第 17a 章 向量自回归与多期预测

学习目标

读完本章，你应当能够：

1. 写出两变量 VAR(\(p\)) 的方程组，知道它就是「每个方程都放入全部变量的滞后、逐个方程做 OLS」，并能用系统 BIC/AIC 选择滞后阶数。
2. 解释 VAR 的参数为什么随变量数快速膨胀，以及这对样本外预测意味着什么。
3. 在 VAR 中做 Granger 式的可预测性检验（跨方程、多系数的 F 检验），正确理解「Granger 因果」只是增量预测力。
4. 用迭代法和直接法做 \(h\) 步预测，写出 Key Concept 17.2 与 17.3 的公式，并知道两种方法各自适用的场合。
5. 说明直接多期回归（重叠收益回归）的误差为什么必然序列相关，为什么必须用 HAC 标准误、截断参数为什么要随步长增大。

读前导读

这一章在解决什么问题

前面的时间序列章节都是「一个变量、预测下一期」。实际工作两头都不够：资产配置要同时看利率、通胀、股债收益，并且希望各自的预测彼此一致；关心的持有期也常常是一个季度、一年，而不是明天。本章解决这两件事。

VAR（向量自回归）把 AR 推广到多个变量：每个变量都用所有变量的过去来预测。它在实现上极其简单——就是对每个变量各做一次普通 OLS，回归元完全相同。难点不在估计，而在克制：变量每多一个，参数个数按平方增长，第 14 章的 \((1+k/n)\) 惩罚会迅速吃掉预测力。

多期预测有两条路。迭代法：先预测下一期，把预测值当数据代回去，再预测下下期——就像你用 DCF 模型逐年滚动预测现金流。直接法：直接用今天的数据回归 \(h\) 期后的值——就像直接用今天的股息率回归未来一年的收益。迭代法在模型正确时更有效；直接法对模型误设更稳健，但有一个量化研究者必须掌握的陷阱：因变量重叠导致误差必然自相关，常规 t 值严重夸大。本章最后的模拟显示，一个完全无用的信号在常规标准误下有 63% 的概率「显著」。

需要先想起来的数学

• 矩阵乘法与矩阵形式的方程组：两个方程 \(Y_t=aY_{t-1}+bX_{t-1}\)、\(X_t=cY_{t-1}+dX_{t-1}\) 可以合写成 \(\begin{pmatrix}Y_t\\X_t\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\begin{pmatrix}Y_{t-1}\\X_{t-1}\end{pmatrix}\)。迭代两步就是乘两次系数矩阵 \(\mathbf A^2\)。见 第 00 册第 06 章 线性代数速成。
• 行列式：\(2\times2\) 矩阵 \(\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\) 的行列式是 \(ad-bc\)。对协方差矩阵，行列式 \(=\sigma_1^2\sigma_2^2(1-\rho^2)\)，衡量「整体波动」的大小，称广义方差。系统 BIC 用它。同见第 06 章。
• 几何级数与 \(\beta^h\) 的衰减：\(0.5^{10}\approx0.001\)，\(0.9^{10}\approx0.35\)。AR(1) 的 \(h\) 步预测按 \(\beta_1^h\) 回到均值。见 第 00 册第 04 章 级数与收敛。
• 条件期望的线性性：\(E(aY+bX\mid\mathcal F)=aE(Y\mid\mathcal F)+bE(X\mid\mathcal F)\)，且 \(E(\text{未来误差}\mid\mathcal F_T)=0\)。这是「迭代预测就是把预测值代回模型」的依据。\(\mathcal F_T\) 读作「截至 \(T\) 期的全部信息」。见 第 00 册第 07 章 概率中的分析工具。

怎么读这一章

核心必读：17.1.2（VAR 的定义）、17.1.4（参数膨胀）、17.1.7（例子与 Granger 检验）、17.2.1（迭代预测与 AR(1) 闭式解）、17.2.3（直接回归为何必须用 HAC）。17.1.3 的跨方程 Wald 统计量和 17.1.5 的系统 BIC 第一次可以只记结论，交给软件。17.1.6 的结构 VAR 只是指路，读一遍即可。17.2.4 的「迭代还是直接」值得读，它是偏差–方差权衡的又一个例子。量化实战的示例二请务必读完。

17.0 本章在全书中的位置

第 15、16 章（本册前面的时间序列部分）只做了两件事：单变量、一步预测。实际工作中这两条限制都太窄。宏观预测者要同时预测 GDP 增长、通胀和利率，而且希望这些预测相互一致；资产配置者要的是未来一个季度、一年的收益或风险，而不是明天。第 17 章把时间序列回归往五个方向扩展，本教材拆成四章：

第 06 册（Tsay《金融时间序列》）第 08a 章从多元时间序列的角度系统讲 VAR、VMA、VARMA 和平稳性条件；本章侧重计量视角：怎么估计、怎么检验、怎么用它做预测，以及标准误什么时候会出错。两章可以互相参照。

