张量篇 第 T3 章 曲线坐标、运动标架与 Christoffel 符号

对应原书：Simmonds《A Brief on Tensor Analysis》第 2 版，第 III 章 Newton's Law and Tensor Calculus（书 p.45–69，PDF p.58–82；原书 p.70 为空白页，扫描缺失）。

原书借牛顿第二定律 \(\mathbf f=m\ddot{\mathbf x}\) 引入张量微积分：在极坐标、球坐标这类曲线坐标里，基向量随位置变化，对它求导就产生 Christoffel 符号；换坐标时，第 T2 章的基变换矩阵 \(A\) 变成逐点变化的 Jacobian \(\partial u^i/\partial\tilde u^j\)，得到全书唯一加方框的公式。牛顿力学本身与量化无关，但本章的两个结论对量化很重要：梯度按 Jacobian 协变地变换；二阶导数（Hessian、Christoffel 符号）在非线性换元下会多出一项，因而不是张量。这解释了"换参数化后牛顿法为什么表现不同""对数价格下的 Gamma 为什么多一项 Delta"等现象。

学习目标

读完本章，你应当能够：

1. 由坐标变换 \(\mathbf x=\hat{\mathbf x}(u^j)\) 写出自然基 \(\mathbf g_i=\partial\mathbf x/\partial u^i\)、Jacobian 与倒易基，理解"运动标架"：基向量随点变化。
2. 推导一般坐标下的加速度 \(a^k=\ddot u^k+\Gamma^k_{ij}\dot u^i\dot u^j\)，并把极坐标的向心项 \(-r\dot\theta^2\)、Coriolis 项 \(2\dot r\dot\theta\) 认作 Christoffel 符号的贡献。
3. 用 \(\Gamma^k_{ij}=\mathbf g^k\cdot\mathbf g_{i,j}\) 或只用度量的公式 \(\Gamma^k_{ij}=\frac12g^{kp}(g_{ip,j}+g_{jp,i}-g_{ij,p})\) 计算 Christoffel 符号，并用 numpy.einsum 数值实现。
4. 掌握方框公式：坐标变换下协变分量乘 \(\partial u^i/\partial\tilde u^j\)，逆变分量乘 \(\partial\tilde u^i/\partial u^j\)。
5. 理解 Christoffel 符号的变换含二阶导数项因而不是张量；把它对应到重参数化下 Hessian 的变换 \(\tilde H=J^TH J+\sum_kf_{,k}\,\partial^2u^k/\partial\tilde u\partial\tilde u\)，并说明自然梯度为何与参数化无关。

读前导读

先说实话：这一章对量化是选读

张量篇（T1–T4）取材于一本写给力学和工程学生的书。本章的主线是牛顿定律、极坐标里的向心加速度和 Coriolis 项，这些和交易、定价、风控都没有直接关系。如果你时间紧，可以只读下面列出的几处，其余部分跳过，不影响后面各册。

真正对量化有用的只有三件事，而且都集中在 T3.5、T3.6 和实战 2：

• 换参数时，一阶导数（梯度、Delta）只需乘 Jacobian。 这就是你熟悉的链式法则。期权 Delta 从"对价格"换成"对对数价格"要乘 \(S\)，就是这一条。
• 二阶导数（Hessian、Gamma）换参数时会多出一项。 多出的这一项正比于一阶导数，所以在最优点（一阶导数为零）消失。这解释了两件实务现象：对数价格下的 Gamma 比 \(S^2\Gamma\) 多一个 \(S\cdot\text{Delta}\)；最大似然估计在 \(\sigma\) 和 \(\log\sigma\) 两种参数化下，标准误可以用 delta 方法互相换算，但牛顿法的迭代路径却不同。
• 梯度要经过一个"度量"才成为方向。 偏导数向量告诉你"往各坐标方向走一步，函数变多少"，但它本身不是"该往哪走"。把它乘上度量矩阵的逆，才是一个和参数化无关的方向。度量取 Fisher 信息时，这就是自然梯度。第 T4 章会把同一思路用到组合上，得到 \(\Sigma^{-1}\boldsymbol\mu\)。

这一章在解决什么问题

在笛卡尔坐标（普通的 \(x,y,z\)）里，坐标轴方向处处相同，求导很简单。换成极坐标、球坐标这类"弯曲"的坐标后，"沿 \(r\) 增加的方向"在不同的点指向不同的地方。于是对一个向量求导时，除了分量本身的变化，还要算上"尺子方向变了"带来的变化。Christoffel 符号 \(\Gamma^k_{ij}\) 就是记录"尺子怎么变"的一张表。

用金融话说：债券价格对收益率的敏感度（DV01）本身随收益率水平变化，所以凸性里包含了"敏感度本身在变"的信息。本章讲的是同一类现象在多维、任意坐标下的系统写法。

需要先想起来的数学

1. 偏导数与链式法则。 偏导数 \(\partial f/\partial u\) 是只动 \(u\)、其他变量不动时 \(f\) 的变化率。链式法则说：若 \(f\) 依赖 \(u\)，\(u\) 又依赖 \(\tilde u\)，则 \(\dfrac{\partial f}{\partial\tilde u}=\dfrac{\partial f}{\partial u}\dfrac{\partial u}{\partial\tilde u}\)。例：\(V(S)\)，\(S=e^x\)，则 \(dV/dx=V'(S)\cdot e^x=S\cdot\text{Delta}\)。多元时把各条路径加起来：\(\partial f/\partial\tilde u^j=\sum_i(\partial f/\partial u^i)(\partial u^i/\partial\tilde u^j)\)。见 第 00 册第 02 章 导数与泰勒展开 和 第 00 册第 05 章 多元微积分与优化。

2. Jacobian 矩阵与行列式。 一组新变量对一组旧变量的偏导数排成矩阵，就是 Jacobian 矩阵，第 \((i,j)\) 元是 \(\partial x^i/\partial u^j\)。它是"局部的线性换算表"：坐标变动 \(du\)，位置大约变动 \(J\,du\)。它的行列式（本书也记作 \(J\)）是局部面积（体积）的放大倍数。例：极坐标 \(x=r\cos\theta,y=r\sin\theta\)，行列式为 \(r\)，即半径 \(r\) 处，\(dr\,d\theta\) 的小格面积约为 \(r\,dr\,d\theta\)。见 第 00 册第 06 章 线性代数速成。

3. 二阶偏导与 Hessian。 二阶偏导 \(\partial^2f/\partial u^i\partial u^j\) 排成的矩阵叫 Hessian，描述函数的"弯曲程度"，一维时就是凸性/Gamma。光滑函数的混合偏导可以交换次序：\(\partial^2f/\partial u\partial v=\partial^2f/\partial v\partial u\)。见第 00 册第 05 章。

