第 22a 章 绩效评估（上）：绩效的度量与预测问题

对应 Harris《Trading and Exchanges》第 22 章 “Performance Evaluation and Prediction” 的前半部分（22.1–22.3）。第 22 章的核心问题是如何区分技能与运气。本书把它拆成两章：本章讲清楚问题本身——为什么评估难、收益该怎么算（时间加权与资金加权、几何连乘、相对收益、风险调整与择时分解）、过去绩效要预测未来需要满足哪三个条件；第 22b 章讲统计检验为什么几乎无力、多重比较与样本选择偏差如何误导我们，以及经济学的替代方法。

学习目标

读完本章，你应当能够：

1. 解释为什么组合绩效同时取决于技能、运气和投资政策，以及为什么相对评估比绝对评估更有用。
2. 正确计算总收益与持有期收益：几何连乘；区分时间加权收益（持有期收益）与资金加权收益（IRR），知道资金进出不调整会怎样夸大绩效。
3. 计算市场调整收益、风险调整超额收益（已实现 alpha）和择时收益，并用三分解 \(R_p=(R_p-\beta R_m)+(\beta-1)R_m+R_m\) 做绩效归因。
4. 说出用过去绩效预测未来必须同时成立的三个条件，以及基金业绩持续性的实证结论。
5. 识别估值平滑造成的收益正自相关和被低估的波动率，并做简单的反平滑。

读前导读

这一章在解决什么问题。 这一章是你最熟悉的领域。CFA 三级的绩效评估（收益度量、业绩归因、风险调整指标）和 GIPS 的核心要求，本章几乎都会碰到：时间加权与资金加权、几何连乘、基准选择、Jensen alpha、择时与选股的拆分、不流动资产的估值平滑。Harris 的角度和 CFA 教材不同：他关心的不是"怎么把报告做规范"，而是"看了这些数字，能不能判断经理有没有本事、明年还能不能赚钱"。答案相当悲观：把收益算对、把基准选对只是第一步，即使都做对了，过去的业绩仍然很难预测未来。原因在下一章（22b）用统计学讲清楚。

读这一章时可以对照你熟悉的框架。22.3.2 时间加权与资金加权，就是 GIPS 要求以 TWR 为主要口径的理由：经理不控制资金进出时点，就不该为此加分或扣分。22.3.5 的三分解是一种"基于收益的归因"（returns-based attribution），与 Brinson 的"基于持仓的归因"（配置效应 + 选择效应）互为补充：前者只需组合与市场收益，后者需要持仓和行业权重。22.3.3 的估值平滑，对应 GIPS 对私募、不动产估值政策的披露要求，也解释了为什么这类资产报告的 Sharpe 比率常常好得不真实。

需要先想起来的数学。

• 连乘记号与对数。 \(\prod_{t=1}^T(1+r_t)\) 表示把 \(T\) 个因子相乘，类似 \(\sum\) 表示相加。取对数可以把连乘变成相加：\(\ln\prod(1+r_t)=\sum\ln(1+r_t)\)，所以对数收益可以直接相加。例如 \(+100\%\) 与 \(-50\%\)：\(\ln2+\ln0.5=0\)，累计收益为零。见 第 00 册第 04 章 级数与收敛 和 第 08 章 读懂数学证明与符号。
• IRR 是方程的根。 资金加权收益 \(y\) 满足 \(\sum_tCF_t/(1+y)^t=0\)，一般没有解析解，要数值求解（代码中的 brentq 就是在区间内找根）。你在 CFA 里用金融计算器按 IRR 键做的是同一件事。
• AR(1) 的方差与自相关。 若 \(x_t=(1-\theta)u_t+\theta x_{t-1}\)，\(u_t\) 独立同分布，则 \(x_t\) 的一阶自相关为 \(\theta\)，方差为 \(\frac{1-\theta}{1+\theta}\mathrm{Var}(u)\)。这是估值平滑分析的全部数学（下面推导拆解会展开）。见 第 00 册第 07 章 概率中的分析工具。
• 回归截距的含义。 用 \(R_p=\alpha+\beta R_m+e\) 回归时，截距 \(\alpha\) 吸收了所有不能被"常数 \(\beta\) 乘以市场收益"解释的平均收益。若真实 \(\beta\) 随时间变化且与市场方向相关，这部分择时收益就会跑进截距。

