第 06b 章 条件分布、次序统计量与变量变换

本章对应 Ross 第 6 章的 6.4–6.8 节。条件分布回答"知道一个变量的值后，另一个变量的分布变成什么"——二元正态的条件分布直接给出了对冲比率和压力情景下的条件风险；连续版 Bayes 公式与贝塔—二项共轭给出胜率的后验。次序统计量描述样本中最大、最小、中位数的分布，它解释了"从一堆回测里挑出的最好策略为什么总是看起来很好"。雅可比变换法则给出 Box–Muller 正态随机数生成法，以及伽马与贝塔分布之间的深刻联系。

学习目标

1. 掌握离散与连续情形的条件分布，会在条件事件概率为 0 时使用条件密度。
2. 掌握二元正态分布及其条件分布：条件均值关于条件值线性、条件方差缩小为 \((1-\rho^2)\) 倍；并把它与回归、对冲比率联系起来。
3. 会用连续版 Bayes 公式做参数后验更新，理解贝塔—二项共轭；了解 t 分布的来历。
4. 掌握次序统计量的联合密度、第 \(j\) 个次序统计量的密度与 CDF，会求样本最大值、中位数、极差的分布。
5. 掌握多元变量变换的雅可比公式，理解 Box–Muller 方法与"伽马之和与比例独立"。
6. 理解可交换性：它弱于独立同分布，但足以推出边缘同分布，是置换检验的前提。

读前导读

这一章在解决什么问题。 本章有四个相对独立的主题：条件分布、次序统计量、多元变量变换、可交换性。它们回答的问题都很实际：已知指数跌了 3%，个股收益的分布变成什么？从 100 个回测里挑出最好的一个，它的夏普比率会"虚高"多少？给定两个独立正态，怎样生成新的随机变量、它们的密度是什么？

和 CFA 的联系首先在二元正态。CFA 里 beta 是 \(\mathrm{Cov}(R_i,R_m)/\mathrm{Var}(R_m)\)，回归斜率是 \(\rho\sigma_x/\sigma_y\)，\(R^2=\rho^2\)。本章会看到：在二元正态下，"给定 \(Y=y\) 时 \(X\) 的条件分布"恰好是均值落在回归线上、方差为 \(\sigma_x^2(1-\rho^2)\) 的正态分布。回归、对冲比率、对冲后的残差风险、压力情景下的条件 VaR，都是这一个公式的不同读法。

本章比 CFA 深的地方有三处。第一，条件于概率为 0 的事件：连续变量 \(Y=y\) 的概率是 0，第 03 章的定义 \(P(EF)/P(F)\) 无法使用，要改用条件密度 \(f(x,y)/f_Y(y)\)。第二，多元变量变换需要雅可比行列式。第 05 章的一维公式里乘的是 \(|dx/dy|\)；二维时，一个小矩形被变换成一个小平行四边形，面积伸缩的倍数是雅可比矩阵的行列式。正态随机数生成（Box–Muller）、"正态样本的均值与偏差独立"都靠这个公式推出。第三，次序统计量：样本最大值、中位数的分布。CFA 讲过数据挖掘偏差和幸存者偏差，但没有定量；次序统计量给出"挑最好的那个"到底会偏多少。

需要先想起来的数学。

• 行列式。 \(2\times2\)：\(\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=ad-bc\)。几何意义：矩阵把单位正方形变成一个平行四边形，行列式的绝对值就是这个平行四边形的面积。例：\(\begin{vmatrix}1&1\\1&-1\end{vmatrix}=-1-1=-2\)，面积放大 2 倍（符号表示方向翻转）。\(3\times3\) 行列式可以按第一行展开。见 第 00 册第 06 章 线性代数速成。
• 偏导数与雅可比矩阵。 若 \(y_1=g_1(x_1,x_2)\)，\(y_2=g_2(x_1,x_2)\)，雅可比矩阵的第 \(i\) 行第 \(j\) 列是 \(\partial g_i/\partial x_j\)（把其他变量当常数，对 \(x_j\) 求导）。例：\(y_1=x_1+x_2\)，\(y_2=x_1x_2\)，则矩阵为 \(\begin{pmatrix}1&1\\x_2&x_1\end{pmatrix}\)，行列式 \(x_1-x_2\)。多元换元公式 \(dx_1dx_2=|J|^{-1}dy_1dy_2\) 见 第 00 册第 05 章 多元微积分与优化。
• 配方。 二元正态的条件分布、边缘分布都是把指数里的二次式对某个变量配方，凑成"正态密度 × 与该变量无关的因子"。
• Gamma 与 Beta 积分。 \(\int_0^\infty e^{-y}y^{\alpha-1}dy=\Gamma(\alpha)\)；\(\int_0^1x^{a-1}(1-x)^{b-1}dx=B(a,b)\)。用于 t 分布密度、贝塔后验的归一化常数。见第 05 章 5.6 节和 第 00 册第 03 章 积分。

怎么读这一章。 必读：6.5 节条件密度的定义、二元正态的条件分布及其量化解读、贝塔—二项共轭；6.6 节最大值与最小值的 CDF（\(F^n\) 与 \(1-(1-F)^n\)）以及 (6.2)、(6.4)；6.7 节雅可比公式与例 7a、7b（Box–Muller）。"量化实战"第 2 部分（最佳回测的夏普）务必读。第一次可以只看结论：t 分布密度的推导、(6.6) 与极差、例 7d、7e、6.8 节的例 8b–8d。

