第 06 章 连续时间模型及其应用

本章对应 Tsay 原书第 6 章。期权定价、希腊字母、波动率曲面等衍生品主题在第 08 册（Hull）有系统论述；本章侧重统计视角：布朗运动与 Itô 引理是什么、几何布朗运动的参数如何从离散数据中估计、估计误差有多大、跳跃扩散如何解释收益的厚尾与波动率微笑，以及从离散样本估计扩散方程的方法概览。

学习目标

1. 理解维纳过程的定义、增量性质和路径不可微性，能用 Donsker 定理模拟布朗运动。
2. 掌握 Itô 引理的来源 \((dw_t)^2=dt\)，会用它推导 \(d\ln P_t\)、\(dw_t^2\) 等随机微分，以及 \(\int_0^t w_s\,dw_s=\frac12(w_t^2-t)\)。
3. 会从等间隔价格样本估计几何布朗运动的 \(\mu\) 和 \(\sigma\)，并理解"波动率可估、期望收益难估"的统计结论。
4. 能复述 Black–Scholes 偏微分方程的对冲推导和风险中性定价公式，会计算欧式期权价格、买卖权平价和无套利下界。
5. 理解 Kou 双指数跳跃扩散模型的构造、收益分布性质和风险中性漂移修正，知道它为什么能产生波动率偏斜。
6. 了解从离散数据估计连续时间模型的五类方法。

读前导读

这一章在解决什么问题

CFA 一级、二级教你用单步二叉树给期权定价：构造一个「股票 + 借款」的组合复制期权，无套利下期权价格等于复制成本，而且答案与股票真实上涨概率无关。Black–Scholes 是把这个二叉树的时间步无限切细后的极限。这一章讲的就是这个极限过程需要的数学：价格在连续时间里怎么随机变动（布朗运动），以及随机变量的函数怎么求「导数」（Itô 引理）。

最好的入口是你已经熟悉的久期和凸性。债券价格变化 \(\Delta P\approx P'\Delta y+\frac12P''(\Delta y)^2\)，第一项是久期，第二项是凸性。在普通微积分里，\(\Delta y\to0\) 时 \((\Delta y)^2\) 比 \(\Delta y\) 小得多，可以扔掉。但如果利率是随机游走，\(\Delta y\) 的量级是 \(\sqrt{\Delta t}\)，\((\Delta y)^2\) 的量级就是 \(\Delta t\)，和时间项同阶，扔不掉。Itô 引理的全部内容就是「凸性项在随机世界里永远留着」。这也是期权 gamma 收益和「波动拖累」的来源。

本章另一个重要结论对资产配置很关键：波动率可以估得很准，期望收益几乎估不准。这直接解释了为什么均值–方差优化对预期收益输入如此敏感、为什么需要 Black–Litterman 这类方法。

需要先想起来的数学

1. 导数、偏导数与二阶泰勒展开。 单变量 \(\Delta G\approx G'\Delta x+\frac12G''(\Delta x)^2\)；两个变量 \(G(x,t)\) 时，对 \(x\) 求偏导 \(\partial G/\partial x\) 就是把 \(t\) 当常数对 \(x\) 求导。例：\(G=x^2t\)，\(\partial G/\partial x=2xt\)，\(\partial G/\partial t=x^2\)，\(\partial^2G/\partial x^2=2t\)。常用导数：\((\ln x)'=1/x\)，\((\ln x)''=-1/x^2\)，\((e^x)'=e^x\)。见 第 00 册第 02 章 导数与泰勒展开 和 第 00 册第 05 章 多元微积分与优化。

2. 对数正态分布的期望。 若 \(X\sim N(m,s^2)\)，则 \(E(e^X)=e^{m+s^2/2}\)，不是 \(e^m\)。例：\(m=0\)，\(s=0.4\)，\(E(e^X)=e^{0.08}\approx1.083\)。这是 GBM 中 \(\mu\) 与 \(\mu-\sigma^2/2\) 区别的根源。

3. 定积分与配方。 期望写成积分 \(E[g(X)]=\int g(x)f(x)dx\)；求 \(\int_a^\infty e^xf(x)dx\) 时要把指数部分「配成完全平方」，变成另一个正态密度。见 第 00 册第 03 章 积分。

4. 泊松分布。 单位时间平均发生 \(\lambda\) 次的稀有事件，\(t\) 时间内发生 \(m\) 次的概率 \(\frac{(\lambda t)^m}{m!}e^{-\lambda t}\)。例：\(\lambda=10\)/年，3 个月内一次都不跳的概率 \(e^{-2.5}\approx8.2\%\)。信用风险中的违约强度模型用的就是它。

5. 小 o 记号。 \(o(\Delta t)\) 表示「比 \(\Delta t\) 更快趋于零的量」，即 \(o(\Delta t)/\Delta t\to0\)。例：\((\Delta t)^2\) 和 \((\Delta t)^{3/2}\) 都是 \(o(\Delta t)\)，但 \(\sqrt{\Delta t}\) 不是。见 第 00 册第 07 章 概率中的分析工具。

怎么读这一章

核心必读：6.2.1（维纳过程的定义和 \(\sqrt t\) 缩放）、6.3.1–6.3.2（Itô 引理和 GBM，本章的心脏）、6.4.2（参数估计与「期望收益难估」）、6.5（BS 方程的对冲推导）、6.6.1 的公式和两种解读。第一次可以跳过或只看结论的：6.2.1 的「正式定义」段落、6.3.3 多维 Itô 引理、6.6.1 中配方推导的细节、6.7.4 的级数解析解、6.8 估计方法综述。期权的比较静态（6.6.3）和下界（6.6.2）你在 CFA 中已经学过，可以快速浏览。建议顺序：6.2 → 6.3.1 → 6.3.2 → 6.4 → 6.5 → 6.6 → 6.3.4 → 6.7，最后读量化实战的 delta 对冲模拟。

6.1 为什么需要连续时间模型

资产价格随时间演化形成一个随机过程（stochastic process），我们看到的价格序列是它的一个实现。前几章的模型都是离散时间的：价格只在日收盘等离散时点定义。连续时间模型则假设价格在每一刻都有定义并连续变化，只是我们只在离散时点观测到它。两类过程中价格本身又可以是连续或离散的取值——第 05 章的逐笔价格变化就是离散时间、离散取值的过程。

连续时间框架有两大用处。第一，期权等衍生品的定价需要在任意时刻对冲，连续时间的随机微积分给出了干净的解析结果（Black–Scholes 公式）。第二，许多利率和波动率模型是用随机微分方程写成的，要从离散数据中估计它们，必须理解连续过程与其离散样本的关系。

期权术语（详见第 08 册）。股票期权赋予持有人在某日期之前以指定价格买卖股票的权利。看涨期权（call）是买入权，看跌期权（put）是卖出权；指定价格称行权价（strike）\(K\)，日期称到期日（expiration）。欧式期权只能在到期日行权，美式期权到期前任何时刻都可行权。记股价为 \(P\)：call 在 \(P>K\) 时为实值（in-the-money）、\(P=K\) 为平值、\(P<K\) 为虚值；put 相反。

