量化交易中文教材

第 33 章 再论互换

互换是场外（OTC）衍生品成功的核心，可以说是金融市场最成功的创新之一。第 7、9 章给普通 LIBOR 换固定利率互换估值时，用的方法可以概括为一句话：

假设远期利率会实现（assume forward rates will be realized）。

具体是两步：(1) 假设未来的 LIBOR 等于由当前市场工具算出的远期利率，据此计算每期的净现金流（注意 OIS 贴现与 LIBOR 贴现下的远期利率不同，见第 9.3 节）；(2) 互换价值等于这些净现金流的现值。

本章讨论的非标准互换可以按"这个方法还能不能用"分成三类：

  1. 可以直接用"远期实现"法估值的：名义本金变化、付款频率不同、浮动参考利率不同、复利互换、大多数货币互换；
  2. 需要对远期利率做第 30 章的凸性、时间或 quanto 调整的：LIBOR 后置互换、CMS/CMT 互换、差额互换；
  3. 含内嵌期权的：计息互换、可取消互换，需要第 29、31、32 章的期权定价方法。

判断标准很简单：支付是否是远期利率的线性函数，支付时点和货币是否与远期利率的"天然"测度匹配。读完本章，你应该能看一份互换确认书就判断它属于哪一类。

白话解释：为什么"线性"这么关键？因为期望可以穿过线性函数：\(\mathbb{E}[a+bR]=a+b\,\mathbb{E}[R]\)。只要支付是 \(a+bR\) 的形式，把 \(R\) 换成它的期望（远期利率）就不会出错。一旦支付是 \(R^2\)、\(\max(R-K,0)\) 或 \(R\) 乘以某个随 \(R\) 变化的贴现因子，期望就穿不过去了，"代入远期"会漏掉一个与波动率相关的项。"天然测度"指的是：远期利率 \(F\) 恰好是"在期末 \(t_{i+1}\) 支付"这种安排下 \(R\) 的期望；支付时点或货币一变，期望就变。

学习目标

  1. 掌握"远期实现 + 贴现"法的适用范围，能对递增/摊还互换、基差互换、复利互换和货币互换估值。
  2. 用凸性调整为 LIBOR 后置互换估值，用凸性 + 时间调整为 CMS 互换估值，用 quanto 调整为差额互换估值。
  3. 理解股权互换为什么在付款日价值为零，会计算付款日之间的价值。
  4. 把计息互换分解为普通互换加一串每日二元期权，把可取消互换分解为普通互换加欧式或百慕大互换期权。
  5. 通过宝洁/信孚银行 5/30 互换理解杠杆化非线性条款的风险。

读前导读

这一章在解决什么问题。 你在 CFA 二级学过利率互换估值：把浮动腿看成"按远期利率计算的现金流"，或者看成一张浮动利率债券（重置日价值回到面值），再把两条腿的现值相减。本章的核心问题是：这个"远期实现"的捷径在什么条件下依然成立，什么时候会算错，算错时该怎么修正。

结论可以压缩成一句话：如果一笔现金流是远期利率的线性函数，并且在"正常"的时点、用"正常"的货币支付，就可以直接把远期利率代进去；否则必须先给远期利率加一个调整量。 支付时点提前了（LIBOR 后置）、支付的是一串年金的平价利率而不是单期利率（CMS）、用一种货币的利率乘另一种货币的本金（差额互换），对应第 30 章的三种调整：凸性、时间、quanto。再往外一层是带期权的互换，那就不是"调整"能解决的了，要把它拆成普通互换加期权，分别定价。

对 CPA/CFA 读者来说，最熟悉的类比是债券的凸性：收益率变动时，价格的变化不是线性的，所以"用平均收益率算出的价格"不等于"价格的平均值"。本章各种调整项本质上都是这个道理在不同支付结构上的体现。

需要先想起来的数学。

  • 期望与非线性函数（詹森不等式）。 若 \(f\) 是凸函数（曲线向上弯），则 \(\mathbb{E}[f(X)]\ge f(\mathbb{E}[X])\)。\(\mathbb{E}\) 表示期望（概率加权平均）。小例子：\(X\) 等可能取 4% 和 6%，\(f(x)=x^2\)，则 \(\mathbb{E}[X^2]=(16+36)/2=26\)（单位：%²），而 \((\mathbb{E}X)^2=25\)。差额 1 就是"凸性调整"的雏形，它与方差成正比。见 第 00 册第 07 章 概率中的分析工具。
  • 导数与二阶导数。 公式 (33.2) 里的 \(G'(y)\) 是债券价格对收益率的一阶导数（就是"美元久期"取负号），\(G''(y)\) 是二阶导数（"美元凸性"）。\(G''/G'\) 越大，说明价格–收益率曲线弯得越厉害，调整量越大。见 第 00 册第 02 章 导数与泰勒展开。
  • 对数正态与 \(N(d_2)\)。 若远期利率 \(F\) 服从对数正态分布、波动率 \(\sigma\)，则到期时利率超过阈值 \(R_K\) 的风险中性概率是 \(N(d_2)\)，和 BSM 公式里的 \(N(d_2)\) 是同一个东西（第 15 章）。\(N(\cdot)\) 是标准正态累积分布函数。
  • 测度（numeraire）的直观意思。 "关于到期 \(t\) 的零息债的远期风险中性世界"是第 28 章的语言：选一个资产当计价单位，在这个世界里某些量的期望恰好等于其远期值。你只需记住：远期利率是它"天然"测度下的期望；换了支付时点或货币，期望就要加调整项。 见 第 00 册第 08 章 读懂数学证明与符号 中关于记号的部分。

怎么读这一章。 33.1–33.3 节是 CFA 知识的直接延伸，读得很快；33.4 节是全章的技术核心，建议对照第 30 章一起读，先抓住三个公式各自"调整的原因"，再看数字例子。33.5 节股权互换的复制论证值得精读，它是理解收益互换盯市的基础。33.6 节的分解思路（互换 = 普通互换 + 期权）是必读，可取消复利互换的树方法第一次可只看结论。33.7 节的宝洁案例与第 36 章呼应，建议结合量化实战中的敏感性图一起读。

33.1 普通互换的变体

以下变体都不改变"远期实现"法的估值逻辑，只改变现金流的计算细节。

名义本金变化。本金按预定方式递增的称为递增互换（step-up swap），递减的称为摊还互换（amortizing swap）。递增互换适合一家要按浮动利率借入逐步增加的资金、又想换成固定利率的建筑公司；摊还互换适合一家有既定还款计划的固定利率借款、又想换成浮动利率的公司。

