第 07c 章 矩母函数与多元正态分布

本章对应 Ross 原书 7.7–7.8 节及第 7 章小结。矩母函数是证明中心极限定理（第 08 章）、推导 Chernoff 界、识别独立和分布的工具；多元正态分布是风险模型、参数 VaR 和 t 检验的基础。

学习目标

1. 会由矩母函数（MGF）求各阶矩，记住常见分布的 MGF。
2. 掌握 MGF 的两条核心性质：独立和的 MGF 是乘积；MGF 唯一决定分布。会用它们证明二项、Poisson、正态、Gamma 等分布的可加性。
3. 会用 MGF 求随机和的分布与矩，理解 Poisson 稀疏化。
4. 掌握多元正态的构造定义（独立标准正态的线性变换），理解它完全由均值向量和协方差矩阵决定，会用 \(E[e^Y]=e^{\mu+\sigma^2/2}\)。
5. 理解正态样本中 \(\bar X\) 与 \(S^2\) 独立、\((n-1)S^2/\sigma^2\sim\chi^2_{n-1}\)，这是 t 检验与夏普比率显著性检验的基础。

读前导读

这一章在解决什么问题。 前半章介绍一个计算工具：矩母函数（MGF）。它把一个分布「编码」成一个函数 \(M(t)\)，好处有两条：独立随机变量相加时，MGF 直接相乘，而求和的密度需要做卷积，难算得多；MGF 又能唯一还原分布。所以要判断「几个独立变量加起来是什么分布」，算 MGF 的乘积、再对照表格认出来就行。下一章证明中心极限定理，用的就是这一招。

后半章讲多元正态分布。你在 CFA 里用过参数法 VaR：组合收益 \(\sim N(w^\top\mu,\ w^\top\Sigma w)\)，VaR 等于均值减去 \(z\) 倍标准差。这一步默认了「正态资产的线性组合仍是正态」，本章证明它，并说明多元正态只由均值向量和协方差矩阵决定。本章还解释了两件你可能只背过的事：Black–Scholes 里对数收益漂移为什么是 \(r-\sigma^2/2\)；t 检验里的 \(t_{n-1}\) 分布从哪里来。

需要先想起来的数学。

• 指数函数与 \(e^x\) 的级数。 \(e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots\)，\(e^{a}e^{b}=e^{a+b}\)。例：\(e^{0.1}\approx1+0.1+0.005=1.105\)。MGF 能「生成矩」，是因为 \(E[e^{tX}]=1+tE[X]+\frac{t^2}{2}E[X^2]+\cdots\)，第 \(n\) 阶矩就是 \(t^n/n!\) 前面的系数。见 第 00 册第 04 章 级数与收敛。
• 求导与链式法则。 本章要对 \(e^{g(t)}\) 求一阶、二阶导数：\(\frac{d}{dt}e^{g(t)}=g'(t)e^{g(t)}\)。例：\(\frac{d}{dt}e^{t^2/2}=te^{t^2/2}\)，在 \(t=0\) 处为 0，二阶导数在 0 处为 1，对应标准正态均值 0、方差 1。见 第 00 册第 02 章 导数与泰勒展开。
• 高斯积分。 \(\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2/(2\sigma^2)}dx=\sqrt{2\pi}\,\sigma\)，即正态密度积分为 1 的另一种写法。见 第 00 册第 03 章 积分。
• 矩阵乘法、转置、Cholesky 分解。 \(\Sigma=AA^\top\) 可以理解为「协方差矩阵的平方根」，就像 \(\sigma^2\) 的平方根是 \(\sigma\)。\(\mathbf t^\top\Sigma\mathbf t\) 是二次型，算出一个数。见 第 00 册第 06 章 线性代数速成。

怎么读这一章。 核心必读：7.7.1 的定义和表格、7.7.2 两大性质与例 7f–7h、7.8.1 全节、7.8.2 的命题 8.1，以及量化实战。例 7i（卡方）、7j（随机和）、7m（稀疏化）次要但有用；7.7.3 联合 MGF 与例 7k、7l 第一次可以只看结论。「第 7 章其他值得了解的结果」当作参考清单，用到时再回来查。

