量化交易中文教材

张量篇 第 T1 章 向量与二阶张量

对应原书：James G. Simmonds《A Brief on Tensor Analysis》第 2 版（Springer, 1994），第 I 章 Introduction: Vectors and Tensors（书 p.1–24，PDF p.14–37）。

本篇定位。 Simmonds 这本小书是写给连续介质力学学生的：例子是力、力矩、应力、刚体转动、流体。张量分析和量化交易的直接关联有限，你在交易系统里不会遇到 Christoffel 符号。它对量化学习者的价值集中在三处：

  1. 指标记号与 Einstein 求和约定，就是 numpy.einsum 和高维数组运算的数学语言；
  2. 协变/逆变分量与基变换，对应变量换元、因子旋转、协方差矩阵在线性变换下的变换规律 \(\Sigma\to A^T\Sigma A\)；
  3. 一般坐标下的多元微积分（梯度、Hessian、链式法则），对应优化与风险敏感度，以及“重参数化之后梯度和 Hessian 怎么变”。

本篇四章按原书四章组织。本章打基础：向量与 2 阶张量的不依赖坐标的定义，以及它们在笛卡尔坐标下的分量。和 Horn & Johnson 主体部分相比，本章的线性代数内容不难，重点在于建立一种看问题的习惯：先有几何对象，坐标只是它的一种表示。

学习目标

读完本章，你应当能够：

  1. 说清"向量"和"向量的分量"的区别，理解什么叫几何不变量，并用无角度的公式 \(\mathbf u\cdot\mathbf v=\frac12(|\mathbf u|^2+|\mathbf v|^2-|\mathbf v-\mathbf u|^2)\) 解释点积为什么与坐标轴无关。
  2. 掌握叉积、标量三重积与行列式的关系，以及向量三重积公式（只需会用，不必深究三维专属的内容）。
  3. 理解 2 阶张量 = 把向量映成向量的线性算子，会用并矢（外积）\(\mathbf{uv}\)、投影张量 \(\bar{\mathbf u}\bar{\mathbf u}\) 构造张量。
  4. 会用 \(\mathbf u\cdot\mathbf T\mathbf v=\mathbf v\cdot\mathbf T^T\mathbf u\) 定义转置，做对称–反对称分解；会求张量的笛卡尔分量 \(T_{ij}=\mathbf e_i\cdot\mathbf T\mathbf e_j\)。
  5. 把协方差矩阵看成对称 2 阶张量、把组合方差看成二次型、把因子中性化看成投影张量的作用，并用 numpy.einsum 写出这些运算。

读前导读

先说清楚：张量篇对量化是选读

张量篇（T1–T4）原本是写给学力学的学生的，例子是力、力矩、应力、刚体转动。坦白说，做量化交易不需要读完它。你在因子模型、组合优化、衍生品定价里不会碰到叉积、Christoffel 符号或曲面几何。如果时间紧，可以整篇跳过，不影响后面各册。

那为什么还放在这里？因为其中有几处想法，量化工作里确实会反复用到，而用张量的语言讲得比矩阵语言更清楚。本章里真正值得花时间的是这几处：

  1. "对象"和"坐标"分开看（T1.1、T1.2.2）。一个组合的风险是客观存在的，不管你用单只股票、行业组合还是主成分来记权重，方差都一样，变的只是数字。这个习惯能帮你理解为什么 \(\Sigma\to Q^T\Sigma Q\)、为什么因子旋转不改变风险。
  2. 并矢（外积）（T1.4.2）。\(\mathbf{uv}\) 就是 \(uv^T\)。协方差矩阵是收益外积的平均，单因子模型的系统性风险 \(\sigma_m^2\boldsymbol\beta\boldsymbol\beta\) 是一个并矢，PCA 的谱分解是若干并矢之和。
  3. 投影张量（T1.4.2）。因子中性化、回归残差，都是"减去在某方向上的投影"。
  4. 二次型只看对称部分（例 1.6 之后）。这解释了为什么协方差矩阵、Hessian 总可以取成对称的。
  5. einsum 记号（实战 1、2）。如果你用 Python 写多维数组运算，这个工具能省很多事。

可以跳过的部分：T1.3 叉积与三重积（三维专属，只需记住"行列式 = 有向体积"一句）、例 1.6 的叉积矩阵、T1.6 中关于应力（习题 1.20–1.21）和反对称张量平方（习题 1.26）的条目。

这一章在解决什么问题

一句话：向量和矩阵本来是几何对象（箭头、线性变换），坐标里的那串数字只是它在某组基下的"报价"。打个比方：一只股票的价值是确定的，用人民币报价是一串数，用美元报价是另一串数，报价随汇率变，价值不变。本章先用不依赖坐标的方式定义点积和 2 阶张量，再推出你熟悉的分量公式，这样分量公式"换坐标不变"就是自动成立的。

需要先想起来的数学

1. 向量的点积与长度。 \(\mathbf u\cdot\mathbf v=\sum u_iv_i\)，\(|\mathbf v|=\sqrt{\mathbf v\cdot\mathbf v}\)。例：\((1,2)\cdot(3,-1)=1\)。点积为零即垂直。见 第 00 册第 06 章 线性代数速成。

2. 矩阵就是线性变换。 矩阵 \(T\) 作用在向量上 \(T\mathbf v\)，满足 \(T(a\mathbf v+b\mathbf w)=aT\mathbf v+bT\mathbf w\)。\(T\) 的第 \(j\) 列就是 \(T\) 作用在第 \(j\) 个基向量 \(\mathbf e_j\) 上的结果。见 第 00 册第 06 章。

3. 行列式。 \(2\times2\) 时 \(\det\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}=ad-bc\)，绝对值等于两列向量围成的平行四边形面积。见 第 00 册第 06 章。

本章符号速查。 粗体 \(\mathbf v\) 表示向量本身（几何对象），\(v_x,v_y,v_z\) 是它的分量。\(\mathbf v\sim(v_x,v_y,v_z)\) 读作"\(\mathbf v\) 在这组基下的分量是……"，故意不用等号。\(\equiv\) 表示"定义为"。\(\bar{\mathbf u}=\mathbf u/|\mathbf u|\) 是单位向量（上划线不是均值）。两个粗体字母并排 \(\mathbf{uv}\) 不是乘法，是并矢（外积），对应矩阵 \(uv^T\)。\(\mathbf 1\) 是单位张量（单位矩阵 \(I\)），\(\mathbf O\) 是零张量。\(E_3\) 是三维欧氏空间。\(\forall\) 读作"对所有"。

怎么读这一章

建议路线：T1.1 快速浏览（只要抓住"向量 = 等价类，分量 = 表示"）→ T1.2.2 点积的不变定义与量化注记 → 跳过 T1.3 → T1.4 全部 → T1.5.1 → 实战 2。实战 1 只是验证原书例题，可以略过。整章大约一小时可以读完。

