第 07a 章 风险价值：RiskMetrics、计量方法与分位数估计

本章对应 Tsay 原书第 7 章前半（7.1–7.4 节）：VaR 的定义、RiskMetrics、基于 ARMA–GARCH 的计量方法、经验分位数与分位数回归，以及期望损失（ES）。极值理论（EVT）方法与各方法的综合比较放在第 07b 章。

学习目标

1. 准确理解 VaR 的概率定义（损失分布的上分位数）、计算 VaR 需要的五个要素，以及多头用负收益分析的符号约定。
2. 掌握 RiskMetrics（零均值 + EWMA/IGARCH(1,1) + 条件正态），能推导时间平方根法则，并说明它在什么条件下失效。
3. 会用 ARMA–GARCH 模型计算 1 期和多期 VaR，正确使用标准化 Student-t 分位数。
4. 掌握经验分位数的渐近分布及其在尾部的不精确性，理解分位数回归的检验函数（check loss）。
5. 理解 VaR 不满足次可加性的问题，会计算正态和经验分布下的期望损失（ES）。
6. 会用突破次数做 VaR 回测（Kupiec 无条件覆盖检验与 Christoffersen 独立性检验，本章补充内容）。

读前导读

这一章在解决什么问题

VaR 你在 CFA 和 FRM 风格的材料里已经很熟：参数法（方差–协方差）、历史模拟法、蒙特卡洛法，以及「VaR 不告诉你尾部有多深」的批评。这一章不是重复这些概念，而是把它们和前几章的时间序列模型接起来，回答三个更细的问题：VaR 里的 \(\sigma\) 从哪里来（条件波动率模型）？10 日 VaR 能不能直接乘 \(\sqrt{10}\)（什么时候能、偏差往哪个方向）？不假设分布时，用历史分位数估计 VaR 到底有多准？

几个连接点：RiskMetrics 的 EWMA 就是第 03a 章的 IGARCH(1,1)，也是 CFA 中「指数加权移动平均估计波动率」那一节；方差–协方差法的组合 VaR 公式就是 CFA 组合方差公式 \(\sigma_p^2=\sum w_i^2\sigma_i^2+2\sum w_iw_j\rho_{ij}\sigma_i\sigma_j\) 两边乘以分位数系数；ES（CVaR）是巴塞尔 FRTB 的新监管指标；回测部分的 Kupiec 检验就是对「突破次数」做二项分布检验，对应巴塞尔的「交通灯」框架。

本章贯穿一条主线：分布假设决定尾部。正态假设在 5% 水平上问题不大，在 1% 及更小的尾部概率上系统性低估风险；历史分位数不依赖假设，但在尾部样本太少、估计噪声大。第 07b 章的极值理论就是为解决这个两难而来。

需要先想起来的数学

1. 分位数与 CDF 的反函数。 \(F(x)=P(X\le x)\)，\(q\) 分位数 \(x_q\) 满足 \(F(x_q)=q\)。正态下 \(x_{0.95}=1.645\)，\(x_{0.99}=2.326\)。VaR 就是损失分布的高分位数。

2. 条件期望与迭代期望（塔性质）。 \(E[E(X\mid F_{t+1})\mid F_t]=E(X\mid F_t)\)：先用更多信息预测、再对这个预测取平均，等于直接用少的信息预测。时间平方根法则的推导靠它。例：今天预测明天的「明天对后天的预测」，就等于今天对后天的预测。见 第 00 册第 07 章 概率中的分析工具。

3. 几何级数的部分和。 \(1+\phi+\dots+\phi^{k-1}=\frac{1-\phi^k}{1-\phi}\)。多期 GARCH 方差 (7.10) 用它求和。例：\(\phi=0.9\)，\(k=10\)，和为 \(6.51\)。见 第 00 册第 04 章 级数与收敛。

4. 积分求截断期望。 \(E(X\mid X>c)=\frac{\int_c^\infty xf(x)dx}{P(X>c)}\)。正态密度满足 \(f'(x)=-xf(x)\)，所以 \(\int_c^\infty xf(x)dx=f(c)\)，ES 公式由此而来。见 第 00 册第 03 章 积分。

5. 似然比检验。 \(LR=-2\ln(L_0/L_1)\)，\(L_0\) 是原假设下的最大似然，\(L_1\) 是无约束下的最大似然，大样本下服从 \(\chi^2\)，自由度为约束个数。

6. 下确界 \(\inf\)。 集合的「最大下界」。对于有最小值的集合，\(\inf\) 就是最小值。分位数定义中用 \(\inf\) 只是为了处理 CDF 有跳跃或平台的情况。见 第 00 册第 01 章 函数极限与连续。

怎么读这一章

核心必读：7.1.2 定义和 7.1.4 的三点说明、7.2.1–7.2.2 RiskMetrics 与时间平方根法则的推导、7.3.1 标准化 t 分位数（实务中最常见的错误）、7.3.2 中 (7.10) 的结论段（\(\sqrt k\) 法则的偏差方向）、7.4.1 的经验分位数渐近方差和尾部不精确的结论、7.5 回测。可以第一次只看结论的：7.3.2 中 (7.7)–(7.8) 的一般 ARMA 推导、7.4.2 分位数回归的线性规划细节。建议顺序：7.1 → 7.2 → 7.3 → 7.4.1 → 7.5 → 7.4.2，再读量化实战的回测输出。

7.1 风险价值

7.1.1 动机

极端价格变动罕见但影响巨大：1987 年 10 月股灾、LTCM 危机、雷曼兄弟破产，以及全球金融危机中 VIX 飙升、股指暴跌。风险价值（Value at Risk，VaR）已成为度量市场风险的标准工具。机构用它评估自身风险、分配资本；监管者用它设定保证金和资本要求，确保机构在灾难事件后仍能经营。金融风险通常分为信用风险、操作风险和市场风险；VaR 主要针对市场风险，但概念可以推广。

原书统一用 IBM 日对数收益（1962-07-03 至 1998-12-31，9,190 个观测）演示各种方法，本章和第 07b 章沿用这个设定，便于比较。

7.1.2 定义

设在 \(t\) 时刻关注未来 \(\ell\) 期。\(\Delta V(\ell)\) 为头寸价值从 \(t\) 到 \(t+\ell\) 的变化，\(L(\ell)\) 为相应的损失（多头时是 \(-\Delta V\)，空头时是 \(\Delta V\)），其 CDF 为 \(F_\ell(x)\)。持有期 \(\ell\)、尾部概率 \(p\) 的 VaR 定义为

