附录 凸性、连续性等背景（原书附录 A–F）

对应原书：Horn & Johnson《Matrix Analysis》第 2 版，附录 A Complex Numbers、B Convex Sets and Functions、C The Fundamental Theorem of Algebra、D Continuity of Polynomial Zeroes and Matrix Eigenvalues、E Continuity, Compactness, and Weierstrass's Theorem、F Canonical Pairs（书 p.555–569，PDF p.575–589）。

原书正文多处借用这些背景结论：三角不等式的等号条件（第 08a 章 Perron 定理的证明）、凸函数在极点取最大值（第 08b 章 Birkhoff 定理的推论）、紧集上连续函数取到最值（Courant–Fischer、Loewner 椭球）、特征值连续依赖矩阵元素。本附录把它们集中整理，并把对量化最有用的部分——凸性（附录 B）和特征值的连续性（附录 D）——讲得更透一些。其余部分只做简述，需要时回查原书。

学习目标

1. 熟悉复数的极坐标形式与三角不等式的等号条件。
2. 掌握凸集、凸锥、极点、凸包、Carathéodory 定理与分离超平面定理，理解"凸函数的最大值在极点取得、局部极小即全局极小"。
3. 会用 Jensen、AM–GM、Hölder、Minkowski 不等式，并知道它们在风险度量和组合约束中的用途。
4. 理解特征值对矩阵扰动的连续性：一般矩阵只有 \(1/n\) 次 Hölder 连续，Hermitian 矩阵是 1-Lipschitz 的。
5. 知道 Weierstrass 定理保证最优组合存在的条件，以及典范对（附录 F）讲什么、何时需要。

读前导读

这是一份工具箱，不需要从头读到尾。正文某处引用"附录 A.x"时再翻过来查即可。

对量化读者，值得主动读一遍的是两节。A.2 凸集与凸函数：组合优化之所以能放心求解，靠的就是"约束集是凸的、方差是凸的，所以局部最优就是全局最优"；无套利定理的几何本质（分离超平面）也在这里。A.4 特征值的连续性：它解释了一个实务中很容易踩的坑——协方差矩阵的特征值估计很稳，但 VAR 系数矩阵、转移矩阵的特征根可能对估计误差极度敏感。

其余几节可以只看结论：A.1 复数只在第 08a 章 Perron 定理证明中用到；A.3 代数基本定理保证"\(n\times n\) 矩阵恰有 \(n\) 个特征值"；A.5 Weierstrass 定理保证"有上下限约束的组合问题一定有最优解"；A.6 典范对与量化基本无关，可以跳过。

需要的预备知识：凸函数与 Hessian 见 第 00 册第 05 章 多元微积分与优化；上确界、下确界、闭集、连续的直观含义见 第 00 册第 01 章 函数极限与连续。本附录中"Hölder 连续"指 \(|f(x)-f(y)|\le C|x-y|^a\)（\(0<a\le1\)），\(a\) 越小越不稳定；"Lipschitz"是 \(a=1\) 的情形，即变化量不超过扰动量的常数倍。

A.1 复数（附录 A）

\(z=a+ib\)，实部 \(\operatorname{Re}z=a\)，虚部 \(\operatorname{Im}z=b\)，共轭 \(\bar z=a-ib\)，模 \(|z|=(z\bar z)^{1/2}\)。\(z\ne0\) 时 \(1/z=\bar z/|z|^2\)。\(\mathbf C\) 是域，\(\mathbf R\) 是其子域。常用事实：\(\operatorname{Re}z=\frac12(z+\bar z)\)；\(z\) 实 ⇔ \(z=\bar z\)；\(\operatorname{Re}z\le|z|\)，等号 ⇔ \(z\) 是非负实数。

极坐标：\(z=re^{i\theta}\)，\(e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta\)，\(\theta=\arg z\)（模 \(2\pi\) 确定）。对每个 \(z\) 存在实数 \(\theta\) 使 \(e^{-i\theta}z=|z|\)——"转一个角度把 \(z\) 转到正实轴上"。

