第 19 章 对数线性模型

本章对应 Wasserman 原书第 19 章《Log-Linear Models》。对数线性模型是多维离散数据（多维列联表）的标准建模工具，它把"哪些变量之间有关联、哪些在给定别的变量后条件独立"翻译成"对数概率展开式里哪些项为零"。它与第 17 章介绍的无向图紧密相连。对量化交易而言，这是一章"知道即可"的内容：当你把市场状态、行业、信号、涨跌方向等离散化后做多维交叉表时，它提供了检验条件独立的正规方法。本章做压缩处理，保留核心定理、模型分类和拟合方法。

学习目标

1. 会写出离散随机向量的对数线性展开 \(\log f(x)=\sum_{A\subset S}\psi_A(x)\)，知道交互项就是（广义）对数优势比。
2. 理解定理 19.4：条件独立 \(X_b\amalg X_c\mid X_a\) 等价于所有"跨 \(b\)、\(c\)"的交互项为零。
3. 能区分图模型、层次模型与非层次模型，会用生成元记号（如 \(1.2+1.3\)）描述层次模型。
4. 会用 Poisson GLM 拟合对数线性模型，用 AIC 或偏差（deviance）做模型选择，并知道"逐个检验、未拒绝即接受"的缺陷。

读前导读

这一章在解决什么问题

结论先说：本章把"多维交叉表里谁和谁有关"变成"回归里哪些系数为零"，于是可以用熟悉的回归和似然比工具来检验。

你在 CFA 里做过 \(2\times2\) 列联表的卡方独立性检验，例如"信号出现与否 × 次日涨跌"。问题是现实中总有第三个变量（市场状态、行业、市值档）。只看两维表会被第三个变量误导——这就是第 16 章的辛普森悖论。对数线性模型的做法是：对每个格子的概率取对数，写成"总水平 + 各变量主效应 + 两两交互 + 三阶交互……"，结构和含交互项的回归一模一样。某个交互项为零，就代表某种独立或条件独立。

和第 17 章的关系：第 17 章的无向图告诉你"缺边 = 给定其余变量条件独立"；本章给出离散变量下这句话的参数形式，以及用数据拟合、选择这种图的方法。

需要先想起来的数学

1. 对数把乘法变加法。 \(\log(ab)=\log a+\log b\)。独立意味着 \(f(x,y)=f(x)f(y)\)，取对数就变成 \(\log f(x)+\log f(y)\)，没有"同时含 \(x\) 和 \(y\)"的项。这正是"交互项为零 ⟺ 独立"的根源。参见 第 00 册第 04 章 级数与收敛 中 e 与指数对数部分。

2. 优势比（odds ratio）。 \(2\times2\) 表中 \(\frac{p_{11}p_{00}}{p_{01}p_{10}}\) 等于 1 时两变量独立，大于 1 时正相关。例：信号出现时上涨 60 次、下跌 40 次；未出现时上涨 50 次、下跌 50 次，优势比 \(=\frac{60\times50}{40\times50}=1.5\)，对数优势比 \(\log1.5\approx0.405\)。

3. 示性函数 \(I(\cdot)\)。 \(I(x_2=1)\) 在 \(x_2=1\) 时取 1，否则取 0，作用就是回归里的哑变量（dummy）。

4. 似然比检验与 \(\chi^2\) 分布。 两个嵌套模型的对数似然差的 2 倍，在原假设下近似服从 \(\chi^2\)，自由度为参数个数之差。你在第 10a 章见过。符号 \(\rightsquigarrow\) 表示"分布收敛到"，见 第 00 册第 07 章 概率中的分析工具。

怎么读这一章

核心必读：例 19.3（理解交互项就是对数优势比）、定理 19.4 的陈述、生成元表格、19.4 节实战与解读。定理 19.4 的证明思路、定义 19.6 与例 19.7 的图模型判别第一次可以只看结论。建议先读例 19.2–19.3，再直接跳到 19.4 节实战建立直觉，然后回头读 19.1.1 与 19.2，最后读 19.3 的模型选择。

