第 02 册 概率论 · 本册导读

本册以 Ross《A First Course in Probability》第 9 版为底本，用 14 个章节文件和 1 个附录覆盖原书全部 10 章。它是整套教材的概率基础：后面的统计推断、计量、时间序列、衍生品定价和策略评估，都默认读者已经掌握这里的语言和工具。

一、本册定位

1. 底本

各章末尾「原书对照」表都给出 PDF 页码（第 01–06b 章另列书内页码），查原书统一按 PDF 页码翻。

原书是美国本科一学期的概率论入门教材，特点是例题极多、证明以直观为主、不用测度论。本册保留了原书的主线、例题编号和习题编号，便于对照原书做题；同时在每章增加「量化实战」一节，用 Python 把概率结论落到交易、风控和回测问题上。

2. 本册结构

原书第 4、6 章内容多，各拆成两篇；第 7 章是全书最长、对量化最有用的一章，拆成三篇。拆分后的文件名用 a/b/c 区分，章内小节编号按教学顺序重排，例题编号、命题编号和公式编号仍沿用原书（例如第 04a 章的「例 9d」「式 (9.1)」来自原书 4.9 节）。读者对照原书时以例题编号为准。

另有附录 A1 常用分布速查，汇总 16 个分布的密度、矩、MGF、生成方法、量化用途以及 scipy.stats 参数化差异。

3. 在量化交易中的作用

量化交易处理的几乎每个对象都是随机变量：一笔交易的盈亏、一天的收益、一分钟内的成交笔数、一家公司的违约时间。本册的用途可归纳为六类：

• 描述单个不确定量：期望、方差、VaR，以及「胜率高不等于期望为正」（04a、05）。
• 描述多个量的关系：协方差、相关系数、多元正态，是组合风险 \(w^\top\Sigma w\)、对冲比率和因子模型的基础（06b、07a、07c）。
• 用信息更新判断：Bayes 公式、条件期望、收缩估计，对应「显著因子里有多少是真的」「回测最好的策略真实水平多高」（03、06b、07b）。
• 判断结果是不是运气：二项尾概率、最长连串、次序统计量、Boole 不等式、CLT，回答「胜率 55% 显著吗」「连亏 9 笔正常吗」「最佳夏普有多少水分」「回测要多长」（02、04b、06b、08）。
• 事件与状态的动态建模：泊松过程刻画订单到达与跳跃，风险率刻画违约，Markov 链刻画市场状态与评级迁移（04b、05、09）。
• 数值计算：逆变换、拒绝法、方差缩减支撑蒙特卡洛定价和风险模拟，置换检验依赖可交换性与随机排列（06b、10）。

4. 与其他各册的关系

本册是第 03–08 册和第 11 册的直接前置。下表列出主要的衔接点。

二、前置知识与自测

1. 开始前应会什么

微积分是主要门槛。需要熟练掌握一元积分（换元、分部积分）、二重积分及交换积分次序、极坐标换元、几何级数与指数级数、\((1+x/n)^n\to e^x\) 这类极限。第 05 章起几乎每页都有积分，第 06a 章起有二重积分，第 06b 章有雅可比行列式。

线性代数只需要矩阵乘法、转置、对称矩阵和正定的概念。第 07a 章的组合方差和第 07c 章的多元正态会用到 \(A\mathbf Z\)、\(AA^\top\) 和 Cholesky 分解，第 09 章的 Markov 链会用到矩阵幂和左特征向量。不熟悉的读者可先看第 01 册第 00 章。

Python 需要会用 numpy 数组、向量化运算和随机数生成器 np.random.default_rng，能读懂 scipy.stats 的分布对象。

不需要测度论，也不需要先学过统计学。

2. 五道自测题

做完再看答案要点。五题都能在 10 分钟内独立做对，可以直接开始；错两题以上，建议先补微积分（尤其是积分与级数）。

题 1（级数） 设 \(0<q<1\)。求 \(\sum_{n\ge1}q^{n-1}\)、\(\sum_{n\ge1}nq^{n-1}\) 和 \(\sum_{k\ge0}\lambda^k/k!\)。

答案要点：\(\frac1{1-q}\)；对几何级数逐项求导得 \(\frac1{(1-q)^2}\)；\(e^\lambda\)。第一、二个结果在第 04b 章求几何分布的均值时直接用到，第三个是泊松分布归一化的依据。

题 2（分部积分） 设 \(\lambda>0\)。求 \(\int_0^\infty x\lambda e^{-\lambda x}dx\) 与 \(\int_0^\infty x^2\lambda e^{-\lambda x}dx\)，并证明 \(\Gamma(n)=\int_0^\infty x^{n-1}e^{-x}dx=(n-1)!\)。