6.4 条件分布：离散情形

若 \(p_Y(y)>0\)，给定 \(Y=y\) 时 \(X\) 的条件 PMF为

条件 CDF 为 \(F_{X\mid Y}(x\mid y)=\sum_{a\le x}p_{X\mid Y}(a\mid y)\)。定义和无条件情形完全一样，只是一切都以 \(Y=y\) 为条件。若 \(X,Y\) 独立，条件分布就等于无条件分布。

例 4a \(p(0,0)=.4,\ p(0,1)=.2,\ p(1,0)=.1,\ p(1,1)=.3\)。\(p_Y(1)=.5\)，所以 \(p_{X\mid Y}(0\mid1)=2/5\)，\(p_{X\mid Y}(1\mid1)=3/5\)。

例 4b（泊松给定和的条件分布） \(X,Y\) 独立，分别为 Poisson(\(\lambda_1\))、Poisson(\(\lambda_2\))。给定 \(X+Y=n\)，

即 \(\mathrm{Bin}\big(n,\frac{\lambda_1}{\lambda_1+\lambda_2}\big)\)。这是第 06a 章泊松分拆的逆命题：两条独立泊松订单流合并后，已知总数为 \(n\)，其中来自第一条流的笔数是二项分布。

例 4c（多项分布的条件分布） 多项分布 \((n;p_1,\dots,p_k)\) 中，已知结果 \(r+1,\dots,k\) 分别出现了 \(n_{r+1},\dots,n_k\) 次（合计 \(m\) 次），则 \((X_1,\dots,X_r)\) 的条件分布是 \(n-m\) 次试验、各类概率为 \(p_i/F_r\)（\(F_r=\sum_{i\le r}p_i\)）的多项分布。直观：剩下的 \(n-m\) 次试验只能落在前 \(r\) 类中，概率按比例重新归一化。

例 4d \(n\) 次独立试验共有 \(k\) 次成功时，每一种成功/失败排列的条件概率都是

6.5 条件分布：连续情形

条件密度

若 \(f_Y(y)>0\)，给定 \(Y=y\) 时 \(X\) 的条件密度为

动机：\(f_{X\mid Y}(x\mid y)dx=\frac{f(x,y)dxdy}{f_Y(y)dy}\approx P\{x\le X\le x+dx\mid y\le Y\le y+dy\}\)。于是

白话解释：第 03 章的 \(P(E\mid F)=P(EF)/P(F)\) 在 \(P(F)=0\) 时是 \(0/0\)，没法用。解决办法是先把条件放宽成"\(Y\) 落在 \(y\) 附近一个宽 \(dy\) 的小区间"，这个事件概率为正，可以用旧定义；再让 \(dy\to0\)，分子分母里的 \(dy\) 约掉，剩下 \(f(x,y)/f_Y(y)\)。 几何上：在联合密度这座"山"上沿 \(Y=y\) 切一刀，得到一条截面曲线 \(x\mapsto f(x,y)\)。它的形状就是条件分布的形状，但面积是 \(f_Y(y)\) 而不是 1，除以 \(f_Y(y)\) 就是把它归一化。压力测试里"假设指数跌 3%，个股会怎样"，问的就是这条截面。

例 5a \(f(x,y)=\frac{12}5x(2-x-y)\)（\(0<x,y<1\)），

例 5b \(f(x,y)=\frac{e^{-x/y}e^{-y}}{y}\)（\(x,y>0\)），\(f_{X\mid Y}(x\mid y)=\frac1ye^{-x/y}\)：给定 \(Y=y\) 时 \(X\) 是均值为 \(y\) 的指数分布，\(P\{X>1\mid Y=y\}=e^{-1/y}\)。这种"参数本身随机"的结构叫分层模型或混合模型。

t 分布

例 5c（t 分布，t-distribution） \(Z\sim N(0,1)\) 与 \(Y\sim\chi^2_n\) 独立，

称为自由度为 \(n\) 的 t 分布。求密度：给定 \(Y=y\)，\(T=\sqrt{n/y}\,Z\sim N(0,n/y)\)，条件密度为 \(\frac{1}{\sqrt{2\pi n/y}}e^{-t^2y/2n}\)；乘以卡方密度得联合密度，令 \(c=\frac{t^2+n}{2n}\)，对 \(y\) 积分（代换 \(x=cy\) 化为伽马积分），得

它的尾部按多项式衰减，比正态厚；\(n\to\infty\) 时趋于正态，\(n=1\) 时就是柯西分布。t 分布是检验因子收益均值、IC 是否显著的 t 统计量的分布（第 03 册），也是第 05 章量化实战中用来刻画厚尾收益的模型。

二元正态分布

例 5d（二元正态分布，bivariate normal） 参数 \(\mu_x,\mu_y,\sigma_x,\sigma_y>0\)，\(-1<\rho<1\)：

条件分布：把与 \(x\) 无关的因子并入常数，对 \(x\) 配方，得

推导拆解：先标准化以简化记号：\(u=\frac{x-\mu_x}{\sigma_x}\)，\(w=\frac{y-\mu_y}{\sigma_y}\)，方括号里是 \(u^2-2\rho uw+w^2\)。