怎么读这一章。 22.3.1–22.3.2（收益计算）对你是复习，可以快读，但 Beardstown 专栏和代码第 2 部分值得看。22.3.5 的三分解和"必须用同期贝塔"是核心，必读。22.3.3 的估值平滑与代码第 4 部分对评估另类投资很实用。22.4 预测三条件和实证证据是通向 22b 的桥梁，必读。22.1、22.2 是动机，读一遍即可。

22.1 为什么要评估绩效，评估什么

许多人交易是想成功投机——买入将升值的、卖出将贬值的。但预测价格很难，有人能做到，多数人不能。成功的投机者必须平均而言预测得足以跑赢市场；不成功的最终亏钱，充其量赚得比买入并持有指数基金少。Harris 的话很直接：若只为投机利润而交易却不能成功，就应停止交易。 由此有两个“最重要的决策”：

• 投机者最重要的决策是是否交易——他必须能预测自己的绩效，否则不应投机。
• 投资委托人最重要的决策是是否雇用主动经理（active investment managers）——雇用主动经理就是押注他们成功，若不能预测哪些经理会成功，就不应雇用。

认为自己做不到的投资者会把钱交给被动经理（passive managers），最常见的是指数复制（index replication）（第 23 章）。绩效评估与预测的局限性，有助于解释指数投资为何如此流行。 投资管理合同常使经理报酬与绩效挂钩，理解评估的局限，也就理解了这类合同的问题。

本章的结论会让人不舒服：仅基于过去绩效的预测通常很不可靠，用其他信息可以预测得更好。作者甚至说：未能理解“过去绩效不必然预测未来收益”以及样本选择偏差如何影响推断，可能比交易者犯的任何其他错误造成的损失都多。

22.2 绩效评估问题：技能、运气与投资政策

组合绩效部分取决于管理质量，也取决于决定组合中每个品种价值的所有因素：

• 宏观因素：利率、经济活动、生产率、汇率；
• 微观因素：行业供需、技术创新、政府干预；
• 公司特定因素：管理好坏、工厂意外烧毁、研究人员偶然发现等。

主动经理试图预见所有这些因素。但没人能预见大多数影响组合收益的因素，不可预见的因素对绩效有看似随机的影响：表现好的组合可能由有技能的经理管理，也可能由幸运的经理管理；表现差的可能是无技能，也可能是运气差。

原书专栏“Sizzler 染上大肠杆菌”是一个运气差的例子：Sizzler 1998 年破产重组后到 2000 年中盈利加速，许多仔细研究过它的分析师认为振兴策略成功，不少经理据此买入。2000 年 7 月，密尔沃基一家特许店 42 名顾客感染大肠杆菌、17 人住院、一名三岁女孩死亡，股价下跌 35%。这些投机者可能非常了解公司，甚至考虑过卫生程序是否充分——但此事件大概不可预测，他们只是运气不好。

另一个专栏把技能和运气组合成四种人：有技能且幸运——受祝福（Blessed）；无技能但幸运——让人受不了（Insufferable）；有技能但不幸——受诅咒（Cursed）；无技能且不幸——注定失败（Doomed）。

**投资政策（investment policies）**也显著影响绩效：它可能禁止有技能的经理利用好的因素，也可能迫使无技能的经理“不知不觉地”利用好因素。例如必须满仓股票的组合，价值随市场波动而与管理无关——“水涨船高”（a rising tide lifts all boats）：市场大涨时最差的组合也可能有高收益，市场大跌时最好的组合也可能亏损。

所以好的评估必须区分技能与运气：把总绩效分解为管理的贡献和无人能预见或控制的因素的贡献。后者很难估计，即使最好的经理绩效估计也噪声很大。

22.3 绩效评估方法

上面的讨论说明，相对绩效评估比绝对绩效评估更有价值。绝对评估只计算组合总收益；相对评估估计组合相对于基准或同行跑赢/跑输多少。但相对绩效 = 组合总收益 − 基准总收益，所以要先把绝对收益算对。

22.3.1 绝对绩效：总收益

总收益是度量区间内组合价值的百分比变化。没有资金进出时很简单：价值从 100 增到 120，年总收益 20%。总收益要包括持仓带来的所有现金和证券流动：

• 流入：股息、利息、证券出借费；
• 流出：佣金、管理费、融资利息、借券费、空头需支付的股息（short dividends）；
• 期货、期权、互换和空头头寸收付的变动保证金（variation margin）；
• 并购、分拆等公司行动带来的证券流动。