6.2 维纳过程与 Itô 过程

6.2.1 维纳过程

离散时间模型中的冲击是白噪声；连续时间中的对应物是维纳过程（Wiener process，即标准布朗运动）的增量。\(\{w_t\}\) 是维纳过程，若：

1. \(\Delta w_t=w_{t+\Delta t}-w_t=\epsilon\sqrt{\Delta t}\)，\(\epsilon\sim N(0,1)\)；
2. \(\Delta w_t\) 与 \(\{w_j\}_{j\le t}\) 独立。

第 2 条蕴含马尔可夫性，任意两个不重叠区间上的增量独立——金融上对应弱式有效市场。取 \(w_0=0\)，把 \([0,t]\) 分成 \(T=t/\Delta t\) 段：\(w_t=\sum_{i=1}^{T}\epsilon_i\sqrt{\Delta t}\)，于是

方差随时间线性增长，标准差按 \(\sqrt t\) 增长——这正是"波动率按时间平方根缩放"的来源。

Donsker 定理给出模拟方法：\(\{z_i\}\) iid \(N(0,1)\)，\(w_{n,t}=\frac{1}{\sqrt n}\sum_{i=1}^{[nt]}z_i\)，\(t\in[0,1]\)，则 \(n\to\infty\) 时 \(w_{n,t}\) 依分布收敛到维纳过程。代码就是一行 w = np.cumsum(rng.standard_normal(n)) / np.sqrt(n)。

正式定义：布朗运动是 \(t\ge0\) 上的实值过程，满足 (1) 路径几乎必然连续；(2) 增量独立；(3) 增量平稳（\(w_t-w_s\) 与 \(w_{t-s}-w_0\) 同分布）。由此可证增量服从正态分布，任意有限维分布是多元正态。

路径不可微：布朗运动路径几乎处处连续但几乎处处不可微。直观看，\(\Delta w/\Delta t\sim N(0,1/\Delta t)\)，\(\Delta t\to0\) 时方差爆炸。所以含 \(dw_t\) 的积分不能用普通微积分处理，需要 Itô 微积分。

白话解释：「几乎必然」「几乎处处」的意思是「除了概率为零的例外情况，总是成立」，实际使用中可当作「一定」。不可微的含义可以这样体会：把一段日内价格图不断放大，普通光滑曲线放大后会越来越像直线（这就是「可导」），而布朗运动放大后依然锯齿状，因为在 \(\Delta t\) 时间内的变动量级是 \(\sqrt{\Delta t}\)，比 \(\Delta t\) 大得多。例如 \(\Delta t=0.0001\) 时 \(\sqrt{\Delta t}=0.01\)，「速度」\(\Delta w/\Delta t\) 的典型大小是 100；\(\Delta t\) 再缩小 100 倍，速度变成 1000。「瞬时速度」不存在，所以 \(dw_t/dt\) 没有意义，只能写 \(dw_t\)。

6.2.2 广义维纳过程与 Itô 过程

漂移率 \(\mu\)、方差率 \(\sigma^2\) 的广义维纳过程：

\(x_t-x_0\sim N(\mu t,\sigma^2t)\)。\(\mu\)、\(\sigma\) 分别称漂移（drift）和波动率（volatility）参数。

让漂移和波动率依赖于状态和时间，得到 Itô 过程（随机扩散方程）：

等价的积分形式为 \(x_t=x_0+\int_0^t\mu(x_s,s)ds+\int_0^t\sigma(x_s,s)dw_s\)。\(\mu(\cdot)\) 称漂移函数，\(\sigma(\cdot)\) 称扩散函数。第 04a 章例 4.6 用非参数方法估计的正是短期利率的漂移函数和扩散函数。

6.3 Itô 引理

6.3.1 从 Taylor 展开出发

对普通可微函数 \(G(x)\)，\(\Delta G=G'\Delta x+\frac12G''(\Delta x)^2+\cdots\)，取极限时二阶及以上项都是高阶小量，\(dG=G'dx\)。

现在设 \(x_t\) 是 Itô 过程，\(G(x_t,t)\) 可微。二元 Taylor 展开：

离散化 \(\Delta x=\mu\Delta t+\sigma\epsilon\sqrt{\Delta t}\)，则

关键在于 \((\Delta x)^2\) 含有 \(\Delta t\) 阶的项，不能忽略。而且 \(\sigma^2\epsilon^2\Delta t\) 的均值是 \(\sigma^2\Delta t\)，方差是 \(2\sigma^4(\Delta t)^2\)（用 \(E\epsilon^4=3\)），方差是更高阶的小量——所以它在极限下收敛到非随机的 \(\sigma^2dt\)：

推导拆解：「\((dw_t)^2=dt\)」的确切含义是平方增量的累积和收敛到时间长度。把 \([0,1]\) 切成 \(n\) 段，每段增量 \(\Delta w_i=\epsilon_i/\sqrt n\)，平方和 \(Q_n=\sum_{i=1}^n\Delta w_i^2=\frac1n\sum\epsilon_i^2\)。 均值：\(E(Q_n)=\frac1n\cdot n\cdot1=1\)，用了 \(E\epsilon^2=1\)。 方差：\(\operatorname{Var}(Q_n)=\frac1{n^2}\cdot n\cdot\operatorname{Var}(\epsilon^2)=\frac{2}{n}\)，用了 \(\operatorname{Var}(\epsilon^2)=E\epsilon^4-1=2\)。 \(n\to\infty\) 时方差趋于 0，\(Q_n\) 收敛到确定的数 1。每一个 \(\Delta w_i^2\) 都是随机的，但成千上万个加起来，随机性相互抵消（大数定律），只剩下均值。所以在积分（求和）的意义下，可以把 \((dw)^2\) 直接替换成 \(dt\)。而 \(dw\,dt\) 的量级是 \((\Delta t)^{3/2}\)，\((dt)^2\) 是 \((\Delta t)^2\)，累加 \(n\) 次后仍趋于 0，所以都记为 0。

金融直觉：这就是已实现方差的理论基础：日内收益平方和是当天积分方差的估计，采样越密越准（在没有第 05 章微观结构噪声的理想情况下）。

代入 (6.3) 得到

Itô 引理：若 \(dx_t=\mu(x_t,t)dt+\sigma(x_t,t)dw_t\)，则

与普通链式法则相比，多出的就是二阶修正项 \(\frac12G_{xx}\sigma^2dt\)。

金融直觉：拿债券对照。债券价格 \(B(y)\) 对收益率的二阶近似是 \(\Delta B\approx B'\Delta y+\frac12B''(\Delta y)^2\)，即「久期项 + 凸性项」。若收益率随机波动、\(\operatorname{Var}(\Delta y)=\sigma^2\Delta t\)，则凸性项的期望 \(\frac12B''\sigma^2\Delta t\) 与时间同阶，不能忽略。这就是为什么「凸性有价值」：在收益率波动的环境中，凸性高的债券平均多赚 \(\frac12B''\sigma^2\) 每单位时间。Itô 引理中的 \(\frac12G_{xx}\sigma^2\) 是同一个东西，换到期权上就是 gamma 项 \(\frac12\Gamma\sigma^2P^2\)：持有正 gamma 的期权多头，只要价格在动，就能从凸性中获利，这份收益正好由 theta（时间价值损耗）来支付。

