第 04a 章 随机变量、期望与方差

本章对应 Ross 第 4 章的 4.1–4.5 节以及 4.9、4.10 节；4.6–4.8 节的常见离散分布放在第 04b 章。随机变量把"试验结果"变成"数"，期望和方差则是我们描述一个数字型不确定性最基本的两把尺子。量化里每一笔交易的盈亏、每天的收益、每分钟的成交笔数都是随机变量，"这个策略赚不赚钱、风险多大"就是在问期望与方差。

学习目标

1. 理解随机变量是样本空间上的实值函数，会写出离散随机变量的概率质量函数（PMF）与累积分布函数（CDF）。
2. 掌握期望的定义与频率解释，会用无意识统计学家定律（LOTUS）计算 \(E[g(X)]\)，并牢记一般 \(E[g(X)]\ne g(E[X])\)。
3. 掌握方差的定义、计算式 \(E[X^2]-(E[X])^2\) 与线性变换规则。
4. 掌握"期望的线性性不需要独立性"，熟练使用示性变量法求复杂计数的期望与方差。
5. 掌握 CDF 的四条性质，会用 CDF 回答一切关于 \(X\) 的概率问题，包括混合型分布。
6. 会用"边际分析 + 临界分位数"解决报童型决策问题，理解规模偏倚（检验悖论）。

读前导读

这一章在解决什么问题。 期望和方差你在 CFA 里天天用：组合期望收益是加权平均，方差是偏离均值的平方的期望，标准差就是波动率。本章把这两个量放在更严格的地基上，并给出几样 CFA 没有的工具。

本册比 CFA 深的地方，从这一章开始显现。CFA 里"随机变量"只是"一个可能取多个值的量"；这里它被定义为样本空间上的函数——每个世界状态对应一个数。这个看法让很多结论变得一目了然，例如"期望的线性性不需要独立性"：组合的期望收益等于各资产期望收益的加权和，不管资产之间相关性如何；但方差要加协方差项。本章还会给出 LOTUS（求 \(E[g(X)]\) 不必先求 \(g(X)\) 的分布），示性变量法（把复杂计数拆成 0-1 变量之和），以及能同时描述离散、连续和混合型分布的 CDF。本章只处理离散型，期望是求和；到第 05 章连续型随机变量，期望会改用积分定义，\(E[X]=\int x f(x)\,dx\)，那时本章的每个结论都有一个"把 \(\sum\) 换成 \(\int\)"的对应版本。

和金融的联系：期权价值本质上是 \(E[g(S_T)]\)，而 \(g(x)=\max(x-K,0)\) 是凸函数，所以 \(E[g(S)]\ne g(E[S])\)，这是期权有时间价值的根源。报童问题的"临界分位数"在资金备付、库存、做市库存里都会出现；规模偏倚则关系到绩效统计口径（按笔还是按时间、按产品数还是按资金加权）。

需要先想起来的数学。

• 求和的拆分与交换。 \(\sum_i(a_i+b_i)=\sum_ia_i+\sum_ib_i\)，\(\sum_ica_i=c\sum_ia_i\)。双重求和 \(\sum_i\sum_j a_{ij}\) 可以先按行加再按列加，也可以按任意方式分组（项非负或绝对收敛时）。LOTUS、期望线性性的证明全靠"把同一堆项换一种方式分组相加"。见 第 00 册第 07 章 概率中的分析工具。
• 平方展开。 \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)；\((\sum_ia_i)^2=\sum_ia_i^2+\sum_{i\ne j}a_ia_j\)。后者有 \(n\) 个平方项和 \(n(n-1)\) 个交叉项。例：\((a_1+a_2)^2=a_1^2+a_2^2+a_1a_2+a_2a_1\)。示性变量求方差要用。
• 指数级数。 \(\sum_{i=0}^\infty\lambda^i/i!=e^\lambda\)。例 2a 用它定常数。见 第 00 册第 04 章 级数与收敛。
• 单侧极限。 \(F(b^-)=\lim_{x\uparrow b}F(x)\) 表示 \(x\) 从左边逼近 \(b\) 时 \(F\) 的极限。阶梯函数在跳跃点的左极限和函数值不同，差就是跳跃高度。例：4.2 节那个阶梯 CDF 在 \(a=2\) 处 \(F(2^-)=1/4\)，\(F(2)=3/4\)，所以 \(P\{X=2\}=1/2\)。见 第 00 册第 01 章 函数极限与连续。

