第 03a 章 Jordan 标准形、最小多项式与线性动态

对应原书：Horn & Johnson《Matrix Analysis》第 2 版，第 3 章 Canonical Forms for Similarity and Triangular Factorizations 的 3.0–3.4.1 节（书 p.163–203，PDF p.183–223）。第 3 章其余部分（Weyr 标准形、LU 分解）见第 03b 章。

第 02a、02b 章用酉相似把矩阵化成上三角（Schur），用酉等价化成对角（SVD）。本章回到一般的相似变换，回答第 01 章留下的问题：两个矩阵什么时候相似？不能对角化的矩阵"最简"能化成什么样？ 答案是 Jordan 标准形。对量化而言，Jordan 形的价值不在于计算（它数值上不稳定，实际中不应计算），而在于理解线性动态：VAR/AR 模型、差分方程、线性微分方程的解中为什么会出现 \(h\lambda^h\)、\(te^{\lambda t}\) 这样的项，单位根为什么有"\(I(1)\)"和"\(I(2)\)"之分，马尔可夫链何时收敛、收敛到什么。最小多项式和友矩阵则把 AR(\(p\)) 模型与矩阵理论直接连起来。

学习目标

读完本章，你应当能够：

1. 写出 Jordan 块与 Jordan 矩阵，陈述 Jordan 标准形定理，理解其存在性的"三步走"思路。
2. 用秩序列 \(\operatorname{rank}(A-\lambda I)^k\) 求 Weyr 特征与各阶 Jordan 块的个数，从而判定两个矩阵是否相似。
3. 用 Jordan 形分析 \(A^m\) 与 \(e^{At}\)：收敛 ⇔ \(\rho(A)<1\)，幂有界 ⇔ 单位圆上的特征值半单；理解 Jordan 块如何产生"驼峰型"脉冲响应与多项式增长。
4. 掌握最小多项式：可对角化 ⇔ 最小多项式无重根；会用友矩阵表示 AR(\(p\)) 过程并判断平稳性。
5. 了解 Jordan 分解（可对角化 + 幂零）、Drazin 逆与马尔可夫链长期分布的关系，以及实 Jordan 形中的振荡块。

读前导读

这一章在解决什么问题。 你在 CFA 里见过 AR(1)：\(y_t=\phi y_{t-1}+\varepsilon_t\)，\(|\phi|<1\) 就平稳，冲击按 \(\phi^h\) 衰减。多变量时（VAR、多因子利率模型、信用评级迁移矩阵），\(\phi\) 变成矩阵 \(A\)，冲击的 \(h\) 期影响变成 \(A^h\)。要看懂 \(A^h\) 怎么变化，最方便的办法是换一组坐标，让 \(A\) 变得尽量简单——这叫"相似变换" \(A=SJS^{-1}\)，于是 \(A^h=SJ^hS^{-1}\)。如果 \(A\) 能对角化，\(J\) 就是对角阵，每个方向各自按 \(\lambda^h\) 衰减，和标量 AR(1) 一模一样。麻烦在于有些矩阵不能对角化，这时最简单只能化到 Jordan 形：对角线上是特征值，紧挨着对角线上方还残留一些 1。这些 1 正是脉冲响应里 \(h\lambda^h\)（先升后降的"驼峰"）、\(I(2)\) 过程里线性增长的来源。本章就是讲：这种"最简形"一定存在、唯一，以及怎样不用真的算出它就能读出它的结构（秩序列、最小多项式）。

对你最有用的结论只有几条：\(A^h\to0\) 当且仅当所有特征值模小于 1（VAR 平稳条件）；单位圆上的特征值如果有大于 \(1\times1\) 的 Jordan 块，就会出现多项式增长；AR(\(p\)) 可以写成一个"友矩阵"的 VAR(1)，平稳性就变成友矩阵的特征值问题。其余大量定理是为这些结论服务的工具。

需要先想起来的数学。

• 特征值与特征向量：\(Av=\lambda v\)，即 \(A\) 作用在方向 \(v\) 上只是拉伸 \(\lambda\) 倍。例：\(A=\begin{bmatrix}2&0\\0&0.5\end{bmatrix}\)，\(e_1\) 方向拉伸 2 倍，\(e_2\) 方向压缩一半。\(\rho(A)\)（谱半径）是所有特征值模的最大值。见 第 00 册第 06 章 线性代数速成。
• 秩与零空间：\(\operatorname{rank}M\) 是 \(M\) 线性无关的列数；\(n-\operatorname{rank}M\) 是方程 \(Mx=0\) 解空间的维数。例：\(\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}\) 秩为 1，所以 \(Mx=0\) 只有一维解。本章反复用"\(n-\operatorname{rank}(A-\lambda I)\) = 特征值 \(\lambda\) 的独立特征向量个数"。
• 相似：\(B=S^{-1}AS\) 表示同一个线性映射在另一组基（坐标系）下的矩阵。相似矩阵有相同的特征值、秩、迹、行列式——就像同一笔现金流用美元或欧元记账，数字变了，经济实质没变。
• 多项式的整除与重根：\((t-1)^2\) 有重根 1，\((t-1)(t-2)\) 没有重根。"\(q\) 整除 \(p\)"写作 \(q\mid p\)，意思是 \(p=q\cdot h\)。
• 二项式定理与 \(e^x\) 的级数：\((a+b)^m=\sum_j\binom mj a^{m-j}b^j\)；\(e^{x}=\sum_j x^j/j!\)，矩阵指数 \(e^{At}\) 也用这个级数定义。见 第 00 册第 04 章 级数与收敛。

符号提示：\(\oplus\) 表示"直和"，即把几个方阵沿对角线拼成分块对角阵，其余位置补 0；\(M_n\) 表示全部 \(n\times n\) 复矩阵；\(\#\{\cdots\}\) 表示集合里元素的个数；\(\sim\) 表示"相似于"。

怎么读这一章。 核心必读：3.2（Jordan 块长什么样）、3.3.1 的定理陈述与 \(S\) 列的含义（证明可以只看思路）、3.3.2、3.4.1–3.4.2（秩序列怎么读出块结构）、3.5（为什么不能数值计算）、3.6.1（幂的收敛，全章最重要）、3.7.2 的推论 3.3.8、3.8（友矩阵与 AR(\(p\))），以及实战 1、3。第一遍可以跳过或只看结论：3.3.1 的归纳证明细节、3.4.3 的习题推论列表、3.6.3–3.6.4、3.6.7（选读）、3.8.3、3.9 中推论 3.4.1.7 之后的内容。建议顺序：先读 3.2 → 3.6.1 → 3.8 抓住"动态"主线，再回头读 3.3–3.4 理解结构从何而来。

3.1 相似分类问题

3.1.1 一个例子

原书 3.0 节的例子：

两者特征值都是四个 0，特征多项式、迹、行列式、秩（都是 2）全部相同。但 \(A^2=0\) 而 \(B^2\ne0\)，所以不相似（若 \(A=SBS^{-1}\)，则 \(A^2=SB^2S^{-1}\)）。可见第 01 章那些不变量不足以判断相似。

白话解释：把 \(A\) 想成一个"移位"操作。\(A\) 把 \(e_2\) 送到 \(e_1\)、\(e_4\) 送到 \(e_3\)，其余送到 0——两条长度为 2 的链 \(e_2\to e_1\to0\)、\(e_4\to e_3\to0\)，所以作用两次后全部归零。\(B\) 是一条长度为 3 的链 \(e_3\to e_2\to e_1\to0\) 加一个孤立的 \(e_4\to0\)，作用两次后 \(e_3\) 还剩 \(e_1\)。特征值、迹、行列式只看"对角线上有什么"，看不出"链有多长"。本章的全部工作，就是找到能刻画链长的不变量（秩序列）。

3.1.2 标准形的思路

对一个等价关系，标准形（canonical form） 是从每个等价类中挑出的一个代表，要求：(a) 每个类都有代表；(b) 不同代表互不等价。判断两个矩阵是否等价，就把它们都化成代表，看是否相同。前面已经见过两个例子：正规矩阵在酉相似下的标准形是对角阵（谱定理）；任意矩阵在酉等价下的标准形是奇异值对角阵（SVD）。

对一般相似：

• 上三角阵太大：同一相似类中有许多不同的上三角阵（Schur 形不唯一），不满足 (b)。
• 对角阵太小：有些相似类根本不含对角阵（如 \(\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}\)），不满足 (a)。

Jordan 矩阵恰好介于两者之间：每个复方阵都相似于一个 Jordan 矩阵；两个 Jordan 矩阵相似当且仅当它们的块相同（不计顺序）；而且在整个相似类中，没有矩阵的非零非对角元比 Jordan 形更少。

3.2 Jordan 块与 Jordan 矩阵

定义 3.1.1　Jordan 块 \(J_k(\lambda)\) 是 \(k\times k\) 上三角矩阵，对角线上是 \(k\) 个 \(\lambda\)，第一超对角线上是 \(k-1\) 个 1，其余为 0：

Jordan 矩阵是 Jordan 块的直和

块大小 \(n_i\) 和特征值 \(\lambda_i\) 都允许重复。

幂零 Jordan 块 \(N=J_k(0)\) 是"移位算子"：\(Ne_{i+1}=e_i\)，\(Ne_1=0\)。它的幂把 1 逐条往右上推：\(N^p\) 的第 \(p\) 条超对角线全为 1，其余为 0；\(N^p=0\)（\(p\ge k\)）。所以

