第 05 章 多元微积分与优化

金融里几乎没有只依赖一个变量的量。期权价格同时依赖标的价格、波动率、期限和利率；组合方差依赖每只资产的权重；债券组合的价值依赖整条收益率曲线。这一章把第 02 章的一元导数推广到多个变量。

你已经会的很多东西，其实都是本章内容的特例。各个 Greeks 是期权价格的偏导数；「Delta–Gamma 近似」是二元泰勒展开的一部分；最小方差组合是带约束的优化，用拉格朗日乘子求解；不允许卖空的组合优化，用的是 KKT 条件。读完本章，你能看懂第 04 册（数值最优化）和第 11 册第 05 章（组合构建）里的推导。

前置知识：第 02 章（导数、链式法则、泰勒展开、凸性），第 03 章（定积分）。矩阵记号会用到一些，不熟悉时先按「两只资产」的展开式去读，第 06 章会系统讲矩阵。

学习目标

1. 会求偏导数，理解它是「其他变量固定时」的变化率，能把 Greeks 看成偏导数。
2. 理解梯度的含义：它是一阶近似的系数向量，也是函数上升最快的方向；会求方向导数。
3. 会写 Hessian 矩阵，会用多元泰勒展开做二阶近似（Delta–Gamma–Vega 近似）。
4. 会用一阶条件找无约束极值点，用 Hessian 判断它是极小、极大还是鞍点；知道凸函数为什么好优化。
5. 会用拉格朗日乘子法推导最小方差组合，理解乘子是「约束的影子价格」。
6. 理解 KKT 条件的四个组成部分，能读懂只做多组合优化的解。
7. 会计算简单的二重积分，会用雅可比行列式做变量替换，理解它在概率密度变换中的作用。

5.1 多元函数

金融例子。 两只资产组成的组合，权重 \(w_1,w_2\)，波动率 \(\sigma_1,\sigma_2\)，相关系数 \(\rho\)。组合方差是

输入两个数 \((w_1,w_2)\)，输出一个数。这就是一个二元函数。

定义。 \(n\) 元函数 \(f:\mathbb R^n\to\mathbb R\) 把 \(n\) 个实数组成的向量 \(x=(x_1,\dots,x_n)\) 映射为一个实数 \(f(x)\)。本书中向量默认写成列向量，\(x^\top\) 表示转置后的行向量。

数值例。 \(\sigma_1=15\%\)，\(\sigma_2=20\%\)，\(\rho=0.3\)，\(w=(0.6,0.4)\)：

组合波动率 \(\sqrt{0.01882}=13.72\%\)。

等高线。 二元函数可以画成三维曲面，但更常用的是等高线：把 \(f(x,y)=c\) 的点连成曲线。你熟悉的无差异曲线、等方差线、收益率曲线上的等价格线，都是等高线。后面讲梯度和拉格朗日乘子时，等高线是最好用的几何图像。

5.2 偏导数

5.2.1 定义

直觉。 多个变量同时变化，很难说清「变化率」。最简单的办法是一次只动一个：其他变量全部固定，只看函数对某一个变量的敏感度。期权的 Delta 就是这样定义的：波动率、期限、利率都不变，只让标的价格变动。

定义。 \(f(x_1,\dots,x_n)\) 对 \(x_i\) 的偏导数是

记号 \(\partial\) 读作「偏」（partial），用来提醒你还有别的变量被固定着。也常写作 \(f_{x_i}\)、\(\partial_if\) 或 \(\partial_{x_i}f\)。

怎么算。 把其他变量当常数，按一元函数求导。第 02 章的所有求导法则照用。

5.2.2 例：组合方差的偏导数

对 \(\sigma_p^2=w_1^2\sigma_1^2+w_2^2\sigma_2^2+2w_1w_2\rho\sigma_1\sigma_2\)：

• 对 \(w_1\) 求偏导，\(w_2\) 当常数。第一项求导得 \(2w_1\sigma_1^2\)；第二项与 \(w_1\) 无关，导数为 0；第三项是 \(w_1\) 乘常数 \(2w_2\rho\sigma_1\sigma_2\)，导数就是这个常数。
  \[\frac{\partial\sigma_p^2}{\partial w_1}=2w_1\sigma_1^2+2w_2\rho\sigma_1\sigma_2.\]
• 同理 \(\dfrac{\partial\sigma_p^2}{\partial w_2}=2w_2\sigma_2^2+2w_1\rho\sigma_1\sigma_2\)。

数值例。 在 \(w=(0.6,0.4)\) 处，\(\rho\sigma_1\sigma_2=0.009\)：

含义：给资产 2 多加一单位权重，组合方差上升得比给资产 1 加更快。这就是「边际风险」。

5.2.3 例：夏普比率对均值和方差的敏感度

记 \(g(a,b)=a/\sqrt b\)，其中 \(a\) 是超额收益均值，\(b\) 是方差。

• \(\dfrac{\partial g}{\partial a}=\dfrac1{\sqrt b}\)（\(b\) 当常数，\(a\) 的系数就是导数）。
• \(\dfrac{\partial g}{\partial b}=a\cdot\dfrac{d}{db}b^{-1/2}=-\dfrac12ab^{-3/2}\)（\(a\) 当常数，幂函数求导）。

数值例。 \(a=8\%\)，\(b=0.04\)（波动率 20%），夏普比率 0.4。\(\partial g/\partial a=5\)，\(\partial g/\partial b=-\frac12\times0.08\times0.04^{-1.5}=-5\)。方差从 0.04 升到 0.041 时，近似变化 \(-5\times0.001=-0.005\)，真实值 \(0.08/\sqrt{0.041}=0.39509\)，变化 \(-0.00491\)。第 03 册的多元 Delta 方法用这两个偏导数推导夏普比率估计量的标准误。

5.2.4 Greeks 就是偏导数

记期权价格 \(V(S,\sigma,t,r)\)：

在 Hull 的书里看到 \(\partial V/\partial S\) 时，读成「其他条件不变，标的价格变动一单位，期权价格变动多少」，就是 Delta。

5.3 梯度与方向导数

5.3.1 梯度

定义。 把所有偏导数排成一个列向量，叫梯度：

\(\nabla\) 读作 nabla 或 del。

数值例。 上面的组合方差在 \(w=(0.6,0.4)\) 处，\(\nabla\sigma_p^2=(0.0342,\ 0.0428)^\top\)。期权价格对 \((S,\sigma)\) 的梯度是 \((\text{Delta},\text{Vega})^\top\)。

梯度的第一个含义：一阶近似的系数。 当所有变量都有小变动 \(\Delta x\) 时，

这正是你做风险归因时的做法：总的价格变动 ≈ Delta × 标的变动 + Vega × 波动率变动 + …。各个偏导数的贡献直接相加，这在变动很小时成立（严格地说，需要偏导数连续，此时称 \(f\) 可微；本书遇到的函数都满足）。

