第 13 章 二叉树

第 11 章只用无套利论证就得到了期权价格的界和平价关系，但没能给出期权的确切价格。要定价，必须对股价如何变动做出假设。本章采用最简单的假设：在每个小时间段内，股价要么上涨某个百分比，要么下跌某个百分比。 把这些可能的路径画成图，就是二叉树（binomial tree）。

这个模型看起来过于简单，但它的意义远超其外表：

1. 它以最透明的方式展示了期权定价的核心逻辑——无套利论证：用股票和期权构造一个无风险组合，无风险组合只能赚无风险利率，由此倒推出期权价格。
2. 它引出了衍生品定价中最重要的原理——风险中性定价（risk-neutral valuation）。
3. 它是一种实用的数值方法，广泛用于美式期权等没有解析解的衍生品，至今仍是交易系统中的主力定价工具之一。
4. 当时间步长趋于零时，二叉树模型与第 15a、15b 章的 Black–Scholes–Merton（BSM）模型等价。本章附录将证明：欧式期权的二叉树价格收敛到 BSM 公式。

本章的构树方法来自 Cox、Ross 和 Rubinstein（1979）的重要论文，通常称为 CRR 二叉树。二叉树的更多数值细节见第 21a 章。

这是本册最需要读者亲手推导和编程的一章。 建议读完 13.1–13.3 节后立刻用纸笔复算一遍例子，读完 13.8 节后自己写一个 CRR 树程序，再对照"量化实战"中的代码。

学习目标

1. 用无套利论证为单步二叉树中的期权定价，推导 \(\Delta=\frac{f_u-f_d}{S_0u-S_0d}\)、\(f=e^{-r\Delta t}[pf_u+(1-p)f_d]\)、\(p=\frac{e^{r\Delta t}-d}{u-d}\)。
2. 理解风险中性定价原理：为什么期权价格与股票的真实预期收益无关；区分风险中性概率（Q 测度）与真实世界概率（P 测度）。
3. 会用多步二叉树倒推为欧式和美式期权定价，并在每个节点判断是否提前行权。
4. 会计算各节点的 delta，理解动态 delta 对冲。
5. 掌握 CRR 参数 \(u=e^{\sigma\sqrt{\Delta t}}\)、\(d=1/u\) 的推导，以及如何把二叉树推广到股指、外汇和期货期权（只需改变 \(a\)）。
6. 理解二叉树价格向 BSM 公式收敛的推导思路，知道收敛的振荡特性。

读前导读

这一章在解决什么问题。 CFA 二级的单步二叉树你算过：构造对冲比率 \(h\)，求风险中性概率 \(\pi\)，折现期望收益。本章从同一个起点出发，走得更远：(1) 把单步推广到多步，并处理美式期权的提前行权；(2) 讲清"风险中性概率"到底是什么、为什么它不等于真实概率却能给出正确价格；(3) 把树的参数 \(u,d\) 和波动率 \(\sigma\) 连起来，这样树就不再是玩具，而是能和市场数据对接的定价工具；(4) 在附录里证明步数无穷多时，树的价格就是 Black–Scholes 公式。这一章是从"CFA 的期权常识"跨到"量化定价"的桥。

一个类比可以帮你定位：二叉树里的 \(p\) 和你在固定收益里用的"远期利率"很像——远期利率不是对未来利率的预测，而是由今天的即期曲线算出的"让无套利成立的数"；\(p\) 也不是对股价上涨概率的预测，而是由今天的股价和利率算出的"让无套利成立的权重"。

需要先想起来的数学。

• 指数与对数。 \(e^{x}\) 和 \(\ln x\) 互为反函数；\(\ln(ab)=\ln a+\ln b\)，\(\ln(u^j)=j\ln u\)。CRR 树里 \(u=e^{\sigma\sqrt{\Delta t}}\)，所以 \(\ln u=\sigma\sqrt{\Delta t}\)，股价走 \(j\) 次上、\(n-j\) 次下后 \(\ln S\) 变化 \((2j-n)\sigma\sqrt{\Delta t}\)。见 第 00 册第 04 章 级数与收敛。
• \(e^x\) 的泰勒展开与"忽略高阶项"。 \(e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\cdots\)。\(x\) 很小时，后面的项一个比一个小得多。例：\(x=0.01\) 时 \(e^x=1.010050\)，取前两项 \(1.01\) 误差只有 \(0.00005\)。13.7 节和附录都靠它化简。记号 \(O(\Delta t^2)\)（读作"大 O"）表示"和 \(\Delta t^2\) 同阶或更小的项"，\(\Delta t\to0\) 时可以丢掉。见 第 00 册第 02 章 导数与泰勒展开 和 第 07 章 概率中的分析工具。
• 二项分布。 \(n\) 次独立试验、每次成功概率 \(p\)，恰好成功 \(j\) 次的概率是 \(\binom{n}{j}p^j(1-p)^{n-j}\)，\(\binom{n}{j}=\frac{n!}{j!(n-j)!}\) 是"从 \(n\) 步中挑出 \(j\) 步上涨"的方法数。均值 \(np\)，方差 \(np(1-p)\)。
• 中心极限定理（正态近似）。 大量独立小随机量之和近似正态。二项分布 \(n\) 很大时近似 \(N(np,np(1-p))\)，所以"成功次数 > α"的概率 \(\approx N\big(\frac{np-\alpha}{\sqrt{np(1-p)}}\big)\)，\(N(\cdot)\) 是标准正态累积分布函数。
• 方差公式。 \(\mathrm{Var}(X)=E(X^2)-[E(X)]^2\)，以及"加一个常数不改变方差"。CFA 统计里都学过。

怎么读这一章。 13.1–13.6 是核心必读，务必手算 13.1、13.3、13.5 的例子，至少写一次多步树的倒推。13.7 的推导第一次可以只看结论 \(u=e^{\sigma\sqrt{\Delta t}}\)，读完本章下面的推导拆解后再回头细看。13.8–13.11 读公式和例子。附录是本章最难的部分，第一次读可以只读"结论"和"两个概率的直观含义"，学完第 14、15 章再回来逐步推。量化实战的代码建议真的跑一遍，尤其是 delta 复制那一段。

13.1 单步二叉树与无套利论证

一个数值例子

当前股价 20 美元，已知 3 个月后股价要么是 22 美元，要么是 18 美元。我们要为一份 3 个月期、行权价 21 美元的欧式看涨期权定价。到期时：股价为 22 则期权值 \(22-21=1\)；股价为 18 则期权值 0（原书图 13.1）。

思路：只需假设无套利。构造一个由股票和期权组成的组合，使得 3 个月后无论股价涨跌，组合价值都相同。这样的组合没有风险，无风险组合只能赚取无风险利率。由此可以算出组合今天的价值，进而得到期权价格。之所以总能构造出这样的组合，是因为只有两种证券（股票和期权）和两种可能结果。

构造组合：持有 \(\Delta\) 股股票的多头和 1 份看涨期权的空头。

• 股价涨到 22：组合价值 \(22\Delta-1\)；
• 股价跌到 18：组合价值 \(18\Delta\)。

令两者相等：\(22\Delta-1=18\Delta\)，得 \(\Delta=0.25\)。此时两种情形下组合价值都是 \(22\times0.25-1=18\times0.25=4.5\)。

