量化交易中文教材

第 14 章 维纳过程与伊藤引理

第 13 章的二叉树把时间切成离散的步，每一步股价只能涨或跌。当步长趋于零时，股价的运动变成什么样子？本章回答这个问题：我们为股价建立一个连续时间、连续取值的随机过程模型——几何布朗运动，并介绍处理这类过程的核心数学工具——伊藤引理（Itô's lemma）。

这一章是从"离散的二叉树"走向"连续的 Black–Scholes–Merton 模型"（第 15a、15b 章）的桥梁。有两点值得事先说明：

  • 理解连续时间随机过程的最大障碍是记号，而不是深奥的数学。原书和本章都会一步一步解释 \(dz\)、\(dx=a\,dt+b\,dz\) 这样的记号到底是什么意思——它们都是"小时间段 \(\Delta t\) 内的离散关系在 \(\Delta t\to0\) 时的极限"的简写。
  • 伊藤引理与普通微积分的链式法则只差一项：二阶导数项 \(\frac12\frac{\partial^2G}{\partial x^2}b^2\,dt\)。这一项的来源是 \((dz)^2=dt\)。本章会用直观推导和数值模拟让读者确信这一点。

学习目标

  1. 理解马尔可夫性质及其与弱式市场有效性的关系。
  2. 掌握维纳过程的两条定义性质，理解"方差随时间线性增长、标准差按 \(\sqrt T\) 增长"，以及维纳过程路径的奇特性质。
  3. 区分维纳过程、广义维纳过程和伊藤过程，能写出各自在任意时段内的分布。
  4. 理解为什么用几何布朗运动 \(dS=\mu S\,dt+\sigma S\,dz\) 描述股价，会写出其离散形式并用蒙特卡洛方法模拟路径，会生成相关的随机过程。
  5. 掌握伊藤引理的内容与推导思路，能熟练用它推导 \(\ln S\)、远期价格、\(S^n\) 等函数的过程。
  6. 掌握股价的对数正态性质，会计算未来股价的分布、概率与置信区间，理解 \(\mu\) 与 \(\mu-\sigma^2/2\) 的区别。

读前导读

这一章在解决什么问题。 这是整本衍生品教材数学上最陡的一段，但它要做的事情其实只有两件。

第一件：给"股价在连续时间里怎么随机变动"一个精确的说法。你在 CFA 里已经默认了很多结论——"年化波动率 = 日波动率 × \(\sqrt{252}\)""10 日 VaR = 1 日 VaR × \(\sqrt{10}\)""股价服从对数正态分布"。本章要说清楚这些结论从哪里来：它们都来自一个最朴素的模型，随机游走（每一小步独立地随机走一点）。随机游走有一个核心性质：方差随时间线性增长，所以标准差随时间的平方根增长。把随机游走的步子切得无限细，就得到维纳过程 \(dz\)。

第二件：既然股价 \(S\) 是随机的，期权价格 \(G(S,t)\) 作为 \(S\) 的函数也是随机的，那 \(G\) 怎么变动？普通微积分里你会用链式法则 \(dG=G'(S)dS\)；伊藤引理告诉你，当 \(S\) 是随机游走式的变量时，链式法则要多加一项 \(\frac12G''(S)(dS)^2\)，而且这一项不能丢。为什么？因为随机游走的小步长虽然小，它的平方却和时间同阶，不是可以忽略的"二阶小量"。

最好的类比是你熟悉的债券凸性。债券价格变化 \(\Delta P\approx-D\,P\,\Delta y+\frac12C\,P(\Delta y)^2\)：收益率变动很小时，凸性项通常可以忽略。但如果 \(\Delta y\) 是随机的、方差为 \(\sigma_y^2\Delta t\)，那么凸性项的期望是 \(\frac12CP\sigma_y^2\Delta t\)，和时间同阶——这就是"凸性有价值"的来源。伊藤引理里的二阶项就是这个凸性修正的一般化。

需要先想起来的数学。

  • 独立随机变量之和的方差。 \(X,Y\) 独立时 \(\mathrm{Var}(X+Y)=\mathrm{Var}(X)+\mathrm{Var}(Y)\)；常数倍 \(\mathrm{Var}(cX)=c^2\mathrm{Var}(X)\)。例：每天收益方差 \(0.0001\)（日波动率 1%），252 个独立交易日加总方差 \(0.0252\)，年波动率 \(\sqrt{0.0252}\approx15.9\%\)。标准差不能直接相加，方差可以。这是本章最常用的一条。
  • 导数、偏导数与二阶导数。 \(\frac{\partial G}{\partial x}\) 是"只动 \(x\)、其他不动"时 \(G\) 的变化率；\(\frac{\partial^2G}{\partial x^2}\) 是这个变化率本身的变化率（弯曲程度）。例：\(G=x^2\)，\(G_x=2x\)，\(G_{xx}=2\)；\(G=\ln x\)，\(G_x=1/x\)，\(G_{xx}=-1/x^2\)。本章常把它们简写为 \(G_x\)、\(G_t\)、\(G_{xx}\)。见 第 00 册第 02 章 导数与泰勒展开 和 第 05 章 多元微积分与优化。
  • 泰勒展开（一元与二元）。 \(G(x+\Delta x)-G(x)=G_x\Delta x+\frac12G_{xx}\Delta x^2+\cdots\)。久期对应一阶项，凸性对应二阶项。二元时多出 \(G_t\Delta t\)、交叉项 \(G_{xt}\Delta x\Delta t\) 等。伊藤引理就是"把二元泰勒展开写到二阶，再判断哪些项在 \(\Delta t\to0\) 时留得下来"。
  • "阶"的比较。 \(\Delta t\) 很小时，\(\Delta t^{1/2}\gg\Delta t\gg\Delta t^{3/2}\gg\Delta t^2\)。例：\(\Delta t=0.0001\)，四者分别为 \(0.01\)、\(0.0001\)、\(0.000001\)、\(0.00000001\)。凡是比 \(\Delta t\) 更高阶的项，在累加 \(T/\Delta t\) 次之后仍趋于 0，可以丢掉；与 \(\Delta t\) 同阶的项累加后得到有限值，必须保留。
  • 正态分布的矩与标准化。 \(\epsilon\sim N(0,1)\) 时 \(E\epsilon=0\)，\(E\epsilon^2=1\)，\(E\epsilon^4=3\)。若 \(X\sim N(m,s^2)\)，则 \(P(X>c)=N\big(\frac{m-c}{s}\big)\)。见 第 00 册第 07 章 概率中的分析工具。

本章的记号。 \(\phi(m,v)\)：均值 \(m\)、方差 \(v\) 的正态分布（注意第二个参数是方差，不是标准差）。\(\epsilon\)：标准正态随机数。\(dz\)：维纳过程的"无穷小增量"，读作"\(\Delta z\) 在 \(\Delta t\to0\) 时的极限"，不是一个普通的数。\(dt\)：无穷小的时间增量。

怎么读这一章。 14.1 快速读。14.2 是全章地基，必须精读，尤其是"方差可加、标准差不可加"和 \(\Delta z=\epsilon\sqrt{\Delta t}\)。14.3 的几何布朗运动必读，例 14.3 要手算。14.4、14.5 读结论。14.6 是重中之重：先读定理和"应用于股价模型"，再跟着下面的推导拆解框一行一行走推导，最后做应用一（远期）。14.7 的 \(d\ln S\) 推导必须能独立写出来，它是 Black–Scholes 公式的直接前提。多变量伊藤引理第一次可以跳过。建议读完后完成练习 6、7，这是检验是否掌握伊藤引理最直接的方式。

14.1 随机过程与马尔可夫性质

随机过程

值随时间不确定地变化的变量，称其遵循一个随机过程（stochastic process）。随机过程可以从两个维度分类：

  • 按时间：**离散时间（discrete-time）**过程只在某些固定时点上变化；**连续时间（continuous-time）**过程在任何时刻都可以变化。
  • 按取值：**连续变量（continuous-variable）**过程可以取某个区间内的任意值；**离散变量（discrete-variable）**过程只能取某些离散值。

本章为股价建立一个连续变量、连续时间的随机过程。实际中股价只能取离散值（例如 1 美分的整数倍），并且只在交易所开市时变化，但连续模型在许多用途上非常有用，这是理解期权及更复杂衍生品定价的第一步。

马尔可夫过程

**马尔可夫过程（Markov process）**是一种特殊的随机过程：只有变量的当前值与预测未来有关，变量过去的历史，以及当前值是如何从过去演变而来的，都与预测未来无关。

通常假设股价服从马尔可夫过程。假设某股票现在的价格是 100 美元，在马尔可夫假设下，对未来股价的预测不应受一周前、一个月前或一年前的股价影响——只有"现在是 100"这个信息有用。对未来的预测是用概率分布表示的，马尔可夫性意味着：未来任意时刻股价的概率分布，不依赖于股价过去走过的具体路径。

需要澄清一点：股价历史的统计性质（例如波动率）可以用来确定随机过程的参数；与预测无关的只是过去的具体路径。

马尔可夫性与弱式有效市场

股价的马尔可夫性与**弱式市场有效性（weak form of market efficiency）**是一致的：当前股价已经包含了历史价格记录中的全部信息。如果弱式有效不成立，技术分析者就能通过解读历史价格图表获得超额收益，但几乎没有证据表明他们能做到。

是市场竞争保证了弱式有效和马尔可夫性。假设有人发现某种价格形态出现后股价有 65% 的概率大涨，投资者就会在形态一出现时立即买入，需求上升使价格立即上涨，这个效应和获利机会随之消失。