含义：头寸持有人在 \(\ell\) 期内遭受不少于 VaR 的损失的概率为 \(p\)；或者说，以 \(1-p\) 的概率损失小于 VaR。机构把它理解为"正常市场条件下的最大损失"，监管者理解为"异常市场条件下的最小损失"——说法不同，数是同一个。

用分位数的语言：对 CDF \(F\) 和 \(0<q<1\)，第 \(q\) 分位数为 \(x_q=\inf\{x\mid F(x)\ge q\}\)。所以

即损失分布的 \((1-p)\) 分位数。CDF 实际上未知，所以 VaR 研究的本质就是估计损失分布的上尾及其分位数。

白话解释：\(x_q=\inf\{x\mid F(x)\ge q\}\) 读作「使累积概率首次达到 \(q\) 的那个最小的 \(x\)」。连续分布下它就是 \(F^{-1}(q)\)。用 \(\inf\) 是为了照顾离散分布。例：损失只取 0、50、100，概率分别为 0.90、0.06、0.04。\(F(0)=0.90\)，\(F(50)=0.96\)，\(F(100)=1\)。求 95% 分位数：满足 \(F(x)\ge0.95\) 的最小 \(x\) 是 50，所以 95% VaR 为 50；99% VaR 为 100。练习 5 的次可加性反例就要用到这种离散情形的读法。

7.1.3 计算 VaR 的五个要素

1. 尾部概率 \(p\)：风险管理常用 0.01，压力测试用 0.001；
2. 持有期 \(\ell\)：市场风险常用 1 天或 10 天，信用风险用 1 年或 5 年；
3. 数据频率：可与 \(\ell\) 不同，市场风险常用日数据；
4. 损失分布 \(F_\ell(x)\) 或其分位数：计量建模的重点，不同估计方法形成不同 VaR 方法；
5. 头寸金额或组合的盯市价值。

7.1.4 三点说明

符号与单位。 VaR 基于损失的上尾。多头在收益为负时亏损，所以分析多头要用负收益 \(-r_t\)；空头用 \(r_t\)。对数收益近似百分比变化，由 \(r_{t+1}\mid F_t\) 的上分位数得到的是百分比 VaR，美元 VaR = 头寸价值 × 对数收益 VaR；需要更精确时可用 \(\text{Value}\times[\exp(\text{VaR}_r)-1]\)。

预测分布。 VaR 是对未来损失的预测，应使用预测分布（如 1 天 VaR 用 \(r_{t+1}\mid F_t\)）。严格的预测分布应包含参数估计的不确定性，但难以计算，大多数方法忽略它。

VaR 的局限。 VaR 只是一个分位数，不描述分位数之外发生什么：两个头寸可能 VaR 相同，但超过 VaR 后的损失差别很大。更严重的是 VaR 不满足次可加性（sub-additivity）——合并后的风险应不大于各部分风险之和，VaR 有时违反这一点，可能惩罚分散化。因此需要期望损失（expected shortfall，ES），又称条件风险价值（CVaR）：

ES 满足次可加性，是一致风险度量（coherent risk measure）。巴塞尔协议的市场风险框架（FRTB）已把监管指标从 99% VaR 改为 97.5% ES。

金融直觉：VaR 何时违反次可加性？典型场景是损失集中在小概率事件上的头寸，例如卖出深度虚值期权或持有低违约率债券。单笔损失概率低于 \(p\) 时，VaR 完全看不见它（练习 5 中各自 VaR 为 0）；合在一起后「至少一笔出事」的概率超过 \(p\)，VaR 突然跳出来。反过来说，VaR 会鼓励交易员把风险「藏」在 \(p\) 以下的尾部：卖出大量 0.9% 概率才会亏的期权，99% VaR 显示为零风险。ES 对尾部做平均，任何尾部损失都会反映出来，所以不存在这个漏洞。只要收益服从联合正态分布（更一般地，椭圆分布族），VaR 与 \(\sigma\) 成正比，就满足次可加性，问题主要出在非正态、离散或高度偏斜的损失上。

7.2 RiskMetrics

7.2.1 模型

J.P. Morgan 开发的 RiskMetrics（Longerstaey & More 1995）在最简单的形式下假设组合日对数收益条件正态，\(r_t\mid F_{t-1}\sim N(\mu_t,\sigma_t^2)\)，且

这就是指数加权移动平均（EWMA），也就是无漂移的 IGARCH(1,1)（第 03a 章 3.6 节）。\(\alpha\) 通常在 (0.9, 1)，日数据典型值为 0.94。（这里的 \(\alpha\) 就是第 03a 章 3.6 节的 \(\beta_1\)、第 10 章的 \(\lambda\)。）

7.2.2 多期收益与时间平方根法则

\(k\) 期对数收益 \(r_t[k]=r_{t+1}+\dots+r_{t+k}\)。在 (7.2) 下，\(r_t[k]\mid F_t\sim N(0,\sigma_t^2[k])\)，\(\sigma_t^2[k]=\sum_{i=1}^{k}E(\sigma_{t+i}^2\mid F_t)\)。把波动方程改写为

\(i\ge2\) 时 \(E(\epsilon_{t+i-1}^2-1\mid F_t)=0\)，于是 \(E(\sigma_{t+i}^2\mid F_t)=E(\sigma_{t+i-1}^2\mid F_t)=\dots=\sigma_{t+1}^2\)（\(\sigma_{t+1}^2\) 在 \(t\) 时已知）。因此

