第 23 章 波动率与相关系数的估计

对应原书：Hull《Options, Futures, and Other Derivatives》第 9 版（Global Edition）第 23 章 Estimating Volatilities and Correlations。

与第 06 册的分工：第 06 册第 03a 章（Tsay）从时间序列建模的角度讲 ARCH/GARCH：ARCH 效应检验、ARMA 表示、峰度、IGARCH、GARCH-M 和模型定阶。本章从风险管理和衍生品定价的角度讲同一组模型：怎样每天更新一个波动率数字、怎样用它预测期权存续期内的平均波动率、怎样一致地更新整个协方差矩阵来算 VaR。两章的公式可以互相对照：Hull 的 \(u_{n-1}\) 就是 Tsay 的 \(a_{t-1}\)，Hull 的 \(\sigma_n^2\) 就是 Tsay 的 \(\sigma_t^2\)。第 05 册第 17c 章则从计量经济学角度（持续性、多步预测与推断）讲同一组模型。

学习目标

读完本章，你应当能够：

1. 说清楚日波动率监控中的三处简化（简单收益、零均值、除以 \(m\)），以及为什么要给近期观测更大的权重。
2. 用 EWMA 和 GARCH(1,1) 做单步更新，会把 GARCH 参数换算成长期方差 \(V_L\)、衰减率和均值回归速度，并知道 EWMA 是 GARCH 的特例。
3. 写出 GARCH(1,1) 的对数似然目标函数，用数值优化估计参数，知道方差锁定（variance targeting）和多初值的作用，并用 \(u_i^2/\sigma_i^2\) 的 Ljung–Box 统计量检验模型。
4. 用 \(E[\sigma_{n+t}^2]=V_L+(\alpha+\beta)^t(\sigma_n^2-V_L)\) 预测未来方差，算出给 \(T\) 天期权定价的波动率期限结构，以及瞬时波动率变化对不同期限的传导。
5. 用 EWMA/GARCH 更新协方差与相关系数，理解协方差矩阵必须半正定，并知道"方差和协方差必须用同一方法计算"这条实务纪律。

读前导读

这一章在解决什么问题。 第 22 章的 VaR 公式里有两个输入被当作已知：每个资产的日波动率和资产间的相关系数。本章讲这两个数每天怎么算。你在 CFA 里算过历史波动率：取一段收益，求样本标准差。它的问题是对每一天一视同仁，而市场明显有"波动率聚集"：大波动后面跟着大波动，平静后面跟着平静。2008 年 9 月雷曼倒闭后的那几天，用过去两年等权算出的波动率显然低估了当下的风险。

本章的三种模型给出了递进的答案。EWMA 让越近的数据权重越大，权重按固定比例逐日衰减；GARCH(1,1) 在 EWMA 的基础上再加一个"长期平均波动率"的锚，让波动率在偏离后有回归的趋势。你在 CFA/FRM 里见过 EWMA 和 GARCH 的更新公式，本章补上三块：参数怎样用极大似然法从数据中估出来；GARCH 怎样预测未来几个月的平均波动率，从而给期权定价；协方差矩阵怎样一致地更新，才能保证算出的组合方差不为负。

需要先想起来的数学。

• 几何级数。 \(1+\lambda+\lambda^2+\cdots=\frac{1}{1-\lambda}\)（\(|\lambda|<1\)）。这是 EWMA 权重之和为 1 的原因，也和永续年金现值公式是同一个式子。例：\(\lambda=0.94\) 时，\((1-\lambda)\sum\lambda^{i-1}=0.06\times\frac{1}{0.06}=1\)。见 第 00 册第 04 章 级数与收敛。
• 对数与求导求极值。 极大似然要对似然函数取对数（把连乘变成连加），再对参数求导令其为零。用到 \(\frac{d}{dv}\ln v=\frac1v\)、\(\frac{d}{dv}\frac1v=-\frac1{v^2}\)。见 第 00 册第 02 章 导数与泰勒展开。
• 条件期望。 \(E[u_n^2\mid\text{第 }n-1\text{ 天的信息}]=\sigma_n^2\)：在已知昨天信息的前提下，今天收益平方的期望就是模型给出的方差。"条件"二字的意思是"站在某一天、只用当时已知的信息"。见 第 00 册第 07 章 概率中的分析工具。
• 定积分求平均值。 一个函数在 \([0,T]\) 上的平均值是 \(\frac1T\int_0^Tf(t)\,dt\)。指数函数的积分 \(\int_0^Te^{-at}dt=\frac{1-e^{-aT}}{a}\)。这用在 23.6.2 节求期权存续期内的平均方差。见 第 00 册第 03 章 积分。
• 半正定矩阵。 对任意权重向量 \(w\) 都有 \(w^{\mathsf T}\Omega w\ge0\)，即"任何组合的方差都不为负"。判别方法之一是所有特征值都 \(\ge0\)。见 第 00 册第 06 章 线性代数速成。

怎么读这一章。 23.1–23.4 节是核心，要能手算 EWMA 和 GARCH 的单步更新（例 23.1、23.2），并理解"GARCH = EWMA + 一份长期方差权重"。23.3.3 节的连续时间方程第一次可以只看结论"GARCH 有均值回归"。23.5 节极大似然：23.5.2 的推导要跟着走一遍，它解释了为什么除以 \(m\)；23.5.3–23.5.5 的数值技巧和 Ljung–Box 检验可以先浏览。23.6 节预测公式 (23.13) 是期权定价最需要的结果，推导值得读；23.6.3 的传导公式可只看表 23.4 的结论。23.7 节的协方差更新和半正定条件、23.8 节的四指数例子直接连回第 22 章，建议必读。

23.0 为什么要估计"当前"波动率

BSM 模型（本册第 15 章）把波动率当常数，但真实市场的波动率时高时低，而且不能直接观测。估计波动率有两个用途，它们关心的时间尺度不同：

1. 风险度量。用模型构建法算 VaR（本册第 22 章）时，持有期通常只有 1 天或 10 天，我们关心的是当前的波动率和相关系数。
2. 衍生品定价。给一个 3 个月期权定价，需要的是期权整个存续期内的平均波动率，这就要预测波动率未来怎样演变。

本章的模型（EWMA、ARCH、GARCH）都在做同一件事：用过去的收益平方的加权平均跟踪时变的方差，近期的观测权重大。区别在于权重怎么分配，以及要不要给一个长期平均水平留一份权重。

23.1 估计波动率

23.1.1 记号

本章统一使用下列记号：

• \(\sigma_n\)：在第 \(n-1\) 天末估计的第 \(n\) 天的波动率；\(\sigma_n^2\) 称为方差率（variance rate）。
• \(S_i\)：第 \(i\) 天末市场变量的值。
• \(u_i\)：第 \(i\) 天的收益。

"在第 \(n-1\) 天末估计第 \(n\) 天"这个约定非常重要：它保证了估计只用到当时已知的信息。做回测时，第 \(n\) 天的仓位只能用 \(\sigma_n\)（而不能用包含第 \(n\) 天收益的估计），否则就有前视偏差。

23.1.2 从标准估计到监控公式

第 15.4 节给出过波动率的标准无偏估计。用最近 \(m\) 天的连续复利收益 \(u_i=\ln(S_i/S_{i-1})\)：

为了监控日波动率，风险管理中作三处简化：

1. 把 \(u_i\) 改成百分比变化（简单收益）：
   \[u_i=\frac{S_i-S_{i-1}}{S_{i-1}}\tag{23.2}\]
   这与第 22 章 VaR 中波动率的定义一致。
2. 令 \(\bar u=0\)。一天的期望收益相对于日标准差非常小，忽略它几乎没有影响。
3. 用 \(m\) 代替 \(m-1\)。这把无偏估计换成了极大似然估计（23.5 节会证明）。