对量化交易者而言，这一节提供的是一个"零假设"：任何基于历史价格的信号（动量、反转、技术形态）都要先证明自己显著偏离了马尔可夫/弱式有效的基准，并且要考虑到竞争会使有效信号随时间衰减。

14.2 连续时间随机过程

引例：方差可加，标准差不可加

考虑一个服从马尔可夫过程的变量，当前值为 10，它在一年内的变化服从 \(\phi(0,1)\)——这里 \(\phi(m,v)\) 表示均值为 \(m\)、方差为 \(v\) 的正态分布。

  • 两年内的变化：是两个独立的一年期变化之和（马尔可夫性保证了独立）。两个独立正态变量之和仍是正态，均值相加、方差相加，所以两年内的变化服从 \(\phi(0,2)\)，标准差为 \(\sqrt2\)。
  • 6 个月内的变化：一年的方差等于两个半年方差之和，而两个半年的方差相等，所以 6 个月内的变化服从 \(\phi(0,0.5)\)，标准差为 \(\sqrt{0.5}\)。
  • 同理，3 个月为 \(\phi(0,0.25)\)；任意长度 \(T\) 为 \(\phi(0,T)\)；极短的时间 \(\Delta t\) 为 \(\phi(0,\Delta t)\)。

结论：马尔可夫过程中，相继时段上变化的方差可以相加，标准差则不能相加。 这就是为什么不确定性与时间的平方根成正比。严格地说，不应称该变量的标准差为"每年 1.0"，而应说方差为"每年 1.0"。

白话解释：从最简单的随机游走讲起。每天抛一次硬币，正面 +1、反面 −1，记累计位置为 \(z_n\)。每一步均值 0、方差 \(1\)（\(E[\text{步}^2]=1\)）。走 \(n\) 步后：均值还是 0，方差 \(=n\)（独立步子方差相加），标准差 \(=\sqrt n\)。走 100 步，典型偏离只有 10 步，而不是 100 步——因为正负步子大量相互抵消，只有"没抵消干净"的那部分留下来，这部分按 \(\sqrt n\) 增长。 这就是"方差随时间线性增长"的全部含义：时间翻倍，方差翻倍，标准差只乘以 \(\sqrt2\approx1.41\)。 维纳过程就是把这个硬币游戏的步子切得无限细、无限多，同时让每步的大小相应缩小，使得"每单位时间的方差"固定为 1。

金融直觉：你在 CFA 里用过的 \(\sqrt T\) 规则全都来自这里。日波动率 1% 的股票，年化波动率 \(1\%\times\sqrt{252}\approx15.9\%\)；1 日 99% VaR 为 100 万，10 日 VaR 约为 \(100\times\sqrt{10}\approx316\) 万。成立的前提正是本节的两条：各日收益独立（马尔可夫），各日方差相同。现实中收益有波动率聚集、偶有自相关，\(\sqrt T\) 规则只是近似。

维纳过程

上面的变量就是一个维纳过程（Wiener process）：漂移为零、方差率为每年 1.0 的马尔可夫随机过程。它在物理学中用来描述一个受到大量微小分子冲击的粒子的运动，因此也称为布朗运动（Brownian motion）。

变量 \(z\) 服从维纳过程，当且仅当它满足以下两条性质：

性质 1：在一个小时间段 \(\Delta t\) 内，\(z\) 的变化 \(\Delta z\) 为

\[\Delta z=\epsilon\sqrt{\Delta t}, \tag{14.1}\]

其中 \(\epsilon\) 服从标准正态分布 \(\phi(0,1)\)。因此 \(\Delta z\) 服从正态分布，均值为 0，标准差为 \(\sqrt{\Delta t}\)，方差为 \(\Delta t\)。

性质 2：任意两个不重叠的小时间段 \(\Delta t\) 内的 \(\Delta z\) 相互独立。由此 \(z\) 是马尔可夫过程。

较长时段内的变化。 把时段 \([0,T]\) 分成 \(N=T/\Delta t\) 个小区间：

\[z(T)-z(0)=\sum_{i=1}^N\epsilon_i\sqrt{\Delta t}, \tag{14.2}\]

其中 \(\epsilon_i\) 独立同分布于 \(\phi(0,1)\)。所以 \(z(T)-z(0)\) 服从正态分布，均值 0，方差 \(N\Delta t=T\)，标准差 \(\sqrt T\)。

推导拆解：(14.2) 的分布逐步算。 ① 均值：\(E\big[\sum\epsilon_i\sqrt{\Delta t}\big]=\sum\sqrt{\Delta t}E[\epsilon_i]=0\)。用了"期望是线性的"。 ② 方差：每一项 \(\mathrm{Var}(\epsilon_i\sqrt{\Delta t})=(\sqrt{\Delta t})^2\mathrm{Var}(\epsilon_i)=\Delta t\)（常数提出来要平方）。\(N\) 项相互独立，方差直接相加：\(N\Delta t=\frac{T}{\Delta t}\Delta t=T\)。 ③ 分布：独立正态变量之和仍是正态（正态分布的"可加性"）。 为什么每一步偏偏是 \(\epsilon\sqrt{\Delta t}\)，而不是 \(\epsilon\Delta t\) 或 \(\epsilon\)？试一下另外两种：若 \(\Delta z=\epsilon\Delta t\)，总方差 \(=N\Delta t^2=T\Delta t\to0\)，切得越细随机性越小，最后什么都不剩；若 \(\Delta z=\epsilon\)，总方差 \(=N=T/\Delta t\to\infty\)，切得越细越爆炸。只有 \(\sqrt{\Delta t}\) 能让总方差恰好等于 \(T\)、与怎么切分无关。\(\sqrt{\Delta t}\) 不是随意选的，是"方差与时间成正比"这一要求逼出来的唯一选择，和第 13 章 CRR 树里 \(u=e^{\sigma\sqrt{\Delta t}}\) 是同一个道理。

例 14.1 某变量服从维纳过程，初始值为 25，时间以年计。1 年后，该变量服从均值 25、标准差 1.0 的正态分布；5 年后，服从均值 25、标准差 \(\sqrt5=2.236\) 的正态分布。不确定性按展望期的平方根增长。

记号 \(dz\)

普通微积分中，\(dx=a\,dt\) 是"\(\Delta t\to0\) 时 \(\Delta x=a\Delta t\)"的简写。随机微积分沿用同样的习惯：称 \(dz\) 为维纳过程，意思是 \(\Delta t\to0\) 的极限下 \(\Delta z\) 具有上述两条性质。

原书图 14.1 展示了 \(\Delta t\) 越来越小时维纳过程的路径：路径变得非常"锯齿状"。原因是 \(\Delta t\) 很小时，\(\sqrt{\Delta t}\) 远大于 \(\Delta t\)——例如 \(\Delta t=0.0001\) 时 \(\sqrt{\Delta t}=0.01\)，比 \(\Delta t\) 大 100 倍。由此产生两个奇特的性质：

  1. 在任意时间区间内，维纳过程路径的期望长度是无穷大；
  2. 在任意时间区间内，\(z\) 等于某个特定值的期望次数是无穷大。

性质 1 可以这样理解：\(N\) 个小区间上 \(|\Delta z|\) 之和的期望是 \(N\cdot\sqrt{\Delta t}\cdot E|\epsilon|=\sqrt{N}\sqrt{T}\sqrt{2/\pi}\)，随 \(N\to\infty\) 发散。与之对照，\((\Delta z)^2\) 之和的期望恒为 \(N\Delta t=T\)，而且其方差为 \(2T\Delta t\to0\)——平方和收敛到一个确定的数 \(T\)。这正是后面伊藤引理中 "\((dz)^2=dt\)" 的来源。本章"量化实战"会用模拟验证这两点。

推导拆解：这一段是全章最关键的事实，逐项补全。 ① 一阶变差（路径"走过的总路程"）\(\sum_{i=1}^N|\Delta z_i|\)。每项 \(|\epsilon_i|\sqrt{\Delta t}\) 的期望是 \(\sqrt{\Delta t}\,E|\epsilon|\)，而标准正态的 \(E|\epsilon|=\sqrt{2/\pi}\approx0.798\)。\(N\) 项之和的期望 \(=N\sqrt{\Delta t}\times0.798\)。把 \(\Delta t=T/N\) 代入：\(N\sqrt{T/N}=\sqrt{NT}\)，随 \(N\) 增大按 \(\sqrt N\) 发散。 ② 二次变差（"每步的平方加总"）\(\sum_{i=1}^N(\Delta z_i)^2=\sum\epsilon_i^2\Delta t\)。期望：\(E\epsilon^2=1\)，所以期望 \(=N\Delta t=T\)。方差：\(\mathrm{Var}(\epsilon^2)=E\epsilon^4-(E\epsilon^2)^2=3-1=2\)，每项方差 \(2\Delta t^2\)，\(N\) 项独立相加得 \(2N\Delta t^2=2T\Delta t\)，趋于 0。 ③ 结论：一个随机变量，期望是 \(T\)、方差趋于 0，那它就趋于确定的数 \(T\)。用数字感受一下：\(T=1\) 年、按交易日切分 \(\Delta t=1/252\)，二次变差的标准差是 \(\sqrt{2/252}\approx0.089\)；按分钟切分（约 \(\Delta t=1/98{,}000\)）标准差约 \(0.0045\)。切得越细，越接近一个常数。 白话：每一步 \(\Delta z\) 有正有负，相加会大量抵消；但平方之后全都是正的，不会抵消，而且每一步的平方都"差不多是 \(\Delta t\)"，加起来就稳稳地等于 \(T\)。这句话浓缩成符号就是 \((dz)^2=dt\)：一小步的平方，在累加意义下等于这一小步的时间长度。