推导拆解：把 (6.3) 的每一项按量级归类。\(\Delta x\) 含 \(\sqrt{\Delta t}\) 阶项，保留；\(\Delta t\) 保留；\((\Delta x)^2\to\sigma^2dt\)，保留；\(\Delta x\Delta t\) 是 \((\Delta t)^{3/2}\) 阶，丢掉；\((\Delta t)^2\) 丢掉。剩下 \(dG=G_xdx+G_tdt+\frac12G_{xx}\sigma^2dt\)，再把 \(dx=\mu dt+\sigma dw\) 代入第一项并按 \(dt\)、\(dw\) 合并，就是 (6.6)。

例 6.1：\(G=w_t^2\)，\(\mu=0\)、\(\sigma=1\)，\(G_w=2w_t\)，\(G_{ww}=2\)：

6.3.2 几何布朗运动

股价常假设服从几何布朗运动（geometric Brownian motion，GBM）：

对 \(G=\ln P_t\)：\(G_P=1/P_t\)，\(G_{PP}=-1/P_t^2\)，\(G_t=0\)，由 Itô 引理

对数价格是漂移为 \(\mu-\sigma^2/2\) 的广义维纳过程。\(\mu\) 是简单收益的期望增长率，而对数收益的期望增长率要减去 \(\sigma^2/2\)——这就是算术平均收益与几何平均收益之差（"波动拖累"，volatility drag）的连续时间版本。

推导拆解：代入 (6.6)，其中 \(x\) 换成 \(P\)，漂移函数是 \(\mu P\)，扩散函数是 \(\sigma P\)。 \(dt\) 项：\(G_P\cdot\mu P+G_t+\frac12G_{PP}\cdot\sigma^2P^2=\frac1P\mu P+0-\frac12\frac1{P^2}\sigma^2P^2=\mu-\frac{\sigma^2}2\)。 \(dw\) 项：\(G_P\cdot\sigma P=\sigma\)。 修正项为负，因为 \(\ln\) 是凹函数（\(G_{PP}<0\)），由 Jensen 不等式，波动会拉低对数的期望。

金融直觉：CFA 里讲过「算术平均 ≈ 几何平均 + 方差/2」。数值例子：\(\mu=10\%\)，\(\sigma=30\%\)，对数收益的年均增长率只有 \(10\%-4.5\%=5.5\%\)。一只股票一年涨 50%、下一年跌 50%，算术平均 0%，实际财富却变成 75%。这也是杠杆 ETF 长期持有会损耗的原因：杠杆把 \(\sigma\) 放大 \(L\) 倍，拖累放大 \(L^2\) 倍。

6.3.3 多维 Itô 引理

设 \(dx_{it}=\mu_i(\boldsymbol x_t)dt+\sigma_i(\boldsymbol x_t)dw_{it}\)，\(i=1,\dots,k\)，\(dw_{it}\) 与 \(dw_{jt}\) 的相关系数为 \(\rho_{ij}\)。类似地 \((\Delta x_{it})^2\to\sigma_i^2dt\)，\(\Delta x_{it}\Delta x_{jt}\to\sigma_i\sigma_j\rho_{ij}dt\)，于是

（原书离散化式中把 \(\Delta x_{it}\) 误印为 \(\Delta w_{it}\)。）这用于多资产衍生品（如价差期权）和多因子利率模型。

6.3.4 随机积分

积分是微分的逆：\(\int_0^tdw_s=w_t\)。对 (6.7) 两边积分，\(w_t^2=t+2\int_0^tw_s\,dw_s\)，所以

与确定性积分 \(\int_0^ty\,dy=\frac12y_t^2\) 相比，多出 \(-t/2\)，正是 Itô 修正。

白话解释：Itô 积分 \(\int_0^tw_s\,dw_s\) 定义为和式 \(\sum w_{t_{i-1}}(w_{t_i}-w_{t_{i-1}})\) 的极限，被积函数取区间左端点。金融含义是：你在 \(t_{i-1}\) 时决定持仓 \(w_{t_{i-1}}\)，然后承受下一段的价格变动，不能用未来信息调仓。由于持仓与随后的增量独立，每一项期望为零，所以 \(E\int w\,dw=0\)。检验：\(E[\frac12(w_t^2-t)]=\frac12(t-t)=0\)，一致；若没有 \(-t/2\)，期望就变成 \(t/2\)，等于说「不偷看未来也能稳赚」，这不可能。同理，对 GBM 积分 \(d\ln P_t\) 得到显式解

6.4 GBM 的统计性质与参数估计

6.4.1 价格与对数收益的分布

由 (6.25)，

\(P_T\) 服从对数正态分布，由对数正态的矩公式

\(E(P_T)=P_te^{\mu(T-t)}\) 证实了 \(\mu\) 是期望收益率。

推导拆解：记 \(\tau=T-t\)，\(X=\ln(P_T/P_t)\sim N(m,s^2)\)，\(m=(\mu-\sigma^2/2)\tau\)，\(s^2=\sigma^2\tau\)。 第一步：正态的矩母函数 \(E(e^{uX})=e^{um+u^2s^2/2}\)。 第二步：取 \(u=1\)，\(E(P_T)=P_tE(e^X)=P_te^{m+s^2/2}=P_te^{(\mu-\sigma^2/2)\tau+\sigma^2\tau/2}=P_te^{\mu\tau}\)。两个 \(\sigma^2/2\) 恰好抵消。 第三步：取 \(u=2\)，\(E(P_T^2)=P_t^2e^{2m+2s^2}\)，所以 \(\operatorname{Var}(P_T)=P_t^2(e^{2m+2s^2}-e^{2m+s^2})=P_t^2e^{2\mu\tau}(e^{\sigma^2\tau}-1)\)。

例：\(P_t=50\)，\(\mu=15\%\)，\(\sigma=40\%\)，6 个月后 \(E(P_T)=50e^{0.075}=53.89\)，\(\operatorname{Var}(P_T)=2500e^{0.15}(e^{0.08}-1)=241.92\)，标准差 15.55。

\(T-t\) 期间的年化连续复利收益率 \(r=\frac{1}{T-t}\ln\frac{P_T}{P_t}\sim N\big(\mu-\frac{\sigma^2}{2},\frac{\sigma^2}{T-t}\big)\)。例：\(\mu=15\%\)、\(\sigma=10\%\)、2 年期，均值 \(14.5\%\)，标准差 \(0.1/\sqrt2=7.1\%\)，95% 区间约为 (0.6%, 28.4%)——两年的实现收益有很大不确定性。