4. 指标记号（第 T2 章）。 上标是编号不是幂，\(u^2\) 指"第 2 个坐标"。Einstein 求和约定：同一项里一个指标上下各出现一次，就自动对它求和，如 \(v^i\mathbf g_i=\sum_iv^i\mathbf g_i\)；这种被求和的指标叫哑指标，换个字母不改变含义。\(\delta^i_j\)（Kronecker delta）在 \(i=j\) 时为 1，否则为 0，相当于单位矩阵。\(g_{ij}=\mathbf g_i\cdot\mathbf g_j\) 是度量矩阵，\(g^{ij}\) 是它的逆矩阵。记号速查见 第 00 册第 08 章 读懂数学证明与符号。

5. 本章的两个新符号。 逗号表示偏导：\(f_{,i}=\partial f/\partial u^i\)，\(\mathbf g_{i,j}=\partial\mathbf g_i/\partial u^j\)。字母上加点表示对时间求导：\(\dot r=dr/dt\)，\(\ddot r=d^2r/dt^2\)。

怎么读这一章

• 跳过：T3.1（牛顿定律与守恒律）、T3.3（一般三维坐标）、T3.4 的具体例题和计数表、T3.7 中 Frenet–Serret 与中心力场两条。这些是力学内容。
• 快速浏览：T3.2，只需抓住一句话："基向量随位置变，求导时就多出 \(\Gamma\) 项"。极坐标的向心项 \(-r\dot\theta^2\) 是这个现象最直观的例子。
• 核心必读：T3.5 的方框公式和随后关于 Delta 的那段；T3.6 整节，尤其是"量化翻译"框；实战 2 及其读法。
• 建议顺序：先读 T3.5 → T3.6 → 实战 2，确认能看懂 \(\sigma\) 与 \(\log\sigma\) 的对比；有余力再回头看 T3.2 和 T3.4.2 的度量公式。

另外提醒一句：导言说原书"全书唯一加方框的公式"指的是 (3.89)(3.90)；本教材为了醒目，也给其他几个关键公式加了方框，不要混淆。

T3.1 牛顿定律与坐标无关的形式（简要）

在惯性标架中，质点满足

（原书引 Truesdell：牛顿本人从未写出这种形式，最早写出它的是 Euler。）连续介质力学把整体形式 \(\mathbf F=\dot{\mathbf L}\) 与转动动量守恒当作对任意物体成立的公设，刚体则由特殊的本构假设定义。

不写分量，直接对 (3.1) 做向量运算就能得到几条守恒律：

• 两边点乘 \(\dot{\mathbf x}\)：外力功率 = 动能 \(k=\frac12m\dot{\mathbf x}\cdot\dot{\mathbf x}\) 的变化率；
• 两边叉乘 \(\mathbf x\)：力矩 = 转动动量 \(\mathbf x\times m\dot{\mathbf x}\) 的变化率；
• 若存在势 \(v\) 使 \(\mathbf f\cdot\dot{\mathbf x}=-\dot v\)，则 \(k+v=\) 常数（能量守恒）；
• 例 3.2（Kepler 定律）：中心力场中 \(\mathbf x\times\dot{\mathbf x}=\mathbf c\) 为常向量，所以轨道在一个平面内，且由例 3.1 的面积公式 \(dA/dt=\frac12|\mathbf x\times\dot{\mathbf x}|\)，相等时间扫过相等面积。

术语（3.3 节）：质点占据的点集称为轨道（orbit），参数化 \(\mathbf x=\hat{\mathbf x}(t)\) 称为轨迹（trajectory），速度 \(\dot{\mathbf x}\) 与轨道相切，弧长 \(s=\int|\dot{\mathbf x}|dt\)。原书脚注举了一个好例子：滚动车轮边缘一点的轨迹是光滑的，但轨道（摆线）在触地点有尖点，因为那里速度为零。

这些坐标无关的结论简洁有力，但除特例外给不出运动的全部细节。要求解，就得写成分量；而要让力的分量简单，就得选合适的坐标，例如中心力问题用极坐标。

T3.2 极坐标：运动标架

T3.2.1 自然基与屋顶分量

原书从 3.5 节起把公式排成左右两栏：左栏是平面极坐标 \((r,\theta)\) 的具体公式，右栏是一般坐标的张量形式。本章沿用这种对照，写成"极坐标 ‖ 一般形式"。

\(x=r\cos\theta\)，\(y=r\sin\theta\)。位置与速度：

自然地定义

Jacobian \(J=\det\begin{bmatrix}\cos\theta&-r\sin\theta\\\sin\theta&r\cos\theta\end{bmatrix}=r\)。于是 \(\mathbf v=v^r\mathbf g_r+v^\theta\mathbf g_\theta\)，

速度的屋顶（逆变）分量就是坐标的时间导数，\(\mathbf g_i\) 是该坐标系的地窖基向量（也叫自然基、协变基）。几何上（原书封面图），过点 \(P\) 有一条 \(r\)-坐标曲线（\(\theta\) 固定）和一条 \(\theta\)-坐标曲线（\(r\) 固定），\(\mathbf g_r,\mathbf g_\theta\) 分别与它们相切。注意 \(|\mathbf g_\theta|=r\)，不是单位向量。

白话解释：\(\mathbf g_i=\partial\mathbf x/\partial u^i\) 回答的是"只把第 \(i\) 个坐标拨动一个单位，位置往哪儿走、走多远"。在半径 \(r\) 处把 \(\theta\) 拨动 1 弧度，点沿圆周走了 \(r\) 的距离，所以 \(|\mathbf g_\theta|=r\)；拨动 \(r\) 一个单位，点沿径向走 1，所以 \(|\mathbf g_r|=1\)。离原点越远，\(\theta\) 的"一格"代表的实际距离越大。

金融直觉：这和 DV01 类似。收益率变 1bp，价格变多少，取决于你此刻所在的收益率水平。"坐标的一格"折算成"实际变化"的比例逐点不同，\(\mathbf g_i\) 就是这张逐点的换算表。

原点处 \(J=0\)，基失效，这类点称为例外点（exceptional points）。作者说它们是许多坐标系的"祸与福"：场方程常在那里出现奇异解，有时要按物理理由舍弃，有时恰好代表源、汇、涡线、集中力乃至黑洞这类有用的理想化。

T3.2.2 物理分量

\(\mathbf w\) 沿 \(\mathbf u\) 方向的物理分量（physical component）定义为 \(\mathbf w\cdot\bar{\mathbf u}\)。极坐标的屋顶基 \(\mathbf g^r=\cos\theta\,\mathbf e_x+\sin\theta\,\mathbf e_y\)，\(\mathbf g^\theta=r^{-1}(-\sin\theta\,\mathbf e_x+\cos\theta\,\mathbf e_y)\)，所以

这与通常的径向速度、角向速度一致。只有物理分量才有物理量纲：\(v^\theta=\dot\theta\) 的量纲是 1/时间，\(v^{(\theta)}=r\dot\theta\) 才是速度。量化里同理：同一笔风险，用"每单位对数价格"和"每元价格"表达，数值和单位都不同，比较前要统一。

