第 03b 章 非对称波动率、随机波动率与已实现波动率

对应 Tsay 第 3 章后半部分（3.8–3.15 节）。第 03a 章的 ARCH/GARCH 对正负冲击一视同仁；本章先介绍刻画杠杆效应的 EGARCH 与 TGARCH（GJR），再简介用随机系数或随机新息产生条件异方差的 CHARMA、RCA、SV 与长记忆 SV，接着看两个把外生变量放进波动方程的应用（夏季效应、成分股对指数波动的贡献），最后讨论不依赖 GARCH 的两类波动估计：已实现波动率与开高低收（OHLC）估计量。

学习目标

读完本章，你应当能够：

1. 写出 EGARCH 的加权新息 \(g(\epsilon_t)\) 与模型形式，解释为什么它不需要正性约束、如何刻画杠杆效应，并会做 EGARCH 的多步预测。
2. 写出 TGARCH（GJR）模型，计算正负冲击对下一期方差的相对影响，比较 EGARCH 与 TGARCH 的结论。
3. 说出 CHARMA、RCA、SV、LMSV 各自的构造思路、与 GARCH 的区别和估计难点。
4. 会在波动方程中加入外生变量（季节虚拟变量、其他资产收益），并解释系数。
5. 计算并理解已实现波动率，知道微观结构噪声和隔夜收益带来的偏差，以及采样频率的取舍。
6. 掌握 Parkinson、Garman–Klass、Rogers–Satchell、Yang–Zhang 等 OHLC 估计量及其效率与偏差来源。

读前导读

这一章在解决什么问题

第 03a 章的 GARCH 有一个明显不符合市场经验的地方：涨 5% 和跌 5% 对明天波动的影响一样大。可任何做过风险管理的人都知道，大跌之后波动会飙升，大涨之后则平静得多。这一章前半部分处理这种不对称（杠杆效应），后半部分处理另一个实际问题：能不能不靠模型，直接从数据里把波动"量"出来。

几个与你已有知识的连接：

• 杠杆效应这个名字来自公司财务：股价下跌 → 权益市值下降 → 财务杠杆（负债/权益）上升 → 权益风险上升。你在 CFA 公司金融里学过"杠杆放大权益 beta"，这里是同一个逻辑作用在波动上。它也是股指期权波动率偏斜（虚值看跌期权的隐含波动更高）的一个时间序列解释。
• EGARCH 对 \(\ln\sigma_t^2\) 建模，就像对价格建模时用对数价格：保证结果为正，并把乘法关系变成加法关系。
• 随机波动率（SV） 与 GARCH 的区别，类似"利率由已知因素决定"与"利率本身受随机冲击"的区别。期权定价里的 Heston 模型就是连续时间的 SV。
• 已实现波动率和 OHLC 估计量 是数据工程：你手上的日线有开高低收四个价格，只用收盘价等于扔掉了大部分信息。Parkinson 用最高最低价，一天的数据顶得上收盘价估计五天多。

需要先想起来的数学

1. 指数和对数的运算。 \(e^{a+b}=e^ae^b\)，\((e^a)^b=e^{ab}\)，\(\ln(xy)=\ln x+\ln y\)。EGARCH 从 \(\ln\sigma_t^2\) 的方程取指数得到 \(\sigma_t^2\) 时，加法变乘法、系数变指数。例：\(\ln\sigma_t^2=0.9\ln\sigma_{t-1}^2+c\) 等价于 \(\sigma_t^2=(\sigma_{t-1}^2)^{0.9}e^c\)。见 第 00 册第 04 章 级数与收敛。

2. 积分与"配方"。 计算 \(E[e^{cX}]\)（\(X\) 为标准正态）时，把 \(e^{cx}e^{-x^2/2}\) 的指数配方成 \(-(x-c)^2/2+c^2/2\)，积分就变成一个平移后的正态密度的积分。只对半轴积分时，结果里会出现正态 CDF \(\Phi\)。见 第 00 册第 03 章 积分。

3. 对数正态的矩。 若 \(Y\sim N(\mu,s^2)\)，则 \(E(e^Y)=e^{\mu+s^2/2}\)，\(E(e^{2Y})=e^{2\mu+2s^2}\)。第 01 章 (1.17) 用过，本章 SV 模型的矩和峰度完全靠它算出。

4. 二次型。 \(\mathbf x'\boldsymbol\Omega\mathbf x=\sum_i\sum_j\omega_{ij}x_ix_j\)，就是组合方差 \(\mathbf w'\boldsymbol\Sigma\mathbf w\) 的写法。\(\boldsymbol\Omega\) 非负定保证结果非负，正如协方差矩阵保证组合方差非负。CHARMA、RCA 的条件方差都是这个形式。见 第 00 册第 06 章 线性代数速成。

5. 和的方差。 \(\operatorname{Var}(\sum r_i)=\sum\operatorname{Var}(r_i)+2\sum_{i<j}\operatorname{Cov}(r_i,r_j)\)。用日收益估月波动、用分钟收益估日波动（已实现波动），都从这条式子出发。见 第 00 册第 07 章 概率中的分析工具。

怎么读这一章

核心必读：3.8.1–3.8.2（EGARCH 的 \(g(\epsilon)\) 与不对称）、3.8.4 IBM 例中"负冲击比正冲击高 37%"的算法、3.9 TGARCH 全节、3.15 全节（已实现波动与 OHLC 估计量，实务价值最高）。3.8.5 EGARCH 预测的积分推导第一次可以只看结论（"多步预测要乘一个常数因子 \(E[e^{g(\epsilon)}]\)"）。3.10 CHARMA、3.11 RCA 了解思路即可。3.12 SV 要读懂"波动是隐变量"这一核心区别，矩公式可以跳过。3.13 LMSV 只需记住 \(d\approx0.38\) 这个实证结论。3.14 两个外生变量例子快速浏览，重点看夏季效应的量化方法。建议顺序：3.9 → 3.8 → 3.15 → 3.12 → 3.14 → 其余。

3.8 指数 GARCH（EGARCH）模型

3.8.1 加权新息与不对称性

GARCH 用 \(a_{t-1}^2\) 驱动波动，正负冲击的影响相同。Nelson（1991）为了刻画不对称效应，引入加权新息（weighted innovation）

\(\theta\)、\(\gamma\) 为实常数。\(\epsilon_t\) 与 \(|\epsilon_t|-E(|\epsilon_t|)\) 都是零均值 iid 序列，所以 \(E[g(\epsilon_t)]=0\)。把它按正负拆开：

正冲击的斜率是 \(\theta+\gamma\)，负冲击的斜率是 \(\theta-\gamma\)，二者不同即产生不对称。

白话解释：\(g(\epsilon)\) 的两部分各管一件事。 \(\gamma[|\epsilon|-E|\epsilon|]\) 管"大小"：不论方向，冲击比平常大（\(|\epsilon|>E|\epsilon|\)）就推高波动，比平常小就压低波动。减去 \(E|\epsilon|\) 是为了让它平均为零。这部分相当于 GARCH 里的 \(\alpha_1a_{t-1}^2\)。 \(\theta\epsilon\) 管"方向"：\(\theta<0\) 时，负冲击（\(\epsilon<0\)）让 \(\theta\epsilon>0\)，额外推高波动；正冲击则额外压低波动。这部分是 GARCH 没有的。 数值：IBM 例 \(\gamma=0.2647\)、\(\theta=-0.0795\)。跌 2 个标准差，\(g=-0.0795\times(-2)+0.2647\times(2-0.798)=0.159+0.318=0.477\)；涨 2 个标准差，\(g=-0.159+0.318=0.159\)。前者推高对数方差 0.477，后者只推高 0.159。 正态下 \(E|\epsilon|=\sqrt{2/\pi}\approx0.798\)：标准正态绝对值的平均约 0.8 个标准差，可以由 \(2\int_0^\infty x\phi(x)\,dx\) 算出。常用的绝对矩：标准正态 \(E|\epsilon_t|=\sqrt{2/\pi}\)；标准化 t 分布 (3.7) 下

