第 01 册 线性代数与矩阵分析 · 本册导读
本册以 Horn & Johnson《Matrix Analysis》第 2 版为底本，用 17 个章节文件和 1 个附录覆盖原书第 0–8 章与附录 A–F；另以 Simmonds《A Brief on Tensor Analysis》第 2 版为底本写了 4 章「张量篇」。这是全书最抽象的一册，多数量化读者只需读透第四节「速成路径」里的 7 章。
一、本册定位
1. 底本
| 项目 | 主体部分 | 张量篇 |
|---|---|---|
| 书名 | Matrix Analysis（第 2 版） | A Brief on Tensor Analysis（第 2 版） |
| 作者 | Roger A. Horn、Charles R. Johnson | James G. Simmonds |
| 出版 | Cambridge University Press，2013 | Springer，1994 |
| 扫描版，665 页 | 扫描版，123 页 | |
| 页码换算 | PDF 页码 = 原书页码 + 20（正文第 1 页在 PDF p.21） | 第 I–III 章：PDF = 原书 + 13；第 IV 章起：PDF = 原书 + 12（扫描缺空白页 p.70） |
| 本册文件 | 00–08b 共 17 个文件 + 附录 A | T1–T4 共 4 个文件 |
章末「原书对照」表逐节给出书内页码和 PDF 页码，统稿已逐行核对，偏移全部与上表一致。
原书是研究生层次的参考书，定理多、证明紧、习题量大。本册保留原书的定理与习题编号，压缩了与量化关系弱的纯理论（Weyr 形、*合同标准形、共轭相似、典范对等），每章增加「量化实战」。
2. 本册结构与编号约定
原书第 2、3、4、5、7、8 章篇幅长，本册拆成 a/b（第 7 章拆成 a–d）。张量篇按原书四章组织，编号 T1–T4。
小节编号是本教材自编号，定理编号沿用原书。 这是对照原书时最容易混淆的地方，请先记住三条：
- 各章的二级标题（如「2.8 正规矩阵」「7.4 极分解」「4a.3 Rayleigh 商」）是本教材的小节编号，与原书节号不同。例如本册「7.4 极分解」对应原书 7.3 节，「1.1 为什么关心特征值」对应原书 1.0 节。
- 正文中三段及以上的编号——定理 2.3.4、推论 3.1.21、观察 1.3.18、式 (7.4.12.8)、习题 4.5.P21——一律是原书编号，可直接在原书中查到。
- 每章末的「原书对照」表给出「本章小节 ↔ 原书小节 ↔ 书页 ↔ PDF 页」的对应关系，查原书以此表为准。
各编写者的小节编号样式不完全相同，统稿检查后保留原样（已核对 22 个文件的对照表与下表一致）：
| 文件 | 本册小节编号 | 对应原书 | 样式说明 |
|---|---|---|---|
| 00 | 0.1–0.10 | 0.1–0.11 | 按教学顺序合并重排 |
| 01 | 1.1–1.5 | 1.0–1.4 | 本册号 = 原书号 + 1 |
| 02a / 02b | 2.1–2.7 / 2.8–2.12 | 2.0–2.4 / 2.5–2.7 | a、b 两篇连续编号；2.11 为补充内容 |
| 03a / 03b | 3.1–3.9 / 3.10–3.12 | 3.0–3.4.1 / 3.4.2–3.5 | 连续编号 |
| 04a / 04b | 4a.1–4a.6 / 4b.1–4b.6 | 4.0–4.3 / 4.4–4.6 | 编号带 a/b，标题括注原书节号 |
| 05a / 05b | 5a.1–5a.6 / 5b.1–5b.7 | 5.0–5.5 / 5.6–5.8 | 同上 |
| 06 | 6.1–6.5 | 6.0–6.4 | 本册号 = 原书号 + 1，标题括注原书节号 |
| 07a–07d | 7.1–7.3 / 7.4–7.7 / 7.8–7.9 / 7.10–7.12 | 7.0–7.2 / 7.3–7.4 / 7.5–7.6 / 7.7–7.8 | 四篇连续编号 |