T1.1 向量：箭头的等价类

T1.1.1 有向线段与几何向量

在三维欧氏空间 \(E_3\) 中，一个箭头（arrow）是有序点对 \((A,B)\)，记作 \(\overline{AB}\)，\(A\) 为尾、\(B\) 为头。两个箭头如果能通过平行移动重合，就称为等价。

（几何）向量（vector）定义为与某个箭头等价的全体箭头组成的集合，也就是一个等价类（equivalence class）。平时我们用其中任意一个箭头代表它。

作者用有理数作类比：计算机把 \(2/3\) 存成整数对 \((2,3)\)，判断 \((a,b)\) 与 \((c,d)\) 是否代表同一个数用 \(ad=bc\)。有理数 \(a/b\) 本质上是满足 \(ad=bc\) 的整数对 \((c,d)\) 的等价类。日常把"数"和它的表示混用，同样也把"向量"和它的某个箭头混用。

由此定义：

  • 长度 \(|\mathbf v|\)：任一代表箭头的长度。零向量 \(\mathbf 0\) 是唯一长度为零的向量。
  • 方向（单位向量）：\(\bar{\mathbf v}=\mathbf v/|\mathbf v|\)，\(\mathbf v\ne\mathbf 0\)（式 1.1）。\(\mathbf 0\) 没有方向。
  • 选定原点 \(0\) 后，从 \(0\) 指向点 \(P\) 的向量 \(\mathbf x\) 称为 \(P\) 的位置（position）。

原书脚注里留了一个伏笔：这个"平行移动"的定义在球面上没有意义，因为球面上没有整体的平行移动概念。第 T4 章的协变导数和曲率正是在处理这个问题。

T1.1.2 加法、数乘与向量空间

两向量相加有两种等价的作图法：首尾相接法则（head-to-tail rule）和平行四边形法则（parallelogram rule）。前者便于连加多个向量，后者使交换律一目了然。数乘 \(\alpha\mathbf v\) 就是把箭头伸缩 \(\alpha\) 倍。

全体几何向量连同加法和数乘构成线性向量空间（linear vector space）。原书顺带提到其他例子：\(n\) 次多项式全体、\(n\) 阶线性齐次常微分方程的解全体、\(m\times n\) 矩阵全体。对量化读者再补一个：同一组 \(N\) 只资产上的全部组合权重向量也构成向量空间。

T1.1.3 向量能表示什么，向量加法未必有意义

原书强调两点，量化里同样适用：

(A) 不同种类的对象属于不同的向量空间。 力和位移都可以用箭头表示，但不能相加。为了省事常把它们画在同一张图上，这只是作图习惯。

(B) 向量加法未必反映被表示对象的某种属性。 位移、作用于同一点的力确实按向量法则相加（这是实验事实）；而绕定点的有限转动虽然可以用向量（方向 = 转轴，长度 = 转角）表示，相继两次转动的合成却不等于两个向量之和。原书用"20 名学生、30 把椅子，平均每把椅子 2/3 个学生"作比喻：这是对数做的数学运算，不代表真有 2/3 个学生。

对应到量化：组合权重相加有明确的经济含义（两个组合合并持有）；而把"A 股票的 PE"和"B 股票的 PE"所在的向量相加，就可能只是数学操作。弄清一个向量运算是否有含义，是建模的第一步。

T1.2 笛卡尔坐标与点积

T1.2.1 笛卡尔分量

过原点取三条互相垂直的轴，按右手法则定出单位向量 \(\mathbf e_x,\mathbf e_y,\mathbf e_z\)。点 \(P\) 的笛卡尔坐标 \((x,y,z)\) 是它到三个坐标平面的有向垂直距离。向量 \(\mathbf v\) 以原点为尾时，头的坐标 \((v_x,v_y,v_z)\) 称为它的笛卡尔分量（Cartesian components），记 \(\mathbf v\sim(v_x,v_y,v_z)\)。这里用"\(\sim\)"而不用"\(=\)"，正是为了提醒：分量是向量的表示，不是向量本身。

由几何直接推出：

\[|\mathbf v|=\sqrt{v_x^2+v_y^2+v_z^2},\qquad \alpha\mathbf v\sim(\alpha v_x,\alpha v_y,\alpha v_z),\qquad \mathbf v\pm\mathbf w\sim(v_x\pm w_x,\dots)\]

以及 \(\mathbf v=v_x\mathbf e_x+v_y\mathbf e_y+v_z\mathbf e_z\)（式 1.16），表示唯一。\(\{\mathbf e_x,\mathbf e_y,\mathbf e_z\}\) 称为标准笛卡尔基。

T1.2.2 不用角度定义点积

常见定义 \(\mathbf u\cdot\mathbf v=|\mathbf u||\mathbf v|\cos\theta\) 有个循环论证的问题：如果我们只会量长度，\(\theta\) 怎么算？只能反过来用这个式子定义 \(\theta\)。所以需要一个只用长度的定义。

把 \(\mathbf v\) 分解为平行于 \(\mathbf u\) 的部分 \(|\mathbf v|\cos\theta\,\bar{\mathbf u}\) 和垂直部分 \(\mathbf v_\perp\)，两次用勾股定理：

\[|\mathbf v|^2=|\mathbf v|^2\cos^2\theta+|\mathbf v_\perp|^2,\]
\[|\mathbf v-\mathbf u|^2=(|\mathbf v|\cos\theta-|\mathbf u|)^2+|\mathbf v_\perp|^2=-2|\mathbf u||\mathbf v|\cos\theta+|\mathbf u|^2+|\mathbf v|^2 .\]

推导拆解：第二行的最后一个等号是怎么来的？ 第一步，\(\mathbf v-\mathbf u\) 也分解成平行和垂直两部分：平行部分长度是 \(|\mathbf v|\cos\theta-|\mathbf u|\)（\(\mathbf v\) 的平行部分减去 \(\mathbf u\) 本身），垂直部分还是 \(\mathbf v_\perp\)（\(\mathbf u\) 没有垂直分量）。用勾股定理得第一个等号。 第二步，展开平方：\(|\mathbf v|^2\cos^2\theta-2|\mathbf u||\mathbf v|\cos\theta+|\mathbf u|^2+|\mathbf v_\perp|^2\)。 第三步，由第一行，\(|\mathbf v_\perp|^2=|\mathbf v|^2-|\mathbf v|^2\cos^2\theta\)，代入后 \(\cos^2\theta\) 项抵消，得 \(-2|\mathbf u||\mathbf v|\cos\theta+|\mathbf u|^2+|\mathbf v|^2\)。 把 \(|\mathbf u||\mathbf v|\cos\theta\) 解出来，就是 (1.11) 右边。这样定义的好处是右边只有三个长度，任何人不管怎样摆坐标轴，量出来的长度都一样。

