元信息：John C. Hull《Options, Futures, and Other Derivatives》(Global Edition)；负责 PDF 第 544–715 页（第 23–29 章）。注：PDF 页码 = 书页码 + 1（如 PDF p.544 对应书 p.543）。

第 23 章波动率与相关系数的估计（Estimating Volatilities and Correlations）（PDF p.544–566）

本章讲如何用历史数据估计当前与未来的波动率、相关系数。两个用途：(1) 模型构建法（model-building approach）计算 VaR 时，关心的是当前波动率与相关系数（持有期很短）；(2) 衍生品定价时，需要预测衍生品整个存续期内的波动率和相关系数。核心思想：波动率和相关系数不是常数，EWMA、ARCH、GARCH 等模型试图跟踪其时变特征。

23.1 估计波动率（PDF p.544–546）

符号：$\sigma_n$ 表示在第 $n-1$ 天末估计的第 $n$ 天波动率；$\sigma_n^2$ 为方差率（variance rate）。$S_i$ 为第 $i$ 天末的市场变量值，连续复利日收益 $u_i=\ln(S_i/S_{i-1})$。

标准无偏估计（第 15.4 节已介绍）：

\sigma_n^2=\frac{1}{m-1}\sum_{i=1}^{m}(u_{n-i}-\bar u)^2,\qquad \bar u=\frac1m\sum_{i=1}^m u_{n-i}\tag{23.1}

为监控日波动率，作三处简化：

$u_i$ 改为百分比变化（简单收益）：$u_i=\dfrac{S_i-S_{i-1}}{S_{i-1}}$ (23.2)（与第 22.3 节 VaR 中波动率定义一致）；
设 $\bar u=0$（一天的期望变化相对标准差极小，影响可忽略）；
用 $m$ 代替 $m-1$（从无偏估计变为极大似然估计）。

三处修改几乎不影响数值，得到

\sigma_n^2=\frac1m\sum_{i=1}^m u_{n-i}^2\tag{23.3}

（注意：本章下标 $i$ 指不同日期的同一变量；第 22 章的 $x_i$ 下标指同一天的不同变量。）

加权方案（Weighting Schemes）：式 (23.3) 对过去 $m$ 个 $u^2$ 等权。为估计当前波动率，应给近期数据更大权重：

\sigma_n^2=\sum_{i=1}^m\alpha_i u_{n-i}^2,\quad \alpha_i>0,\ \ \alpha_i<\alpha_j\ (i>j),\ \ \sum\alpha_i=1\tag{23.4}

ARCH(m) 模型（Engle 1982，autoregressive conditional heteroscedasticity，自回归条件异方差）：再给长期平均方差率 $V_L$ 一个权重 $\gamma$：

\sigma_n^2=\gamma V_L+\sum_{i=1}^m\alpha_i u_{n-i}^2,\qquad \gamma+\sum\alpha_i=1\tag{23.5}

令 $\omega=\gamma V_L$，写成 $\sigma_n^2=\omega+\sum_{i=1}^m\alpha_i u_{n-i}^2$ (23.6)。

23.2 指数加权移动平均模型 EWMA（PDF p.546–547）

EWMA（exponentially weighted moving average）是式 (23.4) 的特例：权重按指数递减，$\alpha_{i+1}=\lambda\alpha_i$，$0<\lambda<1$。可化为极简的递推更新公式：

\sigma_n^2=\lambda\sigma_{n-1}^2+(1-\lambda)u_{n-1}^2\tag{23.7}

推导（为什么是指数权重）：反复代入 $\sigma_{n-1}^2,\sigma_{n-2}^2,\dots$ 得

\sigma_n^2=(1-\lambda)\sum_{i=1}^m\lambda^{i-1}u_{n-i}^2+\lambda^m\sigma_{n-m}^2

$m$ 大时末项可忽略，即式 (23.4) 中 $\alpha_i=(1-\lambda)\lambda^{i-1}$，每个权重是前一个的 $\lambda$ 倍。