7.7 矩母函数

7.7.1 定义与求矩

随机变量 \(X\) 的矩母函数（moment generating function，MGF）

推导拆解：对 \(t\) 求导，\(\frac{d}{dt}e^{tX}=Xe^{tX}\)（把 \(X\) 当常数，链式法则）。「交换求导和期望」是说先求导再取期望，等于先取期望再求导，即 \(\frac{d}{dt}E[e^{tX}]=E[\frac{d}{dt}e^{tX}]\)，因为期望本质上是加权求和，求导可以逐项进行。令 \(t=0\)，\(e^{0}=1\)，于是 \(M'(0)=E[X]\)。 小例子：Bernoulli\((p)\) 的 \(M(t)=1-p+pe^t\)，\(M'(t)=pe^t\)，\(M''(t)=pe^t\)，所以 \(E[X]=E[X^2]=p\)，方差 \(p-p^2\)。 白话：MGF 好比把一个分布的全部矩「打包压缩」进一个函数，在 0 附近对它做泰勒展开，就能把各阶矩一个个拆出来。

常见分布的 MGF（例 7a–7d）

• 二项 \((n,p)\)：由二项式定理，\(M(t)=(pe^t+1-p)^n\)。\(M'(0)=np\)，\(M''(0)=n(n-1)p^2+np\)，\(\mathrm{Var}=np(1-p)\)。
• Poisson \((\lambda)\)：\(M(t)=\sum e^{tn}e^{-\lambda}\lambda^n/n!=\exp\{\lambda(e^t-1)\}\)。\(E=\lambda\)，\(E[X^2]=\lambda^2+\lambda\)，\(\mathrm{Var}=\lambda\)。
• 指数 \((\lambda)\)：\(M(t)=\frac{\lambda}{\lambda-t}\)，只在 \(t<\lambda\) 时有定义。\(E=1/\lambda\)，\(E[X^2]=2/\lambda^2\)，\(\mathrm{Var}=1/\lambda^2\)。
• 正态：标准正态通过配方 \(tx-\frac{x^2}2=-\frac{(x-t)^2}2+\frac{t^2}2\) 得 \(M_Z(t)=e^{t^2/2}\)；\(X=\mu+\sigma Z\) 时
  \[M_X(t)=e^{\mu t}M_Z(\sigma t)=\exp\Big\{\mu t+\frac{\sigma^2t^2}{2}\Big\}.\]

推导拆解：标准正态：\(M_Z(t)=\frac1{\sqrt{2\pi}}\int e^{tx}e^{-x^2/2}dx=\frac1{\sqrt{2\pi}}\int e^{tx-x^2/2}dx\)。用配方把指数写成 \(-\frac{(x-t)^2}2+\frac{t^2}2\)（展开验证：\(-\frac{x^2-2tx+t^2}{2}+\frac{t^2}2=tx-\frac{x^2}2\)）。\(e^{t^2/2}\) 与 \(x\) 无关，提到积分外；剩下 \(\frac1{\sqrt{2\pi}}\int e^{-(x-t)^2/2}dx\) 是均值为 \(t\) 的正态密度的积分，等于 1。 一般正态：\(E[e^{t(\mu+\sigma Z)}]=e^{\mu t}E[e^{(\sigma t)Z}]\)，后者就是 \(M_Z\) 在 \(\sigma t\) 处的值 \(e^{\sigma^2t^2/2}\)。