两边本金、付款频率、计息惯例不同。原书 Business Snapshot 33.1 给了一份假想的确认书：交易日 2013 年 1 月 4 日，起息日 2013 年 1 月 11 日，到期日 2018 年 1 月 11 日，遵循"下一营业日"惯例和美国假日历。固定方 Microsoft：本金 1 亿美元，年利率 6%，Actual/365，每年 1 月 11 日和 7 月 11 日付息。浮动方 Goldman Sachs：本金 1.2 亿美元，1 个月美元 LIBOR，Actual/360，每月付息。这种互换看起来复杂，估值方法却与普通互换一样。

浮动参考利率不是 LIBOR。可以是商业票据（CP）利率、OIS 利率等。基差互换（basis swap） 用一种浮动参考利率交换另一种，例如 3 个月 OIS + 10bp 换 3 个月 LIBOR，本金 1 亿美元。它适合资产和负债依赖不同浮动参考利率的金融机构。估值仍可用"远期实现"法，参考利率的远期值按"使该参考利率的互换价值为零"来计算（与 OIS 贴现下计算远期 LIBOR 的做法类似）。

33.2 复利互换

复利互换（compounding swap） 的利息不在每期支付，而是按某个利率复利滚存到期末一次支付。原书 Business Snapshot 33.2 的例子：浮动利率为 LIBOR + 20bp，不支付，按 LIBOR + 10bp 复利滚存；固定利率 6%，按 6.3% 复利滚存。

估值可以（至少近似地）用"远期实现"法。固定方到期支付的金额是确定的；浮动方之所以能用远期利率，是因为存在一串 FRA，可以把浮动现金流锁定为按远期利率计算的值。（原书脚注，Technical Note 18：若复利利差为零，或复利方式为 \(Q(1+\tau R)(1+\tau s_c)\)，该法精确；若采用更常见的 \(Q[1+\tau(R+s_c)]\)，有一个很小的近似误差。）

例 33.1　3 年期、年度重置的复利互换，付固定、收浮动。固定利率 4%（按 3.9% 复利），浮动为 12 个月 LIBOR（按 LIBOR − 20bp 复利）。LIBOR/互换曲线贴现，曲线平坦于 5%（年复利），本金 1 亿美元。

固定方（单位：百万美元）：

  • 第 1 年末利息 4，复利到第 2 年末 \(4\times1.039=4.156\)，加第 2 年利息，共 8.156；
  • 复利到第 3 年末 \(8.156\times1.039=8.474\)，加第 3 年利息，共 12.474。

浮动方：所有未来利率取远期 5%。

  • 第 1 年利息 5，按 4.8% 复利到第 2 年末 \(5\times1.048=5.24\)，加利息共 10.24；
  • 再复利 \(10.24\times1.048=10.731\)，加最后一期利息共 15.731。

互换价值 \(=(15.731-12.474)/1.05^3=2.814\) 百万美元（忽略计息惯例，并采用上述脚注中的近似）。

推导拆解：这个例子分三步走。第一步，把两条腿都"滚"到第 3 年末：固定腿每年 4，用 3.9% 复利；浮动腿每年按远期 5% 计息，扣 20bp 后用 4.8% 复利。注意浮动腿有两处用了远期：利息本身取 5%，复利率取 \(5\%-0.2\%\)。第二步，到期净额 \(15.731-12.474=3.257\)。第三步，用 5% 贴现 3 年。为什么浮动腿的复利部分也能代入远期？因为"第 1 年末拿到 5，在第 2 年按 LIBOR − 20bp 滚存"这件事今天就能用一份 FRA 锁定：FRA 把第 2 年的借贷利率锁定在远期 5%，复利收益就变成了确定数。能用无成本合约锁定的东西，就能按锁定值估值，这正是无套利定价的基本逻辑。

33.3 货币互换

第 7 章介绍过：货币互换的两个本金分别以两种货币计，在起止时交换本金。

  • 固定换固定：第 7 章 7.6.3 节（原书 7.10 节）已讨论估值；
  • 浮动换浮动：一边是美元 LIBOR（可加利差）乘美元本金，另一边是英镑 LIBOR 乘英镑本金；
  • 交叉货币利率互换：一种货币的浮动利率换另一种货币的固定利率。

后两种用"远期实现"法：每种货币的未来 LIBOR 取当前远期值，确定各货币的现金流，分别用本币零息利率贴现，再按当前即期汇率换算成同一货币。

实务调整：交叉货币基差。理论上，新签的浮动换浮动互换应是两种 LIBOR 直接交换，不加利差。现实中由于宏观因素（美元融资需求等），市场存在利差，称为交叉货币基差。例如所有期限新签的互换都是美元 LIBOR 换日元 LIBOR − 20bp，美国金融机构可能用美元 LIBOR 贴现美元现金流、用日元 LIBOR − 20bp 贴现日元现金流，并在所有涉及日元和美元现金流的互换中统一这样做。原书脚注承认这一调整是 ad hoc 的；但如果不做，每笔按市场价新签的日元/美元浮动换浮动互换都会在估值系统里立刻产生一笔虚假的盈亏。

33.4 需要调整远期利率的互换

以下三种互换中，"远期实现"法不成立，必须假设调整后的远期利率实现。它们分别对应第 30 章的三种调整。

LIBOR 后置互换：凸性调整

普通互换在一个付款日观察的浮动利率，于下一个付款日支付。LIBOR 后置互换（LIBOR-in-arrears swap） 则在付款日支付当天观察的利率。

设重置日 \(t_i\)（\(i=0,\ldots,n\)），\(\tau_i=t_{i+1}-t_i\)，\(R_i\) 为 \(t_i\) 到 \(t_{i+1}\) 的 LIBOR，\(F_i\) 为其远期值，\(\sigma_i\) 为该远期利率的波动率（通常从 caplet 价格隐含）。\(t_i\) 时的浮动支付基于 \(R_i\) 而不是 \(R_{i-1}\)，支付比"正常"时点 \(t_{i+1}\) 提前了一期，按第 30.1 节做凸性调整，假设实现的浮动利率为

\[F_i+\frac{F_i^2\sigma_i^2\tau_it_i}{1+F_i\tau_i}\tag{33.1}\]

