元信息：John C. Hull《Options, Futures, and Other Derivatives》(Global Edition)；负责 PDF 第 716–892 页（第 30–36 章及书末附录）。注：PDF 页码 = 书页码 + 1（如 PDF p.716 对应书 p.715）。

第 30 章 凸性、时间与 Quanto 调整（Convexity, Timing, and Quanto Adjustments）（PDF p.716–728）

引子：两步法（two-step procedure）。估值欧式衍生品的常用做法：(1) 假设每个标的变量的期望值等于其远期值（forward value），算期望支付；(2) 用估值日到支付日的无风险利率贴现。FRA（第 4 章）、互换（第 7 章）、Black 模型（第 18、28 章）以及第 29 章的债券期权/上限/互换期权模型都是两步法的应用。问题：对非标准利率衍生品，两步法并不总成立，第一步中的远期值需要调整。本章讨论三类调整：凸性调整（convexity adjustment）、时间调整（timing adjustment）、quanto 调整（quanto adjustment）。

30.1 凸性调整（PDF p.716–720）

设定：支付依赖于时刻 \(T\) 观察到的债券收益率。通常变量 \(S\) 的远期值是指使支付 \(S_T-K\) 的远期合约价值为零的 \(K\)。第 28.4 节已指出远期利率与远期债券收益率定义不同：远期利率是远期零息债券所隐含的利率；远期债券收益率（forward bond yield）是远期债券价格所隐含的收益率。

记 \(B_T\) 为 \(T\) 时刻债券价格，\(y_T\) 为其收益率，定价关系 \(B_T=G(y_T)\)。\(F_0\) 为到期 \(T\) 的远期债券价格，\(y_0\) 为远期债券收益率，有 \(F_0=G(y_0)\)。由于 \(G\) 非线性，在关于 \(P(t,T)\) 远期风险中性的世界里（期望债券价格 = 远期价格），期望收益率 ≠ 远期收益率。

图 30.1 直观：设只有三个等可能、等间距的债券价格 \(B_1,B_2,B_3\)（\(B_2-B_1=B_3-B_2\)），远期价格为 \(B_2\)；对应收益率 \(y_1,y_2,y_3\) 不等间距（价格–收益率曲线是凸的），\(y_2\) 是远期收益率，而三者平均明显大于 \(y_2\)。

由式 (28.20)，支付依赖 \(T\) 时刻收益率的衍生品可以：(a) 在关于 \(T\) 到期零息债的远期风险中性世界计算期望支付；(b) 以 \(T\) 期无风险利率贴现。所需期望收益率的近似（本章附录证明）：

应用 1：利率。工具在 \(T\) 时刻支付 \(L\tau R_T\)，\(\tau=T^*-T\)，\(R_T\) 是 \(T\) 到 \(T^*\) 的零息利率（复利周期 \(\tau\)）。正常情况下这段利息应在 \(T^*\) 支付，这里提前到 \(T\) 支付（第 33 章 LIBOR-in-arrears 互换会用到）。\(R_T\) 可视为 \(T\) 时刻到期 \(T^*\) 零息债的收益率，\(G(y)=1/(1+\tau y)\)。代入 (30.1)：

例 30.1：3 年后支付"届时 1 年期无风险零息利率（年复利）×$1000"。零息曲线平坦 10%（年复利），3–4 年远期利率波动率 20%。\(R_0=0.10,\sigma_R=0.20,T=3,\tau=1\)，\(P(0,3)=1/1.1^3=0.7513\)。价值 \(=0.7513\times1000\times1\times\left[0.10+\dfrac{0.10^2\times0.20^2\times1\times3}{1.10}\right]=\$75.95\)；不做凸性调整为 $75.13。

应用 2：互换利率。支付等于 \(T\) 时刻观察到的互换利率。LIBOR 贴现下互换利率是平价收益率（par yield）。近似：\(T\) 时刻的 \(N\) 年互换利率 ≈ 票息等于今日远期互换利率的 \(N\) 年债券在 \(T\) 时刻的收益率，从而可用 (30.1)。

例 30.2：3 年后支付"届时 3 年期互换利率 ×$100"，年付息，所有期限互换利率 12%（年复利），3 年后起始的 3 年远期互换利率波动率 22%（由互换期权隐含），用 LIBOR/swap 曲线贴现。把互换利率近似为 12% 票息债券收益率：

30.2 时间调整（PDF p.720–722）

设定：市场变量 \(V\) 在 \(T\) 观察，但支付在更晚的 \(T^*\) 发生。记 \(E_T(V_T)\)、\(E_{T^*}(V_T)\) 分别为关于 \(P(t,T)\)、\(P(t,T^*)\) 远期风险中性世界下的期望。从 \(P(t,T)\) 计价单位换到 \(P(t,T^*)\) 计价单位的计价单位比率（numeraire ratio，见 28.8 节）为

用远期利率表示：令 \(R\) 为 \(T\)–\(T^*\) 远期利率（复利频率 \(m\)），\(\sigma_R\) 为其波动率。\(W=1/(1+R/m)^{m(T^*-T)}\)。由 Itô 引理，\(\sigma_W W=\sigma_R R\,\partial W/\partial R=-\dfrac{\sigma_R R(T^*-T)}{(1+R/m)^{m(T^*-T)+1}}\)，所以 \(\sigma_W=-\dfrac{\sigma_R R(T^*-T)}{1+R/m}\)。于是

例 30.3：6 年后支付"5 年后观察到的股指值"。5 年期远期指数 1,200，指数波动率 20%，5–6 年远期利率波动率 18%，两者相关 \(-0.4\)，零息曲线平坦 8%（年复利）。\(T=5,T^*=6,m=1,R_0=0.08\)： \(E_{T^*}(V_T)=E_T(V_T)\exp\left[-\frac{(-0.4)\times0.20\times0.18\times0.08\times1}{1.08}\times5\right]=1.00535\,E_T(V_T)\)。\(E_T(V_T)\) 就是远期价格 1,200，故 \(E_{T^*}(V_T)=1{,}206.42\)；由 (28.20) 价值 \(=1{,}206.42\times P(0,6)\)，\(P(0,6)=1/1.08^6=0.6302\)，价值 760.25。

重新推导应用 1：令 \(V=R\)（\(T\) 到 \(T^*\) 的利率），由 (28.22) \(E_{T^*}(R_T)=R_0\)。用 (30.4)（\(\rho=1\)，\(m=1/\tau\)）：\(E_{T^*}(R_T)=E_T(R_T)\exp\left[-\frac{\sigma_R^2R_0\tau}{1+R_0\tau}T\right]\)，故 \(E_T(R_T)=R_0\exp\left[\frac{\sigma_R^2R_0\tau T}{1+R_0\tau}\right]\)，一阶展开即得式 (30.2)。

30.3 Quanto（PDF p.722–725）

定义：quanto（又称跨币种衍生品，cross-currency derivative）涉及两种货币：支付依据一种货币计量的变量，但以另一种货币支付。例：CME 的日经 225 期货（Business Snapshot 5.3），标的以日元计，结算用美元。

设定：支付以货币 X 在 \(T\) 支付，依赖于以货币 Y 观察的变量 \(V\)。\(P_X(t,T)\)、\(P_Y(t,T)\) 分别为 X、Y 计价的零息债价值；\(E_X(V_T)\)、\(E_Y(V_T)\) 为对应远期风险中性世界的期望。从 \(P_Y\) 换到 \(P_X\) 计价单位的比率

例 30.4：日经指数 15,000 日元，1 年美元无风险利率 5%，日元 2%，股息率 1%。日元计价 1 年远期价格（式 5.8）\(15{,}000e^{(0.02-0.01)\times1}=15{,}150.75\)。指数波动率 20%，1 年期日元/美元远期汇率波动率 12%，相关 0.3。\(E_Y(V_T)=15{,}150.75\)，关于 1 年美元零息债远期风险中性世界下的期望为 \(15{,}150.75e^{0.3\times0.2\times0.12\times1}=15{,}260.23\)。这就是以美元支付的日经远期价格（近似也是其期货价格）。

用传统风险中性测度：远期风险中性测度适合单一支付时点；多时点支付（如美式）更宜用传统风险中性测度。已知 \(V\) 在 Y 货币传统风险中性世界的过程，求在 X 货币传统风险中性世界的过程。记 \(S\) 为即期汇率（Y/X），\(\sigma_S\) 其波动率，\(\rho\) 为 \(S\) 与 \(V\) 的相关。计价单位从 Y 货币货币市场账户换到 X 货币货币市场账户（以同一货币计量），比率为 \(g_XS/g_Y\)。\(g_X,g_Y\) 漂移随机但波动率为 0（28.4 节），由 Itô 引理比率的波动率为 \(\sigma_S\)。因此换计价单位使 \(V\) 的期望增长率增加

Business Snapshot 30.1 Siegel 悖论（Siegel's paradox）：两种货币利率 \(r_X,r_Y\) 为常数，\(S\) 为每单位 X 的 Y 数量。货币相当于收益率为外国无风险利率的资产，传统风险中性过程 \(dS=(r_Y-r_X)S\,dt+\sigma_SS\,dz\)。由 Itô 引理 \(d(1/S)=(r_X-r_Y+\sigma_S^2)(1/S)dt-\sigma_S(1/S)dz\)。对称性似乎要求 \(1/S\) 的增长率为 \(r_X-r_Y\)，多出的 \(\sigma_S^2\) 就是悖论。解释：\(S\) 的过程是以 Y 货币货币市场账户为计价单位的，推出的 \(1/S\) 过程也沿用了这个计价单位；而 \(1/S\) 是每单位 Y 的 X 数量，对称地应在 X 货币计价单位下考察。由 (30.7)，\(V=1/S\) 时 \(\rho=-1\)、\(\sigma_V=\sigma_S\)，换计价单位使增长率增加 \(-\sigma_S^2\)，正好抵消，得 \(d(1/S)=(r_X-r_Y)(1/S)dt-\sigma_S(1/S)dz\)，悖论化解。

例 30.5：2 年期美式期权，行权时支付 \(S-K\) 英镑，\(S\) 为 S&P 500 指数，当前 1,200，\(K=1{,}200\)。英镑、美元利率恒为 5%、3%，美元/英镑汇率与指数相关 0.2，指数波动率 25%，汇率波动率 12%，股息率 1.5%。以英国货币市场账户为计价单位建立二叉树。由 (30.7)，增长率增加 \(0.2\times0.25\times0.12=0.006\)。美元计价单位下增长率 \(3\%-1.5\%=1.5\%\)，英镑计价单位下为 2.1%；英镑无风险利率 5%，所以指数在英镑测度下相当于股息率 \(5\%-2.1\%=2.9\%\) 的资产。用 \(S=1200,K=1200,r=0.05,q=0.029,\sigma=0.25,T=2\)、100 步，DerivaGem 估值 £179.83。

小结与附录（PDF p.725–728）

小结：支付依赖 \(T\) 时刻债券收益率时，期望收益率应高于远期收益率，见 (30.1)，可推广到互换利率；变量在 \(T\) 观察而支付在 \(T^*\) 时，用 (30.4) 调整；变量以一种货币观察、以另一种货币支付时，用 (30.6) 调整。这些结果在第 33 章非标准互换中使用。

附录：凸性调整公式的证明。\(G(y_T)\) 在 \(y_0\) 处二阶 Taylor 展开：\(B_T=G(y_0)+(y_T-y_0)G'(y_0)+\tfrac12(y_T-y_0)^2G''(y_0)\)。在 \(T\) 远期风险中性世界取期望，且该世界里 \(E_T(B_T)=\) 远期价格 \(=G(y_0)\)，得

常见误区：(1) 远期利率是远期零息债隐含的利率，在对应 \(T^*\) 远期风险中性测度下无偏；但"在 \(T\) 支付"时测度变了，需要凸性/时间调整。(2) 凸性调整的大小与 \(\sigma^2T\) 成正比，长期限、高波动时不可忽略。(3) quanto 调整的符号取决于标的与汇率的相关性，汇率方向（Y/X 还是 X/Y）定义要一致。

本章要点

• 两步法"变量取远期值 + 无风险贴现"只在支付时点、货币与远期定义完全匹配时成立。
• 凸性调整 (30.1)/(30.2)：源于价格–收益率关系的非线性；LIBOR-in-arrears、CMS（固定期限互换利率）类产品需要它。
• 时间调整 (30.4)：观察时点与支付时点不同，调整项取决于 \(V\) 与 \(T\)–\(T^*\) 远期利率的相关。
• quanto 调整 (30.6)/(30.7)：增长率增加 \(\rho\sigma_V\sigma_W\)（远期测度）或 \(\rho\sigma_V\sigma_S\)（传统测度）；Siegel 悖论是计价单位不一致造成的。
• 期限结构模型（第 31、32 章）可直接得出这些结果，无需单独调整。

与量化交易的关联

• 定价：CMS 互换/上限、LIBOR-in-arrears、quanto 期货与期权（如美元结算的日经、恒指、原油人民币结算）定价都直接用这些公式；对交易台而言，凸性调整是 CMS 价差交易的核心。
• 风险建模：quanto 产品对"标的–汇率相关"有敏感度（cross-gamma/correlation risk），风险系统需要相关性压力情景。
• 系统实现：在定价库里统一用"测度 + 计价单位"框架实现，比为每个产品写特例更不易出错；Siegel 悖论提醒多币种模拟时要明确 drift 是在哪个测度下。
• 对股票因子研究、回测基本无直接关联。

推荐习题

• 30.1、30.2、30.3：判断何时需要凸性/时间调整（概念题）。
• 30.4、30.5：互换利率凸性调整 + 时间调整的完整计算。
• 30.6：用 Itô 引理与鞅性质给出 (30.1) 的另一推导。
• 30.7：同一资产在四种测度（A/B 货币传统风险中性、A/B 零息债远期风险中性）下的过程与风险价格，测度变换的综合练习。
• 30.8、30.9、30.10：quanto 期权估值与 quanto 产品的 delta 对冲（30.10 中"投资 \(S\) 美元于日经并做空 \(SQ\) 日元"的复制构造很有启发）。
• 30.11–30.13：多利率组合支付的凸性/时间调整。

第 31 章 利率衍生品：短期利率模型（Interest Rate Derivatives: Models of the Short Rate）（PDF p.729–762）

动机：第 29 章的 Black 类模型假设某一未来时刻的利率、债券价格等服从对数正态，适合欧式上限、欧式债券期权、欧式互换期权，但它们不描述利率随时间如何演化，所以不能用于美式产品或结构化票据。为此需要期限结构模型（term structure model）：描述所有零息利率演化的模型。本章通过设定短期利率 \(r\) 的行为来构造期限结构模型。本章只对单条无风险零息曲线建模；在 OIS 贴现成为主流后，常需对 OIS 曲线建模，再另建 OIS–LIBOR 利差模型（见 32.3 节）。脚注：期限结构模型的好处之一是不再需要第 30 章的凸性和时间调整。

31.1 背景（PDF p.729–730）

无风险短期利率 \(r\)（瞬时短期利率，instantaneous short rate）是时刻 \(t\) 适用于无穷小区间的利率。债券和衍生品价格只取决于 \(r\) 在风险中性世界中的过程，现实世界过程不用于定价。本章过程除特别说明外都在传统风险中性世界中（\(t\) 到 \(t+\Delta t\) 平均赚 \(r(t)\Delta t\)）。

由式 (28.19)，在 \(T\) 支付 \(f_T\) 的利率衍生品在 \(t\) 时刻价值

若 \(dr=m(r,t)dt+s(r,t)dz\)，由 Itô 引理及"无收益衍生品在风险中性世界以 \(r\) 增长"，得利率衍生品的偏微分方程（相当于利率版 BSM 方程）：

31.2 均衡模型（Equilibrium Models）（PDF p.730–737）

均衡模型从经济变量假设出发推出 \(r\) 的过程，再推出债券和期权价格。单因子均衡模型：\(dr=m(r)dt+s(r)dz\)，漂移和波动只依赖 \(r\)、不依赖时间。单因子不等于平行移动：单因子意味着短时间内所有利率同向变动，但幅度可不同，所以曲线形状仍可变化。

三种模型：

• Rendleman–Bartter：\(m=\mu r\)，\(s=\sigma r\)；
• Vasicek：\(m=a(b-r)\)，\(s=\sigma\)；
• Cox–Ingersoll–Ross（CIR）：\(m=a(b-r)\)，\(s=\sigma\sqrt r\)。

Rendleman–Bartter 模型：\(dr=\mu r\,dt+\sigma r\,dz\)，即 \(r\) 服从几何布朗运动，可像股票一样用二叉树表示。缺点：没有均值回归（mean reversion）。利率似乎会被拉回长期平均水平：\(r\) 高时漂移为负，\(r\) 低时漂移为正（图 31.1）。经济理由：利率高时经济放缓、借款需求低，利率下降；利率低时借款需求高，利率上升。