5.3.2 方向导数

问题。 再平衡时，权重往往不是只动一个。比如从资产 2 挪 1% 到资产 1，权重变化方向是 \((1,-1)\)。沿这个方向，方差变化多快？

定义。 给定单位向量 \(u\)（长度为 1），\(f\) 在 \(x\) 处沿 \(u\) 的方向导数是

第二个等号来自一阶近似：\(f(x+hu)-f(x)\approx\nabla f^\top(hu)=h\,\nabla f^\top u\)，除以 \(h\) 即得。偏导数是方向导数的特例，方向取坐标轴 \(e_i\)。

数值例。 \(u=(1,-1)/\sqrt2\)，\(D_u\sigma_p^2=(0.0342-0.0428)/\sqrt2=-0.00608\)，沿这个方向方差下降。实际挪 1%，\(\Delta w=(0.01,-0.01)\)，一阶近似变化 \(0.0342\times0.01-0.0428\times0.01=-8.60\times10^{-5}\)。精确计算新方差减旧方差得 \(-8.155\times10^{-5}\)。两者之差 \(4.45\times10^{-6}\) 来自二阶项，5.5 节会解释。

5.3.3 梯度的第二个含义：上升最快的方向

结论。 在所有单位方向 \(u\) 中，\(D_uf=\nabla f^\top u\) 在 \(u\) 与 \(\nabla f\) 同向时最大，最大值为 \(\|\nabla f\|\)；在反向时最小。

推导：由 Cauchy–Schwarz 不等式（第 07 章），\(\nabla f^\top u\le\|\nabla f\|\,\|u\|=\|\nabla f\|\)，等号在 \(u=\nabla f/\|\nabla f\|\) 时成立。

推论。 梯度与等高线垂直。沿等高线移动时 \(f\) 不变，方向导数为 0，即 \(\nabla f^\top u=0\)，所以 \(u\perp\nabla f\)。

这两条是很多算法的出发点。梯度下降法每一步沿 \(-\nabla f\) 走一小步，因为这是函数下降最快的方向。神经网络训练（第 10 册）、数值优化（第 04 册第 03 章）都从这里开始。

5.3.4 多元链式法则

结论。 若 \(f(x_1,\dots,x_n)\) 中每个 \(x_i\) 又是 \(t\) 的函数，则

白话：总变化率 = 每条路径的「敏感度 × 该变量的变化速度」之和。

数值例。 持有 \(q\) 股、股价 \(P\)，市值 \(f=qP\)。若 \(q\) 每天增加 1000 股，\(P\) 每天上涨 0.2 元，当前 \(q=50000\)、\(P=30\)，则市值每天变化 \(\frac{\partial f}{\partial q}\dot q+\frac{\partial f}{\partial P}\dot P=30\times1000+50000\times0.2=40000\) 元。这就是乘积法则 \(d(qP)=P\,dq+q\,dP\)。伊藤引理是这条链式法则在随机情形下的修正（多出一项二阶项），见第 08 册第 14 章。

5.3.5 例：风险贡献的欧拉分解

组合波动率 \(\sigma_p(w)=\sqrt{w^\top\Sigma w}\) 有一个性质：所有权重同时乘以 \(c>0\)，波动率也乘以 \(c\)（一次齐次）。对这样的函数，欧拉定理给出

推导：

1. 对恒等式 \(\sigma_p(cw)=c\,\sigma_p(w)\) 两边对 \(c\) 求导。
2. 左边用链式法则：\(\sum_i\frac{\partial\sigma_p}{\partial w_i}(cw)\cdot w_i\)。右边是 \(\sigma_p(w)\)。
3. 令 \(c=1\) 即得。

\(w_i\,\partial\sigma_p/\partial w_i\) 称为资产 \(i\) 的风险贡献，各项之和恰好是总风险。可以算出 \(\partial\sigma_p/\partial w=\Sigma w/\sigma_p\)（第 06 章矩阵求导）。

数值例。 三只资产波动率 15%、20%、25%，相关系数 \(\rho_{12}=0.3\)、\(\rho_{13}=0.2\)、\(\rho_{23}=0.5\)，等权。组合波动率 15.20%。边际风险 \(\Sigma w/\sigma_p=(0.0855,0.1623,0.2083)\)，风险贡献 \(w_i\times\)边际风险 \(=(0.0285,0.0541,0.0694)\)，相加正好 0.1520。占比 18.8%、35.6%、45.7%：资金等权，风险远不等权。风险平价策略就是要让这三个数相等（第 11 册第 05 章）。

5.4 Hessian 矩阵

5.4.1 定义

对每个偏导数再求一次偏导，得到二阶偏导数 \(\dfrac{\partial^2f}{\partial x_i\partial x_j}\)。把它们排成矩阵：

对称性（Schwarz/Clairaut 定理）。 若二阶偏导数连续，则求导顺序可以交换：\(\dfrac{\partial^2f}{\partial x_i\partial x_j}=\dfrac{\partial^2f}{\partial x_j\partial x_i}\)。所以 Hessian 是对称矩阵。

数值例 1：组合方差。 由 5.2.2 的偏导数再求导：

所以 \(H=2\Sigma\)，是协方差矩阵的两倍，与 \(w\) 无关。代入数值 \(H=\begin{pmatrix}0.045&0.018\\0.018&0.08\end{pmatrix}\)。

数值例 2：期权的二阶 Greeks。 对 \(V(S,\sigma)\)，

对角线上的 Gamma、Volga 是「自己对自己」的二阶敏感度；非对角的 Vanna 是交叉项：它既是「Delta 对波动率的敏感度」，又是「Vega 对标的价格的敏感度」，两者相等正是 Hessian 对称性。

5.5 多元泰勒展开

5.5.1 公式

一元的二阶泰勒展开是 \(f(x+h)\approx f(x)+f'(x)h+\frac12f''(x)h^2\)。多元版本把导数换成梯度、二阶导换成 Hessian：

展开成二元的形式更直观：

二次项 \(\Delta x^\top H\Delta x\) 展开后，交叉项 \(f_{xy}\Delta x\Delta y\) 出现两次（\(H_{12}\) 和 \(H_{21}\)），所以有系数 2。

为什么成立（思路）。 令 \(g(t)=f(x+t\Delta x)\)，这是 \(t\) 的一元函数。对 \(g\) 在 \(t=0\) 做一元泰勒展开，再令 \(t=1\)。用链式法则可以算出 \(g'(0)=\nabla f^\top\Delta x\)，\(g''(0)=\Delta x^\top H\Delta x\)。多元泰勒就是「沿直线方向的一元泰勒」。