这就是余弦定理。于是得到点积的定义：

\[\boxed{\ \mathbf u\cdot\mathbf v\equiv\tfrac12\left(|\mathbf u|^2+|\mathbf v|^2-|\mathbf v-\mathbf u|^2\right)\ }\tag{1.11}\]

特例 \(\mathbf v\cdot\mathbf v=|\mathbf v|^2\)。点积为零称正交（orthogonal）。代入分量公式得熟悉的

\[\mathbf u\cdot\mathbf v=u_xv_x+u_yv_y+u_zv_z .\tag{1.13}\]

几何不变量（geometric invariant）。换一组笛卡尔轴，每个分量乘积 \(u_xv_x\) 都会变，但它们的和不变，因为 (1.11) 只用到长度，而长度和坐标轴无关。这是全书反复使用的思路：先给出不依赖坐标的定义，再推出分量公式，分量公式的不变性就自动成立。

分配律 \(\mathbf u\cdot(\mathbf v+\mathbf w)=\mathbf u\cdot\mathbf v+\mathbf u\cdot\mathbf w\) 用 (1.13) 一行可证；作者在习题 1.7 中要求只用 (1.11) 证明，提示是平行四边形定律 \(2|\mathbf a|^2+2|\mathbf b|^2=|\mathbf a+\mathbf b|^2+|\mathbf a-\mathbf b|^2\)。

量化注记：极化恒等式。 (1.11) 在统计里就是 \(\operatorname{Cov}(X,Y)=\frac12[\operatorname{Var}X+\operatorname{Var}Y-\operatorname{Var}(X-Y)]\)。它说明：只要知道所有组合的方差（"长度"），所有协方差（"点积"）就确定了。价差交易里常用 \(\operatorname{Var}(X-Y)\) 来反推两腿的相关性，就是这个公式。

例 1.1　\(\mathbf u\sim(1,2,3)\)，\(\mathbf v\sim(-3,1,-2)\)。\(\mathbf u\cdot\mathbf v=-3+2-6=-7\)，\(|\mathbf u|=|\mathbf v|=\sqrt{14}\)，\(\theta=\cos^{-1}(-7/14)=120^\circ\)。

习题 1.8 给出 Schwarz 不等式 \(|\mathbf u\cdot\mathbf v|\le|\mathbf u||\mathbf v|\) 的三种证法，其中"二次多项式 \(p(x)=|\mathbf u+x\mathbf v|^2\ge0\)，故判别式 \(\le0\)"这一证法可以原封不动搬到随机变量上，得到相关系数 \(|\rho|\le1\)。函数版本 \(\left|\int_a^bfg\,dx\right|\le\sqrt{\int_a^bf^2dx}\sqrt{\int_a^bg^2dx}\) 也在该题中。

T1.3 叉积与三重积（三维专属，简要了解）

叉积只在三维存在（高维中要用 Grassmann 代数的楔积），与量化交易没有直接关联。但它引出的"行列式 = 有向体积"和置换符号 \(\epsilon_{ijk}\) 在第 T2 章会用到，所以这里简要过一遍。

定义。 \(\mathbf u\times\mathbf v\) 是以 \(\mathbf u,\mathbf v\) 为邻边的平行四边形的右手定向面积：\(|\mathbf u\times\mathbf v|=|\mathbf u||\mathbf v|\sin\theta\)，方向由右手法则确定。由定义 \(\mathbf u\times\mathbf v=-\mathbf v\times\mathbf u\)。

标量三重积 \((\mathbf u\times\mathbf v)\cdot\mathbf w\) 的绝对值是以 \(\mathbf u,\mathbf v,\mathbf w\) 为棱的平行六面体体积，并且在循环置换下不变：

\[(\mathbf u\times\mathbf v)\cdot\mathbf w=(\mathbf w\times\mathbf u)\cdot\mathbf v=(\mathbf v\times\mathbf w)\cdot\mathbf u .\tag{1.20}\]

叉积分配律的证明用到一个以后常用的引理：两向量相等，当且仅当它们与所有向量 \(\mathbf c\) 的点积相等（取 \(\mathbf c=\mathbf u-\mathbf v\) 即得）。

分量形式：

\[\mathbf u\times\mathbf v=\begin{vmatrix}\mathbf e_x&\mathbf e_y&\mathbf e_z\\u_x&u_y&u_z\\v_x&v_y&v_z\end{vmatrix},\qquad (\mathbf u\times\mathbf v)\cdot\mathbf w=\begin{vmatrix}u_x&u_y&u_z\\v_x&v_y&v_z\\w_x&w_y&w_z\end{vmatrix}.\tag{1.25–1.26}\]

所以行列式就是有向体积。这个解释在量化里有用：协方差矩阵的行列式（广义方差）是收益分布"椭球"体积的平方的倍数，行列式接近零说明资产近乎共线。

向量三重积（例 1.2，原书不用分量给出证明）：

\[(\mathbf u\times\mathbf v)\times\mathbf w=(\mathbf u\cdot\mathbf w)\mathbf v-(\mathbf v\cdot\mathbf w)\mathbf u .\tag{1.22}\]

证明思路值得一看：左边垂直于 \(\mathbf u\times\mathbf v\)，所以落在 \(\mathbf u,\mathbf v\) 张成的平面内，可写成 \(A\mathbf u+B\mathbf v\)；左边又垂直于 \(\mathbf w\)，得 \(A=-C(\mathbf v\cdot\mathbf w)\)、\(B=C(\mathbf u\cdot\mathbf w)\)；最后通过两次取特殊向量并点乘，证明比例因子 \(C\equiv1\)。

例 1.3　求同时垂直于 \(\mathbf a\sim(1,-2,3)\)、\(\mathbf b\sim(-1,0,1)\) 的单位向量。\(\mathbf a\times\mathbf b\sim(-2,-4,-2)\)，\(|\mathbf a\times\mathbf b|=2\sqrt6\)，故 \(\mathbf e\sim\pm(1,2,1)/\sqrt6\)。也可以直接解 \(\mathbf e\cdot\mathbf a=\mathbf e\cdot\mathbf b=0\)。

T1.4 张量：把向量映成向量的线性算子

T1.4.1 动机：力是泛函，力矩是算子

恒力 \(\mathbf F\) 沿位移 \(\mathbf D\) 做功 \(\mathbf F\cdot\mathbf D\)。力和位移单位不同，属于不同的空间，严格说不能直接"点乘"。更自然的看法是：力是一个线性泛函（linear functional），它把任一位移向量映成一个实数（功）。这就是后来"对偶空间""余向量"的直观来源，第 T2 章的地窖（协变）分量会把它落实。

