第 08b 章 协整、误差修正与配对交易

本章对应 Tsay 原书第 8 章后半（8.5–8.8 节）。第 08a 章处理的都是平稳的收益序列；本章转向价格。单个资产的对数价格通常有单位根，但几个价格的某个线性组合却可能是平稳的——这就是协整。协整把"两个资产长期必须一起走"的经济直觉变成可检验、可估计的统计模型，它是配对交易、期现套利和利率曲线交易的理论基础。单方程的协整估计与检验（EG-ADF、DOLS）见第 05 册第 17b 章，可与本章的 Johansen 系统方法对照。

学习目标

1. 理解协整的定义、共同趋势和协整向量，能解释为什么对协整系统逐个差分会"过度差分"。
2. 掌握误差修正模型（ECM）的推导，理解 \(\boldsymbol\Pi=\boldsymbol\alpha\boldsymbol\beta'\) 中 \(\boldsymbol\alpha\)（调整速度）和 \(\boldsymbol\beta\)（协整向量）的含义，以及 \(\mathrm{Rank}(\boldsymbol\Pi)\) 的三种情形。
3. 掌握 Johansen 方法：偏回归、广义特征值、迹检验与最大特征值检验，知道确定项的五种设定会影响临界值。
4. 能用 Engle–Granger 两步法和 Johansen 方法检验一对股票是否协整，并从 VECM 推出价差的均值回复速度与半衰期。
5. 掌握 Tsay 配对交易框架：价差、对冲比、组合收益 \(=\) 价差增量、\(\mu_w\pm\Delta\) 开平仓规则及交易成本门槛 \(2\Delta>\eta\)；理解门限协整与期现套利的"无套利区间"。

读前导读

这一章在解决什么问题。 股价本身像随机游走：今天的价格是明天最好的猜测，没有"均值"可以回归。但有些价格之间被经济力量拴在一起：同一家公司的 A 股与 H 股、股指期货与现货、3 个月与 6 个月国债利率。它们各自乱走，彼此的差距却不会无限拉大。协整就是把"各自随机游走、但某个组合是平稳的"这件事写成数学。你在 CFA 里学过期货的持有成本定价和无套利原理：期货价格偏离 \(S e^{(r-q)T}\) 太多就会被套利拉回。协整是这条无套利逻辑的统计版本——"基差"就是协整残差，"被拉回"就是误差修正。

本章的主线是：先说明为什么不能对价格逐个差分后再建 VAR（会丢掉"差距会回归"这条最有价值的信息）；再引入误差修正模型（ECM），其中 \(\boldsymbol\beta\) 告诉你哪个组合是平稳的价差（对冲比），\(\boldsymbol\alpha\) 告诉你价差偏离后谁来修正、多快修正；然后讲 Johansen 方法如何从数据里估出 \(\boldsymbol\beta\) 并检验存在几个这样的组合；最后落到期现套利和配对交易。

需要先想起来的数学。

• 单位根与 I(1)/I(0)。 I(1) 指"差分一次才平稳"，比如对数价格；I(0) 指本身平稳，比如收益率、价差。AR(1) 系数 \(\phi=1\) 时就是随机游走（单位根），冲击永不消退；\(|\phi|<1\) 时冲击按 \(\phi^j\) 衰减。这是前面单变量章节的内容，本章默认你已熟悉 ADF 检验。
• 矩阵的秩与外积。 秩是矩阵中线性无关的行（或列）的个数。列向量乘行向量得到的 \(\boldsymbol\alpha\boldsymbol\beta'\) 叫外积，秩为 1：例如 \(\begin{bmatrix}-1\\-0.5\end{bmatrix}[0.5,\ 1]=\begin{bmatrix}-0.5&-1\\-0.25&-0.5\end{bmatrix}\)，第二行恰好是第一行的一半。本章用"秩"来数协整关系的个数。见 第 00 册第 06 章 线性代数速成。
• 特征值与广义特征值。 普通特征值解 \(|\lambda\boldsymbol I-\boldsymbol A|=0\)；广义特征值解 \(|\lambda\boldsymbol B-\boldsymbol A|=0\)，等价于求 \(\boldsymbol B^{-1}\boldsymbol A\) 的特征值。Johansen 检验的核心计算就是这个。见第 00 册第 06 章。
• 对数与半衰期。 若偏离每期乘以 \(\rho\)（\(0<\rho<1\)），\(h\) 期后剩 \(\rho^h\)。令 \(\rho^h=0.5\)，两边取对数得 \(h=\ln0.5/\ln\rho\)。例：\(\rho=0.9\) 时 \(h=-0.693/-0.105\approx6.6\) 期。这与债券里"翻倍时间 \(\approx72/\)利率"是同一类计算。见 第 00 册第 04 章 级数与收敛。
• 偏回归（Frisch–Waugh 定理）。 在多元回归里，想单独看 \(X_1\) 对 \(Y\) 的系数，可以先把 \(Y\) 和 \(X_1\) 都对其他变量 \(X_2\) 回归、取残差，再用残差对残差回归，结果与完整回归中 \(X_1\) 的系数完全相同。Johansen 第一步就是这样"剔除"短期动态。

怎么读这一章。 核心必读：8.6（例子与定义）、8.7.1（为什么不能逐个差分）、8.8.1（\(\boldsymbol\Pi\) 的秩三分法、价差的 AR(1) 形式）、8.11 全节（配对交易框架与 BHP/VALE 实例）以及"量化实战"。8.7.2 的一般形式、8.8.2 的五种确定项设定第一次只需记住"受限常数适合利率和价差，非受限常数适合带漂移的价格"。8.9.1 的 Johansen 估计细节可以先读直觉和第三步结论，等跑过 Python 示例一的手写 Johansen 后再回头看。8.10 门限协整适合对期现套利感兴趣的读者。建议顺序：8.6 → 8.7.1 → 8.8.1 → 8.11 → 示例一 → 回头补 8.9、8.10。

8.6 单位根非平稳与协整

8.6.1 一个启发性的例子

考虑二元 ARMA(1,1)：

AR 矩阵的迹为 1、行列式为 \(0.25-0.25=0\)，所以特征值为 0 和 1——有一个单位根，系统非平稳。左乘 AR 多项式的伴随矩阵可以算出

即每个分量单独看都是 ARIMA(0,1,1)，都像随机游走。

现在做线性变换 \(\boldsymbol y_t=\boldsymbol L\boldsymbol x_t\)，\(\boldsymbol L=\begin{bmatrix}1.0&-2.0\\0.5&1.0\end{bmatrix}\)，\(\boldsymbol b_t=\boldsymbol L\boldsymbol a_t\)。由 \(\boldsymbol y_t=\boldsymbol L\boldsymbol\Phi\boldsymbol L^{-1}\boldsymbol y_{t-1}+\boldsymbol b_t-\boldsymbol L\boldsymbol\Theta\boldsymbol L^{-1}\boldsymbol b_{t-1}\) 得

变换后的两个分量不耦合：\(y_{1t}=x_{1t}-2x_{2t}\) 是 ARIMA(0,1,1)，而 \(y_{2t}=0.5x_{1t}+x_{2t}=b_{2t}\) 是白噪声。两个看起来都在随机游走的序列，其单位根全部来自同一个源头 \(y_{1t}\)，称为共同趋势（common trend）；它们的组合 \(0.5x_{1t}+x_{2t}\) 把这个共同趋势抵消掉了。