怎么读这一章。 4.3–4.6 是核心：期望定义、LOTUS、方差计算式、期望线性性和示性变量法。报童问题（例 4b）推导短而有用，建议读懂。4.7 的 CDF 性质要记住"\(P\{X<b\}=F(b^-)\)"和混合型分布的例子。可以跳过或只看结论：例 1e 的容斥公式（集券问题）、例 3c、例 4c（效用的构造）。

4.1 随机变量

做试验时，我们往往只关心结果的某个函数，比如两颗骰子之和、抛硬币的正面总数，而不关心具体的结果。定义在样本空间上的实值函数叫做随机变量（random variable）。它的取值由试验结果决定，所以可以给它的各个取值赋予概率。

白话解释：把样本空间想成一张"情景表"，每行是一种世界状态 \(s\)，每行有一个概率 \(p(s)\)。随机变量就是在表上加一列数 \(X(s)\)，例如每种情景下组合的盈亏。同一张表可以加很多列：组合盈亏 \(X\)、指数收益 \(Y\)、是否触发止损 \(I\)。它们共享同一组情景和概率，这就是为什么后面可以讨论 \(X+Y\)、\(XY\) 的分布。压力测试表就是这种结构：每个情景一行，各头寸损益各一列。"随机"的只是哪一行会发生，每一列本身是确定的函数。

例 1a 抛三枚公平硬币，\(Y\) 为正面数：\(P\{Y=0\}=1/8\)，\(P\{Y=1\}=3/8\)，\(P\{Y=2\}=3/8\)，\(P\{Y=3\}=1/8\)。\(Y\) 必取 0–3 之一，所以 \(\sum_iP\{Y=i\}=1\)。

例 1b（寿险赔付） 两位老年客户各有 10 万美元保单，年轻者一年内死亡的概率为 .05，年长者为 .10，相互独立。\(X\) 为赔付总额（单位 10 万）：

例 1c（最大编号球） 从编号 1–20 的球中无放回取 4 个，\(X\) 为最大编号，取值 \(4,\dots,20\)：

例 1d（截断几何） 正面概率为 \(p\) 的硬币反复抛，直到出现正面或已抛满 \(n\) 次。\(X\) 为抛掷次数：\(P\{X=i\}=(1-p)^{i-1}p\)（\(i=1,\dots,n-1\)），\(P\{X=n\}=(1-p)^{n-1}\)。验证：\(\sum_{i=1}^{n-1}p(1-p)^{i-1}+(1-p)^{n-1}=1\)。

例 1e（集券问题，coupon collecting） 共 \(N\) 种券，每次独立等可能得到任一种。\(T\) 为集齐全部种类所需张数。先求尾概率：令 \(A_j\)="前 \(n\) 张中没有第 \(j\) 种"，则 \(\{T>n\}=\bigcup_jA_j\)，且 \(P(A_{j_1}\cdots A_{j_k})=((N-k)/N)^n\)，由容斥原理

再由 \(P\{T=n\}=P\{T>n-1\}-P\{T>n\}\) 得点概率。原书还求了前 \(n\) 张中出现的不同种类数 \(D_n\) 的分布。

累积分布函数（cumulative distribution function, CDF） \(F(x)=P\{X\le x\}\)，\(-\infty<x<\infty\)。若 \(a\le b\)，\(\{X\le a\}\subset\{X\le b\}\)，所以 \(F\) 单调不减。

4.2 离散型随机变量

最多取可数个值的随机变量叫离散型随机变量。它的**概率质量函数（probability mass function, PMF）**为 \(p(a)=P\{X=a\}\)。若 \(X\) 取值 \(x_1,x_2,\dots\)，则 \(p(x_i)\ge0\)，其他点 \(p(x)=0\)，且 \(\sum_ip(x_i)=1\)。PMF 常画成棒状图，例如两骰之和的 \(p(k)\) 从 \(1/36\) 线性升到 \(p(7)=6/36\) 再对称下降。

例 2a \(p(i)=c\lambda^i/i!\)，\(i\ge0\)。由 \(\sum_i\lambda^i/i!=e^\lambda\) 得 \(c=e^{-\lambda}\)。于是 \(P\{X=0\}=e^{-\lambda}\)，\(P\{X>2\}=1-e^{-\lambda}-\lambda e^{-\lambda}-\lambda^2e^{-\lambda}/2\)。（这就是第 04b 章的泊松分布。）