同理，力矩 \(\mathbf x\times\mathbf F\) 引出把向量映成向量的线性算子，这类算子称为 2 阶张量（second order tensor）。"张量"一词来自弹性力学：应力张量作用在一个面的单位法向上，给出跨该面的张力。

金融直觉："力是把位移映成功的线性泛函"在金融里有一个完全对应的例子：价格向量。持仓 \(\mathbf h\) 的单位是"股"，价格 \(\mathbf p\) 的单位是"元/股"，两者本来不在同一个空间，但 \(\mathbf p\cdot\mathbf h\) 给出组合市值（元）。更准确的说法是：价格是一个把持仓映成金额的线性函数。同样，组合方差对权重的梯度（边际风险 \(2\Sigma\mathbf w\)）也是这种对象，它吃进一个权重的变化量、吐出方差的变化量。 这个区分在笛卡尔坐标下看不出来，所以平时可以混着用；第 T2 章换成非正交的基（例如用因子组合当交易单位）时，"持仓类"和"价格/梯度类"的分量会按不同规则变换，这时区分就有用了。

全书立场。 作者在序言里说，他本科时被"2 阶张量是 \(n^2\) 个按某规则变换的对象"这种定义吓退了。本书的立场是：2 阶张量就是线性算子，变换规则是推论而不是定义。对已经学过矩阵的读者来说，这意味着：2 阶张量就是线性变换，矩阵是它在某组基下的表示。

T1.4.2 投影与并矢

最简单的非平凡张量是投影：

\[\mathrm{Proj}_{\mathbf u}\mathbf v\equiv(\mathbf v\cdot\bar{\mathbf u})\bar{\mathbf u}.\tag{1.27}\]

它对 \(\mathbf v\) 是线性的：\(\mathrm{Proj}_{\mathbf u}(\beta\mathbf v+\gamma\mathbf w)=\beta\,\mathrm{Proj}_{\mathbf u}\mathbf v+\gamma\,\mathrm{Proj}_{\mathbf u}\mathbf w\)，所以是张量。

推广得到直积或并矢（direct product / dyad）\(\mathbf{uv}\)，许多书记作 \(\mathbf u\otimes\mathbf v\)：

\[\mathbf{uv}(\mathbf w)\equiv\mathbf u(\mathbf v\cdot\mathbf w).\tag{1.29}\]

特别地 \(\mathrm{Proj}_{\mathbf u}=\bar{\mathbf u}\bar{\mathbf u}\)。在分量下，\(\mathbf{uv}\) 就是外积矩阵 \(uv^T\)，np.outer(u, v) 或 np.einsum('i,j->ij', u, v)。下面会看到，任何 2 阶张量都能写成并矢的线性组合。

白话解释：并矢 \(\mathbf{uv}\) 的作用是"先用 \(\mathbf v\) 给输入打个分，再把分数乘到 \(\mathbf u\) 上"。小例子：\(\mathbf u\sim(1,2)\)，\(\mathbf v\sim(3,1)\)，\(\mathbf w\sim(1,1)\)。按定义 \(\mathbf{uv}(\mathbf w)=\mathbf u(\mathbf v\cdot\mathbf w)=4\mathbf u\sim(4,8)\)。按矩阵算，\(uv^T=\begin{bmatrix}3&1\\6&2\end{bmatrix}\)，乘 \((1,1)^T\) 也是 \((4,8)\)。 金融直觉：单因子模型里，组合 \(\mathbf w\) 的市场暴露是 \(\boldsymbol\beta\cdot\mathbf w\)（打分），每只资产与该组合之间的系统性协方差是 \(\sigma_m^2\boldsymbol\beta(\boldsymbol\beta\cdot\mathbf w)\)（第 \(i\) 个分量是 \(\sigma_m^2\beta_i\cdot\) 组合 beta）。所以系统性协方差矩阵 \(\sigma_m^2\boldsymbol\beta\boldsymbol\beta^T\) 正是一个并矢。并矢的输出永远沿 \(\mathbf u\) 方向，所以它的秩是 1：单因子只能解释一个方向上的风险。

T1.4.3 基本定义

给定张量 \(\mathbf T\)，就是知道它对每个向量 \(\mathbf v\) 的作用 \(\mathbf T\mathbf v\)。原书脚注提醒，严格地说还要指明定义域和值域，二者常常不同：惯性张量的定义域是角速度空间，值域是角动量空间。（量化对应：协方差矩阵把"权重空间"映到"风险贡献/边际风险空间"，第 T2 章再讨论。）

  • 相等：\(\mathbf S=\mathbf T\iff\mathbf S\mathbf v=\mathbf T\mathbf v,\ \forall\mathbf v\iff\mathbf u\cdot\mathbf S\mathbf v=\mathbf u\cdot\mathbf T\mathbf v,\ \forall\mathbf u,\mathbf v\)（式 1.31–1.32）。
  • 零张量 \(\mathbf O\mathbf v=\mathbf 0\)；单位张量 \(\mathbf 1\mathbf v=\mathbf v\)。
  • 转置：唯一满足下式的张量 \(\mathbf T^T\)：
\[\mathbf u\cdot\mathbf T\mathbf v=\mathbf v\cdot\mathbf T^T\mathbf u,\qquad\forall\mathbf u,\mathbf v.\tag{1.33}\]
  • 对称 \(\mathbf T=\mathbf T^T\)；反对称（skew）\(\mathbf T=-\mathbf T^T\)；奇异：存在 \(\mathbf v\ne\mathbf 0\) 使 \(\mathbf T\mathbf v=\mathbf 0\)。
  • 对称–反对称分解：
\[\mathbf T=\tfrac12(\mathbf T+\mathbf T^T)+\tfrac12(\mathbf T-\mathbf T^T).\tag{1.35}\]

注意转置是用点积定义的，不是"把矩阵翻过来"。在笛卡尔基下二者一致；到了第 T2 章的斜基下，"转置张量"的分量矩阵就不再是原分量矩阵的转置了，这是本书反复提醒的陷阱。

白话解释：为什么要绕个弯用点积定义转置？因为"把矩阵沿对角线翻过来"是对一串数字的操作，换一组基，数字变了，翻转的结果也可能不再代表同一个对象。而 (1.33) 只用到点积和张量的作用，这两样都不依赖坐标，所以定义出来的 \(\mathbf T^T\) 是一个确定的几何对象。在标准正交基下，\(\mathbf u\cdot T\mathbf v=u^TTv\)，\(\mathbf v\cdot T^T\mathbf u=v^TT^Tu\)，两者是同一个数（标量的转置等于自身），所以平常"翻矩阵"的做法恰好对。