三处修改几乎不改变数值，得到简洁的形式：

注意下标含义：本章的下标 \(i\) 指同一变量的不同日期；而第 22 章 \(x_i\) 的下标指同一天的不同变量。

23.1.3 加权方案

式 (23.3) 对过去 \(m\) 个 \(u^2\) 一视同仁。如果目标是估计当前的波动率，越近的观测应当越重要：

ARCH(\(m\)) 模型（autoregressive conditional heteroscedasticity，自回归条件异方差；Engle 1982）在此基础上再给一个长期平均方差率 \(V_L\) 一份权重 \(\gamma\)：

令 \(\omega=\gamma V_L\)，写成估计时用的形式：

白话解释：\(\gamma V_L\) 这一项可以看作"长期平均水平的锚"。纯粹的加权平均 (23.4) 只看最近 \(m\) 天，近期平静时估计就很低，近期动荡时估计就很高。ARCH 规定每天的估计都必须保留一份 \(\gamma\) 的权重给长期平均方差 \(V_L\)，这样估计不会离长期水平太远。这和信用评级中的"穿越周期"（through-the-cycle）思路相近：既看当前，也要锚定长期均值。 写成 \(\omega=\gamma V_L\) 只是为了估计方便：回归时 \(\omega\) 是一个常数项，估出 \(\omega\) 和各 \(\alpha_i\) 后，再由 \(\gamma=1-\sum\alpha_i\) 反推 \(V_L=\omega/\gamma\)。

"条件异方差"这个名字的含义是：给定过去的信息，第 \(n\) 天收益的方差 \(\sigma_n^2\) 是变化的。ARCH 检验与 ARCH 模型的统计性质见第 06 册第 03a 章 3.3–3.4 节。

23.2 指数加权移动平均模型（EWMA）

23.2.1 递推公式

EWMA（exponentially weighted moving average）是式 (23.4) 的特例：权重按指数递减，\(\alpha_{i+1}=\lambda\alpha_i\)，\(0<\lambda<1\)。它可以化成一个极简的更新公式：

读法是：今天对明天方差的估计 = \(\lambda\) × 昨天的估计 + \((1-\lambda)\) × 今天的收益平方。

23.2.2 为什么是指数权重

把式 (23.7) 中的 \(\sigma_{n-1}^2\) 再用同一公式展开：

继续代入 \(m\) 次：

\(m\) 很大时末项可以忽略。所以 EWMA 正是式 (23.4) 中取 \(\alpha_i=(1-\lambda)\lambda^{i-1}\) 的情形：每个权重是前一个的 \(\lambda\) 倍，权重之和 \((1-\lambda)\sum\lambda^{i-1}\to1\)。

两个常用的换算：

• 半衰期（half-life）\(h\)：权重衰减到一半所需的天数，\(\lambda^h=0.5\)，即 \(h=\ln0.5/\ln\lambda\)。\(\lambda=0.94\) 对应约 11.2 天，\(\lambda=0.97\) 对应约 22.8 天。商业风险模型常用"半衰期 \(h\) 天"来描述衰减，它与 \(\lambda=0.5^{1/h}\) 是同一回事。
• 有效窗口：权重的"平均年龄"约为 \(1/(1-\lambda)\) 天，\(\lambda=0.94\) 时约 17 天。

推导拆解：两个换算各一步。 权重之和：\((1-\lambda)\sum_{i=1}^{\infty}\lambda^{i-1}=(1-\lambda)\cdot\frac{1}{1-\lambda}=1\)，用的是几何级数求和，与永续年金 \(PV=\frac{C}{r}\) 的推导相同。 半衰期：要找 \(h\) 使第 \(h+1\) 天前的权重是最新权重的一半，\(\lambda^h=0.5\)，两边取对数得 \(h\ln\lambda=\ln0.5\)。\(\lambda=0.94\)：\(\ln0.94=-0.0619\)，\(h=0.693/0.0619=11.2\)。 平均年龄：\(\sum_{i\ge1}i\cdot(1-\lambda)\lambda^{i-1}=\frac{1}{1-\lambda}\)，这是几何分布的期望。它和债券的麦考利久期是同一个概念：以权重（现值占比）加权的平均时间。所以"EWMA 的有效窗口"可以理解为"权重的久期"。

23.2.3 例题

例 23.1　\(\lambda=0.90\)，第 \(n-1\) 天的波动率估计为每天 1%，当天市场变量上涨 2%。于是 \(\sigma_{n-1}^2=0.0001\)，\(u_{n-1}^2=0.0004\)：

直觉：昨天的估计说 \(u_{n-1}^2\) 的期望是 \(0.0001\)，实际却是 \(0.0004\)，于是估计上调；如果实际收益平方小于预期，估计就下调。

23.2.4 EWMA 的特点

• 存储极小：只需保存当前的方差估计和最近一次价格。新价格到来，算出收益，用式 (23.7) 更新，旧数据即可丢弃。这让 EWMA 特别适合流式计算和成千上万个风险因子的日常更新。
• 跟踪变化：前一天波动大，\(u_{n-1}^2\) 就大，估计随之上升。
• \(\lambda\) 控制反应速度：\(\lambda\) 小，最新观测权重大，估计本身跳得厉害；\(\lambda\) 接近 1，估计平滑但对新信息反应慢。

RiskMetrics（JPMorgan 1994 年公开）用 \(\lambda=0.94\) 更新日波动率。选择依据是：在多种市场变量上，这个 \(\lambda\) 给出的方差预测最接近已实现方差率（realized variance，这里定义为其后 25 天 \(u_i^2\) 的等权平均；原书习题 23.19 让你复现这一做法）。

23.3 GARCH(1,1) 模型

23.3.1 定义

GARCH(1,1) 由 Bollerslev（1986）提出。它与 EWMA 的关系，就像式 (23.5) 与式 (23.4) 的关系——多给长期平均方差率 \(V_L\) 一份权重：

• EWMA 是它的特例：\(\gamma=0\)，\(\alpha=1-\lambda\)，\(\beta=\lambda\)。
• "(1,1)"表示 \(\sigma_n^2\) 依赖最近 1 个 \(u^2\) 和最近 1 个方差估计。一般的 GARCH(\(p,q\)) 用最近 \(p\) 个 \(u^2\) 和最近 \(q\) 个方差估计（下标约定在不同书中可能对调，见第 06 册第 03a 章）。实务中 GARCH(1,1) 最常用。
• 对股票，波动率在下跌时倾向于上升（杠杆效应，见第 20 章），这时可以用让 \(\sigma_n\) 依赖 \(u_{n-1}\) 符号的非对称变体，如 EGARCH（Nelson 1990）及 Engle & Ng（1993）讨论的模型。

估计时令 \(\omega=\gamma V_L\)：

估出 \(\omega,\alpha,\beta\) 之后，\(\gamma=1-\alpha-\beta\)，\(V_L=\omega/\gamma\)。平稳性条件是 \(\alpha+\beta<1\)；否则长期方差的权重 \(\gamma\) 为负，模型没有稳定的长期水平。

例 23.2　某日数据估出

则 \(\gamma=1-0.13-0.86=0.01\)，\(V_L=0.000002/0.01=0.0002\)，长期日波动率 \(\sqrt{0.0002}=1.4\%\)。若第 \(n-1\) 天的估计为 \(\sigma_{n-1}=1.6\%\)（\(\sigma_{n-1}^2=0.000256\)），当天下跌 1%（\(u_{n-1}^2=0.0001\)）：