T3.2.3 加速度与 Christoffel 符号

对 \(\mathbf v=v^i\mathbf g_i\) 求导：

关键在第二项：基向量随点变化，所以它的时间导数不为零。这就是运动标架（moving frame）的本质。由链式法则，\(\dot{\mathbf g}_i=v^j\mathbf g_{i,j}\)，这里逗号表示偏导：\(\mathbf g_{i,j}=\partial\mathbf g_i/\partial u^j\)。由于 \(\mathbf g_{i,j}=\mathbf x_{,ij}=\mathbf x_{,ji}=\mathbf g_{j,i}\)，二阶混合偏导可交换。

\(\mathbf g_{i,j}\) 本身是向量，可以用基展开：

系数 \(\Gamma^k_{ij}\) 称为该坐标系的 Christoffel 符号（Christoffel symbols），下指标对称 \(\Gamma^k_{ij}=\Gamma^k_{ji}\)。代入 (3.31)，把第一项的哑指标 \(i\) 换成 \(k\)（张量分析的典型招数）：

推导拆解：从 (3.31) 到 (3.35) 共四步。

1. \(\mathbf v=v^i\mathbf g_i\) 是"分量 × 基"的乘积，对时间求导用乘积法则：\(\mathbf a=\dot v^i\mathbf g_i+v^i\dot{\mathbf g}_i\)。
2. \(\mathbf g_i\) 不直接依赖时间，它依赖位置 \(u^j\)，而 \(u^j\) 随时间变。用链式法则：\(\dot{\mathbf g}_i=\dfrac{\partial\mathbf g_i}{\partial u^j}\dfrac{du^j}{dt}=\mathbf g_{i,j}\,v^j\)（这里用了 (3.27) 的 \(v^j=\dot u^j\)）。
3. 代入 (3.33)：\(v^i\dot{\mathbf g}_i=v^iv^j\Gamma^k_{ij}\mathbf g_k\)。
4. 第一项 \(\dot v^i\mathbf g_i\) 里的 \(i\) 是哑指标，改名为 \(k\) 写成 \(\dot v^k\mathbf g_k\)，于是两项都乘 \(\mathbf g_k\)，可以合并。

结论的读法：加速度的分量 = 分量自身的变化率 \(\dot v^k\) + 基向量变化造成的修正 \(\Gamma^k_{ij}v^iv^j\)。在笛卡尔坐标里基不变，\(\Gamma=0\)，只剩第一项。

极坐标下，\(\mathbf g_{r,r}=\mathbf 0\)，\(\mathbf g_{r,\theta}=\mathbf g_{\theta,r}=r^{-1}\mathbf g_\theta\)，\(\mathbf g_{\theta,\theta}=-r\mathbf g_r\)，比较得

推导拆解：直接对 (3.25) 求偏导，再和基向量比较。

• \(\mathbf g_r=(\cos\theta,\sin\theta)\) 不含 \(r\)，所以 \(\mathbf g_{r,r}=\mathbf 0\)。
• 对 \(\theta\) 求导：\(\mathbf g_{r,\theta}=(-\sin\theta,\cos\theta)\)。而 \(\mathbf g_\theta=r(-\sin\theta,\cos\theta)\)，所以 \(\mathbf g_{r,\theta}=r^{-1}\mathbf g_\theta\)，读出 \(\Gamma^\theta_{r\theta}=r^{-1}\)、\(\Gamma^r_{r\theta}=0\)。
• \(\mathbf g_{\theta,\theta}=(-r\cos\theta,-r\sin\theta)=-r\,\mathbf g_r\)，读出 \(\Gamma^r_{\theta\theta}=-r\)、\(\Gamma^\theta_{\theta\theta}=0\)。

再代入 (3.35)：\(a^r=\ddot r+\Gamma^r_{\theta\theta}\dot\theta^2=\ddot r-r\dot\theta^2\)；\(a^\theta=\ddot\theta+(\Gamma^\theta_{r\theta}+\Gamma^\theta_{\theta r})\dot r\dot\theta=\ddot\theta+2r^{-1}\dot r\dot\theta\)。系数 2 来自 \((i,j)=(r,\theta)\) 和 \((\theta,r)\) 两项都要求和。

于是

物理课上的向心加速度 \(-r\dot\theta^2\) 和 Coriolis 项 \(2\dot r\dot\theta\) 原来完全来自基向量的变化。牛顿定律的分量形式为 \(f^r=m(\ddot r-r\dot\theta^2)\)，\(f^\theta=m(\ddot\theta+2r^{-1}\dot r\dot\theta)\)。中心力场 \(f^\theta=0\) 时，第二式等价于 \(r^{-2}(r^2\dot\theta)^\cdot=0\)，即 \(r^2\dot\theta\) 为常数，又一次得到 Kepler 定律。

T3.3 一般三维坐标

T3.3.1 常用坐标系

• 球坐标 \((\rho,\phi,\theta)\)：\(x=\rho\sin\phi\cos\theta\)，\(y=\rho\sin\phi\sin\theta\)，\(z=\rho\cos\phi\)（\(\phi\) 为余纬），\(z\) 轴是例外点。
• 斜笛卡尔坐标 \((u,v,w)\)：\(x^i=A^i_ju^j\)，\(\det A\ne0\) 时无例外点。这正是第 T2 章的一般基。
• 圆柱坐标 \((r,\theta,z)\)。

统一记号：\(x^i=\hat x^i(u^j)\)（式 3.49），上标是指标不是幂；\(j\) 称为自变量指标，只要求与该项其他指标不同名。

T3.3.2 一般坐标下的牛顿定律

逐条照搬极坐标的推导（原书在每个一般公式后用方括号注明对应的极坐标公式编号）：

例 3.3　球坐标的地窖基向量与 Jacobian：\(\mathbf g_\rho=(\sin\phi\cos\theta,\sin\phi\sin\theta,\cos\phi)\)，\(\mathbf g_\phi=\rho(\cos\phi\cos\theta,\cos\phi\sin\theta,-\sin\phi)\)，\(\mathbf g_\theta=\rho\sin\phi(-\sin\theta,\cos\theta,0)\)，\(J=\rho^2\sin\phi\)。

\(f^k=0\) 时，\(\ddot u^k+\Gamma^k_{ij}\dot u^i\dot u^j=0\) 描述的是欧氏空间里的匀速直线运动在曲线坐标下的样子。第 T4 章会看到，同一个方程在曲面上就是测地线方程。

T3.4 Christoffel 符号的计算

T3.4.1 算法一：用倒易基

对 (3.63) 两边点乘 \(\mathbf g^p\)，由 \(\mathbf g^p\cdot\mathbf g_k=\delta^p_k\)：

步骤：(a) 求 \(\mathbf g_{i,j}\) 的笛卡尔分量；(b) 求 Jacobian 矩阵的逆得到 \(\mathbf g^k\)；(c) 做点积。

