第 32 章 HJM、LMM 与多条零息曲线

第 31 章的短期利率模型容易实现，谨慎使用时能让大多数非标准利率衍生品的定价与活跃交易工具（利率上限、欧式互换期权、欧式债券期权）保持一致。但它们有两个局限：

1. 多数只有一个因子，所有利率在短时间内被同一个随机冲击驱动；
2. 不能自由选择波动率结构。让 \(a\) 和 \(\sigma\) 随时间变化可以拟合今天的波动率，但代价是波动率结构变成非平稳的（第 31.8 节）。

本章介绍两个可以自由设定波动率环境、可以多因子的一般框架：Heath–Jarrow–Morton（HJM）模型和 LIBOR 市场模型（LMM）。然后讨论 2008 年之后的现实问题：OIS 贴现下如何同时处理两条（或更多）零息曲线。最后介绍美国机构抵押支持证券（agency MBS）市场，它是这些模型最典型的应用对象。

学习目标

1. 从零息债的风险中性过程推导 HJM 漂移条件，理解"风险中性下远期利率的漂移完全由其波动率决定"。
2. 解释 HJM 一般为非马尔可夫的原因，以及 Ho–Lee、Hull–White 为什么是可以用重合树表示的特例。
3. 写出 LMM 在远期测度和滚动远期测度下的过程，会用冻结漂移的离散格式编写蒙特卡洛模拟。
4. 会从 caplet 波动率剥离 \(\Lambda_i\)，用 PCA 把波动率拆分到多个因子；理解为什么普通上限与因子数无关，而棘轮、黏性、弹性上限与因子数有关。
5. 说明 OIS 贴现下远期 LIBOR 的定义变化，以及多曲线联合建模的常用做法。
6. 理解机构 MBS 的提前还款风险、CMO 分档、IO/PO 与期权调整利差（OAS）。

读前导读

这一章在解决什么问题

第 31 章只对短期利率建模，整条曲线由它推出来。缺点是你没法直接控制"5 年远期利率的波动率是多少"、"2 年和 10 年利率的相关性是多少"，这些都由少数几个参数间接决定。本章换一个思路：不再只对短期利率建模，而是直接对整条远期利率曲线上的每一点建模。

打个比方：第 31 章像是只建模"隔夜利率"，再推算出整条收益率曲线怎么动；本章像是直接给收益率曲线上的每一个关键期限（1 年、2 年……10 年的远期利率）各自设定波动率和相互之间的相关性，然后让它们一起随机运动。

两个框架：

• HJM：对连续的"瞬时远期利率曲线"建模。最重要的结论是：在风险中性世界中，远期利率的漂移不能随意设定，它由波动率唯一决定。这和"股票在风险中性世界中漂移必须等于 \(r\)"是同一个无套利逻辑。
• LMM：对市场上真实交易的离散远期利率（如 3 个月 LIBOR 的各期远期）建模。它和第 29 章的 Black caplet 公式天然一致，是工业界给复杂利率产品定价的主力模型。

然后两个"现实问题"：2008 年后用 OIS 曲线贴现、用 LIBOR（现在是 SOFR 等）曲线计算现金流，两条曲线怎么协调；以及美国机构 MBS，你在 CFA 里学过提前还款风险、CMO 分档、负凸性和 OAS，本章说明为什么它们需要这类模型。

需要先想起来的数学

1. 伊藤引理与 \(\ln P\)。 \(dP/P=r\,dt+v\,dz\) 时，\(d\ln P=(r-v^2/2)dt+v\,dz\)。32.1 节的整个推导就是"对两只债券的 \(\ln P\) 求差"。

2. 导数作为差商的极限。 \(\lim_{\Delta T\to0}\frac{g(T+\Delta T)-g(T)}{\Delta T}=g'(T)\)。HJM 从离散远期利率 \(f(t,T_1,T_2)\) 过渡到瞬时远期利率 \(F(t,T)\) 就靠这一步，和"远期利率 = 零息利率曲线的斜率"同一个道理。见 第 00 册第 02 章 导数与泰勒展开。

3. 积分的基本定理。 \(v(t,T)=v(t,t)+\int_t^Tv_\tau\,d\tau\)，而 \(v(t,t)=0\)。即"一个函数等于起点值加上导数的累积"。见 第 00 册第 03 章 积分。

4. 方差随时间累加。 独立的各段时间里，方差相加：总方差 \(=\sum(\text{各段波动率}^2\times\text{时长})\)。这和"由 1 年、2 年即期利率推出 1 年后 1 年远期利率"的思路一样，32.2 节用它从 caplet 波动率剥离出各期的远期波动率。

5. 主成分分析（PCA）。 把一组高度相关的变量（各期限利率的变动）分解成少数几个互不相关的"因子"：水平、斜率、曲率。数学上是协方差矩阵的特征值分解。见 第 00 册第 06 章 线性代数速成 的特征值与协方差矩阵部分。

怎么读这一章

32.1 HJM：重点看 (32.3) 的推导和 HJM 漂移条件 (32.5) 的含义；"非马尔可夫"只需理解为什么不能建重合树。32.2 LMM：必读 (32.7)（与 Black 一致）、滚动远期测度的含义、波动率剥离（例 32.1）、"普通上限与因子数无关、奇异上限与因子数有关"；(32.10) 的推导和互换期权解析近似 (32.17)–(32.19) 第一次可以只看结论。32.3 多曲线：读懂"OIS 贴现下要用 \(F_{OD}\)"这一个要点即可。32.4 MBS：结合 CFA 的知识快速浏览，重点是"为什么必须用蒙特卡洛"。

32.1 Heath–Jarrow–Morton 模型

记号

• \(P(t,T)\)：\(t\) 时到期日为 \(T\) 的零息债价格；
• \(\Omega_t\)：决定 \(t\) 时债券波动率的过去和当前利率、债券价格的集合；
• \(v(t,T,\Omega_t)\)：\(P(t,T)\) 的波动率；
• \(f(t,T_1,T_2)\)：\(t\) 时看到的 \(T_1\) 到 \(T_2\) 的远期利率；
• \(F(t,T)\)：\(t\) 时看到的期限为 \(T\) 的瞬时远期利率；
• \(r(t)\)：短期利率；\(dz(t)\)：驱动期限结构的维纳过程。

从零息债过程到远期利率过程

先考虑单因子、传统风险中性世界。零息债是无收益的交易资产，风险中性下收益率为 \(r\)：

\(v\) 可以是过去和当前利率、债券价格的任意"良好"函数。唯一的硬约束是：债券到期时价格波动率降为零，\(v(t,t,\Omega_t)=0\)。（原书脚注：这等价于所有贴现债在任何时刻的漂移有限；否则可能需要无穷大的漂移才能保证到期价格等于面值。）