| 08a / 08b | 8.1–8.5 / 8.6–8.8 | 8.0–8.4 / 8.5–8.7 | 连续编号 |
| A | A.1–A.6 | 附录 A–F | 一个文件合并六个附录 |
| T1–T4 | Tn.1–Tn.8 | 第 I–IV 章 | 带 T 前缀 |
正文里写「原书 x.y 节」指原书节号，单写「x.y 节」指本章小节。
3. 在量化交易中的作用
量化中的多变量对象几乎都是矩阵：收益矩阵、协方差、因子载荷、回归设计矩阵、VAR 系数、Markov 转移矩阵、敞口网络。本册给出它们的分解（谱定理、SVD、QR、Cholesky、极分解，支撑 PCA、因子模型、模拟与最小二乘）、误差界（Weyl、交错、Bauer–Fike、条件数、Kantorovich，回答「样本特征值偏多少」「均值–方差权重为何对预期收益误差极度敏感」「PCA 方向为何在窗口间乱转」）、正定性工具（协方差的判定与修复、Schur 补、Loewner 序、log det 凹性）和非负矩阵理论（Markov 链、评级迁移、网络中心性与传染）。张量篇的指标记号就是 numpy.einsum，协变/逆变分量解释了换基、因子旋转和重参数化下梯度与 Hessian 的变换。
4. 与其他各册的关系
本册与第 02 册（概率论）同为全书的数学底座。后续直接依赖本册的地方：第 02 册第 07c 章多元正态（07a、07d）；第 03 册第 13a 章回归与第 14 章多元模型（02a、02b、07a），精度矩阵零元 = 条件独立（00 章 0.6 节）；第 04 册的凸性、KKT 矩阵惯性（04b）与最速下降收敛率（07b 的 Kantorovich 不等式，对应第 04 册第 03 章 3.4 节）；第 05 册的 GLS 与 Gauss–Markov（07d）、共线性（05b）；第 06 册的 VAR 平稳性、友矩阵与 Lyapunov 方程（02a、03a、05b）及 Kalman 滤波的 Sherman–Morrison 结构（00）；第 08 册有限差分的三对角 LU（03b）与对数坐标下的定价算子（T3、T4）；第 10 册的 einsum 与自然梯度（张量篇）；第 11 册的风险模型、随机矩阵去噪与相关矩阵修复（02b、04a、05a、07a）。
二、前置知识与自测
1. 开始前应会什么
- 大学线性代数一学期：矩阵乘法、行列式、秩、线性方程组、向量空间与基、特征值的定义。
- 复数的基本运算：共轭、模、极坐标形式。原书在复数域上讨论，\(A^*\) 表示共轭转置；量化中遇到的都是实矩阵，把 \(^*\) 读成 \(^T\)、「酉」读成「正交」、「Hermitian」读成「实对称」即可。
- 多元微积分：偏导数、梯度、Hessian、拉格朗日乘子。
- 概率初步：期望、方差、协方差、相关系数（第 02 册第 07a 章的程度）。
- Python 与 numpy：会用数组、矩阵乘法
@、np.linalg。
第 00 章本身就是系统复习；若下面 5 题有 3 题以上做不出来，建议先读 Strang《Introduction to Linear Algebra》前六章。
2. 五道自测题
题 1（秩与逆） 求 \(A=\begin{bmatrix}1&2\\2&4\end{bmatrix}\) 的秩，\(B=\begin{bmatrix}2&1\\1&1\end{bmatrix}\) 的逆。如果 \(A\) 是两只资产收益的样本协方差，秩为 1 意味着什么？
答案要点：\(\operatorname{rank}A=1\)（第二行是第一行的 2 倍）；\(B^{-1}=\begin{bmatrix}1&-1\\-1&2\end{bmatrix}\)。协方差秩为 1 说明两只资产完全线性相关，存在零方差组合 \(w=(2,-1)\)。
题 2（特征值） 求 \(\Sigma=\begin{bmatrix}2&1\\1&2\end{bmatrix}\) 的特征值与单位特征向量，并验证特征向量正交、特征值之和等于迹、之积等于行列式。
答案要点：特征值 3、1，对应 \((1,1)/\sqrt2\) 与 \((1,-1)/\sqrt2\)；内积为 0；\(3+1=4=\operatorname{tr}\Sigma\)，\(3\times1=3=\det\Sigma\)。第一个特征向量就是「等权组合」，即第一主成分。