例 3.4　\(x^1=u^1u^2\)，\(x^2=(u^3)^2\)，\(x^3=(u^1)^2-(u^2)^2\)（记 \(u,v,w\)）。\(\mathbf g_u\sim(v,0,2u)\)，\(\mathbf g_v\sim(u,0,-2v)\)，\(\mathbf g_w\sim(0,2w,0)\)；二阶导数中非零的只有 \(\mathbf g_{u,u}\sim(0,0,2)\)，\(\mathbf g_{u,v}\sim(1,0,0)\)，\(\mathbf g_{v,v}\sim(0,0,-2)\)，\(\mathbf g_{w,w}\sim(0,2,0)\)。\(J=4w(u^2+v^2)\)，用伴随公式求逆：

于是 \(\Gamma^u_{uu}=J^{-1}(2uw)(2)=u/(u^2+v^2)\)，\(\Gamma^u_{uv}=v/(u^2+v^2)\)，类似地 \(-\Gamma^u_{vv}=\Gamma^v_{uv}=u/(u^2+v^2)\)，\(-\Gamma^v_{uu}=\Gamma^v_{vv}=v/(u^2+v^2)\)，\(\Gamma^w_{ww}=1/w\)，其余为零。（三维中独立的 Christoffel 符号共 \(3\times6=18\) 个。）

T3.4.2 算法二：只用度量

推导（值得自己走一遍，这是指标技巧的典型）：对 \(g_{ij}=\mathbf g_i\cdot\mathbf g_j\) 求导并代入 (3.63)，

在 (3.78) 中轮换指标得到另外两式 \(g_{kj,i}=\Gamma^p_{ki}g_{pj}+\Gamma^p_{ji}g_{pk}\)，\(g_{ik,j}=\Gamma^p_{ij}g_{pk}+\Gamma^p_{kj}g_{pi}\)。第一式加第二式减第三式，利用 \(\Gamma\) 下指标对称，四项两两相消：

两边乘 \(\frac12g^{qj}\) 并对 \(j\) 求和（升指标），即得 (3.71)。

白话解释：第一次读不必跟完指标轮换，记住结论即可：Christoffel 符号完全由度量 \(g_{ij}\) 及其一阶导数决定。\(g_{ij}=\mathbf g_i\cdot\mathbf g_j\) 记录各方向"一格"的长度和夹角；它随位置怎么变，"尺子"就怎么变，\(\Gamma\) 也就跟着定了。最后一步"乘 \(g^{qj}\)"就是用度量矩阵的逆把方程解出来，作用相当于普通方程两边乘系数矩阵的逆。

这对量化的意义在于：统计模型里没有"嵌入的笛卡尔空间"，只有一个度量（Fisher 信息矩阵）。(3.71) 保证了只凭这个矩阵，就能定义"直线"（测地线）和"二阶修正"，信息几何就是从这里起步的。

这个公式有两个优点。第一，它只依赖度量 \(g_{ij}\)，不需要把空间嵌入笛卡尔空间，因此可直接用于广义相对论（指标取 1–4），也可用于任何"只给了度量"的场合，比如以 Fisher 信息为度量的统计流形。第二，正交坐标中 \([g_{ij}]\) 对角，(3.71) 分成四种情形（不对 \(k\) 求和）：

四类合计 \(n^2(n+1)/2\)，三维为 18。

原书疑似印误（式 3.73）。 原书称情形 (a) 的符号在 \(n\) 维中有 \(n(n-1)/2\) 个。按下指标对称计数，应为 \(n\binom{n-1}{2}=n(n-1)(n-2)/2\)。两者只在 \(n=3\) 时相等（都是 3），所以三维的例子不受影响。上表已按正确计数给出，并可用四类之和 \(n^2(n+1)/2\) 核对。

例 3.5（球坐标）　\([g_{ij}]=\operatorname{diag}(1,\rho^2,\rho^2\sin^2\phi)\)。非零的 Christoffel 符号为

（以及下指标交换后的相同值）。例如 (b) 型 \(\Gamma^\theta_{\theta\phi}=\frac12\rho^{-2}\csc^2\phi\cdot2\rho^2\sin\phi\cos\phi=\cot\phi\)。

例 3.6　球坐标中加速度的 \(\phi\) 分量。由 (3.65)，只有 \(\Gamma^2_{12}\) 和 \(\Gamma^2_{33}\) 非零：

再次提醒：只有物理分量 \(a^{(\phi)}\) 有加速度量纲。

T3.5 坐标变换与方框公式

T3.5.1 自然基的变换

设从 \(u^j\) 坐标变到 \(\tilde u^k\) 坐标：\(u^j=\hat u^j(\tilde u^k)\)，除个别例外点外一一对应且连续可微。例如圆柱 \((r,\theta,z)\) 到球 \((\rho,\phi,\theta)\)：\(r=\rho\sin\phi\)，\(\theta=\theta\)，\(z=\rho\cos\phi\)。新自然基由链式法则

与第 T2 章的 \(\tilde{\mathbf g}_j=A^i_j\mathbf g_i\) 同形，只是现在

逐点变化。

T3.5.2 全书唯一的方框公式

把 (3.87)(3.88) 代入第 T2 章的 (2.36)(2.38)：

记忆方法：新指标在分母（\(\tilde u\) 在下）就是协变，新指标在分子（\(\tilde u\) 在上）就是逆变，指标位置自然配平。许多教材一开头就把 (3.89)(3.90) 当作协变/逆变向量和张量的定义；广义相对论和壳体理论处理弯曲连续体时常采用这种观点。本书则把它作为推论。

金融直觉：为什么会有两种相反的换算方向？看一个一维例子。期权损益的一阶近似是 \(\text{P\&L}\approx\text{Delta}\times\Delta S\)。现在改用对数价格 \(x=\ln S\)：

• 敏感度变成 \(\partial V/\partial x=S\cdot\text{Delta}\)，乘 \(\partial S/\partial x=S\)，这是协变分量的换法（\((3.89)_1\)）；
• 价格变动变成 \(\Delta x\approx\Delta S/S\)，乘 \(\partial x/\partial S=1/S\)，这是逆变分量的换法（\((3.89)_2\)）。

两者一乘一除，乘积 \((S\cdot\text{Delta})(\Delta S/S)=\text{Delta}\times\Delta S\) 不变。这就是整个方框公式的用意："敏感度"类的量（梯度、Delta、DV01）和"位移"类的量（价格变动、参数步长）反向换算，保证它们的配对，也就是 P&L，与你选的坐标无关。张量篇里"协变"与"逆变"之分，归根到底就是这两类量的区别。

量化里最常见的协变量是梯度。 第 T4 章会正式证明：标量函数的偏导数 \(f_{,i}\) 是梯度的地窖分量。所以 \((3.89)_1\) 就是链式法则 \(\partial f/\partial\tilde u^j=(\partial u^i/\partial\tilde u^j)\,\partial f/\partial u^i\)。期权的 Delta 从"对价格"换成"对对数价格"，\(\partial V/\partial x=S\,\partial V/\partial S\)（\(x=\ln S\)），就是这个公式的一维情形。

例 3.7　圆柱坐标中某张量在 \(r=1,\theta=\pi/4,z=-\sqrt3\) 处的混合分量（第 \(i\) 行第 \(j\) 列为 \(T_j^{\cdot i}\)）为