推导拆解： 第一步（为什么方差可以相加）：零均值下 \(r_{t+i}=\sigma_{t+i}\epsilon_{t+i}\)，不同期的 \(r\) 不相关（\(\epsilon\) 独立且均值为零），所以 \(\operatorname{Var}(\sum r_{t+i}\mid F_t)=\sum E(r_{t+i}^2\mid F_t)=\sum E(\sigma_{t+i}^2\mid F_t)\)，最后一步用了 \(E(\sigma^2\epsilon^2\mid\cdot)=\sigma^2E\epsilon^2=\sigma^2\) 和迭代期望。 第二步（改写波动方程）：把 \(r_{t-1}^2=\sigma_{t-1}^2\epsilon_{t-1}^2\) 代入 (7.2)：\(\sigma_t^2=\alpha\sigma_{t-1}^2+(1-\alpha)\sigma_{t-1}^2\epsilon_{t-1}^2=\sigma_{t-1}^2+(1-\alpha)\sigma_{t-1}^2(\epsilon_{t-1}^2-1)\)。 第三步（取条件期望）：对 \(i\ge2\)，\(\epsilon_{t+i-1}\) 在 \(t\) 时未知，\(E(\epsilon^2-1)=0\)，所以 \(E(\sigma_{t+i}^2\mid F_t)=E(\sigma_{t+i-1}^2\mid F_t)\)。一路往回推到 \(\sigma_{t+1}^2\)，它只依赖 \(r_t\) 和 \(\sigma_t^2\)，在 \(t\) 时已知。 结论：IGARCH 下「今天对未来任意一天的方差预测都等于明天的方差」，方差预测是一条水平线，\(k\) 天加总就是 \(k\) 倍。如果是普通 GARCH（\(\alpha_1+\beta_1<1\)），预测会向长期均值回归，水平线变成曲线，这就是 7.3.2 中 (7.10) 的情形。

对应的 VaR：尾部概率 5% 时下一交易日 \(\text{VaR}=1.65\sigma_{t+1}\)，1% 时为 \(2.326\sigma_{t+1}\)（再乘头寸金额），\(k\) 日 VaR 为

这就是 RiskMetrics 的时间平方根法则（square root of time rule）。由于零均值正态，多头与空头 VaR 相同。

例 7.1：1997 年 6 月马克/美元汇率日收益标准差约 0.53%，1,000 万美元多头的 5% 1 日 VaR 为 \(10{,}000{,}000\times1.65\times0.0053=\$87{,}450\)，10 日 VaR 为 \(87{,}450\times\sqrt{10}\approx\$276{,}541\)。

例 7.2（IBM）：为演示假设零均值 IGARCH(1,1)，估计得 \(\sigma_t^2=0.9396\sigma_{t-1}^2+0.0604a_{t-1}^2\)（模型被标准化残差平方的 \(Q(10)=56.19\) 拒绝）。已知 \(r_{9190}=-0.0128\)，\(\hat\sigma^2_{9190}=0.0003472\)，得 \(\hat\sigma^2_{9190}(1)=0.000336\)。1,000 万美元多头：5% VaR \(=1.65\sqrt{0.000336}\times10^7=\$302{,}500\)；1% VaR \(=2.326\sqrt{0.000336}\times10^7=\$426{,}500\)。（用 S-Plus mgarch 估计得 \(\alpha=0.964\)，VaR 为 311,520 与 439,187 美元，略高。）

7.2.3 评价

优点：简单、易懂、提高了市场风险的透明度。缺点：收益厚尾，正态假设常低估 VaR；时间平方根法则只是这个特殊模型的产物，零均值或无漂移 IGARCH(1,1) 任一假设不成立就失效。例如 \(r_t=\mu+a_t\)，\(\mu\ne0\)，则 \(r_t[k]\mid F_t\sim N(k\mu,k\sigma_{t+1}^2)\)，95% 分位 \(k\mu+1.65\sqrt k\sigma_{t+1}=\sqrt k(\sqrt k\mu+1.65\sigma_{t+1})\ne\sqrt k(\mu+1.65\sigma_{t+1})\)。

7.2.4 多个头寸

若各头寸收益都服从 RiskMetrics 模型，且联合零均值正态（相关系数 \(\rho_{ij}\)），则组合 VaR 为

这就是"方差–协方差法"。原理是组合收益仍是零均值正态，其标准差满足同样的二次型；VaR 与标准差成正比，所以 VaR 也按此合成。这里 VaR 要带符号：空头头寸的 VaR 取负号，才能体现对冲效果。只有在零均值联合正态下该式才精确。

推导拆解：设头寸 \(i\) 的美元损失 \(L_i=-V_ir_i\)，标准差 \(s_i=|V_i|\sigma_i\)，\(\text{VaR}_i=z\,V_i\sigma_i\)（\(z\) 为正态分位数，空头 \(V_i<0\) 故 VaR 带负号）。组合损失 \(L=\sum L_i\) 仍是零均值正态，方差 \(\operatorname{Var}(L)=\sum_iV_i^2\sigma_i^2+2\sum_{i<j}\rho_{ij}V_iV_j\sigma_i\sigma_j\)，正是 CFA 的组合方差公式。组合 VaR \(=z\sqrt{\operatorname{Var}(L)}\)，把 \(z\) 乘进根号，每一项 \(z^2V_iV_j\sigma_i\sigma_j\) 恰好是 \(\text{VaR}_i\text{VaR}_j\)，即得上式。\(\rho=1\) 时根号内是完全平方，组合 VaR 等于各 VaR 之和；\(\rho<1\) 时小于之和，差额就是分散化收益。

7.2.5 正态下的期望损失

损失服从正态时，超过 VaR 的条件分布是截断正态。对 \(X\sim N(0,1)\)，上尾概率 \(p\)，\(q=1-p\)：

（证明：\(\int_{x_q}^{\infty}xf(x)dx=f(x_q)\)，再除以 \(p\)。）

推导拆解：为什么 \(\int_{x_q}^\infty xf(x)dx=f(x_q)\)？对 \(f(x)=\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}\) 用链式法则求导：\(f'(x)=\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}\cdot(-x)=-xf(x)\)。所以 \(xf(x)=-f'(x)\)，它的原函数是 \(-f(x)\)。于是 \(\int_{x_q}^\infty xf(x)dx=[-f(x)]_{x_q}^{\infty}=0-(-f(x_q))=f(x_q)\)，用了 \(x\to\infty\) 时 \(f(x)\to0\)。 数值核对：\(p=0.01\)，\(x_q=2.326\)，\(f(2.326)=0.3989\times e^{-2.705}\approx0.02665\)，除以 0.01 得 2.665，与下文系数一致。

所以条件分布 \(N(\mu_t,\sigma_t^2)\) 下

常用系数：\(p=0.05\) 时 \(x_q=1.645\)，\(\text{ES}=2.0627\sigma_t\)；\(p=0.01\) 时 \(x_q=2.326\)，\(\text{ES}=2.6652\sigma_t\)。可见正态下 ES 只比 VaR 大 15%–25%；厚尾分布下差距会大得多。