回到 5.3.2 的数值例。 组合方差是二次函数，\(H=2\Sigma\)，二阶展开是精确的。\(\frac12\Delta w^\top(2\Sigma)\Delta w=\Delta w^\top\Sigma\Delta w=0.0001\times(0.0225+0.04-2\times0.009)=4.45\times10^{-6}\)，加上一阶项 \(-8.60\times10^{-5}\) 正好得到精确值 \(-8.155\times10^{-5}\)。

5.5.2 例：Delta–Gamma–Vega 近似

期权价格 \(C(S,\sigma)\) 的二阶展开就是交易员的 P&L 解释：

下面用 BSM 看涨期权验证：\(K=100\)，\(T=0.5\)，\(r=3\%\)，当前 \(S=100\)，\(\sigma=20\%\)。我们用中心差分数值求梯度和 Hessian，与解析 Greeks 对照，再看一个「标的跌 5 元、波动率升 3 个点」的情景。

import numpy as np
from scipy.stats import norm

K, T, r = 100.0, 0.5, 0.03

def call(S, sigma):
    d1 = (np.log(S / K) + (r + 0.5 * sigma**2) * T) / (sigma * np.sqrt(T))
    d2 = d1 - sigma * np.sqrt(T)
    return S * norm.cdf(d1) - K * np.exp(-r * T) * norm.cdf(d2)

S0, s0 = 100.0, 0.20
x0 = np.array([S0, s0])
f = lambda x: call(x[0], x[1])
h = np.array([1e-2, 1e-4])          # 两个变量量纲不同，步长分别取

# 中心差分求梯度
grad = np.array([(f(x0 + h[i] * np.eye(2)[i]) - f(x0 - h[i] * np.eye(2)[i])) / (2 * h[i]) for i in range(2)])
# 中心差分求 Hessian
H = np.zeros((2, 2))
for i in range(2):
    for j in range(2):
        ei, ej = h[i] * np.eye(2)[i], h[j] * np.eye(2)[j]
        H[i, j] = (f(x0 + ei + ej) - f(x0 + ei - ej) - f(x0 - ei + ej) + f(x0 - ei - ej)) / (4 * h[i] * h[j])

d1 = (np.log(S0 / K) + (r + 0.5 * s0**2) * T) / (s0 * np.sqrt(T))
d2 = d1 - s0 * np.sqrt(T)
delta, vega = norm.cdf(d1), S0 * norm.pdf(d1) * np.sqrt(T)
gamma = norm.pdf(d1) / (S0 * s0 * np.sqrt(T))
vanna = -norm.pdf(d1) * d2 / s0
volga = vega * d1 * d2 / s0
print("数值梯度  [delta, vega] =", np.round(grad, 5))
print("解析梯度  [delta, vega] =", np.round([delta, vega], 5))
print("数值 Hessian =\n", np.round(H, 5))
print("解析 Hessian =\n", np.round([[gamma, vanna], [vanna, volga]], 5))

# 多元泰勒：S 跌 5，波动率升 3 个点
dx = np.array([-5.0, 0.03])
exact = f(x0 + dx) - f(x0)
first = grad @ dx
second = first + 0.5 * dx @ H @ dx
print(f"真实变动 {exact:.4f}  一阶近似 {first:.4f}  二阶近似 {second:.4f}")

输出：

数值梯度  [delta, vega] = [ 0.57016 27.77213]
解析梯度  [delta, vega] = [ 0.57016 27.77213]
数值 Hessian =
 [[ 0.02777 -0.06943]
 [-0.06943  0.86788]]
解析 Hessian =
 [[ 0.02777 -0.06943]
 [-0.06943  0.86788]]
真实变动 -1.7007  一阶近似 -2.0176  二阶近似 -1.6597

逐项拆开二阶近似：

一阶近似误差 0.32，二阶近似误差 0.04。对这个情景，Gamma 项是最重要的修正。债券的「久期 + 凸性」近似是同一公式在一个变量时的特例（第 02 章）；关键利率久期则是多个变量的一阶项。

5.6 无约束极值

5.6.1 一阶必要条件

结论。 若 \(f\) 可微，且在内点 \(x^*\) 处取得局部极小（或极大），则

推导：固定其他变量，只看 \(x_i\)，得到一个一元函数，它在 \(x_i^*\) 处取极值，由第 02 章的一元结论，导数（即偏导数）为 0。对每个 \(i\) 都成立，所以梯度为零。满足 \(\nabla f=0\) 的点叫驻点。

驻点不一定是极值点，就像一元时 \(f'(x)=0\) 也可能是拐点。多元时还多一种情况：鞍点，即沿某些方向是极小、沿另一些方向是极大，像马鞍的中心。

5.6.2 二阶条件

在驻点处 \(\nabla f=0\)，泰勒展开只剩二次项：\(f(x^*+\Delta x)-f(x^*)\approx\frac12\Delta x^\top H\Delta x\)。所以极值类型由二次型 \(\Delta x^\top H\Delta x\) 的符号决定：

二元的快速判法。 对 \(2\times2\) 的 \(H=\begin{pmatrix}a&b\\b&c\end{pmatrix}\)：\(\det H=ac-b^2>0\) 且 \(a>0\) 为正定；\(\det H>0\) 且 \(a<0\) 为负定；\(\det H<0\) 为不定。特征值与正定性见第 06 章。

数值例。 \(f(x,y)=x^3-3x+y^2\)。梯度 \((3x^2-3,\ 2y)\)，令其为零得驻点 \((1,0)\) 和 \((-1,0)\)。Hessian \(=\begin{pmatrix}6x&0\\0&2\end{pmatrix}\)。

import numpy as np
# f(x,y) = x^3 - 3x + y^2 的驻点：(1,0) 与 (-1,0)
def hessian(x, y):
    return np.array([[6 * x, 0.0], [0.0, 2.0]])
for p in [(1.0, 0.0), (-1.0, 0.0)]:
    ev = np.linalg.eigvalsh(hessian(*p))
    kind = "极小值" if (ev > 0).all() else ("极大值" if (ev < 0).all() else "鞍点")
    print(f"驻点 {p}: Hessian 特征值 {ev}, 判定 {kind}, f = {p[0]**3 - 3*p[0] + p[1]**2}")

输出：

驻点 (1.0, 0.0): Hessian 特征值 [2. 6.], 判定 极小值, f = -2.0
驻点 (-1.0, 0.0): Hessian 特征值 [-6.  2.], 判定 鞍点, f = 2.0

\((-1,0)\) 处沿 \(x\) 方向是极大（\(f_{xx}=-6\)），沿 \(y\) 方向是极小（\(f_{yy}=2\)），是鞍点。注意 \((1,0)\) 只是局部极小：\(x\to-\infty\) 时 \(f\to-\infty\)，全局极小不存在。

