张量篇 第 T2 章 一般基、指标记号与基变换

对应原书：Simmonds《A Brief on Tensor Analysis》第 2 版，第 II 章 General Bases and Tensor Notation（书 p.25–44，PDF p.38–57）。

这是张量篇里对量化学习者最有用的一章。它回答三个问题：基向量不正交、不等长时，向量怎样分解，点积怎样算；Einstein 求和约定（也就是 numpy.einsum）怎样用；换一组基时，各种分量按什么规律变。最后这个问题在量化里随处可见：换因子定义、换交易单元、换参数化，都是"换基"。

学习目标

读完本章，你应当能够：

1. 理解一般（斜）基、Jacobian \(J=\det G\) 与倒易基 \(\mathbf g^i\cdot\mathbf g_j=\delta^i_j\)，会用 \(G^{-1}\) 的行计算倒易基。
2. 区分向量的屋顶（逆变）分量 \(v^i=\mathbf v\cdot\mathbf g^i\) 与地窖（协变）分量 \(v_i=\mathbf v\cdot\mathbf g_i\)，熟练使用 Einstein 求和约定和 Kronecker delta，并能把任意指标表达式翻译成 numpy.einsum。
3. 掌握度量张量 \(g_{ij}=\mathbf g_i\cdot\mathbf g_j\) 及其逆 \(g^{ij}\)，会用它们升降指标。
4. 知道 2 阶张量在一般基下有四组分量，并知道"对称张量的混合分量矩阵可以不对称"。
5. 掌握基变换规律：下标（协变）分量乘 \(A\)，上标（逆变）分量乘 \(A^{-1}\)；并把它对应到量化中的因子旋转（载荷 \(B\to BA\)、因子协方差 \(F\to A^{-1}FA^{-T}\)）和换交易单元（\(\Sigma\to A^T\Sigma A\)）。
6. 理解"多元回归系数 = 屋顶分量、与因子的协方差 = 地窖分量、纯因子组合 = 倒易基"这一几何解释。

读前导读

先说清楚：仍然是选读，但这一章比 T1 值得读

张量篇整体对量化是选读，这一点不变：原书面向力学，T2.5 的置换符号、叉积，T2.8 的 Rodrigues 转动公式等，在量化工作中用不到。但这一章里有四处想法，确实能帮你把量化里几件容易混淆的事想清楚：

1. 多元回归系数和"与因子的协方差"是同一个向量的两套坐标（T2.3.3、T2.4 的量化翻译）。你在 CFA 二级可能困惑过：为什么股票对市场单独回归的 beta，和放进多因子模型后市场因子的系数不一样？本章给出几何答案：因子相关时，"平行投影"和"垂直投影"不同。
2. 纯因子组合就是倒易基（T2.3.2、实战 2 第 2 部分）。Barra 类风险模型里"对本因子暴露为 1、对其他因子暴露为 0"的组合，其构造公式 \(B(B^TB)^{-1}\) 来自这里。
3. 换基时谁跟着 \(A\) 变、谁跟着 \(A^{-1}\) 变（T2.7 与其后的量化翻译框）。换交易单元、换因子定义、换计价单位时，收益/暴露/价格是一类，持仓/因子收益/回归系数是另一类，协方差按 \(A^T\Sigma A\) 变。记住这条规则能省掉很多推导错误。
4. einsum 对照表（T2.2.2）。写面板数据、一批协方差矩阵的运算时非常实用。

可以跳过或略读的：T2.5 全节、T2.6 的例 2.6（四组分量的具体数字）、T2.8 中 Rodrigues 公式、反射张量的显式公式与 \(\epsilon\)–\(\delta\) 应用、实战 1（只是复核原书例题）。

这一章在解决什么问题

上一章的基是标准正交的（三条互相垂直的单位轴），那时"分量"只有一种。现实中的基往往是斜的：市场因子和规模因子相关，行业组合之间有重叠。一旦基向量不垂直，"向量在某方向上的分量"就有两种合理的理解：一种是"用这几个基向量拼出 \(\mathbf v\) 需要各多少份"（屋顶分量，类似多元回归系数），另一种是"\(\mathbf v\) 与每个基向量的点积"（地窖分量，类似与各因子的协方差）。本章讲清这两套分量是什么、怎么互相换算（度量张量 = 因子协方差矩阵）、以及换一组基时各自怎么变。

需要先想起来的数学

1. 矩阵求逆与解线性方程组。 \(G\mathbf x=\mathbf v\) 的解 \(\mathbf x=G^{-1}\mathbf v\)。\(G^{-1}G=I\) 意味着 \(G^{-1}\) 的第 \(i\) 行与 \(G\) 的第 \(j\) 列点积为 \(\delta_{ij}\)。例：\(G=\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}\)，\(G^{-1}=\begin{bmatrix}1&-1\\0&1\end{bmatrix}\)。见 第 00 册第 06 章 线性代数速成。

2. 转置的运算规则。 \((AB)^T=B^TA^T\)，\((A^{-1})^T=(A^T)^{-1}\)，记作 \(A^{-T}\)。本章的变换公式 \(A^T\Sigma A\)、\(A^{-1}FA^{-T}\) 都要用到。

3. 相似与合同。 \(A^{-1}TA\) 叫相似变换，特征值不变；\(A^TTA\) 叫合同变换，只有 \(A\) 正交时特征值才不变。见 第 00 册第 06 章。

4. 多元回归的正规方程。 \(\boldsymbol\beta=(X^TX)^{-1}X^T\mathbf y\)，用协方差写就是 \(\boldsymbol\beta=F^{-1}\mathbf c\)，\(F\) 是因子协方差矩阵，\(\mathbf c\) 是 \(y\) 与各因子的协方差。CFA 二级多元回归的内容。

本章符号速查（最重要的一条先说）。 上标是指标，不是幂次：\(v^2\) 是"第 2 个屋顶分量"，不是 \(v\) 的平方；需要平方时会写成 \((v^2)^2\)。\(\delta^i_j\) 是 Kronecker delta（\(i=j\) 时为 1，否则为 0，即单位矩阵的元素）。\(A^i_j\) 中上标是行号、下标是列号。\(g_{ij}\) 是度量张量（基向量两两点积组成的矩阵），\(g^{ij}\) 是它的逆矩阵的元素。\(\tilde{\ }\)（波浪号）标记新基下的量。\(T^i_{\cdot j}\) 中的圆点只是占位，提醒"上标是第一个指标"。\(J=\det G\) 是 Jacobian。\(\epsilon_{ijk}\) 是置换符号，只在 T2.5 出现。

怎么读这一章

建议路线：T2.1（看懂例 2.1 和"平行投影"一句）→ T2.2（重点是求和规则和 einsum 表）→ T2.3（倒易基、两套分量）→ T2.4 及其量化翻译框（本章最重要的一段）→ 跳过 T2.5 → T2.6.2 只读量化翻译框 → T2.7 全部，尤其是"谁协变谁逆变"的量化翻译框 → 实战 2。