推导拆解：(8.32) 的 AR 矩阵可以直接验算。\(\boldsymbol L^{-1}=\frac12\begin{bmatrix}1&2\\-0.5&1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0.5&1\\-0.25&0.5\end{bmatrix}\)（2×2 求逆：对角互换、非对角变号、除以行列式 2）。先算 \(\boldsymbol L\boldsymbol\Phi=\begin{bmatrix}1&-2\\0&0\end{bmatrix}\)——第二行为零，正是因为 \(\boldsymbol L\) 的第二行 \((0.5,1)\) 乘 \(\boldsymbol\Phi\) 恰好得零向量。再右乘 \(\boldsymbol L^{-1}\) 得 \(\begin{bmatrix}1&0\\0&0\end{bmatrix}\)。MA 矩阵同理。 为什么要乘 \(\boldsymbol L\cdots\boldsymbol L^{-1}\)？把 \(\boldsymbol x_t=\boldsymbol L^{-1}\boldsymbol y_t\) 代入原方程，再整体左乘 \(\boldsymbol L\)，就得到关于 \(\boldsymbol y_t\) 的方程，系数矩阵自然变成 \(\boldsymbol L\boldsymbol\Phi\boldsymbol L^{-1}\)。这一步相当于"换一组坐标看同一个系统"。

金融直觉：想象两只同行业股票都被同一个"行业景气度"驱动（共同趋势 \(y_{1t}\)），各自再加一点独立噪声。单看任何一只都像随机游走；但按合适比例做多一只、做空另一只（组合 \(y_{2t}\)），行业景气度的影响恰好对冲掉，剩下的只是围绕常数波动的噪声。这个对冲比例就是协整向量，也就是配对交易里的 \(\gamma\)。

8.6.2 定义

若 \(x_{1t},x_{2t}\) 都是单位根非平稳（I(1)），但存在一个线性组合是单位根平稳（I(0)）的，就称二者协整（cointegrated）。一般地，\(k\) 维 I(1) 序列中若单位根个数 \(h\) 满足 \(0<h<k\)，则存在 \(k-h\) 个线性无关的平稳组合，称 \(k-h\) 为协整秩，组合系数称为协整向量（cointegrating vector）。上例中协整向量为 \((0.5,1)'\)。协整向量只能确定到一个比例因子，通常把某个分量的系数标准化为 1。

文献：Box & Tiao (1977)、Engle & Granger (1987)、Stock & Watson (1988)、Johansen (1988)。

作者的观点。 Tsay 对协整检验的实用价值有所保留，主要原因是检验常忽略分量的尺度效应（Cochrane 1988；Tiao, Tsay & Wang 1993）。但他认为协整的思想与金融高度相关：诺基亚在赫尔辛基的股价必须与其在纽约的 ADR 同步变动，否则就有套利机会；若股价有单位根，二者必然协整——当然，要考虑交易成本和汇率风险之后才成立。这一观点贯穿后文：协整关系首先应有经济逻辑支撑，统计检验只是验证。

8.7 误差修正形式

8.7.1 为什么不能逐个差分

协整系统中单位根非平稳的分量（\(k\) 个）多于单位根（\(h\) 个）。如果对每个分量都做差分，等于差分了 \(k\) 次，多出的 \(k-h\) 次差分会在 MA 部分引入单位根——过度差分（over-differencing），使 MA 多项式不可逆，估计困难（回忆第 08a 章 VMA 的精确似然问题），而且丢掉了"水平之间存在长期关系"这一最有价值的信息。

Engle & Granger (1987) 的解决方案是误差修正表示。对 (8.31) 两边减 \(\boldsymbol x_{t-1}\)：

左边 \(\Delta\boldsymbol x_t\) 平稳，右边的 \([0.5,1.0]\boldsymbol x_{t-1}=y_{2,t-1}\) 也平稳，方程两边"平稳性匹配"，MA 多项式保持原样，没有不可逆问题。这就是误差修正模型（error correction model, ECM）。

白话解释：为什么"多差分一次"有害？最简单的例子：白噪声 \(a_t\) 本来已经平稳，再差分一次得 \(a_t-a_{t-1}\)，这是 MA 系数恰好为 1 的 MA(1)，MA 多项式 \(1-B\) 在 \(B=1\) 处有根，即"不可逆"。不可逆意味着无法用有限个过去观测把新息 \(a_t\) 还原出来，估计和预测都会出问题。协整系统里，价差本身已经平稳，对每只股票分别差分，就相当于把价差也多差分了一次。

金融直觉：ECM 的读法：\(\Delta\boldsymbol x_t=\boldsymbol\alpha\cdot(\text{上期价差})+\cdots\)。本例 \(\boldsymbol\alpha=(-1,-0.5)'\)，价差 \(y_{2,t-1}\) 偏高时两个分量都会被往下拉。这正是"基差偏离会被套利修正"的数学写法；只对收益（差分）建模，模型里就没有"基差"这一项，也就看不到这种修正力。

8.7.2 一般形式

\(k\) 维协整 VARMA(\(p,q\))、\(m\) 个协整向量（\(m<k\)）时：

\(\boldsymbol\alpha,\boldsymbol\beta\) 都是 \(k\times m\) 满秩矩阵。（推导：把 \(\boldsymbol\Phi(B)\) 改写为 \(\boldsymbol\Phi(1)B+(1-B)\times\)(其余项)，比较 \(B\) 的各次幂系数即可。）

推导拆解：以 VAR(2) \(\boldsymbol x_t=\boldsymbol\Phi_1\boldsymbol x_{t-1}+\boldsymbol\Phi_2\boldsymbol x_{t-2}+\boldsymbol a_t\) 为例，手工走一遍。 第一步，两边减 \(\boldsymbol x_{t-1}\)：\(\Delta\boldsymbol x_t=(\boldsymbol\Phi_1-\boldsymbol I)\boldsymbol x_{t-1}+\boldsymbol\Phi_2\boldsymbol x_{t-2}+\boldsymbol a_t\)。 第二步，把 \(\boldsymbol x_{t-2}\) 写成 \(\boldsymbol x_{t-1}-\Delta\boldsymbol x_{t-1}\)（恒等式，没有任何假设）：\(\boldsymbol\Phi_2\boldsymbol x_{t-2}=\boldsymbol\Phi_2\boldsymbol x_{t-1}-\boldsymbol\Phi_2\Delta\boldsymbol x_{t-1}\)。 第三步，合并 \(\boldsymbol x_{t-1}\) 的系数：\(\Delta\boldsymbol x_t=(\boldsymbol\Phi_1+\boldsymbol\Phi_2-\boldsymbol I)\boldsymbol x_{t-1}-\boldsymbol\Phi_2\Delta\boldsymbol x_{t-1}+\boldsymbol a_t\)。 对照 (8.34)：\(\boldsymbol\alpha\boldsymbol\beta'=\boldsymbol\Phi_1+\boldsymbol\Phi_2-\boldsymbol I\)，\(\boldsymbol\Phi_1^*=-\boldsymbol\Phi_2\)，与练习 2 的提示一致。可见 ECM 只是 VAR 的代数改写，信息完全相同；新东西在于协整意味着 \(\boldsymbol\Phi_1+\boldsymbol\Phi_2-\boldsymbol I\) 是降秩的，可以拆成"窄"矩阵 \(\boldsymbol\alpha\) 乘 \(\boldsymbol\beta'\)。

