第 35 章 实物期权

到目前为止，本书几乎只讨论金融资产的估值。本章把同样的思想推广到实物资产——土地、建筑、厂房、设备——上的资本投资机会。这类投资常常包含期权：项目不顺时可以放弃，需求超预期时可以扩张，时机不好时可以推迟。传统的资本预算方法很难给这些期权正确估值。实物期权（real options） 方法用期权定价理论来处理这个问题。

本章的逻辑是：

1. 说明传统 NPV 法为什么处理不了内嵌期权——问题出在"风险调整贴现率"上；
2. 把风险中性估值从交易资产推广到任意变量：只需要每个变量的风险市场价格；
3. 讨论风险市场价格怎样估计，以及什么时候根本不需要估计；
4. 用两个例子展示方法：Amazon.com 的企业估值、一个商品开采项目中的放弃和扩张期权。

对量化读者来说，本章最有价值的是两点：一是"用 \(m-\lambda s\) 代替真实漂移、再用无风险利率贴现"这个通用规则，它适用于任何依赖非交易变量的估值问题；二是在树上跟踪多个状态、处理相互作用的多个期权的技术，它与可转债、含权结构化产品的定价完全相通。

学习目标

1. 用第 13 章的二叉树例子说明：期权的风险调整贴现率随状态剧烈变化，所以 NPV 法无法直接给期权估值。
2. 写出风险中性估值的一般规则：变量增长率 \(m_i\to m_i-\lambda_is_i\)，再按无风险利率贴现；会用它为依赖非交易变量的期权定价。
3. 用 CAPM 估计风险市场价格 \(\lambda=\rho(\mu_m-r)/\sigma_m\)，知道商品、利率、投资资产无需估计 \(\lambda\) 的原因。
4. 识别五类常见实物期权（放弃、扩张、收缩、推迟、延期）及其对应的金融期权类型。
5. 在三叉树上为放弃期权、扩张期权以及二者组合估值，理解多个期权一般不能简单相加。

读前导读

这一章在解决什么问题。 你在 CPA 财务成本管理和 CFA 公司金融里都做过资本预算：估计项目每年的增量现金流，用 WACC 或 CAPM 得出的风险调整贴现率求 NPV，NPV > 0 就投。CFA 一级还提过一句"实物期权"：项目 NPV = 不含期权的 NPV − 期权成本 + 期权价值，但没讲期权价值怎么算。本章补上这一块。

核心论点只有一句：NPV 法的问题不在"贴现"，而在"用一个固定的贴现率"。 一旦项目里有"做坏了可以关、做好了可以扩"的灵活性，现金流就变成了状态的非线性函数，它的风险随状态剧烈变化，任何单一贴现率都会算错。解决办法是把风险调整从分母（贴现率）挪到分子（现金流的概率分布或漂移）：先把每个风险变量的增长率扣掉一个风险溢价，再统一按无风险利率贴现。这其实就是你在公司金融里见过的确定性等价法（certainty equivalent），只不过本章给出了"扣多少"的精确规则，并把它和期权定价的树方法接上了。

需要先想起来的数学。

• 连续复利贴现与年金。 \(e^{-rt}\) 是连续复利下 \(t\) 年的贴现因子；例 35.1 的年金因子 \(A=\sum_{k=0}^{4}e^{-0.05k}\) 就是 5 年期期初年金的现值系数（期初支付，所以从 \(k=0\) 开始）。见 第 00 册第 04 章 级数与收敛 中几何级数与年金部分。
• 随机过程 \(d\theta/\theta=m\,dt+s\,dz\) 的读法。 一小段时间内变量的百分比变化 = 漂移 \(m\,dt\) + 波动 \(s\,dz\)，\(dz\) 是均值 0、方差 \(dt\) 的正态冲击。把 \(m\) 换成 \(m-\lambda s\) 只改漂移、不改波动。
• 对数正态变量的期权期望支付。 \(\mathbb{E}[\max(V-K,0)]=\mathbb{E}[V]N(d_1)-KN(d_2)\)，即不贴现的 BSM 公式，\(N(\cdot)\) 是标准正态累积分布函数。见 第 00 册第 07 章 概率中的分析工具。
• CAPM 与 beta 的另一种写法。 \(\beta=\rho\sigma/\sigma_m\)（与 \(\mathrm{Cov}/\mathrm{Var}\) 等价），本章用它推出风险市场价格 \(\lambda\)。
• 树上的倒推（backward induction）。 与 CFA 单步、多步二叉树相同：从最后一期往回算，每个节点的价值 = 下一期各节点价值的概率加权平均 × 贴现因子；美式期权在每个节点比较"继续持有"与"立即行权"。

怎么读这一章。 35.1 节必读，重点是"42.6% 与 −52.5%"这两个数字背后的道理。35.2 节是全章的理论核心，读懂"改漂移、用无风险利率贴现"这条规则即可，原书证明可跳过。35.3 节是 CAPM 的直接应用，读者应很熟悉。35.4 节 Amazon 案例作为思路了解，不必追细节。35.5 节是动手部分，建议对照第 34 章图 34.2 的树，用纸笔把节点 H、D、A 的数字复算一遍；"多个随机变量"一节第一次可只看结论。