原书表 7.1、7.2 的汇总：

完整的分布速查（含密度、用途和注意事项）见本册附录 A1。

7.7.2 两大性质

性质 1：独立和的 MGF 是乘积。 \(X,Y\) 独立时，由第 07a 章命题 4.1，

性质 2：唯一性。 若 \(M_X(t)\) 在 \(t=0\) 的某个邻域内存在且有限，则它唯一决定 \(X\) 的分布。例：\(M(t)=(\frac12)^{10}(e^t+1)^{10}\) 说明 \(X\sim\text{Bin}(10,\frac12)\)；\(M(t)=e^{3(e^t-1)}\)（例 7e）说明 \(X\sim\) Poisson(3)，从而 \(P\{X=0\}=e^{-3}\)。

两条性质合起来就是「算出和的 MGF，认出它是谁」：

白话解释：性质 1 成立的原因是 \(e^{t(X+Y)}=e^{tX}\cdot e^{tY}\)，指数把「加」变成了「乘」，独立又让乘积的期望等于期望的乘积。性质 2 相当于说 MGF 是分布的「指纹」：两个分布的 MGF 在 0 附近处处相同，它们就是同一个分布。 例 7g 的完整过程：\(e^{\lambda_1(e^t-1)}\cdot e^{\lambda_2(e^t-1)}=e^{(\lambda_1+\lambda_2)(e^t-1)}\)，查表这正是 Poisson\((\lambda_1+\lambda_2)\) 的 MGF。金融含义：两个相互独立的订单来源（比如两家交易所）各自的到达笔数是 Poisson，合并后仍是 Poisson，强度相加。

• 例 7f 独立的 \(\text{Bin}(n,p)+\text{Bin}(m,p)=\text{Bin}(n+m,p)\)。
• 例 7g 独立的 Poisson\((\lambda_1)\) + Poisson\((\lambda_2)\) = Poisson\((\lambda_1+\lambda_2)\)。
• 例 7h 独立正态之和仍为正态，均值、方差分别相加：\(\exp\{\mu_1t+\sigma_1^2t^2/2\}\exp\{\mu_2t+\sigma_2^2t^2/2\}\) 仍是正态的 MGF。
• 同理，同一 \(\lambda\) 的独立 Gamma 相加形状参数相加；\(n\) 个独立指数\((\lambda)\)之和为 Gamma\((n,\lambda)\)。

注意 MGF 不存在的情形。 唯一性定理要求 MGF 在 0 附近有限。厚尾分布常常不满足：Cauchy 分布连期望都不存在，MGF 当然也不存在；对数正态分布各阶矩都存在，但 \(E[e^{tX}]\) 对任何 \(t>0\) 都是无穷。处理这类分布要用特征函数 \(E[e^{itX}]\)（复数版本，总是存在），这超出了 Ross 的范围。

金融直觉：对数正态的 MGF 为什么不存在？\(X=e^Y\) 本身已经是指数，\(e^{tX}=e^{te^Y}\) 是「指数套指数」，增长得极快，正态尾部的衰减压不住它。这和资产价格分布相呼应：股价（对数正态）的高阶矩都存在，但尾部比正态厚得多。凡是依赖 MGF 的工具（比如第 08 章的 Chernoff 界）都不能直接用在价格水平上，通常改用对数收益。

例 7i（卡方分布，chi-squared） \(\chi^2_n=Z_1^2+\cdots+Z_n^2\)，\(Z_i\) 独立标准正态。

例 7j（随机和的 MGF） \(Y=\sum_{i=1}^NX_i\)，\(N\) 与 \(X_i\) 独立。\(E[e^{tY}\mid N]=(M_X(t))^N\)，所以

例 7k \(Y\sim U(0,1)\)，\(X\mid Y=p\sim\text{Bin}(n,p)\)。 \(E[e^{tX}]=\int_0^1(pe^t+1-p)^ndp=\frac1{n+1}(1+e^t+\cdots+e^{nt})\)，正是 \(\{0,\dots,n\}\) 上离散均匀的 MGF——用 MGF 重新证明了第 07b 章例 5l。