三角不等式及其等号条件：

等号当且仅当所有 \(z_k\) 落在同一条从原点出发的射线上（\(z_k=e^{i\theta}|z_k|\)）。证明：取 \(\theta\) 使 \(e^{-i\theta}\sum z_k=|\sum z_k|\)，则 \(|\sum z_k|=\sum\operatorname{Re}(e^{-i\theta}z_k)\le\sum|z_k|\)。第 08a 章证明"正矩阵的最大模特征向量可以旋转成正向量"时，用的正是这个等号条件。

A.2 凸集与凸函数（附录 B）

A.2.1 凸集

• 凸组合（convex combination）：\(\sum\alpha_iv_i\)，\(\alpha_i\ge0\)，\(\sum\alpha_i=1\)。凸集对凸组合封闭（等价地，连接任意两点的线段在集合内）。凸锥（convex cone）：凸集且对正数倍封闭。凸集（凸锥）的和与交仍是凸集（凸锥）。

  量化例子：满足预算约束 \(e^Tw=1\)、多空限制 \(l\le w\le u\)、行业暴露上限的组合构成凸集（多面体）；半正定矩阵构成凸锥（第 07a 章）；非负矩阵构成凸锥（第 08a 章）。

• 极点（extreme point）：不能写成集合中两个不同点的严格凸组合的点。闭凸集可以有有限个（多面体）、无穷个（圆盘）或没有（半平面）极点；紧凸集一定有极点。双随机矩阵集合的极点恰是置换矩阵（第 08b 章）；预算约束加多空上下限的组合集合，其极点是"大部分资产卡在上限或下限"的角点组合。

• 凸包（convex hull） \(\operatorname{Co}(S)\)：\(S\) 中点的全部凸组合，即包含 \(S\) 的最小凸集。

  • Krein–Milman 定理：紧凸集是其极点凸包的闭包。
  • Carathéodory（–Steinitz）定理：\(S\subset\mathbf R^n\) 的凸包中任一点是 \(S\) 中至多 \(n+1\) 个点的凸组合。第 08b 章用它把 Birkhoff 分解的项数改进到 \(n^2-2n+2\)。在组合优化中，它是"线性规划的基本可行解中非零变量不超过约束个数"的几何版本：只有 \(m\) 个线性约束的组合问题，存在只持有至多 \(m\) 个"顶点"的最优解。

• 分离超平面定理（separating hyperplane theorem）：实内积空间中，闭凸集 \(K_1\) 与不相交的紧凸集 \(K_2\) 可以被一个超平面 \(\{x:\langle x-p,q\rangle=0\}\) 分开；两者闭包不交时可以严格分离。推论：有界集凸包的闭包等于所有包含它的闭半空间之交。复空间时把 \(x+iy\) 看成 \(\mathbf R^{2n}\) 中的向量，用实内积 \(\operatorname{Re}\langle\cdot,\cdot\rangle\)。

  量化意义：这是无套利定理（资产定价基本定理）与 Farkas 引理的几何核心——"不存在套利组合"等价于"存在严格正的状态价格（风险中性测度）"，证明就是把"可达收益集合"（凸锥）与"非负非零收益集合"用超平面分开，超平面的法向量就是状态价格。对偶理论（第 04 册）同样建立在它之上。

金融直觉：用 CFA 的单步二叉树对照。股票今天 100，明天涨到 120 或跌到 90，无风险利率 0。零成本组合（借现金买 \(\theta\) 股，或卖空股票存现金）明天的净收益向量是 \(\theta(20,-10)\)，所有这样的向量构成平面上一条过原点的直线，这就是"可达收益集合"。无套利 = 这条直线与"第一象限（两个状态都不亏、至少一个状态赚）"只在原点相交。分离超平面定理说，这时存在一条过原点的直线把两者分开（这里就是可达直线本身），它的法向量 \((q_u,q_d)\) 两个分量都为正，归一化后就是风险中性概率 \(q_u=1/3\)、\(q_d=2/3\)（满足 \(120q_u+90q_d=100\)）。你在 CFA 里用公式算出的风险中性概率，几何上就是这条分离直线的方向。

A.2.2 凸函数

恒严格时称严格凸，反向为凹。几何：弦在图像上方。线性函数既凸又凹。

Hessian 判据：开凸集上二阶可微的 \(f\)，Hessian 处处半正定 ⇔ 凸（处处正定 ⇒ 严格凸）。组合方差 \(w^T\Sigma w\) 的 Hessian 是 \(2\Sigma\)，所以 \(\Sigma\succeq0\) ⇔ 组合方差是凸函数——第 07a–07d 章所有关于协方差半正定的讨论，最终都落在这里。