23.3.2 权重结构

把式 (23.9) 中的 \(\sigma_{n-1}^2,\sigma_{n-2}^2,\dots\) 反复代入，会发现 \(u_{n-i}^2\) 的权重是 \(\alpha\beta^{i-1}\)，以速率 \(\beta\) 指数衰减。所以 \(\beta\) 可以理解为衰减率（decay rate），作用和 EWMA 的 \(\lambda\) 相同。例如 \(\beta=0.9\) 时，\(u_{n-2}^2\) 的重要性是 \(u_{n-1}^2\) 的 90%，\(u_{n-3}^2\) 是 81%。

一句话概括：GARCH(1,1) = 指数衰减的权重 + 一份给长期平均方差的权重。

推导拆解：权重 \(\alpha\beta^{i-1}\) 是怎么来的。 把 \(\sigma_{n-1}^2=\omega+\alpha u_{n-2}^2+\beta\sigma_{n-2}^2\) 代入 (23.9)：\(\sigma_n^2=\omega+\alpha u_{n-1}^2+\beta\omega+\alpha\beta u_{n-2}^2+\beta^2\sigma_{n-2}^2\)。 再代入 \(\sigma_{n-2}^2\)：多出 \(\beta^2\omega+\alpha\beta^2u_{n-3}^2+\beta^3\sigma_{n-3}^2\)。 规律是：\(u_{n-i}^2\) 的系数为 \(\alpha\beta^{i-1}\)；常数项累积为 \(\omega(1+\beta+\beta^2+\cdots)\to\frac{\omega}{1-\beta}\)；末项 \(\beta^k\sigma_{n-k}^2\) 随 \(k\) 增大趋于 0。 所以 GARCH 的结构和 EWMA 展开后一模一样，只是多了一个常数项。这个常数项就是"长期方差那一份权重"在展开后的样子。

23.3.3 均值回归

GARCH(1,1) 的一个关键性质是方差均值回归（mean reversion）。可以证明，在以天为时间单位时，它对应于方差 \(V\) 的连续时间过程

推导思路（原书习题 23.14）：由式 (23.8)，

第一项是确定性的漂移：方差高于 \(V_L\) 时被拉下来，低于时被推上去，速度为 \(a=1-\alpha-\beta\)。第二项是随机冲击：给定 \(\sigma_{n-1}\)，\(u_{n-1}\) 条件正态，\(u_{n-1}^2\) 的均值是 \(\sigma_{n-1}^2\)，方差是 \(E[u^4]-\sigma^4=3\sigma^4-\sigma^4=2\sigma_{n-1}^4\)，所以 \(\alpha(u_{n-1}^2-\sigma_{n-1}^2)\) 的标准差是 \(\alpha\sqrt2\,\sigma_{n-1}^2\)，这正是 \(\xi V\,dz\) 项。

这是一个随机波动率模型，第 27a 章会进一步讨论这类模型在期权定价中的作用。

金融直觉：\(dV=a(V_L-V)dt+\xi V\,dz\) 的漂移项和利率模型中的 Vasicek 模型 \(dr=a(b-r)dt+\sigma dz\) 结构相同：变量偏离长期水平时，被一股与偏离量成正比的力拉回。\(a\) 是回归速度，S&P 500 的估计中 \(a=1-0.9935=0.0065\)/天，对应的"偏离半衰期"约为 \(\ln2/0.0065\approx107\) 个交易日，约 5 个月。也就是说，一次波动率冲击大约 5 个月消退一半，这与经验上"危机后的高波动通常持续数月"吻合。 符号说明：\(dz\) 是维纳过程的增量，表示一小段时间内的标准化随机冲击，在 \(\Delta t\) 内约为 \(\epsilon\sqrt{\Delta t}\)（\(\epsilon\) 为标准正态）。

23.4 模型选择

实践中方差率确实有均值回归倾向：高波动不会永远持续，低波动迟早会被打破。GARCH(1,1) 有均值回归，EWMA 没有，所以 GARCH(1,1) 在理论上更合理。

两者的关系是：\(\omega=0\) 时 GARCH(1,1) 退化为 EWMA。如果数据拟合出的最优 \(\omega\) 为负，GARCH(1,1) 就不稳定，这时应改用 EWMA。实务中两者并存：EWMA 简单稳健、参数少（只有一个 \(\lambda\)，且可以对所有风险因子统一取值），常用于大规模协方差矩阵；GARCH 用于需要预测较长期限波动率的场合，例如给期权定价。

23.5 极大似然估计

23.5.1 基本思想

极大似然法（maximum likelihood method）选择参数，使已观测到的数据出现的概率（似然，likelihood）最大。一般理论见第 03 册（Wasserman）第 09 章 9.3–9.7 节，这里只讲在波动率模型中怎样用。

一个简单例子：随机抽 10 只股票，发现 1 只某天下跌、9 只没有下跌。设下跌概率为 \(p\)，似然为 \(p(1-p)^9\)。对 \(p\) 求导令其为零得 \(\hat p=0.1\)，与直觉一致。

23.5.2 估计常数方差

设 \(X\sim N(0,v)\)，观测到 \(u_1,\dots,u_m\)。每个观测的似然是正态密度，联合似然为

取对数并去掉常数和常数乘子，等价于最大化

即 \(-m\ln v-\sum u_i^2/v\)。对 \(v\) 求导：\(-m/v+\sum u_i^2/v^2=0\)，得 \(\hat v=\frac1m\sum u_i^2\)。这就证明了 23.1 节第 3 处简化：除以 \(m\) 得到的是极大似然估计。

推导拆解：从 (23.10) 到 (23.11) 的每一步。 第一步，取对数，连乘变连加：\(\ln\prod_i(\cdots)=\sum_i\left[-\frac12\ln(2\pi)-\frac12\ln v-\frac{u_i^2}{2v}\right]\)。取对数不改变最大值的位置，因为对数是单调递增函数。 第二步，\(-\frac12\ln(2\pi)\) 与 \(v\) 无关，去掉；剩下每项都有因子 \(\frac12\)，乘以 2 也不改变最大值位置。于是得到 \(\sum_i(-\ln v-u_i^2/v)\)。 第三步，对 \(v\) 求导：\(-\ln v\) 的导数是 \(-\frac1v\)，共 \(m\) 项；\(-\frac{u_i^2}{v}\) 的导数是 \(+\frac{u_i^2}{v^2}\)。令和为零，两边乘 \(v^2\) 得 \(-mv+\sum u_i^2=0\)。 直觉：极大似然找的是"让观测到的这组收益看起来最不意外"的方差。\(v\) 太小，大收益的概率密度极低（\(-u^2/v\) 项惩罚）；\(v\) 太大，所有收益的概率密度都被摊薄（\(-\ln v\) 项惩罚）。两者平衡点正好是 \(u^2\) 的平均值。

23.5.3 估计 EWMA 与 GARCH(1,1) 的参数

令 \(v_i=\sigma_i^2\) 为模型对第 \(i\) 天方差的估计，并假设给定方差时 \(u_i\) 条件正态。最优参数最大化

它与式 (23.11) 形式完全相同，只是常数 \(v\) 换成了随时间变化的 \(v_i\)。由于 \(v_i\) 通过递推依赖参数，没有解析解，需要数值搜索。数值优化方法见第 04 册。

原书表 23.1 的实例（S&P 500，2005-07-18 至 2010-08-13，共 1,279 天）。表的各列是日期、天数 \(i\)、\(S_i\)、\(u_i=(S_i-S_{i-1})/S_{i-1}\)、\(v_i\)、\(-\ln v_i-u_i^2/v_i\)。第 3 天用 \(v_3=u_2^2\) 初始化，之后用式 (23.9) 递推，目标是让最后一列之和最大。示例行：第 3 天 \(u=0.004759\)，\(v=0.00004531\)，似然项 9.5022。结果：

