附录 A1 常用分布与符号表

本附录整理 Wasserman 原书书末的符号表（List of Symbols）与分布表（Table of Distributions），并补充本册各章常用而原书表中未列出的几个分布、参数化约定与 scipy.stats 的对应关系，以及一份中英文术语对照。查阅时注意：不同教材对 Gamma、指数、几何分布的参数化不同，这是公式抄错的最常见来源。

读前导读

这份附录做什么用。 它不是用来通读的章节，而是一本"查表手册"，作用类似 CFA 考试随附的公式表或财报附注里的会计政策说明：读正文遇到不认识的符号、记不清某个分布的均值方差、或写代码时不确定 scipy 参数该填什么，就来这里查。

最值得先看的三处。 第一，A1.8 的参数化约定：指数分布和 Gamma 分布有"尺度 \(\beta\)"和"速率 \(\lambda=1/\beta\)"两种写法，抄错一个就差一个倒数，scipy 里还要留意正态传的是标准差而不是方差。这和利率报价分年化、半年复利、连续复利一样，数值不同但描述同一件事，混用就出错。第二，A1.9 的分布关系：多数分布都能从正态、Gamma、均匀分布组合出来，记住这几条关系比背密度公式有用。第三，A1.3 的收敛与阶符号：\(o(a_n)\) 读作"比 \(a_n\) 小得多"（比值趋于 0），\(O(a_n)\) 读作"和 \(a_n\) 同级或更小"（比值有界），下标 \(P\) 表示"以概率意义成立"，正文推导中经常出现。

需要先想起来的数学。 上确界 \(\sup\)、下确界 \(\inf\) 可以先当作最大值、最小值理解，区别只在于它们不一定能被取到（如 \(\sup_{x<1}x=1\)，但 1 不在范围内），见 第 00 册第 01 章 函数极限与连续。矩母函数（MGF）\(M(t)=\mathbb E e^{tX}\) 在 \(t=0\) 处的各阶导数给出各阶矩，表中 MGF"不存在"表示 \(\mathbb Ee^{tX}\) 对任何 \(t\ne0\) 都发散，\(t\) 分布（含 Cauchy）即属此类，这正是厚尾的标志。级数与 \(e^x\) 的展开见 第 04 章 级数与收敛，记号读法见 第 08 章 读懂数学证明与符号。

怎么用。 第一次只需浏览 A1.1–A1.4 的符号和 A1.8 的对照表，知道有哪些内容；分布表与术语对照在需要时再查。

A1.1 一般数学符号

A1.2 概率符号

注意 \(z_\alpha\) 是上分位数，所以 95% 双侧区间写作 \(\pm z_{\alpha/2}=\pm z_{0.025}=\pm1.96\)。

A1.3 收敛与阶的符号

A1.4 统计模型符号

A1.5 常用数学事实

• \(e^x=\sum_{k=0}^\infty\frac{x^k}{k!}\)
• \(\sum_{j=k}^\infty r^j=\frac{r^k}{1-r}\)（\(0<r<1\)）
• \(\lim_{n\to\infty}\big(1+\frac an\big)^n=e^a\)
• Stirling 公式：\(n!\approx n^ne^{-n}\sqrt{2\pi n}\)
• Gamma 函数：\(\Gamma(\alpha)=(\alpha-1)\Gamma(\alpha-1)\)；正整数 \(n\) 时 \(\Gamma(n)=(n-1)!\)；\(\Gamma(1)=1\)；\(\Gamma(1/2)=\sqrt\pi\)

A1.6 分布表（原书）

A1.7 补充分布（本教材补充，原书分布表未列）

A1.8 参数化约定与 scipy.stats 对照

Wasserman 对指数和 Gamma 分布用尺度（scale）参数 \(\beta\)（均值为 \(\beta\)），而第 02 册 Ross 的教材和很多文献用速率（rate）参数 \(\lambda=1/\beta\)。几何分布在原书中取值于 \(\{1,2,\dots\}\)（第一次成功所需的试验次数），有些书取值于 \(\{0,1,\dots\}\)（成功前的失败次数）。scipy.stats 的约定与 Wasserman 一致。