还有一个技术性等式（引理 3.1.4）：\(J_k(0)^TJ_k(0)=\begin{bmatrix}0&0\\0&I_{k-1}\end{bmatrix}\)，于是 \([I-J_k(0)^TJ_k(0)]x=(x^Te_1)e_1\)，存在性证明要用它。

关于单个 Jordan 块的基本事实（3.1.P5）：\(J_k(\lambda)\) 的特征值 \(\lambda\) 代数重数为 \(k\)，几何重数为 1（特征空间只有 \(e_1\) 方向）。

白话解释：两个"重数"是本章最常用的词。代数重数是 \(\lambda\) 在特征多项式里作为根出现的次数（"账面上数到几个 \(\lambda\)"）；几何重数是 \(Ax=\lambda x\) 有几个线性无关的解（"实际找得到几个独立方向"）。以 \(J_2(\lambda)=\begin{bmatrix}\lambda&1\\0&\lambda\end{bmatrix}\) 为例：对角线上有两个 \(\lambda\)，代数重数 2；但 \((J_2(\lambda)-\lambda I)x=\begin{bmatrix}x_2\\0\end{bmatrix}=0\) 只要求 \(x_2=0\)，解只有 \(e_1\) 一个方向，几何重数 1。"账面"比"实际"多出来的部分，就是对角化失败的那部分。

3.3 Jordan 标准形定理

3.3.1 存在性：三步走

• 第 1 步（Schur，2.3.1）：任意复矩阵相似（甚至酉相似）于上三角阵，相同的特征值排在一起。
• 第 2 步（分块对角化，2.4.6.1）：用 Sylvester 方程把不同特征值之间的耦合消掉，相似于 \(T_{11}\oplus\cdots\oplus T_{dd}\)，每个 \(T_{ii}\) 上三角且对角元都等于 \(\lambda_i\)。
• 第 3 步（本节）：对角元全相等的上三角阵相似于 Jordan 矩阵。

第 3 步只需处理 \(T_{ii}-\lambda_iI\)，即严格上三角（幂零）矩阵。

定理 3.1.5　严格上三角的 \(A\in M_n\) 相似于 \(J_{n_1}(0)\oplus\cdots\oplus J_{n_m}(0)\)，\(n_1\ge\cdots\ge n_m\ge1\)。\(A\) 实时相似变换可取实。

证明思路（对 \(n\) 归纳）　写 \(A=\begin{bmatrix}0&a^T\\0&A_1\end{bmatrix}\)，由归纳假设把 \(A_1\) 化为 Jordan 形 \(J_{k_1}\oplus J\)（\(J_{k_1}\) 是最大块）。于是 \(A\) 相似于

利用 \((I-J^T_{k_1}J_{k_1})x=(x^Te_1)e_1\) 做一次相似，把 \(a_1^T\) 化成只剩第一个分量 \((a_1^Te_1)e_1^T\)。分两种情况：

• 若 \(a_1^Te_1\ne0\)，缩放后左上角变成 \(J_{k_1+1}(0)\)（第一行接上了最大块），剩下的右上耦合 \(e_1a_2^T\) 可以借助 \(\tilde Je_{i+1}=e_i\) 一步步往下推，因为 \(J^{k_1}=0\)，至多 \(k_1\) 步后消失。结果 \(A\sim J_{k_1+1}(0)\oplus J\)。
• 若 \(a_1^Te_1=0\)，把 \(J_{k_1}\) 置换到最前面，剩下一个更小的严格上三角矩阵，用归纳假设。∎

这个证明本质上是一个算法（原书说明它遵循 Fletcher–Sorensen 的算法推导），但见 3.5 节的数值警告。

定理 3.1.11（Jordan 标准形定理）　对任意 \(A\in M_n\)，存在非奇异 \(S\) 使

Jordan 矩阵 \(J_A\) 在块的排列意义下由 \(A\) 唯一决定，称为 \(A\) 的 Jordan 标准形。若 \(A\) 实且特征值全实，\(S\) 可取实。

\(S\) 的列有清楚的意义：对一个块 \(J_k(\lambda)\)，对应的 \(k\) 列 \(s_1,\dots,s_k\) 满足

\(s_1\) 是特征向量，其余是一条"广义特征向量链"。

推导拆解：这组链式方程直接来自 \(AS=SJ\)（把 \(A=SJS^{-1}\) 两边右乘 \(S\)）。看 \(SJ\) 的第 \(j\) 列：\(J_k(\lambda)\) 的第 1 列是 \(\lambda e_1\)，所以 \(As_1=\lambda s_1\)；第 \(j\ge2\) 列是 \(e_{j-1}+\lambda e_j\)，所以 \(As_j=s_{j-1}+\lambda s_j\)，移项即 \((A-\lambda I)s_j=s_{j-1}\)。反复作用得 \((A-\lambda I)^js_j=0\)：\(s_j\) 不是特征向量，但被 \((A-\lambda I)\) 作用 \(j\) 次后归零，所以叫"广义"特征向量。 以 \(2\times2\) 为例：\(A=\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}\)，\(s_1=e_1\) 是特征向量，\(s_2=e_2\) 满足 \((A-I)e_2=e_1\)。在动态 \(x_{h+1}=Ax_h\) 里，从 \(s_2\) 出发的状态每一期都"漏"一点到 \(s_1\) 方向，漏的量逐期累积，这就是 \(h\lambda^{h-1}\) 项的来源（见 3.6.1）。

3.3.2 Jordan 矩阵的结构读法

对 \(J=J_{n_1}(\lambda_1)\oplus\cdots\oplus J_{n_k}(\lambda_k)\)（3.2.1 节）：

1. 块数 \(k\) = 线性无关特征向量的最大个数；\(J\) 可对角化 ⇔ 所有块都是 \(1\times1\)。
2. 特征值 \(\lambda\) 的块数 = 几何重数；块大小之和 = 代数重数。所以几何重数 ≤ 代数重数（3.2.6），相等时称 \(\lambda\) 半单（semisimple），即其 Jordan 块都是 \(1\times1\)。
3. 特征值 \(\lambda\) 的最大块阶数称为 \(\lambda\) 的指标（index）。

3.4 唯一性：秩序列、Weyr 特征与 Segre 特征

3.4.1 秩序列决定一切

唯一性的证明用到两个事实：相似矩阵同时减去同一个 \(\lambda I\) 仍相似；秩是相似不变量。若 \(A=SJS^{-1}\)，则 \((A-\lambda I)^k\sim(J-\lambda I)^k\)。把 \(J\) 中特征值为 \(\lambda\) 的块记作 \(J_{m_1}(\lambda),\dots,J_{m_p}(\lambda)\)，其余块减去 \(\lambda I\) 后可逆，贡献固定的秩 \(m=n-\sum m_i\)：

定义秩序列与 Weyr 特征：

由 \(\operatorname{rank}J_\ell(0)^{k-1}-\operatorname{rank}J_\ell(0)^k=1\)（\(k\le\ell\)）或 \(0\)（\(k>\ell\)），得到

于是：

• \(w_1\) = 块数 = 几何重数；
• \(w_k-w_{k+1}\) = 阶数恰为 \(k\) 的块数；等价地 \(r_{k-1}-2r_k+r_{k+1}\)（3.1.P7）；
• \(w_1\ge w_2\ge\cdots\)；\(\lambda\) 的指标 \(q\) 是使 \(r_k=r_{k+1}\) 的最小 \(k\)；\(w_1+\cdots+w_q\) = 代数重数。

推导拆解：为什么 \(w_k\) 恰好数出"阶数 \(\ge k\) 的块"？ 第 1 步，由 3.2 节 \(\operatorname{rank}J_\ell(0)^k=\max\{\ell-k,0\}\)：每作用一次，长度为 \(\ell\) 的链就"缩短"一格，秩减 1，直到减到 0 不再变。 第 2 步，\(w_k=r_{k-1}-r_k\) 是第 \(k\) 次作用时秩减少的总量。公式里与 \(\lambda\) 无关的常数 \(m\) 在相减时抵消。 第 3 步，一个长度为 \(\ell\) 的块在第 \(k\) 次作用时秩减 1 当且仅当 \(\ell\ge k\)（链还没缩没），否则减 0。所以总减少量 = 长度 \(\ge k\) 的块的个数。 小例子：\(J_2(0)\oplus J_1(0)\)，\(r_0=3,r_1=1,r_2=0\)，所以 \(w_1=2\)（两个块）、\(w_2=1\)（一个块长度 \(\ge2\)），\(w_1-w_2=1\) 个 \(1\times1\) 块，\(w_2-w_3=1\) 个 \(2\times2\) 块。

引理 3.1.18　\(A,B\) 相似 ⇔ 它们的不同特征值相同，且对每个特征值 \(\lambda\) 和每个 \(k\)，\(w_k(A,\lambda)=w_k(B,\lambda)\)（等价地，\(\operatorname{rank}(A-\lambda I)^k=\operatorname{rank}(B-\lambda I)^k\)，3.1.P28）。

3.4.2 例子

原书例 (3.1.16a)：\(J=J_3(0)\oplus J_3(0)\oplus J_2(0)\oplus J_2(0)\oplus J_2(0)\oplus J_1(0)\)，\(n=13\)。