3.8.2 EGARCH 模型

EGARCH(\(m,s\))：

\(\alpha_0\) 为常数，\(B\) 为后移算子，分子分母多项式的零点都在单位圆外且无公因子。它用 ARMA 的形式参数化对数条件方差，\(\ln\sigma_t^2\) 的无条件均值为 \(\alpha_0\)。与 GARCH 的两个区别：

1. 对数条件方差：\(\sigma_t^2=\exp(\cdot)\) 自动为正，放松了系数的正性约束；
2. 用 \(g(\epsilon_t)\)：模型对正负滞后冲击反应不对称。

EGARCH(1,1)（\(\epsilon_t\) 标准正态）：

按 \(\epsilon_{t-1}\) 的符号写开：

其中 \(\alpha_*=(1-\alpha)\alpha_0-\sqrt{2/\pi}\gamma\)。这类似 Tong（1978, 1990）的门限自回归（TAR）非线性函数（第 04a 章）。取指数，

\(\theta\ne0\) 时模型非线性且不对称。负冲击通常对波动影响更大，所以预期 \(\theta<0\)。注意 EGARCH 中驱动波动的是标准化冲击 \(a_{t-1}/\sigma_{t-1}\) 的绝对值（而非平方），对孤立的极端冲击反应比 GARCH 温和。

推导拆解：从 (3.26) 到上面的乘法形式。 第一步：把 \((1-\alpha B)\ln\sigma_t^2\) 展开成 \(\ln\sigma_t^2-\alpha\ln\sigma_{t-1}^2\)，移项得 \(\ln\sigma_t^2=\alpha\ln\sigma_{t-1}^2+\alpha_*+(\text{分段线性项})\)。 第二步：两边取指数。\(e^{\alpha\ln\sigma_{t-1}^2}=(\sigma_{t-1}^2)^\alpha=\sigma_{t-1}^{2\alpha}\)；加法变乘法，得到三个因子相乘。 第三步：\(\epsilon_{t-1}=a_{t-1}/\sigma_{t-1}\) 代入即得。 金融直觉：乘法形式意味着冲击对方差的影响是按比例的：同样 2 个标准差的下跌，无论当前波动是 10% 还是 40%，都让方差乘以同一个倍数。GARCH 则是加法：\(\alpha_1a_{t-1}^2\) 加到方差上。另外，EGARCH 用 \(|\epsilon|\)（一次方）而 GARCH 用 \(a^2\)（平方），所以一个 6 倍标准差的孤立冲击在 GARCH 里贡献 36 倍的"单位冲击"，在 EGARCH 的指数里只是 6 倍，这就是"对孤立极端冲击反应更温和"的含义。

替代形式（S-Plus 与许多软件采用）：

正的 \(a_{t-i}\) 对对数波动贡献 \(\alpha_i(1+\gamma_i)|\epsilon_{t-i}|\)，负的贡献 \(\alpha_i(1-\gamma_i)|\epsilon_{t-i}|\)，\(\gamma_i\) 即杠杆效应参数，实践中预期为负。（Python arch 包的 EGARCH 写作 \(\ln\sigma_t^2=\omega+\alpha(|\epsilon_{t-1}|-\sqrt{2/\pi})+\gamma\epsilon_{t-1}+\beta\ln\sigma_{t-1}^2\)，其中 \(\gamma\) 对应 (3.24) 的 \(\theta\)、\(\alpha\) 对应 \(\gamma\)，杠杆效应表现为 \(\gamma<0\)。）

3.8.3 例：Nelson（1991）

CRSP 市值加权指数日超额收益（1962-07—1987-12，6408 个观测；超额收益用月度国库券收益扣除，假设月内每日相同）：

\(N_t\) 为 \(t-1\) 与 \(t\) 之间的非交易日数（刻画周末与假日效应），\(\epsilon_t\) 服从 GED。原书表 3.3 的估计：\(\alpha_0=-10.06\)（0.346），\(w=0.183\)（0.028），\(\gamma=0.156\)（0.013），\(\alpha_1=1.929\)（0.015），\(\alpha_2=-0.929\)（0.015），\(\beta=-0.978\)（0.006），\(\theta=-0.118\)（0.009），\(\phi_0=3.5\times10^{-4}\)，\(\phi_1=0.205\)（0.012），\(c=-3.361\)（2.026），GED 参数 \(v=1.576\)（0.032）。

要点：\(\theta<0\) 且高度显著，杠杆效应明确；\(w>0\)，周末后的波动更大但远小于"按日历日线性累加"；均值方程用 AR(1) 处理日指数收益的序列相关，用 \(\sigma_t^2\) 作回归元刻画风险溢价，估计为负但不显著；GED 参数 1.576<2，新息厚尾。

3.8.4 例：IBM 月对数收益

IBM 月对数收益（1926-01—1997-12，864 个观测），AR(1)–EGARCH(1,1)：

\(\epsilon_t\) 标准正态，参数均在 5% 水平显著。\(\tilde a_t\) 的 \(Q(10)=6.31\)（p=0.71）、\(Q(20)=21.4\)（p=0.32）；\(\tilde a_t^2\) 的 \(Q(10)=4.13\)（p=0.90）、\(Q(20)=15.93\)（p=0.66），模型充分。

用 \(\sqrt{2/\pi}\approx0.7979\) 展开：常数项 \((1-0.856)(-5.496)-0.2647\times0.7979\approx-1.001\)；正冲击斜率 \(0.2647-0.0795=0.1852\)，负冲击斜率 \(-(0.2647+0.0795)=-0.3442\)。于是

比较两倍标准差的正负冲击：

负冲击对波动的影响比同幅正冲击高约 37.4%，且冲击越大，差距越大（比值随 \(|\epsilon|\) 指数增长）。

把样本延长到 2003 年（936 个观测），用 (3.28) 形式和 GED 新息：GED 参数 1.5003（0.0991），

杠杆参数 −0.264（t=−2.094），5% 水平显著；\(\tilde a_t\) 的 \(Q(12)=17.87\)（p=0.12），\(\tilde a_t^2\) 的 \(Q(12)=6.72\)（p=0.88），模型充分。（原书此处称"fitted GARCH(1,1)"，实为 EGARCH(1,1)。）

3.8.5 EGARCH 的预测

设参数已知、新息标准正态。EGARCH(1,1) 写成 \(\ln\sigma_t^2=(1-\alpha_1)\alpha_0+\alpha_1\ln\sigma_{t-1}^2+g(\epsilon_{t-1})\)，取指数：

1 步：\(\hat\sigma_h^2(1)=\sigma_{h+1}^2=\sigma_h^{2\alpha_1}\exp[(1-\alpha_1)\alpha_0]\exp[g(\epsilon_h)]\)，右边全部已知。

2 步：\(\hat\sigma_h^2(2)=\hat\sigma_h^{2\alpha_1}(1)\exp[(1-\alpha_1)\alpha_0]\,E_h\{\exp[g(\epsilon_{h+1})]\}\)。需要计算 \(E\{\exp[g(\epsilon)]\}\)，对正负半轴分别积分正态密度：