广义维纳过程

一个随机过程单位时间内的平均变化称为漂移率（drift rate），单位时间内的方差称为方差率（variance rate）。基本维纳过程的漂移率为 0、方差率为 1.0。变量 \(x\) 的**广义维纳过程（generalized Wiener process）**定义为

\[dx=a\,dt+b\,dz, \tag{14.3}\]

其中 \(a\)、\(b\) 为常数。

  • \(a\,dt\) 项表示 \(x\) 单位时间的期望漂移为 \(a\)。若没有 \(b\,dz\) 项，\(dx/dt=a\)，积分得 \(x=x_0+at\)，即时间 \(T\) 内 \(x\) 增加 \(aT\)。
  • \(b\,dz\) 项给路径加入噪声，噪声的方差率为 \(b^2\)。

离散形式为

\[\Delta x=a\Delta t+b\epsilon\sqrt{\Delta t},\]

所以 \(\Delta x\) 服从正态分布，均值 \(a\Delta t\)，标准差 \(b\sqrt{\Delta t}\)，方差 \(b^2\Delta t\)。同样的论证表明，任意时段 \(T\) 内 \(x\) 的变化服从正态分布，均值 \(aT\)，标准差 \(b\sqrt T\)，方差 \(b^2T\)（原书图 14.2 以 \(a=0.3\)、\(b=1.5\) 为例）。

白话解释：\(dx=a\,dt+b\,dz\) 读作"每一小段时间里，\(x\) 的变化 = 确定的趋势 + 随机的噪声"。它和回归式 \(y=\alpha+\varepsilon\) 结构一样：\(a\,dt\) 是可预期的部分，\(b\,dz\) 是不可预期的部分，\(b\) 是噪声的放大倍数。 两部分随时间增长的速度不同：趋势按 \(T\) 增长，噪声的标准差按 \(\sqrt T\) 增长。所以短期噪声主导，长期趋势主导。例 14.2 里，漂移 20、标准差 30：1 年时噪声（30）大于趋势（20）；9 年时趋势 180、噪声 90，趋势占上风。这也是"短期择时难、长期持有收益更可预测"的数学表述。

例 14.2 某公司的现金头寸（以千美元计）服从广义维纳过程，漂移率为每年 20，方差率为每年 900，初始值为 50。1 年后，现金头寸服从均值 \(50+20=70\)、标准差 \(\sqrt{900}=30\) 的正态分布；6 个月后，服从均值 60、标准差 \(30\sqrt{0.5}=21.21\) 的正态分布。（现金头寸可以为负，表示公司在借款。）

伊藤过程

再推广一步：若参数 \(a\)、\(b\) 是标的变量 \(x\) 与时间 \(t\) 的函数，就得到伊藤过程（Itô process）：

\[dx=a(x,t)\,dt+b(x,t)\,dz. \tag{14.4}\]

此时期望漂移率和方差率都可以随时间和 \(x\) 的取值变化。在 \(t\) 到 \(t+\Delta t\) 的小区间内，

\[\Delta x=a(x,t)\Delta t+b(x,t)\epsilon\sqrt{\Delta t}.\]

这里有一个小的近似：假设在 \(t\) 到 \(t+\Delta t\) 之间漂移率和方差率保持为 \(t\) 时刻的值。

伊藤过程是马尔可夫的，因为 \(t\) 时刻 \(x\) 的变化只依赖于 \(t\) 时刻 \(x\) 的值，不依赖于其历史。如果允许 \(a\)、\(b\) 依赖于 \(x\) 在 \(t\) 之前的值，就会得到非马尔可夫过程。

注意：伊藤过程在短时间内的变化近似服从正态分布，但在长时间内可能不服从正态分布——下面的股价过程就是一例。

14.3 股价过程

为什么不用广义维纳过程

一个自然的想法是用常数漂移、常数方差率的广义维纳过程描述股价。但这忽略了一个关键事实：投资者要求的是预期的百分比收益，它与股价水平无关。 如果股价为 10 美元时投资者要求 14% 的年预期收益，那么股价为 50 美元时他们要求的仍然是 14%，而不是固定的每年若干美元。

因此应当假设预期收益率（期望漂移除以股价）为常数：股价 \(S\) 的期望漂移率为 \(\mu S\)，在短时间 \(\Delta t\) 内 \(S\) 的期望增量为 \(\mu S\Delta t\)。参数 \(\mu\) 就是股票的预期收益率（以小数表示）。

无不确定性时：\(\Delta S=\mu S\Delta t\)，极限下

\[dS=\mu S\,dt\quad\text{即}\quad\frac{dS}{S}=\mu\,dt.\]

从 0 到 \(T\) 积分得

\[S_T=S_0e^{\mu T}, \tag{14.5}\]

即股价以连续复利率 \(\mu\) 增长。

加入不确定性：几何布朗运动

一个合理的假设是：短时间 \(\Delta t\) 内收益率的变动性与股价水平无关。投资者对 50 美元的股票和 10 美元的股票在收益率上同样不确定。换言之，\(\Delta t\) 内股价变化的标准差应与股价成正比。这引出模型

\[dS=\mu S\,dt+\sigma S\,dz\qquad\text{或}\qquad\frac{dS}{S}=\mu\,dt+\sigma\,dz. \tag{14.6}\]

这是最广泛使用的股价模型，称为几何布朗运动（geometric Brownian motion, GBM）。其中 \(\mu\) 是股票的预期收益率，\(\sigma\) 是股价的波动率（volatility），\(\sigma^2\) 称为方差率。

需要强调：式 (14.6) 描述的是真实世界中的股价过程。在第 13 章的风险中性世界中，\(\mu\) 等于无风险利率 \(r\)。

金融直觉：几何布朗运动就是"对收益率做随机游走"，而不是对价格做随机游走。左边 \(dS/S\) 是瞬时收益率，右边是"期望收益 \(\mu\,dt\) + 收益的噪声 \(\sigma\,dz\)"。\(\mu\) 和 \(\sigma\) 就是你在 CFA 里熟悉的年化预期收益和年化波动率。 为什么叫"几何"？因为价格是在乘法意义上累积的：每一小步价格乘以 \((1+\text{小收益})\)。对比"算术布朗运动"\(dS=a\,dt+b\,dz\)（价格本身做随机游走），后者价格可以变负，而且 10 元股和 1,000 元股每年涨跌同样多的"元"，显然不合理。CRR 二叉树里每步"乘以 \(u\) 或 \(d\)"正是几何布朗运动的离散版本。

离散时间形式

式 (14.6) 的离散形式为

\[\frac{\Delta S}{S}=\mu\Delta t+\sigma\epsilon\sqrt{\Delta t}, \tag{14.7}\]

或

\[\Delta S=\mu S\Delta t+\sigma S\epsilon\sqrt{\Delta t}. \tag{14.8}\]

左边 \(\Delta S/S\) 是短时间 \(\Delta t\) 内股票收益率的离散近似。右边 \(\mu\Delta t\) 是收益率的期望值，\(\sigma\epsilon\sqrt{\Delta t}\) 是随机部分，其方差为 \(\sigma^2\Delta t\)，这与第 13 章 13.7 节对波动率的定义一致。也就是说，

\[\frac{\Delta S}{S}\sim\phi(\mu\Delta t,\ \sigma^2\Delta t). \tag{14.9}\]

例 14.3 某无股息股票的波动率为每年 30%，预期收益率为每年 15%（连续复利）。\(\mu=0.15\)，\(\sigma=0.30\)，股价过程为

\[\frac{dS}{S}=0.15\,dt+0.30\,dz.\]
取 \(\Delta t\) 为 1 周，即 \(0.0192\) 年：
\[\frac{\Delta S}{S}=0.15\times0.0192+0.30\sqrt{0.0192}\,\epsilon,\]
即
\[\Delta S=0.00288S+0.0416S\epsilon. \tag{14.10}\]

蒙特卡洛模拟

**蒙特卡洛模拟（Monte Carlo simulation）**是对随机过程抽取随机结果的方法，是理解随机过程最直观的途径。用式 (14.10) 反复从 \(\phi(0,1)\) 中抽取 \(\epsilon\)，就可以模拟一条股价路径。原书在 Excel 中用 =NORMSINV(RAND()) 生成标准正态样本（RAND() 生成 0–1 均匀随机数，NORMSINV 是标准正态分布的逆累积分布函数）。

原书表 14.1 模拟了 10 周的路径，初始股价 100：

  • 第 1 周 \(\epsilon=0.52\)，\(\Delta S=0.00288\times100+0.0416\times100\times0.52=2.45\)，股价变为 102.45；
  • 第 2 周 \(\epsilon=1.44\)，\(\Delta S=0.00288\times102.45+0.0416\times102.45\times1.44=6.43\)，股价变为 108.88；
  • ……第 10 周末股价为 111.54（各周的 \(\epsilon\) 有正有负）。

几点说明：

  • 过程是马尔可夫的，所以各期的 \(\epsilon\) 应独立抽取。
  • 表中只是无数可能路径中的一条。期末价格 111.54 是 10 周后股价分布的一个随机样本；反复模拟可以得到完整的分布。
  • 可以使用任意小的 \(\Delta t\)，\(\Delta t\to0\) 时离散模拟完美地描述了连续过程。
  • 实践中对 \(\ln S\) 而不是 \(S\) 抽样更有效，因为 \(\ln S\) 的增量可以精确抽样，与 \(\Delta t\) 的大小无关（14.7 节和第 21b 章 21.6 节）。