题 3（投影） 设 \(x=(1,1,1)^T\)，\(y=(1,2,6)^T\)。求 \(y\) 在 \(x\) 方向上的正交投影和残差，验证残差与 \(x\) 正交，并说明这与「只含常数项的回归」的关系。
答案要点：投影 \(\frac{x^Ty}{x^Tx}x=3x=(3,3,3)^T\)，残差 \((-2,-1,3)^T\)，与 \(x\) 的内积为 0。常数项回归的拟合值是样本均值 3，残差是去均值后的数据。
题 4（二次型） 两只资产波动率 20%、30%，相关系数 0.5，权重 \(w=(0.6,0.4)\)。写出协方差矩阵并计算组合方差 \(w^T\Sigma w\)。
答案要点：\(\Sigma=\begin{bmatrix}0.04&0.03\\0.03&0.09\end{bmatrix}\)；\(w^T\Sigma w=0.36\times0.04+2\times0.24\times0.03+0.16\times0.09=0.0144+0.0144+0.0144=0.0432\)，组合波动率约 20.8%。
题 5（梯度与拉格朗日乘子） 对正定 \(\Sigma\)，求 \(\min_w w^T\Sigma w\)，约束 \(\mathbf 1^Tw=1\)。
答案要点：拉格朗日条件 \(2\Sigma w=\lambda\mathbf 1\)，得 \(w^*=\Sigma^{-1}\mathbf 1/(\mathbf 1^T\Sigma^{-1}\mathbf 1)\)，最小方差 \(1/(\mathbf 1^T\Sigma^{-1}\mathbf 1)\)。
三、章节地图
标记含义：必学 = 量化够用的最小子集；选学 = 对某类量化工作有用，按需读；速读 = 了解结论和量化含义即可，证明可跳过。学时按「读正文 + 跑实战代码 + 做一半练习」估计。
| 文件 | 对应原书 | 一句话内容 | 学时 | 标记 |
|---|---|---|---|---|
| 00 矩阵基础复习 | 第 0 章 | 记号与基本工具；重点是分块矩阵、Schur 补、Woodbury 公式和 \(\partial\log\det\Sigma/\partial\Sigma\) | 6 | 必学 |
| 01 特征值、特征向量与相似 | 第 1 章 | 特征多项式、对角化、\(AB\) 与 \(BA\)、秩一扰动、左特征向量；PCA 与 Markov 平稳分布的起点 | 6 | 必学 |
| 02a 酉矩阵、QR 与 Schur 三角化 | 2.0–2.4 | Householder/Givens、QR 分解与稳定最小二乘、Schur 定理及推论、Lyapunov 方程 | 5 | 选学 |
| 02b 正规矩阵、谱定理与 SVD | 2.5–2.7 | 谱定理、SVD 及四大应用（PCA、低秩近似、伪逆、条件数）、子空间主角 | 6 | 必学 |
| 03a Jordan 标准形与线性动态 | 3.0–3.4.1 | Jordan 形、\(A^m\) 与 \(e^{At}\) 的行为、最小多项式、友矩阵与 AR(\(p\)) | 5 | 选学 |
| 03b Weyr 标准形与三角分解 | 3.4.2–3.5 | Weyr 形（理论）；LU/LDLᵀ，主元 = 条件方差；三对角 LU 做有限差分 | 4 | 速读 |
| 04a Hermitian 矩阵与特征值不等式 | 4.0–4.3 | Rayleigh 商、Courant–Fischer、Weyl、交错、Ky Fan、优超；样本协方差特征值偏差 | 6 | 必学 |
| 04b 合同、惯性与同时对角化 | 4.4–4.6 | Sylvester 惯性定律、Ostrowski 定理、Haynsworth、广义特征值与最大 Sharpe | 3 | 选学 |
| 05a 向量范数、内积与对偶 | 5.0–5.5 | 范数公理与等价、对偶范数与稳健优化、最近半正定矩阵 | 4 | 选学 |