1. 条件密度 \(=f(x,y)/f_Y(y)\)。\(y\) 固定时，\(f_Y(y)\) 和所有只含 \(w\) 的因子都是常数，只需看指数里含 \(u\) 的部分。
2. 对 \(u\) 配方：\(u^2-2\rho uw+w^2=(u-\rho w)^2+(1-\rho^2)w^2\)。后一项不含 \(u\)，并入常数。
3. 于是条件密度 \(\propto\exp\Big\{-\frac{(u-\rho w)^2}{2(1-\rho^2)}\Big\}\)：作为 \(u\) 的函数，这是均值 \(\rho w\)、方差 \(1-\rho^2\) 的正态密度的形状。
4. 换回原单位：\(u=\rho w\) 即 \(x=\mu_x+\rho\frac{\sigma_x}{\sigma_y}(y-\mu_y)\)；\(u\) 的方差乘 \(\sigma_x^2\) 得 \(\sigma_x^2(1-\rho^2)\)。 关键技巧是第 3 步：只要认出"指数是某变量的二次函数、平方项系数为负"，就知道它是正态，均值和方差可以直接读出，归一化常数不用算。

对称地，\(Y\mid X=x\sim N\big(\mu_y+\rho\frac{\sigma_y}{\sigma_x}(x-\mu_x),\ \sigma_y^2(1-\rho^2)\big)\)。三个要点：

1. 条件均值是条件值的线性函数，斜率为 \(\rho\sigma_x/\sigma_y\)——这就是回归线；
2. 条件方差不依赖条件值，并缩小为原来的 \((1-\rho^2)\) 倍；
3. 边缘分布：令 \(w=(y-\mu_y)/\sigma_y\) 对 \(w\) 配方积分，得 \(X\sim N(\mu_x,\sigma_x^2)\)、\(Y\sim N(\mu_y,\sigma_y^2)\)。\(\rho\) 的含义是相关系数（第 07b 章例 5f 证明）。

此外，二元正态的 \(X,Y\) 独立当且仅当 \(\rho=0\)，因为只有此时密度可以分解。这是正态分布的特殊性质：一般分布中"不相关"推不出"独立"。

量化联系：把 \(X\) 看成个股收益、\(Y\) 看成指数收益。条件均值的斜率 \(\beta=\rho\sigma_x/\sigma_y\) 就是个股的 beta，也是最小方差对冲比率；对冲后剩下的风险是条件标准差 \(\sigma_x\sqrt{1-\rho^2}\)。给定"指数下跌 3%"这样的压力情景，个股的条件分布直接给出条件 VaR。

混合型条件分布与贝塔—二项共轭

\(X\) 连续（密度 \(f\)）、\(N\) 离散时，有连续版 Bayes 公式：

例 5e（贝塔—二项共轭） 一枚硬币的正面概率 \(X\) 未知，先验为 \(U(0,1)\)。给定 \(X=x\)，抛 \(n+m\) 次的正面数 \(N\sim\mathrm{Bin}(n+m,x)\)。观测到 \(n\) 次正面后，

即后验为 Beta(\(n+1,m+1\))。更一般地，先验 Beta(\(a,b\)) 在观测到 \(n\) 次成功、\(m\) 次失败后变为 Beta(\(a+n,b+m\))。贝塔分布的两个参数可以理解为"伪成功次数"和"伪失败次数"。后验均值 \(\frac{n+1}{n+m+2}\) 正是第 03 章 Laplace 继承法则的结果。

推导拆解：一般先验 \(f(x)\propto x^{a-1}(1-x)^{b-1}\)。由连续版 Bayes 公式，后验 \(\propto\) 似然 × 先验 \(=x^n(1-x)^m\cdot x^{a-1}(1-x)^{b-1}=x^{a+n-1}(1-x)^{b+m-1}\)。分母 \(P\{N=n\}\) 与二项系数都不含 \(x\)，只影响归一化常数，所以只看 \(x\) 的部分就能认出后验是 Beta(\(a+n,b+m\))。"共轭"指先验和后验属于同一个分布族，更新只是把计数加上去。 金融直觉：后验均值 \(\frac{a+n}{a+b+n+m}\) 是先验均值 \(\frac a{a+b}\) 与样本胜率 \(\frac n{n+m}\) 的加权平均，权重分别正比于 \(a+b\) 和 \(n+m\)。这就是"收缩估计"：样本少时，估计值被拉向先验；样本多时，数据说了算。分析师对一家新基金的业绩打折看待，或者用行业平均胜率作先验评价一个只有 20 笔交易的新策略，都是这个结构。

6.6 次序统计量（原书选读，量化中很重要）

设 \(X_1,\dots,X_n\) 独立同分布，连续，密度为 \(f\)、CDF 为 \(F\)。把它们从小到大排列为 \(X_{(1)}\le X_{(2)}\le\cdots\le X_{(n)}\)，称为次序统计量（order statistics）：\(X_{(1)}\) 是最小值，\(X_{(n)}\) 是最大值。

联合密度

\((X_{(1)},\dots,X_{(n)})=(x_1,\dots,x_n)\) 当且仅当 \((X_1,\dots,X_n)\) 等于 \((x_1,\dots,x_n)\) 的 \(n!\) 个排列之一，每个排列的密度都是 \(\prod f(x_i)\)，所以

例 6a 1 英里长的路上随机分布 3 个人（独立均匀），任意两人相距都至少 \(d\)（\(d\le1/2\)）的概率为

第 \(j\) 个次序统计量

\(X_{(j)}=x\) 意味着：\(j-1\) 个值小于 \(x\)，\(n-j\) 个值大于 \(x\)，1 个等于 \(x\)。这样分组的方式有 \(\frac{n!}{(n-j)!(j-1)!}\) 种，所以