14.4 参数 \(\mu\) 与 \(\sigma\)

\(\mu\) 是投资者在短时间内获得的年化预期收益率。多数投资者承担更高的风险就要求更高的预期收益，所以 \(\mu\) 取决于股票收益的风险——更准确地说，取决于其中不可分散的部分（系统性风险）。\(\mu\) 也取决于经济中的利率水平：利率越高，对任何股票要求的预期收益越高。

幸运的是，依赖于股票的衍生品的价值一般与 \(\mu\) 无关（第 13 章已经在二叉树中看到这一点，第 15a 章将在连续时间中证明），所以我们不必深究 \(\mu\) 由什么决定。

相反，波动率 \(\sigma\) 对许多衍生品的价值至关重要。股票的波动率典型值在 0.15 到 0.60（15% 到 60%）之间。波动率的估计方法见第 15a 章。

短时间 \(\Delta t\) 内股价比例变化的标准差为 \(\sigma\sqrt{\Delta t}\)。作为粗略的近似，较长时间 \(T\) 内的比例变化标准差为 \(\sigma\sqrt T\)。因此波动率可以近似理解为"股价在一年内变化（按比例计）的标准差"。第 15a 章将证明，波动率恰好等于一年期连续复利收益率的标准差。

14.5 相关过程

到目前为止我们只讨论了单个变量。现在考虑两个或多个变量的随机过程相关的情形。设

\[dx_1=a_1\,dt+b_1\,dz_1,\qquad dx_2=a_2\,dt+b_2\,dz_2,\]

\(dz_1\)、\(dz_2\) 都是维纳过程。离散近似为

\[\Delta x_1=a_1\Delta t+b_1\epsilon_1\sqrt{\Delta t},\qquad\Delta x_2=a_2\Delta t+b_2\epsilon_2\sqrt{\Delta t}.\]
  • 若两个过程不相关，模拟时每一期的 \(\epsilon_1\)、\(\epsilon_2\) 独立抽样。
  • 若两个过程的相关系数为 \(\rho\)，则 \(\epsilon_1\)、\(\epsilon_2\) 应从相关系数为 \(\rho\) 的二元正态分布中抽样。此时称 \(dz_1\) 与 \(dz_2\) 的相关系数为 \(\rho\)。

抽样方法：取两个独立的标准正态变量 \(u\)、\(v\)，令

\[\epsilon_1=u,\qquad\epsilon_2=\rho u+\sqrt{1-\rho^2}\,v.\]

容易验证 \(\mathrm{Var}(\epsilon_2)=\rho^2+(1-\rho^2)=1\)，\(\mathrm{Cov}(\epsilon_1,\epsilon_2)=\rho\)。这实际上是 \(2\times2\) 相关矩阵的 Cholesky 分解（矩阵分解见第 01 册第 07a 章）。

参数 \(a_1,a_2,b_1,b_2\) 可以是 \(x_1\)、\(x_2\) 和 \(t\) 的函数，例如 \(a_1\)、\(b_1\) 可以依赖于 \(x_2\)。三个相关变量需要从三元正态分布中抽样，\(n\) 个相关变量需要从相应的多元正态分布中抽样，方法见第 21b 章。

14.6 伊藤引理

为什么需要伊藤引理

股票期权的价格是标的股价和时间的函数。更一般地，任何衍生品的价格都是其标的随机变量和时间的函数。因此，要研究衍生品，必须理解随机变量的函数服从什么样的随机过程。数学家伊藤清（K. Itô）在 1951 年发现了这个问题的答案，称为伊藤引理（Itô's lemma）。

定理

设变量 \(x\) 服从伊藤过程

\[dx=a(x,t)\,dt+b(x,t)\,dz, \tag{14.11}\]

其中 \(dz\) 是维纳过程，\(a\)、\(b\) 是 \(x\) 和 \(t\) 的函数，漂移率为 \(a\)、方差率为 \(b^2\)。伊藤引理说：\(x\) 与 \(t\) 的函数 \(G\) 服从过程

\[\boxed{dG=\left(\frac{\partial G}{\partial x}a+\frac{\partial G}{\partial t}+\frac12\frac{\partial^2G}{\partial x^2}b^2\right)dt+\frac{\partial G}{\partial x}b\,dz} \tag{14.12}\]

其中的 \(dz\) 与式 (14.11) 中是同一个维纳过程。因此 \(G\) 也服从伊藤过程，漂移率为

\[\frac{\partial G}{\partial x}a+\frac{\partial G}{\partial t}+\frac12\frac{\partial^2G}{\partial x^2}b^2,\]

方差率为

\[\left(\frac{\partial G}{\partial x}\right)^2b^2.\]

严格证明超出了本书范围，下面给出的推导说明它是普通微积分结果的自然推广。

白话解释：先逐项读懂 (14.12)，推导放在后面。

  • \(\frac{\partial G}{\partial x}a\,dt\)：\(x\) 按趋势 \(a\) 移动，\(G\) 跟着按斜率 \(G_x\) 移动。这是普通的链式法则。
  • \(\frac{\partial G}{\partial t}dt\)：即使 \(x\) 不动，\(G\) 也可能因时间流逝而变化。期权的时间价值衰减（theta）就是这一项。
  • \(\frac12\frac{\partial^2G}{\partial x^2}b^2\,dt\)：伊藤修正项。\(x\) 的随机抖动本身平均为零，但如果 \(G\) 是弯曲的（\(G_{xx}\ne0\)），抖动会通过"弯曲"产生一个确定方向的平均效应。\(G\) 向上凸（\(G_{xx}>0\)，如看涨期权对股价），抖动平均让 \(G\) 变大；向下凹（如 \(\ln x\)），抖动平均让 \(G\) 变小。
  • \(\frac{\partial G}{\partial x}b\,dz\)：\(x\) 的随机部分按斜率 \(G_x\) 传递给 \(G\)。\(G\) 的随机性完全来自 \(x\) 的随机性，没有新的噪声源。 一句话：伊藤引理 = 普通链式法则 + 凸性修正。

金融直觉：用债券凸性来理解修正项。债券价格 \(P(y)\) 对收益率 \(y\) 的二阶泰勒展开是 \(\Delta P\approx P'\Delta y+\frac12P''(\Delta y)^2\)。若收益率围绕现值对称地随机波动，\(E[\Delta y]=0\)，一阶项平均为零；但 \((\Delta y)^2\) 永远为正，所以 \(E[\Delta P]\approx\frac12P''\mathrm{Var}(\Delta y)\)——凸性高的债券在波动的市场里平均来说"占便宜"。若 \(\Delta y\) 是随机游走式的增量，\(\mathrm{Var}(\Delta y)=b^2\Delta t\)，这个凸性收益就是 \(\frac12P''b^2\Delta t\)，和伊藤修正项一模一样。期权多头的 gamma（即 \(G_{SS}>0\)）就是凸性，修正项正是"做多 gamma 从波动中获益"的数学来源。

推导（原书附录）

普通微积分。 设 \(G\) 是 \(x\) 的连续可微函数，\(\Delta x\) 是 \(x\) 的小变化，\(\Delta G\) 是 \(G\) 的相应变化。一阶近似为

\[\Delta G\approx\frac{dG}{dx}\Delta x, \tag{14A.1}\]

误差是 \(\Delta x^2\) 阶的。更精确地，用泰勒展开：

\[\Delta G=\frac{dG}{dx}\Delta x+\frac12\frac{d^2G}{dx^2}\Delta x^2+\frac16\frac{d^3G}{dx^3}\Delta x^3+\cdots\]

对两个变量的函数 \(G(x,y)\)，一阶近似为 \(\Delta G\approx\frac{\partial G}{\partial x}\Delta x+\frac{\partial G}{\partial y}\Delta y\)（14A.2），泰勒展开为

\[\Delta G=\frac{\partial G}{\partial x}\Delta x+\frac{\partial G}{\partial y}\Delta y+\frac12\frac{\partial^2G}{\partial x^2}\Delta x^2+\frac{\partial^2G}{\partial x\partial y}\Delta x\Delta y+\frac12\frac{\partial^2G}{\partial y^2}\Delta y^2+\cdots \tag{14A.3}\]

当 \(\Delta x\)、\(\Delta y\) 趋于零时，二阶及更高阶项都比一阶项小得多，可以忽略，得到 \(dG=\frac{\partial G}{\partial x}dx+\frac{\partial G}{\partial y}dy\)（14A.4）。这就是普通微积分的全微分。

推广到伊藤过程。 现在 \(x\) 服从伊藤过程 \(dx=a(x,t)\,dt+b(x,t)\,dz\)（14A.5），\(G=G(x,t)\)。类比式 (14A.3)：

\[\Delta G=\frac{\partial G}{\partial x}\Delta x+\frac{\partial G}{\partial t}\Delta t+\frac12\frac{\partial^2G}{\partial x^2}\Delta x^2+\frac{\partial^2G}{\partial x\partial t}\Delta x\Delta t+\frac12\frac{\partial^2G}{\partial t^2}\Delta t^2+\cdots \tag{14A.6}\]

\(x\) 的离散化为

\[\Delta x=a\Delta t+b\epsilon\sqrt{\Delta t}. \tag{14A.7}\]

关键差异就在这里。 普通微积分中 \(\Delta x^2\) 是二阶小量，可以忽略；但现在

\[\Delta x^2=b^2\epsilon^2\Delta t+\Delta t\text{ 的更高阶项}, \tag{14A.8}\]