由 GARCH 估计，\(V_L=\omega/(1-\alpha-\beta)=0.0000013465/0.006490=0.0002075\)，长期日波动率 \(\sqrt{0.0002075}=1.4404\%\)。原书图 23.1、23.2 画出了 S&P 500 指数及其 GARCH(1,1) 日波动率：多数时候日波动率低于 2%，信用危机期间高达每天 5%（同期 VIX 也极高，见第 15.11 节）。

方差锁定（variance targeting；Engle & Mezrich 1996）：令 \(V_L\) 等于样本方差（或其他合理值），则 \(\omega=V_L(1-\alpha-\beta)\)，只需估计 \(\alpha,\beta\) 两个参数。本例中目标函数只比完全估计略低，但估计通常更稳健——长期方差这个最难估的量直接取自数据。

EWMA 只有一个参数，目标函数明显低于 GARCH：差了约 36 个对数似然单位，说明"长期方差的那一份权重"在这组数据上很有价值。

白话解释："差 36 个单位"有多大，可以用似然比检验来衡量。注意 (23.12) 的目标函数在推导时乘了 2（见上一个讲解框），它等于"2 × 对数似然"加一个常数，所以两模型目标函数之差就直接是似然比统计量 \(2\Delta\ln L\approx36\)。EWMA 是 GARCH 加了两个约束（\(\omega=0\)、\(\alpha+\beta=1\)）的特例，远大于自由度 2 的 \(\chi^2\) 分布 5% 临界值 5.99。所以统计上可以明确拒绝"EWMA 足够好"。相比之下，方差锁定只比完整 GARCH 低 0.04，说明把 \(V_L\) 固定为样本方差几乎没有损失。

23.5.4 数值实现的技巧

• 参数缩放。优化器在各参数量级相近时表现最好。原书用 Excel Solver 时，让单元格分别存 \(\omega\times10^5\)、\(10\alpha\) 和 \(\beta\)，再换算回来算似然。用 Python 时同样适用；也可以像 arch 包那样把收益乘以 100 再估计。
• 多个初值。似然面可能有局部极大值，应从几组不同初值出发，取最好的结果。
• 初始化。原书表 23.1 用第一个收益平方初始化方差，23.8 节则用总体方差初始化；两者对最终估计影响很小，但对前几十天的方差估计有影响。
• 约束。\(\omega>0\)、\(\alpha,\beta\ge0\)、\(\alpha+\beta<1\)。

23.5.5 模型好不好

GARCH 的前提是波动率聚集：\(u_i^2\) 大时，其后的 \(u_{i+1}^2,u_{i+2}^2,\dots\) 也倾向于大，即 \(u_i^2\) 有正自相关。好的 GARCH 模型应当把这种自相关"解释掉"——标准化后的序列 \(u_i^2/\sigma_i^2\) 应该几乎没有自相关。

原书表 23.2（S&P 500，滞后 1–15）：\(u_i^2\) 的自相关全为正，在 0.121–0.431 之间（如滞后 1 为 0.183，滞后 2 为 0.385，滞后 11 为 0.431）；\(u_i^2/\sigma_i^2\) 的自相关有正有负，绝对值都很小（滞后 1 为 0.063，滞后 10 为 0.083，其余多在 0.04 以下）。

用 Ljung–Box 统计量（Ljung & Box 1978）做正式检验。序列有 \(m\) 个观测，\(\eta_k\) 是滞后 \(k\) 的自相关，\(K\) 是考虑的滞后数：

在"零自相关"的原假设下 \(Q\) 近似服从自由度为 \(K\) 的 \(\chi^2\) 分布。\(K=15\) 时 95% 临界值约为 25。本例 \(u_i^2\) 的 \(Q\approx1{,}566\)（强自相关），\(u_i^2/\sigma_i^2\) 的 \(Q=21.7\)，低于 25，说明 GARCH 基本消除了自相关。

23.6 用 GARCH(1,1) 预测未来波动率

23.6.1 期望方差的路径

由 \(\sigma_n^2=(1-\alpha-\beta)V_L+\alpha u_{n-1}^2+\beta\sigma_{n-1}^2\)，两边减去 \(V_L\)：

同样的关系在未来第 \(n+t\) 天成立：\(\sigma_{n+t}^2-V_L=\alpha(u_{n+t-1}^2-V_L)+\beta(\sigma_{n+t-1}^2-V_L)\)。取期望并利用 \(E[u_{n+t-1}^2]=E[\sigma_{n+t-1}^2]\)，得到 \(E[\sigma_{n+t}^2-V_L]=(\alpha+\beta)E[\sigma_{n+t-1}^2-V_L]\)。反复使用：

推导拆解：关键一步"\(E[u_{n+t-1}^2]=E[\sigma_{n+t-1}^2]\)"为什么成立。 模型假设 \(u_k=\sigma_k\epsilon_k\)，\(\epsilon_k\) 是与过去无关的标准正态。站在第 \(k-1\) 天，\(\sigma_k\) 已知，所以条件期望 \(E[u_k^2\mid\text{第 }k-1\text{ 天信息}]=\sigma_k^2E[\epsilon_k^2]=\sigma_k^2\)。 站在今天看更远的未来，\(\sigma_k\) 本身还不知道，再对它取期望，就得到 \(E[u_k^2]=E[\sigma_k^2]\)（这一步叫"重期望法则"：先在较近的时点取条件期望，再在今天取期望）。 代入后，\(\alpha(\cdot)\) 和 \(\beta(\cdot)\) 两项合并成 \((\alpha+\beta)E[\sigma_{n+t-1}^2-V_L]\)。偏离量每过一天乘以 \((\alpha+\beta)\)，这就是一个公比为 \(\alpha+\beta\) 的几何数列，\(t\) 天后为 \((\alpha+\beta)^t\) 倍。 金融类比：和 CFA 里"均值回归的 AR(1) 过程的多步预测 \(x_{t+h}=\mu+\phi^h(x_t-\mu)\)"完全相同，\(\alpha+\beta\) 扮演 \(\phi\) 的角色。

这是用第 \(n-1\) 天末的信息预测第 \(n+t\) 天的方差。三种情况：

• EWMA（\(\alpha+\beta=1\)）：期望未来方差等于当前方差，没有均值回归。这也是第 06 册第 03a 章 3.6 节把 RiskMetrics 称为 IGARCH 的原因——它是"单位根"的 GARCH。
• \(\alpha+\beta<1\)：末项随 \(t\) 衰减，预测趋向 \(V_L\)，回归速度由 \(1-\alpha-\beta\) 决定（原书图 23.3：当前方差高于或低于 \(V_L\) 时，期望路径分别从上方或下方趋近 \(V_L\)）。
• \(\alpha+\beta>1\)：长期方差权重为负，过程"均值逃离"（mean fleeing）。

数值例　S&P 500 估计结果 \(\alpha+\beta=0.9935\)，\(V_L=0.0002075\)。设当前方差 0.0003（日波动 1.732%）：

• 10 天后期望方差 \(0.0002075+0.9935^{10}(0.0003-0.0002075)=0.0002942\)，日波动 1.72%，仍明显高于长期的 1.44%；
• 500 天后期望方差 \(0.0002110\)，日波动 1.45%，已接近长期水平。

23.6.2 波动率期限结构

在第 \(n\) 天，记 \(V(t)=E[\sigma_{n+t}^2]\)，令 \(a=\ln\dfrac{1}{\alpha+\beta}\)，式 (23.13) 可写成连续形式：