Vasicek 模型：\(dr=a(b-r)dt+\sigma dz\)，\(a,b,\sigma\) 为非负常数；\(r\) 以速度 \(a\) 被拉向 \(b\)，叠加正态随机项。零息债价格

CIR 模型：\(dr=a(b-r)dt+\sigma\sqrt r\,dz\)。漂移同 Vasicek，但短期变动标准差与 \(\sqrt r\) 成比例，利率越高波动越大。债券价格形式相同 \(P=Ae^{-Br}\)，但

Vasicek 与 CIR 的共同性质：

替代久期 \(\hat D\)：第 4 章修正久期 \(D\) 由 \(\Delta Q/Q=-D\Delta y\) 定义（平行移动）。在 Vasicek/CIR 中定义 \(\hat D=-\frac1Q\frac{\partial Q}{\partial r}\)；对零息债 \(\hat D=B(t,T)\)。 例 31.1：4 年零息债 \(D=4\)，10bp 平行移动使价格降约 0.4%。Vasicek \(a=0.1\) 时 \(\hat D=B(0,4)=(1-e^{-0.4})/0.1=3.30\)，短期利率升 10bp 价格降约 0.33%。由于均值回归，债券对短期利率的敏感度小于对平行移动的敏感度。零息债组合（本金 \(c_i\)）的 \(\hat D=\sum_i\frac{c_iP(t,T_i)}{Q}\hat D_i\)，附息债的 \(\hat D\) 是成分零息债 \(\hat D\) 的加权平均；也可类似定义凸性（习题 31.21）。

债券价格过程：\(P\) 是交易证券，风险中性下期望增长率为 \(r\)；由 Itô 引理和 (31.9)： Vasicek：\(dP=rP\,dt-\sigma B P\,dz\)；CIR：\(dP=rP\,dt-\sigma\sqrt r BP\,dz\)。

参数可比性：比较两模型时取相同 \(a,b\)，但 \(\sigma_{vas}\approx\sigma_{cir}\sqrt{r}\)。如 \(r=4\%\)、\(\sigma_{vas}=0.01\)，对应 \(\sigma_{cir}=0.01/\sqrt{0.04}=0.05\)。Vasicek 下 \(r\) 可以为负，CIR 下不可能为负；当 \(2ab>\sigma^2\) 时 \(r\) 也不会到 0（Feller 条件）。

均衡模型的应用（PDF p.736–737）：定价衍生品时模型应精确拟合当前曲线（见下一节）；但长期情景分析（如养老金、保险公司关心 20 年后组合价值）用 Monte Carlo 时，均衡模型很有用，当前曲线的精确形状影响不大。参数估计两种途径：(1) 用短期利率历史数据（1 个月或 3 个月利率作代理），对 \(\Delta r\) 关于 \(r\) 回归或最大似然（习题 31.13）——得到现实世界参数；(2) 用 Excel Solver 等拟合债券价格，最小化模型价与市场价的平方差——得到风险中性参数。情景分析中短期利率要用现实世界过程模拟，但每个时点的完整曲线要用风险中性参数计算。从现实世界到风险中性世界，短期利率波动率不变，漂移改变，需要估计利率风险的市场价格（market price of interest rate risk）\(\lambda\)。Ahmad 与 Wilmott 比较零息曲线斜率与短期利率现实漂移，估计美国长期平均 \(\lambda\approx-1.2\)，随时间变化很大；压力时期（如 2007–2009 信用危机，"恐惧因子"高）是比 \(-1.2\) 更负的数。

例 31.2：离散 Vasicek \(\Delta r=a(b-r)\Delta t+\sigma\varepsilon\sqrt{\Delta t}\) 拟合 10 年周数据。\(\Delta r\) 对 \(r\) 回归：斜率 \(-0.004\)，截距 0.00016，回归标准误 0.001。\(\Delta t=1/52\)，则 \(a/52=0.004\)，\(ab/52=0.00016\)，\(\sigma/\sqrt{52}=0.001\)，得 \(a=0.21\)，\(b=0.04\)，\(\sigma=0.0072\)（短期利率以 21% 的速度回归到 4%，比例波动率为 \(0.72\%/r\)）。转换到风险中性：比例漂移 \(a(b-r)/r\) 减少 \(\lambda\sigma/r\)，所以 \(dr=[a(b-r)-\lambda\sigma]dt+\sigma dz=a(b^*-r)dt+\sigma dz\)，\(b^*=b-\lambda\sigma/a\)。取 \(\lambda=-1.2\)：\(b^*=0.04+1.2\times0.0072/0.21\approx0.08\)（原书印刷为"\(1.2\times0.01/0.2=0.1\)"，数值与前文参数不一致，按前文参数应约为 0.081；编写时注明）。之后可用 (31.6)–(31.8)（以 \(b^*\) 代替 \(b\)）在模拟每个时点得到完整曲线。

例 31.3：CIR 拟合一组债券价格得风险中性参数 \(a=0.15,b=0.06,\sigma=0.05\)。比例漂移 \(a(b-r)/r\)，比例波动 \(\sigma/\sqrt r\)；从风险中性到现实世界，比例漂移增加 \(\lambda\sigma/\sqrt r\)，现实过程 \(dr=[a(b-r)+\lambda\sigma\sqrt r]dt+\sigma\sqrt r\,dz\)，可用于现实世界模拟，长期利率仍用风险中性过程和解析式计算；同样可取 \(\lambda=-1.2\)。脚注：CIR 下为保持漂移形式，可设 \(\lambda\) 正比于 \(\sqrt r\) 或 \(1/\sqrt r\)。

31.3 无套利模型（No-Arbitrage Models）（PDF p.737–742）

均衡模型不能自动拟合当前期限结构，只能近似。交易员不能接受：标的债券都定价不准，期权价格就不可信——标的债券 1% 的误差可能导致期权价格 25% 的误差。无套利模型设计为与当前期限结构精确一致。核心区别：均衡模型中当前期限结构是输出；无套利模型中是输入。均衡模型的漂移一般不随时间变化；无套利模型的漂移一般依赖时间，因为初始零息曲线的形状决定了短期利率未来的平均路径：若 \(t_1\) 到 \(t_2\) 曲线陡峭上行，则此间 \(r\) 漂移为正，反之为负。部分均衡模型加入时间函数即可变为无套利模型。

Ho–Lee 模型（1986，第一个无套利模型，原以债券价格二叉树形式给出，参数为短期利率标准差和市场风险价格；风险价格参数在定价时无关）。连续时间极限：

Hull–White 单因子模型（1990，扩展 Vasicek 以精确拟合初始曲线）：

Black–Derman–Toy（BDT）模型（1990）：对数正态短期利率的二叉树模型，对应过程

Black–Karasinski 模型（1991）：\(d\ln r=[\theta(t)-a(t)\ln r]dt+\sigma(t)dz\)，但 \(a(t)\) 与 \(\sigma(t)\) 相互独立。实践中常取常数：

Hull–White 两因子模型：

31.4 债券期权（PDF p.741–742）

零息债期权解析式（Vasicek、Ho–Lee、Hull–White 单因子）：\(T\) 到期、标的为 \(s\) 到期零息债（本金 \(L\)、执行价 \(K\)）的看涨期权在 0 时刻价格

附息债期权（Jamshidian 分解）：单因子模型中所有零息债价格随 \(r\) 同向变动，因此附息债欧式期权可分解为零息债欧式期权之和：

1. 求临界值 \(r^*\)：使附息债在期权到期日 \(T\) 的价格等于执行价；
2. 对构成附息债的每个零息债，计算到期 \(T\) 的欧式期权价格，执行价取 \(r=r^*\) 时该零息债在 \(T\) 的价值；
3. 附息债期权价格 = 第 2 步各期权价格之和。 适用于 Vasicek、CIR、Ho–Lee、Hull–White。欧式互换期权可看作附息债期权（Business Snapshot 29.2），同样适用（数值例见 Technical Note 15）。注意：两因子模型下不成立（习题 31.5），因为零息债不再随单一变量单调变动。

31.5 波动率结构（PDF p.742–743）

在平坦期限结构下，3 个月远期利率波动率与期限的关系（图 31.5）：Ho–Lee 对所有期限相同；Hull–White 单因子由于均值回归，随期限递减；Hull–White 两因子在参数合适时呈"驼峰"形，与实证及 29.2 节中上限隐含波动率的驼峰一致。

31.6 利率树（PDF p.743–745）

利率树是短期利率过程的离散时间表示。时间步 \(\Delta t\)，树上的利率是连续复利的 \(\Delta t\) 期利率 \(R\)；通常假设 \(R\) 与连续模型中的瞬时利率 \(r\) 服从相同过程。与股票树的主要区别在贴现：股票树每个节点贴现率相同或只依赖时间；利率树中贴现率因节点而异。常用三叉树：多一个自由度，便于表示均值回归；三叉树等价于显式有限差分法（21.8 节）。

三叉树示例（图 31.6）：两步、\(\Delta t=1\) 年，每个节点上/中/下概率 0.25/0.50/0.25。衍生品在第二步末支付 \(\max[100(R-0.11),0]\)。末端节点 E（\(R=14\%\)）价值 \(100\times0.03=3\)。节点 B 利率 12%：\([0.25\times3+0.5\times1+0.25\times0]e^{-0.12}=1.11\)；节点 C 利率 10%：\((0.25\times1)e^{-0.10}=0.23\)；初始节点 A 利率 10%：\((0.25\times1.11+0.5\times0.23)e^{-0.10}=0.35\)。

非标准分叉（图 31.7）：(a) 常规"上一/平/下一"；(b) "上二/上一/平"，在利率很低时实现均值回归；(c) "平/下一/下二"，在利率很高时实现均值回归。

31.7 一般建树程序（Hull–White 两阶段法）（PDF p.745–755）

第一阶段：对 Hull–White 模型 \(dr=[\theta(t)-ar]dt+\sigma dz\)，设时间步 \(\Delta t\) 恒定，假设 \(\Delta t\) 期利率 \(R\) 服从同样过程。先对初值为 0、过程为 \(dR^*=-aR^*dt+\sigma dz\) 的变量 \(R^*\) 建树。该过程关于 0 对称；\(R^*(t+\Delta t)-R^*(t)\) 正态，忽略高阶项后均值 \(-aR^*\Delta t\)、方差 \(\sigma^2\Delta t\)。节点间距取

• (a)：\(p_u=\frac16+\frac12(a^2j^2\Delta t^2-aj\Delta t)\)，\(p_m=\frac23-a^2j^2\Delta t^2\)，\(p_d=\frac16+\frac12(a^2j^2\Delta t^2+aj\Delta t)\)；
• (b)：\(p_u=\frac16+\frac12(a^2j^2\Delta t^2+aj\Delta t)\)，\(p_m=-\frac13-a^2j^2\Delta t^2-2aj\Delta t\)，\(p_d=\frac76+\frac12(a^2j^2\Delta t^2+3aj\Delta t)\)；
• (c)：\(p_u=\frac76+\frac12(a^2j^2\Delta t^2-3aj\Delta t)\)，\(p_m=-\frac13-a^2j^2\Delta t^2+2aj\Delta t\)，\(p_d=\frac16+\frac12(a^2j^2\Delta t^2-aj\Delta t)\)。

数值例：\(\sigma=0.01,a=0.1,\Delta t=1\)。\(\Delta R=0.01\sqrt3=0.0173\)，\(j_{max}\) 为大于 1.84 的最小整数即 2，\(j_{min}=-2\)（图 31.8）。节点 A（\(j=0\)）：\(p_u=0.1667,p_m=0.6666,p_d=0.1667\)；\(j=1\)（B、F）：\(0.1217,0.6566,0.2217\)；\(j=-1\)（D、H）：\(0.2217,0.6566,0.1217\)；\(j=2\)（E，用分叉 c）：\(0.8867,0.0266,0.0867\)；\(j=-2\)（I，分叉 b）：\(0.0867,0.0266,0.8867\)。概率只依赖 \(j\)，树对称。

第二阶段：平移 \(R^*\) 树的节点得到 \(R\) 树，使初始期限结构被精确匹配。定义 \(\alpha(t)=R(t)-R^*(t)\)。\(\Delta t\to0\) 时 \(\alpha\) 可由 (31.14) 解析得到（脚注：\(d\alpha=[\theta(t)-a\alpha]dt\)，解为 \(\alpha(t)=F(0,t)+\frac{\sigma^2}{2a^2}(1-e^{-at})^2\)），但要在有限 \(\Delta t\) 下精确匹配，需迭代求解。定义 \(\alpha_i=\alpha(i\Delta t)\)；\(Q_{i,j}\) 为"到达节点 \((i,j)\) 时支付 $1、否则为 0"的证券的现值（Arrow–Debreu 价格）。用**前向归纳（forward induction）**计算 \(\alpha_i\) 与 \(Q_{i,j}\)。

第二阶段示例：连续复利零息利率（表 31.1）：0.5 年 3.430%，1.0 年 3.824%，1.5 年 4.183%，2.0 年 4.512%，2.5 年 4.812%，3.0 年 5.086%。\(Q_{0,0}=1\)；\(\alpha_0\) 取初始 \(\Delta t\) 期利率 0.03824。\(Q_{1,1}=0.1667e^{-0.0382}=0.1604\)，\(Q_{1,0}=0.6417\)，\(Q_{1,-1}=0.1604\)。\(\alpha_1\) 使 2 年零息债定价正确：

一般公式：已知 \(i\le m\) 的 \(Q_{i,j}\)，\(\alpha_m\) 使 \((m+1)\Delta t\) 零息债定价正确：

推广到其他模型：形如

低利率环境：利率很低时，Hull–White 负利率概率不可忽略；Black–Karasinski 也不好用，因为同一波动率不适合低利率和高利率。方案：\(r\) 低时 \(f(r)\) 正比于 \(\ln r\)、高时正比于 \(r\)；或取 Vasicek 型模型利率的绝对值作为短期利率；更好的是 Alexander Sokol 的建议——让回归速度和波动率都是 \(r\) 的函数，再把 \(r\) 变换为 \(dz\) 系数恒定的新变量 \(x\)，用更一般的三叉分叉建树。

树与解析结果结合：对 Hull–White（\(f(r)=r\)）树，每个节点都可用 31.3 节解析式给出完整期限结构和欧式期权价格。要注意树上的利率是 \(\Delta t\) 期利率 \(R\)，不是瞬时利率 \(r\)。可证明（习题 31.20）

例（原书编号重复为 Example 31.1）：零息曲线见表 31.2（连续复利、actual/365；3 天 5.01772%，1 个月 4.98284%，2 个月 4.97234%，3 个月 4.96157%，6 个月 4.99058%，1 年 5.09389%，2 年 5.79733%，3 年 6.30595%，4 年 6.73464%，5 年 6.94816%，6 年 7.08807%，7 年 7.27527%，8 年 7.30852%，9 年 7.39790%，10 年 7.49015%；中间线性插值）。3 年期欧式看跌期权，标的为 9 年后支付 100 的零息债，执行价 63，Hull–White \(a=0.1,\sigma=0.01\)。建 3 年树，末端节点用解析式算零息债价格。表 31.3：步数 10/30/50/100/200/500 时树价 1.8468/1.8172/1.8057/1.8128/1.8090/1.8091，解析价 1.8093。此例是检验实现的好测试：期权到期后零息曲线斜率急剧变化，建树中的小错误会显著影响结果（DerivaGem Sample Application G）。

美式债券期权树（图 31.11）：DerivaGem 实现正态和对数正态模型，可定价欧式/美式债券期权、上限/下限、欧式互换期权。例：1.5 年美式看涨，标的为 10 年债券（本金 100，票息 5% 半年付），对数正态（Black–Karasinski）\(a=5\%,\sigma=20\%\)，4 步（\(\Delta t=0.375\) 年），收益率曲线平坦 5%，报价执行价 105。注意执行价可以是现金执行价或报价执行价（29.1 节），此处为报价执行价；树上显示现金债券价格，每个节点下方列出应计利息；现金执行价 = 报价执行价 + 应计利息；期权支付 = 现金债价 − 现金执行价 = 报价债价 − 报价执行价。4 步树给出 0.672，100 步树给出 0.703。对数正态模型下 10 年债券价格无解析式，需在更大的树上回滚数值计算。

31.8 校准（Calibration）（PDF p.755–757）

确定波动率参数 \(a,\sigma\) 的过程称为校准。用活跃交易期权（如表 29.1、29.2 的上限和互换期权经纪商报价）作为校准工具。常用拟合优度：

校准工具选择：应尽量与被定价产品相似。例：10 年期百慕大互换期权，第 5 到第 9 年的任一付款日可行权进入在第 10 年到期的互换，最相关的校准工具是 5×5、6×4、7×3、8×2、9×1 欧式互换期权（\(n\times m\) 表示 \(n\) 年期期权，进入期权到期后再持续 \(m\) 年的互换）。