由式 (4.5)，远期利率与零息债价格的关系是

由 Itô 引理，\(d\ln P(t,T_i)=[r-v(t,T_i,\Omega_t)^2/2]dt+v(t,T_i,\Omega_t)dz\)。代入 (32.2)，\(r\) 项相消：

注意：风险中性世界中 \(f\) 的过程只取决于 \(v\)。它与 \(r\) 和 \(P\) 的关系是间接的——只有当 \(v\) 本身依赖 \(r\) 和 \(P\) 时才有关系。

推导拆解：(32.2) 本身就是远期利率的定义：连续复利下 \(P(t,T_2)=P(t,T_1)e^{-f(T_2-T_1)}\)，取对数整理即得。 对两只债券各用伊藤引理（导读第 1 项）后，\(d\ln P(t,T_1)-d\ln P(t,T_2)\) 中两个 \(r\,dt\) 正好相消，因为两只债券在风险中性世界中都以 \(r\) 增长。剩下：漂移 \(=-\tfrac12v_1^2+\tfrac12v_2^2\)，随机项 \(=(v_1-v_2)dz\)，再除以 \(T_2-T_1\)，即 (32.3)。 为什么这很重要？短期利率 \(r\) 是随机的、难以观察的，而它恰好从远期利率的方程里消失了。所以只要给出各期债券的波动率，就能写出远期利率的全部动态，不需要知道短期利率的过程。

令 \(T_1=T\)、\(T_2=T+\Delta T\)，取 \(\Delta T\to0\)：\(f\to F(t,T)\)，\(dz\) 的系数变为 \(-v_T\)（\(v\) 对 \(T\) 的偏导），\(dt\) 的系数变为 \(\tfrac12\partial[v^2]/\partial T=vv_T\)。于是

一旦设定 \(v\)，所有瞬时远期利率的风险中性过程就确定了。

HJM 漂移条件

由 \(v(t,t,\Omega_t)=0\)，有 \(v(t,T,\Omega_t)=\int_t^Tv_\tau(t,\tau,\Omega_t)d\tau\)。若把瞬时远期利率的过程写成 \(dF=m\,dt+s\,dz\)，比较 (32.4) 得 \(s=-v_T\)，进而

这就是 HJM 漂移条件。它的含义是本章最重要的一句话：在风险中性世界中，瞬时远期利率的漂移不能自由选择，它完全由波动率决定。建模者唯一的自由是设定波动率函数 \(s(t,T,\Omega_t)\)。

推导拆解：比较 \(dz\) 系数得 \(s=-v_T\)。由于 \(v(t,t)=0\)，\(v(t,T)=\int_t^Tv_\tau\,d\tau=-\int_t^Ts\,d\tau\)。代入漂移 \(m=v\cdot v_T=\big(-\int_t^Ts\,d\tau\big)(-s)=s\int_t^Ts\,d\tau\)。两个负号相乘为正。 白话解释：为什么漂移被"锁死"？在 BSM 里，风险中性世界中股票的漂移只能是 \(r\)，否则就有套利。这里的道理一样：今天的收益率曲线已经给出了所有零息债的价格，如果你随便设定远期利率的漂移，模型算出的债券价格就会与市场不一致，就存在套利。HJM 条件就是"不能有套利"翻译成远期利率语言后的结果。 漂移为什么是"波动率 × 波动率的积分"？这是一个凸性修正：远期利率是 \(\ln P\) 的差，而 \(\ln\) 是凹函数，波动越大、期限越长，修正越大。Ho–Lee 例子中漂移是 \(\sigma^2(T-t)\)，期限越远漂移越大，正是这个效应。

多因子推广：若 \(dF=m\,dt+\sum_ks_k\,dz_k\)（因子相互独立），则

实现上的难点：非马尔可夫

HJM 看似简单，实际很难实现。一般 HJM 模型下，短期利率过程是**非马尔可夫（non-Markov）**的：\(r\) 未来的过程不仅取决于那时 \(r\) 的值，还取决于从现在到那时走过的路径。因此：

• 通常只能用蒙特卡洛模拟；
• 若要建树，树不重合（nonrecombining）。单因子二叉树 \(n\) 步后有 \(2^n\) 个节点，\(n=30\) 时约 10 亿个（原书图 32.1）。

微妙之处在于：单个远期利率 \(F(t,T)\) 在多数应用中是马尔可夫的，可以单独用重合树表示；但不能让所有远期利率共用同一棵树。

白话解释：马尔可夫（Markov）的意思是"只看现在，不看历史"：知道今天的短期利率，就能确定未来的分布，至于怎么走到今天无关紧要。 重合树需要这个性质。"先涨后跌"和"先跌后涨"到达同一个利率值，如果未来行为也一样，两个节点就能合并成一个，节点数随步数线性增长。如果未来行为还取决于"是先涨还是先跌"（非马尔可夫），两个节点就不能合并，节点数翻倍增长：30 步就是 \(2^{30}\approx10.7\) 亿个。 金融上的对应：在一般 HJM 中，今天的短期利率不足以描述"整条曲线的状态"，曲线的形状还记录着过去的冲击，所以只看 \(r\) 不够。

两个重要特例是例外：

• \(s(t,T)=\sigma\)（常数）得到 Ho–Lee 模型（原书习题 32.3）；
• \(s(t,T)=\sigma e^{-a(T-t)}\) 得到 Hull–White 模型（原书习题 32.4）。

这两个特例中短期利率是马尔可夫的，\(r\) 和所有远期利率可以用同一棵重合树表示。这也说明了第 31 章与本章的关系：Hull–White 是 HJM 框架中一个"可以用树实现"的特殊波动率设定。

以 Ho–Lee 为例验证 (32.5)：\(s=\sigma\)，则 \(m=\sigma\int_t^T\sigma d\tau=\sigma^2(T-t)\)。积分得

令 \(T=t\)，短期利率 \(r(t)=F(t,t)=F(0,t)+\tfrac12\sigma^2t^2+\sigma z(t)\)，于是 \(dr=[F_t(0,t)+\sigma^2t]dt+\sigma dz\)，正是 (31.10)–(31.11) 的 Ho–Lee 模型。

32.2 LIBOR 市场模型

动机

HJM 用瞬时远期利率表达，有两个实际困难：瞬时远期利率不能直接观察；模型难以校准到活跃交易的工具。Brace–Gatarek–Musiela（BGM）、Jamshidian 以及 Miltersen–Sandmann–Sondermann 提出了 LIBOR 市场模型（LIBOR market model，LMM，也称 BGM 模型），直接用交易员在 LIBOR 贴现下实际使用的、离散期限的远期利率来表达。