\(\Delta x^2\) 中含有 \(\Delta t\) 阶的成分 \(b^2\epsilon^2\Delta t\)，与一阶项 \(\frac{\partial G}{\partial t}\Delta t\) 同阶，不能忽略。

推导拆解：把 (14A.8) 的平方展开写全，并给 (14A.6) 中每一项定"阶"。 ① 由 \(\Delta x=a\Delta t+b\epsilon\sqrt{\Delta t}\) 平方：\(\Delta x^2=a^2\Delta t^2+2ab\epsilon\Delta t^{3/2}+b^2\epsilon^2\Delta t\)。三项的阶分别是 \(\Delta t^2\)、\(\Delta t^{3/2}\)、\(\Delta t\)，只有最后一项和 \(\Delta t\) 同阶。 ② 同理，\(\Delta x\Delta t=a\Delta t^2+b\epsilon\Delta t^{3/2}\)，最低是 \(\Delta t^{3/2}\) 阶。 ③ 现在给 (14A.6) 的每一项排队：

  • \(G_x\Delta x\)：含 \(\sqrt{\Delta t}\) 阶（随机）和 \(\Delta t\) 阶（漂移），保留；
  • \(G_t\Delta t\)：\(\Delta t\) 阶，保留；
  • \(\frac12G_{xx}\Delta x^2\)：主要部分 \(\frac12G_{xx}b^2\epsilon^2\Delta t\) 是 \(\Delta t\) 阶，保留；
  • \(G_{xt}\Delta x\Delta t\)：\(\Delta t^{3/2}\) 阶，丢弃；
  • \(\frac12G_{tt}\Delta t^2\)：\(\Delta t^2\) 阶，丢弃；
  • 三阶及以上（如 \(\Delta x^3\sim\Delta t^{3/2}\)）：丢弃。 ④ 判断标准：从 0 到 \(T\) 要累加 \(N=T/\Delta t\) 个小区间。\(\Delta t\) 阶的项累加后是有限数，必须留；\(\Delta t^{3/2}\) 阶的项累加后是 \(N\Delta t^{3/2}=T\sqrt{\Delta t}\to0\)，可以丢。普通微积分里 \(\Delta x\sim\Delta t\)，所以 \(\Delta x^2\sim\Delta t^2\) 可以丢；这里 \(\Delta x\sim\sqrt{\Delta t}\)，平方之后"降级"成 \(\Delta t\)，就丢不得了。伊藤引理和普通链式法则的全部差别，就来自"随机增量是 \(\sqrt{\Delta t}\) 量级"这一点。

接下来说明 \(\epsilon^2\Delta t\) 在极限下可以当作确定的 \(\Delta t\)。因为 \(\epsilon\sim\phi(0,1)\)，\(E(\epsilon)=0\)、\(\mathrm{Var}(\epsilon)=1\)，所以 \(E(\epsilon^2)=1\)，\(E(\epsilon^2\Delta t)=\Delta t\)。而 \(\epsilon^2\) 的方差为 2（标准正态的性质 \(E\epsilon^4=3\)），所以 \(\epsilon^2\Delta t\) 的方差为 \(2\Delta t^2\)。一个随机变量在 \(\Delta t\) 内变化的方差应与 \(\Delta t\) 成正比，而 \(\epsilon^2\Delta t\) 的方差是 \(\Delta t^2\) 阶，小到可以认为它没有随机成分。因此 \(\Delta t\to0\) 时可以把 \(\epsilon^2\Delta t\) 视为确定的、等于其期望 \(\Delta t\)，即

\[\Delta x^2\to b^2\,dt\qquad\text{（常写作 }(dz)^2=dt\text{）}.\]

（从直觉上说：在一段有限时间内，许多个 \(\epsilon_i^2\Delta t\) 相加，由大数定律，和收敛到确定的值——这正是 14.2 节中"\((\Delta z)^2\) 之和收敛到 \(T\)"的结论。）

\(\Delta x\Delta t\) 是 \(\Delta t^{3/2}\) 阶，\(\Delta t^2\) 是二阶，都可以忽略。取极限，式 (14A.6) 变为

\[dG=\frac{\partial G}{\partial x}dx+\frac{\partial G}{\partial t}dt+\frac12\frac{\partial^2G}{\partial x^2}b^2\,dt. \tag{14A.9}\]

代入 \(dx=a\,dt+b\,dz\)，即得伊藤引理 (14.12)。与普通微积分相比，唯一多出来的就是 \(\frac12\frac{\partial^2G}{\partial x^2}b^2\,dt\) 这一项。

推导拆解：最后一步代入，并总结成一张"乘法表"。 ① 把 \(dx=a\,dt+b\,dz\) 代入 (14A.9) 的 \(G_x\,dx\)：\(G_xa\,dt+G_xb\,dz\)。 ② 与 \(G_t\,dt\)、\(\frac12G_{xx}b^2\,dt\) 按 \(dt\) 和 \(dz\) 归类：\(dt\) 前的系数是 \(G_xa+G_t+\frac12G_{xx}b^2\)，\(dz\) 前的系数是 \(G_xb\)。这就是 (14.12)。 ③ 实用记法：做伊藤引理时，先写二阶泰勒展开 \(dG=G_t\,dt+G_x\,dx+\frac12G_{xx}(dx)^2\)，再用下面的乘法表计算 \((dx)^2\)： \(dt\cdot dt=0\)，\(dt\cdot dz=0\)，\(dz\cdot dz=dt\)。 于是 \((dx)^2=(a\,dt+b\,dz)^2=a^2(dt)^2+2ab\,dt\,dz+b^2(dz)^2=0+0+b^2\,dt\)。 以后遇到任何伊藤引理的题目，都按"泰勒展开到二阶 → 乘法表化简 → 合并 \(dt\) 与 \(dz\)"三步走，不必背公式。 ④ 一个小检查：若 \(b=0\)（没有随机性），修正项消失，伊藤引理退化为普通链式法则 \(dG=(G_xa+G_t)dt\)。

应用于股价模型

对股价的几何布朗运动

\[dS=\mu S\,dt+\sigma S\,dz, \tag{14.13}\]

令 \(a=\mu S\)，\(b=\sigma S\)，\(S\) 与 \(t\) 的函数 \(G\) 服从

\[dG=\left(\frac{\partial G}{\partial S}\mu S+\frac{\partial G}{\partial t}+\frac12\frac{\partial^2G}{\partial S^2}\sigma^2S^2\right)dt+\frac{\partial G}{\partial S}\sigma S\,dz. \tag{14.14}\]

请特别注意：\(S\) 和 \(G\) 受同一个不确定性来源 \(dz\) 驱动。 这在推导 Black–Scholes–Merton 结果时极其重要：持有适当比例（\(\partial G/\partial S\)）的股票和衍生品，就能把 \(dz\) 项完全消掉，构造出无风险组合——这正是第 13 章二叉树中 delta 对冲在连续时间中的对应物。

应用一：远期合约

考虑一份无股息股票的远期合约，假设所有期限的无风险利率都是常数 \(r\)。由第 5 章式 (5.1)，\(F_0=S_0e^{rT}\)。在一般时刻 \(t<T\)，远期价格为

\[F=Se^{r(T-t)}. \tag{14.15}\]

求偏导：

\[\frac{\partial F}{\partial S}=e^{r(T-t)},\qquad\frac{\partial^2F}{\partial S^2}=0,\qquad\frac{\partial F}{\partial t}=-rSe^{r(T-t)}.\]

代入式 (14.14)：

\[dF=\left[e^{r(T-t)}\mu S-rSe^{r(T-t)}\right]dt+e^{r(T-t)}\sigma S\,dz.\]

用 \(F=Se^{r(T-t)}\) 代换：

\[dF=(\mu-r)F\,dt+\sigma F\,dz. \tag{14.16}\]

推导拆解：三个偏导数逐个算。 ① \(\partial F/\partial S\)：把 \(t\) 当常数，\(F=S\times(\text{常数 }e^{r(T-t)})\)，对 \(S\) 求导就是那个常数。 ② \(\partial^2F/\partial S^2\)：\(F\) 对 \(S\) 是直线，二阶导为 0。所以伊藤修正项消失——线性函数没有凸性，抖动不会产生平均效应。 ③ \(\partial F/\partial t\)：把 \(S\) 当常数，对 \(e^{r(T-t)}\) 关于 \(t\) 求导，用链式法则：指数的导数是自身，再乘以指数部分 \(r(T-t)\) 对 \(t\) 的导数 \(-r\)，得 \(-rSe^{r(T-t)}\)。负号的含义：随着时间推近到期，远期价格中的"持有成本"部分在减少。 ④ 代入后漂移项 \(=e^{r(T-t)}S(\mu-r)=(\mu-r)F\)，扩散项 \(=\sigma e^{r(T-t)}S=\sigma F\)。

远期价格也服从几何布朗运动，其预期增长率为 \(\mu-r\)（股票超出无风险利率的超额收益），而不是 \(\mu\)；波动率与股票相同。在风险中性世界中 \(\mu=r\)，远期价格的预期增长率为零——这与第 13 章"期货价格在风险中性世界中预期增长率为零、\(a=1\)"的结论一致。

14.7 对数正态性质

推导

令 \(G=\ln S\)。求偏导：

\[\frac{\partial G}{\partial S}=\frac1S,\qquad\frac{\partial^2G}{\partial S^2}=-\frac1{S^2},\qquad\frac{\partial G}{\partial t}=0.\]