优化性质：

• 紧凸集上凸函数的最大值在极点取得（凹函数的最小值同理）。第 08b 章 Corollary 8.7.4 是它的特例。量化例子：在多面体约束集上最大化一个凸的风险度量（"最坏情景组合"），只需检查顶点。
• 凸集上凸函数的最小点集是凸集，局部极小即全局极小；严格凸函数至多有一个最小点，临界点必是最小点。这就是均值–方差、最小方差、风险平价（对数障碍形式）等问题可以放心用局部优化算法求解的原因。

A.2.3 经典不等式

(B4) 由 \(-\log\) 的凸性加 Jensen 得到；(B6) 由 \(t^p\) 的凸性得到；(B9) 由 Hölder 推出；(B10) 由 AM–GM 推出。(B11) 原书称 Jensen 不等式，证明是把 \(\|x\|_{p_2}/\|x\|_{p_1}\) 写成 \((\sum_iu_i^{p_2/p_1})^{1/p_2}\)，\(u_i=x_i^{p_1}/\sum_jx_j^{p_1}<1\)，指数 \(p_2/p_1>1\) 使每项变小。

量化读法：AM–GM 说明多期复利收益（几何平均）不超过算术平均收益，差距约为方差的一半（"波动拖累"）；Jensen 说明对凸风险度量（方差、CVaR）分散化总是有益的；Hölder 给出 \(\ell_1\) 约束（总杠杆）与 \(\ell_\infty\) 暴露（最大单笔损失）之间的对偶关系。

推导拆解："差距约为方差的一半"从哪来？设每期收益 \(r_t\)，几何平均收益 \(g\) 满足 \(\log(1+g)=\frac1T\sum\log(1+r_t)\)。对 \(\log(1+r)\) 做二阶泰勒展开 \(\log(1+r)\approx r-\frac{r^2}2\)，取平均得 \(\log(1+g)\approx\bar r-\frac12\overline{r^2}\approx\bar r-\frac12(\bar r^2+\sigma^2)\)。再用 \(\log(1+g)\approx g-\frac{g^2}2\)，两边的平方项在 \(g\)、\(\bar r\) 都很小时近似抵消，得 \(g\approx\bar r-\frac12\sigma^2\)。 数值核对：年化算术平均 8%、波动率 20%，几何平均约 \(8\%-\frac12\times4\%=6\%\)。AM–GM 保证"几何 \(\le\) 算术"严格成立，泰勒展开给出差距的大小。泰勒展开见 第 00 册第 02 章 导数与泰勒展开。

A.3 代数基本定理（附录 C）

次数 \(\ge1\) 的复系数多项式在 \(\mathbf C\) 中至少有一个根；因此 \(n\) 次复多项式计重数恰有 \(n\) 个根，可以分解为一次因式之积。实系数多项式的非实根成共轭对，可以分解为实一次因式与不可约实二次因式之积（\((x-z)(x-\bar z)=x^2-2\operatorname{Re}(z)x+|z|^2\)）。例：\(t^2-2t+2\) 没有实根，根为 \(1\pm i\)。

这保证了每个 \(n\times n\) 矩阵恰有 \(n\) 个复特征值（计重数）。量化中，AR(\(p\)) 模型的特征多项式有 \(p\) 个复根，共轭复根对应周期性（振荡）成分；平稳性等价于所有根的模小于 1（伴随矩阵的谱半径小于 1）。

A.4 多项式零点与特征值的连续性（附录 D）

多项式的零点连续依赖于系数，但零点没有自然的排序，所以连续性要用"存在一个匹配置换"来表述。

Theorem D1。 \(p(t)=t^n+a_1t^{n-1}+\cdots+a_n\) 与 \(q(t)=t^n+b_1t^{n-1}+\cdots+b_n\) 的零点分别为 \(\lambda_j\)、\(\mu_j\)。令 \(\gamma=2\max_k\{|a_k|^{1/k},|b_k|^{1/k}\}\)，则存在置换 \(\tau\) 使

