型；或把已实现波动率作为 GARCH 方程的额外回归元（Realized GARCH）。这些扩展见第 06 册。

17.5.8 专栏：Engle 与 ARCH

2003 年诺贝尔经济学奖的另一半授予 Robert Engle。他受类似图 17.2 的波动聚集启发，追问这样的序列能否是平稳的，能否建模解释和预测时变波动，由此提出了 ARCH。ARCH 及其扩展特别适合资产收益波动，其波动率预测用于衍生品定价和评估持有金融资产的时变风险。如今它是金融计量的核心，是波动率建模的主力工具。

量化实战

1. 本章内容在量化中的用途

风险目标与仓位管理（vol targeting）。 把组合的预测年化波动控制在目标水平：仓位 \(w_t=\sigma^{\text{target}}/\hat\sigma_{t|t-1}\)。\(\hat\sigma\) 可以来自 20 日已实现波动率、EWMA 或 GARCH 的一步预测。由于波动持续，这样做能显著稳定组合的实际波动，许多研究还发现它能改善风险调整收益（波动高时收益未必同比例提高）。

VaR/ES 与风险预算。 条件 VaR 的最简形式是 \(\mathrm{VaR}_{t+1}=-(\mu+z_\alpha\hat\sigma_{t+1|t})\)，\(\hat\sigma\) 来自 GARCH；用 t 分布的分位数代替正态可以部分修正厚尾。风险预算、风险平价按波动倒数分配权重时，也需要波动率预测。第 06 册第 07a 章系统讲 VaR。

期权与波动率交易。 GARCH 的多步方差预测给出「期限结构」：未来 \(h\) 天的累计方差 \(\sum_{j=1}^hE_t\sigma_{t+j}^2\)，可与期权隐含波动率比较，构造波动率风险溢价信号。

动态止损与持仓周期。 止损幅度、目标价位按 \(\hat\sigma_t\) 缩放，避免平静期止损太宽、剧烈期止损太窄。

持续性的含义。 \(\alpha_1+\phi_1\approx0.99\) 意味着高波动会延续数月，这是波动率择时、风险平价调仓频率选择的依据。但也要记住：持续性接近 1 时，长期方差的估计非常不稳定；有结构断点（如 2008 年前后）的样本还会让持续性被高估。

已实现波动率的工程细节。 均方而非样本方差、选择采样频率（5 分钟常见）、处理隔夜收益和微观结构噪声。日内策略常用一天内前几小时的 RV 预测剩余时段的波动。

2. 示例：GARCH(1,1) 估计、多步方差预测与波动率目标

以原书 (17.30)(17.31) 的估计值作为「真值」，用标准化 t(7) 新息模拟 7000 个交易日（约 28 年），再用 arch 包估计。

import numpy as np
import pandas as pd
from arch import arch_model

rng = np.random.default_rng(2017)
T = 7000                                   # 约 28 年日数据
omega, a1, b1, mu = 0.013, 0.088, 0.908, 0.063   # 取原书 (17.30)(17.31) 的估计值作为"真值"
nu = 7                                     # 标准化 t 新息，模拟厚尾
z = rng.standard_t(nu, T) / np.sqrt(nu / (nu - 2))
r, s2 = np.empty(T), np.empty(T)
s2[0] = omega / (1 - a1 - b1)
for t in range(T):
    if t > 0:
        s2[t] = omega + a1 * (r[t-1] - mu) ** 2 + b1 * s2[t-1]
    r[t] = mu + np.sqrt(s2[t]) * z[t]
r = pd.Series(r)

res = arch_model(r, mean="Constant", vol="GARCH", p=1, q=1, dist="t").fit(disp="off")
print(res.params.round(3))
pers = res.params["alpha[1]"] + res.params["beta[1]"]
print(f"持续性 alpha+beta = {pers:.3f}; 冲击半衰期 = {np.log(0.5)/np.log(pers):.0f} 天")
print(f"无条件日方差 = omega/(1-alpha-beta) = {res.params['omega']/(1-pers):.3f}"
      f"（样本方差 {r.var():.3f}）")

