第 07a 章 期望的性质：线性性、示性变量与协方差

本章对应 Ross 原书第 7 章前半部分（7.1–7.4 节，另含 7.9 节的简介）。第 7 章是全书篇幅最大、对量化最有用的一章，本册把它拆成三章：本章讲「和的期望与和的方差」，第 07b 章讲条件期望与预测，第 07c 章讲矩母函数与多元正态。

术语说明：从本章起，常见分布和人名多用英文写法——Poisson（泊松）、Gamma（伽马）、Beta（贝塔）、Cauchy（柯西）、Bernoulli（伯努利）、Markov（马尔可夫），所指与第 01–06b 章完全相同。

学习目标

1. 熟练使用二元函数的期望公式和期望的线性性，并理解线性性不需要独立这一点为什么强大。
2. 掌握「示性变量分解」（indicator decomposition）：把一个计数类随机变量写成若干 0/1 变量之和来求均值和方差。
3. 会用 \(E\big[\binom X2\big]=\sum_{i<j}P(A_iA_j)\) 求「发生事件个数」的方差。
4. 掌握协方差的双线性、和的方差公式、相关系数的取值范围与含义，分清「不相关」与「独立」。
5. 能把这些工具直接用到组合方差 \(w^\top\Sigma w\)、样本均值标准误、自相关收益的均值方差等量化问题上。

读前导读

这一章在解决什么问题。 你在 CFA 里背过两条公式：组合期望收益 \(E[R_p]=\sum w_iE[R_i]\)，组合方差 \(\sigma_p^2=\sum\sum w_iw_j\sigma_{ij}\)。本章讲的就是这两条公式为什么成立、在什么条件下成立。结论很干脆：第一条（期望的线性性）任何情况下都成立，不需要资产独立；第二条（和的方差）必须把所有两两协方差都算进去，一旦漏掉，风险就会被系统性低估。

本章另一条主线是「示性变量」：把「有多少只股票跌停」「有多少个因子假阳性」这类计数，拆成一串 0/1 变量相加。均值就是概率相加，方差只需要两两同时发生的概率。这套技巧在风险管理里很实用，比如估算一个信用组合里违约笔数的均值和方差（违约之间有相关性也照样能算）。

最后一部分讲协方差和相关系数。CFA 里你知道 \(-1\le\rho\le1\)，本章给出两行证明，并强调「不相关」不等于「独立」。这一点对因子研究很重要：IC 为 0 的因子仍可能有非线性预测力。

需要先想起来的数学。

• 求和记号与双重求和。 \(\sum_{i<j}a_{ij}\) 表示对所有满足 \(i<j\) 的下标对求和，\(n\) 个对象共有 \(\binom n2=n(n-1)/2\) 项。\(\sum_i\sum_j a_{ij}\) 是对全部 \(n^2\) 个格子求和，就像把协方差矩阵的每个元素加起来。例：\(n=3\) 时 \(\sum_{i<j}\) 有 (1,2)、(1,3)、(2,3) 三项。见 第 00 册第 07 章 概率中的分析工具。
• 二重积分与交换积分次序。 \(\iint g(x,y)f(x,y)\,dx\,dy\) 是先对 \(x\) 积分、再对 \(y\) 积分（或反过来），被积函数非负时两种顺序结果一样。可以理解为二维表格「先按行加总再加总各行」和「先按列加总再加总各列」结果相同。见 第 00 册第 05 章 多元微积分与优化。
• 调和级数与对数。 \(1+\frac12+\cdots+\frac1N\approx\ln N+0.577\)。例：\(N=6\) 时左边约为 2.45。集券问题和快速排序的 \(N\ln N\) 就来自这里。见 第 00 册第 04 章 级数与收敛。
• 矩阵二次型 \(w^\top\Sigma w\)。 \(w\) 是权重列向量，\(\Sigma\) 是协方差矩阵，\(w^\top\Sigma w=\sum_i\sum_jw_iw_j\Sigma_{ij}\)，算出来是一个数，也就是组合方差。见 第 00 册第 06 章 线性代数速成。

怎么读这一章。 核心必读是 7.2.2（线性性）、7.2.3 的前几个例子（2e–2h）、7.3 开头的「事件对数」技巧，以及整个 7.4 节和「量化实战」。7.2.3 后半段的游程、随机游走、快速排序可以挑一两个看。7.2.4 的尾和公式值得记住结论。7.2.5（概率方法、最大–最小恒等式）、例 3d–3f 和 7.9 节第一次可以跳过。建议顺序：7.2.2 → 7.2.3 → 7.4 → 量化实战 → 回头看 7.3。