35.1 资本投资评估

传统 NPV 法

传统方法计算项目的净现值（NPV）：期望未来增量现金流的现值减去初始投资，贴现率是反映项目风险的风险调整贴现率，风险越高，贴现率越高。

例：投资 1 亿美元，项目持续 5 年，现实世界中每年期望现金流入 2,500 万美元，风险调整贴现率 12%（连续复利）。

NPV 为负，项目会减少股东价值，不应投资；为正则应投资。

风险调整贴现率应当是公司股东对这项投资要求的回报，常用 CAPM（原书第 3 章附录）分三步估计：

1. 选一批主营业务与项目相同的公司作样本；
2. 计算它们的 beta，取平均作为项目的代理 beta；
3. 要求回报 = 无风险利率 + 代理 beta × 市场超额收益。

传统方法的两个问题

问题一：内嵌期权的风险特征与基础项目完全不同。 许多项目含有期权（项目不顺时可以放弃，需求超预期时可以扩张），它们的风险需要完全不同的贴现率。

回顾第 13 章开头的例子：股票现价 20，3 个月后为 22 或 18，无风险利率 12%。执行价 21 的 3 个月期看涨期权的风险中性价值为 0.633。若投资者对股票要求的现实世界期望收益为 16%，可以算出：要让看涨期权的现实期望支付贴现后等于 0.633，贴现率必须是 42.6%；对同样执行价的看跌期权，贴现率是 −52.5%（本章量化实战的代码复算了这两个数）。

推导拆解：42.6% 是这样来的。

1. 现实世界中股票期望收益 16%（连续复利），所以上涨的现实概率 \(p\) 满足 \(20[22p+18(1-p)]/20=e^{0.16\times0.25}\)，即 \(p=(e^{0.04}-0.9)/0.2=0.7041\)。
2. 看涨期权（执行价 21）上涨时付 1、下跌时付 0，现实期望支付 \(=0.7041\times1=0.7041\)。
3. 要让 \(0.7041e^{-R\times0.25}=0.633\)，解得 \(R=\ln(0.7041/0.633)/0.25\approx42.6\%\)。 看跌期权上涨时付 0、下跌时付 3，现实期望支付 \(=0.2959\times3=0.888\)，而它的风险中性价值约 1.012（由平价关系可得），比期望支付还高，所以贴现率只能为负：\(\ln(0.888/1.012)/0.25\approx-52.5\%\)。

金融直觉：看跌期权的贴现率为负并不荒谬。它是对冲工具，在市场下跌时赚钱，beta 为负；按 CAPM，负 beta 资产的要求回报低于无风险利率，杠杆够高时就会低于零。看涨期权是对股票的杠杆多头，beta 远大于股票，所以贴现率远高于 16%。实物期权同理：放弃期权像看跌，扩张期权像看涨，它们的"合适贴现率"和项目本身完全不同。

也就是说，用 NPV 法给看涨期权估值要用 42.6% 贴现，给看跌期权要用 −52.5%。这些贴现率无法事先估计——我们知道它们，只是因为已经用别的方法（风险中性估值）给期权定价了。放弃、扩张等实物期权产生的现金流同样无法简单确定风险调整贴现率。这就是把风险中性估值推广到实物期权的动机。

问题二：即使是没有期权的基础项目，贴现率也难估。 用来估计代理 beta 的样本公司自身就拥有各种扩张和放弃期权，它们的 beta 反映了这些期权，不一定适合基础项目。

35.2 风险中性估值框架的推广

风险市场价格

第 28.1 节定义了变量 \(\theta\) 的风险市场价格（market price of risk）：

\(\mu\)、\(\sigma\) 为任何一个"只依赖 \(\theta\) 的交易证券"的期望收益和波动率。第 28 章证明了 \(\lambda\) 与具体选哪个证券无关，它是变量 \(\theta\) 自身的属性：承担一单位 \(\theta\) 的风险，市场给多少超额收益。

白话解释：\(\lambda\) 的形式和 Sharpe 比率一模一样：超额收益除以波动率。区别在于 Sharpe 比率描述一个具体的组合，\(\lambda\) 描述一个风险来源。比如"油价风险"的 \(\lambda\) 告诉你：一个资产每承担 1 单位（1 个标准差）的油价风险，市场就额外给多少收益。任何只依赖油价的交易资产，Sharpe 比率都等于这个 \(\lambda\)，否则就能用两个这样的资产构造无风险套利。

一般估值规则

设实物资产依赖多个变量 \(\theta_i\)，

\(\lambda_i\) 为 \(\theta_i\) 的风险市场价格。那么依赖这些变量的任何资产都可以这样估值：

1. 把每个 \(\theta_i\) 的期望增长率从 \(m_i\) 降为 \(m_i-\lambda_is_i\)；
2. 用无风险利率贴现期望现金流。

（原书脚注：若 \(\theta_i\) 是无股息股票的价格，则 \((m_i-r)/s_i=\lambda_i\)，即 \(m_i-\lambda_is_i=r\)，与"股票在风险中性世界中的收益率为 \(r\)"一致。一般证明见原书 Technical Note 20。）