推导拆解：这个调整量从哪来，可以按四步理解（详见第 30.1 节）。

  1. 正常互换在 \(t_{i+1}\) 支付 \(\tau_iR_i\)。在以"到期 \(t_{i+1}\) 的零息债"为计价单位的世界里，\(\mathbb{E}[R_i]=F_i\)，这就是"远期实现"成立的原因。
  2. 后置互换在 \(t_i\) 就支付 \(\tau_iR_i\)。把这笔钱存到 \(t_{i+1}\) 会变成 \(\tau_iR_i(1+\tau_iR_i)\)，含有 \(R_i^2\) 项，是 \(R_i\) 的非线性函数。
  3. 换算回"期望利率"：\(\dfrac{\mathbb{E}[R_i(1+\tau_iR_i)]}{1+\tau_iF_i}=\dfrac{F_i+\tau_i\mathbb{E}[R_i^2]}{1+\tau_iF_i}\)，分母是把"存到 \(t_{i+1}\)"折回 \(t_i\) 的平均因子。
  4. 对数正态下 \(\mathbb{E}[R_i^2]=F_i^2e^{\sigma_i^2t_i}\approx F_i^2(1+\sigma_i^2t_i)\)（用了 \(e^x\approx1+x\)，即一阶泰勒展开）。代入化简：\(\dfrac{F_i+\tau_iF_i^2+\tau_iF_i^2\sigma_i^2t_i}{1+\tau_iF_i}=F_i+\dfrac{F_i^2\sigma_i^2\tau_it_i}{1+F_i\tau_i}\)。 调整量与 \(\sigma_i^2t_i\) 成正比，也就是与 \(t_i\) 时利率的方差成正比，这和詹森不等式里"差额正比于方差"完全一致。

例 33.2　本金 1 亿美元，收固定 5%、付 LIBOR，第 1 到 5 年末交换。曲线平坦于 5%（年复利），所有 caplet 波动率 22%。若是普通互换，价值恰为 0。调整后的利率为

\[0.05+\frac{0.05^2\times0.22^2\times1\times t_i}{1.05}=0.05+0.000115t_i\]

即第 1 到 5 年分别为 5.0115%、5.0230%、5.0345%、5.0460%、5.0575%。第一期净流出 \(0.0115\%\times1\) 亿 \(=11{,}500\) 美元，其余类推。价值

\[-\frac{11{,}500}{1.05}-\frac{23{,}000}{1.05^2}-\frac{34{,}500}{1.05^3}-\frac{46{,}000}{1.05^4}-\frac{57{,}500}{1.05^5}=-144{,}514\text{ 美元}\]

（原书把每年的调整四舍五入为 0.000115；不做四舍五入时，\(0.05^2\times0.22^2/1.05=0.00011524\)，价值约为 −144,813 美元。）

直觉：收固定的一方在利率高时要付更多，而后置结构让"利率高"的支付更早到来、贴现更少，所以对付后置 LIBOR 的一方不利。期限越长、波动率越高，差异越大（原书习题 33.11：与不做凸性调整的对手交易会出现套利机会）。

金融直觉：可以和债券的正凸性对照。持有一张有正凸性的债券，利率上下对称波动时，涨的比跌的多，波动本身给你带来价值。后置 LIBOR 的收方也类似：利率高的情形恰好对应"拿到的钱多、且早拿到"的情形，利率低时则拿得少，两者不对称，平均下来收方占便宜。这份便宜由付方承担，所以例 33.2 中付 LIBOR 的一方价值为负。注意原文"收固定的一方在利率高时要付更多"中的"收固定的一方"就是付后置 LIBOR 的一方。

CMS 与 CMT 互换：凸性 + 时间调整

固定期限互换（constant maturity swap，CMS） 的浮动利率等于某个固定期限的互换利率，如每 6 个月按 5 年期互换利率支付。通常有滞后：付款日支付的是上一付款日观察的互换利率。

设重置日 \(t_0,t_1,\ldots\)，付款日 \(t_1,t_2,\ldots\)，本金 \(L\)，\(t_{i+1}\) 的浮动支付为 \(\tau_iLS_i\)（\(S_i\) 为 \(t_i\) 的互换利率）。设 \(y_i\) 为 \(S_i\) 的远期值，估值时假设实现的互换利率为

\[y_i-\frac12y_i^2\sigma_{y,i}^2t_i\frac{G_i''(y_i)}{G_i'(y_i)}-\frac{y_i\tau_iF_i\rho_i\sigma_{y,i}\sigma_{F,i}t_i}{1+F_i\tau_i}\tag{33.2}\]

各符号含义：

  • \(\sigma_{y,i}\)：远期互换利率的波动率（由互换期权隐含）；
  • \(F_i\)：\(t_i\) 到 \(t_{i+1}\) 的当前远期利率，\(\sigma_{F,i}\) 为其波动率（由 caplet 隐含）；
  • \(\rho_i\)：远期互换利率与该远期利率的相关系数（用历史数据估计）；
  • \(G_i(x)\)：\(t_i\) 时票息率为 \(y_i\)、期限和付息频率与 CMS 所参照互换相同的债券的价格–收益率函数。

第一项调整类似例 30.2 的凸性调整（假设互换利率只导致 \(t_i\) 时的一笔支付，而不是一串年金）；第二项类似第 30.2 节的时间调整（支付在 \(t_{i+1}\) 而不是 \(t_i\)）。

例 33.3　6 年期 CMS 互换，收 5 年期互换利率、付固定 5%，本金 1 亿美元，每半年交换（标的 5 年期互换和 CMS 本身都半年付息），付款日金额由上一付款日的互换利率决定。曲线平坦于 5%（半年复利）；5 年期互换期权隐含波动率 15%，6 个月 caplet 波动率 20%，二者相关 0.7。

\(y_i=0.05\)，\(\sigma_{y,i}=0.15\)，\(\tau_i=0.5\)，\(F_i=0.05\)，\(\sigma_{F,i}=0.20\)，\(\rho_i=0.7\)。

\[G_i(x)=\sum_{k=1}^{10}\frac{2.5}{(1+x/2)^k}+\frac{100}{(1+x/2)^{10}}\]

\(G_i'(y_i)=-437.603\)，\(G_i''(y_i)=2261.23\)。凸性调整约 1.453bp/年，时间调整约 −0.256bp/年，总调整为 \(0.0001197t_i\)，即每年 1.197bp。例如 4 年后的 5 年期互换利率应假设为 5.0479%，4.5 年时的净现金流为 \(0.5\times0.000479\times1\) 亿 \(=23{,}940\) 美元。所有净现金流的现值之和即互换价值 159,811 美元（不四舍五入调整系数时约 159,838 美元）。