| 05b 矩阵范数、谱半径与条件数 | 5.6–5.8 | 诱导范数、\(\rho(A)=\inf|A|\)、Neumann 级数、条件数与误差放大 | 5 | 必学 |
| 06 特征值的定位与扰动 | 6.0–6.4 | Geršgorin 圆盘、对角占优、Bauer–Fike、Hoffman–Wielandt、特征向量的不稳定性 | 5 | 选学 |
| 07a 正定矩阵、平方根与 Cholesky | 7.0–7.2 | 正定性的五种刻画、平方根、Cholesky、Gram 矩阵、最近相关矩阵 | 5 | 必学 |
| 07b 极分解、奇异值与矩阵逼近 | 7.3–7.4 | 极分解、von Neumann 迹定理、Eckart–Young–Mirsky、Procrustes、Kantorovich | 5 | 必学 |
| 07c Schur 乘积定理与同时对角化 | 7.5–7.6 | Hadamard 积保持半正定、哪些逐元素操作合法、log det 凹性与图 Lasso | 4 | 选学 |
| 07d Loewner 序、Schur 补与行列式不等式 | 7.7–7.8 | Loewner 序运算规则、Schur 补刻画半正定、典型相关、Hadamard/Fischer 不等式 | 4 | 选学 |
| 08a 非负矩阵与 Perron–Frobenius | 8.0–8.4 | 谱半径的界、Perron 定理、不可约性、M 矩阵、网络传染与中心性 | 4 | 选学 |
| 08b 本原矩阵、随机矩阵与 Birkhoff | 8.5–8.7 | 本原性与收敛、Markov 链、PageRank、双随机矩阵与分配问题 | 4 | 选学 |
| A 附录：凸性、连续性等背景 | 附录 A–F | 凸集与凸函数、Carathéodory、分离超平面、特征值连续性、Weierstrass | 2 | 速读 |
| T1 向量与二阶张量 | Simmonds 第 I 章 | 坐标无关的向量与张量、并矢、投影；协方差是对称张量 | 3 | 速读 |
| T2 一般基、指标记号与基变换 | 第 II 章 | 倒易基、协变/逆变分量、度量、换基规律；einsum、纯因子组合、因子旋转 | 4 | 选学 |
| T3 曲线坐标与 Christoffel 符号 | 第 III 章 | 运动标架、Christoffel 符号、方框公式；Hessian 在换元下不是张量 | 3 | 速读 |
| T4 梯度、协变导数、散度定理与曲面几何 | 第 IV 章 | 梯度是协变向量、协变导数、散度定理、曲面几何；自然梯度与 SPD 距离 | 4 | 速读 |
合计约 97 学时；必学 7 章约 39 学时。
四、学习路径
路径 A：量化研究速成路径（约 40 学时，4–5 周）
只读「量化够用」的最小子集：00 → 01 → 02b → 04a → 05b → 07a → 07b。每章读法：
- 第 00 章：重点读 0.6 Schur 补、0.7 Woodbury、0.8 中的行列式求导，三个实战全部跑一遍。0.1–0.5 当复习速读，0.9 特殊矩阵词典当查表用。
- 第 01 章：1.1、1.3（迹/行列式与主子式、秩一扰动）、1.4.5（\(AB\) 与 \(BA\)）、1.4.6（矩阵函数）、1.5.2（左特征向量）、1.5.5（幂法）。1.4.7、1.4.8 可跳过。
- 第 02b 章：全章精读，本册对量化最重要的一章。02a 的 Schur 定理当作已知结论即可；建议补读 02a 章 2.4 节 QR 与实战 1。
- 第 04a 章：4a.1–4a.5 精读（注意 4a.1.2 的特征值递增排序约定），4a.6 优超只读定义、Schur 定理和量化含义。三个实战都很重要。
- 第 05b 章：5b.2、5b.3、5b.4、5b.7 精读；5b.5 只看结论，5b.6 跳过。第 05a 章不读也能看懂，遇到「对偶范数」时回查 05a 的 5a.6。
- 第 07a 章：全章精读，实战 1–4 全部跑。
- 第 07b 章：7.4、7.5 精读，7.6 只记 Ky Fan 占优的结论，7.7 读 Kantorovich 与最速下降（它解释了第 04 册里病态问题收敛慢的原因）。
