附录 A1 常用分布速查

本附录整理自 Ross 原书封底的常用分布表（PDF p.481–484）和第 7 章 7.7 节的表 7.1、7.2（PDF p.347–356），并补充了原书理论题与习题中出现、量化常用的对数正态分布（理论题 7.49）和 Weibull 分布（习题 10.5）。每个分布给出：分布律或密度、均值、方差、矩母函数（MGF）、关键性质、生成方法和量化用途。最后一节列出 scipy.stats 的参数化差异，并用代码逐一核对。

一处更正：原书封底表把 Cauchy 分布写成 \(E[X]=0\)、\(\mathrm{Var}(X)=\infty\)。严格地说 Cauchy 的期望不存在：\(\int|x|\frac{1}{\pi(1+x^2)}dx=\infty\)，0 只是它的对称中心与中位数。见下文 Cauchy 条目。

记号：\(q=1-p\)；\(\Phi\) 为标准正态分布函数；\(\Gamma(\cdot)\) 为 Gamma 函数，\(\Gamma(n)=(n-1)!\)。

读前导读

这份附录是什么。 它是一张查表用的清单，不需要从头读到尾。CFA 里你主要用到正态、对数正态、二项、t 和卡方；这里把量化中常见的分布都列出来，并统一写出均值、方差、MGF、生成方法和用途。遇到陌生分布名、或者需要核对某个参数化时来查即可。

需要先想起来的数学。 每个条目里的 MGF 来自第 07c 章，\(M^{(n)}(0)=E[X^n]\)；「生成」一栏的公式来自第 10 章的逆变换法和拒绝法。Gamma 函数 \(\Gamma(s)=\int_0^\infty x^{s-1}e^{-x}dx\) 是阶乘向非整数的推广，例如 \(\Gamma(4)=3!=6\)，\(\Gamma(1/2)=\sqrt\pi\)。积分与反常积分见 第 00 册第 03 章 积分，记号与希腊字母见 第 00 册第 08 章 读懂数学证明与符号。

怎么用。 第一遍只需浏览「三、分布之间的关系」，建立一张分布家族的关系图：Bernoulli 加总得到二项，指数加总得到 Gamma，正态平方和得到卡方，等等。写代码前一定要看「四、scipy.stats 参数化对照」：同一个分布在教材和软件里的参数写法常常不同（例如指数分布用速率还是均值），这是模拟和回测中最常见的低级错误来源之一。

一、离散分布

1. Bernoulli\((p)\)

• 分布律：\(P\{X=1\}=p\)，\(P\{X=0\}=q\)。
• 均值 \(p\)；方差 \(pq\)；MGF \(pe^t+q\)。
• 性质：示性变量 \(I_A\) 就是 Bernoulli\((P(A))\)，\(X^2=X\)。
• 用途：单笔交易盈亏、单日涨跌、单个债务人是否违约。

2. 二项分布 Binomial\((n,p)\)

• 分布律：\(P\{X=i\}=\binom ni p^iq^{n-i}\)，\(i=0,\dots,n\)。
• 均值 \(np\)；方差 \(npq\)；MGF \((pe^t+q)^n\)。
• 性质：\(n\) 个独立 Bernoulli\((p)\) 之和；独立的 Bin\((n,p)\) 与 Bin\((m,p)\) 之和为 Bin\((n+m,p)\)；\(n\) 大时近似 \(N(np,npq)\)（用连续性修正），\(p\) 小时近似 Poisson\((np)\)，误差不超过 \(np^2\)（第 08 章 8.6 节）。
• 生成：\(\sum_{i=1}^nI(U_i<p)\)。
• 用途：\(n\) 笔独立交易中的盈利笔数、胜率检验。

3. 几何分布 Geometric\((p)\)