7.1 引言：期望是加权平均

回顾（第 04a、05 章）：离散型 \(E[X]=\sum_x x\,p(x)\)，连续型 \(E[X]=\int_{-\infty}^{\infty}x f(x)\,dx\)。期望是 \(X\) 各取值按概率的加权平均，因此有一个朴素但常用的事实：

若 \(P\{a\le X\le b\}=1\)，则 \(a\le E[X]\le b\)。

证明（离散情形）：\(p(x)\) 在 \([a,b]\) 之外为 0，于是 \(E[X]=\sum_{x:p(x)>0}x\,p(x)\ge\sum a\,p(x)=a\)，上界同理。

7.2 随机变量之和的期望

7.2.1 二元函数的期望公式

命题 2.1 若 \((X,Y)\) 有联合概率质量函数 \(p(x,y)\)，则

证明思路（连续、\(g\ge0\)）：利用尾部积分公式 \(E[Z]=\int_0^\infty P\{Z>t\}\,dt\)（第 05 章 5.2 节），写 \(P\{g(X,Y)>t\}=\iint_{g(x,y)>t}f\,dy\,dx\)，交换积分次序得 \(\iint\int_0^{g(x,y)}dt\,f\,dy\,dx=\iint g f\)。一般 \(g\) 拆成正部减负部。

白话解释：命题 2.1 的意思是，要算 \(g(X,Y)\) 的期望，不必先求出 \(Z=g(X,Y)\) 自己的分布，直接拿联合分布当权重，把 \(g\) 在每个点的值加权平均即可。金融里你天天这么做：算一个组合的期望收益时，你不会先求组合收益的分布，而是在各种情景下算出组合收益，再按情景概率加权。 证明里那一步的关键是：\(\int_0^{g(x,y)}dt=g(x,y)\)（对 1 从 0 积到 \(g\) 就是区间长度）。所以先对 \(t\) 积分就把尾部积分公式还原成了 \(g\) 本身。「正部减负部」是说任何 \(g\) 都能写成 \(g^+-g^-\)，两部分各自非负，分别套用再相减。

例 2a（救护车距离） 事故点 \(X\) 与救护车位置 \(Y\) 独立、都在 \((0,L)\) 上均匀，求 \(E|X-Y|\)。先算 \(\int_0^L|x-y|\,dy=\frac{L^2}{2}+x^2-xL\)，再对 \(x\) 积分并除以 \(L^2\)：

7.2.2 期望的线性性

取 \(g(x,y)=x+y\)，得到

关键：这里完全不要求独立。（第 04a 章 4.6 节已在可数样本空间下证明过这一点，并介绍了示性变量法，见那里的例 9d、9e；这里借助二元函数的期望公式把它推广到一般的联合分布，下面的示性变量例子可与那里对照阅读。） 只要各期望有限即可。这一点让很多看似复杂的计算变得简单：把一个难以直接求分布的随机变量拆成若干容易求期望的部分之和，分别求期望再相加，各部分之间怎样相关都无所谓。

金融直觉：组合期望收益 \(E[R_p]=\sum w_iE[R_i]\) 不管资产之间相关性多高都成立；你把两只高度相关的银行股放在一起，期望收益照样是加权平均。相关性只影响方差（7.4 节），不影响期望。这就是为什么均值–方差框架里「均值」那一侧总是线性的、简单的，而「方差」那一侧需要整个协方差矩阵。

几个直接推论：

• 单调性（例 2b）：若每个样本点上都有 \(X\ge Y\)，则 \(E[X]\ge E[Y]\)（对 \(X-Y\ge0\) 用上面的事实）。
• 样本均值无偏（例 2c）：\(X_1,\dots,X_n\) 独立同分布（i.i.d.），均值 \(\mu\)，样本均值（sample mean）\(\bar X=\frac1n\sum X_i\) 满足 \(E[\bar X]=\mu\)。
• Boole 不等式（例 2d）：令 \(X_i=I(A_i)\)，\(X=\sum X_i\) 是发生的事件数，\(Y=I(X\ge1)\)。因 \(X\ge Y\)，得
  \[P\Big(\bigcup_{i=1}^nA_i\Big)\le\sum_{i=1}^nP(A_i).\]
  这正是多重检验里 Bonferroni 校正的出处：同时检验 \(n\) 个因子、每个用显著性水平 \(\alpha/n\)，则「至少一个假阳性」的概率不超过 \(\alpha\)。

7.2.3 示性变量分解：计数问题的万能钥匙

示性变量（indicator）\(I_A\) 在 \(A\) 发生时取 1、否则取 0，\(E[I_A]=P(A)\)。把计数写成示性变量之和，期望就是概率之和。