T2.1 一般基与 Jacobian

T2.1.1 为什么要用一般基

力学定律可以写成与坐标无关的形式，但要求解，多数时候必须写成分量。标准笛卡尔基最简单，可问题的几何（尤其是边界条件）可能要求别的基：研究平行六面体形物体的温度分布，自然选沿三条棱的向量作基。张量分析的目标之一，就是容纳任意的基，同时让点积这类不变量的计算公式保持和笛卡尔情形一样简单。

量化里的类比更直接：因子收益彼此相关，因子载荷向量彼此不正交；你常常需要在"单只股票""行业组合""风格因子组合"之间来回切换。这些都是非正交的基。

T2.1.2 一般基下的分解

设 \(\{\mathbf g_1,\mathbf g_2,\mathbf g_3\}\) 为任意固定的、不共面的向量。任一向量可唯一表示为

基向量既不必是单位长，也不必互相垂直。 注意分量写成上标。几何上（二维）：过 \(\mathbf v\) 的头作平行于 \(\mathbf g_2\) 的直线，与 \(\mathbf g_1\) 所在直线交于 \(P\)，则 \(\overline{0P}=v^1\mathbf g_1\)。这是平行投影分解，不是垂直投影。记住这一点，后面"多元回归系数"的几何就清楚了。

例 2.1（本章后续例题都用这组基）　\(\mathbf g_1\sim(1,-1,2)\)，\(\mathbf g_2\sim(0,1,1)\)，\(\mathbf g_3\sim(-1,-2,1)\)，\(\mathbf v\sim(3,3,6)\)。比较笛卡尔分量得方程组

解得 \((v^1,v^2,v^3)=(2,3,-1)\)。

白话解释：用二维的小例子看"平行投影"和"垂直投影"的区别。基 \(\mathbf g_1\sim(1,0)\)，\(\mathbf g_2\sim(1,1)\)，两者夹角 45°。\(\mathbf v\sim(2,1)\)。 平行投影（屋顶分量）：解 \(v^1(1,0)+v^2(1,1)=(2,1)\)，得 \(v^2=1\)、\(v^1=1\)。意思是"1 份 \(\mathbf g_1\) 加 1 份 \(\mathbf g_2\) 正好拼出 \(\mathbf v\)"。 垂直投影：\(\mathbf v\) 在 \(\mathbf g_1\) 方向上的垂直投影长度是 \(\mathbf v\cdot\mathbf g_1/|\mathbf g_1|^2=2\)，不是 1。差别在于 \(\mathbf g_2\) 本身也有 \(\mathbf g_1\) 方向的成分，平行投影把这部分算在 \(\mathbf g_2\) 头上，垂直投影则全部算给 \(\mathbf g_1\)。 金融直觉：把 \(\mathbf g_1\) 看成市场因子、\(\mathbf g_2\) 看成与市场相关的规模因子。多元回归给的是平行投影的系数（各因子"各自"的贡献），单独对市场回归给的是垂直投影（市场把与之相关的规模效应也一起吸收了）。这就是实战 2 第 1 部分中单变量 beta 偏大的原因。

T2.1.3 Jacobian

把各 \(\mathbf g_j\) 的笛卡尔分量排成列，得 \(n\times n\) 矩阵 \(G=[\mathbf g_1,\mathbf g_2,\dots]\)。\(\{\mathbf g_j\}\) 是基当且仅当 \(\det G\ne0\)。\(G\) 称为这组向量的 Jacobian 矩阵，\(J\equiv\det G\) 称为 Jacobian。这个名字在第 T3 章 \(\mathbf g_i\) 的分量是偏导数时会显得更自然。

T2.2 求和约定与指标记号

T2.2.1 Einstein 求和约定

(2.1) 中指标 \(i\) 重复出现，于是省去求和号：

重复的指标叫哑指标（dummy index），可以随意换名：\(v^i\mathbf g_i=v^j\mathbf g_j\)。只出现一次的指标叫自由指标（free index），它在等式两边必须一致，表示"对每个取值都成立"。

重要附加条件：只有一个在"屋顶"（上标）、一个在"地窖"（下标）的重复指标才求和。 例如 \(v^iv_i=v^1v_1+v^2v_2+v^3v_3\)，而 \(v^iv^i\) 不求和。作者解释：两个同在上（或同在下）的重复指标，出现在既不是不变量、也不是不变量分量的量里。唯一的例外是习题 2.21 的笛卡尔张量记号：当基是标准正交基时 \(\mathbf g^i=\mathbf g_i\)，上下标无区别，全部写成下标并对任何重复指标求和。

白话解释：读指标式的三步法。第一步，找出现两次（一上一下）的字母，它们是要求和的哑指标。第二步，找只出现一次的字母，它们是自由指标，结果就是以它们为下标的数组。第三步，把求和写出来。 例：\(T^i_{\cdot j}v^j\)。\(j\) 出现两次，求和；\(i\) 只出现一次，结果是一个向量 \(w^i\)。写开就是 \(w^1=T^1_{\cdot1}v^1+T^1_{\cdot2}v^2+T^1_{\cdot3}v^3\)，\(w^2\)、\(w^3\) 同理。这正是"矩阵乘向量"。 再例：组合方差 \(\sigma^2=w^i\Sigma_{ij}w^j\)。\(i,j\) 都出现两次，都求和，没有自由指标，结果是一个数。熟悉以后，一行指标式就能代替"先转置再相乘"的一串矩阵操作。

T2.2.2 指标记号与 numpy.einsum

np.einsum 实现的正是"笛卡尔张量记号"版本的求和约定：下标字符串里重复出现、且不出现在 -> 右边的字母被求和。对照表：

有两点要注意。第一，einsum 不区分上下标，它只认字母。上下位置的正确性要靠你自己维护：写代码前先把指标式写对（每个下标对应一个 \(A\)、每个上标对应一个 \(A^{-1}\)，求和必须一上一下），再机械翻译。第二，指标记号相对矩阵记号的好处是乘法次序无关：\((A^{-1})^i_j\tilde{\mathbf g}_i=\tilde{\mathbf g}_i(A^{-1})^i_j\)，但矩阵乘法 \(\tilde GA^{-1}\ne A^{-1}\tilde G\)（原书 p.36 脚注）。einsum 继承了这个好处：操作数的顺序随意，只要下标对得上。在处理 3 阶以上数组（如面板数据 [时间, 资产, 特征]、一批协方差矩阵 [日期, N, N]）时，这比反复 transpose、reshape 清楚得多。

T2.3 倒易基与两套分量

T2.3.1 点积在一般基下为什么麻烦

设 \(\mathbf u=u^i\mathbf g_i\)，\(\mathbf v=v^j\mathbf g_j\)（注意必须给其中一个换哑指标名，否则会写出错误的 \(u^iv^i\mathbf g_i\cdot\mathbf g_i\)）。于是