5.6.3 例：最小二乘回归

CFA 的简单回归 \(y=a+bx\) 的系数公式，其实是一个二元无约束极值问题的解。

最小化残差平方和 \(\text{SSE}(a,b)=\sum_{i=1}^n(y_i-a-bx_i)^2\)。

1. 对 \(a\) 求偏导（链式法则，内层对 \(a\) 的导数是 \(-1\)）：\(\dfrac{\partial\,\text{SSE}}{\partial a}=-2\sum(y_i-a-bx_i)\)。
2. 对 \(b\) 求偏导（内层导数是 \(-x_i\)）：\(\dfrac{\partial\,\text{SSE}}{\partial b}=-2\sum x_i(y_i-a-bx_i)\)。
3. 令两者为零，整理得正规方程：
   \[na+b\sum x_i=\sum y_i,\qquad a\sum x_i+b\sum x_i^2=\sum x_iy_i.\]
4. Hessian \(=2\begin{pmatrix}n&\sum x_i\\ \sum x_i&\sum x_i^2\end{pmatrix}\)。只要 \(x_i\) 不全相等，它就是正定的（\(\det=4\big(n\sum x_i^2-(\sum x_i)^2\big)=4n\sum(x_i-\bar x)^2>0\)），所以驻点是唯一的全局极小。

数值例。 5 个观测：\(x=(-2,0,1,3,3)\)，\(y=(-3,1,1,4,7)\)。\(n=5\)，\(\sum x=5\)，\(\sum x^2=23\)，\(\sum y=10\)，\(\sum xy=40\)。正规方程 \(5a+5b=10\)，\(5a+23b=40\)，两式相减得 \(18b=30\)，\(b=1.667\)，\(a=0.333\)。与公式 \(b=\frac{\sum(x-\bar x)(y-\bar y)}{\sum(x-\bar x)^2}=30/18\) 一致。多元回归、最大似然估计都是同一个套路：写出目标函数，令梯度为零。

5.7 凸函数

5.7.1 定义与判别

直觉。 凸函数的图像像一只碗：任取两点连一条弦，弦总在图像上方。

定义。 \(f\) 是凸函数，如果对任意 \(x,y\) 和任意 \(\theta\in[0,1]\)，

白话：「先混合再求值」不超过「先求值再混合」。若 \(-f\) 是凸函数，则 \(f\) 是凹函数。

二阶判别。 若 \(f\) 二阶可导，则 \(f\) 凸 \(\iff\) 在定义域内处处 \(H(x)\) 半正定。这是一元「\(f''\ge0\)」的直接推广。

数值例。 组合方差 \(w^\top\Sigma w\) 的 Hessian 是 \(2\Sigma\)。协方差矩阵总是半正定的（任何组合的方差 \(w^\top\Sigma w\ge0\)），所以组合方差是凸函数。检验凸性定义：\(w_A=(1,0)\)，\(w_B=(0,1)\)，方差分别为 0.0225 和 0.04；等权混合 \((0.5,0.5)\) 的方差是 \(0.25\times0.0225+0.25\times0.04+2\times0.25\times0.009=0.020125\)，小于 \(0.5\times0.0225+0.5\times0.04=0.03125\)。这个不等式的金融含义就是分散化。

5.7.2 为什么凸性重要

结论。 凸函数的任何局部极小都是全局极小；若还是严格凸，全局极小点唯一。对可微凸函数，\(\nabla f(x^*)=0\) 不仅是必要条件，也是充分条件。

推导要点：凸函数满足 \(f(y)\ge f(x)+\nabla f(x)^\top(y-x)\)（图像在每一点的切平面上方）。若 \(\nabla f(x^*)=0\)，代入得 \(f(y)\ge f(x^*)\) 对所有 \(y\) 成立。

实际意义。 凸问题可以放心交给数值优化器，找到的就是全局最优。均值–方差优化（凸二次规划）、最小二乘、Lasso 都是凸的。神经网络的损失函数通常不是凸的，所以训练结果依赖初始化，这是第 10 册要反复处理的问题。

5.8 拉格朗日乘子：以最小方差组合为例

5.8.1 问题与直觉

问题。 在 \(w_1+w_2=1\)（满仓）的约束下，选权重使组合方差最小。

可以把约束代入消元（\(w_2=1-w_1\)），变成一元问题。但资产一多、约束一多，消元就不现实了。拉格朗日乘子法给出一个统一的做法。

几何直觉。 画出 \(\sigma_p^2\) 的等高线（一圈圈椭圆）和约束线 \(w_1+w_2=1\)（一条直线）。沿约束线走，会穿过不同的等高线。最优点处，约束线恰好与某条等高线相切。相切意味着两条曲线在该点法向量平行。等高线的法向量是 \(\nabla f\)，约束 \(g(w)=c\) 的法向量是 \(\nabla g\)。所以最优点满足

对某个数 \(\lambda\) 成立。如果不相切，梯度在约束线方向上有分量，沿约束线往那个方向的反方向走一点，\(f\) 还能下降，就不是最优。

5.8.2 方法

结论（拉格朗日乘子法）。 求 \(\min f(x)\) s.t. \(g(x)=c\)。构造拉格朗日函数

最优点满足（在 \(\nabla g(x^*)\ne0\) 的正则性条件下）

第一组就是 \(\nabla f=\lambda\nabla g\)；第二组就是约束 \(g(x)=c\) 本身。\(n+1\) 个方程解 \(n+1\) 个未知数。多个约束时，每个约束配一个乘子。

\(\lambda\) 前面用减号还是加号只是习惯，不影响解，只影响 \(\lambda\) 的符号。

5.8.3 两只资产的推导

\(\mathcal L=w_1^2\sigma_1^2+w_2^2\sigma_2^2+2w_1w_2\sigma_{12}-\lambda(w_1+w_2-1)\)，记 \(\sigma_{12}=\rho\sigma_1\sigma_2\)。

1. \(\partial\mathcal L/\partial w_1=2w_1\sigma_1^2+2w_2\sigma_{12}-\lambda=0\)。

2. \(\partial\mathcal L/\partial w_2=2w_2\sigma_2^2+2w_1\sigma_{12}-\lambda=0\)。

3. 两式相减消去 \(\lambda\)：\(w_1(\sigma_1^2-\sigma_{12})=w_2(\sigma_2^2-\sigma_{12})\)。

   含义：最优点处两只资产的「边际方差」相等。如果不相等，把权重从边际方差高的资产挪到低的资产，方差会下降。

4. 代入 \(w_2=1-w_1\) 解出

   \[w_1^*=\frac{\sigma_2^2-\sigma_{12}}{\sigma_1^2+\sigma_2^2-2\sigma_{12}}.\]

