第 30 章 凸性、时间与 Quanto 调整

前面几章给欧式衍生品定价时，反复用到一个看似理所当然的做法，原书称为两步法（two-step procedure）：

1. 假设每个标的变量的期望值等于它的远期值（forward value），据此算出期望支付；
2. 用从估值日到支付日的无风险利率把期望支付贴现回来。

远期利率协议（FRA，第 4 章）、普通利率互换（第 7 章）、Black 模型（第 18、29 章）、第 29 章的债券期权、利率上限和互换期权模型，都是这个两步法的具体应用。

问题是，两步法并不总是对的。它成立的前提是："期望"所用的测度、支付发生的时点、支付使用的货币、远期值的定义四者恰好匹配。只要其中一项错位，第一步中的"远期值"就要修正。本章讨论三种最常见的错位及对应修正：

• 凸性调整（convexity adjustment）：支付依赖某个债券收益率（或互换利率），而收益率与价格之间是非线性的；
• 时间调整（timing adjustment）：变量在 \(T\) 时观察，却在更晚的 \(T^*\) 支付；
• Quanto 调整（quanto adjustment）：变量用一种货币计量，支付却用另一种货币。

三种调整背后是同一个工具：第 28 章的换计价单位（change of numeraire）。读完本章，你应当能把"远期值是否需要调整"转化为一个机械的问题：支付在哪个计价单位下是鞅？换到需要的计价单位，漂移改变多少？

学习目标

1. 说明两步法成立的条件，判断给定支付是否需要凸性、时间或 quanto 调整。
2. 从价格–收益率函数的二阶 Taylor 展开推导凸性调整公式 (30.1)，并用它处理 LIBOR 后置支付和互换利率支付。
3. 用计价单位比率的波动率推导时间调整公式 (30.4)。
4. 推导远期测度和传统风险中性测度下的 quanto 调整 (30.6)、(30.7)，并能用它解释 Siegel 悖论。
5. 会用蒙特卡洛模拟检验测度变换后的期望值，理解近似公式在长期限下的误差来源。

读前导读

这一章在解决什么问题

你在 CFA 里给 FRA、利率互换估值时，用的方法就是本章开头的"两步法"：把未来的浮动利率假设为远期利率，算出现金流，再用收益率曲线贴现。这在标准产品上是精确的。本章讲的是：产品条款稍有"不标准"，这个做法就会产生系统性偏差，偏差需要一个调整项来修正。

三种不标准分别是：

• 凸性调整：支付的是"收益率"而不是"价格"。你熟悉债券的凸性：收益率等幅上下波动时，价格涨得多、跌得少。反过来，价格等幅波动时，收益率是"跌得少、涨得多"。所以价格的平均值等于远期价格，收益率的平均值就会高于远期收益率。
• 时间调整：利率或其他变量在 \(T\) 观察，但钱在 \(T^*\) 才付（或者反过来，本该 \(T^*\) 付的钱提前到 \(T\) 付）。如果变量和利率相关，晚付的那笔钱贴现时会和变量本身"纠缠"，需要修正。
• Quanto 调整：标的用日元计价，但按固定汇率用美元结算。指数涨的时候汇率往哪边走，会影响美元投资者眼中的"公平远期价格"。

三种调整都是同一个公式 \(\alpha_V=\rho\sigma_V\sigma_W\) 的应用：从一种记账方式换到另一种记账方式，变量的期望增长率增加"变量与两种记账单位比率之间的协方差"。这是第 28.8 节的结论，本章把它用在三种具体场景上。

需要先想起来的数学

1. 二阶泰勒展开。 \(G(y)\approx G(y_0)+G'(y_0)(y-y_0)+\tfrac12G''(y_0)(y-y_0)^2\)。用在债券上就是"价格变化 ≈ −久期项 + 凸性项"，你在 CFA 里见过。本章的 (30.1) 就是对这个式子两边取期望。见 第 00 册第 02 章 导数与泰勒展开。

2. Jensen 不等式。 对凸函数 \(G\)，\(\mathbb E[G(y)]\ge G(\mathbb E[y])\)：先变换再平均，大于等于先平均再变换。例：\(y\) 以各 50% 概率取 2% 或 18%，\(G(y)=1/(1+y)\)，则 \(\mathbb E[G]=(0.9804+0.8475)/2=0.9139\)，而 \(G(\mathbb E y)=1/1.10=0.9091\)。见 第 00 册第 07 章 概率中的分析工具 的常用不等式。

3. \(e^x\approx1+x\)。 当 \(x\) 很小时成立，误差约 \(x^2/2\)。本章多处用它把精确公式化为近似公式，也是长期限下近似失效的原因。见 第 00 册第 04 章 级数与收敛。