多期收益必须几何连乘：

原书两个专栏：

• “什么时候 100 − 50 = 0？”：第一年涨 100%、第二年跌 50%，算术相加 50%，实际两年收益恰为零（翻倍后减半）。
• “−94.7% + 95.6% = 非常坏的消息”：ProFunds UltraOTC 基金 2000 年 3 月 10 日至 2001 年 4 月 4 日下跌 94.7%，随后到 5 月 2 日上涨 95.6%。期初投资的 10,000 美元，最后只值 \(10{,}000\times0.053\times1.956\approx\) 1,037 美元。

推导拆解：为什么算术平均会系统性高估？用对数收益看。设各期对数收益 \(g_t=\ln(1+r_t)\)，累计收益 \(=e^{\sum g_t}-1\)，可加的是 \(g_t\) 而不是 \(r_t\)。由二阶泰勒展开 \(\ln(1+r)\approx r-\tfrac12r^2\)，平均对数收益约为 \(\bar r-\tfrac12\overline{r^2}\)。所以几何平均收益 \(\approx\) 算术平均收益 \(-\tfrac12\sigma^2\)，波动越大，两者差得越多，这就是常说的"波动拖累"（volatility drag），与第 17 章 ValueLine 案例用的是同一个近似。 UltraOTC 是 3 倍杠杆基金，波动极大，拖累也极大：要从 −94.7% 回本，需要上涨 \(1/0.053-1\approx1787\%\)，而不是 94.7%。这也是 CFA 里强调"杠杆 ETF 不适合长期持有"的数学原因。

22.3.2 资金进出：时间加权与资金加权

投资者追加或撤出资金、组合向投资者分配时，组合总价值会变化，不调整就会误导：追加资本夸大绩效，分配压低绩效。两种处理方法：

• 内部收益率（IRR）：最常用。问的是：储蓄账户要获得多高的复利，才能恰好复制组合的资金流入流出（期初、期末余额等于组合期初、期末价值）。IRR 近似为各次资本变动之间收益的时间与价值加权的几何平均——即资金加权收益率（money-weighted return）：规模大的时段权重大。
• 持有期收益（holding period return）：一份组合份额的收益——期初投入 1 美元能赚多少，通常假设分配再投资。即时间加权收益率（time-weighted return）：把每段子区间收益几何连乘，与资金进出无关。

资本追加和分配**按比例（pro rata）**时（每个投资者都严格按持股比例参与），两者相同；否则不同。评估经理时应用时间加权收益——资金进出的时机通常由投资者而非经理决定。

金融直觉：用练习 2 的数字看两者差在哪。上半年 +10%，下半年 −10%。经理的"每 1 元表现"是 \(1.1\times0.9-1=-1\%\)，这是 TWR。但投资者在年中追加了 100 万元，赶上了亏损的下半年，大部分钱只经历了 −10%，所以按资金加权算年化约 −7.3%。两个数字都对，回答的问题不同：TWR 回答"经理管得怎么样"，MWR 回答"投资者这笔钱实际赚了多少"。这就是 GIPS 以 TWR 评估经理、而对能控制资金调用时点的私募基金（由 GP 决定 capital call）允许用 MWR 的道理：谁控制现金流时点，就该为时点负责。实务上，GIPS 要求在发生大额现金流时对组合重新估值，以便准确计算子区间收益，这正是"把每段子区间收益几何连乘"的落地。

原书专栏“Beardstown 女士们”：这个约 15 人的投资俱乐部 1994 年出版了畅销书，封面宣称截至 1993 年的 10 年年均收益 23.4%。被质疑后在普华永道协助下重算，实际年均收益只有 9.1%，同期标普 500 为 14.9%——每年跑输近 6%。她们解释是把 2 年收益误当 10 年收益；但许多人认为她们其实是没有扣除定期追加的资金。教训：资金进出必须调整。

22.3.3 当期收益率、资本利得与估值

分析者常把总收益分为当期收益率（current yield）——组合从资产获得的利息和股息除以组合价值（例：1 亿美元组合一年获股息 1,000 万美元，当期收益率 10%）——和资本利得收益（capital gains return）——总收益减当期收益率。对普通收入与资本利得税率不同的投资者，这一区分很重要。

估值问题：要估计期初、期末所有头寸的价值。活跃交易品种简单（最后成交价或中点）；不常交易的品种难得多，要从相关品种的价格推估——房地产靠评估，评估依赖可比物业的成交价；不常交易的债券依赖类似债务工具的价格。