数值例。 \(\sigma_1=15\%\)，\(\sigma_2=20\%\)，\(\rho=0.3\)：\(w_1^*=\dfrac{0.04-0.009}{0.0225+0.04-0.018}=\dfrac{0.031}{0.0445}=0.6966\)，\(w_2^*=0.3034\)。最小方差 0.018404，波动率 13.57%，低于两只资产各自的波动率。这就是 CFA 里两资产最小方差组合的公式。

5.8.4 \(n\) 只资产的推导

用矩阵写：\(\min_w w^\top\Sigma w\) s.t. \(\mathbf 1^\top w=1\)，其中 \(\mathbf 1\) 是全 1 向量。需要两个矩阵求导公式（第 06 章会推导）：\(\nabla_w(w^\top\Sigma w)=2\Sigma w\)（\(\Sigma\) 对称时），\(\nabla_w(\mathbf 1^\top w)=\mathbf 1\)。可以对照 5.2.2：\(2\Sigma w\) 的两个分量正是那两个偏导数。

1. \(\mathcal L=w^\top\Sigma w-\lambda(\mathbf 1^\top w-1)\)。
2. 对 \(w\) 求梯度并令其为零：\(2\Sigma w-\lambda\mathbf 1=0\)，所以 \(w=\frac\lambda2\Sigma^{-1}\mathbf 1\)。（要求 \(\Sigma\) 可逆，即没有完全冗余的资产。）
3. 代入约束：\(\mathbf 1^\top w=\frac\lambda2\mathbf 1^\top\Sigma^{-1}\mathbf 1=1\)，所以 \(\frac\lambda2=\dfrac1{\mathbf 1^\top\Sigma^{-1}\mathbf 1}\)。
4. 得到
   \[\boxed{w^*=\frac{\Sigma^{-1}\mathbf 1}{\mathbf 1^\top\Sigma^{-1}\mathbf 1}},\qquad\sigma^2_{\min}=w^{*\top}\Sigma w^*=\frac1{\mathbf 1^\top\Sigma^{-1}\mathbf 1}.\]
5. 由于目标函数凸、约束线性，这个驻点就是全局最小（5.7.2）。

第 2 步的条件 \(2\Sigma w=\lambda\mathbf 1\) 是两资产「边际方差相等」的推广：最优组合中，每只资产的边际方差 \((2\Sigma w)_i\) 都等于同一个 \(\lambda\)。

5.8.5 乘子的含义：影子价格

结论。 把约束右端从 \(c\) 改成 \(c+\Delta c\)，最优目标值约变化 \(\lambda\Delta c\)：

白话：\(\lambda\) 是「约束放松一单位值多少」，经济学里叫影子价格。

在最小方差问题里，把 \(\mathbf 1^\top w=1\) 改成 \(\mathbf 1^\top w=c\)，同样的推导给出 \(f^*(c)=c^2/(\mathbf 1^\top\Sigma^{-1}\mathbf 1)\)，求导 \(2c/(\mathbf 1^\top\Sigma^{-1}\mathbf 1)\)，在 \(c=1\) 处正好是 \(\lambda\)。

5.8.6 数值验证

三只资产，参数同 5.3.5。闭式解、数值优化器、影子价格三方核对：

import numpy as np
from scipy.optimize import minimize

vol = np.array([0.15, 0.20, 0.25])
corr = np.array([[1.0, 0.3, 0.2],
                 [0.3, 1.0, 0.5],
                 [0.2, 0.5, 1.0]])
Sigma = np.outer(vol, vol) * corr
ones = np.ones(3)

# 拉格朗日条件给出的闭式解：w = Σ^{-1}1 / (1'Σ^{-1}1)
x = np.linalg.solve(Sigma, ones)
w_star = x / (ones @ x)
lam = 2 / (ones @ x)                # min w'Σw s.t. 1'w=1 时的乘子
print("闭式解权重      :", np.round(w_star, 4))
print("组合方差 w'Σw   :", round(w_star @ Sigma @ w_star, 6), " 组合波动率:", round(np.sqrt(w_star @ Sigma @ w_star), 4))
print("乘子 lambda     :", round(lam, 6))
print("检查 2Σw - λ1   :", np.round(2 * Sigma @ w_star - lam * ones, 10))

# 数值优化器交叉验证
res = minimize(lambda w: w @ Sigma @ w, np.ones(3) / 3,
               constraints=[{"type": "eq", "fun": lambda w: w.sum() - 1}], method="SLSQP")
print("SLSQP 权重      :", np.round(res.x, 4))

# 乘子 = 约束放松一单位时目标值的变化率：把 1'w=1 改成 1'w=c
V = lambda c: c**2 / (ones @ x)     # 最优方差随 c 的变化
eps = 1e-6
print("dV/dc 数值      :", round((V(1 + eps) - V(1 - eps)) / (2 * eps), 6))

输出：

闭式解权重      : [0.6616 0.2228 0.1156]
组合方差 w'Σw   : 0.017758  组合波动率: 0.1333
乘子 lambda     : 0.035515
检查 2Σw - λ1   : [0. 0. 0.]
SLSQP 权重      : [0.6616 0.2228 0.1156]
dV/dc 数值      : 0.035515

代码中用 np.linalg.solve(Sigma, ones) 求 \(\Sigma^{-1}\mathbf 1\)，而不是先求逆再相乘。解线性方程组比显式求逆更快也更稳定，这是数值计算的通用做法。

5.8.7 加上目标收益约束

马科维茨问题再加一个约束 \(\mu^\top w=m\)（目标期望收益）。这时有两个约束、两个乘子：

同样令梯度为零得 \(w=\frac12\Sigma^{-1}(\lambda_1\mathbf 1+\lambda_2\mu)\)，再用两个约束解出 \(\lambda_1,\lambda_2\)。结果是：最优权重是 \(m\) 的线性函数，最小方差是 \(m\) 的二次函数，在 \((\sigma,m)\) 平面上画出来是一条双曲线，即有效前沿。\(\lambda_2\) 是「目标收益提高一单位，方差至少增加多少」，与有效前沿的斜率直接相关。详细推导见第 11 册第 05 章和第 04 册第 16a 章。

5.9 KKT 条件的直观

5.9.1 从等式约束到不等式约束

实际的组合几乎都有不等式约束：不许卖空（\(w_i\ge0\)）、单只上限（\(w_i\le10\%\)）、行业暴露上限。拉格朗日乘子法要推广到不等式，结果就是 KKT（Karush–Kuhn–Tucker）条件。

直觉。 每个不等式约束在最优点只有两种状态：

• 不起作用（非紧）：比如最优权重 \(w_i=0.3>0\)，约束 \(w_i\ge0\) 没有被碰到。去掉它，最优解不变。它的乘子应该是 0。
• 起作用（紧）：比如最优权重恰好 \(w_i=0\)，约束「顶住」了解。它就像一个等式约束，乘子可以非零，而且符号有限制：约束只能从一个方向推回去。