例 2e（二项均值） \(X=\sum_{i=1}^nX_i\)，\(X_i\) 是第 \(i\) 次试验成功的示性变量，\(E[X]=np\)。

例 2f（负二项均值） 凑齐 \(r\) 次成功所需的试验数 \(X=X_1+\cdots+X_r\)，\(X_i\) 是第 \(i-1\) 次成功之后到第 \(i\) 次成功所需的附加试验数，各为参数 \(p\) 的几何变量，\(E[X_i]=1/p\)，所以 \(E[X]=r/p\)。

例 2g（超几何均值，两种分解） \(N\) 个球中 \(m\) 个白球，随机取 \(n\) 个，\(X\) 为白球数。

• 按白球分解：\(X=\sum_{i=1}^mX_i\)，\(X_i\) 表示第 \(i\) 个白球被选中，\(P=\binom{N-1}{n-1}/\binom Nn=n/N\)，\(E[X]=mn/N\)。
• 按抽取次序分解：\(X=\sum_{i=1}^nY_i\)，\(Y_i\) 表示第 \(i\) 次取到白球，\(E[Y_i]=m/N\)，同样得 \(nm/N\)。

同一个随机变量可以有多种分解方式，挑最好算的那一种。

例 2h（配对问题） \(N\) 人随机拿帽子，\(X_i\) 表示第 \(i\) 人拿到自己的帽子，\(E[X_i]=1/N\)，故 \(E[X]=1\)——与 \(N\) 无关。

例 2i（集券问题，coupon collecting） \(N\) 种券等可能出现，集齐所需张数 \(X\)。令 \(X_i\) 为已集到 \(i\) 种之后得到一种新券所需的附加张数，它是参数 \((N-i)/N\) 的几何变量：

例 2j（猎鸭） 10 名猎人各自独立随机挑 10 只鸭中的一只射击，命中率 \(p\)。某只鸭被某猎人击中的概率是 \(p/10\)，所以它逃脱的概率为 \((1-p/10)^{10}\)，期望逃脱数为 \(10(1-p/10)^{10}\)。

例 2k（游程数，runs） \(n\) 个 1 与 \(m\) 个 0 随机排列，\(R(1)\) 为 1 的游程数。令 \(I_i\) 表示从第 \(i\) 位开始一个 1 的游程。\(E[I_1]=\frac{n}{n+m}\)；对 \(i\ge2\)，需要第 \(i-1\) 位为 0、第 \(i\) 位为 1，概率 \(\frac{m}{n+m}\cdot\frac{n}{n+m-1}\)。共 \(n+m-1\) 个这样的位置，所以

例 2l（平面随机游走与 \(\sqrt n\) 标度） 每步长度 1，方向角 \(\theta_i\sim U(0,2\pi)\) 独立。令 \(X_i=\cos\theta_i\)、\(Y_i=\sin\theta_i\)，终点到原点距离平方

例 2m（快速排序的平均比较次数） 快速排序（quick-sort）随机选一个枢轴（pivot），其余元素与之比较后分成左右两组递归处理。把值按大小重新命名为 \(1,\dots,n\)，令 \(I(i,j)=1\) 表示 \(i\) 与 \(j\) 被直接比较过。关键观察：\(\{i,i+1,\dots,j\}\) 一直在同一组里，直到其中某个值首次被选为枢轴；若这个枢轴是 \(i\) 或 \(j\)，二者被比较，否则被分到两边、永不比较。该枢轴在这 \(j-i+1\) 个值中等可能，所以

例 2n（用期望证明容斥公式） \(1-\prod_{i=1}^n(1-I_{A_i})=I(\cup A_i)\)，展开后取期望，利用 \(E[I_{A_{i_1}}\cdots I_{A_{i_k}}]=P(A_{i_1}\cdots A_{i_k})\)，即得容斥公式（inclusion–exclusion）

7.2.4 无穷和与尾和公式

\(E[\sum_{i=1}^\infty X_i]=\sum_i E[X_i]\) 并不总成立（它等价于交换期望与极限）。两种常用的成立条件：所有 \(X_i\ge0\)；或 \(\sum_iE|X_i|<\infty\)。

例 2o（尾和公式） \(X\) 取非负整数，\(X_i=I(X\ge i)\)，则 \(X=\sum_{i\ge1}X_i\)，由非负性

推导拆解：为什么 \(X=\sum_{i\ge1}I(X\ge i)\)？举例：若 \(X=3\)，则 \(I(X\ge1)=I(X\ge2)=I(X\ge3)=1\)，\(i\ge4\) 的项都是 0，加起来正好是 3。也就是说，「\(X\) 等于几」就等于「它跨过了几道门槛」。每项都非负，所以可以对无穷和逐项取期望（这就是上面说的第一个成立条件），而 \(E[I(X\ge i)]=P\{X\ge i\}\)。 金融上，违约前存活的整期数 \(X\) 的期望，等于各期「仍存活」概率之和，这和信用分析里用生存概率加总求期望存续期是同一个结构。