读法：\(w_1=6\) 个块；\(w_1-w_2=1\) 个 \(1\times1\) 块，\(w_2-w_3=3\) 个 \(2\times2\) 块，\(w_3-w_4=2\) 个 \(3\times3\) 块。

Segre 特征是块大小的降序列表：上例为 \(3,3,2,2,2,1\)。Weyr 特征 \(6,5,2\) 与 Segre 特征 \(3,3,2,2,2,1\) 是同一个整数 13 的共轭分拆：画一个点图（Young 图），第 \(k\) 行放 \(w_k\) 个点，则各列的长度就是 Segre 特征（3.1.P11）。

w1 = 6:  ● ● ● ● ● ●
w2 = 5:  ● ● ● ● ●
w3 = 2:  ● ●
列长:    3 3 2 2 2 1   ← Segre 特征

回到 (3.0.0)：\(A\) 的 Jordan 形是 \(J_2(0)\oplus J_2(0)\)（\(r_1=2,r_2=0\)），\(B\) 是 \(J_3(0)\oplus J_1(0)\)（\(r_1=2,r_2=1,r_3=0\)）。\(r_2\) 不同，所以不相似。

3.4.3 几个推论（3.1 节习题）

• 3.1.P8：\(A^2=0\)、秩 \(r\) ⇒ Jordan 形为 \(J_2(0)^{\oplus r}\oplus0_{n-2r}\)。
• 3.1.P9：\(J_n(0)^2\) 的 Jordan 形：\(n=2m\) 时为 \(J_m(0)\oplus J_m(0)\)，\(n=2m+1\) 时为 \(J_{m+1}(0)\oplus J_m(0)\)。（平方会把一个幂零块"劈开"。）
• 3.1.P14：\(A\) 与 \(A^T\) 相似（Weyr 特征相同）。
• 3.1.P15：秩一矩阵 \(xy^*\) 的 Jordan 形：\(y^*x\ne0\) 时为 \([y^*x]\oplus0_{n-1}\)，\(y^*x=0\) 时为 \(J_2(0)\oplus0_{n-2}\)。秩一矩阵可对角化 ⇔ 迹非零。
• 3.1.P16：\(\lambda\ne0\) 时 \(J_k(\lambda)^{-1}\) 的 Jordan 形是 \(J_k(\lambda^{-1})\)。
• 3.1.P4：\(A\) 相似于 \(cA\)（某个 \(|c|\ne1\)）⇒ \(A\) 幂零；幂零矩阵对所有 \(c\ne0\) 都相似于 \(cA\)。
• 3.1.P21：不可约上 Hessenberg 矩阵每个特征值几何重数为 1；因此 Hermite 三对角矩阵（次对角元非零）的特征值互异。
• 3.1.P25：\(A\) 可对角化 ⇔ 对每个特征值，\((A-\lambda I)^2x=0\Rightarrow(A-\lambda I)x=0\)。
• 3.1.P19（Heisenberg 群）：矩阵 \(A_{x,y,t}=\begin{bmatrix}1&x^T&t\\0&I_n&y\\0&0&1\end{bmatrix}\) 构成群，其 Jordan 形按 \(x^Ty\ne0\) 等情形分为 \(J_3(1)\oplus I_{n-1}\)、\(J_2(1)\oplus J_2(1)\oplus I_{n-2}\)、\(J_2(1)\oplus I_n\)、\(I_{n+2}\)，且总与其逆相似。注意：原书把乘法律印作 \(A_{x,y,t}A_{\xi,\eta,\tau}=A_{x+\xi,y+\eta,t+\tau}\)，按矩阵乘法直接计算，右上角应为 \(t+\tau+x^T\eta\)，即 \(A_{x,y,t}A_{\xi,\eta,\tau}=A_{x+\xi,\,y+\eta,\,t+\tau+x^T\eta}\)。这不影响"构成群"的结论。

3.5 数值警告：Jordan 形不能用浮点数计算

上面的推导是一个显式算法，但原书明确提醒它不适合在软件中计算。例：

\(\epsilon\ne0\) 时 Jordan 形是对角阵；\(\epsilon\to0\) 时它趋于 \(J_1(0)\oplus J_1(0)=0\)，但 \(A_\epsilon\to A_0=\begin{bmatrix}0&0\\1&0\end{bmatrix}\)，后者的 Jordan 形是 \(J_2(0)\)。元素的微小变化导致 Jordan 形突变，相似变换 \(S_\epsilon\) 也趋于奇异。根源是秩不是元素的连续函数，而 Jordan 结构完全由秩决定。

实践原则：需要非对称矩阵的结构信息时，用 Schur 分解（酉变换，稳定）；Jordan 形只用于理论分析。 实战 2 会定量展示两者的差别。

金融直觉：这和"用估计出的 VAR 系数判断是否有重根"是同一个问题。你从数据估出的 \(\hat A\) 带抽样误差，两个真实相等的特征值几乎一定被估成两个略有差别的数，于是 \(\hat A\)"可以对角化"——但对角化所需的特征向量矩阵 \(S\) 几乎奇异，条件数巨大（实战 1 中达到 \(4\times10^8\)）。用这样的 \(S\) 去分解脉冲响应，结果对误差极度敏感。所以实务上不问"Jordan 形是什么"，而是问"\(\|A^h\|\) 如何随 \(h\) 变化"，后者是稳定的。

推论 3.1.21（\(\epsilon\)-Jordan 形）　对任意 \(\epsilon\ne0\)，\(A\) 相似于把 Jordan 形超对角线上的 1 换成 \(\epsilon\) 的矩阵（用 \(\operatorname{diag}(1,\epsilon,\epsilon^2,\dots)\) 做相似）。这在理论上很有用：它说明可以找到一个基，使 \(A\) "几乎是对角的"；原书第 5 章用同类的对角缩放技巧构造使 \(\|A\|\) 任意接近 \(\rho(A)\) 的矩阵范数。代价是 \(\epsilon\to0\) 时相似矩阵的条件数趋于无穷。

3.6 Jordan 形的推论

3.6.1 矩阵幂：收敛与幂有界

这是对量化最重要的推论。\(A^m=SJ^mS^{-1}\)，只需看单个 Jordan 块。由二项式定理和 \(N=J_k(0)\) 的幂零性（\(N^k=0\)），

即 \(J_k(\lambda)^m\) 是上三角 Toeplitz 矩阵，第 \(j\) 条超对角线上是 \(\binom mj\lambda^{m-j}\)。例如

• 若 \(0<|\lambda|<1\)：\(|\binom mj\lambda^{m-j}|\le\frac{m^j|\lambda|^m}{j!|\lambda|^j}\to0\)（指数衰减压过多项式增长）。
• 若 \(|\lambda|=1\) 且 \(k\ge2\)：超对角元 \(m\lambda^{m-1}\) 的模为 \(m\)，无界。

推导拆解：为什么能用二项式定理？二项式定理 \((a+b)^m=\sum\binom mj a^{m-j}b^j\) 对矩阵成立的前提是 \(a,b\) 可交换（\(ab=ba\)）。这里 \(a=\lambda I\) 是纯量矩阵，与任何矩阵交换，所以可以用。又因为 \(N^j=0\)（\(j\ge k\)），求和到 \(j=k-1\) 就截断。 以 \(J_2(\lambda)\) 为例逐项写出：\(J_2(\lambda)^m=\lambda^mI+m\lambda^{m-1}N\)，即 \(\begin{bmatrix}\lambda^m&m\lambda^{m-1}\\0&\lambda^m\end{bmatrix}\)。取 \(\lambda=0.8\)：\(m=1,2,3,4,5\) 时右上元为 \(1,\ 1.6,\ 1.92,\ 2.048,\ 2.048\)，然后才开始下降。指数衰减最终总会赢过多项式增长，但在赢之前有一段"放大期"。 上面不等式的来源：\(\binom mj=\frac{m(m-1)\cdots(m-j+1)}{j!}\le\frac{m^j}{j!}\)，再拆 \(|\lambda|^{m-j}=|\lambda|^m/|\lambda|^j\)。\(m^j|\lambda|^m\to0\) 是"多项式乘以几何衰减趋于 0"，可用 \(\ln(m^j|\lambda|^m)=j\ln m+m\ln|\lambda|\to-\infty\) 看出（\(\ln m\) 的增长远慢于 \(m\)）。

定理 3.2.5.2　(a) \(A\) 收敛（\(A^m\to0\)）⇔ \(\rho(A)<1\)；(b) \(A\) 幂有界（\(\{A^m\}\) 有界）⇔ \(\rho(A)\le1\)，且模为 1 的特征值都半单（对应 Jordan 块都是 \(1\times1\)）。

半收敛（3.2.P37）　\(\lim_{k\to\infty}A^k\) 存在 ⇔ \(\rho(A)\le1\)，且单位圆上只能有特征值 1，且 1 半单。此时

\((I-A)^D\) 是 Drazin 逆（3.6.6 节）。马尔可夫转移矩阵 \(P\) 正是这种情形（特征值 1 半单）：极限矩阵的每一行都是长期分布。

白话解释：三种情况对应三种长期行为。收敛：所有模态都衰减，冲击最终消失（平稳 VAR）。半收敛：特征值 1 的模态原样保留、其余衰减，系统停在一个依赖初值的稳态上（马尔可夫链收敛到长期分布；评级迁移最终全部落入违约吸收态）。幂有界但不收敛：单位圆上还有 \(-1\) 或复特征值 \(e^{i\theta}\)，系统永远振荡或旋转，不爆炸也不收敛（实战 3 中的周期链）。三种情况共同的"禁区"是：单位圆上的特征值带有 \(2\times2\) 以上的 Jordan 块，那会导致多项式增长。