折现：无风险组合必须赚取无风险利率。设无风险利率为 12%（连续复利），组合今天的价值为

求期权价格：记期权今天的价格为 \(f\)，组合今天的价值又等于 \(20\times0.25-f=5-f\)。所以 \(5-f=4.367\)，即

为什么一定是 0.633？ 若期权价格高于 0.633，建立这个组合的成本低于 4.367，到期确定得到 4.5，收益率高于无风险利率——套利。若期权价格低于 0.633，反向操作（卖空股票、买入期权）就能以低于无风险利率的成本借到钱——同样是套利。实践中，可以理解为卖出 400 份期权、买入 100 股股票。

每卖出 1 份期权就需要买入 \(\Delta\) 股股票才能形成无风险组合。这个 \(\Delta\) 在期权对冲中至关重要（13.6 节和第 19a 章）。

一般化

设股价为 \(S_0\)，以股票为标的的期权（或任何收益依赖于股价的衍生品）价格为 \(f\)，期限为 \(T\)。在期权寿命内，股价要么上涨到 \(S_0u\)（\(u>1\)），要么下跌到 \(S_0d\)（\(d<1\)）。股价上涨时期权收益为 \(f_u\)，下跌时为 \(f_d\)（原书图 13.2）。

仍然考虑"多头 \(\Delta\) 股、空头 1 份期权"的组合。令两种情形下组合价值相等：

得

即 \(\Delta\) 等于在 \(T\) 时刻两个节点之间期权价格的变化与股价变化之比。

组合无风险，无套利要求它今天的成本等于到期价值的现值：

解出 \(f\)：

代入式 (13.1)，并整理：

记

则 \(1-p=\dfrac{u-e^{rT}}{u-d}\)，于是

推导拆解：从"解出 \(f\)"到 (13.2) 的代数，逐行补全。 ① 由 \(S_0\Delta-f=(S_0u\Delta-f_u)e^{-rT}\) 移项：\(f=S_0\Delta-S_0u\Delta e^{-rT}+f_ue^{-rT}=S_0\Delta(1-ue^{-rT})+f_ue^{-rT}\)。 ② 代入 \(\Delta=\frac{f_u-f_d}{S_0(u-d)}\)，\(S_0\) 约掉：\(f=\frac{(f_u-f_d)(1-ue^{-rT})}{u-d}+f_ue^{-rT}\)。 ③ 把 \(e^{-rT}\) 提到最外面：\(1-ue^{-rT}=e^{-rT}(e^{rT}-u)\)，得 \(f=e^{-rT}\big[\frac{(f_u-f_d)(e^{rT}-u)}{u-d}+f_u\big]\)。 ④ 按 \(f_u\)、\(f_d\) 合并同类项。\(f_u\) 的系数：\(\frac{e^{rT}-u}{u-d}+1=\frac{e^{rT}-u+u-d}{u-d}=\frac{e^{rT}-d}{u-d}\)；\(f_d\) 的系数：\(-\frac{e^{rT}-u}{u-d}=\frac{u-e^{rT}}{u-d}\)。 ⑤ 两个系数相加 \(=\frac{u-d}{u-d}=1\)，所以可以记成 \(p\) 和 \(1-p\)。 这里没有任何一步用到"股价上涨的真实概率"，\(p\) 是纯粹由 \(u,d,r\) 拼出来的数。

整个推导唯一用到的假设是无套利。 另外，为使 \(0<p<1\)，需要 \(d<e^{rT}<u\)——这本身也是无套利条件：若 \(e^{rT}\ge u\)，卖空股票、投资无风险资产就稳赚不赔；若 \(e^{rT}\le d\)，借钱买股票就稳赚不赔。

验证：数值例中 \(u=1.1\)，\(d=0.9\)，\(r=0.12\)，\(T=0.25\)，\(f_u=1\)，\(f_d=0\)。

与前面的结果一致。

股票的预期收益无关紧要

式 (13.2) 里没有出现股价上涨或下跌的真实概率。无论股价上涨的概率是 0.5 还是 0.9，期权价格都是 0.633。这初看违反直觉：股价上涨的可能性越大，看涨期权不是应该越值钱吗？

关键在于：我们不是在"凭空"为期权定价，而是相对于标的股票的价格为期权定价。未来涨跌的概率已经体现在今天的股价 20 美元里了，无需再计入。如果投资者普遍认为上涨概率更高，今天的股价就会更高——但给定今天的股价，期权价格与真实概率无关。

13.2 风险中性定价

原理

式 (13.2) 引出了衍生品定价中最重要的原理之一：

风险中性定价：为衍生品定价时，可以假设投资者是风险中性的——即他们不因承担更多风险而要求更高的预期收益。在这个假想的风险中性世界中算出的衍生品价格，在真实世界中同样正确。

我们生活的世界当然不是风险中性的：投资者承担的风险越高，要求的预期收益就越高。但风险中性定价"几乎奇迹般地"绕开了一个难题：我们对期权买卖双方的风险厌恶程度一无所知。直觉是：在用股价表示期权价格时，风险偏好并不重要。投资者越厌恶风险，股价越低；但联系期权价格与股价的那个公式不变。

风险中性世界的两个特征：

1. 股票（以及任何投资）的预期收益率等于无风险利率；
2. 期权（以及任何工具）的预期收益的折现率等于无风险利率。

\(p\) 是风险中性概率

现在重新解读式 (13.2)。若把 \(p\) 理解为风险中性世界中股价上涨的概率（由 \(d<e^{rT}<u\)，\(0<p<1\) 确实是一个概率），那么 \(pf_u+(1-p)f_d\) 就是风险中性世界中期权的预期收益，式 (13.2) 说：

验证 \(p\) 确实描述了一个风险中性世界——在概率 \(p\) 下，股价的期望为

股价的期望恰好以无风险利率增长，正是风险中性世界中应有的行为。

金融直觉：另一种读法是"状态价格"。令 \(\pi_u=e^{-rT}p\)、\(\pi_d=e^{-rT}(1-p)\)，它们是"上涨状态到期付 1 元"和"下跌状态到期付 1 元"这两张证券今天的价格（Arrow–Debreu 证券）。任何衍生品的价格都是 \(\pi_uf_u+\pi_df_d\)，就像债券价格是各期现金流乘以折现因子之和。\(p\) 只是把状态价格"归一化"成加起来等于 1 的权重。叫它"概率"是因为它满足概率的数学性质，不是因为它描述真实世界的可能性。

风险中性定价是一个一般性的结论，可以证明它不依赖于股价演化的具体假设。用它定价的步骤是：

1. 计算风险中性世界中各种结果的概率；
2. 计算衍生品的预期收益；
3. 按无风险利率折现。

回到单步例子

在风险中性世界中，股票的预期收益是无风险利率 12%，所以上涨概率 \(p\) 满足

即 \(4p=20e^{0.03}-18\)，\(p=0.6523\)。期权的预期收益为 \(0.6523\times1+0.3477\times0=0.6523\)，按无风险利率折现：\(0.6523e^{-0.03}=0.633\)。与无套利论证的结果完全相同。

真实世界与风险中性世界

强调一下：\(p\) 是风险中性世界中的上涨概率，一般不等于真实世界中的上涨概率。

假设在真实世界中股票的预期收益率为 16%，那么真实上涨概率 \(p^*\) 满足 \(22p^*+18(1-p^*)=20e^{0.16\times3/12}\)，解得 \(p^*=0.7041\)。真实世界中期权的预期收益为 \(0.7041\times1=0.7041\)。

问题在于：真实世界中该用什么折现率来折现这个预期收益？股票的折现率是 16%；看涨期权比股票风险更高（杠杆更大），折现率应高于 16%，但高多少？我们不知道。反过来，由已知正确的价格 0.633 可以倒推出正确的真实世界折现率 \(R\)：