7.7.3 联合矩母函数

边缘 MGF：\(M_{X_i}(t)=M(0,\dots,t,\dots,0)\)。联合 MGF 唯一决定联合分布，由此得到独立性判据：

例 7l \(X,Y\) 独立同 \(N(\mu,\sigma^2)\)。

例 7m（Poisson 稀疏化，thinning） 事件数 \(X\sim\) Poisson\((\lambda)\)，每个事件独立地以概率 \(p\) 被计数，\(X_c\) 为被计数的个数。给定 \(X=n\)，\(X_c\sim\text{Bin}(n,p)\)，

量化含义：若订单到达是 Poisson 流，每单独立地以概率 \(p\) 为买单，则买单数和卖单数是独立的 Poisson——这是很多订单流模型的出发点。实际中买卖单常常相关（存在共同驱动因素），检验这种独立性是否成立本身就是微观结构研究的内容（第 07 册）。

7.8 正态随机变量的更多性质

7.8.1 多元正态分布

定义 \(Z_1,\dots,Z_n\) 独立标准正态，若

联合 MGF 任意线性组合 \(\sum t_iX_i\) 也是 \(Z\) 的线性组合，所以是正态，均值 \(\sum t_i\mu_i\)、方差 \(\sum_i\sum_jt_it_j\mathrm{Cov}(X_i,X_j)\)。利用对数正态均值公式——若 \(Y\sim N(\mu,\sigma^2)\)，则

推导拆解：这一段的逻辑分三步。 （1）\(W=\sum t_iX_i\) 是一个一元随机变量。由定义，每个 \(X_i\) 都是独立标准正态 \(Z_j\) 的线性组合，\(W\) 也就是 \(Z_j\) 的线性组合，由例 7h 知它是正态。 （2）它的均值、方差用第 07a 章的线性性和双线性求出，方差就是组合方差 \(\mathbf t^\top\Sigma\mathbf t\)。 （3）联合 MGF 按定义是 \(E[e^{W}]\)，即一元正态 \(W\) 的 MGF 在 1 处的值，代入 \(e^{\mu_W+\sigma_W^2/2}\) 即得。 金融直觉：把 \(\mathbf t\) 看成组合权重，这一段说的就是：任何组合的收益都是正态，均值 \(\mathbf t^\top\boldsymbol\mu\)、方差 \(\mathbf t^\top\Sigma\mathbf t\)。参数法 VaR 正是建立在这一点上。\(E[e^Y]=e^{\mu+\sigma^2/2}\) 则说明：对数收益期望为 \(\mu\) 时，价格的期望增长倍数是 \(e^{\mu+\sigma^2/2}\)，比 \(e^\mu\) 大，波动越大差得越多。这就是算术平均收益高于几何平均收益（大约高 \(\sigma^2/2\)）的原因。

结论：多元正态的联合分布完全由均值向量和协方差矩阵决定。 推论（原书理论题 7.53）：多元正态的分量之间不相关 ⇔ 独立（协方差矩阵对角时联合 MGF 分解成乘积）。注意前提是联合正态：理论题 7.41 给出 \(Y=\pm X\)（随机取号）的例子，\(X,Y\) 各自正态、不相关，却不独立，因为 \((X,Y)\) 不是联合正态。

金融直觉：「各自正态」和「联合正态」差别很大。在 \(Y=\pm X\) 的例子里 \(|Y|=|X|\)，两者的大幅波动总是同时出现，可相关系数为 0。真实市场也类似：两只股票平时相关性一般，危机时一起暴跌。用相关系数加正态假设去估计这种尾部共同下跌，就会严重低估风险。2008 年 CDO 定价中的 Gaussian copula 问题，根源之一就在这里。

例 8a 二元正态 \((X,Y)\)，求 \(P\{X<Y\}\)。\(X-Y\sim N\big(\mu_x-\mu_y,\ \sigma_x^2+\sigma_y^2-2\rho\sigma_x\sigma_y\big)\)，