CDF 的直接求法：\(X_{(j)}\le y\) 当且仅当至少 \(j\) 个 \(X_i\le y\)，而 \(X_i\le y\) 的个数服从 \(\mathrm{Bin}(n,F(y))\)，

特例：最大值 \(F_{X_{(n)}}(y)=F(y)^n\)，最小值 \(F_{X_{(1)}}(y)=1-[1-F(y)]^n\)。

推导拆解：

1. (6.2) 的计数：把 \(n\) 个样本分成三组，"小于 \(x\)"\(j-1\) 个、"恰在 \(x\) 附近"1 个、"大于 \(x\)"\(n-j\) 个，分法数是第 01 章的多项式系数 \(\frac{n!}{(j-1)!\,1!\,(n-j)!}\)。每种分法的概率（密度）是 \(F(x)^{j-1}\cdot f(x)\,dx\cdot[1-F(x)]^{n-j}\)，由独立性相乘。
2. 最大值：\(X_{(n)}\le y\) 当且仅当每一个 \(X_i\le y\)，独立所以概率相乘，得 \(F(y)^n\)。最小值：\(X_{(1)}>y\) 当且仅当每一个 \(X_i>y\)，概率 \([1-F(y)]^n\)，再取补。
3. 对 \(F^n\) 求导得最大值密度 \(nF^{n-1}f\)，与 (6.2) 取 \(j=n\) 一致。 直觉：\(F(y)^n\) 随 \(n\) 增大迅速变小，最大值的分布整体右移。"量化实战"第 2 部分就是解 \(F(x)^N=1/2\) 求最大夏普的中位数。

取 \(F\) 为均匀分布，比较 (6.2) 积分与 (6.4) 得恒等式：二项分布的尾概率等于不完全贝塔积分；均匀样本的第 \(j\) 个次序统计量服从 Beta(\(j,n-j+1\))。

例 6b（样本中位数） \(2n+1\) 个样本中第 \(n+1\) 小的值叫样本中位数（sample median）。3 个 \(U(0,1)\) 样本的中位数密度为 \(6x(1-x)\)，

两个次序统计量的联合密度与极差

\(i<j\)、\(x_i<x_j\) 时，

例 6c（样本极差） \(R=X_{(n)}-X_{(1)}\)。由 (6.6) 可得

量化联系：经验 VaR 就是收益样本的某个次序统计量，(6.4) 给出了它的抽样分布；用日内最高价与最低价之差（极差）估计波动率的思想也源于极差分布。最重要的应用是下面量化实战中的"最佳回测"偏差。

6.7 随机变量函数的联合分布

雅可比公式

设 \(Y_1=g_1(X_1,X_2)\)，\(Y_2=g_2(X_1,X_2)\)，满足：(1) 方程组可唯一反解为 \(x_1=h_1(y_1,y_2)\)、\(x_2=h_2(y_1,y_2)\)；(2) \(g_1,g_2\) 有连续偏导，且雅可比行列式（Jacobian）

则

这是第 05 章单调变换公式的多维版本，证明需要多元微积分的换元公式，原书不证。\(n\) 维情形完全类似（7.3）。

白话解释：思路与一维完全相同——概率守恒。\((X_1,X_2)\) 落在点 \((x_1,x_2)\) 附近的小矩形 \(dx_1\times dx_2\) 中，与 \((Y_1,Y_2)\) 落在对应的像区域中是同一个事件。变换 \(g\) 在局部近似为一个线性映射（矩阵就是雅可比矩阵），线性映射把小矩形变成小平行四边形，面积乘以 \(|J|\)。所以

\[f_Y(y_1,y_2)\cdot|J|\,dx_1dx_2=f_X(x_1,x_2)\,dx_1dx_2,\]

两边消去 \(dx_1dx_2\) 就是 (7.1)。\(|J|\) 大表示变换把区域拉大，概率被摊薄，所以密度要除以 \(|J|\)。 一维对照：\(y=g(x)\) 时 \(J=g'(x)\)，(7.1) 变成 \(f_Y=f_X/|g'(x)|\)，而 \(1/g'(x)=\frac{d}{dy}g^{-1}(y)\)，正是第 05 章定理 7.1。 实用提醒：(7.1) 里的 \(J\) 是"\(y\) 对 \(x\) 求偏导"（正向变换），所以取倒数；有时反解出 \(x=h(y)\) 后对 \(y\) 求偏导更方便，那时直接乘它的行列式绝对值，不取倒数。两种做法结果相同。

例 7a（和与差） \(Y_1=X_1+X_2\)，\(Y_2=X_1-X_2\)，\(J=-2\)，

推导拆解：

1. 雅可比：\(g_1=x_1+x_2\)，\(g_2=x_1-x_2\)，偏导矩阵 \(\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}\)，行列式 \(1\cdot(-1)-1\cdot1=-2\)，\(|J|^{-1}=\frac12\)。
2. 反解：两式相加得 \(x_1=\frac{y_1+y_2}2\)，相减得 \(x_2=\frac{y_1-y_2}2\)。
3. 代入标准正态联合密度 \(\frac1{2\pi}e^{-(x_1^2+x_2^2)/2}\)：\(x_1^2+x_2^2=\frac{(y_1+y_2)^2+(y_1-y_2)^2}4=\frac{y_1^2+y_2^2}2\)，交叉项 \(\pm2y_1y_2\) 正好抵消。于是指数变成 \(-(y_1^2+y_2^2)/4\)，乘 \(\frac12\) 得 \(\frac1{4\pi}\)。
4. 交叉项消失是独立的关键：指数里没有 \(y_1y_2\)，密度就能拆成只含 \(y_1\) 和只含 \(y_2\) 的两个因子（第 06a 章因子分解判据）。 金融读法：两个独立同波动率的策略，"等权组合"与"多空价差"互不相关；对正态它们还独立。