求球坐标分量 \(\tilde T_2^{\cdot1}\)。该点 \(\rho=2\)，\(\sin\phi=\frac12\)，\(\cos\phi=-\frac{\sqrt3}2\)。两个 Jacobian 矩阵为

由 \((3.90)_3\)：

T3.6 Christoffel 符号不是张量

定义新坐标下的 \(\tilde\Gamma^i_{jk}=\tilde{\mathbf g}^i\cdot\partial\tilde{\mathbf g}_j/\partial\tilde u^k\)。对 (3.86) 再求一次导，乘积法则给出两项：

点乘 \(\tilde{\mathbf g}^i=(\partial\tilde u^i/\partial u^p)\mathbf g^p\)：

如果没有带下划线的二阶导数项，这就是 3 阶张量（一个上标、两个下标）的变换律。正因为有这一项，Christoffel 符号不是张量的分量。有些作者因此把它写成 \(\{^{\,i}_{jk}\}\) 以示区别。

白话解释："是不是张量"的意思是：换坐标时，它能不能只靠乘几个 Jacobian 就换算过去。一阶导数可以，二阶导数一般不行。最简单的例子：\(f(u)=u\) 是直线，\(f''=0\)。改用坐标 \(u=\tilde u^2\) 后，\(f=\tilde u^2\)，对 \(\tilde u\) 的二阶导数是 2。原来是 0，乘任何 Jacobian 还是 0，得不到 2。多出来的 2 完全是"坐标本身弯曲"造成的，就是 (3.95) 下划线项的一维版本。

所以 \(\Gamma\) 本身没有坐标无关的意义：同一个平面，笛卡尔坐标下 \(\Gamma=0\)，极坐标下 \(\Gamma\ne0\)。它是"这套坐标弯不弯"的记录，而不是"空间弯不弯"的记录。空间本身弯不弯，要看第 T4 章的曲率。

两个推论：

1. 线性坐标变换下二阶导数项为零，\(\Gamma\) 按张量变换。所以笛卡尔坐标和斜笛卡尔坐标的 Christoffel 符号都是零。
2. 只要空间能用笛卡尔坐标描述（对气球这种内蕴弯曲的连续体做不到），取旧坐标为笛卡尔 \(x^i\)（其中 \(\Gamma\equiv0\)）、新坐标为一般 \(u^i\)，得

量化翻译：Hessian 在非线性换元下也不是张量。 设 \(f(u)\) 是目标函数（如负对数似然），换参数 \(u=u(\tilde u)\)。链式法则两次：

\[\frac{\partial^2f}{\partial\tilde u^i\partial\tilde u^j}=\frac{\partial u^k}{\partial\tilde u^i}\frac{\partial u^p}{\partial\tilde u^j}\frac{\partial^2f}{\partial u^k\partial u^p}+\underline{\frac{\partial f}{\partial u^k}\frac{\partial^2u^k}{\partial\tilde u^i\partial\tilde u^j}}.\]

第一项是 \((0,2)\) 型张量的变换律 \(J^THJ\)，第二项和 (3.95) 的下划线项同源。它在驻点（\(\partial f/\partial u=0\)）处消失，所以最优点处的 Hessian（以及由它得到的标准误）是张量，按 \(J^THJ\) 变换；离开驻点就不是。直接后果：

• 牛顿法不具有非线性重参数化不变性：从同一个点出发，在 \(\sigma\) 和 \(\log\sigma\) 下迭代，路径不同（实战 2 演示）。
• 期权的对数 Gamma：\(x=\ln S\) 时 \(\partial^2V/\partial x^2=S^2\,\partial^2V/\partial S^2+S\,\partial V/\partial S\)。多出来的 \(S\,\partial V/\partial S\) 正是这个附加项，这也是 Black–Scholes 方程换到对数价格后出现 \(-\frac12\sigma^2\partial_x\) 一项的来源（第 T4 章实战核对）。
• 自然梯度（natural gradient）用 Fisher 信息 \(g_{ij}\) 作度量，更新方向 \(-g^{ij}f_{,j}\)：\(f_{,j}\) 协变，\(g^{ij}\) 两个上标逆变，乘积是逆变向量（一个"位移"），在任何参数化下指向同一个几何方向。这是它对参数化不变（到一阶）的原因。
• Itô 引理 \(df(X)=f'dX+\frac12f''d\langle X\rangle\) 中的二阶项也是"非线性换元下二阶量不按张量变换"的体现，二者是概念上的类比；原书没有任何随机分析内容，Itô 引理见第 08 册。

推导拆解：上面框里的几个结论，在一维下都可以手算核对。

Hessian 公式。 设 \(u=u(\tilde u)\)。先求一阶导：\(\dfrac{df}{d\tilde u}=f'(u)\,u'(\tilde u)\)（链式法则）。再对 \(\tilde u\) 求导，用乘积法则：第一个因子 \(f'(u)\) 的导数是 \(f''(u)\,u'\)，第二个因子 \(u'\) 的导数是 \(u''\)，所以

\[\frac{d^2f}{d\tilde u^2}=f''(u)\,(u')^2+f'(u)\,u''.\]

第一项是"张量项" \(J^THJ\) 的一维版本，第二项是附加项。

对数 Gamma。 取 \(S=e^x\)，则 \(dS/dx=S\)，\(d^2S/dx^2=S\)。代入上式：\(V_{xx}=V_{SS}S^2+V_SS\)。

自然梯度为何不变。 用实战 2 的记号：在 \(\sigma\) 坐标，自然梯度一步是 \(\Delta\sigma=-\eta f_\sigma/g_{\sigma\sigma}\)。在 \(\theta=\log\sigma\) 坐标，\(f_\theta=\sigma f_\sigma\)，\(g_{\theta\theta}=\sigma^2g_{\sigma\sigma}\)，一步是 \(\Delta\theta=-\eta\,\sigma f_\sigma/(\sigma^2g_{\sigma\sigma})=-\eta f_\sigma/(\sigma g_{\sigma\sigma})\)。折回 \(\sigma\)：\(\Delta\sigma\approx\sigma\Delta\theta=-\eta f_\sigma/g_{\sigma\sigma}\)，与前者相同。分子按 Jacobian 乘一次，分母按 Jacobian 乘两次，再折回时又乘一次，正好抵消。

普通梯度为何不行。 在 \(\theta\) 坐标走 \(\Delta\theta=-\eta f_\theta=-\eta\sigma f_\sigma\)，折回 \(\sigma\) 是 \(\Delta\sigma\approx-\eta\sigma^2f_\sigma\)，比 \(\sigma\) 坐标下的 \(-\eta f_\sigma\) 多了因子 \(\sigma^2\)。日波动率约 0.02 时 \(\sigma^2=4\times10^{-4}\)，步子小了两千多倍，这就是实战 2 中 \(\theta\) 坐标"几乎没动"的原因。