17.1 向量自回归（VAR）

17.1.1 动机

假设你要同时预测 GDP 增长率和期限利差（10 年期国债利率减 3 个月国库券利率）。一种做法是各自建一个 ADL 模型：GDP 方程里放 GDP 和利差的滞后，利差方程里也放两者的滞后。另一种做法是把这两个方程当成一个系统来看待：两个方程用同一组回归元（全部变量的滞后），预测基于同一信息集，因而相互一致。后者就是向量自回归（vector autoregression，VAR）。它把单变量自回归 AR(\(p\)) 推广到一个「向量」时间序列。

17.1.2 定义

Key Concept 17.1（向量自回归） VAR 是 \(k\) 个时间序列回归组成的方程组，每个方程的回归元是全部 \(k\) 个序列的滞后值。若每个方程的滞后阶数都为 \(p\)，称为 VAR(\(p\))。两变量 \(Y_t,X_t\) 的 VAR(\(p\)) 为

\[Y_t=\beta_{10}+\beta_{11}Y_{t-1}+\cdots+\beta_{1p}Y_{t-p}+\gamma_{11}X_{t-1}+\cdots+\gamma_{1p}X_{t-p}+u_{1t},\tag{17.1}\]

\[X_t=\beta_{20}+\beta_{21}Y_{t-1}+\cdots+\beta_{2p}Y_{t-p}+\gamma_{21}X_{t-1}+\cdots+\gamma_{2p}X_{t-p}+u_{2t}.\tag{17.2}\]

系数用逐个方程 OLS 估计。

VAR 的假设就是第 15a 章 Key Concept 15.6 的时间序列回归假设分别施加在每个方程上：误差在给定过去信息时条件均值为零；变量平稳（或者说平稳且弱相依）；大的离群值不太可能出现；没有完全多重共线性。

为什么逐方程 OLS 就够了？因为每个方程的回归元完全相同。多方程系统的「似不相关回归」（SUR）理论告诉我们，当所有方程回归元相同时，系统 GLS 估计量与逐方程 OLS 估计量完全相同（这是第 19b 章 GLS 理论的一个推论，这里不展开）。所以 VAR 虽然叫「系统」，实现上只是 \(k\) 次普通回归。

用矩阵写更紧凑。令 \(\mathbf Y_t=(Y_t,X_t)'\)，则

白话解释：矩阵形式怎么读。以 \(p=1\) 为例，\(\mathbf A_1=\begin{pmatrix}\beta_{11}&\gamma_{11}\\\beta_{21}&\gamma_{21}\end{pmatrix}\)。\(\mathbf A_1\mathbf Y_{t-1}\) 的第一个分量是第一行乘以 \((Y_{t-1},X_{t-1})'\)，即 \(\beta_{11}Y_{t-1}+\gamma_{11}X_{t-1}\)，正是 (17.1) 的右边；第二个分量对应 (17.2)。所以矩阵式只是把两个方程叠在一起写。读矩阵时记住：第 \(i\) 行是第 \(i\) 个方程，第 \(j\) 列是第 \(j\) 个变量的滞后。\(\gamma_{11}\) 位于第 1 行第 2 列，表示「\(X\) 的滞后对 \(Y\) 方程」的影响。

金融直觉：\(\boldsymbol\Sigma_u\) 的非对角元好比两个资产收益的协方差：VAR 已经用过去的信息预测了两者，剩下的「意外」部分仍可能同期相关。例如意外的通胀数据和意外的利率变动往往同时出现。结构 VAR 要做的，就是把这些相关的意外拆成互不相关的「经济冲击」。

17.1.3 VAR 中的推断

在 VAR 假设下，OLS 估计量一致，并在大样本中联合正态。所以单个系数的推断照旧：95% 置信区间是估计值 \(\pm1.96\) 倍标准误。

VAR 带来的新东西是跨方程假设。比如想知道滞后阶数应是 \(p\) 还是 \(p-1\)，原假设是两个方程中所有第 \(p\) 阶滞后系数都为零：

17.1.4 VAR 该放多少变量：参数膨胀

VAR 每个方程的系数个数与变量个数成正比。原书例子：5 个变量、4 阶滞后，每个方程有 \(4\times5+1=21\) 个系数，5 个方程共 105 个系数。季度数据 40 年也才 160 个观测。

按第 14 章的结论，用 OLS 估计的系数越多，进入预测的估计误差越大，均方预测误差（MSFE）越差。附录 19.7（本册第 19c 章）会精确给出：在一定条件下，OLS 预测的 MSPE 约为 \((1+k/n)\sigma_u^2\)，每多一个系数就多付出约 \(\sigma_u^2/n\) 的样本外代价。因此：

• 用 OLS 估计 VAR 时，变量要少，并且要精选。变量之间应当有经验或理论上的关联，例如 GDP 增长、期限利差、通胀。
• 加入无关变量只增加估计误差，不增加预测力。
• 想用很多变量，就不能再用 OLS，而要用收缩估计（含贝叶斯 VAR）或降维（17d 章的动态因子模型）。

金融直觉：把数字放进第 14 章的公式感受一下。5 变量 4 阶的 VAR，每个方程 21 个系数，160 个观测，\(k/n\approx0.13\)，按 \((1+k/n)\) 样本外 MSFE 至少放大 13%。而季度 GDP 预测里，最好的模型相对随机游走往往也只改善百分之十几。也就是说，参数估计误差一项就足以抵消全部预测增益。对月度资产收益更严峻：信噪比低得多，加一个变量的代价几乎一定高于它的价值。