19.1 对数线性展开

设 \(X=(X_1,\dots,X_m)\) 是离散随机向量，概率函数 \(f(x)=\mathbb P(X_1=x_1,\dots,X_m=x_m)\)。第 \(j\) 个分量取 \(r_j\) 个值，不妨记为 \(\{0,1,\dots,r_j-1\}\)。\(n\) 个这样的向量就是一个 \(N=r_1\times\cdots\times r_m\) 类的多项分布样本，数据可以写成 \(r_1\times\cdots\times r_m\) 的列联表（contingency table），参数是多项概率 \(p=(p_1,\dots,p_N)\)。

记 \(S=\{1,\dots,m\}\)，对子集 \(A\subset S\) 记 \(x_A=(x_j:j\in A)\)，例如 \(A=\{1,3\}\) 时 \(x_A=(x_1,x_3)\)。

定理 19.1（对数线性展开，log-linear expansion）。 联合概率函数总可以写成

1. \(\psi_\emptyset(x)\) 是常数；
2. 每个 \(\psi_A(x)\) 只依赖于 \(x_A\)；
3. 若 \(i\in A\) 且 \(x_i=0\)，则 \(\psi_A(x)=0\)（以 0 为基准水平的识别约束）。

白话解释：这就是"把 \(\log\) 概率表写成带全部交互项的哑变量回归"。三个二元变量时，子集共有 \(2^3=8\) 个：\(\emptyset,\{1\},\{2\},\{3\},\{1,2\},\{1,3\},\{2,3\},\{1,2,3\}\)，对应截距、三个主效应、三个两两交互、一个三阶交互。格子也恰好 8 个，所以这个展开总是能写出来（参数数等于格子数），这就是"饱和"的意思。第 3 条约束和回归里"以某一类为基准、哑变量少设一个"是同一回事，否则参数不唯一。

每个 \(\psi_A\) 由一组参数 \(\beta_A\) 决定，合起来记 \(\beta=(\beta_A:A\subset S)\)，写作 \(f(x)=f(x;\beta)\)。多项参数 \(p\) 与对数线性参数 \(\beta\) 一一对应，只是两种参数化：多项参数空间是 \(N-1\) 维单纯形，\(\beta\) 的参数空间是 \(\mathbb R^N\) 中一张 \(N-1\) 维曲面（多出来的一维被"概率和为 1"吃掉）。

例 19.2（Bernoulli）。 \(f(x)=p_1^xp_2^{1-x}\)，\(p_1=p\)，\(p_2=1-p\)。于是

例 19.3（\(2\times3\) 表）。 \(X_1\in\{0,1\}\)，\(X_2\in\{0,1,2\}\)，概率 \(p_{ij}\)。展开为 \(\log f=\psi_\emptyset+\psi_1+\psi_2+\psi_{12}\)，

推导拆解：为什么 \(\beta_5\) 是对数优势比？把四个格子的 \(\log p\) 分别代入展开式： （沿用练习 1 的编号：\(\beta_1=\log p_{00}\)，\(\beta_2=\log\frac{p_{10}}{p_{00}}\)，\(\beta_3=\log\frac{p_{01}}{p_{00}}\)。） \(\log p_{00}=\beta_1\)；\(\log p_{10}=\beta_1+\beta_2\)（只有 \(x_1=1\) 的主效应激活）；\(\log p_{01}=\beta_1+\beta_3\)（只有 \(x_2=1\) 的主效应激活）；\(\log p_{11}=\beta_1+\beta_2+\beta_3+\beta_5\)。 做"二阶差分"：\(\log p_{11}-\log p_{10}-\log p_{01}+\log p_{00}=\beta_5\)，即 \(\beta_5=\log\frac{p_{11}p_{00}}{p_{10}p_{01}}\)。主效应在差分中全部抵消，只剩交互。这和双重差分（DID）的逻辑完全一样：交互项衡量"\(x_1\) 的效应是否随 \(x_2\) 变化"。

19.1.1 条件独立与交互项

引理 19.5。 \(X_b\amalg X_c\mid X_a\) 当且仅当 \(f(x_a,x_b,x_c)=g(x_a,x_b)\,h(x_a,x_c)\) 对某两个函数 \(g,h\) 成立。

定理 19.4。 设 \((X_a,X_b,X_c)\) 是 \((X_1,\dots,X_m)\) 的一个划分。\(X_b\amalg X_c\mid X_a\) 当且仅当对数线性展开中所有同时含有 \(b\) 中至少一个坐标和 \(c\) 中至少一个坐标的 \(\psi_t\) 都为零。