7.3 计量方法：ARMA–GARCH

7.3.1 1 期 VaR

用第 02a–04b 章的时间序列模型刻画条件分布：

参数已知时得到 1 步预测 \(\hat r_t(1)\) 和 \(\hat\sigma_t^2(1)\)。若 \(\epsilon_t\) 正态，\(r_{t+1}\mid F_t\sim N[\hat r_t(1),\hat\sigma_t^2(1)]\)，VaR 分位为 \(\hat r_t(1)+z_{1-p}\hat\sigma_t(1)\)。

若 \(\epsilon_t\) 服从自由度 \(v\) 的标准化 Student-t（方差为 1），要特别小心：普通 \(t_v\) 的方差是 \(v/(v-2)\)，所以

即标准化 t 的分位数是普通 t 分位数除以 \(\sqrt{v/(v-2)}\)。1 期 VaR 分位为

常见错误：直接用 t.ppf(0.99, v) 乘以 \(\hat\sigma\) 会高估 VaR。以 \(v=5\) 为例，普通 t 的 99% 分位是 3.365，标准化后只有 2.607。

例 7.3（IBM，1,000 万美元多头，1998-12-31 的下一日 VaR）。 对负收益建模。

• 正态：\(r_t=-0.00066-0.0247r_{t-2}+a_t\)，\(\sigma_t^2=0.00000389+0.0799a_{t-1}^2+0.9073\sigma_{t-1}^2\)。预测 \(\hat r(1)=-0.00071\)，\(\hat\sigma^2(1)=0.0003211\)。5% 分位 \(-0.00071+1.6449\sqrt{0.0003211}=0.02877\)，VaR \(=\$287{,}700\)；1% 分位 \(0.04097\)，VaR \(=\$409{,}738\)。
• 标准化 \(t_5\)：\(r_t=-0.0003-0.0335r_{t-2}+a_t\)，\(\sigma_t^2=0.000003+0.0559a_{t-1}^2+0.9350\sigma_{t-1}^2\)。预测 \(\hat r(1)=-0.000367\)，\(\hat\sigma^2(1)=0.0003386\)。5% 标准化分位 \(2.015/\sqrt{5/3}=1.5608\)，VaR \(\approx\$283{,}520\)；1% 标准化分位 \(3.3649/\sqrt{5/3}=2.6065\)，VaR \(=\$475{,}943\)。

厚尾分布的效果随尾部概率变小而显现：5% 时两种分布的 VaR 几乎相同，1% 时 t 分布的 VaR 高出 16%。

7.3.2 多期 VaR

设预测原点 \(h\)，\(k\) 期收益 \(r_h[k]=r_{h+1}+\dots+r_{h+k}\)，点预测 \(\hat r_h[k]=\sum_{\ell=1}^{k}\hat r_h(\ell)\)。由 MA 表示 \(r_t=\mu+a_t+\psi_1a_{t-1}+\cdots\)，\(\ell\) 步预测误差为 \(e_h(\ell)=a_{h+\ell}+\psi_1a_{h+\ell-1}+\dots+\psi_{\ell-1}a_{h+1}\)，于是

\(\sigma_h^2(\ell)\) 是 GARCH 的 \(\ell\) 步波动率预测。

推导拆解：以 \(k=2\) 为例。\(e_h(1)=a_{h+1}\)，\(e_h(2)=a_{h+2}+\psi_1a_{h+1}\)。两期累计误差 \(e_h[2]=e_h(1)+e_h(2)=a_{h+2}+(1+\psi_1)a_{h+1}\)。规律是：越早出现的冲击，被后面越多期的预测误差「重复计入」，系数是 \(\psi\) 权重的部分和。由于各期 \(a\) 条件不相关、\(E(a_{h+\ell}^2\mid F_h)=\sigma_h^2(\ell)\)，方差就是系数平方乘以对应的方差预测再求和，即 (7.8)。

金融直觉：若收益有正自相关（\(\psi_1>0\)，动量），一次冲击会在后续继续推动价格同向变动，多期风险大于各期之和，\(\sqrt k\) 法则低估；若负自相关（均值回复），多期风险小于 \(\sqrt k\) 法则的结果。这和「方差比检验」的思路一致。

特例 \(r_t=\mu+a_t\)、GARCH(1,1)：\(\psi_i=0\)，\(\operatorname{Var}(e_h[k]\mid F_h)=\sum_{\ell=1}^{k}\sigma_h^2(\ell)\)，其中

递推得 \(\sigma_h^2(\ell)=\frac{\alpha_0(1-\phi^{\ell-1})}{1-\phi}+\phi^{\ell-1}\sigma_h^2(1)\)，对 \(\ell\) 求和：

推导拆解：(7.9) 第二式的来源：\(\sigma_{h+\ell}^2=\alpha_0+\alpha_1a_{h+\ell-1}^2+\beta_1\sigma_{h+\ell-1}^2\)，在 \(F_h\) 下取期望，\(E(a_{h+\ell-1}^2\mid F_h)=E(\sigma_{h+\ell-1}^2\mid F_h)=\sigma_h^2(\ell-1)\)，两项合并为 \(\phi\sigma_h^2(\ell-1)\)。 递推的解：记长期方差 \(\bar\sigma^2=\alpha_0/(1-\phi)\)，则 \(\sigma_h^2(\ell)-\bar\sigma^2=\phi[\sigma_h^2(\ell-1)-\bar\sigma^2]\)，偏离长期水平的部分每期乘以 \(\phi\)，所以 \(\sigma_h^2(\ell)=\bar\sigma^2+\phi^{\ell-1}[\sigma_h^2(1)-\bar\sigma^2]\)，展开即为上式。 求和：\(\sum_{\ell=1}^k\phi^{\ell-1}=\frac{1-\phi^k}{1-\phi}\)，于是 \(\sum\sigma_h^2(\ell)=k\bar\sigma^2+\frac{1-\phi^k}{1-\phi}[\sigma_h^2(1)-\bar\sigma^2]\)，整理即为 (7.10)。这个形式比原式更直观：多期方差 = \(k\) 倍长期方差 + 当前偏离的「衰减累计」。