代入式 (14.14)：

\[dG=\left(\frac1S\mu S+0-\frac12\frac1{S^2}\sigma^2S^2\right)dt+\frac1S\sigma S\,dz,\]

即

\[\boxed{d\ln S=\left(\mu-\frac{\sigma^2}{2}\right)dt+\sigma\,dz} \tag{14.17}\]

推导拆解：用"泰勒到二阶 + 乘法表"的三步法再做一遍，更容易看清 \(-\sigma^2/2\) 从哪来。 ① 泰勒展开：\(d\ln S=\frac1S\,dS-\frac12\frac1{S^2}(dS)^2\)（\(\ln S\) 不显含 \(t\)，没有 \(G_t\) 项）。 ② 第一项：\(\frac{dS}{S}=\mu\,dt+\sigma\,dz\)。如果只有这一项，就会得到"\(d\ln S=dS/S\)"——这正是普通微积分的直觉，也是错误的地方。 ③ 第二项：\((dS)^2=(\mu S\,dt+\sigma S\,dz)^2=\sigma^2S^2(dz)^2=\sigma^2S^2\,dt\)（乘法表），所以 \(-\frac12\frac1{S^2}\sigma^2S^2\,dt=-\frac12\sigma^2\,dt\)。 ④ 合并：\(d\ln S=(\mu-\frac12\sigma^2)dt+\sigma\,dz\)。 数值例：\(\mu=15\%\)、\(\sigma=30\%\)，对数收益的漂移是 \(15\%-4.5\%=10.5\%\)。\(\ln\) 是凹函数（\(G_{SS}<0\)），股价的抖动会把对数平均往下拉，拉低的幅度正好是 \(\sigma^2/2\)。

由于 \(\mu\)、\(\sigma\) 是常数，\(\ln S\) 服从广义维纳过程，漂移率为 \(\mu-\sigma^2/2\)（注意减去了 \(\sigma^2/2\)，这一项来自伊藤引理的二阶修正），方差率为 \(\sigma^2\)。由 14.2 节的结论，0 到 \(T\) 之间 \(\ln S\) 的变化服从正态分布：

\[\ln S_T-\ln S_0\sim\phi\!\left[\left(\mu-\frac{\sigma^2}{2}\right)T,\ \sigma^2T\right], \tag{14.18}\]
\[\ln S_T\sim\phi\!\left[\ln S_0+\left(\mu-\frac{\sigma^2}{2}\right)T,\ \sigma^2T\right]. \tag{14.19}\]

对数正态分布

若一个变量的自然对数服从正态分布，就称该变量服从对数正态分布（lognormal distribution）。几何布朗运动模型意味着：给定今天的股价，\(T\) 时刻的股价服从对数正态分布。\(\ln S_T\) 的标准差为 \(\sigma\sqrt T\)，与展望期的平方根成正比。

对数正态分布有几个直接的推论：

  • 股价永远为正（\(S_T=e^{\ln S_T}>0\)），这比用正态分布描述股价合理得多。
  • 分布是右偏的：上涨空间无限，下跌最多到零。
  • 可以方便地计算概率和置信区间。例如 \(P(S_T>K)=N\!\left(\frac{\ln(S_0/K)+(\mu-\sigma^2/2)T}{\sigma\sqrt T}\right)\)；在风险中性世界中把 \(\mu\) 换成 \(r\)，就是第 13 章附录中的 \(N(d_2)\)。

推导拆解：\(P(S_T>K)\) 的三步。 ① 取对数：\(S_T>K\) 等价于 \(\ln S_T>\ln K\)（\(\ln\) 是增函数，不改变不等号方向）。 ② 标准化：由 (14.19)，\(\ln S_T=m+s\epsilon\)，其中 \(m=\ln S_0+(\mu-\sigma^2/2)T\)，\(s=\sigma\sqrt T\)，\(\epsilon\sim N(0,1)\)。于是 \(\ln S_T>\ln K\) 等价于 \(\epsilon>\frac{\ln K-m}{s}\)。 ③ 对称性：\(P(\epsilon>-x)=N(x)\)，所以概率 \(=N\big(\frac{m-\ln K}{s}\big)=N\Big(\frac{\ln(S_0/K)+(\mu-\sigma^2/2)T}{\sigma\sqrt T}\Big)\)。 置信区间同理：\(\ln S_T\) 的 95% 区间是 \(m\pm1.96s\)，再取指数得到 \(S_T\) 的区间 \([e^{m-1.96s},e^{m+1.96s}]\)。注意这个区间关于中位数 \(e^m\) 是不对称的，上面更宽，这就是右偏。

一个常见误区：\(\mu\) 与 \(\mu-\sigma^2/2\)

由对数正态分布的期望公式（第 15a 章详述），

\[E(S_T)=S_0e^{\mu T},\]

即股价的期望以速率 \(\mu\) 增长。但 \(\ln S_T\) 的期望增长率是 \(\mu-\sigma^2/2\)，股价的中位数是 \(S_0e^{(\mu-\sigma^2/2)T}\)。两者之差 \(\sigma^2/2\) 就是算术平均收益与几何（对数）平均收益之差。

这个差别的直观原因是：上涨 50% 再下跌 50%，最终只剩 75%。波动越大，"平均的百分比收益"与"复利增长率"之间的差距越大。这一现象常被称为波动率拖累（volatility drag），第 15a 章将进一步讨论。

金融直觉：CFA 的投资组合部分有一个经验公式：几何平均收益 ≈ 算术平均收益 − 方差/2。它就是 \(\mu-\sigma^2/2\) 的离散版本，现在你知道它的精确来源是伊藤引理对凹函数 \(\ln\) 的修正。实务含义有三：(1) 两只算术期望收益相同的基金，波动率高的长期复利增长更低；(2) 2 倍杠杆 ETF 的期望收益翻倍，但拖累 \(\frac12(2\sigma)^2=2\sigma^2\) 变成四倍，长期持有会显著跑输"2 倍标的收益"；(3) Kelly 仓位最大化的正是对数财富的增长率 \(\mu-\sigma^2/2\) 这一类表达式。

多变量伊藤引理

原书附录还给出了多变量形式（Technical Note 29）。设 \(G\) 是 \(x_1,\dots,x_n\) 和 \(t\) 的函数，\(dx_i=a_i\,dt+b_i\,dz_i\)，\(\rho_{ij}\) 为 \(dz_i\) 与 \(dz_j\) 的相关系数（\(\rho_{ii}=1\)），则

\[dG=\left(\sum_{i=1}^n\frac{\partial G}{\partial x_i}a_i+\frac{\partial G}{\partial t}+\frac12\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\frac{\partial^2G}{\partial x_i\partial x_j}b_ib_j\rho_{ij}\right)dt+\sum_{i=1}^n\frac{\partial G}{\partial x_i}b_i\,dz_i. \tag{14A.10}\]

推导与单变量相同，只是多了交叉项：\(\Delta x_i\Delta x_j\to b_ib_j\rho_{ij}\,dt\)（即 \(dz_i\,dz_j=\rho_{ij}\,dt\)）。

推导拆解：为什么 \(dz_i\,dz_j=\rho_{ij}\,dt\)？用 14.5 节的构造：\(\Delta z_1=u\sqrt{\Delta t}\)，\(\Delta z_2=(\rho u+\sqrt{1-\rho^2}v)\sqrt{\Delta t}\)。乘积 \(\Delta z_1\Delta z_2=(\rho u^2+\sqrt{1-\rho^2}uv)\Delta t\)，期望 \(=\rho\Delta t\)（\(Eu^2=1\)，\(E[uv]=0\)），方差是 \(\Delta t^2\) 阶，和单变量时一样，累加后变成确定的 \(\rho\,dt\)。 二元例子：\(G=x_1x_2\)（如"汇率 × 外国股价"=以本币计的外国股价）。\(G_{x_1}=x_2\)，\(G_{x_2}=x_1\)，\(G_{x_1x_2}=1\)，\(G_{x_1x_1}=G_{x_2x_2}=0\)。二阶项只剩交叉项 \(\frac12\times2\times1\times b_1b_2\rho\,dt\)，所以 \(d(x_1x_2)=x_2\,dx_1+x_1\,dx_2+b_1b_2\rho\,dt\)。最后一项就是"两者协方差"带来的修正——外汇对冲、quanto 产品定价里的相关性调整，都源于这一项。

若单个变量受多个不确定性来源驱动，\(dx=a\,dt+\sum_{i=1}^mb_i\,dz_i\)，则

\[dG=\left(\frac{\partial G}{\partial x}a+\frac{\partial G}{\partial t}+\frac12\frac{\partial^2G}{\partial x^2}\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^mb_ib_j\rho_{ij}\right)dt+\frac{\partial G}{\partial x}\sum_{i=1}^mb_i\,dz_i. \tag{14A.11}\]