推导拆解：为什么要这一步、积分怎么来。 第一步：\(\sigma_{h+2}^2\) 依赖 \(g(\epsilon_{h+1})\)，而 \(\epsilon_{h+1}\) 在原点 \(h\) 还没发生，所以要对它取期望。\(\exp[g(\epsilon_{h+1})]\) 与 \(\sigma_{h+1}^2\)（已知）独立，可以拆开。 第二步：\(g\) 分正负两段，所以把期望 \(\int e^{g(x)}\phi(x)\,dx\) 拆成 \(x\ge0\) 与 \(x<0\) 两个积分；两段共有的常数 \(e^{-\gamma\sqrt{2/\pi}}\) 提到外面。 第三步（配方）：\(e^{cx}\phi(x)=\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{cx-x^2/2}=e^{c^2/2}\cdot\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-(x-c)^2/2}\)。后一个因子是均值为 \(c\) 的正态密度，在 \([0,\infty)\) 上积分等于 \(P(N(c,1)\ge0)=\Phi(c)\)。 结论：多步预测每往前一步，就乘一个常数因子。注意 \(E[e^{g}]\ne e^{E[g]}=1\)，由 Jensen 不等式它大于 1，这和第 01 章对数正态需要 \(\sigma^2/2\) 修正是同一个道理：对对数方差做预测后不能直接取指数。

利用 \(\int_0^\infty e^{cx}\phi(x)dx=e^{c^2/2}\Phi(c)\)（配方即得）和 \(\int_{-\infty}^0e^{cx}\phi(x)dx=e^{c^2/2}\Phi(-c)\)，

于是得到递推

（严格说，\(j\ge3\) 时用 \(\hat\sigma_h^{2\alpha_1}(j-1)\) 代替 \(E_h[\sigma_{h+j-1}^{2\alpha_1}]\) 是一种近似。）

例：IBM 的 AR(1)–EGARCH(1,1)，原点 \(t=864\)：\(\hat\sigma_{864}^2(1)=6.05\times10^{-3}\)，\(\hat\sigma_{864}^2(2)=5.82\times10^{-3}\)，\(\hat\sigma_{864}^2(3)=5.63\times10^{-3}\)，\(\hat\sigma_{864}^2(10)=4.94\times10^{-3}\)，逐渐收敛到冲击序列的样本方差 \(4.37\times10^{-3}\)。

3.9 门限 GARCH（TGARCH / GJR）模型

另一个处理杠杆效应的常用模型来自 Glosten–Jagannathan–Runkle（1993）与 Zakoian（1994），通常称 GJR 模型。TGARCH(\(m,s\))：

\(N_{t-i}\) 为负冲击的指示变量：\(a_{t-i}<0\) 时为 1，否则为 0。\(\alpha_i,\gamma_i,\beta_j\) 非负，并满足类似 GARCH 的条件。正冲击对 \(\sigma_t^2\) 贡献 \(\alpha_ia_{t-i}^2\)，负冲击贡献 \((\alpha_i+\gamma_i)a_{t-i}^2\)，\(\gamma_i>0\) 时负冲击影响更大。模型以 0 为门限区分冲击，也可以用其他门限（第 04a 章）。它保留了 GARCH 的二次结构，因而均值回复、预测等性质与 GARCH 几乎一样易于推导：例如正态新息下 \(P(a<0)=1/2\)，持续性为 \(\alpha_1+\gamma_1/2+\beta_1\)。

例：IBM 月对数收益（1926–2003），GED 新息 TGARCH(1,1)：

GED 参数 1.51（0.099）；标准误：均值 0.002，波动方程 \(1.26\times10^{-4}\)、0.0314、0.0395、0.049。\(\tilde a_t\) 的 \(Q(12)=18.34\)（p=0.106），\(\tilde a_t^2\) 的 \(Q(12)=5.36\)（p=0.95），模型充分；杠杆效应在 5% 水平显著。

EGARCH 与 TGARCH 的比较（\(\epsilon_{t-1}=\pm2\)，即 \(a_{t-1}=\pm2\sigma_{t-1}\)）。

EGARCH (3.32)：\(\epsilon_{t-1}=-2\) 时对数波动贡献 \(0.22(2+0.528)\)，\(\epsilon_{t-1}=+2\) 时为 \(0.22(2-0.528)\)，差为 \(0.22\times2\times0.528\approx0.232\)，所以方差之比约 \(e^{0.232}\approx1.26\)。

更正：原书此处的指数写作 \(e^{0.22\times2\times0.632}\)，按此计算得 1.32，与其给出的结果 1.264 不符；正确的指数是 \(0.22\times2\times(2\times0.264)=0.232\)，结果约 1.26。

TGARCH (3.35)：忽略常数项，

两个模型给出的杠杆效应相近：两倍标准差的负冲击使下一期方差比同幅正冲击高 26%–31%。

金融直觉：把它翻译成风险管理的语言。月度波动若原本 8%，一次 \(-16\%\) 的月度下跌（\(\epsilon=-2\)）之后，下月方差比一次 \(+16\%\) 上涨之后高约 30%，即波动高约 \(\sqrt{1.3}-1\approx14\%\)。如果用对称 GARCH 做 VaR，下跌之后的风险会被系统性低估，上涨之后则被高估。 从持续性公式 \(\alpha_1+\gamma_1/2+\beta_1\) 还能看出 GJR 的一个细节：\(\gamma_1\) 只在一半的日子（下跌日）起作用，所以平均只贡献 \(\gamma_1/2\)。估出的 \(\gamma_1\) 看着不大，长期方差 \(\alpha_0/(1-\alpha_1-\gamma_1/2-\beta_1)\) 却可能对它很敏感。

新闻冲击曲线（news impact curve）是比较这类模型的直观工具：固定 \(\sigma_{t-1}^2\) 为长期水平，把 \(\sigma_t^2\) 画成 \(a_{t-1}\) 的函数。GARCH 是关于 0 对称的抛物线；GJR 是左右两支开口不同的抛物线；EGARCH 是左右两支斜率不同的指数曲线，对极端冲击的增长更快但起点更平。

3.10 CHARMA 模型

条件异方差自回归移动平均模型（conditional heteroscedastic ARMA, CHARMA；Tsay 1987）用随机系数产生条件异方差。它与 ARCH 机制不同，但二阶条件性质相似：

\(\{\eta_t\}\) 为零均值、方差 \(\sigma_\eta^2\) 的高斯白噪声；\(\{\boldsymbol\delta_t\}=\{(\delta_{1t},\dots,\delta_{mt})'\}\) 为零均值、协方差矩阵 \(\boldsymbol\Omega\)（非负定）的 iid 随机向量序列，与 \(\{\eta_t\}\) 独立。记 \(\mathbf a_{t-1}=(a_{t-1},\dots,a_{t-m})'\)，则 \(a_t=\mathbf a_{t-1}'\boldsymbol\delta_t+\eta_t\)，条件方差为

• \(m=1\)：\(\sigma_t^2=\sigma_\eta^2+\omega_{11}a_{t-1}^2\)，即 ARCH(1)；
• \(m=2\)：\(\sigma_t^2=\sigma_\eta^2+\omega_{11}a_{t-1}^2+2\omega_{12}a_{t-1}a_{t-2}+\omega_{22}a_{t-2}^2\)，比 ARCH(2) 多一个交叉项；
• \(\boldsymbol\Omega\) 对角时等价于 ARCH(\(m\))。

推导拆解：(3.37) 为什么成立。给定过去，\(\mathbf a_{t-1}\) 是已知的常数向量，\(a_t=\mathbf a_{t-1}'\boldsymbol\delta_t+\eta_t\) 就是"随机向量 \(\boldsymbol\delta_t\) 的一个线性组合 + 独立噪声"。线性组合的方差 \(=\mathbf w'\operatorname{Cov}(\boldsymbol\delta)\mathbf w\)，这正是你熟悉的组合方差公式 \(\mathbf w'\boldsymbol\Sigma\mathbf w\)，只是这里"权重"是过去的冲击 \(\mathbf a_{t-1}\)、"资产收益"是随机系数 \(\boldsymbol\delta_t\)。再加上独立的 \(\eta_t\) 的方差 \(\sigma_\eta^2\) 即得。