\(V(t)\) 是 \(t\) 天后的瞬时方差率。期权定价需要的是存续期内的平均方差率（第 27a 章会说明，在波动率随机但与股价无关时，用平均方差定价是合理的近似）：

\(T\) 越大，结果越接近 \(V_L\)。定义 \(\sigma(T)\) 为给 \(T\) 天期权定价所用的年化波动率，每年按 252 个交易日：

推导拆解：从离散到连续，再到平均值。 第一步，\((\alpha+\beta)^t=e^{t\ln(\alpha+\beta)}=e^{-at}\)，其中 \(a=\ln\frac{1}{\alpha+\beta}>0\)。这只是把幂写成指数，与"离散复利换成连续复利"的做法相同。 第二步，求平均：\(\frac1T\int_0^T\left[V_L+e^{-at}(V(0)-V_L)\right]dt\)。常数 \(V_L\) 的平均还是 \(V_L\)；\(\int_0^Te^{-at}dt=\frac{1-e^{-aT}}{a}\)，除以 \(T\) 得 \(\frac{1-e^{-aT}}{aT}\)。 第三步，乘 252 把日方差年化，就是 (23.14)。 系数 \(\frac{1-e^{-aT}}{aT}\) 在 \(T\to0\) 时趋于 1（短期期权几乎完全用当前方差），在 \(T\) 很大时趋于 0（长期期权几乎完全用长期方差）。你可能在利率期限结构的 Nelson–Siegel 模型里见过同一个函数，它在那里也描述"短端到长端的过渡"。

当前波动率高于长期水平时，期限结构向下倾斜；低于长期水平时向上倾斜。GARCH 算出的期限结构一般不等于市场隐含波动率的期限结构，但常被用来预测隐含波动率期限结构怎样响应波动率的变化。

原书表 23.3　S&P 500 参数，\(a=\ln(1/0.99351)=0.006511\)，\(V(0)=0.0003\)，\(T\) 以天计：

23.6.3 波动率变化如何传导到各期限

把式 (23.14) 改写为 \(\sigma(T)^2=252\Big(V_L+\dfrac{1-e^{-aT}}{aT}\Big(\dfrac{\sigma(0)^2}{252}-V_L\Big)\Big)\)，对 \(\sigma(0)\) 求导：\(2\sigma(T)\,d\sigma(T)=\dfrac{1-e^{-aT}}{aT}\cdot2\sigma(0)\,d\sigma(0)\)，所以

原书表 23.4　\(V(0)=0.0003\)，\(\sigma(0)=\sqrt{252}\times\sqrt{0.0003}=27.50\%\)，瞬时波动率上升 100 个基点到 28.50%：

实务意义：许多金融机构据此计算账簿对波动率的暴露。算 vega 时，不假设所有隐含波动率一律平移 1%，而是让冲击随期限递减：10 天期权用 0.97%，30 天用 0.92%，以此类推。这比平行移动更接近市场实际——短期隐含波动率的变动通常比长期大得多。

23.7 相关系数

23.7.1 协方差是基本变量

两个变量 \(X,Y\) 的相关系数为

相关系数更直观，但在分析中真正被更新的基本变量是协方差——正如前面 EWMA/GARCH 更新的是方差而不是波动率。

设 \(x_i,y_i\) 为 \(X,Y\) 第 \(i\) 天的百分比变化，\(\sigma_{x,n},\sigma_{y,n}\) 为第 \(n\) 天的日波动率估计，\(\text{cov}_n\) 为协方差估计，则相关系数估计为 \(\text{cov}_n/(\sigma_{x,n}\sigma_{y,n})\)。

等权、零均值时：\(\sigma_{x,n}^2=\frac1m\sum x_{n-i}^2\)，\(\sigma_{y,n}^2=\frac1m\sum y_{n-i}^2\)，以及

EWMA 版本：

23.7.2 例题

例 23.3　\(\lambda=0.95\)，第 \(n-1\) 天的相关系数估计为 0.6，\(X,Y\) 的日波动率估计为 1% 和 2%。于是协方差为 \(0.6\times0.01\times0.02=0.00012\)。当天 \(X,Y\) 分别变动 0.5% 和 2.5%：

新的波动率为 0.981% 和 2.028%，新相关系数为 \(0.00012025/(0.00981\times0.02028)=0.6044\)。

23.7.3 GARCH 协方差与多元 GARCH

GARCH(1,1) 的协方差版本为

长期平均协方差为 \(\omega/(1-\alpha-\beta)\)。与式 (23.13)、(23.14) 类比，可以预测未来协方差和期权存续期内的平均协方差。更一般地，多元 GARCH（multivariate GARCH）以一致的方式更新整个协方差矩阵；其模型族（VEC、BEKK、DCC 等）属于 Tsay 原书第 10 章多元波动率模型的内容，见第 06 册第 10 章。

23.7.4 协方差矩阵的一致性条件

\(N\) 个变量的方差–协方差矩阵 \(\Omega\) 必须满足

即 \(\Omega\) 半正定（positive semidefinite）。理由很简单：\(w^{\mathsf T}\Omega w\) 是组合 \(w_1x_1+\dots+w_Nx_N\) 的方差，方差不可能为负。矩阵半正定的判别和性质见第 01 册第 07a 章。

反例　相关矩阵

变量 1、2 都与变量 3 高度相关，却彼此不相关，这本身就很可疑。取 \(w=(1,1,-1)^{\mathsf T}\)：\(w^{\mathsf T}\Omega w=3+2(0)-2(0.9)-2(0.9)=3-3.6=-0.6<0\)，所以它不是合法的相关矩阵（它的最小特征值为 \(-0.27\)）。对 \(3\times3\) 相关矩阵，内部一致的条件为

实务纪律：要保证半正定，方差和协方差必须用一致的方法计算。方差用最近 \(m\) 天等权，协方差也必须用同样的 \(m\) 天等权；方差用 \(\lambda=0.94\) 的 EWMA，协方差也必须用 \(\lambda=0.94\)。原因是：如果每个元素都是同一组"外积" \(x_ix_i^{\mathsf T}\) 的非负加权平均，那么整个矩阵就是半正定矩阵的非负组合，自然半正定；一旦方差和协方差用不同的权重，这个保证就没有了。

推导拆解：为什么"同一组外积的非负加权平均"一定半正定。 设第 \(i\) 天的收益向量为 \(x_i\)（各资产当天收益组成的列向量），外积 \(x_ix_i^{\mathsf T}\) 是一个矩阵，其 \((j,k)\) 元素是资产 \(j\) 与 \(k\) 当天收益的乘积。EWMA 协方差矩阵就是 \(\Omega=\sum_i c_ix_ix_i^{\mathsf T}\)，\(c_i\ge0\) 是权重。 对任意权重向量 \(w\)：\(w^{\mathsf T}\Omega w=\sum_ic_i(w^{\mathsf T}x_i)(x_i^{\mathsf T}w)=\sum_ic_i(w^{\mathsf T}x_i)^2\ge0\)。 中间的 \(w^{\mathsf T}x_i\) 就是组合 \(w\) 在第 \(i\) 天的收益，平方后非负，再乘非负权重相加，结果一定非负。 金融含义：这样算出的"组合方差"本质上就是"组合历史收益平方的加权平均"，当然不会为负。如果方差用 \(\lambda=0.94\)、协方差用 \(\lambda=0.97\)，矩阵就不再能写成这种形式，上面的论证失效。