• 分布律：\(P\{X=n\}=q^{n-1}p\)，\(n=1,2,\dots\)（首次成功所需的试验次数）。
• 均值 \(1/p\)；方差 \(q/p^2\)；MGF \(\dfrac{pe^t}{1-qe^t}\)（\(qe^t<1\)）。
• 性质：离散分布中唯一的无记忆分布；\(P\{X>n\}=q^n\)。
• 生成：\(1+\lfloor\log U/\log q\rfloor\)。
• 用途：Markov 链在一个状态的停留期数（\(p=1-P_{ii}\)）、连续亏损后首次盈利所需交易数。

4. 负二项分布 Negative Binomial\((r,p)\)

• 分布律：\(P\{X=n\}=\binom{n-1}{r-1}p^rq^{n-r}\)，\(n=r,r+1,\dots\)（凑齐 \(r\) 次成功所需的试验次数）。
• 均值 \(r/p\)；方差 \(rq/p^2\)；MGF \(\Big(\dfrac{pe^t}{1-qe^t}\Big)^r\)。
• 性质：\(r\) 个独立 Geometric\((p)\) 之和。
• 用途：另一常见参数化（失败次数，且允许 \(r\) 非整数）是 Poisson–Gamma 混合，方差大于均值，常用于拟合过度离散的计数（日成交笔数、违约数）。

5. Poisson 分布 Poisson\((\lambda)\)

• 分布律：\(P\{X=i\}=e^{-\lambda}\dfrac{\lambda^i}{i!}\)，\(i=0,1,\dots\)
• 均值 \(\lambda\)；方差 \(\lambda\)；MGF \(\exp\{\lambda(e^t-1)\}\)。
• 性质：二项分布在 \(n\to\infty\)、\(np\to\lambda\) 时的极限；独立 Poisson 之和仍为 Poisson（参数相加）；稀疏化后得到独立的 Poisson（第 07c 章例 7m）；速率 \(\lambda\) 的 Poisson 过程在 \([0,t]\) 内的事件数为 Poisson\((\lambda t)\)（第 09 章）；\(\sqrt X\) 的方差约为 1/4（方差稳定变换）。
• 生成：\(\min\{n:\prod_{i\le n}U_i<e^{-\lambda}\}-1\)。
• 用途：单位时间内的订单到达数、跳跃次数、稀有违约事件数。真实数据常过度离散（方差 > 均值），需改用负二项或混合 Poisson。

6. 超几何分布 Hypergeometric\((N,m,n)\)

• 分布律：\(N\) 个球中 \(m\) 个白球，无放回取 \(n\) 个，白球数 \(X\)：\(P\{X=i\}=\dfrac{\binom mi\binom{N-m}{n-i}}{\binom Nn}\)。
• 均值 \(np\)；方差 \(\dfrac{N-n}{N-1}np(1-p)\)，其中 \(p=m/N\)。
• 性质：与二项分布相比方差多一个有限总体修正因子 \(\frac{N-n}{N-1}\)（第 07a 章例 4c）；\(N\to\infty\) 时趋于二项分布。
• 用途：从有限股票池中无放回抽样时「抽到某行业的只数」、Fisher 精确检验。

7. 负超几何分布 Negative Hypergeometric

• 设定：\(n\) 个特殊球、\(m\) 个普通球，无放回逐个取出，\(Y\) 为取到第 \(r\) 个特殊球所需的次数。
• 分布律：\(P\{Y=k\}=\dfrac{\binom n{r-1}\binom m{k-r}}{\binom{n+m}{k-1}}\cdot\dfrac{n-r+1}{n+m-k+1}\)。
• 均值 \(\dfrac{r(n+m+1)}{n+1}\)；方差 \(\dfrac{mr(n+1-r)(n+m+1)}{(n+1)^2(n+2)}\)（第 07a 章例 3e）。
• 例：洗好的牌翻到第一张 A，期望翻 10.6 张。

二、连续分布

8. 均匀分布 Uniform\((a,b)\)

