第 08a 章 非负矩阵与 Perron–Frobenius 定理

对应原书：Horn & Johnson《Matrix Analysis》第 2 版，第 8 章 Positive and Nonnegative Matrices 的 8.0–8.4 节（书 p.517–540，PDF p.537–560）。本原矩阵、随机矩阵与 Birkhoff 定理见第 08b 章。

第 07 章（07a–07d）的"正"指二次型为正；这一章的"正"指每个元素为正。两者是完全不同的概念：\(\begin{bmatrix}1&2\\2&1\end{bmatrix}\) 元素全正但不是正定矩阵，\(\begin{bmatrix}2&-1\\-1&2\end{bmatrix}\) 正定却有负元素。元素非负的矩阵在量化里随处可见：Markov 链的转移概率矩阵、信用评级迁移矩阵、产业间投入产出系数矩阵、银行间敞口矩阵、资金流与持股网络的邻接矩阵。它们共同的数学结构由 Perron–Frobenius 理论刻画：谱半径本身就是一个特征值，对应一个非负（往往为正）的特征向量，它决定了长期分布、增长率、中心性和系统性风险的放大倍数。

学习目标

读完本章，你应当能够：

1. 区分逐元素序 \(A\ge B\) 与第 07d 章的 Loewner 序 \(A\succeq B\)，熟练使用 \(|Ax|\le|A||x|\) 与"谱半径关于逐元素序单调"。
2. 用行和、列和以及任意正向量加权（Collatz–Wielandt 界）估计非负矩阵的谱半径，理解"正特征向量必属于谱半径"。
3. 陈述并理解 Perron 定理（正矩阵）的六条结论及其证明思路，知道收敛速度由次特征值决定。
4. 知道对一般非负矩阵哪些结论保留、哪些失效；掌握不可约性、\((I+A)^{n-1}>0\) 判据与 Perron–Frobenius 定理，以及最大模特征值的循环（单位根）结构。
5. 在量化中应用：Leontief 投入产出模型与 M 矩阵、风险传染网络的谱半径与关键连边识别、特征向量中心性。

读前导读

这一章在解决什么问题

一句话：一个所有元素都非负的矩阵反复作用很多次之后，结果长什么样？

你在 CFA 信用风险部分见过评级迁移矩阵：一年后 AAA 有 90% 留在 AAA、8% 降到 AA……把它连乘 10 次就是 10 年迁移矩阵。问题是：连乘很多次之后会稳定吗？稳定到什么分布？多快稳定？这类问题在量化里反复出现：Markov 链的长期分布、银行间损失一轮轮传染会不会放大、产业链上一个需求冲击最终带动多少总产出、网络里哪个节点最重要（PageRank）。

这些矩阵有个共同点：元素都是比例、概率、敞口，不可能为负。Perron–Frobenius 定理告诉你，正是"非负"这个看似平凡的条件，带来了很强的结构：最大的那个增长率 \(\rho(A)\) 一定是个正实数（不会是复数或负数），它对应的方向（Perron 向量）各分量都为正，可以直接解释成"长期分布"或"重要性得分"。

如果你学过凯恩斯乘数 \(1/(1-c)\)（\(c\) 是边际消费倾向），本章的 Leontief 逆 \((I-A)^{-1}=I+A+A^2+\cdots\) 就是它的矩阵版：一轮支出带来下一轮支出，乘数存在的条件从"\(c<1\)"变成"\(\rho(A)<1\)"。

需要先想起来的数学

1. 特征值与特征向量。 \(Ax=\lambda x\)：矩阵作用在 \(x\) 上只是把它放大 \(\lambda\) 倍，方向不变。例：\(\begin{bmatrix}0.9&0.3\\0.1&0.7\end{bmatrix}\begin{bmatrix}3\\1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}3\\1\end{bmatrix}\)，所以 \((3,1)\) 是特征值 1 的特征向量。反复作用 \(m\) 次，沿特征方向的分量被放大 \(\lambda^m\) 倍，所以模最大的特征值主导长期行为。见 第 00 册第 06 章 线性代数速成。

2. 谱半径。 \(\rho(A)=\max|\lambda_i|\)，所有特征值绝对值（复数时取模）的最大者。它是矩阵"每作用一次大约放大多少倍"的长期平均。\(\rho<1\) 则 \(A^m\to0\)，\(\rho>1\) 则一般会爆炸。

3. 几何级数。 \(1+a+a^2+\cdots=1/(1-a)\) 当且仅当 \(|a|<1\)。年金现值公式就是它。矩阵版 \(\sum_kA^k=(I-A)^{-1}\) 成立的条件是 \(\rho(A)<1\)，叫 Neumann 级数。见 第 00 册第 04 章 级数与收敛。

4. 极限与"子列收敛"。 \(A^m\) 随 \(m\to\infty\) 趋于某个矩阵，是逐元素的极限。8.4.1 的证明里用到"紧性"：在一个有界闭集（例如所有分量非负、和为 1 的向量）里任取一串点，总能挑出一个收敛的子序列。见 第 00 册第 01 章 函数极限与连续。

5. 有向图。 把矩阵看成网络：\(a_{ij}>0\) 就画一条从 \(i\) 到 \(j\) 的箭头。"强连通"指从任何节点出发沿箭头都能走到任何其他节点。\((A^k)_{ij}>0\) 当且仅当存在一条恰好 \(k\) 步的路径 \(i\to j\)。

本章符号速查。 \(x>0\) 指向量每个分量都 \(>0\)，\(x\ge0\) 指每个分量 \(\ge0\)（不是"向量大于零"这种模糊说法）。\(e\) 是全 1 向量，\(Ae\) 就是行和向量。\(J_n\) 是全 1 矩阵。\(|x|\)、\(|A|\) 是逐元素取绝对值。\(\sigma(A)\) 是全部特征值的集合（谱），不是标准差。\(\operatorname{adj}\) 是伴随矩阵，满足 \(A\operatorname{adj}A=(\det A)I\)。\(E_{ij}\) 是只有 \((i,j)\) 位置为 1 的矩阵。"代数单重"指特征值作为特征多项式的根只出现一次；"几何单重"指它的特征向量方向唯一；"半单"指 Jordan 块都是 \(1\times1\)，没有 \(\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}\) 那样会让幂线性增长的结构。

怎么读这一章

核心必读：8.1 两城市例子（把它读透，全章的结论在它身上都看得见）、8.2.3–8.2.4（谱半径单调和行和界，实务中最常用）、8.3.2 Perron 定理的六条陈述、8.5.1–8.5.2（不可约与 Perron–Frobenius 定理）、8.5.3 灵敏度公式。

第一次可以只看结论：8.3.1 的证明链条（Lemma 8.2.1 建议读，其余跳过）、8.3.3 和 8.5.5 的习题罗列、8.4.1 中 8.3.5 半单性、8.5.4 Wielandt 定理的证明。8.4.3 的 M 矩阵结合实战 2 读，效果最好。

建议顺序：8.1 → 8.2 → 8.3.2 → 实战 1 → 8.5.1–8.5.3 → 实战 3 → 回头读 8.4 和实战 2 → 8.5.4。

8.1 引言：人口迁移模型

原书用一个人口迁移模型引出全章。\(n\) 个城市，每天早上城市 \(j\) 当前人口的固定比例 \(a_{ij}\) 迁往城市 \(i\)（\(a_{jj}\) 是留下的比例）。第 \(m\) 天的人口向量满足

这样的 \(A\) 叫列随机矩阵。（量化中 Markov 链习惯用行随机矩阵 \(P\)、行向量分布 \(\pi_{t+1}=\pi_tP\)，两者互为转置，第 08b 章统一处理。）长期人口分布取决于 \(A^m\) 的渐近行为。

两城市详解。 设 \(a_{21}=\alpha\)（城市 1 迁往城市 2 的比例），\(a_{12}=\beta\)：

特征值为 \(1\) 与 \(1-\alpha-\beta\)；\(0\le\alpha,\beta\le1\) 时 \(|1-\alpha-\beta|\le1=\rho(A)\)，谱半径本身就是特征值。对应 1 的特征向量 \(x=(\beta,\alpha)^T\) 非负。若 \(\alpha,\beta\) 不同时为 0 也不同时为 1，则 \(|1-\alpha-\beta|<1\)，

均衡分布与初始分布无关，正比于特征向量 \(x\)；\(A^m\) 的极限是秩一矩阵，每列都正比于 \(x\)。两种例外：\(\alpha=\beta=0\) 时 \(A=I\)（两城互不往来，极限依赖初值）；\(\alpha=\beta=1\) 时 \(A=\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}\)，两城每天整体互换，\(A^m\) 不收敛，但 Cesàro 平均 \(\frac1m\sum_{k=1}^mA^k\to\begin{bmatrix}.5&.5\\.5&.5\end{bmatrix}\) 收敛。