展开是 9 项。原因是 \(\mathbf g_i\cdot\mathbf g_j\) 不是 \(\delta_{ij}\)。

T2.3.2 倒易基

想让点积重新变成"对应相乘求和"，就把 \(\mathbf v\) 用另一组基 \(\{\mathbf g^j\}\) 展开，并要求

\(\delta^i_j\) 是 Kronecker delta，\(\{\mathbf g^i\}\) 称为倒易基（reciprocal basis）。几何上，\(\mathbf g^1\) 垂直于 \(\mathbf g_2,\mathbf g_3\) 张成的平面，长度调整到 \(\mathbf g^1\cdot\mathbf g_1=1\)。

代数构造（任意维、可编程）：\(G^{-1}G=I\) 正是 (2.4)。所以把 \(G^{-1}\) 的第 \(i\) 行看作 \(\mathbf g^i\) 的笛卡尔分量即可：\(G^{-1}=[\mathbf g^1,\mathbf g^2,\dots]^T\)。

推导拆解：矩阵乘法 \((G^{-1}G)_{ij}\) 等于"\(G^{-1}\) 的第 \(i\) 行"与"\(G\) 的第 \(j\) 列"的点积。\(G\) 的第 \(j\) 列就是 \(\mathbf g_j\)。所以 \(G^{-1}G=I\) 逐元素写出来就是"\(G^{-1}\) 的第 \(i\) 行 \(\cdot\,\mathbf g_j=\delta_{ij}\)"，与 (2.4) 一字不差。上面二维例子里 \(G=\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}\)，\(G^{-1}=\begin{bmatrix}1&-1\\0&1\end{bmatrix}\)，倒易基 \(\mathbf g^1\sim(1,-1)\)、\(\mathbf g^2\sim(0,1)\)。可以验证 \(\mathbf g^1\) 垂直于 \(\mathbf g_2=(1,1)\)，\(\mathbf g^2\) 垂直于 \(\mathbf g_1=(1,0)\)。 金融直觉：把 \(\mathbf g_j\) 看成 \(N\) 只股票对第 \(j\) 个因子的暴露向量（载荷矩阵 \(B\) 的第 \(j\) 列）。"倒易"条件 \(\mathbf g^k\cdot\mathbf g_j=\delta^k_j\) 翻译过来是：组合 \(\mathbf g^k\) 对因子 \(k\) 的暴露为 1，对其他因子的暴露为 0。这就是纯因子组合。\(N>K\) 时 \(B\) 不是方阵，没有 \(B^{-1}\)，满足条件的组合有无穷多个，其中长度最小的一组是 \(B(B^TB)^{-1}\) 的各列，即实战 2 第 2 部分的构造。

例 2.2　对例 2.1 的基作行化简 \([G\,|\,I]\to[I\,|\,G^{-1}]\)，得

验证：\(\mathbf g^1\cdot\mathbf g_1=\frac16(3+1+2)=1\)。

T2.3.3 屋顶分量与地窖分量

任一向量也可以用倒易基表示：\(\mathbf v=v_i\mathbf g^i\)（式 2.5）。于是向量有两套分量：

作者故意不用传统名称，称 \(v^i\) 为屋顶分量（roof components）、\(\mathbf g_i\) 为地窖基向量（cellar base vectors），\(v_i\) 为地窖分量、\(\mathbf g^i\) 为屋顶基向量。传统名称是：\(v^i\) 为逆变分量（contravariant），\(v_i\) 为协变分量（covariant），名称来源见 T2.6。作者认为传统名字别扭难记，本教材两套名称并用。还有个记忆法：矩阵 \(A^i_j\) 中上标是行（Row ↔ Roof），下标是列（Column ↔ Cellar）。

(2.7) 的指标推导值得逐行理解：

最后一步固定自由指标 \(j\)（比如 \(j=2\)），对 \(i\) 求和：\(v^1\delta^2_1+v^2\delta^2_2+v^3\delta^2_3=v^2\)。Kronecker delta 是"替换算子"：\(v^i\delta^j_i\) 把 \(v\) 的指标 \(i\) 换成 \(j\)。

例 2.3　例 2.1 中 \(\mathbf v\) 的地窖分量：\(v_1=\mathbf v\cdot\mathbf g_1=3-3+12=12\)，\(v_2=\mathbf v\cdot\mathbf g_2=0+3+6=9\)，\(v_3=\mathbf v\cdot\mathbf g_3=-3-6+6=-3\)。对照屋顶分量 \((2,3,-1)\)，两套分量完全不同。

T2.3.4 点积的化简

令 \(\mathbf u=u^i\mathbf g_i\)，\(\mathbf v=v_j\mathbf g^j\)：

要点：一个用屋顶分量、一个用地窖分量，点积就是对应分量相乘再求和。

例 2.4　\(\mathbf u=2\mathbf g_1-\mathbf g_2+4\mathbf g_3\)（已知屋顶分量），\(\mathbf w=-3\mathbf g^1+2\mathbf g^2-2\mathbf g^3\)（已知地窖分量），\(\mathbf v\) 同例 2.1。\(\mathbf u\cdot\mathbf v=u^iv_i=24-9-12=3\)；\(\mathbf w\cdot\mathbf v=w_iv^i=-6+6+2=2\)；\(\mathbf u\cdot\mathbf w=u^iw_i=-6-2-8=-16\)。

T2.4 度量张量与升降指标

原书把这部分放在习题 2.8–2.10，但它是全书的枢纽，这里单独讲。

定义度量张量（metric tensor）的分量

矩阵形式 \([g_{ij}]=G^TG\)（Gram 矩阵），并且

它们正是单位张量 \(\mathbf 1\) 的地窖、屋顶分量：\(\mathbf 1_{ij}=g_{ij}\)，\(\mathbf 1^{ij}=g^{ij}\)，而两组混合分量都是 \(\delta^i_j\)，所以 \(\mathbf 1=\mathbf g^i\mathbf g_i=\mathbf g_i\mathbf g^i\)。

升降指标（raising and lowering indices，习题 2.9）：

乘 \(g^{ik}\) 并对 \(k\) 求和就把指标"升"起来，乘 \(g_{ik}\) 就"降"下去。点积可以写成只用一套分量的形式：\(\mathbf u\cdot\mathbf v=g_{ij}u^iv^j=g^{ij}u_iv_j\)。

量化翻译。 把"去均值的随机变量"看成向量、协方差看成点积，那么一组因子 \(f_1,\dots,f_K\) 就是一组（一般不正交的）基，度量 \(g_{ij}\) 就是因子协方差矩阵。一只股票的收益 \(y\) 投影到因子张成的空间后：地窖分量 \(y_i=\operatorname{Cov}(y,f_i)\)；屋顶分量 \(y^i=g^{ij}y_j\) 恰好是多元回归系数（正规方程 \(\beta=F^{-1}c\) 就是升指标）。单变量 beta \(y_i/g_{ii}\) 和多元 beta \(y^i\) 只在因子不相关时一致，这就是"平行投影"与"垂直投影"的区别。马氏距离 \(g_{ij}u^iu^j\) 则是这个度量下的长度平方。