4. 伊藤引理的一维形式。 若 \(W=h(R)\)，则 \(W\) 的随机部分 \(=h'(R)\times R\) 的随机部分。30.2 节用它从远期利率的波动率得到远期债券价格的波动率，本质就是"久期 × 利率波动"。

怎么读这一章

30.1 是核心：先看三点图的直觉，再看 (30.1) 的证明思路（只是泰勒展开取期望），然后做例 30.1。例 30.2 可以只看结论"互换利率的凸性调整比单期利率大得多"。30.2 节看懂 (30.3) 和例 30.3，"用时间调整重新推导 (30.2)"一段很漂亮，说明凸性与时间错位是同一件事，建议读。30.3 节的远期测度 quanto 公式和例 30.4 必读；传统测度下的推导与 Siegel 悖论第一次可以只看结论，但"多币种模拟时要写明测度"这条教训要记住。

30.1 凸性调整

远期收益率不是期望收益率

先区分两个容易混淆的概念（第 28.4 节已提到）：

• 远期利率：远期零息债券所隐含的利率；
• 远期债券收益率（forward bond yield）：远期债券价格所隐含的收益率。

设 \(B_T\) 是某债券在 \(T\) 时刻的价格，\(y_T\) 是它的收益率，二者满足定价关系

记 \(F_0\) 为该债券到期日为 \(T\) 的远期价格，\(y_0\) 为远期债券收益率，则 \(F_0=G(y_0)\)。

第 28 章告诉我们：在关于 \(P(t,T)\)（\(T\) 到期零息债）的远期风险中性世界中，任何交易资产的远期价格是鞅，因此

但 \(G\) 是非线性的，期望不能穿过非线性函数：\(E_T(B_T)=G(y_0)\) 推不出 \(E_T(y_T)=y_0\)。

白话解释：这是 Jensen 不等式在债券上的体现。举个数：一张 1 年期零息债，\(T\) 时价格以 50% 概率为 0.94 或 0.98，平均（远期价格）0.96，对应远期收益率 \(1/0.96-1=4.17\%\)。但两种情形下的收益率分别是 6.38% 和 2.04%，平均 4.21%，比 4.17% 高。价格平均对上了，收益率平均就对不上。 哪一个"应该"等于远期值？可交易的那个。债券价格是可交易资产，在远期测度下是鞅；收益率只是价格的一个非线性函数，没有这个性质。

直觉：三点图

原书图 30.1 给出一个很好的直觉。设 \(T\) 时刻债券价格只有三个等可能、等间距的取值 \(B_1<B_2<B_3\)（\(B_2-B_1=B_3-B_2\)），远期价格就是平均值 \(B_2\)。对应的收益率 \(y_1>y_2>y_3\)，由于价格–收益率曲线是凸的，等间距的价格对应不等间距的收益率：低价格一侧对应的收益率跳得更远。于是 \(y_2\)（远期收益率）小于三者的平均值（期望收益率）。

结论：在远期测度下，期望收益率高于远期收益率。两者之差就是凸性调整。

公式

所需期望收益率的近似为

其中 \(\sigma_y\) 是远期收益率的波动率，\(E_T\) 表示关于 \(P(t,T)\) 的远期风险中性期望。差额

就是凸性调整。因为价格随收益率下降（\(G'<0\)）且价格–收益率曲线凸（\(G''>0\)），调整项为正。

证明思路（原书本章附录）。把 \(G(y_T)\) 在 \(y_0\) 处作二阶 Taylor 展开：

在 \(T\) 远期风险中性世界中取期望，并利用 \(E_T(B_T)=G(y_0)\)：

再用近似 \(E_T[(y_T-y_0)^2]\approx\sigma_y^2y_0^2T\)（把 \(y\) 视为波动率 \(\sigma_y\) 的对数正态变量，短期内的方差），解出 \(E_T(y_T)\) 即得 (30.1)。

推导拆解： (1) 对泰勒展开两边取 \(E_T\)：左边 \(E_T(B_T)=G(y_0)\)，右边第一项也是 \(G(y_0)\)，两者相消，剩下"一阶项的期望 + 二阶项的期望 = 0"。 (2) 为什么 \(E_T[(y_T-y_0)^2]\approx\sigma_y^2y_0^2T\)？\(\sigma_y\) 是相对波动率，\(y_T\) 在 \(T\) 内的相对变化标准差约 \(\sigma_y\sqrt T\)，绝对变化标准差约 \(y_0\sigma_y\sqrt T\)，平方就是方差。这里把"围绕 \(y_0\) 的二阶矩"近似为方差，忽略了均值偏离 \(y_0\) 带来的更小的项。 (3) 解方程：\(E_T(y_T)-y_0=-\tfrac12\sigma_y^2y_0^2T\cdot G''/G'\)。 和你熟悉的公式对照：\(-G'/G\) 是修正久期 \(D\)，\(G''/G\) 是凸性 \(C\)，所以 \(-G''/G'=C/D\)。凸性调整 \(=\tfrac12\sigma_y^2y_0^2T\cdot C/D\)：收益率方差越大、债券的"凸性/久期"比越大，调整越大。