Theorem D2。 \(A,B\in M_n\) 的特征值 \(\lambda_j\)、\(\mu_j\)，存在置换 \(\tau\) 使

要点：一般矩阵的特征值对扰动只有 \(1/n\) 次 Hölder 连续，这个阶不能改进——Jordan 块 \(J_n(0)\) 的左下角加 \(\varepsilon\)，特征值变成 \(\varepsilon^{1/n}\) 乘以 \(n\) 次单位根。相比之下，Hermitian（以及正规）矩阵的特征值是 1-Lipschitz 的（Weyl 不等式、Hoffman–Wielandt 定理，第 04、06 章；第 07b 章 Mirsky 定理推广到所有酉不变范数）。出处：Bhatia, Elsner & Krause (1990)。

白话解释："\(1/n\) 次 Hölder 连续"有多糟？用 \(n=2\) 算一下：\(\begin{bmatrix}0&1\\\varepsilon&0\end{bmatrix}\) 的特征多项式是 \(t^2-\varepsilon\)，特征值 \(\pm\sqrt\varepsilon\)。\(\varepsilon=10^{-6}\)（系数第六位小数的误差）让特征值从 0 移动到 \(\pm10^{-3}\)，放大 1000 倍；\(n=8\) 时同样的误差让特征值移动 \(10^{-6/8}\approx0.18\)。而对称矩阵的特征值移动永远不超过扰动大小本身。 原因是非对称矩阵的特征向量可以几乎平行（Jordan 块是极端情形：所有特征向量重合），一点点扰动就能把它们"撕开"。对称矩阵的特征向量永远两两垂直，结构刚性，所以稳定。

量化含义：对称矩阵（协方差、相关矩阵）的特征值估计是稳定的；非对称矩阵（VAR 系数矩阵、伴随矩阵、转移矩阵）的特征值可能对估计误差极度敏感，尤其是存在重根或接近重根时。判断 VAR 是否平稳、估计 regime 链的混合速度时，应该意识到特征根本身的不确定性可能远大于系数的不确定性。

import numpy as np

rng = np.random.default_rng(0)
# ---------- 1. 非正规矩阵：特征值只有 1/n 次 Hölder 连续（附录 D） ----------
n = 8
J = np.diag(np.ones(n - 1), 1)                       # Jordan 块 J_n(0)：特征值全为 0
for eps in [1e-16, 1e-8, 1e-4]:
    E = np.zeros((n, n)); E[-1, 0] = eps             # 只扰动左下角一个元素
    shift = abs(np.linalg.eigvals(J + E)).max()
    print("J_%d(0) 左下角扰动 ε=%.0e：特征值移动 %.3e，ε^(1/n) = %.3e" % (n, eps, shift, eps ** (1 / n)))

# ---------- 2. Hermitian 矩阵：特征值 1-Lipschitz（Weyl） ----------
G = rng.standard_normal((n, n)); H = (G + G.T) / 2
for eps in [1e-8, 1e-4]:
    D = rng.standard_normal((n, n)); D = eps * (D + D.T) / 2 / np.linalg.norm((D + D.T) / 2, 2)
    move = np.abs(np.linalg.eigvalsh(H + D) - np.linalg.eigvalsh(H)).max()
    print("对称矩阵扰动 ||ΔH||_2 = %.0e：排序后特征值最大移动 %.3e ≤ %.0e" % (eps, move, eps))

# ---------- 3. VAR(1) 伴随矩阵：系数估计误差对特征根的放大 ----------
# x_t = 1.5 x_{t-1} - 0.75 x_{t-2} + 0.125 x_{t-3} + e_t，特征多项式 (z-0.5)^3：三重根
Comp = np.array([[1.5, -0.75, 0.125], [1, 0, 0], [0, 1, 0]])
print("\nAR(3) 伴随矩阵特征根:", np.round(np.linalg.eigvals(Comp), 6))
Comp2 = Comp.copy(); Comp2[0, 2] += 1e-6                # 第三个系数估计误差 1e-6
print("系数扰动 1e-6 后特征根:", np.round(np.linalg.eigvals(Comp2), 6),
      " 根的移动 ≈ %.1e（≈ (1e-6)^(1/3) = 1e-2）" % abs(np.linalg.eigvals(Comp2) - 0.5).max())