设定

• \(t_0=0\)，\(t_1,t_2,\ldots\) 为当前交易的上限的重置日（美国最流行季度重置，\(t_1\approx0.25\)，\(t_2\approx0.5\)，……）；\(\delta_k=t_{k+1}-t_k\)；
• \(F_k(t)\)：\(t\) 时看到的 \(t_k\) 到 \(t_{k+1}\) 的远期利率（复利期为 \(\delta_k\)，actual/actual 计息）；
• \(m(t)\)：下一个重置日的指标，即满足 \(t\le t_{m(t)}\) 的最小整数；
• \(\zeta_k(t)\)：\(F_k(t)\) 在 \(t\) 时的波动率。

先假设单因子。由第 28.4 节，在关于 \(P(t,t_{k+1})\) 的远期风险中性世界中，\(F_k\) 是鞅：

这正是 Black 的 caplet 模型：每个 caplet 只依赖一个远期利率，在它自己的远期测度下 \(F_k\) 是对数正态鞅。所以 LMM 与 Black 上限公式天然一致，这是它最大的实用优势。

白话解释：可以把 LMM 理解为"把一串 Black caplet 模型缝在一起"。第 29 章里，每个 caplet 各自用一套计算权重（各自付款日的零息债测度），在各自的权重下各自的远期利率是鞅。单独定价一个 caplet 没问题。 但棘轮上限、百慕大期权这类产品要同时用到好几个远期利率，必须把它们放在同一套权重下一起模拟。换到公共权重时，每个远期利率的漂移就不再是 0 了，下面的 (32.8)–(32.10) 就是在算这个漂移修正。

记 \(P(t,t_k)\) 的波动率为 \(v_k(t)\)（即 \(dP/P=\cdots+v_k(t)dz\)），\(v_k(t)\) 为负，因为债券价格与利率负相关。

滚动远期风险中性世界

问题是：不同的 \(F_k\) 在不同的测度下才是鞅，要同时模拟它们，必须选一个公共测度。LMM 常用滚动远期风险中性世界（rolling forward risk-neutral world）：在任何时刻，都是关于"下一个重置日到期的零息债"的远期风险中性世界。

它的好处是贴现非常简单：从 \(t_{k+1}\) 贴现到 \(t_k\)，只需用 \(t_k\) 时观察到的 \(t_{k+1}\) 期零息利率，不必关心 \(t_k\) 到 \(t_{k+1}\) 之间利率如何变化。（原书脚注：这相当于以"滚动 CD"为计价单位——从 $1 开始买到期 \(t_1\) 的债券，到期后再投资到期 \(t_2\) 的债券，依此类推。严格地说，第 31 章的利率树也是在滚动远期风险中性世界里，而不是在传统风险中性世界里。）

由第 28.8 节的换计价单位结果，\(F_k\) 在滚动远期风险中性世界中的过程为

再由 \(P(t,t_i)/P(t,t_{i+1})=1+\delta_iF_i(t)\)，两边取对数、用 Itô 引理比较 \(dz\) 的系数：

（\(v\) 与 \(\zeta\) 符号相反，债券价格波动率的绝对值随期限增大，符合直觉。）把 (32.9) 从 \(i=m(t)\) 累加到 \(k\) 代入 (32.8)：

当 \(\delta_i\to0\) 时，(32.10) 退化为 HJM 的 (32.4)（原书习题 32.7）。LMM 可以看作 HJM 的离散期限版本。

推导拆解：(32.8) 直接套用第 28.8 节的换计价单位公式：从 \(P(t,t_{k+1})\) 换到 \(P(t,t_{m(t)})\)，计价单位比率 \(w=P(t,t_{m(t)})/P(t,t_{k+1})\) 的波动率为 \(v_{m(t)}-v_{k+1}\)，\(F_k\) 的波动率为 \(\zeta_k\)，漂移增加二者之积。 (32.9)：\(\ln P(t,t_i)-\ln P(t,t_{i+1})=\ln(1+\delta_iF_i)\)。左边 \(dz\) 系数是 \(v_i-v_{i+1}\)；右边对 \(F_i\) 求导得 \(\frac{\delta_i}{1+\delta_iF_i}\)，乘以 \(F_i\) 的随机项 \(\zeta_iF_i\,dz\)，即右式。 (32.10)：\(v_{m(t)}-v_{k+1}\) 可以写成一串相邻差之和 \(\sum_{i=m(t)}^k(v_i-v_{i+1})\)（中间项依次相消，像"望远镜"一样收起来），每一项用 (32.9) 替换。 金融直觉：\(F_k\) 的漂移是它与"比它短的各个远期利率"之间协方差的加权和。\(k\) 越大，求和项越多，漂移越大。远期利率越靠后，在滚动测度下平均上升得越多，这和第 30 章"在不自然的测度下期望值要上调"是同一个效应。

远期利率波动率的参数化

一个常用的简化假设：\(\zeta_k(t)\) 只取决于从下一个重置日到 \(t_k\) 之间完整计息期的个数。记有 \(i\) 个计息期时的波动率为 \(\Lambda_i\)，则

是一个阶梯函数。这种设定是平稳的：波动率只取决于"离重置还有多久"，不取决于日历时间，今天的波动率期限结构在未来会被原样复制。

\(\Lambda_i\) 在理论上可以由 Black 模型下的 caplet 即期波动率（原书图 29.3）估计。设 \(\sigma_k\) 为 \(t_k\) 到 \(t_{k+1}\) 的 caplet 的 Black 波动率，令累计方差相等：

从 \(k=1\) 开始迭代求出 \(\Lambda_0,\Lambda_1,\ldots\)。（实践中更常用最小二乘校准，见下文。）

例 32.1　\(\delta_i\) 相等，前三个 caplet 的 Black 波动率为 24%、22%、20%。

• \(\Lambda_0=24\%\)；
• \(\Lambda_0^2+\Lambda_1^2=2\times0.22^2\)，得 \(\Lambda_1=19.80\%\)；
• \(\Lambda_0^2+\Lambda_1^2+\Lambda_2^2=3\times0.20^2\)，得 \(\Lambda_2=15.23\%\)。

推导拆解：第 2 个 caplet 对应的远期利率 \(F_2\)（在 \(t_2\) 重置），在重置前要活 2 个计息期。第一期里它离重置还有 1 个完整计息期，波动率是 \(\Lambda_1\)；第二期里离重置还剩 0 个完整计息期，波动率是 \(\Lambda_0\)。两期方差相加，必须等于 Black 公式用的总方差 \(\sigma_2^2\times2\)。所以 \(\Lambda_1^2=2\times0.22^2-0.24^2=0.0968-0.0576=0.0392\)，\(\Lambda_1=19.80\%\)。 金融直觉：这和从即期利率推远期利率完全同构：即期利率是"平均"，远期利率是"边际"。从"累计平均"推"边际"时，平均值的小变化会被放大成边际值的大变化，这就是为什么直接剥离容易剧烈震荡甚至无解（练习 3）。