例 23.1：$\lambda=0.90$，第 $n-1$ 天波动率估计 1%/天，当天变量上涨 2%。$\sigma_{n-1}^2=0.0001$，$u_{n-1}^2=0.0004$，$\sigma_n^2=0.9\times0.0001+0.1\times0.0004=0.00013$，$\sigma_n=\sqrt{0.00013}=1.14\%$/天。直观：$u_{n-1}^2$ 的期望为 $\sigma_{n-1}^2=0.0001$，实际值更大，所以估计上调；反之下调。

特点：

存储需求极小：只需保存当前方差估计和最近一次市场价格；新观测到来时算出新收益，用 (23.7) 更新后旧数据可丢弃。
跟踪波动率变化：前一天大幅波动 → $u_{n-1}^2$ 大 → 估计上升。
$\lambda$ 决定对最新收益的敏感度：$\lambda$ 小 → 最新观测权重大，估计值本身波动剧烈；$\lambda$ 接近 1 → 对新信息反应慢。
RiskMetrics（JPMorgan 1994 年公开）用 $\lambda=0.94$ 更新日波动率：在多种市场变量上，该值给出的方差预测最接近"已实现方差率"（realized variance，定义为其后 25 天 $u_i^2$ 的等权平均，见习题 23.19）。

23.3 GARCH(1,1) 模型（PDF p.548–549）

Bollerslev（1986）提出。与 EWMA 的区别类似 (23.4) 与 (23.5) 的区别——额外给长期平均方差率 $V_L$ 权重：

\sigma_n^2=\gamma V_L+\alpha u_{n-1}^2+\beta\sigma_{n-1}^2,\qquad \gamma+\alpha+\beta=1\tag{23.8}

EWMA 是特例：$\gamma=0,\ \alpha=1-\lambda,\ \beta=\lambda$。
"(1,1)" 指 $\sigma_n^2$ 基于最近 1 个 $u^2$ 观测和最近 1 个方差估计；GARCH(p,q) 用最近 $p$ 个 $u^2$ 和最近 $q$ 个方差估计。GARCH(1,1) 最常用。
脚注：存在处理非对称消息（asymmetric news）的 GARCH 变体，使 $\sigma_n$ 依赖 $u_{n-1}$ 的符号；对股票更合适，因为股价下跌时波动率倾向于上升（杠杆效应，见第 20 章）。参考 Nelson（1990，EGARCH）、Engle & Ng（1993）。

估计用形式：令 $\omega=\gamma V_L$，

\sigma_n^2=\omega+\alpha u_{n-1}^2+\beta\sigma_{n-1}^2\tag{23.9}

估出 $\omega,\alpha,\beta$ 后，$\gamma=1-\alpha-\beta$，$V_L=\omega/\gamma$。平稳性条件：$\alpha+\beta<1$，否则长期方差权重为负。

例 23.2：$\sigma_n^2=0.000002+0.13u_{n-1}^2+0.86\sigma_{n-1}^2$。则 $\gamma=0.01$，$V_L=0.000002/0.01=0.0002$，长期日波动率 $\sqrt{0.0002}=1.4\%$。若 $\sigma_{n-1}=1.6\%$（$\sigma_{n-1}^2=0.000256$），当天下跌 1%（$u^2=0.0001$）：$\sigma_n^2=0.000002+0.13\times0.0001+0.86\times0.000256=0.00023516$，$\sigma_n=1.53\%$/天。

权重：反复代入得 $u_{n-i}^2$ 的权重为 $\alpha\beta^{i-1}$，按速率 $\beta$ 指数衰减，$\beta$ 可理解为"衰减率"（decay rate），作用类似 EWMA 的 $\lambda$。如 $\beta=0.9$：$u_{n-2}^2$ 的重要性是 $u_{n-1}^2$ 的 90%，$u_{n-3}^2$ 是 81%。GARCH(1,1) = 指数衰减权重 + 一部分权重给长期平均波动率。