例 2p（有序表的最优排列） \(n\) 个元素存放在有序列表中，每次请求元素 \(i\) 的概率为 \(P(i)\)，\(P(1)\ge\cdots\ge P(n)\)。对任一排列 \(i_1,\dots,i_n\)，所需查找位置 \(X\) 满足 \(P\{X\ge k\}=\sum_{j=k}^nP(i_j)\ge\sum_{j=k}^nP(j)\)，用尾和公式求和即知：按请求概率降序排列使平均查找位置最小。（行情系统里按访问频率排列缓存、按成交活跃度排列合约表，用的就是这个原理。）

7.2.5 概率方法与最大–最小恒等式（选读）

概率方法（probabilistic method）：要证明有限集 \(A\) 上存在使 \(f(s)\) 很大的元素，只需在 \(A\) 上随机取一个元素 \(S\) 并算出 \(E[f(S)]\)：最大值不小于期望，若 \(f(S)\) 不是常数则最大值严格大于期望。

• 例 2q（锦标赛中的哈密顿路径） \(n\) 人循环赛，排列 \(i_1,\dots,i_n\) 若 \(i_1\) 胜 \(i_2\)、\(i_2\) 胜 \(i_3\)……则称为哈密顿路径。让每场比赛独立、各方胜率 1/2，任一排列成为哈密顿路径的概率为 \((1/2)^{n-1}\)，期望条数 \(n!/2^{n-1}\)，所以存在一种赛果使哈密顿路径数超过 \(n!/2^{n-1}\)。
• 例 2r（花栗鼠） 52 棵树围成一圈，住着 15 只花栗鼠。随机选一棵树及其顺时针后 6 棵为「邻域」，每只花栗鼠落入邻域的概率 \(7/52\)，期望 \(105/52>2\)，所以存在连续 7 棵树至少住 3 只。

最大–最小恒等式（命题 2.2） 对任意实数 \(x_1,\dots,x_n\)，

例 2s（不等概率集券） 类型 \(i\) 的概率为 \(p_i\)，\(X_i\) 为首次得到类型 \(i\) 所需张数（几何\((p_i)\)），集齐所需 \(X=\max_iX_i\)，而 \(\min(X_i,X_j)\) 是几何\((p_i+p_j)\)。于是

7.3 发生事件个数的矩

设 \(X\) 为事件 \(A_1,\dots,A_n\) 中发生的个数，\(X=\sum I_i\)，\(E[X]=\sum P(A_i)\)。求方差需要 \(E[X^2]\)，技巧是数「发生的事件对数」：

要点：求方差只需要知道两两交事件的概率。

推导拆解：为什么 \(\binom X2=\sum_{i<j}I_iI_j\)？右边每一项 \(I_iI_j\) 只有在 \(A_i\)、\(A_j\) 都发生时才等于 1，所以右边数的是「同时发生的事件对」有多少个。若一共有 \(X\) 个事件发生，从中挑两个的方法数就是 \(\binom X2=X(X-1)/2\)。两边数的是同一件事。 接下来三步：（1）两边取期望，右边用线性性，\(E[I_iI_j]=P(A_iA_j)\)；（2）\(\binom X2=\frac{X^2-X}2\)，所以 \(E[X^2]=2\sum_{i<j}P(A_iA_j)+E[X]\)；（3）\(\mathrm{Var}(X)=E[X^2]-(E[X])^2\)。 金融例子：信用组合里 \(n\) 笔贷款，\(A_i\) 为第 \(i\) 笔违约。要算违约笔数的方差，你不需要知道全部违约的联合分布，只需要每笔的违约概率 \(P(A_i)\) 和每两笔的联合违约概率 \(P(A_iA_j)\)。联合违约概率越高（违约相关性越强），方差越大，尾部越厚。

例 3a（二项） \(P(A_iA_j)=p^2\)，\(E[X(X-1)]=n(n-1)p^2\)，\(\mathrm{Var}(X)=n(n-1)p^2+np-(np)^2=np(1-p)\)。

例 3b（超几何） \(P(A_i)=\frac mN\)，\(P(A_iA_j)=\frac mN\frac{m-1}{N-1}\)，

例 3c（配对问题） \(P(A_iA_j)=\frac1{N(N-1)}\)，\(E[X(X-1)]=1\)，\(\mathrm{Var}(X)=1\)；事实上对 \(k\le N\) 所有阶乘矩都等于 1，与 Poisson(1) 一致——配对数近似服从 Poisson(1)。