直觉。 \(\boldsymbol\beta'\boldsymbol x_{t-1}\) 是上期对长期均衡的偏离（"误差"），\(\boldsymbol\alpha\) 告诉我们每个变量如何对这个偏离做出反应（"修正"）。从统计上看，单位根理论表明 I(1) 序列与 I(0) 序列的样本相关随样本增大趋于 0（Tsay & Tiao 1990），所以平稳的 \(\Delta\boldsymbol x_t\) 只能通过平稳组合 \(\boldsymbol\beta'\boldsymbol x_{t-1}\) 与水平 \(\boldsymbol x_{t-1}\) 发生有意义的关联。ECM 的构造方式不唯一：可以用任意 \(\boldsymbol\alpha\boldsymbol\beta'\boldsymbol x_{t-v}\)（\(1\le v\le p\)）并相应修改 \(\boldsymbol\Phi_i^*\)。

8.8 协整 VAR 模型

8.8.1 ECM 与 \(\boldsymbol\Pi\) 的秩

考虑含确定性趋势的 \(k\) 维 VAR(\(p\))：\(\boldsymbol x_t=\boldsymbol\mu_t+\boldsymbol\Phi_1\boldsymbol x_{t-1}+\cdots+\boldsymbol\Phi_p\boldsymbol x_{t-p}+\boldsymbol a_t\)，\(\boldsymbol\mu_t=\boldsymbol\mu_0+\boldsymbol\mu_1t\)，\(\boldsymbol a_t\) 高斯，各分量至多 I(1)。其 ECM 为

反过来，\(\boldsymbol\Phi_1=\boldsymbol I+\boldsymbol\Pi+\boldsymbol\Phi_1^*\)，\(\boldsymbol\Phi_i=\boldsymbol\Phi_i^*-\boldsymbol\Phi_{i-1}^*\)（\(i=2,\dots,p\)，\(\boldsymbol\Phi_p^*=\boldsymbol 0\)）。有单位根时 \(|\boldsymbol\Phi(1)|=0\)，\(\boldsymbol\Pi\) 奇异，分三种情形：

1. \(\mathrm{Rank}(\boldsymbol\Pi)=0\)：\(\boldsymbol\Pi=\boldsymbol 0\)，无协整，直接对 \(\Delta\boldsymbol x_t\) 建 VAR(\(p-1\))。
2. \(\mathrm{Rank}(\boldsymbol\Pi)=k\)：没有单位根，\(\boldsymbol x_t\) 本身平稳，直接对水平建 VAR。
3. \(0<\mathrm{Rank}(\boldsymbol\Pi)=m<k\)：\(\boldsymbol\Pi=\boldsymbol\alpha\boldsymbol\beta'\)，有 \(m\) 个协整向量 \(\boldsymbol w_t=\boldsymbol\beta'\boldsymbol x_t\) 和 \(k-m\) 个单位根，后者构成 \(k-m\) 个共同随机趋势。

所以检验协整就是检验 \(\boldsymbol\Pi\) 的秩。

白话解释：为什么"秩"恰好等于协整关系的个数？\(\boldsymbol\Pi\boldsymbol x_{t-1}\) 出现在等式右边，而左边 \(\Delta\boldsymbol x_t\) 是平稳的，所以 \(\boldsymbol\Pi\boldsymbol x_{t-1}\) 也必须平稳。\(\boldsymbol\Pi\) 的每一行都是 \(\boldsymbol x_{t-1}\) 的一个线性组合，秩为 \(m\) 意味着这些行里只有 \(m\) 个"真正不同"的组合，其余都是它们的线性组合。所以平稳组合恰有 \(m\) 个。 三种情形用二元配对来想：秩 0 表示两只股票毫无关系，各走各的，只能对收益建模；秩 2 表示两个价格本身都平稳（股价里很少见）；秩 1 是配对交易想要的情形——有一个平稳价差，同时还有一个共同趋势带着两者一起漂移。

共同趋势。 取 \(\boldsymbol\alpha\) 的正交补 \(\boldsymbol\alpha_\perp\)（\(\boldsymbol\alpha_\perp'\boldsymbol\alpha=\boldsymbol 0\)），左乘 ECM 后误差修正项消失，\(\boldsymbol y_t=\boldsymbol\alpha_\perp'\boldsymbol x_t\) 就是共同趋势。8.6 节例子中 \(\boldsymbol\alpha=(-1,-0.5)'\)，\(\boldsymbol\alpha_\perp=(1,-2)'\)，\(y_t=x_{1t}-2x_{2t}\)，正是 (8.32) 中的 \(y_{1t}\)。

识别。 分解 \(\boldsymbol\Pi=\boldsymbol\alpha\boldsymbol\beta'\) 不唯一：对任意 \(m\times m\) 可逆阵 \(\boldsymbol\Omega\)，\((\boldsymbol\alpha\boldsymbol\Omega)(\boldsymbol\beta\boldsymbol\Omega'^{-1})'\) 给出同一个 \(\boldsymbol\Pi\)。常用标准化 \(\boldsymbol\beta'=[\boldsymbol I_m,\boldsymbol\beta_1']\)。

价差的平稳性条件。 二元 VAR(1)、一个协整向量 \(\boldsymbol\beta=(1,\beta_1)'\)：\(\Delta\boldsymbol x_t=\boldsymbol\mu_t+(\alpha_1,\alpha_2)'(1,\beta_1)\boldsymbol x_{t-1}+\boldsymbol a_t\)。左乘 \(\boldsymbol\beta'\)：

价差 \(w_t\) 是 AR(1)，需 \(|1+\alpha_1+\alpha_2\beta_1|<1\)。这个系数决定了均值回复的快慢，是配对交易中最重要的数之一（见 8.11 节的半衰期）。

8.8.2 确定项的五种设定

协整检验统计量的极限分布依赖确定项 \(\boldsymbol\mu_t\)，必须事先选定：

"受限"的意思是常数（或趋势）只出现在协整关系内部，不会让价格本身产生漂移。

8.9 Johansen 方法：估计与检验

8.9.1 极大似然估计（降秩回归）

给定秩 \(m\)，ECM 为 \(\Delta\boldsymbol x_t=\boldsymbol\mu\boldsymbol d_t+\boldsymbol\alpha\boldsymbol\beta'\boldsymbol x_{t-1}+\sum_{i=1}^{p-1}\boldsymbol\Phi_i^*\Delta\boldsymbol x_{t-i}+\boldsymbol a_t\)，其中 \(\boldsymbol d_t\) 是确定项（如 \([1,t]'\)）。若 \(\boldsymbol\beta\) 已知，这就是普通多元线性回归；难点在于 \(\boldsymbol\alpha\boldsymbol\beta'\) 是降秩的。Johansen 的做法分三步。

第一步：偏回归（集中似然）。 把确定项和短期动态"剔除掉"：

得残差 \(\hat{\boldsymbol u}_t\)（调整后的 \(\Delta\boldsymbol x_t\)）和 \(\hat{\boldsymbol v}_t\)（调整后的 \(\boldsymbol x_{t-1}\)）。由 Frisch–Waugh 定理，问题化为

第二步：广义特征值问题。 记 \(\boldsymbol S_{00}=\frac1{T-p}\sum\hat{\boldsymbol u}_t\hat{\boldsymbol u}_t'\)，\(\boldsymbol S_{01}=\frac1{T-p}\sum\hat{\boldsymbol u}_t\hat{\boldsymbol v}_t'\)，\(\boldsymbol S_{11}=\frac1{T-p}\sum\hat{\boldsymbol v}_t\hat{\boldsymbol v}_t'\)，求解

得 \(\hat\lambda_1>\cdots>\hat\lambda_k\) 及特征向量 \(\boldsymbol e_i\)（标准化为 \(\boldsymbol e'\boldsymbol S_{11}\boldsymbol e=\boldsymbol I\)）。\(\hat\lambda_i\) 是 \(\hat{\boldsymbol u}_t\) 与 \(\hat{\boldsymbol v}_t\) 之间的平方典型相关系数（canonical correlation），也就是剔除确定项与短期动态后，\(\Delta\boldsymbol x_t\) 与 \(\boldsymbol x_{t-1}\) 的偏典型相关。直觉：哪个水平组合最能"解释"下一期的变化，哪个就是协整方向。