原书专栏“一帆风顺，急流在前”：投资者喜欢稳定的组合，经理因此希望报告稳定的价值。持有不流动资产的经理在没有成交价时，可能迟迟不调整估值，尤其在价值下跌时，使投资者误以为基金风险小。真实价值与估值差距大到一定程度，赎回等压力会迫使经理卖出资产、成交价远低于上次估值，报告价值大跌——看似安全的基金其实风险很高。经理平滑估值时，报告收益呈正序列相关，这是投资者可以检查的信号。

原书专栏“AIMR-PPS”：为使不同经理的绩效可比，投资管理与研究协会（AIMR）制定了绩效呈报标准（AIMR-PPS）。

现状补充：AIMR 于 2004 年更名为 CFA 协会（CFA Institute）；AIMR-PPS 已并入全球投资业绩标准（GIPS），GIPS 要求以时间加权收益为主要口径（部分私募类资产允许资金加权），并对组合综合（composite）的构建与披露有详细规定，目的之一正是防止只展示表现好的账户。

22.3.4 相对绩效：市场调整收益

没有比较基础的原始收益对评估没用：市场跌 20% 时跌 10% 的股票组合表现相对好；市场涨 30% 时涨 15% 的表现相对差。

相对收益 = 组合收益 − 对应基准收益。基准代表“没有主动管理时组合预计的表现”。基准比较的目的是去除评估中的噪声：好的基准调整掉不应归于经理的表现，剩下的更能代表经理。

股票组合最常用的基准是市场指数，市场调整收益 = 组合收益 − 市场指数收益（上例中分别为 +10% 和 −15%）。原书表 22-1 列出了常用基准，节选如下：

现状补充：表中部分基准已改名或停用。Lehman Brothers 的债券指数在 2008 年后归入 Barclays，现为 Bloomberg 债券指数；Goldman Sachs 商品指数现为 S&P GSCI；LIBOR 已于 2023 年 6 月底基本停止发布，美元市场改用 SOFR 等无风险利率。中国市场常用的基准有沪深 300、中证 500、中证 1000、中债指数等。

原书专栏“愚蠢的 John”：John 把钱从利率 5% 的储蓄账户取出投入股市，主动交易赚了 23%，很满意。但同年标普 500 涨了 33%——他用错了参照系，跑赢储蓄账户 18%，却跑输市场 10%。次年他又跑输市场 10%，而那年标普跌 10%，他亏 20%。两年下来：

22.3.5 风险调整收益与择时

风险调整进一步调整组合对已知风险的暴露。最基本的是市场风险，用**贝塔（beta）**刻画：贝塔 0.5 的股票在市场涨跌 1% 时只涨跌 0.5%。组合贝塔是各证券贝塔的价值加权平均；市场本身贝塔为 1。低贝塔组合在上涨市往往跑输、下跌市跑赢；高贝塔相反。

风险调整超额收益（risk-adjusted excess return），也称组合的已实现 alpha（realized alpha）：

用来判断经理在考虑市场风险后是否选出了赢家。（这里沿用原书的简化写法，未扣除无风险利率；正式的 CAPM alpha 写作 \(R_p-R_f-\beta(R_m-R_f)\)。）

经理改变组合贝塔以利用对市场方向的预测，就是择时（market timing）。降低贝塔的方式包括卖出证券持现金、卖高贝塔买低贝塔、卖指数期货、买看跌、卖看涨、卖空；反之提高贝塔。择时收益为

于是原始收益可以三分解：

用于把绩效归因于市场、经理的择时能力和其他一切（包括经风险调整的选股能力）。两个实施要点：

白话解释：三分解是一个恒等式，右边三项相加后 \(\beta R_m\) 一加一减抵消，剩下 \(R_p\)，所以它永远成立，有意义的是每一项的解释。练习 3 的数字：\(R_p=18\%\)，\(\beta=1.2\)，\(R_m=10\%\)。市场给了 10%；经理把贝塔从 1 提到 1.2，多拿 \(0.2\times10\%=2\%\)，这是择时；剩下 \(18\%-12\%=6\%\) 无法用市场暴露解释，归为选股。 和 CFA 里的归因方法对照：Brinson 模型按"行业权重偏离 × 行业收益"算配置效应，按"行业内选股"算选择效应，需要持仓数据；这里只用组合和市场的收益，属于基于收益的归因，数据要求低，但只能分出"贝塔择时"和"其他一切"两块。CFA 讲过的 Treynor–Mazuy（加入 \(R_m^2\) 项）和 Henriksson–Merton（加入 \(\max(R_m,0)\) 项）回归，是在不知道每期贝塔时从收益序列中间接检验择时能力的方法；本节假设每期贝塔已知，可以直接分解。