例 32.2（原书表 32.1，计息期 1 年）：

两者都呈驼峰，\(\Lambda\) 的驼峰更明显：\(\sigma_k\) 是 \(\Lambda\) 的"累计平均"，平均会把驼峰抹平。

蒙特卡洛实现

把 \(\zeta_k(t)=\Lambda_{k-m(t)}\) 代入：

漂移依赖于其他远期利率，不能精确积分。一个常用近似是冻结漂移：在 \(t_j<t<t_{j+1}\) 内计算漂移时令 \(F_i(t)=F_i(t_j)\)。于是

\(\varepsilon\sim N(0,1)\)。从 \(t_0\) 出发依次推进到 \(t_1\)、\(t_2\)……

多因子推广

设有 \(p\) 个独立因子，\(\zeta_{k,q}\) 为 \(F_k\) 的波动率在第 \(q\) 个因子上的分量：

记 \(\lambda_{i,q}\) 为有 \(i\) 个计息期时第 \(q\) 个分量，离散格式为

模拟流程：每次试验从初始曲线算出的 \(F_0(0),\ldots,F_{N-1}(0)\) 开始，用 (32.16) 算 \(F_1(t_1),\ldots,F_{N-1}(t_1)\)，再算 \(F_2(t_2),\ldots,F_{N-1}(t_2)\)，直到 \(F_{N-1}(t_{N-1})\)。模拟出的曲线随时间越来越短：如计息期 3 个月、\(N=40\)，起点是 10 年曲线，到第 6 年（\(t_{24}\)）只剩 4 年曲线。

检验冻结漂移的近似：用 (32.16) 模拟 caplet 价格（\(F_k(t_k)\) 是实现的利率，决定 \(t_{k+1}\) 的 caplet 支付，沿路径逐期贴现回 0，再取平均），与 Black 公式比较。原书报告：即使计息期长达 1 年、试验次数很大，二者也没有显著差异（只有上限波动率很高时例外）。冻结漂移在多数情况下是无害的。本章量化实战的代码会重做这个检验。

棘轮上限、黏性上限与弹性上限

LMM 的价值在于给依赖多个远期利率联合分布的产品定价。原书的三个例子：

• 棘轮上限（ratchet cap）：执行价随上一期利率重置，\(K_{j+1}=R_j+s\)（上一重置日的 LIBOR 加利差）；
• 黏性上限（sticky cap）：执行价按上一期封顶后的利率重置，\(K_{j+1}=\min(R_j,K_j)+s\)；
• 弹性上限（flexi cap）：普通上限，但限定可行权的 caplet 总数。

原书表 32.2、32.3 的设定：本金 $100，曲线平坦于 5%（连续复利，即年复利 5.127%），caplet 波动率同表 32.1，年度重置，利差 25bp（作用于年复利利率），LIBOR 贴现，100,000 次模拟加对偶变量，标准误约 0.001。

两因子和三因子的波动率分量见原书表 32.4、32.5。例如三因子模型中，有 1 个计息期（第 1 年）的分量为 13.65%、−6.62%、3.19%，平方和开方为总波动率 15.50%。第一个因子类似"水平"，第二个类似"斜率"，第三个类似"曲率"。

弹性上限：年付、本金 $100、曲线平坦 5%、所有价内 caplet 都行权、至多 5 个，1/2/3 因子价格分别为 3.43、3.58、3.61。

要点：普通上限的价格只取决于每个 caplet 的总波动率，与因子数无关，因为每个 caplet 只依赖一个远期利率。而上面这些非标准产品依赖多个远期利率的联合分布，与因子数有关：因子越多，不同期限远期利率之间的相关性越低，这类产品的价值通常越高。棘轮 caplet 支付 \(\max(R_{j+1}-R_j-s,0)\)，本质是相邻两期利率之差的期权；两者相关性越低，差的波动越大，期权越值钱。

金融直觉：用组合方差公式就能看清：\(\mathrm{Var}(R_{j+1}-R_j)=\sigma_{j+1}^2+\sigma_j^2-2\rho\sigma_j\sigma_{j+1}\)。普通 caplet 只用到 \(\sigma_j\)，与 \(\rho\) 无关。棘轮 caplet 的标的是"利差"，\(\rho\) 越低，利差波动越大。 单因子模型中所有远期利率被同一个 \(dz\) 驱动，相关系数接近 1，利差波动被严重低估。加入第二、三个因子（斜率、曲率）后，不同期限利率可以不同步，相关性下降，棘轮和黏性上限的价值上升，这正是表中 1→3 因子价格递增的原因。这和价差期权、互换期权相对于上限的定价都是同一个道理：凡是依赖"多个利率之间关系"的产品，因子数都会影响价格。

欧式互换期权的解析近似

Hull–White (2000) 给出了 LMM 下欧式互换期权的解析近似（LIBOR 贴现）。设期权到期日 \(T_0\)，互换付款日 \(T_1,\ldots,T_N\)，\(\tau_i=T_{i+1}-T_i\)。由式 (28.23)，远期互换利率为

\(G_j(t)\) 为 \(T_j\) 到 \(T_{j+1}\) 的远期利率。互换利率是这些远期利率的函数，由 Itô 引理（原书习题 32.12），互换利率的瞬时方差为

\(\beta_{j,q}\) 是 \(G_j\) 波动率的第 \(q\) 个分量。近似令 \(G_j(t)=G_j(0)\)，代入标准市场模型（Black 互换期权公式）的互换波动率为

若互换的计息期与上限计息期相同，\(\beta_{k,q}(t)\) 就是剩余期限 \(T_k-t\) 的上限远期利率的第 \(q\) 个分量，可从表 32.5 查得。美国市场的基准上限是季度重置，而基准互换期权的标的互换是半年重置，二者不匹配。推广的方法是：每个互换计息期含 \(M\) 个子期，\(\tau_j=\sum_m\tau_{j,m}\)，\(1+\tau_jG_j=\prod_m[1+\tau_{j,m}G_{j,m}]\)，得到形式类似的 (32.19)：内层对 \(k\) 和 \(m\) 求和，被加项换成 \(\tau_{k,m}\beta_{k,m,q}G_{k,m}(0)\gamma_k(0)/(1+\tau_{k,m}G_{k,m}(0))\)。

Hull 和 White 将其与蒙特卡洛结果比较，二者非常接近。用途：快速为欧式互换期权定价；判断互换期权相对上限是高估还是低估；以及（最重要的）用互换期权校准 LMM。该方法可以扩展到 OIS 贴现。