权衡：参数随时间变化能更精确拟合市场，但波动率结构变成非平稳（nonstationary）——模型给出的未来波动率期限结构可能与今天市场完全不同。另一做法：用全部校准工具求"全局最佳拟合"的 \(a\)、\(\sigma\)，然后固定 \(a\)，像 BSM 那样使用：期权价格与 \(\sigma\) 一一对应，可把表 29.1、29.2 转换成隐含 \(\sigma\) 表，再判断给某产品定价最合适的 \(\sigma\)。（脚注：这里的隐含 \(\sigma\) 不同于 Black 隐含波动率；做法是先用 Black 模型把 Black 波动率转为价格，再迭代反解期限结构模型的 \(\sigma\)。）

31.9 用单因子模型对冲（PDF p.756–757）

29.5 节的对冲方法同样适用：对零息曲线或波动率环境做小扰动，重估组合，得到 delta、gamma、vega。重要：定价可用单因子，对冲不能只假设单因子——delta 应覆盖各种曲线变动，而不仅是模型允许的那些。考虑模型内外各种变化的做法称为模型外对冲（outside model hedging），是交易员标准做法（类比：BSM 假设波动率恒定，但交易员照样计算 vega 并对冲波动率变化）。现实是：简单单因子模型谨慎使用通常能给出合理价格，但好的对冲必须显式或隐式考虑多个因子。

小结（PDF p.757）

传统均衡模型有助于理解经济变量间的关系，但初始期限结构是输出而非输入；定价衍生品要求与市场初始期限结构一致，无套利模型满足这一点。Ho–Lee 最简单、可解析，但所有利率在所有时间波动相同；Hull–White 在 Ho–Lee 上加入均值回归，波动率环境更丰富且保持可解析；对数正态单因子模型避免负利率但无解析性。

常见误区：(1) 例 31.2 中拟合历史数据得到的是现实世界参数，不能直接用于定价；(2) 树上利率是 \(\Delta t\) 期利率，不是瞬时利率，直接把 (31.15) 用在树节点上会出错；(3) 时间依赖参数精确拟合当前价格，代价是未来波动率结构失真；(4) 单因子模型定价可以，对冲时要覆盖多种曲线变动。

本章要点

• 短期利率模型通过 \(r\) 的风险中性过程决定整条曲线：\(P(t,T)=\hat E[e^{-\bar r(T-t)}]\)；对应 PDE (31.5)。
• 均衡模型（Rendleman–Bartter、Vasicek、CIR）参数不随时间变化，曲线是输出；Vasicek/CIR 为仿射模型 \(P=Ae^{-Br}\)，有闭式解。
• 无套利模型（Ho–Lee、Hull–White、BDT、Black–Karasinski、HW 两因子）通过 \(\theta(t)\) 精确拟合当前曲线。
• Hull–White 下零息债期权有 Black 型闭式解 (31.20)；附息债期权/互换期权用 Jamshidian 分解。
• Hull–White 两阶段三叉树：先建对称 \(R^*\) 树（\(\Delta R=\sigma\sqrt{3\Delta t}\)，\(j_{max}=\lceil0.184/(a\Delta t)\rceil\)），再用 Arrow–Debreu 价格前向归纳求 \(\alpha_m\) 拟合曲线；可推广到 \(f(r)\) 模型。
• 校准：最小化价格误差平方和 + 平滑惩罚，Levenberg–Marquardt；工具要与目标产品相似。
• 对冲须采用模型外对冲，考虑多因子曲线变动。

与量化交易的关联

• 定价与系统实现：Hull–White 三叉树、Arrow–Debreu 前向归纳、Jamshidian 分解是利率衍生品定价库（如 QuantLib 的 HullWhite、BlackKarasinski、TreeSwaptionEngine）的标准实现；百慕大互换期权、可赎回债、可转债利率部分都依赖这类树。国内可用于国债期货期权研究、含权债（可回售/可赎回）估值。
• 风险建模与情景生成：Vasicek/CIR 是 ALM、保险、养老金长期利率情景生成器（ESG）的常用组件；例 31.2/31.3 的现实世界 vs 风险中性参数转换，正是"真实概率下模拟路径、风险中性下计算估值"的双测度框架。
• 因子研究/回测：短期利率均值回归参数可通过 AR(1) 回归估计（离散 Vasicek 就是 AR(1)），用于利率择时、期限利差交易的信号构建；\(\hat D=B(t,T)\) 提示基于短端利率的久期与平行久期不同，构建久期中性组合时要注意。
• 校准：最小二乘 + 平滑惩罚 + LM 算法的模式在一般模型拟合（如波动率曲面拟合）中通用。

推荐习题

• 31.1、31.3、31.4：均衡/无套利、单/两因子的概念区分；31.3 解释为何利率均值回归不意味着市场无效。
• 31.2、31.6：比较 Vasicek、R–B、CIR 的波动率形式与债券价格。
• 31.7、31.8、31.11：零息债期权闭式解及看涨–看跌平价。
• 31.9、31.10、31.12：Jamshidian 分解为附息债期权定价。
• 31.13：Vasicek/CIR 的最大似然估计（适合编程实现）。
• 31.14、31.16、31.17、31.23：亲手建 Hull–White/Ho–Lee/对数正态三叉树并验证与初始曲线一致——最能检验对 31.7 节的掌握。
• 31.20：证明 (31.25)–(31.27)。31.21：Vasicek/CIR 下的凸性 \(\hat C\)。
• 31.22、31.28：现实世界与风险中性世界的过程、债券期望收益与波动率。
• 31.24、31.26、31.27：DerivaGem 校准与美式债券期权，比较正态与对数正态模型。

第 32 章 HJM、LMM 与多条零息曲线（HJM, LMM, and Multiple Zero Curves）（PDF p.763–782）

引子：第 31 章模型易实现、经谨慎使用可使多数非标准利率衍生品与活跃交易工具（上限、欧式互换期权、欧式债券期权）定价一致，但有两个局限：(1) 多数只有一个因子；(2) 不能自由选择波动率结构。让 \(a,\sigma\) 随时间变化可拟合今天的波动率，但波动率结构变为非平稳。本章介绍可灵活设定波动率环境、可多因子的一般框架；介绍 OIS 贴现下如何同时对两条（或多条）曲线建模；并介绍美国机构 MBS 市场及其定价。

32.1 Heath–Jarrow–Morton（HJM）模型（PDF p.763–766）

记号：\(P(t,T)\) 零息债价格；\(\Omega_t\) 为决定 \(t\) 时债券波动率的过去和当前利率、债券价格向量；\(v(t,T,\Omega_t)\) 为 \(P(t,T)\) 的波动率；\(f(t,T_1,T_2)\) 为 \(t\) 时看到的 \(T_1\) 到 \(T_2\) 远期利率；\(F(t,T)\) 为瞬时远期利率；\(r(t)\) 短期利率；\(dz(t)\) 驱动期限结构的维纳过程。

零息债与远期利率过程（单因子、传统风险中性世界）：零息债是无收益交易证券，收益率为 \(r\)：

实现难点：一般 HJM 下短期利率过程是**非马尔可夫（non-Markov）**的——未来 \(r\) 的过程依赖从现在到那时的路径，而不只是当时的 \(r\)。因此通常要用 Monte Carlo；树一般不重合（nonrecombining），单因子二叉树 \(n\) 步后有 \(2^n\) 个节点（\(n=30\) 时约 10 亿，图 32.1）。HJM 看似简单其实复杂：单个远期利率 \(F(t,T)\) 在多数应用中是马尔可夫的，可以用重合树，但不能对所有远期利率用同一棵树。特例：\(s(t,T)=\sigma\)（常数）得到 Ho–Lee（习题 32.3）；\(s(t,T)=\sigma e^{-a(T-t)}\) 得到 Hull–White（习题 32.4）。这两个是可以用同一棵重合树表示 \(r\) 和所有远期利率的马尔可夫特例。

多因子推广：若 \(dF=m\,dt+\sum_ks_k\,dz_k\)（独立因子），则

32.2 LIBOR 市场模型（LMM / BGM）（PDF p.765–776）

动机：HJM 用瞬时远期利率表示，不可直接观测，且难以校准到活跃交易工具。Brace–Gatarek–Musiela（BGM）、Jamshidian、Miltersen–Sandmann–Sondermann 提出 LIBOR 市场模型，用交易员在 LIBOR 贴现下实际使用的远期利率来表达。

模型设定：\(t_0=0\)，\(t_1,t_2,\ldots\) 为当前交易的上限的重置日（美国最流行季度重置：\(t_1\approx0.25,t_2\approx0.5,\ldots\)）；\(\delta_k=t_{k+1}-t_k\)。\(F_k(t)\)：\(t\) 时看到的 \(t_k\) 到 \(t_{k+1}\) 远期利率（复利期 \(\delta_k\)，actual/actual）；\(m(t)\)：下一个重置日的指标，即满足 \(t\le t_{m(t)}\) 的最小整数；\(\zeta_k(t)\)：\(F_k(t)\) 在 \(t\) 时的波动率。先假设单因子。 在关于 \(P(t,t_{k+1})\) 远期风险中性世界中 \(F_k\) 是鞅（28.4 节）：

滚动远期风险中性世界（rolling forward risk-neutral world）：总是关于"下一个重置日到期债券"远期风险中性的世界。在这个世界里，从 \(t_{k+1}\) 到 \(t_k\) 的贴现可用 \(t_k\) 时观察到的 \(t_{k+1}\) 期零息利率，不需关心 \(t_k\) 与 \(t_{k+1}\) 之间利率如何变化。脚注：相当于以"滚动 CD"为计价单位——从 $1 开始买到期 \(t_1\) 的债券，到期后再投资到期 \(t_2\) 的债券……（严格说第 31 章的利率树就是在滚动远期风险中性世界里而非传统风险中性世界。）由 28.8 节，\(F_k\) 在滚动远期风险中性世界中的过程：

远期利率波动率：简化假设 \(\zeta_k(t)\) 只取决于下一个重置日到 \(t_k\) 之间的完整计息期数；记有 \(i\) 个计息期时为 \(\Lambda_i\)，则 \(\zeta_k(t)=\Lambda_{k-m(t)}\) 是阶梯函数。\(\Lambda_i\) 理论上可由 Black 模型下 caplet 的即期波动率（图 29.3）估计：设 \(\sigma_k\) 为 \(t_k\) 到 \(t_{k+1}\) 的 caplet 的 Black 波动率，令方差相等：

Monte Carlo 实现：

多因子推广：\(p\) 个独立因子，\(\zeta_{k,q}\) 为 \(F_k\) 波动率在第 \(q\) 个因子上的分量：

棘轮上限、黏性上限与弹性上限：

• 棘轮上限（ratchet cap）：\(K_{j+1}=R_j+s\)（上一重置日 LIBOR 加利差）；
• 黏性上限（sticky cap）：\(K_{j+1}=\min(R_j,K_j)+s\)（上一封顶后利率加利差）。 表 32.2/32.3：本金 $100，曲线平坦于 5% 连续复利（年复利 5.127%），caplet 波动率同表 32.1，年度重置，利差 25bp（作用于年复利利率），LIBOR 贴现，100,000 次模拟加对偶变量，标准误约 0.001。棘轮 caplet 价值（1/2/3 因子），第 1 年 0.196/0.194/0.195，第 5 年 0.187/0.193/0.201，第 10 年 0.153/0.162/0.169；黏性 caplet 第 1 年 0.196/0.194/0.195，第 5 年 0.484/0.492/0.506，第 10 年 0.488/0.519/0.534。两因子、三因子的波动率分量见表 32.4、32.5（如三因子第 1 年分量 13.65%、−6.62%、3.19%，平方和开方为总波动率 15.50%；第一因子类似水平，第二类似斜率，第三类似曲率）。
• 弹性上限（flexi cap）：普通上限，但限定可行权的 caplet 总数。年付、本金 $100、曲线平坦 5%、所有价内 caplet 行权至多 5 个：1/2/3 因子价格 3.43、3.58、3.61。 要点：普通上限价格只取决于总波动率，与因子数无关，因为每个 caplet 只依赖一个远期利率；而上述非标准产品依赖多个远期利率的联合分布，所以与因子数有关（因子越多，远期利率间相关越低，价值通常越高）。

欧式互换期权的解析近似（Hull–White 2000；LIBOR 贴现）：期权到期 \(T_0\)，互换付款日 \(T_1,\ldots,T_N\)，\(\tau_i=T_{i+1}-T_i\)。由式 (28.23)

校准：\(\Lambda_j\) 是有 \(j\) 个完整计息期时远期利率的波动率。需确定 \(\Lambda\) 以及它在因子上的拆分 \(\lambda_{j,q}\)：\(\Lambda\) 通常由当前市场数据确定，拆分由历史数据确定。

• 拆分：对远期利率数据做主成分分析（22.9 节）：\(\Delta F_j=\sum_{q=1}^M\alpha_{j,q}x_q\)，\(\alpha_{j,q}\) 为因子载荷，\(x_q\) 为因子得分，\(s_q\) 为第 \(q\) 因子得分的标准差。若 \(p=M\)，\(\lambda_{j,q}=\Lambda_j s_q\alpha_{j,q}\) 的思路成立；通常 \(p<M\)，需缩放使 \(\Lambda_j=\sqrt{\sum_{q=1}^p\lambda_{j,q}^2}\)：
  \[\lambda_{j,q}=\frac{\Lambda_js_q\alpha_{j,q}}{\sqrt{\sum_{q=1}^ps_q^2\alpha_{j,q}^2}}\tag{32.20}\]
• \(\Lambda\) 的估计：(32.11) 理论可行，但实践中常导致 \(\Lambda\) 剧烈摆动，有时没有与上限报价完全一致的解。常用 31.8 节类似的方法：最小化 \(\sum_i(U_i-V_i)^2+P\)，惩罚项 \(P=\sum_iw_{1,i}(\Lambda_{i+1}-\Lambda_i)^2+\sum_iw_{2,i}(\Lambda_{i+1}+\Lambda_{i-1}-2\Lambda_i)^2\)。校准工具为欧式互换期权时，(32.18)/(32.19) 使 Levenberg–Marquardt 最小化可行；再用 (32.20) 得 \(\lambda\)。

波动率偏斜：一些市场上限/下限的 Black 隐含波动率随执行价递减。可用 CEV 版本（27.1 节）：

百慕大互换期权（Bermudan swap option）：可在标的互换部分或全部付款日行权。LMM 依赖 Monte Carlo，难以处理提前行权；可用 27.8 节方法：Longstaff–Schwartz 最小二乘法（不行权价值为因子值的多项式）；Andersen 的最优行权边界参数化，发现假设行权决策只依赖期权内在价值即可得到好结果。多数交易员用第 31 章单因子无套利模型定价百慕大期权，但单因子模型对其定价的准确性存在争议（Andersen–Andreasen 与 Longstaff–Santa-Clara–Schwartz 的对立观点）。

32.3 处理多条零息曲线（PDF p.775–777）

2007 年危机前，多数衍生品的支付和贴现都用 LIBOR/互换曲线。现在有抵押交易通常用 OIS 曲线贴现，所以依赖 LIBOR 的互换、上限、互换期权需要多条曲线：LIBOR 曲线算支付，OIS 曲线贴现。若同时建模两条曲线并假设银行可无风险地按两种利率借贷，就违背无套利（借 OIS 贷 LIBOR 锁定利润）。另一选择是对信用和流动性风险建模来解释 LIBOR–OIS 利差，但太复杂。实务界选择分别建模 LIBOR 与 OIS，不显式建模违约和流动性风险，并忽略多曲线带来的套利。危机后连 LIBOR 也不止一条：从 1、3、6、12 个月 LIBOR 产品分别构造曲线，它们不相同（12 个月 LIBOR 贷款比 12 次滚动 1 个月贷款风险更大），所以 LIBOR 产品实践中至少用 5 条零息曲线。

OIS 曲线建模：用第 31 章短期利率法或 HJM/LMM 框架（"LIBOR 市场模型"变为"OIS 市场模型"）。易被忽视的要点：OIS 贴现下的远期 LIBOR 与 LIBOR 贴现下的远期 LIBOR 不同（9.3 节）。记 \(F_{LD}(t,t_1,t_2)\)、\(F_{OD}(t,t_1,t_2)\) 分别为 LIBOR/OIS 贴现下的远期 LIBOR（可由 LIBOR 换固定互换报价自举，例 9.2、9.3）；\(P_{LD}\)、\(P_{OD}\) 为相应零息债价格。\(F_{LD}\) 在关于 \(P_{LD}(t,t_2)\) 的远期风险中性世界是鞅（29.2 节 caplet 定价所用），但一般不是关于 \(P_{OD}(t,t_2)\) 的鞅；OIS 贴现时必须用 \(F_{OD}\)，它是关于 \(P_{OD}(t,t_2)\) 远期风险中性世界的鞅，等于该世界中 \(t_1\)–\(t_2\) LIBOR 的期望。