CDF 与 PMF 的关系：\(F(a)=\sum_{x\le a}p(x)\)。离散变量的 CDF 是阶梯函数，在每个可能取值处跳跃，跳跃高度就是该点的概率。例如 \(p(1)=1/4,p(2)=1/2,p(3)=p(4)=1/8\) 时，

4.3 期望

定义

离散随机变量 \(X\) 的**期望（expectation, expected value）**为

即以概率为权的加权平均。例：\(p(0)=p(1)=1/2\) 时 \(E[X]=1/2\)；\(p(0)=1/3,p(1)=2/3\) 时 \(E[X]=2/3\)。

频率解释：独立重复无穷多次，事件出现的比例等于其概率（第 08 章的强大数律）。把 \(X\) 看成一局赌博的收益，长期平均每局收益就是 \(\sum x_ip(x_i)=E[X]\)。这正是"策略的期望收益"的含义：它是大量重复下的平均，不是单次的保证。

力学类比：在无重量的杆上 \(x_i\) 处放质量 \(p(x_i)\)，平衡点就在 \(E[X]\)，因为 \(\sum_i(x_i-E[X])p(x_i)=0\)。例如 \(p(-1)=.10,p(0)=.25,p(1)=.30,p(2)=.35\) 时重心在 \(0.9\)。

例 3a 公平骰子 \(E[X]=(1+2+\cdots+6)/6=7/2\)。

例 3b（示性变量，indicator variable） \(I=1\) 若事件 \(A\) 发生，否则为 0。\(E[I]=P(A)\)。这个看似平凡的等式是后面"示性变量求和法"的基石。

例 3c（答题顺序） 两道题，先答第 \(i\) 题，答对才能答另一题；答对第 \(i\) 题得 \(V_i\)，知道答案的概率为 \(P_i\)，相互独立。先答题 1 的期望收益为 \(V_1P_1(1-P_2)+(V_1+V_2)P_1P_2\)，先答题 2 为 \(V_2P_2(1-P_1)+(V_1+V_2)P_1P_2\)。先答题 1 更优当且仅当

例 3d（检验悖论，size-biased sampling） 120 名学生乘 3 辆车出游，车上分别有 36、40、44 人。随机抽一名学生，\(X\) 为他所在车的人数。\(P\{X=36\}=36/120\) 等，

4.4 随机变量函数的期望

要求 \(E[g(X)]\)，一种方法是先求 \(g(X)\) 的分布再按定义计算。例 4a：\(X\) 取 \(-1,0,1\) 的概率为 .2、.5、.3，\(Y=X^2\) 取 1 和 0 的概率各为 .5，所以 \(E[X^2]=.5\)。注意 \(E[X^2]=.5\ne(E[X])^2=.01\)。

更方便的是：

命题 4.1（无意识统计学家定律，LOTUS） 若 \(X\) 取值 \(x_i\) 的概率为 \(p(x_i)\)，则对任意实函数 \(g\)，

证明：把 \(g(x_i)\) 相同的项归并。设 \(g(x_i)\) 的不同取值为 \(y_j\)，则

推导拆解：用例 4a 走一遍。\(x\) 取 \(-1,0,1\)，\(g(x)=x^2\) 的值是 \(1,0,1\)，不同取值 \(y_j\) 只有 \(0\) 和 \(1\)。

1. 左边逐项相加：\(1\cdot.2+0\cdot.5+1\cdot.3\)。
2. 第一个等号：把 \(g\) 值相同的项归成一组：\(y=1\) 的一组是 \(x=-1\) 和 \(x=1\)，提出公因子 \(1\cdot(.2+.3)\)；\(y=0\) 的一组是 \(0\cdot.5\)。只是换了加法顺序。
3. 第二个等号：组内概率之和 \(.2+.3\) 恰好是 \(P\{g(X)=1\}\)，因为 \(g(X)=1\) 当且仅当 \(X\) 落在该组。
4. 第三个等号：\(\sum_jy_jP\{g(X)=y_j\}\) 正是 \(g(X)\) 这个随机变量按定义算的期望。 结论：直接拿 \(X\) 的分布对 \(g(x)\) 加权即可，不必先求 \(g(X)\) 的分布。 金融直觉：期权定价就是 LOTUS：\(E[\max(S_T-K,0)]=\sum_s\max(s-K,0)\,P\{S_T=s\}\)，直接用标的价格的分布对收益函数加权，不需要先求"期权收益"的分布。也因为 \(\max(\cdot-K,0)\) 不是直线，\(E[\max(S_T-K,0)]\ge\max(E[S_T]-K,0)\)，若 \(E[S_T]=K\)，期权的期望收益为正，而用期望价格代入只得 0。这就是例 4a 里 \(E[X^2]\ne(E[X])^2\) 在金融中的样子。