（原书给出 42.58%，按四舍五入后的 \(p^*=0.7041\) 计算；用未经舍入的 \(p^*\) 算出约 42.55%。）这个 42.6% 事先根本无法知道。风险中性定价解决了这个问题：在风险中性世界里，所有资产的预期收益率（因而所有预期收益的折现率）都是无风险利率，无需知道任何风险溢价。

金融直觉：42.6% 为什么这么高？用 CAPM 的思路看。看涨期权相当于"用借来的钱买 \(\Delta\) 股股票"：复制组合是 \(0.25\) 股（价值 5）加借款 \(4.367\)，自有资金只有 0.633。杠杆倍数（期权弹性）约为 \(\Delta S_0/f=5/0.633\approx7.9\)。股票的风险溢价是 \(16\%-12\%=4\%\)，期权的风险溢价大约放大 7.9 倍，约 32%，加上 12% 的无风险利率约 44%，与 42.6% 同一量级（差异来自离散复利和单步近似）。关键是：这个杠杆倍数会随股价变化而变，所以期权的"合适折现率"不是常数，这正是直接在真实世界定价行不通的原因。

原书习题 13.27 进一步指出：同一例子中，看跌期权对应的真实世界折现率是 −52.5%。看跌期权与股票负相关（beta 为负），是一种"保险"，投资者愿意接受负的预期收益来持有它。这说明想在真实世界里"合理地"确定期权的折现率几乎是不可能的。

13.3 两步二叉树

数值例子

把上一节的例子延长：股价 20，两个时间步，每步 3 个月，每步上涨或下跌 10%；无风险利率 12%；为一份 6 个月期、行权价 21 的欧式看涨期权定价（原书图 13.3、13.4）。

树上的节点记为：初始节点 A（20）；第一步后节点 B（22）、C（18）；第二步后末端节点 D（24.2）、E（19.8）、F（16.2）。

第一步：末端节点的期权价值。 D：\(24.2-21=3.2\)；E、F：0。

第二步：倒推到中间节点。 节点 C 通向 E 和 F，两者期权价值都是 0，所以 C 处期权价值为 0。节点 B 通向 D 和 E，每一步的 \(p=0.6523\) 不变：

第三步：倒推到初始节点。

本例中各节点的 \(u\)、\(d\) 和时间步长都相同，所以 \(p\) 处处相同。

一般化

设每个时间步长为 \(\Delta t\)（原书图 13.6）。重复应用单步结果：

把 \(f_u\)、\(f_d\) 代入式 (13.5)：

这正是风险中性定价：\(p^2\)、\(2p(1-p)\)、\((1-p)^2\) 分别是到达上、中、下三个末端节点的风险中性概率（二项分布），期权价格等于风险中性预期收益按无风险利率折现。步数更多时，原理依然成立。

推导拆解：(13.10) 的代入过程。 把 \(f_u=e^{-r\Delta t}[pf_{uu}+(1-p)f_{ud}]\) 和 \(f_d=e^{-r\Delta t}[pf_{ud}+(1-p)f_{dd}]\) 代入 \(f=e^{-r\Delta t}[pf_u+(1-p)f_d]\)： \(f=e^{-2r\Delta t}\big[p^2f_{uu}+p(1-p)f_{ud}+(1-p)pf_{ud}+(1-p)^2f_{dd}\big]\)。 中间两项都是 \(p(1-p)f_{ud}\)，合并成 \(2p(1-p)f_{ud}\)。系数 2 的含义：到达中间节点有两条路径（先涨后跌、先跌后涨），每条概率都是 \(p(1-p)\)。三个系数 \(p^2+2p(1-p)+(1-p)^2=(p+1-p)^2=1\)，正好构成一个概率分布。\(n\) 步时，到达"\(j\) 次上涨"节点的路径数是 \(\binom{n}{j}\)，这就是附录 (13A.1) 中组合数的来历。 注意：这个"一次性折现"的写法只适用于欧式期权。美式期权在中间节点要和行权价值比大小，必须一步一步倒推。

13.4 看跌期权的例子

为一份 2 年期、行权价 52 的欧式看跌期权定价，股价 50。用两个时间步，每步 1 年，每步上涨或下跌 20%；无风险利率 5%（原书图 13.7）。

\(u=1.2\)，\(d=0.8\)，\(\Delta t=1\)，

末端股价为 72、48、32，对应看跌期权价值 \(f_{uu}=0\)、\(f_{ud}=52-48=4\)、\(f_{dd}=52-32=20\)。由式 (13.10)：

也可以逐步倒推：节点 B（股价 60）的期权价值为 \(e^{-0.05}(0.6282\times0+0.3718\times4)=1.4147\)，节点 C（股价 40）为 \(e^{-0.05}(0.6282\times4+0.3718\times20)=9.4636\)，再倒推到初始节点得到同样的 4.1923。

13.5 美式期权

二叉树最重要的实际用途之一是为美式期权定价。方法是：从树的末端开始向前倒推，在每个节点检验提前行权是否最优。

• 末端节点的期权价值与欧式期权相同（收益）；
• 之前每个节点的期权价值取以下两者中较大者：
  1. 由式 (13.5) 给出的继续持有价值（continuation value）；
  2. 立即行权的收益。

例子

把 13.4 节的看跌期权改为美式（原书图 13.8）：

• 节点 B（股价 60）：继续持有价值 1.4147；立即行权的收益为 \(52-60=-8\)，不行权。节点价值取 1.4147。
• 节点 C（股价 40）：继续持有价值 9.4636；立即行权的收益为 \(52-40=12\)。提前行权最优，节点价值取 12。
• 初始节点 A：继续持有价值为
  \[e^{-0.05}(0.6282\times1.4147+0.3718\times12)=5.0894,\]
  立即行权的收益为 \(52-50=2\)，不行权。

美式看跌期权的价值为 5.0894，高于欧式看跌期权的 4.1923。差额 0.8971 就是提前行权权利的价值，它来自节点 C 处的提前行权——这与第 11 章的结论一致：看跌期权深度实值时应提前行权。

13.6 Delta

定义

**Delta（\(\Delta\)）**是股票期权价格的变化与标的股价变化之比，是期权交易中最重要的"希腊字母（Greek letter）"之一。它也是为每份卖出的期权构造无风险组合所需持有的股数——与 13.1 节中的 \(\Delta\) 完全相同。构建这样的无风险组合称为 delta 对冲（delta hedging）。看涨期权的 delta 为正，看跌期权的 delta 为负。

例子

• 图 13.1（单步看涨）：\(\Delta=\dfrac{1-0}{22-18}=0.25\)。
• 图 13.4（两步看涨）：
  • 第一步：\(\Delta=\dfrac{2.0257-0}{22-18}=0.5064\)；
  • 第二步，若第一步上涨：\(\Delta=\dfrac{3.2-0}{24.2-19.8}=0.7273\)；
  • 第二步，若第一步下跌：\(\Delta=\dfrac{0-0}{19.8-16.2}=0\)。
• 图 13.7（两步看跌）：
  • 第一步：\(\Delta=\dfrac{1.4147-9.4636}{60-40}=-0.4024\)；
  • 第二步：上涨后为 \(\dfrac{0-4}{72-48}=-0.1667\)，下跌后为 \(\dfrac{4-20}{48-32}=-1.0000\)。

delta 随时间变化

上面的例子表明，delta 在期权寿命内会随时间和股价不断变化。因此，要用期权和股票维持一个无风险对冲，必须定期调整股票持仓。这就是动态对冲，第 19a 章将详细讨论。