另一条推导路径（原书习题 30.6）：假设远期收益率服从几何布朗运动 \(dy=\alpha y\,dt+\sigma_yy\,dz\)，要求远期债券价格 \(G(y)\) 是鞅，用 Itô 引理令 \(G(y)\) 的漂移为零，解出 \(\alpha\)，同样得到 (30.1)。

估值规则于是变成（式 28.20）：支付依赖 \(T\) 时刻收益率的衍生品，

(a) 在关于 \(P(t,T)\) 的远期风险中性世界中计算期望支付，用 (30.1) 修正后的期望收益率；

(b) 用 \(T\) 期无风险利率贴现，即乘以 \(P(0,T)\)。

应用一：提前支付的利率（LIBOR 后置的核心）

设某工具在 \(T\) 时刻支付 \(L\tau R_T\)，其中 \(\tau=T^*-T\)，\(R_T\) 是 \(T\) 到 \(T^*\) 的零息利率（复利周期为 \(\tau\)）。正常情况下这笔利息应在 \(T^*\) 支付；现在提前到 \(T\) 支付。第 33 章的 LIBOR 后置互换（LIBOR-in-arrears swap）正是这种结构。

把 \(R_T\) 看作 \(T\) 时刻发行、\(T^*\) 到期的零息债的收益率，定价函数为

计算 \(G'(y)=-\tau/(1+\tau y)^2\)，\(G''(y)=2\tau^2/(1+\tau y)^3\)，于是 \(G''/G'=-2\tau/(1+\tau y)\)。代入 (30.1)：

\(R_0\) 是 \(T\) 到 \(T^*\) 的远期利率，\(\sigma_R\) 是它的波动率。工具价值为

为什么要调整？\(R_0\) 在关于 \(P(t,T^*)\) 的远期测度下是无偏的——那是"正常"支付时点 \(T^*\) 对应的测度。支付提前到 \(T\)，所需测度换成 \(P(t,T)\)，期望值就变了。

推导拆解：代入 (30.1) 时，\(-\frac{G''}{G'}=\frac{2\tau}{1+\tau R_0}\)，于是调整项 \(=\tfrac12R_0^2\sigma_R^2T\cdot\frac{2\tau}{1+\tau R_0}=\frac{R_0^2\sigma_R^2\tau T}{1+R_0\tau}\)，\(\tfrac12\) 与 2 相消。 金融直觉：比较两个合约。合约 A 在 \(T^*\) 付 \(\tau R_T\)（普通 FRA 的浮动端），合约 B 在 \(T\) 就付 \(\tau R_T\)。B 相当于把 A 的钱提前一期拿到。提前拿钱的价值是"按 \(R_T\) 多赚一期利息"，而这个好处在 \(R_T\) 高时更大，正好也是支付金额大的时候。"金额大"和"提前到手更值钱"同时发生，两者正相关，所以 B 比"远期利率 × 提前贴现"更值钱。调整项为正就是这个原因。

例 30.1　某衍生品 3 年后支付"届时 1 年期无风险零息利率（年复利）× $1,000"。零息曲线平坦于 10%（年复利），3 年到 4 年的远期利率波动率为 20%。

\(R_0=0.10\)，\(\sigma_R=0.20\)，\(T=3\)，\(\tau=1\)，\(P(0,3)=1/1.1^3=0.7513\)。

不做凸性调整的价值是 $75.13。调整约 1.1%，看似不大，但它与 \(\sigma^2T\) 成正比，期限拉长后迅速变得不可忽略（见本章量化实战的模拟）。

应用二：互换利率

现在支付等于 \(T\) 时刻观察到的某个互换利率。在 LIBOR 贴现下，互换利率就是平价收益率（par yield）。可以作这样的近似：\(T\) 时刻的 \(N\) 年期互换利率 ≈ 票息等于今日远期互换利率的 \(N\) 年期债券在 \(T\) 时刻的收益率。这样就能直接套用 (30.1)，\(G\) 取该债券的价格–收益率函数。

例 30.2　某工具 3 年后支付"届时 3 年期互换利率 × $100"。互换年付息，所有期限的互换利率都是 12%（年复利），3 年后起始的 3 年期远期互换利率的波动率为 22%（由互换期权价格隐含），用 LIBOR/互换曲线贴现。