推论 4.1（线性） \(E[aX+b]=aE[X]+b\)。

\(E[X]\) 也叫 \(X\) 的**均值（mean）**或一阶矩；\(E[X^n]=\sum_xx^np(x)\) 叫 \(n\) 阶矩（\(n\)th moment）。

报童问题：临界分位数

例 4b（报童/季节性库存问题，newsvendor） 每卖出一件净赚 \(b\)，季末每剩一件亏 \(\ell\)。需求 \(X\) 的 PMF 为 \(p(i)\)。备货 \(s\) 件时利润为

求最优 \(s\) 时不必逐个比较，用边际分析：多备一件带来的期望利润变化为

推导拆解：

1. 期望利润：把两种情形合成一个式子。\(X\le s\) 时利润 \(bX-(s-X)\ell=sb+(b+\ell)(X-s)\)（加减 \(sb\) 整理即得）；\(X>s\) 时利润 \(sb\)。所以 \(P(s)=sb+(b+\ell)(X-s)\cdot\mathbf 1\{X\le s\}\)。对它用 LOTUS 取期望，就是原文的式子。
2. 边际：\(E[P(s+1)]-E[P(s)]\) 中，\(sb\) 部分贡献 \(b\)；求和部分里，每个 \(i\le s\) 的项从 \((i-s)\) 变成 \((i-s-1)\)，各减少 \(p(i)\)；新增的 \(i=s+1\) 项是 \((s+1-s-1)p(s+1)=0\)。合计 \(b-(b+\ell)\sum_{i\le s}p(i)\)。
3. 直观读法：多备第 \(s+1\) 件，若需求超过 \(s\)（概率 \(1-F(s)\)），多赚 \(b\)；若需求不超过 \(s\)（概率 \(F(s)\)），这件卖不掉，亏 \(\ell\)。边际期望 \(=b[1-F(s)]-\ell F(s)\)，与上式相同。令它从正变负，就得到 \(F(s)\) 跨过 \(b/(b+\ell)\) 的位置。 这一步"比较多做一单位的边际收益与边际成本"是离散版的"导数等于零"。

这个结论非常一般：当"多了"和"少了"的单位损失分别是常数时，最优决策是某个分位数。第 05 章会遇到它的连续版本，统计学里它对应分位数回归的 pinball loss。

期望效用

例 4c（效用，utility） 两种行动分别以概率 \(p_i\)、\(q_i\) 导致后果 \(C_1,\dots,C_n\)。构造效用：最差后果赋 0，最好后果赋 1；对其他 \(C_i\)，找概率 \(u\) 使你在"确定得到 \(C_i\)"与"以概率 \(u\) 得最好后果、\(1-u\) 得最差后果的抽奖"之间无差异，记 \(u(C_i)=u\)。于是行动 1 等价于以概率 \(\sum_ip_iu(C_i)\) 得最好后果的抽奖。结论：行动 1 优于行动 2 当且仅当

4.5 方差

期望不反映离散程度。\(W\equiv0\)；\(Y=\pm1\) 各 1/2；\(Z=\pm100\) 各 1/2，三者均值都是 0，离散程度却天差地别。可以用 \(E|X-\mu|\) 度量，但数学上不方便，所以用平方偏差。

定义 若 \(\mu=E[X]\)，\(X\) 的**方差（variance）**为

推导拆解：展开那一步用了三件事。(1) 平方展开 \((X-\mu)^2=X^2-2\mu X+\mu^2\)，这里 \(\mu\) 是一个固定的数，不是随机变量。(2) 期望的线性性：\(E[X^2-2\mu X+\mu^2]=E[X^2]-2\mu E[X]+\mu^2\)（常数可以提出期望，常数的期望是它自己）。(3) \(E[X]=\mu\)，于是 \(-2\mu\cdot\mu+\mu^2=-\mu^2\)。 实务提醒：用 \(E[X^2]-\mu^2\) 计算日收益方差时，如果收益很小、均值又接近 0，两项都很小且接近，数值误差会被放大；统计软件计算样本方差时通常先减均值再平方，就是这个原因。