原书习题 13.8 问：两步树中能否构造一个在整个期权寿命内都无风险的静态组合？答案是不能——第一步之后 delta 变了，不调仓就不再无风险。

13.7 用 \(u\) 和 \(d\) 匹配波动率

三个参数

构造步长为 \(\Delta t\) 的二叉树需要三个参数：\(u\)、\(d\) 和 \(p\)。给定 \(u\)、\(d\) 后，\(p\) 必须使风险中性世界中的预期收益等于无风险利率：

\(u\) 和 \(d\) 则用来匹配股票的波动率。股票的波动率 \(\sigma\) 定义为：在很短的时间 \(\Delta t\) 内，股票收益率的标准差为 \(\sigma\sqrt{\Delta t}\)，即方差为 \(\sigma^2\Delta t\)（第 14、15a 章会详细讨论）。

推导

在一个时间步内，股票收益率以概率 \(p\) 为 \(u-1\)，以概率 \(1-p\) 为 \(d-1\)。由方差公式 \(\mathrm{Var}(X)=E(X^2)-[E(X)]^2\)，匹配条件为

化简这个式子。由 \(pu+(1-p)d=e^{r\Delta t}\)，方差等于 \(pu^2+(1-p)d^2-e^{2r\Delta t}\)（平移不改变方差）。又

所以匹配条件化为

用 \(e^x=1+x+x^2/2!+\cdots\) 展开，并忽略 \(\Delta t^2\) 及更高阶项，可以验证一个解是

验证：此时 \(ud=1\)，\(u+d=2+\sigma^2\Delta t+O(\Delta t^2)\)，

这就是 Cox、Ross、Rubinstein 使用的参数。

推导拆解：两处化简和最后的验证，逐步展开。 ① 为什么方差 \(=pu^2+(1-p)d^2-e^{2r\Delta t}\)？收益率 \(X=S_{\Delta t}/S_0-1\)，而"减 1"只是平移，不改变方差，所以 \(\mathrm{Var}(X)=\mathrm{Var}(S_{\Delta t}/S_0)=E[(S_{\Delta t}/S_0)^2]-[E(S_{\Delta t}/S_0)]^2=pu^2+(1-p)d^2-(e^{r\Delta t})^2\)。最后一步用了 \(pu+(1-p)d=e^{r\Delta t}\)。 ② 为什么 \(pu^2+(1-p)d^2=(u+d)[pu+(1-p)d]-ud\)？把右边展开：\((u+d)(pu+(1-p)d)=pu^2+(1-p)ud+pud+(1-p)d^2=pu^2+(1-p)d^2+ud\)，减去 \(ud\) 即得左边。这一步的目的是消掉 \(p\)，让匹配条件只含 \(u,d\)。 ③ 验证 \(u=e^{\sigma\sqrt{\Delta t}}\)。记 \(x=\sigma\sqrt{\Delta t}\)（很小）。泰勒展开 \(u=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\cdots\)，\(d=1-x+\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{6}+\cdots\)。相加时奇次项抵消：\(u+d=2+x^2+O(x^4)=2+\sigma^2\Delta t+O(\Delta t^2)\)。相乘 \(ud=e^0=1\)。 ④ 再展开 \(e^{r\Delta t}\approx1+r\Delta t\)，\(e^{2r\Delta t}\approx1+2r\Delta t\)，代入左边：\((1+r\Delta t)(2+\sigma^2\Delta t)-1-(1+2r\Delta t)=2+\sigma^2\Delta t+2r\Delta t+r\sigma^2\Delta t^2-2-2r\Delta t=\sigma^2\Delta t+r\sigma^2\Delta t^2\)。丢掉 \(\Delta t^2\) 项就是 \(\sigma^2\Delta t\)。 为什么能丢？因为右边是 \(\sigma^2\Delta t\)，相对误差是 \(r\Delta t\)，步长越小越可忽略。为什么 \(u\) 里出现的是 \(\sqrt{\Delta t}\) 而不是 \(\Delta t\)？因为方差要和 \(\Delta t\) 成正比，标准差（也就是每步涨跌幅度）就得和 \(\sqrt{\Delta t}\) 成正比。这个"\(\sqrt{\Delta t}\) 规律"正是第 14 章维纳过程的核心。

真实世界中匹配波动率，结果相同

设真实世界中上涨概率为 \(p^*\)，股票的预期收益率为 \(\mu\)。则 \(p^*u+(1-p^*)d=e^{\mu\Delta t}\)，

用 \(p^*\) 代替 \(p\) 写出方差匹配方程，得到 \(e^{\mu\Delta t}(u+d)-ud-e^{2\mu\Delta t}=\sigma^2\Delta t\)。忽略高阶项后，解仍然是 \(u=e^{\sigma\sqrt{\Delta t}}\)、\(d=e^{-\sigma\sqrt{\Delta t}}\)。也就是说，真实世界的树与风险中性世界的树节点上的股价完全相同，只有概率不同（原书图 13.9）。

Girsanov 定理与测度变换

上述结果是 Girsanov 定理的一个体现：从风险中性世界转到真实世界时，股票的预期收益率改变，但波动率不变。更一般地，从一种风险偏好的世界转到另一种时，变量的预期增长率会改变，而波动率保持不变（第 28 章详述）。

改变风险偏好称为改变测度（changing the measure）。真实世界的测度称为 P 测度，风险中性世界的测度称为 Q 测度。本章记号中，\(p\) 是 Q 测度下的上涨概率，\(p^*\) 是 P 测度下的上涨概率。

白话解释："测度"在这里就是"给每条路径分配概率的一套规则"。P 和 Q 用的是同一棵树（同样的节点、同样的可能结果），只是给上涨、下跌分配的权重不同。两者"认同哪些事情可能发生、哪些不可能"，只是"可能性有多大"上意见不同。实务里的分工：定价、对冲、算隐含波动率用 Q；预测收益、算 VaR、做 alpha 研究用 P。把隐含概率当成真实概率去下注，是常见的错误。

13.8 二叉树公式

总结起来，步长为 \(\Delta t\) 的 CRR 二叉树由以下公式定义：

\(a\) 称为增长因子（growth factor），它是风险中性世界中标的资产在一个时间步内的期望增长倍数。13.11 节将看到，换成其他标的资产时只需改变 \(a\)。

例子

为美式看跌期权定价：\(S_0=50\)，\(K=52\)，\(r=5\%\)，\(T=2\) 年，\(\sigma=30\%\)，两步，\(\Delta t=1\)：

树上节点的股价（原书图 13.10）：初始 50；第一步 67.49、37.04；第二步 91.11、50、27.44。

• 末端看跌期权价值：0、2、24.56。
• 上节点（67.49）：继续持有价值 \(e^{-0.05}(0.5097\times0+0.4903\times2)=0.93\)，不行权。
• 下节点（37.04）：继续持有价值 \(e^{-0.05}(0.5097\times2+0.4903\times24.56)=12.42\)；立即行权 \(52-37.04=14.96\)，行权。
• 初始节点：\(e^{-0.05}(0.5097\times0.93+0.4903\times14.96)=7.43\)；立即行权收益 2，不行权。

期权价值为 7.43。注意它与 13.5 节用 \(u=1.2\)、\(d=0.8\) 得到的 5.0894 不同——那里的 \(u\)、\(d\) 是随意给定的，并不对应 30% 的波动率。