把互换利率近似为票息 12% 的 3 年期债券的收益率：

在 \(y_0=0.12\) 处，\(G'(y_0)=-2.4018\)，\(G''(y_0)=8.2546\)。由 (30.1)：

工具价值 \(=100\times0.1236/1.12^3=\$8.80\)；不做调整为 $8.54。调整幅度约 36bp，比例 3%，远大于例 30.1。原因是 3 年期债券的凸性 \(G''/G'\) 远大于 1 年期零息债。这正是**固定期限互换（CMS）**类产品对凸性调整极其敏感的原因（第 33 章）。

30.2 时间调整

设定

市场变量 \(V\) 在 \(T\) 时刻观察，但支付在更晚的 \(T^*\) 发生。记

• \(E_T(V_T)\)：关于 \(P(t,T)\) 的远期风险中性期望；
• \(E_{T^*}(V_T)\)：关于 \(P(t,T^*)\) 的远期风险中性期望。

估值需要后者：价值 \(=P(0,T^*)E_{T^*}(V_T)\)。而我们通常知道前者（例如 \(V\) 的远期价格）。

从 \(P(t,T)\) 计价单位换到 \(P(t,T^*)\) 计价单位，计价单位比率（numeraire ratio，第 28.8 节）是

即 \(T\) 到 \(T^*\) 零息债的远期价格。记 \(\sigma_V,\sigma_W\) 为 \(V\)、\(W\) 的波动率，\(\rho_{VW}\) 为二者的相关系数。由式 (28.35)，换计价单位使 \(V\) 的增长率增加

用远期利率表示

\(W\) 不好直接观察，改用 \(T\) 到 \(T^*\) 的远期利率 \(R\)（复利频率 \(m\)）表示：

由 Itô 引理，\(\sigma_WW=\sigma_RR\,\partial W/\partial R\)，即

于是

这里有一个符号细节：\(R\) 上升时 \(W\) 下降，二者负相关。可以让 \(\sigma_W\) 取负值并令 \(\rho_{VW}=\rho_{VR}\)，也可以让 \(\sigma_W\) 取正值并令 \(\rho_{VW}=-\rho_{VR}\)，结果相同。

推导拆解：\(\sigma_W\) 的计算就是久期。\(W=(1+R/m)^{-m\tau}\)（\(\tau=T^*-T\)）对 \(R\) 求导（链式法则）：\(\partial W/\partial R=-\tau(1+R/m)^{-m\tau-1}\)。\(W\) 的百分比变化 \(=\frac{\partial W/\partial R}{W}\cdot dR=-\frac{\tau}{1+R/m}dR\)，其中 \(\frac{\tau}{1+R/m}\) 正是这张 \(\tau\) 年零息债的修正久期。再把 \(dR\) 写成 \(\sigma_RR\,dz\)，得 \(\sigma_W=-\frac{\tau}{1+R/m}\sigma_RR\)。 所以时间调整的大小 = 相关系数 × 变量波动率 × 利率绝对波动（\(\sigma_RR\)）× 延迟期限的久期 × 观察期 \(T\)。例 30.3 中只延迟 1 年，久期不到 1，调整就只有约 0.5%。

近似假设 \(R\) 停留在初值 \(R_0\)、波动率和相关系数为常数，则 \(V\) 的期望在 \([0,T]\) 上按常数速率 \(\alpha_V\) 额外增长：

直觉：若 \(V\) 与利率负相关，则 \(V\) 高的情景利率偏低、从 \(T\) 到 \(T^*\) 的贴现因子偏大，对推迟支付的估值有利，\(E_{T^*}(V_T)\) 因此上调。

例 30.3　某衍生品 6 年后支付"5 年后观察到的股指值"。5 年期远期指数为 1,200，指数波动率 20%，5 到 6 年远期利率的波动率 18%，两者相关系数 \(-0.4\)，零息曲线平坦于 8%（年复利）。

\(T=5\)，\(T^*=6\)，\(m=1\)，\(R_0=0.08\)：

\(E_T(V_T)\) 就是远期价格 1,200，故 \(E_{T^*}(V_T)=1{,}206.42\)。由 (28.20)，价值 \(=1{,}206.42\times P(0,6)\)，而 \(P(0,6)=1/1.08^6=0.6302\)，价值为 760.25。

用时间调整重新推导式 (30.2)

令 \(V=R\)（\(T\) 到 \(T^*\) 的利率本身）。由式 (28.22)，\(E_{T^*}(R_T)=R_0\)：远期利率在自己的"天然"测度下无偏。在 (30.4) 中取 \(\rho=1\)、\(\sigma_V=\sigma_R\)、\(m=1/\tau\)：