例 1.4　设 \(\mathbf v\sim(v_x,v_y,v_z)\) 时 \(\mathbf T\mathbf v\sim(-2v_x+3v_z,\,-v_z,\,v_x+2v_y)\)，求 \(\mathbf T^T\mathbf v\)。设 \(\mathbf T^T\mathbf v\sim(a,b,c)\)，\(\mathbf u\sim(\alpha,\beta,\gamma)\)，由 \(\mathbf u\cdot\mathbf T^T\mathbf v=\mathbf v\cdot\mathbf T\mathbf u\)：

\[\alpha a+\beta b+\gamma c=v_x(-2\alpha+3\gamma)+v_y(-\gamma)+v_z(\alpha+2\beta)=\alpha(-2v_x+v_z)+\beta(2v_z)+\gamma(3v_x-v_y).\]

比较 \(\alpha,\beta,\gamma\) 的系数，\(\mathbf T^T\mathbf v\sim(-2v_x+v_z,\,2v_z,\,3v_x-v_y)\)。

T1.5 2 阶张量的笛卡尔分量

T1.5.1 分量矩阵

由线性，\(\mathbf T\mathbf v=v_x\mathbf T\mathbf e_x+v_y\mathbf T\mathbf e_y+v_z\mathbf T\mathbf e_z\)。所以只要知道 \(\mathbf T\) 对三个基向量的作用就够了。把 \(\mathbf T\mathbf e_j\) 展开：

\[\mathbf T\mathbf e_x=T_{xx}\mathbf e_x+T_{yx}\mathbf e_y+T_{zx}\mathbf e_z,\quad\text{等等}.\tag{1.37–1.39}\]

9 个系数组成矩阵 \(T\)，第 \(i\) 行第 \(j\) 列为 \(T_{ij}\)，\(\mathbf T\mathbf e_j\) 的分量构成 \(T\) 的第 \(j\) 列。记忆公式：

\[T_{ij}=\mathbf e_i\cdot\mathbf T\mathbf e_j .\]

推导拆解：这个记忆公式分两步读。先算 \(\mathbf T\mathbf e_j\)，它是 \(T\) 的第 \(j\) 列（式 1.37–1.39）。再和 \(\mathbf e_i\) 点积，在正交单位基下，"和 \(\mathbf e_i\) 点积"就是取出第 \(i\) 个分量。合起来就是第 \(i\) 行第 \(j\) 列。 协方差的例子：\(\Sigma_{ij}=\mathbf e_i\cdot\Sigma\mathbf e_j\) 是"只持有一单位资产 \(j\) 的组合"和"只持有一单位资产 \(i\) 的组合"之间的协方差。\(\mathbf e_i\cdot\Sigma\mathbf e_i\) 是资产 \(i\) 自己的方差。一般地 \(\mathbf u\cdot\Sigma\mathbf v\) 是组合 \(\mathbf u\) 与组合 \(\mathbf v\) 的协方差。

例 1.5　例 1.4 中 \(\mathbf T\mathbf e_x\sim(-2,0,1)\)，\(\mathbf T\mathbf e_y\sim(0,0,2)\)，\(\mathbf T\mathbf e_z\sim(3,-1,0)\)，故

\[\mathbf T\sim\begin{bmatrix}-2&0&3\\0&0&-1\\1&2&0\end{bmatrix}.\]

例 1.6　"\(\mathbf u\times\)"作用于 \(\mathbf v\) 得 \(\mathbf u\times\mathbf v\)，它是 2 阶张量，分量矩阵是反对称的"叉积矩阵"：

\[\mathbf u\times\ \sim\ \begin{bmatrix}0&-u_z&u_y\\u_z&0&-u_x\\-u_y&u_x&0\end{bmatrix}.\]

习题 1.18 证明反过来也对：三维中任一反对称张量 \(\mathbf A\) 都有唯一的轴向量 \(\boldsymbol\omega\) 使 \(\mathbf A\mathbf v=\boldsymbol\omega\times\mathbf v\)，并且对任意维的反对称张量有 \(\mathbf v\cdot\mathbf A\mathbf v=0\)。后者在量化里有一个直接推论：二次型只"看得见"矩阵的对称部分，所以协方差估计、二次型优化中的矩阵总可以取为对称的。

推导拆解：为什么 \(\mathbf v\cdot\mathbf A\mathbf v=0\)？由转置定义 (1.33)，\(\mathbf v\cdot\mathbf A\mathbf v=\mathbf v\cdot\mathbf A^T\mathbf v\)；反对称意味着 \(\mathbf A^T=-\mathbf A\)，所以 \(\mathbf v\cdot\mathbf A\mathbf v=-\mathbf v\cdot\mathbf A\mathbf v\)，只能等于 0。再用分解 (1.35)，任意 \(\mathbf K\) 的二次型 \(\mathbf v\cdot\mathbf K\mathbf v\) 等于对称部分的二次型加 0。 数值例：\(K=\begin{bmatrix}1&4\\0&1\end{bmatrix}\)，对称部分 \(\begin{bmatrix}1&2\\2&1\end{bmatrix}\)。取 \(v=(1,1)\)，两者的二次型都是 6。实务含义：数值计算有时会让协方差矩阵出现 \(10^{-15}\) 级的不对称，求特征值前做一次 \((\Sigma+\Sigma^T)/2\) 不会改变任何组合方差。

T1.5.2 并矢基

二维情形，\(v_x\mathbf e_x=(\mathbf v\cdot\mathbf e_x)\mathbf e_x=\mathbf e_x\mathbf e_x(\mathbf v)\)，于是

\[\mathbf T\mathbf v=(T_{xx}\mathbf e_x\mathbf e_x+T_{xy}\mathbf e_x\mathbf e_y+T_{yx}\mathbf e_y\mathbf e_x+T_{yy}\mathbf e_y\mathbf e_y)\mathbf v,\quad\forall\mathbf v .\]

三维中唯一地有

\[\mathbf T=\sum_{i,j\in\{x,y,z\}}T_{ij}\,\mathbf e_i\mathbf e_j .\tag{1.46}\]

9 个并矢 \(\{\mathbf e_x\mathbf e_x,\mathbf e_x\mathbf e_y,\dots,\mathbf e_z\mathbf e_z\}\) 构成全体 2 阶张量的一组基。唯一性的证明用 (1.32)：若两种表示的差对一切 \(\mathbf u,\mathbf v\) 都有 \(\mathbf u\cdot[\cdots]\mathbf v=0\)，依次取 \(\mathbf u,\mathbf v\) 为基向量，即得各系数相等。

和矩阵语言的对应。 (1.46) 就是"矩阵 = 单位矩阵块 \(E_{ij}\) 的线性组合"。更有用的是另一种并矢展开——谱分解 \(\Sigma=\sum_k\lambda_k\mathbf q_k\mathbf q_k\)（第 01 册第 02b 章谱定理），它是 PCA 和统计因子模型的基础。