这个规则的威力在于：风险调整发生在变量的漂移上，而不是在贴现率上。变量的风险市场价格是相对稳定、可以估计的；而贴现率取决于支付对变量的非线性依赖（期权），随状态和时间剧烈变化，无法事先确定。

金融直觉：这就是公司金融里的确定性等价法。教科书上 NPV 有两种等价写法：(a) 现实期望现金流 ÷ 风险调整贴现率；(b) 确定性等价现金流 ÷ 无风险利率。一般规则告诉你怎样得到 (b) 的分子：把驱动现金流的变量的增长率从 \(m\) 降到 \(m-\lambda s\)，再按这个"打了折扣"的过程算期望。扣减量 \(\lambda s\) 等于"单位风险的价格 × 风险数量"，和 CAPM 中"风险溢价 = beta × 市场风险溢价"是一个思路。好处是：变量的 \(\lambda s\) 只跟变量本身有关，无论现金流对它是线性还是非线性（期权），都用同一套调整。

例 35.1　某城市的商业地产租金按"新签 5 年租约每年每平方英尺的价格"报价，当前为 $30；期望增长率 12%/年，波动率 20%/年，风险市场价格 0.3。某公司可以现付 100 万美元购买一份期权：2 年后有权以每年每平方英尺 $35 的价格租入 10 万平方英尺，租期 5 年。无风险利率 5%（恒定）。

设 \(V\) 为 2 年后的报价租金，租金每年年初预付。期权的支付为 \(100{,}000A\max(V-35,0)\)，其中年金因子

风险中性期望支付为 \(453{,}550\times\hat E[\max(V-35,0)]=453{,}550[\hat E(V)N(d_1)-35N(d_2)]\)（式 15A.1），

风险中性增长率为 \(m-\lambda s=0.12-0.3\times0.2=0.06\)，所以 \(\hat E(V)=30e^{0.06\times2}=33.82\)。代入得风险中性期望支付 150.15 万美元，按无风险利率贴现：

期权价值 135.86 万美元，高于 100 万美元的价格，值得购买。

推导拆解：为什么支付是 \(100{,}000A\max(V-35,0)\)？2 年后若市场租金 \(V>35\)，公司行权，以 35 租入，每年每平方英尺省下 \(V-35\)；租期 5 年、年初预付，所以 5 笔节省的现值（在第 2 年末）是 \((V-35)\times A\)；乘以 10 万平方英尺即得。若 \(V\le35\)，不行权，支付 0。 代入数字：风险中性漂移 \(0.12-0.3\times0.2=0.06\)，\(\hat E(V)=30e^{0.12}=33.82\)；\(\sigma\sqrt T=0.2\sqrt2=0.2828\)；\(d_1=[\ln(33.82/35)+0.04]/0.2828\approx0.021\)，\(d_2\approx-0.262\)；\(N(d_1)\approx0.508\)，\(N(d_2)\approx0.397\)。期望支付 \(=453{,}550\times(33.82\times0.508-35\times0.397)\approx150.15\) 万美元，再按 5% 贴现 2 年得 135.86 万美元。 注意两处"贴现"分工不同：年金因子 \(A\) 把 5 年租期内的节省折到第 2 年末，\(e^{-0.05\times2}\) 再把第 2 年末折到今天。两处都用无风险利率，因为风险已经通过漂移 \(0.06\) 处理过了。

注意：如果错误地用现实增长率 12%，\(E(V)=30e^{0.24}=38.14\)，期权价值会被大大高估。

35.3 估计风险市场价格

实物期权法避免了估计风险调整贴现率，但需要所有随机变量的风险市场价格。有历史数据时可以用 CAPM 估计。

考虑一个只依赖该变量的投资资产。记 \(\mu,\sigma\) 为其期望收益和波动率，\(\lambda\) 为变量的风险市场价格，\(\rho\) 为变量的百分比变化与大盘指数收益的瞬时相关系数（也等于该资产收益与大盘的相关系数），\(\mu_m,\sigma_m\) 为大盘的期望收益和波动率，\(r\) 为短期无风险利率。由连续时间 CAPM：

（资产超额收益对市场超额收益回归的斜率 beta 为 \(\rho\sigma/\sigma_m\)。）又由 (35.1)，\(\mu-r=\lambda\sigma\)，所以

推导拆解：两步联立。CAPM 给出 \(\mu-r=\beta(\mu_m-r)\)，其中 \(\beta=\mathrm{Cov}(R,R_m)/\sigma_m^2=\rho\sigma\sigma_m/\sigma_m^2=\rho\sigma/\sigma_m\)。风险市场价格的定义给出 \(\mu-r=\lambda\sigma\)。两式右边相等：\(\lambda\sigma=\rho\sigma(\mu_m-r)/\sigma_m\)，两边同除以 \(\sigma\)，资产自身的波动率消掉，只剩变量与市场的相关系数。可以写成 \(\lambda=\rho\times\)（市场的 Sharpe 比率）：一个风险来源的单位价格，等于它与市场的相关程度乘以市场的单位风险价格。与市场无关（\(\rho=0\)）的风险不被定价，和 CAPM"非系统性风险不获补偿"一致；与市场负相关的变量，\(\lambda\) 为负，风险中性漂移反而高于现实漂移。