多变量伊藤引理是篮子期权、价差期权、随机波动率模型和多因子利率模型的基础工具。

量化实战：模拟、缩放与波动率拖累

本章的内容几乎渗透到量化交易的每一个环节：

  • 风险建模中的 \(\sqrt T\) 缩放：日波动率乘以 \(\sqrt{252}\) 得到年化波动率、1 日 VaR 乘以 \(\sqrt{10}\) 得到 10 日 VaR，依据的都是"独立增量的方差可加"。但前提是收益独立同分布；存在自相关、波动率聚集或厚尾时，缩放规则会失效（第 06 册第 01、03a 章讨论这些修正）。
  • 路径模拟：蒙特卡洛定价、组合压力测试、策略情景分析、生成回测用的合成数据，都需要生成股价路径。对几何布朗运动，应当对 \(\ln S\) 精确抽样，而不是用式 (14.8) 的欧拉格式迭代 \(S\)——后者有离散化偏差，步长较大时甚至可能产生负价格。
  • 相关资产：用 Cholesky 分解生成相关的随机冲击，是多资产模拟、篮子期权定价和组合风险模拟的基础。
  • 伊藤引理与定价：它是推导 BSM 偏微分方程、希腊字母动态和任何连续时间模型（利率模型、随机波动率模型）的核心工具。"同一个 \(dz\)"是 delta 对冲能消除风险的数学原因。原书习题 14.9 中的均值回复过程是配对交易中价差建模（Ornstein–Uhlenbeck 过程）的原型。
  • 波动率拖累：\(\mu-\sigma^2/2\) 决定长期复利增长，对杠杆 ETF 的损耗、组合的几何收益、Kelly 仓位都至关重要。高波动资产即使算术期望收益为正，多数路径也可能亏钱。
  • 离散与连续的差异：真实价格有最小报价单位、只在交易时段变化、存在隔夜跳空，在高频和执行建模中需要专门处理。

下面的示例用模拟逐一验证本章的结论：维纳过程的方差线性增长、二次变差收敛到 \(T\) 而一阶变差发散；例 14.2 和例 14.3 的数字；几何布朗运动的对数正态性质；用伊藤引理算出的 \(E(S_T^2)\)；相关正态抽样；以及波动率拖累。

import numpy as np
from scipy.stats import norm

rng = np.random.default_rng(2024)

# ---- 1) 维纳过程：方差随时间线性增长；二次变差 -> T，一阶变差 -> 无穷 ----
T, n_paths = 1.0, 20000
for N in (10, 100, 1000):
    dz = rng.standard_normal((n_paths, N)) * np.sqrt(T / N)     # Δz = ε√Δt
    z = dz.cumsum(axis=1)
    print(f"N={N:5d}: Var[z(T)]={z[:, -1].var():.4f}, Var[z(T/2)]={z[:, N//2-1].var():.4f}, "
          f"Σ(Δz)^2 均值={np.mean((dz**2).sum(1)):.4f} (标准差 {np.std((dz**2).sum(1)):.4f}), "
          f"Σ|Δz| 均值={np.mean(np.abs(dz).sum(1)):.2f}")

# ---- 2) 例14.2：现金头寸 dx = 20dt + 30dz，初值 50 ----
for t in (0.5, 1.0):
    m, s = 50 + 20*t, 30*np.sqrt(t)
    print(f"t={t}: 均值 {m:.0f}, 标准差 {s:.2f}, P(现金<0) = {norm.cdf(-m/s):.4f}")

# ---- 3) 例14.3：μ=15%, σ=30%，周度离散模型 ΔS = 0.00288S + 0.0416Sε ----
dt = 1/52
print(f"\nμΔt = {0.15*dt:.5f}, σ√Δt = {0.30*np.sqrt(dt):.4f}")
S = 100.0
for eps in (0.52, 1.44):                          # 表14.1 前两期
    dS = 0.00288*S + 0.0416*S*eps; S += dS
    print(f"ε={eps}: ΔS={dS:.2f}, S={S:.2f}")

# ---- 4) GBM：欧拉离散 vs 精确对数抽样；检验对数正态性质 ----
S0, mu, sig, T, N, M = 100.0, 0.15, 0.30, 2.0, 104, 200000
dt = T / N
eps = rng.standard_normal((M, N))
S_euler = S0 * np.prod(1 + mu*dt + sig*np.sqrt(dt)*eps, axis=1)               # 式(14.8) 反复迭代
S_exact = S0 * np.exp(((mu - sig**2/2)*dt + sig*np.sqrt(dt)*eps).sum(axis=1))  # 由 d lnS 精确抽样
lnR = np.log(S_exact / S0)
print(f"\nE[S_T]: 欧拉 {S_euler.mean():.2f}, 精确 {S_exact.mean():.2f}, 理论 S0e^(μT) = {S0*np.exp(mu*T):.2f}")
print(f"ln(S_T/S0): 均值 {lnR.mean():.4f} (理论 (μ-σ²/2)T = {(mu-sig**2/2)*T:.4f}), "
      f"标准差 {lnR.std():.4f} (理论 σ√T = {sig*np.sqrt(T):.4f})")
print(f"S_T 中位数 {np.median(S_exact):.2f} (理论 S0e^((μ-σ²/2)T) = {S0*np.exp((mu-sig**2/2)*T):.2f})")

# ---- 5) 伊藤引理验证：G=S^2 满足 dG = (2μ+σ²)G dt + 2σG dz，故 E[S_T^2] = S0² e^{(2μ+σ²)T} ----
print(f"E[S_T^2]: 模拟 {np.mean(S_exact**2):.0f}, 伊藤引理给出 {S0**2*np.exp((2*mu+sig**2)*T):.0f}, "
      f"若忽略二阶项则为 {S0**2*np.exp(2*mu*T):.0f}")

# ---- 6) 相关过程：ε2 = ρu + √(1-ρ²)v ----
rho = -0.6
u, v = rng.standard_normal((2, 100000))
e1, e2 = u, rho*u + np.sqrt(1 - rho**2)*v
print(f"\n目标相关系数 {rho}, 样本相关系数 {np.corrcoef(e1, e2)[0, 1]:.4f}, Var(ε2) = {e2.var():.4f}")

# ---- 7) 波动率拖累：算术平均收益 vs 几何（对数）平均收益 ----
mu, sig, years = 0.08, 0.40, 30
ln_end = rng.normal((mu - sig**2/2)*years, sig*np.sqrt(years), 100000)
print(f"\n30 年期: 期望财富倍数 e^(μT) = {np.exp(mu*years):.1f}, 模拟均值 {np.exp(ln_end).mean():.1f}, "
      f"中位数 {np.median(np.exp(ln_end)):.2f}, 亏损概率 {np.mean(ln_end < 0):.2%}")

关键输出：

N=   10: Var[z(T)]=1.0100, Var[z(T/2)]=0.5047, Σ(Δz)^2 均值=0.9998 (标准差 0.4529), Σ|Δz| 均值=2.52
N=  100: Var[z(T)]=1.0051, Var[z(T/2)]=0.5003, Σ(Δz)^2 均值=1.0020 (标准差 0.1418), Σ|Δz| 均值=7.98
N= 1000: Var[z(T)]=0.9959, Var[z(T/2)]=0.5046, Σ(Δz)^2 均值=1.0002 (标准差 0.0448), Σ|Δz| 均值=25.24
t=0.5: 均值 60, 标准差 21.21, P(现金<0) = 0.0023
t=1.0: 均值 70, 标准差 30.00, P(现金<0) = 0.0098

μΔt = 0.00288, σ√Δt = 0.0416
ε=0.52: ΔS=2.45, S=102.45
ε=1.44: ΔS=6.43, S=108.88

E[S_T]: 欧拉 134.95, 精确 135.01, 理论 S0e^(μT) = 134.99
ln(S_T/S0): 均值 0.2097 (理论 (μ-σ²/2)T = 0.2100), 标准差 0.4253 (理论 σ√T = 0.4243)
S_T 中位数 123.39 (理论 S0e^((μ-σ²/2)T) = 123.37)
E[S_T^2]: 模拟 21845, 伊藤引理给出 21815, 若忽略二阶项则为 18221

目标相关系数 -0.6, 样本相关系数 -0.6019, Var(ε2) = 1.0015

30 年期: 期望财富倍数 e^(μT) = 11.0, 模拟均值 10.8, 中位数 1.00, 亏损概率 50.07%

解读：

  • 维纳过程：\(z(T)\) 的方差约为 1、\(z(T/2)\) 的方差约为 0.5，与步数无关，印证"方差与时间成正比"。\(\sum(\Delta z)^2\) 的均值始终约为 \(T=1\)，其标准差随步数增加按 \(\sqrt{2T\Delta t}\) 缩小（0.45→0.14→0.045），即二次变差收敛到确定值 \(T\)——这就是 \((dz)^2=dt\)。而 \(\sum|\Delta z|\) 按 \(\sqrt N\) 增长（2.52→7.98→25.24），路径长度发散。
  • 例 14.2、14.3：复现了原书的均值、标准差和表 14.1 前两期的数字；现金头寸为负的概率由正态分布直接算出（这类计算对应原书习题 14.3、14.14）。
  • 对数正态性质：\(\ln(S_T/S_0)\) 的均值是 \((\mu-\sigma^2/2)T=0.21\) 而不是 \(\mu T=0.30\)；\(S_T\) 的期望是 \(S_0e^{\mu T}=134.99\)，中位数却只有 123.37。欧拉格式的均值 134.95 略低于理论值（它的期望是 \(S_0(1+\mu\Delta t)^N\)），精确对数抽样没有离散化偏差。
  • 伊藤引理：对 \(G=S^2\)，伊藤引理给出漂移率 \((2\mu+\sigma^2)G\)，所以 \(E(S_T^2)=S_0^2e^{(2\mu+\sigma^2)T}=21{,}815\)，与模拟的 21,845 吻合（差异是抽样误差）；若按普通链式法则忽略二阶项，会得到 18,221，严重低估。
  • 相关抽样：Cholesky 构造的 \(\epsilon_2\) 方差为 1、与 \(\epsilon_1\) 的相关系数为目标值 −0.6。
  • 波动率拖累：一个算术期望收益 8%、波动率 40% 的资产，30 年后期望财富是初始的 11 倍，但由于 \(\mu-\sigma^2/2=0\)，财富的中位数恰好是 1——一半的路径亏钱。期望值被少数极端好的路径拉高。这说明评估长期策略或杠杆产品时，应看几何收益（对数收益的均值），而不是算术平均收益。