校准

需要确定两样东西：每个期限的总波动率 \(\Lambda_j\)，以及它在各因子上的拆分 \(\lambda_{j,q}\)。通常 \(\Lambda\) 由当前市场数据确定，拆分由历史数据确定。

因子拆分。对远期利率的历史变动做主成分分析（第 22.9 节）：

\(\alpha_{j,q}\) 为因子载荷，\(x_q\) 为因子得分，\(s_q\) 为第 \(q\) 个因子得分的标准差。若使用全部 \(M\) 个因子，可以直接取 \(\lambda_{j,q}=\Lambda_js_q\alpha_{j,q}\) 的形式；通常只用 \(p<M\) 个因子，需要缩放使 \(\Lambda_j=\sqrt{\sum_{q=1}^p\lambda_{j,q}^2}\)：

\(\Lambda\) 的估计。(32.11) 在理论上可行，但实践中常使 \(\Lambda\) 剧烈摆动，有时甚至没有与上限报价完全一致的解。常用 31.8 节类似的方法：最小化

校准工具是欧式互换期权时，(32.18)/(32.19) 使模型价格能快速计算，Levenberg–Marquardt 最小化才可行；得到 \(\Lambda\) 后再用 (32.20) 得到 \(\lambda\)。

波动率偏斜

一些市场上，上限/下限的 Black 隐含波动率随执行价递减（偏斜）。可以用 CEV 版本（第 27.1 节）：

\(0<\gamma<1\)。处理方式与对数正态版本类似；上限/下限可以用非中心 \(\chi^2\) 分布解析定价，互换期权也有类似的解析近似（Andersen–Andreasen 2000）。

百慕大互换期权

百慕大互换期权（Bermudan swap option） 可以在标的互换的部分或全部付款日行权。LMM 依赖蒙特卡洛，而蒙特卡洛向前推进，难以处理提前行权。可用第 27.8 节的方法：

• Longstaff–Schwartz 最小二乘法：把"不行权的价值"回归到因子值的多项式上；
• Andersen 的最优行权边界参数化：他发现假设行权决策只依赖期权的内在价值，就能得到很好的结果。

多数交易员实际上用第 31 章的单因子无套利模型为百慕大期权定价。单因子模型对百慕大期权定价是否准确，学界有争议（Andersen–Andreasen 认为足够，Longstaff–Santa-Clara–Schwartz 认为会显著低估）。

32.3 处理多条零息曲线

危机前后的变化

2007 年危机之前，多数衍生品的支付和贴现都用同一条 LIBOR/互换曲线。现在有抵押的交易通常用 OIS 曲线贴现，所以依赖 LIBOR 的互换、上限、互换期权需要多条曲线：LIBOR 曲线决定支付，OIS 曲线用于贴现。

如果同时对两条曲线建模，并假设银行可以无风险地按两种利率借贷，就违背了无套利（借 OIS、贷 LIBOR 就能锁定利润）。另一种选择是对信用和流动性风险建模，从而解释 LIBOR–OIS 利差，但这太复杂。实务界的选择是：分别对 LIBOR 和 OIS 建模，不显式建模违约和流动性风险，并忽略多曲线带来的套利问题。

危机后连 LIBOR 也不止一条：从 1、3、6、12 个月 LIBOR 产品分别构造的曲线互不相同（12 个月期 LIBOR 贷款比连续 12 次滚动的 1 个月期贷款风险更大）。所以 LIBOR 产品在实践中至少要用 5 条零息曲线。

OIS 贴现下的远期 LIBOR

OIS 曲线可以用第 31 章的短期利率方法建模，也可以用 HJM/LMM 框架（"LIBOR 市场模型"变成"OIS 市场模型"）。

一个容易被忽视的要点：OIS 贴现下的远期 LIBOR 与 LIBOR 贴现下的远期 LIBOR 不同（第 9.3 节）。记 \(F_{LD}(t,t_1,t_2)\)、\(F_{OD}(t,t_1,t_2)\) 分别为 LIBOR 贴现和 OIS 贴现下的远期 LIBOR（都可以由 LIBOR 换固定互换的报价自举得到，例 9.2、9.3）；\(P_{LD}\)、\(P_{OD}\) 为相应的零息债价格。

• \(F_{LD}\) 在关于 \(P_{LD}(t,t_2)\) 的远期风险中性世界中是鞅（第 29.2 节 caplet 定价用的就是它），但一般不是关于 \(P_{OD}(t,t_2)\) 的鞅；
• OIS 贴现时必须用 \(F_{OD}\)：它是关于 \(P_{OD}(t,t_2)\) 的远期风险中性世界中的鞅，等于该世界中 \(t_1\) 到 \(t_2\) 的 LIBOR 的期望。

白话解释：两个"远期 LIBOR"之所以不同，是因为它们是在两套不同的计算权重下求的期望。\(F_{LD}\) 是"以 LIBOR 零息债记账"时对未来 LIBOR 的平均，\(F_{OD}\) 是"以 OIS 零息债记账"时的平均。两种零息债与 LIBOR 的相关性不同，权重就不同（第 28.8 节：差异 = 协方差）。 实务上的落点很简单：用 OIS 曲线贴现，就必须用"在 OIS 贴现下让市场互换报价为零"的那组远期 LIBOR，两者要从同一套自举流程里一起出来，不能从两个系统各取一半。

于是 OIS 贴现下的定价规则：

• 互换：假设远期利率 \(F_{OD}\) 实现，用 OIS 贴现；
• caplet/floorlet：仍用 (29.7)、(29.8)，但 \(F_k=F_{OD}(0,t_k,t_{k+1})\)，\(P(0,t_{k+1})=P_{OD}(0,t_{k+1})\)；隐含波动率 \(\sigma_k\) 可能依赖贴现方式；
• 互换期权：用 (29.10)、(29.11)，年金因子取 \(A=\frac1m\sum_{i=1}^{mn}P_{OD}(0,T_i)\)，远期互换利率由 \(F_{OD}\) 计算。

联合建模两条曲线

更复杂的产品要同时对两条曲线建模。

• 方法一：LIBOR 和 OIS 短期利率服从相关的随机过程。缺点是 OIS 可能超过 LIBOR，不符合现实。
• 更好的方法：用短期利率模型或 HJM/LMM 对 OIS 建模，再把 LIBOR–OIS 利差的期限结构作为非负变量单独建模。最简单的做法是假设利差等于远期利差（确定性利差）。