与例 33.2 比较：CMS 的调整远大于 LIBOR 后置，因为 5 年期债券的凸性 \(G''/G'\) 远大于 6 个月零息债。

推导拆解：把例 33.3 的两个调整量算一遍，就能看出公式 (33.2) 每一项的作用。

  • 凸性项：\(\tfrac12y^2\sigma_y^2\cdot\left(-G''/G'\right)=\tfrac12\times0.05^2\times0.15^2\times\dfrac{2261.23}{437.603}=0.5\times0.0025\times0.0225\times5.167\approx0.0001453\)，即每年 1.453bp。公式里写的是"减去 \(\tfrac12y^2\sigma^2t\,G''/G'\)"，由于 \(G'<0\)（收益率涨、价格跌），减去一个负数等于加，所以凸性调整是正的。
  • 时间项：\(\dfrac{y\tau F\rho\sigma_y\sigma_F}{1+F\tau}=\dfrac{0.05\times0.5\times0.05\times0.7\times0.15\times0.20}{1.025}\approx0.0000256\)，即每年 0.256bp，取负号。
  • 合计 \(1.453-0.256=1.197\)bp/年，乘以 \(t_i\) 得到每个观察日的调整。 这里 \(G'\) 和 \(G''\) 就是你熟悉的"美元久期"和"美元凸性"（相差一个负号和面值比例）：\(-G'/100\approx4.38\) 正是 5 年期平价债券的修正久期。\(-G''/G'\) 可以理解为"单位久期上的凸性"，5 年期债券比 6 个月零息债大得多，所以 CMS 的调整远大于 LIBOR 后置。

CMT 互换（constant maturity Treasury swap）：浮动利率为指定期限的国债收益率，分析与 CMS 相同，\(S_i\) 取该期限国债的平价收益率。

差额互换：quanto 调整

差额互换（differential swap，diff swap）：用一种货币观察的浮动利率作用于另一种货币的本金。设货币 Y 中 \(t_i\) 到 \(t_{i+1}\) 的 LIBOR 作用于货币 X 的本金，在 \(t_{i+1}\) 支付。\(V_i\) 为货币 Y 中该期的远期利率，\(W_i\) 为到期 \(t_{i+1}\) 的远期汇率（每单位 X 兑多少 Y）。

  • 若作用于 Y 货币本金，正常假设 LIBOR 等于 \(V_i\)；
  • 作用于 X 货币本金，需要第 30.3 节的 quanto 调整，假设 LIBOR 为
\[V_i+V_i\rho_i\sigma_{W,i}\sigma_{V,i}t_i\tag{33.3}\]

金融直觉：quanto 调整的符号由相关系数决定。本例中 \(W\) 是"每单位英镑兑多少美元"。先看"正常"安排：美元 LIBOR 乘美元本金、以美元支付，这时期望就是远期 \(V\)。若 \(\rho>0\)，美元利率高的情形恰好是 \(W\) 高、即美元相对英镑走弱的情形，一个英国投资者拿到的这笔美元换回英镑时会被汇率打折，而且恰好在支付最多时打折最多。差额互换改为英镑本金、英镑支付，就没有这种"利率高时被汇率打折"的效应，所以站在英镑世界里，美元 LIBOR 的期望比 \(V\) 高出 \(V\rho\sigma_W\sigma_Vt\)。相关为负时调整为负。这和第 17 章、第 30.3 节 quanto 期权的道理一样：支付货币与标的计价货币不同，就要为二者的协动付费或收费。

例 33.4　3 年期差额互换，年付，收美元 12 个月 LIBOR、付英镑 12 个月 LIBOR，都作用于 1,000 万英镑本金。两边的曲线都平坦于 5%，美国 1 年期远期利率的波动率 20%，美元/英镑远期汇率（每英镑兑美元数）的波动率 12%，二者相关 0.4。

英镑 LIBOR 作用于英镑本金，不需调整；美元 LIBOR 作用于英镑本金，需 quanto 调整：

\[0.05+0.05\times0.4\times0.12\times0.2\times t_i=0.05+0.00048t_i\]

第 1、2、3 年的利率分别在 \(t_i=0,1,2\) 观察，净现金流（收方）为 0、4,800、9,600 英镑，价值

\[\frac{0}{1.05}+\frac{4{,}800}{1.05^2}+\frac{9{,}600}{1.05^3}=12{,}647\text{ 英镑}\]

（说明：精读笔记记载原书把两条曲线的复利方式写作半年复利，但原书的贴现计算用的是 \(1.05^n\) 的年复利因子。本书保留原书数值 12,647 英镑；若严格按 5% 半年复利贴现，约为 12,627 英镑，结论不变。）

33.5 股权互换

股权互换（equity swap）：一方支付股指收益（作用于名义本金），另一方支付固定或浮动收益。基金经理可以借此增加或减少指数敞口而不必买卖股票。股权互换本质上是把一串指数远期打包在一起的便捷方式。股指通常是全收益指数（total return index），即股息再投资的指数。

原书 Business Snapshot 33.3：S&P 500 全收益指数的 6 个月收益换 6 个月美元 LIBOR，两边本金都是 1 亿美元，每 6 个月付款。股权一方的支付为 \(100(I_1-I_0)/I_0\)（百万美元），\(I_0\) 为上一付款日的指数。

估值。在 LIBOR 贴现下，股权换浮动的互换起始价值为零。理由是可以无成本复制一方现金流：金融机构在每个付款日以 LIBOR 借入本金，投资于指数直到下一付款日（股息再投资），到期卖出指数、还本付息——它收到的正是指数收益，付出的正是 LIBOR。同理，每个付款日刚过后互换价值也为零。

付款日之间：LIBOR 一方的现金流在上次重置时已经确定，容易估值；股权一方下一笔现金流的价值为 \(LE/E_0\)（\(L\) 为本金，\(E\) 为当前指数，\(E_0\) 为上一付款日指数）减去本金的现值部分，即对收股权、付 LIBOR 的一方，互换价值为

\[\frac{LE}{E_0}-L(1+\tau R_0)P(t,t_{next})\]

其中 \(R_0\) 是上次重置的 LIBOR，\(t_{next}\) 是下一付款日。若改用 OIS 贴现，起始价值不再严格为零（原书习题 33.13）。

推导拆解：这个公式用了"两边同时加本金"的老技巧（与第 7 章把浮动腿看成浮动利率债券的做法相同）。在下一付款日，两边各加一笔 \(L\)，净额不变：

  • 股权腿变成 \(L(I_1-I_0)/I_0+L=L\,I_1/I_0\)。今天花 \(LE/E_0\) 买入 \(L/E_0\) 份全收益指数，到下一付款日正好值 \(L\,I_1/I_0\)（股息已再投资，无需额外现金流），所以股权腿今天值 \(LE/E_0\)。
  • LIBOR 腿变成 \(L(1+\tau R_0)\)，金额今天已知，现值为 \(L(1+\tau R_0)P(t,t_{next})\)，其中 \(P(t,t_{next})\) 是到 \(t_{next}\) 的贴现因子。 两者相减即得。付款日刚过时 \(E=E_0\)、\(P(t,t_{next})(1+\tau R_0)=1\)（LIBOR 贴现下），价值归零，与上一段的复制论证一致。