量化翻译：

• VAR(1) \(x_{t+1}=Ax_t+\varepsilon_t\) 平稳 ⇔ \(\rho(A)<1\)。\(h\) 期脉冲响应 \(A^h\) 中，若某个特征值 \(\lambda\) 有 \(k\times k\) Jordan 块，就会出现 \(h\lambda^h,\ h^2\lambda^h,\dots,h^{k-1}\lambda^h\) 型的项——驼峰型（hump-shaped）响应：先升后降。重根 AR(2) 的脉冲响应恰为 \((h+1)r^h\)（实战 1）。
• 单位根：特征值 1 半单（\(1\times1\) 块）时，\(A^h\) 有界，对应 \(I(1)\) 随机游走式的"持久但不爆炸"；若特征值 1 有 \(J_2(1)\) 块，\(A^h\) 中出现 \(h\) 的线性增长，对应 \(I(2)\) 过程（如"价格的变化量本身是随机游走"）。积分阶数在矩阵层面就是单位根的 Jordan 块大小。
• 协整分析（Johansen 检验）关心 \(\Pi=A-I\) 的秩，正是特征值 1 的几何重数问题：\(\operatorname{rank}\Pi=n-\#\{\text{特征值 1 的 Jordan 块}\}\)。详见第 06 册。

3.6.2 线性微分方程组

初值问题 \(x'(t)=Ax(t)\)，\(x(0)=x_0\) 的解是 \(x(t)=e^{At}x_0\)。令 \(A=SJS^{-1}\)、\(y=S^{-1}x\)，不同 Jordan 块互不耦合。对单块 \(J_m(\lambda)\)，\(y_i'=\lambda y_i+y_{i+1}\)，自下而上解得

结论（3.2.2）：解的每个分量形如

\(p_i\) 是多项式，次数严格小于 \(\lambda_i\) 的指标。实特征值给出指数项，复特征值 \(a\pm ib\) 给出 \(e^{at}\cos bt\)、\(e^{at}\sin bt\) 型振荡。

量化翻译：多因子 Ornstein–Uhlenbeck 或仿射利率模型 \(dx=A(x-\theta)dt+\Sigma dW\) 的均值路径就是 \(e^{At}\)。特征值实部决定均值回复速度，虚部带来周期性；若均值回复矩阵有 \(J_2(-\kappa)\) 块（"临界阻尼"），条件均值中出现 \(te^{-\kappa t}\)：一个因子的偏离先把另一个因子推离均值，之后才一起回归。

原书 3.3.P27 还指出：\(n\) 阶常系数线性 ODE \(y^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+\cdots+a_0y=0\) 化为一阶系统后，系数矩阵的转置正是友矩阵（3.8 节）。

3.6.3 矩阵与其转置相似，任何矩阵是两个对称矩阵之积

反序矩阵 \(K_m\)（反对角线全 1）满足 \(K_mJ_m(\lambda)K_m=J_m(\lambda)^T\)。拼起来得：

定理 3.2.3.1　对任意 \(A\)，存在非奇异对称矩阵 \(S\) 使 \(A^T=SAS^{-1}\)。

定理 3.2.3.2　每个复方阵都是两个复对称矩阵之积，且可任选其中一个非奇异。实方阵经实对称矩阵相似于其转置。

3.6.4 交换与非减次矩阵

\(p(A)\) 总与 \(A\) 交换。反过来，与 \(A\) 交换的矩阵是否都是 \(A\) 的多项式？对 \(A=I\) 显然不是（\(I\) 与一切矩阵交换，而 \(p(I)\) 只能是纯量矩阵）。关键在于 \(A\) 是否"足够一般"。

定义 3.2.4.1　\(A\) 称为非减次（nonderogatory），若每个特征值的几何重数都是 1，即每个不同特征值在 Jordan 形中只有一个块。例：特征值互异的矩阵；相似于单个 Jordan 块的矩阵。

与单个 Jordan 块 \(J_m(\lambda)\) 交换的矩阵恰好是上三角 Toeplitz 矩阵，也就是 \(J_m(0)\) 的多项式。由此：

定理 3.2.4.2　若 \(A\) 非减次，\(B\) 与 \(A\) 交换，则存在次数 \(\le n-1\) 的多项式 \(p\) 使 \(B=p(A)\)。反之亦然（3.2.P2）。

3.6.5 Jordan 分解：可对角化 + 幂零

每个 Jordan 块 \(J_k(\lambda)=\lambda I+J_k(0)\)。把 Jordan 形拆成对角部分 \(D\) 和幂零部分 \(N\)，得

\(A_D\) 可对角化，\(A_N\) 幂零，且 \(A_DA_N=A_NA_D\)。这叫 Jordan 分解。它是唯一的（3.2.P18）：若 \(A=B+C\)，\(BC=CB\)，\(B\) 可对角化、\(C\) 幂零，则 \(B=A_D\)、\(C=A_N\)。\(A_D,A_N\) 都是 \(A\) 的多项式。

用途：\(e^{At}=e^{A_Dt}e^{A_Nt}\)（因为交换），而 \(e^{A_Nt}=\sum_{j<k}\frac{t^j}{j!}A_N^j\) 是有限和——这就是 3.6.2 中多项式因子的来源。

3.6.6 Drazin 逆

满足 \(AXA=A\) 的 \(X\) 称为广义逆。除了第 02b 章基于 SVD 的 Moore–Penrose 伪逆，还有一种基于 Jordan 结构的广义逆。

定义 3.2.12.1　把 \(A\) 写成 \(A=S\begin{bmatrix}B&0\\0&N\end{bmatrix}S^{-1}\)，\(B\) 非奇异（所有非零特征值的块），\(N\) 幂零（零特征值的块）。Drazin 逆

它与 \(S\) 的选取无关。设 \(q\) 为零特征值的指标，\(A^D\) 是满足以下三条的唯一矩阵：

性质：\(A\) 可逆时 \(A^D=A^{-1}\)；\(Ax=\lambda x\)（\(\lambda\ne0\)）⇒ \(A^Dx=\lambda^{-1}x\)；\(A^D\) 是 \(A\) 的多项式；\(AA^D\) 与 \(I-AA^D\) 是互补投影（3.2.P22）；\(A^D=\lim_{t\to0}(A^{k+1}+tI)^{-1}A^k\)（\(k\ge q\)，3.2.P23）。

白话解释：Drazin 逆的做法是"能逆的部分照常求逆，逆不了的部分（零特征值那一块）直接置零"。为什么这样定义有用？以马尔可夫链为例，\(I-P\) 在长期分布方向上是 0（因为 \(\pi P=\pi\)），不可逆；但在其余"会衰减的"方向上可逆。\((I-P)^D\) 只在衰减方向上求逆，相当于把 \(\sum_{k\ge0}(P^k-P^\infty)\) 这类"偏离稳态的累计量"加总起来——平均首达时间、期望违约年数这类量正是这样的累计量。\(I-(I-P)(I-P)^D\) 则是把衰减部分全部剔除后剩下的投影，即长期分布。

与伪逆的区别：伪逆关心正交结构（range 与 kernel 的正交补），Drazin 逆关心动力学结构（特征值的 Jordan 分解）。马尔可夫链的长期分布、平均首达时间、"基本矩阵"都用 \(I-P\) 的 Drazin 逆（指标为 1 时也称群逆）表达。

3.6.7 其他推论（选读）

• \(AB\) 与 \(BA\)（3.2.11.1）：对每个非零特征值，\(AB\) 与 \(BA\) 的 Jordan 结构完全相同；零特征值的结构可以不同（3.2.P21 给出 \(J_3(0)\) 与 \(J_2(0)\oplus J_1(0)\) 的例子）。第 01 章的高维 PCA 对偶技巧在 Jordan 层面也成立。
• 秩一扰动的 Jordan 形（3.2.13.1）：若特征值 \(\lambda\) 有非正交的左右特征向量 \(x,y\)（\(y^*x\ne0\)），则 \(A+xv^*\) 把 \(\lambda\) 移到 \(\lambda+v^*x\)，其余 Jordan 结构完全不变。3.2.P28 的 Google 矩阵 \(cA+(1-c)\lambda xv^*\) 把其余特征值整体乘以 \(c\)，块结构不变。
• 最优性（3.2.9.5）：在一个相似类中，Jordan 形的非零非对角元个数最少（为 \(n\) 减块数）。证明借助"岛与桥"的图论论证：置换相似下不可分解的 \(m\times m\) 矩阵至少有 \(m-1\) 个非零非对角元。
• 块上三角的指标（3.2.10.1）：块上三角矩阵中特征值 \(\lambda\) 的指标不超过各对角块中指标之和。
• 伴随矩阵的 Jordan 形（3.2.P9–P12）、相似的消去律（3.2.P13–P15）：\(A\oplus B\sim A\oplus C\iff B\sim C\)。

3.7 最小多项式

3.7.1 定义与基本性质

若 \(p(A)=0\)，称多项式 \(p\) 零化（annihilate） \(A\)。Cayley–Hamilton 说特征多项式零化 \(A\)，但可能有次数更低的。