白话解释：先看 \(k=1\) 的情形。此时 \(S_{00},S_{01},S_{11}\) 都是数，方程化为 \(\lambda=S_{01}^2/(S_{00}S_{11})\)，这正是 \(\hat u_t\) 与 \(\hat v_t\) 的样本相关系数的平方，也就是"用上期水平回归本期变化"的 \(R^2\)。\(k\) 维时，典型相关的做法是：在 \(\hat{\boldsymbol v}_t\)（水平）的所有线性组合里，找一个与 \(\hat{\boldsymbol u}_t\)（变化）相关性最强的组合，它对应最大的 \(\hat\lambda_1\)；再在与它不相关的组合里找次强的，依此类推。 为什么这样能找到协整向量？协整组合（价差）是平稳的，会被误差修正项"拉回"，所以它与下一期的变化相关；而含单位根的组合（共同趋势）与下一期变化几乎无关。于是大的 \(\hat\lambda\) 对应协整方向，接近 0 的 \(\hat\lambda\) 对应共同趋势。 计算上，\(|\lambda\boldsymbol S_{11}-\boldsymbol S_{10}\boldsymbol S_{00}^{-1}\boldsymbol S_{01}|=0\) 等价于求矩阵 \(\boldsymbol S_{11}^{-1}\boldsymbol S_{10}\boldsymbol S_{00}^{-1}\boldsymbol S_{01}\) 的普通特征值，Python 示例一中的 M = solve(S11, S01.T @ solve(S00, S01)) 就是这个矩阵。

第三步：读出估计。 \(\hat{\boldsymbol\beta}=[\boldsymbol e_1,\dots,\boldsymbol e_m]\)，再按识别约束标准化；\(\boldsymbol\alpha\) 及其他参数由把 \(\hat{\boldsymbol\beta}'\boldsymbol x_{t-1}\) 当作已知回归元的 OLS 得到。最大似然值满足

正交补的估计为 \(\hat{\boldsymbol\alpha}_\perp=\boldsymbol S_{00}^{-1}\boldsymbol S_{11}[\boldsymbol e_{m+1},\dots,\boldsymbol e_k]\)，\(\hat{\boldsymbol\beta}_\perp=\boldsymbol S_{11}[\boldsymbol e_{m+1},\dots,\boldsymbol e_k]\)。

8.9.2 协整秩检验

由上式，秩为 \(m\) 与秩为 \(k\) 的对数似然之差只取决于第 \(m+1\) 到第 \(k\) 个特征值。

迹检验（trace test）：\(H_0:\mathrm{Rank}(\boldsymbol\Pi)=m\) 对 \(H_a:\mathrm{Rank}(\boldsymbol\Pi)>m\)，

最大特征值检验（maximum eigenvalue test）：\(H_0:\mathrm{Rank}=m\) 对 \(H_a:\mathrm{Rank}=m+1\)，

若真实秩为 \(m\)，第 \(m\) 个以后的 \(\hat\lambda_i\) 应接近 0，统计量就小。由于存在单位根，二者的渐近分布不是卡方，而是布朗运动的泛函，临界值靠模拟得到，并随确定项设定而变。使用方式：从 \(m=0\) 开始依次检验，第一个不被拒绝的 \(m\) 就是协整秩的估计。

推导拆解：迹统计量从似然比来。由 8.9.1 的 \(L_{\max}^{-2/T}\propto|\boldsymbol S_{00}|\prod_{i=1}^m(1-\hat\lambda_i)\)，取对数得 \(-\frac2T\ln L_{\max}(m)=\text{常数}+\sum_{i=1}^m\ln(1-\hat\lambda_i)\)。秩为 \(k\)（无约束）与秩为 \(m\) 的模型相减，常数项消掉，只剩 \(\sum_{i=m+1}^k\ln(1-\hat\lambda_i)\)。似然比统计量 \(-2\ln(L_m/L_k)\) 等于把它乘以 \(-T\)（这里用有效样本量 \(T-p\)），就得到 (8.42)。 数值感：国库券例子中 \(\hat\lambda_1=0.0322\)，\(-(T-p)\ln(1-0.0322)\approx2380\times0.0327\approx77.8\)，正是表中的最大特征值统计量 77.78。\(\hat\lambda\) 看起来很小，但乘以两千多个样本后就非常显著。 白话解释：为什么不是卡方？普通 LR 检验的卡方结论依赖"估计量渐近正态"，而在原假设下有些方向是随机游走，相关估计量收敛得更快、分布也不对称（类似 ADF 检验不能用 t 分布临界值）。所以只能查专门的表，并且表随确定项设定而变。

8.9.3 预测

拟合好的 ECM 先预测 \(\Delta\boldsymbol x_t\)，再累加得到水平预测。与对差分序列直接建 VAR 相比，ECM 预测强制保持了协整关系，长期预测中各分量不会"走散"。但水平预测的区间仍随步长扩大（共同趋势是单位根）。

8.9.4 实例：美国 3 个月与 6 个月国库券利率

1958 年 12 月至 2004 年 8 月的周度数据，2383 个观测，两序列高度同步。单变量 ADF 统计量 −2.34、−2.33（p≈0.16），不能拒绝单位根。BIC 选 VAR(3)，因此 ECM 中滞后差分阶数为 2；没有理由认为利率有漂移，选受限常数。

（特征值 0.0322、0.0023。）\(H(0)\) 被强烈拒绝，\(H(1)\) 不被拒绝，恰有一个协整向量。VECM 估计：协整向量 \((1,-1.0124)\)（标准误 0.0086），即 \(w_t\approx tb3m_t-tb6m_t\)，均值约 −0.225；调整系数 \(\boldsymbol\alpha=(-0.0949,-0.0211)'\)，t 值 −4.76、−1.18：

读法：期限利差偏离均衡时，主要由 3 个月利率去修正（\(\alpha_1\) 显著），6 个月利率基本不动。协整残差在 1980 年代初高利率、高波动时期出现大值。以 2004-08-06 为原点，水平 1 步预测为 (1.4501, 1.7057)，10 步为 (1.4722, 1.7078)；95% 逐点区间因单位根而很宽。

8.10 门限协整与期现套利

8.10.1 持有成本模型

设 \(f_{t,\ell}\) 为到期日 \(\ell\) 的 S&P 500 期货对数价格，\(s_t\) 为现货成分股对数价格。持有成本模型（cost-of-carry）给出

\(r_{t,\ell}\) 为无风险利率，\(q_{t,\ell}\) 为股息率。\(z_t^*\) 必须单位根平稳，否则存在持续的套利机会。调整利率和股息后，\(f\) 与 \(s\) 以协整向量 \((1,-1)\) 协整（持有成本定价的细节见第 08 册）。

金融直觉：(8.43) 就是 CFA 里的 \(F=Se^{(r-q)T}\) 取对数后的形式：\(\ln F-\ln S=(r-q)T\)。理论上两边严格相等，\(z_t^*\) 是现实中的定价误差（俗称"基差偏离"）。它若有单位根，偏离可以越走越远而不回来，等于说无套利原理失效，所以 \(z_t^*\) 必须平稳。这里协整向量是 \((1,-1)\)，由理论直接给定，不需要估计——这是协整在金融里最"硬"的一类应用；配对交易中的 \(\gamma\) 则要靠数据估计，关系也更容易断裂。