T3.7 习题中的重要结论

原书第 III 章 18 道习题，以下结论值得掌握：

• 倒易基的导数（习题 3.11）：对 \(\mathbf g^i\cdot\mathbf g_j=\delta^i_j\) 求导得 \(\mathbf g^i_{,j}=-\Gamma^i_{jk}\mathbf g^k\)（式 3.104）。第 T4 章推导协变分量的协变导数要用。
• 度量与弧长（习题 3.12）：\(ds^2=d\mathbf x\cdot d\mathbf x=g_{ij}du^idu^j\)，曲线长 \(\int\sqrt{g_{ij}\dot u^i\dot u^j}\,dt\)。\(g_{ij}\) 因此被称为度量张量。把 \(g_{ij}\) 换成 Fisher 信息，\(ds^2\) 就是两个邻近分布之间的"统计距离"，这是信息几何的出发点。

金融直觉：\(ds^2=g_{ij}du^idu^j\) 是一个二次型，和组合方差 \(\mathbf w\cdot\Sigma\mathbf w\) 形式完全相同。若把 \(g_{ij}\) 取成协方差矩阵的逆 \(\Sigma^{-1}\)，\(ds^2\) 就是马氏距离的平方。度量的作用是告诉你"同样的数值变动，在这里算远还是算近"：波动率 1% 的资产涨 2% 是两个标准差，波动率 10% 的资产涨 2% 只是 0.2 个标准差。以 Fisher 信息为度量时，"远近"按"两个参数值能否被数据区分开"来衡量。

• Frenet–Serret 公式（习题 3.4）：\(\ddot{\mathbf x}=\ddot s\mathbf t+\kappa\dot s^2\mathbf n\)（路径加速度 + 向心加速度），曲率 \(\kappa=|\dot{\mathbf x}\times\ddot{\mathbf x}|/|\dot{\mathbf x}|^3\)，挠率 \(\tau=(\dot{\mathbf x}\times\ddot{\mathbf x})\cdot\dddot{\mathbf x}/|\dot{\mathbf x}\times\ddot{\mathbf x}|^2\)；\(\kappa(s),\tau(s)\) 在刚体运动意义下唯一确定曲线。习题 3.5 求圆柱螺旋线的 \(\kappa,\tau\)。
• Christoffel 符号能否任意指定（习题 3.16）：不能。\(\Gamma\) 由度量的导数决定，必须满足可积性条件，这是第 T4 章曲率概念的伏笔。
• 由解析函数生成的柱坐标（习题 3.17）：\(x+iy=f(u+iv)\) 给出正交坐标，\(J=|f'|^2\)，Christoffel 符号由 \(f''/f'\) 的实部和虚部给出；抛物柱、椭圆柱、双极柱坐标都是特例。
• 中心力场轨道化为求积（习题 3.7）：用 \(r^2\dot\theta=r_0\) 消去 \(\theta\)，得到只含 \(r\) 的一阶方程。

量化实战

实战 1：数值计算 Christoffel 符号，并复核原书例题

用有限差分求自然基及其导数，分别按 (3.69) 和 (3.71) 两种算法计算球坐标的 Christoffel 符号，与例 3.5 的闭式解对照；再用 einsum 实现方框公式 \((3.90)_3\)，复核例 3.7。这套"数值 Jacobian + einsum"的写法可以直接用于任何只给出参数化映射的问题。

import numpy as np
np.set_printoptions(precision=5, suppress=True)

# ---- 1. 球坐标 (rho, phi, theta) 的 Christoffel 符号：两种算法 + 原书闭式解 ----
def x_of_u(u):
    rho, phi, th = u
    return np.array([rho*np.sin(phi)*np.cos(th), rho*np.sin(phi)*np.sin(th), rho*np.cos(phi)])

def jac(f, u, h=1e-5):                       # 数值 Jacobian：第 i 列 = df/du^i
    return np.column_stack([(f(u + h*e) - f(u - h*e)) / (2*h) for e in np.eye(len(u))])

u0 = np.array([2.0, 0.7, 1.1])
G = jac(x_of_u, u0)                          # 列 = 地窖基 g_i = dx/du^i
Ginv = np.linalg.inv(G)                      # 行 = 屋顶基 g^k
# g_{i,j}：对 u^j 再求一次导，得到形状 [p(笛卡尔), i, j]
dG = np.stack([(jac(x_of_u, u0 + 1e-4*e) - jac(x_of_u, u0 - 1e-4*e)) / 2e-4
               for e in np.eye(3)], axis=-1)
Gamma1 = np.einsum('kp,pij->kij', Ginv, dG)  # (3.69) Gamma^k_ij = g^k . g_{i,j}

# 第二种：只用度量 (3.71) Gamma^k_ij = 1/2 g^{kp}(g_ip,j + g_jp,i - g_ij,p)
def metric(u):
    J = jac(x_of_u, u); return J.T @ J
dg = np.stack([(metric(u0 + 1e-4*e) - metric(u0 - 1e-4*e)) / 2e-4 for e in np.eye(3)], axis=-1)  # dg[i,j,p]=g_ij,p
g_up = np.linalg.inv(metric(u0))
Gamma2 = 0.5 * np.einsum('kp,ijp->kij', g_up,
                         np.einsum('ipj->ijp', dg) + np.einsum('jpi->ijp', dg) - dg)
print("两种算法最大差:", np.abs(Gamma1 - Gamma2).max())

rho, phi = u0[0], u0[1]
book = {(1,0,1): 1/rho, (2,0,2): 1/rho, (2,1,2): 1/np.tan(phi),          # 例 3.5 (b)
        (0,1,1): -rho, (0,2,2): -rho*np.sin(phi)**2, (1,2,2): -np.sin(phi)*np.cos(phi)}  # (c)
for (k, i, j), val in book.items():
    print(f"Gamma^{k+1}_{i+1}{j+1}: 数值 {Gamma1[k,i,j]: .5f}  原书 {val: .5f}")
nonzero = {(k,i,j) for (k,i,j) in book} | {(k,j,i) for (k,i,j) in book}
others = [abs(Gamma1[k,i,j]) for k in range(3) for i in range(3) for j in range(3) if (k,i,j) not in nonzero]
print("其余分量最大绝对值:", max(others))

# ---- 2. 例 3.7：圆柱 -> 球坐标，混合分量的方框公式 (3.90)_3 ----
r_, phi_ = 2.0, np.arcsin(0.5)
phi_ = np.pi - phi_                           # sin(phi)=1/2, cos(phi)=-sqrt(3)/2
s, c = np.sin(phi_), np.cos(phi_)
dU_dUt = np.array([[s, r_*c, 0], [0, 0, 1], [c, -r_*s, 0]])   # [du^k/du~^j]，(r,theta,z) 对 (rho,phi,theta)
dUt_dU = np.linalg.inv(dU_dUt)                                  # [du~^i/du^p]
Tm = np.array([[2, -1, 1], [0, 1, 2], [3, 0, -2.]])            # [T_j^.i]：第 i 行第 j 列
Tt = np.einsum('kj,ip,pk->ij', dU_dUt, dUt_dU, Tm)            # T~_j^.i = du^k/du~^j du~^i/du^p T_k^.p
print("T~_2^1 =", Tt[0, 1], "  原书 4-2*sqrt(3) =", 4 - 2*np.sqrt(3))