23.8 例：四指数组合的 EWMA VaR

延续第 22.2 节的例子：2008 年 9 月 25 日的组合包含 DJIA 400 万美元、FTSE 100 300 万美元、CAC 40 100 万美元、Nikkei 225 200 万美元，用截至该日的 500 天日收益。

等权估计。相关矩阵（原书表 23.5）：DJIA–FTSE 0.489，DJIA–CAC 0.496，DJIA–Nikkei 0.062，FTSE–CAC 0.918，FTSE–Nikkei 0.201，CAC–Nikkei 0.211。协方差矩阵（表 23.6）对角线为 0.0001227、0.0002010、0.0001950、0.0001909。由式 (22.3)，组合损失（单位：千美元）的方差为 8,761.833，标准差 93.60，一日 99% VaR \(=2.33\times93.60=217.757\)，即 217,757 美元（对比历史模拟法的 253,385 美元）。

EWMA（\(\lambda=0.94\)）。协方差矩阵（表 23.7）对角线为 0.0004801、0.0010314、0.0009535、0.0002541。组合损失方差为 40,995.765，标准差 202.474，一日 99% VaR \(=2.33\times202.474=471.025\)，即 471,025 美元，是等权结果的两倍多。

原因：多头组合的标准差随各资产的波动率和相关系数上升而上升，而 2008 年 9 月前夕两者都在升高。

EWMA 相关系数（表 23.9）：DJIA–FTSE 0.611，DJIA–CAC 0.629，DJIA–Nikkei 0.113，FTSE–CAC 0.971，FTSE–Nikkei 0.409，CAC–Nikkei 0.342，普遍高于等权估计。相关性在不利市况下倾向上升，这是风险管理中最重要的经验事实之一：分散化恰恰在最需要的时候失效。

金融直觉：把这个例子与第 22 章连起来看。同一个组合、同一天，历史模拟给出 25.3 万，等权方差-协方差给出 21.8 万，EWMA 方差-协方差给出 47.1 万。差异主要来自"用多旧的数据代表明天"：等权把两年前的平静日子和上周的动荡日子同等看待；EWMA 的有效窗口只有约 17 天，几乎只看危机中的最近几周。哪个"对"取决于用途：监管资本希望稳定、不随市场剧烈摆动，日内风控则希望及时反应。巴塞尔 2.5 同时要求计算普通 VaR 和压力 VaR，正是为了兼顾两方面。

这里 EWMA 的初始方差设为总体方差（而不是像表 23.1 那样用第一个收益平方）；两种初始化对最终结果影响很小。

量化实战

本章内容在量化中的用途

1. 风险模型。EWMA 协方差是日常风控、组合 VaR 和压力监控的标准工具。商业风险模型常用"半衰期 \(h\) 天"描述衰减，等价于 \(\lambda=0.5^{1/h}\)；它们也常对波动率和相关使用不同的半衰期（波动率用较短的半衰期以快速反应，相关用较长的半衰期以保持稳定）。从 23.7.4 节可知这样做会失去"自动半正定"的保证，需要事后修正（如对相关矩阵做特征值截断或求最近相关矩阵），或者先分别估计波动率与相关矩阵，再用 \(D R D\) 的形式组合——只要相关矩阵 \(R\) 本身是由同一组标准化收益的外积一致估计的，\(DRD\) 就仍然半正定。
2. 波动率目标与风险平价。按 \(\sigma_n\) 缩放仓位（目标波动率 / 预测波动率）是 CTA、风险平价和许多因子组合的常规做法。\(\lambda\) 的选择是"反应速度 vs 换手"的权衡：\(\lambda\) 小，风险控制更及时，但仓位换手更大。
3. 信号标准化。动量、反转、价差等信号常除以 EWMA 波动率再做横截面比较或设阈值；\(u_i/\sigma_i\) 也是检验"信号残差里是否还有可利用结构"的起点（Ljung–Box）。
4. 期权定价与波动率交易。式 (23.14) 给出模型的波动率期限结构，可以与隐含波动率期限结构比较，寻找相对价值；式 (23.15) 是按期限缩放 vega 冲击的依据，用于把一个期权簿的 vega 风险合并成一个数字。
5. 回测纪律。严格使用"第 \(n-1\) 天末估计第 \(n\) 天"的约定；GARCH 参数若用全样本估计再回放，就引入了前视偏差，应该用滚动或扩展窗口重新估计。

Python 示例：从参数估计到 VaR

下面的代码分五步：(1) 用原书表 23.1 的 S&P 500 参数模拟 2,500 天 GARCH(1,1) 收益；(2) 自己写式 (23.12) 的对数似然，分别估计完整 GARCH、方差锁定 GARCH 和 EWMA，并与 arch 包对照；(3) 用 Ljung–Box 检验 \(u^2\) 与 \(u^2/\sigma^2\)；(4) 用式 (23.14)、(23.15) 算波动率期限结构和冲击传导；(5) 对一个四资产组合比较等权与 EWMA 协方差下的 VaR，并演示方差、协方差混用不同 \(\lambda\) 会破坏半正定。

import numpy as np
from scipy.optimize import minimize
from scipy.stats import norm
from statsmodels.stats.diagnostic import acorr_ljungbox
from arch import arch_model

rng = np.random.default_rng(23)

# ---------- 1) 用 Hull 表 23.1 的参数模拟 GARCH(1,1) 日收益 ----------
w0, a0, b0 = 1.3465e-6, 0.083394, 0.910116
n = 2500
u = np.empty(n); v = np.empty(n)
v[0] = w0 / (1 - a0 - b0)
for t in range(n):
    if t > 0:
        v[t] = w0 + a0 * u[t-1]**2 + b0 * v[t-1]
    u[t] = np.sqrt(v[t]) * rng.standard_normal()

# ---------- 2) 极大似然：最大化 sum(-ln v_i - u_i^2 / v_i)，式 (23.12) ----------
def garch_var(params, u, v0):
    w, a, b = params
    v = np.empty_like(u); v[0] = v0
    for t in range(1, len(u)):
        v[t] = w + a * u[t-1]**2 + b * v[t-1]
    return v

def loglik(params, u, v0):
    v = garch_var(params, u, v0)
    return np.sum(-np.log(v[1:]) - u[1:]**2 / v[1:])   # 第 1 天只用于初始化

v0 = u[:20].var()          # 用前 20 天样本方差初始化（原书表 23.1 用第一个 u^2，影响很小）
# 参数缩放：优化 (w*1e5, 10a, b)，与原书 Solver 技巧相同
def neg_garch(x):
    w, a, b = x[0] / 1e5, x[1] / 10, x[2]
    if w <= 0 or a < 0 or b < 0 or a + b >= 1: return 1e10
    return -loglik((w, a, b), u, v0)
best = min((minimize(neg_garch, x0, method="Nelder-Mead", options={"xatol":1e-8,"fatol":1e-8,"maxiter":5000})
            for x0 in ([0.1, 0.5, 0.9], [0.5, 1.0, 0.85], [0.05, 0.3, 0.95])), key=lambda r: r.fun)
w, a, b = best.x[0] / 1e5, best.x[1] / 10, best.x[2]
VL = w / (1 - a - b)
print(f"GARCH MLE: omega={w:.3e} alpha={a:.4f} beta={b:.4f} a+b={a+b:.4f} "
      f"长期日波动率={np.sqrt(VL):.3%} 目标函数={-best.fun:.2f}")

# 方差锁定：VL=样本方差，只估 alpha、beta
VL_s = u.var()
def neg_vt(x):
    a_, b_ = x
    if a_ < 0 or b_ < 0 or a_ + b_ >= 1: return 1e10
    return -loglik((VL_s * (1 - a_ - b_), a_, b_), u, v0)
vt = minimize(neg_vt, [0.08, 0.9], method="Nelder-Mead")
print(f"方差锁定:  alpha={vt.x[0]:.4f} beta={vt.x[1]:.4f} 目标函数={-vt.fun:.2f}")