速成路径之后的「加餐」，按工作方向选：做时间序列/VAR 的读 03a 实战 1 与 05b 实战 1；做风险模型的读 07c 实战 1、07d 第 7.11 节；做 Markov regime 或评级迁移的读 08b 第 8.8 节与实战 1；做网络/传染的读 08a 实战 3。
路径 B：完整系统路径（约 97 学时，12–14 周）
按文件顺序读，每周 7–8 学时，大致是：第 1–2 周 00、01；第 3–4 周 02a、02b（T2 的换基规律可与 02a 对照读）；第 5 周 03a、03b（Weyr 部分速读）；第 6–7 周 04a、04b、05a；第 8 周 05b、06；第 9–10 周 07a–07d；第 11 周 08a、08b；第 12–13 周附录 A 与张量篇。
基础题全做，进阶题至少做一半，「原书推荐习题」挑几道回原书做。张量篇相对独立，可放到最后或跳过。
路径 C：张量与 einsum 专题（约 12 学时，可选）
面向要写高维数组代码、做机器学习或研究重参数化的读者：T1（速读）→ T2（精读）→ T3 的 T3.5、T3.6 与实战 2 → T4 的 T4.1、T4.2 与实战 2。
五、本册核心公式与概念速查表
特征值排序：第 04a、07b 等章沿用原书习惯，Hermitian 矩阵特征值递增 \(\lambda_1\le\cdots\le\lambda_n\)（同 eigh）；奇异值递减 \(\sigma_1\ge\sigma_2\ge\cdots\)。
| # | 概念 / 定理 | 公式 | 出处 |
|---|---|---|---|
| 1 | Schur 补 | \(A/A_{11}=A_{22}-A_{21}A_{11}^{-1}A_{12}\)，\(\det A=\det A_{11}\det(A/A_{11})\)，\((A^{-1})_{22}=(A/A_{11})^{-1}\) | 00 章 0.6 |
| 2 | Woodbury | \((A+XRY)^{-1}=A^{-1}-A^{-1}X(R^{-1}+YA^{-1}X)^{-1}YA^{-1}\) | 00 章 0.7 |
| 3 | 行列式引理与求导 | \(\det(A+xy^T)=\det A\,(1+y^TA^{-1}x)\)；\(\partial\log\det A/\partial A=A^{-T}\) | 00 章 0.7–0.8 |
| 4 | 迹与行列式 | \(\operatorname{tr}A=\sum\lambda_i\)，\(\det A=\prod\lambda_i\) | 01 章 1.3 |
| 5 | \(AB\) 与 \(BA\) | 非零特征值相同；\(\det(I_m+AB)=\det(I_n+BA)\) | 01 章 1.4.5 |
| 6 | 平稳分布 | \(\pi^TP=\pi^T\)（左特征向量） | 01 章 1.5、08b |
| 7 | QR 与最小二乘 | \(X=QR\)，\(\hat\beta=R^{-1}Q^Ty\)；正规方程使条件数平方 | 02a 章 2.4 |
| 8 | Schur 定理 | \(A=UTU^*\)，\(T\) 上三角，\(t_{ii}=\lambda_i\) | 02a 章 2.6 |
| 9 | 谱定理 | \(\Sigma=Q\Lambda Q^T=\sum\lambda_iq_iq_i^T\)；风险分解 \(w^T\Sigma w=\sum\lambda_i(q_i^Tw)^2\) | 02b 章 2.9 |
| 10 | SVD | \(A=V\Sigma W^*\)，\(\sigma_i=\sqrt{\lambda_i(A^*A)}\)，\(\operatorname{rank}A=\#\{\sigma_i>0\}\) | 02b 章 2.10 |
| 11 | Eckart–Young–Mirsky | 截断 SVD 在一切酉不变范数下是最佳秩 \(k\) 逼近；\(\min|A-B|_2=\sigma_{k+1}\) | 02b 2.11、07b 7.5 |