T1.6 习题中值得掌握的结论

原书第 I 章有 28 道习题，不少把张量概念推进了一步。下面这些结论在后续章节和量化中都会用到：

  • 迹（习题 1.23）：定义 \(\operatorname{tr}(\mathbf{uv})=\mathbf u\cdot\mathbf v\)，再线性延拓，得 \(\operatorname{tr}\mathbf T=T_{xx}+T_{yy}+T_{zz}\)。这个定义不依赖坐标，所以迹是不变量。组合方差 \(\mathbf w\cdot\Sigma\mathbf w=\operatorname{tr}(\Sigma\,\mathbf{ww})\) 就是这么来的。
  • 并矢的行列式为零（习题 1.22）：\(\mathbf{uv}\) 的秩为 1。样本量少于资产数时，样本协方差 \(\frac1{T-1}\sum_t\mathbf x_t\mathbf x_t\) 是至多 \(T-1\) 个并矢之和，必然奇异。
  • 复合与求导（习题 1.24–1.25）：\((\mathbf S\cdot\mathbf T)\mathbf v=\mathbf S(\mathbf T\mathbf v)\)，\(\mathbf{wx}\cdot\mathbf{yz}=(\mathbf x\cdot\mathbf y)\mathbf{wz}\)；依赖参数的张量 \(\dot{\mathbf T}\) 由 \(\dot{\mathbf T}\mathbf a=(\mathbf T\mathbf a)^\cdot\)（\(\mathbf a\) 为常向量）定义，乘积法则 \((\mathbf S\cdot\mathbf T)^\cdot=\mathbf S\cdot\dot{\mathbf T}+\dot{\mathbf S}\cdot\mathbf T\) 成立。
  • 逆张量（习题 1.27）：非奇异 \(\mathbf T\) 有唯一线性的逆，\((\mathbf T^{-1})^T=(\mathbf T^T)^{-1}\)。
  • 正定（习题 1.28）：\(\mathbf x\cdot\mathbf T\mathbf x>0\)，\(\forall\mathbf x\ne\mathbf 0\)。正定则特征值全正；非奇异 \(\mathbf T\) 使 \(\mathbf T^T\cdot\mathbf T\) 正定。后者对应"设计矩阵 \(X\) 列满秩时 \(X^TX\) 正定，OLS 有唯一解"。
  • 主方向（习题 1.20–1.21）：应力张量 \(\mathbf T\) 作用于单位法向 \(\bar{\mathbf n}\) 得面上的应力 \(\mathbf t=\mathbf T\bar{\mathbf n}\)，分解为法向应力 \(\mathrm{Proj}_{\mathbf n}\mathbf t\) 和剪应力；剪应力为零的方向就是特征向量 \(\mathbf T\mathbf x=\lambda\mathbf x\)。把"应力"换成"协方差"，主应力方向就是主成分方向。
  • 反对称张量的平方（习题 1.26）：\((\boldsymbol\omega\times)^2=\boldsymbol\omega\boldsymbol\omega-(\boldsymbol\omega\cdot\boldsymbol\omega)\mathbf 1\)，故 \(|\boldsymbol\omega|^2=-\frac12\operatorname{tr}\mathbf A^2\)。

量化实战

实战 1：用 einsum 验证原书例题

numpy.einsum 的下标字符串就是本章的分量公式：'i,ij,j->' 是 \(u_iT_{ij}v_j\)，'i,j->ij' 是并矢 \(u_iv_j\)。先用它把例 1.4、1.5 和对称–反对称分解跑一遍。

import numpy as np
np.set_printoptions(precision=4, suppress=True)

# ---- 1. 原书例 1.4/1.5：张量 = 线性算子，分量 T_ij = e_i . T e_j ----
def T_action(v):                      # 例 1.4 给出的作用规则
    vx, vy, vz = v
    return np.array([-2*vx + 3*vz, -vz, vx + 2*vy])

E = np.eye(3)
T = np.column_stack([T_action(E[:, j]) for j in range(3)])   # 第 j 列 = T e_j
print("T 的笛卡尔分量:\n", T)
# T_ij = e_i . T e_j，用 einsum 写成 "i,ij,j->"
print("T_xz =", np.einsum('i,ij,j->', E[:, 0], T, E[:, 2]))

# 转置：u.(T v) = v.(T^T u) 对任意 u, v 成立
rng = np.random.default_rng(0)
u, v = rng.normal(size=3), rng.normal(size=3)
print("u.Tv - v.T^T u =", u @ T @ v - v @ T.T @ u)
print("T^T v (v=(1,2,3)) =", T.T @ np.array([1, 2, 3]), " 例1.4公式:", 
      np.array([-2*1 + 3, 2*3, 3*1 - 2]))

# ---- 2. 并矢（直积）uv(w) = u (v.w)，以及任意张量 = 9 个并矢的组合 ----
uv = np.einsum('i,j->ij', u, v)                 # 外积
w = rng.normal(size=3)
print("uv(w) - u(v.w) =", np.abs(uv @ w - u * (v @ w)).max())
recon = sum(T[i, j] * np.einsum('i,j->ij', E[i], E[j]) for i in range(3) for j in range(3))
print("sum T_ij e_i e_j == T:", np.allclose(recon, T))

# ---- 3. 对称–反对称分解与轴向量（习题 1.17/1.18）----
S, A = (T + T.T) / 2, (T - T.T) / 2
omega = np.array([A[2, 1], A[0, 2], A[1, 0]])   # A v = omega x v
print("S =\n", S, "\nA =\n", A, "\n轴向量 omega =", omega)
print("A v == omega x v:", np.allclose(A @ v, np.cross(omega, v)))

关键输出（-0. 是浮点负零，等于 0）：

T 的笛卡尔分量:
 [[-2.  0.  3.]
 [-0. -0. -1.]
 [ 1.  2.  0.]]
T_xz = 3.0
u.Tv - v.T^T u = 1.1102230246251565e-16
T^T v (v=(1,2,3)) = [1. 6. 1.]  例1.4公式: [1 6 1]
uv(w) - u(v.w) = 1.3877787807814457e-17
sum T_ij e_i e_j == T: True
S =
 [[-2.   0.   2. ]
 [ 0.  -0.   0.5]
 [ 2.   0.5  0. ]] 
A =
 [[ 0.   0.   1. ]
 [-0.   0.  -1.5]
 [-1.   1.5  0. ]] 
轴向量 omega = [ 1.5  1.  -0. ]
A v == omega x v: True