原书复习题 17.1 是一个好的反例：用 GDP、消费、投资、政府购买、出口、进口、短期利率、长期利率、通胀共 9 个变量做 VAR。问题有二：参数太多；GDP 与它的组成部分之间存在会计恒等式，几乎完全共线。

17.1.5 滞后阶数选择：系统信息准则

可以用 F 检验逐步检验 (17.3)，也可以用信息准则。单方程时 BIC 是 \(\ln[SSR(p)/T]+(p+1)\ln T/T\)。系统版本要把「残差平方和」换成残差协方差矩阵的行列式。设 \(\hat{\boldsymbol\Sigma}_u\) 是 \(k\times k\) 矩阵，\((i,j)\) 元素为 \(\frac1T\sum_{t=1}^T\hat u_{it}\hat u_{jt}\)，其中 \(\hat u_{it}\) 是第 \(i\) 个方程的 OLS 残差。VAR 的 BIC 为

两项的含义：

• 第一项衡量拟合。\(k=1\) 时 \(\det\hat\Sigma_u\) 就是 \(SSR(p)/T\)，退化为单方程 BIC。行列式是「广义方差」，残差整体越小、越不相关，它越小。
• 第二项是惩罚。\(k(kp+1)\) 恰好是 VAR 全部回归系数的个数：\(k\) 个方程，每个方程有截距和 \(k\) 个变量各 \(p\) 阶滞后。

白话解释：为什么用行列式而不是两个方程的 SSR 之和？\(k=2\) 时 \(\det\hat{\boldsymbol\Sigma}_u=\hat\sigma_1^2\hat\sigma_2^2(1-\hat\rho^2)\)，\(\hat\rho\) 是两个方程残差的相关系数。它同时奖励「每个方程的残差小」和「残差之间相关性低」。直接相加的话，两个变量的单位不同（例如 GDP 增长是百分比、利差是百分点），量级大的那个会主导；而对数行列式 \(\ln\hat\sigma_1^2+\ln\hat\sigma_2^2+\ln(1-\hat\rho^2)\) 对每个变量的单位不敏感（改单位只给 \(\ln\det\) 加一个常数，不影响比较）。

例：\(k=2\)、\(p=2\) 时惩罚项系数个数 \(2\times(2\times2+1)=10\)；\(p=3\) 时 14。每多一阶滞后，多 \(k^2=4\) 个系数。

在候选 \(p=0,1,\dots,p_{\max}\) 中选使 BIC 最小的 \(\hat p\)。BIC 惩罚更重，倾向于选较小的模型；AIC 倾向于选较大的模型。对预测而言，第 15a 章 15.6 节的讨论同样适用：BIC 一致地选出真实阶数，AIC 在大样本中有高估阶数的倾向。

17.1.6 VAR 与因果分析：结构 VAR

VAR 最初由 Christopher Sims（1980）引入经济学，目的恰恰是因果分析，即结构 VAR（structural VAR，SVAR）。「结构」是指用 VAR 刻画经济的内在结构，比如货币政策冲击如何影响产出和通胀。

结构建模与预测用途的根本区别在于：它需要来自经济理论和制度知识的、非常具体的「谁对谁外生」的假设，用来把 VAR 的预测误差 \(\mathbf u_t\) 分解为有经济含义的结构冲击（油价冲击、美联储利率冲击、税收冲击等）。这属于联立方程组的识别问题，超出本书范围。入门参考 Stock & Watson（2001），研究生教材参考 Kilian & Lütkepohl（2017）。第 06 册第 08a 章讲脉冲响应和预测误差方差分解，可作为技术补充。

17.1.7 例：GDP 增长率与期限利差的 VAR(2)

第 15.7 节的 QLR 检验发现 1980 年代初有结构断点，所以样本取 1981:Q1–2017:Q3。估计结果（括号内为标准误）：

可预测性检验（Granger 因果检验）。在 GDP 方程中，检验 \(TSpread\) 两阶滞后系数全为零：\(F=5.60\)，\(p<0.001\)，拒绝。也就是说，在控制了 GDP 自身的滞后之后，期限利差对 GDP 增长仍有预测力。在利差方程中，检验 GDP 增长两阶滞后全为零：\(F=3.22\)，\(p=0.04\)，在 5% 水平也拒绝，GDP 增长同样有助于预测利差。

「Granger 因果」这个名字容易误导。它检验的只是增量预测力：给定 \(Y\) 自己的过去，\(X\) 的过去是否还能帮助预测 \(Y\)。它不等于第 13 章意义上的因果效应（单方程 ADL 中的 Granger 检验见第 15a 章 15.4 节，这里是它的多方程版本）。股票价格「Granger 引起」GDP，并不意味着股价推动经济，只是股价包含了对未来经济的预期。

一步预测：\(\widehat{GDPGR}_{2017:Q4|2017:Q3}=2.8\%\)，\(\widehat{TSpread}_{2017:Q4|2017:Q3}=1.3\) 个百分点；实际值分别为 2.5% 和 1.2 个百分点。