| 12 | 伪逆 | \(A^+=W\Sigma^+V^*\)，\(x=A^+b\) 是最小范数最小二乘解 | 02b 章 2.11 |
| 13 | Jordan 形与幂 | \(A^m\to0\iff\rho(A)<1\)；单位圆上特征值半单 ⇔ 幂有界 | 03a 章 3.6 |
| 14 | LDLᵀ 主元 | \(d_i=\det A_{[i]}/\det A_{[i-1]}=\operatorname{Var}(x_i\mid x_1,\dots,x_{i-1})\) | 03b 章 3.12 |
| 15 | Rayleigh 商 | \(\lambda_1\le x^*Ax/x^*x\le\lambda_n\) | 04a 章 4a.3 |
| 16 | Weyl | \(\lvert\lambda_i(A+E)-\lambda_i(A)\rvert\le|E|_2\)（Hermitian） | 04a 章 4a.4 |
| 17 | Cauchy 交错 | 加边：\(\lambda_i(A)\le\lambda_i(B)\le\lambda_{i+1}(A)\) | 04a 章 4a.5 |
| 18 | Schur 优超 | Hermitian 矩阵的特征值向量优超其对角元向量 | 04a 章 4a.6 |
| 19 | Sylvester 惯性定律 | 合同 \(S\Sigma S^*\) 保持正、负、零特征值个数 | 04b 章 4b.2 |
| 20 | 广义特征值 | \(A\succ0\) 时 \(W^*AW=I\)、\(W^*BW=\Lambda\)；\(\max\frac{w^*Bw}{w^*Aw}=\lambda_{\max}(A^{-1}B)\) | 04b 4b.3、07c 7.9 |
| 21 | 对偶范数 | \(|y|^D=\max_{|x|=1}\lvert y^*x\rvert\)；\(\ell_p\) 与 \(\ell_q\) 对偶；稳健优化的最坏损失 | 05a 章 5a.6 |
| 22 | 谱半径（\(|\cdot|\) 为任意矩阵范数） | \(\rho(A)\le|A|\)，\(\rho(A)=\lim|A^k|^{1/k}\) | 05b 章 5b.3 |
| 23 | 条件数 | \(\kappa=|A|\,|A^{-1}|\)，\(\kappa_2=\sigma_1/\sigma_n\)；\(\frac{|\Delta x|}{|x|}\lesssim\kappa\frac{|\Delta b|}{|b|}\) | 05b 章 5b.7 |
| 24 | Geršgorin | \(\lambda\in\bigcup_i\{z:\lvert z-a_{ii}\rvert\le\sum_{j\ne i}\lvert a_{ij}\rvert\}\) | 06 章 6.2 |
| 25 | Bauer–Fike | \(\lvert\hat\lambda-\lambda\rvert\le\kappa(S)|E|\)（\(A=S\Lambda S^{-1}\)） | 06 章 6.4 |
| 26 | 正定性刻画 | \(A\succ0\iff\) 特征值全正 \(\iff\) 顺序主子式全正 \(\iff A=LL^*\)；半正定需全部主子式非负 | 07a 章 7.3 |
| 27 | von Neumann 迹 | \(\operatorname{Re}\operatorname{tr}(AB^*)\le\sum\sigma_i(A)\sigma_i(B)\)；Procrustes 解为极分解酉因子 | 07b 章 7.5 |
| 28 | Kantorovich | \((x^*Ax)(x^*A^{-1}x)\le\frac{(\kappa+1)^2}{4\kappa}|x|^4\)；最速下降收敛率 \(\big(\frac{\kappa-1}{\kappa+1}\big)^2\) | 07b 章 7.7 |
| 29 | Schur 乘积定理 | \(A,B\succeq0\Rightarrow A\circ B\succeq0\)；\(\log\det\) 在正定锥上严格凹 | 07c 章 7.8–7.9 |