由于 \(\boldsymbol\Omega\) 非负定、\(\sigma_\eta^2>0\)，自动有 \(\sigma_t^2\ge\sigma_\eta^2>0\)，这正实现了第 03a 章 (3.6) 的一般二次形式。与 ARCH 的区别：(1) 波动方程含滞后冲击的交叉乘积，可以表示过去收益之间的交互作用，但交叉项个数随 \(m\) 快速增加，需要约束；(2) 高阶性质更难推导。

例：S&P 500 月超额收益，\(r_t=\phi_0+a_t\)，\(a_t=\delta_{1t}a_{t-1}+\delta_{2t}a_{t-2}+\eta_t\)：

交叉项 t=−1.63，10% 水平边缘显著。扩展到三阶并设 \(\delta_{3t}\) 与 \((\delta_{1t},\delta_{2t})\) 不相关：

所有估计在 5% 水平显著。\(a_t=r_t-0.0068\) 是月超额收益对均值的偏离，近似地

前两期偏离方向相反（\(a_{t-1}a_{t-2}<0\)）时条件方差略大——价格"来回震荡"预示着更高的波动。

解释变量的影响。CHARMA 很容易推广为波动依赖解释变量的模型：

\(\boldsymbol\delta_t\)、\(\eta_t\) 同 (3.36)，于是 \(\sigma_t^2=\sigma_\eta^2+(x_{1,t-1},\dots,x_{m,t-1})\boldsymbol\Omega(x_{1,t-1},\dots,x_{m,t-1})'\)。解释变量可以包含 \(a_t\) 的滞后值，也可以是成交量、其他资产收益等。

3.11 随机系数自回归（RCA）模型

RCA 模型原用于刻画不同研究对象之间的异质性（类似面板数据与分层模型），历史上也用于让参数随时间演化以更好地描述条件均值；Tsay 把它归入条件异方差模型。RCA(\(p\))（Nicholls & Quinn 1982）：

\(\{\boldsymbol\delta_t\}=\{(\delta_{1t},\dots,\delta_{pt})'\}\) 为零均值、协方差矩阵 \(\boldsymbol\Omega_\delta\) 的独立随机向量序列，与 \(\{a_t\}\) 独立。条件矩为

形式与 CHARMA 相同。细微区别在于：RCA 的波动是滞后观测值 \(r_{t-i}\) 的二次函数，CHARMA 是滞后新息 \(a_{t-i}\) 的二次函数。

3.12 随机波动率（SV）模型

另一种思路是在条件方差方程中引入独立的新息（Melino & Turnbull 1990；Taylor 1994；Harvey–Ruiz–Shephard 1994；Jacquier–Polson–Rossi 1994）。与 EGARCH 一样用 \(\ln\sigma_t^2\) 保证正性。SV 模型：

\(\epsilon_t\) iid \(N(0,1)\)，\(v_t\) iid \(N(0,\sigma_v^2)\)，二者独立；\(1-\sum\alpha_iB^i\) 的零点模长大于 1。

与 GARCH 的本质区别是：GARCH 中 \(\sigma_t^2\) 是过去观测的确定性函数，给定过去就完全已知；SV 中 \(\sigma_t^2\) 本身受独立冲击 \(v_t\) 驱动，给定过去收益仍是随机的，是一个隐变量。新息 \(v_t\) 显著增加了模型的灵活性，但也大大增加了估计难度：每个观测对应两个新息 \(\epsilon_t\) 和 \(v_t\)，似然函数没有闭式，要通过 Kalman 滤波的拟似然（quasi-likelihood）或蒙特卡洛方法估计。Jacquier–Polson–Rossi（1994）比较了拟似然与 MCMC 方法，原书第 12 章（本册第 12b 章）介绍 MCMC 估计。

\(m=1\) 时的性质（Jacquier–Polson–Rossi 1994 附录）：

更正：精读笔记指出原书 \(E(a_t^4)\) 中写成 \(2\mu_h^2\) 为排印错误。由 \(E(a_t^4)=E(\epsilon_t^4)E(\sigma_t^4)=3E[\exp(2\ln\sigma_t^2)]=3\exp(2\mu_h+2\sigma_h^2)\) 可知正确形式如上。

推导拆解：这几个矩的来源。 第一步：\(\ln\sigma_t^2\) 是一个 AR(1)，\(v_t\) 正态，所以它本身正态，均值和方差直接套第 02a 章 AR(1) 公式：\(\mu_h=\alpha_0/(1-\alpha_1)\)，\(\sigma_h^2=\sigma_v^2/(1-\alpha_1^2)\)。 第二步：\(E(a_t^2)=E(\sigma_t^2)E(\epsilon_t^2)=E(e^{\ln\sigma_t^2})\)，正是对数正态均值 \(e^{\mu_h+\sigma_h^2/2}\)。 第三步：\(E(a_t^4)=E(\epsilon_t^4)E(\sigma_t^4)=3E(e^{2\ln\sigma_t^2})\)，而 \(2\ln\sigma_t^2\sim N(2\mu_h,4\sigma_h^2)\)，得 \(3e^{2\mu_h+2\sigma_h^2}\)。 第四步：峰度 \(=3e^{2\mu_h+2\sigma_h^2}/e^{2\mu_h+\sigma_h^2}=3e^{\sigma_h^2}\)。 数值：若对数方差的标准差 \(\sigma_h=0.5\)（此时 \(\ln\sigma_t\) 的标准差为 0.25，波动常在其典型水平的 \(e^{\pm0.25}\) 倍，即约 0.78–1.28 倍之间摆动），峰度 \(=3e^{0.25}\approx3.85\)；\(\sigma_h=1\) 时约 8.2。 白话解释：GARCH 与 SV 的本质区别可以用一句话说：GARCH 里，只要知道昨天的收益和昨天的方差，今天的方差就算得出来；SV 里，即使知道全部历史，今天的方差仍是猜出来的，因为它还受一个看不见的冲击 \(v_t\) 影响。前者似然函数能直接写出来（第 01 章模板），后者不能，必须把看不见的 \(\sigma_t\) 积分掉，这就是估计难的原因。

由此 SV 的峰度为 \(E(a_t^4)/[E(a_t^2)]^2=3\exp(\sigma_h^2)>3\)：对数波动的随机性越大，尾部越厚——又一次是"正态尺度混合产生厚尾"。平方收益的自相关以 \(\alpha_1^i\) 的速度（嵌在指数里）衰减。经验上 SV 常能改善样本内拟合，但对样本外波动预测的贡献好坏参半。

3.13 长记忆随机波动率（LMSV）模型

动机：收益本身无序列相关，但其平方或绝对值的 ACF 衰减很慢（Ding–Granger–Engle 1993；第 02b 章）。原书图 3.10 是 S&P 500 指数与 IBM 日绝对对数收益（1962-07-03—2003-12-31）的 ACF：为正、数值中等、缓慢衰减，200 阶以内仍在 5% 界外。

LMSV 模型：

\(\sigma>0\)，\(\epsilon_t\) iid \(N(0,1)\)，\(\eta_t\) iid \(N(0,\sigma_\eta^2)\) 且独立于 \(\epsilon_t\)，\(0<d<0.5\)。分数差分使 \(u_t\) 的 ACF 按多项式（双曲）速率衰减。对 \(a_t^2\) 取对数：