例 5a 公平骰子 \(E[X^2]=91/6\)，\(\mathrm{Var}(X)=91/6-(7/2)^2=35/12\)。

性质 \(\mathrm{Var}(aX+b)=a^2\mathrm{Var}(X)\)。证明：\(E[(aX+b-a\mu-b)^2]=a^2E[(X-\mu)^2]\)。平移不改变方差，缩放使方差按平方缩放。

标准差（standard deviation） \(\mathrm{SD}(X)=\sqrt{\mathrm{Var}(X)}\)，与 \(X\) 同量纲。量化里的"波动率"就是收益率的标准差。力学类比中，均值是重心，方差是转动惯量。

4.6 随机变量和的期望

为简单起见，设样本空间 \(S\) 有限或可数，\(X(s)\) 表示结果 \(s\) 下 \(X\) 的值，\(p(s)=P(\{s\})\)。

命题 9.1 \(E[X]=\sum_{s\in S}X(s)p(s)\)。

证明：令 \(S_i=\{s:X(s)=x_i\}\)，它们互斥且并为 \(S\)，\(E[X]=\sum_ix_iP(S_i)=\sum_i\sum_{s\in S_i}X(s)p(s)=\sum_sX(s)p(s)\)。

推论 9.2（期望的线性性）

金融直觉：回到"情景表"的图景：\(X_1,\dots,X_n\) 是同一张表上的 \(n\) 列，\(\sum X_i\) 是它们逐行相加得到的新列。对新列按行概率加权求平均，等于先对每列各自加权平均再相加——这只是加法交换律，和各列之间是否相关毫无关系。所以组合期望收益 \(E[\sum w_iR_i]=\sum w_iE[R_i]\) 永远成立，CFA 里你用它时从未问过相关性，原因就在此。方差则不同：\((\sum X_i)^2\) 展开后有交叉项 \(X_iX_j\)，它们的期望依赖于各列如何一起变动，这就是组合方差里协方差项的来源（第 07a 章）。

例 9c \(n\) 颗骰子之和的期望为 \(3.5n\)。

例 9d（示性变量法，method of indicators） 第 \(i\) 次试验成功的概率为 \(p_i\)，令 \(X_i\) 为其示性变量，\(X=\sum X_i\) 为成功次数，则 \(E[X]=\sum p_i\)，不要求试验独立。特例：二项分布 \(E[X]=np\)；超几何分布——无放回抽样中第 \(i\) 个取出的球等可能是 \(N\) 个中任一个，是白球的概率为 \(m/N\)，所以 \(E[X]=nm/N\)，尽管各次抽取相依。

例 9e（示性变量求方差） 由 \(X_i^2=X_i\)，以及 \(X_iX_j\) 是"\(i,j\) 都成功"的示性变量，

• 二项：\(E[X_iX_j]=p^2\)，\(E[X^2]=np+n(n-1)p^2\)，\(\mathrm{Var}(X)=np(1-p)\)。
• 超几何：\(P\{X_i=1,X_j=1\}=\frac mN\cdot\frac{m-1}{N-1}\)，化简得 \(\mathrm{Var}(X)=np(1-p)\big(1-\frac{n-1}{N-1}\big)\)，\(p=m/N\)。

推导拆解：

1. (9.1) 来自平方展开 \(X^2=(\sum_iX_i)^2=\sum_iX_i^2+\sum_i\sum_{j\ne i}X_iX_j\)，再对每项取期望（线性性）。
2. \(X_i^2=X_i\)：0-1 变量平方不变（\(0^2=0,1^2=1\)）。\(X_iX_j=1\) 当且仅当两个都为 1，所以它是"\(i,j\) 都成功"的示性变量，期望等于该事件的概率。
3. 二项：\(\sum_ip_i=np\)；交叉项共 \(n(n-1)\) 个，独立时每个是 \(p\cdot p\)。于是 \(\mathrm{Var}=np+n(n-1)p^2-(np)^2=np-np^2=np(1-p)\)。
4. 超几何：交叉项每个是 \(\frac mN\cdot\frac{m-1}{N-1}\)（乘法法则：第 \(i\) 个是白球，再在剩下 \(N-1\) 个中第 \(j\) 个是白球）。代入 \(\mathrm{Var}=E[X^2]-(np)^2\) 整理即得。因子 \(1-\frac{n-1}{N-1}\) 叫有限总体修正：无放回抽样时，抽到一个白球会让后面抽到白球的机会略降，正负相抵，方差比有放回时小。\(n=N\)（全部抽完）时方差为 0，因为白球数是确定的 \(m\)。