定理 3.3.1　存在唯一的次数最低的首一零化多项式 \(q_A\)，称为最小多项式（minimal polynomial）；任何零化多项式都被 \(q_A\) 整除。

证明用带余除法：\(p=q_Ah+r\)，\(\deg r<\deg q_A\)，代入 \(A\) 得 \(r(A)=0\)，由最小性 \(r=0\)。

推论 3.3.3–3.3.4　相似矩阵有相同的最小多项式；\(q_A\mid p_A\)；\(q_A\) 的根恰好是 \(A\) 的全部特征值。因此若 \(p_A(t)=\prod(t-\lambda_i)^{s_i}\)，则 \(q_A(t)=\prod(t-\lambda_i)^{r_i}\)，\(1\le r_i\le s_i\)。

最小多项式不是完全的相似不变量：\(J_2(0)\oplus J_2(0)\) 与 \(J_2(0)\oplus0_2\) 的最小多项式都是 \(t^2\)、特征多项式都是 \(t^4\)，但不相似。（3.3.P1：\(3\times3\) 幂零矩阵恰好由最小多项式区分，\(4\times4\) 就不行了。）

3.7.2 与 Jordan 形的关系

定理 3.3.6　\(q_A(t)=\prod_{i=1}^d(t-\lambda_i)^{r_i}\)，\(r_i\) 是 \(\lambda_i\) 的指标（最大 Jordan 块的阶）。

理由：\(J_k(\lambda)\) 被 \((t-\lambda)^k\) 零化但不被更低次幂零化；直和的零化多项式要同时零化每个块，所以取各特征值的最大块。

推论 3.3.8（可对角化的实用判据）　设 \(A\) 的不同特征值为 \(\lambda_1,\dots,\lambda_d\)，令 \(q(t)=(t-\lambda_1)\cdots(t-\lambda_d)\)。则

原书强调这个判据在已知不同特征值时确实实用：不需要求任何特征向量，只要算一个矩阵乘积。

推导拆解：为什么 \(q(A)=0\) 就等价于可对角化？换到 Jordan 坐标下看单个块 \(J_k(\lambda_i)\)。\(q(J)\) 里只有因子 \((J-\lambda_iI)\) 在这个块上是幂零的 \(N\)，其他因子 \((J-\lambda_jI)\)（\(j\ne i\)）在这个块上都是可逆的（对角元 \(\lambda_i-\lambda_j\ne0\)）。可逆矩阵乘 \(N\) 等于 0 当且仅当 \(N=0\)，即 \(k=1\)。所以 \(q(A)=0\) ⇔ 每个块都是 \(1\times1\) ⇔ 可对角化。 数值例：\(A=\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}\)，唯一特征值 1，\(q(t)=t-1\)，\(q(A)=\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}\ne0\)，不可对角化；\(A=\begin{bmatrix}1&1\\0&2\end{bmatrix}\)，\(q(A)=(A-I)(A-2I)=\begin{bmatrix}0&1\\0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}-1&1\\0&0\end{bmatrix}=0\)，可对角化。

推论 3.3.10　以下等价：\(q_A\) 是互异一次因子之积；每个特征值都是 \(q_A\) 的单根；\(A\) 可对角化。

由此立得一批"可对角化"结论（3.3.P3、3.2.P7）：幂等矩阵（\(A^2=A\)，最小多项式整除 \(t(t-1)\)）、对合矩阵（\(A^2=I\)）、\(A^3=A\)、\(A^k=I\) 的矩阵都可对角化。OLS 的帽子矩阵 \(H\) 是幂等的，所以可对角化，特征值只有 0 和 1。

求最小多项式的算法：(1) 求特征值及代数重数；(2) 对每个 \(\lambda_i\)，\(r_i\) 是使 \(\operatorname{rank}(A-\lambda_iI)^k=\operatorname{rank}(A-\lambda_iI)^{k+1}\) 的最小 \(k\)（3.3.P2）。原书 3.3.P5 还给出不需要特征值的算法：把 \(I,A,A^2,\dots\) 拉直成向量依次做 Gram–Schmidt，第一次出现线性相关时的组合系数就是最小多项式的系数。例（3.3.P6）：\(\begin{bmatrix}1&1\\0&2\end{bmatrix}\)、\(\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}\)、\(I_2\) 的最小多项式分别是 \((t-1)(t-2)\)、\((t-1)^2\)、\(t-1\)。

其他结论：直和的最小多项式是各块最小多项式的最小公倍式（3.3.P8）；\(\deg q_A\le\operatorname{rank}A+1\)（3.3.P22）；秩一矩阵的最小多项式是 \(t(t-\operatorname{tr}A)\)（3.3.P35）；\(\{p(A)\}\) 构成的代数维数等于 \(\deg q_A\)（3.3.P15）。例（3.3.P9）：\(5\times5\) 矩阵 \(p_A=(t-4)^3(t+6)^2\)、\(q_A=(t-4)^2(t+6)\)，则 Jordan 形为 \(J_2(4)\oplus J_1(4)\oplus J_1(-6)\oplus J_1(-6)\)。

3.8 友矩阵与 AR(\(p\)) 模型

3.8.1 友矩阵

反问题：给定首一多项式

是否有矩阵以它为最小多项式？原书构造

\(C(p)e_k=e_{k+1}\)（\(k<n\)），即 \(e_k=C^{k-1}e_1\)，而 \(Ce_n=-\sum a_ie_{i+1}\) 正好给出 \(p(C)e_1=0\)，进而 \(p(C)e_k=C^{k-1}p(C)e_1=0\)。更低次的首一多项式 \(q\) 若零化 \(C\)，则 \(q(C)e_1=e_{m+1}+\cdots=0\)，与 \(e_1,\dots,e_{m+1}\) 线性无关矛盾。

定理 3.3.14　每个首一多项式既是其友矩阵（companion matrix） 的最小多项式，也是特征多项式。

定理 3.3.15　以下等价：(a) \(\deg q_A=n\)；(b) \(p_A=q_A\)；(c) \(A\) 非减次；(d) \(A\) 相似于 \(p_A\) 的友矩阵。特别地，友矩阵总是非减次的：每个特征值只有一个 Jordan 块。所以友矩阵可对角化 ⇔ 特征值互异（3.3.P23）。

友矩阵还有转置、反序等几种等价写法（3.3.P11），它们彼此相似。

3.8.2 AR(\(p\)) 的状态空间形式

AR(\(p\)) 过程 \(y_t=\phi_1y_{t-1}+\cdots+\phi_py_{t-p}+\varepsilon_t\) 取状态 \(s_t=(y_t,y_{t-1},\dots,y_{t-p+1})^T\)，写成一阶系统

\(\Phi\) 是多项式 \(t^p-\phi_1t^{p-1}-\cdots-\phi_p\) 的友矩阵的一种形式（与 (3.3.12) 相差转置和反序，相似）。于是：

• 平稳 ⇔ \(\rho(\Phi)<1\) ⇔ \(t^p-\phi_1t^{p-1}-\cdots-\phi_p\) 的根都在单位圆内（等价于时间序列教材里"\(1-\phi_1z-\cdots-\phi_pz^p\) 的根都在单位圆外"）。
• \(\Phi\) 非减次：重根一定对应一个大 Jordan 块，不可能是"重根但可对角化"。所以 AR(\(p\)) 只要有重特征根，脉冲响应里就一定有 \(h\lambda^h\) 项。
• 脉冲响应 \(\psi_h=e_1^T\Phi^he_1\)；\(h\) 步预测 \(E_ts_{t+h}=\Phi^hs_t\)。

推导拆解：以 AR(2) \(y_t=\phi_1y_{t-1}+\phi_2y_{t-2}+\varepsilon_t\) 为例逐行验证。状态 \(s_t=(y_t,y_{t-1})^T\)，\(\Phi=\begin{bmatrix}\phi_1&\phi_2\\1&0\end{bmatrix}\)。第一行：\(y_t=\phi_1y_{t-1}+\phi_2y_{t-2}+\varepsilon_t\)，就是模型本身；第二行：\(y_{t-1}=y_{t-1}\)，只是把旧值"往下挪一格"存起来。特征多项式 \(\det(tI-\Phi)=t^2-\phi_1t-\phi_2\)。 代入实战 1 的重根情形 \(\phi_1=1.6,\phi_2=-0.64\)：\(t^2-1.6t+0.64=(t-0.8)^2\)，重根 0.8。由于第二行那个固定的 1，\(\Phi-0.8I=\begin{bmatrix}0.8&-0.64\\1&-0.8\end{bmatrix}\ne0\)，秩为 1，几何重数只有 1，必然是 \(J_2(0.8)\)——这就是"友矩阵非减次"在 AR(2) 上的样子。 两种"根在单位圆内/外"的说法互为倒数关系：\(z\) 是 \(1-\phi_1z-\phi_2z^2\) 的根 ⇔ \(t=1/z\) 是 \(t^2-\phi_1t-\phi_2\) 的根。

VAR(\(p\)) 同理，状态矩阵是分块友矩阵。

3.8.3 友矩阵的奇异值与根的界

任意 \(n\) 个复数都可以是友矩阵的特征值，但奇异值受严格限制（3.3.P13）：对 (3.3.12) 型友矩阵，记 \(s=|a_0|^2+|a_1|^2+\cdots+|a_{n-1}|^2\)，则 \(\sigma_2=\cdots=\sigma_{n-1}=1\)，且