• 要高频计算，并用同期贝塔：经理每次交换不同贝塔的资产，组合贝塔就变了；用一个全样本常数贝塔，会把择时收益混进 alpha（下面的代码会演示）。

  推导拆解：为什么常数贝塔会把择时算成 alpha？设真实组合收益 \(R_{p,t}=\alpha+\beta_tR_{m,t}+e_t\)，把贝塔写成平均值加偏离 \(\beta_t=\bar\beta+\delta_t\)。则 \(R_{p,t}=\alpha+\bar\beta R_{m,t}+\delta_tR_{m,t}+e_t\)。 用常数贝塔回归时，\(\delta_tR_{m,t}\) 这一项没有对应的解释变量，被并入误差。取平均：若经理会择时，看多（\(\delta_t>0\)）时市场多半上涨，\(\delta_tR_{m,t}\) 平均为正，记为 \(\overline{\delta R_m}\)。这个正的均值无法被 \(\bar\beta R_m\) 解释，就被截距吸收，回归 alpha 约为 \(\alpha+\overline{\delta R_m}\)。代码中同期贝塔分解得到样本选股 0.18%、择时 2.39%，两者之和约 2.57%；常数贝塔回归给出 alpha 2.67%，与这个和相近，说明择时收益几乎全部被算进了 alpha（剩下的小差异来自回归贝塔 0.99 与平均贝塔不完全相同）。

• 可推广到多因子：股票组合最常用的附加因子是公司规模和预期增长相关的风险。这就是今天因子归因（factor attribution）的雏形。

原书专栏“买入并持有基准”：用“经理不交易时组合会有的收益”作基准（基准是期初组合），直观上直接衡量主动交易的贡献。但它只识别度量期内的超额表现——经理年初买入一只预期两年内大涨的股票，只有第一年的涨幅算他的，第二年的计入新基准。这会使经理偏重短期想法、推迟实施年末产生的想法。改进：以“假设经理所有交易推迟一年发生”的组合为基准，使每笔交易至少获得一整年的评估。

22.4 绩效预测问题

评估过去绩效通常是为了预测未来。要用过去绩效成功预测未来，三个条件必须同时成立：

1. 过去绩效反映的是技能——若只是运气，与未来无关；
2. 这种技能将继续产生好收益——所需技能可能随市况变化，牛市的成功者未必在熊市成功；
3. 经理仍具备这种技能——公司可能失去关键员工或资源，经理可能年龄增长或失去动力。

任何一条不成立，用过去预测未来就无效。验证方法：

• 条件 1：分析法——识别决定过去绩效的技能，难点在于必须充分理解管理过程；统计法——证明运气不能合理解释过去绩效，常被用来回避分析法的困难，但它有自己的大问题（第 22b 章）。
• 条件 2：先识别技能，再判断它是否继续有用。比条件 1 更难——解释过去比预测未来容易。
• 条件 3：一般可直接询问，但只有知道要找什么技能时才可靠。

由于验证困难，多数人干脆不验证，直接假设过去能预测未来——而这种预测出了名地不精确。

金融直觉：这三个条件与 CFA 经理遴选（manager selection）里"重过程、轻业绩"的尽调框架一一对应。条件 1 对应投资理念与流程是否可解释、可重复；条件 2 对应这套方法依赖的市场环境是否还在（如 Reg FD 之后靠接触管理层获取信息的优势消失）；条件 3 对应团队稳定性、关键人风险和激励安排。尽调问卷里那些看似"软"的问题，本质上都在检查条件 2 和 3，因为单靠业绩数字连条件 1 都很难验证。

**原书专栏“Regulation FD”**是条件 2 失效的例子：SEC 2000 年采用公平披露规则（Regulation FD）之前，善于安排内部人访谈的经理常能获得有价值的重大信息；规则要求上市公司向任何人披露重大信息时须同时向公众披露之后，这种技能大为贬值，具备它的经理的过去绩效不再能预测未来。

**原书专栏“我们对过去绩效的信仰”**给了一个进化论的解释：祖先靠学会“过去发生的事常会再发生”而存活，不这样想的旁支常被吃掉或饿死——自然选择把“绩效具有持续性”的信念硬编码进了大脑。

实证证据

研究者发现：某年表现最好的基金与次年表现最好的基金之间几乎没有相关性；过去表现好的与过去表现差的，成为未来好表现者的可能性差不多。例外是表现最差的基金倾向于年年垫底——它们通常因交易太多、费用太高而亏损，只要这些条件不变就一直垫底。这些结果非常稳健：对股票、债券、商品基金都成立，跨年份、跨国家一致，按季、按月度量都相似，也不依赖于用什么标准挑选最佳基金。它们强烈表明：统计方法无法从过去收益可靠地预测未来绩效。 第 22b 章解释为什么会这样。