• OIS 贴现下的互换：假设 \(F_{OD}\) 实现，用 OIS 贴现。
• caplet/floorlet：仍用 (29.7)、(29.8)，但 \(F_k=F_{OD}(0,t_k,t_{k+1})\)，\(P(0,t_{k+1})=P_{OD}(0,t_{k+1})\)；隐含波动率 \(\sigma_k\) 可能依赖贴现方式。
• 互换期权：用 (29.10)、(29.11)，取 \(A=\frac1m\sum_{i=1}^{mn}P_{OD}(0,T_i)\)，远期互换利率由 \(F_{OD}\) 计算。DerivaGem 3.00 支持两种贴现。

更复杂产品要同时建模两条曲线：方法一，LIBOR 与 OIS 短期利率服从相关随机过程——缺点是 OIS 可能超过 LIBOR。更好的方法：用短期利率模型或 HJM/LMM 对 OIS 建模，再把 LIBOR–OIS 利差期限结构作为非负变量单独建模。最简单是假设利差等于远期利差。随机利差模型：\(F_{OD}(t,t_i,t_{i+1})\) 和 \(t_i\)–\(t_{i+1}\) 远期 OIS 在关于 \(P_{OD}(t,t_{i+1})\) 的远期风险中性世界都是鞅，因此二者之差（利差）也是鞅。可类比 (32.10)/(32.15) 为远期利差建模：\(dF_k/F_k=\cdots+\sum_q\zeta_{k,q}dz_q\)（此处 \(F_k\) 指远期利差），32.2 节关于滚动远期风险中性测度的结果全部适用（Mercurio–Xie 2012）。

32.4 机构抵押支持证券（Agency MBS）（PDF p.777–779）

定义：类似第 8 章的 ABS，但支付由政府相关机构（GNMA、FNMA 等）担保，投资者不受违约影响，看似普通政府固定收益证券。关键区别：资产池中的抵押贷款有提前还款权（prepayment privileges）。美国房贷通常 30 年、可随时提前还款，相当于房主持有一个 30 年期美式期权，可按面值把贷款"卖回"给贷款人。

提前还款原因多样：利率下降时再融资；房屋出售等。估值关键是提前还款函数（prepayment function）：用 \(t\) 时收益率曲线和其他相关变量描述资产池在 \(t\) 的期望提前还款。对单笔贷款预测很不可靠，但大量相似贷款组成池后有"大数定律"效应，可用历史数据较准确预测。总体上低利率时提前还款更多，所以投资者要求 MBS 比其他固定收益证券更高的收益率，以补偿其卖出的提前还款期权。

CMO（担保抵押贷款债券）：最简单的机构 MBS 是过手证券（pass-through），所有投资者收益相同、承担相同提前还款风险。CMO 把投资者分为多个类别，并规定本金偿还如何分配，从而创造承担不同提前还款风险的证券（类似第 8 章 ABS 按信用风险分档）。例：A、B、C 三类，所有本金（计划还款与提前还款）先全部给 A，A 还清后给 B，再给 C。A 承担最多提前还款风险、期限最短，C 最长。风险取决于各档面值：面值 400/300/100 时 C 几乎无提前还款风险；100/200/500 时 C 风险较大。目的：创造比简单过手证券更吸引机构投资者的证券。

Business Snapshot 32.1 IO 与 PO：剥离式 MBS（stripped MBS）把本金和利息分开：所有本金给 PO（principal only），所有利息给 IO（interest only）。两者都高风险，对提前还款率敏感方向相反：提前还款加快，PO 更值钱（固定本金更早收回），IO 更不值钱（利息总额减少）；提前还款放慢则相反。

估值：通常用 Monte Carlo 模拟国债利率（可用 HJM/LMM）。每次试验，每月根据当前曲线与曲线历史计算期望提前还款，得出持有人的期望现金流，以国债利率加利差贴现到 0 得到样本价值；多次试验取平均。

期权调整利差（OAS, option-adjusted spread）：考虑所有内嵌期权后，工具相对国债收益率提供的利差。计算：用国债利率加某个利差贴现得到模型价，与市场价比较，迭代求使两者相等的利差，即 OAS。（习题 32.10：OAS 类似于债券的收益率。）

小结（PDF p.779）

HJM 与 LMM 让用户完全自由地选择波动率期限结构。LMM 相对 HJM 两大优势：用决定上限定价的远期利率而非瞬时远期利率表达；相对容易校准到上限或欧式互换期权价格。两者共同缺点：不能表示为重合树，通常需 Monte Carlo，计算量远大于第 31 章模型。危机后有抵押衍生品用 OIS 贴现，互换、上限/下限、互换期权的估值要调整为 OIS 贴现，并在合适的远期风险中性测度下计算远期利率和互换利率；更复杂工具需联合建模 OIS 与 LIBOR 曲线。美国机构 MBS 市场催生了 CMO、IO、PO 等奇异利率衍生品，强路径依赖，通常要用 Monte Carlo，是 HJM/LMM 的理想应用。

常见误区：(1) 把 LIBOR 贴现下的远期 LIBOR 直接用于 OIS 贴现定价；(2) 以为因子数不影响一切产品——普通上限与因子数无关，但依赖多个远期利率联合分布的产品（棘轮、黏性、弹性上限、互换期权相对上限）与因子数有关；(3) 用 (32.11) 直接剥离 \(\Lambda\) 可能得到剧烈震荡甚至无解。

本章要点

• HJM 漂移条件 (32.5)/(32.6)：风险中性下瞬时远期利率漂移完全由其波动率决定；一般非马尔可夫，需 Monte Carlo。
• LMM：在关于 \(P(t,t_{k+1})\) 的远期测度下 \(F_k\) 为对数正态鞅；在滚动远期测度下漂移由 (32.10)/(32.15) 给出；冻结漂移的离散格式 (32.14)/(32.16) 可直接编程。
• 校准：\(\Lambda\) 由上限/互换期权（最小二乘 + 平滑惩罚）确定，因子拆分由 PCA (32.20) 确定；欧式互换期权有解析近似 (32.18)。
• CEV 版本处理偏斜；百慕大互换期权用 LSM 或行权边界参数化。
• 多曲线框架：OIS 贴现 + \(F_{OD}\) 远期；联合建模时对 OIS 建模、对非负利差单独建模。
• 机构 MBS：提前还款函数、CMO 分档、IO/PO、OAS。

与量化交易的关联

• 定价与系统实现：LMM Monte Carlo（冻结漂移 + 对偶变量 + PCA 因子拆分）是利率奇异产品定价引擎的标准实现；百慕大期权的 LSM 回归是通用的美式蒙特卡洛技术。多曲线框架（OIS 贴现 + 各期限 LIBOR/基准曲线）是任何利率定价系统的基础，国内对应 FR007/Shibor 互换曲线与贴现曲线的区分。
• 风险建模：PCA 分解远期利率变动（水平、斜率、曲率）直接用于利率风险因子模型与情景生成；多因子对相关性敏感产品的影响提示风险系统要考虑因子数。
• 因子研究/固收量化：MBS 的提前还款建模、OAS 是固收相对价值分析的核心指标；IO/PO 对利率的非线性敞口是负凸性的典型例子。
• 对股票类因子研究和回测基本无直接关联。

推荐习题

• 32.1：马尔可夫 vs 非马尔可夫短期利率模型。
• 32.2、32.11：推导多因子 HJM 漂移条件与多因子 LMM 漂移 (32.15)。
• 32.3、32.4：验证 HJM 的两个特例给出 Ho–Lee 与 Hull–White——理解 HJM 与短期利率模型关系的关键。
• 32.7：证明 \(\delta\to0\) 时 LMM 退化为 HJM。
• 32.6、32.8：直观解释棘轮上限随因子数增加而增值、黏性上限比棘轮上限贵。
• 32.12、32.13：推导互换利率方差公式（Itô 引理的较复杂应用）。
• 32.14：从 caplet 波动率剥离 LMM 远期波动率。32.15：不同定义弹性上限的定价难点与相对价格。
• 32.9、32.10：IO/PO 敏感性、OAS 与收益率的类比。

第 33 章 再论互换（Swaps Revisited）（PDF p.783–797）

引子：互换是 OTC 衍生品成功的核心，可以说是金融市场最成功的创新之一。第 7、9 章的普通 LIBOR 换固定互换估值可概括为"假设远期利率会实现（assume forward rates will be realized）"：(1) 假设未来 LIBOR 等于当前市场工具算出的远期利率，计算净现金流（OIS 贴现与 LIBOR 贴现下的远期利率不同，见 9.3 节）；(2) 互换价值 = 净现金流现值。本章的非标准互换分三类：可用此法直接估值的；需第 30 章凸性、时间、quanto 调整的；含内嵌期权需用第 29、31、32 章方法的。

33.1 普通互换的变体（PDF p.783–784）

• 名义本金变化：按预定方式递增为递增互换（step-up swap），递减为摊还互换（amortizing swap）。前者适合要按浮动利率借入递增资金并想换成固定利率的建筑公司；后者适合有既定提前还款计划的固定利率借款、想换为浮动利率的公司。
• 两边本金、付款频率不同：Business Snapshot 33.1 的假想确认书：交易日 2013-01-04，起息日 2013-01-11，到期 2018-01-11，遵循"下一营业日"惯例、美国假日历；固定方 Microsoft，本金 1 亿美元，6% 年利率，Actual/365，每年 1 月 11 日和 7 月 11 日付；浮动方 Goldman Sachs，本金 1.2 亿美元，1 个月美元 LIBOR，Actual/360，每月付。这类变体不影响估值方法。
• 浮动参考利率非 LIBOR：如商业票据（CP）利率、OIS。基差互换（basis swap）：一种浮动参考利率换另一种，如 3 个月 OIS + 10bp 换 3 个月 LIBOR，本金 1 亿美元；可用于资产和负债依赖不同浮动参考利率的金融机构。这类互换通常仍可用"远期实现"法，远期利率按使该参考利率的互换价值为零来计算（类似 OIS 贴现下计算远期 LIBOR）。

33.2 复利互换（Compounding Swaps）（PDF p.784–786）

Business Snapshot 33.2：浮动和固定都只在到期日一次支付。浮动利率 LIBOR+20bp，不支付而按 LIBOR+10bp 复利滚存到期末；固定利率 6%，按 6.3% 复利滚存。估值可（至少近似）用"远期实现"法：固定方到期支付确定；浮动方的合理性在于存在一系列 FRA，可把浮动现金流换成按远期利率计算的值。脚注（Technical Note 18）：若复利利差 \(s_c=0\)，或复利方式为 \(Q(1+\tau R)(1+\tau s_c)\)，则该法精确；若更常见的 \(Q[1+\tau(R+s_c)]\)，有小的近似。

例 33.1：3 年期、年度重置复利互换，付固定收浮动，固定利率 4%（按 3.9% 复利），浮动为 12 个月 LIBOR（按 LIBOR−20bp 复利），LIBOR/互换曲线贴现，平坦 5% 年复利，本金 1 亿美元。固定方：第 1 年末利息 4（百万），复利到第 2 年末 \(4\times1.039=4.156\)，加第 2 年利息共 8.156，复利到第 3 年末 \(8.156\times1.039=8.474\)，加第 3 年利息共 12.474。浮动方：所有未来利率取远期 5%，第 1 年利息 5，按 4.8% 复利 \(5\times1.048=5.24\)，加利息 10.24，再复利 \(10.24\times1.048=10.731\)，加最后利息 15.731。价值 \((15.731-12.474)/1.05^3=2.814\) 百万美元（忽略计息惯例并用脚注近似）。

33.3 货币互换（PDF p.786–787）

第 7 章介绍过：两个本金分别以两种货币计，起止时交换本金。固定换固定（7.10 节已讨论估值）；浮动换浮动：一边美元 LIBOR（可加利差）乘美元本金，另一边英镑 LIBOR 乘英镑本金；交叉货币利率互换：一种货币浮动换另一种货币固定。后两者用"远期实现"法：各货币未来 LIBOR 取当前远期，确定各货币现金流，分别用本币零息利率贴现，再用当前汇率换算到同一货币。 实务调整：理论上新的浮动换浮动互换应是两种 LIBOR 直接交换（无利差），实际因宏观因素存在利差（交叉货币基差）。如所有期限新做的互换都是美元 LIBOR 换日元 LIBOR−20bp，美国金融机构可能用美元 LIBOR 贴现美元现金流、用日元 LIBOR−20bp 贴现日元现金流，并在所有涉及日元和美元现金流的互换中这样做。脚注：这一调整是 ad hoc 的，但不做的话，每笔新的日元/美元浮动换浮动互换都会立即产生盈亏。

33.4 更复杂的互换（需调整远期利率）（PDF p.786–790）

以下情况"远期实现"法不成立，须假设调整后的远期利率实现。

LIBOR 后置互换（LIBOR-in-arrears swap）：普通互换在一个付款日观察的浮动利率于下一个付款日支付；后置互换在付款日支付当天观察的利率。重置日 \(t_i\)（\(i=0..n\)），\(\tau_i=t_{i+1}-t_i\)，\(R_i\) 为 \(t_i\) 到 \(t_{i+1}\) 的 LIBOR，\(F_i\) 为其远期值，\(\sigma_i\) 为远期利率波动率（通常由 caplet 价格隐含）。\(t_i\) 的浮动支付基于 \(R_i\) 而非 \(R_{i-1}\)，需按 30.1 节做凸性调整，假设浮动利率为

CMS 与 CMT 互换：**固定期限互换（CMS, constant maturity swap）**的浮动利率等于某固定期限的互换利率，如每 6 个月按 5 年期互换利率支付，通常有滞后：付款日支付的是上一付款日观察的互换利率。重置 \(t_0,t_1,\ldots\)，付款 \(t_1,t_2,\ldots\)，本金 \(L\)，\(t_{i+1}\) 的浮动支付为 \(\tau_iLS_i\)（\(S_i\) 为 \(t_i\) 的互换利率）。设 \(y_i\) 为 \(S_i\) 的远期值，估值时假设实现的互换利率为

差额互换（differential swap / diff swap）：一种货币观察的浮动利率作用于另一种货币本金。货币 Y 中 \(t_i\) 到 \(t_{i+1}\) 的 LIBOR 作用于货币 X 本金，\(t_{i+1}\) 支付。\(V_i\) 为货币 Y 中该期远期利率，\(W_i\) 为到期 \(t_{i+1}\) 的远期汇率（每单位 X 兑 Y 的数量）。若作用于 Y 本金则假设 LIBOR 等于 \(V_i\)；作用于 X 本金需 quanto 调整（30.3 节），假设 LIBOR 为

33.5 股权互换（Equity Swaps）（PDF p.789–791）

一方支付股指收益（作用于名义本金），另一方支付固定或浮动收益。基金经理可借此增减指数敞口而不买卖股票；股权互换是把一系列指数远期打包的便捷方式。股指通常为全收益指数（total return index）（股息再投资）。Business Snapshot 33.3：S&P 500 全收益指数 6 个月收益换 6 个月美元 LIBOR，两边本金 1 亿美元，每 6 个月付款；股权支付 \(100(I_1-I_0)/I_0\)（百万），\(I_0\) 为上一付款日指数。 估值：LIBOR 贴现下，股权换浮动互换起始价值为零：金融机构可在每个付款日以 LIBOR 借入本金、投资指数到下一付款日（股息再投资），无成本复制一方现金流。同理每个付款日刚过后价值也为零。付款日之间：LIBOR 现金流在上次重置时已定，容易估值；股权现金流的价值为 \(LE/E_0\)（\(L\) 本金，\(E\) 当前指数，\(E_0\) 上一付款日指数）。习题 33.13 讨论 OIS 贴现下的初始价值。

33.6 含内嵌期权的互换（PDF p.791–793）

计息互换（accrual swap）：一方利息只在浮动参考利率处于某区间时才累计；区间可固定也可定期重置。例：每季度固定利率 \(Q\) 换 3 个月 LIBOR，固定利率只在 3 个月 LIBOR 低于 8% 的日子累计，本金 \(L\)。普通互换固定方每期付 \(QLn_1/n_2\)（\(n_1\) 为上季天数，\(n_2\) 为一年天数，actual/actual）；计息互换改为 \(QLn_3/n_2\)，\(n_3\) 为上季 LIBOR 低于 8% 的天数。固定方在 LIBOR 高于 8% 的每一天省下 \(QL/n_2\)（脚注：假日按前一营业日利率）。因此固定方头寸 = 普通互换 + 每天一个二元期权，LIBOR 高于 8% 时支付 \(QL/n_2\)。 一般化：阈值 \(R_K\)，每 \(\tau\) 年交换；第 \(i\) 天距今 \(t_i\)，当天 \(\tau\) 期 LIBOR 为 \(R_i\)，\(R_i<R_K\) 时累计；\(F_i\) 为 \(R_i\) 远期值，\(\sigma_i\) 其波动率（由即期 caplet 波动率估计）。对数正态假设下，在关于到期 \(t_i+\tau\) 零息债的远期风险中性世界中 \(P(R_i>R_K)=N(d_2)\)，