极坐标与 Box–Muller 方法

例 7b \(X,Y\) 独立标准正态，令 \(R=\sqrt{X^2+Y^2}\)，\(\Theta=\tan^{-1}(Y/X)\)。计算雅可比（第一象限 \(J=1/r\)），四个象限合并后得

密度可以分解，所以 \(R\) 与 \(\Theta\) 独立，\(\Theta\sim U(0,2\pi)\)，\(R\) 服从 Rayleigh 分布 \(f(r)=re^{-r^2/2}\)。再令 \(D=R^2\)，得 \(R^2\sim\) Exp(1/2)，即 \(\chi^2_2=\) Exp(1/2)。

Box–Muller 方法 设 \(U_1,U_2\) 独立 \(U(0,1)\)。\(-2\log U_1\sim\) Exp(1/2)（因 \(P\{-2\log U_1<x\}=1-e^{-x/2}\)），\(2\pi U_2\sim U(0,2\pi)\)，令

则 \(X_1,X_2\) 是独立的标准正态。这是蒙特卡洛模拟中生成正态随机数的经典算法。

伽马与贝塔

例 7c \(X\sim\) Gamma(\(\alpha,\lambda\))、\(Y\sim\) Gamma(\(\beta,\lambda\)) 独立，令 \(U=X+Y\)，\(V=X/(X+Y)\)。反解 \(x=uv\)，\(y=u(1-v)\)，\(J=-1/(x+y)\)，

所以 \(U\sim\) Gamma(\(\alpha+\beta,\lambda\))、\(V\sim\) Beta(\(\alpha,\beta\))，二者独立，并顺带证明了第 05 章的 \(B(\alpha,\beta)=\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)/\Gamma(\alpha+\beta)\)。

推导拆解：

1. 雅可比：\(g_1=x+y\)，\(g_2=\frac{x}{x+y}\)。\(\partial g_2/\partial x=\frac{(x+y)-x}{(x+y)^2}=\frac{y}{(x+y)^2}\)，\(\partial g_2/\partial y=\frac{-x}{(x+y)^2}\)（商的求导法则）。行列式 \(1\cdot\frac{-x}{(x+y)^2}-1\cdot\frac{y}{(x+y)^2}=-\frac1{x+y}\)，\(|J|^{-1}=x+y=u\)。
2. 代入独立伽马的联合密度 \(\frac{\lambda e^{-\lambda x}(\lambda x)^{\alpha-1}}{\Gamma(\alpha)}\cdot\frac{\lambda e^{-\lambda y}(\lambda y)^{\beta-1}}{\Gamma(\beta)}\)，令 \(x=uv\)，\(y=u(1-v)\)：\(e^{-\lambda x}e^{-\lambda y}=e^{-\lambda u}\)；\(x^{\alpha-1}y^{\beta-1}=u^{\alpha+\beta-2}v^{\alpha-1}(1-v)^{\beta-1}\)；再乘 \(|J|^{-1}=u\)，\(u\) 的幂次变成 \(\alpha+\beta-1\)。
3. 整理后含 \(u\) 的部分恰好是 Gamma(\(\alpha+\beta,\lambda\)) 密度的形状，含 \(v\) 的部分是 Beta(\(\alpha,\beta\)) 的形状。为了让 \(u\) 部分是完整的密度，原文乘、除了 \(\Gamma(\alpha+\beta)\)；剩下 \(v\) 部分的常数因密度必须积分为 1，只能等于 \(1/B(\alpha,\beta)\)，于是得到 \(B=\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)/\Gamma(\alpha+\beta)\)。解释：\(n+m\) 件工作各需 Exp(\(\lambda\)) 时间，工人甲做 \(n\) 件、乙做 \(m\) 件，甲完成的工作量占比服从 Beta(\(n,m\))，而且与总耗时独立。

例 7d（样本和与偏差独立的雏形） \(X_1,X_2,X_3\) 独立标准正态，\(Y_1=X_1+X_2+X_3\)，\(Y_2=X_1-X_2\)，\(Y_3=X_1-X_3\)。\(J=3\)，反解 \(X_1=\frac{Y_1+Y_2+Y_3}3\)，\(X_2=\frac{Y_1-2Y_2+Y_3}3\)，\(X_3=\frac{Y_1+Y_2-2Y_3}3\)，代入得

例 7e（指数部分和） \(X_i\) i.i.d. Exp(\(\lambda\))，\(Y_i=X_1+\cdots+X_i\)。雅可比矩阵为下三角全 1 矩阵，\(J=1\)，

这就是泊松过程前 \(n\) 个到达时刻的联合密度。逐个积掉 \(y_1,y_2,\dots\) 得 \(f_{Y_n}(y)=\lambda^n\frac{y^{n-1}}{(n-1)!}e^{-\lambda y}\)，即 Gamma(\(n,\lambda\))。

6.8 可交换随机变量（原书选读）

定义 若对 \(1,\dots,n\) 的任意排列 \(i_1,\dots,i_n\)，

则称 \(X_1,\dots,X_n\) 可交换（exchangeable）：无论以什么顺序观察，联合分布都相同。离散情形等价于联合 PMF 是对称函数。i.i.d. 必然可交换，反之不然。