6.4.2 估计 \(\mu\) 与 \(\sigma\)

设有 \(n+1\) 个等间隔价格，间隔 \(\Delta\)（以年计），对数收益 \(r_t=\ln P_t-\ln P_{t-1}\) 在 GBM 下 iid \(N(\mu_r,\sigma_r^2)\)，其中 \(\mu_r=(\mu-\sigma^2/2)\Delta\)，\(\sigma_r^2=\sigma^2\Delta\)。用样本均值 \(\bar r\) 和样本标准差 \(s_r\) 代入反解：

（精读笔记记录原书印作 \(\hat\mu=\bar r/\Delta+s_r^2/2\)，按量纲应为 \(s_r^2/(2\Delta)\)，此处已更正。）

两个参数的估计精度天差地别。 \(\hat\sigma\) 的标准误约为 \(\hat\sigma/\sqrt{2n}\)，只取决于观测个数 \(n\)——用日数据甚至更高频的数据，几年就能把 \(\sigma\) 估得很准。而 \(\bar r/\Delta\) 的标准误为 \(\frac{s_r/\sqrt n}{\Delta}=\frac{\sigma}{\sqrt{n\Delta}}=\frac{\sigma}{\sqrt{\text{年数}}}\)，只取决于总时间跨度，与采样频率无关。年化波动 30% 的股票，用 1 年数据估计 \(\mu\) 的标准误是 30%，用 25 年数据也还有 6%。这是金融计量中最重要的结论之一：波动率可估，期望收益几乎不可估。

推导拆解：为什么均值估计与采样频率无关？关键在于对数收益可以「伸缩相消」：

\[\bar r=\frac1n\sum_{t=1}^n(\ln P_t-\ln P_{t-1})=\frac{\ln P_n-\ln P_0}{n}.\]

所以 \(\bar r/\Delta=\frac{\ln P_n-\ln P_0}{n\Delta}\)，只用到首尾两个价格和总时长 \(n\Delta\)。中间采样多密都不提供额外信息。它的方差为 \(\frac{\sigma^2 n\Delta}{(n\Delta)^2}=\frac{\sigma^2}{n\Delta}\)，标准误 \(\sigma/\sqrt{\text{年数}}\)。 方差估计则不同：每个 \(r_t^2\) 都提供一份关于 \(\sigma^2\Delta\) 的独立信息，正态样本方差的相对标准误约 \(\sqrt{2/n}\)，所以 \(\hat\sigma\) 的相对标准误约 \(1/\sqrt{2n}\)（用了「\(\hat\sigma=\sqrt{\hat\sigma^2}\)，相对误差减半」的一阶近似）。\(n\) 由采样频率决定，日数据一年就有 252 个。

金融直觉：想要把一个年化波动 20% 的资产的期望收益估到 ±2%（一个标准误），需要 \((0.2/0.02)^2=100\) 年数据。这就是为什么均值–方差优化中把历史平均收益直接当作输入会产生极端权重，而用历史协方差则相对安全。

例 6.2（IBM 1998 年日对数收益，252 个观测）。 \(Q(10)=4.9\)，无序列相关。\(\bar r=0.002276\)，\(s_r=0.01915\)，\(\Delta=1/252\)：

即年化期望收益 62%、年化波动 30.4%。\(\hat\mu\) 的标准误约 30%，这个"62%"几乎没有统计意义。另外偏度 −0.464、超额峰度 2.396 显著，正态假设本身也存疑。

例 6.3（Cisco 2007 年，251 个观测）。 \(\bar r=-3.81\times10^{-5}\)，\(s_r=0.0174\)，\(\hat\sigma=0.0174\sqrt{251}=0.275\)。原书给出 \(\hat\mu=-0.0094\)，这个数实际上是 \(\bar r/\Delta=-0.0096\)（即对数收益的年化均值 \(\mu-\sigma^2/2\)）加上 \(s_r^2/2\) 的结果——正是上面那个印错的公式。按正确公式，\(\hat\mu=-0.0096+0.275^2/2\approx0.028\)。两者的差 \(\sigma^2/2\approx3.8\%\) 远小于 \(\hat\mu\) 本身约 27.5% 的标准误，所以无论哪个数都只能说明"无法判断 Cisco 当年的期望收益"。

当收益序列相关或价格不服从 GBM 时，需要 6.8 节的方法。

6.5 Black–Scholes 微分方程

6.5.1 对冲推导

设 \(P_t\) 服从 GBM，\(G_t=G(P_t,t)\) 是依附于 \(P_t\) 的衍生品价格。由 Itô 引理，

股票和衍生品受同一个维纳过程驱动，因此可以构造一个把随机项消掉的组合：卖出 1 份衍生品，买入 \(\partial G/\partial P\) 股股票，

在一小段时间内（持股数视为不变）

\(\mu\) 项和 \(dw_t\) 项都被抵消了。这个组合在 \(\Delta t\) 内无风险，根据无套利原理必须获得无风险利率：\(\Delta V_t=rV_t\Delta t\)。联立得 Black–Scholes 偏微分方程：

不同衍生品对应不同的边界条件：欧式看涨 \(G_T=\max(P_T-K,0)\)，欧式看跌 \(G_T=\max(K-P_T,0)\)。

金融直觉：这和 CFA 单步二叉树的逻辑完全相同。二叉树中你选择对冲比率 \(h=\frac{c_u-c_d}{S_u-S_d}\)，使「持有 \(h\) 股股票、卖出 1 份期权」在上涨和下跌两种状态下价值相同，从而无风险、必须赚无风险利率。连续时间中 \(h\) 变成 \(\partial G/\partial P\)（delta），「两种状态」变成「任意小的随机变动」，由于 \(dG\) 和 \(dP\) 中的 \(dw_t\) 项系数之比恰好是 \(\partial G/\partial P\)，选这个持股数就能把 \(dw_t\) 消掉。区别在于：二叉树一步就够，连续时间需要随着 \(P\) 和 \(t\) 变化不断调整 delta，这就是 6.5.1 中「持股数视为不变」只能在一小段时间内成立的原因，也是量化实战中离散对冲误差的来源。

推导拆解：从 \(\Delta V_t=rV_t\Delta t\) 到 (6.17)：左边是 \((-G_t-\frac12G_{PP}\sigma^2P^2)\Delta t\)，右边是 \(r(-G+G_PP)\Delta t\)。约去 \(\Delta t\)，把所有项移到一边：\(G_t+\frac12\sigma^2P^2G_{PP}+rPG_P-rG=0\)。

例 6.4（无股息股票的远期合约）：\(G_t=P_t-Ke^{-r(T-t)}\)。\(G_t'=-rKe^{-r(T-t)}\)，\(G_P=1\)，\(G_{PP}=0\)；代入左边得 \(-rKe^{-r(T-t)}+rP_t=rG_t\)，满足方程。

6.5.2 风险中性

BS 方程中没有 \(\mu\)。这意味着衍生品价格与投资者的风险偏好无关，因此可以假设投资者风险中性来计算价格：在风险中性世界里，所有资产的期望收益都等于无风险利率 \(r\)，任何现金流的现值等于其期望按 \(r\) 贴现。