可取消互换（cancelable swap）：普通互换，一方可在一个或多个付款日终止。终止等于进入反向互换。若 Microsoft 有取消权：普通互换 + 多头"进入反向互换的期权"；若 Goldman Sachs 有：普通互换 + 空头期权。只有一个终止日时 = 普通互换 + 欧式互换期权。例：10 年互换，Microsoft 收 6% 付 LIBOR，可在第 6 年末终止 = 10 年普通互换 + 多头 6×4 欧式互换期权（进入付 6% 收 LIBOR 的 4 年互换），用第 29 章标准市场模型估值。多个终止日 = 普通互换 + 百慕大互换期权。例：Microsoft 5 年半年付互换收 6% 付 LIBOR，对手方可在第 2–5 年任一付款日终止 = 普通互换 + 空头百慕大互换期权（进入 5 年到期、收 6% 付 LIBOR 互换的期权，第 2–5 年任一付款日可行权），用第 31、32 章方法估值。

可取消复利互换：终止时浮动方支付截至终止日的浮动复利值，固定方支付固定复利值。技巧：

1. 浮动为 LIBOR、按 LIBOR 复利、LIBOR 贴现：假设两边到期都支付本金（类似表 7.1 到表 7.2），不改变价值，并使浮动方在每个付款日的价值恒等于名义本金。于是取消决策只看固定方：用第 31 章利率树回滚固定方价值，在每个可取消节点比较继续与取消（取消相当于把固定方设为面值）。付固定收浮动时目标是最小化固定方价值；收固定付浮动时最大化。
2. 浮动为 LIBOR+利差、按 LIBOR 复利：把利差现金流从固定方减去而非加到浮动方，然后同上。
3. 按 LIBOR+利差复利时的近似法：(i) 假设远期实现，算各取消日浮动方价值；(ii) 假设浮动为 LIBOR 且按 LIBOR 复利，算各取消日浮动方价值；(iii) (i) 减 (ii) 定义为该取消日的"利差价值"；(iv) 按上法处理期权，判断是否取消时从固定方价值中减去利差价值。（脚注：不完全精确，因为假设取消决策不受未来按非 LIBOR 利率复利的影响。） OIS 贴现时若假设 OIS–LIBOR 利差等于远期利差，可用类似方法。

33.7 其他互换（PDF p.793–795）

• 指数摊还利率互换（index amortizing rate swap，又称 indexed principal swap）：1990 年代中期在美国流行，本金减少的速度取决于利率水平——利率越低本金减少越多。固定方最初设计为近似复制机构 MBS 在考虑提前还款期权后的收益，因此相当于用 MBS 收益换浮动收益。
• 商品互换：每年消耗 10 万桶油的公司约定 10 年内每年付 800 万美元，收 \(100{,}000S\)（\(S\) 为油价），等于把油价锁定在 80 美元/桶；产油商可做反向交易（详见第 34 章）。
• 书中其他互换：资产互换（第 24 章）、总收益互换与各类 CDS（第 25 章）、波动率与方差互换（第 26 章）。
• 怪异交易（Business Snapshot 33.4，宝洁 P&G 与信孚银行 BT 的"5/30"互换）：1993-11-02 签订，5 年、半年付，本金 2 亿美元。BT 付 P&G 5.30%；P&G 付 BT"30 天 CP 利率日均值 − 75bp + 利差"。首个付款日（1994-05-02）利差为 0，其余 9 期利差为
  \[\max\left[0,\ \frac{98.5\times\frac{\text{5-year CMT\%}}{5.78\%}-\text{30-year TSY price}}{100}\right]\]
  5-year CMT 为美联储公布的 5 年期国债收益率；30-year TSY price 为 2023 年 8 月到期、票息 6.25% 国债的买卖中间现金价格。利差是小数形式的利率而非基点：若公式得 0.1、CP 为 6%，P&G 付 15.25%。P&G 原本希望利差为 0，从而把 5.30% 固定融资换成 CP−75bp；结果 1994 年初利率急升、债券价格下跌，互换代价极高（习题 33.10），后引发诉讼。

小结（PDF p.795–796）

许多互换可用"(a) 假设 LIBOR（或其他浮动参考利率）等于其远期值，(b) 贴现现金流"估值：普通利率互换、大多数货币互换、本金按预定方式变化的互换、两边付款日不同的互换、复利互换。另一些需要对远期利率做凸性、时间或 quanto 调整：LIBOR 后置、CMS/CMT、差额互换。股权互换交换股指收益与固定或浮动利率，通常在付款日刚过时价值为零，付款日之间可非零。含内嵌期权的互换：计息互换 = 普通互换 + 大量二元期权（每天一个）；可取消互换 = 普通互换 + 百慕大互换期权。

常见误区：(1) 浮动利率"乘以 2"等非线性支付不能直接用"远期实现"法（习题 33.2 考查）；(2) 交叉货币基差若不在贴现中反映，新交易会出现虚假即时盈亏；(3) 与不做凸性调整的对手交易 LIBOR 后置互换时，期限越长、频率越低，定价差异越大（习题 33.11）。

本章要点

• "远期实现 + 贴现"适用于线性、支付时点与远期定义匹配的互换（含复利、基差、货币互换）。
• LIBOR 后置 (33.1)、CMS (33.2，凸性 + 时间)、diff swap (33.3，quanto) 需调整远期利率。
• 股权互换可无成本复制，付款日价值为 0，期间价值 \(LE/E_0\) 减去已定的 LIBOR 支付现值。
• 计息互换 = 互换 + 每日二元期权；可取消互换 = 互换 + 欧式/百慕大互换期权；可取消复利互换用"两端加本金"技巧，只对固定方回滚。
• P&G/BT 案例展示杠杆化非线性条款的风险。

与量化交易的关联

• 定价/系统实现：互换定价引擎需支持变本金、不同频率与计息惯例、多曲线、交叉货币基差、CMS 凸性调整；CMS 与 CMT 产品的估值精度直接依赖第 30 章公式和互换期权波动率曲面。
• 执行与组合管理：股权互换/总收益互换是机构获取或对冲指数敞口、实现跨境 Delta One 策略的常用工具（国内对应收益互换、场外衍生品）；其估值逻辑（复制 + 付款日价值归零）可直接用于对账与保证金计算。
• 风险管理：计息互换（区间累计）本质是大量数字期权，存在在阈值附近的 gamma/pin 风险；可取消互换的百慕大期权需要多因子模型和校准。P&G 案例是模型风险和合约杠杆教育的经典材料。
• 对股票因子研究、回测基本无直接关联。

推荐习题

• 33.2、33.7：判断何时"远期实现"法成立（线性性与测度匹配）。
• 33.3、33.4：复利互换数值计算（33.4 揭示"按 LIBOR 复利的 LIBOR"与普通 LIBOR 的等价关系）。
• 33.6、33.11：CMS 与 LIBOR 后置的凸性调整计算及与"不懂调整"对手的套利思路。
• 33.9：diff swap 估值（quanto 调整）。
• 33.8：把计息互换推广到双边区间。
• 33.10：P&G 5/30 互换的利差计算。
• 33.12：可取消互换（单边、双边取消权）的估值。
• 33.5、33.13：货币互换贴现调整、OIS 贴现下的股权互换初值。

第 34 章 能源与商品衍生品（Energy and Commodity Derivatives）（PDF p.798–814）

引子：衍生品的标的变量常简称"标的（underlying）"。本章前半讨论商品标的。第 2 章讲过商品期货，第 18 章讲过商品期货的欧式与美式期权定价；期货与期权同时到期时，欧式期货期权与欧式现货期权支付相同，因此 Black 模型也可用于欧式现货期权。但美式现货期权和更复杂的现货价格衍生品需要更精细的模型。商品价格常有均值回归（类似利率），有时有跳跃，部分利率模型可移植过来。后半讨论天气与保险衍生品，其特点是标的变量没有系统性风险：某地温度的期望或飓风损失在风险中性世界和现实世界可视为相同，因此历史数据对定价更有用。

34.1 农产品（PDF p.798–799）

农产品包括种植产品（玉米、小麦、大豆、可可、咖啡、糖、棉花、冷冻橙汁）及畜牧相关（活牛、生猪、猪腩）。价格由供需决定；美国农业部发布库存和产量报告。玉米、小麦等关注库存消费比（stocks-to-use ratio）：年末库存/全年用量，通常 20%–40%；比值越低，价格对供给变化越敏感，波动率越高。

• 均值回归理由：价格下跌时农民减产、供给减少推高价格；价格上涨时投入增加压低价格。
• 季节性：储存昂贵且可储存时间有限，价格有季节性。天气是关键：巴西霜冻可摧毁咖啡收成，佛罗里达飓风影响冷冻橙汁价格。种植类商品收获前波动率最高，产量明朗后下降；生长季因天气价格可能跳跃。
• 很多种植产品用作饲料（CME 玉米期货指饲料玉米），牲畜价格和屠宰时间受饲料价格（进而受天气）影响。

34.2 金属（PDF p.799–800）

金、银、铂、钯、铜、锡、铅、锌、镍、铝。与农产品不同：价格不受天气影响、无季节性；从地下开采，可分割、相对易储存。铜等几乎全用于制造，属消费资产（consumption assets）；金、银既用于消费也纯粹用于投资，属投资资产（investment assets，5.1 节）。分析师关注库存水平判断短期波动；开采国与报价货币国不同，汇率波动也有贡献。长期价格取决于金属在各生产过程的使用趋势、新资源发现、勘探开采技术、地缘政治、卡特尔、环保监管。回收是潜在供给来源（如 20 年内 10% 的金属经回收重新进入市场）。 均值回归：投资资产类金属通常不假设均值回归，否则会给投资者套利机会；消费类金属可能有均值回归：价格上涨使部分生产过程少用该金属、使困难地区开采变得经济，从而压低价格，反之亦然。

34.3 能源产品（PDF p.800–802）

能源是最重要、交易最活跃的商品之一。原油、天然气、电力都有均值回归的理由：能源价格上升→消费减少、生产增加→价格下行压力；价格下降→消费增加、生产不经济→价格上行压力。

原油：全球最大商品市场，全球日需求约 8,000 万桶。OTC 市场多年来常见 10 年期固定价格供应合同，即固定价格油换浮动价格油的互换。原油按比重和含硫量分多个等级，两大定价基准为 Brent（北海）与 WTI（西德克萨斯中质原油）。炼成汽油、取暖油、燃料油、煤油。OTC 市场几乎所有股票/股指衍生品都有以油为标的的版本，互换、远期、期权流行，可现金或实物交割。交易所：CME Group 与 ICE 交易多种原油期货及期货期权；ICE 的 Brent 期货有现金结算选项，CME 的轻质低硫原油期货需实物交割；每手 1,000 桶。CME 还交易取暖油和汽油期货，每手 42,000 加仑。

天然气：1980–90 年代全球放松管制、取消政府垄断，供应商不一定是生产商，供应商需应对每日需求。典型 OTC 合约：在一个月内以大致均匀速率交割指定数量的天然气；有远期、期权、互换；卖方通常负责经管道运至指定地点。CME 合约：10,000 百万英热单位（MMBtu），未平仓则在交割月以大致均匀速率实物交割到路易斯安那某枢纽（Henry Hub）；ICE 在伦敦有类似合约。天然气用于建筑供暖和发电（电力用于空调），需求有季节性、依赖天气。

电力：难以储存（脚注：有余量的发电商会抽水到水电站上游以便日后发电，这是最接近储存的方法）。一个地区任意时刻的最大供给由区内所有电厂最大容量决定。美国有 140 个控制区（control areas），先在区内匹配供需，多余电力卖给其他控制区，这部分构成电力批发市场；跨区售电受输电线路容量限制，有线路所有者收取的输电成本和输电损耗。空调是用电大户，夏季需求与价格远高于冬季。不可储存性导致现货价格偶尔剧烈波动，热浪曾使现货价格短时上涨 1,000%。电力也经历放松管制，CME 有电价期货，OTC 有远期、期权、互换。典型合约：在特定月份、特定地点以特定价格接收特定兆瓦时电力。

• 5×8 合约：当月周一至周五非高峰时段（晚 11 点至早 7 点）供电；5×16：周一至周五高峰时段（早 7 点至晚 11 点）；7×24：全月每天全天候。
• 期权有日行权（每天提前一天通知决定当天是否按执行价接收电力）和月行权（月初一次性决定整月是否接收）。
• 摆动期权（swing option，又称 take-and-pay option）：规定每天和全月必须按某价格购买电量的最小值和最大值，持有人可在月内改变（摆动）购买速率，但改变次数通常有上限。

34.4 商品价格建模（PDF p.802–807）

定价衍生品时通常对商品现货价格在传统风险中性世界中建模；由 18.7 节，该世界中商品的期望未来价格等于期货价格。

简单过程：假设期望增长率只依赖时间、波动率为常数：

均值回归：更现实的风险中性过程

三叉树构造（改造 31.7 节方法，使 \(F(t)=\hat E[S(t)]\)）：示例：现货 $20，1、2、3 年期货 $22、$23、$24，\(a=0.1\)，\(\sigma=0.2\)，\(\Delta t=1\)。

1. 先对初值为 0 的 \(X\) 建树：
   \[dX=-aX\,dt+\sigma dz\tag{34.3}\]
   \(\Delta X=0.2\sqrt3=0.3464\)，节点值 \(0,\pm0.3464,\pm0.6928\)；概率同图 31.8（\(j=0\)：0.1667/0.6666/0.1667；\(j=1\)：0.1217/0.6566/0.2217；\(j=2\) 用向下分叉：0.8867/0.0266/0.0867，对称）。
2. \(\ln S\) 与 \(X\) 过程相同，只差时间依赖的漂移，通过平移节点得到 \(\ln S\) 树。初始节点平移 \(\ln20\)。设 1 年时平移 \(\alpha_1\)，要求期望等于期货价：
   \[0.1667e^{0.3464+\alpha_1}+0.6666e^{\alpha_1}+0.1667e^{-0.3464+\alpha_1}=22\]
   得 \(\alpha_1=3.071\)，1 年时 \(S\) 为 30.49、21.56、15.25。
3. 2 年时先算到达各节点的概率：如节点 F 的概率 \(=0.1667\times0.6566+0.6666\times0.1667=0.2206\)；E、G、H、I 分别为 0.0203、0.5183、0.2206、0.0203。由
   \[0.0203e^{0.6928+\alpha_2}+0.2206e^{0.3464+\alpha_2}+0.5183e^{\alpha_2}+0.2206e^{-0.3464+\alpha_2}+0.0203e^{-0.6928+\alpha_2}=23\]
   得 \(\alpha_2=3.099\)，2 年时 \(S\) 为 44.35、31.37、22.18、15.69、11.10。3 年时同理：45.68、32.30、22.85、16.16、11.43（图 34.2）。 注意：这里不贴现，到达概率即风险中性概率（与利率树中带贴现的 Arrow–Debreu 价格不同），因为条件是期望价格等于期货价格。 例 34.3：用图 34.2 的树定价 3 年期美式看跌期权，执行价 20，利率 3%（连续复利）。回滚得价值 $1.48（图 34.3），在节点 D、H、I 提前行权（D 处 4.75，H 处 4.31，I 处 8.90）。更精确需要更多步，并对期货价格插值得到每个时间步末的期货价格。

插值与季节性：多步时需在期货价格间插值；有季节性时插值应反映季节性。月度步长下，简单方法：收集现货月度历史数据，计算 12 个月移动平均；月度百分比季节因子 = 该月现货价格与以该月为（近似）中心的 12 个月移动平均之比的平均值。用季节因子对已知期货价格去季节化，插值得月度去季节化期货价格，再乘回季节因子建树。 数值例：9 月、12 月期货 40、44；9–12 月季节因子 0.95、0.85、0.8、1.1。去季节化：9 月 \(40/0.95=42.1\)，12 月 \(44/1.1=40\)；插值得 10 月 41.4、11 月 40.7；再季节化：10 月 \(41.4\times0.85=35.2\)，11 月 \(40.7\times0.8=32.6\)。 波动率季节性：如农产品生长季因天气不确定波动更大。可用第 23 章方法监测波动率并估计波动率季节因子，在 (34.2)、(34.3) 中用 \(\sigma(t)\) 代替 \(\sigma\)（时间依赖波动率的三叉树见 Technical Notes 9、16）。