推导拆解：两个特征值怎么来的？第一步，每列和为 1 意味着 \(e^TA=e^T\)（\(e=(1,1)^T\)），所以 1 是 \(A^T\) 的特征值，也就是 \(A\) 的特征值。第二步，特征值之和等于迹：\(1+\lambda_2=(1-\alpha)+(1-\beta)\)，得 \(\lambda_2=1-\alpha-\beta\)。第三步，验证 \(x=(\beta,\alpha)^T\)：\(A x\) 的第一个分量是 \((1-\alpha)\beta+\beta\alpha=\beta\)，第二个是 \(\alpha\beta+(1-\beta)\alpha=\alpha\)，确实不变。 第四步，为什么极限与初值无关？把初值分解成"沿 \(x\) 的部分 + 沿第二特征向量的部分"，每天前者不变、后者乘以 \(1-\alpha-\beta\)。\(|1-\alpha-\beta|<1\) 时后者指数衰减，只剩前者。总人口 \(p_1+p_2\) 守恒，所以极限由总人口和 \(x\) 的方向完全决定。 金融直觉：把两城换成"正常/违约前预警"两个信用状态，\(\alpha\) 是每期恶化概率，\(\beta\) 是修复概率。长期有 \(\alpha/(\alpha+\beta)\) 的债务人处于预警状态，向这个比例收敛的速度是 \((1-\alpha-\beta)^m\)。两个状态之间来回越频繁（\(\alpha+\beta\) 越大），越快忘掉初始状态。

这个例子预示了本章要对一般 \(n\) 证明的五条结论：

1. 谱半径 \(\rho(A)\) 本身是特征值（不只是某个特征值的模）；
2. 对应特征向量可取为非负，在"不可约"条件下为正；
3. 若 \(A\) 的元素全正，\(\rho(A)\) 是单特征值，且严格大于其他所有特征值的模；
4. 若 \(A>0\)，\(\lim(A/\rho(A))^m\) 存在，是每列正比于 \(x\) 的秩一矩阵；
5. 即使有零元素，Cesàro 平均 \(\frac1m\sum_{k=1}^m(A/\rho(A))^k\) 仍收敛（第 08b 章）。

8.0.P1 提醒：\(\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}\) 的谱半径为 1，幂却无界——"谱半径为 1"本身不保证幂有界，非负矩阵的结构才是关键。8.0.P2 给出一族 \(A_\epsilon\)，\(\lim A_\epsilon^m=xy^T\) 在 \(\epsilon\to0\) 时发散：极限矩阵对矩阵元素可以非常敏感。

8.2 逐元素序与基本不等式

8.2.1 记号

对实矩阵，\(A\ge0\) 表示所有 \(a_{ij}\ge0\)（非负矩阵，nonnegative matrix），\(A>0\) 表示所有 \(a_{ij}>0\)（正矩阵，positive matrix）；\(A\ge B\) 表示 \(A-B\ge0\)。\(|A|=[|a_{ij}|]\) 是逐元素绝对值。注意与第 07d 章 Loewner 序 \(\succeq\) 的区别：这里比较的是元素，不是二次型。

基本事实（8.1.1–8.1.17）：\(|A+B|\le|A|+|B|\)；\(|AB|\le|A||B|\)，\(|A^m|\le|A|^m\)；\(0\le A\le B\)、\(0\le C\le D\) ⇒ \(AC\le BD\)；\(A>0\)、\(x\ge0\) 且 \(x\ne0\) ⇒ \(Ax>0\)；\(A\ge0\)、\(x>0\)、\(Ax=0\) ⇒ \(A=0\)；\(\|A\|_F=\||A|\|_F\)。

8.2.2 三角不等式及其等号

Proposition 8.1.8。 (a) \(|Ax|\le|A||x|\)；(b) 若 \(A\ge0\) 有一行全正且 \(|Ax|=A|x|\)，则存在 \(\theta\) 使 \(e^{-i\theta}x=|x|\)；(c) 若 \(x>0\) 且 \(Ax=|A|x\)，则 \(A=|A|\)。

(b) 的依据是复数三角不等式的等号条件（原书附录 A，本册附录 A.1）：\(|\sum z_k|=\sum|z_k|\) 当且仅当所有 \(z_k\) 在同一条射线上。这条"等号 ⇒ 相位一致"的论证是本章证明的基本技巧。

8.2.3 谱半径的单调性

Theorem 8.1.18。 \(B\ge0\)、\(|A|\le B\) ⇒ \(\rho(A)\le\rho(|A|)\le\rho(B)\)。

证明：\(|A^m|\le|A|^m\le B^m\)，于是 \(\|A^m\|_F\le\||A|^m\|_F\le\|B^m\|_F\)，开 \(m\) 次方令 \(m\to\infty\)，用 Gelfand 公式 \(\rho(A)=\lim\|A^m\|^{1/m}\)（第 05b 章）。

推导拆解：第一步，\(|A^m|\le|A|^m\) 是把 \(|AB|\le|A||B|\) 用 \(m-1\) 次（每个元素是乘积之和，和的绝对值不超过绝对值之和）。\(|A|^m\le B^m\) 是因为非负矩阵相乘保持逐元素序。第二步，Frobenius 范数只看元素绝对值的平方和，逐元素小则范数小。第三步，开 \(m\) 次方再取极限。 金融直觉：Gelfand 公式可以用"年化收益"来理解。\(\|A^m\|\) 是 \(m\) 期之后的总放大倍数，\(\|A^m\|^{1/m}\) 是每期的几何平均放大倍数，正如 \(m\) 年累计收益开 \(m\) 次方得到年化收益。期数越长，初期的波动被平均掉，剩下的就是长期增长率 \(\rho(A)\)。这样看，定理就是说"每条边都更大的网络，长期增长率不会更小"。

推论：(8.1.19) \(0\le A\le B\Rightarrow\rho(A)\le\rho(B)\)；(8.1.20) 非负矩阵任一主子矩阵的谱半径不超过整体，\(\max_ia_{ii}\le\rho(A)\)。非负性不可去：\(\begin{bmatrix}1&1\\-1&-1\end{bmatrix}\) 幂零，\(\rho=0<1=a_{11}\)。

量化读法：传染矩阵中任何一条敞口增加，系统的放大倍数（谱半径）都不会减少；只看一部分机构（主子矩阵）得到的放大倍数是整体的下界。

8.2.4 行和、列和夹逼

Lemma 8.1.21。 \(A\ge0\) ⇒ \(\rho(A)\le\) 最大行和，\(\rho(A)\le\) 最大列和；行和全相等时 \(\rho(A)\) 就等于行和（\(e\) 是特征向量）。

Theorem 8.1.22。 \(A\ge0\)：

下界的证明（出人意料地简单）：设最小行和 \(\alpha>0\)，把每行等比例缩小成行和恰为 \(\alpha\) 的矩阵 \(B\)，\(0\le B\le A\)，\(\rho(B)=\alpha\)，由单调性 \(\alpha\le\rho(A)\)。

用对角相似 \(S=\operatorname{diag}(x)\)（\(x>0\)）不改变谱，把同样的论证用于 \(S^{-1}AS=[a_{ij}x_j/x_i]\)：

Theorem 8.1.26（加权界）。 \(A\ge0\)，任意 \(x>0\)：

白话解释：\((Ax)_i/x_i\) 是"节点 \(i\) 在一步之后变成原来的几倍"。如果你随便给一个正的初始分布 \(x\)，各节点的一步增长倍数有高有低，真正的长期增长率 \(\rho(A)\) 一定夹在最低和最高之间。\(x\) 越接近 Perron 向量，各节点的倍数越接近，区间越窄；\(x\) 恰好是 Perron 向量时，所有节点倍数相同，都等于 \(\rho(A)\)。 为什么能用 \(S^{-1}AS\)？对角相似 \([a_{ij}x_j/x_i]\) 相当于把每个节点换一种计量单位（例如节点 \(i\) 用"千元"、节点 \(j\) 用"万元"计）。换单位改变了行和，但不改变长期增长率（特征值在相似变换下不变）。所以可以挑一个最有利的单位制来夹逼。 （Collatz–Wielandt 型比较）。** \(x>0\)，\(\alpha x\le Ax\le\beta x\) ⇒ \(\alpha\le\rho(A)\le\beta\)；严格不等号给出严格结论。