答案要点：\(1/\lambda\) 与 \(2/\lambda^2\)（于是指数分布方差为 \(1/\lambda^2\)）；分部积分得 \(\Gamma(n)=(n-1)\Gamma(n-1)\)，再由 \(\Gamma(1)=1\) 归纳。

题 3（二重积分） 计算 \(\iint_{0<x<y<1}8xy\,dx\,dy\)；再用极坐标证明 \(\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2/2}dx=\sqrt{2\pi}\)。

答案要点：先对 \(x\) 从 0 到 \(y\) 积分得 \(4y^3\)，再积得 1；把积分平方写成二重积分，极坐标下 \(\int_0^{2\pi}\int_0^\infty e^{-r^2/2}r\,dr\,d\theta=2\pi\)。前者是第 06a 章判断独立性的例子，后者是正态密度归一化和 Box–Muller 方法的来源。

题 4（矩阵） \(\Sigma=\begin{pmatrix}4&1\\1&9\end{pmatrix}\)，\(w=(0.5,0.5)^\top\)。求 \(w^\top\Sigma w\)，并说明为什么协方差矩阵必须半正定。

答案要点：\(0.25\times4+0.25\times9+2\times0.25\times1=3.75\)；因为 \(w^\top\Sigma w\) 是组合收益的方差，对任何权重都不能为负。

题 5（编程） 用 numpy 模拟掷两颗骰子 \(10^6\) 次，估计点数和为 7 的频率，并说出理论值和模拟误差的量级。

答案要点：rng=np.random.default_rng(0); s=rng.integers(1,7,(10**6,2)).sum(1); (s==7).mean()；理论值 \(1/6\approx0.1667\)，标准误约 \(\sqrt{(1/6)(5/6)/10^6}\approx3.7\times10^{-4}\)。误差按 \(1/\sqrt n\) 缩小的原因在第 08 章和第 10 章讲。

三、章节地图

「必学」指量化研究离不开的内容；「选学」指有用但可以按需回看；「速读」指概念要知道、细节可以跳过。学时按认真读正文、做一半练习、运行代码估算，合计约 90 小时。

章内标为「选读」的小节有：1.6 方程的整数解个数、2.5 概率的连续性、6.8 可交换随机变量（但它是置换检验的前提，建议至少读结论）、7.2.5 概率方法与最大–最小恒等式、7.9 期望的一般定义、8.6 Poisson 近似的误差界、9.4 编码理论与熵。

四、学习路径

路径 A：量化研究速成路径（约 50 小时）

适合已经在做量化研究、需要尽快补齐工具的读者，按「单变量 → 多变量 → 条件化 → 极限 → 模拟」推进，每章都要跑量化实战代码。

1. 第 02 章（2 h）：只读容斥、Boole 不等式、生日问题、游程分布与多重检验。
2. 第 03 章（5 h）：全概率与 Bayes 赔率形式、基础率谬误、赌徒破产、序贯更新。
3. 第 04a 章（4 h）：期望、方差、示性变量法、报童问题、检验悖论。
4. 第 04b 章（4 h）：二项检验、泊松与过度离散、最长连串；其余分布只记公式。
5. 第 05 章（5 h）：正态与 VaR、样本量（例 4j）、指数分布与风险率、对数正态。
6. 第 06a 章（3 h）：独立性判据、泊松分拆、卷积、对数收益可加。
7. 第 06b 章（5 h）：二元正态与对冲比率、贝塔—二项共轭、次序统计量、可交换性结论、Box–Muller。
8. 第 07a 章（4 h）：协方差、和的方差、\(w^\top\Sigma w\)、自相关下的标准误。
9. 第 07b 章（5 h）：全期望与全方差、随机和、最优线性预测、正态收缩——预测模型的理论核心。
10. 第 07c 章（3 h）：MGF、复合 Poisson、多元正态、\(E[e^Y]\)、\(\bar X\) 与 \(S^2\) 独立。
11. 第 08 章（4 h）：Chebyshev、CLT 及其失效、Jensen 与波动拖累、回测样本量。
12. 第 10 章（4 h）：逆变换、拒绝法、方差缩减、期权定价、置换检验。
13. 第 09 章 9.1–9.2 节（2 h）：Poisson 过程性质、Markov 链平稳分布与持续期。

可以跳过：第 01 章（遇到计数问题再回查）、2.5–2.6 节、6.7 节除 Box–Muller 外的变换、7.9 节、8.4 节证明、8.6 节、9.3–9.4 节理论部分。