13.9 增加步数

一两步的二叉树只能给出非常粗略的近似。实务中通常把期权寿命分为 30 步或更多。30 步的树有 31 个末端节点，隐含地考虑了 \(2^{30}\)（约 10 亿）条可能的股价路径——但由于树是重组的（recombining）（先涨后跌与先跌后涨到达同一个节点），计算量只与节点数 \((n+1)(n+2)/2\) 成正比。

无论多少步，公式 (13.15)–(13.18) 都不变，只是 \(\Delta t\) 变小。例如上例改为 5 步：\(\Delta t=0.4\)，

当步数增加时，二叉树对股价行为的假设趋于与 BSM 模型相同，欧式期权的二叉树价格收敛到 BSM 价格（见本章附录）。

13.10 使用 DerivaGem

原书配套的 DerivaGem 3.00 软件可以直接构造二叉树。在 Equity_FX_Indx_Fut_Opts_Calc 工作表中选择 Equity、Binomial American，输入股价 50、波动率 30%、利率 5%、期限 2、行权价 52、步数 2，选择 Put，计算得到 7.428，Display Tree 显示与图 13.10 相同的树（红色数字表示行权节点）。

步数改变时价格的变化：

改为 Binomial European、500 步，欧式看跌价格为 6.76，与 Black–Scholes 公式的结果 6.76 一致。

收敛性要点：二叉树价格随步数增加以振荡的方式收敛（2 步 7.43、5 步 7.67、500 步 7.47），步数少时结果可能偏差很大，必须使用足够多的步数。本章"量化实战"会用自己写的程序复现这些数字，并展示振荡收敛的规律。

13.11 其他资产上的期权

股指、货币、期货期权的二叉树构造与股票期权完全相同，只是 \(p\) 的公式（即 \(a\)）不同。节点上的期权价值（考虑提前行权之前）仍然是 \(p\) 乘上行节点价值加 \(1-p\) 乘下行节点价值，再按无风险利率折现。

支付连续股息率 \(q\) 的股票

在风险中性世界中，股票的总收益率必须是 \(r\)。股息贡献了收益率 \(q\)，所以资本利得只需贡献 \(r-q\)：

仍取 \(u=e^{\sigma\sqrt{\Delta t}}\)、\(d=1/u\)，只需令 \(a=e^{(r-q)\Delta t}\)。

股票指数

与第 5 章期货定价的处理一致，假设指数的成分股提供股息率 \(q\)，处理方法同上。

例 13.1 股指当前为 810，波动率 20%，股息率 2%，无风险利率 5%。为 6 个月期、行权价 800 的欧式看涨期权定价，用两步树。

\(\Delta t=0.25\)，\(u=e^{0.2\sqrt{0.25}}=1.1052\)，\(d=0.9048\)，\(a=e^{(0.05-0.02)\times0.25}=1.0075\)，

\[p=\frac{1.0075-0.9048}{1.1052-0.9048}=0.5126.\]

每步折现因子 \(e^{-0.05\times0.25}=0.9876\)。节点指数：810；895.19、732.92；989.34、810.00、663.17。末端看涨期权价值 189.34、10.00、0；中间节点 100.66、5.06；期权价值 53.39（原书图 13.11）。

货币

外币可以看作提供外国无风险利率 \(r_f\) 收益的资产（持有外币可以按 \(r_f\) 生息），所以令 \(a=e^{(r-r_f)\Delta t}\)。

例 13.2 澳元当前价值 0.6100 美元，汇率波动率 12%，澳元无风险利率 7%，美元无风险利率 5%。为 3 个月期、行权价 0.6000 的美式看涨期权定价，用三步树。

\(\Delta t=0.08333\)，\(u=e^{0.12\sqrt{0.08333}}=1.0352\)，\(d=0.9660\)，\(a=e^{(0.05-0.07)\times0.08333}=0.9983\)，

\[p=\frac{0.9983-0.9660}{1.0352-0.9660}=0.4673.\]

期权价值 0.019（原书图 13.12），部分高位节点提前行权最优——外币利率高于本币利率时，持有外币的"股息"较高，美式看涨期权可能提前行权。

期货

建立期货多头或空头不需要成本，因此在风险中性世界中期货价格的预期增长率为零（第 18 章 18.7 节详述）：

即令 \(a=1\)。

例 13.3 期货价格 31，波动率 30%，无风险利率 5%。为 9 个月期、行权价 30 的美式看跌期权定价，用三步树。

\(\Delta t=0.25\)，\(u=e^{0.3\times0.5}=1.1618\)，\(d=0.8607\)，\(a=1\)，

\[p=\frac{1-0.8607}{1.1618-0.8607}=0.4626.\]

期权价值 2.84（原书图 13.13）。

统一形式

其中 \(q\) 分别取：

在交易系统中，\(r-q\) 通常被抽象为**持有成本（cost of carry）**参数 \(b\)，使同一套定价代码适用于股票、指数、外汇和期货期权。

附录：由二叉树推导 Black–Scholes–Merton 公式

本附录证明：当步数 \(n\to\infty\) 时，欧式看涨期权的二叉树价格收敛到 BSM 公式。推导较长，但每一步都只用到二项分布和中心极限定理（概率基础见第 02 册第 04b、08 章），值得仔细读一遍。

第一步：写出 \(n\) 步树的价格

用 \(n\) 步树为行权价 \(K\)、期限 \(T\) 的欧式看涨期权定价，每步长 \(T/n\)。若 \(n\) 步中有 \(j\) 次上涨、\(n-j\) 次下跌，到期股价为 \(S_0u^jd^{n-j}\)，期权收益为 \(\max(S_0u^jd^{n-j}-K,0)\)。在风险中性世界中，恰好 \(j\) 次上涨的概率服从二项分布 \(\frac{n!}{(n-j)!\,j!}p^j(1-p)^{n-j}\)。风险中性预期收益按无风险利率折现：

第二步：确定哪些项非零

收益非零当且仅当 \(S_0u^jd^{n-j}>K\)，即

代入 \(u=e^{\sigma\sqrt{T/n}}\)、\(d=e^{-\sigma\sqrt{T/n}}\)：

即

于是

其中

第三步：求 \(U_2\)

\(U_2\) 就是"成功概率为 \(p\) 的 \(n\) 次伯努利试验中成功次数大于 \(\alpha\)"的概率。\(n\to\infty\) 时，二项分布趋于正态分布，均值 \(np\)、标准差 \(\sqrt{np(1-p)}\)。所以

其中 \(N(\cdot)\) 是标准正态分布的累积分布函数。代入 \(\alpha\)：

由

做级数展开，可得 \(p\approx\frac12+\frac{(r-\sigma^2/2)\sqrt{T/n}}{2\sigma}\)。所以 \(n\to\infty\) 时