33.6 含内嵌期权的互换

计息互换

计息互换（accrual swap）：一方的利息只在浮动参考利率处于某个区间时才累计。区间可以固定，也可以定期重置。

例：每季度用固定利率 \(Q\) 换 3 个月 LIBOR，本金 \(L\)，但固定利率只在 3 个月 LIBOR 低于 8% 的日子累计。普通互换中，固定方每期支付 \(QLn_1/n_2\)（\(n_1\) 为上一季度的天数，\(n_2\) 为一年的天数，actual/actual）；计息互换中改为 \(QLn_3/n_2\)，\(n_3\) 为上一季度中 LIBOR 低于 8% 的天数（假日按前一营业日的利率）。

于是固定方在 LIBOR 高于 8% 的每一天省下 \(QL/n_2\)。固定方的头寸 = 普通互换 + 每天一个二元期权，每个二元期权在当天 LIBOR 高于 8% 时支付 \(QL/n_2\)。

白话解释：二元期权（binary/digital option）就是"条件满足就付一笔固定金额，否则什么都不付"的期权。它的价值 = 支付金额 × 贴现因子 × 条件成立的风险中性概率。所以下面的公式 \(\frac{QL}{n_2}P(0,s_i)N(d_2^*)\) 正好是这三项相乘：\(QL/n_2\) 是每天省下的固定利息，\(P(0,s_i)\) 把它从付款日贴现到今天，\(N(d_2^*)\) 是那天 LIBOR 高于 8% 的概率。一年约 250 个营业日，一笔 5 年期计息互换就内嵌上千个二元期权，这也是量化实战中提到"阈值附近 gamma 集中"的原因：每个二元期权在阈值附近价值变化都很陡。

一般化：阈值 \(R_K\)，每 \(\tau\) 年交换一次；第 \(i\) 天距今 \(t_i\) 年，当天的 \(\tau\) 期 LIBOR 为 \(R_i\)，\(R_i<R_K\) 时累计；\(F_i\) 为 \(R_i\) 的远期值，\(\sigma_i\) 为其波动率（由 caplet 即期波动率估计）。在对数正态假设下，在关于到期 \(t_i+\tau\) 零息债的远期风险中性世界中

\[P(R_i>R_K)=N(d_2),\qquad d_2=\frac{\ln(F_i/R_K)-\sigma_i^2t_i/2}{\sigma_i\sqrt{t_i}}\]

二元期权的支付发生在第 \(i\) 天之后的互换付款日 \(s_i\)。在关于到期 \(s_i\) 零息债的远期风险中性世界中，概率为 \(N(d_2^*)\)，\(d_2^*\) 是对 \(F_i\) 做一个小的时间调整（反映 \(t_i+\tau\) 与 \(s_i\) 的差异）后的 \(d_2\)。第 \(i\) 天二元期权的价值为

\[\frac{QL}{n_2}P(0,s_i)N(d_2^*)\]

对互换存续期内的每一天求和。时间调整很小，实践中常被忽略。

可取消互换

可取消互换（cancelable swap）：普通互换，但一方可以在一个或多个付款日终止。终止等于进入一个反向互换，所以：

  • 若 Microsoft 有取消权：普通互换 + 多头"进入反向互换的期权"；
  • 若 Goldman Sachs 有取消权：普通互换 + 空头期权。

只有一个终止日时，期权是欧式互换期权；有多个终止日时，是百慕大互换期权。

金融直觉：这和 CFA 里可赎回债券的分解完全同构：可赎回债券 = 普通债券 − 发行人持有的看涨期权。可取消互换的取消权同样是一份期权，谁持有它，谁的头寸就是"普通互换 + 多头期权"，对手方则是"普通互换 + 空头期权"。收固定的一方持有取消权，相当于持有"在利率上升时退出收固定头寸"的权利，即一份付固定的互换期权（payer swaption）。

例一：10 年期互换，Microsoft 收 6%、付 LIBOR，可在第 6 年末终止。等于 10 年期普通互换 + 多头 6×4 欧式互换期权（进入付 6%、收 LIBOR 的 4 年期互换），用第 29 章的标准市场模型估值。

例二：Microsoft 签 5 年期、半年付的互换，收 6%、付 LIBOR，对手方可以在第 2 到 5 年的任一付款日终止。等于普通互换 + 空头百慕大互换期权（进入 5 年到期、收 6% 付 LIBOR 的互换的期权，第 2 到 5 年的任一付款日可行权），用第 31、32 章的方法估值。

可取消复利互换

终止时，浮动方支付截至终止日的浮动复利值，固定方支付固定复利值。原书给出的技巧：

  1. 浮动为 LIBOR、按 LIBOR 复利、LIBOR 贴现：假设两边到期时都支付本金（类似表 7.1 到表 7.2 的处理），这不改变价值，却使浮动方在每个付款日的价值恒等于名义本金。于是取消决策只取决于固定方：用第 31 章的利率树回滚固定方价值，在每个可取消节点比较"继续"和"取消"（取消相当于把固定方价值设为面值）。付固定、收浮动时，目标是最小化固定方价值；收固定、付浮动时，最大化固定方价值。
  2. 浮动为 LIBOR + 利差、按 LIBOR 复利：把利差现金流从固定方中减去，而不是加到浮动方，然后同上。
  3. 按 LIBOR + 利差复利时的近似：(i) 假设远期实现，计算各取消日浮动方的价值；(ii) 假设浮动为 LIBOR 且按 LIBOR 复利，计算各取消日浮动方的价值；(iii) 二者之差定义为该取消日的"利差价值"；(iv) 按上法处理期权，判断是否取消时从固定方价值中减去利差价值。（原书脚注：这不完全精确，因为它假设取消决策不受未来按非 LIBOR 利率复利的影响。）

OIS 贴现时，若假设 OIS–LIBOR 利差等于远期利差，可以用类似的方法。

33.7 其他互换

指数摊还利率互换（index amortizing rate swap，又称 indexed principal swap）。1990 年代中期在美国流行。本金减少的速度取决于利率水平：利率越低，本金减少越多。固定方最初被设计为近似复制机构 MBS 在考虑提前还款期权之后的收益（第 32.4 节），所以这种互换相当于用 MBS 收益换浮动收益。