跳跃：电力和天然气因天气相关的需求冲击、农产品因天气相关的供给冲击会出现价格跳跃。

其他模型：

• Gibson–Schwartz（随机便利收益）：\(y\) 为便利收益（convenience yield），现货比例漂移 \(r-y\)：\(dS/S=(r-y)dt+\sigma_1dz_1\)；\(dy=k(\alpha-y)dt+\sigma_2dz_2\)，\(dz_1,dz_2\) 相关；为精确拟合期货价格可让 \(\alpha\) 随时间变化。
• Eydeland–Geman（气电随机波动率）：\(dS/S=a(b-\ln S)dt+\sqrt V dz_1\)，\(dV=c(d-V)dt+e\sqrt V dz_2\)，\(a..e\) 为常数，\(dz_1,dz_2\) 相关。后来 Geman 提出油价模型中回归水平 \(b\) 也随机。

34.5 天气衍生品（PDF p.807）

很多企业业绩受天气影响（脚注：美国能源部估计美国经济的七分之一受天气风险影响），应像对冲汇率、利率风险一样对冲天气风险。首批 OTC 天气衍生品 1997 年推出。两个关键变量：

34.6 保险衍生品（PDF p.808）

衍生品用于对冲时与保险合约性质相近，都防范不利事件；许多保险公司有衍生品交易子公司，保险公司业务越来越像投行。传统上保险业用再保险（reinsurance）对冲巨灾（CAT）风险（飓风、地震）。例：保险公司加州地震敞口 1 亿美元，想限制到 3,000 万美元。方案一：按比例（pro rata）再保 70%，若某年加州地震索赔 5,000 万，公司只承担 1,500 万。方案二（更流行、保费更低）：购买一系列超额损失层（excess cost layers）再保险，如第一层赔付 3,000 万到 4,000 万之间的损失，下一层 4,000 万到 5,000 万……每份称为超额损失再保险合约（excess-of-loss reinsurance）。再保险人相当于卖出总损失的牛市价差：多头执行价为层下限的看涨、空头执行价为层上限的看涨（脚注：有时再保险在损失达到某水平时一次性赔付，相当于卖出现金或无现金二元看涨期权）。 巨灾赔付可能极高：1992 年 Andrew 飓风在佛罗里达造成约 150 亿美元保险损失，超过此前 7 年佛州相关保费总和；若正面袭击迈阿密，估计损失超过 400 亿美元。此类灾难推高了保险/再保险费率。 CAT 债券：OTC 市场替代传统再保险的最流行产品。由保险公司子公司发行，票息高于正常水平；作为交换，持有人提供一份超额损失再保险：视条款，利息或本金（或两者）可用于赔付。上例中保险公司想覆盖 3,000 万–4,000 万层，可发行总本金 1,000 万美元的 CAT 债券；若加州地震损失超过 3,000 万，持有人损失部分或全部本金。也可发行规模大得多、只有利息面临风险的债券来覆盖该层。

34.7 天气与保险衍生品的定价（PDF p.808–810）

特点一：支付中没有系统性风险（不被市场定价的风险），因此由历史数据得到的现实世界估计也适用于风险中性世界。定价方法：(1) 用历史数据估计期望支付；(2) 按无风险利率贴现。 特点二：不确定性随时间增长的方式不同。股票价格不确定性约随时间平方根增长（4 年后对数价格标准差约为 1 年后的 2 倍）；商品有均值回归，但 4 年后的不确定性仍明显大于 1 年后；天气则增长很不明显：4 年后某地 2 月 HDD 的不确定性通常只比 1 年后略大；地震损失同理。 方法：收集 50 年历史数据估计 HDD 分布，拟合对数正态或其他分布，计算期权期望支付并以无风险利率贴现；可通过分析历史趋势、纳入气象预报来改进。 例 34.4：2016 年 2 月芝加哥奥黑尔累计 HDD 看涨期权，执行价 700，每度日 10,000 美元。50 年数据估计 HDD 服从对数正态，均值 710，\(\ln\)HDD 标准差 0.07。由式 (15A.1)，期望支付 \(10{,}000\times[710N(d_1)-700N(d_2)]\)，\(d_1=\frac{\ln(710/700)+0.07^2/2}{0.07}=0.2376\)，\(d_2=\frac{\ln(710/700)-0.07^2/2}{0.07}=0.1676\)，期望支付 250,900 美元。无风险利率 3%、2015 年 2 月估值（距到期 1 年）：\(250{,}900e^{-0.03\times1}=243{,}400\) 美元。 趋势调整：若线性回归显示 2 月累计 HDD 每年下降 0.5（可能因全球变暖），2016 年 2 月均值估计降到 697（脚注：过去 50 年平均 710、每年降 0.5，则期初约 722.5、期末约 697.5，明年合理估计 697），保持对数标准差不变，期望支付降为 180,400 美元，期权价值降为 175,100 美元。若长期预报认为该年 2 月特别温和，期望 HDD 进一步下调，期权更不值钱。（原书此处年份印作 "February 2013"，应为同一目标月份。） CAT 债券：Litzenberger 等发现 CAT 债券收益与股市收益无统计显著相关，确认无系统性风险，估值可基于保险公司精算数据。CAT 债券通常有高概率获得高于正常的利率、低概率遭受大损失。投资者为何感兴趣？考虑可能损失后的期望收益高于无风险收益，而风险（至少理论上）可在大组合中完全分散，因此能改善风险–收益权衡。

34.8 能源生产商如何对冲风险（PDF p.810）

能源生产商面临两类风险：价格风险（能源市场价格）与数量风险（volume risk）（售出的能源量）。价格会随数量调整，但关系不完美，两者都要考虑。价格风险用能源衍生品对冲，数量风险用天气衍生品对冲。定义 \(Y\) 为某月利润，\(P\) 为当月平均能源价格，\(T\) 为当月相关温度变量（HDD 或 CDD）。用历史数据回归

小结（PDF p.811）

有风险需要管理时，衍生品市场会创新出满足需求的产品。商品衍生品标的包括种植的农产品、牲畜、金属、能源；估值模型通常包含均值回归，有时显式建模季节性并加入跳跃。油、气、电衍生品尤为重要，其模型复杂程度不亚于股票、汇率、利率的最复杂模型。天气衍生品用 HDD、CDD 描述月度温度，用于定义交易所和 OTC 产品支付；将来降雨、降雪等合约可能更普及。保险衍生品是保险公司管理巨灾风险的传统再保险替代品，未来寿险、车险等也可能以类似方式交易。天气和保险衍生品的标的没有系统性风险，可用历史数据估计期望支付、按无风险利率贴现估值。

常见误区：(1) 对投资类金属假设均值回归会产生套利；(2) 树上平移量 \(\alpha_i\) 的条件是期望价格等于期货价格（不贴现），与利率树的零息债定价条件不同；(3) "无系统性风险"才能用历史期望直接贴现，若天气与市场相关（如影响整体能源行业）则需要风险溢价；(4) 电力日行权期权比月行权期权更有价值（习题 34.12）。

本章要点

• 商品特征：农产品看库存消费比、季节性和天气；金属区分消费与投资资产；能源（油、气、电）均值回归，电力因不可储存而有尖峰和跳跃。
• 风险中性下期望现货价格 = 期货价格；简单模型 \(\mu(t)=\partial\ln F/\partial t\)。
• 均值回归对数模型 (34.2) 可用 Hull–White 两阶段三叉树拟合期货曲线；季节性通过季节因子去季节化–插值–再季节化处理；跳跃、随机便利收益、随机波动率为扩展。
• 天气衍生品：HDD/CDD、累计度日期权；CAT 债券与超额损失再保险是损失的牛市价差。
• 无系统性风险的标的：历史期望 + 无风险贴现。
• 能源生产商回归 \(Y=a+bP+cT\)，同时对冲价格与数量风险。

与量化交易的关联

• 商品 CTA/期货量化：期货曲线隐含的风险中性增长率 \(\partial\ln F/\partial t\)（期限结构/展期收益）是商品期限结构因子、carry 因子的直接来源；库存消费比、季节因子可用作基本面因子；季节性去季节化–插值方法可用于构建连续合约和处理季节性商品（农产品、天然气、电力）。
• 定价/系统实现：均值回归对数正态三叉树、跳跃扩散、Gibson–Schwartz 两因子模型用于商品期权、互换、摆动期权和储存/管道等实物资产估值；国内对应场外商品期权、含权贸易、"保险+期货"。
• 风险管理：对冲回归 \(Y=a+bP+cT\) 是"多变量回归求对冲比率"的模板，可推广到任何同时有价格和数量风险的企业套保；超额损失层 = 牛市价差，有助于理解尾部风险转移。
• 组合配置：CAT 债券与股市低相关，可作为另类资产分散风险；天气衍生品定价方法（历史分布 + 趋势调整 + 预报）是统计预测的典型应用。

推荐习题

• 34.1、34.4、34.7：HDD/CDD 计算，以及把 HDD/CDD 视作温度期权的理解。
• 34.3、34.6、34.14：历史数据法与风险中性法何时一致；CAT 债券 vs 同等期望损失的 B 级公司债（系统性风险差异）。
• 34.8：用 50 年温度数据为累计 CDD 远期定价的完整分析流程（适合作为数据项目）。
• 34.9、34.10、34.5：远期价格与现货价格波动率比较（均值回归导致远期波动率更低）、高波动高回归能源（电力）。
• 34.12：电力 5×8 日行权 vs 月行权期权。
• 34.15：证明 \(\ln S_T\sim\phi(\ln F(T)-\sigma^2T/2,\sigma^2T)\)。
• 34.16：保险损失的按比例合约与二元合约定价。
• 34.17：修改期货价格后重建商品三叉树并重估美式期权（检验建树流程）。

第 35 章 实物期权（Real Options）（PDF p.815–828）

引子：前面几乎只讨论金融资产估值。本章把这些思想推广到实物资产（土地、建筑、厂房、设备）资本投资机会的评估。这类投资常含期权（扩张、放弃、推迟等），传统资本预算方法很难正确估值。**实物期权（real options）**方法用期权定价理论处理这一问题。本章先说明传统方法及其处理内嵌期权的困难，再把风险中性估值推广到实物资产，并给出多个例子。

35.1 资本投资评估（PDF p.815–816）

传统 NPV 法：项目 NPV = 期望未来增量现金流的现值，贴现率为反映项目风险的"风险调整贴现率"，风险越高贴现率越高。 例：投资 1 亿美元，持续 5 年，现实世界中每年期望现金流入 2,500 万美元，风险调整贴现率 12%（连续复利）：

传统方法的问题：

1. 许多项目含内嵌期权（如项目不顺时可放弃，需求超预期时可扩张），其风险特征与基础项目大不相同，需要不同贴现率。回顾第 13 章开头例子：股票现价 20，3 个月后 22 或 18；执行价 21 的 3 个月看涨期权风险中性价值 0.633。若投资者对股票要求的现实世界期望收益为 16%，则看涨期权的要求收益为 42.6%，看跌期权则为 −52.5%。即用 NPV 法估值看涨要用 42.6% 贴现，看跌要用 −52.5%——这些贴现率无法轻易估计（我们知道它们只是因为能用别的方法给期权定价）。放弃、扩张等期权产生的现金流同样无法简单确定风险调整贴现率。这就是把风险中性估值推广到实物期权的动机。
2. 即便对不含期权的基础项目，估计贴现率也有问题：用来估代理 beta 的样本公司自身就有扩张和放弃期权，其 beta 反映了这些期权，不一定适合基础项目。

35.2 风险中性估值框架的推广（PDF p.815–818）

28.1 节定义变量 \(\theta\) 的风险市场价格：

1. 把每个 \(\theta_i\) 的期望增长率从 \(m_i\) 降为 \(m_i-\lambda_is_i\)；
2. 用无风险利率贴现现金流。 （脚注：若 \(\theta_i\) 是无股息股票价格，则 \((m_i-r)/s_i=\lambda_i\)，即 \(m_i-\lambda_is_i=r\)，与"股票风险中性收益为 \(r\)"一致；一般证明见 Technical Note 20。）

例 35.1：某城市商业地产租金按"新签 5 年租约每年每平方英尺价格"报价，当前 $30；期望增长率 12%/年，波动率 20%/年，风险市场价格 0.3。公司可现付 100 万美元购买期权：2 年后起以 $35/平方英尺租 10 万平方英尺 5 年。无风险利率 5%（恒定）。设 \(V\) 为 2 年后报价租金，租金每年年初预付。期权支付 \(100{,}000A\max(V-35,0)\)，年金因子

35.3 估计风险市场价格（PDF p.817–818）

实物期权法避免了估计风险调整贴现率，但需要所有随机变量的风险市场价格。有历史数据时可用 CAPM 估计。考虑只依赖该变量的投资资产，记 \(\mu,\sigma\) 为其期望收益和波动率，\(\lambda\) 为变量的风险市场价格，\(\rho\) 为变量百分比变化与大盘指数收益的瞬时相关（也等于该资产收益与大盘的相关），\(\mu_m,\sigma_m\) 为大盘期望收益和波动率，\(r\) 为短期无风险利率。由连续时间 CAPM：\(\mu-r=\frac{\rho\sigma}{\sigma_m}(\mu_m-r)\)（脚注：资产超额收益对市场超额收益回归的斜率 beta 为 \(\rho\sigma/\sigma_m\)）；又由 (35.1) \(\mu-r=\lambda\sigma\)，故

35.4 企业估值的应用（PDF p.818–819）

对新企业，市盈率乘以当前盈利等传统方法不好用：早期为抢市场份额、建立客户关系，盈利通常为负，需要在不同情景下估计未来盈利和现金流。实物期权法：建立把未来现金流与销售增长率、变动成本占比、固定成本等变量联系起来的模型；对关键变量按前两节估计风险中性随机过程；用 Monte Carlo 在风险中性世界生成每年净现金流情景（部分情景公司表现很好，部分破产停业，模拟要内置破产判定规则）；企业价值 = 各年期望现金流按无风险利率贴现的现值。

Business Snapshot 35.1 为 Amazon.com 估值（Schwartz–Moon 2000，1999 年末）：销售收入 \(R\) 与收入增长率 \(\mu\) 的过程

35.5 投资机会中期权的评估（PDF p.818–826）

多数投资项目含期权，可显著增加项目价值，却常被忽视或错估。常见类型：

1. 放弃期权（abandonment option）：出售或关闭项目，是项目价值上的美式看跌期权，执行价 = 项目清算（转售）价值减关闭成本；清算价值很低时执行价可为负。它减轻极差结果的影响，提高项目初始估值。
2. 扩张期权（expansion option）：条件有利时追加投资、增加产量，是追加产能价值上的美式看涨期权，执行价为新增产能成本（贴现到行权时）。执行价常取决于初始投资：若初始建设的产能超过期望产量，执行价可较小。
3. 收缩期权（contraction option）：缩小项目规模，是损失产能价值上的美式看跌期权，执行价为行权时节省的未来支出的现值。
4. 推迟期权（option to defer）：管理者最重要的期权之一，是项目价值上的美式看涨期权。
5. 延期期权（option to extend life）：支付固定金额延长资产寿命，是资产未来价值上的欧式看涨期权。

示例：公司考虑投资 1,500 万美元，从某来源开采 600 万单位商品，每年 200 万单位、持续 3 年。设备固定运营成本每年 600 万美元，变动成本每单位 $17。各期限无风险利率 10%，商品现货 $20，1、2、3 年期货 $22、$23、$24。

无内嵌期权：风险中性下 1、2、3 年期望价格为 22、23、24，期望现金流（百万美元）为 \(2\times22-2\times17-6=4.0\)、6.0、8.0。项目价值

用树：假设现货服从

• 节点 H：第 3 年末价格 22.85（概率 0.2217）时利润 \(2\times22.85-2\times17-6=5.70\)；16.16（0.6566）时 −7.68；11.43（0.1217）时 −17.14。H 处价值 \([0.2217\times5.70+0.6566\times(-7.68)+0.1217\times(-17.14)]e^{-0.1}=-5.31\)。
• 节点 C：以 0.1667 到 F（价格 31.37），第 2 年现金流 \(2\times31.37-34-6=22.74\)，F 处后续价值 21.42，合计 44.16；到 G、H 的合计分别为 10.35、−13.93。C 处价值 \([0.1667\times44.16+0.6666\times10.35+0.1667\times(-13.93)]e^{-0.1}=10.80\)。
• 各节点项目价值：A 14.46；B 38.32，C 10.80，D −9.65；E 42.24，F 21.42，G 5.99，H −5.31，I −13.49。A 处扣除初始投资 15 后为 −0.54，与前面一致。