• 密度：\(f(x)=\dfrac1{b-a}\)，\(a<x<b\)。
• 均值 \(\frac{a+b}2\)；方差 \(\frac{(b-a)^2}{12}\)；MGF \(\dfrac{e^{tb}-e^{ta}}{t(b-a)}\)。
• 性质：若 \(X\) 连续、分布函数为 \(F\)，则 \(F(X)\sim U(0,1)\)（逆变换法的反面，即概率积分变换）；\(n\) 个独立 \(U(0,1)\) 的第 \(j\) 小值服从 Beta\((j,n-j+1)\)。
• 用途：一切模拟的起点（第 10 章）；p 值在零假设下服从 \(U(0,1)\)。

9. 正态分布 Normal\((\mu,\sigma^2)\)

• 密度：\(f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-(x-\mu)^2/2\sigma^2}\)。
• 均值 \(\mu\)；方差 \(\sigma^2\)；MGF \(\exp\{\mu t+\sigma^2t^2/2\}\)。
• 性质：\(Z=(X-\mu)/\sigma\sim N(0,1)\)；独立正态之和仍为正态；CLT 的极限分布；\(E[Z^4]=3\)（峰度基准）；多元正态完全由均值与协方差决定，分量不相关即独立（第 07c 章）。
• 生成：Box–Muller、Marsaglia 极坐标法、指数拒绝法（第 10 章）。
• 用途：收益率的一阶近似、参数 VaR、t 检验、Black–Scholes 模型中的对数收益。注意金融收益普遍厚尾，正态会低估极端损失。

10. 指数分布 Exponential\((\lambda)\)

• 密度：\(f(x)=\lambda e^{-\lambda x}\)，\(x\ge0\)；\(P\{X>x\}=e^{-\lambda x}\)。
• 均值 \(1/\lambda\)；方差 \(1/\lambda^2\)；MGF \(\dfrac{\lambda}{\lambda-t}\)（\(t<\lambda\)）。
• 性质：连续分布中唯一的无记忆分布；失效率为常数 \(\lambda\)；独立指数的最小值仍为指数，速率相加；Poisson 过程的到达间隔。
• 生成：\(-\frac1\lambda\log U\)。
• 用途：订单到达间隔、常数违约强度下的违约时间。

11. Gamma 分布 Gamma\((\alpha,\lambda)\)

• 密度：\(f(x)=\dfrac{\lambda e^{-\lambda x}(\lambda x)^{\alpha-1}}{\Gamma(\alpha)}\)，\(x\ge0\)。
• 均值 \(\alpha/\lambda\)；方差 \(\alpha/\lambda^2\)；MGF \(\Big(\dfrac{\lambda}{\lambda-t}\Big)^\alpha\)（\(t<\lambda\)）。
• 性质：Gamma\((1,\lambda)\) 就是 Exp\((\lambda)\)；同一 \(\lambda\) 的独立 Gamma 相加形状参数相加；\(\alpha=n\) 为整数时是 \(n\) 个独立 Exp\((\lambda)\) 之和，即 Poisson 过程第 \(n\) 个事件的时刻。
• 生成（整数 \(\alpha=n\)）：\(-\frac1\lambda\log\prod_{i=1}^nU_i\)。
• 用途：随机强度的先验（Poisson–Gamma 共轭）、已实现方差的近似分布。

12. Beta 分布 Beta\((a,b)\)

• 密度：\(f(x)=\dfrac{x^{a-1}(1-x)^{b-1}}{B(a,b)}\)，\(0<x<1\)，\(B(a,b)=\dfrac{\Gamma(a)\Gamma(b)}{\Gamma(a+b)}\)。
• 均值 \(\dfrac a{a+b}\)；方差 \(\dfrac{ab}{(a+b)^2(a+b+1)}\)；MGF 无简单形式。
• 性质：\(n\) 个独立 \(U(0,1)\) 的第 \(j\) 小值服从 Beta\((j,n-j+1)\)；Beta\((1,1)=U(0,1)\)；是二项分布中成功率 \(p\) 的共轭先验。
• 用途：胜率、回收率（recovery rate）、成交概率等取值在 \([0,1]\) 的量的建模与贝叶斯估计。

13. 卡方分布 Chi-Squared\((n)\)