| 30 | Loewner 序与 Hadamard 不等式 | \(A\succeq B\succ0\Rightarrow B^{-1}\succeq A^{-1}\)；\(\det A\le\prod a_{ii}\)；Fischer \(\det H\le\det A\det C\) | 07d 章 7.10–7.12 |
| 31 | Perron–Frobenius | 不可约非负矩阵：\(\rho(A)\) 是单重特征值，左右 Perron 向量为正；\(\partial\rho/\partial a_{ij}=y_ix_j\) | 08a 章 8.5 |
张量篇另记三条：倒易基 \(\mathbf g^i\cdot\mathbf g_j=\delta^i_j\)（纯因子组合 \(B(B^TB)^{-1}\)）；换基时协方差按 \(A^T\Sigma A\) 变换；梯度是协变向量，\(\Sigma^{-1}\mu\) 与自然梯度都是用度量升指标（T2、T4）。
六、勘误与需回查原书的地方
1. 原书印误与更正
| 文件 | 位置 | 内容 |
|---|---|---|
| 00 | 0.8 节复合矩阵 | 原书把 \(\operatorname{adj}_1(A)\) 印作 \(A\)，应为经典伴随 \(\operatorname{adj}A\) |
| 00 | 0.8 节 \(\operatorname{adj}_k\) 与复合矩阵的展开式 | 原书印作 \(s^kt^{n-k}\) 与 \(C_r(B)\)，已按子式阶数更正并数值核对 |
| 00 | 0.9 节上三角 Toeplitz 逆的递推 | 原书漏印负号，应为 \(b_k=-a_0^{-1}\sum_{m<k}a_{k-m}b_m\) |
| 01 | 观察 1.3.18 | 原书把 \(k\) 的范围印作 \(\{2,\dots,n-1\}\)，应为 \(1\le k\le n-1\) |
| 01 | 习题 1.4.P14 | 按 \(p_A(t)=\det(tI-A)\) 的约定，右边应为 \((-1)^np_A(t)I\)，不影响结论 |
| 03a | 习题 3.1.P19（Heisenberg 群） | 乘法律右上角应为 \(t+\tau+x^T\eta\) |
| 07b | 式 (7.4.12.8) | 系数印作 \(\frac{2\kappa}{\kappa^2+1}\)，应为 \(\frac{\kappa^2+1}{2\kappa}\)（第 07b 章 7.7.2 节有推导，练习 10 复核） |
| 08a | 习题 8.3.P12(b) | 「\((rI-A)^{-1}\) positive」只在 \(A\) 不可约时成立，一般只能保证非负（正文与实战 3 给出反例） |
| 08b | 定理 8.5.3 的证明 | 引用编号「8.4.8」应为 8.4.7 |
| T3 | 式 (3.73) | 情形 (a) 的计数 \(n(n-1)/2\) 疑为印误，应为 \(n(n-1)(n-2)/2\)；三维时两者相等，例题不受影响 |
| T4 | 式 (4.96) | 第三种情形「\(\alpha=\beta=0\)」应为 \(\alpha=\beta\) |
| T4 | 习题 4.32，式 (4.152) | \(H=-2p/T_0\) 疑为印误，应为 \(H=-p/(2T_0)\) |
| T4 | 4.10 节正文 | 引用习题 4.26–4.28 的编号与习题区错位，回查时以公式编号为准 |
2. 精读笔记的更正
| 文件 | 内容 |
|---|---|
| 07d | 7.10 节「平方不保序」反例：精读笔记写作 \(A\succ B\)，实际 \(A-B\) 奇异，只有 \(A\succeq B\)；结论不受影响 |
| 08a | 8.5 节谱半径灵敏度：精读笔记记作 \(x_iy_j\)，按「\(x\) 右、\(y\) 左 Perron 向量」的约定应为 \(y_ix_j\) |
| 02b | 2.12 节 CS 分解 (2.7.1.2)：已对照原书扫描页 PDF p.181 核实，本章写法与原书 (2.7.1.3) 一致 |