Corollary 8.1.30。 非负矩阵的正特征向量必然对应 \(\rho(A)\)：\(x>0\)、\(Ax=\lambda x\) ⇒ \(\lambda=\rho(A)\)。

Corollary 8.1.31。 若 \(A\ge0\) 有正特征向量，则

8.1.P7（幂迭代的一步）。 取 \(x=e\) 得行和界；取 \(x=Ae\)（行和向量）得到更紧的界；不断迭代 \(x\leftarrow Ax\)，上下界收敛到 \(\rho(A)\)——这就是幂迭代，并且每一步都给出可验证的上下界（实战 1）。

Corollary 8.1.33（幂的增长）。 若 \(A\ge0\) 有正特征向量 \(x\)，则 \(A^m\) 的每个行和夹在 \(\frac{\min x_k}{\max x_k}\rho(A)^m\) 与 \(\frac{\max x_k}{\min x_k}\rho(A)^m\) 之间；\((A/\rho(A))^m\) 的元素一致有界。

8.1.P11：\(\rho(A)\ge(a_{1\sigma(1)}\cdots a_{n\sigma(n)})^{1/n}\)，任一"环"上元素的几何平均是谱半径的下界。

8.3 正矩阵：Perron 定理

Perron (1907) 对元素全正的矩阵建立了最干净的理论。

8.3.1 证明的主线

Lemma 8.2.1。 \(A>0\)，\(Ax=\lambda x\)，\(|\lambda|=\rho(A)\)，则 \(|x|>0\) 且 \(A|x|=\rho(A)|x|\)。

证明：令 \(z=A|x|>0\)，\(z\ge|Ax|=\rho(A)|x|\)，\(y=z-\rho(A)|x|\ge0\)。若 \(y\ne0\)，则 \(Ay>0\)，即 \(Az>\rho(A)z\)，由 8.1.29 得 \(\rho(A)>\rho(A)\)，矛盾。

推导拆解：逐步看每一行用了什么。 ① \(z=A|x|>0\)：\(A\) 每个元素为正，\(|x|\) 非负且不全为零，所以每个分量都是正数之和（8.2.1 节"\(A>0\)、\(x\ge0\) 非零 ⇒ \(Ax>0\)"）。 ② \(z\ge|Ax|\)：三角不等式 \(|Ax|\le|A||x|=A|x|\)（\(A\) 本身非负，\(|A|=A\)）。而 \(|Ax|=|\lambda x|=\rho(A)|x|\)。 ③ 于是 \(y=z-\rho(A)|x|\ge0\)。假设 \(y\) 不全为零，左乘 \(A\) 得 \(Ay>0\)，即 \(Az-\rho(A)A|x|=Az-\rho(A)z>0\)。 ④ \(Az>\rho(A)z\) 且 \(z>0\)，说明每个节点的一步增长倍数都严格大于 \(\rho(A)\)，由 Collatz–Wielandt 下界得 \(\rho(A)>\rho(A)\)，不可能。所以 \(y=0\)，即 \(A|x|=\rho(A)|x|\)，且 \(|x|=z/\rho(A)>0\)。 要点：把任意最大模特征向量取绝对值，它就自动变成谱半径的正特征向量。这是"非负性带来的刚性"的第一次体现。

Theorem 8.2.2。 \(A>0\) ⇒ 存在正向量 \(x,y\) 使 \(Ax=\rho(A)x\)、\(y^TA=\rho(A)y^T\)。由此 Collatz–Wielandt 公式对正矩阵成立。

Lemma 8.2.3 → Theorem 8.2.4（严格占优）。 若 \(|\lambda|=\rho(A)\)，由 8.1.8(b) 特征向量可以旋转成正向量，再由 8.1.30 得 \(\lambda=\rho(A)\)。所以正矩阵的谱圆上只有 \(\rho(A)\) 一个特征值。

Theorem 8.2.5（几何单重）。 若 \(p,q>0\) 都是 \(\rho(A)\) 的特征向量，令 \(\beta=\min q_i/p_i\)，\(r=q-\beta p\ge0\) 有零分量；若 \(r\ne0\) 则 \(Ar=\rho(A)r>0\) 矛盾，故 \(q=\beta p\)。

Theorem 8.2.7（代数单重与极限）。 由 \(y^Tx>0\) 得 \(\rho(A)\) 代数单重（第 01 章：左右特征向量不正交 ⇒ 单重）。于是 \(A=S([\rho(A)]\oplus B)S^{-1}\)，\(\rho(B)<\rho(A)\)，

8.3.2 Perron 定理

定义。 满足 \(Ax=\rho(A)x\)、\(\sum x_i=1\) 的正向量 \(x\) 叫（右）Perron 向量，\(\rho(A)\) 叫 Perron 根；\(A^T\) 的对应特征向量 \(y\) 按 \(y^Tx=1\) 归一化后叫左 Perron 向量。

Theorem 8.2.8（Perron 定理）。 \(A\in M_n\)，\(A>0\)，则

• (a) \(\rho(A)>0\)；
• (b) \(\rho(A)\) 是代数单重特征值；
• (c) 存在唯一的 \(x>0\)，\(Ax=\rho(A)x\)，\(\sum x_i=1\)；
• (d) 存在唯一的 \(y>0\)，\(y^TA=\rho(A)y^T\)，\(y^Tx=1\)；
• (e) 其余特征值都满足 \(|\lambda|<\rho(A)\)；
• (f) \((A/\rho(A))^m\to xy^T\)。

白话解释：(f) 是最有用的一条。它说对任何初始向量 \(p_0\)，\(A^mp_0\approx\rho(A)^m\,x\,(y^Tp_0)\)。三个因子各有分工：\(\rho(A)^m\) 是总量的增长，\(x\) 是长期的形状（各节点占比，与初值无关），\(y^Tp_0\) 是初值的加权规模，\(y_i\) 告诉你"初始时放在节点 \(i\) 的一单位，长期贡献多少"。 金融直觉：在评级迁移、资金流动这类模型里，\(x\) 回答"长期大家分布在哪里"，\(y\) 回答"从哪里出发影响最大"。实战 3 把 \(x\) 叫脆弱性、\(y\) 叫系统重要性，就是这个分工。对称矩阵时 \(x\) 与 \(y\) 方向相同，非对称网络里两者可以差别很大。

收敛速度（8.2.10–8.2.11）。 \(\|(A/\rho(A))^m-xy^T\|_\infty\le Cr^m\)，\(r\) 可取 \((|\lambda_2|/\rho(A),1)\) 中任意数，\(|\lambda_2|\) 是除 \(\rho(A)\) 外最大的特征值模，叫次特征值（secondary eigenvalue）。一个只用元素就能算的上界（Ostrowski 型）：

元素越"均匀"，收敛越快。它通常很保守（实战 1 中实际比值 0.12，界 0.91），但不需要算任何特征值。Markov 链的混合速度、幂迭代（PageRank）的收敛速度都由次特征值比决定。

8.3.3 相关结论

• Theorem 8.2.9（Fan）：\(B\ge0\) 且 \(b_{ij}\ge|a_{ij}|\)（\(i\ne j\)），则 \(A\) 的特征值都在 \(\bigcup_i\{z:|z-a_{ii}|\le\rho(B)-b_{ii}\}\) 中——用 \(B\) 的 Perron 向量作权重的 Geršgorin 定理（第 06 章），比普通 Geršgorin 圆盘更紧。
• 8.2.P5：\(A>B>0\) ⇒ \(\rho(A)>\rho(B)\)（严格单调）。8.2.P15：只有 \(0\le A\le B\)、\(A\ne B\) 时不一定严格（\(\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}\) 与 \(\begin{bmatrix}0&2\\0&0\end{bmatrix}\)），但 \(B>0\) 时严格。
• 8.2.P6：\(\rho(A)=\sum_{i,j}a_{ij}x_j\)（\(x\) 为归一化 Perron 向量）。
• 8.2.P7：\(n\ge2\) 时正矩阵的逆不可能非负；非负矩阵的逆非负 ⇔ 它是置换矩阵乘正对角阵。
• 8.2.P8：对任意正的左右特征向量，\((A/\rho)^m\to(y^Tx)^{-1}xy^T\)。
• 8.2.P9：若最小行和或最大行和等于 \(\rho(A)\)，则所有行和相等。
• 8.2.P13：\(\rho(A)=\lim_m(\operatorname{tr}A^m)^{1/m}\)。
• 8.2.P14：\(\operatorname{adj}(\rho(A)I-A)>0\)，它的每列是右 Perron 向量的正倍数、每行是左 Perron 向量的正倍数——已知 \(\rho(A)\) 时不必解方程就能得到 Perron 向量。8.2.P11 给出 \(\operatorname{adj}(\rho I-A)=\gamma xy^T\)，\(\gamma>0\)。