例 8a（无放回抽样） \(n\) 个球中 \(k\) 个特殊，逐个无放回等可能抽取，\(X_i=1\) 表示第 \(i\) 个是特殊球。对任何含 \(k\) 个 1 的 0-1 序列，

这是对称函数，所以 \(X_1,\dots,X_n\) 可交换，尽管它们不独立。

可交换 ⇒ 边缘同分布：\(P\{X=x\}=\sum_yP\{X=x,Y=y\}=\sum_yP\{X=y,Y=x\}=P\{Y=x\}\)。所以例 8a 中第 \(i\) 个抽出的是特殊球的概率都是 \(k/n\)，与 \(i\) 无关——这正是第 02 章例 5d 对称性论证的严格版本。

例 8b（间隔可交换） 例 8a 中，令 \(Y_1\) 为第一个特殊球的序号，\(Y_i\) 为第 \(i-1\) 个到第 \(i\) 个特殊球之间额外抽取的次数，则 \(Y_1,\dots,Y_k\) 可交换。推论：洗好的牌中翻到第一张 A 所需的张数，与之后再翻到下一张 A 所需的张数同分布。

例 8c（Pólya 罐模型） 初始 \(n\) 红 \(m\) 蓝，每次抽一球、记下颜色，连同一个同色球一起放回。\(X_i=1\) 表示第 \(i\) 次抽到红球。任何含 \(r\) 个 1、\(k-r\) 个 0 的序列的概率都是

例 8d（均匀间距可交换） \(X_1,\dots,X_n\) i.i.d. \(U(0,1)\)，\(Y_1=X_{(1)}\)，\(Y_i=X_{(i)}-X_{(i-1)}\)。变换的雅可比为 1，由 (6.1)，

量化联系：**置换检验（permutation test）**的前提就是原假设下数据可交换。例如检验"信号日与非信号日的收益是否不同"，若原假设成立，打乱标签不改变联合分布。第 02 章游程检验的置换核对就是一个例子。

金融直觉：可交换的意思是"顺序不携带信息"。用它之前要检查时间序列是否真的满足：日收益的波动率聚集（大波动后跟着大波动）意味着把日期打乱会改变联合分布，即使收益本身几乎不自相关。此时对单个序列做普通置换检验会给出过于乐观的 p 值，常见的补救是按块置换（block permutation）或块自助法（block bootstrap），保留局部的时间结构。Pólya 罐（例 8c）则提醒另一面：可交换的序列也可以彼此正相关，可交换 ≠ 独立。

量化实战

1. 二元正态：对冲比率与压力情景

设个股日收益 \(X\) 与指数日收益 \(Y\) 服从二元正态，\(\sigma_x=2.2\%\)，\(\sigma_y=1.2\%\)，\(\rho=0.7\)。由例 5d：beta \(=\rho\sigma_x/\sigma_y\approx1.28\)，用 beta 份指数对冲后的残差风险为 \(\sigma_x\sqrt{1-\rho^2}\approx1.57\%\)；给定"指数单日下跌 3%"，个股的条件分布是 \(N(-3.84\%,1.57\%^2)\)，条件 99% VaR 约 7.5%。

2. 次序统计量："最佳回测"有多好看

设 \(N\) 个策略都毫无预测力，每个用 3 年日数据估计年化夏普比率。真实夏普为 0 时，年化夏普估计量近似服从 \(N(0,252/T)\)。\(N\) 个独立策略中最大的那个，CDF 为 \(F(x)^N\)（(6.4) 取 \(j=N\)），所以其中位数满足 \(F(x)^N=1/2\)。

3. 贝塔—二项：胜率的后验

60 笔交易赢 37 笔。均匀先验下胜率的后验为 Beta(38, 24)，可以直接回答"胜率大于 50% 的后验概率是多少"，比单纯的 p 值更直观。

4. Box–Muller

import numpy as np
from scipy import stats
rng = np.random.default_rng(66)

# ---------- 1) 二元正态的条件分布：对冲比率与条件 VaR ----------
mx, my, sx, sy, rho = 0.0005, 0.0003, 0.022, 0.012, 0.7     # X=个股, Y=指数（日收益）
cov = [[sx**2, rho*sx*sy], [rho*sx*sy, sy**2]]
X, Y = rng.multivariate_normal([mx, my], cov, 4_000_000).T
beta = rho * sx / sy                                          # 条件均值斜率 = 最小方差对冲比率
print(f"理论 beta = {beta:.4f}, 回归估计 = {np.polyfit(Y, X, 1)[0]:.4f}")
print(f"对冲后残差 SD: 理论 sx*sqrt(1-rho^2) = {sx*np.sqrt(1-rho**2):.4f}, "
      f"模拟 = {np.std(X - beta*Y):.4f} (未对冲 {sx:.4f})")
y0 = -0.03                                                    # 压力情景：指数单日跌 3%
cm, cs = mx + beta * (y0 - my), sx * np.sqrt(1 - rho**2)
near = np.abs(Y - y0) < 0.0005
print(f"给定指数跌 3%: 个股条件均值 {cm:+.4f} (模拟 {X[near].mean():+.4f}), "
      f"条件 SD {cs:.4f} (模拟 {X[near].std():.4f}), 条件 99% VaR {-(cm - 2.326*cs):.4f}")