商品互换。每年消耗 10 万桶油的公司约定 10 年内每年支付 800 万美元，收取 \(100{,}000S\)（\(S\) 为当时的油价），等于把油价锁定在 80 美元/桶；产油商可以做反向交易。详见第 34 章。

书中其他章节讨论的互换：资产互换（第 24 章）、总收益互换与各类 CDS（第 25 章）、波动率互换与方差互换（第 26b 章）。

怪异交易：宝洁与信孚银行的 5/30 互换

Business Snapshot 33.4　1993 年 11 月 2 日，宝洁（P&G）与信孚银行（Bankers Trust，BT）签订一笔 5 年期、半年付、本金 2 亿美元的互换。BT 付给 P&G 5.30%；P&G 付给 BT"30 天 CP 利率的日均值 − 75bp + 利差"。首个付款日（1994 年 5 月 2 日）的利差为 0，其余 9 期的利差为

\[\max\left[0,\ \frac{98.5\times\dfrac{\text{5 年期 CMT\%}}{5.78\%}-\text{30 年期国债价格}}{100}\right]\]

其中 5 年期 CMT 是美联储公布的 5 年期国债收益率；30 年期国债价格是 2023 年 8 月到期、票息 6.25% 的国债的买卖中间现金价格。注意利差是小数形式的利率，不是基点：若公式结果为 0.1、CP 利率为 6%，P&G 要支付 \(6\%-0.75\%+10\%=15.25\%\)。

P&G 原本预期利差为 0，从而把 5.30% 的固定融资换成 CP − 75bp，一年省下几十个基点。签约时公式中的两项大致相抵。但这个公式对利率上升极度敏感：5 年期收益率上升使第一项放大（乘数 \(98.5/5.78\approx17\)），30 年期利率上升使债券价格下跌，两者叠加。1994 年初美联储开始加息，利率急升、债券价格下跌，这笔互换的代价变得极高（原书习题 33.10），后来引发诉讼。本章量化实战的代码会画出这个利差对两个市场变量的敏感性。它是第 36 章"不要做你不理解的交易"的典型案例。

推导拆解：用偏导数衡量这个利差的杠杆有多大。记利差 \(s=\max\left[0,\ (98.5\,c/5.78-P)/100\right]\)，\(c\) 是以百分点计的 5 年期 CMT，\(P\) 是 30 年期国债价格。在 \(s>0\) 的区域：

  • 对 \(c\) 求偏导：\(\partial s/\partial c=98.5/(5.78\times100)\approx0.17\)。5 年期收益率每上升 1 个百分点，利差上升约 17 个百分点，也就是 P&G 的融资成本每年多付约 17%。
  • 对 \(P\) 求偏导：\(\partial s/\partial P=-1/100\)。30 年期国债久期约 12–13 年，收益率上升 1 个百分点，价格约跌 12 点，利差再上升约 12 个百分点。 两项同向叠加，相当于一份杠杆极高的"利率上升看跌头寸"。\(\max[0,\cdot]\) 又让它像 P&G 卖出的一份看跌期权：利率不动时只赚几十个基点，利率大涨时亏损几乎无上限。这正是"卖出虚值期权、赚小钱、担大风险"的结构。

33.8 小结与常见误区

许多互换可以用"(a) 假设 LIBOR（或其他浮动参考利率）等于其远期值，(b) 贴现现金流"估值：普通利率互换、大多数货币互换、本金按预定方式变化的互换、两边付款日不同的互换、复利互换。另一些需要对远期利率做凸性、时间或 quanto 调整：LIBOR 后置互换、CMS/CMT 互换、差额互换。股权互换交换股指收益与固定或浮动利率，付款日刚过时价值为零，付款日之间可以不为零。含内嵌期权的互换：计息互换 = 普通互换 + 大量二元期权（每天一个）；可取消互换 = 普通互换 + 欧式或百慕大互换期权。

常见误区：

  1. 浮动利率"乘以 2"、平方等非线性支付不能直接用"远期实现"法（原书习题 33.2）。
  2. 交叉货币基差若不在贴现中反映，新交易会出现虚假的即时盈亏。
  3. 与不做凸性调整的对手交易 LIBOR 后置互换时，期限越长、付款频率越低，定价差异越大（原书习题 33.11）。

量化实战

本章内容在量化交易中的用途

定价与系统实现。互换定价引擎需要支持变本金、不同付款频率与计息惯例、多曲线、交叉货币基差和 CMS 凸性调整。CMS 和 CMT 产品的估值精度直接依赖第 30 章的公式和互换期权波动率曲面；交易台常用一串互换期权静态复制 CMS 支付，代替一阶近似。

执行与组合管理。股权互换和总收益互换是机构获取或对冲指数敞口、实现跨境 Delta One 策略的常用工具（国内对应券商的收益互换等场外衍生品）。它们的估值逻辑——复制论证 + 付款日价值归零——可以直接用于对账、保证金计算和盯市。

风险管理。计息互换本质上是大量数字期权，在阈值附近有集中的 gamma 和"钉住"风险，对冲成本可能远高于模型价格所反映的。可取消互换内嵌百慕大期权，需要多因子模型和合适的校准。P&G 案例是模型风险和合约杠杆的经典教学材料。

对股票因子研究和回测：基本无直接关联。

Python 示例：非标准互换的调整与分解

程序依次完成：

  1. 例 33.2 的 LIBOR 后置互换，并用测度变换的蒙特卡洛检验 (33.1)；
  2. 例 33.3 的 CMS 互换，数值求 \(G'\)、\(G''\)，分解凸性调整与时间调整；
  3. 例 33.4 的差额互换；
  4. 一个计息互换的二元期权分解（参数为本书假设，用来演示方法）；
  5. P&G 5/30 互换利差公式对两个市场变量的敏感性网格（数值为假设情景，不是 1994 年的实际市场数据）。
import numpy as np
import pandas as pd
from scipy.stats import norm