即一个高斯长记忆信号 \(u_t\) 加上一个非高斯白噪声 \(e_t\)（Breidt–Crato–de Lima 1998）。完整估计很复杂，但 \(d\) 可以用拟极大似然或回归方法（如第 02b 章的对数周期图回归）估计。用 S&P 500 成分股日收益平方的对数，Bollerslev & Jubinski（1999）、Ray & Tsay（2000）发现 \(d\) 的中位数约 0.38。Ray & Tsay（2000）还发现同一行业的公司有更多共同的长记忆成分（如美国大型全国性银行与金融机构）。

3.14 应用：在波动方程中加入外生变量

数据：IBM 与 S&P 500 月对数收益（1926-01—1999-12，888 个观测，百分比，含分红），用 RATS 估计。

3.14.1 例 3.4：夏季效应

问题：股票波动在夏季是否更低、低多少？这对期权定价有实际意义。IBM 的高斯 GARCH(1,1)：

标准误：均值方程 0.222、0.037；波动方程 0.947、0.021、0.037。\(\tilde a_t\) 的 \(Q(10)=7.82\)（p=0.553）、\(Q(20)=21.22\)（p=0.325）；\(\tilde a_t^2\) 的 \(Q(10)=2.89\)（p=0.98）、\(Q(20)=7.26\)（p=0.99），模型充分。定义夏季指示变量

波动方程改为

相当于夏季与非夏季各有一个 GARCH(1,1)。\(\alpha_{10},\beta_{10}\) 在 10% 水平不显著，精简为

标准误：均值 0.218、0.037；波动 1.071、0.022、0.037、1.900。诊断统计量（\(\tilde a_t\) 的 \(Q(10)=7.66\)、\(Q(20)=21.64\)；\(\tilde a_t^2\) 的 \(Q(10)=3.38\)、\(Q(20)=6.82\)）显示模型充分。

结论：(1) 夏季系数 −5.154 显著（p=0.0067），1% 水平下夏季效应显著且为负——夏季波动更低；(2) 夏季常数项 \(4.539-5.154=-0.615\) 为负，违反直觉（方差的常数项应为正），但两个系数的标准误都较大，差值可能不显著。

更正：原书正文此处写作 −5.514，与式 (3.44) 中的 −5.154 不一致；由 \(4.539-5.154=-0.615\) 可知式中的 −5.154 正确，正文 −5.514 为排印错误。

于是施加"夏季常数为零"的约束，\(\sigma_t^2=\alpha_1a_{t-1}^2+\beta_1\sigma_{t-1}^2+\gamma(1-u_t)\)：

标准误：均值 0.219、0.038；波动 0.022、0.034、1.094；诊断统计量与前相近且不显著。

量化夏季效应：1999 年 IBM 的 \(a_t^2\) 与 \(\sigma_t^2\) 中位数分别为 29.4 和 75.1。代入 (3.45)，夏季 \(\sigma_t^2=0.114\times29.4+0.811\times75.1=64.3\)，其他月份为 \(64.3+4.552=68.8\)，比值约 93%，即夏季月对数收益的波动降低约 7%（以方差计；以标准差计约 3.4%）。

3.14.2 例 3.5：成分股收益对指数波动的贡献

S&P 500 月对数收益的一个特殊 GARCH(2,1)（只含 \(a_{t-2}^2\)）：

标准误 0.138；0.214、0.021、0.017；诊断充分（\(\tilde a_t\) 的 \(Q(10)=11.51\)、\(Q(20)=23.71\)，\(\tilde a_t^2\) 的 \(Q(10)=9.42\)、\(Q(20)=13.01\)）。加入 IBM 滞后收益（\(x_t\) 为 IBM 月对数收益，1.24 为其样本均值）：

标准误 0.139；0.271、0.020、0.018、0.002；诊断充分。检验 \(\gamma=0\) 的 p 值为 0.0039，1% 水平显著。系数为负，表示 IBM 上月收益偏离其均值越远，指数本月波动的估计越低——使用 IBM 的滞后收益降低了指数波动的估计。原书表 3.4 列出 1999 年 7–12 月两模型拟合的指数波动：(3.46) 为 26.30、26.01、24.73、21.69、20.71、22.46；(3.47) 为 23.32、23.13、22.46、20.00、19.45、18.27。

这两个例子说明：波动方程和均值方程一样可以加入外生变量。实践中常见的外生变量有：日历虚拟变量、成交量、隐含波动（VIX）、市场整体波动（原书习题 3.14、3.15 让读者把 S&P 的拟合波动放进 GM 的波动方程，或反之）。

3.15 替代方法：高频数据与 OHLC 价格

3.15.1 用高频数据估计低频波动

French–Schwert–Stambaugh（1987）用日收益计算月波动；随着高频数据的普及，这一思路受到广泛关注（Andersen–Bollerslev–Diebold–Labys 2001a,b）。设某月的对数收益为该月 \(n\) 个交易日对数收益之和 \(r_t^m=\sum_{i=1}^nr_{t,i}\)，则

• 若日收益为白噪声：\(\operatorname{Var}(r_t^m\mid F_{t-1})=n\operatorname{Var}(r_{t,1})\)。用月内样本方差 \(\hat\sigma^2=\sum_{i=1}^n(r_{t,i}-\bar r_t)^2/(n-1)\) 估计 \(\operatorname{Var}(r_{t,1})\)，得
  \[\hat\sigma_m^2=\frac{n}{n-1}\sum_{i=1}^n(r_{t,i}-\bar r_t)^2. \tag{3.49}\]
• 若日收益为 MA(1)：\(\operatorname{Var}(r_t^m\mid F_{t-1})=n\operatorname{Var}(r_{t,1})+2(n-1)\operatorname{Cov}(r_{t,1},r_{t,2})\)，
  \[\hat\sigma_m^2=\frac{n}{n-1}\sum_{i=1}^n(r_{t,i}-\bar r_t)^2+2\sum_{i=1}^{n-1}(r_{t,i}-\bar r_t)(r_{t,i+1}-\bar r_t). \tag{3.50}\]

困难有二：(1) 日收益的模型未知，协方差难估；(2) 每月约 21 个交易日，样本小，估计精度存疑。若日收益超额峰度高且有序列相关，(3.49)(3.50) 甚至可能不一致（Bai–Russell–Tiao 2004）。

例 3.6：S&P 500 月波动（1980-01—1999-12）的三种估计：(a) 假设日收益白噪声，用 (3.49)；(b) 假设日收益 MA(1)，用 (3.50)；(c) 用 1962–1999 月收益拟合 GARCH(1,1)：\(r_t^m=0.658+a_t\)，\(\sigma_t^2=3.349+0.086a_{t-1}^2+0.735\sigma_{t-1}^2\)。原书图 3.12 显示，基于日收益的估计远高于 GARCH 估计，1987 年 10 月日收益法的估计约达 680（图被截断到同一尺度）。

已实现波动率（realized volatility）。若进一步假设 \(\bar r_t=0\)，则 \(\hat\sigma_m^2\approx\sum r_{t,i}^2\)。把这个思想推广到用日内收益估计日波动：设日对数收益 \(r_t=\sum_{i=1}^nr_{t,i}\) 由 \(n\) 个日内收益组成，

数学上它是 \(r_t\) 的二次变差（quadratic variation）的估计，这里假设 \(r_{t,i}\) 为零均值、有限方差的 iid 序列。经验上 \(\ln RV_t\) 近似服从高斯 ARIMA(0,1,\(q\))，可用于预测。