例 8b（正态–正态共轭） \(X\mid\Theta=\theta\sim N(\theta,1)\)，\(\Theta\sim N(\mu,\sigma^2)\)。技巧：令 \(Z\) 为独立标准正态，\((Z+\Theta,\Theta)\) 与 \((X,\Theta)\) 同分布，且是二元正态，\(E[X]=\mu\)，\(\mathrm{Var}(X)=1+\sigma^2\)，\(\rho=\sigma/\sqrt{1+\sigma^2}\)。由二元正态的条件分布公式，

7.8.2 样本均值与样本方差的联合分布

\(X_1,\dots,X_n\) i.i.d. \(N(\mu,\sigma^2)\)。

1. \(\bar X\sim N(\mu,\sigma^2/n)\)（正态之和为正态）。
2. 由第 07a 章例 4e，\(\mathrm{Cov}(\bar X,X_i-\bar X)=0\)。而 \(\bar X,X_1-\bar X,\dots,X_n-\bar X\) 都是独立标准正态 \((X_i-\mu)/\sigma\) 的线性组合，所以联合多元正态。取一个与一切独立的 \(Y\sim N(\mu,\sigma^2/n)\)，\((Y,X_1-\bar X,\dots)\) 与 \((\bar X,X_1-\bar X,\dots)\) 的均值和协方差完全相同，因而同分布。所以 \(\bar X\) 与整个偏差向量独立，从而与 \(S^2\) 独立。
3. 恒等式 \((n-1)S^2=\sum(X_i-\mu)^2-n(\bar X-\mu)^2\) 两边除以 \(\sigma^2\)：
   \[\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}+\Big(\frac{\bar X-\mu}{\sigma/\sqrt n}\Big)^2=\sum_{i=1}^n\Big(\frac{X_i-\mu}{\sigma}\Big)^2.\]
   右边是 \(\chi^2_n\)，MGF 为 \((1-2t)^{-n/2}\)；左边第二项是 \(\chi^2_1\)，MGF \((1-2t)^{-1/2}\)；左边两项独立，所以第一项的 MGF 是 \((1-2t)^{-(n-1)/2}\)。

推导拆解：第 2 步的论证思路是：多元正态只由均值和协方差决定，所以只要找到一个「明显独立」的替身 \(Y\)，使 \((Y,\text{偏差向量})\) 与 \((\bar X,\text{偏差向量})\) 的均值、协方差都一样，二者就同分布，独立性也就跟着成立。\(S^2\) 只是偏差向量的函数，所以也与 \(\bar X\) 独立。 第 3 步：记左边第一项为 \(A\)、第二项为 \(B\)，右边为 \(C=A+B\)。因为 \(A\)、\(B\) 独立，\(M_C=M_A\,M_B\)，所以 \(M_A=M_C/M_B=(1-2t)^{-n/2}/(1-2t)^{-1/2}=(1-2t)^{-(n-1)/2}\)，再由唯一性认出 \(\chi^2_{n-1}\)。 白话：「自由度 \(n-1\)」的来历是，\(n\) 个偏差 \(X_i-\bar X\) 加起来恒等于 0，只有 \(n-1\) 个能自由变动；估计 \(\bar X\) 用掉了一个。

命题 8.1 i.i.d. 正态样本中，\(\bar X\) 与 \(S^2\) 独立；\(\bar X\sim N(\mu,\sigma^2/n)\)；\((n-1)S^2/\sigma^2\sim\chi^2_{n-1}\)。

由此 \(\frac{\bar X-\mu}{S/\sqrt n}\) 服从自由度 \(n-1\) 的 t 分布，这是 t 检验和均值置信区间的基础（详见第 03 册）。

独立性只对正态成立。 对偏态分布（比如收益的绝对值、成交量），\(\bar X\) 与 \(S^2\) 明显相关：样本均值偏高的样本，样本方差也偏高。下面的代码会展示这一点。