示性变量法的威力在于：把一个分布很复杂的计数拆成许多 0-1 变量之和，期望只需各自的概率，方差只需两两联合概率。第 02 章游程个数的期望、配对问题中配对人数的期望（等于 1）都可以这样秒算。

4.7 累积分布函数的性质

CDF \(F\) 有四条性质：

1. 单调不减：\(a<b\Rightarrow F(a)\le F(b)\)；
2. \(\lim_{b\to\infty}F(b)=1\)；
3. \(\lim_{b\to-\infty}F(b)=0\)；
4. 右连续：对任意递减趋于 \(b\) 的序列 \(b_n\)，\(\lim F(b_n)=F(b)\)。

性质 1 来自事件包含；2、3、4 来自第 02 章的概率连续性。例如 \(b_n\downarrow b\) 时 \(\{X\le b_n\}\) 是递减事件列，其交为 \(\{X\le b\}\)。

所有关于 \(X\) 的概率问题都可以用 \(F\) 回答：

注意 \(P\{X<b\}\) 不一定等于 \(F(b)\)，后者包含 \(X=b\) 的概率。

白话解释：为什么 CDF 是"右连续"而不是"左连续"？因为定义里用的是 \(\le\)。在跳跃点 \(b\)，\(F(b)=P\{X\le b\}\) 已经把 \(X=b\) 那一块概率算进去了，所以 \(F\) 在 \(b\) 处取的是跳跃后的"上沿"；从右边靠近 \(b\)，函数值一直贴着这个上沿，所以右极限等于函数值。从左边靠近时还没算进那块概率，于是左极限 \(F(b^-)\) 是"下沿"，上下沿之差就是 \(P\{X=b\}\)。 金融直觉：VaR 的定义要用到这一点。损失分布有跳跃时（例如一笔债券要么全额兑付、要么违约损失 60%），某个置信水平可能正好落在跳跃里，"使 \(F(x)\ge0.99\) 的最小 \(x\)"与"使 \(F(x)>0.99\) 的 \(x\)"可能不同。正因为 CDF 右连续，"最小 \(x\) 使 \(F(x)\ge\alpha\)"总能取到，这就是分位数（广义逆）的标准定义，代码里 stats.poisson.ppf 用的也是它。

例 10a（混合型分布）

混合型分布在量化中并不罕见：例如有涨跌停限制的日收益，在涨跌停价位上有一个概率质量，其余部分连续。

量化实战

1. 胜率不是期望

很多看起来"稳赚"的策略胜率很高，期望却为负；反过来，胜率只有 30% 的趋势跟踪可能长期赚钱。下面比较两种单笔盈亏分布，并模拟 250 笔交易后亏损的比例。这正是原书习题 4.20（轮盘"必胜策略"）和例 6c（幸运轮）的量化版本。

2. 报童问题与备付资金

把报童问题改写成资金管理：基金每日赎回需求 \(X\)（百万）服从均值 40 的泊松分布（第 04b 章）。备付现金 \(s\)：若不足，缺口部分需要紧急变现，每单位成本 \(b=3\)；若多余，闲置资金有机会成本，每单位 \(\ell=1\)。最小化期望成本等价于报童问题中最大化期望利润，最优备付量是需求分布的 \(b/(b+\ell)=0.75\) 分位数。

3. 检验悖论：按笔平均与按时间平均

例 3d 在交易数据里的对应物：每笔交易的持仓天数为 \(X\)。若"随机抽查账户里某一天正在持有的那笔交易"，看到的持仓期平均是 \(E[X^2]/E[X]\)，而不是 \(E[X]\)。用持仓日加权（时间加权）和用笔数加权（交易加权）计算的平均持仓期、平均收益、胜率都会不同，报告绩效时必须说明是哪一种。

推导拆解：为什么是 \(E[X^2]/E[X]\)？设共有 \(n\) 笔交易，持仓天数为 \(x_1,\dots,x_n\)，总持仓日数 \(\sum_kx_k\)。随机抽一个持仓日，它属于第 \(k\) 笔的概率与该笔的天数成正比，等于 \(x_k/\sum_jx_j\)。抽到的那笔的持仓期期望为

\[\sum_kx_k\cdot\frac{x_k}{\sum_jx_j}=\frac{\frac1n\sum_kx_k^2}{\frac1n\sum_jx_j}\approx\frac{E[X^2]}{E[X]}.\]