对友矩阵用 Schur 不等式 \(\sum|\lambda_i|^2\le\|C\|_F^2=(n-1)+s\)，得到多项式根的界（3.3.P33）：

有理标准形（了解，3.3.P32）：把 Jordan 块按"每轮每个特征值取一个最大块"重新组合，每组对应一个友矩阵，得到 \(A\sim C_1\oplus\cdots\oplus C_r\)，各友矩阵的多项式 \(p_1,\dots,p_r\)（不变因子）满足 \(p_{j+1}\mid p_j\)，\(p_1=q_A\)，\(p_1\cdots p_r=p_A\)。它的好处是只需有理运算、不需求特征值，对任意域成立。

3.9 实 Jordan 标准形

实矩阵的非实特征值成共轭对出现。由于 \(\operatorname{rank}(A-\lambda I)^k=\operatorname{rank}\overline{(A-\lambda I)^k}=\operatorname{rank}(A-\bar\lambda I)^k\)，共轭特征值的 Weyr 特征相同：非实特征值的 Jordan 块以同样大小的共轭对出现。

一对 \(J_k(\lambda)\oplus J_k(\bar\lambda)\) 经置换相似变成以 \(D(\lambda)=\operatorname{diag}(\lambda,\bar\lambda)\) 为对角块、\(I_2\) 为超对角块的块双对角阵；再用

逐块相似，得到实的块矩阵

定理 3.4.1.5（实 Jordan 标准形）　每个 \(A\in M_n(\mathbf R)\) 经实相似相似于

\(a_k+ib_k\)（\(b_k>0\)）是非实特征值，\(\mu_j\) 是实特征值。证明：在 \(\mathbf C\) 上相似已经得到，再用"两个实矩阵复相似则实相似"（原书定理 1.3.29，见第 01 章）。

推论 3.4.1.10　实可对角化矩阵经实相似化为 \(C(a_j,b_j)\) 块与实 \(1\times1\) 块的直和。这正是实系数线性系统 \(x_{t+1}=Ax_t\) 中振荡模态的标准表示：\(C(a,b)=r\begin{bmatrix}\cos\theta&\sin\theta\\-\sin\theta&\cos\theta\end{bmatrix}\)，每期乘 \(r=|\lambda|\)、转 \(\theta=\arg\lambda\)，伪周期 \(2\pi/\theta\)。

金融直觉：复特征值听上去抽象，在实数世界里它就是"旋转加缩放"。设 \(\lambda=0.8e^{i0.5}\)，把二维状态（例如产出缺口与通胀，或两个相互影响的利差）看成平面上的一个点，每期把它绕原点转 0.5 弧度（约 29°）、离原点的距离乘 0.8。投影到某一个坐标上看，就是一条振幅逐期缩小的正弦波，转满一圈约需 \(2\pi/0.5\approx12.6\) 期——这就是实战 1 里复根 AR(2) 脉冲响应先正后负的原因。商业周期、库存周期这类"有节奏的均值回复"，在线性模型里都靠这种 \(C(a,b)\) 块表达。

推论 3.4.1.7　复矩阵 \(A\) 相似于某个实矩阵 ⇔ 对每个非实特征值，\(J_k(\lambda)\) 与 \(J_k(\bar\lambda)\) 个数相同 ⇔ \(A\) 相似于 \(\bar A\)。推论 3.4.1.9：对任意 \(A\)，\(A\bar A\) 相似于 \(\bar AA\)，且相似于实矩阵（第 04b 章"共轭相似"的基础）。

量化实战

实战 1：AR(2) 的三种根、驼峰响应与单位根的 Jordan 块

import numpy as np
from scipy.linalg import expm

def companion(phi):
    """AR(p) y_t = φ1 y_{t-1} + ... + φp y_{t-p} 的状态矩阵（友矩阵的转置形式）"""
    p = len(phi)
    A = np.zeros((p, p)); A[0] = phi; A[1:, :-1] = np.eye(p - 1)
    return A

def irf(phi, H):
    A = companion(phi); e1 = np.eye(len(phi))[0]
    return np.array([(np.linalg.matrix_power(A, h) @ e1)[0] for h in range(H)])

# ---------- 1. 三个 AR(2)：互异实根、重根（Jordan 块）、复根 ----------
cases = {"互异实根 0.9, 0.5": [1.4, -0.45],
         "重根 0.8（J_2）":   [1.6, -0.64],
         "复根 0.8e^{±i0.5}": [2 * 0.8 * np.cos(0.5), -0.64]}
for name, phi in cases.items():
    A = companion(phi)
    lam, S = np.linalg.eig(A)
    geo = [int(2 - np.linalg.matrix_rank(A - l * np.eye(2), tol=1e-6)) for l in lam]
    print("%-18s 特征值 %s  几何重数 %s  cond(S) = %.2e"
          % (name, np.round(lam, 4), geo, np.linalg.cond(S)))

H = 13
r = 0.8
psi = irf([1.6, -0.64], H)
print("\n重根 AR(2) 脉冲响应:", psi[:8].round(4))
print("理论 (h+1) r^h      :", np.array([(h + 1) * r ** h for h in range(8)]).round(4))
print("h=3 与 h=4 处的响应: %.4f, %.4f（连续极值点 -1/ln r - 1 = %.2f）" % (psi[3], psi[4], -1 / np.log(r) - 1))
print("互异根 AR(2) 脉冲响应:", irf([1.4, -0.45], 8).round(4))
print("复根   AR(2) 脉冲响应:", irf(cases["复根 0.8e^{±i0.5}"], 8).round(4))

# ---------- 2. 单位根与 Jordan 块：幂有界 vs 多项式增长 ----------
for name, A in [("I_2（两个独立随机游走）", np.eye(2)),
                ("J_2(1)（I(2) 过程）", np.array([[1.0, 1.0], [0.0, 1.0]])),
                ("diag(1, 0.5)（一个单位根）", np.diag([1.0, 0.5]))]:
    print("%-26s ‖A^50‖ = %7.2f  ‖A^100‖ = %7.2f" % (name, np.linalg.norm(np.linalg.matrix_power(A, 50), 2),
                                                    np.linalg.norm(np.linalg.matrix_power(A, 100), 2)))

# ---------- 3. 连续时间：临界阻尼的均值回复 x' = A x，A = J_2(-κ) ----------
kappa = 0.5
A = np.array([[-kappa, 1.0], [0.0, -kappa]])
for t in [1.0, 2.0, 4.0]:
    E = expm(A * t)
    print("t=%.0f  e^{At} = [[%.4f, %.4f],[0, %.4f]]   理论右上元 t·e^{-κt} = %.4f"
          % (t, E[0, 0], E[0, 1], E[1, 1], t * np.exp(-kappa * t)))

关键输出：

互异实根 0.9, 0.5      特征值 [0.9+0.j 0.5+0.j]  几何重数 [1, 1]  cond(S) = 7.39e+00
重根 0.8（J_2）        特征值 [0.8+0.j 0.8+0.j]  几何重数 [1, 1]  cond(S) = 4.15e+08
复根 0.8e^{±i0.5}    特征值 [0.7021+0.3835j 0.7021-0.3835j]  几何重数 [1, 1]  cond(S) = 4.03e+00

重根 AR(2) 脉冲响应: [1.     1.6    1.92   2.048  2.048  1.9661 1.835  1.6777]
理论 (h+1) r^h      : [1.     1.6    1.92   2.048  2.048  1.9661 1.835  1.6777]
h=3 与 h=4 处的响应: 2.0480, 2.0480（连续极值点 -1/ln r - 1 = 3.48）
互异根 AR(2) 脉冲响应: [1.     1.4    1.51   1.484  1.3981 1.2895 1.1762 1.0664]
复根   AR(2) 脉冲响应: [ 1.      1.4041  1.3316  0.9711  0.5113  0.0965 -0.1918 -0.331 ]
I_2（两个独立随机游走）              ‖A^50‖ =    1.00  ‖A^100‖ =    1.00
J_2(1)（I(2) 过程）            ‖A^50‖ =   50.02  ‖A^100‖ =  100.01
diag(1, 0.5)（一个单位根）        ‖A^50‖ =    1.00  ‖A^100‖ =    1.00
t=1  e^{At} = [[0.6065, 0.6065],[0, 0.6065]]   理论右上元 t·e^{-κt} = 0.6065
t=2  e^{At} = [[0.3679, 0.7358],[0, 0.3679]]   理论右上元 t·e^{-κt} = 0.7358
t=4  e^{At} = [[0.1353, 0.5413],[0, 0.1353]]   理论右上元 t·e^{-κt} = 0.5413

读法：

1. 重根情形，特征值 0.8 的几何重数是 1（友矩阵非减次），Jordan 形是 \(J_2(0.8)\)。numpy.linalg.eig 仍然返回两个"特征向量"，但它们几乎平行，特征向量矩阵的条件数 \(4\times10^8\)——这就是 3.5 节说的"在 Jordan 块附近，对角化在数值上崩溃"。
2. 重根 AR(2) 的脉冲响应精确等于 \((h+1)0.8^h\)，在 \(h=3,4\) 达到峰值 2.05 后才衰减：冲击的影响先被放大一倍多。互异实根的响应也有驼峰但较平缓；复根的响应在第 6 期穿过零线，呈阻尼振荡（伪周期 \(2\pi/0.5\approx12.6\) 期）。
3. 单位根：\(I_2\) 与 \(\operatorname{diag}(1,0.5)\) 的幂有界（特征值 1 半单）；\(J_2(1)\) 的 \(\|A^h\|\) 线性增长，这就是 \(I(2)\) 过程的预测方差以 \(h^3\) 速度增长的矩阵根源。
4. 连续时间临界阻尼：\(e^{J_2(-\kappa)t}\) 的右上元恰为 \(te^{-\kappa t}\)，在 \(t=1/\kappa=2\) 处达到最大。