从统计角度看，这一点非常重要：期权定价只需要 \(\sigma\)，不需要 \(\mu\)——而上一节刚说过，\(\sigma\) 可以估得很准，\(\mu\) 几乎不可估。正因如此，期权定价理论在实践中可行。

6.6 Black–Scholes 公式

6.6.1 公式与推导

欧式看涨期权的价格是风险中性期望的折现：

令 \(x=\ln P_T\)，其密度为 \(f(x)\)，

第二个积分是风险中性下 \(P_T>K\) 的概率 \(\Phi(h_-)\)。第一个积分通过配方：

（\(\tau=T-t\)）于是它等于 \(P_te^{r\tau}\Phi(h_+)\)——均值移动了 \(\sigma^2\tau\) 的正态分布的尾概率。

推导拆解：记 \(m=\ln P_t+(r-\sigma^2/2)\tau\)，\(s^2=\sigma^2\tau\)，\(f(x)=\frac{1}{s\sqrt{2\pi}}e^{-(x-m)^2/(2s^2)}\)。 第一个积分的被积函数是 \(e^x f(x)\)，指数部分为 \(x-\frac{(x-m)^2}{2s^2}\)。配方：\(x-\frac{(x-m)^2}{2s^2}=-\frac{(x-m-s^2)^2}{2s^2}+m+\frac{s^2}{2}\)（展开右边即可验证）。 而 \(m+s^2/2=\ln P_t+r\tau\)，所以 \(e^xf(x)=P_te^{r\tau}\cdot\tilde f(x)\)，其中 \(\tilde f\) 是均值为 \(m+s^2\)、方差 \(s^2\) 的正态密度。 于是第一个积分 \(=P_te^{r\tau}\tilde P(X>\ln K)=P_te^{r\tau}\Phi\big(\frac{m+s^2-\ln K}{s}\big)=P_te^{r\tau}\Phi(h_+)\)。 第二个积分 \(=P(X>\ln K)=\Phi\big(\frac{m-\ln K}{s}\big)=\Phi(h_-)\)，用了 \(P(X>a)=\Phi\big(\frac{m-a}{s}\big)\)。 乘以 \(e^{-r\tau}\) 后得 (6.19)。\(h_+\) 与 \(h_-\) 相差 \(s=\sigma\sqrt\tau\)，正是配方时均值移动的 \(s^2\) 除以标准差 \(s\)。

合并得到

两种解读：

• 概率解读：\(Ke^{-r\tau}\Phi(h_-)\) 是"仅当 \(P_T>K\) 时支付行权价"的现值，\(\Phi(h_-)\) 是风险中性下到期实值的概率；\(P_t\Phi(h_+)\) 是"仅当 \(P_T>K\) 时收到股票"的现值。
• 复制组合解读：\(\Phi(h_+)=\partial c/\partial P\) 正是 6.5 节无风险组合中的持股数，即 delta。看涨期权等价于持有 \(\Phi(h_+)\) 股股票并借入 \(Ke^{-r\tau}\Phi(h_-)\) 的现金。

欧式看跌：

买卖权平价（put–call parity）：\(p_t-c_t=Ke^{-r(T-t)}-P_t\)。直接证明：组合 A = 1 份 call + 现金 \(Ke^{-r\tau}\)；组合 B = 1 份 put + 1 股股票。两者到期价值都是 \(\max(P_T,K)\)，欧式期权不能提前行权，所以今天价值必须相等。

例 6.5（深度虚值）：\(P_t=80\)，\(K=90\)，\(T-t=0.25\)，\(\sigma=0.2\)，\(r=0.08\)。\(h_+=\frac{\ln(80/90)+0.10\times0.25}{0.1}=-0.9278\)，\(h_-=-1.0278\)，\(\Phi(h_+)=0.1767\)，\(\Phi(h_-)=0.1520\)。

call 的买方需要股价上涨 10.73 美元才能盈亏平衡；put 的买方在股价不超过 81.05 时都能盈亏平衡。

例 6.6（近平值）：\(K=81\)，其他不变。\(h_+=0.1258\)，\(h_-=0.0258\)，\(\Phi(h_+)=0.5500\)，\(\Phi(h_-)=0.5103\)，\(c_t=\$3.49\)，\(p_t=\$2.89\)。

原书附录 B 给出了标准正态 CDF 的多项式近似：\(x\ge0\) 时 \(\Phi(x)\approx1-f(x)\sum_{i=1}^{5}c_ik^i\)，\(k=1/(1+0.2316419x)\)，\(c_1,\dots,c_5=0.319381530,\,-0.356563782,\,1.781477937,\,-1.821255978,\,1.330274429\)，精度约 \(10^{-7}\)。今天直接调用 scipy.stats.norm.cdf 即可。

6.6.2 无套利下界

无股息股票的欧式期权满足

证明（call）：组合 A（1 份 call + 现金 \(Ke^{-r\tau}\)）到期价值 \(\max(P_T,K)\ge P_T\)，即不少于组合 B（1 股股票），所以今天 \(c_t+Ke^{-r\tau}\ge P_t\)；又 \(c_t\ge0\)。

例 6.7（违反下界的套利）：\(P_t=30\)，\(K=28\)，\(r=6\%\)，\(T-t=0.5\)，下界 \(30-28e^{-0.03}=2.83\)。若 call 只卖 2.50：买入 call、卖空股票，得现金 27.50，存 6 个月变成 \(27.50e^{0.03}=28.34\)。到期若 \(P_T>28\)，行权买股平仓，获利 0.34；若 \(P_T<28\)，在市场买股平仓获利更多（如 \(P_T=27\) 时获利 1.34）。

6.6.3 五个变量的影响

期权价格取决于 \(P_t\)、\(K\)、\(T-t\)、\(\sigma\)、\(r\)。对看涨期权（其他变量固定）：

1. 股价：\(c_t\) 随 \(P_t\) 上升；\(P_t\to0\) 时 \(c_t\to0\)，\(P_t\to\infty\) 时 \(c_t\to\infty\)。
2. 行权价：\(c_t\) 随 \(K\) 下降；\(K\to0\) 时 \(c_t\to P_t\)，\(K\to\infty\) 时 \(c_t\to0\)。
3. 到期时间：把 \(h_\pm\) 写成 \(\frac{\ln(P_t/K)}{\sigma\sqrt\tau}+\frac{(r\pm\sigma^2/2)\sqrt\tau}{\sigma}\)。\(\tau\to0\) 时，虚值 call 趋于 0，实值 call 趋于 \(P_t-K\)；\(\tau\to\infty\) 时 \(c_t\to P_t\)。
4. 波动率：写成 \(\frac{\ln(P_t/K)+r\tau}{\sigma\sqrt\tau}\pm\frac{\sigma\sqrt\tau}{2}\)。\(\sigma\to0\) 时，若 \(\ln(P_t/K)+r\tau<0\) 则 \(c_t\to0\)，否则 \(c_t\to P_t-Ke^{-r\tau}\)；\(\sigma\to\infty\) 时 \(c_t\to P_t\)。
5. 利率：\(c_t\) 随 \(r\) 上升，\(r\to\infty\) 时 \(c_t\to P_t\)。