代码：核对分布表的均值、方差与 scipy 参数化。

import numpy as np
from scipy import stats
# 原书分布表的参数化 → scipy.stats 对象，核对均值与方差
a, b, n, p, lam, mu, s, al, be, nu, k = 1.0, 3.0, 10, 0.3, 2.5, 0.5, 2.0, 3.0, 2.0, 5, 4
table = [
    ("Bernoulli(p)",      stats.bernoulli(p),               p,              p*(1-p)),
    ("Binomial(n,p)",     stats.binom(n, p),                n*p,            n*p*(1-p)),
    ("Geometric(p)",      stats.geom(p),                    1/p,            (1-p)/p**2),
    ("Poisson(λ)",        stats.poisson(lam),               lam,            lam),
    ("Uniform(a,b)",      stats.uniform(loc=a, scale=b-a),  (a+b)/2,        (b-a)**2/12),
    ("Normal(μ,σ²)",      stats.norm(loc=mu, scale=s),      mu,             s**2),
    ("Exponential(β)",    stats.expon(scale=be),            be,             be**2),
    ("Gamma(α,β)",        stats.gamma(a=al, scale=be),      al*be,          al*be**2),
    ("Beta(α,β)",         stats.beta(al, be),               al/(al+be),     al*be/((al+be)**2*(al+be+1))),
    ("t_ν",               stats.t(nu),                      0.0,            nu/(nu-2)),
    ("χ²_p",              stats.chi2(k),                    k,              2*k),
]
ok = True
for name, d, m_, v_ in table:
    m, v = d.stats(moments="mv")
    good = np.isclose(m, m_) and np.isclose(v, v_); ok &= good
    print("%-15s 均值 %.4f / 表 %.4f   方差 %.4f / 表 %.4f  %s" % (name, m, m_, v, v_, "✓" if good else "✗"))
print("全部一致" if ok else "存在不一致")

关键输出：

Bernoulli(p)    均值 0.3000 / 表 0.3000   方差 0.2100 / 表 0.2100  ✓
Binomial(n,p)   均值 3.0000 / 表 3.0000   方差 2.1000 / 表 2.1000  ✓
Geometric(p)    均值 3.3333 / 表 3.3333   方差 7.7778 / 表 7.7778  ✓
Poisson(λ)      均值 2.5000 / 表 2.5000   方差 2.5000 / 表 2.5000  ✓
Uniform(a,b)    均值 2.0000 / 表 2.0000   方差 0.3333 / 表 0.3333  ✓
Normal(μ,σ²)    均值 0.5000 / 表 0.5000   方差 4.0000 / 表 4.0000  ✓
Exponential(β)  均值 2.0000 / 表 2.0000   方差 4.0000 / 表 4.0000  ✓
Gamma(α,β)      均值 6.0000 / 表 6.0000   方差 12.0000 / 表 12.0000  ✓
Beta(α,β)       均值 0.6000 / 表 0.6000   方差 0.0400 / 表 0.0400  ✓
t_ν             均值 0.0000 / 表 0.0000   方差 1.6667 / 表 1.6667  ✓
χ²_p            均值 4.0000 / 表 4.0000   方差 8.0000 / 表 8.0000  ✓
全部一致

A1.9 分布之间的常用关系

• Bernoulli\((p)\) 的 \(n\) 个 IID 之和为 Binomial\((n,p)\)；Binomial\((n,\lambda/n)\to\) Poisson\((\lambda)\)。
• Exponential\((\beta)=\) Gamma\((1,\beta)\)；\(n\) 个 IID Exponential\((\beta)\) 之和为 Gamma\((n,\beta)\)（第 23 章泊松过程的等待时间）。
• \(\chi^2_p=\) Gamma\((p/2,2)\)；\(Z_1^2+\cdots+Z_p^2\sim\chi^2_p\)（\(Z_i\) IID 标准正态）。
• \(t_\nu=Z/\sqrt{V/\nu}\)，\(Z\sim N(0,1)\) 与 \(V\sim\chi^2_\nu\) 独立；\(t_1\) 即 Cauchy；\(\nu\to\infty\) 时 \(t_\nu\to N(0,1)\)。
• Beta\((1,1)=\) Uniform\((0,1)\)；Binomial 似然配平坦先验得 Beta 后验 Beta\((x+1,n-x+1)\)（第 24a 章例 24.3）。
• 若 \(U\sim\) Uniform\((0,1)\)，则 \(F^{-1}(U)\sim F\)（逆变换抽样，蒙特卡洛的基础）。

A1.10 中英文术语对照（第 19–24 章）

原书对照