但套利只在 \(|z_t^*|\) 足以覆盖交易成本、冲击成本和其他风险时才有利可图。于是市场动态会随是否存在套利而切换：

其中 \(\boldsymbol r_t=(\Delta f_t,\Delta s_t)'\)，\(z_t=100z_t^*\)，\(\gamma_1<0<\gamma_2\)。这是第 04a 章 TAR 模型与 ECM 的共同推广——三区制多元门限模型。理论预期：套利只发生在区制 1 和 3，误差修正项在这两个区制显著；中间区制由正常市场力量主导，两价格近似各自随机游走，\(\boldsymbol\beta_2\) 应不显著。这种"只在区间外才协整"的现象称为门限协整（threshold cointegration，Balke & Fomby 1997），\([\gamma_1,\gamma_2]\) 就是经验上的无套利区间。

8.10.2 实证结果

数据为 1993 年 5 月 S&P 500 指数及 6 月期货合约的分钟数据，7060 个观测。设 \(p=8\)，在 \(d\in\{1,2,3,4\}\)、\(\gamma_1\in[-0.15,-0.02]\)、\(\gamma_2\in[0.025,0.145]\) 上网格搜索，AIC 选 \(z_{t-1}\) 为门限变量，\(\hat\gamma_1=-0.0226\)，\(\hat\gamma_2=0.0377\)，三个区制样本量 2234、2410、2408。主要结论：

1. 中间区制 \(z_{t-1}\) 的系数不显著（\(\Delta f_t\) 方程 t=−0.30，\(\Delta s_t\) 方程 t=0.86），区制 1、3 中 \(\Delta s_t\) 方程的系数高度显著（t=10.47、9.75）——证实门限协整，而且是现货在修正。
2. \(\Delta f_t\) 在三个区制都负依赖于 \(\Delta f_{t-1}\)（−0.085、−0.039、−0.041），与第 05 章的买卖价反弹一致。
3. \(\Delta s_t\) 方程中期货的多个滞后收益高度显著：期货流动性更好，期货领先现货（价格发现）。

8.11 配对交易

8.11.1 理论框架

配对交易（pairs trading）是一种市场中性策略，这里讨论的是基于协整的统计套利版本（延伸阅读 Vidyamurthy 2004；Pole 2007）。核心是相对定价：按套利定价理论（APT），风险特征相近的两只股票应有相近的收益；若（适当缩放后的）价格出现差距，可能一只被高估、一只被低估，于是卖高买低，等待错误定价修正。两只股票的"真实价值"并不重要，重要的是它们的相对位置，这个差距称为价差（spread）。

令 \(p_{it}=\ln P_{it}\) 为随机游走。若两只股票由共同成分驱动，则存在 \(\gamma\) 使

单位根平稳、围绕 \(\mu_w=E(w_t)\) 均值回复，并满足误差修正形式

收益依赖上期对长期均衡的偏离。若价差偏高（\(w_{t-1}>\mu_w\)），股票 1 应跌、股票 2 应涨，所以**\(\alpha_1<0\)、\(\alpha_2>0\)，二者异号**。

组合收益等于价差增量。 做多 1 股股票 1、做空 \(\gamma\) 股股票 2，从 \(t\) 到 \(t+i\) 的收益（对数价格意义下）为

与 \(\mu_w\) 无关。这一行公式是配对交易的全部会计学。

半衰期。 由 (8.45)，

即价差是系数 \(\rho_w=1+\alpha_1-\gamma\alpha_2\) 的 AR(1)。偏离衰减一半所需的期数为

\(\alpha_1\) 越负、\(\alpha_2\) 越正，回复越快。半衰期决定了持仓时间、资金周转率，也是判断一对股票是否值得交易的首要指标。（这一推导是本教材的补充，与 8.8.1 节的 \(1+\alpha_1+\alpha_2\beta_1\) 一致，\(\beta_1=-\gamma\)。）

推导拆解：价差方程怎么来的。 第一步，按定义 \(w_t-w_{t-1}=\Delta p_{1t}-\gamma\Delta p_{2t}\)（价差的变化 = 腿 1 的收益 − \(\gamma\) 倍腿 2 的收益）。 第二步，代入 (8.45)：\(\Delta p_{1t}-\gamma\Delta p_{2t}=(\alpha_1-\gamma\alpha_2)(w_{t-1}-\mu_w)+(\epsilon_{1t}-\gamma\epsilon_{2t})\)。 第三步，两边加上 \(w_{t-1}-\mu_w\)，左边变成 \(w_t-\mu_w\)，右边系数变成 \(1+\alpha_1-\gamma\alpha_2\)。 第四步，半衰期：无新冲击时偏离 \(h\) 期后变为 \(\rho_w^h\) 倍，令 \(\rho_w^h=0.5\) 取对数即得。当 \(\rho_w\) 接近 1 时，\(\ln\rho_w\approx\rho_w-1\)，所以 \(h_{1/2}\approx0.693/(1-\rho_w)=0.693/(\gamma\alpha_2-\alpha_1)\)：调整速度之和越大，半衰期越短。

金融直觉：\(\alpha_1<0\) 表示价差偏高时"贵的那只"会跌，\(\alpha_2>0\) 表示"便宜的那只"会涨，两条腿从两边一起把价差拉回。若只有一边动（如 BHP/VALE 中 \(\alpha_2\) 不显著），回归就只靠一条腿完成，速度更慢。这和期现套利中"谁来修正基差"是同一个问题——8.10 节的实证发现修正主要发生在现货一侧。

8.11.2 交易策略

设一次配对交易的总成本为 \(\eta\)（双边佣金、两只股票的买卖价差、融券费用、保证金利息等），目标偏离为 \(\Delta\)，要求 \(2\Delta>\eta\)：

• 当 \(w_t=\mu_w-\Delta\) 时，买入 1 股股票 1、卖空 \(\gamma\) 股股票 2；
• 当 \(w_{t+i}=\mu_w+\Delta\) 时平仓。

组合收益 \(w_{t+i}-w_t=2\Delta\)，净利润 \(2\Delta-\eta>0\)。反方向（\(w_t=\mu_w+\Delta\) 时卖空股票 1、买入 \(\gamma\) 股股票 2）对称。只要 \(\Delta\) 相对价差标准差不太大，入场点就会出现；均值回复保证出场点会出现。

变体：回到均值即平仓。 若 \(\Delta>\eta\)，可在 \(w_{t+i}=\mu_w\) 时平仓，每笔净利 \(\Delta-\eta\)。持仓更短、交易更频繁，总成本更高。两种规则孰优，取决于半衰期与成本的相对大小。\(\eta\) 本质上是交易门槛。

8.11.3 实例：BHP 与 VALE

BHP Billiton（澳大利亚，自然资源）与 Vale（巴西，金属采矿）同属资源行业，风险因子相近。数据为纽交所日度复权收盘价，2002-07-01 至 2006-03-31，946 个观测，\(p_{1t}\)=BHP，\(p_{2t}\)=VALE。

最小二乘法（Engle–Granger 两步）。 回归得

残差围绕 0 在固定范围内波动，ACF 指数衰减。对 \(\hat w_t\) 拟合 AR(2)：\((1-0.805B-0.122B^2)\hat w_t=a_t\)，\(\sigma_a=0.018\)，可分解为 \((1-0.935B)(1-0.130B)\)，平稳；ADF 统计量 −6.04，拒绝单位根。