代入式 (13A.6)：

推导拆解：第三步里被省略的两处。 ① 从 (13A.5) 到 (13A.6)。分子 \(np-\alpha=np-\frac n2+\frac{\ln(S_0/K)}{2\sigma\sqrt{T/n}}=n(p-\tfrac12)+\frac{\sqrt n\ln(S_0/K)}{2\sigma\sqrt T}\)（用了 \(\sqrt{T/n}=\sqrt T/\sqrt n\)）。分母 \(\sqrt n\sqrt{p(1-p)}\)。分子分母同除以 \(\sqrt n\) 就得到 (13A.6) 的两项。 ② \(p\) 的级数展开。记 \(h=T/n\)。分子 \(e^{rh}-e^{-\sigma\sqrt h}\approx(1+rh)-(1-\sigma\sqrt h+\frac{\sigma^2h}{2})=\sigma\sqrt h+(r-\frac{\sigma^2}{2})h\)；分母 \(e^{\sigma\sqrt h}-e^{-\sigma\sqrt h}\approx2\sigma\sqrt h\)（奇次项相加，偶次项抵消，下一项是 \(h^{3/2}\) 阶）。相除：\(p\approx\frac12+\frac{(r-\sigma^2/2)\sqrt h}{2\sigma}\)。 ③ 取极限。\(p-\frac12\) 是 \(\sqrt h=\sqrt{T/n}\) 的量级，乘以 \(\sqrt n\) 后得到一个有限的常数 \(\frac{(r-\sigma^2/2)\sqrt T}{2\sigma}\)；同时 \(p\to\frac12\) 使 \(\sqrt{p(1-p)}\to\frac12\)。把 \(\frac12\) 代入 (13A.6) 两项的分母，第一项变成 \(\frac{\ln(S_0/K)}{\sigma\sqrt T}\)，第二项变成 \(\frac{(r-\sigma^2/2)\sqrt T}{\sigma}=\frac{(r-\sigma^2/2)T}{\sigma\sqrt T}\)，合起来就是 (13A.7)。 这里的关键现象：每步的"偏离 1/2"非常小（\(\propto1/\sqrt n\)），但步数有 \(n\) 步，累积起来恰好有限。这和"每步方差 \(\propto1/n\)、\(n\) 步方差有限"是同一个道理。

第四步：求 \(U_1\)

把 \(U_1\) 改写为

定义

则 \(1-p^*=\frac{(1-p)d}{pu+(1-p)d}\)，于是

在风险中性世界中 \(pu+(1-p)d=e^{rT/n}\)，所以 \([pu+(1-p)d]^n=e^{rT}\)，而求和项是"成功概率为 \(p^*\) 时成功次数大于 \(\alpha\)"的概率。同样用正态近似，并由级数展开得 \(p^*(1-p^*)\to\frac14\)、\(\sqrt n(p^*-\frac12)\to\frac{(r+\sigma^2/2)\sqrt T}{2\sigma}\)，得到

结论

代入式 (13A.4)：

这就是欧式看涨期权的 BSM 公式（第 15b 章将详细讨论，并用风险中性定价给出另一种推导）。

两个概率的直观含义：\(N(d_2)\) 就是 \(U_2\)，即风险中性世界中期权到期被行权（\(S_T>K\)）的概率；\(N(d_1)\) 是在另一个以 \(p^*\) 为上涨概率的测度下的行权概率——这个测度以股票本身作为计价单位（numéraire），第 28 章会系统讨论。

金融直觉：BSM 公式可以拆成两条腿来读。看涨期权到期时，若行权，你"收到一股股票、付出 \(K\) 元现金"。付现金那条腿今天的价值 \(=Ke^{-rT}\times\)（行权概率）\(=Ke^{-rT}N(d_2)\)，这很直接。收股票那条腿的价值不是 \(S_0N(d_2)\)，因为股价高的路径上行权的可能性更大、拿到的股票也更值钱，二者相关；把这种相关性计入后，权重从 \(N(d_2)\) 变成了 \(N(d_1)\)。这里的 \(p^*\)（注意：它和 13.2 节真实世界的 \(p^*\) 是不同的东西，只是记号相同）就是"按股票价值加权后的上涨概率"。另外，\(N(d_1)\) 恰好也是看涨期权的 delta，第 19a 章会用到。

量化实战：实现一个通用的 CRR 定价引擎

二叉树在量化交易系统中的地位非常稳固：

• 美式期权与提前行权：美国个股期权都是美式的，含离散股息的美式期权、可转债（可提前转换、可赎回、可回售）都需要倒推式的数值方法，二叉树是其中最简单可靠的一种，也常作为有限差分、最小二乘蒙特卡洛（LSM）等更复杂方法的基准。
• 计算复杂度：\(n\) 步树倒推的时间复杂度为 \(O(n^2)\)，用一维数组滚动更新时空间复杂度为 \(O(n)\)。数百步的树在现代计算机上只需毫秒级时间。
• 收敛性处理：二叉树价格随步数振荡收敛。实务中常用相邻奇偶步数的平均、Richardson 外推或 Leisen–Reimer 等改进的树来加速收敛（二叉树的实践细节见第 21a 章）。
• 持有成本抽象：用 \(a=e^{(r-q)\Delta t}\) 把股票、指数、外汇、期货期权统一在一套代码里。
• 测度意识：定价用 Q 测度；预测收益、风险管理（VaR、情景分析）和 alpha 研究用 P 测度。混淆两者是常见错误——例如把风险中性概率当成事件的真实概率，或用真实漂移给衍生品定价。期权隐含的风险中性概率与真实概率之差（方差风险溢价、偏度溢价）本身就是可交易的因子。

下面的代码实现一个通用 CRR 引擎（支持欧式/美式、看涨/看跌、连续股息率或持有成本），并完成五项任务：复现原书全部数值例子；计算真实世界折现率；展示欧式期权价格向 BSM 价格的振荡收敛及奇偶平均的效果；提取美式看跌期权的提前行权边界；在随机抽取的"真实世界"路径上验证 delta 动态复制。BSM 公式在第 15b 章才正式讲，这里只用作收敛的参照值。

import numpy as np
from scipy.stats import norm

def tree_price(S0, K, r, T, n, kind="put", american=False, q=0.0, sigma=None, u=None, d=None):
    """CRR 二叉树。q：连续股息率 / 外币利率 r_f / 期货取 q=r（即 a=1）。
    可直接给定 u、d（教学例子），否则用 u=e^{σ√Δt}, d=1/u。返回 (价格, 第一步 delta)。"""
    dt = T / n
    if u is None:
        u = np.exp(sigma * np.sqrt(dt)); d = 1 / u
    a = np.exp((r - q) * dt)
    p = (a - d) / (u - d)
    disc = np.exp(-r * dt)
    j = np.arange(n + 1)
    S = S0 * u**j * d**(n - j)                       # 末端节点，j 为上涨次数
    V = np.maximum(S - K, 0) if kind == "call" else np.maximum(K - S, 0)
    for step in range(n - 1, -1, -1):
        S = S0 * u**np.arange(step + 1) * d**(step - np.arange(step + 1))
        if step == 0:
            delta = (V[1] - V[0]) / (S0 * u - S0 * d)  # 在根节点处取第一步的 delta
        V = disc * (p * V[1:] + (1 - p) * V[:-1])    # 继续持有价值 (13.5)
        if american:
            ex = np.maximum(S - K, 0) if kind == "call" else np.maximum(K - S, 0)
            V = np.maximum(V, ex)                     # 与立即行权比较
    return V[0], delta

def bs(S, K, r, T, sig, kind, q=0.0):
    d1 = (np.log(S/K) + (r - q + sig**2/2)*T) / (sig*np.sqrt(T)); d2 = d1 - sig*np.sqrt(T)
    if kind == "call": return S*np.exp(-q*T)*norm.cdf(d1) - K*np.exp(-r*T)*norm.cdf(d2)
    return K*np.exp(-r*T)*norm.cdf(-d2) - S*np.exp(-q*T)*norm.cdf(-d1)