（精读笔记记录原书 (7.10) 括号内印作 \(k-1-\phi^k/(1-\phi)\)，按推导应为 \(k-(1-\phi^k)/(1-\phi)\)，此处已更正。）正态时 \(r_h[k]\mid F_h\sim N(k\mu,\operatorname{Var}(e_h[k]))\)；t 或 GED 新息下多期收益不再是简单分布，要用模拟求多期 VaR。

(7.10) 揭示了时间平方根法则的偏差方向：GARCH 是均值回复的。当前波动 \(\sigma_h^2(1)\) 高于长期水平 \(\alpha_0/(1-\phi)\) 时，未来方差逐渐回落，\(\sqrt k\) 法则高估多期 VaR；当前波动低于长期水平时，\(\sqrt k\) 法则低估多期 VaR。

例 7.3（续）：高斯 AR(2)–GARCH(1,1)，15 日持有期：条件均值 −0.00998，条件方差 0.0047948，5% 分位 \(-0.00998+1.6449\sqrt{0.0047948}=0.10392\)，VaR \(=\$1{,}039{,}191\)，小于 \(287{,}700\times\sqrt{15}=\$1{,}114{,}257\)。

7.4 分位数估计

非参数方法：不对收益分布做具体假设，只假设预测期内分布不变。

7.4.1 经验分位数与次序统计量

样本 \(r_1,\dots,r_n\) 的次序统计量（order statistics）\(r_{(1)}\le\dots\le r_{(n)}\)。

定理（Cox & Hinkley 1974）：\(r_t\) iid，连续分布，密度 \(f\)，\(x_p=F^{-1}(p)\)，\(f(x_p)\ne0\)。则 \(\ell=np\) 时

所以可以用 \(r_{(\ell)}\) 估计 \(x_p\)。\(np\) 不是整数时线性插值：设 \(\ell_1<np<\ell_2\) 为相邻整数，\(p_i=\ell_i/n\)，

(7.11) 的方差分母里有 \(f(x_p)^2\)。在尾部，\(p\) 小、\(f(x_p)\) 更小，方差急剧变大——经验分位数在尾部很不精确。例如 \(N(0,1)\) 的 1% 分位，\(n=1000\) 时标准误约 \(\sqrt{0.0099/1000}/0.0267\approx0.12\)，是分位数本身 2.33 的 5%；0.1% 分位（3.09）时标准误约 0.30，接近分位数本身的 10%。

白话解释：为什么方差公式里有 \(f(x_p)^2\)？分两步看。第一步，样本中低于真实分位数 \(x_p\) 的观测比例 \(\hat p\) 是二项比例，标准误 \(\sqrt{p(1-p)/n}\)，这部分你在 CFA 中就会算。第二步，把「比例的误差」换算成「\(x\) 轴上的误差」：在 \(x_p\) 附近，\(x\) 移动 \(\Delta x\)，累积概率大约变化 \(f(x_p)\Delta x\)。所以比例误差 \(\Delta p\) 对应的分位数误差是 \(\Delta x\approx\Delta p/f(x_p)\)。尾部密度 \(f\) 很小，即那里的数据很稀疏，同样的比例误差会被放大成很大的分位数误差。这是「用一阶导数换算误差」的思路，和用久期把收益率误差换算成价格误差一样（统计上称 delta 方法）。\(\dot\sim\) 读作「近似服从」。

例 7.4（Intel 日对数收益，1972-12-15 至 2008-12-31，9,096 个观测）：多头用负收益。\(9096\times0.95=8641.2\)，\(\hat x_{0.95}=0.8r_{(8641)}+0.2r_{(8642)}=4.2952\%\)。

例 7.5（IBM，9,190 个观测）：\(np=8730.5\)，95% 经验分位 \((r_{(8730)}+r_{(8731)})/2=2.1603\%\)，1,000 万美元多头 VaR \(=\$216{,}030\)，明显小于计量方法的结果。99% 分位：\(9098<9190\times0.99<9099\)，\(p_1=9098/9190=0.98999\)，\(p_2=0.9901\)，插值得 \(\hat x_{0.99}\approx3.630\%\)，VaR \(=\$363{,}000\)。（原书在此处把 9098 误印为 9198；原书 7.6.1 节（本册第 07b 章 7.7.2 节）比较表中此值又写作 365,709，前后不一致。）

评价：优点是简单、无分布假设。缺点有三：(1) 假设分布在样本期与预测期不变，等于说未来损失不会超过历史最大损失；(2) \(p\) 小时经验分位数不是有效估计；(3) 不能纳入解释变量（如当前波动水平）。实际中经验分位数 VaR 可视为真实 VaR 的下界——前提是样本足够大、\(p\) 不太小。

经验 ES：超过经验分位数的观测的平均，

IBM 负收益、\(p=0.01\)：\(\hat x_{0.99}=3.630\%\)，\(\widehat{\text{ES}}_{0.99}=5.097\%\)——ES 比 VaR 大 40%，远超正态下的 15%，这就是厚尾。

业界的"历史模拟法"（historical simulation）就是用滚动窗口（如过去 250 或 500 天）的经验分位数做 VaR。

7.4.2 分位数回归

收益的条件分布常依赖可观测的解释变量（如美联储的利率决议、当前波动水平）。Koenker & Bassett (1978) 的分位数回归直接对条件分位数建模。先注意经验分位数可以写成一个优化问题：

\(w_p\) 称检验函数（check function），机器学习中称弹球损失（pinball loss）。直观理解：低估（\(z>0\)）每单位罚 \(p\)，高估每单位罚 \(1-p\)；最优点使低于它的观测比例恰为 \(p\)。

推导拆解：把 \(\beta\) 往右挪一个很小的量 \(\delta\)，看总损失怎么变。对于 \(r_i>\beta\) 的观测（共 \(n_+\) 个），\(z=r_i-\beta\) 减少 \(\delta\)，每个损失减少 \(p\delta\)；对于 \(r_i<\beta\) 的观测（共 \(n_-\) 个），\(z\) 更负，每个损失增加 \((1-p)\delta\)。总变化 \(=[-pn_++(1-p)n_-]\delta\)。在最优点，往哪边挪都不能再降低损失，所以 \(pn_+\approx(1-p)n_-\)。又 \(n_++n_-\approx n\)，解得 \(n_-\approx pn\)，即恰好 \(p\) 比例的观测落在 \(\beta\) 下方，\(\beta\) 就是 \(p\) 分位数。\(p=0.5\) 时两边罚得一样多，就是「绝对偏差最小化得到中位数」这个熟悉的结论。\(\arg\min\) 表示「使目标函数最小的那个参数值」。