例 35.2　某公司季度销售额的百分比变化与 S&P 500 收益的相关系数为 0.3，S&P 500 的波动率为 20%，历史超额收益为 5%：

没有历史数据时：用相似变量作代理（例如新产品工厂可以用类似产品的销售数据，假设新产品与大盘的相关性相同）；有时需要主观判断；若确信变量与市场表现无关，风险市场价格设为 0。

不需要估计 \(\lambda\) 的情形：

• 变量是投资资产的价格：风险中性总收益就是无风险利率；
• 变量是短期利率：可以由初始期限结构得到风险中性过程（第 31 章）；
• 变量是商品价格：可以由期货价格得到风险中性过程（第 34 章）。第 34 章例 34.2 的养殖决策就是实物期权方法的简单应用。

35.4 企业估值的应用

对新企业，"市盈率 × 当前盈利"之类的传统方法不好用：早期企业为了抢市场份额、建立客户关系，盈利通常为负。需要在不同情景下估计未来盈利和现金流。实物期权法的步骤：

1. 建立把未来现金流与销售增长率、变动成本占比、固定成本等变量联系起来的模型；
2. 对关键变量按前两节的方法估计风险中性随机过程；
3. 用蒙特卡洛在风险中性世界中生成每年净现金流的情景（有些情景中公司表现很好，有些情景中公司破产停业，模拟中要内置破产判定规则）；
4. 企业价值 = 各年期望现金流按无风险利率贴现的现值。

Business Snapshot 35.1：为 Amazon.com 估值（Schwartz–Moon 2000，以 1999 年末为估值日）。销售收入 \(R\) 及其增长率 \(\mu\) 的过程为

\(dz_1,dz_2\) 不相关，基于数据对 \(\sigma(t)\)、\(\eta(t)\)、\(\kappa\)、\(\bar\mu\) 作合理假设。其他设定：销货成本为销售额的 75%，其他变动费用 19%，固定费用每季度 7,500 万美元；初始季度销售额 3.56 亿美元，初始税损结转 5.59 亿美元，税率 35%。\(R\) 的风险市场价格用上节方法由历史数据估计，\(\mu\) 的风险市场价格设为 0。分析期 25 年，终值取 10 倍税前经营利润；初始现金 9.06 亿美元，现金余额为负则破产。在风险中性世界中用蒙特卡洛生成情景，并考虑可转债转换和员工股票期权行权，股东价值为净现金流按无风险利率贴现的现值。

结果：估计每股价值 $12.42，而当时的市价为 $76.125（2000 年 Amazon 股价大幅下跌）。

这个分析的关键价值在于识别关键假设：股价估计对增长率的波动率 \(\eta(t)\) 非常敏感。\(\eta(t)\) 是重要的期权性来源——增长率越不确定，好情景的上限越高，而破产只损失有限的价值，所以 \(\eta(t)\) 的小幅上升会带来更多期权性和股价的大幅上升。这与"波动率越大期权越值钱"是同一个道理。

金融直觉：可以用 CFA 里的"股权是公司资产上的看涨期权"（Merton 模型）来理解。股东的损失以投入为限（破产时价值为 0），而好情景的上行空间没有上限。增长率越不确定，好情景出现极端高增长的可能越大，坏情景则被"破产"截断在 0，期望价值因此上升。这也提醒我们：对早期成长公司，"估值对某个波动率参数高度敏感"本身就是一个重要的风险信号。

35.5 投资机会中期权的评估

五类常见实物期权

多数投资项目都含有期权，它们可能显著增加项目价值，却常被忽视或错估。

几点说明：放弃期权减轻了极差结果的影响，提高了项目的初始估值。扩张期权的执行价常取决于初始投资：若初始建设的产能就超过期望产量，执行价可以很小。推迟期权是管理者最重要的期权之一——"等一等再看"常常比"现在就做"更有价值。

示例：商品开采项目

某公司考虑投资 1,500 万美元，从某来源开采 600 万单位商品，每年 200 万单位、持续 3 年。设备的固定运营成本每年 600 万美元，变动成本每单位 $17。各期限无风险利率 10%，商品现货价格 $20，1、2、3 年期期货价格分别为 $22、$23、$24。

不含期权时：风险中性下 1、2、3 年的期望价格就是期货价格 22、23、24，期望现金流（百万美元）为 \(2\times22-2\times17-6=4.0\)、6.0、8.0。项目价值

不应投资，否则会减少股东价值 54 万美元。

用树：假设商品现货价格服从

\(a=0.1\)，\(\sigma=0.2\)；对应的树就是第 34 章图 34.2（原书图 35.1），它与 \(a\)、\(\sigma\) 和期货价格一致。不含期权时本不需要用树，但先用树重算基础项目，后面的期权分析要用到各节点的项目价值（原书图 35.2）。约定节点上的"项目价值"指该节点之后全部现金流的现值。