推导拆解：用两个因子的数字走一遍。设两个因子方差都是 1、相关系数 0.6，度量 \([g_{ij}]=\begin{bmatrix}1&0.6\\0.6&1\end{bmatrix}\)。股票的真实多元系数 \((\beta^1,\beta^2)=(1,0.5)\)（屋顶分量）。 降指标得地窖分量：\(y_i=g_{ij}\beta^j\)，\(y_1=1\times1+0.6\times0.5=1.3\)，\(y_2=0.6\times1+1\times0.5=1.1\)。这就是股票与两个因子的协方差。 单变量 beta 是 \(y_i/g_{ii}=(1.3,1.1)\)，与真实的 \((1,0.5)\) 差别很大。反过来，从协方差 \((1.3,1.1)\) 出发，升指标 \(\beta^i=g^{ij}y_j\)（即解正规方程 \([g_{ij}]\boldsymbol\beta=\mathbf y\)）就能恢复 \((1,0.5)\)。 一句话：协方差是地窖分量，回归系数是屋顶分量，二者之间隔着一个因子协方差矩阵。因子不相关时度量是对角的，两者只差一个缩放，单变量和多元 beta 才一致。

T2.5 置换符号与一般基下的叉积（简要）

一般基下叉积的地窖分量为

由三重积与行列式的关系，

它们是置换张量的分量（习题 2.13）。笛卡尔基下 \(J=1\)，就是 Levi-Civita 符号。核心恒等式是 \(\epsilon\)–\(\delta\) 恒等式：

例 2.5　\(\mathbf u=2\mathbf g_1-\mathbf g_2+4\mathbf g_3\)，\(\mathbf v=2\mathbf g_1+3\mathbf g_2-\mathbf g_3\)，\(J=6\)。\((\mathbf u\times\mathbf v)_1=J(u^2v^3-u^3v^2)=6[(-1)(-1)-4\cdot3]=-66\)，同理 \((\mathbf u\times\mathbf v)_2=60\)，\((\mathbf u\times\mathbf v)_3=48\)。

这部分对量化的直接意义在于两件事：其一，\(\epsilon\) 记号给出了行列式的指标表达，习题 2.28 由此推出 Cayley–Hamilton 定理（见 T2.8）；其二，它是练习指标运算的好材料。置换张量本身在三维之外没有金融应用。

T2.6 2 阶张量的四组分量

T2.6.1 定义

已知 \(\mathbf T\) 对基向量的作用 \(\mathbf T\mathbf g_j\)，把它用倒易基展开得 \(\mathbf T\mathbf g_j=T_{ij}\mathbf g^i\)，系数

称为地窖分量。和第 T1 章完全相同的推导给出

（原书公式编号从 (2.23) 直接跳到 (2.25)，没有 (2.24)。）交换屋顶、地窖的角色，再加上两种混合，共四组：

圆点用来标明指标的先后次序，因为一般 \(T^i_{\cdot j}\ne T_j^{\cdot i}\)。

T2.6.2 对称张量的陷阱

若 \(\mathbf T=\mathbf T^T\)，则 \(T_{ij}=T_{ji}\)，\(T^{ij}=T^{ji}\)，\(T^i_{\cdot j}=T_j^{\cdot i}\)。但混合分量矩阵 \([T^i_{\cdot j}]\) 本身一般不对称（习题 2.23）。原因是 \(T^i_{\cdot j}=g^{ik}T_{kj}\)，对称矩阵左乘一个对称矩阵，结果一般不对称。

量化翻译。 协方差 \(\Sigma\) 对称，但 \(\Sigma^{-1}\Sigma_2\)、\(F^{-1}C\) 这类"混合"矩阵一般不对称。所以求广义特征值问题 \(\Sigma_2\mathbf x=\lambda\Sigma_1\mathbf x\) 时应该调用 scipy.linalg.eigh(S2, S1)，而不是对 \(\Sigma_1^{-1}\Sigma_2\) 用对称特征求解器。

例 2.6　把例 1.4 的张量 \(\mathbf T\)（\(\mathbf T\mathbf v\sim(-2v_x+3v_z,-v_z,v_x+2v_y)\)）放到例 2.1 的基下。\(\mathbf T\mathbf g_1\sim(4,-2,-1)\)，\(\mathbf T\mathbf g_2\sim(3,-1,2)\)，\(\mathbf T\mathbf g_3\sim(5,-1,-5)\)，于是

矩阵按"屋顶指标 = 行、地窖指标 = 列"排列，所以 \([T_j^{\cdot i}]\) 的第 \(i\) 行第 \(j\) 列是 \(T_j^{\cdot i}\)。量化实战 1 会用 einsum 逐一复核这四个矩阵。

T2.7 基变换

T2.7.1 基与倒易基的变换

在固定的空间里，向量和张量对表示它们的基"一无所知"，是几何不变量；换基时变的只是分量。设新基是旧基的已知线性组合：

因为两者都是基，\(\det A\ne0\)，于是 \(\mathbf g_j=(A^{-1})^i_j\tilde{\mathbf g}_i\)。对倒易基，\(\tilde G^{-1}=A^{-1}G^{-1}\)，即

T2.7.2 向量分量的变换

地窖分量和基向量按同一个矩阵 \(A\) 变换，所以叫"协变"（co-variant）；屋顶分量按逆矩阵 \(A^{-1}\) 变换，所以叫"逆变"（contra-variant）。 二者的乘积 \(u^iv_i\) 中 \(A\) 与 \(A^{-1}\) 相互抵消，点积不变。

金融直觉：最简单的一维换基就是换交易单位。原来按"股"计，现在按"手"计（1 手 = 100 股），新基向量是旧基向量的 100 倍，\(A=100\)。 每手的价格 = 每股价格 × 100，跟基向量一起放大，是协变的（地窖分量，价格、收益、暴露都属于这一类）。 持有的手数 = 股数 ÷ 100，按 \(A^{-1}\) 缩小，是逆变的（屋顶分量，持仓、数量属于这一类）。 市值 = 价格 × 数量，100 与 1/100 抵消，不变。这就是 \(u^iv_i\) 不变的全部道理。多维时 \(A\) 是矩阵，"放大 100 倍"变成"做一个线性组合"，"除以 100"变成"乘 \(A^{-1}\)"。

T2.7.3 2 阶张量分量的变换

把 (2.37) 中的基向量逐个替换，得

规律一句话：每个下标贡献一个 \(A\)，每个上标贡献一个 \(A^{-1}\)。 写成矩阵：

第一种叫合同变换（congruence），第三种叫相似变换（similarity）。由此立即看出：只有混合分量的特征值是基变换下的不变量；地窖或屋顶分量矩阵的特征值在非正交换基下会变。