关键输出：

J_8(0) 左下角扰动 ε=1e-16：特征值移动 1.000e-02，ε^(1/n) = 1.000e-02
J_8(0) 左下角扰动 ε=1e-08：特征值移动 1.000e-01，ε^(1/n) = 1.000e-01
J_8(0) 左下角扰动 ε=1e-04：特征值移动 3.162e-01，ε^(1/n) = 3.162e-01
对称矩阵扰动 ||ΔH||_2 = 1e-08：排序后特征值最大移动 3.490e-09 ≤ 1e-08
对称矩阵扰动 ||ΔH||_2 = 1e-04：排序后特征值最大移动 3.812e-05 ≤ 1e-04

AR(3) 伴随矩阵特征根: [0.500003+4.e-06j 0.500003-4.e-06j 0.499995+0.e+00j]
系数扰动 1e-6 后特征根: [0.51 +0.j      0.495+0.00866j 0.495-0.00866j]  根的移动 ≈ 1.0e-02（≈ (1e-6)^(1/3) = 1e-2）

读法：

1. 机器精度级别的扰动 \(10^{-16}\) 让 \(J_8(0)\) 的特征值移动了 \(0.01\)，正好是 \(\varepsilon^{1/8}\)——放大了 \(10^{14}\) 倍。
2. 对称矩阵的特征值移动永远不超过扰动的谱范数，与 Weyl 不等式一致。
3. 有三重根 0.5 的 AR(3)：即使不加扰动，浮点舍入（约 \(10^{-16}\)）就让数值特征根偏离了约 \(10^{-6}\approx(10^{-16})^{1/3}\)；系数只有 \(10^{-6}\) 的估计误差，特征根就移动了 0.01，并出现虚部（伪振荡）。从估计的 VAR 系数推断"周期成分"或"半衰期"时要格外谨慎。

A.5 连续性、紧性与 Weierstrass 定理（附录 E）

有限维赋范空间中：开球、闭球、开集、闭集（收敛序列的极限仍在集内）、有界集的定义照常；紧集 = 有界闭集（有限维时）。下确界、上确界可能不有限，有限也未必取到。

Weierstrass 定理：有限维（实或复）赋范空间的紧子集 \(S\) 上的连续实函数 \(f\) 一定取到最小值和最大值。最值点可以不唯一；去掉紧性或连续性，结论都可能失败（例如 \(f(x)=1/x\) 在 \((0,1]\) 上无最大值）。有限维并非本质，一般拓扑空间的紧子集上也成立。

量化意义：带预算约束和上下限的组合集合是紧集，任何连续的目标（方差、CVaR、跟踪误差、效用函数）在其上一定有最优解；而无约束或只有预算约束（集合无界）时，最优解可能不存在——例如协方差奇异时，最小方差问题可以有无穷多个最优解，或目标沿某个方向无下界（第 07a 章实战 1 的"负方差组合"）。本书中，Weierstrass 定理被用于 Courant–Fischer 极小极大刻画、酉群的紧性（第 02a 章）、Loewner 椭球的存在性（第 07c 章）等。

A.6 典范对（附录 F）

任意 \(A\in M_n(\mathbf C)\) 可唯一分解为对称部分与反对称部分 \(A=S(A)+C(A)\)，也可唯一分解为 \(A=H(A)+iK(A)\)（\(H,K\) Hermitian）。对 \(A\) 做合同 \(R^TAR\) 等价于对矩阵对 \((S(A),C(A))\) 做同时合同；对 \(A\) 做 *合同 \(R^*AR\) 等价于对 \((H(A),K(A))\) 做同时 *合同。因此第 04b 章的合同、*合同典范形可以翻译成"矩阵对的典范形"——典范对（canonical pairs）。

Theorem F1 给出两种翻译：(a) 对称–反对称对 \((S,C)\) 同时合同于 Type 0、Type I、Type II 三类块对的直和；(b) Hermitian 对 \((H,K)\) 同时 *合同于四类块对的直和。块的具体形式用到次/超对角为 1 的对称三对角阵 \(M_k\)、反对称阵 \(N_k\)、反对角附近带交错符号的 \(X_k\)、\(Y_k\)，以及斜和 \([A\backslash B]=\begin{bmatrix}0&B\\A&0\end{bmatrix}\)。出处为 Horn & Sergeichuk (2006)。