# EWMA：omega=0, alpha=1-lambda, beta=lambda，只估 lambda
def neg_ewma(lam):
    lam = float(lam[0])
    if not 0 < lam < 1: return 1e10
    return -loglik((0.0, 1 - lam, lam), u, v0)
ew = minimize(neg_ewma, [0.94], method="Nelder-Mead")
print(f"EWMA:      lambda={ew.x[0]:.4f} 目标函数={-ew.fun:.2f}")

# 与 arch 包对照（收益放大 100 倍以改善数值条件）
res = arch_model(100 * u, mean="Zero", vol="GARCH", p=1, q=1).fit(disp="off")
print("arch 包:  ", {k: round(float(x), 4) for k, x in res.params.items()},
      f"-> omega 折回日收益尺度 {res.params['omega']/1e4:.3e}")

# ---------- 3) 模型检验：u^2 与 u^2/sigma^2 的 Ljung-Box(15) ----------
vhat = garch_var((w, a, b), u, v0)
q_raw = acorr_ljungbox(u[1:]**2, lags=[15])["lb_stat"].iloc[0]
q_std = acorr_ljungbox(u[1:]**2 / vhat[1:], lags=[15])["lb_stat"].iloc[0]
print(f"Ljung-Box Q(15): u^2 = {q_raw:.1f}, u^2/sigma^2 = {q_std:.1f} (95% 临界值 25.0)")

# ---------- 4) 波动率期限结构 (23.14) 与按期限缩放的 vega 冲击 (23.15) ----------
V0 = vhat[-1]
aa = np.log(1 / (a + b))
print(f"当前日波动率 {np.sqrt(V0):.3%}, 长期 {np.sqrt(VL):.3%}")
for T in [10, 30, 50, 100, 250, 500]:
    k = (1 - np.exp(-aa * T)) / (aa * T)
    sT = np.sqrt(252 * (VL + k * (V0 - VL)))
    s0 = np.sqrt(252 * V0)
    print(f"  T={T:>3}天  sigma(T)={sT:.2%}  sigma(0)上升1个百分点时 sigma(T)上升 {k*s0/sT:.2f} 个百分点")

# ---------- 5) 多资产 EWMA 协方差、VaR 与一致性(半正定) ----------
N, m = 4, 500
C_calm = 0.0001 * np.array([[1.2,.6,.6,.1],[.6,2.,1.8,.3],[.6,1.8,2.,.3],[.1,.3,.3,1.9]])
X = rng.multivariate_normal(np.zeros(N), C_calm, size=m)
X[-40:] *= 2.0                          # 最后 40 天进入高波动期
pos = np.array([4, 3, 1, 2]) * 1e3      # 头寸，单位：千美元

def ewma_cov(X, lam):
    S = np.cov(X.T, bias=True)          # 用全样本(零均值近似)协方差初始化
    for x in X:
        S = lam * S + (1 - lam) * np.outer(x, x)
    return S

for name, S in [("等权", X.T @ X / m), ("EWMA λ=0.94", ewma_cov(X, 0.94))]:
    sd = np.sqrt(pos @ S @ pos)
    print(f"{name:12s} 组合日标准差 {sd:7.2f} 千美元, 1日99% VaR {norm.ppf(0.99)*sd:7.2f} 千美元,"
          f" 最小特征值 {np.linalg.eigvalsh(S).min():.2e}")

# 方差和协方差用不同 λ 会破坏一致性：方差用 0.99、协方差用 0.80
S_v, S_c = ewma_cov(X, 0.99), ewma_cov(X, 0.80)
S_mix = S_c.copy(); np.fill_diagonal(S_mix, np.diag(S_v))
d = np.sqrt(np.diag(S_mix)); print("混用 λ 的相关矩阵:\n", np.round(S_mix / np.outer(d, d), 3))
print("混用 λ 的最小特征值:", f"{np.linalg.eigvalsh(S_mix).min():.2e}")
O = np.array([[1, 0, .9], [0, 1, .9], [.9, .9, 1]]); wv = np.array([1, 1, -1])
print("原书反例 w'Ωw =", wv @ O @ wv, " 特征值:", np.round(np.linalg.eigvalsh(O), 4))

关键输出：

GARCH MLE: omega=1.819e-06 alpha=0.0827 beta=0.9051 a+b=0.9878 长期日波动率=1.219% 目标函数=20143.51
方差锁定:  alpha=0.0808 beta=0.9053 目标函数=20143.35
EWMA:      lambda=0.9270 目标函数=20117.46
arch 包:   {'omega': 0.0182, 'alpha[1]': 0.0827, 'beta[1]': 0.905} -> omega 折回日收益尺度 1.820e-06
Ljung-Box Q(15): u^2 = 766.8, u^2/sigma^2 = 10.2 (95% 临界值 25.0)
当前日波动率 1.284%, 长期 1.219%
  T= 10天  sigma(T)=20.33%  sigma(0)上升1个百分点时 sigma(T)上升 0.94 个百分点
  T= 30天  sigma(T)=20.22%  sigma(0)上升1个百分点时 sigma(T)上升 0.84 个百分点
  T= 50天  sigma(T)=20.13%  sigma(0)上升1个百分点时 sigma(T)上升 0.76 个百分点
  T=100天  sigma(T)=19.96%  sigma(0)上升1个百分点时 sigma(T)上升 0.59 个百分点
  T=250天  sigma(T)=19.68%  sigma(0)上升1个百分点时 sigma(T)上升 0.32 个百分点
  T=500天  sigma(T)=19.53%  sigma(0)上升1个百分点时 sigma(T)上升 0.17 个百分点
等权           组合日标准差  105.88 千美元, 1日99% VaR  246.32 千美元, 最小特征值 2.44e-05
EWMA λ=0.94  组合日标准差  218.40 千美元, 1日99% VaR  508.08 千美元, 最小特征值 7.33e-05
混用 λ 的相关矩阵:
 [[1.    1.781 2.074 0.197]
 [1.781 1.    2.139 0.147]
 [2.074 2.139 1.    0.08 ]
 [0.197 0.147 0.08  1.   ]]
混用 λ 的最小特征值: -6.15e-04
原书反例 w'Ωw = -0.6000000000000001  特征值: [-0.2728  1.      2.2728]

读输出时注意几点：

• 自写 MLE 与 arch 包的结果一致。真实参数 \(\alpha+\beta=0.9935\)，2,500 天样本估出 0.9878：持续性参数 \(\alpha+\beta\) 和长期方差 \(V_L\) 是最难估准的量，这正是方差锁定有吸引力的原因。
• 方差锁定的目标函数只比完整 GARCH 低 0.16，EWMA 低约 26，与原书 S&P 500 的结论模式相同。
• \(u^2\) 的 Ljung–Box \(Q\) 远超临界值，标准化后降到 10.2，模型把波动率聚集解释掉了。
• 期限结构中，当前波动率略高于长期水平，所以 \(\sigma(T)\) 随期限缓慢下降；瞬时波动率的冲击对 10 天期权几乎完全传导（0.94），对 500 天期权只传导 0.17。由于本例 \(\alpha+\beta\) 比原书小，衰减比表 23.4 快。
• 最后 40 天波动翻倍后，EWMA VaR 是等权的两倍多，与 23.8 节的四指数例子同理。
• 方差用慢的 \(\lambda\)、协方差用快的 \(\lambda\)，在波动突然上升时协方差涨得比方差快，"相关系数"超过 1，矩阵出现负特征值。这样的矩阵送进均值–方差优化器，会被利用出"负方差"的虚假对冲组合。