例 3d（前 \(n\) 张券中出现的种类数） 类型 \(j\) 概率 \(p_j\)，\(Y\) 为已出现的种类数。令 \(A_i\) 为类型 \(i\) 未出现，\(P(A_i)=(1-p_i)^n\)，\(P(A_iA_j)=(1-p_i-p_j)^n\)，得

例 3e（负超几何分布，negative hypergeometric） 瓮中 \(n\) 个特殊球、\(m\) 个普通球，逐个无放回取出，\(Y\) 为取到第 \(r\) 个特殊球所需次数。不用分布律：对每个普通球 \(o_i\)，令 \(A_i\) 为它在第 \(r\) 个特殊球之前被取出。只看 \(o_i\) 与 \(n\) 个特殊球这 \(n+1\) 个球，\(o_i\) 在其中的位置均匀，落在前 \(r\) 位的概率为 \(r/(n+1)\)，所以

例 3f（集券问题中的「单张」类型数） 等概率 \(n\) 种券、收集到集齐为止，恰好只收到一张的类型数 \(X\) 满足 \(E[X]=\sum_{i=1}^n\frac1i\)（第 \(i\) 个被收集到的类型成为单张，当且仅当它在那时剩下的 \(n-i+1\) 种里「最后被再次收集」）。方差推导见原书。

7.4 协方差、和的方差与相关系数

7.4.1 协方差

命题 4.1 \(X,Y\) 独立，则对任意函数 \(g,h\)，\(E[g(X)h(Y)]=E[g(X)]\,E[h(Y)]\)（联合密度分解为乘积，双重积分分离）。

定义 协方差（covariance）

独立推出协方差为 0，反之不成立。反例：\(X\) 等概率取 \(0,1,-1\)，\(Y=I(X=0)\)。\(XY\equiv0\) 且 \(E X=0\)，故 \(\mathrm{Cov}=0\)，但 \(Y\) 完全由 \(X\) 决定。

命题 4.2（协方差的性质）

1. \(\mathrm{Cov}(X,Y)=\mathrm{Cov}(Y,X)\)；
2. \(\mathrm{Cov}(X,X)=\mathrm{Var}(X)\)；
3. \(\mathrm{Cov}(aX,Y)=a\,\mathrm{Cov}(X,Y)\)；
4. 双线性：\(\displaystyle\mathrm{Cov}\Big(\sum_{i=1}^nX_i,\sum_{j=1}^mY_j\Big)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m\mathrm{Cov}(X_i,Y_j)\)。

（4）的证明：中心化后两个和相乘，展开成 \(nm\) 项，再用期望的线性性。

推导拆解：先验证 \(E[(X-EX)(Y-EY)]=E[XY]-E[X]E[Y]\)。展开括号得 \(XY-X\,EY-Y\,EX+EX\,EY\)，逐项取期望（\(EX\)、\(EY\) 是常数，可以提出来）：\(E[XY]-EX\,EY-EY\,EX+EX\,EY=E[XY]-EX\,EY\)。 双线性的证明：记 \(\mu_i=E X_i\)、\(\nu_j=E Y_j\)，则 \(\sum X_i-E\sum X_i=\sum(X_i-\mu_i)\)，同理处理 \(Y\)。两个和相乘

\[\Big(\sum_i(X_i-\mu_i)\Big)\Big(\sum_j(Y_j-\nu_j)\Big)=\sum_i\sum_j(X_i-\mu_i)(Y_j-\nu_j),\]

这和 \((a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd\) 是同一回事。最后对每一项取期望，就是 \(\mathrm{Cov}(X_i,Y_j)\)。 白话：协方差对每个参数都像乘法一样「可以拆开、常数可以提出来」。这就是为什么组合与组合之间的协方差可以写成 \(w^\top\Sigma v\)。

7.4.2 和的方差

在双线性中令 \(Y_j=X_j\)：

例 4a（样本均值的方差与样本方差的无偏性） i.i.d.，均值 \(\mu\)、方差 \(\sigma^2\)。

(a) \(\mathrm{Var}(\bar X)=\frac{1}{n^2}\sum\mathrm{Var}(X_i)=\sigma^2/n\)。

(b) 样本方差（sample variance）\(S^2=\frac{1}{n-1}\sum(X_i-\bar X)^2\)。利用恒等式

推导拆解：那个恒等式是怎么来的？把 \(X_i-\bar X\) 写成 \((X_i-\mu)-(\bar X-\mu)\)，平方后求和：

\[\sum(X_i-\bar X)^2=\sum(X_i-\mu)^2-2(\bar X-\mu)\sum(X_i-\mu)+n(\bar X-\mu)^2.\]