8.4 一般非负矩阵

8.4.1 能保留什么

对元素可以为零的非负矩阵，Perron 定理只有一部分能通过取极限保留下来：

Theorem 8.3.1。 \(A\ge0\) ⇒ \(\rho(A)\) 是 \(A\) 的特征值，且存在非负非零向量 \(x\) 使 \(Ax=\rho(A)x\)。

证明：\(A(\epsilon)=A+\epsilon J_n>0\)（\(J_n\) 为全 1 阵），取其 Perron 向量 \(x(\epsilon)\)，\(\|x(\epsilon)\|_1=1\)。单位单纯形紧，取收敛子列 \(x(\epsilon_k)\to x\ge0\)；\(\rho(A(\epsilon))\) 随 \(\epsilon\) 单调递减且 \(\ge\rho(A)\)，极限 \(\rho\) 满足 \(Ax=\rho x\)，于是 \(\rho\le\rho(A)\)，故 \(\rho=\rho(A)\)。

Theorem 8.3.2。 \(A\ge0\)，\(x\ge0\) 非零，\(Ax\ge\alpha x\) ⇒ \(\rho(A)\ge\alpha\)。

Corollary 8.3.3（Collatz–Wielandt 的 max-min 半边）。

但另一半（min-max）对一般非负矩阵不成立：\(A=\begin{bmatrix}1&0\\0&2\end{bmatrix}\)、\(x=(1,0)^T\) 满足 \(Ax\le1\cdot x\)，而 \(\rho(A)=2\)。这个矩阵没有正的左或右特征向量。

Theorem 8.3.4。 若 \(A\ge0\) 有正的（左或右）特征向量，对应特征值 \(\lambda\ge0\)，则 \(\lambda=\rho(A)\)。特别地，行随机矩阵（\(Ae=e\)）与列随机矩阵的谱半径都是 1，幂有界。

Theorem 8.3.5。 若 \(A\ge0\) 有正的左特征向量：(a) \(Ax\ge\rho(A)x\) ⇒ \(Ax=\rho(A)x\)；(b) \(A\ne0\) 时 \(\rho(A)>0\)，且所有模为 \(\rho(A)\) 的特征值都是半单的（Jordan 块为 \(1\times1\)）。

术语提醒。 一般非负矩阵的 Perron 根仍有定义，但它的特征向量即使归一化也未必唯一（如 \(A=I\)，任何非负向量都是），所以一般非负矩阵没有良定义的"Perron 向量"。

8.4.2 Frobenius 标准形与状态分类（8.3.P8）

任何非负矩阵要么不可约，要么置换相似于分块上三角形

每个对角块不可约（可以是 \(1\times1\) 零块），且 \(\sigma(A)=\sigma(A_1)\cup\cdots\cup\sigma(A_k)\)。对角块就是有向图 \(\Gamma(A)\) 的强连通分量。对 Markov 链，这正是状态分类：常返类（闭的强连通分量）与瞬时状态；违约这样的吸收态是 \(1\times1\) 块 \([1]\)。所以评级迁移矩阵（含违约吸收态）是可约的，Perron–Frobenius 的"正特征向量、单重"结论要分块应用（第 08b 章）。

8.4.3 习题中的重要概念

• 8.3.P9 本质非负矩阵（essentially nonnegative，Metzler matrix）：非对角元非负的实矩阵 \(A\)。因为 \(\lambda I+A\ge0\)（\(\lambda\) 足够大），由 8.3.1 它有实特征值 \(r(A)\)，满足 \(r(A)\ge\operatorname{Re}\lambda_i\) 对所有特征值，称主导特征值。连续时间 Markov 链的生成元（转移速率矩阵 \(Q\)）、线性常微分方程 \(\dot x=Ax\) 的稳定性分析都用到它：\(r(A)<0\) ⇔ 系统渐近稳定。
• 8.3.P10：\(\rho(A)\le\lambda_{\max}(\frac12(A+A^T))\)。
• 8.3.P11：幻方矩阵（\(1,\dots,n^2\) 排成行、列、对角线和相等）的谱半径是 \(\frac12n(n^2+1)\)。
• 8.3.P15 M 矩阵（M-matrix）：非对角元 \(\le0\) 且所有实特征值为正的矩阵 \(A\) 满足 \(A^{-1}\ge0\)。证明：\(\mu=\max a_{ii}\)，\(B=\mu I-A\ge0\)，\(\mu-\rho(B)\) 是 \(A\) 的实特征值，故 \(\mu>\rho(B)\)，于是 Neumann 级数 \(A^{-1}=\mu^{-1}\sum_{k\ge0}(B/\mu)^k\ge0\)。Leontief 模型的 \(I-A\)（\(\rho(A)<1\)）就是 M 矩阵（实战 2）。

金融直觉：M 矩阵的证明核心是 Neumann 级数，它就是年金/永续年金公式的矩阵版。标量时 \(\frac1{1-a}=1+a+a^2+\cdots\)，\(|a|<1\) 才收敛，每一项都非负，和自然非负。矩阵时每一项 \(A^k\ge0\)，和 \((I-A)^{-1}\ge0\) 也自然非负，收敛条件换成 \(\rho(A)<1\)。经济读法：\(A^k d\) 是第 \(k\) 轮的间接需求，总产出是各轮之和；每轮的规模按 \(\rho(A)\) 的速度衰减，就像永续年金每期按贴现因子衰减。

• 8.3.P16 单调矩阵（monotone matrix）：\(A\) 非奇异且 \(A^{-1}\ge0\) ⇔ （\(Ax\ge Ay\Rightarrow x\ge y\)）。M 矩阵都是单调矩阵。经济含义：最终需求增加，各部门产出不会减少。

原书说明：8.3.P12(b) 中的"positive"。 这道题讨论 \(r>\rho(A)\) 时的 \((rI-A)^{-1}\) 与 \(\operatorname{adj}(\rho(A)I-A)\)。由 Neumann 级数 \((rI-A)^{-1}=r^{-1}\sum_k(A/r)^k\ge0\)。原书该小问写作 \((rI-A)^{-1}\) 为 "positive"，对一般非负矩阵这只在 \(A\) 不可约时成立；\(A\) 可约时只能保证非负。反例：\(A=I_2\) 时 \((1.5I-A)^{-1}=2I\)；\(A=\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}\) 时 \((1.5I-A)^{-1}=\begin{bmatrix}2&4\\0&2\end{bmatrix}\)，都有零元（实战 3 末尾数值验证）。本教材按"非负"处理：令 \(r\downarrow\rho(A)\)，\(\det(rI-A)(rI-A)^{-1}=\operatorname{adj}(rI-A)\to\operatorname{adj}(\rho(A)I-A)\)，得到 \(\operatorname{adj}(\rho(A)I-A)\ge0\)，这正是 (c) 要的结论，不受影响。不可约时 8.4.P23 给出更强的 \(\operatorname{adj}(\rho I-A)=c\,xy^T>0\)。

8.5 不可约非负矩阵：Perron–Frobenius 定理

8.5.1 不可约性

非负矩阵 \(A\) 称为不可约（irreducible），若它不能经置换相似化为 \(\begin{bmatrix}B&C\\0&D\end{bmatrix}\)（\(B,D\) 为方阵）的形式；等价地，有向图 \(\Gamma(A)\)（\(a_{ij}>0\) 时有边 \(i\to j\)）强连通——从任一节点出发都能到达任一节点（第 06 章 6.2 节）。启发式原则：对"无零元素"矩阵成立的结论，常常可以推广到不可约矩阵。

Lemma 8.4.1。 \(A\ge0\) 不可约 ⇔ \((I+A)^{n-1}>0\)。

直观：\((I+A)^{n-1}=\sum_k\binom{n-1}{k}A^k\) 的 \((i,j)\) 元为正 ⇔ 存在长度 \(\le n-1\) 的路 \(i\to j\)；强连通图中任意两点间的最短路长度不超过 \(n-1\)。实际计算只关心零/非零模式（布尔运算），并可反复平方以减少乘法次数（第 08b 章）。