实战 2：用秩序列"读出" Jordan 结构；可对角化判据；Jordan 与 Schur 的稳定性对比

import numpy as np
from scipy.linalg import block_diag, schur

rng = np.random.default_rng(0)

def jordan_block(lam, k):
    return lam * np.eye(k) + np.diag(np.ones(k - 1), 1)

def weyr(A, lam, tol=1e-8):
    """由秩序列 r_k = rank (A - λI)^k 求 Weyr 特征 w_k = r_{k-1} - r_k"""
    n = A.shape[0]; M = A - lam * np.eye(n); r = [n]; P = np.eye(n)
    while True:
        P = P @ M
        r.append(int(np.linalg.matrix_rank(P, tol=tol)))
        if r[-1] == r[-2]:
            break
    return [r[k - 1] - r[k] for k in range(1, len(r) - 1)], r

def segre_from_weyr(w):
    w = list(w) + [0]
    return sorted([k for k in range(1, len(w)) for _ in range(w[k - 1] - w[k])], reverse=True)

# ---------- 1. 原书例 (3.1.16a)：J = J3⊕J3⊕J2⊕J2⊕J2⊕J1（特征值 0），再加一个 J2(2) ----------
blocks = [jordan_block(0, 3), jordan_block(0, 3), jordan_block(0, 2), jordan_block(0, 2),
          jordan_block(0, 2), jordan_block(0, 1), jordan_block(2.0, 2)]
J = block_diag(*blocks)
n = J.shape[0]
Q, _ = np.linalg.qr(rng.normal(size=(n, n)))      # 用随机正交相似把结构"藏起来"
A = Q @ J @ Q.T
for lam in [0.0, 2.0]:
    w, r = weyr(A, lam)
    print("λ=%.0f  秩序列 r_k = %s  Weyr 特征 = %s  Segre（块大小）= %s" % (lam, r, w, segre_from_weyr(w)))

# ---------- 2. 最小多项式判定可对角化：q(t) = Π (t - λ_i) 是否零化 A ----------
def is_diagonalizable(A, distinct, tol=1e-8):
    P = np.eye(A.shape[0])
    for l in distinct:
        P = P @ (A - l * np.eye(A.shape[0]))
    return np.linalg.norm(P) < tol * max(1, np.linalg.norm(A)) ** len(distinct)

D = Q @ np.diag([0, 0, 0, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3]) @ Q.T
print("\n对角化后藏起来的矩阵: q(A)=0 ?", is_diagonalizable(D, [0, 1, 2, 3]))
print("上面的 Jordan 型矩阵: q(A)=0 ?", is_diagonalizable(A, [0, 2]))
print("  (A)(A-2I) 的 Frobenius 范数 = %.3f；A^3(A-2I)^2 的范数 = %.2e（最小多项式 t^3 (t-2)^2）"
      % (np.linalg.norm(A @ (A - 2 * np.eye(n))),
         np.linalg.norm(np.linalg.matrix_power(A, 3) @ np.linalg.matrix_power(A - 2 * np.eye(n), 2))))

# ---------- 3. Jordan 形的数值不稳定 vs Schur 形的稳定 ----------
Jn = jordan_block(0.0, 6)
for eps in [1e-6, 1e-12]:
    E = np.zeros((6, 6)); E[5, 0] = eps
    lam, S = np.linalg.eig(Jn + E)
    print("\nε=%.0e  特征值模 = %s（理论 ε^{1/6} = %.4f）  cond(特征向量矩阵) = %.1e"
          % (eps, np.abs(lam).round(4), eps ** (1 / 6), np.linalg.cond(S)))
    T, Z = schur(Jn + E, output="complex")
    print("        Schur 因子 Z 的条件数 = %.1f，‖Z T Z* - A‖ = %.1e" % (np.linalg.cond(Z), np.linalg.norm(Z @ T @ Z.conj().T - (Jn + E))))

关键输出：

λ=0  秩序列 r_k = [15, 9, 4, 2, 2]  Weyr 特征 = [6, 5, 2]  Segre（块大小）= [3, 3, 2, 2, 2, 1]
λ=2  秩序列 r_k = [15, 14, 13, 13]  Weyr 特征 = [1, 1]  Segre（块大小）= [2]

对角化后藏起来的矩阵: q(A)=0 ? True
上面的 Jordan 型矩阵: q(A)=0 ? False
  (A)(A-2I) 的 Frobenius 范数 = 5.831；A^3(A-2I)^2 的范数 = 2.53e-14（最小多项式 t^3 (t-2)^2）

ε=1e-06  特征值模 = [0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1]（理论 ε^{1/6} = 0.1000）  cond(特征向量矩阵) = 1.0e+05
        Schur 因子 Z 的条件数 = 1.0，‖Z T Z* - A‖ = 3.7e-15

ε=1e-12  特征值模 = [0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01]（理论 ε^{1/6} = 0.0100）  cond(特征向量矩阵) = 1.0e+10
        Schur 因子 Z 的条件数 = 1.0，‖Z T Z* - A‖ = 7.1e-15

读法：

1. 把原书例 (3.1.16a) 的 Jordan 矩阵（再加一个 \(J_2(2)\)）用随机正交相似"藏起来"，只靠 \(\operatorname{rank}(A-\lambda I)^k\) 就完整读回了块结构：\(\lambda=0\) 的秩序列 \(15,9,4,2\)（多出的 2 是 \(J_2(2)\) 贡献的可逆部分，对应公式中的 \(m\)），Weyr 特征 \(6,5,2\)，Segre 特征 \(3,3,2,2,2,1\)。这里能成功，是因为矩阵是精确构造的、秩的阈值容易设定；对带噪声的估计矩阵，秩的判断本身就不可靠。
2. 可对角化判据：只需检查 \(\prod(A-\lambda_iI)\) 是否为零。Jordan 型矩阵不满足，而 \(A^3(A-2I)^2=0\)，最小多项式是 \(t^3(t-2)^2\)——指数恰好是两个特征值的指标（最大块阶 3 和 2）。
3. 在 \(J_6(0)\) 的角上放 \(10^{-12}\)，特征值移动到模 \(10^{-2}\)（放大 \(10^{10}\) 倍），"特征向量矩阵"的条件数 \(10^{10}\)；而 Schur 分解的酉因子条件数恒为 1，重构误差在机器精度。结论与 3.5 节一致：对非对称矩阵，相信 Schur，不要相信 Jordan。

实战 3：信用评级迁移矩阵的长期行为与 Drazin 逆

场景：年度信用评级迁移矩阵（A、B、C 三个评级加违约 D，违约为吸收态）。用半收敛定理计算长期分布，用基本矩阵计算期望违约时间。

import numpy as np

def drazin(A, tol=1e-10):
    """A^D = A^l (A^{2l+1})^+ A^l，l ≥ index(A)；index 由秩序列稳定点确定"""
    n = A.shape[0]; l = 0; r_prev = n; P = np.eye(n)
    while True:
        P = P @ A; r = np.linalg.matrix_rank(P, tol=tol)
        if r == r_prev:
            break
        r_prev, l = r, l + 1
    Al = np.linalg.matrix_power(A, l)
    return Al @ np.linalg.pinv(np.linalg.matrix_power(A, 2 * l + 1)) @ Al, l

# ---------- 1. 信用评级迁移（年度），D 为吸收态 ----------
states = ["A", "B", "C", "D"]
P = np.array([[0.90, 0.08, 0.015, 0.005],
              [0.05, 0.85, 0.08, 0.02],
              [0.01, 0.09, 0.80, 0.10],
              [0.00, 0.00, 0.00, 1.00]])
lam = np.linalg.eigvals(P)
print("特征值:", np.sort_complex(lam).round(4))
M = np.eye(4) - P
MD, idx = drazin(M)
print("I-P 的零特征值指标 =", idx, "（=1 说明特征值 1 半单）")
print("Drazin 三条件:", np.allclose(M @ MD, MD @ M), np.allclose(M @ M @ MD, M), np.allclose(MD @ M @ MD, MD))
Lim = np.eye(4) - M @ MD
print("lim P^k = I - (I-P)(I-P)^D =\n", Lim.round(6))
print("P^500 =\n", np.linalg.matrix_power(P, 500).round(6))
# 违约前的期望年数 = 基本矩阵 N = (I - Q)^{-1} 的行和（Q 为非吸收态子块）
Nf = np.linalg.inv(np.eye(3) - P[:3, :3])
print("从 A/B/C 出发的期望违约时间（年）:", Nf.sum(axis=1).round(2))

# ---------- 2. 周期链：特征值 -1 在单位圆上，P^k 不收敛 ----------
Pc = np.array([[0, 1.0], [1.0, 0]])
print("\n周期链特征值:", np.linalg.eigvals(Pc), " P^100 =", np.linalg.matrix_power(Pc, 100).ravel(),
      " P^101 =", np.linalg.matrix_power(Pc, 101).ravel())
# Cesàro 平均仍收敛到 I - (I-P)(I-P)^D
McD, _ = drazin(np.eye(2) - Pc)
avg = sum(np.linalg.matrix_power(Pc, k) for k in range(1000)) / 1000
print("Cesàro 平均:", avg.ravel().round(4), "  I-(I-P)(I-P)^D:", (np.eye(2) - (np.eye(2) - Pc) @ McD).ravel().round(4))