推导拆解：\((2.38)_1\) 怎么来的？按定义 \(\tilde T_{ij}=\tilde{\mathbf g}_i\cdot\mathbf T\tilde{\mathbf g}_j\)。代入 \(\tilde{\mathbf g}_i=A^k_i\mathbf g_k\)、\(\tilde{\mathbf g}_j=A^p_j\mathbf g_p\)；\(A^k_i\) 和 \(A^p_j\) 都是数，由点积和 \(\mathbf T\) 的线性可以提到外面：\(\tilde T_{ij}=A^k_iA^p_j\,(\mathbf g_k\cdot\mathbf T\mathbf g_p)=A^k_iA^p_jT_{kp}\)。写成矩阵，\(A^k_i\) 对 \(k\) 求和相当于左乘 \(A^T\)，\(A^p_j\) 对 \(p\) 求和相当于右乘 \(A\)，即 \(A^T[T_{kp}]A\)。其他三式只是把屋顶基的变换 (2.33) 代进去，每个上标换成一个 \(A^{-1}\)。 为什么合同变换会改变特征值？举例：\(\Sigma=\operatorname{diag}(1,4)\)（两只资产，波动率 1 和 2），把资产 1 的交易单位放大一倍，\(A=\operatorname{diag}(2,1)\)，\(A^T\Sigma A=\operatorname{diag}(4,4)\)。特征值从 \(\{1,4\}\) 变成 \(\{4,4\}\)，"主成分"也从"资产 2 方向"变成"任意方向"。风险本身没变，变的只是记账单位。这正是量化翻译框里"PCA 依赖度量"的含义：对收益协方差和对标准化后的相关矩阵做 PCA，结论可以不同。

传统教科书把"按 (2.38) 变换的 \(n^2\) 个数"当作 2 阶张量的定义。本书中它是推论。第 T3 章取 \(A^i_j=\partial u^i/\partial\tilde u^j\)，它就成为全书唯一加方框的公式。

例 2.7　\(A=\begin{bmatrix}1&2&1\\2&1&0\\-1&0&1\end{bmatrix}\)，行化简得 \(A^{-1}=\begin{bmatrix}-\frac12&1&\frac12\\1&-1&-1\\-\frac12&1&\frac32\end{bmatrix}\)。由 \((2.36)_2\)，对 \((v^1,v^2,v^3)=(2,3,-1)\)：\(\tilde v^1=-1+3-\frac12=\frac32\)，\(\tilde v^2=2-3+1=0\)，\(\tilde v^3=-1+3-\frac32=\frac12\)。

例 2.8　用例 2.7 的 \(A\) 和例 2.6 的 \(\mathbf T\)，求 \(\tilde T_{21}\) 与 \(\tilde T_2^{\cdot3}\)。由 \((2.38)_1\)，代入 \(A^1_2=2,A^2_2=1,A^3_2=0\) 与 \(A^1_1=1,A^2_1=2,A^3_1=-1\)：

由 \((2.38)_3\)：\(\tilde T_2^{\cdot3}=A^k_2(A^{-1})^3_pT_k^{\cdot p}=2[(-\frac12)(0)+(1)(4)+(\frac32)(0)]+1[(-\frac12)(0)+(1)(0)+(\frac32)(-1)]=\frac{13}2\)。

量化翻译：谁协变，谁逆变。 设新交易单元是旧资产的组合，\(P\) 的第 \(j\) 列是新单元 \(j\) 在旧资产上的权重（相当于 \(A\)）。那么：

• 新单元的收益是 \(\tilde{\mathbf r}=P^T\mathbf r\)（跟基一起变，协变）；
• 同一个组合在新单元下的持仓满足 \(\mathbf w=P\tilde{\mathbf w}\)，即 \(\tilde{\mathbf w}=P^{-1}\mathbf w\)（逆变）；
• 收益协方差 \(\tilde\Sigma=P^T\Sigma P\)（两个下标，合同变换）；
• 组合方差 \(\mathbf w^T\Sigma\mathbf w\) 与组合收益 \(\mathbf w\cdot\mathbf r\) 不变。

因子模型里同样如此：把因子重新定义为旧因子的线性组合 \(A\)，载荷/暴露按 \(A\) 变（\(B\to BA\)，暴露 \(\mathbf x\to A^T\mathbf x\)），因子收益按 \(A^{-1}\) 变（\(\mathbf f\to A^{-1}\mathbf f\)），因子协方差按两个上标的规律变（\(F\to A^{-1}FA^{-T}\)），系统性协方差 \(BFB^T\) 和组合的因子风险不变。

推论一：PCA 依赖于"用哪个度量"。对协方差做 PCA 隐含使用欧氏度量 \(\delta_{ij}\)，在非正交换基（包括对各资产重新缩放单位）下特征值和特征向量都会变；对相关矩阵做 PCA 结果不同，就是这个原因。推论二：广义特征值（\(\Sigma_1^{-1}\Sigma_2\) 的特征值，即混合分量）在任何非奇异换基下都不变，所以"两个协方差矩阵相差多少"应该用它来衡量（第 T4 章的 SPD 流形距离正是基于此）。

T2.8 习题中的重要结论

原书第 II 章 28 道习题中，以下结论值得掌握：

• 基变换张量（习题 2.15）：任一基变换 \(\tilde{\mathbf g}_j=A^i_j\mathbf g_i\) 都可以由一个非奇异张量 \(\mathbf B\) 实现：\(\tilde{\mathbf g}_j=\mathbf B\mathbf g_j\)，且 \(B^i_{\cdot j}=A^i_j\)，\(\tilde{\mathbf g}^j=(\mathbf B^{-1})^T\mathbf g^j\)。
• 正交张量（习题 2.16）：\(\mathbf Q^T\mathbf Q=\mathbf 1\)，\(\det Q=\pm1\)（\(+1\) 时称转子 rotator）。正交换基下 \(g_{ij}\)、\(g^{ij}\) 不变，所以协变与逆变的区别消失，这就是为什么只用正交矩阵时"不需要操心上下标"。
• 反射张量（习题 2.17）：\(\mathbf H=\mathbf 1-2\bar{\mathbf n}\bar{\mathbf n}\)，即 Householder 变换，\(\mathbf H^2=\mathbf 1\)，\(\det H=-1\)；把单位向量 \(\mathbf u\) 映到 \(\mathbf v\) 的反射为 \(\mathbf H=\mathbf 1+\dfrac{\mathbf{uv}+\mathbf{vu}-\mathbf{uu}-\mathbf{vv}}{1-\mathbf u\cdot\mathbf v}\)。它是 QR 分解和最小二乘数值求解的基本工具（见第 01 册第 02a 章）。
• Rodrigues 公式（习题 2.18）：绕单位轴 \(\mathbf e\) 转 \(\theta\) 的转子 \(\mathbf R=(\cos\theta)\mathbf 1+(1-\cos\theta)\mathbf{ee}+(\sin\theta)\mathbf e\times\)；指数表示（习题 2.25）\(\mathbf R=e^{\theta\mathbf e\times}\)。
• 极分解（习题 2.27）：非奇异 \(\mathbf T=\mathbf V\cdot\mathbf R\)，\(\mathbf V=(\mathbf T\mathbf T^T)^{1/2}\) 正定，\(\mathbf R\) 为转子。量化里矩阵平方根 \(\Sigma^{1/2}\) 用于白化和模拟相关收益。
• Cayley–Hamilton 定理（习题 2.28）：由 \(\epsilon^{ijk}\epsilon_{pqr}\det A=\det[A^\cdot_\cdot]\) 型恒等式缩并得