• 节点 H（第 2 年，价格 15.69）：第 3 年价格为 22.85（概率 0.2217）时利润 \(2\times22.85-2\times17-6=5.70\)；为 16.16（概率 0.6566）时为 −7.68；为 11.43（概率 0.1217）时为 −17.14。H 处价值 \([0.2217\times5.70+0.6566\times(-7.68)+0.1217\times(-17.14)]e^{-0.1}=-5.31\)。
• 节点 C（第 1 年，价格 21.56）：以概率 0.1667 到 F（价格 31.37），第 2 年现金流 \(2\times31.37-34-6=22.74\)，F 处后续价值 21.42，合计 44.16；到 G、H 的合计分别为 10.35、−13.93。C 处价值 \([0.1667\times44.16+0.6666\times10.35+0.1667\times(-13.93)]e^{-0.1}=10.80\)。
• 各节点项目价值：A 14.46；B 38.32，C 10.80，D −9.65；E 42.24，F 21.42，G 5.99，H −5.31，I −13.49。A 处扣除初始投资 15 后为 −0.54，与上面一致。

白话解释：树上的"项目价值"就是一个逐节点的 DCF，只不过每个节点有自己的未来情景。节点值 = （下一期现金流 + 下一期节点的后续价值）按风险中性概率加权平均，再按无风险利率贴现一期。例如 C 处，到 F 的一支是"第 2 年现金流 22.74 + F 处后续价值 21.42 = 44.16"。这里的概率直接沿用第 34 章那棵已经拟合了期货曲线的树，所以期货价格中隐含的风险溢价已被吸收，贴现只需用无风险利率 10%。树上算出的 −0.54 与直接用期货价格算的 NPV 一致，因为基础项目的现金流是价格的线性函数（\(2S-40\)），期望可以穿过线性函数。

放弃期权

假设项目可以随时放弃，没有残值，放弃后也无需再支付任何费用。这是执行价为 0 的美式看跌期权（原书图 35.3）。

• E、F、G 处项目价值为正，不行权；H、I 处行权，期权价值分别为 5.31、13.49。
• D 处：不行权的价值 \((0.1217\times13.49+0.6566\times5.31+0.2217\times0)e^{-0.1}=4.64\)，而立即行权的价值 9.65 更大，所以在 D 行权。
• C 处：\([0.6666\times0+0.1667\times5.31]e^{-0.1}=0.80\)；
• A 处：\((0.6666\times0.80+0.1667\times9.65)e^{-0.1}=1.94\)。

放弃期权价值 194 万美元，项目价值从 −0.54 变为 +1.40 百万美元。原本不吸引人的项目，因为"做坏了可以止损"而变得值得投资。

金融直觉：放弃期权相当于给项目买了一份保护性看跌（protective put），执行价为残值（这里是 0）。在 D 处立即放弃（价值 9.65）优于继续持有期权（4.64），原因是 D 处后续现金流的现值为 −9.65：一路亏下去，不如现在就关。这正是 CPA 管理会计中"沉没成本不相关、只看未来增量现金流"的原则，只是这里把它变成了一个可以事前定价的权利。对资本预算的含义是：评估项目时应报告"扩展 NPV = 静态 NPV + 期权价值"，静态 NPV 为负的项目未必该否决。

扩张期权

假设没有放弃期权，但可以随时花 200 万美元把规模扩大 20%：产量从每年 200 万单位增至 240 万单位，变动成本仍为每单位 $17，固定成本也增加 20%（600 万 → 720 万）。这相当于以 200 万美元买入 20% 的基础项目的美式看涨期权（原书图 35.4）。

• E 处行权：\(0.2\times42.24-2=6.45\)；F 处行权：\(0.2\times21.42-2=2.28\)；G、H、I 不行权。
• B 处立即行权更优：\(0.2\times38.32-2=5.66\)。
• C 处：不行权 \((0.1667\times2.28)e^{-0.1}=0.34\)，行权 \(0.2\times10.80-2=0.16\)，不行权。
• A 处：不行权 \((0.1667\times5.66+0.6666\times0.34)e^{-0.1}=1.06\)，行权 \(0.2\times14.46-2=0.89\)，不提前行权。

扩张期权价值 106 万美元，项目价值从 −0.54 变为 +0.52。

这个例子容易处理，因为行权后所有现金流入和流出都同比例增加 20%。若固定成本不变或增幅低于 20%，就不能简单乘 0.2，节点上需要另外记录：(1) 后续固定成本的现值；(2) 后续收入扣除变动成本后的现值。

推导拆解：扩张期权在每个节点比较两件事。行权价值 \(=0.2\times V-2\)，其中 \(V\) 是该节点的基础项目价值，0.2 是新增 20% 规模带来的价值，2 是扩张成本（执行价）。继续持有的价值 \(=\) 下一期期权价值的风险中性期望 × \(e^{-0.1}\)。取二者较大者。以 A 为例：行权得 \(0.2\times14.46-2=0.89\)，继续持有得 1.06，所以等待更好。这里的逻辑与美式看涨相同：在价值还不够高时提前行权，会丢掉"等信息再决定"的价值。B 处项目价值高达 38.32，立即扩张的收益 5.66 已超过等待的价值，就提前行权。

多个期权

两个或更多期权通常不独立，同时拥有 A 和 B 的价值一般不等于两者价值之和。例如同时有放弃和扩张期权：已放弃就不能再扩张；放弃这个看跌期权的价值又取决于是否已经扩张。处理方法是在每个节点定义四种状态：