随机利差模型的关键观察：\(F_{OD}(t,t_i,t_{i+1})\) 和 \(t_i\) 到 \(t_{i+1}\) 的远期 OIS 利率在关于 \(P_{OD}(t,t_{i+1})\) 的远期风险中性世界中都是鞅，因此二者之差（远期利差）也是鞅。于是可以完全仿照 (32.10)/(32.15) 为远期利差建模：\(dF_k/F_k=\cdots+\sum_q\zeta_{k,q}dz_q\)（这里 \(F_k\) 指远期利差），32.2 节关于滚动远期风险中性测度的结果全部适用（Mercurio–Xie 2012）。

32.4 机构抵押支持证券

定义与提前还款

机构抵押支持证券（agency mortgage-backed security，agency MBS） 类似第 8 章的 ABS，但支付由政府相关机构（GNMA、FNMA 等）担保，投资者不受借款人违约的影响，看上去像普通的政府固定收益证券。关键区别在于：资产池中的抵押贷款有提前还款权（prepayment privileges）。美国房贷通常是 30 年期、可随时提前还款，相当于房主持有一个 30 年期的美式期权，可以按面值把贷款"卖回"给贷款人。

提前还款的原因多种多样：利率下降时再融资；房屋出售；等等。估值的关键是提前还款函数（prepayment function）：用 \(t\) 时的收益率曲线和其他相关变量（例如曲线的历史路径）描述资产池在 \(t\) 时的期望提前还款率。对单笔贷款，这种预测很不可靠；但大量相似贷款组成资产池后，有"大数定律"效应，可以用历史数据较准确地预测。

总体上，利率低时提前还款更多：投资者在利率低、再投资收益差时被提前还本，利率高时却被"锁定"在低票息上。所以投资者要求 MBS 比其他固定收益证券更高的收益率，以补偿他们卖出的提前还款期权。这就是 MBS 的负凸性来源。

CMO

最简单的机构 MBS 是过手证券（pass-through）：所有投资者收益相同、承担相同的提前还款风险。担保抵押贷款债券（collateralized mortgage obligation，CMO） 把投资者分成多个类别，规定本金偿还如何在各类之间分配，从而创造承担不同提前还款风险的证券（类似第 8 章 ABS 按信用风险分档）。

例：A、B、C 三类，所有本金（计划还款和提前还款）先全部给 A，A 还清后给 B，再给 C。A 承担最多的提前还款风险、期限最短；C 期限最长。风险大小取决于各档面值：面值 400/300/100 时，C 几乎没有提前还款风险；面值 100/200/500 时，C 的风险就较大。CMO 的目的是创造比简单过手证券更吸引机构投资者的证券。

IO 与 PO

Business Snapshot 32.1：剥离式 MBS（stripped MBS） 把本金和利息分开：所有本金给PO（principal only），所有利息给IO（interest only）。两者都是高风险品种，对提前还款率的敏感方向相反：

• 提前还款加快：PO 更值钱（固定的本金更早收回），IO 更不值钱（利息总额减少）；
• 提前还款放慢：相反。

由于提前还款随利率下降而加快，IO 在利率下降时价值下跌——它是少有的"利率下降反而亏钱"的固定收益品种，常被用来对冲 MBS 组合的负凸性。

估值与期权调整利差

MBS 通常用蒙特卡洛估值：模拟国债利率的路径（可以用 HJM/LMM）；每次试验中，每个月根据当时的曲线和曲线历史计算期望提前还款，得出持有人的期望现金流；以国债利率加一个利差贴现到 0，得到这条路径的价值；多次试验取平均。路径依赖（提前还款取决于曲线历史，例如"已经再融资过的人不会再融资"）是必须用蒙特卡洛的原因。

期权调整利差（option-adjusted spread，OAS）：考虑所有内嵌期权之后，工具相对国债收益率提供的利差。计算方法：用国债利率加某个利差贴现得到模型价格，与市场价格比较，迭代求使两者相等的利差，即 OAS。OAS 之于 MBS，类似收益率之于普通债券（原书习题 32.10）：它是在剔除期权价值后衡量"便宜还是贵"的统一尺度。

金融直觉：和 CFA 里的利差概念对照：Z-spread 是"假设现金流固定、在整条即期曲线上加一个平行利差"使价格对上；OAS 是"在模型的每条利率路径上，现金流随提前还款变化，再加一个平行利差"使价格对上。两者之差约等于提前还款期权的成本：Z-spread − OAS ≈ 期权成本（以利差计）。 例如一只 MBS 的 Z-spread 为 120bp，OAS 为 40bp，说明 80bp 的额外收益只是对卖出提前还款期权的补偿，真正的"超额回报"只有 40bp。只看名义利差，就会把期权价值误当作便宜。注意 OAS 依赖于所用的利率模型、波动率和提前还款函数，换一个模型 OAS 会变。

32.5 小结与常见误区

HJM 与 LMM 让用户完全自由地选择波动率期限结构。LMM 相对 HJM 的两大优势：用决定上限定价的离散远期利率而不是瞬时远期利率表达；相对容易校准到上限或欧式互换期权价格。两者共同的缺点是：不能表示为重合树，通常需要蒙特卡洛，计算量远大于第 31 章的模型。

危机后有抵押衍生品用 OIS 贴现，互换、上限/下限、互换期权的估值要改用 OIS 贴现，并在合适的远期风险中性测度下计算远期利率和互换利率；更复杂的工具需要联合建模 OIS 与 LIBOR 曲线。美国机构 MBS 市场催生了 CMO、IO、PO 等强路径依赖的奇异利率衍生品，通常要用蒙特卡洛，是 HJM/LMM 的理想应用。

常见误区：

1. 把 LIBOR 贴现下的远期 LIBOR 直接用于 OIS 贴现定价。
2. 以为因子数对所有产品都不重要。普通上限与因子数无关，但依赖多个远期利率联合分布的产品（棘轮、黏性、弹性上限，以及互换期权相对上限的定价）与因子数有关。
3. 用 (32.11) 直接剥离 \(\Lambda\)，可能得到剧烈震荡的结果甚至无解；应使用带平滑惩罚的最小二乘。

量化实战

本章内容在量化交易中的用途

定价与系统实现。LMM 蒙特卡洛（冻结漂移 + 对偶变量 + PCA 因子拆分）是利率奇异产品定价引擎的标准实现。百慕大期权的 Longstaff–Schwartz 回归是通用的美式蒙特卡洛技术。多曲线框架（OIS 贴现 + 各期限的基准利率曲线）是任何利率定价系统的基础，国内对应 FR007、Shibor 等互换曲线与贴现曲线的区分。

风险建模。用 PCA 分解远期利率的变动（水平、斜率、曲率）直接用于利率风险因子模型和情景生成。多因子对相关性敏感产品的影响提醒我们：风险系统中利率因子的个数不是"技术细节"，它会直接改变某些产品的价值和对冲比率。