关键输出（指标 1,2,3 对应 \(\rho,\phi,\theta\)；取点 \(\rho=2,\phi=0.7\)）：

两种算法最大差: 7.568755733267096e-08
Gamma^2_12: 数值  0.50000  原书  0.50000
Gamma^3_13: 数值  0.50000  原书  0.50000
Gamma^3_23: 数值  1.18724  原书  1.18724
Gamma^1_22: 数值 -2.00000  原书 -2.00000
Gamma^1_33: 数值 -0.83003  原书 -0.83003
Gamma^2_33: 数值 -0.49272  原书 -0.49272
其余分量最大绝对值: 3.9981288639928586e-08
T~_2^1 = 0.5358983848622461   原书 4-2*sqrt(3) = 0.5358983848622456

实战 2：重参数化——梯度协变、Hessian 不是张量、自然梯度不变

用 250 个模拟日收益估计波动率 \(\sigma\)。负对数似然 \(f(\sigma)=n\log\sigma+S/(2\sigma^2)\)，\(S=\sum x_t^2\)。比较参数 \(\sigma\) 与 \(\theta=\log\sigma\)：

• 梯度：\(f_\theta=f_\sigma\cdot\sigma\)（方框公式 \((3.89)_1\)）；
• Hessian：\(f_{\theta\theta}=f_{\sigma\sigma}\sigma^2+f_\sigma\sigma\)，第二项是附加项；
• Fisher 信息（度量）：\(g_{\sigma\sigma}=2n/\sigma^2\)，\(g_{\theta\theta}=g_{\sigma\sigma}\sigma^2=2n\)，按 2 阶协变张量变换。

import numpy as np
rng = np.random.default_rng(3)

# 日收益样本（均值视为 0），估计波动率 sigma；负对数似然 f(sigma) = n log sigma + S/(2 sigma^2)
x = rng.normal(0, 0.02, 250)
n, S = len(x), np.sum(x**2)
f   = lambda s: n*np.log(s) + S/(2*s**2)
df  = lambda s: n/s - S/s**3                       # 梯度（1 维协变分量）
d2f = lambda s: -n/s**2 + 3*S/s**4                 # Hessian
s_hat = np.sqrt(S/n)

# 新坐标 theta = log sigma：sigma = e^theta，d sigma/d theta = sigma，d^2 sigma/d theta^2 = sigma
def grad_theta(s): return df(s) * s                              # (3.89)_1：乘 Jacobian
def hess_theta(s): return d2f(s) * s**2 + df(s) * s              # 张量项 + “Christoffel 型”附加项

def num_hess_theta(th, h=1e-4):                                  # 有限差分核对
    g = lambda t: f(np.exp(t))
    return (g(th + h) - 2*g(th) + g(th - h)) / h**2

for s in [0.5*s_hat, s_hat]:
    print(f"sigma={s:.4f}: 解析 H_theta={hess_theta(s):10.3f}  数值={num_hess_theta(np.log(s)):10.3f}"
          f"  仅张量项={d2f(s)*s**2:10.3f}  附加项={df(s)*s:10.3f}")

# 牛顿法：同一起点，在两种参数化下迭代
s0 = 0.3 * s_hat
s_a, th = s0, np.log(s0)
print("\n迭代  牛顿(sigma)    牛顿(log sigma)")
for k in range(6):
    s_a = s_a - df(s_a) / d2f(s_a)
    th = th - grad_theta(np.exp(th)) / hess_theta(np.exp(th))
    print(f"{k+1:3d}   {s_a: .6f}     {np.exp(th): .6f}")
print("MLE sigma_hat =", round(s_hat, 6))

# 自然梯度：用 Fisher 信息作度量，g_sigma = 2n/sigma^2，g_theta = 2n（按 2 阶协变张量变换）
eta = 0.2
s_b, th_b, s_c, th_c = s0, np.log(s0), s0, np.log(s0)
for k in range(30):
    s_b  -= eta * df(s_b) / (2*n/s_b**2)                 # 自然梯度，sigma 坐标
    th_b -= eta * grad_theta(np.exp(th_b)) / (2*n)       # 自然梯度，theta 坐标
    s_c  -= 1e-8 * df(s_c)                               # 普通梯度，sigma 坐标
    th_c -= 1e-8 * grad_theta(np.exp(th_c))              # 普通梯度，theta 坐标（同学习率）
print(f"\n30 步后  自然梯度: sigma坐标 {s_b:.6f}, theta坐标 {np.exp(th_b):.6f}")
print(f"         普通梯度: sigma坐标 {s_c:.6f}, theta坐标 {np.exp(th_c):.6f}")
print("标准误（delta 方法与张量变换一致）: se(sigma)=%.6f, sigma*se(theta)=%.6f"
      % (np.sqrt(s_hat**2/(2*n)), s_hat*np.sqrt(1/(2*n))))

关键输出：

sigma=0.0101: 解析 H_theta=  2000.000  数值=  2000.000  仅张量项=  2750.000  附加项=  -750.000
sigma=0.0203: 解析 H_theta=   500.000  数值=   500.000  仅张量项=   500.000  附加项=     0.000

迭代  牛顿(sigma)    牛顿(log sigma)
  1    0.007994      0.009599
  2    0.010368      0.014152
  3    0.013166      0.018299
  4    0.016123      0.020096
  5    0.018636      0.020297
  6    0.019994      0.020300
MLE sigma_hat = 0.0203

30 步后  自然梯度: sigma坐标 0.020290, theta坐标 0.020295
         普通梯度: sigma坐标 0.016399, theta坐标 0.006094
标准误（delta 方法与张量变换一致）: se(sigma)=0.000908, sigma*se(theta)=0.000908

读法：

1. 在 \(\sigma=\hat\sigma/2\) 处，\(\theta\) 坐标的 Hessian 是 2000，如果只套用张量变换律 \(J^2f_{\sigma\sigma}\) 会得到 2750，差额 \(-750\) 就是附加项 \(f_\sigma\cdot\partial^2\sigma/\partial\theta^2\)。在 MLE 处梯度为零，附加项消失，两者都等于 500。所以用最优点的 Hessian 求标准误时，换参数化只需乘 Jacobian（delta 方法），最后一行验证了这一点。
2. 同一起点的牛顿迭代，在 \(\log\sigma\) 参数化下 5 步收敛，在 \(\sigma\) 参数化下 6 步还没到。实践中对正参数（波动率、方差、GARCH 系数）用对数或其他无约束参数化，除了去掉约束，往往还让目标函数更接近二次型。
3. 自然梯度在两种参数化下几乎走到同一处（残差来自离散步长的二阶误差）；普通梯度在相同学习率下结果完全不同，在 \(\theta\) 坐标中 30 步几乎没动。普通梯度把协变向量 \(f_{,i}\) 直接当位移用，等于默认度量是 \(\delta_{ij}\)，而这个默认依赖于参数化。