证明思路。 若跨 \(b,c\) 的项都为零，那么每个非零的 \(\psi_t\) 要么 \(t\subset a\cup b\)，要么 \(t\subset a\cup c\)（只含 \(a\) 的项两边都算到，需减去一次）：

推导拆解：用三变量的最小例子走一遍。设 \(a=\{1\}\)、\(b=\{2\}\)、\(c=\{3\}\)，要检验 \(X_2\amalg X_3\mid X_1\)。"跨 \(b,c\)"的项是同时含 2 和 3 的项：\(\psi_{23}\) 与 \(\psi_{123}\)。令它们为零，剩下 \(\log f=\underbrace{\psi_\emptyset+\psi_1+\psi_2+\psi_{12}}_{\text{只含 }x_1,x_2}+\underbrace{\psi_3+\psi_{13}}_{\text{只含 }x_1,x_3}\)。 取指数后 \(f=g(x_1,x_2)\,h(x_1,x_3)\)。引理 19.5 的理由是：\(f(x_2,x_3\mid x_1)=f/f(x_1)\)，分母只含 \(x_1\)，可以并入 \(g\)，于是在每个 \(x_1\) 层内，联合概率拆成"只含 \(x_2\)"乘"只含 \(x_3\)"，这就是条件独立。

白话解释：符号 \(\psi_t\) 中的 \(t\) 是变量下标的集合；"\(t\subset a\cup b\)"读作"\(t\) 里的变量都来自 \(a\) 或 \(b\)"。

19.2 三类模型：图模型、层次模型、非层次模型

把某些 \(\psi\) 项设为零，就得到一个"子模型"。子模型按约束的性质分成三类。

图模型（graphical model）。 定义 19.6：若存在一张无向图 \(\mathcal G\)，使得 \(\psi_A=0\) 当且仅当 \(A\) 中含有某对在图中不相连的顶点，则称模型是图模型。换言之，图模型里"缺失的项"全部来自条件独立约束，没有别的约束。判别口诀：往模型里加一项而图不变，则原模型不是图模型。

例 19.7。 5 个变量，边为 \((1,2),(2,3),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)\)。对应图模型是

层次模型（hierarchical model）。 定义 19.8：若 \(\psi_A=0\) 且 \(A\subset B\) 蕴含 \(\psi_B=0\)，则模型是层次的。等价地，高阶项出现时它的所有低阶"子项"都必须出现。

引理 19.9。 图模型一定是层次模型，反之不然。

• 例 19.10：\(\log f=\psi_\emptyset+\psi_1+\psi_2+\psi_3+\psi_{12}+\psi_{13}\)。图为 \(2-1-3\)，是图模型，也是层次模型，表达 \(X_2\amalg X_3\mid X_1\)。
• 例 19.11：\(\log f=\psi_\emptyset+\psi_1+\psi_2+\psi_3+\psi_{12}+\psi_{13}+\psi_{23}\)。层次但非图模型：对应的图是完全图，而 \(\psi_{123}=0\) 不对应任何条件独立，称为"无三阶交互"模型（每两个变量的优势比不随第三个变量变化）。
• 例 19.12：\(\log f=\psi_\emptyset+\psi_1+\psi_3+\psi_{12}\)。\(\psi_2=0\) 却有 \(\psi_{12}\ne0\)，非层次，当然也非图模型。这类模型很难解释，一般不用。

生成元（generators）记号。 层次模型只需列出"最高阶"的项，低阶项自动包含。三变量时：

白话解释：生成元里的"."表示"放在同一个交互项里"，"+"表示"并列的块"。读 \(1.2+1.3\) 时，把它想成两张小表：一张 \(X_1\times X_2\)，一张 \(X_1\times X_3\)，模型只保留这两张表里的关联，没有任何直接连接 \(X_2\) 与 \(X_3\) 的项，所以给定 \(X_1\) 后二者独立。最后一行"\(X_3\) 均匀分布"是因为连主效应 \(\psi_3\) 都没有，\(X_3\) 的每个取值概率相同；这类模型在实务中很少用到。

金融直觉：例 19.11 的"无三阶交互"在量化中有具体含义。设三个变量为信号、次日涨跌、市场状态，\(\psi_{123}=0\) 表示"信号与涨跌之间的优势比在平稳期与高波动期相同"。若 \(\psi_{123}\ne0\)，说明信号只在某种状态下有效——这正是"状态依赖型信号"的形式化表述。