所以

一阶展开 \(e^x\approx1+x\) 即得 (30.2)。两种看法——"收益率的凸性"和"支付时点的错位"——描述的是同一件事。

30.3 Quanto

定义

Quanto（又称跨币种衍生品，cross-currency derivative）涉及两种货币：支付依据一种货币计量的变量计算，却用另一种货币支付。原书举的例子是 CME 的日经 225 期货（Business Snapshot 5.3）：标的指数以日元计，合约按"指数点 × 固定美元乘数"用美元结算。国内读者熟悉的例子包括以美元结算的境外股指期货、离岸人民币计价的商品合约等。

远期测度下的 quanto 调整

设支付以货币 X 在 \(T\) 时刻发生，依赖于以货币 Y 观察的变量 \(V\)。记 \(P_X(t,T)\)、\(P_Y(t,T)\) 为 X、Y 计价的 \(T\) 到期零息债，\(E_X(V_T)\)、\(E_Y(V_T)\) 为对应远期风险中性世界的期望。

我们通常知道 \(E_Y(V_T)\)（它就是 \(V\) 在 Y 货币下的远期价格），需要的却是 \(E_X(V_T)\)。两个计价单位都用 Y 货币计量时，比率为

其中 \(S(t)\) 是即期汇率（每单位 X 兑多少 Y）。可以看出 \(W\) 正是 \(T\) 到期的远期汇率（Y/X）。由 (28.35)，\(V\) 的增长率增加

波动率、相关为常数时

一阶近似为

第 33 章的差额互换（diff swap）估值要用到它。

例 30.4　日经指数现为 15,000 日元，1 年期美元无风险利率 5%，日元 2%，指数股息率 1%。日元计价的 1 年期远期价格（式 5.8）为

指数波动率 20%，1 年期日元/美元远期汇率的波动率 12%，二者相关 0.3。于是 \(E_Y(V_T)=15{,}150.75\)，关于 1 年期美元零息债的远期风险中性期望为

这就是以美元支付的日经远期价格（近似也是其期货价格）。差额约 110 点，来自指数与汇率的相关。

白话解释：换成美元记账，就是用"美元零息债"给各情形加权。以日元计，美元零息债在 \(T\) 时的价值是 \(W_T\)（日元/美元汇率），所以美元测度给"美元相对日元走强"（\(W_T\) 大）的情形更高的权重，权重正比于 \(W_T/W_0\)。本章代码就是用 V*W_ratio 的均值实现这一点。 相关系数 0.3 表示日经涨时美元往往也走强。于是被加大权重的情形里，日经也偏高，加权平均就比日元测度下的平均高。相关为负时方向相反（练习 5）。 用交易的角度看：卖出 quanto 远期的交易商要用日元对冲日经敞口，再把日元盈亏换成美元。日经涨时他在对冲头寸上赚日元，此时美元也强，换回的美元偏少；这个系统性的不利让他必须要价更高。

传统风险中性测度下的 quanto 调整

远期风险中性测度适合只有一个支付时点的产品。若支付时点不确定（如美式期权），用传统风险中性测度（以货币市场账户为计价单位）更方便。

已知 \(V\) 在 Y 货币传统风险中性世界中的过程，求它在 X 货币传统风险中性世界中的过程。记 \(S\) 为即期汇率（Y/X），\(\sigma_S\) 为其波动率，\(\rho\) 为 \(S\) 与 \(V\) 的相关系数。计价单位从 Y 货币的货币市场账户 \(g_Y\) 换到 X 货币的货币市场账户 \(g_X\)（以同一货币 Y 计量为 \(g_XS\)），比率为 \(g_XS/g_Y\)。由于 \(g_X,g_Y\) 的漂移随机但波动率为零（第 28.4 节），由 Itô 引理这个比率的波动率就是 \(\sigma_S\)。因此换计价单位使 \(V\) 的期望增长率增加

用"风险市场价格"的语言说：\(V\) 的风险市场价格从 0 变为 \(\rho\sigma_S\)。

Siegel 悖论

Business Snapshot 30.1　设两种货币的利率 \(r_X,r_Y\) 为常数，\(S\) 为每单位 X 的 Y 数量。外币可视为收益率等于外国无风险利率的资产，所以在 Y 货币传统风险中性世界中

由 Itô 引理，

而 \(1/S\) 是每单位 Y 的 X 数量，按对称性它的增长率似乎应为 \(r_X-r_Y\)。多出来的 \(\sigma_S^2\) 就是 Siegel 悖论（Siegel's paradox）。