# ---------- 2) 次序统计量：N 个无效策略中"最好"的那个 ----------
T = 750                                      # 3 年日数据
sr_sd = np.sqrt(252 / T)                     # 真实夏普为 0 时，年化夏普估计量的近似标准差
def best_sharpe(N, reps=400):                # 直接模拟日收益（真实均值为 0），取 N 个策略中最大的年化夏普
    out = np.empty(reps)
    for r in range(reps):
        R = rng.standard_normal((N, T)) * 0.01
        out[r] = (R.mean(1) / R.std(1, ddof=1)).max() * np.sqrt(252)
    return out
for N in (1, 10, 100, 1000):
    # 最大值的 CDF = F(x)^N（(6.4) 取 j=N）；中位数解 F(x)^N = 1/2
    med_max = sr_sd * stats.norm.ppf(0.5 ** (1 / N))
    q95_max = sr_sd * stats.norm.ppf(0.95 ** (1 / N))
    sims = best_sharpe(N)
    print(f"N={N:5d}: 最佳年化夏普 中位数 理论 {med_max:.2f} 模拟 {np.median(sims):.2f}; "
          f"95%分位 理论 {q95_max:.2f} 模拟 {np.quantile(sims, 0.95):.2f}")

# ---------- 3) Beta-二项共轭：胜率的后验 ----------
wins, n = 37, 60
post = stats.beta(1 + wins, 1 + n - wins)    # 均匀先验 Beta(1,1) -> Beta(1+k, 1+n-k)
print(f"\n{wins}/{n} 胜: 后验均值 {post.mean():.4f} = (k+1)/(n+2) = {(wins+1)/(n+2):.4f}, "
      f"P(p>0.5 | 数据) = {post.sf(0.5):.4f}, 95% 区间 [{post.ppf(.025):.3f}, {post.ppf(.975):.3f}]")

# ---------- 4) Box-Muller 生成正态随机数 ----------
U1, U2 = rng.random(500_000), rng.random(500_000)
R = np.sqrt(-2 * np.log(U1))
Z1, Z2 = R * np.cos(2 * np.pi * U2), R * np.sin(2 * np.pi * U2)
print(f"Box-Muller: 均值 {Z1.mean():+.4f}, 方差 {Z1.var():.4f}, corr(Z1,Z2) {np.corrcoef(Z1, Z2)[0,1]:+.4f}, "
      f"KS 检验 p 值 {stats.kstest(Z1, 'norm').pvalue:.3f}")

关键输出：

理论 beta = 1.2833, 回归估计 = 1.2844
对冲后残差 SD: 理论 sx*sqrt(1-rho^2) = 0.0157, 模拟 = 0.0157 (未对冲 0.0220)
给定指数跌 3%: 个股条件均值 -0.0384 (模拟 -0.0382), 条件 SD 0.0157 (模拟 0.0158), 条件 99% VaR 0.0749
N=    1: 最佳年化夏普 中位数 理论 0.00 模拟 -0.03; 95%分位 理论 0.95 模拟 0.96
N=   10: 最佳年化夏普 中位数 理论 0.87 模拟 0.84; 95%分位 理论 1.49 模拟 1.42
N=  100: 最佳年化夏普 中位数 理论 1.43 模拟 1.41; 95%分位 理论 1.90 模拟 1.89
N= 1000: 最佳年化夏普 中位数 理论 1.85 模拟 1.85; 95%分位 理论 2.25 模拟 2.27

37/60 胜: 后验均值 0.6129 = (k+1)/(n+2) = 0.6129, P(p>0.5 | 数据) = 0.9639, 95% 区间 [0.490, 0.729]
Box-Muller: 均值 +0.0002, 方差 0.9980, corr(Z1,Z2) +0.0003, KS 检验 p 值 0.929

读法：

• 回归斜率与理论 beta 一致；对冲把日波动从 2.2% 降到 1.57%，降幅取决于 \(\sqrt{1-\rho^2}\)——\(\rho=0.7\) 时只降了约 29%，这就是"相关性不够高时对冲效果有限"的定量表述。压力情景下的条件均值、条件标准差与模拟一致。
• **从 100 个毫无能力的策略中挑出的最好一个，3 年回测的年化夏普中位数约 1.4，有 5% 的机会超过 1.9；从 1000 个中挑，中位数约 1.85。**次序统计量公式与直接模拟日收益的结果吻合。这是"回测过拟合"最简洁的数学解释，也是 deflated Sharpe ratio 等校正方法的出发点（第 11 册）。
• 胜率后验均值 0.613 恰为 Laplace 继承法则 \((k+1)/(n+2)\)；"胜率 > 50%" 的后验概率约 96%，但 95% 可信区间 [0.49, 0.73] 仍包含 0.5 附近，提醒我们 60 笔样本的信息量有限。
• Box–Muller 生成的两列随机数均值约 0、方差约 1、互不相关，KS 检验不拒绝正态。

本章小结

条件分布的定义是"联合分布除以边缘分布"，离散和连续情形完全平行；即使条件事件概率为 0，条件密度仍然给出可操作的条件概率。二元正态的条件分布仍是正态：条件均值关于条件值线性（斜率 \(\rho\sigma_x/\sigma_y\)，即回归系数和对冲比率），条件方差为 \(\sigma_x^2(1-\rho^2)\) 且与条件值无关；二元正态下不相关等价于独立。连续版 Bayes 公式配合贝塔先验给出胜率的共轭后验。t 分布是正态除以独立卡方的平方根，尾部比正态厚。次序统计量的联合密度为 \(n!\prod f\)，第 \(j\) 个次序统计量的 CDF 是一个二项尾概率，最大值的 CDF 为 \(F^n\)——它解释了从大量回测中挑选最优结果的乐观偏差。雅可比公式把单变量变换推广到多元，由此得到 Box–Muller 方法、"伽马之和与比例独立"以及正态样本和与偏差的独立性。可交换性弱于独立同分布，但足以保证边缘同分布，是置换检验的基础。