量化实战：把收益算对

下面的代码依次演示：几何连乘（复算原书三个专栏）；时间加权与资金加权收益的差别，以及“不扣除追加资金”会把收益夸大到什么程度；用同期贝塔做三分解，并展示用常数贝塔回归会把择时收益错算为 alpha；最后演示估值平滑如何制造正自相关、压低波动、抬高夏普比率，以及如何用一阶自相关做简单的反平滑。

import numpy as np, pandas as pd
from scipy.optimize import brentq
import statsmodels.api as sm

# ---------- 1) 几何连乘 ----------
link = lambda rs: np.prod(1 + np.asarray(rs)) - 1
print(f"+100% 后 -50%：算术和 {1.0 - 0.5:+.0%}，几何连乘 {link([1.0, -0.5]):+.0%}")
print(f"UltraOTC：-94.7% 后 +95.6%，10,000 美元变为 {10000 * (1 + link([-0.947, 0.956])):,.0f} 美元")
print(f"愚蠢的 John 两年：{link([0.23, -0.20]):+.1%}；标普 {link([0.33, -0.10]):+.1%}；储蓄 {link([0.05, 0.05]):+.1%}")

# ---------- 2) 时间加权（持有期）收益 vs 资金加权（IRR）----------
# 一个投资俱乐部：每年初追加资金，年内收益率如下
r = np.array([0.30, -0.10, 0.05, 0.12, -0.20, 0.25, 0.08, 0.15, -0.05, 0.10])
contrib = np.array([10_000] + [5_000] * 9)          # 每年初投入
value = 0.0; vals = []
for c, ri in zip(contrib, r):
    value = (value + c) * (1 + ri); vals.append(value)
twr = (np.prod(1 + r)) ** (1 / len(r)) - 1
cf = np.append(-contrib, vals[-1])                   # 年初流出、期末收回
irr = brentq(lambda y: np.sum(cf / (1 + y) ** np.arange(len(cf))), -0.9, 1.0)
naive = vals[-1] / contrib[0]                         # 不扣除追加资金的“总收益”
print(f"\n时间加权年化 {twr:.2%}；资金加权(IRR) {irr:.2%}；期末价值 {vals[-1]:,.0f}，累计投入 {contrib.sum():,}")
print(f"错误做法：期末价值/首笔投入 => 10 年 {naive - 1:.0%}，折合年化 {naive ** 0.1 - 1:.2%}")

# ---------- 3) 收益三分解：超额 + 择时 + 市场 ----------
rng = np.random.default_rng(22)
T = 240                                              # 20 年月度
rm = rng.normal(0.008, 0.045, T)
signal = 0.3 * np.sign(rm) + rng.normal(0, 1, T)     # 对市场方向有微弱预测力的信号
beta_t = np.clip(1.0 + 0.25 * np.sign(signal), 0.5, 1.5)   # 看多时 beta=1.25，看空时 0.75
alpha_m = 0.0015
rp = alpha_m + beta_t * rm + rng.normal(0, 0.015, T)
dec = pd.DataFrame({"超额(选股)": rp - beta_t * rm, "择时": (beta_t - 1) * rm, "市场": rm})
print("\n年化分解（用同期 beta）：")
print((dec.mean() * 12).map(lambda x: f"{x:.2%}").to_string())
se = dec["超额(选股)"].std() / np.sqrt(T) * 12
print(f"（真实选股 alpha 为年化 {alpha_m*12:.2%}；超额收益均值的标准误为年化 {se:.2%}）")
fit = sm.OLS(rp, sm.add_constant(rm)).fit()
print(f"若用全样本常数 beta 回归：alpha 年化 {fit.params[0]*12:.2%}（t={fit.tvalues[0]:.2f}），beta {fit.params[1]:.2f}"
      " —— 择时收益被混进了 alpha")