17.2 多期预测

要预测 \(h\ge2\) 期之后，有两种基本方法：

• 迭代预测（iterated forecast）：用一步模型逐期向前推，把上一步的预测值当作数据代入。
• 直接预测（direct forecast）：直接以 \(h\) 期后的变量为因变量做回归，回归元都滞后 \(h\) 期。

原书的建议是：多数情况下用迭代法。

17.2.1 迭代多期预测

思路很朴素：先做 \(T+1\) 期预测，然后把 \(\hat Y_{T+1|T}\) 当成观测值，代入模型做 \(T+2\) 期预测，如此循环到 \(T+h\)。一步预测是中间步骤。

AR(1) 例。

• 第一步：\(\widehat{GDPGR}_{2017:Q4|2017:Q3}=1.95+0.34\times3.11=3.0\)；
• 第二步：\(\widehat{GDPGR}_{2018:Q1|2017:Q3}=1.95+0.34\times3.0=3.0\)。

AR(2) 例。

Key Concept 17.2（迭代多期预测） AR(\(p\)) 的两步、三步预测为

\[\hat Y_{T+2|T}=\hat\beta_0+\hat\beta_1\hat Y_{T+1|T}+\hat\beta_2Y_T+\hat\beta_3Y_{T-1}+\cdots+\hat\beta_pY_{T-p+2},\tag{17.10}\]

\[\hat Y_{T+3|T}=\hat\beta_0+\hat\beta_1\hat Y_{T+2|T}+\hat\beta_2\hat Y_{T+1|T}+\hat\beta_3Y_T+\cdots+\hat\beta_pY_{T-p+3}.\tag{17.11}\]

两变量 VAR(\(p\)) 中 \(Y\) 的两步预测为

\[\hat Y_{T+2|T}=\hat\beta_{10}+\hat\beta_{11}\hat Y_{T+1|T}+\hat\beta_{12}Y_T+\cdots+\hat\beta_{1p}Y_{T-p+2}+\hat\gamma_{11}\hat X_{T+1|T}+\hat\gamma_{12}X_T+\cdots+\hat\gamma_{1p}X_{T-p+2}.\tag{17.12}\]

推导拆解：为什么「把预测值代回去」就是正确的两步预测。

1. 写出 \(T+2\) 期的真实模型：\(Y_{T+2}=\beta_0+\beta_1Y_{T+1}+\beta_2Y_T+\cdots+u_{T+2}\)。
2. 两边对截至 \(T\) 的信息取条件期望。左边就是我们要的 \(Y_{T+2|T}\)。
3. 右边逐项处理：\(\beta_0\) 是常数；\(Y_T,Y_{T-1},\dots\) 在 \(T\) 期已知，原样保留；\(Y_{T+1}\) 未知，它的条件期望是 \(Y_{T+1|T}\)，即一步预测；\(E(u_{T+2}\mid\mathcal F_T)=0\)。
4. 所以 \(Y_{T+2|T}=\beta_0+\beta_1Y_{T+1|T}+\beta_2Y_T+\cdots\)，把参数换成估计值即 (17.10)。

这一步用的是期望的线性性。注意它只对线性模型成立：若模型中有 \(Y_{t-1}^2\)，那么 \(E(Y_{T+1}^2\mid\mathcal F_T)\ne(Y_{T+1|T})^2\)（差一个条件方差），简单代入就会有偏。这正是 17.2.4 节「一步模型误设时迭代会出问题」的一个具体来源。

一般规律是：凡是位于预测原点 \(T\) 之后的值用预测值替代，位于 \(T\) 及之前的用实际值。原书习题 17.4 把它写成递推式：\(h>p\) 时 \(Y_{T+h|T}=\beta_0+\beta_1Y_{T+h-1|T}+\cdots+\beta_pY_{T+h-p|T}\)，即条件期望满足与原模型相同的差分方程（误差项的条件期望为零）。

迭代 VAR 预测有一个新特点：\(T+2\) 期某个变量的预测依赖 \(T+1\) 期所有变量的预测。要做 \(h\) 步迭代 VAR 预测，必须预测所有变量在 \(T+1,\dots,T+h-1\) 每一期的值。用 (17.5)(17.6)，先得一步预测 \(GDPGR=2.8\)、\(TSpread=1.3\)，再代入 GDP 方程：

AR(1) 的闭式解与均值回归。平稳 AR(1) \(Y_t=\beta_0+\beta_1Y_{t-1}+u_t\)，记 \(\mu_Y=\beta_0/(1-\beta_1)\)，反复迭代可得（原书习题 17.1）

推导拆解：闭式解的来源。

1. 由 \(\mu_Y=\beta_0/(1-\beta_1)\) 得 \(\beta_0=\mu_Y(1-\beta_1)\)，代入模型：\(Y_t-\mu_Y=\beta_1(Y_{t-1}-\mu_Y)+u_t\)。即「偏离均值的部分」本身是一个无截距的 AR(1)。
2. 对偏离部分做一步预测：\(Y_{T+1|T}-\mu_Y=\beta_1(Y_T-\mu_Y)\)。
3. 两步：\(Y_{T+2|T}-\mu_Y=\beta_1(Y_{T+1|T}-\mu_Y)=\beta_1^2(Y_T-\mu_Y)\)。归纳得 \(h\) 步为 \(\beta_1^h(Y_T-\mu_Y)\)。