化解：\(S\) 的过程是在 Y 货币计价单位下写出的，由它推出的 \(1/S\) 过程沿用了同一个计价单位。可是 \(1/S\) 以 X 货币计量，对称地应当在 X 货币计价单位下考察。用 (30.7)：\(V=1/S\)，\(\rho=-1\)，\(\sigma_V=\sigma_S\)，换计价单位使增长率增加 \(-\sigma_S^2\)，正好抵消，得到

悖论消失。教训很实际：多币种模拟时，必须写明每个漂移是在哪个测度下的。

白话解释：多出来的 \(\sigma_S^2\) 其实又是 Jensen 不等式：\(1/S\) 是 \(S\) 的凸函数，即使 \(S\) 的平均值固定，\(1/S\) 的平均值也会因为波动而偏高。美国人用美元权重算"欧元的期望美元价格"，欧洲人用欧元权重算"美元的期望欧元价格"，两者不可能同时满足"期望 = 远期"，除非各自用自己的权重。 这再次说明风险中性世界是计算工具，不是真实世界：不存在一个"唯一的风险中性概率"让所有币种的投资者都满意，每种货币都有它自己的那一套计算权重，换算时必须加上协方差修正。

例 30.5　某 2 年期美式期权，行权时支付 \(S-K\) 英镑，\(S\) 为 S&P 500 指数，当前 1,200，\(K=1{,}200\)。英镑和美元利率恒为 5% 和 3%，美元/英镑汇率与指数相关 0.2，指数波动率 25%，汇率波动率 12%，指数股息率 1.5%。

以英国货币市场账户为计价单位建立二叉树。由 (30.7)，增长率增加 \(0.2\times0.25\times0.12=0.006\)。美元计价单位下指数的增长率为 \(3\%-1.5\%=1.5\%\)，英镑计价单位下为 2.1%。英镑无风险利率为 5%，所以在英镑测度下，指数相当于股息率为 \(5\%-2.1\%=2.9\%\) 的资产。用 \(S=1200\)、\(K=1200\)、\(r=0.05\)、\(q=0.029\)、\(\sigma=0.25\)、\(T=2\)、100 步二叉树，得期权价值 £179.83（本章量化实战附带的 CRR 二叉树复算得 179.83）。

这个"把 quanto 调整折算成等价股息率"的技巧非常好用：任何现成的美式期权二叉树代码，只要换一个 \(q\) 就能给 quanto 美式期权定价。

30.4 小结与常见误区

三类调整的适用情形可以这样记：

• 支付依赖 \(T\) 时刻的债券收益率（或互换利率），期望收益率应高于远期收益率，用 (30.1)；
• 变量在 \(T\) 观察而支付在 \(T^*\)，用 (30.4)；
• 变量以一种货币观察、以另一种货币支付，用 (30.6) 或 (30.7)。

第 31、32 章的期限结构模型在一个统一的随机模型里描述整条曲线，可以直接算出这些期望值，不需要单独调整。

常见误区：

1. 远期利率在对应的 \(T^*\) 远期测度下无偏；但支付"在 \(T\) 发生"时测度变了，必须调整。
2. 凸性调整的大小与 \(\sigma^2T\) 成正比，长期限、高波动时不可忽略。
3. Quanto 调整的符号取决于标的与汇率的相关性；汇率按 Y/X 还是 X/Y 报价必须前后一致，否则相关系数符号会反。

量化实战

本章内容在量化交易中的用途

定价：CMS 互换与 CMS 上限、LIBOR 后置互换、quanto 期货和期权（美元结算的日经、恒指期货，人民币结算的境外标的等）都直接用这些公式。对利率交易台而言，凸性调整是 CMS 价差交易的核心变量：CMS 的定价取决于互换期权的波动率曲面，交易员常把"CMS 利率 − 远期互换利率"当作隐含波动率的一个线性组合来交易。

风险建模：quanto 产品对"标的–汇率相关系数"有敏感度（相关性风险），而相关系数通常无法从市场直接观察。风险系统应对相关系数做压力情景，而不是只用历史估计的点值。

系统实现：在定价库里统一用"测度 + 计价单位"框架实现，比为每个产品写特例更不易出错。具体做法是：每个随机变量登记它在哪个测度下是鞅；每个产品登记它的支付时点和支付货币；库自动计算漂移修正。Siegel 悖论提醒我们，多币种蒙特卡洛中每条漂移都要写明测度。

对因子研究和股票回测：基本无直接关联。但如果你回测的是境外股指期货的跨市场策略，期货价格中的 quanto 调整会造成期货基差与"利率差 − 股息率"之间的一个系统性偏差，不要把它误认为错误定价。