白话解释：为什么切得越细越准（在没有噪声时）。 把一天切成 \(n\) 段，每段收益方差为 \(\sigma^2/n\)。\(RV\) 是 \(n\) 个平方之和，均值正好是 \(\sigma^2\)。它的方差：每个 \(r_{t,i}^2\) 的方差是 \(2(\sigma^2/n)^2\)（正态下），\(n\) 个相加得 \(2\sigma^4/n\)。所以 \(n\) 越大，\(RV\) 越集中在真值 \(\sigma^2\) 附近。对比第 03a 章 3.5.5 节，只用一个日收益平方（\(n=1\)）时方差是 \(2\sigma^4\)，噪声和信号一样大。 "二次变差"可以理解为"\(n\to\infty\) 时 \(RV\) 的极限"，它就是这一天真实累积的方差。 推导拆解：微观结构噪声的偏差 \(2n\omega^2\)。观测价 \(p_i^{obs}=p_i+u_i\)，\(u_i\) 独立、方差 \(\omega^2\)。观测收益 \(r_i^{obs}=r_i+(u_i-u_{i-1})\)，平方后取期望：\(E(r_i^2)+E[(u_i-u_{i-1})^2]=\sigma^2/n+2\omega^2\)（交叉项期望为零）。\(n\) 段相加：\(\sigma^2+2n\omega^2\)。真实信号 \(\sigma^2\) 不随 \(n\) 变，噪声却随 \(n\) 线性增长，所以存在一个最优的中等采样频率。\(u_i-u_{i-1}\) 正是第 02a 章说的买卖价反弹造成的 MA(1) 结构。

优点：简单，充分利用日内信息。直觉上 \(n\) 越大（采样越密）越好，但间隔太短时，市场微观结构（如买卖价反弹）会使 \(RV_t\) 有偏。设观测价格 = 有效价格 + iid 噪声（方差 \(\omega^2\)），则每个观测收益多出一个 MA(1) 噪声项，\(E(RV_t)\approx\sigma_t^2+2n\omega^2\)——偏差随采样频率线性增长。最优采样间隔是研究热点，美国活跃资产常用 4–15 分钟。另一个问题是股票的隔夜收益（前日收盘到当日开盘）往往很大，忽略它会严重低估波动；但指数与外汇的隔夜收益似乎较小。Barndorff-Nielsen & Shephard（2004）用高频收益研究双幂变差（bi-power variation），并发展了检测波动跳跃的方法。

3.15.2 用日开高低收价估计波动

只有日线数据时，开盘价、最高价、最低价同样含有关于日内波动的信息（Parkinson 1980；Garman & Klass 1980；Rogers & Satchell 1991；Yang & Zhang 2000）。记 \(C_t\) 为收盘价、\(O_t\) 为开盘价、\(H_t\) 为最高价、\(L_t\) 为最低价（下面均指对数价格），\(f\in[0,1]\) 为一天中休市时间所占比例。常规的波动定义为 \(\sigma_t^2=E[(C_t-C_{t-1})^2\mid F_{t-1}]\)。Garman–Klass 在"价格服从无漂移简单扩散"的假设下考虑了以下估计量：

• \(\hat\sigma_{0,t}^2=(C_t-C_{t-1})^2\)（收盘价对收盘价）；
• \(\hat\sigma_{1,t}^2=\dfrac{(O_t-C_{t-1})^2}{2f}+\dfrac{(C_t-O_t)^2}{2(1-f)}\)，\(0<f<1\)；
• \(\hat\sigma_{2,t}^2=\dfrac{(H_t-L_t)^2}{4\ln2}\approx0.3607(H_t-L_t)^2\)（Parkinson 1980，\(f=0\)）；
• \(\hat\sigma_{3,t}^2=0.17\dfrac{(O_t-C_{t-1})^2}{f}+0.83\dfrac{(H_t-L_t)^2}{(1-f)4\ln2}\)，\(0<f<1\)；
• \(\hat\sigma_{5,t}^2=0.5(H_t-L_t)^2-(2\ln2-1)(C_t-O_t)^2\approx0.5(H_t-L_t)^2-0.386(C_t-O_t)^2\)（\(f=0\)）；
• \(\hat\sigma_{6,t}^2=0.12\dfrac{(O_t-C_{t-1})^2}{f}+0.88\dfrac{\hat\sigma_{5,t}^2}{1-f}\)，\(0<f<1\)。

（另有更精确但更复杂的 \(\hat\sigma_{4,t}^2\)，数值接近 \(\hat\sigma_{5,t}^2\)。）定义效率因子 \(\text{Eff}(\hat\sigma_{i,t}^2)=\operatorname{Var}(\hat\sigma_{0,t}^2)/\operatorname{Var}(\hat\sigma_{i,t}^2)\)，则 \(i=1,2,3,5,6\) 的效率分别约为 2、5.2、6.2、7.4、8.4。也就是说，Parkinson 极差估计一天的信息量相当于收盘价估计五天多。

白话解释：为什么极差含有更多信息、常数 \(4\ln2\) 从哪来。 收盘价只告诉你这一天"最终走了多远"，而一天里价格可能先大涨再大跌、收在原地，收盘价估计会给出接近 0 的方差，完全错过当天的剧烈波动。最高价和最低价记录了价格在一天里实际到过的范围，大波动日极差一定大，所以它对真实波动的"测量噪声"小得多。 \(4\ln2\) 是一个标定常数：对无漂移的布朗运动，可以算出 \(E[(H-L)^2]=4\ln2\cdot\sigma^2\approx2.77\sigma^2\)，除以它就得到无偏估计。推导要用到布朗运动最大值的分布，这里不展开。 金融直觉：效率 5.2 的实际含义是，用 20 天日线算 Parkinson 波动，精度大致相当于用 100 天收盘价算的标准差。对风险模型来说，这意味着可以用更短的窗口、更快地跟上波动变化，而不牺牲精度。代价是对隔夜跳空和离散观测敏感（见下文和量化实战 D 部分）。

对数形式与 Yang–Zhang 估计量。定义

• \(o_t=\ln O_t-\ln C_{t-1}\)：标准化开盘价（隔夜收益）；
• \(u_t=\ln H_t-\ln O_t\)：标准化最高价；
• \(d_t=\ln L_t-\ln O_t\)：标准化最低价；
• \(c_t=\ln C_t-\ln O_t\)：标准化收盘价（日内收益）。

假设 \(n\) 天内波动不变，Yang & Zhang（2000）推荐的稳健估计为

其中 \(\hat\sigma_o^2=\frac1{n-1}\sum_{t=1}^n(o_t-\bar o)^2\)，\(\hat\sigma_c^2=\frac1{n-1}\sum_{t=1}^n(c_t-\bar c)^2\)，Rogers–Satchell 估计量

与漂移无关，权重 \(k=\dfrac{0.34}{1.34+(n+1)/(n-1)}\) 使组合估计量的方差最小。Yang–Zhang 的优点是同时处理了隔夜跳空（\(\hat\sigma_o^2\)）和漂移（Rogers–Satchell 部分）。

极差的偏差。\(H_t-L_t\) 称极差（range），由此发展出基于极差的波动估计（Alizadeh–Brandt–Diebold 2002）。实践中价格只在离散时点观测，观测到的最高价偏低、最低价偏高，极差被低估，从而波动被低估。偏差大小取决于交易频率与 tick size：活跃股票可以忽略，其他股票需要进一步研究。