看跌期权的结论可类似推导（练习）。联合效应：波动率高、行权价远低于现价时 call 价格高；波动率高、行权价远高于现价时 put 价格高。希腊字母与对冲实务见第 08 册。

6.7 跳跃扩散模型

6.7.1 动机

基于布朗运动的扩散模型有两个与数据不符之处：日收益尖峰厚尾（第 01、03a 章）；期权市场的波动率微笑（volatility smile）——用 BS 公式反推的隐含波动率随行权价变化，实值和虚值期权的隐含波动率高于平值期权（外汇期权尤其明显，股票期权多表现为向左倾斜的偏斜）。常用的两种修正是跳跃扩散和随机波动率模型（Merton 1976；Duffie 1995）。

6.7.2 泊松过程

\(X_t\) 为 \([0,t]\) 内特殊事件发生的次数，若 \(\Pr(X_t=m)=\frac{(\lambda t)^m}{m!}e^{-\lambda t}\)，则 \(\{X_t\}\) 是速率（强度）为 \(\lambda\) 的泊松过程。在长度为 \(\Delta t\) 的小区间内，发生一次事件的概率约 \(\lambda\Delta t\)，发生两次及以上是 \(o(\Delta t)\)。

6.7.3 Kou (2002) 双指数跳跃扩散

\(n_t\) 是速率 \(\lambda\) 的泊松过程；第 \(i\) 次跳使价格乘以 \(J_i\)（变动比例 \(J_i-1\)）；\(X=\ln J\) 服从双指数（Laplace）分布

等价地 \(X-\kappa=\pm\xi\)（各占一半），\(\xi\) 为均值 \(\eta\) 的指数变量。性质：\(E(X)=\kappa\)，\(\operatorname{Var}(X)=2\eta^2\)，\(E(e^X)=\frac{e^\kappa}{1-\eta^2}\)。\(n_t\)、\(w_t\)、\(\{J_i\}\) 相互独立。

为什么选双指数？有限样本中它与 Student-t 很难区分，但解析上易于处理，且在均值附近比正态更集中（峰更高），契合收益直方图的形状；跳幅均值 \(\kappa<0\) 还能产生左偏。

解。 在两次跳之间价格按 GBM 演化，每次跳乘上 \(J_i\)，递推可得

小区间的收益。 用 \(e^x\approx1+x+x^2/2\)、\((\Delta w)^2\approx\Delta t\)，并忽略区间内多次跳：

\(I\) 为伯努利变量，\(\Pr(I=1)=\lambda\Delta t\)。这就是离散时间模拟方案，也是一个"正态 + 偶发 Laplace 跳"的混合分布，其均值和方差为

Kou 给出了它的闭式密度 (6.31)（含两个正态 CDF 项与一个正态密度项，见原书 6.9 节）。原书图 6.9 取 \(\mu=\sigma=20\%\)、\(\Delta t=1/252\)、\(\lambda=10\)、\(\kappa=-0.02\)、\(\eta=0.02\)（每年约 10 次跳，平均跳幅 −2%），与同均值同方差的正态分布相比，跳跃扩散分布峰更高、两尾更厚，且左尾更突出。

6.7.4 跳跃扩散下的期权定价

有跳时，一只股票加无风险资产无法完美对冲跳跃风险，市场不完备。若假设证券数量很多、跳跃风险可分散、市场不为它支付风险溢价，就可以构造风险中性测度：

漂移中减去 \(\lambda\psi\)，是为了扣掉跳的平均贡献，使折现价格成为鞅（本章代码验证了这一点）。

推导拆解：风险中性要求 \(E^*(dP_t/P_t)=r\,dt\)。逐项求期望：\(E(\sigma dw_t)=0\)；在 \(dt\) 内跳一次的概率为 \(\lambda dt\)，跳时收益为 \(J-1\)，所以跳跃项期望为 \(\lambda dt\cdot E(J-1)=\lambda\psi\,dt\)。因此漂移 \(a\) 必须满足 \(a+\lambda\psi=r\)，即 \(a=r-\lambda\psi\)。 \(\psi\) 的计算：\(J=e^X\)，\(X\) 是 Laplace\((\kappa,\eta)\)，\(E(e^X)=e^\kappa\cdot\frac{1}{1-\eta^2}\)（Laplace 分布的矩母函数，要求 \(\eta<1\)，这就是 (6.27) 中 \(0<\eta<1\) 的原因）。以例 6.8 的参数，\(\psi=e^{-0.02}/(1-0.0004)-1\approx-0.0194\)，\(\lambda\psi\approx-0.194\)：平均每年跳跃使价格下降约 19.4%，所以扩散部分的漂移要上调到 \(r+19.4\%\) 来补偿。「鞅」指未来期望值等于当前值的过程，即「公平游戏」：\(E^*(e^{-rT}P_T)=P_0\)。欧式看涨期权的价格是

Kou (2002) 给出了以泊松跳次数为权重的无穷级数解析解 (6.33)，其中用到 \(Hh_n(x)=\frac{1}{n!}\int_x^\infty(s-x)^ne^{-s^2/2}ds\) 函数及其递推 \(nHh_n=Hh_{n-2}-xHh_{n-1}\)；级数截断到前 10 项左右即可。\(\lambda=0\) 时退化为 BS 公式。看跌期权由平价关系得到。公式较长，实践中也可直接用蒙特卡洛按 (6.32) 计算（见量化实战）。

例 6.8：沿用例 6.6（\(P_t=80\)，\(K=81\)，\(r=0.08\)，\(\tau=0.25\)，\(\sigma=0.2\)），加入跳 \(\lambda=10\)、\(\kappa=-0.02\)、\(\eta=0.02\)，得 \(c_t=\$3.92\)（无跳 3.49），\(p_t=\$3.31\)（无跳 2.89）。保持 \(\sigma\) 不变而加入跳，总波动上升，两种期权都变贵。实际应用中加入跳会改变 \(\sigma\) 的估计——总波动被拆分为扩散与跳跃两部分。

6.8 连续时间模型的估计

要从离散采样数据估计一般的扩散方程 \(dx_t=\mu(x_t,t)dt+\sigma(x_t,t)dw_t\)，困难在于两次观测之间的转移密度一般没有闭式。原书只概述方法（另见 Lo 1988）：