放弃期权：可随时放弃，无残值，放弃后无需再付款。这是执行价为 0 的美式看跌期权（图 35.3）。E、F、G 处项目价值为正，不行权；H、I 处行权，期权值 5.31、13.49。D 处不行权价值 \((0.1217\times13.49+0.6566\times5.31+0.2217\times0)e^{-0.1}=4.64\)，行权价值 9.65 更大，故在 D 行权。C 处 \([0.6666\times0+0.1667\times5.31]e^{-0.1}=0.80\)；A 处 \((0.6666\times0.80+0.1667\times9.65)e^{-0.1}=1.94\)。放弃期权价值 194 万美元，项目价值从 −0.54 变为 +1.40 百万美元，原本不吸引人的项目变为正值。

扩张期权（无放弃期权）：可随时以 200 万美元把规模扩大 20%：产量从 200 万增至 240 万单位/年，变动成本仍 $17/单位，固定成本增 20%（600 万→720 万）。这是以 200 万买入 20% 基础项目的美式看涨期权（图 35.4）。E 处行权：\(0.2\times42.24-2=6.45\)；F 处行权：\(0.2\times21.42-2=2.28\)；G、H、I 不行权。B 处立即行权更优：\(0.2\times38.32-2=5.66\)。C 处不行权 \((0.1667\times2.28)e^{-0.1}=0.34\)，行权 \(0.2\times10.80-2=0.16\)，不行权。A 处不行权 \((0.1667\times5.66+0.6666\times0.34)e^{-0.1}=1.06\)，行权 \(0.2\times14.46-2=0.89\)，不提前行权。项目价值从 −0.54 变为 +0.52。 本例容易处理，因为行权后所有现金流入流出同比例增加 20%；若固定成本不变或增幅低于 20%，节点上需另记录：(1) 后续固定成本现值；(2) 后续收入扣除变动成本后的现值。

多个期权：两个或以上期权通常不独立，同时拥有 A 和 B 的价值一般不等于两者之和。如同时有放弃和扩张期权：已放弃就不能扩张；放弃看跌期权的价值取决于是否已扩张。在每个节点定义四种状态：(1) 未放弃、未扩张；(2) 未放弃、已扩张；(3) 已放弃、未扩张；(4) 已放弃、已扩张。回滚时对四种状态分别计算期权组合价值（路径依赖期权处理方法见 27.5 节）。（脚注：本例图 35.3 与 35.4 中两个期权恰好没有相互作用，但更细的树上就会有。）

多个随机变量：基础项目价值通常用 Monte Carlo 确定；内嵌期权更难，因为 Monte Carlo 从头到尾推进，到某一点时不知道未来现金流的现值。可用 27.8 节美式期权蒙特卡洛技术。例如 Schwartz–Moon 把 Amazon 分析扩展到放弃期权（即在未来现金流价值为负时宣布破产）：每个时间步假设"不放弃的价值"是当前收入、收入增长率、波动率、现金余额、税损结转等变量的多项式，用每次模拟提供的观测做最小二乘估计——即 Longstaff–Schwartz 方法。（脚注：35.4 节假设现金余额小于 0 时破产，但对 Amazon 未必是最优的。）

小结（PDF p.825）

本章说明如何把前面的思想用于实物资产及其期权的估值：风险中性估值原理可用于依赖任意一组变量的项目——按风险市场价格调整每个变量的期望增长率，再用无风险利率贴现期望现金流。风险中性估值为资本投资评估提供了内在一致的方法，也能为实践中大量项目所含期权估值。本章以 1999 年末 Amazon.com 估值和商品开采项目为例。

常见误区：(1) 用单一风险调整贴现率贴现含期权项目的现金流；(2) 把多个实物期权的价值简单相加；(3) 风险市场价格的符号与相关性方向有关，与市场无关的变量应取 0。

本章要点

• 风险中性推广：期望增长率 \(m_i\to m_i-\lambda_is_i\)，再用无风险利率贴现。
• 风险市场价格由 CAPM 估计 \(\lambda=\rho(\mu_m-r)/\sigma_m\)；商品用期货、利率用期限结构可直接得到风险中性过程。
• 企业估值：关键变量随机过程 + 风险中性 Monte Carlo + 破产规则；Amazon 例显示关键假设识别的价值。
• 五类实物期权：放弃（美式看跌）、扩张（美式看涨）、收缩（美式看跌）、推迟（美式看涨）、延期（欧式看涨）。
• 商品开采例：基础项目 −0.54，放弃期权 1.94，扩张期权 1.06；多期权需在节点上跟踪状态。

与量化交易的关联

• 基本面量化/估值：实物期权思想解释成长股、资源股估值中期权性的来源（如 Amazon 例中增长率波动率对股价的影响），可用于构建对资源价格波动敏感的股票估值模型（矿业、油气公司 = 储量上的看涨期权）。
• 风险建模：式 (35.2) 的 \(\lambda=\rho(\mu_m-r)/\sigma_m\) 即用 CAPM beta 把现实世界漂移转换为风险中性漂移，常用于基于非交易变量（销售额、产量）的衍生品或项目估值。
• 系统实现：多状态回滚、LSM 回归处理提前行权是通用技术，可复用于可转债、含权结构化产品。
• 对因子研究、回测、执行无直接关联。

推荐习题

• 35.1：NPV 法与风险中性法的区别和优势（概念）。
• 35.2、35.3：商品的风险市场价格、便利收益与储存成本下的风险中性增长率 \(r-y+u\)。
• 35.4：用 CAPM 估计收入的风险市场价格。
• 35.5、35.6：用风险中性法给商品交割期权、汽车租赁购买权定价。
• 35.7：自行构建小麦价格两步三叉树，计算项目价值与放弃期权价值（完整实物期权练习）。
• 35.8：改变放弃/扩张成本后重估期权（检验对树回滚的掌握）。

第 36 章 衍生品事故及其教训（Derivatives Mishaps and What We Can Learn from Them）（PDF p.829–840）

引子：1980 年代中期以来衍生品市场出现过一些惊人的亏损，最大的来自基于美国住房抵押贷款的产品（第 8 章）。值得注意的是大量巨亏源于单个员工：1995 年 Nick Leeson 使有 200 年历史的英国巴林银行（Barings）倒闭；1994 年 Robert Citron 的交易使加州橙县（Orange County）亏损约 20 亿美元；Joseph Jett 使 Kidder Peabody 亏 3.5 亿美元；2002 年曝光 John Rusnak 使爱尔兰联合银行（Allied Irish Bank）亏 7 亿美元；2006 年 Brian Hunter 使对冲基金 Amaranth 亏 60 亿美元；2008 年 Jérôme Kerviel 交易股指期货使法国兴业银行（Société Générale）亏超 70 亿美元；UBS、Shell、住友（Sumitomo）的巨亏也各由一人造成。这些损失不应被视为对整个衍生品行业的控诉：衍生品市场规模达数十万亿美元，总体非常成功，这些事件只占交易总量（数量和价值）的极小部分，但教训值得认真总结。

Business Snapshot 36.1 金融机构的大额亏损：

• 爱尔兰联合银行：外汇交易员 John Rusnak 多年投机，亏约 7 亿美元，用虚构的期权交易掩盖亏损。
• Amaranth：2006 年押注天然气价格方向，亏 60 亿美元。
• 巴林银行：1995 年新加坡交易员 Nick Leeson 用期货和期权大赌日经 225 方向，总亏损近 10 亿美元，银行倒闭。
• 安然（Enron）的交易对手：安然用"创造性"合约向股东隐瞒真实状况，被指协助的多家金融机构为和解股东诉讼支付超过 10 亿美元。
• Kidder Peabody：交易员 Joseph Jett 交易美国政府债券亏 3.5 亿美元，起因是公司计算机系统计算利润的方式有错误。
• 长期资本管理公司（LTCM）：1998 年因俄罗斯债务违约及随之而来的"安全投资转移（flight to quality）"亏约 40 亿美元；纽约联储组织 14 家银行注资有序清算。
• 米特兰银行（Midland Bank）：1990 年代初主要因押错利率方向亏 5 亿美元，后被汇丰收购。
• 法国兴业银行：2008 年 1 月 Jérôme Kerviel 投机股指方向亏超 70 亿美元。
• 次贷损失：2007 年投资者对美国次贷结构化产品失去信心，引发"信贷紧缩"，UBS、美林、花旗等亏损数百亿美元。
• UBS：2011 年 Kweku Adoboli 未经授权投机股指亏 23 亿美元。

Business Snapshot 36.2 非金融机构的大额亏损：

• Allied Lyons：食品饮料公司财务部 1991 年卖出美元/英镑汇率看涨期权亏 1.5 亿美元。
• Gibson Greetings：贺卡制造商财务部 1994 年与信孚银行（Bankers Trust）交易高度奇异的利率衍生品亏约 2,000 万美元，后起诉并庭外和解。
• Hammersmith and Fulham：英国地方政府 1988 年在英镑利率互换和期权上亏约 6 亿美元，其全部合约后被英国法院判为无效，令对手银行十分不满。
• Metallgesellschaft：德国公司签订长期供应石油和汽油合约，用滚动短期期货对冲，被迫终止时亏 13 亿美元。
• 橙县：财务主管 Robert Citron 用衍生品投机利率不会上升，1994 年亏约 20 亿美元。
• 宝洁（P&G）：财务部 1994 年与信孚银行交易高度奇异利率衍生品亏约 9,000 万美元（5/30 互换见 33.7 节），后起诉并庭外和解。
• Shell：日本子公司一名员工未经授权交易货币期货亏 10 亿美元。
• 住友：一名交易员 1990 年代在铜现货、期货、期权市场亏约 20 亿美元。

36.1 对所有衍生品用户的教训（PDF p.829–832）

设定风险限额（Define Risk Limits）：所有公司都应清晰明确地规定可承担的金融风险限额，并建立确保遵守的程序。理想情况下由董事会设定总体限额，再分解到负责具体风险的个人。每日报告应显示市场变量特定变动下的损益，并与实际损益核对，以确保报告背后的估值程序准确。使用衍生品时尤其要密切监控：衍生品可用于对冲、投机和套利（第 1 章），没有密切监控就无法知道交易员是否已从对冲者或套利者变成投机者。巴林、兴业、UBS 都是经典例子：交易员的授权是低风险套利或对冲，却在主管不知情时变成对市场方向的巨额押注，银行系统不足以掌握其全部头寸。重点不是不能承担风险——交易员或基金经理可以对相关市场变量方向建仓，但规模应受限，系统应准确报告风险。

认真对待风险限额（Take the Risk Limits Seriously）：超限但盈利怎么办？管理层倾向于对盈利的超限视而不见，这很短视，会形成不重视限额的文化，为灾难铺路。部分案例中公司因以前同类风险带来过利润而变得自满。经典例子是橙县：Citron 1991–93 年的交易很赚钱，县政府开始依赖其交易收入，于是忽视其风险，结果 1994 年的亏损远超此前利润。超限无论盈亏，惩罚都应相同；否则亏损的交易员会不断加注，指望最终盈利一切被原谅。

不要以为能战胜市场（Do Not Assume You Can Outguess the Market）：交易员能力或有高低，但没人永远正确；方向判断 60% 正确就已很好。业绩出众（如 1990 年代初的 Citron）多半是运气而非技能。例：机构雇用 16 名交易员，其中一人一年四个季度全部盈利，该给高奖金吗？该提高其限额吗？奖金几乎必然会给；但限额不应提高：随机交易连续四个季度盈利的概率 \(0.5^4=1/16\)，16 人中靠运气就会有一人每季度都"做对"，不应假设好运会持续。

不要低估分散化的好处：即使确信某交易员有特殊才能，为利用其才能而放弃多少分散化？分散化好处巨大，重押单一市场变量未必是最优策略。例：20 只股票，每只期望收益 10%、收益标准差 30%，两两相关 0.2；等权投资时期望收益 10%，标准差

做情景分析和压力测试：VaR 等风险度量应始终配合情景分析和压力测试（第 22 章），以理解可能出什么问题。人类倾向于锚定一两个情景：1993–94 年 P&G 和 Gibson Greetings 可能确信利率会保持低位，决策时忽略了利率上升 100bp 的可能。情景生成要有创意，并借助有经验管理者的判断。方法之一：看 10 或 20 年数据，选最极端事件作情景。关键变量数据不足时，可用数据更多的相似变量的历史日百分比变化作代理，如某国债券数据少，可用相似国家债券的历史数据构造情景。

36.2 对金融机构的教训（PDF p.832–837）

密切监控交易员：交易室倾向于把业绩优异的交易员视为"不可触碰"，不予同等审查。据报道 Kidder Peabody 的明星国债交易员 Joseph Jett 常"太忙"而不回答风险经理关于头寸的问题。所有交易员——尤其是高利润者——都应完全问责：要弄清高利润是否来自过高风险，也要检查计算机系统和定价模型是否正确、是否被操纵。

前台、中台、后台分离：前台为执行交易、建仓的交易员；中台为监控风险的风险经理；后台负责记录和会计。一些最严重的灾难源于这些职能未分离：Nick Leeson 同时控制巴林新加坡的前台与后台，因而能向伦敦上级长期隐瞒；Jérôme Kerviel 做交易员前在兴业后台工作，利用对系统的了解隐藏头寸。

不要盲目信任模型：部分巨亏源于模型和计算机系统，如 Kidder Peabody 被自己的系统误导。若简单策略报告出大额利润，很可能利润计算背后的模型有误。若机构在某类交易报价上显得特别有竞争力，很可能它用的模型与其他参与者不同，应仔细分析。对交易室负责人来说，某类业务做得太多与太少同样值得担心。

保守确认初始利润（inception profits）：向非金融企业出售高度奇异工具时，估值高度依赖模型（如长期内嵌利率期权的产品高度依赖利率模型），此时每日盯市称为按模型估值（marking to model），因为没有可作基准的类似交易市价。若机构以比（模型）价值高 1,000 万美元的价格卖给客户，这 1,000 万即初始利润。各机构做法不一：有的立即确认，有的在交易期内慢慢确认。立即确认很危险：鼓励交易员用激进模型、拿奖金、在模型和交易价值受到审视前离职。慢慢确认更好，使交易员有动力在交易前考察多种模型和假设的影响。

不要向客户销售不合适的产品：短视做法。最典型的是信孚银行（BT）1994 年春之前的行为：许多客户被说服购买高风险、完全不合适的产品，典型如 5/30 互换——大概率省下几个基点、小概率损失巨大。1992–93 年表现良好，1994 年利率急升时爆雷。随后的负面宣传重创 BT：多年建立的企业客户信任和衍生品创新声誉，因少数过度激进的销售人员而大部分丧失；BT 被迫支付巨额庭外和解金，1999 年被德意志银行收购。

警惕容易赚的钱：安然例子说明过度激进的交易撮合者可让银行损失数十亿：与安然做生意看似很赚钱，银行争相竞争，但"大家都抢"不代表最终会盈利，安然业务带来的股东诉讼代价高昂。一般而言，看似容易获得高利润的交易要仔细检查隐藏风险。次贷 ABS CDO 的 AAA 档看似绝佳机会：承诺收益远高于通常 AAA 工具，很多投资者没有追问额外收益是否反映了评级机构未考虑的风险。

不要忽视流动性风险：金融工程师常用活跃交易工具的价格为不活跃工具定价，例如：(1) 用活跃政府债（新券，on-the-run）算零息曲线，为交易较少的旧券（off-the-run）定价；(2) 从活跃期权隐含波动率，为不活跃期权定价；(3) 从活跃的利率上限和互换期权隐含利率行为信息，为不活跃的非标准利率衍生品定价。这些做法不无道理，但假设不活跃工具总能以接近理论价成交是危险的。市场受冲击时常出现"安全投资转移"，流动性变得非常重要，非流动工具往往以远低于理论价的价格出售，2007–09 年次贷冲击后即如此。LTCM（Business Snapshot 2.2）：采用收敛套利（convergence arbitrage）——找理论上应同价的两种证券（组合），买便宜的、卖贵的，期待价格最终收敛。1998 年夏俄罗斯违约引发安全投资转移，LTCM 通常做多非流动工具、做空对应流动工具（如多旧券空新券），两者价差在违约后急剧扩大；LTCM 杠杆很高，巨亏且难以满足追加保证金。教训：要做情景分析和压力测试，考察最坏情况；LTCM 本可考察历史上极端的安全投资转移时期来量化其流动性风险。