固收量化。MBS 的提前还款建模和 OAS 是固收相对价值分析的核心指标；IO/PO 对利率的非线性敞口是负凸性的典型例子。

对股票因子研究和回测：基本无直接关联。

Python 示例：LMM 蒙特卡洛、棘轮/黏性上限与 PCA 因子拆分

程序分三部分：

1. 用表 32.1 剥离 \(\Lambda\)，按 (32.14) 写单因子 LMM 的冻结漂移模拟（20 万条路径，对偶变量），用滚动贴现给普通 caplet 定价并与 Black 公式比较——这是检验 LMM 实现的标准单元测试；
2. 复现原书表 32.2/32.3 的单因子棘轮和黏性 caplet；
3. 对模拟的远期利率日变动做 PCA，按 (32.20) 把 \(\Lambda_j\) 拆分到两个因子上。

import numpy as np
from scipy.stats import norm

# 表 32.1：年度 caplet 的 Black 波动率 -> 剥离出 LMM 的 Lambda_i
sig_black = np.array([15.50,18.25,17.91,17.74,17.27,16.79,16.30,16.01,15.76,15.54])/100
k = np.arange(1, 11)
Lam = np.sqrt(np.diff(np.r_[0, k*sig_black**2]))          # 式 (32.11)，delta=1

N = 11                         # 远期利率 F_0..F_10，覆盖 t=0..11 年
delta = 1.0
F0 = np.full(N, np.exp(0.05)-1)   # 平坦 5% 连续复利 = 5.127% 年复利
spread = 0.0025

def simulate(n_paths, seed=0):
    """单因子 LMM，冻结漂移的离散格式 (32.14)。返回实现利率 R[path, k]=F_k(t_k)。"""
    rng = np.random.default_rng(seed)
    half = n_paths//2
    eps = rng.standard_normal((half, N))
    eps = np.vstack([eps, -eps])                 # 对偶变量
    F = np.tile(F0, (n_paths, 1))
    R = np.empty((n_paths, N)); R[:, 0] = F0[0]
    for j in range(N-1):                         # 从 t_j 推进到 t_{j+1}
        live = np.arange(j+1, N)                 # 仍未重置的远期利率
        lam = Lam[live-j-1]                      # Lambda_{k-j-1}
        x = delta*F[:, live]*lam/(1+delta*F[:, live])
        drift = np.cumsum(x, axis=1)*lam - 0.5*lam**2
        F[:, live] = F[:, live]*np.exp(drift*delta + lam*eps[:, [j]]*np.sqrt(delta))
        R[:, j+1] = F[:, j+1]
    return R

R = simulate(200_000)
# 滚动贴现：t_{k+1} 支付贴现到 0 = prod_{i<=k} 1/(1+delta R_i)
disc = np.cumprod(1/(1+delta*R), axis=1)

# 1) 普通 caplet：MC vs Black
K = F0[0]
for kk in [1, 5, 10]:
    x = 100*delta*np.maximum(R[:, kk]-K, 0)*disc[:, kk]
    mc, se = x.mean(), x.std()/np.sqrt(len(x))
    s = sig_black[kk-1]; T = kk
    d1 = (np.log(F0[kk]/K)+s*s*T/2)/(s*np.sqrt(T)); d2 = d1-s*np.sqrt(T)
    black = 100*delta*np.exp(-0.05*(kk+1))*(F0[kk]*norm.cdf(d1)-K*norm.cdf(d2))
    print(f"caplet 起点 {kk:2d} 年: LMM-MC={mc:.4f}(±{se:.4f})  Black={black:.4f}")

# 2) 棘轮与黏性 caplet
Kr = R[:, :-1] + spread                       # 棘轮：K_{j+1}=R_j+s
pay_r = np.maximum(R[:, 1:]-Kr, 0)
Ks = np.empty_like(R); Ks[:, 0] = R[:, 0]     # 黏性：K_{j+1}=min(R_j,K_j)+s
for j in range(N-1):
    Ks[:, j+1] = np.minimum(R[:, j], Ks[:, j]) + spread
pay_s = np.maximum(R[:, 1:]-Ks[:, 1:], 0)
for kk in [1, 5, 10]:
    vr = 100*np.mean(pay_r[:, kk-1]*disc[:, kk])
    vs = 100*np.mean(pay_s[:, kk-1]*disc[:, kk])
    print(f"起点 {kk:2d} 年: 棘轮={vr:.3f}  黏性={vs:.3f}")

# 3) 因子拆分：对（模拟的）远期利率日变动做 PCA，按式 (32.20) 拆分 Lambda
rng = np.random.default_rng(1)
load_true = np.vstack([np.ones(10),                  # 水平
                       np.linspace(-1, 1, 10),       # 斜率
                       (np.linspace(-1, 1, 10))**2-0.35])   # 曲率
f = rng.standard_normal((2500, 3))*np.array([6, 2.5, 1.0])  # 因子日变动（bp）
dF = f@load_true + 0.3*rng.standard_normal((2500, 10))
eigval, eigvec = np.linalg.eigh(np.cov(dF, rowvar=False))
idx = np.argsort(eigval)[::-1]; eigval, eigvec = eigval[idx], eigvec[:, idx]
print("\n前三个主成分解释的方差比例:", np.round(eigval[:3]/eigval.sum(), 4))
p = 2
s_q, alpha = np.sqrt(eigval[:p]), eigvec[:, :p]       # 因子得分标准差、因子载荷
alpha = alpha*np.sign(alpha[-1])                     # 特征向量符号任意，统一为长端为正
lam = Lam[:, None]*s_q*alpha/np.sqrt(((s_q*alpha)**2).sum(axis=1, keepdims=True))   # (32.20)
print("两因子分量 lambda_{j,1}, lambda_{j,2} (%)，以及平方和开方:")
for j in [0, 4, 9]:
    print(f"  j={j}: {100*lam[j,0]:6.2f} {100*lam[j,1]:6.2f}  -> {100*np.sqrt((lam[j]**2).sum()):.2f} = Lambda_{j}")

关键输出：

caplet 起点  1 年: LMM-MC=0.2862(±0.0010)  Black=0.2866
caplet 起点  5 年: LMM-MC=0.5799(±0.0022)  Black=0.5815
caplet 起点 10 年: LMM-MC=0.5710(±0.0021)  Black=0.5741
起点  1 年: 棘轮=0.194  黏性=0.194
起点  5 年: 棘轮=0.187  黏性=0.483
起点 10 年: 棘轮=0.152  黏性=0.483