1. 拟极大似然（QML）：利用小区间内 \(dw_t\) 正态，用 Euler 离散化 \(x_{t+\Delta}-x_t\approx\mu(x_t)\Delta+\sigma(x_t)\sqrt\Delta\,\epsilon\) 的正态似然（Kessler 1997 给出了高阶修正）；
2. 矩方法：Conley, Hansen, Luttmer & Scheinkman (1997)；
3. 非参数方法：Aït-Sahalia (1996, 2002)，第 04a 章例 4.6 的 lowess 估计是其朴素版本；
4. 半参数与再投影（reprojection / EMM）：Gallant & Long (1997)，Gallant & Tauchen (1997)；
5. MCMC：Eraker (2001)，Elerian, Chib & Shephard (2001)——在观测之间插入隐藏的"虚拟观测点"，使 Euler 近似足够精确。

对 GBM，Euler 离散化是精确的（对数收益正好正态），所以 6.4.2 节的估计就是精确 MLE。对 Vasicek、CIR 这类短期利率模型，转移密度已知，也可以做精确 MLE；更复杂的模型才需要上述方法。

量化实战

应用场景

1. 期权定价与做市：BS 公式和 delta 是期权报价、隐含波动率计算和对冲的起点；无套利下界和买卖权平价是期权数据清洗（剔除违反无套利的报价）和套利监控的标准检查。
2. 对冲误差与调仓频率：BS 假设连续调仓，实际只能离散调仓。对冲误差的标准差大致与 \(1/\sqrt{\text{调仓次数}}\) 成正比，这决定了对冲频率与交易成本之间的权衡。
3. 波动率曲面：单一 \(\sigma\) 的 BS 无法拟合偏斜；负均值跳跃（\(\kappa<0\)）是股票期权左偏斜的一个来源，也是尾部风险定价的起点。
4. 情景生成与压力测试：GBM 和跳跃扩散是蒙特卡洛 VaR、策略压力测试最常用的价格生成器，式 (6.30) 给出离散模拟方案。
5. 组合优化中的参数风险：6.4.2 节的结论直接说明，用历史均值估计期望收益要非常谨慎——这正是 Black–Litterman、收缩估计、风险平价等方法存在的原因；协方差的估计相对可靠。
6. 随机控制：Itô 引理是最优执行（Almgren–Chriss）、做市（Avellaneda–Stoikov）模型中推导 HJB 方程的基本工具。

Python 示例

代码完成五件事：(1) 从模拟日收益估计 GBM 参数并比较两个参数的标准误；(2) 实现 BS 公式，复现例 6.5、6.6；(3) 模拟离散 delta 对冲（真实漂移 15% 与定价无关），看对冲误差如何随调仓频率下降；(4) 用蒙特卡洛按 (6.32) 为 Kou 跳跃扩散定价，复现例 6.8；(5) 用跳跃扩散价格反推 BS 隐含波动率，观察偏斜。

import numpy as np
from scipy import stats, optimize

rng = np.random.default_rng(11)
N = stats.norm.cdf

# ---------- 1. 由离散样本估计 GBM 参数（6.4.2 节）----------
mu, sigma, dt, years = 0.10, 0.30, 1/252, 5
r = rng.normal((mu - sigma**2/2)*dt, sigma*np.sqrt(dt), int(years/dt))
sig_hat = r.std(ddof=1)/np.sqrt(dt)
mu_hat = r.mean()/dt + sig_hat**2/2
print(f"GBM 估计 ({years} 年日数据): sigma_hat = {sig_hat:.4f} (SE {sig_hat/np.sqrt(2*len(r)):.4f}), "
      f"mu_hat = {mu_hat:.4f} (SE 约 {sig_hat/np.sqrt(years):.4f})")

# ---------- 2. Black–Scholes 定价与 delta，复现例 6.5、6.6 ----------
def bs(P, K, r, sig, tau, kind="call"):
    hp = (np.log(P/K) + (r + sig**2/2)*tau)/(sig*np.sqrt(tau)); hm = hp - sig*np.sqrt(tau)
    if kind == "call":
        return P*N(hp) - K*np.exp(-r*tau)*N(hm), N(hp)
    return K*np.exp(-r*tau)*N(-hm) - P*N(-hp), N(hp) - 1

for K in (90, 81):
    c, dc = bs(80, K, 0.08, 0.2, 0.25, "call"); p, _ = bs(80, K, 0.08, 0.2, 0.25, "put")
    print(f"P=80, K={K}: call = {c:.2f} (delta {dc:.4f}), put = {p:.2f}, "
          f"平价检验 p-c - (K e^-rT - P) = {p - c - (K*np.exp(-0.02) - 80):.1e}")

# ---------- 3. Delta 对冲模拟：离散调仓的对冲误差 ----------
P0, K, rf, sig, T = 80, 81, 0.08, 0.2, 0.25
c0, _ = bs(P0, K, rf, sig, T)
for n_steps in (13, 63, 252):
    h = T/n_steps; M = 20000
    P = np.full(M, P0, float); _, delta = bs(P, K, rf, sig, T)
    cash = c0 - delta*P                             # 卖出期权、买入 delta 股
    for k in range(1, n_steps+1):
        P = P*np.exp((0.15 - sig**2/2)*h + sig*np.sqrt(h)*rng.standard_normal(M))  # 真实漂移 15%
        cash *= np.exp(rf*h)
        if k < n_steps:
            _, nd = bs(P, K, rf, sig, T - k*h)
            cash -= (nd - delta)*P; delta = nd
    pnl = cash + delta*P - np.maximum(P - K, 0)
    print(f"调仓 {n_steps:>3} 次: 对冲误差均值 {pnl.mean(): .3f}, 标准差 {pnl.std():.3f}")

# ---------- 4. Kou 双指数跳跃扩散：蒙特卡洛定价，复现例 6.8 ----------
lam, kap, eta = 10, -0.02, 0.02
psi = np.exp(kap)/(1 - eta**2) - 1                 # E(J) - 1
M = 2_000_000
nj = rng.poisson(lam*T, M)
# 跳幅之和：nj 个 Laplace(kap, eta) 之和 = nj*kap + (Gamma(nj,eta) - Gamma(nj,eta))
G1 = rng.gamma(np.maximum(nj, 1), eta) * (nj > 0)
G2 = rng.gamma(np.maximum(nj, 1), eta) * (nj > 0)
Xsum = nj*kap + G1 - G2
Z = rng.standard_normal(M)
PT = P0*np.exp((rf - sig**2/2 - lam*psi)*T + sig*np.sqrt(T)*Z + Xsum)
disc = np.exp(-rf*T)
call_mc = disc*np.maximum(PT - K, 0); put_mc = disc*np.maximum(K - PT, 0)
print(f"\nKou 跳跃扩散 (例 6.8): call = {call_mc.mean():.3f} ± {1.96*call_mc.std()/np.sqrt(M):.3f}, "
      f"put = {put_mc.mean():.3f} ± {1.96*put_mc.std()/np.sqrt(M):.3f}  (原书 3.92 / 3.31)")
print(f"  折现价格鞅检验: E*[e^-rT P_T] = {(disc*PT).mean():.3f} (应为 {P0})")