# ---------- 1. LIBOR 后置互换（例 33.2）：解析调整 vs 蒙特卡洛 ----------
L, F, sig, tau = 1e8, 0.05, 0.22, 1.0
t = np.arange(1, 6)                                  # 观察并支付于 t=1..5
adj = F**2*sig**2*tau*t/(1+F*tau)                    # 式 (33.1)
print("调整后利率(%):", np.round(100*(F+adj), 4))
print("互换价值(收固定5%, 付后置LIBOR):", round(-(adj*L/1.05**t).sum()))
# 蒙特卡洛：在 t_i+1 远期测度下 R 为对数正态鞅，换到 t_i 远期测度要乘 (1+tau R)/(1+tau F)
rng = np.random.default_rng(0)
Z = rng.standard_normal(1_000_000)
for ti in [1, 5]:
    R = F*np.exp(-0.5*sig**2*ti + sig*np.sqrt(ti)*Z)
    exact = (F + tau*F**2*np.exp(sig**2*ti))/(1+tau*F)
    print(f"  t={ti}: E_t[R] 蒙特卡洛={np.mean(R*(1+tau*R))/(1+tau*F):.6f}  精确={exact:.6f}  一阶公式={F+adj[ti-1]:.6f}")

# ---------- 2. CMS 互换（例 33.3）----------
y, sy, tau, Fi, sF, rho = 0.05, 0.15, 0.5, 0.05, 0.20, 0.7
G = lambda x: sum(2.5/(1+x/2)**i for i in range(1, 11)) + 100/(1+x/2)**10
h = 1e-5
G1 = (G(y+h)-G(y-h))/(2*h); G2 = (G(y+h)-2*G(y)+G(y-h))/h**2
conv = -0.5*y**2*sy**2*G2/G1                         # 凸性调整（每年）
timing = -y*tau*Fi*rho*sy*sF/(1+Fi*tau)              # 时间调整（每年）
print(f"\nCMS: G'={G1:.3f} G''={G2:.2f}  凸性={conv*1e4:.3f}bp/年  时间={timing*1e4:.3f}bp/年")
ti = np.arange(12)*0.5                               # 重置日 0,0.5,...,5.5；支付日晚半年
cf = 0.5*(conv+timing)*ti*1e8
print("CMS 互换价值:", round((cf/1.025**(2*(ti+0.5))).sum()))

# ---------- 3. 差额互换（例 33.4）----------
t = np.array([0, 1, 2]); adj = 0.05*0.4*0.12*0.20*t
print("\n差额互换净现金流(英镑):", adj*1e7, " 价值:", round((adj*1e7/1.05**(t+1)).sum()))

# ---------- 4. 计息互换 = 普通互换 + 每日二元期权 ----------
# 假设：1 年期，季度付固定 Q=6%，仅在 3M LIBOR < 8% 的日子累计；本金 1 亿
# 远期 LIBOR 平坦 7%，caplet 波动率 20%，OIS/LIBOR 贴现平坦 7% 连续复利；忽略时间调整
Q, Lp, RK, Fwd, vol, r = 0.06, 1e8, 0.08, 0.07, 0.20, 0.07
days = np.arange(1, 366); ti = days/365
si = np.ceil(ti*4)/4                                 # 该天所属季度的付款日
d2 = (np.log(Fwd/RK) - vol**2*ti/2)/(vol*np.sqrt(ti))
binary = Q*Lp/365*np.exp(-r*si)*norm.cdf(d2)         # LIBOR>8% 时固定方省下的利息
print(f"\n计息互换: 固定方节省(二元期权组合)价值 = {binary.sum():,.0f}")
print(f"          普通互换固定腿全年现值      = {(Q*Lp/365*np.exp(-r*si)).sum():,.0f}")

# ---------- 5. P&G 5/30 互换的利差公式：对两个市场变量的敏感性 ----------
cmt = np.array([5.0, 5.5, 6.0, 6.5, 7.0])            # 5 年期 CMT（%）
price = np.array([105, 100, 95, 90, 85])             # 30 年国债价格
grid = pd.DataFrame([[max(0, (98.5*c/5.78 - p)/100)*100 for p in price] for c in cmt],
                    index=[f"CMT {c}%" for c in cmt], columns=[f"价格{p}" for p in price])
print("\nP&G 利差（%，加在 CP-75bp 之上）:\n", grid.round(2))

关键输出：

调整后利率(%): [5.0115 5.023  5.0346 5.0461 5.0576]
互换价值(收固定5%, 付后置LIBOR): -144813
  t=1: E_t[R] 蒙特卡洛=0.050131  精确=0.050118  一阶公式=0.050115
  t=5: E_t[R] 蒙特卡洛=0.050686  精确=0.050652  一阶公式=0.050576

CMS: G'=-437.603 G''=2261.23  凸性=1.453bp/年  时间=-0.256bp/年
CMS 互换价值: 159838

差额互换净现金流(英镑): [   0. 4800. 9600.]  价值: 12647

计息互换: 固定方节省(二元期权组合)价值 = 771,006
          普通互换固定腿全年现值      = 5,743,848

P&G 利差（%，加在 CP-75bp 之上）:
           价格105  价格100   价格95   价格90   价格85
CMT 5.0%   0.00   0.00   0.00   0.00   0.21
CMT 5.5%   0.00   0.00   0.00   3.73   8.73
CMT 6.0%   0.00   2.25   7.25  12.25  17.25
CMT 6.5%   5.77  10.77  15.77  20.77  25.77
CMT 7.0%  14.29  19.29  24.29  29.29  34.29

读法：

  • LIBOR 后置：一阶公式在 5 年时比精确值少约 0.8bp，对例 33.2 这样的短期互换完全够用；蒙特卡洛与精确值在误差范围内一致。
  • CMS：凸性调整（+1.45bp/年）是主项，时间调整（−0.26bp/年）因为互换利率与 6 个月利率正相关而为负，部分抵消。
  • 计息互换：在"远期 7%、阈值 8%、波动率 20%"的假设下，固定方因阈值条款节省的利息价值约 77 万美元，占固定腿现值的 13%。注意每个二元期权在阈值附近的 delta 很大，这部分价值的对冲远比普通互换困难。
  • P&G 利差：在网格的左上角利差为 0，P&G 如愿省钱；但只要 5 年期收益率升到 6.5%、30 年期国债价格跌到 90 附近，利差就达到 20% 以上——一个 2 亿美元本金的融资互换，每年要额外支付约 4,000 万美元。条款中的乘数（约 17 倍）和两个变量同向叠加，使损失对利率上升呈杠杆化放大。这就是为什么风险管理要求对所有非线性条款做系统的情景网格，而不是只看"当前市场下的预期节省"。