中间项里 \(\sum(X_i-\mu)=n(\bar X-\mu)\)，所以中间项等于 \(-2n(\bar X-\mu)^2\)，与最后一项合并得 \(-n(\bar X-\mu)^2\)。 取期望时用到两件事：\(E(X_i-\mu)^2=\sigma^2\)（共 \(n\) 项），\(E(\bar X-\mu)^2=\mathrm{Var}(\bar X)=\sigma^2/n\)（就是 (a)）。 白话：样本点离自己的均值 \(\bar X\) 总比离真实均值 \(\mu\) 更近（\(\bar X\) 正是让平方和最小的那个点），所以用 \(n\) 做分母会系统性低估方差，除以 \(n-1\) 恰好补回来。你在 CFA 里背过「样本方差除以 \(n-1\)」，这里就是原因。

例 4b（二项方差） \(X=\sum X_i\)，独立 Bernoulli，\(X_i^2=X_i\)，\(\mathrm{Var}(X_i)=p-p^2\)，\(\mathrm{Var}(X)=np(1-p)\)。

例 4c（有限总体抽样） \(N\) 人各有数值 \(v_i\)，等可能抽取 \(n\) 人，\(S\) 为样本值之和。令 \(I_i\) 表示第 \(i\) 人入样，\(S=\sum v_iI_i\)。 \(E[I_i]=\frac nN\)，\(\mathrm{Cov}(I_i,I_j)=\frac nN\frac{n-1}{N-1}-\frac{n^2}{N^2}=-\frac{n(N-n)}{N^2(N-1)}\)。记 \(\bar v=\frac1N\sum v_i\)，

例 4d（示性变量的协方差） \(\mathrm{Cov}(I_A,I_B)=P(AB)-P(A)P(B)=P(B)\big[P(A|B)-P(A)\big]\)。正相关意味着「\(B\) 发生使 \(A\) 更可能」。

例 4e i.i.d. 时 \(\mathrm{Cov}(X_i-\bar X,\bar X)=\frac{\sigma^2}{n}-\frac{\sigma^2}{n}=0\)：样本均值与每个偏差都不相关。一般分布下它们并不独立；但正态样本下 \(\bar X\) 与整个偏差向量独立，从而与 \(S^2\) 独立（第 07c 章证明）。

例 4f（多项分布的协方差） \(m\) 次独立试验、\(r\) 种结果，\(N_i\) 为结果 \(i\) 出现的次数，\(N_i=\sum_kI_i(k)\)。不同试验之间独立，协方差为 0；同一次试验里 \(I_i(\ell)I_j(\ell)=0\)，协方差为 \(-p_ip_j\)。故

7.4.3 相关系数

证明：\(0\le\mathrm{Var}\big(\frac{X}{\sigma_x}+\frac{Y}{\sigma_y}\big)=2(1+\rho)\)，\(0\le\mathrm{Var}\big(\frac{X}{\sigma_x}-\frac{Y}{\sigma_y}\big)=2(1-\rho)\)。方差为 0 意味着几乎必然为常数（第 08 章命题 2.3），所以 \(\rho=1\) 当且仅当 \(Y=a+bX\)、\(b>0\)；\(\rho=-1\) 对应 \(b<0\)。

推导拆解：用和的方差公式 (4.1) 计算 \(\mathrm{Var}\big(\frac{X}{\sigma_x}+\frac{Y}{\sigma_y}\big)=\frac{\sigma_x^2}{\sigma_x^2}+\frac{\sigma_y^2}{\sigma_y^2}+2\frac{\mathrm{Cov}(X,Y)}{\sigma_x\sigma_y}=1+1+2\rho\)。方差不可能为负，所以 \(1+\rho\ge0\)，即 \(\rho\ge-1\)；减号版本给出 \(\rho\le1\)。 「几乎必然」（almost surely）的意思是「以概率 1 成立」，允许在概率为 0 的情形下例外，读者可以先当作「总是」理解。 金融直觉：\(\rho=-1\) 时，\(\frac{X}{\sigma_x}+\frac{Y}{\sigma_y}\) 方差为 0，也就是按波动率倒数配比的两资产组合完全无风险。这就是「完美对冲」：CFA 里两资产 \(\rho=-1\) 时能构造零方差组合，用的正是这一步。

\(\rho\) 只刻画线性关系的强弱。\(\rho=0\) 称为不相关（uncorrelated）。上面 \(Y=I(X=0)\) 的例子说明，变量之间可以有完全确定的非线性关系而相关系数为 0。量化里常用的 IC（信息系数）就是因子值与下期收益的相关系数（或其秩版本），它同样只抓线性（或单调）关系；非线性预测能力需要用第 09 章的互信息等工具补充。