推广到线性模型 \(r_t=\boldsymbol\beta'\boldsymbol x_t+a_t\)（\(\boldsymbol x_t\in F_{t-1}\)）：

这是一个线性规划问题，R 用 quantreg 包，Python 用 statsmodels.QuantReg。

7.5 VaR 回测（补充）

原书第 7 章没有专门讨论 VaR 回测，但它是 VaR 模型投入使用前的必经步骤，这里给出两个标准检验，以便与第 04b 章的预测评估思想衔接。

记突破（violation / hit）指示 \(I_t=\mathbb 1(L_t>\text{VaR}_t)\)。若 VaR 模型正确，\(\{I_t\}\) 应是成功概率为 \(p\) 的 iid 伯努利序列。

Kupiec 无条件覆盖检验：\(n\) 天中突破 \(x\) 次，\(\hat\pi=x/n\)，

白话解释：分子是「假设突破率真是 \(p\)」时观察到这串突破记录的概率，分母是「突破率取样本值 \(\hat\pi\)」时的概率（这是能达到的最大值）。比值越接近 1，说明 \(p\) 和数据越吻合。数值例子：250 天、目标 \(p=1\%\)，期望突破 2.5 次。若突破 2 次，\(LR_{uc}\approx0.11\)，完全正常；突破 7 次，\(LR_{uc}\approx5.5\)，超过 3.84，在 5% 水平拒绝。注意 250 天的检验功效很低：真实突破率为 2%（模型低估风险一倍）时，也常常只观察到 3–5 次突破，难以拒绝。这就是为什么监管回测用一年数据只能做「交通灯」式的粗筛。

Christoffersen 独立性检验：统计 \(n_{ij}\)（前一天状态 \(i\)、当天状态 \(j\) 的天数），\(\pi_{01}=\frac{n_{01}}{n_{00}+n_{01}}\)，\(\pi_{11}=\frac{n_{11}}{n_{10}+n_{11}}\)，检验 \(\pi_{01}=\pi_{11}\) 的似然比，也服从 \(\chi^2_1\)。突破成簇（今天突破后明天更容易突破）说明模型对波动变化反应太慢。

这与第 07b 章 POT 模型的诊断思路一致：超越的间隔应服从指数分布、无序列相关。

量化实战

应用场景

1. 风控系统的 VaR/ES 引擎：历史模拟法（7.4）、参数法（RiskMetrics、GARCH，7.2–7.3）、EVT（第 07b 章）是业界三大类方法，大多数风控系统都同时实现几种，作为相互校验。
2. 多期风险与时间平方根法则：监管 10 日 VaR 常由 1 日 VaR 乘 \(\sqrt{10}\) 得到。(7.10) 告诉我们在高波动期这会高估、低波动期会低估——正是在风险积累的平静期低估风险。
3. 组合层面：方差–协方差法（7.2.4）是最简单的组合 VaR，可分解出各头寸的边际 VaR 和成分 VaR，用于风险预算。
4. 分位数模型：检验函数是训练分位数预测模型（线性分位数回归、分位数梯度提升树、分位数神经网络）的标准损失，可直接预测条件 VaR。均值–CVaR 组合优化可写成线性规划（Rockafellar–Uryasev）。
5. 仓位管理：用条件 VaR 或 ES 设定杠杆上限、止损线和风险预算，比用无条件波动率更能适应市场状态。

Python 示例

代码先核对原书的几个数字（例 7.1、例 7.3 的标准化 t 分位、正态 ES 系数），然后模拟一个 t 新息 GARCH 收益序列，用前 3,000 天估计参数、后 10,000 天滚动计算 1% VaR，比较 RiskMetrics、正态 GARCH、t-GARCH、500 日历史模拟法，并用 Kupiec 与 Christoffersen 检验回测；接着计算 ES、比较多期 VaR 的两种算法，最后用分位数回归建立条件 VaR 模型。

import numpy as np
import pandas as pd
from scipy import stats
from arch import arch_model
import statsmodels.api as sm

rng = np.random.default_rng(3)

# ---------- 0. 原书数字核对 ----------
print(f"例 7.1: 1日5% VaR = {1e7*1.65*0.0053:,.0f}, 10日 = {1e7*1.65*0.0053*np.sqrt(10):,.0f}")
v = 5
q_std = stats.t.ppf(0.99, v) / np.sqrt(v/(v-2))
print(f"例 7.3: t5 99% 分位 {stats.t.ppf(0.99, v):.4f}, 标准化后 {q_std:.4f}, "
      f"VaR = {1e7*(-0.000367 + q_std*np.sqrt(0.0003386)):,.0f}")
for p in (0.05, 0.01):
    z = stats.norm.ppf(1-p)
    print(f"正态 ES 系数 p={p}: VaR {z:.4f} sigma, ES {stats.norm.pdf(z)/p:.4f} sigma")

# ---------- 1. 模拟"真实"收益：AR(0)-GARCH(1,1)，标准化 t5 新息（单位：%）----------
T = 13000
nu, w, a1, b1 = 5, 0.02, 0.08, 0.90
z = stats.t.rvs(nu, size=T, random_state=rng) / np.sqrt(nu/(nu-2))
r, s2 = np.zeros(T), np.zeros(T); s2[0] = w/(1-a1-b1)
for t in range(T):
    if t: s2[t] = w + a1*r[t-1]**2 + b1*s2[t-1]
    r[t] = 0.03 + np.sqrt(s2[t])*z[t]
loss = -r                                          # 多头：分析负收益

est, test = slice(0, 3000), slice(3000, T)        # 前 3000 天估计，后 10000 天回测
p = 0.01

# ---------- 2. 四种 1 日 VaR（滚动，参数在前 3000 天估计一次）----------
# (a) RiskMetrics: EWMA, lambda=0.94, 零均值正态
ew = np.zeros(T); ew[0] = r[:250].var()
for t in range(1, T):
    ew[t] = 0.94*ew[t-1] + 0.06*r[t-1]**2
var_rm = stats.norm.ppf(1-p)*np.sqrt(ew)