用 GDP 的 AR(1) 核对：\(\mu_Y=1.95/(1-0.34)\approx2.95\)，\(Y_T=3.11\)，偏离 0.16，一步后剩 \(0.34\times0.16\approx0.05\)，所以两步预测都约 3.0，这就是上面算出的结果。

预测以几何速度回到无条件均值。复习题 17.2 的数字：\(\beta_0=0\)，\(\beta_1=0.5\)，\(Y_t=10\)，则 \(Y_{t+2|t}=10\times0.5^2=2.5\)，\(h=20\) 时几乎为零。偏离均值的「半衰期」是 \(\ln0.5/\ln\beta_1\)。这个公式在量化中到处出现：价差的均值回复、波动率预测向长期水平回归（17c 章）、利率模型的均值回复。

17.2.2 直接多期预测

直接法用一个回归一次给出 \(h\) 步预测，不需要迭代。做法是以 ADL 模型为起点，把所有预测变量多滞后若干期。例如两步预测、两阶滞后：因变量是 \(Y_t\)，回归元是 \(Y_{t-2},Y_{t-3},X_{t-2},X_{t-3}\)；预测时代入 \(Y_T,Y_{T-1},X_T,X_{T-1}\) 直接得到 \(\hat Y_{T+2|T}\)。

Key Concept 17.3（直接多期预测） 基于 \(Y_t\) 和 \(X_t\) 各 \(p\) 阶滞后的 \(h\) 步直接预测：先用 OLS 估计

\[Y_t=\delta_0+\delta_1Y_{t-h}+\cdots+\delta_pY_{t-p-h+1}+\delta_{p+1}X_{t-h}+\cdots+\delta_{2p}X_{t-p-h+1}+u_t,\tag{17.15}\]

再用估计系数和截至 \(T\) 的数据计算 \(\hat Y_{T+h|T}\)。

例（括号内为 HAC 标准误）：

17.2.3 直接回归的标准误：为什么必须用 HAC

这是本章对量化研究最重要的一点。

直接回归的误差必然序列相关。 设 \(h=2\)。\(t\) 期的误差是用 \(t-2\) 期信息预测 \(Y_t\) 的误差，它包含 \(t-1\) 和 \(t\) 两期的意外冲击；\(t+1\) 期的误差包含 \(t\) 和 \(t+1\) 两期的冲击。两者共享 \(t\) 期冲击，所以相关。原书的直观例子：假设下季度突然油价上涨，那么本季度做的两步预测和上季度做的两步预测都会偏高，相邻预测误差同向。

一般地，\(h\) 步直接回归的误差至少有 \(h-1\) 阶重叠，其前 \(h-1\) 个自相关系数一般不为零。如果 \(Y_t\) 本身是 \(h\) 期累计量（如未来 \(h\) 日累计收益），误差就是 MA(\(h-1\)) 结构。

推导拆解：重叠收益误差的自相关具体是多少。设日收益 \(r_t\) 独立同分布、方差 \(\sigma^2\)，且不可预测。因变量 \(R_t=r_{t+1}+\cdots+r_{t+h}\)，回归误差就是 \(R_t\) 减去其均值。

1. \(\text{var}(R_t)=h\sigma^2\)。
2. \(R_t\) 与 \(R_{t+j}\)（\(0<j<h\)）共享 \(r_{t+j+1},\dots,r_{t+h}\)，共 \(h-j\) 天，所以 \(\text{cov}=(h-j)\sigma^2\)。
3. 自相关 \(\rho_j=(h-j)/h\)，\(j\ge h\) 时为 0。

\(h=20\) 时 \(\rho_1=0.95\)、\(\rho_{10}=0.5\)、\(\rho_{19}=0.05\)。代入第 16 章的修正因子：若回归元也很持续，\(f_T\approx1+2\sum_{j=1}^{19}(20-j)/20=20\)，标准误应放大约 \(\sqrt{20}\approx4.5\) 倍。也就是说，常规 t 值 4 实际上只相当于 0.9。这就是示例二中 OLS 拒绝率高达 63% 的原因。

后果：第 16.4 节已经说明，误差序列相关时，普通 OLS 标准误（无论是否异方差稳健）都不可靠，通常严重偏小。必须用异方差与自相关一致（HAC）标准误，例如 Newey–West。原书 (17.13) 用的是 Newey–West，截断参数 \(m\) 按 (16.17) 的经验法则 \(m=0.75T^{1/3}\) 设定，\(T=147\) 时 \(m=4\)。

截断参数要随步长增大。 步长越长，重叠越多，序列相关越强。由于前 \(h-1\) 个自相关一般非零，长步长时 \(m\) 至少应取到 \(h-1\)，往往应大于 (16.17) 的经验值。

17.2.4 迭代还是直接？

原书给出两条理由支持默认使用迭代法：

1. 理论：如果一步模型（AR 或 VAR）设定正确，用一步回归估计系数再迭代，比用多步回归估计更有效率。直接回归的误差是多期冲击之和，方差大且序列相关，浪费了信息。
2. 实践：预测者通常需要多个步长的预测。迭代预测来自同一个模型，跨步长的预测路径平滑；直接法每个步长用不同的回归，系数的抽样误差会让预测路径随步长来回跳动。