推导拆解：为什么 \((A^2)_{ij}>0\) 等于"有两步路"？\((A^2)_{ij}=\sum_ka_{ik}a_{kj}\)，每项非负，所以和为正当且仅当某个 \(k\) 让 \(a_{ik}>0\) 且 \(a_{kj}>0\)，即存在 \(i\to k\to j\)。\(A^k\) 同理。\((I+A)^{n-1}\) 展开后包含 \(I,A,\dots,A^{n-1}\) 的正系数组合，所以它的 \((i,j)\) 元为正等于"存在 0 到 \(n-1\) 步的路"。不经过重复节点的路最多 \(n-1\) 步，所以够用。 白话解释：可约的银行网络，就是存在一群银行"只借出不借入"或"只借入不借出"，冲击从外面传不进去（或传不出来）。例如三家银行，1 欠 2、2 欠 3，但 3 不欠任何人：从 3 出发走不到 1，网络可约。评级迁移矩阵因为违约是吸收态（进去出不来），也是可约的。

Lemma 8.4.3。 若 \(A\ge0\) 且某个 \(A^m>0\)，则 \(\rho(A)\) 是唯一的最大模特征值，为正且代数单重（对 \(A^m\) 用 Perron 定理）。这类矩阵叫本原矩阵（第 08b 章）。

8.5.2 定理与证明

Theorem 8.4.4（Perron–Frobenius 定理）。 \(A\in M_n\) 不可约非负，\(n\ge2\)，则

• (a) \(\rho(A)>0\)；
• (b) \(\rho(A)\) 是代数单重特征值；
• (c) 存在唯一的 \(x>0\)，\(Ax=\rho(A)x\)，\(\sum x_i=1\)；
• (d) 存在唯一的 \(y>0\)，\(y^TA=\rho(A)y^T\)，\(y^Tx=1\)。

证明：(a) 不可约矩阵没有零行，由行和下界 \(\rho(A)>0\)（8.1.25）。(b) \(\rho(I+A)=\rho(A)+1\)；若 \(\rho(A)\) 多重，则 \((1+\rho(A))^{n-1}\) 是正矩阵 \((I+A)^{n-1}\) 的多重特征值，与 Perron 定理矛盾。(c) 由 8.3.1 取非负特征向量 \(x\)，则 \((I+A)^{n-1}x=(1+\rho(A))^{n-1}x\)，左边是正矩阵乘非负非零向量，为正，故 \(x>0\)。(d) 对 \(A^T\)。

与 Perron 定理相比，缺少两条："\(\rho(A)\) 是唯一最大模特征值"和"\((A/\rho(A))^m\) 收敛"。反例：\(\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}\) 不可约，特征值 \(\pm1\)，幂振荡。这两条要靠"本原性"才能恢复（第 08b 章）。

由 (c)(d)，8.1.30–8.1.33、8.3.4–8.3.5 的结论都适用于不可约非负矩阵，特别是 Collatz–Wielandt 公式的两半都成立。

8.4 节几个配套结论：

• 8.4.P15、P21：不可约非负矩阵的任何非负特征向量都是 Perron 向量的正倍数；有两个线性无关的非负特征向量的非负矩阵必可约。
• 8.4.P14：\(A\) 不可约、\(B\ge0\) 非零 ⇒ \(\rho(A+B)>\rho(A)\)（严格单调）。
• 8.4.P3：不可约只是存在正特征向量的充分条件：可约的 \(\begin{bmatrix}1&0\\1&0\end{bmatrix}\) 有正特征向量 \((1,1)^T\)，可约的 \(\begin{bmatrix}1&1\\0&0\end{bmatrix}\) 没有。
• 8.4.P5：不可约性不是相似不变量，\(AB\) 不可约时 \(BA\) 可以可约。

8.5.3 谱半径的灵敏度（8.4.P13）

设 \(A\) 不可约非负，\(x\)、\(y\) 为右、左 Perron 向量，\(y^Tx=1\)。\(\rho(A)\) 是单重特征值，所以对元素可微，且

推导拆解：设 \(A\) 沿某个方向变化，\(A(t)x(t)=\rho(t)x(t)\)。两边对 \(t\) 求导（乘积法则）：\(A'x+Ax'=\rho'x+\rho x'\)。左乘 \(y^T\)：\(y^TA'x+y^TAx'=\rho'y^Tx+\rho\,y^Tx'\)。因为 \(y^TA=\rho y^T\)，左边第二项 \(=\rho\,y^Tx'\)，与右边第二项抵消。剩下 \(\rho'=y^TA'x/y^Tx=y^TA'x\)（归一化 \(y^Tx=1\)）。只改 \(a_{ij}\) 时 \(A'=E_{ij}\)，\(y^TE_{ij}x=y_ix_j\)。左特征向量的妙处就在于把未知的 \(x'\) 消掉了。 正号来自 Perron–Frobenius：\(x,y\) 都是正向量，乘积必正。

这是单特征值一阶扰动公式 \(d\lambda=y^T(dA)x/y^Tx\) 在 \(dA=E_{ij}\) 时的特例。勘误说明：精读笔记把它记作 \(x_iy_j\)；按"\(x\) 为右、\(y\) 为左 Perron 向量"的约定，正确的是 \(y_ix_j\)（两者只有在 \(A\) 对称时才一致），实战 3 用有限差分验证了 \(y_ix_j\)。8.4.P14 的一种证法就是把这个导数沿 \(A+tB\) 积分。

量化读法：在传染/放大模型中，"哪条连边对系统放大倍数影响最大"由 \(y_ix_j\) 回答——连边起点的左 Perron 分量与终点的右 Perron 分量之积。

8.5.4 最大模特征值的循环结构

Theorem 8.4.5（Wielandt）。 \(A\ge0\) 不可约，\(A\ge|B|\)，\(\lambda=e^{i\varphi}\rho(B)\) 是 \(B\) 的最大模特征值。若 \(\rho(A)=\rho(B)\)，则存在对角酉阵 \(D\) 使 \(B=e^{i\varphi}DAD^{-1}\)。

取 \(B=A\)，就得到最大模特征值的结构：

Theorem 8.4.6。 \(A\ge0\) 不可约，恰有 \(k\) 个最大模特征值，则

• (a) \(A\) 相似于 \(e^{2\pi ip/k}A\)，\(p=0,1,\dots,k-1\)；
• (b) 整个谱（连同 Jordan 结构）在绕原点旋转 \(2\pi/k\) 下不变；
• (c) 最大模特征值恰为 \(\rho(A)e^{2\pi ip/k}\)，\(p=0,\dots,k-1\)，每个都代数单重。

证明要点：最大模特征值的辐角集合 \(\mathcal S\) 在模 \(2\pi\) 加法下封闭（\(A\) 相似于 \(e^{i\varphi}A\) 与 \(e^{i\psi}A\) ⇒ 相似于 \(e^{i(\varphi+\psi)}A\)）；有限的、对加法封闭的辐角集合只能是 \(k\) 次单位根的辐角 \(\{2\pi p/k\}\)。单重性来自 8.4.4(b) 与旋转对称。

推论：

• 任意圆周 \(|z|=r>0\) 上的特征值个数是 \(k\) 的倍数，所以 \(k\) 整除非零特征值的个数。例：不可约非负 \(3\times3\) 矩阵不可能有特征值 \(1,i,-i\)（\(k\) 只能是 1 或 3，都不符；或看 \(\operatorname{tr}A^2=1-1-1<0\)，与非负矛盾）。
• Corollary 8.4.7：\(k>1\) 时 \(A\) 的对角元全为 0；更一般地，\(k\nmid m\) 时 \(A^m\) 的对角元全为 0（因为 \(\operatorname{tr}A^m=e^{2\pi im/k}\operatorname{tr}A^m\)）。所以有一个正对角元的不可约非负矩阵，\(\rho(A)\) 必是唯一最大模特征值；但这不是必要条件：\(J_3-I\) 对角全零，特征值 \(2,-1,-1\)。
• 循环块形（8.4.8）：\(k>1\) 时存在置换 \(P\) 使

图的节点分成 \(k\) 类，边只从第 \(j\) 类指向第 \(j+1\) 类，循环往复。这样的矩阵叫指数为 \(k\) 的循环矩阵（cyclic of index \(k\)）（8.4.P9），特征多项式形如 \(t^r(t^k-\rho^k)(t^k-\mu_2^k)\cdots\)（8.4.P10）。Markov 链中这就是周期为 \(k\) 的链。

白话解释：循环块形就是"节点分成 \(k\) 组，每一步都必须从一组跳到下一组"。例如 \(k=2\)：资金只在"银行 → 基金"和"基金 → 银行"之间流动，同类之间不直接往来。那么从银行出发，奇数步后一定在基金、偶数步后一定在银行，分布永远在两组之间来回摆，\(A^m\) 不会收敛。\(-\rho\) 这个特征值就是这种来回摆动的数学表现。只要任何一个节点有"自环"（对角元为正，能原地停留一步），节奏就被打乱，周期消失，这就是 Corollary 8.4.7 的含义。