路径 B：完整系统路径（约 90 小时，12 周）

适合准备系统打基础、之后要读第 03 册统计推断和第 08 册衍生品的读者。按文件顺序通读，每章做完「基础」练习和至少一半「进阶」练习，并从「原书推荐习题」中挑 3–5 道做。

第 6 周的负担最重，可以把第 06b 章顺延到第 7 周、第 07a 章并入第 8 周。每读完一章，用本导读第五节的速查表自查一遍对应条目。

五、本册核心公式与概念速查表

六、勘误与需回查原书的地方

1. 原书错误与更正

2. 原书表述的补充或澄清

3. 需回查原书的地方

4. 本次统稿修正的交叉引用

统稿时改正了指错的章号：01 的二项分布改指 04b；02 的示性变量法改指 04a；04a 的「独立和方差相加」改指 07a；06b 的「\(\rho\) 是相关系数」改指 07b 例 5f；07a、07b、08、09、10 中「本册第 4/5/6 章」一类笼统写法改为具体的 a/b 篇与小节；02、07a 中指向第 03 册的测度论引用改为外部参考书（第 03 册不讲测度论）。另在 07a、07c、08、09、10 补了与前半部分的承接句，在 A1 的「分布之间的关系」表中补上前半部分出处。

5. 术语与记号约定

第 01–06b 章与第 07a 章起由两位编写者完成，术语写法略有不同：前半部分多用「泊松、伽马、贝塔、柯西、伯努利、马尔可夫」，后半部分多用「Poisson、Gamma、Beta、Cauchy、Bernoulli、Markov」，所指完全相同；前半部分称「泊松分拆」，后半部分称「Poisson 稀疏化（thinning）」，也是同一结论。

全册记号一致：指数分布 Exp\((\lambda)\) 和 Gamma\((\alpha,\lambda)\) 中的 \(\lambda\) 都是速率（均值 \(1/\lambda\)），所以「Exp(1/2)」表示均值为 2 的指数分布；正态写作 \(N(\mu,\sigma^2)\)，第二个参数是方差；几何分布从 1 开始计数（首次成功所需试验次数）；负二项分布计试验总数。scipy.stats 的参数化与此不完全相同，用前先查附录 A1 第四节。

七、配套代码说明

1. 运行环境

本册代码统一使用 Python 3（建议 3.10 及以上）。实际用到的第三方库只有 numpy、scipy 和 pandas（仅第 09 章），另用到标准库 math 和 itertools。全套教材的统一环境是 numpy / pandas / scipy / statsmodels / scikit-learn / arch，后三者本册没有用到，装上也不影响。

pip install numpy scipy pandas statsmodels scikit-learn arch
# 或者用 uv 临时运行单个脚本
uv run --with numpy --with scipy --with pandas python 某章代码.py

本次统稿把全部 17 段代码逐段提取出来运行，环境为 Python 3.13、numpy 2.5、scipy 1.18、pandas 3.0。所有代码均能运行，打印结果与正文「关键输出」逐行一致。各段都用 np.random.default_rng(种子) 固定随机数，所以不同机器上的输出应当相同；若 numpy 大版本不同导致个别模拟值在末位有差异，属正常现象。

2. 跨章依赖

本册所有代码段都是自包含的：每段自己导入库、自己设定随机种子、自己定义需要的函数，没有任何一段需要先运行或保存另一章的代码。第 10 章的三段代码彼此也独立，可以分别运行。

概念上的依赖则不少，读代码时对照下面几处会更容易理解：

• 第 10 章期权定价代码用到第 07c 章的对数正态均值 \(E[S_T]=S_0e^{rT}\)（风险中性漂移 \(r-\sigma^2/2\)），控制变量系数与第 07b 章最优线性预测的斜率同构。
• 第 08 章量化实战「回测需要多长」默认日收益独立；收益有自相关时应按第 07a 章式 (4.1) 修正样本均值的方差，第 08 章练习 7 就是这个修正。
• 第 06b 章「最佳回测」代码中的 \(\Phi^{-1}(0.5^{1/N})\) 来自次序统计量公式，第 03 册第 10b 章会在此基础上讲多重检验校正。
• 第 02 章游程检验的置换模拟，其合法性来自第 06b 章 6.8 节的可交换性；第 10 章的 Fisher–Yates 算法给出生成随机排列的正确方法。
• 第 04b、06a、09 章的订单流代码是同一条线索：泊松计数与过度离散 → 泊松分拆 → Poisson 过程的到达间隔与稀疏化；第 07c 章例 7m 用 MGF 给出分拆独立性的另一证明。