直接法更可取的情形是：有理由认为一步模型设定错误。例如 VAR 中目标变量的方程是对的，但其他变量的方程遗漏了非线性项。一步模型误设时，迭代会把误差逐期放大，迭代预测一般有偏，其 MSFE 可能超过直接预测，尽管直接预测的方差更大。这是偏差与方差的权衡。

原书习题 17.8 给出两者的关系：无截距的一阶两变量 VAR 中，两步迭代预测可写成 \(Y_{t|t-2}=\delta_1Y_{t-2}+\delta_2X_{t-2}\)，其中 \(\delta_1=\beta_{11}^2+\gamma_{11}\beta_{21}\)，\(\delta_2=\beta_{11}\gamma_{11}+\gamma_{11}\gamma_{21}\)。直接法估计的正是 \(\delta_1,\delta_2\)，但不施加「它们是一步系数的特定非线性函数」这一约束。模型正确时约束带来效率；模型错误时约束带来偏差。

推导拆解：\(\delta_1,\delta_2\) 就是系数矩阵平方的第一行。

1. 无截距 VAR(1)：\(\mathbf Y_t=\mathbf A\mathbf Y_{t-1}+\mathbf u_t\)，\(\mathbf A=\begin{pmatrix}\beta_{11}&\gamma_{11}\\\beta_{21}&\gamma_{21}\end{pmatrix}\)。
2. 迭代两次：\(\mathbf Y_{t|t-2}=\mathbf A\,\mathbf Y_{t-1|t-2}=\mathbf A\cdot\mathbf A\mathbf Y_{t-2}=\mathbf A^2\mathbf Y_{t-2}\)。
3. 矩阵乘法：\(\mathbf A^2\) 第一行第一列 \(=\beta_{11}\beta_{11}+\gamma_{11}\beta_{21}\)，第一行第二列 \(=\beta_{11}\gamma_{11}+\gamma_{11}\gamma_{21}\)。

一般地，\(h\) 步迭代预测是 \(\mathbf A^h\mathbf Y_T\)。VAR 平稳要求 \(\mathbf A^h\to0\)，等价于 \(\mathbf A\) 的所有特征值绝对值小于 1——这就是 AR(1) 条件 \(|\beta_1|<1\) 的矩阵版本。

量化实战

1. 本章内容在量化中的用途

宏观–资产的领先关系。 多资产配置常用 VAR 联合建模宏观变量与资产收益，例如期限利差、通胀、信用利差与股债收益。Granger 式的 F 检验是因子研究里「增量信息检验」的标准做法：一个新信号在控制了收益自身滞后和已有因子之后，是否还有预测力。

参数膨胀的教训。 多资产 VAR（例如 20 个行业收益、5 阶滞后）有上千个参数，用 OLS 估计的样本外预测几乎一定比简单基准差。实际做法是精简变量、施加收缩（岭回归、贝叶斯 VAR），或者先用主成分降维（17d 章）。

重叠收益回归。 用日数据预测未来 5 日、20 日收益，或用月数据预测未来 12 个月收益，就是直接多期回归。由于每天滚动，相邻观测的因变量重叠 \(h-1\) 天，残差是 MA(\(h-1\))。这时：

• 普通 OLS 的 t 值会严重高估，这是因子 IC 研究和收益可预测性研究中最常见的统计错误之一；
• Newey–West 的滞后至少取 \(h-1\)；
• 即使如此，当预测变量高度持续（股息率、估值、利差这类变量的一阶自相关常在 0.95 以上）时，Newey–West 在有限样本中仍会过度拒绝。文献中的常见替代方案是只用不重叠样本、使用 Hodrick（1992）标准误，或用模拟/自助法得到临界值。

多步预测的选择。 波动率的多步预测（17c 章）几乎都用迭代法（GARCH 的方差预测递推）；收益的多期预测常用直接法，因为一步收益模型几乎肯定是误设的，而直接回归直接对准了你关心的持有期。

2. 示例一：估计 VAR、选择滞后、Granger 检验与迭代预测

下面模拟一个两变量 VAR(2)，结构仿照原书的 GDP 增长与期限利差，然后用 statsmodels 估计、选阶、检验，并手工核对迭代预测公式 (17.12)。

import numpy as np
import pandas as pd
from statsmodels.tsa.api import VAR

rng = np.random.default_rng(42)
T = 600
# 真实 VAR(2)：y = 宏观增长，s = 期限利差（利差领先增长）
A1 = np.array([[0.30, -0.80],
               [0.01,  1.05]])
A2 = np.array([[0.20,  1.10],
               [-0.05, -0.20]])
c = np.array([0.5, 0.4])
Sigma = np.array([[4.0, 0.3],
                  [0.3, 0.25]])
L = np.linalg.cholesky(Sigma)
Y = np.zeros((T + 100, 2))
for t in range(2, T + 100):
    Y[t] = c + A1 @ Y[t-1] + A2 @ Y[t-2] + L @ rng.standard_normal(2)
df = pd.DataFrame(Y[100:], columns=["gdpgr", "tspread"])

model = VAR(df)
sel = model.select_order(maxlags=8)
print("BIC 选出的滞后阶:", sel.selected_orders["bic"], " AIC:", sel.selected_orders["aic"])
res = model.fit(2)
print(res.params.round(2))