关键输出：

特征值: [0.7313+0.j 0.8521+0.j 0.9666+0.j 1.    +0.j]
I-P 的零特征值指标 = 1 （=1 说明特征值 1 半单）
Drazin 三条件: True True True
lim P^k = I - (I-P)(I-P)^D =
 [[-0. -0. -0.  1.]
 [-0. -0.  0.  1.]
 [ 0.  0. -0.  1.]
 [ 0.  0.  0.  1.]]
P^500 =
 [[0. 0. 0. 1.]
 [0. 0. 0. 1.]
 [0. 0. 0. 1.]
 [0. 0. 0. 1.]]
从 A/B/C 出发的期望违约时间（年）: [36.8  29.71 20.21]

周期链特征值: [ 1.+0.j -1.+0.j]  P^100 = [1. 0. 0. 1.]  P^101 = [0. 1. 1. 0.]
Cesàro 平均: [0.5 0.5 0.5 0.5]   I-(I-P)(I-P)^D: [0.5 0.5 0.5 0.5]

读法：

1. 迁移矩阵的特征值 1 半单（\(I-P\) 的零特征值指标为 1），其余特征值都在单位圆内，所以 \(P^k\) 收敛（半收敛定理），极限 \(I-(I-P)(I-P)^D\) 与 \(P^{500}\) 一致：长期看所有发行人都违约（吸收态）。收敛速度由第二大特征值 0.9666 决定，半衰期约 \(\ln0.5/\ln0.9666\approx20\) 年。
2. Drazin 逆用公式 \(A^D=A^l(A^{2l+1})^+A^l\)（\(l\ge\) 指标）计算，并验证了三条刻画等式。这个公式用的是伪逆，但结果是 Drazin 逆——两种广义逆在这里配合使用。
3. 非吸收子块 \(Q\) 的基本矩阵 \((I-Q)^{-1}\) 的行和给出期望违约时间：A 级约 36.8 年、C 级约 20.2 年。\(\rho(Q)<1\) 保证了 \((I-Q)^{-1}=\sum_kQ^k\) 收敛。
4. 周期链的特征值 \(-1\) 在单位圆上，\(P^k\) 在两个矩阵之间来回跳，不收敛；但时间平均（Cesàro 平均）仍收敛到 \(I-(I-P)(I-P)^D\)。这一点超出原书范围，属于马尔可夫链理论的标准结论，这里只做数值演示。

本章小结

Jordan 标准形回答了"两个矩阵何时相似"：每个复方阵都相似于 Jordan 块的直和，块结构在排列意义下唯一。存在性分三步——Schur 三角化、用 Sylvester 方程分块对角化、把幂零上三角阵化成幂零 Jordan 块；唯一性来自秩序列 \(r_k=\operatorname{rank}(A-\lambda I)^k\)，Weyr 特征 \(w_k=r_{k-1}-r_k\) 是阶数不小于 \(k\) 的块数，与 Segre 特征（块大小列表）互为共轭分拆。Jordan 形在理论上是分析线性动态的利器：\(J_k(\lambda)^m\) 含 \(\binom mj\lambda^{m-j}\) 项，所以收敛 ⇔ \(\rho(A)<1\)，幂有界 ⇔ 单位圆上的特征值半单，半收敛矩阵的极限是 \(I-(I-A)(I-A)^D\)；\(e^{At}\) 的分量是 \(e^{\lambda t}\) 乘以次数低于指标的多项式。但 Jordan 形由秩决定，秩不连续，所以它在数值上极不稳定，实践中应使用 Schur 分解。最小多项式 \(q_A=\prod(t-\lambda_i)^{r_i}\) 的指数是各特征值的指标，可对角化 ⇔ 最小多项式无重根 ⇔ \(\prod(A-\lambda_iI)=0\)。友矩阵的最小多项式和特征多项式都等于给定多项式，非减次矩阵恰好相似于友矩阵；AR(\(p\)) 的状态矩阵就是友矩阵，所以重特征根必然产生 Jordan 块和驼峰型响应。实矩阵有实 Jordan 形，复特征值对应旋转–伸缩块 \(C(a,b)\)。Jordan 分解（可对角化 + 幂零、交换、唯一）和 Drazin 逆是两个常用的副产品。

练习

基础

1. 求 \(\begin{bmatrix}3&1&2\\0&3&0\\0&0&3\end{bmatrix}\) 的 Jordan 形与最小多项式（原书 3.1.P6）。 答案要点：\(A-3I\) 秩为 1，\((A-3I)^2=0\)；\(w_1=2\)，\(w_2=1\)；Jordan 形 \(J_2(3)\oplus J_1(3)\)，最小多项式 \((t-3)^2\)。
2. 列出特征多项式为 \((t+3)^4(t-4)^2\) 的 \(6\times6\) 矩阵所有可能的 Jordan 形，各自的最小多项式是什么？（原书 3.2.P8） 答案要点：特征值 \(-3\) 的块对应 4 的分拆（5 种），特征值 4 对应 2 的分拆（2 种），共 10 种；最小多项式的指数是各自最大块的阶。
3. 判断 AR(2) 过程 \(y_t=1.2y_{t-1}-0.36y_{t-2}+\varepsilon_t\) 是否平稳，求其状态矩阵的 Jordan 形，并写出脉冲响应的闭式。 答案要点：\(t^2-1.2t+0.36=(t-0.6)^2\)，平稳；Jordan 形 \(J_2(0.6)\)；\(\psi_h=(h+1)0.6^h\)。
4. 证明幂等矩阵、对合矩阵都可对角化，并说明 OLS 帽子矩阵的 Jordan 形。 提示：最小多项式整除 \(t(t-1)\) 或 \(t^2-1\)，无重根。帽子矩阵相似于 \(I_k\oplus0_{T-k}\)。
5. 设 \(A=\begin{bmatrix}0.5&1\\0&0.5\end{bmatrix}\)，写出 \(A^m\) 的闭式，求 \(\max_m\|A^m\|_\infty\) 出现在哪个 \(m\)。 答案要点：\(A^m=\begin{bmatrix}0.5^m&m0.5^{m-1}\\0&0.5^m\end{bmatrix}\)；第一行和 \(0.5^m+m0.5^{m-1}\) 依次为 \(1,1.5,1.25,1,\dots\)，在 \(m=1\) 处取最大值 1.5。
6. 用 Weyr 特征说明 (3.0.0) 中 \(A\) 与 \(B\) 不相似。

进阶

7. 证明：若 \(A\) 非减次且 \(AB=BA\)，则 \(B\) 是 \(A\) 的多项式。用此说明：与友矩阵交换的矩阵都是该友矩阵的多项式（原书 3.3.P17）。
8. 设 VAR(1) 系数矩阵 \(A\) 的特征值 1 有一个 \(J_2(1)\) 块，其余特征值在单位圆内。说明 \(h\) 步预测误差方差 \(\sum_{j<h}A^jQA^{jT}\) 的增长阶，并与特征值 1 半单的情形比较。 提示：\(\|A^j\|\sim j\)，求和得 \(h^3\) 阶；半单时 \(\|A^j\|\) 有界，增长为 \(h\) 阶。
9. 证明 Jordan 分解的唯一性（原书 3.2.P18）：若 \(A=B+C\)，\(BC=CB\)，\(B\) 可对角化，\(C\) 幂零，则 \(B=A_D\)，\(C=A_N\)。 提示：\(B,C\) 与 \(A\) 交换，从而与 \(A\) 的多项式 \(A_D,A_N\) 交换；\(A_D-B=C-A_N\) 左边可对角化，右边幂零。
10. 对 \(n\) 次首一多项式的友矩阵，用 Schur 不等式证明根的平方平均界 \(\frac1n\sum|z_i|^2\le1-\frac1n+\frac1n\sum|a_i|^2\)，并对 AR(2) \(y_t=1.2y_{t-1}-0.36y_{t-2}\) 验证（注意多项式为 \(t^2-1.2t+0.36\)）。 答案要点：左边 \(0.36\)，右边 \(\frac12+\frac12(1.44+0.1296)=1.2848\)，界成立但较松。

原书推荐习题

• 3.1.P7、3.1.P28：用秩序列判定 Jordan 结构与相似。
• 3.1.P11：点图与 Weyr/Segre 共轭分拆。
• 3.1.P25–P27：不用谱定理证明正规矩阵可（酉）对角化。
• 3.2.P17、3.2.P18：可对角化的秩判据；Jordan 分解的唯一性。
• 3.2.P37：半收敛矩阵与极限公式（马尔可夫链长期行为）。
• 3.3.P5：用 Gram–Schmidt 求最小多项式（可编程）。
• 3.3.P13：友矩阵的奇异值公式。
• 3.3.P27：高阶 ODE 与友矩阵——对应 AR(\(p\)) 的状态空间表示。
• 3.3.P32：有理标准形与不变因子。

原书对照

第 03b 章继续第 3 章：Weyr 标准形（对研究交换矩阵族比 Jordan 形更好用）、酉 Weyr 形，以及 LU、LDU、PLU 等三角分解。