5.9.2 KKT 条件

问题：\(\min f(x)\) s.t. \(h_j(x)=0\)（等式），\(g_i(x)\ge0\)（不等式）。拉格朗日函数 \(\mathcal L=f-\sum_j\lambda_jh_j-\sum_i\mu_ig_i\)。在适当的正则性条件下，最优点满足：

1. 平稳性：\(\nabla f=\sum_j\lambda_j\nabla h_j+\sum_i\mu_i\nabla g_i\)。
2. 原始可行：\(h_j(x)=0\)，\(g_i(x)\ge0\)。
3. 对偶可行：\(\mu_i\ge0\)。
4. 互补松弛：\(\mu_ig_i(x)=0\)，即每个 \(i\) 至少有一个为零：要么约束紧（\(g_i=0\)），要么乘子为零（\(\mu_i=0\)）。

对凸问题（\(f\) 凸、等式约束线性、不等式约束的可行域凸），KKT 条件也是充分的。均值–方差优化属于这一类。

5.9.3 例：只做多的最小方差组合

\(\min w^\top\Sigma w\) s.t. \(\mathbf 1^\top w=1\)，\(w_i\ge0\)。KKT 平稳性条件是

逐个资产读：

• 持仓的资产（\(w_i>0\)）：互补松弛要求 \(\mu_i=0\)，所以 \((2\Sigma w)_i=\lambda\)。持仓资产的边际方差都相等，与 5.8.4 一样。
• 不持仓的资产（\(w_i=0\)）：\((2\Sigma w)_i=\lambda+\mu_i\ge\lambda\)。它的边际方差不低于持仓资产。加一点它进来，方差只会上升，所以不买它是对的。\(\mu_i\) 衡量「这条不许卖空的约束让你损失了多少」。

下面让资产 3 与资产 1 高度相关（0.9）且波动更大，无约束解会做空资产 3：

import numpy as np
from scipy.optimize import minimize

# 资产 3 与资产 1 高度相关且波动更大：无约束最小方差会做空它
vol = np.array([0.15, 0.20, 0.25])
corr = np.array([[1.0, 0.2, 0.9],
                 [0.2, 1.0, 0.3],
                 [0.9, 0.3, 1.0]])
Sigma = np.outer(vol, vol) * corr
ones = np.ones(3)
x = np.linalg.solve(Sigma, ones)
print("无约束解        :", np.round(x / x.sum(), 4))

cons = [{"type": "eq", "fun": lambda w: w.sum() - 1}]
res = minimize(lambda w: w @ Sigma @ w, ones / 3, method="SLSQP",
               constraints=cons, bounds=[(0, None)] * 3)
w = res.x
print("只做多解        :", np.round(w, 4))
g = 2 * Sigma @ w                  # 目标函数梯度
lam = g[:2].mean()                 # 前两个资产权重为正，KKT 要求 g_i = λ
mu = g - lam                       # 非负约束的乘子 μ_i = g_i - λ
print("梯度 2Σw        :", np.round(g, 5))
print("λ               :", round(lam, 5))
print("μ_i = g_i - λ   :", np.round(mu, 5))
print("互补松弛 μ_i*w_i:", np.round(mu * w, 8))

输出：

无约束解        : [ 1.3045  0.2998 -0.6043]
只做多解        : [0.6733 0.3267 0.    ]
梯度 2Σw        : [0.03422 0.03422 0.05525]
λ               : 0.03422
μ_i = g_i - λ   : [ 0.      -0.       0.02103]
互补松弛 μ_i*w_i: [ 0. -0.  0.]

无约束解要做空资产 3 达 60%，用它对冲资产 1。加上不许卖空后，资产 3 权重为 0，约束起作用，乘子 \(\mu_3=0.021>0\)；资产 1、2 权重为正，乘子为 0，边际方差都等于 \(\lambda=0.03422\)。四条 KKT 条件全部满足。\(-0\) 是浮点舍入，不是负数。

商业组合优化器（以及第 04 册第 16a 章的有效集法）本质上就是在猜「哪些约束起作用」，再解对应的等式约束问题，直到 KKT 条件全部满足。

5.10 二重积分

5.10.1 定义与直觉

金融例子。 两只资产的收益 \((X,Y)\) 有联合密度 \(f(x,y)\)。「两者同时上涨」的概率是密度在第一象限上的「体积」：

定义（直观版）。 把平面区域 \(D\) 切成许多小矩形，每个小矩形面积 \(\Delta x\Delta y\)，取函数值乘面积再求和，让网格无限细，极限就是二重积分 \(\iint_Df(x,y)\,dx\,dy\)。几何上，它是曲面 \(z=f(x,y)\) 与区域 \(D\) 之间的体积。这和第 03 章的一元定积分（面积 = 细长条之和）是同一个思路。

5.10.2 累次积分（Fubini 定理）

结论。 对性质良好的函数（连续，或非负，或绝对可积），二重积分可以化成两次一元积分，先积哪个都行：

内层积分时，外层变量当常数，和求偏导时「其他变量当常数」是一样的思路。

数值例 1：两个独立违约时间同时在 5 年内发生。 \(T_1\sim\text{Exp}(0.02)\)，\(T_2\sim\text{Exp}(0.03)\) 独立，联合密度 \(0.02e^{-0.02t_1}\cdot0.03e^{-0.03t_2}\)。

被积函数是乘积、区域是矩形时，二重积分等于两个一元积分之积。这就是独立事件概率相乘。

数值例 2：谁先违约。 区域不再是矩形：\(\{t_1<t_2\}\)。积分限要写对，外层 \(t_1\) 从 0 到 \(\infty\)，内层 \(t_2\) 从 \(t_1\) 到 \(\infty\)：

1. 内层：\(\int_{t_1}^\infty\lambda_2e^{-\lambda_2t_2}dt_2=e^{-\lambda_2t_1}\)（这就是 \(P(T_2>t_1)\)）。
2. 外层：\(\int_0^\infty\lambda_1e^{-\lambda_1t_1}e^{-\lambda_2t_1}dt_1=\dfrac{\lambda_1}{\lambda_1+\lambda_2}\)。

代入 \(\lambda_1=0.02\)，\(\lambda_2=0.03\)，得 \(P(T_1<T_2)=0.4\)。信用篮子产品（第 08 册第 25 章）的首次违约定价用的就是这种计算。

5.11 变量替换与雅可比行列式

5.11.1 一元回顾

一元换元：\(x=\phi(u)\) 时 \(dx=\phi'(u)du\)，即

（取绝对值并按 \(u\) 从小到大积分）。因子 \(|\phi'(u)|\) 修正「刻度被拉伸」：\(u\) 轴上长度 \(du\) 的小段，映射到 \(x\) 轴上长度约为 \(|\phi'(u)|du\)。