• 定义：\(\chi^2_n=Z_1^2+\cdots+Z_n^2\)，\(Z_i\) 独立标准正态。
• 均值 \(n\)；方差 \(2n\)；MGF \((1-2t)^{-n/2}\)（\(t<\frac12\)）。
• 性质：\(\chi^2_n=\) Gamma\((n/2,1/2)\)；\(\chi^2_2\) 是均值 2 的指数分布；正态样本 \((n-1)S^2/\sigma^2\sim\chi^2_{n-1}\)，且与 \(\bar X\) 独立（第 07c 章）。
• 生成：\(\chi^2_{2k}=-2\log\prod_{i=1}^kU_i\)；\(\chi^2_{2k+1}=Z^2-2\log\prod_{i=1}^kU_i\)。
• 用途：方差的置信区间、拟合优度检验、似然比检验（第 03 册）。

14. Cauchy 分布（含更正）

• 密度：\(f(x)=\dfrac{1}{\pi(1+x^2)}\)，\(-\infty<x<\infty\)（标准形式；一般形式 \(\frac{1}{\pi}\frac{\gamma}{\gamma^2+(x-x_0)^2}\)）。
• 均值不存在（原书表中写作 0，应更正）；方差不存在（无穷）；MGF 不存在（对任何 \(t\ne0\) 都发散）。中位数与众数为 0（一般形式为 \(x_0\)）。
• 性质：若 \(\Theta\sim U(-\pi/2,\pi/2)\)，则 \(\tan\Theta\) 服从标准 Cauchy（「正切于均匀角」）；两个独立标准正态之比 \(Z_1/Z_2\) 是标准 Cauchy；\(1/X\) 仍是标准 Cauchy；\(n\) 个独立标准 Cauchy 的样本均值仍是标准 Cauchy——大数定律和中心极限定理都不适用（第 08 章的模拟中样本均值在 \(10^6\) 个样本后仍不收敛）。
• 生成：\(\tan\big(\pi(U-\tfrac12)\big)\)。
• 用途：极端厚尾的反例。实务中若一个统计量是两个均值接近 0 的估计量之比（如用估计的 beta 做除法、用接近 0 的波动率归一化），它的分布可能接近 Cauchy，样本均值会被少数极端值主导，应改用中位数等稳健统计量。

15. 对数正态分布 LogNormal\((\mu,\sigma^2)\)（补充，原书理论题 7.49）

• 定义：\(X=e^Y\)，\(Y\sim N(\mu,\sigma^2)\)；密度 \(f(x)=\dfrac{1}{x\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-(\log x-\mu)^2/2\sigma^2}\)，\(x>0\)。
• 均值 \(e^{\mu+\sigma^2/2}\)；方差 \(e^{2\mu+\sigma^2}(e^{\sigma^2}-1)\)；中位数 \(e^\mu\)。各阶矩都存在，但 MGF 对 \(t>0\) 不存在。
• 性质：独立对数正态之积仍为对数正态（对数相加），但和不是。
• 用途：Black–Scholes 模型下的股价 \(S_T=S_0e^{(r-\sigma^2/2)T+\sigma\sqrt TZ}\)；单笔成交金额、市值等右偏正量。\(E[S_T]=S_0e^{rT}\) 的推导即用均值公式（第 07c 章）。

16. Weibull 分布（补充，原书习题 10.5）

• 分布函数：\(F(t)=1-e^{-at^\beta}\)，\(t\ge0\)；失效率 \(\lambda(t)=a\beta t^{\beta-1}\)。
• 记 \(s=a^{-1/\beta}\)，均值 \(s\,\Gamma(1+1/\beta)\)；方差 \(s^2\big[\Gamma(1+2/\beta)-\Gamma(1+1/\beta)^2\big]\)。
• 性质：\(\beta=1\) 退化为指数分布；\(\beta>1\) 失效率递增，\(\beta<1\) 递减。
• 生成：\(\big(-\frac1a\log U\big)^{1/\beta}\)。
• 用途：失效率随时间变化的寿命或违约时间、交易间隔（duration）模型。