量化实战

本章内容在量化中的用途

1. 下行风险与偏斜。杠杆效应意味着下跌后波动上升更快。用 GJR/EGARCH 而非对称 GARCH 做风险预测，在下跌行情中 VaR 会更快上调；它也是解释股指期权波动率偏斜（skew）的时间序列机制之一。
2. 日频风险模型的数据工程。只有日线时，用 Parkinson、Garman–Klass、Yang–Zhang 代替收盘价平方，能以零成本把波动估计效率提高 5–8 倍；对 A 股、个股等隔夜跳空大的市场，Yang–Zhang 或"隔夜 + 日内"分开估计是必要的，Parkinson 会系统性低估。
3. 已实现波动率。有分钟数据时，用 5 分钟左右采样的 RV 作为日波动的"观测值"：既可直接预测（HAR-RV 等），也可作为评价 GARCH 预测的基准（第 03a 章 3.5.5 节）。采样过密会被买卖价反弹放大，采样过疏损失信息；"波动签名图"（RV 对采样间隔作图）是选择频率的标准工具。
4. 外生变量与日历效应。波动方程中加入日历虚拟变量（夏季、财报季、周末 \(N_t\)）、市场波动、成交量，可以用于期权定价调整和风险预算（原书例 3.4、3.5，习题 3.14、3.15 的思路与多因子风险模型中的"市场波动对个股波动的传导"一致）。

Python 示例：杠杆效应、已实现波动签名、OHLC 估计量

A 部分用 GJR 过程（\(\alpha_0=0.02\)，\(\alpha_1=0.03\)，\(\gamma=0.10\)，\(\beta_1=0.90\)）生成 5000 天收益，比较 GARCH、GJR、EGARCH 的 BIC 和正负冲击方差比；B 部分模拟带噪声的逐秒价格，看 RV 随采样间隔的偏差；C、D 部分用 1 分钟路径评估 OHLC 估计量。

import warnings; warnings.filterwarnings("ignore")
import numpy as np
import pandas as pd
from arch import arch_model

rng = np.random.default_rng(5)

# ---------- A. 杠杆效应：GJR(TGARCH) 数据上比较 GARCH / GJR / EGARCH ----------
T, w, a, g, b = 5000, 0.02, 0.03, 0.10, 0.90                # 负冲击额外系数 g
r, h = np.zeros(T + 500), np.full(T + 500, w / (1 - a - g/2 - b))
for t in range(1, T + 500):
    e = r[t-1]
    h[t] = w + (a + g * (e < 0)) * e**2 + b * h[t-1]
    r[t] = np.sqrt(h[t]) * rng.standard_normal()
r = pd.Series(r[500:])
specs = {"GARCH": dict(p=1, q=1), "GJR": dict(p=1, o=1, q=1),
         "EGARCH": dict(vol="EGARCH", p=1, o=1, q=1)}
fits = {k: arch_model(r, mean="Zero", **v).fit(disp="off") for k, v in specs.items()}
for k, f in fits.items():
    print("%-6s BIC=%.1f  %s" % (k, f.bic, f.params.round(4).to_dict()))

# 新闻冲击曲线：前一期冲击 = ±2 个标准差时的下一期方差之比
s2bar = r.var()
def next_var(model, eps):                                   # 以长期方差为前一期方差
    p = fits[model].params
    if model == "GJR":
        e = eps * np.sqrt(s2bar)
        return p["omega"] + (p["alpha[1]"] + p["gamma[1]"] * (e < 0)) * e**2 + p["beta[1]"] * s2bar
    if model == "EGARCH":
        lnh = p["omega"] + p["alpha[1]"] * (abs(eps) - np.sqrt(2/np.pi)) + p["gamma[1]"] * eps \
              + p["beta[1]"] * np.log(s2bar)
        return np.exp(lnh)
    e = eps * np.sqrt(s2bar)
    return p["omega"] + p["alpha[1]"] * e**2 + p["beta[1]"] * s2bar
for k in fits:
    print("%-6s sigma^2(eps=-2)/sigma^2(eps=+2) = %.3f" % (k, next_var(k, -2) / next_var(k, 2)))

# 原书 IBM EGARCH(1,1) 例：theta=-0.0795, gamma=0.2647
th, ga = -0.0795, 0.2647
print("原书 IBM 例: 负/正 2 倍标准差冲击方差比 = %.3f" % np.exp(2 * (ga - th) - 2 * (ga + th)))

# ---------- B. 已实现波动率与微观结构噪声 ----------
n_sec, sig_day, noise = 23400, 0.015, 0.0003               # 6.5 小时逐秒；日波动 1.5%
days = 200
rv = {k: [] for k in [1, 5, 30, 60, 300, 900]}
for _ in range(days):
    p = np.cumsum(rng.normal(0, sig_day / np.sqrt(n_sec), n_sec))
    obs = p + rng.normal(0, noise, n_sec)                   # 观测价 = 有效价 + 噪声
    for k in rv:
        rv[k].append(np.sum(np.diff(obs[::k]) ** 2))
print("\n真实日方差 = %.3e" % sig_day**2)
for k, v in rv.items():
    n = n_sec // k
    print("采样间隔 %4ds: 平均 RV = %.3e, 理论偏差 2n*noise^2 = %.3e" % (k, np.mean(v), 2 * n * noise**2))

# ---------- C. OHLC 估计量的效率（无隔夜跳空） ----------
m, D = 390, 4000                                            # 每天 390 个 1 分钟价格
sig = 0.01
paths = np.cumsum(rng.normal(0, sig / np.sqrt(m), (D, m)), axis=1)
paths = np.hstack([np.zeros((D, 1)), paths])               # 开盘对数价 = 0
O, C, H, L = paths[:, 0], paths[:, -1], paths.max(1), paths.min(1)
u, d, c = H - O, L - O, C - O
est = {"close-to-close": c**2,
       "Parkinson": (H - L)**2 / (4 * np.log(2)),
       "Garman-Klass": 0.5 * (H - L)**2 - (2 * np.log(2) - 1) * c**2,
       "Rogers-Satchell": u * (u - c) + d * (d - c)}
v0 = est["close-to-close"].var()
for k, e in est.items():
    print("%-16s 均值/真值 = %.3f, 效率 = %.2f" % (k, e.mean() / sig**2, v0 / e.var()))

# ---------- D. 有隔夜跳空时的 20 日窗口：Yang-Zhang ----------
f = 0.25                                                    # 隔夜方差占全天 25%
o = rng.normal(0, sig * np.sqrt(f), D)                      # 开盘跳空 o_t
paths2 = paths * np.sqrt(1 - f)
u2, d2, c2 = paths2.max(1), paths2.min(1), paths2[:, -1]
true = sig**2
n = 20
cc = (o + c2).reshape(-1, n)
oo, ccx = o.reshape(-1, n), c2.reshape(-1, n)
rs = (u2 * (u2 - c2) + d2 * (d2 - c2)).reshape(-1, n)
park = ((u2 - d2)**2 / (4 * np.log(2))).reshape(-1, n)
k_ = 0.34 / (1.34 + (n + 1) / (n - 1))
yz = oo.var(1, ddof=1) + k_ * ccx.var(1, ddof=1) + (1 - k_) * rs.mean(1)
for name, e in [("close-to-close", cc.var(1, ddof=1)), ("Parkinson(忽略隔夜)", park.mean(1)), ("Yang-Zhang", yz)]:
    print("%-20s 均值/真值 = %.3f, 相对标准差 = %.3f" % (name, e.mean() / true, e.std() / true))

关键输出：

GARCH  BIC=13377.1  {'omega': 0.0155, 'alpha[1]': 0.0899, 'beta[1]': 0.8954}
GJR    BIC=13301.4  {'omega': 0.0139, 'alpha[1]': 0.0222, 'gamma[1]': 0.1024, 'beta[1]': 0.9152}
EGARCH BIC=13307.3  {'omega': -0.0012, 'alpha[1]': 0.1376, 'gamma[1]': -0.0734, 'beta[1]': 0.9831}
GARCH  sigma^2(eps=-2)/sigma^2(eps=+2) = 1.000
GJR    sigma^2(eps=-2)/sigma^2(eps=+2) = 1.403
EGARCH sigma^2(eps=-2)/sigma^2(eps=+2) = 1.341
原书 IBM 例: 负/正 2 倍标准差冲击方差比 = 1.374