本章小结

随机过程描述变量的值随时间如何以概率的方式演化。马尔可夫过程中只有当前值与预测未来相关，股价的马尔可夫性与弱式有效市场一致。维纳过程 \(dz\) 是漂移为零、方差率为 1 的马尔可夫过程，其增量 \(\Delta z=\epsilon\sqrt{\Delta t}\) 独立，\(T\) 时段内的变化服从 \(\phi(0,T)\)——方差随时间线性累加，标准差按 \(\sqrt T\) 增长；其路径处处锯齿、长度无穷，但二次变差收敛到确定的 \(T\)。广义维纳过程 \(dx=a\,dt+b\,dz\) 在时段 \(T\) 内的变化服从均值 \(aT\)、标准差 \(b\sqrt T\) 的正态分布；伊藤过程的漂移率和方差率可以依赖于 \(x\) 和时间，短时间内变化近似正态，长时间内可能不是正态。股价通常假设服从几何布朗运动 \(dS=\mu S\,dt+\sigma S\,dz\)：短时间内的收益率服从正态分布，不重叠时段的收益率独立，未来股价服从对数正态分布；衍生品价值一般与 \(\mu\) 无关，但对 \(\sigma\) 很敏感。模拟是理解随机过程最直观的方法。伊藤引理由变量的过程求出其函数的过程，与普通链式法则相比多出二阶项 \(\frac12G_{xx}b^2\,dt\)，根源是 \((dz)^2=dt\)；变量与其函数受同一个维纳过程驱动，这是构造无风险对冲组合的数学基础。

概念 公式
维纳过程 \(\Delta z=\epsilon\sqrt{\Delta t}\)，\(z(T)-z(0)\sim\phi(0,T)\)
广义维纳过程 \(dx=a\,dt+b\,dz\)，\(T\) 时段变化 \(\sim\phi(aT,\,b^2T)\)
伊藤过程 \(dx=a(x,t)\,dt+b(x,t)\,dz\)
几何布朗运动 \(dS=\mu S\,dt+\sigma S\,dz\)；离散 \(\Delta S/S\sim\phi(\mu\Delta t,\sigma^2\Delta t)\)
伊藤引理 \(dG=(G_xa+G_t+\frac12G_{xx}b^2)\,dt+G_xb\,dz\)
关键规则 \((dz)^2=dt\)，\(dz_i\,dz_j=\rho_{ij}\,dt\)，\(dz\,dt=0\)
远期价格 \(dF=(\mu-r)F\,dt+\sigma F\,dz\)
对数股价 \(d\ln S=(\mu-\sigma^2/2)\,dt+\sigma\,dz\)
对数正态性质 \(\ln S_T\sim\phi[\ln S_0+(\mu-\sigma^2/2)T,\ \sigma^2T]\)
期望与中位数 \(E(S_T)=S_0e^{\mu T}\)；中位数 \(S_0e^{(\mu-\sigma^2/2)T}\)
相关正态抽样 \(\epsilon_1=u\)，\(\epsilon_2=\rho u+\sqrt{1-\rho^2}\,v\)

练习

基础

  1. 某城市的日最高气温是否服从马尔可夫过程？为什么？ 提示：一般认为不是——只知道今天的气温不足以预测明天，最近几天的趋势和季节信息也有用（原书习题 14.1）。

  2. 有人声称发现了一个基于历史股价的交易规则，过去获得了持续的超额收益。你认为这种超额收益能否持续？ 提示：与弱式有效矛盾；一旦被广泛使用，竞争会使其消失；还要怀疑数据挖掘（原书习题 14.2）。

  3. 某公司的现金头寸（百万美元）服从广义维纳过程，漂移率为每季度 0.5，方差率为每季度 4.0。初始现金至少为多少，才能使 1 年后现金为负的概率低于 5%？ 提示：1 年后均值 \(x_0+2\)，方差 16，标准差 4。需 \(x_0+2-1.645\times4\ge0\)，\(x_0\ge4.58\)。

  4. 某股票价格 50，预期收益率 16%，波动率 30%。求明天股价变化的期望与标准差，以及明天股价的 95% 置信区间（按每年 365 天）。 提示：期望变化 \(50\times0.16/365=0.022\)，标准差 \(50\times0.3\sqrt{1/365}=0.785\)；区间约为 \(50.02\pm1.54\)，即 \([48.48,\,51.56]\)（原书习题 14.13 类型）。

  5. 变量 \(x_1\)、\(x_2\) 服从广义维纳过程，漂移率 \(\mu_1\)、\(\mu_2\)，方差率 \(\sigma_1^2\)、\(\sigma_2^2\)。若二者独立，\(x_1+x_2\) 服从什么过程？若相关系数为 \(\rho\) 呢？ 提示：漂移率 \(\mu_1+\mu_2\)；方差率独立时为 \(\sigma_1^2+\sigma_2^2\)，相关时为 \(\sigma_1^2+\sigma_2^2+2\rho\sigma_1\sigma_2\)（原书习题 14.4）。

进阶

  1. 股价服从 \(dS=\mu S\,dt+\sigma S\,dz\)。用伊藤引理求 \(G=S^n\) 服从的过程，并说明它也是几何布朗运动。 提示：\(G_S=nS^{n-1}\)，\(G_{SS}=n(n-1)S^{n-2}\)，\(dG=[n\mu+\frac12n(n-1)\sigma^2]G\,dt+n\sigma G\,dz\)（原书习题 14.10）。

  2. 分别求 \(2S\)、\(S^2\)、\(e^S\)、\(e^{r(T-t)}/S\) 服从的过程。 提示：\(d(2S)=\mu(2S)dt+\sigma(2S)dz\)；\(d(S^2)=(2\mu+\sigma^2)S^2dt+2\sigma S^2dz\)；\(d(e^S)=(\mu S+\frac12\sigma^2S^2)e^Sdt+\sigma Se^Sdz\)；\(G=e^{r(T-t)}/S\) 时 \(dG=(\sigma^2-\mu-r)G\,dt-\sigma G\,dz\)（原书习题 14.16）。

  3. 某股票价格 50，预期收益率 16%，波动率 35%。求 2 年后股价超过 80 的（真实世界）概率。 提示：\(\ln S_T\sim\phi(\ln50+(0.16-0.06125)\times2,\ 0.35^2\times2)\)，即均值 4.1095、标准差 0.4950；\(P=1-N\!\left(\frac{\ln80-4.1095}{0.4950}\right)=1-N(0.551)\approx0.291\)（原书习题 14.17 类型）。

  4. 两只股票都服从几何布朗运动。它们的价格之和是否服从几何布朗运动？为什么？ 提示：一般不是。用多变量伊藤引理，和的波动率 \(\sqrt{\sigma_1^2S_1^2+\sigma_2^2S_2^2+2\rho\sigma_1\sigma_2S_1S_2}/(S_1+S_2)\) 依赖于 \(S_1/S_2\)，不是常数（原书习题 14.7）。这也说明一个股票组合严格来说不服从几何布朗运动。

  5. 零息债券在 \(T\) 时刻支付 1，其连续复利收益率 \(x\) 服从 \(dx=a(x_0-x)\,dt+sx\,dz\)。用伊藤引理求债券价格 \(B=e^{-x(T-t)}\) 服从的过程。 提示：\(B_x=-(T-t)B\)，\(B_{xx}=(T-t)^2B\)，\(B_t=xB\)。\(dB=\left[x-a(x_0-x)(T-t)+\frac12s^2x^2(T-t)^2\right]B\,dt-sx(T-t)B\,dz\)（原书习题 14.11）。

原书推荐习题：14.3、14.14（广义维纳过程下的概率计算）；14.4、14.7（相关过程之和，理解 GBM 组合不再是 GBM）；14.8（比较四种离散模型，理解为什么用比例漂移与比例波动）；14.9（均值回复利率过程，统计套利价差模型的原型）；14.10、14.16（熟练运用伊藤引理）；14.11、14.15（由收益率过程推导债券价格过程）；14.13、14.17（对数正态分布下的置信区间与概率）；14.12、14.18（编程模拟单只与相关股价路径）。

原书对照

本章小节 原书章节 PDF 页码
14.1 随机过程与马尔可夫性质 14.1 The Markov Property p.325–326
14.2 连续时间随机过程 14.2 Continuous-Time Stochastic Processes p.326–330
14.3 股价过程 14.3 The Process for a Stock Price p.330–333
14.4 参数 14.4 The Parameters p.333–334
14.5 相关过程 14.5 Correlated Processes p.334–335
14.6 伊藤引理（含推导） 14.6 Itô's Lemma；Appendix: Derivation of Itô's Lemma p.335–336；p.341–343
14.7 对数正态性质（含多变量形式） 14.7 The Lognormal Property；Appendix（Technical Note 29） p.336–337；p.342–343
小结、延伸阅读 Summary, Further Reading p.337–338
习题 Practice Questions 14.1–14.18 p.338–341

原书为 Hull《Options, Futures, and Other Derivatives》第 9 版 Global Edition（Pearson 2018），表中为 PDF 页码。延伸阅读：有效市场与马尔可夫性——Brealey (1986)，Cootner 编 (1964)；随机过程——Cox & Miller (1977)，Feller (1968)，Karlin & Taylor (1975)，Shreve《Stochastic Calculus for Finance II》(2008)。