第 7 章其他值得了解的结果

原书第 7 章的理论题和自测题里有几条对量化很有用的结论，汇总如下：

• Delta 方法（理论题 7.4）：\(E[g(X)]\approx g(\mu)+\frac{g''(\mu)}{2}\sigma^2\)。自测题 7.10 用它得到 Poisson 的方差稳定变换：\(\mathrm{Var}(\sqrt X)\approx\frac14\)，与 \(\lambda\) 无关。对计数数据（成交笔数、跳跃次数）取平方根后再做回归，就是利用这一点。
• 对数正态的矩（理论题 7.49）：\(X=e^Y\)，\(Y\sim N(\mu,\sigma^2)\)，则 \(E[X]=e^{\mu+\sigma^2/2}\)，\(\mathrm{Var}(X)=e^{2\mu+\sigma^2}(e^{\sigma^2}-1)\)。
• 累积量生成函数（理论题 7.50）：\(\Psi(t)=\log M(t)\)，\(\Psi'(0)=E[X]\)，\(\Psi''(0)=\mathrm{Var}(X)\)。第 08 章证明 CLT 时用的就是它。
• 标准正态的矩（理论题 7.46）：\(E[Z^{2j}]=\frac{(2j)!}{2^jj!}\)，奇数阶为 0；所以正态的峰度为 \(E[Z^4]=3\)，「超额峰度」以 3 为基准。
• 分支过程（理论题 7.44）：每个个体产生均值 \(\mu\)、方差 \(\sigma^2\) 的后代，第 \(n\) 代规模 \(E[X_n]=\mu^n\)，灭绝概率满足 \(\pi=\sum_jP_j\pi^j\)。Hawkes 自激过程的「分支比」与此同源。
• 期望 p 值（自测题 7.25）：\(X\sim N(\mu,1)\)，p 值 \(\Phi(X)\) 的期望为 \(\Phi(\mu/\sqrt2)\)。
• 两信封问题（习题 7.78）：以概率 \(F(x)\)（\(F\) 为任一严格递增分布函数）接受看到的金额 \(x\)，期望收益严格优于随机选择。

量化实战

1. 对数正态与风险中性漂移。 Black–Scholes 模型中 \(S_T=S_0\exp\{(r-\sigma^2/2)T+\sigma\sqrt TZ\}\)。漂移里的 \(-\sigma^2/2\) 正是为了让 \(E[S_T]=S_0e^{rT}\)：由 \(E[e^Y]=e^{\mu+\sigma^2/2}\)，对数收益的均值要减去方差的一半，价格的均值才等于无风险增长。蒙特卡洛定价（第 10 章）忘掉这项是常见错误。

2. 多元正态的生成与参数 VaR。 用 Cholesky 分解 \(\Sigma=AA^\top\)，\(\mathbf X=\boldsymbol\mu+A\mathbf Z\) 就是多元正态的构造定义，蒙特卡洛风险引擎的第一步都是它。线性组合仍正态，所以组合收益 \(w^\top\mathbf X\sim N(w^\top\boldsymbol\mu,w^\top\Sigma w)\)，99% VaR \(=-(w^\top\boldsymbol\mu+z_{0.01}\sqrt{w^\top\Sigma w})\)。这就是方差–协方差法 VaR；它对厚尾低估风险，需要用历史模拟或 t 分布修正（第 06 册）。

3. 夏普比率检验。 若日收益 i.i.d. 正态，\(t=\bar X/(S/\sqrt n)\sim t_{n-1}\)。用它可以计算「真实夏普为 0.63 的策略，一年回测有多大概率显著」——答案很低，说明一年的回测几乎不能区分好策略和运气。

import numpy as np
from scipy import stats
rng = np.random.default_rng(2024)