三、分布之间的关系

四、scipy.stats 参数化对照

教材公式与 scipy.stats 的参数化不总是一致，最常见的坑如下：

下面的代码用 scipy 计算各分布的均值和方差，并与本附录给出的公式逐一核对：

import numpy as np
from math import gamma as G
from scipy import stats

n, p, r, lam, N, m = 10, 0.3, 4, 2.5, 50, 20
a, b, s, mu, sig = 2.0, 5.0, 3.0, 0.1, 0.4      # Beta(a,b)、Gamma 形状 s、对数正态 (μ,σ)
wa, wb = 0.5, 1.5                               # Weibull F(t)=1-exp(-wa t^wb)
ws = wa ** (-1 / wb)                            # 对应 scipy 的 scale
rows = [  # (名称, scipy 对象, 本附录公式给出的 (均值, 方差))
    ("Bin(n,p)",            stats.binom(n, p),                    (n*p, n*p*(1-p))),
    ("Geom(p) 从1计",        stats.geom(p),                        (1/p, (1-p)/p**2)),
    ("NegBin(r,p) 试验数",   stats.nbinom(r, p, loc=r),            (r/p, r*(1-p)/p**2)),   # scipy 计失败数，需平移 r
    ("Poisson(λ)",          stats.poisson(lam),                   (lam, lam)),
    ("Hypergeom(N,m,n)",    stats.hypergeom(N, m, n),             (n*m/N, n*(m/N)*(1-m/N)*(N-n)/(N-1))),
    ("Exp(λ)",              stats.expon(scale=1/lam),             (1/lam, 1/lam**2)),      # scale = 1/λ
    ("Gamma(s,λ)",          stats.gamma(s, scale=1/lam),          (s/lam, s/lam**2)),
    ("Beta(a,b)",           stats.beta(a, b),                     (a/(a+b), a*b/((a+b)**2*(a+b+1)))),
    ("χ²(n)",               stats.chi2(n),                        (n, 2*n)),
    ("LogNormal(μ,σ²)",     stats.lognorm(sig, scale=np.exp(mu)), (np.exp(mu+sig**2/2), np.exp(2*mu+sig**2)*(np.exp(sig**2)-1))),
    ("Weibull(a,β)",        stats.weibull_min(wb, scale=ws),      (ws*G(1+1/wb), ws**2*(G(1+2/wb)-G(1+1/wb)**2))),
]
for name, d, (m_tab, v_tab) in rows:
    ok = np.isclose(d.mean(), m_tab) and np.isclose(d.var(), v_tab)
    print(f"{name:<20s} scipy 均值 {d.mean():8.4f} 方差 {d.var():8.4f}  与公式一致: {ok}")
print(f"{'Cauchy':<20s} scipy 均值 {stats.cauchy().mean()} 方差 {stats.cauchy().var()}  (期望不存在)")

关键输出：

Bin(n,p)             scipy 均值   3.0000 方差   2.1000  与公式一致: True
Geom(p) 从1计          scipy 均值   3.3333 方差   7.7778  与公式一致: True
NegBin(r,p) 试验数      scipy 均值  13.3333 方差  31.1111  与公式一致: True
Poisson(λ)           scipy 均值   2.5000 方差   2.5000  与公式一致: True
Hypergeom(N,m,n)     scipy 均值   4.0000 方差   1.9592  与公式一致: True
Exp(λ)               scipy 均值   0.4000 方差   0.1600  与公式一致: True
Gamma(s,λ)           scipy 均值   1.2000 方差   0.4800  与公式一致: True
Beta(a,b)            scipy 均值   0.2857 方差   0.0255  与公式一致: True
χ²(n)                scipy 均值  10.0000 方差  20.0000  与公式一致: True
LogNormal(μ,σ²)      scipy 均值   1.1972 方差   0.2487  与公式一致: True
Weibull(a,β)         scipy 均值   1.4330 方差   0.9467  与公式一致: True
Cauchy               scipy 均值 nan 方差 nan  (期望不存在)

scipy 对 Cauchy 的均值和方差返回 nan（未定义），与本附录的更正一致。

原书对照