• \(\epsilon\)–\(\delta\) 的应用（习题 2.7、2.21）：用 (2.18) 一行证明向量三重积公式与 \(|\mathbf u\times\mathbf v|^2=|\mathbf u|^2|\mathbf v|^2-(\mathbf u\cdot\mathbf v)^2\)。

量化实战

实战 1：用 einsum 复核本章全部例题

这段代码把例 2.1–2.8 的计算都写成指标表达式的直译。重点看例 2.6 的四组分量：'ip,pq,jq->ij' 就是 \((\mathbf g_i)_p\,T_{pq}\,(\mathbf g_j)_q\)。

import numpy as np
from fractions import Fraction
np.set_printoptions(precision=4, suppress=True)

def frac(M, den):               # 把矩阵乘以 den 后取整显示，便于和原书分数对照
    return np.round(M * den).astype(int)

# 例 2.1：一般基（G 的列 = 地窖基向量 g_j 的笛卡尔分量）
G = np.array([[1, 0, -1],
              [-1, 1, -2],
              [2, 1, 1]], dtype=float)
Ginv = np.linalg.inv(G)          # 行 = 屋顶（倒易）基向量 g^i
print("J = det G =", round(np.linalg.det(G), 6))
print("6*G^{-1} =\n", frac(Ginv, 6))                          # 例 2.2
print("g^i . g_j = delta:", np.allclose(np.einsum('ik,kj->ij', Ginv, G), np.eye(3)))

v = np.array([3, 3, 6.])
v_roof = Ginv @ v                # v^i = g^i . v        (2.7)
v_cell = G.T @ v                 # v_i = g_i . v        (2.6)
print("屋顶分量 v^i =", v_roof, " 地窖分量 v_i =", v_cell)   # 例 2.1, 2.3

# 例 2.4：一个用屋顶、一个用地窖，点积就是对应相乘求和
u_roof = np.array([2, -1, 4.]); w_cell = np.array([-3, 2, -2.])
print("u.v =", np.einsum('i,i->', u_roof, v_cell),
      " w.v =", np.einsum('i,i->', w_cell, v_roof),
      " u.w =", np.einsum('i,i->', u_roof, w_cell))

# 度量 g_ij = g_i.g_j，升指标 v^i = g^{ij} v_j（习题 2.8–2.10）
g_lo = G.T @ G; g_up = np.linalg.inv(g_lo)
print("det g_ij = J^2:", np.isclose(np.linalg.det(g_lo), np.linalg.det(G)**2),
      " 升指标:", np.einsum('ij,j->i', g_up, v_cell))

# 例 2.6：例 1.4 的张量在该基下的四组分量
T = np.array([[-2, 0, 3], [0, 0, -1], [1, 2, 0.]])
g_lo_vecs, g_up_vecs = G.T, Ginv            # 每一行是一个基向量
T_ll = np.einsum('ip,pq,jq->ij', g_lo_vecs, T, g_lo_vecs)   # T_ij   = g_i.T g_j
T_ul = np.einsum('ip,pq,jq->ij', g_up_vecs, T, g_lo_vecs)   # T^i_.j = g^i.T g_j
T_lu = np.einsum('jp,pq,iq->ij', g_lo_vecs, T, g_up_vecs)   # [T_j^.i]，第 i 行第 j 列
T_uu = np.einsum('ip,pq,jq->ij', g_up_vecs, T, g_up_vecs)   # T^ij   = g^i.T g^j
print("T_ij =\n", frac(T_ll, 1))
print("6*T^i_j =\n", frac(T_ul, 6))
print("[T_j^i] =\n", frac(T_lu, 1))
print("36*T^ij =\n", frac(T_uu, 36))

# 例 2.7–2.8：基变换 g~_j = A^i_j g_i
A = np.array([[1, 2, 1], [2, 1, 0], [-1, 0, 1.]])
Ainv = np.linalg.inv(A)
print("2*A^{-1} =\n", frac(Ainv, 2))
print("v~^i = (A^-1)^i_j v^j =", np.einsum('ij,j->i', Ainv, v_roof))
Tt_ll = np.einsum('ki,pj,kp->ij', A, A, T_ll)          # T~_ij = A^k_i A^p_j T_kp
Tt_lu = np.einsum('kj,ip,pk->ij', A, Ainv, T_lu)       # [T~_j^i] 第 i 行第 j 列
print("T~_21 =", Tt_ll[1, 0], "  T~_2^3 =", Fraction(Tt_lu[2, 1]).limit_denominator(100))
# 交叉检验：直接用新基 G~ = G A 重新计算
Gt = G @ A
print("直接计算 T~_21 =", Gt[:, 1] @ T @ Gt[:, 0])

关键输出（与原书例 2.1–2.8 完全一致）：

J = det G = 6.0
6*G^{-1} =
 [[ 3 -1  1]
 [-3  3  3]
 [-3 -1  1]]
g^i . g_j = delta: True
屋顶分量 v^i = [ 2.  3. -1.]  地窖分量 v_i = [12.  9. -3.]
u.v = 3.0  w.v = 2.000000000000001  u.w = -16.0
det g_ij = J^2: True  升指标: [ 2.  3. -1.]
T_ij =
 [[ 4  8 -4]
 [-3  1 -6]
 [-1  1 -8]]
6*T^i_j =
 [[ 13  12  11]
 [-21  -6 -33]
 [-11  -6 -19]]
[T_j^i] =
 [[ 0  0  1]
 [ 4  0 -1]
 [ 0 -1 -2]]
36*T^ij =
 [[ -7  51  23]
 [  9 -45 -45]
 [ 11 -39 -31]]
2*A^{-1} =
 [[-1  2  1]
 [ 2 -2 -2]
 [-1  2  3]]
v~^i = (A^-1)^i_j v^j = [1.5 0.  0.5]
T~_21 = 53.0   T~_2^3 = 13/2
直接计算 T~_21 = 53.0

实战 2：回归、纯因子组合、因子旋转与换交易单元

这段代码把 T2.4 和 T2.7 的"量化翻译"逐条落实。

import numpy as np
np.set_printoptions(precision=4, suppress=True)
rng = np.random.default_rng(7)