# (b)(c) 正态 / t 新息 GARCH(1,1)，在估计样本拟合后对全样本做滤波
def garch_var(dist):
    res = arch_model(r[est], mean="Constant", vol="GARCH", p=1, q=1, dist=dist).fit(disp="off")
    mu_, om, al, be = res.params[["mu", "omega", "alpha[1]", "beta[1]"]]
    h = np.zeros(T + 1); h[0] = om/(1 - al - be)
    for t in range(T):                              # 用固定参数对全样本滤波：h[t+1] 是 t 日收盘时对 t+1 的预测
        h[t+1] = om + al*(r[t] - mu_)**2 + be*h[t]
    if dist == "normal":
        q = stats.norm.ppf(1-p)
    else:
        n_ = res.params["nu"]; q = stats.t.ppf(1-p, n_)/np.sqrt(n_/(n_-2))   # 标准化 t 分位
    return -mu_ + q*np.sqrt(h[:T]), res, h          # 第 t 天的 VaR 只用到 t-1 及以前的信息

var_gn, res_n, h_n = garch_var("normal")
var_gt, res_t, h_t = garch_var("t")
print(f"\nt-GARCH 估计: omega={res_t.params['omega']:.3f}, alpha={res_t.params['alpha[1]']:.3f}, "
      f"beta={res_t.params['beta[1]']:.3f}, nu={res_t.params['nu']:.2f}")

# (d) 历史模拟：过去 500 天经验分位
var_hs = pd.Series(loss).rolling(500).quantile(1-p).shift(1).values

# ---------- 3. 回测：Kupiec 无条件覆盖 + Christoffersen 独立性 ----------
def backtest(var, name):
    v_ = var[test]; l_ = loss[test]; ok = ~np.isnan(v_)
    hit = (l_[ok] > v_[ok]).astype(int); n, x = len(hit), hit.sum(); pi = x/n
    lr_uc = -2*(x*np.log(p) + (n-x)*np.log(1-p) - x*np.log(pi) - (n-x)*np.log(1-pi))
    n00 = np.sum((hit[:-1]==0)&(hit[1:]==0)); n01 = np.sum((hit[:-1]==0)&(hit[1:]==1))
    n10 = np.sum((hit[:-1]==1)&(hit[1:]==0)); n11 = np.sum((hit[:-1]==1)&(hit[1:]==1))
    p01, p11, p1 = n01/(n00+n01), n11/max(n10+n11, 1), (n01+n11)/(n-1)
    ll = lambda a, b, c: (a*np.log(c) if a else 0) + (b*np.log(1-c) if b else 0)
    lr_ind = -2*(ll(n01+n11, n00+n10, p1) - ll(n01, n00, p01) - ll(n11, n10, p11))
    print(f"{name:<14} 突破 {x:>3}/{n} ({pi:.2%})  Kupiec p={stats.chi2.sf(lr_uc,1):.3f}  "
          f"独立性 p={stats.chi2.sf(lr_ind,1):.3f}  平均VaR {np.mean(v_[ok]):.2f}%")

print("\n1% VaR 回测（后 10000 天）:")
for v_, nm in [(var_rm, "RiskMetrics"), (var_gn, "正态GARCH"), (var_gt, "t-GARCH"), (var_hs, "历史模拟500d")]:
    backtest(v_, nm)
q_true = stats.t.ppf(1-p, nu)/np.sqrt(nu/(nu-2))
backtest(-0.03 + q_true*np.sqrt(s2), "真实参数(基准)")   # 用真实 sigma_t，衡量抽样噪声

# ---------- 4. 期望损失（t-GARCH 下用模拟计算最后一天）----------
n_ = res_t.params["nu"]; mu_T = res_t.params["mu"]; sd_T = np.sqrt(h_t[T])   # 对 T+1 日的预测
sim = -(mu_T + sd_T*stats.t.rvs(n_, size=400000, random_state=rng)/np.sqrt(n_/(n_-2)))
print(f"\n最后一天 t-GARCH: VaR {np.quantile(sim, 1-p):.3f}%, ES {sim[sim > np.quantile(sim, 1-p)].mean():.3f}%")

# ---------- 5. 多期 VaR：GARCH 递推 (7.9)-(7.10) vs 时间平方根 ----------
om, al, be = res_n.params["omega"], res_n.params["alpha[1]"], res_n.params["beta[1]"]
mu_n = res_n.params["mu"]; phi = al + be; k = 10; zq = stats.norm.ppf(1-p)
print(f"\n10 日 1% VaR (正态, 长期方差 {om/(1-phi):.2f}):")
for s2_1 in (0.5, om/(1-phi), 3.0):                      # 1 步方差预测 sigma_h^2(1)：低波、长期、高波
    var_k = om/(1-phi)*(k - (1-phi**k)/(1-phi)) + (1-phi**k)/(1-phi)*s2_1     # 式 (7.10)
    print(f"  sigma^2(1)={s2_1:.2f}: GARCH 递推 {-k*mu_n + zq*np.sqrt(var_k):.2f}%, "
          f"时间平方根 {np.sqrt(k)*(-mu_n + zq*np.sqrt(s2_1)):.2f}%")

# ---------- 6. 分位数回归：条件 VaR 依赖于已实现波动代理 ----------
absr = pd.Series(np.abs(r)).rolling(20).mean().shift(1).values   # 过去 20 日平均绝对收益
ok = ~np.isnan(absr)
X = sm.add_constant(absr[ok])
qr = sm.QuantReg(loss[ok], X).fit(q=1-p)
print(f"\n分位数回归 (q=0.99): loss_q = {qr.params[0]:.3f} + {qr.params[1]:.3f} * MAR20")

关键输出：

例 7.1: 1日5% VaR = 87,450, 10日 = 276,541
例 7.3: t5 99% 分位 3.3649, 标准化后 2.6065, VaR = 475,948
正态 ES 系数 p=0.05: VaR 1.6449 sigma, ES 2.0627 sigma
正态 ES 系数 p=0.01: VaR 2.3263 sigma, ES 2.6652 sigma

t-GARCH 估计: omega=0.018, alpha=0.077, beta=0.910, nu=4.97

1% VaR 回测（后 10000 天）:
RiskMetrics    突破 170/10000 (1.70%)  Kupiec p=0.000  独立性 p=0.530  平均VaR 1.98%
正态GARCH        突破 112/10000 (1.12%)  Kupiec p=0.237  独立性 p=0.812  平均VaR 2.12%
t-GARCH        突破  76/10000 (0.76%)  Kupiec p=0.012  独立性 p=0.612  平均VaR 2.38%
历史模拟500d       突破 122/10000 (1.22%)  Kupiec p=0.033  独立性 p=0.269  平均VaR 2.33%
真实参数(基准)       突破  85/10000 (0.85%)  Kupiec p=0.122  独立性 p=0.756  平均VaR 2.29%