8.5.5 其他习题结论

• 8.4.P12（Cauchy 根界）：多项式 \(p(t)=t^n+a_{n-1}t^{n-1}+\cdots+a_0\) 的根的模不超过 \(\tilde p(t)=t^n-|a_{n-1}|t^{n-1}-\cdots-|a_0|\) 的唯一正根（对友矩阵用 Perron–Frobenius）。可用于快速判断 AR(\(p\)) 特征多项式的根是否在某个圆内。
• 8.4.P17–P18（非负矩阵的最佳秩一逼近）：\(A\ge0\)，若 \(AA^T\) 或 \(A^TA\) 不可约，则 Frobenius 范数下的最佳秩一逼近唯一且非负：\(\sqrt{\rho(AA^T)}\,vw^T\)，\(v,w\) 是正的首奇异向量。这解释了为什么对非负数据（成交量矩阵、持仓矩阵）做 SVD 时首个奇异向量可以取成全正——它代表"整体规模"因子。\(I_n\)（\(n>1\)）的最佳秩一逼近不唯一。
• 8.4.P22：\(\mathbf R^n\) 中两两夹角大于 \(\pi/2\) 的向量至多 \(n+1\) 个。
• 8.4.P25：对任意非负 \(A\)，\(\limsup_m(\operatorname{tr}A^m)^{1/m}=\rho(A)\)（极限可以不存在，如 \(\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}\)）。
• 8.4.P26：\(A\) 不可约 ⇔ \(\rho(A)I-A\) 没有零主子式 ⇔ \(\operatorname{adj}(\rho(A)I-A)=cxy^T\) 为正。

量化实战

实战 1：迁移极限、谱半径的可验证界与 Perron 收敛

import numpy as np

rng = np.random.default_rng(0)
rho = lambda M: max(abs(np.linalg.eigvals(M)))

# ---------- 1. 原书 8.0 两城市迁移：A = [[1-α, β], [α, 1-β]]（列随机） ----------
a, b = 0.1, 0.3
A = np.array([[1 - a, b], [a, 1 - b]])
print("特征值:", np.round(np.sort(np.linalg.eigvals(A).real), 4), " (1 与 1-α-β = %.1f)" % (1 - a - b))
print("A^50 =\n", np.round(np.linalg.matrix_power(A, 50), 4))
print("理论极限 [[β,β],[α,α]]/(α+β) =\n", np.array([[b, b], [a, a]]) / (a + b))
P = np.array([[0., 1.], [1., 0.]])                     # α=β=1：两城每天整体互换
cesaro = sum(np.linalg.matrix_power(P, k) for k in range(1, 1001)) / 1000
print("α=β=1 时 A^m 在 I 与 P 之间振荡；Cesàro 平均 =\n", cesaro)

# ---------- 2. 谱半径的行和夹逼与 Collatz–Wielandt 界（8.1.22、8.1.26、8.1.P7） ----------
n = 6
M = rng.uniform(0, 1, (n, n)) * (rng.uniform(size=(n, n)) < 0.6)
r = M.sum(1)
print("\nρ(M) = %.4f；行和界 [%.4f, %.4f]；列和界 [%.4f, %.4f]"
      % (rho(M), r.min(), r.max(), M.sum(0).min(), M.sum(0).max()))
x = M @ np.ones(n)                                     # 取 x = Ae（幂迭代一步）
q = (M @ x) / x
print("x = Ae 的 Collatz–Wielandt 界 [%.4f, %.4f]" % (q.min(), q.max()))
for k in range(30):                                    # 继续幂迭代，界不断收紧
    x = M @ x; x /= x.sum()
q = (M @ x) / x
print("幂迭代 30 步后的界          [%.4f, %.4f]" % (q.min(), q.max()))

# ---------- 3. Perron 定理：正矩阵的幂与收敛速度（8.2.7、8.2.10–8.2.11） ----------
Apos = rng.uniform(0.2, 1.0, (n, n))
lam = np.linalg.eigvals(Apos); idx = np.argsort(-abs(lam))
r0, r2 = lam[idx[0]].real, abs(lam[idx[1]])
w, V = np.linalg.eig(Apos); x = np.abs(V[:, np.argmax(w.real)].real); x /= x.sum()
w2, U = np.linalg.eig(Apos.T); y = np.abs(U[:, np.argmax(w2.real)].real); y /= y @ x
kap = Apos.min() / Apos.max()
print("\nρ = %.4f，次特征值模比 |λ2|/ρ = %.4f ≤ (1-κ²)/(1+κ²) = %.4f（κ = min/max = %.3f）"
      % (r0, r2 / r0, (1 - kap**2) / (1 + kap**2), kap))
for m in [1, 3, 6, 10]:
    err = np.abs(np.linalg.matrix_power(Apos / r0, m) - np.outer(x, y)).max()
    print("m = %2d  ||(A/ρ)^m - x y^T||_max = %.2e   (|λ2|/ρ)^m = %.2e" % (m, err, (r2 / r0) ** m))

关键输出：

特征值: [0.6 1. ]  (1 与 1-α-β = 0.6)
A^50 =
 [[0.75 0.75]
 [0.25 0.25]]
理论极限 [[β,β],[α,α]]/(α+β) =
 [[0.75 0.75]
 [0.25 0.25]]
α=β=1 时 A^m 在 I 与 P 之间振荡；Cesàro 平均 =
 [[0.5 0.5]
 [0.5 0.5]]

ρ(M) = 2.4081；行和界 [1.5450, 3.6626]；列和界 [1.5359, 3.7045]
x = Ae 的 Collatz–Wielandt 界 [2.0579, 2.6911]
幂迭代 30 步后的界          [2.4081, 2.4081]

ρ = 4.3759，次特征值模比 |λ2|/ρ = 0.1188 ≤ (1-κ²)/(1+κ²) = 0.9135（κ = min/max = 0.213）
m =  1  ||(A/ρ)^m - x y^T||_max = 1.10e-01   (|λ2|/ρ)^m = 1.19e-01
m =  3  ||(A/ρ)^m - x y^T||_max = 1.53e-03   (|λ2|/ρ)^m = 1.67e-03
m =  6  ||(A/ρ)^m - x y^T||_max = 1.73e-06   (|λ2|/ρ)^m = 2.80e-06
m = 10  ||(A/ρ)^m - x y^T||_max = 4.94e-10   (|λ2|/ρ)^m = 5.58e-10

读法：

1. 两城市例子中 \(A^{50}\) 已经与理论极限一致到 4 位小数（收敛速度 \(0.6^m\)）；\(\alpha=\beta=1\) 时只有 Cesàro 平均收敛。
2. 行和、列和给出的区间很宽；取 \(x=Ae\) 后区间收窄到 \([2.06,2.69]\)，继续幂迭代 30 步后上下界重合于 \(\rho=2.4081\)。在大型稀疏网络上，这种带上下界的幂迭代比调用稠密特征值算法便宜得多，而且每一步都能报告误差范围。
3. 正矩阵的 \((A/\rho)^m\) 以 \((|\lambda_2|/\rho)^m\) 的速度收敛到秩一矩阵 \(xy^T\)。Ostrowski 型界 0.91 远比实际的 0.12 保守，但它只用最大、最小元素就能算出。

实战 2：Leontief 投入产出模型——M 矩阵与冲击传导

场景：行业轮动和宏观因子研究中，常需要估计"某行业需求冲击如何沿产业链传导"。Leontief 模型：\(a_{ij}\) 为生产 1 元第 \(j\) 部门产品需要投入的第 \(i\) 部门产品（直接消耗系数），总产出 \(x\) 满足 \(x=Ax+d\)（\(d\) 为最终需求），所以 \(x=(I-A)^{-1}d\)。只有当 \((I-A)^{-1}\ge0\) 时，任何非负需求都对应非负产出——这正是 M 矩阵理论（8.3.P15–P16）。

import numpy as np

rho = lambda M: max(abs(np.linalg.eigvals(M)))
sectors = ["上游原材料", "能源", "中游制造", "建筑", "消费", "金融服务"]
# 直接消耗系数 a_ij：生产 1 元第 j 部门产品需要投入的第 i 部门产品（虚构数据）
A = np.array([[0.10, 0.15, 0.30, 0.25, 0.05, 0.00],
              [0.12, 0.10, 0.12, 0.08, 0.04, 0.02],
              [0.05, 0.08, 0.20, 0.30, 0.15, 0.03],
              [0.01, 0.02, 0.01, 0.02, 0.01, 0.03],
              [0.01, 0.01, 0.02, 0.02, 0.10, 0.05],
              [0.04, 0.05, 0.06, 0.05, 0.08, 0.15]])
print("列和（每 1 元产出的中间投入）:", A.sum(0).round(2), "  ρ(A) = %.4f < 1" % rho(A))