推导拆解（并指出一处符号问题）：AR(2) 的分解是求特征方程 \(\lambda^2-0.805\lambda-0.122=0\) 的两个根：\(\lambda=\frac{0.805\pm\sqrt{0.805^2+4\times0.122}}2=\frac{0.805\pm1.066}2\)，即 \(0.935\) 和 \(-0.130\)。所以正确的因式分解是 \((1-0.935B)(1+0.130B)\)；乘开为 \(1-0.805B-0.1216B^2\)，与原式吻合。上文写成 \((1-0.130B)\) 的话，乘开会得到 \(1-1.065B+0.122B^2\)，对不上。符号差别不影响结论：两个根的模都小于 1，平稳；主根 0.935 决定了衰减速度，下文用它算半衰期约 10.3 天。

注意：对估计出的残差做 ADF 检验时，应使用 Engle–Granger（MacKinnon）临界值，而不是普通 DF 临界值。因为 OLS 会挑选"看起来最平稳"的组合，残差天然偏向平稳，普通临界值会过度拒绝。两变量含常数时 5% 临界值约 −3.34，远比普通 DF 的 −1.94（无常数）或 −2.86（含常数）严格。原书未展开这一点，本例 −6.04 无论用哪套临界值都显著。

极大似然法（Johansen）。 信息准则选 VAR(1)（R 中 ar 选 2 阶，对应 ca.jo 的 K=2），受限常数下：特征值 0.0415、0.0082；迹统计量 \(H(0)=47.74\)（5%/1% 临界值 19.96/24.60），\(H(1)=7.77\)（9.24/12.97）；最大特征值统计量 \(H(0)=39.97\)，\(H(1)=7.77\)。协整秩为 1。VECM 为

协整向量 \((1,-0.7177)\)，\(w_t=p_{1t}-0.718p_{2t}\)，均值 1.81，与 LS 结果几乎一致；\(\alpha=(-0.0671,0.0263)'\)（t 值 −4.65、1.57），如预期异号。由此 \(\rho_w=1-0.0671-0.7177\times0.0263\approx0.914\)，半衰期约 7.7 个交易日；用 AR(2) 的主根 0.935 计算则约 10.3 个交易日。两者量级一致：价差偏离大约两周回复一半。

交易规则。 \(w_t\) 标准差 0.044，取 \(\Delta=0.045\)（略大于 1 个标准差），正态下偏离至少 \(\Delta\) 的概率约 30%。图 8.19 中价差多次在 \(\mu_w\pm0.045\) 之间穿越，每次配对交易的对数收益为 \(2\Delta=0.09\)。作者强调，更真实的做法应在样本外实施。

选对配对是关键。 应选风险因子相近的股票，用金融理论指导筛选，而不是在成千上万对股票中盲目搜索协整（那样会产生大量伪协整）。

量化实战

应用场景与实务要点

配对交易的完整流水线。

1. 候选池：同行业、同产业链、同一公司的不同上市地（A/H 股、本地股与 ADR）、ETF 与成分股篮子、同一商品的不同交割月。经济逻辑先行。
2. 形成期（如过去 1–2 年）：对数价格各自做 ADF 确认 I(1)；用 Engle–Granger（OLS 求 \(\gamma\) + EG 临界值）或 Johansen 检验协整；估计 VECM，确认 \(\alpha_1,\alpha_2\) 异号，计算半衰期。半衰期太长（数月）资金效率低，太短（1–2 天）可能只是买卖价反弹。
3. 交易期（样本外）：用形成期的 \(\gamma,\mu_w,\sigma_w\) 构造价差和 z 分数，按 \(\mu_w\pm\Delta\) 开平仓，\(\Delta\) 由成本 \(\eta\) 和半衰期共同决定。
4. 风险控制：协整关系可能断裂（并购、业务转型、监管事件），要设置时间止损（持仓超过 3–4 个半衰期未回复即平仓）和幅度止损；滚动重估 \(\gamma\) 并监控残差 ADF；用第 10 章的时变协方差动态调整价差波动率估计。
5. 执行与成本：两条腿要同时成交以控制腿差风险；卖空约束（A 股融券券源有限、成本高）常迫使用股指期货、ETF 或只做相对低估的一边。

多资产协整篮子。 Johansen 方法可直接用于 3 个及以上资产（如同一行业的一篮子股票、利率曲线上多个期限），得到多个协整向量；每个协整向量就是一个可交易的平稳组合。

期现套利与基差交易。 8.10 节的门限模型给出数据驱动的无套利区间 \([\gamma_1,\gamma_2]\)，可直接用作开仓阈值；"期货领先现货"的发现可用于日内择时和执行。

利率曲线。 3 个月与 6 个月国库券协整、1 年与 3 年国债单向领先，对应期限利差的均值回复交易。

Python 示例一：配对交易全流程（Engle–Granger、Johansen、VECM、半衰期、样本外回测）

按 (8.45) 模拟一对协整股票，参数量级仿 BHP/VALE（\(\gamma=0.72\)，\(\mu_w=1.8\)，\(\alpha=(-0.05,0.03)'\)）。前 750 天为形成期，后 750 天为样本外交易期。Johansen 部分先手写"偏回归 + 广义特征值"，再与 statsmodels 对照。

import numpy as np
import pandas as pd
import statsmodels.api as sm
from statsmodels.tsa.stattools import adfuller, coint
from statsmodels.tsa.vector_ar.vecm import coint_johansen, VECM

import warnings; warnings.filterwarnings("ignore")
rng = np.random.default_rng(21)

# ---------- 1. 按误差修正模型 (8.45) 模拟一对协整股票（仿 BHP/VALE 的量级） ----------
T = 1500
gamma_true, mu_true = 0.72, 1.8
alpha = np.array([-0.05, 0.03])                    # 异号：价差偏高时 p1 跌、p2 涨
cov = np.array([[0.020**2, 0.6*0.020*0.022],
                [0.6*0.020*0.022, 0.022**2]])
e = rng.multivariate_normal([0, 0], cov, size=T)
p = np.zeros((T, 2)); p[0] = [mu_true + gamma_true * 3.0, 3.0]
for t in range(1, T):
    w_prev = p[t-1, 0] - gamma_true * p[t-1, 1] - mu_true
    p[t] = p[t-1] + alpha * w_prev + e[t]
px = pd.DataFrame(p, columns=["p1", "p2"])

# ---------- 2. 单位根检验：两只股票各自都是 I(1) ----------
for c in px:
    st, pv = adfuller(px[c], regression="c")[:2]
    print(f"ADF {c}: stat={st:.2f}, p={pv:.3f}")

# 只用前一半样本做"形成期"，后一半做"交易期"（样本外）
form, trade = px.iloc[:750], px.iloc[750:]

# ---------- 3. Engle-Granger 两步法 ----------
ols = sm.OLS(form.p1, sm.add_constant(form.p2)).fit()
mu_hat, gam_hat = ols.params
w_hat = ols.resid
print(f"OLS: p1 = {mu_hat:.3f} + {gam_hat:.3f} p2,  sd(w) = {w_hat.std():.4f}")
adf_naive = adfuller(w_hat, regression="n")
eg = coint(form.p1, form.p2, trend="c")
print(f"残差 ADF stat={adf_naive[0]:.2f}; 普通 DF 5%临界值={adf_naive[4]['5%']:.2f}; "
      f"EG 5%临界值={eg[2][1]:.2f}; EG p={eg[1]:.4f}")
ar1 = sm.OLS(w_hat.values[1:], w_hat.values[:-1]).fit().params[0]
print(f"价差 AR(1) 系数={ar1:.3f}, 半衰期={np.log(0.5)/np.log(ar1):.1f} 天")