# ---------- 1. 对数正态均值 E[e^Y] = e^{μ+σ²/2}：风险中性漂移修正 ----------
S0, r, sigma, T, n = 100.0, 0.03, 0.25, 1.0, 2_000_000
Z = rng.standard_normal(n)
ST_naive = S0 * np.exp(r * T + sigma * np.sqrt(T) * Z)                    # 漏掉 -σ²/2
ST_rn    = S0 * np.exp((r - 0.5 * sigma**2) * T + sigma * np.sqrt(T) * Z)
print(f"S0·e^(rT)              = {S0*np.exp(r*T):.3f}")
print(f"漂移用 r       的 E[S_T] = {ST_naive.mean():.3f}  (理论 {S0*np.exp(r*T+sigma**2*T/2):.3f})")
print(f"漂移用 r-σ²/2  的 E[S_T] = {ST_rn.mean():.3f}")

# ---------- 2. 多元正态：X = μ + A Z，组合收益仍正态 → 参数 VaR ----------
mu = np.array([0.0004, 0.0003, 0.0005])
Sigma = np.array([[4.0, 1.8, 1.2],
                  [1.8, 9.0, 2.7],
                  [1.2, 2.7, 6.25]]) * 1e-4
A = np.linalg.cholesky(Sigma)                   # Sigma = A A'
X = mu + rng.standard_normal((1_000_000, 3)) @ A.T
w = np.array([0.5, 0.2, 0.3])
p = X @ w
m_p, s_p = w @ mu, np.sqrt(w @ Sigma @ w)
var99 = -(m_p + stats.norm.ppf(0.01) * s_p)
print(f"\n样本协方差与 Σ 的最大偏差 = {np.abs(np.cov(X.T) - Sigma).max():.1e}")
print(f"组合 99% 日 VaR: 正态公式 {var99:.4%}, 模拟分位数 {-np.quantile(p, 0.01):.4%}")

# ---------- 3. 正态样本 X̄ 与 S² 独立；非正态时不独立 ----------
def corr_mean_var(sampler, n=20, reps=200_000):
    x = sampler((reps, n))
    return np.corrcoef(x.mean(1), x.var(1, ddof=1))[0, 1]
print(f"\nCorr(X̄, S²) 正态样本   = {corr_mean_var(rng.standard_normal):+.4f}")
print(f"Corr(X̄, S²) 指数样本   = {corr_mean_var(rng.standard_exponential):+.4f}")

# (n-1)S²/σ² ~ χ²_{n-1}，t = X̄/(S/√n) ~ t_{n-1}：夏普比率显著性
n_days = 250
x = rng.normal(0.0004, 0.01, (100_000, n_days))         # 真实日均 4bp，波动 1%
t = x.mean(1) / (x.std(1, ddof=1) / np.sqrt(n_days))
crit = stats.t.ppf(0.975, n_days - 1)
print(f"\n一年日频数据 t 检验临界值 = {crit:.3f}")
print(f"真实年化夏普 {0.0004/0.01*np.sqrt(252):.2f} 时，一年内检出显著的概率 = {(t > crit).mean():.1%}")

关键输出：

S0·e^(rT)              = 103.045
漂移用 r       的 E[S_T] = 106.333  (理论 106.316)
漂移用 r-σ²/2  的 E[S_T] = 103.062

样本协方差与 Σ 的最大偏差 = 6.8e-07
组合 99% 日 VaR: 正态公式 3.9658%, 模拟分位数 3.9556%

Corr(X̄, S²) 正态样本   = +0.0020
Corr(X̄, S²) 指数样本   = +0.7037

一年日频数据 t 检验临界值 = 1.970
真实年化夏普 0.63 时，一年内检出显著的概率 = 9.2%

解读：漏掉 \(-\sigma^2/2\) 会让 25% 波动率的标的期望价格高估约 3.2%，期权价格随之系统性偏高；多元正态下组合 VaR 的公式值与模拟一致；正态样本的 \(\bar X\) 与 \(S^2\) 几乎不相关（实际是独立），指数样本则高度相关（0.70），说明 t 检验的精确性依赖正态假设；年化夏普 0.63 的真实策略，一年回测只有约 9% 的概率在 5% 水平下显著（双侧检验的上侧）。