# Granger 因果（可预测性）检验：利差的两阶滞后在 gdpgr 方程中是否全为 0
g1 = res.test_causality("gdpgr", ["tspread"], kind="f")
g2 = res.test_causality("tspread", ["gdpgr"], kind="f")
print(f"tspread -> gdpgr: F={g1.test_statistic:.2f}, p={g1.pvalue:.4f}")
print(f"gdpgr -> tspread: F={g2.test_statistic:.2f}, p={g2.pvalue:.4f}")

# 迭代多期预测（statsmodels 的 forecast 就是迭代法）
last = df.values[-2:]
fc = res.forecast(last, steps=4)
print("迭代预测 h=1..4 (gdpgr, tspread):\n", fc.round(2))

# 手工核对两步预测：先预测 T+1，再代入
p = res.params.values  # 行: const, L1.gdpgr, L1.tspread, L2.gdpgr, L2.tspread
def step(y1, y2):
    x = np.r_[1, y1, y2]
    return x @ p
f1 = step(last[-1], last[-2])
f2 = step(f1, last[-1])
print("手工两步预测:", f2.round(2))

输出：

BIC 选出的滞后阶: 2  AIC: 2
            gdpgr  tspread
const        0.36     0.48
L1.gdpgr     0.28     0.02
L1.tspread  -0.67     1.03
L2.gdpgr     0.20    -0.06
L2.tspread   1.02    -0.22
tspread -> gdpgr: F=24.41, p=0.0000
gdpgr -> tspread: F=17.99, p=0.0000
迭代预测 h=1..4 (gdpgr, tspread):
 [[-0.23  2.54]
 [ 0.55  2.71]
 [ 1.24  2.73]
 [ 1.75  2.67]]
手工两步预测: [0.55 2.71]

几点观察：系统 BIC 和 AIC 都正确选出 2 阶；系数估计接近真值；两个方向的 Granger 检验都显著（样本量 600 比原书的 147 大得多，所以 F 值更大）。手工按 (17.12) 迭代得到的两步预测与软件一致，说明 forecast 用的就是迭代法。预测路径从 \(-0.23\) 逐步回升，体现了平稳 VAR 预测向无条件均值回归。

3. 示例二：重叠收益回归的标准误陷阱

真实日收益完全不可预测，信号是一个与收益无关的高持续 AR(1)（\(\phi=0.98\)，类似估值类指标）。我们用信号预测未来 20 日累计收益，看名义 5% 的 t 检验实际拒绝了多少次。

import numpy as np
import statsmodels.api as sm

rng = np.random.default_rng(0)
T, h, nsim = 1000, 20, 1000      # 1000 个交易日，预测未来 20 日累计收益
rej_ols, rej_hac, rej_hac_m = 0, 0, 0
for _ in range(nsim):
    r = rng.standard_normal(T + h) * 0.01          # 日收益：真实不可预测
    s = np.zeros(T + h)                              # 一个持续性很强的信号（AR(1), phi=0.98）
    e = rng.standard_normal(T + h)
    for t in range(1, T + h):
        s[t] = 0.98 * s[t-1] + e[t]
    # 直接 h 步回归：y_t = 未来 h 日累计收益，x_t = 当日信号
    y = np.array([r[t+1:t+1+h].sum() for t in range(T)])
    X = sm.add_constant(s[:T])
    ols = sm.OLS(y, X).fit()
    hac = sm.OLS(y, X).fit(cov_type="HAC", cov_kwds={"maxlags": h - 1})
    m_rule = int(0.75 * T ** (1/3))                 # 原书 (16.17) 的经验法则，约 7
    hac2 = sm.OLS(y, X).fit(cov_type="HAC", cov_kwds={"maxlags": m_rule})
    rej_ols += abs(ols.tvalues[1]) > 1.96
    rej_hac += abs(hac.tvalues[1]) > 1.96
    rej_hac_m += abs(hac2.tvalues[1]) > 1.96
print(f"名义水平 5%，真实拒绝率：")
print(f"  普通 OLS 标准误          : {rej_ols/nsim:.3f}")
print(f"  Newey-West, m=0.75T^(1/3)={int(0.75*T**(1/3))}: {rej_hac_m/nsim:.3f}")
print(f"  Newey-West, m=h-1={h-1}       : {rej_hac/nsim:.3f}")

输出：

名义水平 5%，真实拒绝率：
  普通 OLS 标准误          : 0.631
  Newey-West, m=0.75T^(1/3)=7: 0.259
  Newey-West, m=h-1=19       : 0.132

这个结果值得记住：一个完全无用的信号，用普通 OLS 标准误，63% 的情况下会被判为「5% 显著」。按经验法则取 7 阶滞后的 Newey–West 仍有 26% 的假阳性；滞后取到 \(h-1=19\) 后降到 13%，但仍是名义水平的两倍多。原因是回归元高度持续、残差又有长重叠，Newey–West 的有限样本表现不佳。实务建议：重叠回归至少用 \(m\ge h-1\) 的 HAC；对持续性强的预测变量，再用非重叠子样本或模拟临界值做稳健性检查；报告的 t 值门槛也应高于 1.96。