# ---------- 4) 估值平滑：正自相关与被低估的波动率 ----------
true_r = rng.normal(0.006, 0.04, T)
theta = 0.6                                          # 报告收益 = 0.4×本期真实 + 0.6×上期报告
rep = np.zeros(T)
for t in range(T):
    rep[t] = (1 - theta) * true_r[t] + theta * (rep[t-1] if t else 0.006)
ac1 = pd.Series(rep).autocorr(1)
unsm = (rep[1:] - ac1 * rep[:-1]) / (1 - ac1)        # 用一阶自相关反平滑
sr = lambda x: x.mean() / x.std() * np.sqrt(12)
print(f"\n真实收益：波动 {true_r.std()*np.sqrt(12):.1%}，夏普 {sr(true_r):.2f}")
print(f"平滑后报告：一阶自相关 {ac1:.2f}，波动 {rep.std()*np.sqrt(12):.1%}，夏普 {sr(rep):.2f}")
print(f"反平滑后：波动 {unsm.std()*np.sqrt(12):.1%}，夏普 {sr(unsm):.2f}")

输出：

+100% 后 -50%：算术和 +50%，几何连乘 +0%
UltraOTC：-94.7% 后 +95.6%，10,000 美元变为 1,037 美元
愚蠢的 John 两年：-1.6%；标普 +19.7%；储蓄 +10.3%

时间加权年化 5.97%；资金加权(IRR) 5.71%；期末价值 77,451，累计投入 55,000
错误做法：期末价值/首笔投入 => 10 年 675%，折合年化 22.72%

年化分解（用同期 beta）：
超额(选股)     0.18%
择时         2.39%
市场        12.35%
（真实选股 alpha 为年化 1.80%；超额收益均值的标准误为年化 1.20%）
若用全样本常数 beta 回归：alpha 年化 2.67%（t=1.71），beta 0.99 —— 择时收益被混进了 alpha

真实收益：波动 13.6%，夏普 0.43
平滑后报告：一阶自相关 0.61，波动 6.9%，夏普 0.82
反平滑后：波动 14.0%，夏普 0.39

逐段解读：

1. 几何连乘复现了原书三个专栏的数字。在量化回测中，日收益序列的累计净值必须用连乘，算术累加会在高波动策略上严重失真。

2. 资金进出：这个俱乐部真实的时间加权年化收益不到 6%，资金加权 5.7%（后期资金多、而后期收益略差）。但如果像 Beardstown 那样拿期末价值除以首笔投入，10 年“收益”675%、年化 22.7%——几乎就是那本畅销书封面上的数字量级。

3. 三分解：这位经理真实的选股 alpha 是年化 1.8%，另有择时能力（看多时加贝塔）。用同期贝塔分解，择时贡献 2.4%、选股 0.18%——选股估计只有真实值的十分之一，因为 20 年月度数据的标准误高达 1.2%（这正是第 22b 章的主题：技能淹没在噪声中）。而如果像很多人那样对全样本做一次 CAPM 回归，得到的贝塔约等于 1，alpha 2.67%：择时收益被算成了 alpha。归因时必须搞清楚经理的贝塔是不是在变。

4. 估值平滑：报告收益只吸收 40% 的真实变动，结果一阶自相关 0.61，年化波动从 13.6% 降到 6.9%，夏普比率从 0.43 虚增到 0.82。用一阶自相关反推（\(r^{\text{true}}_t\approx(r^{\text{rep}}_t-\rho r^{\text{rep}}_{t-1})/(1-\rho)\)），波动和夏普基本恢复。评估私募股权、地产、信用类基金或流动性差的对冲基金时，看到高夏普、低波动、显著正自相关的组合，应先做这一检查（更完整的方法是 Getmansky–Lo–Makarov 的多阶平滑模型）。

   推导拆解：平滑模型的三个结论都能算出来。设报告收益 \(x_t=(1-\theta)u_t+\theta x_{t-1}\)，\(u_t\) 是独立的真实收益，方差 \(\sigma^2\)。 第一，方差：\(x_t\) 平稳时两边取方差，\(\mathrm{Var}(x)=(1-\theta)^2\sigma^2+\theta^2\mathrm{Var}(x)\)（\(u_t\) 与 \(x_{t-1}\) 独立，交叉项为零），解得 \(\mathrm{Var}(x)=\frac{(1-\theta)^2}{1-\theta^2}\sigma^2=\frac{1-\theta}{1+\theta}\sigma^2\)。\(\theta=0.6\) 时比值为 0.25，标准差减半，与输出 13.6% → 6.9% 一致。 第二，自相关：\(\mathrm{Cov}(x_t,x_{t-1})=\theta\mathrm{Var}(x)\)，所以一阶自相关就是 \(\theta\)，输出 0.61 对应真实 0.6。 第三，均值不变（平滑不改变长期平均收益），波动减半，所以夏普比率约翻倍：0.43 → 0.82。 反平滑就是把模型倒过来解：\(u_t=(x_t-\theta x_{t-1})/(1-\theta)\)，用估计的自相关 \(\hat\rho\) 代替 \(\theta\)。GIPS 对私募和不动产要求披露估值方法和外部评估频率，正是因为评估值的滞后会产生这种平滑。