本章小结

"假设远期实现 + 贴现"是互换估值的基本方法，它要求支付是远期利率的线性函数，且支付时点、货币与远期利率的测度匹配。复利互换、基差互换、货币互换、变本金互换都满足这一点。支付时点提前（LIBOR 后置）需要凸性调整；支付依赖长期互换利率（CMS/CMT）需要凸性加时间调整；利率作用于另一种货币的本金（差额互换）需要 quanto 调整。股权互换可以用"借钱买指数"无成本复制，因此付款日价值为零。含期权的互换应先分解：计息互换是普通互换加一串每日二元期权，可取消互换是普通互换加欧式或百慕大互换期权，可取消复利互换可以用"两端加本金"的技巧只对固定方回滚。P&G/BT 的 5/30 互换展示了杠杆化非线性条款的巨大风险。

互换类型 估值方法 关键公式
普通、复利、基差、货币互换 远期实现 + 贴现 —
LIBOR 后置 凸性调整 \(F_i+\dfrac{F_i^2\sigma_i^2\tau_it_i}{1+F_i\tau_i}\)
CMS / CMT 凸性 + 时间调整 \(y_i-\tfrac12y_i^2\sigma_{y,i}^2t_i\dfrac{G_i''}{G_i'}-\dfrac{y_i\tau_iF_i\rho_i\sigma_{y,i}\sigma_{F,i}t_i}{1+F_i\tau_i}\)
差额互换 quanto 调整 \(V_i+V_i\rho_i\sigma_{W,i}\sigma_{V,i}t_i\)
股权互换 复制论证 付款日价值为 0，期间股权腿价值 \(LE/E_0\)
计息互换 互换 + 每日二元期权 第 \(i\) 天：\(\frac{QL}{n_2}P(0,s_i)N(d_2^*)\)
可取消互换 互换 + 欧式/百慕大互换期权 第 29、31、32 章方法

练习

基础

  1. 判断下列互换能否直接用"远期实现"法：(a) 本金每年减少 10% 的利率互换；(b) 浮动方支付 2 × LIBOR − 5%（下限为 0）；(c) 3 个月 CP 换 3 个月 LIBOR；(d) 浮动方支付 LIBOR 的平方（原书习题 33.2、33.7）。 提示：(a)(c) 可以；(b) 含下限，是期权；(d) 非线性，需要凸性处理。

  2. 复算例 33.1，并把固定方的复利利率改为 4%、浮动方改为按 LIBOR 复利，重新估值（原书习题 33.3、33.4）。 提示：按 LIBOR 复利的 LIBOR 与普通 LIBOR 等价，浮动腿价值等于本金减去到期本金现值。

  3. 例 33.2 中若 caplet 波动率为 30%，互换价值变为多少？ 提示：调整与 \(\sigma^2\) 成正比，约为 \(-144{,}813\times(30/22)^2\approx-269{,}000\) 美元。

  4. 一个 2 年期股权互换，收 S&P 500 全收益、付 6 个月 LIBOR，本金 1 亿美元。上一付款日指数为 2000，LIBOR 重置为 4%；3 个月后指数为 2060，3 个月期贴现率 4%（连续复利）。求互换价值。 提示：\(100\times2060/2000-100\times(1+0.5\times0.04)e^{-0.04\times0.25}=103-100.985=2.015\) 百万美元。

  5. 说明为什么 Microsoft 拥有取消权的互换等于"普通互换 + 多头互换期权"，并写出例一中互换期权的类型（付固定还是收固定）。

进阶

  1. 在 CMS 例 33.3 中，若相关系数从 0.7 变为 0，互换价值变为多少？若 5 年期互换期权隐含波动率升至 25% 呢？用本章代码验证（原书习题 33.6）。 提示：相关为 0 时时间调整消失，总调整变为 1.453bp/年；凸性项与 \(\sigma_y^2\) 成正比。

  2. 解释为什么与不做凸性调整的对手交易 LIBOR 后置互换会产生套利机会；期限从 5 年延长到 10 年、付款从年付改为季付，套利空间怎样变化（原书习题 33.11）？

  3. 把计息互换推广到双边区间：只有当 LIBOR 在 \([R_1,R_2]\) 内时才累计。写出分解和定价公式，修改代码计算 \(R_1=5\%\)、\(R_2=8\%\) 的情形（原书习题 33.8）。 提示：节省部分是两组二元期权：\(R<R_1\) 与 \(R>R_2\)。

  4. 用第 31 章的 Hull–White 三叉树（可直接复用第 31 章量化实战中的 hw_tree 函数）为例二中的可取消互换（对手方可在第 2 到 5 年任一付款日终止）定价，假设平坦 6% 曲线、\(a=0.1\)、\(\sigma=0.01\)（原书习题 33.12）。 提示：在树上回滚"收 6% 付 LIBOR"的互换价值，每个可取消付款日对手方取 \(\min(V,0)\)。

  5. 对 P&G 5/30 互换，假设某个重置日的 5 年期 CMT 为 6.7%、30 年期国债价格为 87（假设数据；原书习题 33.10 给出了实际重置日的数据，请用它重算），计算利差，并估计该期 P&G 的额外支付金额。 提示：\((98.5\times6.7/5.78-87)/100=0.272\)，即约 27.2%；本金 2 亿美元、半年期，额外支付约 \(2\times0.272/2=0.272\) 亿美元，即约 2,700 万美元。

原书推荐习题：33.2、33.7（判断何时"远期实现"法成立：线性性与测度匹配）；33.3、33.4（复利互换数值计算，33.4 揭示"按 LIBOR 复利的 LIBOR"与普通 LIBOR 的等价关系）；33.6、33.11（CMS 与 LIBOR 后置的凸性调整计算，以及与"不懂调整"对手的套利思路）；33.9（差额互换估值）；33.8（计息互换推广到双边区间）；33.10（P&G 5/30 互换的利差计算）；33.12（单边、双边取消权的可取消互换估值）；33.5、33.13（货币互换的贴现调整、OIS 贴现下股权互换的初始价值）。

原书对照

本章小节 原书章节 PDF 页码
章首导言 Chapter 33 introduction p.783
33.1 普通互换的变体（Business Snapshot 33.1） 33.1 Variations on the Vanilla Deal p.783–784
33.2 复利互换（例 33.1，Business Snapshot 33.2） 33.2 Compounding Swaps p.784–786
33.3 货币互换 33.3 Currency Swaps p.786–787
33.4 更复杂的互换（例 33.2–33.4） 33.4 More Complex Swaps p.786–790
33.5 股权互换（Business Snapshot 33.3） 33.5 Equity Swaps p.789–791
33.6 含内嵌期权的互换 33.6 Swaps with Embedded Options p.791–793
33.7 其他互换（Business Snapshot 33.4） 33.7 Other Swaps p.793–795
小结、延伸阅读、习题 Summary, Further Reading, Practice Questions 33.1–33.13 p.795–797

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