7.9 期望的一般定义（简介）

存在既非离散也非连续的随机变量：\(X\sim\) Bernoulli(1/2)，\(Y\sim U[0,1]\) 独立，\(W=1\)（若 \(X=1\)）否则 \(W=Y\)。\(W\) 在 1 处有 1/2 的概率质量，其余部分连续分布。

为统一处理，原书引入 Stieltjes 积分：

量化实战

1. 组合方差与风险模型。 组合收益 \(R_p=\sum_iw_iR_i\)，由式 (4.1)

2. 夏普比率与 alpha 的标准误。 回测时用 \(\bar X\) 估计日均超额收益，其标准误是 \(\sigma/\sqrt n\)——前提是各日收益不相关。若收益有自相关（如流动性差的资产、平滑后的净值、重叠持有期收益），按式 (4.1)

推导拆解：从 (4.1) 出发，\(\mathrm{Var}(\bar X)=\frac1{n^2}\big[\sum_i\mathrm{Var}(X_i)+2\sum_{i<j}\mathrm{Cov}(X_i,X_j)\big]\)。平稳序列里 \(\mathrm{Cov}(X_i,X_j)=\rho_{j-i}\sigma^2\) 只取决于间隔 \(k=j-i\)。间隔为 \(k\) 的 \((i,j)\) 对一共有 \(n-k\) 个（\(i=1,\dots,n-k\)）。于是

\[\mathrm{Var}(\bar X)=\frac{1}{n^2}\Big[n\sigma^2+2\sum_{k=1}^{n-1}(n-k)\rho_k\sigma^2\Big],\]

提出 \(\frac{\sigma^2}{n}\) 即得原式。方括号里 \(1+2\sum(\cdots)\) 就是「方差膨胀因子」；\(\rho_k\) 全为 0 时它等于 1，回到 \(\sigma^2/n\)。 金融上，私募或不动产基金的净值经过平滑，月收益正自相关很强，用天真公式算出的 Sharpe 比率显著性会被严重高估。

3. 示性变量与多重检验。 Boole 不等式 → Bonferroni 校正；例 2h 一类「期望命中数」的计算可用来估计「在 \(n\) 个随机因子中，凭运气就能显著的期望个数」\(=n\alpha\)。

下面的代码验证两件事：组合方差公式中协方差项的分量，以及自相关收益下天真标准误的低估程度。

import numpy as np

rng = np.random.default_rng(42)

# ---------- 1. 组合方差 = w' Σ w（协方差双线性）----------
n_assets, T = 4, 200_000
vol = np.array([0.20, 0.25, 0.15, 0.30]) / np.sqrt(252)      # 日波动
corr = np.array([[1.0, 0.6, 0.3, 0.2],
                 [0.6, 1.0, 0.4, 0.3],
                 [0.3, 0.4, 1.0, 0.1],
                 [0.2, 0.3, 0.1, 1.0]])
Sigma = np.outer(vol, vol) * corr
w = np.array([0.4, 0.3, 0.2, 0.1])
R = rng.multivariate_normal(np.zeros(n_assets), Sigma, size=T)
port = R @ w
var_formula = w @ Sigma @ w
var_naive = np.sum(w**2 * vol**2)                            # 忽略协方差项
print(f"组合日方差  公式 w'Σw = {var_formula:.3e}")
print(f"组合日方差  模拟样本 = {port.var(ddof=1):.3e}")
print(f"只加各自方差(错误)   = {var_naive:.3e}")
print(f"协方差项占比         = {1 - var_naive/var_formula:.1%}")

# ---------- 2. 收益自相关时 Var(均值) ≠ σ²/n ----------
phi, sigma, n, reps = 0.3, 0.01, 250, 20_000
eps = rng.normal(0, sigma * np.sqrt(1 - phi**2), size=(reps, n + 200))
x = np.zeros_like(eps)
for t in range(1, eps.shape[1]):
    x[:, t] = phi * x[:, t-1] + eps[:, t]
x = x[:, 200:]                                               # 丢掉预热期，平稳方差=σ²
means = x.mean(axis=1)
k = np.arange(1, n)
var_exact = sigma**2 / n * (1 + 2 * np.sum((1 - k/n) * phi**k))   # 式(4.1)
print(f"\nAR(1) φ={phi}: 模拟 Var(均值) = {means.var():.3e}")
print(f"含协方差项的公式       = {var_exact:.3e}")
print(f"天真公式 σ²/n          = {sigma**2/n:.3e}")
print(f"标准误被低估的倍数     = {np.sqrt(var_exact/(sigma**2/n)):.2f}")