最后一天 t-GARCH: VaR 2.671%, ES 3.552%

10 日 1% VaR (正态, 长期方差 1.14):
  sigma^2(1)=0.50: GARCH 递推 5.47%, 时间平方根 5.19%
  sigma^2(1)=1.14: GARCH 递推 7.81%, 时间平方根 7.84%
  sigma^2(1)=3.00: GARCH 递推 12.32%, 时间平方根 12.73%

分位数回归 (q=0.99): loss_q = 0.506 + 2.731 * MAR20

几点解读。RiskMetrics 的突破率 1.7%，被 Kupiec 检验显著拒绝——零均值正态的 EWMA 低估了厚尾数据的 1% VaR。历史模拟法覆盖率尚可但略高（1.22%），且它对波动变化反应迟钝。"真实参数"那一行用真实的 \(\sigma_t\) 和真实分布计算 VaR，本样本中也只突破了 0.85%，说明即便有 10,000 天，突破率的抽样误差也有 0.1 个百分点左右；t-GARCH 的 0.76% 有一部分来自这个抽样噪声，另一部分来自估计误差（估计的长期方差偏高）。正态 GARCH 在本样本中的 1.12% 并不代表它更好：理论上，标准化 \(t_5\) 新息低于正态 1% 分位的概率约 1.4%，换一个随机种子就可能被拒绝。ES 比 VaR 高 33%，远高于正态下的 15%。多期 VaR 一节验证了 (7.10) 的含义：当前波动低于长期水平时 \(\sqrt k\) 法则低估风险，高于长期水平时高估。

本章小结

VaR 是损失分布的上分位数，计算它的关键是估计损失分布的上尾。RiskMetrics 用零均值、EWMA 和条件正态给出最简单的答案，并推出时间平方根法则，但正态假设在小尾部概率下低估风险，\(\sqrt k\) 法则只在无漂移 IGARCH 下成立。ARMA–GARCH 计量方法给出条件均值和方差，使用 t 分布时必须用标准化分位数；多期 VaR 由 (7.8)–(7.10) 计算，GARCH 的均值回复使 \(\sqrt k\) 法则在高波动期高估、低波动期低估风险。经验分位数不依赖分布假设，但尾部估计方差很大，也不能外推到历史之外；分位数回归用检验函数把条件分位数与解释变量联系起来。VaR 不满足次可加性，应辅以 ES。所有 VaR 模型投入使用前都要回测。

练习

基础

1. 某组合日收益条件分布为 \(N(0.0005,\,0.012^2)\)，头寸 5,000 万元。计算 1 日 1% VaR 和 ES。 提示：VaR \(=(-0.0005+2.326\times0.012)\times5\times10^7\approx1{,}370{,}000\) 元；ES \(=(-0.0005+2.6652\times0.012)\times5\times10^7\approx1{,}574{,}000\) 元。
2. 两个头寸的 1 日 VaR 分别为 100 万和 60 万元，相关系数 0.3。求组合 VaR；若第二个头寸是空头（相关系数仍按收益计算为 0.3）呢？ 提示：\(\sqrt{100^2+60^2+2\times0.3\times100\times60}=129.6\) 万元；空头时 VaR\(_2\) 取 −60，得 \(\sqrt{13600-3600}=100\) 万元。
3. 用标准化 \(t_4\) 分布做 1% VaR 时，分位数系数是多少？与正态的 2.326 比较。 提示：\(t_4(0.99)=3.747\)，除以 \(\sqrt{2}\) 得 2.649。
4. 某 VaR 模型在 250 个交易日中突破了 7 次（目标 1%）。用 Kupiec 检验判断是否拒绝。 提示：\(\hat\pi=0.028\)，\(LR_{uc}\approx5.5\)，p≈0.02，在 5% 水平拒绝（巴塞尔"交通灯"中属于黄区）。
5. 构造一个 VaR 不满足次可加性的例子。 提示：两笔独立贷款，各有 4% 概率损失 100、否则 0。各自 5% VaR 为 0；组合损失 ≥100 的概率为 \(1-0.96^2=7.84\%\)，组合 5% VaR 为 100。

进阶

6. 证明正态分布的 ES 公式 \(E(X\mid X>x_q)=f(x_q)/p\)，并推导标准化 \(t_v\) 分布的 ES 公式。 提示：对普通 \(t_v\)，\(E(T\mid T>c)=\frac{f_v(c)}{p}\cdot\frac{v+c^2}{v-1}\)，再按标准化尺度换算。
7. 对 GARCH(1,1)，令 \(\phi=0.98\)、\(\alpha_0=0.02\)，分别取 \(\sigma_h^2(1)=0.5\) 和 \(3\)，计算 \(k=1,5,10,20,60\) 时 (7.10) 给出的多期方差与 \(k\sigma_h^2(1)\) 的比值，画图说明 \(\sqrt k\) 法则偏差随 \(k\) 的变化。
8. 修改本章代码，用 250 日窗口的历史模拟法重复回测，比较 250 日与 500 日窗口在突破率和独立性检验上的差别，解释窗口长度的权衡。
9. （原书习题 7.1、7.2 改编）对同一组模拟或真实收益，计算 1% 下一日 VaR：(a) RiskMetrics；(b) 正态 ARMA–GARCH；(c) t-ARMA–GARCH（估计自由度）；(d) 经验分位数。再计算 15 日 VaR，比较 (a) 的 \(\sqrt{15}\) 法则与 (b) 的递推结果。
10. 用分位数回归拟合 \(q=0.01\) 和 \(q=0.99\) 两个条件分位数（解释变量为过去 20 日已实现波动），检验两个斜率是否对称；在真实股票数据上，下尾斜率通常更大，说明什么？

原书推荐习题：7.1、7.2（用同一数据系统比较 RiskMetrics、GARCH、t-GARCH、经验分位数等方法，是本章最核心的综合练习）；7.4(a)(b)（多资产的 RiskMetrics 与 ARMA–GARCH VaR）。

原书对照

（原书印刷页码约等于 PDF 页码减 20。）