# 20 日已实现波动率 vs GARCH 条件波动率
rv20 = np.sqrt((r ** 2).rolling(20).mean())
cv = res.conditional_volatility
print(f"RV20 与 GARCH sigma_t 的相关系数: {np.corrcoef(rv20[20:], cv[20:])[0,1]:.3f}")

# 多步方差预测：向无条件方差回归
f = res.forecast(horizon=250, reindex=False).variance.values[0]
print("未来 1/5/20/60/250 日的日方差预测:", f[[0, 4, 19, 59, 249]].round(3))

# 波动率目标：年化目标 10%，仓位 = 目标 / 预测年化波动
target = 10.0
sig_ann = np.sqrt(252) * cv.shift(1)           # 只用 t-1 的信息
w = (target / sig_ann).clip(upper=2.0)
strat = w * r
print(f"原始收益年化波动 {np.sqrt(252)*r.std():.1f}%，波动目标后 {np.sqrt(252)*strat.std():.1f}%")
roll = lambda x: np.sqrt(252) * x.rolling(250).std()
print(f"滚动一年波动的离散度(std)：原始 {roll(r).std():.2f}，目标后 {roll(strat).std():.2f}")

输出：

mu          0.070
omega       0.015
alpha[1]    0.079
beta[1]     0.913
nu          7.110
Name: params, dtype: float64
持续性 alpha+beta = 0.992; 冲击半衰期 = 84 天
无条件日方差 = omega/(1-alpha-beta) = 1.835（样本方差 1.788）
RV20 与 GARCH sigma_t 的相关系数: 0.981
未来 1/5/20/60/250 日的日方差预测: [1.141 1.163 1.242 1.409 1.747]
原始收益年化波动 21.2%，波动目标后 10.1%
滚动一年波动的离散度(std)：原始 7.90，目标后 0.65

解读：

• 7000 个观测下，MLE 很好地恢复了参数：\(\hat\alpha_1=0.079\)、\(\hat\phi_1=0.913\)（真值 0.088、0.908），t 分布自由度 7.1（真值 7）。
• 持续性估计 0.992，真值 0.996，看似很接近，半衰期却从 173 天变成 84 天。这印证了正文的提醒：持续性接近 1 时，由它推出的量（半衰期、长期方差）对估计误差非常敏感。
• 20 日已实现波动率与 GARCH 条件波动率的相关系数 0.98，对应原书图 17.3「两条带数量上相近」。
• 多步方差预测从当前的 1.14 逐步爬升到 250 天后的 1.75，向长期方差 1.84 回归，这就是 \(E_t\sigma_{t+h}^2-\bar\sigma^2=(\alpha_1+\phi_1)^{h-1}(\sigma_{t+1}^2-\bar\sigma^2)\)。
• 波动率目标后，年化波动精确落在 10% 附近，滚动一年波动的离散度从 7.9 个百分点降到 0.65。注意仓位只用 \(t-1\) 的 \(\hat\sigma\)（shift(1)），避免前视偏差；并设置了 2 倍杠杆上限。

本章小结

金融收益的波动率随时间变化并成簇出现，收益本身难以预测，收益的方差却可以预测，这对风险度量、衍生品定价和预测区间都很重要。高频数据下可直接用已实现波动率 \(RV_t^h=\sqrt{\frac1h\sum X_s^2}\) 度量，低频数据或需要预测时用 ARCH/GARCH 建模。ARCH 让条件方差依赖过去误差平方，GARCH 再加入条件方差自身的滞后，以少量参数刻画缓慢变化的方差，两者都用最大似然估计。GARCH(1,1) 的无条件方差为 \(\alpha_0/(1-\alpha_1-\phi_1)\)，\(\alpha_1+\phi_1\) 衡量持续性，股市日数据约 0.99，波动冲击会持续数月；多步方差预测以该速度几何回归长期水平。已实现波动率无需模型假设，GARCH 能预测并适合低频数据，两者互补。