由 \(E[X^2]=\mathrm{Var}(X)+(E[X])^2\)，它等于 \(E[X]+\mathrm{Var}(X)/E[X]\)，只要持仓期有差异（方差大于 0），就严格大于 \(E[X]\)。例 3d 的车辆问题是同一结构：\(\frac{36^2+40^2+44^2}{120}\)。

import numpy as np
from scipy import stats
rng = np.random.default_rng(1)

# ---------- 1) 高胜率 ≠ 正期望：两种策略的单笔盈亏分布 ----------
strategies = {
    "卖深度虚值期权型": (np.array([1.0, -12.0]), np.array([0.92, 0.08])),
    "趋势跟踪型":       (np.array([-1.0, 3.0]),  np.array([0.70, 0.30])),
}
for name, (x, p) in strategies.items():
    mu = (x * p).sum()                       # E[X] = sum x p(x)
    var = (x**2 * p).sum() - mu**2           # Var = E[X^2] - (E[X])^2
    sims = rng.choice(x, p=p, size=(10000, 250)).sum(axis=1)   # 250 笔交易累计盈亏
    print(f"{name}: 胜率={p[x>0].sum():.0%}  E[X]={mu:+.3f}  SD={np.sqrt(var):.3f}  "
          f"250笔后亏损的比例={np.mean(sims<0):.1%}")

# ---------- 2) 报童问题 = 备付资金的临界分位数 ----------
# 每日赎回需求 X ~ Poisson(40)（单位：百万）。备付 s：
# 不足部分要紧急变现，每单位成本 b=3；多余部分有机会成本，每单位 l=1。
b, l, lam = 3.0, 1.0, 40
xs = np.arange(0, 120)
px = stats.poisson.pmf(xs, lam)
def expected_cost(s):
    return np.sum(px * (b * np.maximum(xs - s, 0) + l * np.maximum(s - xs, 0)))
costs = np.array([expected_cost(s) for s in xs])
s_brute = xs[costs.argmin()]
s_quant = stats.poisson.ppf(b / (b + l), lam)    # 最小的 s 使 F(s) >= b/(b+l)
print(f"\n临界分位数 b/(b+l)={b/(b+l):.2f}: 枚举最优 s={s_brute}, 分位数公式 s={s_quant:.0f}, "
      f"期望成本={costs.min():.3f}")

# ---------- 3) 检验悖论：按笔平均持仓期 vs 随机抽查某一天看到的持仓期 ----------
hold = rng.choice([1, 5, 20], p=[0.6, 0.3, 0.1], size=100000)   # 每笔交易的持仓天数
per_trade = hold.mean()
per_day = (hold**2).sum() / hold.sum()     # 随机抽一个"持仓日"，其所属交易的持仓期
print(f"\n按笔平均持仓期 E[X]={per_trade:.2f} 天；随机抽查某持仓日看到的平均持仓期 "
      f"E[X^2]/E[X]={per_day:.2f} 天")

关键输出：

卖深度虚值期权型: 胜率=92%  E[X]=-0.040  SD=3.527  250笔后亏损的比例=53.2%
趋势跟踪型: 胜率=30%  E[X]=+0.200  SD=1.833  250笔后亏损的比例=4.0%

临界分位数 b/(b+l)=0.75: 枚举最优 s=44, 分位数公式 s=44, 期望成本=8.165

按笔平均持仓期 E[X]=4.09 天；随机抽查某持仓日看到的平均持仓期 E[X^2]/E[X]=11.73 天

读法：92% 胜率的策略期望为负，250 笔后过半的路径亏损；30% 胜率的策略期望为正，只有 4% 的路径亏损。报童问题中暴力枚举与分位数公式给出同一个最优备付量 44。持仓期的两种平均相差近 3 倍，理论值 \(E[X]=4.1\)、\(E[X^2]/E[X]=48.1/4.1\approx11.73\) 与模拟一致。

本章小结

随机变量是样本空间上的实值函数；离散型用 PMF 描述，CDF 单调不减、右连续、两端极限为 0 和 1，所有概率都能由 CDF 表达（注意 \(P\{X<b\}=F(b^-)\)）。期望是概率加权平均，具有频率解释；LOTUS 让我们不必先求 \(g(X)\) 的分布，但一般 \(E[g(X)]\ne g(E[X])\)。方差衡量离散程度，\(\mathrm{Var}(aX+b)=a^2\mathrm{Var}(X)\)。期望的线性性不需要独立性，示性变量法据此把复杂计数拆成 0-1 变量之和。报童问题说明非对称线性损失下的最优决策是分位数；期望效用是理性决策的公理基础；规模偏倚提醒我们抽样方式决定了看到的平均。