# ---------- 1. Leontief 逆 (I-A)^{-1} = Σ A^k ≥ 0：M 矩阵（原书 8.3.P15） ----------
I = np.eye(6)
Linv = np.linalg.inv(I - A)
print("(I-A)^{-1} 最小元素 = %.4f（非负；A 不可约时全正）" % Linv.min())
S, Ak = I.copy(), I.copy()
for k in range(1, 60):
    Ak = Ak @ A; S += Ak
print("Neumann 级数 60 项与逆矩阵的差: %.2e" % np.abs(S - Linv).max())
print("产出乘数（列和：最终需求 +1 元带动的总产出）:")
for s_, m in zip(sectors, Linv.sum(0)):
    print("   %-6s %.3f" % (s_, m))

# ---------- 2. 冲击传导：建筑业最终需求下降 100 ----------
dd = np.zeros(6); dd[3] = -100
dx = Linv @ dd
print("\n建筑需求 -100 → 各部门总产出变化:", dict(zip(sectors, dx.round(1).tolist())))
print("直接效应 %.1f，第 1 轮间接 %.1f，第 2 轮 %.1f ……"
      % (dd.sum(), (A @ dd).sum(), (A @ A @ dd).sum()))

# ---------- 3. 可行性 ⇔ ρ(A) < 1：所有投入系数等比例放大 ----------
for c in [2.0, 2.5]:
    A_bad = c * A
    print("\n投入系数放大 %.1f 倍: ρ = %.4f；(I-A)^{-1} 最小元素 = %.3f" % (c, rho(A_bad), np.linalg.inv(I - A_bad).min()))

关键输出：

列和（每 1 元产出的中间投入）: [0.33 0.41 0.71 0.72 0.43 0.28]   ρ(A) = 0.4453 < 1
(I-A)^{-1} 最小元素 = 0.0193（非负；A 不可约时全正）
Neumann 级数 60 项与逆矩阵的差: 4.44e-16
产出乘数（列和：最终需求 +1 元带动的总产出）:
   上游原材料  1.582
   能源     1.734
   中游制造   2.290
   建筑     2.380
   消费     1.817
   金融服务   1.489

建筑需求 -100 → 各部门总产出变化: {'上游原材料': -48.0, '能源': -22.2, '中游制造': -45.6, '建筑': -103.9, '消费': -4.8, '金融服务': -13.4}
直接效应 -100.0，第 1 轮间接 -72.0，第 2 轮 -36.5 ……

投入系数放大 2.0 倍: ρ = 0.8905；(I-A)^{-1} 最小元素 = 0.199

投入系数放大 2.5 倍: ρ = 1.1131；(I-A)^{-1} 最小元素 = -5.794

读法：

1. 所有列和都小于 1，由列和上界 \(\rho(A)<1\) 立即可知模型可行，无需算特征值。\(\rho(A)=0.45\)。
2. Leontief 逆是 Neumann 级数 \(\sum A^k\)：第 \(k\) 项是"第 \(k\) 轮间接需求"。建筑需求下降 100，直接效应 −100，第一轮间接 −72（向上游原材料、中游制造采购减少），第二轮 −36.5……总计约 −238，即建筑业的产出乘数 2.38。逆矩阵所有元素为正（\(A\) 不可约），所以任何一个部门的需求冲击都会传到所有部门。
3. 产出乘数排序（建筑、中游制造最高）可用于判断"稳增长政策"的受益链条与传导强度；乘积 \(x_iy_j\) 型灵敏度（8.5.3 节）则告诉我们哪个投入系数的变化对整体乘数影响最大。
4. 系数放大到 \(\rho(A)>1\) 时，\((I-A)^{-1}\) 出现负元素：需求增加会让某些部门的"产出"减少，模型失去经济意义（对应经济无法自我维持）。\(\rho(A)<1\iff I-A\) 是非奇异 M 矩阵 \(\iff(I-A)^{-1}\ge0\)。

实战 3：风险传染网络——谱半径、关键连边与中心性

场景：8 家银行，\(w_{ij}\) 表示银行 \(i\) 对银行 \(j\) 的敞口占银行 \(i\) 资本的比例。线性化的损失级联（DebtRank 类模型）\(\ell^{(t+1)}=W\ell^{(t)}\)：\(\rho(W)<1\) 时冲击逐轮衰减，总放大倍数约为 \(1/(1-\rho)\)；\(\rho\) 越接近 1 越危险。监管关心：哪些机构最重要、削减哪条敞口最能降低系统放大倍数。

import numpy as np
from scipy.sparse.csgraph import connected_components

rng = np.random.default_rng(42)
n = 8
banks = [f"B{i}" for i in range(n)]
# ---------- 1. 银行间敞口传染矩阵 W：w_ij = 银行 i 对银行 j 的敞口 / 银行 i 的资本 ----------
W = rng.uniform(0.0, 0.25, (n, n)) * (rng.uniform(size=(n, n)) < 0.35)
np.fill_diagonal(W, 0)
W[0, 1] = 0.6; W[1, 2] = 0.5; W[2, 0] = 0.55            # 三家大行之间的互相持有（一个环）
# 不可约检验：(I+W)^{n-1} > 0 ⇔ 有向图强连通（原书 8.4.1）
irr = (np.linalg.matrix_power(np.eye(n) + (W > 0), n - 1) > 0).all()
ncomp, lab = connected_components(W > 0, directed=True, connection='strong')
print("不可约? %s；强连通分量个数 %d，标签 %s" % (irr, ncomp, lab))

lam, V = np.linalg.eig(W); k = np.argmax(lam.real)
r = lam[k].real; x = np.abs(V[:, k].real); x /= x.sum()
lam2, U = np.linalg.eig(W.T); y = np.abs(U[:, np.argmax(lam2.real)].real); y /= y @ x
print("ρ(W) = %.4f（DebtRank 类模型中 ρ<1 表示损失级联会衰减；越接近 1 放大越强）" % r)
print("放大倍数 1/(1-ρ) = %.2f" % (1 / (1 - r)))

# ---------- 2. 谱半径对每条边的灵敏度：∂ρ/∂w_ij = y_i x_j（原书 8.4.P13；y 左、x 右 Perron 向量，y^T x = 1） ----------
Sens = np.outer(y, x) * (W > 0)
i, j = np.unravel_index(np.argmax(Sens), Sens.shape)
h = 1e-6; W2 = W.copy(); W2[i, j] += h
fd = (max(abs(np.linalg.eigvals(W2))) - r) / h
print("\n最关键的边 w[%s,%s]：解析导数 y_i x_j = %.4f，有限差分 %.4f" % (banks[i], banks[j], y[i] * x[j], fd))
top = np.argsort(-Sens, axis=None)[:4]
print("灵敏度前 4 的边:", [(banks[t // n], banks[t % n], round(float(Sens.flat[t]), 4)) for t in top])
W3 = W.copy(); W3[i, j] *= 0.5
print("把该边敞口砍半：ρ 从 %.4f 降到 %.4f" % (r, max(abs(np.linalg.eigvals(W3)))))

# ---------- 3. 特征向量中心性：右 Perron 向量 x（"脆弱性"）与左 Perron 向量 y（"系统重要性"） ----------
print("\n右 Perron 向量 x（受传染程度）:", dict(zip(banks, x.round(3).tolist())))
print("左 Perron 向量 y（系统重要性，展示时归一为和 1）:", dict(zip(banks, (y / y.sum()).round(3).tolist())))

# ---------- 4. 原书 8.3.P12(b) 的说明：可约非负矩阵 (rI-A)^{-1} 只能保证非负 ----------
for name, A in [("I_2", np.eye(2)), ("[[1,1],[0,1]]", np.array([[1., 1.], [0., 1.]]))]:
    rr = 1.5
    print("A = %-14s r = %.1f > ρ(A)=1:  (rI-A)^{-1} =" % (name, rr), np.linalg.inv(rr * np.eye(2) - A).round(3).tolist())

关键输出：

不可约? True；强连通分量个数 1，标签 [0 0 0 0 0 0 0 0]
ρ(W) = 0.7132（DebtRank 类模型中 ρ<1 表示损失级联会衰减；越接近 1 放大越强）
放大倍数 1/(1-ρ) = 3.49