本章小结

VAR 把单变量自回归推广到 \(k\) 个变量：每个方程都用全部变量的滞后做回归元，逐方程 OLS 估计，各变量的预测基于同一信息集、相互一致。系数大样本联合正态，可以做跨方程的 F 检验，例如滞后阶检验和 Granger 式可预测性检验；后者检验的是增量预测力而非因果。VAR 参数随变量数平方增长，用 OLS 时必须少而精，否则估计误差吞掉预测力。滞后阶可用系统 BIC/AIC 选择。多期预测有迭代法和直接法：一步模型设定正确时迭代法更有效、跨步长更平滑，是默认选择；担心一步模型误设时用直接法。直接回归的误差必有 \(h-1\) 阶重叠自相关，必须用 HAC 标准误且截断参数随 \(h\) 增大，这在量化的重叠收益回归中至关重要。

练习

基础

1. 一个 4 变量、6 阶滞后的 VAR 共有多少个回归系数？若用 30 年季度数据估计，每个方程的自由度还剩多少？ 答案要点：每方程 \(4\times6+1=25\)，共 100；每方程 \(120-25=95\)（实际可用观测还要减去 6 个初始滞后）。
2. 平稳 AR(1)：\(\beta_0=0\)，\(\beta_1=0.5\)，\(Y_t=10\)。求 \(Y_{t+2|t}\) 和 \(h=20\) 的预测，并解释。（原书复习题 17.2） 答案要点：2.5；\(10\times0.5^{20}\approx10^{-5}\)，预测回归到均值 0。
3. 用 (17.5)(17.6) 和一步预测 \(GDPGR=2.8\)、\(TSpread=1.3\)，以及 2017:Q3 实际值 \(GDPGR=3.1\)、\(TSpread=1.2\)，计算利差的两步迭代预测。 提示：\(0.44+0.01\times2.8-0.05\times3.1+1.06\times1.3-0.22\times1.2\approx1.43\)。
4. 为什么 \(h=4\) 的直接预测回归的误差项一定序列相关？它的前几阶自相关一般不为零？ 提示：相邻观测的误差共享 3 个季度的冲击；前 3 阶。
5. 「X Granger 引起 Y」能否说明 X 对 Y 有因果效应？举一个金融中的反例。 提示：不能。股价 Granger 引起 GDP，是因为股价反映了对未来的预期。

进阶

6. （原书习题 17.1）(a) 证明平稳 AR(1) 的 \(h\) 步预测为 \(Y_{t+h|t}=\mu_Y+\beta_1^h(Y_t-\mu_Y)\)。(b) 若 \(X_t=\sum_{i=0}^\infty\delta^iY_{t+i|t}\)，\(|\delta|<1\)，证明 \(X_t=\mu_Y/(1-\delta)+(Y_t-\mu_Y)/(1-\beta_1\delta)\)。这就是现值模型：如果 \(Y\) 是股息，\(X\) 是股价的一部分。 提示：(b) 代入 (a) 后对两个几何级数求和。
7. （原书习题 17.8）无截距的一阶两变量 VAR，写出两步迭代预测 \(Y_{t|t-2}=\delta_1Y_{t-2}+\delta_2X_{t-2}\) 中的 \(\delta_1,\delta_2\)，并讨论直接回归估计的系数与迭代法的系数在什么情况下不同。 提示：\(\delta_1=\beta_{11}^2+\gamma_{11}\beta_{21}\)，\(\delta_2=\beta_{11}\gamma_{11}+\gamma_{11}\gamma_{21}\)；有限样本中总不同，模型误设时连概率极限也不同。
8. （原书习题 17.4）证明 AR(\(p\)) 中 \(h>p\) 时 \(Y_{t+h|t}=\beta_0+\beta_1Y_{t+h-1|t}+\cdots+\beta_pY_{t+h-p|t}\)。 提示：对 \(Y_{t+h}\) 的模型两边取 \(t\) 期条件期望，\(E(u_{t+h}|\mathcal F_t)=0\)。
9. 修改示例二：(a) 把信号持续性从 0.98 改为 0.5；(b) 只用不重叠样本（每 20 天取一个观测）做 OLS。比较各方法的拒绝率，说明结论。 提示：(a) 中 Newey–West 的过度拒绝明显减轻；(b) 普通标准误基本恢复正确水平，但样本量只剩 1/20，功效大幅下降。
10. 用示例一的模拟数据，比较 VAR(2) 迭代法与 Key Concept 17.3 直接法在 \(h=4\) 的伪样本外 RMSFE。再把真实模型改成第一个方程含 \(s_{t-1}^2\) 项（非线性），重复比较。 提示：模型正确时迭代法略优；非线性误设时直接法可能反超。

原书推荐习题：17.1（AR(1) 多步预测与现值模型）、17.4（迭代预测的递推）、17.8（迭代与直接预测的关系）；复习题 17.1、17.2；实证题 E17.1（用 PCE 通胀以 AR(2) 做迭代与直接法的两步预测）。

原书对照

注：原书页码 = PDF 页码 − 1。