本章小结

曲线坐标的自然基 \(\mathbf g_i=\partial\mathbf x/\partial u^i\) 逐点变化，对它求导产生 Christoffel 符号 \(\mathbf g_{i,j}=\Gamma^k_{ij}\mathbf g_k\)；加速度 \(a^k=\ddot u^k+\Gamma^k_{ij}\dot u^i\dot u^j\) 中的 \(\Gamma\) 项就是极坐标里的向心项与 Coriolis 项。Christoffel 符号可用倒易基 \(\Gamma^k_{ij}=\mathbf g^k\cdot\mathbf g_{i,j}\) 计算，也可只用度量计算，后者适用于任何只给出度量的空间。坐标变换把第 T2 章的常矩阵 \(A\) 换成 Jacobian \(\partial u^i/\partial\tilde u^j\)，得到方框公式：协变分量乘 \(\partial u/\partial\tilde u\)，逆变分量乘 \(\partial\tilde u/\partial u\)。Christoffel 符号的变换多出二阶导数项，因而不是张量。对量化最重要的推论是：梯度是协变向量，按链式法则变换；Hessian 只在驻点处按张量变换；牛顿法依赖参数化，自然梯度（用 Fisher 信息作度量）不依赖。

练习

基础

1. 对圆柱坐标 \((r,\theta,z)\) 求 \(\mathbf g_i\)、\(J\)、\([g_{ij}]\)，并用正交坐标四种情形求全部非零 Christoffel 符号。 答案要点：\([g_{ij}]=\operatorname{diag}(1,r^2,1)\)，\(J=r\)；非零的只有 \(\Gamma^r_{\theta\theta}=-r\)，\(\Gamma^\theta_{r\theta}=\Gamma^\theta_{\theta r}=1/r\)（与第 T4 章例 4.6 所用一致）。
2. 证明 \(\mathbf g^i_{,j}=-\Gamma^i_{jk}\mathbf g^k\)。（原书习题 3.11） 提示：对 \(\mathbf g^i\cdot\mathbf g_k=\delta^i_k\) 关于 \(u^j\) 求导，再点乘展开。
3. 二维坐标 \(x=u-v^2\)，\(y=u+v\)。求 \(\mathbf g_u,\mathbf g_v\)、\(J\)、倒易基与全部 Christoffel 符号。（原书习题 3.10 前半） 答案要点：\(\mathbf g_u\sim(1,1)\)，\(\mathbf g_v\sim(-2v,1)\)，\(J=1+2v\)；\(\mathbf g_{v,v}\sim(-2,0)\)，其余二阶导数为零；\(\mathbf g^u\sim\frac1{1+2v}(1,2v)\)，\(\mathbf g^v\sim\frac1{1+2v}(-1,1)\)；故 \(\Gamma^u_{vv}=-\frac2{1+2v}\)，\(\Gamma^v_{vv}=\frac2{1+2v}\)，其余为零。
4. 设期权价格 \(V(S)\)，\(x=\ln S\)。写出 \(\partial V/\partial x\) 与 \(\partial^2V/\partial x^2\)，并说明 Delta 中性（\(\partial V/\partial S=0\)）时对数 Gamma 与"现金 Gamma"\(S^2\partial^2V/\partial S^2\) 的关系。 答案要点：\(V_x=SV_S\)，\(V_{xx}=S^2V_{SS}+SV_S\)；Delta 中性时 \(V_{xx}=S^2V_{SS}\)，即"驻点处二阶量按张量变换"。
5. 证明线性（斜笛卡尔）坐标 \(x^i=A^i_ju^j\) 中所有 Christoffel 符号为零。 提示：\(\mathbf g_i=A^k_i\mathbf e_k\) 为常向量，\(\mathbf g_{i,j}=\mathbf 0\)。

进阶

6. 由 (3.78) 出发完整推导 (3.71)，并说明哪一步用到了 \(\Gamma^k_{ij}=\Gamma^k_{ji}\)。 提示：见 T3.4.2；对称性用于让 \(\Gamma^p_{ki}g_{pj}\) 与 \(\Gamma^p_{ik}g_{pj}\) 合并、\(\Gamma^p_{ji}g_{pk}\) 与 \(\Gamma^p_{ij}g_{pk}\) 相消。
7. 设参数 \(\theta\) 的对数似然为 \(\ell(\theta)\)，Fisher 信息为 \(I(\theta)\)。证明在一一可微换元 \(\theta=\theta(\eta)\) 下 \(I(\eta)=J^TI(\theta)J\)（\(J=\partial\theta/\partial\eta\)），即 Fisher 信息是协变 2 阶张量；并说明为什么观测信息矩阵（负 Hessian）只在 MLE 处满足同样的变换律。 提示：\(I(\theta)=\mathbb E[\nabla\ell\nabla\ell^T]\)，得分 \(\nabla\ell\) 按 \(J^T\) 变换；负 Hessian 的附加项 \(\ell_{,k}\partial^2\theta^k/\partial\eta\partial\eta\) 在 MLE 处为零（Fisher 信息因为对得分取期望 \(\mathbb E[\ell_{,k}]=0\)，附加项期望为零）。
8. 在球坐标中写出 \(f^\rho=0,f^\phi=0,f^\theta=0\) 时的三个运动方程，并验证一条过原点外的直线（匀速）满足它们。 提示：用例 3.5 的 \(\Gamma\)；验证可取 \(\phi\equiv\pi/2\)、平面内的直线 \(x=1,y=t\)。
9. 对极坐标验证 (3.96)：\(\Gamma^i_{jk}=\frac{\partial u^i}{\partial x^p}\frac{\partial^2x^p}{\partial u^j\partial u^k}\) 给出 (3.37)。
10. 编程：用实战 1 的数值方法计算例 3.4 坐标系在 \((u,v,w)=(1,2,3)\) 处的全部 Christoffel 符号，与例 3.4 的闭式解比较。 答案要点：\(\Gamma^u_{uu}=0.2\)，\(\Gamma^u_{uv}=0.4\)，\(\Gamma^u_{vv}=-0.2\)，\(\Gamma^v_{uv}=0.2\)，\(\Gamma^v_{uu}=-0.4\)，\(\Gamma^v_{vv}=0.4\)，\(\Gamma^w_{ww}=1/3\)。

原书推荐习题

• 3.8、3.9、3.10：一般坐标的完整计算流程（基、倒易基、\(\Gamma\)、加速度分量）。
• 3.11：\(\mathbf g^i_{,j}=-\Gamma^i_{jk}\mathbf g^k\)，第 T4 章协变导数要用。
• 3.12：度量张量与弧长，信息几何的入口。
• 3.16：Christoffel 符号能否任意指定，曲率概念的伏笔。
• 3.4：Frenet–Serret 公式，曲线几何基础。

原书对照

页码换算：第 I–III 章原书第 \(p\) 页 = PDF 第 \(p+13\) 页。原书 p.70 为空白页，扫描中缺失，因此从第 IV 章起页码偏移变为 \(p+12\)。式 (3.73) 的计数疑似印误，见 T3.4.2。