# ---------- 5. 跳跃扩散价格反推 BS 隐含波动率：波动率偏斜 ----------
def implied_vol(price, P, K, r, tau):
    return optimize.brentq(lambda s: bs(P, K, r, s, tau)[0] - price, 1e-4, 3.0)
print("  行权价  跳跃扩散call  BS隐含波动率")
for Kx in (70, 75, 80, 85, 90):
    cp = (disc*np.maximum(PT - Kx, 0)).mean()
    print(f"  {Kx:>5}  {cp:>11.3f}  {implied_vol(cp, P0, Kx, rf, T):>11.4f}")

关键输出：

GBM 估计 (5 年日数据): sigma_hat = 0.3013 (SE 0.0060), mu_hat = 0.1588 (SE 约 0.1348)
P=80, K=90: call = 0.73 (delta 0.1767), put = 8.95, 平价检验 p-c - (K e^-rT - P) = -1.8e-15
P=80, K=81: call = 3.49 (delta 0.5500), put = 2.89, 平价检验 p-c - (K e^-rT - P) = 0.0e+00
调仓  13 次: 对冲误差均值 -0.002, 标准差 0.758
调仓  63 次: 对冲误差均值 -0.002, 标准差 0.349
调仓 252 次: 对冲误差均值  0.000, 标准差 0.177

Kou 跳跃扩散 (例 6.8): call = 3.913 ± 0.008, put = 3.310 ± 0.007  (原书 3.92 / 3.31)
  折现价格鞅检验: E*[e^-rT P_T] = 79.999 (应为 80)
  行权价  跳跃扩散call  BS隐含波动率
     70       11.758       0.2321
     75        7.664       0.2294
     80        4.435       0.2272
     85        2.246       0.2254
     90        0.992       0.2241

结果说明：5 年日数据下 \(\hat\sigma\) 的标准误只有 0.6%，\(\hat\mu\) 的标准误约 13%（真值 10%，估计值 15.9%）；BS 价格与原书例题一致；对冲误差均值约为 0（真实漂移 15% 不影响对冲结果，印证了风险中性），标准差随调仓次数翻 4 倍而大约减半；Kou 模型的蒙特卡洛价格与原书 3.92/3.31 一致（看涨的 95% 置信区间 3.905–3.921），折现价格的风险中性期望等于现价；隐含波动率随行权价下降，即负均值跳跃产生了向左倾斜的偏斜。

本章小结

维纳过程是连续时间的白噪声：增量独立、方差与时间成正比、路径连续但不可微。Itô 引理的全部秘密在于 \((dw_t)^2=dt\)，它带来二阶修正项，使对数价格的漂移变为 \(\mu-\sigma^2/2\)，也使 \(\int w\,dw=\frac12(w_t^2-t)\)。从统计角度，GBM 的 \(\sigma\) 可以用高频数据精确估计，而 \(\mu\) 的精度只取决于时间跨度，实际上几乎不可估——幸运的是，通过 delta 对冲与无套利得到的 Black–Scholes 方程不含 \(\mu\)，期权价格只依赖 \(\sigma\)。跳跃扩散在 GBM 上叠加泊松跳，产生尖峰厚尾和偏斜，但市场不完备，需要额外假设才能定价，风险中性漂移要减去 \(\lambda\psi\)。从离散数据估计一般扩散方程有 QML、矩方法、非参数、EMM、MCMC 等方法。

练习

基础

1. （原书习题 6.1）对数价格 \(dp_t=\gamma\,dt+\sigma\,dw_t\)，推导 \(P_t=e^{p_t}\) 的随机微分方程。 提示：\(dP_t=(\gamma+\sigma^2/2)P_tdt+\sigma P_tdw_t\)。
2. （原书习题 6.2）无股息股票的远期价格 \(F_{t,T}=P_te^{r(T-t)}\)，\(P_t\) 为 GBM，推导 \(F_{t,T}\) 的扩散方程。 提示：\(dF=(\mu-r)F\,dt+\sigma F\,dw_t\)。
3. （原书习题 6.3）IBM 1997 年日对数收益均值 0.00131、标准差 0.02215，252 个交易日，估计 \(\mu\)、\(\sigma\)，并给出 \(\hat\mu\) 的近似标准误。 提示：\(\hat\sigma=0.3516\)，\(\hat\mu=0.3301+0.0618=0.3919\)；SE 约 0.35，估计毫无精度可言。
4. （原书习题 6.4）\(P_t=120\)，\(\sigma=50\%\)，\(r=7\%\)，无股息：(a) \(K=125\)、3 个月欧式 call；(b) \(K=118\)、3 个月欧式 put；(c) \(\sigma=80\%\) 时两者价格。 提示：(a) 10.71；(b) 9.82；(c) 17.86、16.75。
5. （原书习题 6.9、6.10）(a) \(P_t=20\)，\(K=18\)，\(r=6\%\)，\(\tau=0.5\)，call 售价 2.10，有无套利？(b) \(P_t=44\)，\(K=47\)，put 售价 1.00 呢？ 提示：(a) 下界 \(20-18e^{-0.03}=2.53>2.10\)，买 call、卖空股票；(b) 下界 \(47e^{-0.03}-44=1.61>1.00\)，买 put、买股票、借入资金。

进阶

6. （原书习题 6.6、6.7）\(P_t=60\)，\(\mu=20\%\)，\(\sigma=40\%\)。求 2 年后股价的均值、标准差、95% 区间，以及 2 年连续复利年化收益率的分布。（原书题目中 SDE 把 \(dw_t\) 印成了 \(dt\)。） 提示：\(E=89.51\)，SD\(=54.97\)；\(\ln P_T\sim N(4.334,0.32)\)，95% 区间约 (25.2, 231.2)；年化收益率 \(\sim N(0.12,0.08)\)，标准差 28.3%。
7. 用 Itô 引理计算 \(d(w_t^3)\)，并由此求 \(\int_0^tw_s^2\,dw_s\)。 提示：\(d(w^3)=3w^2dw+3w\,dt\)，所以 \(\int w^2dw=\frac13w_t^3-\int_0^tw_sds\)。
8. （原书习题 6.5）推导五个变量对欧式看跌期权价格的极限边际效应。
9. （原书习题 6.8）跳跃扩散：\(P_t=70\)，\(r=8\%\)，\(\sigma=30\%\)，每年约 15 次跳，平均跳幅 −2%，跳幅标准误 3%（即 \(\kappa=-0.02\)，\(\eta=0.03\)）。用本章蒙特卡洛代码计算 \(K=75\)、3 个月欧式 call 和 put 价格，并与 BS 价格比较。 提示：蒙特卡洛约为 call 3.40、put 6.92；BS 为 2.76、6.27。
10. 修改本章 Delta 对冲代码，加入比例交易成本（如成交额的 0.05%），找出使"对冲误差方差 + 交易成本"最小的调仓次数。

原书推荐习题：6.1、6.2（Itô 引理基本功）；6.3（用真实统计量估计 GBM 参数）；6.4、6.5（BS 定价与比较静态）；6.8（跳跃扩散定价）；6.9、6.10（无套利下界）。

原书对照

（原书印刷页码约等于 PDF 页码减 20。）