5.11.2 二元：面积的伸缩因子

二元换元 \(x=x(u,v)\)，\(y=y(u,v)\)。\((u,v)\) 平面上一个 \(du\times dv\) 的小矩形，被映射成 \((x,y)\) 平面上的一个小平行四边形。它的两条边近似是向量 \(\big(\frac{\partial x}{\partial u},\frac{\partial y}{\partial u}\big)du\) 和 \(\big(\frac{\partial x}{\partial v},\frac{\partial y}{\partial v}\big)dv\)，面积等于这两个向量构成的行列式的绝对值。所以

\(J\) 叫雅可比矩阵，\(\det J\) 叫雅可比行列式。换元公式为

数值例：线性变换。 \(x=2u\)，\(y=u+v\)。\(J=\begin{pmatrix}2&0\\1&1\end{pmatrix}\)，\(\det J=2\)。\((u,v)\) 平面上的单位正方形被映射成面积为 2 的平行四边形。行列式就是线性变换的「面积放大倍数」（第 06 章）。

5.11.3 极坐标与高斯积分

极坐标 \(x=r\cos\theta\)，\(y=r\sin\theta\)：

所以 \(dx\,dy=r\,dr\,d\theta\)。离原点越远，同样的 \(dr\,d\theta\) 对应的面积越大，因子 \(r\) 正好描述这一点。

应用：为什么正态密度的常数是 \(1/\sqrt{2\pi}\)。 记 \(I=\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2/2}dx\)。这个积分没有初等原函数，直接算不出来。技巧是先算 \(I^2\)：

1. \(I^2=\int e^{-x^2/2}dx\int e^{-y^2/2}dy=\iint_{\mathbb R^2}e^{-(x^2+y^2)/2}dx\,dy\)（两个一元积分之积写成二重积分，Fubini 反过来用）。
2. 换成极坐标，\(x^2+y^2=r^2\)，\(dx\,dy=r\,dr\,d\theta\)：\(I^2=\int_0^{2\pi}\int_0^\infty e^{-r^2/2}r\,dr\,d\theta\)。
3. 内层令 \(s=r^2/2\)，\(ds=r\,dr\)：\(\int_0^\infty e^{-s}ds=1\)。多出来的 \(r\) 恰好让积分变得可算。
4. 外层 \(\int_0^{2\pi}d\theta=2\pi\)。所以 \(I^2=2\pi\)，\(I=\sqrt{2\pi}\)。

于是 \(\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}\) 积分为 1，是合法的密度。

5.11.4 数值验证

import numpy as np
from scipy.integrate import dblquad

# 1) 高斯积分：直角坐标下的二重积分 vs 极坐标（雅可比 r）
f = lambda y, x: np.exp(-(x**2 + y**2) / 2)
I_cart, _ = dblquad(f, -10, 10, -10, 10)
I_polar, _ = dblquad(lambda r, th: np.exp(-r**2 / 2) * r, 0, 2 * np.pi, 0, 10)
print(f"直角坐标 ∬ = {I_cart:.8f}   极坐标 ∬ (含 r) = {I_polar:.8f}   2π = {2*np.pi:.8f}")
I_wrong, _ = dblquad(lambda r, th: np.exp(-r**2 / 2), 0, 2 * np.pi, 0, 10)
print(f"漏掉雅可比 r 的错误结果 = {I_wrong:.6f}")

# 2) 两只资产同时上涨的概率：二元标准正态，相关系数 ρ
rho = 0.6
def phi2(y, x):
    q = (x**2 - 2 * rho * x * y + y**2) / (1 - rho**2)
    return np.exp(-q / 2) / (2 * np.pi * np.sqrt(1 - rho**2))
P, _ = dblquad(phi2, 0, 10, 0, 10)
print(f"P(X>0, Y>0) 数值积分 = {P:.6f}   公式 1/4 + arcsin(ρ)/(2π) = {0.25 + np.arcsin(rho) / (2*np.pi):.6f}")

输出：

直角坐标 ∬ = 6.28318531   极坐标 ∬ (含 r) = 6.28318531   2π = 6.28318531
漏掉雅可比 r 的错误结果 = 7.874805
P(X>0, Y>0) 数值积分 = 0.352416   公式 1/4 + arcsin(ρ)/(2π) = 0.352416

两点说明。dblquad(f, a, b, c, d) 的被积函数参数顺序是 f(y, x)，内层变量在前，这是 scipy 的约定，容易写反。积分限取 \(\pm10\) 而不是 \(\pm\infty\)，因为 \(e^{-50}\) 已可忽略。

第二个结果的公式 \(\frac14+\frac{\arcsin\rho}{2\pi}\) 也来自变量替换：令 \(X=Z_1\)，\(Y=\rho Z_1+\sqrt{1-\rho^2}Z_2\)（\(Z_1,Z_2\) 独立标准正态），区域 \(\{X>0,Y>0\}\) 在 \((z_1,z_2)\) 平面上是一个顶点在原点、张角为 \(\frac\pi2+\arcsin\rho\) 的扇形。独立标准正态的联合密度在极坐标下与 \(\theta\) 无关，所以概率等于张角除以 \(2\pi\)。\(\rho=0.6\) 时同涨概率 35.2%，比独立时的 25% 高出 10 个点。

5.11.5 密度的变换

雅可比行列式在概率论里最常用的地方是求变换后随机变量的密度。

一元。 若 \(Y=\phi(X)\) 单调，\(X\) 的密度为 \(f_X\)，则

数值例：对数正态密度。 股价 \(S=e^X\)，\(X\sim N(\mu,\sigma^2)\)。反函数 \(x=\ln s\)，\(dx/ds=1/s\)，所以

多出来的 \(1/s\) 就是雅可比因子。\(\mu=0\)，\(\sigma=0.2\) 时，\(f_S(1)=\frac{1}{0.2\sqrt{2\pi}}=1.9947\)。

多元。 若 \(Y=\phi(X)\) 是 \(\mathbb R^n\) 上的一一变换，则

数值例。 \(Y_1=X_1+X_2\)，\(Y_2=X_1-X_2\)。反解 \(X_1=(Y_1+Y_2)/2\)，\(X_2=(Y_1-Y_2)/2\)，雅可比矩阵 \(\begin{pmatrix}1/2&1/2\\1/2&-1/2\end{pmatrix}\)，行列式 \(-1/2\)，绝对值 \(1/2\)。所以 \(f_Y(y_1,y_2)=\frac12f_X\big(\frac{y_1+y_2}2,\frac{y_1-y_2}2\big)\)。第 02 册第 06b 章用这个方法推导和与差的联合分布。