1. 未放弃、未扩张；
2. 未放弃、已扩张；
3. 已放弃、未扩张；
4. 已放弃、已扩张。

回滚时对四种状态分别计算期权组合的价值（路径依赖期权的处理方法见第 27.5 节）。由于"已放弃"状态的后续价值恒为 0，实际只需要跟踪"规模"这一个状态变量。

白话解释：为什么要"四种状态"？因为同一个价格节点，项目可能处于不同的历史中：之前扩张过与没扩张过，未来的现金流不同，可以做的决策也不同（扩张过就不能再扩）。所以树上每个节点不再只存一个数，而是每种状态存一个数，回滚时各自比较"继续"与"行权"，并在行权时从一个状态跳到另一个状态。这和可转债定价中同时跟踪"是否已转股、是否已赎回"是同一种技术。状态数随期权个数成倍增加，所以实务中要尽量合并等价状态，如原文所说"已放弃"可以合并成一个价值恒为 0 的状态。

原书脚注说，本例的图 35.3 与 35.4 中两个期权恰好没有相互作用，但在更细的树上就会有。本章量化实战的代码在同一棵树上按四状态法同时处理两个期权，得到组合期权价值 3.22，大于 1.94 + 1.06 = 3.00。差别来自 A 节点：有了放弃期权的保护，扩张后的项目下行风险被截断，立即扩张变得最优（扩张后价值 \(1.2\times16.40-2=17.68\)，高于不扩张的 17.45）。这说明即使在这棵粗糙的树上，两个期权也会通过"何时扩张"这一决策相互影响——"多个期权不能简单相加"在这里表现为组合价值大于单独价值之和。

多个随机变量

依赖多个随机变量时，基础项目价值通常用蒙特卡洛确定。内嵌期权更难处理，因为蒙特卡洛从头到尾向前推进，走到某一时点时并不知道未来现金流的现值。可以用第 27.8 节的美式期权蒙特卡洛技术。例如 Schwartz–Moon 把 Amazon 分析扩展到放弃期权（即在未来现金流价值为负时宣布破产）：每个时间步，假设"不放弃的价值"是当前收入、收入增长率、波动率、现金余额、税损结转等变量的多项式，用每次模拟提供的观测做最小二乘估计——这就是 Longstaff–Schwartz 方法。（原书脚注：35.4 节假设现金余额小于 0 时破产，但这对 Amazon 未必是最优的。）

35.6 小结与常见误区

本章说明了如何把前面的思想用于实物资产及其期权的估值：风险中性估值原理可以用于依赖任意一组变量的项目——按风险市场价格调整每个变量的期望增长率，再用无风险利率贴现期望现金流。风险中性估值为资本投资评估提供了内在一致的方法，也能为实践中大量项目所含的期权估值。

常见误区：

1. 用单一的风险调整贴现率贴现含期权项目的现金流。期权的"正确"贴现率随状态变化，可能高达 40% 以上，也可能为负。
2. 把多个实物期权的价值简单相加。期权之间会通过行权决策相互影响。
3. 风险市场价格的符号取决于变量与市场的相关方向；与市场无关的变量应取 0。

量化实战

本章内容在量化交易中的用途

基本面量化与估值。实物期权思想解释了成长股和资源股估值中"期权性"的来源。资源类公司（矿业、油气）的股权可以看作储量上的看涨期权：大宗商品价格低迷时，高成本矿山的股价表现出类似深度虚值期权的高弹性和非线性；用期货曲线和 (35.3) 这样的均值回归模型，可以构建对资源价格敏感的股票估值模型，并据此估计股价对商品价格的"期权 delta"。Amazon 例子则说明，增长率的波动率 \(\eta\) 本身是成长股估值的重要输入。

风险建模。式 (35.2) \(\lambda=\rho(\mu_m-r)/\sigma_m\) 是用 CAPM beta 把现实世界漂移转换为风险中性漂移的标准做法，常用于基于非交易变量（销售额、产量、客流量）的衍生品或项目估值。

系统实现。树上的多状态回滚和 Longstaff–Schwartz 回归处理提前行权，是通用的定价技术，可以直接复用于可转债（转股、回售、赎回三种期权相互作用）和含权结构化产品。

对因子研究、回测、执行：没有直接关联。

Python 示例：贴现率悖论、租赁期权与开采项目的组合期权

程序分三部分：

1. 复算第 13 章例子中看涨、看跌期权在 NPV 法下"需要"的贴现率；
2. 例 35.1 的闭式解，并用蒙特卡洛核对；
3. 在第 34 章的商品树上为开采项目估值：基础项目、放弃期权、扩张期权，以及用状态变量同时处理两个期权。

import numpy as np
from scipy.stats import norm

# ---------- 1. 为什么 NPV 法难以处理期权：第 13 章例子的"隐含要求回报" ----------
S0, Su, Sd, K, r, T, mu = 20, 22, 18, 21, 0.12, 0.25, 0.16
q = (np.exp(r*T)*S0 - Sd)/(Su - Sd)               # 风险中性概率
p = (np.exp(mu*T)*S0 - Sd)/(Su - Sd)              # 现实世界概率
for name, pay_u, pay_d in [("看涨", max(Su-K, 0), max(Sd-K, 0)), ("看跌", max(K-Su, 0), max(K-Sd, 0))]:
    value = np.exp(-r*T)*(q*pay_u + (1-q)*pay_d)
    req = np.log((p*pay_u + (1-p)*pay_d)/value)/T  # 使现实期望支付贴现后等于价值的贴现率
    print(f"{name}: 价值 {value:.3f}，NPV 法需要的贴现率 {req:.1%}")