真实日方差 = 2.250e-04
采样间隔    1s: 平均 RV = 4.430e-03, 理论偏差 2n*noise^2 = 4.212e-03
采样间隔    5s: 平均 RV = 1.063e-03, 理论偏差 2n*noise^2 = 8.424e-04
采样间隔   30s: 平均 RV = 3.631e-04, 理论偏差 2n*noise^2 = 1.404e-04
采样间隔   60s: 平均 RV = 2.932e-04, 理论偏差 2n*noise^2 = 7.020e-05
采样间隔  300s: 平均 RV = 2.393e-04, 理论偏差 2n*noise^2 = 1.404e-05
采样间隔  900s: 平均 RV = 2.254e-04, 理论偏差 2n*noise^2 = 4.680e-06
close-to-close   均值/真值 = 1.002, 效率 = 1.00
Parkinson        均值/真值 = 0.934, 效率 = 5.15
Garman-Klass     均值/真值 = 0.908, 效率 = 8.10
Rogers-Satchell  均值/真值 = 0.908, 效率 = 6.46
close-to-close       均值/真值 = 0.995, 相对标准差 = 0.309
Parkinson(忽略隔夜)      均值/真值 = 0.701, 相对标准差 = 0.098
Yang-Zhang           均值/真值 = 0.942, 相对标准差 = 0.120

解读：

• 杠杆效应：GJR 准确还原了真实参数（\(\gamma=0.102\)，真值 0.10），BIC 比对称 GARCH 低约 76；EGARCH 的 \(\gamma=-0.073\)（arch 记法下的杠杆参数）同样捕捉到不对称，BIC 略逊于真模型。对称 GARCH 的比值恒为 1，看不到杠杆效应。两倍标准差负冲击的方差比 1.34–1.40，与原书 IBM 例的 1.26–1.37 同一量级。
• RV 签名：每秒采样时 RV 是真实方差的约 20 倍，几乎全是噪声（\(\sigma^2+2n\omega^2\) 与模拟一致）；随着间隔拉长到 5–15 分钟，偏差消失。这就是原书说"间隔太短受微观结构影响"、实务常用 4–15 分钟的原因。
• OHLC 效率：Parkinson 效率 5.15，与原书的 5.2 吻合；但由于只观测 390 个离散价格，极差被低估，Parkinson 均值只有真值的 93%，GK 和 RS 约 91%——正是 3.15.2 节末尾所说的离散观测偏差。GK 的效率（8.1）高于原书的 7.4，部分原因是这里它的方差被低估偏差同时压低了。
• 隔夜跳空：隔夜方差占 25% 时，忽略隔夜的 Parkinson 只估出约 70%（\(0.75\times0.934\)），严重低估；Yang–Zhang 把隔夜部分纳入，均值回到 94%（剩余偏差来自离散极差），而相对标准差 0.12 只有收盘价估计（0.31）的四成左右，相当于约 6.6 倍的方差效率。

本章小结

为刻画杠杆效应，EGARCH 对对数方差建模，用 \(g(\epsilon)=\theta\epsilon+\gamma(|\epsilon|-E|\epsilon|)\) 让正负冲击有不同斜率，无需正性约束；TGARCH/GJR 在 GARCH 中为负冲击加一项 \(\gamma N_{t-1}a_{t-1}^2\)。IBM 月收益的例子中，两倍标准差的负冲击使下一期方差比同幅正冲击高 26%–37%。CHARMA 与 RCA 用随机系数产生含交叉项的二次型条件方差；SV 在对数波动方程中加入独立新息，使波动成为隐变量，估计需要 Kalman 拟似然或 MCMC；LMSV 用分数差分刻画波动的长记忆（\(d\approx0.38\)）。外生变量可以进入波动方程，如夏季效应（IBM 夏季方差约低 7%）和成分股收益。不依赖参数模型的波动估计有两类：已实现波动率（注意微观结构噪声随采样频率增大、隔夜收益不可忽略）和 OHLC 估计量（效率可达收盘价估计的 5–8 倍，但离散观测使极差偏低，隔夜跳空要用 Yang–Zhang 处理）。

练习

基础

1. 对原书 IBM 的 EGARCH (3.31)，计算 \(\epsilon_{t-1}=-3\) 与 \(+3\) 时的方差比，并与 \(\pm2\) 时的 1.374 比较，说明"冲击越大差距越大"。 答案要点：\(\exp[3(0.3442-0.1852)]=e^{0.477}\approx1.61\)。
2. 对 TGARCH (3.35)，在正态新息下计算持续性 \(\alpha_1+\gamma_1/2+\beta_1\)；如果新息为 GED，这个式子还成立吗？ 答案要点：\(0.0658+0.04215+0.8182\approx0.926\)；对称分布下 \(P(a<0)=1/2\) 且 \(E(\epsilon^2N)=1/2\)，仍成立。
3. 某股票一天的对数价格：昨收 0，今开 0.004，最高 0.018，最低 −0.006，收盘 0.010。计算收盘价估计、Parkinson、Garman–Klass、Rogers–Satchell 的单日方差估计（后三者基于日内部分）。 提示：\(u=0.014\)，\(d=-0.010\)，\(c=0.006\)；Parkinson \(=0.024^2/(4\ln2)\approx2.08\times10^{-4}\)。
4. 设每秒价格噪声标准差 \(\omega=0.0003\)、日波动 1.5%，求使噪声偏差不超过真实方差 10% 的最小采样间隔（一天 23400 秒）。 答案要点：\(2n\omega^2\le0.1\sigma^2\Rightarrow n\le0.1\times2.25\times10^{-4}/(2\times9\times10^{-8})=125\)，间隔至少约 187 秒。

进阶

5. 推导 \(\int_0^\infty e^{cx}\phi(x)\,dx=e^{c^2/2}\Phi(c)\)，并据此验证 EGARCH 的 \(E\{\exp[g(\epsilon)]\}\) 公式。
6. 证明 SV 模型（\(m=1\)）的 \(\operatorname{corr}(a_t^2,a_{t-i}^2)=[\exp(\sigma_h^2\alpha_1^i)-1]/[3\exp(\sigma_h^2)-1]\)，并说明为什么它总小于 1/3。 提示：\(\operatorname{Cov}(a_t^2,a_{t-i}^2)=E(\sigma_t^2\sigma_{t-i}^2)-[E\sigma^2]^2\)，\(\ln\sigma_t^2\) 与 \(\ln\sigma_{t-i}^2\) 联合正态、协方差 \(\alpha_1^i\sigma_h^2\)。
7. 用 (3.48) 说明：若日收益有正的一阶自相关（如指数的非同步交易），用 (3.49) 估计月波动会偏高还是偏低？为什么原书例 3.6 中日收益法的估计远高于 GARCH？
8. 修改本章代码 A 部分：用 GJR 拟合真实的对称 GARCH 数据（\(\gamma=0\)），重复 200 次，统计 \(\gamma\) 在 5% 水平"显著"的比例，检查检验的水平是否正确。
9. 修改代码 C 部分：把每日观测点数从 390 改为 30、78、1560，画出 Parkinson 估计"均值/真值"随观测点数的变化，量化离散观测偏差。

原书推荐习题：3.7（3M：ARCH-M 风险溢价检验与 EGARCH 预测）；3.9（GM 的 TGARCH 与杠杆效应检验）；3.10（复现夏季效应和成分股外生变量分析）；3.13（GM 日收益的 GARCH-M 与 EGARCH）；3.14、3.15（市场波动与个股波动互为外生变量，贴近多因子风险模型）。

原书对照