Python 示例：用测度变换检验三种调整

下面的程序做三件事：

1. 对例 30.1，在 \(T^*\) 远期测度下把 \(R_T\) 模拟为对数正态鞅，再用 Radon–Nikodym 导数 \(\dfrac{dQ_T}{dQ_{T^*}}=\dfrac{(1+\tau R_T)}{(1+\tau R_0)}\) 换到 \(T\) 远期测度，比较蒙特卡洛结果、精确公式与近似式 (30.2)。在该模型下精确期望为 \(E_T(R_T)=\dfrac{R_0+\tau R_0^2e^{\sigma^2T}}{1+\tau R_0}\)。
2. 对例 30.4，在日元远期测度下模拟相关的指数 \(V\) 与远期汇率 \(W\)（均为对数正态鞅），用 \(W_T/W_0\) 作为测度变换权重，检验 quanto 公式。
3. 复算例 30.3 的时间调整。

import numpy as np
rng = np.random.default_rng(42)
n = 2_000_000

# ---------- 1. 凸性调整：例 30.1 的测度变换检验 ----------
# 在 T* 远期测度下，R_T 是对数正态鞅：R_T = R0*exp(-s^2 T/2 + s sqrt(T) Z)
# 换到 T 远期测度：Radon-Nikodym 导数 = (1+tau*R_T)/(1+tau*R0)
R0, s, tau = 0.10, 0.20, 1.0
print("期限T  近似(30.2)  精确公式  蒙特卡洛")
for T in [1, 3, 5, 10, 20]:
    Z = rng.standard_normal(n)
    RT = R0*np.exp(-0.5*s*s*T + s*np.sqrt(T)*Z)
    mc = np.mean(RT*(1+tau*RT))/(1+tau*R0)
    exact = (R0 + tau*R0**2*np.exp(s*s*T))/(1+tau*R0)
    approx = R0 + R0**2*s**2*tau*T/(1+R0*tau)
    print(f"{T:4d}  {approx:.6f}   {exact:.6f}  {mc:.6f}")

# ---------- 2. Quanto 调整：例 30.4 ----------
# Y=日元, X=美元。在 Y 远期测度下 V(日经) 和 W(远期汇率, 日元/美元) 都是对数正态鞅
EV_Y, sV, sW, rho, T = 15150.75, 0.20, 0.12, 0.3, 1.0
Z1 = rng.standard_normal(n)
Z2 = rho*Z1 + np.sqrt(1-rho**2)*rng.standard_normal(n)
V = EV_Y*np.exp(-0.5*sV**2*T + sV*np.sqrt(T)*Z1)
W_ratio = np.exp(-0.5*sW**2*T + sW*np.sqrt(T)*Z2)      # W_T/W_0
print("\nQuanto: 蒙特卡洛 E_X(V) =", round(np.mean(V*W_ratio), 2),
      " 公式 =", round(EV_Y*np.exp(rho*sV*sW*T), 2))

# ---------- 3. 时间调整：例 30.3 ----------
rhoVR, sV, sR, R0, m, T, Ts = -0.4, 0.20, 0.18, 0.08, 1, 5, 6
factor = np.exp(-rhoVR*sV*sR*R0*(Ts-T)/(1+R0/m)*T)
print("\n时间调整因子 =", round(factor, 5), " 价值 =", round(1200*factor/1.08**6, 2))

关键输出：

期限T  近似(30.2)  精确公式  蒙特卡洛
   1  0.100364   0.100371  0.100383
   3  0.101091   0.101159  0.101186
   5  0.101818   0.102013  0.102039
  10  0.103636   0.104471  0.104390
  20  0.107273   0.111141  0.111070

Quanto: 蒙特卡洛 E_X(V) = 15258.42  公式 = 15260.23

时间调整因子 = 1.00535  价值 = 760.25

读法：\(T=3\) 时近似式 (30.2) 与精确值相差不到 1bp，例 30.1 的近似完全够用；到 \(T=20\) 年，凸性调整本身约 111bp，而一阶近似少算了约 39bp。原因是 (30.2) 是 \(e^{x}\approx1+x\) 的一阶展开，\(\sigma^2T\) 变大后高阶项不再可以忽略。长期 CMS 产品的定价因此通常用复制法（用一串互换期权静态复制 CMS 支付）或期限结构模型，而不是一阶公式。