前三个主成分解释的方差比例: [0.9309 0.0638 0.0036]
两因子分量 lambda_{j,1}, lambda_{j,2} (%)，以及平方和开方:
  j=0:  14.26  -6.07  -> 15.50 = Lambda_0
  j=4:  15.23  -0.65  -> 15.25 = Lambda_4
  j=9:  12.47   4.91  -> 13.40 = Lambda_9

读法：

• 普通 caplet 的 LMM 价格与 Black 价格相差都在 1.5 个标准误以内，印证了"冻结漂移近似无害"的结论，也说明剥离出的 \(\Lambda\) 与 caplet 报价一致。
• 单因子棘轮 caplet 0.194/0.187/0.152、黏性 caplet 0.194/0.483/0.483，与原书单因子列 0.196/0.187/0.153 和 0.196/0.484/0.488 吻合到蒙特卡洛误差量级（剩余差别来自随机数和第一期执行价的细节约定）。黏性 caplet 远贵于棘轮：黏性执行价以"封顶后的利率"为基础，利率持续上升时执行价跟不上，期权深度价内。
• PCA 的第一主成分（水平）解释了 93% 的方差。按 (32.20) 拆分后，每个期限两个分量的平方和恰好还原 \(\Lambda_j\)，即拆分只改变相关结构，不改变总波动率——这正是"普通上限价格与因子数无关"的数学原因。第二个分量从负变正，体现斜率因子：短端和长端在这个因子上反向变动，从而降低了两者的相关性。

要把这段代码升级为多因子，只需把 eps[:, [j]] 换成 \(p\) 维正态向量，把漂移中的 \(\Lambda_i\Lambda_k\) 换成 \(\sum_q\lambda_{i,q}\lambda_{k,q}\)（式 32.16）。读者可以用两因子版本重算棘轮 caplet，验证它比单因子更贵。

本章小结

HJM 框架从零息债的风险中性过程出发，得出瞬时远期利率的漂移必须满足 \(m=s\int_t^Ts\,d\tau\)：风险中性下，远期利率的漂移由波动率唯一确定。一般 HJM 是非马尔可夫的，需要蒙特卡洛；Ho–Lee 和 Hull–White 是可以用重合树实现的特例。LMM 把同样的思想用于可观察的离散远期利率：每个 \(F_k\) 在自己的远期测度下是对数正态鞅，与 Black caplet 公式一致；在滚动远期测度下统一模拟所有远期利率，漂移由 (32.10)/(32.15) 给出。校准时，总波动率 \(\Lambda\) 由上限或互换期权价格确定，因子拆分由历史数据的 PCA 确定。依赖多个远期利率联合分布的产品对因子数敏感。危机后的多曲线框架要求用 OIS 贴现、用 \(F_{OD}\) 作为远期 LIBOR，并把 LIBOR–OIS 利差作为非负变量单独建模。机构 MBS 的提前还款期权使其具有负凸性，通常用蒙特卡洛和 OAS 分析。

练习

基础

1. 解释马尔可夫与非马尔可夫短期利率模型的区别，以及为什么非马尔可夫模型不能用重合树实现（原书习题 32.1）。 提示：非马尔可夫时同一节点的利率值可能对应不同的未来分布，节点无法合并。

2. 在 HJM 中取 \(s(t,T)=\sigma\)，用 (32.5) 求瞬时远期利率漂移，并说明它与 Ho–Lee 模型的关系（原书习题 32.3）。 提示：\(m=\sigma^2(T-t)\)；对 \(F(t,t)=r(t)\) 求微分可得 \(\theta(t)=F_t(0,t)+\sigma^2t\)。

3. 复算例 32.1；若第 4 个 caplet 的 Black 波动率为 19%，\(\Lambda_3\) 是多少？若为 16% 呢？ 提示：\(\Lambda_3^2=4\times0.19^2-3\times0.20^2=0.0244\)，\(\Lambda_3=15.6\%\)；若为 16%，\(\Lambda_3^2=0.1024-0.12<0\)，无解——这正是直接剥离可能失败的例子。

4. 为什么棘轮上限的价值随因子数增加而增加？为什么黏性上限比棘轮上限贵（原书习题 32.6、32.8）？ 提示：因子越多，相邻远期利率相关性越低；黏性的执行价基于封顶后的利率，偏低。

5. 解释 IO 和 PO 对提前还款率的敏感性为何方向相反；利率下降 100bp 时，IO 和 PO 各自的价格怎样变化（原书习题 32.9）。

进阶

6. 证明当 \(\delta_i\to0\) 时 (32.10) 退化为 HJM 的 (32.4)（原书习题 32.7）。 提示：把求和写成黎曼和，\(\delta_iF_i/(1+\delta_iF_i)\to F\,d\tau\)，并注意 \(s(t,T)=\zeta F\) 的对应关系。

7. 推导多因子 HJM 漂移条件 (32.6) 和多因子 LMM 的漂移 (32.15)（原书习题 32.2、32.11）。

8. 用 Itô 引理推导互换利率方差公式 (32.17)（原书习题 32.12、32.13）。 提示：先对 \(\ln s\) 关于 \(\ln(1+\tau_kG_k)\) 求偏导，得到 \(\gamma_k\)。

9. 把本章代码扩展为两因子 LMM（用代码第 3 部分得到的 \(\lambda_{j,q}\)），重算棘轮 caplet，与单因子结果比较；再实现原书的弹性上限（至多 5 个价内 caplet 行权），与原书 3.43/3.58 比较。 提示：弹性上限在每条路径上按时间顺序行权前 5 个价内 caplet。

10. 设计一个简化的 MBS 估值器：用 Hull–White 模型模拟短期利率，提前还款率取 \(\text{CPR}=0.06+0.5\max(c-R_{10},0)\)（\(c\) 为贷款利率，\(R_{10}\) 为模拟的 10 年利率），计算 30 年期过手证券的价格，再迭代求 OAS。 提示：每月现金流 = 计划本息 + 提前还款；OAS 用 brentq 求解。观察利率下降时价格上涨幅度小于不含期权债券（负凸性）。

原书推荐习题：32.1（马尔可夫与非马尔可夫）；32.2、32.11（多因子 HJM 漂移条件与多因子 LMM 漂移）；32.3、32.4（HJM 的两个特例给出 Ho–Lee 和 Hull–White，理解 HJM 与短期利率模型关系的关键）；32.7（\(\delta\to0\) 时 LMM 退化为 HJM）；32.6、32.8（棘轮上限随因子数增值、黏性上限比棘轮上限贵的直观解释）；32.12、32.13（互换利率方差公式的推导）；32.14（从 caplet 波动率剥离 LMM 远期波动率）；32.15（不同定义的弹性上限的定价难点）；32.9、32.10（IO/PO 敏感性，OAS 与收益率的类比）。

原书对照

注：PDF 页码 = 书页码 + 1。