关键输出：

组合日方差  公式 w'Σw = 1.062e-04
组合日方差  模拟样本 = 1.061e-04
只加各自方差(错误)   = 5.486e-05
协方差项占比         = 48.3%

AR(1) φ=0.3: 模拟 Var(均值) = 7.329e-07
含协方差项的公式       = 7.409e-07
天真公式 σ²/n          = 4.000e-07
标准误被低估的倍数     = 1.36

解读：这个四资产组合的方差有将近一半来自协方差项，忽略相关性会把风险低估一半；一阶自相关只有 0.3 的日收益，年均值的真实标准误就比 \(\sigma/\sqrt n\) 大 36%，对应的 t 统计量要打七折以上。

本章小结

期望的线性性不需要独立，这让「把复杂计数拆成示性变量之和」成为求均值的通用方法；求方差则需要两两交事件的概率，或者更一般地需要协方差。协方差是双线性的，和的方差等于各方差之和加上两倍的两两协方差之和，这条公式在量化里化身为组合方差 \(w^\top\Sigma w\) 和自相关序列均值的方差。相关系数介于 \(-1\) 与 \(1\) 之间，只度量线性关系；不相关不等于独立。

练习

基础

1. 两只股票日收益波动分别为 2% 与 3%，相关系数 0.5。求 60/40 组合的日波动。 提示：\(\sqrt{0.6^2\cdot0.02^2+0.4^2\cdot0.03^2+2\cdot0.6\cdot0.4\cdot0.5\cdot0.02\cdot0.03}=\sqrt{4.32\times10^{-4}}\approx2.08\%\)。
2. 掷一颗骰子直到六个面都出现，求期望次数。 答案：\(6(1+\frac12+\cdots+\frac16)=14.7\)（原书自测题 7.4）。
3. 构造 \(X,Y\) 使 \(\mathrm{Cov}(X,Y)=0\) 但不独立，并解释为何因子 IC 为 0 不代表因子无用。 提示：\(Y=X^2\)，\(X\) 关于 0 对称。
4. 把 \(n\) 个白球和 \(m\) 个黑球随机排成一行，求「白球后紧跟黑球」的次数的期望。 答案：\(\frac{nm}{n+m}\)（自测题 7.2）。
5. 对 100 个毫无预测力的因子各做显著性水平 5% 的检验，期望有几个「显著」？若要求至少一个假阳性的概率不超过 5%，每个检验的水平应取多少（Bonferroni）？ 答案：5 个；0.05%。

进阶

6. 设 \(X_1,X_2,\dots\) 独立、方差 \(\sigma^2\)，\(Y_n=X_n+X_{n+1}+X_{n+2}\)。求 \(\mathrm{Cov}(Y_n,Y_{n+j})\)，\(j\ge0\)。 提示：数共同项的个数，\(j=0,1,2,\ge3\) 时分别为 \(3\sigma^2,2\sigma^2,\sigma^2,0\)（原书习题 7.39；这正是重叠持有期收益的自协方差结构，即 MA(2)）。
7. 在等相关模型中，\(n\) 个资产方差均为 \(\sigma^2\)、两两相关为 \(\rho\)。求等权组合方差，并求 \(n\to\infty\) 的极限；说明为什么 \(\rho\ge-1/(n-1)\)。 答案：\(\sigma^2[\rho+(1-\rho)/n]\to\rho\sigma^2\)；方差非负给出下界。
8. 用有限总体修正解释：从 300 只股票中随机抽 150 只等权，组合平均因子暴露的方差比独立抽样小多少？ 答案：乘以 \(\frac{150}{299}\approx0.50\)。
9. 证明 \(\sqrt{\mathrm{Var}(X+Y)}\le\sqrt{\mathrm{Var}X}+\sqrt{\mathrm{Var}Y}\)，并说明其风险含义（波动率次可加）。 提示：等价于 \(\rho\le1\)（自测题 7.31）。
10. 用最大–最小恒等式计算：三只独立资产在指数分布时间 \(T_i\)（速率 \(\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3\)）后发生违约，求「全部违约」的期望时间。 答案：\(\sum\frac1{\lambda_i}-\sum_{i<j}\frac1{\lambda_i+\lambda_j}+\frac1{\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3}\)（\(\min\) 的指数速率相加）。

原书推荐习题：第 7 章 Problems 7.11（换手次数）、7.17（猜牌的三种信息结构）、7.34（夫妻相邻的均值与方差）、7.39（滑动和自协方差）、7.43（Wilcoxon 秩和统计量）、7.44（游程检验）；Theoretical Exercises 7.14（集券数方差）、7.15、7.17（反方差加权）、7.24（Cauchy–Schwarz）；Self-Test 7.2、7.4、7.14（不相关但不独立）、7.23、7.31。

原书对照