本章小结

练习

1. 求 \(f(x,y)=x^2y+3y\) 在 \((1,2)\) 处的两个偏导数。

答：\(f_x=2xy=4\)，\(f_y=x^2+3=4\)。

2. \(f(x,y)=x^2+xy\)。求 \((1,1)\) 处的梯度，以及沿方向 \((3,4)\) 的方向导数。

答：\(\nabla f=(2x+y,\ x)=(3,1)\)。单位方向 \(u=(0.6,0.8)\)，\(D_uf=3\times0.6+1\times0.8=2.6\)。注意先把方向向量化成单位长度。

3. 求 \(f(x,y)=x^2+4xy+y^2\) 的驻点并判断类型。

答：\(\nabla f=(2x+4y,\ 4x+2y)=0\) 只有解 \((0,0)\)。\(H=\begin{pmatrix}2&4\\4&2\end{pmatrix}\)，\(\det H=4-16=-12<0\)，不定，是鞍点（特征值 6 和 \(-2\)）。沿 \(x=y\) 方向 \(f=6x^2\) 上升，沿 \(x=-y\) 方向 \(f=-2x^2\) 下降。

4. 两只资产 \(\sigma_1=10\%\)，\(\sigma_2=30\%\)，\(\rho=0\)。求最小方差组合权重和波动率。

答：\(w_1^*=\dfrac{0.09}{0.01+0.09}=0.9\)。方差 \(0.81\times0.01+0.01\times0.09=0.009\)，波动率 9.49%，低于资产 1 的 10%。

5. 上题改为 \(\rho=-1\)，结果如何？

答：\(\sigma_{12}=-0.03\)，\(w_1^*=\dfrac{0.09+0.03}{0.01+0.09+0.06}=0.75\)。组合波动率 \(0.75\times0.1-0.25\times0.3=0\)，完全对冲。

6. 用拉格朗日乘子法求 \(\max xy\) s.t. \(x+y=10\)，并解释 \(\lambda\)。

答：\(\mathcal L=xy-\lambda(x+y-10)\)。\(y=\lambda\)，\(x=\lambda\)，代入约束得 \(x=y=\lambda=5\)，最大值 25。约束放松到 \(x+y=11\) 时最大值 \(30.25\)，增加 5.25，近似等于 \(\lambda=5\)。

7. 夏普比率 \(g(a,b)=a/\sqrt b\)。在 \(a=0.06\)，\(b=0.0225\) 处求两个偏导数，并估计方差升到 0.025 时夏普比率的变化。

答：\(\sqrt b=0.15\)，\(g=0.4\)。\(\partial g/\partial a=1/0.15=6.667\)；\(\partial g/\partial b=-\frac12\times0.06\times0.0225^{-1.5}=-0.06/(2\times0.003375)=-8.889\)。变化约 \(-8.889\times0.0025=-0.0222\)。精确值 \(0.06/\sqrt{0.025}-0.4=0.3795-0.4=-0.0205\)。

8. 判断下列函数是否为凸函数：（a）\(w^\top\Sigma w\)，\(\Sigma\) 为协方差矩阵；（b）\(f(x)=-\ln x\)，\(x>0\)；（c）\(f(x,y)=xy\)。

答：（a）凸，Hessian \(2\Sigma\) 半正定。（b）凸，\(f''=1/x^2>0\)。（c）不凸，\(H=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}\) 特征值 \(\pm1\)，不定。

9. 写出 \(f(x,y)=e^{x+2y}\) 在 \((0,0)\) 处的二阶泰勒展开，并在 \((0.1,0.05)\) 处与真值比较。

答：\(\nabla f(0)=(1,2)\)，\(H(0)=\begin{pmatrix}1&2\\2&4\end{pmatrix}\)。\(f\approx1+x+2y+\frac12(x^2+4xy+4y^2)\)。代入得 \(1+0.1+0.1+\frac12(0.01+0.02+0.01)=1.22\)，真值 \(e^{0.2}=1.22140\)。

10. 用 KKT 条件求 \(\min(x-2)^2\) s.t. \(x\le1\)，并解释乘子。

答：写成 \(g(x)=1-x\ge0\)，\(\mathcal L=(x-2)^2-\mu(1-x)\)。平稳性 \(2(x-2)+\mu=0\)。若 \(\mu=0\)，则 \(x=2\)，不可行。所以约束起作用，\(x=1\)，\(\mu=2\ge0\)。含义：上限从 1 放宽到 \(1+\epsilon\)，目标值约下降 \(2\epsilon\)。

11. 两个独立违约时间 \(T_1\sim\text{Exp}(0.01)\)，\(T_2\sim\text{Exp}(0.04)\)。求 \(P(T_1<T_2)\)。

答：\(\lambda_1/(\lambda_1+\lambda_2)=0.01/0.05=0.2\)。

12. 设 \((X_1,X_2)\) 有联合密度 \(f_X\)，\(Y_1=X_1+X_2\)，\(Y_2=X_1-X_2\)。写出 \(Y\) 的联合密度，并说明雅可比因子是多少。

答：\(f_Y(y_1,y_2)=\frac12f_X\big(\frac{y_1+y_2}2,\frac{y_1-y_2}2\big)\)。反变换的雅可比行列式是 \(-\frac12\)，取绝对值 \(\frac12\)。也可以先算正变换 \(\det\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}=-2\)，再取倒数的绝对值。

在全书中用到的地方

• 第 02 册第 06b 章（条件分布、次序统计量与变换）：用雅可比行列式求变换后的联合密度。
• 第 02 册第 07c 章（矩母函数与多元正态）：多元正态密度的常数与线性变换。
• 第 03 册第 01 章、第 09 章：多元 Delta 方法用梯度；最大似然估计令得分函数（对数似然的梯度）为零，用 Hessian（Fisher 信息）给出标准误。
• 第 03 册第 13a 章、第 05 册第 19a 章：最小二乘的正规方程。
• 第 04 册第 02 章、第 12 章、第 16a 章：无约束优化的一阶二阶条件；约束优化理论与 KKT；二次规划与有效集法。几乎整本第 04 册都建立在本章之上。
• 第 08 册第 14 章、第 19b 章：伊藤引理是二阶泰勒展开的随机版本；Gamma、Vega 与 Greeks 风险管理。
• 第 08 册第 25 章（信用衍生品）：首次违约篮子用到多个违约时间的联合分布积分。
• 第 10 册第 08 章、第 09 章、第 11 章：性能曲面的梯度与 Hessian；最速下降与牛顿法；反向传播就是多元链式法则。
• 第 11 册第 04 章、第 05 章：风险模型中的边际风险与风险贡献；均值–方差、最小方差、风险平价组合的构建。