例 30.5 的英镑 quanto 美式期权，可以用任何 CRR 二叉树代码把 \(q\) 设为 2.9% 复算，100 步得 179.83，与原书一致。

本章小结

两步法"变量取远期值 + 无风险利率贴现"只在测度、支付时点、支付货币和远期定义完全匹配时成立。不匹配时，换计价单位的一般规则是：变量 \(V\) 的增长率增加 \(\rho\,\sigma_V\,\sigma_{\text{比率}}\)，其中"比率"是新旧计价单位之比。凸性调整来自价格–收益率关系的非线性（等价于支付时点从 \(T^*\) 提前到 \(T\)）；时间调整来自观察与支付时点的错位；quanto 调整来自货币错位。调整幅度都与"波动率 × 波动率 × 期限"同阶，长期限、高波动时必须认真对待。

练习

基础

1. 判断下列支付是否需要调整，需要哪一种：(a) 1 年后支付"届时 1 年期 LIBOR × 本金"，2 年后支付；(b) 1 年后支付"届时 1 年期 LIBOR × 本金"，1 年后支付；(c) 3 年后以美元支付"届时 5 年期欧元互换利率 × 美元本金"。 提示：(a) 是普通利率互换的一期，不需调整；(b) 支付提前，需要凸性调整（30.2）；(c) 三种都需要：互换利率的凸性调整、若支付晚于观察还要时间调整、货币错位需要 quanto 调整。

2. 复算例 30.1，并把期限改为 10 年，计算凸性调整的大小（以 bp 计）。 提示：\(0.01\times0.04\times10/1.1=0.00364\)，即约 36bp（一阶近似）。

3. 对例 30.2，若远期互换利率波动率从 22% 升至 30%，凸性调整变为多少？ 提示：调整与 \(\sigma^2\) 成正比，\(36\times(30/22)^2\approx67\)bp。

4. 解释为什么在远期测度下期望收益率高于远期收益率，而期望价格等于远期价格。 提示：画出凸的价格–收益率曲线，用 Jensen 不等式。

5. 例 30.4 中若相关系数为 \(-0.3\)，美元计价的日经远期价格是多少？ 提示：\(15{,}150.75e^{-0.0072}=15{,}042.0\)。

进阶

6. 用 Itô 引理推导 (30.1)：设远期收益率 \(dy=\alpha y\,dt+\sigma_yy\,dz\)，要求 \(G(y)\) 在 \(T\) 远期测度下为鞅，求 \(\alpha\)，再求 \(E_T(y_T)\) 的一阶近似（原书习题 30.6）。 提示：\(G'\alpha y+\tfrac12G''\sigma_y^2y^2=0\)，\(\alpha=-\tfrac12\sigma_y^2yG''/G'\)，\(E(y_T)\approx y_0(1+\alpha T)\)。

7. 证明 Siegel 悖论的化解：从 \(dS=(r_Y-r_X)S\,dt+\sigma_SS\,dz\) 出发，先用 Itô 引理求 \(d(1/S)\)，再用 (30.7) 换到 X 测度。 提示：见 30.3 节，关键是 \(\rho=-1\)。

8. 一个美元结算、支付 \(\max(V_T-K,0)\) 美元的 quanto 欧式看涨，\(V\) 为日元计价指数。写出其定价公式（把 quanto 调整写成等价股息率）。 提示：在美元测度下 \(V\) 的增长率为 \(r_{JPY}-q+\rho\sigma_V\sigma_S\)（注意汇率方向定义），套入 BSM 公式，用美元利率贴现（原书习题 30.8、30.9）。

9. 修改量化实战代码，把例 30.2 的互换利率支付也做蒙特卡洛检验：在 \(T\) 远期测度下，债券远期价格 \(G(y_T)\) 必须是鞅。一种做法是把 \(y_T\) 设为对数正态、通过数值求解漂移使 \(E[G(y_T)]=G(y_0)\)，再计算 \(E(y_T)\)。 提示：用 scipy.optimize.brentq 对漂移求根，结果应接近 0.1236。

10. 讨论：为什么说"期限结构模型（第 31、32 章）不需要凸性和时间调整"？若用 Hull–White 模型给例 30.1 定价，你会怎么做？ 提示：在树上每个节点直接计算 1 年期利率，在 3 年时支付，在树上回滚贴现即可；调整自动包含在模型内。

原书推荐习题：30.1、30.2、30.3（判断何时需要凸性或时间调整的概念题）；30.4、30.5（互换利率凸性调整 + 时间调整的完整计算）；30.6（用 Itô 引理和鞅性质推导 (30.1)）；30.7（同一资产在两种货币、两类测度共四种测度下的过程与风险市场价格，测度变换的综合练习）；30.8、30.9、30.10（quanto 期权估值与 quanto 产品的 delta 对冲，30.10 中"投资 \(S\) 美元于日经并做空 \(SQ\) 日元"的复制构造很有启发）；30.11–30.13（多利率组合支付的凸性/时间调整）。

原书对照

注：PDF 页码 = 书页码 + 1。