练习

基础

1. 两条独立的订单流分别是 Poisson(30) 与 Poisson(10)（每分钟）。某分钟共到达 50 笔，其中来自第一条流的笔数的分布是什么？期望多少？ 答案：\(\mathrm{Bin}(50,0.75)\)，期望 37.5。
2. 个股与指数日收益服从二元正态，\(\sigma_x=3\%\)，\(\sigma_y=1\%\)，\(\rho=0.5\)，均值都为 0。求个股的 beta、对冲后的残差标准差，以及给定指数上涨 2% 时个股上涨超过 5% 的条件概率。 答案：beta \(=1.5\)；残差 SD \(=3\%\sqrt{0.75}\approx2.6\%\)；条件分布 \(N(3\%,2.6\%^2)\)，\(P=1-\Phi(0.77)\approx0.22\)。
3. 10 个独立 \(U(0,1)\) 随机数的最大值的期望是多少？ 答案：\(X_{(10)}\sim\) Beta(10,1)，期望 \(10/11\)。
4. 先验 Beta(2,2) 的胜率，观测到 20 笔中 14 笔盈利，后验分布与后验均值是什么？ 答案：Beta(16, 8)，均值 \(2/3\)。
5. 证明 \(n\) 个独立 Exp(\(\lambda\)) 的最小值服从 Exp(\(n\lambda\))。（原书理论练习 6.9） 答案：\(P\{\min>t\}=(e^{-\lambda t})^n=e^{-n\lambda t}\)。量化含义：\(n\) 个独立对手方中"第一个违约"的时间强度是各自强度之和。

进阶

6. 设 \(N=200\) 个毫无预测力的策略各有 2 年日数据（\(T=500\)）。用次序统计量公式求最佳策略年化夏普的中位数，并解释为什么要求"样本外"验证。 答案：\(\sqrt{252/500}\,\Phi^{-1}(0.5^{1/200})\approx0.71\times2.70\approx1.92\)。在样本内挑最大值必然有向上偏差，只有独立的样本外数据才能给出无偏的评价。
7. 设 \(X_1,\dots,X_{250}\) 是 i.i.d. 的日收益，用 (6.4) 写出"样本中第 3 小的收益 \(\le-4\%\)"的概率表达式（设 \(F(-4\%)=0.01\)），并计算数值。这与经验 1% VaR 的稳定性有什么关系？ 答案：\(P=\sum_{k\ge3}\binom{250}{k}0.01^k0.99^{250-k}=1-P\{\mathrm{Bin}(250,0.01)\le2\}\approx0.457\)。说明在 250 个样本中，经验 1% 分位数落在真实分位数哪一侧几乎是一半一半，抽样波动很大。
8. 利用例 7a 的结论说明：若两个策略的日收益是独立同方差的正态变量，那么"两策略等权组合"与"两策略收益差（多空价差）"是独立的。这个结论在非正态情况下还成立吗？ 提示：只对正态成立（Bernstein 定理），厚尾时组合与价差可能相依。
9. 设 \(X,Y\) 独立 Gamma(\(\alpha,\lambda\))、Gamma(\(\beta,\lambda\))。某做市商一天中买单成交量 \(X\)、卖单成交量 \(Y\) 服从这种模型，说明"买单占比 \(X/(X+Y)\)"与"总成交量"独立的含义，并指出它可能在什么市场环境下失效。 提示：由例 7c，占比服从 Beta(\(\alpha,\beta\)) 且与总量独立。现实中大成交量常伴随单边行情，占比与总量往往相关，此时模型失效。
10. 证明 Pólya 罐中第 2 次抽到红球的概率等于 \(n/(n+m)\)，并解释为什么"第一次抽到红球"会使"第二次抽到红球"的条件概率上升。 答案：\(\frac{n}{n+m}\cdot\frac{n+1}{n+m+1}+\frac{m}{n+m}\cdot\frac{n}{n+m+1}=\frac{n}{n+m}\)。\(P(R_2\mid R_1)=\frac{n+1}{n+m+1}>\frac{n}{n+m}\)：可交换但正相关。

原书推荐习题：Problems 6.43（泊松—伽马贝叶斯更新）、6.45、6.47–6.48（次序统计量）、6.52–6.56（雅可比与 Box–Muller）、6.60–6.61（可交换性）；Theoretical Exercises 6.8（最小值风险率可加）、6.9（指数最小值）、6.16（二项给定和为超几何）、6.21–6.22（泊松—伽马、指数—伽马共轭）、6.28（均匀样本中位数为 Beta）、6.31–6.32（间距与新观测排名）、6.35（正态比值为柯西）；Self-Test 6.8（Marshall–Olkin 二元指数，相关违约建模原型）、6.9（接受—拒绝抽样）、6.13（分差正态模型的条件胜率）、6.19（正态随机游走的条件分布，布朗桥的离散版）。

原书对照

（书内页码 = PDF 页码 − 13。原书第 6 章自测题的完整解答在附录 B。）