警惕所有人采用同一策略：会造成大幅波动、市场不稳定和参与者巨亏。

• 1987 年 10 月股灾与组合保险（第 19 章）：股灾前越来越多的组合经理通过合成看跌期权为组合保险，市场上涨后买入股票或股指期货、下跌后卖出，造成不稳定：小幅下跌引发组合保险者抛售潮，进一步下跌又引发新一轮抛售……没有组合保险，股灾会轻得多。
• LTCM 1998：许多对冲基金采用类似收敛套利策略。俄罗斯违约后，LTCM 为满足保证金要平掉部分头寸，其他基金面临同样问题、做同样交易，使流动性价差更大、安全投资转移更剧烈。如其美国国债头寸：多旧券空新券，价差扩大时要卖旧券买新券，其他大基金也在做，新券相对旧券价格进一步上升，收益率价差进一步扩大。
• 1990 年代末英国保险公司：大量合约承诺年金适用利率为市场利率与保证利率中的较高者，长期利率跌破保证利率时亏损。它们几乎同时用衍生品部分对冲；对手金融机构通过买入大量长期英镑债券对冲，推高债价、压低英镑长期利率，为维持动态对冲又要买更多债券，利率进一步下降……金融机构亏损，保险公司在未对冲部分的处境也更糟。 关键教训：许多参与者采用同一策略时可能存在巨大风险。

不要过度用短期融资满足长期需求：所有金融机构都在一定程度上借短投长，但过度依赖短期资金会带来不可接受的流动性风险。例：每月滚动发行商业票据为长期需求融资（4 月 1 日发行的 CP 用 5 月 1 日新发 CP 偿还，依此类推），机构被视为健康时没问题；一旦投资者失去信心（无论对错），就无法滚动，陷入严重流动性困境。危机中许多机构倒闭（如雷曼兄弟、北岩银行）主要源于过度依赖短期融资；巴塞尔委员会因此引入银行必须满足的流动性比率。

市场透明很重要：2007 年前投资者交易高度结构化的产品，却对底层资产没有真正了解，只知道证券的信用评级。事后看，应要求更多底层资产信息并更仔细评估风险——但事后聪明容易。2007 年 8 月次贷崩溃使投资者对所有结构化产品失去信心并撤出，市场崩溃，各档只能以远低于理论价的价格出售，安全投资转移、信用利差扩大。若市场透明、投资者了解所买 ABS，次贷损失仍会发生，但安全投资转移和市场混乱会轻一些。

管理激励：2007–08 危机的关键教训。银行奖金制度偏重短期业绩；部分机构改为基于更长窗口（如 5 年）的业绩发奖金，可抑制短期好看、几年后爆雷的交易。贷款证券化时要使发起方与最终承担风险方利益一致，避免发起方虚报贷款质量；方法之一是监管要求发起方在由贷款组合创建的所有分档及其他工具中保留一部分（风险自留）。

永远不要忽视风险管理：形势好（或看似好）时，人们倾向认为不会出错，忽视风险管理部门的压力测试等结果；危机前有很多风险经理不被倾听的故事。花旗 CEO Chuck Prince 2007 年 7 月（危机前夕）的话是错误态度的典型："当音乐停止时，就流动性而言，事情会变得复杂。但只要音乐还在播放，你就得起身跳舞。我们还在跳。"他当年晚些时候去职，花旗危机损失超过 500 亿美元。

36.3 对非金融企业的教训（PDF p.837–839）

确保完全理解所做交易：企业永远不应做不完全理解的交易或策略。很多非金融企业交易员在巨亏后承认不知道发生了什么，声称被投行误导，如橙县的 Citron；Hammersmith and Fulham 的交易员头寸巨大，却出奇地不了解互换和其他利率衍生品的运作。高级经理不理解下属提议的交易，就不应批准。简单经验法则：若交易及其理由复杂到经理无法理解，几乎可以肯定不适合公司；按此标准 P&G 和 Gibson Greetings 的交易会被否决。确保理解金融工具的一种方法是自己给它估值：企业若没有内部估值能力就不应交易该工具。实践中企业常依赖交易商提供估值建议，这很危险：P&G 与 Gibson Greetings 想平仓时，面对的是信孚银行专有模型给出的价格，无法核查。

确保对冲者不变成投机者：对冲枯燥、投机刺激。公司雇交易员管理汇率、商品价格或利率风险时，可能出现：起初交易员勤勉对冲、赢得高层信任；随后自信能战胜市场，逐渐变成投机者；起初顺利，随后亏损；为挽回亏损加倍下注；继续亏损……结果很可能是灾难。应由高层设定清晰的风险限额并有控制确保遵守。企业交易策略应始于对汇率、利率、商品市场等风险的分析，再决定如何把风险降到可接受水平；若交易策略不是非常直接地源自公司敞口，就说明有问题。

谨慎把财务部门变成利润中心：过去 20 年有把企业财务部门变为利润中心的趋势，看似有激励财务主管降低融资成本、盈利地管理风险的好处。问题是财务主管盈利潜力有限：筹资和投资盈余现金时面对的是有效市场，通常只能靠承担额外风险改善利润。对冲计划给了一些做出精明决策的空间，但对冲的目标是降低风险而非提高期望利润；如第 3 章所说，大约 50% 的情况下对冲的结果会比不对冲差。把财务部门变为利润中心的危险在于激励财务主管投机，导致橙县、P&G、Gibson Greetings 那样的结果。

小结（PDF p.839）

衍生品巨亏使许多财务主管非常谨慎，一些非金融企业宣布减少甚至停止使用衍生品，这很可惜，因为衍生品是非常高效的风险管理工具。这些故事印证了第 1 章的观点：衍生品既可对冲也可投机，即可降低风险也可承担风险。多数损失源于不当使用：被（明示或默示）授权对冲公司风险的员工转而投机。核心教训是内部控制的重要性：高层应发布清晰明确的衍生品使用政策，规定员工对市场变量建仓的允许程度，并建立控制确保执行；不密切监控风险就授权个人交易衍生品，是灾难的配方。延伸阅读：Dunbar（LTCM）、Jorion（LTCM；橙县）、Persaud（流动性黑洞）、Sorkin《大而不倒》、Tett《愚人的黄金》。本章无习题。

本章要点

• 大额亏损多源于单人越权、对冲者变投机者、系统和控制不足。
• 风险限额：董事会设定、逐级分解、每日报告与实际损益核对；超限无论盈亏同等处罚。
• 业绩可能是运气（16 人中 1 人连续 4 季盈利的概率即 1/16）；分散化可使单位风险收益翻倍。
• VaR 之外必须做情景分析和压力测试；流动性风险、拥挤交易、短融长投、透明度、激励机制、风险管理话语权都是危机教训。
• 金融机构：前中后台分离、不盲信模型、慢确认初始利润、不卖不适当产品、警惕容易的钱。
• 非金融企业：只做理解且能自行估值的交易；交易策略应直接来自公司敞口；财务部门不宜作为利润中心。

与量化交易的关联

这一章与量化交易的风控、回测和系统实现直接相关：

• 回测与绩效评估：16 名交易员的例子就是多重检验/幸存者偏差问题——大量策略中总有一些在样本内连续盈利，不能据此加杠杆；评估策略要做多重检验校正（如 deflated Sharpe）和样本外检验。"简单策略报告巨额利润，模型多半有错"是回测 bug 排查的第一原则（Kidder Peabody 的利润计算错误）。
• 风险管理与执行：头寸/敞口限额、每日损益归因与核对、硬性风控（超限自动减仓，盈利也不例外）、前中后台权限分离（交易系统与清算/对账系统独立）应在量化系统中强制实现。
• 组合构建：分散化公式 \(\sigma_p=\sigma\sqrt{1/n+(1-1/n)\rho}\) 说明在相关性 0.2 下，单位风险收益可提升一倍；集中押注需要极强的超额能力证据。
• 压力测试与拥挤交易：LTCM、组合保险、英国保险公司的案例说明策略同质化、流动性错配和杠杆会放大回撤；量化基金应监控因子拥挤度、流动性和融资期限，做历史极端情景压力测试（如 2007 年 8 月量化股票"量化地震"即同类问题）。
• 激励与模型风险：初始利润慢确认、长期奖金窗口对应量化团队的策略上线审批、模型验证与延期激励。

推荐习题

本章无习题。建议的练习（编写者可设计）：(1) 复现 20 只股票等权组合标准差 14.7% 的计算，并画出 \(\sigma_p\) 随股票数和相关系数变化的曲线；(2) 用模拟说明 \(N\) 名无技能交易员中至少一人连续 \(k\) 期盈利的概率；(3) 对一个收敛套利组合做历史压力测试（如 1998、2008、2020 年流动性冲击期）。

书末附录（PDF p.841–892）

术语表（Glossary of Terms）（PDF p.841–862）

按字母序列出全书术语的一句话定义，约 400 条，覆盖期权与策略（看涨/看跌、价差组合 bull/bear/butterfly/calendar/diagonal spread、straddle/strangle/strip/strap、各类奇异期权如 Asian、barrier、lookback、chooser、compound、cliquet、gap、Parisian、shout、rainbow、basket、swing）、利率与互换（bootstrap、par yield、DV01、duration/convexity、CMS/CMT、LIBOR-in-arrears、step-up/amortizing/indexed principal swap、OIS、LIBOR–OIS spread、TED spread、swaption、ratchet/sticky/flexi cap）、信用（CDS、CDO、base/compound correlation、hazard rate、CVA/DVA/FVA、CSA、downgrade trigger、wrong-way risk）、风险管理（VaR、C-VaR/expected shortfall、stressed VaR、historical simulation、Cornish–Fisher、cash-flow mapping、EWMA/GARCH）、随机过程与数值方法（Wiener/Itô process、Itô's lemma、Girsanov 定理、martingale、numeraire、P/Q 测度、Markov process、jump–diffusion、variance-gamma、CEV、显式/隐式有限差分、控制变量、准随机序列、Newton–Raphson、Cholesky 分解、Gaussian quadrature）、市场与制度（clearing house/CCP、margin、SEF、ISDA、Dodd–Frank、Volcker rule、Basel Committee、IMM dates、triple witching、wild card play）等。

编写时值得直接采用的几条表述：

• Convexity adjustment 被称为"用滥了的术语"：既可指期货利率与远期利率的换算调整，也可指 Black 模型中对远期利率的调整（即第 30 章）。
• Forward risk-neutral world：关于某资产的远期风险中性世界，是风险市场价格等于该资产波动率的世界。
• Girsanov 定理：换测度（如现实世界→风险中性世界）时变量的期望收益改变而波动率不变。
• Measure：概率测度，定义了风险市场价格。Numeraire：计量证券价格的单位，例如 IBM 为计价单位、IBM 价格 $80、某证券 $50 时，该证券价格记为 0.625。
• Risk-neutral valuation 给出的衍生品价格在所有世界都正确，而不只在风险中性世界。
• Nonstationary model：波动率参数是时间函数的模型（对应 31.8 节的告诫）。
• Contango / normal backwardation：期货价格高于/低于期望未来现货价格（contango 也常指期货价高于当前现货价）；normal / inverted market：期货价格随期限递增/递减。

DerivaGem 软件说明（PDF p.863–867）

DerivaGem 3.00 为本书配套 Excel 软件（DG300.xls、DG300 functions.xls、DG300 applications.xls），新增 CEV、Merton 跳跃扩散、variance-gamma 模型的欧式期权定价，Monte Carlo 实验，由市场数据计算 LIBOR 与 OIS 零息曲线，互换与债券估值，互换/上限/互换期权可选 OIS 或 LIBOR 贴现。

• 入门示例：在 Equity_FX_Indx_Fut_Opts_Calc 表选 Currency、Binomial American、Put；输入汇率 1.61、波动率 12%、本币利率 8%、外币利率 9%、期限 1.0 年、执行价 1.60、4 步，得期权价 0.07099 及希腊字母，Display Tree 显示图 21.6 的二叉树。可勾选 Imply Volatility 反解隐含波动率；可画各种图。
• 要点：股票期权最多输入 7 笔股息；美式期权最多 500 步，最多显示 10 步；非标准期权的希腊字母用扰动法计算；亚式期权"Current Average"为起始以来均价；回望期权对看涨用迄今最小值、看跌用迄今最大值；利率为连续复利、Actual/Actual。
• Alternative Models 表：CEV、跳跃扩散、VG，可画隐含波动率–执行价（波动率微笑）。Monte Carlo 表：对数正态、跳跃扩散、VG，显示 10 次试验，可选对偶变量，显示标准误。
• Zero Curve 表：由 LIBOR 存款利率和 LIBOR 换固定互换利率求 LIBOR 曲线，由 OIS 利率求 OIS 曲线，教学简化（计息期为整年分数、Actual/Actual），可比较 LIBOR 贴现与 OIS 贴现下的 LIBOR 曲线。Bond_and_Swap_Price 表：两种贴现方式估值互换。
• Bond_Options 表：Black 模型（仅欧式）、正态短期利率模型 (31.13)、对数正态模型 (31.18)（欧式和美式）；票息频率季/半年/年；零息曲线分段线性；执行价可为报价（clean）或现金（dirty）价，每 100 本金。
• Caps_and_Swap_Options 表：Black 上限/下限（29.2 节）与欧式互换期权（29.3 节），以及正态/对数正态短期利率模型；付款日从到期日倒推，首个计息期可为正常长度的 0.5–1.5 倍；可选 LIBOR 或 OIS 贴现。
• CDS 表：由 CDS 利差求风险率或反之，假设违约只发生在付款日中点（对应 25.2 节例子）。CDO 表：由分档相关性计算报价（基点或预付款，如 iTraxx/CDX 权益档固定 500bp 加预付款），积分点数默认 10（最多 30）；显示 ExpLoss 与 PVPmts，利差 = ExpLoss×10,000/PVPmts，预付款 = ExpLoss − Spread×PVPmts/10,000；可反解复合相关或基础相关（后者要求首档起点为 0% 且各档首尾相接）。
• 希腊字母定义：股票/外汇/指数/期货期权中 Delta 为标的每升 1 美元期权价变化；Gamma 为 delta 的变化；Vega 为波动率升 1 个百分点（如 20%→21%）的价格变化；Rho 为利率升 1 个百分点的价格变化；Theta 为每过一个日历日的价格变化。利率产品中 DV01 为零息曲线平行上移 1bp 的价格变化；Gamma 为 DV01 对平行上移的变化（per % per %）；Vega 为波动率参数升 1 个百分点的价格变化。
• Applications Builder（含 VBA 源码）：A 二叉树收敛；B 希腊字母图；C delta 对冲表现（表 19.2、19.3）；D 二元期权的 delta + gamma 对冲；E 三种方法计算 VaR；F 障碍期权静态复制（26.16 节）；G 三叉树收敛（31.7 节例题所用）。

主要期货期权交易所（PDF p.868）

列出约 30 家交易所及网址：ASX、BM&FBOVESPA、BSE、BOX、Bursa Malaysia、CBOE、中国金融期货交易所（CFFEX）、CME Group、大连商品交易所（DCE）、Eurex、香港期货交易所、ICE、ISE、KCBT、LME、MEFF、MEXDER、MGE、蒙特利尔交易所、NASDAQ OMX、印度 NSE、NYSE Euronext、大阪证交所、上海期货交易所（SHFE）、新加坡交易所、东京谷物交易所、东京金融交易所、郑州商品交易所（ZCE）。并说明近年交易所大规模合并：CBOT 与 CME 合并为 CME Group（含 NYMEX）；Euronext 与 NYSE 合并为 NYSE Euronext（拥有 AMEX、Pacific Exchange、LIFFE 和两家法国交易所）；澳大利亚证交所与悉尼期货交易所合并为 ASX；ICE 收购 NYBOT、IPE、Winnipeg 商品交易所，并正与 NYSE Euronext 合并；Eurex（德意志交易所与瑞士 SIX 共同运营）收购 ISE。合并主要由降低交易成本的规模经济驱动。

标准正态分布表（PDF p.869–870）

两张 \(N(x)\) 表：\(x\le0\) 与 \(x\ge0\)，\(x\) 步长 0.01，从 0 到约 ±4.0，需线性插值。示例：\(N(-0.1234)=N(-0.12)-0.34[N(-0.12)-N(-0.13)]=0.4522-0.34\times(0.4522-0.4483)=0.4509\)；\(N(0.6278)=N(0.62)+0.78[N(0.63)-N(0.62)]=0.7324+0.78\times(0.7357-0.7324)=0.7350\)。常用值：\(N(-1)=0.1587\)，\(N(-1.5)=0.0668\)，\(N(-2)=0.0228\)，\(N(-2.5)=0.0062\)，\(N(-3)=0.0014\)。（教材编写时可直接用软件函数替代查表。）

作者索引与主题索引（PDF p.871–892）

作者索引（p.871–874）按姓氏列出被引作者及页码；主题索引（p.875–892）按字母序列出主题及书页码，含子条目（例如"Volatility smile"下分隐含资产价格分布、股票期权、外汇期权、希腊字母等；"Zero curve"下分期望理论、流动性偏好理论、市场分割理论、多条零息曲线等）。无需精读，编写中文教材时可作为术语页码交叉检索之用。