19.3 拟合与模型选择

拟合。 对数似然 \(\ell(\beta)=\sum_{i=1}^n\log f(X_i;\beta)\)，MLE 一般要数值求解，标准误由 Fisher 信息矩阵（也数值计算）的逆给出。实务中最方便的做法是：把列联表每个格子的计数当作响应变量，用 Poisson 回归（Poisson GLM）、以 \(\log\) 为联系函数、以各变量的示性项及其交互为协变量。可以证明，在给定总数 \(n\) 的条件下，Poisson 似然与多项似然给出相同的 \(\beta\)（截距除外）和相同的偏差。

模型选择本质上与线性回归中的变量选择相同：决定保留哪些 \(\psi\) 项。原书给了两种办法。

1. AIC。 选择使

   \[\mathrm{AIC}(M)=\hat\ell(M)-|M|\tag{19.2}\]
   最大的模型，\(|M|\) 是参数个数（注意 Wasserman 的 AIC 符号约定是"越大越好"，等于常见定义 \(-2\hat\ell+2|M|\) 的 \(-1/2\) 倍）。通常只在层次模型里搜索。

2. 偏差检验。 定义 19.13：

   \[\mathrm{dev}(M)=2(\hat\ell_{\rm sat}-\hat\ell_M).\]
   定理 19.14：它是检验 \(H_0\)："真模型为 \(M\)" 对 \(H_1\)："真模型为饱和模型" 的似然比统计量，\(H_0\) 下 \(\mathrm{dev}(M)\rightsquigarrow\chi^2_\nu\)，\(\nu\) 等于两模型参数个数之差。

白话解释：饱和模型对每个格子都给一个自由参数，能把观测频率拟合得分毫不差，是"最好可能的拟合"。偏差衡量模型 \(M\) 离这个上限差多少。可以把它类比回归中的残差平方和：残差越小拟合越好，但要和自由度对照才知道"小"是否足够小。

用实战输出验证：\(R.S+R.U\) 的对数似然 \(-30.973\)，饱和模型 \(-30.466\)，偏差 \(=2\times(-30.466+30.973)=1.014\)；参数数 \(8-6=2\) 为自由度；\(\mathbb P(\chi^2_2>1.014)\approx0.60\)，与表中一致。

为什么能用 Poisson 回归：每个格子的计数可以看成独立的 Poisson 变量，期望 \(\mu_{\text{格}}=n\,p_{\text{格}}\)，于是 \(\log\mu=\log n+\log p\)——对数线性展开前面多了一个常数，被截距吸收。这就是"除截距外参数相同"的原因。

原书特别警告：用偏差检验逐个检验子模型、把未被拒绝的都当作合理模型，不是好策略。 原因有二：检验次数多，第一类和第二类错误的机会都多（第 10b 章的多重检验问题）；未拒绝 \(H_0\) 可能只是功效太低，结果是因为"数据不够"而接受了一个坏模型。偏差更适合在选定模型后做拟合优度检查。

例 19.15（乳腺癌数据）。 三个变量：治疗中心（center）、肿瘤分级（grade）、生存（survival）。饱和模型中只有截距、survival 和 center×grade 显著；三阶交互估计为 0.12（se 0.40，p = 0.76）。AIC 后向搜索得到的最佳子模型保留 center×grade（−0.67，se 0.18）与 grade×survival（0.37，se 0.19），去掉 center×survival 与三阶项，对应图

即 Center \(\amalg\) Survival \(\mid\) Grade：给定肿瘤分级后，在哪个中心治疗与是否生存无关。拟合优度：偏差 0.6，自由度 \(8-6=2\)，p 值 \(\mathbb P(\chi^2_2>0.6)=0.74\)，没有证据表明模型拟合差。

19.4 量化实战：检验"信号与涨跌在给定市场状态下条件独立"

场景。 你有一个离散信号 \(S\)（例如"放量突破"是否出现），想知道它是否预测次日方向 \(U\)（涨 / 跌）。直接做 \(S\times U\) 的 \(2\times2\) 卡方检验发现显著。但信号出现的频率和次日涨跌概率都依赖于市场状态 \(R\)（高波动 / 平稳）：高波动期信号更常触发，次日下跌也更多。这时 \(S\) 与 \(U\) 的边际相关可能完全由 \(R\) 造成——这就是第 16 章辛普森悖论在离散数据中的形式。对数线性模型的问题等价于：\(S\amalg U\mid R\) 是否成立，即模型 \(R.S+R.U\) 是否足够。