print("—— 原书例题复核 ——")
print("13.1 单步看涨      %.4f  delta=%.4f" % tree_price(20, 21, .12, .25, 1, "call", u=1.1, d=0.9))
print("13.3 两步看涨      %.4f  delta=%.4f" % tree_price(20, 21, .12, .5, 2, "call", u=1.1, d=0.9))
print("13.4 欧式看跌      %.4f  delta=%.4f" % tree_price(50, 52, .05, 2, 2, "put", u=1.2, d=0.8))
print("13.5 美式看跌      %.4f" % tree_price(50, 52, .05, 2, 2, "put", True, u=1.2, d=0.8)[0])
for n in (2, 5, 500):
    print(f"13.8 CRR 美式看跌 n={n:<3d} %.4f" % tree_price(50, 52, .05, 2, n, "put", True, sigma=.3)[0])
print("     CRR 欧式看跌 n=500 %.4f, BSM = %.4f" % (tree_price(50, 52, .05, 2, 500, "put", sigma=.3)[0],
                                                bs(50, 52, .05, 2, .3, "put")))
print("例13.1 指数欧式看涨 %.2f" % tree_price(810, 800, .05, .5, 2, "call", q=.02, sigma=.2)[0])
print("例13.2 澳元美式看涨 %.4f" % tree_price(.61, .60, .05, .25, 3, "call", True, q=.07, sigma=.12)[0])
print("例13.3 期货美式看跌 %.2f" % tree_price(31, 30, .05, .75, 3, "put", True, q=.05, sigma=.3)[0])

# 真实世界折现率：股票预期收益 16% 时，单步例中看涨期权隐含的折现率
p_star = (20*np.exp(.16*.25) - 18) / 4
print(f"\n真实世界上涨概率 p* = {p_star:.4f}, 隐含折现率 = {-np.log(.633/p_star)/.25:.2%}")

# 收敛性：欧式看涨的二叉树误差随 n 振荡收敛；奇偶平均可显著改善
S0, K, r, T, sig = 50, 52, .05, 2, .3
ref = bs(S0, K, r, T, sig, "call")
print(f"\nBSM 欧式看涨 = {ref:.5f}")
print(" n    树价格     误差     (n,n+1)平均误差")
for n in (10, 11, 50, 51, 100, 101, 500, 501):
    v = tree_price(S0, K, r, T, n, "call", sigma=sig)[0]
    if n % 2 == 0:
        avg = 0.5 * (v + tree_price(S0, K, r, T, n + 1, "call", sigma=sig)[0])
        print(f"{n:4d} {v:9.5f} {v-ref:+9.5f}   {avg-ref:+9.5f}")
    else:
        print(f"{n:4d} {v:9.5f} {v-ref:+9.5f}")

# 美式看跌的提前行权边界：每个时间点上"行权最优"的最高股价
def exercise_boundary(S0, K, r, T, n, sigma):
    dt = T/n; u = np.exp(sigma*np.sqrt(dt)); d = 1/u
    p = (np.exp(r*dt) - d)/(u - d); disc = np.exp(-r*dt)
    V = np.maximum(K - S0*u**np.arange(n+1)*d**(n-np.arange(n+1)), 0)
    bnd = {}
    for step in range(n-1, -1, -1):
        S = S0*u**np.arange(step+1)*d**(step-np.arange(step+1))
        cont = disc*(p*V[1:] + (1-p)*V[:-1]); ex = np.maximum(K - S, 0)
        V = np.maximum(cont, ex)
        hit = S[(ex > cont) & (ex > 0)]
        bnd[step*dt] = hit.max() if hit.size else np.nan
    return bnd
b = exercise_boundary(50, 52, .05, 2, 400, .3)
print("\n美式看跌提前行权边界 S*(t)：",
      {t: round(float(b[min(b, key=lambda s: abs(s-t))]), 2) for t in (0.5, 1.0, 1.5, 1.9)})

# 动态 delta 复制：在二叉树世界里，按 delta 调仓的自融资组合精确复制期权收益，
# 与真实上涨概率无关（这里用 p*=0.9 的"真实世界"随机抽路径）
def replicate(S0, K, r, T, n, sigma, p_real, rng):
    dt = T/n; u = np.exp(sigma*np.sqrt(dt)); d = 1/u
    p = (np.exp(r*dt) - d)/(u - d); disc = np.exp(-r*dt)
    # 预先算出整棵树的欧式看涨价值 V[step][j]
    V = [None]*(n+1)
    V[n] = np.maximum(S0*u**np.arange(n+1)*d**(n-np.arange(n+1)) - K, 0)
    for step in range(n-1, -1, -1):
        V[step] = disc*(p*V[step+1][1:] + (1-p)*V[step+1][:-1])
    cash, j, S = V[0][0], 0, S0                 # 以期权价格作为初始资金
    shares = 0.0
    for step in range(n):
        Su, Sd = S*u, S*d
        new_shares = (V[step+1][j+1] - V[step+1][j]) / (Su - Sd)   # 式 (13.1)
        cash -= (new_shares - shares) * S                          # 自融资调仓
        shares = new_shares
        cash *= np.exp(r*dt)
        up = rng.random() < p_real
        j += up; S = Su if up else Sd
    return shares*S + cash - max(S - K, 0)      # 复制误差
rng = np.random.default_rng(1)
errs = [replicate(50, 52, .05, 2, 50, .3, 0.9, rng) for _ in range(1000)]
print(f"1000 条真实世界路径上的 delta 复制误差：最大绝对值 = {np.max(np.abs(errs)):.2e}")

关键输出：

—— 原书例题复核 ——
13.1 单步看涨      0.6330  delta=0.2500
13.3 两步看涨      1.2822  delta=0.5064
13.4 欧式看跌      4.1927  delta=-0.4025
13.5 美式看跌      5.0896
13.8 CRR 美式看跌 n=2   7.4284
13.8 CRR 美式看跌 n=5   7.6709
13.8 CRR 美式看跌 n=500 7.4710
     CRR 欧式看跌 n=500 6.7569, BSM = 6.7601
例13.1 指数欧式看涨 53.39
例13.2 澳元美式看涨 0.0189
例13.3 期货美式看跌 2.84

真实世界上涨概率 p* = 0.7041, 隐含折现率 = 42.55%

BSM 欧式看涨 = 9.70859
 n    树价格     误差     (n,n+1)平均误差
  10   9.69546  -0.01313    +0.05769
  11   9.83710  +0.12851
  50   9.73568  +0.02708    +0.01413
  51   9.70977  +0.00117
 100   9.72653  +0.01794    +0.00095
 101   9.69255  -0.01605
 500   9.70531  -0.00329    +0.00014
 501   9.71217  +0.00358

美式看跌提前行权边界 S*(t)： {0.5: 34.13, 1.0: 35.61, 1.5: 38.76, 1.9: 44.02}
1000 条真实世界路径上的 delta 复制误差：最大绝对值 = 1.02e-12