练习

基础

1. 什么是波动率聚集？描述两个度量或建模它的方法。（原书复习题 17.4） 答案要点：高、低波动期各自成簇；已实现波动率、ARCH/GARCH。
2. （原书习题 17.3）\(\sigma_t^2=1.0+0.5u_{t-1}^2\)。(a) 用迭代期望律证明 \(u_t\) 的无条件方差为 2。(b) 条件正态下，分别求 \(u_{t-1}=0.2\) 和 \(u_{t-1}=2.0\) 时的 \(\Pr(-3\le u_t\le3)\)。 答案要点：(b) 约 0.997 和 0.917。
3. 为什么已实现波动率用均方而不是样本方差？如果用月度数据计算 12 个月已实现波动率，这个理由还成立吗？ 提示：日收益均值相对波动很小；月度收益均值相对波动不再可忽略，减不减均值会有可见差别，而且 12 个观测太少。
4. 用原书 (17.31)，若昨天的残差 \(u_{t-1}=3\)（%）、昨天的条件方差 \(\sigma_{t-1}^2=1.5\)，今天的条件方差和条件标准差各是多少？ 答案要点：\(0.013+0.088\times9+0.908\times1.5=2.167\)，标准差约 1.47%。
5. GARCH(1,1) 持续性为 0.98，冲击对方差预测的半衰期是多少个交易日？ 答案要点：\(\ln0.5/\ln0.98\approx34\) 天。

进阶

6. （原书习题 17.9）(a) 证明平稳 ARCH(1) 有 \(\mathrm{var}(u_t)=\alpha_0/(1-\alpha_1)\)；(b) 推广到 ARCH(\(p\))，并证明 \(\sum\alpha_i<1\)；(c) 推广到 GARCH(1,1)，证明 \(\alpha_1+\phi_1<1\)。 提示：都用 \(E(u_t^2)=E(\sigma_t^2)\) 和平稳性；方差为正有限推出约束。
7. 推导 GARCH(1,1) 的多步预测公式 \(E_t\sigma_{t+h}^2=\bar\sigma^2+(\alpha_1+\phi_1)^{h-1}(\sigma_{t+1}^2-\bar\sigma^2)\)，并据此写出未来 \(h\) 天累计方差的闭式表达。 提示：几何级数求和：\(h\bar\sigma^2+(\sigma_{t+1}^2-\bar\sigma^2)\frac{1-(\alpha_1+\phi_1)^h}{1-\alpha_1-\phi_1}\)。
8. 证明 GARCH(1,1) 可以写成 \(u_t^2\) 的 ARMA(1,1)：令 \(\eta_t=u_t^2-\sigma_t^2\)，则 \(u_t^2=\alpha_0+(\alpha_1+\phi_1)u_{t-1}^2+\eta_t-\phi_1\eta_{t-1}\)。这对理解 \(u_t^2\) 的自相关有什么帮助？ 提示：\(\eta_t\) 是鞅差分；\(u_t^2\) 的自相关以 \(\alpha_1+\phi_1\) 的速度衰减。
9. 修改示例：(a) 用正态分布而非 t 分布估计（dist="normal"），比较参数和对数似然；(b) 用前 5000 天估计、后 2000 天做一步方差预测，比较 GARCH、20 日 RV 与 EWMA（\(\lambda=0.94\)）三种预测对 \(r_{t+1}^2\) 的均方误差。 提示：(a) 参数相近（准 MLE 一致），似然更差；(b) 三者的均方误差相差很小（GARCH 略优），因为 \(r_{t+1}^2\) 本身是方差的极其嘈杂的代理，单期平方收益的噪声主导了误差；比较波动率预测时应使用对噪声稳健的损失函数（如 QLIKE）或用已实现方差作代理。
10. （原书实证题 E17.2 的思路）对 GDP 增长率建 AR(2) + GARCH(1,1) 误差模型，画 \(\pm\hat\sigma_t\) 带，看 1980 年代中期「大缓和」（Great Moderation）是否可见。如果你没有数据，用模拟：前半段 \(\alpha_0\) 较大、后半段较小，看 GARCH 带能否捕捉，持续性估计会怎样？ 提示：方差的结构断点会让单一 GARCH 的持续性被高估。

原书推荐习题：17.3、17.9（ARCH/GARCH 无条件方差与平稳条件）；复习题 17.4；实证题 E17.2（AR + GARCH 实操、观察波动率体制变化）。

原书对照

注：原书页码 = PDF 页码 − 1。