下面的模拟中，真实结构就是 \(S\amalg U\mid R\)。

import warnings; warnings.filterwarnings("ignore")
import numpy as np, pandas as pd, itertools
import statsmodels.api as sm, statsmodels.formula.api as smf
from scipy import stats

rng = np.random.default_rng(19)
# 模拟 3000 个“股票-日”观测：R=市场状态(0平稳/1高波动), S=信号(0无/1有), U=次日方向(0跌/1涨)
# 真实结构：S 与 U 只通过 R 相关联 -> S ⟂ U | R （模型 R.S + R.U）
n = 3000
R = rng.binomial(1, 0.3, n)
S = rng.binomial(1, np.where(R == 1, 0.6, 0.3))
U = rng.binomial(1, np.where(R == 1, 0.42, 0.53))
df = pd.DataFrame({"R": R, "S": S, "U": U})
tab = df.value_counts().rename("count").reset_index()
full = pd.DataFrame(list(itertools.product([0, 1], repeat=3)), columns=["R", "S", "U"])
tab = full.merge(tab, how="left").fillna(0)
print(tab.pivot_table(index=["R", "S"], columns="U", values="count"))

models = {
    "R+S+U (完全独立)": "count ~ C(R)+C(S)+C(U)",
    "R.S+U":            "count ~ C(R)*C(S)+C(U)",
    "R.S+R.U (S⟂U|R)":  "count ~ C(R)*C(S)+C(R)*C(U)",
    "R.S+R.U+S.U (无三阶)": "count ~ (C(R)+C(S)+C(U))**2",
    "R.S.U (饱和)":      "count ~ C(R)*C(S)*C(U)",
}
rows = []
for name, f in models.items():
    m = smf.glm(f, data=tab, family=sm.families.Poisson()).fit()
    k = len(m.params)
    rows.append([name, k, m.llf, m.deviance, 8 - k,
                 stats.chi2.sf(m.deviance, 8 - k) if k < 8 else np.nan,
                 m.llf - k])
out = pd.DataFrame(rows, columns=["模型", "参数数", "对数似然", "偏差dev", "自由度", "p值", "AIC(=ℓ-|M|)"])
pd.set_option("display.width", 200)
print(out.round(3).to_string(index=False))

# 边际上看 S 与 U 是否相关？（忽略 R 时会出现伪相关）
ct = pd.crosstab(df.S, df.U)
chi2, p, _, _ = stats.chi2_contingency(ct, correction=False)
print("忽略 R 的 S-U 列联表卡方检验: chi2=%.2f, p=%.4f" % (chi2, p))

关键输出：

U        0      1
R S              
0 0  693.0  788.0
  1  298.0  309.0
1 0  207.0  152.0
  1  313.0  240.0
               模型  参数数     对数似然   偏差dev  自由度    p值  AIC(=ℓ-|M|)
     R+S+U (完全独立)    4 -174.324 287.716    4 0.000     -178.324
            R.S+U    5  -42.596  24.260    3 0.000      -47.596
  R.S+R.U (S⟂U|R)    6  -30.973   1.014    2 0.602      -36.973
R.S+R.U+S.U (无三阶)    7  -30.793   0.654    1 0.419      -37.793
       R.S.U (饱和)    8  -30.466   0.000    0   NaN      -38.466
忽略 R 的 S-U 列联表卡方检验: chi2=4.02, p=0.0449

解读。 忽略市场状态时，信号与次日方向的卡方检验在 5% 水平下"显著"（p = 0.045），似乎信号有预测力。对数线性模型给出不同结论：\(R.S+R.U\) 的偏差为 1.01（自由度 2，p = 0.60），拟合良好；加入 \(S.U\) 项后偏差只降低 0.36，AIC 反而变差。按 AIC，\(R.S+R.U\) 是最佳模型，即 \(S\amalg U\mid R\)——信号的"预测力"只是市场状态的代理。实务上这提示我们：评估离散信号时，要在状态变量内做条件检验（或用 logistic 回归控制 \(R\)，两者在本例中等价，因为 logistic 回归 \(U\sim R+S\) 恰好对应对数线性模型里含 \(R.S\) 的部分）。