最关键的边 w[B0,B1]：解析导数 y_i x_j = 0.2714，有限差分 0.2714
灵敏度前 4 的边: [('B0', 'B1', 0.2714), ('B1', 'B2', 0.2616), ('B2', 'B0', 0.2561), ('B3', 'B0', 0.2177)]
把该边敞口砍半：ρ 从 0.7132 降到 0.6166

右 Perron 向量 x（受传染程度）: {'B0': 0.228, 'B1': 0.211, 'B2': 0.225, 'B3': 0.117, 'B4': 0.07, 'B5': 0.037, 'B6': 0.07, 'B7': 0.041}
左 Perron 向量 y（系统重要性，展示时归一为和 1）: {'B0': 0.215, 'B1': 0.195, 'B2': 0.188, 'B3': 0.16, 'B4': 0.108, 'B5': 0.023, 'B6': 0.108, 'B7': 0.002}
A = I_2            r = 1.5 > ρ(A)=1:  (rI-A)^{-1} = [[2.0, 0.0], [0.0, 2.0]]
A = [[1,1],[0,1]]  r = 1.5 > ρ(A)=1:  (rI-A)^{-1} = [[2.0, 4.0], [0.0, 2.0]]

读法：

1. 网络强连通，Perron–Frobenius 定理适用：\(\rho(W)=0.71\) 是单重特征值，左右 Perron 向量都为正。
2. 解析灵敏度 \(y_ix_j\) 与有限差分完全一致。最关键的三条边恰好是三家大行之间的互持环 \(B0\to B1\to B2\to B0\)：环会让损失反复回流。只把 \(w_{B0,B1}\) 砍半，放大倍数 \(1/(1-\rho)\) 就从 3.49 降到 2.61。这给出了"针对性降低关联"的量化依据，比"按敞口大小排序"更准确，因为它考虑了网络位置。
3. 右 Perron 向量 \(x\) 衡量在系统性级联中各机构受损的相对程度（脆弱性），左 Perron 向量 \(y\) 衡量初始冲击发生在某机构时对整个系统的影响（系统重要性）。两者在非对称网络中可以差别很大：B7 几乎不影响别人（\(y\) 只有 0.002），但自身仍会被波及。同样的思路用于资产相关网络、供应链网络的特征向量中心性。
4. 最后两行是 8.3.P12(b) 说明中的反例：可约非负矩阵的 \((rI-A)^{-1}\) 有零元，只是非负而非正。

本章小结

非负矩阵用逐元素序比较，\(|Ax|\le|A||x|\) 和 Gelfand 公式给出谱半径关于逐元素序单调：\(|A|\le B\Rightarrow\rho(A)\le\rho(B)\)。谱半径夹在最小与最大行和（列和）之间，用任意正向量加权得到 Collatz–Wielandt 界 \(\min_i(Ax)_i/x_i\le\rho(A)\le\max_i(Ax)_i/x_i\)，幂迭代让它不断收紧；正特征向量一定属于谱半径。Perron 定理说正矩阵的谱半径为正、代数单重、严格大于其他特征值的模，有唯一的正的左右 Perron 向量，且 \((A/\rho)^m\to xy^T\)，速度由次特征值比决定。一般非负矩阵只保留"\(\rho(A)\) 是特征值、有非负特征向量"和 max-min 刻画；有正左特征向量时最大模特征值半单。Frobenius 标准形把任意非负矩阵分解成不可约块，对应有向图的强连通分量和 Markov 链的状态分类。不可约（\((I+A)^{n-1}>0\)，图强连通）时，Perron–Frobenius 定理恢复了单重性与正的左右 Perron 向量，但最大模特征值可以有 \(k\) 个，均匀分布在半径 \(\rho\) 的圆上，整个谱在旋转 \(2\pi/k\) 下不变，矩阵可置换成循环块形。\(\partial\rho/\partial a_{ij}=y_ix_j\) 给出谱半径对每个元素的灵敏度。M 矩阵 \(I-A\)（\(\rho(A)<1\)）的逆非负，是 Leontief 模型可行性的条件；Metzler 矩阵有实的主导特征值。

练习

基础

1. 对两城市迁移矩阵 \(A=\begin{bmatrix}0.9&0.3\\0.1&0.7\end{bmatrix}\)，求特征值、Perron 向量和 \(\lim A^m\)，并估计 \(A^m\) 与极限的误差何时小于 \(10^{-6}\)。 答案要点：特征值 1、0.6；\(x=(0.75,0.25)^T\)；误差约 \(0.6^m\)，\(m\ge28\)。
2. 不算特征值，判断 \(\begin{bmatrix}0.2&0.5&0.1\\0.3&0.1&0.4\\0.1&0.2&0.3\end{bmatrix}\) 的谱半径是否小于 1。 提示：行和 0.8、0.8、0.6，最大行和 \(<1\)。
3. 举例说明非负矩阵的非负特征向量不一定对应谱半径（8.3.P4），但正特征向量一定对应。 答案要点：\(\operatorname{diag}(1,2)\) 的 \(e_1\) 是非负特征向量，对应 1 而非 \(\rho=2\)。
4. 判断 \(\begin{bmatrix}0&1&0\\0&0&1\\1&0&0\end{bmatrix}\) 是否不可约，求它的最大模特征值个数 \(k\)，并验证 \(k\) 整除非零特征值个数。 答案要点：循环置换矩阵，不可约；特征值为 3 个三次单位根，\(k=3\)。
5. 设 Leontief 系数矩阵每列和都 \(<1\)。证明 \((I-A)^{-1}\ge0\)，并说明列和的经济含义。 提示：列和界 + Neumann 级数；列和是每 1 元产出的中间投入成本，小于 1 意味着有增加值。
6. 证明：若 \(A\ge0\) 不可约且有一个正对角元，则 \(\rho(A)\) 是唯一的最大模特征值。 提示：Corollary 8.4.7。

进阶

7. 证明谱半径的灵敏度公式 \(\partial\rho/\partial a_{ij}=y_ix_j\)（\(A\) 不可约，\(y^Tx=1\)），并说明为什么它总是正的。 提示：对 \(A(t)x(t)=\rho(t)x(t)\) 求导，左乘 \(y^T\)。
8. 用 \(A(\epsilon)=A+\epsilon J\) 与紧性证明 Theorem 8.3.1，并指出为什么这个方法不能保住"单重"和"正特征向量"。 提示：极限过程中重根可以合并，正分量可以趋于零。考虑 \(A=I\)。
9. 设 \(Q\) 是连续时间 Markov 链的生成元（非对角元 \(\ge0\)，行和为 0）。证明 \(Q\) 是 Metzler 矩阵、主导特征值为 0，且 \(e^{tQ}\ge0\)。 提示：\(Q+\lambda I\ge0\)，\(e^{tQ}=e^{-\lambda t}e^{t(Q+\lambda I)}\)。
10. （非负最佳秩一逼近）设 \(A\ge0\) 且 \(AA^T\) 不可约。证明 \(A\) 的首个左、右奇异向量可以取成正向量，并解释在"股票 × 日期"的成交额矩阵中这个秩一分量的含义。 提示：对 \(AA^T\)、\(A^TA\) 用 Perron–Frobenius；它是"股票规模 × 市场整体活跃度"的乘积结构。
11. 证明 8.3.P12 的修正版本：\(A\ge0\)、\(r>\rho(A)\) 时 \((rI-A)^{-1}\ge0\)；\(A\) 不可约时 \((rI-A)^{-1}>0\)。给出可约时有零元的例子。 提示：Neumann 级数；不可约时 \(\sum_kA^k/r^k\ge c(I+A)^{n-1}>0\)。

原书推荐习题

• 8.0.P2：显式计算 \(A_\epsilon^m\) 的极限与 \(xy^T\)；8.1.P7：用 \(x=Ae\) 改进行和界（幂迭代一步）。
• 8.2.P5、P8、P14：严格单调、未归一化特征向量的极限、由伴随矩阵求 Perron 向量；8.2.P11：单重性的特征多项式证明。
• 8.3.P8：Frobenius 标准形；8.3.P9：Metzler 矩阵；8.3.P15–P16：M 矩阵与单调矩阵。
• 8.4.P13：Perron 根对元素的导数；8.4.P17：非负矩阵最佳秩一逼近；8.4.P25：\(\limsup(\operatorname{tr}A^m)^{1/m}=\rho(A)\)。

原书对照

下一章（第 08b 章）在不可约之上再加"本原"（非周期）条件，恢复 \((A/\rho)^m\) 的收敛，并系统讨论 Markov 链转移矩阵、PageRank 与双随机矩阵。