本章小结

BSM 等主流模型假设波动率恒定，但实际上波动率随机变化且不能直接观测。日波动率监控把方差率写成过去收益平方的加权平均，近期观测权重更大。EWMA 的权重按 \(\lambda\) 指数衰减，只需保存一个状态，RiskMetrics 取 \(\lambda=0.94\)；GARCH(1,1) 在指数衰减之外给长期平均方差 \(V_L\) 一份权重，因而具有均值回归，可以预测未来方差路径和期权存续期的平均波动率，EWMA 是它 \(\omega=0\) 的特例。参数用极大似然估计，目标是最大化 \(\sum(-\ln v_i-u_i^2/v_i)\)，方差锁定可以减少一个参数；模型好坏看它能否消除 \(u_i^2\) 的自相关（Ljung–Box）。由 GARCH 得到的波动率期限结构和"冲击随期限递减"的规律被用于按期限缩放 vega。每个方差模型都有对应的协方差模型，可用来更新 VaR 所需的整个协方差矩阵，但方差与协方差必须用一致的方法计算，才能保证矩阵半正定。危机前夕波动率和相关性同时上升，使 EWMA VaR 远高于等权估计。

练习

基础题

1. \(\lambda=0.94\)，昨天的日波动率估计为 1.5%，今天收益为 −3%。用 EWMA 求明天的日波动率估计（参考原书习题 23.3、23.7）。 提示：\(\sigma^2=0.94\times0.015^2+0.06\times0.03^2=0.0002655\)，\(\sigma=1.629\%\)。注意收益符号不影响 EWMA。

2. GARCH(1,1) 为 \(\sigma_n^2=0.000003+0.04u_{n-1}^2+0.94\sigma_{n-1}^2\)。求长期平均方差、长期日波动率和年化波动率（按 252 天），并写出它对应的均值回归方程（参考原书习题 23.10）。 提示：\(\gamma=0.02\)，\(V_L=0.00015\)，日波动率 1.225%，年化 19.44%；\(dV=0.02(0.00015-V)dt+0.04\sqrt2\,V\,dz\)。

3. 求 \(\lambda=0.94\) 与 \(\lambda=0.97\) 的 EWMA 半衰期。如果某风险模型说"波动率半衰期 42 天"，对应的 \(\lambda\) 是多少？ 提示：11.2 天、22.8 天；\(\lambda=0.5^{1/42}=0.9836\)。

4. \(\lambda=0.94\)，\(X,Y\) 的日波动率估计为 1% 和 1.2%，相关系数 0.5。今天 \(X\) 涨 1.5%，\(Y\) 跌 0.5%。更新两者的波动率和相关系数（参考原书习题 23.9、23.11）。 提示：\(\sigma_x^2=0.0001075\)，\(\sigma_y^2=0.00013686\)，\(\text{cov}=0.94\times0.00006+0.06\times(-0.000075)=0.0000519\)；新波动率 1.037%、1.170%，新相关系数 0.428。

5. 某分析师给出三个资产的相关系数 \(\rho_{12}=0.8\)，\(\rho_{13}=0.8\)，\(\rho_{23}=0.2\)。这个矩阵内部一致吗？ 提示：\(0.64+0.64+0.04-2\times0.8\times0.8\times0.2=1.064>1\)，不一致（最小特征值约 −0.036）。直觉：1 与 2、1 与 3 都高度相关，2 与 3 就不可能只有 0.2。

6. 解释 EWMA 与 GARCH(1,1) 的区别，并说明为什么 GARCH(1,1) 的最优 \(\omega\) 为负时应改用 EWMA（原书习题 23.1、23.2）。 提示：GARCH 多一份给 \(V_L\) 的权重，因而均值回归；\(\omega<0\) 意味着 \(\gamma V_L<0\)，模型不稳定。

进阶题

7. 用第 2 题的 GARCH 模型，设当前日波动率为 1.8%。(a) 求 20 天后期望日波动率；(b) 求 30 天和 252 天期权定价所用的年化波动率；(c) 若瞬时年化波动率上升 1 个百分点，这两个期权的波动率各上升多少（参考原书习题 23.10、23.20）？ 提示：(a) \(0.00015+0.98^{20}\times0.000174=0.0002662\)，日波动率 1.631%；(b) \(a=\ln(1/0.98)=0.0202\)，\(\sigma(30)=26.59\%\)，\(\sigma(252)=21.53\%\)；(c) \(\sigma(0)=28.57\%\)，分别上升约 0.81 和 0.26 个百分点。

8. 证明 GARCH(1,1) 与连续时间模型 \(dV=a(V_L-V)dt+\xi V\,dz\)（\(a=1-\alpha-\beta\)，\(\xi=\alpha\sqrt2\)，时间以天计）等价，并把它换算成时间以年计、每年 252 个交易日的形式（原书习题 23.14）。 提示：见 23.3.3 节推导。时间以年计时 \(dt_{\text{年}}=dt_{\text{天}}/252\)：漂移速度变为 \(252a\)；\(dz\) 的方差按时间缩放，\(\xi\) 变为 \(\xi\sqrt{252}\)；若把 \(V\) 也换成年方差率，\(V_L\) 乘以 252，方程形式不变。

9. 说明为什么"方差用等权 500 天、协方差用 EWMA"会可能得到非半正定矩阵，而"全部用同一个 \(\lambda\) 的 EWMA"一定半正定。 提示：同一个 \(\lambda\) 时 \(\Omega=\sum_i c_i\,x_ix_i^{\mathsf T}\)（\(c_i\ge0\)），每个 \(x_ix_i^{\mathsf T}\) 半正定，非负组合仍半正定；混用权重后没有这种结构。参考代码第 (5) 步。

10. 编程：在代码第 (1) 步生成的序列上，复现 RiskMetrics 选 \(\lambda\) 的方法——对一组 \(\lambda\) 计算 \(\sum_i(v_i-\beta_i)^2\)，其中 \(\beta_i\) 为第 \(i\) 天起之后 25 天 \(u^2\) 的等权平均，找出使之最小的 \(\lambda\)，与 MLE 得到的 \(\lambda\) 比较（原书习题 23.19）。 提示：两种准则衡量的东西不同——MLE 看一步预测的似然，RiskMetrics 准则看对未来 25 天平均方差的预测，后者通常偏好更大的 \(\lambda\)（更平滑）。

原书推荐习题：23.3、23.8（EWMA 与 GARCH 单步更新）；23.9、23.11（协方差与相关系数递推更新）；23.10、23.20（长期波动率、期限结构、冲击传导，覆盖 23.6 节全部公式）；23.14（GARCH 与连续时间随机波动率模型等价，衔接第 27a 章）；23.19、23.22（用真实数据做已实现方差拟合与 MLE，最接近量化实务）。其他：23.4、23.6（参数变化的影响）；23.12、23.13（汇率换算后指数的波动率与相关系数：\(Z=XY\) 时百分比变化近似相加）；23.15、23.16、23.21（用作者网站数据重算四指数 VaR）。

原书对照

延伸阅读：Bollerslev (1986) GARCH 原始论文；Engle (1982) ARCH 原始论文；Engle & Mezrich (1995, 1996) 方差锁定与 GARCH 预测；Engle & Ng (1993) 非对称消息冲击；Cumby, Figlewski & Hasbrook (1993) EGARCH 预测；Noh, Engle & Kane (1994) 用 GARCH 预测波动率为期权定价。时间序列视角的完整处理见第 06 册第 03a、03b 章。