本章小结

矩母函数 \(M(t)=E[e^{tX}]\) 在 0 处的导数给出各阶矩；独立和的 MGF 是乘积，MGF 又唯一决定分布，两者结合可以快速证明二项、Poisson、正态、Gamma 的可加性，识别卡方分布，并求随机和与稀疏化后的分布。厚尾分布的 MGF 可能不存在，此时要换用特征函数。多元正态由独立标准正态的线性变换定义，完全由均值和协方差决定，线性组合仍为正态，分量不相关即独立。正态样本的均值与方差独立、\((n-1)S^2/\sigma^2\sim\chi^2_{n-1}\)，这支撑了 t 检验，也提醒我们这些结论离开正态就不精确。

练习

基础

1. 由 Poisson 的 MGF 求 \(E[X^3]\)。 答案：\(\lambda^3+3\lambda^2+\lambda\)。
2. 用 MGF 证明：独立的 Gamma\((s_1,\lambda)\) 与 Gamma\((s_2,\lambda)\) 之和为 Gamma\((s_1+s_2,\lambda)\)。
3. 某股票年对数收益 \(\sim N(0.06,0.2^2)\)，求一年后价格相对今天的期望倍数，以及对数收益的期望。 答案：\(e^{0.06+0.02}=e^{0.08}\approx1.083\)；对数收益期望 6%。
4. 两个策略日收益服从二元正态，均值分别为 5bp、3bp，波动均为 1%，相关 0.8。求策略 1 某天跑赢策略 2 的概率。 答案：差的标准差 \(\sqrt{2\times10^{-4}(1-0.8)}\approx0.632\%\)，\(P=\Phi(0.02/0.632)=\Phi(0.0316)\approx0.513\)。
5. 用 Delta 方法说明：对 Poisson 计数取平方根后方差约为 1/4。

进阶

6. 证明 \(\chi^2_2\) 就是均值为 2 的指数分布，并据此解释 Box–Muller 算法中 \(R^2=-2\log U\)（第 10 章）。
7. 举出一个例子：\(X,Y\) 都是标准正态、不相关，但不独立。说明这对「用相关系数衡量尾部共同下跌风险」意味着什么。 提示：\(Y=SX\)，\(S\) 独立地等概率取 \(\pm1\)；或 \(Y=X\cdot I(|X|\le c)-X\cdot I(|X|>c)\) 选 \(c\) 使相关为 0。
8. 复合 Poisson 跳跃：单位时间内跳跃次数 \(N\sim\) Poisson\((\lambda)\)，每次跳幅 \(J\sim N(\mu_J,\sigma_J^2)\)。写出跳跃总量的 MGF，并求其均值、方差和三阶累积量。 答案：\(M(t)=\exp\{\lambda(e^{\mu_Jt+\sigma_J^2t^2/2}-1)\}\)；累积量 \(\kappa_n=\lambda E[J^n]\)，故均值 \(\lambda\mu_J\)，方差 \(\lambda(\mu_J^2+\sigma_J^2)\)，\(\kappa_3=\lambda(\mu_J^3+3\mu_J\sigma_J^2)\)。负均值跳跃产生负偏度。
9. 用联合 MGF 证明：若 \((X_1,\dots,X_n)\) 多元正态且协方差矩阵为对角阵，则各分量独立。
10. 设 \(X\) 的 MGF 为 \(M(t)\)，\(\Psi(t)=\log M(t)\)。证明 \(\Psi''(0)=\mathrm{Var}(X)\)，并说明独立和的累积量相加。

原书推荐习题：Problems 7.75–7.77（由 MGF 识别分布）、7.79（二元正态周销售额与相关性对尾部的影响）；Theoretical Exercises 7.4（Delta 方法）、7.41（非联合正态的反例）、7.44（分支过程）、7.46–7.47（正态矩）、7.49（对数正态）、7.50（累积量）、7.51、7.53（多元正态不相关⇔独立）、7.54；Self-Test 7.10（方差稳定变换）、7.22（二元 Poisson）、7.32。

原书对照