同样的方法可以用于：信用评级 × 行业 × 是否违约的三维表；订单类型 × 时段 × 是否成交；多个离散化技术信号的联合依赖结构。变量多于 4–5 个、每个水平较多时，格子会大量为零，此时应改用 logistic 回归或正则化方法。

本章小结

任何离散联合分布都可以写成对数线性展开 \(\log f=\sum_A\psi_A\)，交互项是广义对数优势比。条件独立 \(X_b\amalg X_c\mid X_a\) 等价于所有跨 \(b,c\) 的交互项为零，这把条件独立检验转化为"某些参数是否为零"。模型分三层：图模型（只有条件独立约束）⊂ 层次模型（高阶项在则低阶项必在）⊂ 一般模型；层次模型可以用生成元记号简写。拟合用数值 MLE（实务上用 Poisson GLM），模型选择用 AIC 或偏差；逐个检验、未拒绝即接受会掉进多重检验和低功效的陷阱。

练习

基础

1. 例 19.3 中，用 \(\beta_1,\dots,\beta_6\) 表示全部 \(p_{ij}\)（原书习题 1）。（提示：\(p_{00}=e^{\beta_1}\)，\(p_{10}=e^{\beta_1+\beta_2}\)，\(p_{01}=e^{\beta_1+\beta_3}\)，\(p_{02}=e^{\beta_1+\beta_4}\)，\(p_{11}=e^{\beta_1+\beta_2+\beta_3+\beta_5}\)，\(p_{12}=e^{\beta_1+\beta_2+\beta_4+\beta_6}\)；\(\beta_1\) 由六项和为 1 决定。）
2. 证明引理 19.5（原书习题 2）。（提示：若 \(f=gh\)，计算 \(f(x_b,x_c\mid x_a)\) 并证明它分解为 \(x_b\) 的函数乘 \(x_c\) 的函数。）
3. 说明为什么图模型一定是层次模型（引理 19.9，原书习题 3）。（提示：若 \(A\) 含一对不相连顶点，任何 \(B\supset A\) 也含这对顶点。）
4. 三个二元变量，写出生成元为 \(1.3+2\) 的模型的全部 \(\psi\) 项，并说出它表达的独立关系。（答案：\(\psi_\emptyset,\psi_1,\psi_2,\psi_3,\psi_{13}\)；\(X_2\amalg(X_1,X_3)\)。）
5. 原书习题 5：\(p(x_1,x_2,x_3)\) 正比于下表（列依次为 \((x_2,x_3)=(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)\)）：\(x_1=0\)：2, 8, 4, 16；\(x_1=1\)：16, 128, 32, 256。求全部 \(\psi\) 项。（提示：\(\psi_1\) 系数 \(\log8\)，\(\psi_2\) 系数 \(\log2\)，\(\psi_3\) 系数 \(\log4\)，\(\psi_{13}\) 系数 \(\log2\)，\(\psi_{12}=\psi_{23}=\psi_{123}=0\)。模型为 \(1.3+2\)。）

进阶

6. 原书习题 6：四个二元变量，判断 (a) \(\log f=7+11x_1+2x_2+1.5x_3+17x_4\)；(c) \(\log f=7+11x_1+2x_2+1.5x_3+17x_4+12x_2x_3+3x_3x_4+x_1x_4+2x_1x_2\) 是否为图模型、层次模型，并画出独立图。（提示：(a) 是相互独立模型，图无边，图模型；(c) 图为环 \(1-2-3-4-1\)，层次，且四条边都不构成三角形，没有可补的高阶项，所以是图模型。）
7. 在 19.4 节代码中把 U 的生成概率改为同时依赖 \(R\) 和 \(S\)（例如 \(S=1\) 时次日上涨概率再加 0.04），重跑模型比较。在 \(n=3000\) 时 AIC 能否选出 \(R.S+R.U+S.U\)？把 \(n\) 改为 30000 呢？这说明了什么？
8. 为什么"未被偏差检验拒绝"不足以说明模型正确？用第 10a 章的功效概念解释，并结合第 10b 章说明在 \(2^m\) 个候选子模型中逐个检验的问题。

原书推荐习题：第 19 章习题 1、5、6。

原书对照