这一附录是纯理论内容，与量化实务没有直接关系。只有在研究两个二次型（Hermitian 矩阵）都不定、无法用第 07c 章的方法同时对角化时才需要回查——例如两个都不定的 Hessian、或两个既不正定也不负定的风险形式。若其中一个正定，第 07c 章 Theorem 7.6.4 已经足够。

本附录小结

附录 A 提供了三角不等式的等号条件，这是 Perron 定理证明中"相位对齐"论证的来源。附录 B 是组合优化的地基：Hessian 半正定 ⇔ 凸；局部极小即全局极小；凸函数的最大值在极点取得；Carathéodory 定理限制了最优解需要的"顶点"个数；分离超平面定理是无套利定理和对偶理论的几何核心；Jensen、AM–GM、Hölder、Minkowski 不等式是推导风险度量性质的常用工具。附录 C 保证特征值的存在与个数。附录 D 说明一般矩阵的特征值只有 \(1/n\) 次 Hölder 连续，而对称矩阵是 1-Lipschitz 的——对 VAR 和转移矩阵的特征根要保持警惕。附录 E 的 Weierstrass 定理保证紧约束集上最优组合存在。附录 F 的典范对只在两个二次型都不定时才需要。

练习

1. 用三角不等式的等号条件证明：若 \(|\sum_jw_jz_j|=\sum_jw_j|z_j|\)（\(w_j>0\)），则所有非零 \(z_j\) 的辐角相同。
2. 证明预算约束加上下限 \(\{w:e^Tw=1,\ 0\le w_i\le u\}\) 是紧凸集，并说明它的极点有什么特点（提示：至多一个分量严格在 \((0,u)\) 之间）。
3. 用 Jensen 不等式证明：对任意凸的风险度量 \(\mathcal R\) 和两个组合 \(w_1,w_2\)，\(\mathcal R(\frac12(w_1+w_2))\le\frac12(\mathcal R(w_1)+\mathcal R(w_2))\)；举例说明 VaR 一般不满足它（VaR 不是凸的）。
4. 设年度收益率为 \(+50\%\) 与 \(-50\%\) 交替。计算算术平均与几何平均，用 AM–GM 解释"波动拖累"。 答案要点：算术平均 0，几何平均 \(\sqrt{1.5\times0.5}-1\approx-13.4\%\)。
5. 用 Hölder 不等式证明 \(|w^Tr|\le\|w\|_1\|r\|_\infty\)，并解释为"组合单日损失 ≤ 总杠杆 × 单资产最大跌幅"。
6. 对 \(J_n(0)+\varepsilon E_{n1}\) 写出特征多项式，证明特征值为 \(\varepsilon^{1/n}\) 乘以 \(n\) 次单位根。 提示：特征多项式为 \(t^n-\varepsilon\)。
7. （进阶）用分离超平面定理证明 Farkas 引理的一种形式：要么存在 \(x\ge0\) 使 \(Ax=b\)，要么存在 \(y\) 使 \(A^Ty\ge0\) 且 \(b^Ty<0\)，二者恰有其一。把它翻译为"要么存在非负状态价格，要么存在套利组合"。

原书对应

附录无编号习题；原书正文中引用附录的位置：附录 A 用于 8.1.8；附录 B 用于 7.8.21（Minkowski 积不等式 B10）、8.7.4 与 8.7.P15（Carathéodory）；附录 D 对应第 2 章特征值连续性与第 6 章扰动理论；附录 E 用于第 1、2、4 章的紧性论证。

原书对照

原书其后还有参考文献（PDF p.591–594）、符号表（p.595–597）、习题提示（p.599 起）与索引（p.627–663）。习题提示覆盖第 1–8 章大部分重要习题，本册各章"练习"中的提示有不少取自那里；参考文献中与量化最相关的延伸读物是 Seneta (1973)《Nonnegative Matrices》（Markov 链方向）、Golub & Van Loan (1996)《Matrix Computations》、Higham (2008)《Functions of Matrices》、Marshall & Olkin (1979)《Inequalities: Theory of Majorization》、Bhatia (1997)《Matrix Analysis》与 (2007)《Positive Definite Matrices》。