练习

基础

1. \(X\) 取 \(-2,0,3\) 的概率分别为 .3、.5、.2。求 \(E[X]\)、\(E[X^2]\)、\(\mathrm{Var}(X)\)、\(\mathrm{Var}(3X-5)\)。 答案：\(E[X]=0\)，\(E[X^2]=1.2+1.8=3\)，\(\mathrm{Var}=3\)，\(\mathrm{Var}(3X-5)=27\)。
2. 某策略每笔以 0.4 的概率盈利 2.5，以 0.6 的概率亏损 1。求单笔期望、标准差，以及 100 笔独立交易累计盈亏的期望与标准差。 答案：\(E=0.4\)，\(E[X^2]=2.5+0.6=3.1\)，\(\mathrm{SD}=\sqrt{3.1-0.16}\approx1.715\)；100 笔期望 40、标准差 17.15（独立和的方差相加，第 07a 章 7.4 节证明）。
3. 证明对非负整数值随机变量 \(N\)，\(E[N]=\sum_{i\ge1}P\{N\ge i\}\)。（原书理论练习 4.5） 提示：\(N=\sum_{i\ge1}I\{N\ge i\}\)，再用示性变量法。
4. 10 对夫妻随机围坐圆桌，用示性变量法求相邻而坐的夫妻对数的期望。 答案：每对相邻的概率为 \(2/19\)，期望 \(20/19\)。
5. 对例 10a 的混合分布，求 \(P\{1\le X<2\}\) 与 \(P\{X\ge2\}\)。 答案：\(F(2^-)-F(1^-)=2/3-1/2=1/6\)；\(1-F(2^-)=1/3\)。

进阶

6. 证明 \(E[(X-c)^2]\) 在 \(c=E[X]\) 处取最小，最小值为 \(\mathrm{Var}(X)\)。这对用均值作预测有什么含义？ 提示：\(E[(X-c)^2]=\mathrm{Var}(X)+(E[X]-c)^2\)。在平方损失下最好的常数预测是均值。
7. 一个做市商每天开盘前决定持有某 ETF 的库存 \(s\) 份（整数），当日客户买入需求 \(X\) 的分布为 \(P\{X=k\}=0.1,\ k=0,\dots,9\)。每卖出一份赚 0.5，未卖出的每份因隔夜风险损失 0.2。最优库存是多少？ 答案：临界分位数 \(0.5/0.7\approx0.714\)。\(F(6)=0.7<0.714\le F(7)=0.8\)，最优 \(s=7\)。
8. 某量化私募有 3 只产品，规模分别为 1 亿、4 亿、15 亿。若"随机抽一位持有人"，他所持产品的平均规模是多少？与"产品的平均规模"相比如何？ 答案：按资金加权 \(\frac{1+16+225}{20}=12.1\) 亿，远大于简单平均 6.67 亿（假设持有人与资金成比例）。
9. 证明若 \(P\{0\le X\le c\}=1\)，则 \(\mathrm{Var}(X)\le c^2/4\)。（原书第 5 章理论练习 5.8 的离散版） 提示：\(\mathrm{Var}(X)\le E[(X-c/2)^2]\le c^2/4\)，用第 6 题的结论。
10. 集券问题中 \(N=5\)，求 \(P\{T>10\}\)，并用模拟核对。 答案：由 (1.1)，\(5(0.8)^{10}-10(0.6)^{10}+10(0.4)^{10}-5(0.2)^{10}\approx0.5369-0.0605+0.0010-0.0000\approx0.477\)。

原书推荐习题：Problems 4.20（轮盘策略：正赢概率与负期望）、4.21（检验悖论车辆版）、4.30（圣彼得堡悖论）、4.31（合适评分规则）、4.24（极小极大定理）、4.32（混样检测）、4.33、4.34（报童及含商誉成本的库存）、4.84、4.85（示性变量法）；Theoretical Exercises 4.5（尾和公式）、4.7（标准化）；Self-Test 4.4（规模偏倚）、4.6（信息价值）、4.7（双信封阈值策略）。

原书对照

（书内页码 = PDF 页码 − 13。）