这里顺便得到了习题 1.17 的答案：例 1.4 张量的反对称部分的轴向量是 \(\boldsymbol\omega\sim(3/2,1,0)\)。

实战 2：协方差是对称张量，中性化是投影

本章概念在量化里最直接的落点有四个：

  1. 协方差矩阵是去均值收益并矢的平均：\(\Sigma=\frac1{T-1}\sum_t(\mathbf r_t-\boldsymbol\mu)(\mathbf r_t-\boldsymbol\mu)\)。它是对称 2 阶张量，"把权重映到边际风险"\(\Sigma\mathbf w\)。
  2. 组合方差是二次型 \(\mathbf w\cdot\Sigma\mathbf w\)，只依赖 \(\Sigma\) 的对称部分。
  3. 对单个暴露向量中性化就是作用残差算子 \(\mathbf 1-\bar{\mathbf b}\bar{\mathbf b}\)。多因子情形推广为 \(\mathbf 1-B(B^TB)^{-1}B^T\)，它的几何含义在第 T2 章用倒易基解释。
  4. 方差是几何不变量：换一组正交的"资产坐标轴"（例如改用若干正交组合作为交易单元），权重分量和协方差分量都变，方差不变。
import numpy as np
np.set_printoptions(precision=4, suppress=True)
rng = np.random.default_rng(42)

# 模拟 T=500 天、N=5 只股票的日收益：单因子结构 r = beta * m + eps
T_, N = 500, 5
beta = np.array([0.8, 1.0, 1.2, 0.5, 1.5])
m = rng.normal(0.0004, 0.01, T_)
R = np.outer(m, beta) + rng.normal(0, 0.015, (T_, N))     # T x N

# (1) 协方差 = 去均值收益“并矢”的平均：Sigma = mean_t (r_t - mu)(r_t - mu)
X = R - R.mean(axis=0)
Sigma = np.einsum('ti,tj->ij', X, X) / (T_ - 1)
print("与 np.cov 一致:", np.allclose(Sigma, np.cov(R, rowvar=False)))

# (2) 组合方差 = 二次型 w . Sigma w；对称张量只有对称部分进入二次型
w = np.array([0.3, 0.2, 0.2, 0.2, 0.1])
print("组合年化波动:", np.sqrt(np.einsum('i,ij,j->', w, Sigma, w) * 252))
K = rng.normal(size=(N, N))                                  # 任意非对称矩阵
print("w.Kw == w.sym(K)w:", np.isclose(w @ K @ w, w @ ((K + K.T) / 2) @ w))

# (3) 投影张量 P = bb/|b|^2，残差算子 1 - P：做“对 beta 中性化”
#     注意：这是对截面向量（N 维）的投影，不是时间序列回归
b_hat = beta / np.linalg.norm(beta)
P = np.einsum('i,j->ij', b_hat, b_hat)
w_neutral = (np.eye(N) - P) @ w
print("中性化前 beta 暴露:", w @ beta, " 中性化后:", round(w_neutral @ beta, 12))
print("P 幂等 P.P == P:", np.allclose(P @ P, P), " 秩:", np.linalg.matrix_rank(P))

# (4) 几何不变量：把“资产坐标轴”做正交旋转 Q，分量变了，内积不变
Q, _ = np.linalg.qr(rng.normal(size=(N, N)))
w_new, Sigma_new = Q.T @ w, Q.T @ Sigma @ Q                  # 新坐标下的分量
print("旋转后权重分量:", w_new)
print("方差不变:", np.isclose(w @ Sigma @ w, w_new @ Sigma_new @ w_new))

关键输出：

与 np.cov 一致: True
组合年化波动: 0.18578721702616996
w.Kw == w.sym(K)w: True
中性化前 beta 暴露: 0.93  中性化后: 0.0
P 幂等 P.P == P: True  秩: 1
旋转后权重分量: [-0.2107 -0.4162 -0.0089  0.0385 -0.0282]
方差不变: True

两点说明。第一，投影中性化会改变权重之和（这里不再满足满仓约束），实际组合构建中通常把"预算约束"和"中性约束"一起放进优化问题，而不是简单投影；投影的价值在于给出"剔除某方向暴露"的最小改动（欧氏距离意义下）。第二，(4) 里只用了正交旋转。对于非正交的换基，例如用"市场组合 + 行业多空组合"代替单只股票，分量的变换规律会分成两种（\(Q^T\) 与 \(Q^{-1}\) 不再相同），这正是下一章的主题。

本章小结

本章确立了全书的基本观点：向量和张量是几何对象，坐标分量只是它们在某组基下的表示；用长度定义的点积、用面积和体积定义的叉积与三重积，都是不依赖坐标的几何不变量。2 阶张量被定义为把向量映成向量的线性算子，并矢 \(\mathbf{uv}(\mathbf w)=\mathbf u(\mathbf v\cdot\mathbf w)\) 是最基本的张量，任何张量都是 9 个基并矢的线性组合，系数 \(T_{ij}=\mathbf e_i\cdot\mathbf T\mathbf e_j\) 就是熟悉的矩阵。转置由 \(\mathbf u\cdot\mathbf T\mathbf v=\mathbf v\cdot\mathbf T^T\mathbf u\) 定义，任意张量可分解为对称部分与反对称部分。对量化读者，本章最有用的是三件事：协方差是对称张量、组合方差是二次型、因子中性化是投影。

概念 公式 量化对应
点积（无角度定义） \(\mathbf u\cdot\mathbf v=\frac12(\lvert\mathbf u\rvert^2+\lvert\mathbf v\rvert^2-\lvert\mathbf v-\mathbf u\rvert^2)\) 极化恒等式：由方差反推协方差
笛卡尔分量 \(\mathbf u\cdot\mathbf v=u_xv_x+u_yv_y+u_zv_z\) u @ v，einsum('i,i->',u,v)
三重积 \((\mathbf u\times\mathbf v)\cdot\mathbf w=\det[\mathbf u;\mathbf v;\mathbf w]\) 行列式 = 有向体积，广义方差
向量三重积 \((\mathbf u\times\mathbf v)\times\mathbf w=(\mathbf u\cdot\mathbf w)\mathbf v-(\mathbf v\cdot\mathbf w)\mathbf u\) （三维专属）
并矢 \(\mathbf{uv}(\mathbf w)=\mathbf u(\mathbf v\cdot\mathbf w)\) 外积 einsum('i,j->ij')，协方差的构件
投影 \(\mathrm{Proj}_{\mathbf u}=\bar{\mathbf u}\bar{\mathbf u}\) 单因子中性化 \((\mathbf 1-\bar{\mathbf b}\bar{\mathbf b})\mathbf w\)
转置 \(\mathbf u\cdot\mathbf T\mathbf v=\mathbf v\cdot\mathbf T^T\mathbf u\) 斜基下不是简单的矩阵转置
对称–反对称分解 \(\mathbf T=\frac12(\mathbf T+\mathbf T^T)+\frac12(\mathbf T-\mathbf T^T)\) 二次型只依赖对称部分
笛卡尔分量 \(T_{ij}=\mathbf e_i\cdot\mathbf T\mathbf e_j\)，\(\mathbf T=\sum T_{ij}\mathbf e_i\mathbf e_j\) einsum('i,ij,j->')
迹 \(\operatorname{tr}(\mathbf{uv})=\mathbf u\cdot\mathbf v\) \(\mathbf w\cdot\Sigma\mathbf w=\operatorname{tr}(\Sigma\,\mathbf{ww})\)
正定 \(\mathbf x\cdot\mathbf T\mathbf x>0\) 协方差可逆、均值–方差解唯一