# ===== 1. 时间序列回归：相关因子 = 斜基，回归 beta = 屋顶分量，协方差 = 地窖分量 =====
T_ = 2000
mkt = rng.normal(0, 0.010, T_)
size = 0.6 * mkt + rng.normal(0, 0.006, T_)          # 规模因子与市场相关
F = np.column_stack([mkt, size])                      # 两个“基向量”（去均值后的随机变量）
y = 1.1 * mkt + 0.5 * size + rng.normal(0, 0.008, T_)

Fc, yc = F - F.mean(0), y - y.mean()
g_lo = np.einsum('ti,tj->ij', Fc, Fc) / (T_ - 1)      # 度量 g_ij = Cov(f_i, f_j)
y_cell = np.einsum('ti,t->i', Fc, yc) / (T_ - 1)      # 地窖分量 y_i = Cov(y, f_i)
y_roof = np.linalg.solve(g_lo, y_cell)                # 升指标 y^i = g^{ij} y_j
print("因子相关系数:", round(g_lo[0, 1] / np.sqrt(g_lo[0, 0] * g_lo[1, 1]), 3))
print("多元回归 beta（屋顶分量）:", y_roof)
print("lstsq 结果             :", np.linalg.lstsq(Fc, yc, rcond=None)[0])
print("单变量 beta = y_i/g_ii  :", y_cell / np.diag(g_lo))   # 两者不同，因为基不正交

# ===== 2. 截面：载荷列 = 地窖基，纯因子组合 = 倒易基 =====
N, K = 8, 3
B = np.column_stack([np.ones(N), rng.normal(size=N), rng.normal(size=N)])  # 市场/价值/动量暴露
W_pure = B @ np.linalg.inv(B.T @ B)       # 第 k 列 = 第 k 个纯因子组合 g^k
print("纯因子组合的暴露 B^T W = I:", np.allclose(B.T @ W_pure, np.eye(K)))
r = B @ np.array([0.01, 0.003, -0.002]) + rng.normal(0, 0.001, N)
print("截面回归因子收益 = 纯因子组合收益:", W_pure.T @ r)

# ===== 3. 因子旋转：载荷 B -> BA（协变），因子收益 f -> A^{-1} f（逆变）=====
Fcov = np.array([[0.04, 0.01, 0.0], [0.01, 0.02, 0.005], [0.0, 0.005, 0.03]])
A = np.array([[1, 0, 0], [-0.5, 1, 0], [0.2, 0.3, 1.]])  # 任意非奇异“换因子定义”
Ainv = np.linalg.inv(A)
B_new = np.einsum('nk,kj->nj', B, A)                       # g~_j = A^k_j g_k
F_new = np.einsum('ik,jl,kl->ij', Ainv, Ainv, Fcov)        # 屋顶-屋顶：A^{-1} F A^{-T}
print("系统性协方差 B F B^T 不变:", np.allclose(B @ Fcov @ B.T, B_new @ F_new @ B_new.T))
w = rng.dirichlet(np.ones(N))
x, x_new = B.T @ w, B_new.T @ w                            # 组合暴露（地窖分量）
print("暴露按 A^T 变换:", np.allclose(x_new, A.T @ x),
      " 因子风险不变:", np.isclose(x @ Fcov @ x, x_new @ F_new @ x_new))

# ===== 4. 换交易单元：收益协变、持仓逆变、协方差按 A^T Sigma A =====
Sigma = B @ Fcov @ B.T + np.diag(rng.uniform(0.01, 0.03, N))
P = np.eye(N); P[0, 1:] = -1.0           # P 的第 j 列 = 新单元 j：j>=1 为“资产 j 多、资产 0 空”的价差，单元 0 = 资产 0
w_units = np.linalg.solve(P, w)          # 用新单元表达同一组合：w = P w~
Sigma_units = P.T @ Sigma @ P            # 新单元收益 r~ = P^T r 的协方差
print("组合方差不变:", np.isclose(w @ Sigma @ w, w_units @ Sigma_units @ w_units))
print("新单元持仓 w~:", w_units)
print("w~_0 = 原组合总权重:", np.isclose(w_units[0], w.sum()), "; w~_j = w_j (j>=1):", np.allclose(w_units[1:], w[1:]))

关键输出：

因子相关系数: 0.705
多元回归 beta（屋顶分量）: [1.1073 0.5119]
lstsq 结果             : [1.1073 0.5119]
单变量 beta = y_i/g_ii  : [1.4168 1.4225]
纯因子组合的暴露 B^T W = I: True
截面回归因子收益 = 纯因子组合收益: [ 0.0107  0.0031 -0.0017]
系统性协方差 B F B^T 不变: True
暴露按 A^T 变换: True  因子风险不变: True
组合方差不变: True
新单元持仓 w~: [1.     0.044  0.0983 0.0262 0.2364 0.1965 0.1349 0.1851]
w~_0 = 原组合总权重: True ; w~_j = w_j (j>=1): True

解读：

1. 两个因子相关系数约 0.7。真实系数是 \((1.1,0.5)\)，多元回归（屋顶分量）准确恢复了它；单变量 beta（地窖分量除以 \(g_{ii}\)）是 \((1.42,1.42)\)，把另一个因子的作用也算了进来。这就是"单因子 beta 与多因子 beta 不同"的几何原因：平行投影与垂直投影不同。
2. 截面回归 \(\hat{\mathbf f}=(B^TB)^{-1}B^T\mathbf r\) 的每个分量，都等于一个"纯因子组合"的收益。纯因子组合 \(B(B^TB)^{-1}\) 的列满足 \(\mathbf g^k\cdot\mathbf g_j=\delta^k_j\)：对自己的因子暴露为 1，对其他因子暴露为 0。它就是载荷基的倒易基。（这里用的是等权最小二乘；用 WLS 时把度量换成 \(W\)，倒易基变为 \(WB(B^TWB)^{-1}\)。）
3. 因子旋转后，载荷、暴露、因子收益、因子协方差各自按协变或逆变规律变化，但所有"可观测的风险量"都不变。风险模型供应商改因子定义（例如把"市场"与"Beta 风格"正交化）时，你的组合风险不应变，可以用这个性质做回归测试。
4. 换成"资产 0 + 价差"的交易单元后，单元 0 的持仓等于原组合总权重，其余单元持仓等于原权重；协方差按 \(P^T\Sigma P\) 变，组合方差不变。

本章小结

一般基不必正交、不必等长，只要 \(J=\det G\ne0\)。倒易基由 \(\mathbf g^i\cdot\mathbf g_j=\delta^i_j\) 定义，计算上就是 \(G^{-1}\) 的各行。于是每个向量有两套分量：屋顶（逆变）分量 \(v^i=\mathbf v\cdot\mathbf g^i\) 是平行投影的系数，地窖（协变）分量 \(v_i=\mathbf v\cdot\mathbf g_i\) 是与基向量的点积；一上一下相乘求和就是点积。度量 \(g_{ij}\) 及其逆 \(g^{ij}\) 负责在两套分量之间升降指标。2 阶张量有四组分量，对称张量的混合分量矩阵一般不对称。换基 \(\tilde{\mathbf g}_j=A^i_j\mathbf g_i\) 时，每个下标带一个 \(A\)，每个上标带一个 \(A^{-1}\)。在量化里：收益、暴露、梯度是协变的，持仓、因子收益、回归系数是逆变的；协方差（两个下标）按 \(A^T\Sigma A\) 变；纯因子组合是载荷的倒易基；einsum 是这一切的实现语言，但上下标的正确性要靠自己维护。