# ---------- 2. 例 35.1：租赁期权（风险中性推广） ----------
m, s, lam, rf, V0, Kr = 0.12, 0.20, 0.3, 0.05, 30.0, 35.0
A = sum(np.exp(-rf*i) for i in range(5))
EV = V0*np.exp((m - lam*s)*2)                     # 风险中性增长率 m - lambda*s
d1 = (np.log(EV/Kr) + s*s*2/2)/(s*np.sqrt(2)); d2 = d1 - s*np.sqrt(2)
val = 1e5*A*(EV*norm.cdf(d1) - Kr*norm.cdf(d2))*np.exp(-rf*2)
Vsim = EV*np.exp(-s*s + s*np.sqrt(2)*np.random.default_rng(0).standard_normal(1_000_000))
print(f"\n例35.1: A={A:.4f}, E(V)={EV:.2f}, 期权价值 = {val/1e6:.4f} 百万"
      f"（MC {1e5*A*np.maximum(Vsim-Kr,0).mean()*np.exp(-rf*2)/1e6:.4f}）")

# ---------- 3. 商品开采项目：基础项目、放弃期权、扩张期权、两者兼有 ----------
# 树：第 34 章图 34.2（a=0.1, sigma=0.2, 现货 20, 期货 22/23/24），用不贴现的到达概率拟合期货
jmax, a, dt, rr, sig = 2, 0.1, 1.0, 0.10, 0.2
def probs(j):
    x = a*j*dt
    if j == jmax:  return (7/6+0.5*(x*x-3*x), -1/3-x*x+2*x, 1/6+0.5*(x*x-x)), (0, -1, -2)
    if j == -jmax: return (1/6+0.5*(x*x+x), -1/3-x*x-2*x, 7/6+0.5*(x*x+3*x)), (2, 1, 0)
    return (1/6+0.5*(x*x-x), 2/3-x*x, 1/6+0.5*(x*x+x)), (1, 0, -1)
dX, reach, S = sig*np.sqrt(3*dt), {0: 1.0}, [{0: 20.0}]
for Fm in [22.0, 23.0, 24.0]:
    nxt = {}
    for j, pj in reach.items():
        for pp, d in zip(*probs(j)): nxt[j+d] = nxt.get(j+d, 0.0) + pj*pp
    reach = nxt
    alpha = np.log(Fm) - np.log(sum(pj*np.exp(j*dX) for j, pj in reach.items()))
    S.append({j: np.exp(alpha + j*dX) for j in reach})
cf = lambda price: 2*price - 2*17 - 6             # 每年现金流（百万）：200 万单位

def value(abandon=False, expand=False, scales=(1.0, 1.2), cost=2.0):
    """状态 = 规模 s。V[s][j] = 节点之后全部现金流的价值（不含本节点现金流）。"""
    V = {sc: {j: 0.0 for j in S[3]} for sc in scales}
    for i in range(2, -1, -1):
        newV = {}
        for sc in scales[::-1]:                    # 先算扩张后的状态
            newV[sc] = {}
            for j in S[i]:
                pr, sh = probs(j)
                cont = np.exp(-rr*dt)*sum(p*(sc*cf(S[i+1][j+d]) + V[sc][j+d]) for p, d in zip(pr, sh))
                best = cont
                if abandon: best = max(best, 0.0)  # 放弃：之后无现金流、无残值
                if expand and sc == 1.0:            # 扩张：付 cost，转入规模 1.2 的状态
                    best = max(best, newV[1.2][j] - cost)
                newV[sc][j] = best
        V = newV
    return V[1.0][0] - 15.0                        # 扣除初始投资

base = value()
print(f"\n基础项目 NPV        = {base:.2f}")
print(f"含放弃期权          = {value(abandon=True):.2f}  (期权价值 {value(abandon=True)-base:.2f})")
print(f"含扩张期权          = {value(expand=True):.2f}  (期权价值 {value(expand=True)-base:.2f})")
print(f"两者兼有            = {value(abandon=True, expand=True):.2f}  "
      f"(期权价值 {value(abandon=True, expand=True)-base:.2f})")

关键输出：

看涨: 价值 0.633，NPV 法需要的贴现率 42.6%
看跌: 价值 1.012，NPV 法需要的贴现率 -52.5%

例35.1: A=4.5355, E(V)=33.82, 期权价值 = 1.3586 百万（MC 1.3620）

基础项目 NPV        = -0.54
含放弃期权          = 1.40  (期权价值 1.94)
含扩张期权          = 0.52  (期权价值 1.06)
两者兼有            = 2.68  (期权价值 3.22)