3. 需回查原书的地方
| 文件 | 内容 |
|---|---|
| 00 | 复合矩阵、Plücker 关系、Dodgson 恒等式只作简介 |
| 03b | Weyr 标准形的完整证明与 Belitskii、O'Meara–Vinsonhaler 定理的细节 |
| 04b | 4.5 节后半 *合同与合同标准形（PDF p.309–315），4.4、4.6 节只作简介 |
| 05b | 5.7 节「矩阵上的向量范数」（PDF p.391–401）只作简介 |
| A | 附录 C、E、F 只作简述 |
| T2 | 原书公式编号缺 (2.24)；习题 2.8–2.10 的页码为按顺序估计，以 PDF p.51–57 为准 |
| T3/T4 | 扫描件缺原书空白页 p.70 与 p.106，第 IV 章起 PDF 偏移由 +13 变为 +12 |
4. 本次统稿的修改
- 交叉引用（50 余处）：指向本册章节却写成原书章号或缺 a/b 的引用改为本册文件号，如「第 2 章谱定理」→「第 02b 章」、「第 04 章」→「第 04a 章」、「第 7 章的 Loewner 序」→「第 07d 章」、「第 01 册第 02 章」→「第 02b 章」、「第 0 章」→「第 00 章」。
- 附录引用：07d、08a、08b 中的「附录 A/B」补注为本册附录 A.1/A.2。
- 衔接：四处重复内容加了承接说明——07a 实战 3（↔ 05a 实战 2，最近相关矩阵）、07b 7.5.4（↔ 02b 2.12，Procrustes）、07c 7.9（↔ 04b 4b.3，广义特征值）、07d 7.11（↔ 00 章 0.6，Schur 补）。正文、公式、代码未改。
5. 记号约定
原书用 \(\|\cdot\|_2\) 同时表示向量 Euclid 范数和矩阵 Frobenius 范数，用 \(|||\cdot|||_2\) 表示谱范数。第 05b、06 章沿用三竖线写法；第 07b 章为避免混淆改写为 \(\|A\|_F\)（Frobenius）与 \(\|A\|_2=\sigma_1(A)\)（谱范数），该章开头有说明。「*合同」指 \(A\mapsto S^*AS\)，「合同」指 \(A\mapsto S^TAS\)。
七、配套代码说明
1. 运行环境
本册代码用 Python 3（建议 3.10+），第三方库只用到 numpy、scipy，少数几处用 pandas 和 scikit-learn（LedoitWolf、GraphicalLasso）；全套统一环境中的 statsmodels、arch 本册未用到。安装：pip install numpy scipy pandas statsmodels scikit-learn arch。
全册 57 段代码都在「量化实战」中，全部用模拟数据和固定种子 np.random.default_rng(种子)。除附录 A 的一段外，56 段已提取到 ../配套代码/第01册_线性代数与矩阵分析/。统稿时在 Python 3.14、numpy 2.5、scipy 1.18、pandas 3.0、scikit-learn 1.9 下逐个单独运行并按章合并运行，均无报错。
2. 跨章依赖
本册所有代码段都是自包含的：每段自己导入库、设定种子、定义函数，没有一段需要先运行或保存另一章的代码，也没有共享的自定义模块。
概念上相互呼应、适合对照阅读的几组代码：最近相关矩阵（05a 实战 2 ↔ 07a 实战 3）；PCA 与因子对齐（02b 实战 1、3 → 06 实战 2 → 07b 实战 1、2）；样本协方差的谱（01 实战 2 → 04a 实战 2 → 02b 实战 2）；条件数与优化（02a 实战 1 → 05b 实战 2 → 07a 实战 4 → 07b 实战 3）；VAR 与线性动态（02a 实战 2 → 03a 实战 1 → 05b 实战 1）；Markov 链与网络（01 实战 4 → 03a 实战 3 → 08a 实战 1、3 → 08b 实战 1、3）；Schur 补（00 实战 1 → 03b 实战 1 → 07d 实战 1）。