解读：

• 原书数字全部复现。第四位小数的微小差异（1.2822 vs 1.2823、4.1927 vs 4.1923、5.0896 vs 5.0894）来自原书手算时把 \(p\) 四舍五入到 4 位；DerivaGem 的 7.428、7.671、7.47、6.76 和例 13.1–13.3 的 53.39、0.019、2.84 都与程序结果一致。
• 振荡收敛：\(n=10\) 与 \(n=11\) 的误差分别是 −0.013 和 +0.129，符号与大小都在跳动，误差的大小取决于行权价相对于末端节点网格的位置。步数较大时，相邻奇偶步数的平均能把误差降低一个数量级以上（\(n=100\) 时从 0.018 降到 0.001；\(n=500\) 时从 0.003 降到 0.0001），但步数很少时并不保证改善（\(n=10\) 时平均反而更差）。生产系统中通常同时使用足够多的步数和改进的格式。
• 提前行权边界：对这个 2 年期美式看跌期权，距到期越近，触发提前行权的临界股价越高（\(t=0.5\) 时约 34.1，\(t=1.9\) 时约 44.0，到期时趋于 \(K=52\)）。股价低于边界时持有人应立即行权。这条边界是美式期权定价的核心，没有解析解。
• delta 复制：以期权价格作为初始资金，在每个节点按式 (13.1) 调整股票持仓、其余资金按无风险利率存放，1000 条路径上的复制误差都在 \(10^{-12}\) 量级（浮点误差）。路径是按真实上涨概率 0.9 抽取的，与风险中性概率毫无关系——这就是"期权价格与真实概率无关"的最直接证明：无论世界怎样演化，复制组合都能精确交付期权收益，所以期权只能值复制成本。连续时间、离散调仓的真实世界中，复制不再精确，对冲误差与交易成本的权衡见第 19a 章。

本章小结

在单步二叉树中，持有 \(\Delta=\frac{f_u-f_d}{S_0u-S_0d}\) 股股票并卖出 1 份期权构成无风险组合，无套利要求它只赚无风险利率，由此得到 \(f=e^{-r\Delta t}[pf_u+(1-p)f_d]\)，其中 \(p=\frac{a-d}{u-d}\)。期权价格与股票的真实预期收益和真实上涨概率无关，因为这些信息已体现在股价中。\(p\) 是风险中性概率：在它之下股价的期望以无风险利率增长。风险中性定价原理说，衍生品价值等于风险中性世界中的预期收益按无风险利率折现，这个结果在真实世界中同样正确；而在真实世界中直接定价则需要一个事先无法知道的折现率（单步例中看涨期权为 42.6%）。多步树从末端倒推，美式期权在每个节点取继续持有价值与立即行权收益中的较大者。delta 随节点变化，对冲需要动态调整。CRR 参数 \(u=e^{\sigma\sqrt{\Delta t}}\)、\(d=1/u\) 用于匹配波动率；真实世界与风险中性世界的树节点相同、只有概率不同，这是 Girsanov 定理的体现（P 测度与 Q 测度）。其他资产只需改变增长因子 \(a\)。步数趋于无穷时，欧式期权的二叉树价格以振荡方式收敛到 BSM 公式。

练习

基础

1. 股价 40，1 个月后为 42 或 38，无风险利率 8%。分别用无套利方法和风险中性方法为 1 个月期、行权价 39 的欧式看涨期权定价。 提示：\(\Delta=3/4=0.75\)，组合价值 \(38\times0.75=28.5\)，\(f=40\times0.75-28.5e^{-0.08/12}=1.69\)；\(p=(40e^{0.08/12}-38)/4=0.5669\)，\(f=e^{-0.08/12}\times0.5669\times3=1.69\)（原书习题 13.1）。

2. 股价 50，6 个月后为 45 或 55，无风险利率 10%。求 6 个月期、行权价 50 的欧式看跌期权价格。 提示：\(p=(50e^{0.05}-45)/10=0.7564\)，看跌期权在下跌时值 5，\(f=e^{-0.05}\times0.2436\times5=1.16\)（原书习题 13.4）。

3. 解释为什么在单步二叉树中期权价格与股票的真实上涨概率无关。 提示：期权价格是相对于股价确定的；真实概率已经反映在股价中；无风险组合的构造不需要概率。

4. 股价 100，波动率 25%，无风险利率 4%，用 CRR 参数构造步长 3 个月的树，求 \(u\)、\(d\)、\(p\)。若标的是期货呢？ 提示：\(u=e^{0.125}=1.1331\)，\(d=0.8825\)，\(a=e^{0.01}=1.0101\)，\(p=0.5089\)；期货 \(a=1\)，\(p=(1-0.8825)/(1.1331-0.8825)=0.4688\)。

5. 在 13.4 节的两步看跌例子中，验证看涨-看跌平价是否成立（需要先算出同一棵树上行权价 52 的欧式看涨期权价格）。 提示：末端看涨价值 20、0、0，\(c=e^{-0.1}\times0.6282^2\times20=7.1411\)；\(p+S_0=4.1923+50=54.19\)，\(c+Ke^{-rT}=7.14+52e^{-0.1}=54.19\)，成立（原书习题 13.12 类似）。

进阶

6. 某衍生品在 2 年后支付 \(S_T^2\)。用 13.4 节的树（\(S_0=50\)，\(u=1.2\)，\(d=0.8\)，\(r=5\%\)）为它定价。 提示：末端收益 5184、2304、1024，价格 \(e^{-0.1}(0.6282^2\times5184+2\times0.6282\times0.3718\times2304+0.3718^2\times1024)\approx2{,}953\)（原书习题 13.14 类似）。

7. 证明在单步树中，若 \(e^{r\Delta t}\ge u\)，则存在套利机会，并说明此时 \(p\) 会怎样。 提示：卖空股票、投资无风险资产，到期最多需付 \(S_0u\le S_0e^{r\Delta t}\)；此时 \(p\ge1\)，不再是概率。

8. 用三步 CRR 树为下列美式看跌期权定价并找出提前行权的节点：\(S_0=40\)，\(K=42\)，\(r=6\%\)，\(\sigma=30\%\)，\(T=0.75\)。再用 500 步树计算并与欧式价格比较。 提示：直接调用本章代码中的 tree_price 即可；提前行权节点集中在树的下半部分。

9. 在 13.2 节的单步例子中，股票真实预期收益为 16%。计算同一看跌期权（行权价 21）的价格和它的真实世界折现率，解释为什么是负数。 提示：看跌期权上涨时值 0、下跌时值 3；\(f=e^{-0.03}\times0.3477\times3=1.0123\)；真实预期收益 \(0.2959\times3=0.8878\)，折现率 \(R=-4\ln(1.0123/0.8878)\approx-52.5\%\)。看跌期权的 beta 为负，是保险，投资者接受负的预期收益（原书习题 13.27）。

10. 推导支付连续股息率 \(q\) 时 \(p\) 的公式，并说明为什么有高股息时美式看涨期权可能提前行权。 提示：\(pS_0u+(1-p)S_0d=S_0e^{(r-q)\Delta t}\)；股息使持有期权而非股票的机会成本增加，深度实值时行权拿到股票、获得股息更划算（参见例 13.2 的外汇看涨期权）。

原书推荐习题：13.1、13.11、13.21（单步树两种方法对照，夯实无套利与风险中性定价）；13.8（理解为何需要动态对冲）；13.13、13.22、13.23（美式看跌的提前行权判断）；13.14、13.24（非标准收益衍生品的定价）；13.16、13.20、13.29（计算对冲头寸，理解 delta 的动态）；13.25（步数与收敛，建议自己编程实现 CRR 树）；13.27（真实世界折现率的不确定性）。

原书对照

原书为 Hull《Options, Futures, and Other Derivatives》第 9 版 Global Edition（Pearson 2018），表中为 PDF 页码。延伸阅读：Coval & Shumway (2001) 期权的预期收益；Cox, Ross & Rubinstein (1979)；Rendleman & Bartter (1979) 两状态期权定价；Shreve《Stochastic Calculus for Finance I》。