# ---------- 4. Johansen：手工实现偏回归 + 广义特征值，并与 statsmodels 对照 ----------
def johansen_eig(x, k_ar_diff=1):
    dx = np.diff(x, axis=0)
    Y = dx[k_ar_diff:]                       # Δx_t
    Xlev = x[k_ar_diff:-1]                   # x_{t-1}
    Z = np.column_stack([np.ones(len(Y))] +
                        [dx[k_ar_diff - i:-i] for i in range(1, k_ar_diff + 1)])
    proj = lambda A: A - Z @ np.linalg.lstsq(Z, A, rcond=None)[0]
    U, V = proj(Y), proj(Xlev)               # u_t, v_t：剔除常数与短期动态后的残差
    n = len(U)
    S00, S01, S11 = U.T @ U / n, U.T @ V / n, V.T @ V / n
    M = np.linalg.solve(S11, S01.T @ np.linalg.solve(S00, S01))
    lam, vec = np.linalg.eig(M)
    idx = np.argsort(lam.real)[::-1]
    lam, vec = lam.real[idx], vec.real[:, idx]
    trace = [-n * np.log(1 - lam[m:]).sum() for m in range(len(lam))]
    return lam, vec, trace

lam, vec, tr = johansen_eig(form.values, k_ar_diff=1)
beta = vec[:, 0] / vec[0, 0]
print("手工 Johansen: 特征值", lam.round(4), " 迹统计量", np.round(tr, 2),
      " 协整向量", beta.round(4))
jo = coint_johansen(form.values, det_order=0, k_ar_diff=1)
print("statsmodels: 特征值", jo.eig.real.round(4), " 迹统计量", jo.lr1.round(2))
print("  迹检验 90/95/99% 临界值:\n", jo.cvt)

# ---------- 5. VECM（受限常数 'ci'），读调整系数 alpha ----------
vecm = VECM(form.values, k_ar_diff=1, coint_rank=1, deterministic="ci").fit()
b = vecm.beta.ravel(); a = vecm.alpha.ravel()
print("VECM beta =", (b / b[0]).round(4), " 常数项 =", (vecm.const_coint.ravel() / b[0]).round(4))
print("alpha =", (a * b[0]).round(4), " t =", vecm.tvalues_alpha.ravel().round(2))
rho_w = 1 + a[0] * b[0] - gam_hat * a[1] * b[0]    # w_t 的 AR 系数 1+α1-γα2
print(f"由 VECM 推出的价差 AR 系数={rho_w:.3f}, 半衰期={np.log(0.5)/np.log(rho_w):.1f} 天")

# ---------- 6. 样本外交易：Tsay 的 μ±Δ 规则与"回到均值平仓"规则 ----------
def backtest(spread, mu, delta, cost, exit_at_mean):
    pos, entry, trades, pnl, hold, t0 = 0, 0.0, 0, [], [], 0
    for t, s in enumerate(spread):
        if pos == 0:
            if s <= mu - delta:   pos, entry, t0 = 1, s, t     # 多价差：买1股p1、卖γ股p2
            elif s >= mu + delta: pos, entry, t0 = -1, s, t    # 空价差
        else:
            target = mu if exit_at_mean else mu + pos * delta
            if (pos == 1 and s >= target) or (pos == -1 and s <= target):
                pnl.append(pos * (s - entry) - cost); hold.append(t - t0)
                trades += 1; pos = 0
    return trades, np.sum(pnl), np.mean(pnl) if pnl else np.nan, np.mean(hold) if hold else np.nan

spread_oos = trade.p1.values - gam_hat * trade.p2.values
sd_w = w_hat.std()
for rule, flag in (("μ-Δ 进, μ+Δ 出", False), ("μ-Δ 进, μ 出", True)):
    n, tot, avg, h = backtest(spread_oos, mu_hat, 1.0 * sd_w, cost=0.004, exit_at_mean=flag)
    print(f"{rule}: 交易 {n} 次, 累计对数收益 {tot:.3f}, 每笔净 {avg:.4f}, 平均持有 {h:.1f} 天")

输出：

ADF p1: stat=-1.25, p=0.650
ADF p2: stat=-0.98, p=0.761
OLS: p1 = 1.841 + 0.706 p2,  sd(w) = 0.0444
残差 ADF stat=-5.03; 普通 DF 5%临界值=-1.94; EG 5%临界值=-3.34; EG p=0.0001
价差 AR(1) 系数=0.934, 半衰期=10.2 天
手工 Johansen: 特征值 [0.0325 0.0012]  迹统计量 [25.61  0.87]  协整向量 [ 1.     -0.7129]
statsmodels: 特征值 [0.0325 0.0012]  迹统计量 [25.61  0.87]
  迹检验 90/95/99% 临界值:
 [[13.4294 15.4943 19.9349]
 [ 2.7055  3.8415  6.6349]]
VECM beta = [ 1.    -0.713]  常数项 = [-1.8221]
alpha = [-0.0504  0.0222]  t = [-3.14  1.3 ]
由 VECM 推出的价差 AR 系数=0.934, 半衰期=10.1 天
μ-Δ 进, μ+Δ 出: 交易 14 次, 累计对数收益 1.409, 每笔净 0.1006, 平均持有 49.4 天
μ-Δ 进, μ 出: 交易 25 次, 累计对数收益 1.407, 每笔净 0.0563, 平均持有 20.8 天

读结果：

• 两条价格的 ADF 都不能拒绝单位根，残差却显著平稳——教科书式的协整。EG 临界值 −3.34 比普通 DF 的 −1.94 严格得多，这一差别在边缘案例中决定生死。
• 手写的 Johansen 与 statsmodels 特征值、迹统计量完全一致，说明 8.9.1 节的三步就是软件内部的全部计算。迹检验：\(H(0)\) 的 25.61 超过 5% 临界值 15.49，\(H(1)\) 的 0.87 小于 3.84，协整秩为 1。注意 statsmodels 的 det_order=0 对应非受限常数情形，其临界值（15.49、3.84）与原书 R ca.jo(ecdet="const") 的受限常数临界值（19.96、9.24）不同，比较软件输出时要先对齐确定项设定。
• VECM 的 \(\hat\alpha=(-0.050,0.022)'\) 与真值 \((-0.05,0.03)'\) 接近且异号，与 BHP/VALE 一样 \(\alpha_2\) 不显著。由 \(\alpha\) 推出的半衰期（10.1 天）与直接对价差拟合 AR(1) 的结果（10.2 天）一致。
• 样本外：Tsay 规则（\(\mu\pm\Delta\) 进出）每笔净赚约 \(2\Delta-\eta\approx0.085\) 以上（实际 0.10，因为价格是跳着越过边界的），但平均持有 49 天；"回到均值平仓"每笔约赚一半，交易次数多、持有 21 天，资金周转快得多。按年化资金效率，后者往往更优——这正是 8.11.2 节"变体"讨论的权衡。期末未平仓的头寸未计入。
• 这是理想化的模拟：真实数据中 \(\gamma\) 会漂移、关系会断裂，必须加入滚动重估和止损。

Python 示例二：门限协整的网格搜索

模拟期现价格：期货是随机游走，现货跟随期货，只有当 \(z_{t-1}=f_{t-1}-s_{t-1}\) 落在 \([-0.3,0.4]\) 之外时才被套利拉回。按 (8.44) 拟合三区制模型（\(p=1\)），在分位数网格上搜索使残差广义方差最小的门限。

import numpy as np
import statsmodels.api as sm

rng = np.random.default_rng(3)