练习

基础

1. \(\mathbf g_1\sim(-1,0,0)\)，\(\mathbf g_2\sim(1,1,0)\)，\(\mathbf g_3\sim(1,1,1)\)，\(\mathbf v\sim(1,2,3)\)。求倒易基、\(\mathbf v\) 的屋顶与地窖分量、度量 \([g_{ij}]\)。（原书习题 2.2） 答案要点：\(J=-1\)（左手系，但仍是基）；\(\mathbf g^1\sim(-1,1,0)\)，\(\mathbf g^2\sim(0,1,-1)\)，\(\mathbf g^3\sim(0,0,1)\)；\(v^i=(1,-1,3)\)，\(v_i=(-1,3,6)\)；\([g_{ij}]=\begin{bmatrix}1&-1&-1\\-1&2&2\\-1&2&3\end{bmatrix}\)。可验证 \(v^iv_i=-1-3+18=14=|\mathbf v|^2\)。
2. 化简：\(\delta^i_jv_iu^j\)，\(\delta^2_j\delta^j_kv^k\)，\(\delta^3_j\delta^j_1\)。（原书习题 2.3） 答案要点：\(u^iv_i\)；\(v^2\)；\(0\)。
3. 写出下列表达式的 einsum 下标串：(a) \(\tilde T^{ij}=(A^{-1})^i_k(A^{-1})^j_pT^{kp}\)；(b) 一批协方差矩阵 S[t, i, j] 对固定权重 w[i] 的组合方差序列；(c) 面板因子暴露 X[t, n, k] 与因子收益 f[t, k] 得到的系统性收益 [t, n]。 答案要点：(a) 'ik,jp,kp->ij'；(b) 'i,tij,j->t'；(c) 'tnk,tk->tn'。
4. 证明 \([g_{ij}]=G^TG\)、\(\det[g_{ij}]=J^2\)，以及 \([g^{ij}]=[g_{ij}]^{-1}\)。（原书习题 2.10） 提示：\(g^{ij}=\mathbf g^i\cdot\mathbf g^j\) 对应 \(G^{-1}G^{-T}=(G^TG)^{-1}\)。
5. 二维张量 \(\mathbf T\mathbf v\sim(v_x-v_y,\ v_x)\)，斜基 \(\mathbf g_1\sim(1,0)\)，\(\mathbf g_2\sim(1,1)\)。求 \(\mathbf T\) 的对称部分 \(\mathbf S\)，以及 \(\mathbf S\) 的地窖分量矩阵和混合分量矩阵 \([S^i_{\cdot j}]\)，说明后者不对称。（原书习题 2.23） 答案要点：\(\mathbf S\sim\begin{bmatrix}1&0\\0&0\end{bmatrix}\)；\(\mathbf g^1\sim(1,-1)\)，\(\mathbf g^2\sim(0,1)\)；\([S_{ij}]=\begin{bmatrix}1&1\\1&1\end{bmatrix}\)（对称），\([S^i_{\cdot j}]=\begin{bmatrix}1&1\\0&0\end{bmatrix}\)（不对称）。

进阶

6. 用 (2.18) 证明 \((\mathbf u\times\mathbf v)\times\mathbf w=(\mathbf u\cdot\mathbf w)\mathbf v-(\mathbf v\cdot\mathbf w)\mathbf u\)，并证明 \(\epsilon^{ijk}\epsilon_{pjk}=2\delta^i_p\)。（原书习题 2.6–2.7） 提示：笛卡尔记号下 \([(\mathbf u\times\mathbf v)\times\mathbf w]_i=\epsilon_{ijk}\epsilon_{jpq}u_pv_qw_k\)，循环置换后用 (2.18)。
7. 证明正交换基 \(\tilde{\mathbf g}_j=\mathbf Q\mathbf g_j\) 下 \(g_{ij}\) 不变，并由此解释"只用正交矩阵做换基时，协变与逆变分量按同样规律变换"。（原书习题 2.16） 提示：\(\tilde g_{ij}=\mathbf Q\mathbf g_i\cdot\mathbf Q\mathbf g_j=\mathbf g_i\cdot\mathbf Q^T\mathbf Q\mathbf g_j\)；若初始基标准正交，\(A\) 为正交矩阵，\(A^{-1}=A^T\)。
8. 设两个协方差估计 \(\Sigma_1,\Sigma_2\)（\(N\times N\) 正定）。证明对任意非奇异 \(P\)，\(\Sigma_1^{-1}\Sigma_2\) 与 \((P^T\Sigma_1P)^{-1}(P^T\Sigma_2P)\) 相似，因而特征值相同；但 \(\Sigma_2\) 与 \(P^T\Sigma_2P\) 的特征值一般不同。 提示：\((P^T\Sigma_1P)^{-1}P^T\Sigma_2P=P^{-1}(\Sigma_1^{-1}\Sigma_2)P\)。
9. 加权截面回归用度量 \(W\)（对角正定）：\(\hat{\mathbf f}=(B^TWB)^{-1}B^TW\mathbf r\)。指出此时的"倒易基"（纯因子组合）并验证其暴露矩阵为单位阵。 答案要点：\(\Omega=WB(B^TWB)^{-1}\)，\(B^T\Omega=I\)，\(\hat{\mathbf f}=\Omega^T\mathbf r\)。
10. 由 Cayley–Hamilton 定理 (2.50)，对 \(3\times3\) 非奇异矩阵写出 \(A^{-1}\) 用 \(A^2\)、\(A\)、\(I\) 表示的公式，并用 numpy 对随机矩阵验证。（原书习题 2.28） 答案要点：\(A^{-1}=\frac1{\det A}\left[A^2-(\operatorname{tr}A)A+\tfrac12((\operatorname{tr}A)^2-\operatorname{tr}A^2)I\right]\)。

原书推荐习题

• 2.2、2.8、2.9、2.10：倒易基、度量张量、升降指标、\(\det g=J^2\)，最核心的计算训练。
• 2.5–2.7：\(\epsilon\)–\(\delta\) 恒等式与三重积，指标运算基本功。
• 2.15–2.17：基变换张量、正交张量、Householder 反射。
• 2.23：对称张量的混合分量矩阵可不对称，纠正常见误区。
• 2.25、2.27、2.28：矩阵指数、极分解、Cayley–Hamilton。

原书对照

页码换算：第 I–III 章原书第 \(p\) 页 = PDF 第 \(p+13\) 页。习题 2.8–2.10 的具体页码按习题区顺序估计，查阅时以 PDF p.51–57 范围为准。原书编号缺 (2.24)。