练习

基础

  1. \(\mathbf u\sim(2,-3,4)\)，\(\mathbf v\sim(1,0,1)\)。求 \(\mathbf u\cdot\mathbf v\)、夹角、\(\mathrm{Proj}_{\mathbf v}\mathbf u\) 和 \(\mathrm{Proj}_{\mathbf u}\mathbf v\)。（原书习题 1.4–1.5） 答案要点：\(\mathbf u\cdot\mathbf v=6\)；\(|\mathbf u|=\sqrt{29}\)，\(|\mathbf v|=\sqrt2\)，\(\cos\theta=6/\sqrt{58}\)，\(\theta\approx38.0^\circ\)；\(\mathrm{Proj}_{\mathbf v}\mathbf u\sim(3,0,3)\)；\(\mathrm{Proj}_{\mathbf u}\mathbf v=\frac6{29}(2,-3,4)\)。
  2. 用极化恒等式：两只股票日收益波动率分别为 2% 和 3%，价差 \(X-Y\) 的波动率为 2.5%，求相关系数。 答案要点：\(\operatorname{Cov}=\frac12(4+9-6.25)=3.375\)（单位 \(\%^2\)），\(\rho=3.375/6=0.5625\)。
  3. 证明 \((\mathbf{uv})^T=\mathbf{vu}\)，并由此说明 \(\mathbf{uu}\) 对称。（原书习题 1.13） 提示：\(\mathbf a\cdot\mathbf{uv}(\mathbf b)=(\mathbf a\cdot\mathbf u)(\mathbf v\cdot\mathbf b)=\mathbf b\cdot\mathbf{vu}(\mathbf a)\)。
  4. 证明 \(\mathbf{uv}\) 的分量矩阵行列式为零，并说明为什么 \(T<N\) 时样本协方差矩阵奇异。（原书习题 1.22） 提示：分量矩阵每列都是 \(\mathbf u\) 的倍数；去均值后 \(T\) 个向量之和为零，样本协方差是至多 \(T-1\) 个秩一矩阵之和。
  5. 对例 1.4 的 \(\mathbf T\) 求 \(\operatorname{tr}\mathbf T\)、对称部分的特征值，并验证 \(\mathbf v\cdot\mathbf A\mathbf v=0\)。 答案要点：\(\operatorname{tr}\mathbf T=-2\)；对称部分 \(S\) 见实战 1 输出，其特征值可用 np.linalg.eigvalsh(S) 求得，之和等于 \(-2\)。

进阶

  1. 只用定义 (1.11) 证明点积分配律。（原书习题 1.7） 提示：用平行四边形定律 \(2|\mathbf a|^2+2|\mathbf b|^2=|\mathbf a+\mathbf b|^2+|\mathbf a-\mathbf b|^2\)，并写 \(\mathbf v+\mathbf w-\mathbf u=(\mathbf v-\frac12\mathbf u)+(\mathbf w-\frac12\mathbf u)\)。
  2. 用"二次多项式 \(p(x)=\operatorname{Var}(X+xY)\ge0\)"的判别式证明 \(|\rho_{XY}|\le1\)，并指出等号成立的条件。（对应原书习题 1.8 的第二种证法） 答案要点：判别式 \(4\operatorname{Cov}^2-4\operatorname{Var}X\operatorname{Var}Y\le0\)；等号当且仅当 \(X+xY\) 几乎处处为常数，即两者线性相关。
  3. 不用分量解方程 \(\mathbf x+\mathbf a\times\mathbf x=\mathbf b\)。（原书习题 1.9） 答案要点：\(\mathbf x=\dfrac{\mathbf b+(\mathbf a\cdot\mathbf b)\mathbf a+\mathbf b\times\mathbf a}{1+\mathbf a\cdot\mathbf a}\)。设 \(\mathbf x=A\mathbf a+B\mathbf b+C\mathbf a\times\mathbf b\) 代入比较系数。
  4. 设 \(\mathbf T\) 非奇异。证明 \(\mathbf T^T\cdot\mathbf T\) 正定，并把它翻译成关于 OLS 设计矩阵的命题。（原书习题 1.28） 提示：\(\mathbf x\cdot\mathbf T^T\mathbf T\mathbf x=|\mathbf T\mathbf x|^2>0\)。设计矩阵列满秩时 \(X^TX\) 正定。
  5. 编程：随机生成 \(3\times3\) 矩阵 \(T\)，用 einsum 验证 \(\operatorname{tr}(\mathbf{uv})=\mathbf u\cdot\mathbf v\) 和 \(\mathbf w\cdot T\mathbf w=\operatorname{tr}(T\,\mathbf{ww})\)。 提示：np.einsum('ii->', np.outer(u, v))、np.einsum('ij,ji->', T, np.outer(w, w))。

原书推荐习题

  • 1.7：不用坐标证明分配律，训练"不变定义 → 性质"的思维。
  • 1.8：Schwarz 不等式三种证法及积分版本，对应相关系数 \(|\rho|\le1\)。
  • 1.13、1.22、1.23：并矢转置、秩一矩阵行列式为零、迹的不变定义。
  • 1.17、1.18：对称/反对称分解与轴向量。
  • 1.20–1.21：应力张量的法向/剪切分解与主方向（特征值问题，类比 PCA）。
  • 1.27–1.28：逆张量与正定性。

原书对照

本章小节 原书小节 书页 PDF 页
本篇定位 第二版序、第一版序 前置页 8–11
T1.1 向量：箭头的等价类 1.1–1.5 Euclidean Space; Directed Line Segments; Addition; Multiplication; Things That Vectors May Represent 3–6 16–19
T1.1.3（续） 1.9 The Interpretation of Vector Addition 10–11 23–24
T1.2 笛卡尔坐标与点积 1.6 Cartesian Coordinates; 1.7 The Dot Product; 1.8 Cartesian Base Vectors 6–10 19–23
T1.3 叉积与三重积 1.10 The Cross Product 11–15 24–28
T1.4 张量：线性算子 1.11 Alternative Interpretation… Tensors; 1.12 Definitions 15–17 28–30
T1.5 笛卡尔分量 1.13 Cartesian Components; 1.14 Cartesian Basis for Second Order Tensors 17–19 30–32
T1.6 习题中的结论 1.15 Exercises（共 28 题） 20–24 33–37

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