# ---------- 模拟期现门限协整：只有价差超出无套利区间时才被套利拉回 ----------
T, g1, g2 = 7060, -0.3, 0.4            # 真实门限（z 已放大 100 倍）
f = np.zeros(T); s = np.zeros(T)
for t in range(1, T):
    z = f[t-1] - s[t-1]
    kappa = 0.10 if (z <= g1 or z > g2) else 0.0      # 只有区间外才有套利把现货拉向期货
    f[t] = f[t-1] + 0.10 * rng.standard_normal()      # 期货：随机游走（价格发现在先）
    s[t] = s[t-1] + 0.6 * (f[t] - f[t-1]) + kappa * z + 0.08 * rng.standard_normal()
z = f - s
df, ds = np.diff(f), np.diff(s)
Y = np.column_stack([df[1:], ds[1:]])          # r_t,  t = 2..T-1
X_lag = np.column_stack([df[:-1], ds[:-1]])    # r_{t-1}
zlag = z[1:-1]                                  # z_{t-1}

def fit_regimes(c1, c2):
    regs = [zlag <= c1, (zlag > c1) & (zlag <= c2), zlag > c2]
    resid, out = [], []
    for m in regs:
        X = sm.add_constant(np.column_stack([X_lag[m], zlag[m]]))
        fits = [sm.OLS(Y[m, j], X).fit() for j in range(2)]
        resid.append(np.column_stack([fi.resid for fi in fits]))
        out.append((m.sum(), [(fi.params[-1], fi.tvalues[-1]) for fi in fits]))
    E = np.vstack(resid)
    return np.log(np.linalg.det(E.T @ E / len(E))), out

# ---------- 网格搜索门限（按信息准则 / 残差广义方差最小） ----------
grid1 = np.quantile(zlag, np.linspace(0.02, 0.45, 87))
grid2 = np.quantile(zlag, np.linspace(0.55, 0.98, 87))
best = min(((fit_regimes(a, b)[0], a, b) for a in grid1 for b in grid2))
_, c1, c2 = best
print(f"估计门限: gamma1={c1:.3f}, gamma2={c2:.3f}  (真值 {g1}, {g2})")
for name, (n, coefs) in zip(["区制1", "区制2", "区制3"], fit_regimes(c1, c2)[1]):
    (bf, tf), (bs, ts) = coefs
    print(f"{name}: n={n:5d}  z_(t-1) 系数  Δf 方程 {bf:+.4f} (t={tf:+.2f})   Δs 方程 {bs:+.4f} (t={ts:+.2f})")

输出：

估计门限: gamma1=-0.302, gamma2=0.372  (真值 -0.3, 0.4)
区制1: n=  741  z_(t-1) 系数  Δf 方程 +0.0121 (t=+0.27)   Δs 方程 +0.1008 (t=+2.16)
区制2: n= 5434  z_(t-1) 系数  Δf 方程 +0.0065 (t=+0.91)   Δs 方程 -0.0005 (t=-0.07)
区制3: n=  883  z_(t-1) 系数  Δf 方程 +0.0226 (t=+0.46)   Δs 方程 +0.2234 (t=+4.47)

门限被准确找回；中间区制误差修正系数为零（t=−0.07），两个外侧区制 \(\Delta s_t\) 方程显著、\(\Delta f_t\) 方程不显著——与表 8.8 "现货修正、期货不动"的结论同构。外侧区制样本少、\(z_{t-1}\) 取值范围窄，所以系数估计噪声较大（真值 0.10，估计 0.10 与 0.22）。实务中，估计出的 \([\hat\gamma_1,\hat\gamma_2]\) 可与实测的交易成本对照：如果区间宽度明显大于成本，说明还有未被套利的空间或存在其他风险因素。

本章小结

协整描述的是"各自随机游走、组合却平稳"的一组价格，其单位根来自少数共同趋势。对协整系统逐个差分会过度差分，正确做法是误差修正模型 \(\Delta\boldsymbol x_t=\boldsymbol\alpha\boldsymbol\beta'\boldsymbol x_{t-1}+\cdots\)：\(\boldsymbol\beta\) 给出平稳组合（价差），\(\boldsymbol\alpha\) 给出各变量对偏离的调整速度。协整秩等于 \(\mathrm{Rank}(\boldsymbol\Pi)\)，Johansen 方法通过偏回归把问题化为广义特征值问题，迹检验和最大特征值检验的临界值非标准且依赖确定项设定。门限协整说明套利只在偏离超过成本的区制中起作用，估计出的门限即无套利区间。配对交易是协整最直接的应用：做多 1 股、做空 \(\gamma\) 股的组合收益等于价差增量，以 \(\mu_w\pm\Delta\) 开平仓、要求 \(2\Delta>\eta\)，均值回复速度由 \(1+\alpha_1-\gamma\alpha_2\) 和半衰期刻画。成功的关键是有经济逻辑的配对、样本外检验和对关系断裂的风控。

练习

基础

1. 验证 (8.31) 的 AR 矩阵特征值为 0 和 1，并验证 \([0.5,1.0]\boldsymbol x_t\) 在 (8.32) 中是白噪声。
2. 对 VAR(2) \(\boldsymbol x_t=\boldsymbol\Phi_1\boldsymbol x_{t-1}+\boldsymbol\Phi_2\boldsymbol x_{t-2}+\boldsymbol a_t\)，写出 ECM 形式中的 \(\boldsymbol\Pi\) 与 \(\boldsymbol\Phi_1^*\)。 提示：\(\boldsymbol\Pi=\boldsymbol\Phi_1+\boldsymbol\Phi_2-\boldsymbol I\)，\(\boldsymbol\Phi_1^*=-\boldsymbol\Phi_2\)。
3. 用 BHP/VALE 的估计值 \(\alpha=(-0.0671,0.0263)'\)、\(\gamma=0.7177\) 计算价差的 AR 系数和半衰期。 提示：\(\rho_w\approx0.914\)，半衰期约 7.7 天。
4. 解释为什么对 OLS 残差做 ADF 检验不能使用普通 DF 临界值。
5. 一次配对交易成本 \(\eta=0.6\%\)，价差标准差 4%。按 Tsay 规则，\(\Delta\) 至少要多大？若 \(\Delta=1\sigma\)，按正态近似，价差偏离超过 \(\Delta\) 的时间比例约为多少？ 提示：\(\Delta>0.3\%\)；\(\Delta=4\%\) 时比例约 32%。

进阶

6. 证明在 8.8.1 节的二元 VAR(1) 中，若 \(\alpha_1=\alpha_2=0\)，则 \(w_t\) 是单位根过程；并解释 \(\alpha\) 两个分量异号对均值回复速度的影响。
7. 修改示例一：在交易期中段（第 1100 天）让真实 \(\gamma\) 从 0.72 跳到 0.60，观察固定 \(\gamma\) 策略的亏损，并实现"滚动 250 天重估 \(\gamma\) + 持仓超过 3 个半衰期强制平仓"的改进版本。
8. 在示例一中改变成本 \(\eta\in\{0.002,0.004,0.008,0.012\}\) 和 \(\Delta\in\{0.5,1,1.5,2\}\sigma_w\)，画出两种平仓规则的总收益热力图，找出最优组合并解释。
9. （原书习题 8.4）以期限利差 \(s_t=r_{10,t}-r_{1,t}\) 为门限变量，检验 1 年与 10 年期利率的门限协整，并建立多元门限模型。
10. （原书习题 8.7）对 1 年与 3 年期利率：识别 VAR、计算 6 期脉冲响应、做 1–12 步预测；在受限常数下做 5% 水平的 Johansen 检验，建立 ECM 并预测，比较 VAR 与 ECM 的预测差异。

原书推荐习题：8.7（最完整：VAR、冲击响应、Johansen、ECM 与预测比较）、8.4（门限协整的实证设计）。

原书对照

（原书印刷页码约等于 PDF 页码减 20。）