本章小结

绩效取决于技能、运气和投资政策，评估的核心任务是把技能从运气中分离出来，所以相对评估比绝对评估更有用。收益要算对：多期几何连乘，资金进出要调整，评估经理用时间加权收益；当期收益率与资本利得要分开；不常交易资产的估值可能被平滑，表现为收益正自相关。相对评估从市场调整收益到风险调整收益（已实现 alpha），再到“超额 + 择时 + 市场”三分解和多因子归因，每一步都在去掉不属于经理的部分。用过去绩效预测未来需要三个条件同时成立，实证上基金业绩几乎没有持续性，只有最差的基金持续垫底。

练习

基础

1. 某基金三年收益分别为 +25%、−20%、+10%。求三年累计收益与年化收益。 答案：\(1.25\times0.8\times1.1-1=10\%\)；年化 \(1.1^{1/3}-1\approx3.23\%\)。
2. 年初组合 100 万元，年中（收益为 +10% 之后）投资者追加 100 万元，下半年收益 −10%。求时间加权收益和资金加权收益（用半年复利近似）。 答案：时间加权 \(1.1\times0.9-1=-1\%\)；期末价值 \((110+100)\times0.9=189\) 万元，资金加权半年收益率 \(y\) 满足 \(100(1+y)^2+100(1+y)=189\)，解得 \(1+y\approx0.963\)，即半年 −3.7%，年化约 −7.3%（大部分资金只经历了下半年的亏损）。
3. 某组合今年收益 18%，平均贝塔 1.2，市场收益 10%。求市场调整收益、已实现 alpha 与择时收益，并验证三分解。 答案：市场调整 8%；alpha \(18\%-12\%=6\%\)；择时 \((1.2-1)\times10\%=2\%\)；\(6\%+2\%+10\%=18\%\)。
4. 用过去绩效预测未来需要哪三个条件？各举一个失效的例子。
5. 为什么最差的基金倾向于持续垫底，而最好的基金不持续？

进阶

6. 原书思考题 12：统计学家如何识别投资经理对不流动资产的估值调整过慢？ 答案要点：报告收益正序列相关；波动率与同类可交易资产相比异常低；与市场的同期相关性低而与滞后市场收益相关。
7. 原书思考题 1：等金额再平衡（每期调回等额持有）的投资者，收益是否总高于买入持有者？答案如何依赖价格的序列相关？哪种策略对逆向交易者更有吸引力？ 提示：再平衡本质是“卖涨买跌”的逆向策略；价格负序列相关（均值回复）时再平衡占优，正相关（趋势）时买入持有占优。可用模拟验证。
8. 在本章代码第 3 部分，把择时信号的预测力从 0.3 改为 0，重新运行，观察常数贝塔回归的 alpha 如何变化。为什么？
9. “买入并持有基准”会让经理偏重短期想法。设计一个你认为更合理的、用于评估主动交易贡献的基准，并说明它的缺点。
10. 原书思考题 9：公司经理管理实物资产组合，投资经理管理金融资产组合。本章关于绩效评估的原则是否适用于评估公司 CEO？

原书推荐习题：思考题 1（等金额再平衡 vs 买入持有）；思考题 12（识别估值平滑）；思考题 9、10（公司经理、封闭式基金折溢价）。其余思考题见第 22b 章。

原书对照

• Part VI 导言：PDF 第 432 页（原书页码约为 PDF 页码减 13）。
• 原书第 22 章 Performance Evaluation and Prediction，PDF 第 455–494 页（原书第 442–481 页）；本章覆盖：
  • 章首导言：PDF p.455–456；
  • 22.1 绩效评估问题（专栏 Sizzler、运气与技能的组合）：p.456–458；
  • 22.2 绩效评估方法（绝对绩效、Beardstown、几何连乘两专栏；相对绩效、平滑专栏、AIMR-PPS；表 22-1；风险调整与择时；愚蠢的 John；买入并持有基准）：p.458–464；
  • 22.3 绩效预测问题与实证证据（专栏 Regulation FD、我们对过去绩效的信仰）：p.463–465。
• 统计评估、样本选择偏差、经济学方法（22.4–22.10）见第 22b 章。