读法：

• 第一部分说明 NPV 法的根本困难：同一只股票上的两个期权，"正确"的贴现率一个是 42.6%，一个是 −52.5%。
• 第二部分复现例 35.1 的 135.86 万美元，蒙特卡洛与闭式解一致（差别在模拟误差内）。
• 第三部分复现原书的 −0.54、1.94、1.06。代码的结构值得注意：value 函数用"规模"作为状态变量，newV[1.2] 先算，扩张决策就是"跳到规模 1.2 的状态并付 200 万"；放弃决策就是"把后续价值设为 0"。两个开关同时打开时，组合期权价值 3.22 大于单独价值之和 3.00，原因见 35.5 节"多个期权"的讨论。要处理更复杂的情形（扩张后固定成本不按比例增加、多次扩张、扩张有建设期等），只需增加状态变量。

本章小结

传统 NPV 法把风险放进贴现率，但期权的风险随状态剧烈变化，没有一个固定的贴现率能正确给期权估值。实物期权法把风险放进变量的漂移：每个变量的增长率从 \(m_i\) 降为 \(m_i-\lambda_is_i\)，再用无风险利率贴现。风险市场价格可以用 CAPM 由变量与市场的相关性估计；对投资资产、短期利率、商品价格，可以直接从市场价格（无风险利率、期限结构、期货曲线）得到风险中性过程。企业估值可以用"关键变量的随机过程 + 风险中性蒙特卡洛 + 破产规则"完成，Amazon 的例子显示了识别关键假设的价值。项目中的放弃、扩张、收缩、推迟、延期期权分别对应美式看跌、美式看涨、美式看跌、美式看涨、欧式看涨；在树上回滚时比较继续与行权，多个期权要用状态变量联合处理。

练习

基础

1. 说明 NPV 法与风险中性法的区别，以及后者在评估实物期权时的优势（原书习题 35.1）。

2. 某商品的便利收益为 \(y\)、储存成本为 \(u\)（均为连续复利比率），说明其价格在风险中性世界中的增长率为 \(r-y+u\)，并由此说明商品价格的风险市场价格可以从期货价格推出（原书习题 35.2、35.3）。

3. 某公司的收入与 S&P 500 的相关系数为 0.2，S&P 500 波动率 18%、超额收益 6%；收入的期望增长率 15%、波动率 25%。求收入在风险中性世界中的增长率（原书习题 35.4 类型）。 提示：\(\lambda=0.2\times0.06/0.18=0.0667\)，风险中性增长率 \(0.15-0.0667\times0.25=13.3\%\)。

4. 在例 35.1 中，若风险市场价格为 0（租金与市场无关），期权价值是多少？若为 0.5 呢？ 提示：\(\lambda\) 越大，风险中性增长率越低，看涨期权越不值钱。

5. 把五类实物期权与金融期权对应起来，并各举一个国内实业或金融行业的例子（例如矿山关停、产能扩建、航空公司推迟交付飞机）。

进阶

6. 用风险中性法为一个"商品交割期权"或"汽车租赁到期购买权"定价，自行设定参数（原书习题 35.5、35.6）。 提示：汽车租赁的购买权是二手车价格上的欧式看涨，二手车价格的风险市场价格需要用 CAPM 估计。

7. 用小麦价格构建两步三叉树（自设期货价格、\(a\)、\(\sigma\)），计算一个项目的价值与放弃期权的价值（原书习题 35.7）。可以直接修改本章代码中的期货价格和现金流函数。

8. 修改本章代码：(a) 放弃时有 300 万美元残值；(b) 扩张成本从 200 万改为 300 万。分别重估期权价值，并解释组合期权价值的变化（原书习题 35.8）。

9. 扩展本章代码：扩张后固定成本不变（仍为 600 万），只有产量和变动成本增加 20%。这时扩张后的现金流不再与原项目成比例，需要怎样修改状态定义？重估扩张期权。 提示：把规模 1.2 状态的现金流函数改为 \(2.4S-2.4\times17-6\)，不再是 \(1.2\times\text{cf}\)。

10. 实现一个简化版的 Schwartz–Moon 模型：收入 \(dR/R=\mu dt+\sigma dz_1\)，增长率 \(d\mu=\kappa(\bar\mu-\mu)dt+\eta dz_2\)，成本为收入的 94% 加固定成本，现金为负即破产。用蒙特卡洛在风险中性世界中估计企业价值，并画出企业价值对 \(\eta\) 的敏感性曲线。 提示：\(\eta\) 增大时企业价值上升，这正是 Business Snapshot 35.1 指出的期权性。

原书推荐习题：35.1（NPV 法与风险中性法的区别和优势）；35.2、35.3（商品的风险市场价格，便利收益与储存成本下的风险中性增长率 \(r-y+u\)）；35.4（用 CAPM 估计收入的风险市场价格）；35.5、35.6（用风险中性法给商品交割期权、汽车租赁购买权定价）；35.7（自行构建小麦价格两步三叉树，计算项目价值与放弃期权价值）；35.8（改变放弃/扩张成本后重估期权，检验对树回滚的掌握）。

原书对照

注：PDF 页码 = 书页码 + 1；精读笔记中 35.1–35.5 的页码区间有重叠，此处按章节顺序给出近似分界。