均值回归（Mean Reversion）：GARCH(1,1) 等价于方差 $V$ 服从随机过程

dV=a(V_L-V)\,dt+\xi V\,dz,\quad a=1-\alpha-\beta,\ \ \xi=\alpha\sqrt2

（时间以天计，证明见习题 23.14：利用 $u_{n-1}^2$ 均值 $\sigma^2$、方差 $2\sigma^4$）。$V>V_L$ 时漂移为负，$V<V_L$ 时为正，回归速率 $a$；叠加波动率 $\xi$。第 27 章进一步讨论此类随机波动率模型。

23.4 模型选择（PDF p.549–550）

实践中方差率确实有均值回归倾向。GARCH(1,1) 包含均值回归、EWMA 没有，所以 GARCH(1,1) 理论上更好。当 $\omega=0$ 时 GARCH(1,1) 退化为 EWMA。若最优拟合得到 $\omega<0$，GARCH(1,1) 不稳定，此时应改用 EWMA。

23.5 极大似然方法（Maximum Likelihood Methods）（PDF p.550–555）

思想：选参数使已观测数据出现的概率（似然，likelihood）最大。

简单例子：随机抽 10 只股票，1 只下跌、9 只不跌。设下跌概率为 $p$，似然为 $p(1-p)^9$，求导令其为 0 得 $p=0.1$，与直觉一致。

估计常数方差：$X\sim N(0,v)$，观测 $u_1,\dots,u_m$。单点似然为密度 $\frac{1}{\sqrt{2\pi v}}\exp(-u_i^2/2v)$，联合似然

\prod_{i=1}^m\frac{1}{\sqrt{2\pi v}}\exp\Big(-\frac{u_i^2}{2v}\Big)\tag{23.10}

取对数、去掉常数乘子，等价于最大化 $\sum_{i=1}^m\big(-\ln v-u_i^2/v\big)$（23.11），即 $-m\ln v-\sum u_i^2/v$。对 $v$ 求导令为 0 得 $\hat v=\frac1m\sum u_i^2$，印证了脚注 3（用 $m$ 而非 $m-1$ 就是 MLE）。

估计 EWMA / GARCH(1,1) 参数：令 $v_i=\sigma_i^2$ 为模型对第 $i$ 天的方差估计，假设 $u_i$ 在给定方差下条件正态。最优参数最大化

\sum_{i=1}^m\Big(-\ln v_i-\frac{u_i^2}{v_i}\Big)\tag{23.12}

与 (23.11) 相同，只是 $v$ 换成时变的 $v_i$。需要迭代搜索。

Table 23.1 实例（S&P 500，2005-07-18 至 2010-08-13，共 1279 天）：表格列为日期、天数 $i$、$S_i$、$u_i=(S_i-S_{i-1})/S_{i-1}$、$v_i$、$-\ln v_i-u_i^2/v_i$。第 3 天初始化 $v_3=u_2^2$，之后用 (23.9) 递推；目标是最大化第六列之和。示例行：第 3 天 $u=0.004759$，$v=0.00004531$，似然项 9.5022。

最优参数：$\omega=0.0000013465$，$\alpha=0.083394$，$\beta=0.910116$；目标函数最大值 10,228.2349。
$V_L=\omega/(1-\alpha-\beta)=0.0000013465/0.006490=0.0002075$，长期日波动率 $\sqrt{0.0002075}=1.4404\%$。
图 23.1、23.2：S&P 500 指数及其 GARCH(1,1) 日波动率。多数时候日波动率 < 2%，信用危机期间高达 5%/天（VIX 也显示了极高波动，见 15.11 节）。

方差锁定（variance targeting）（Engle & Mezrich 1996），有时更稳健：令 $V_L$ 等于样本方差（或其他合理值），则 $\omega=V_L(1-\alpha-\beta)$，只需估两个参数。本例样本方差 0.0002412（日波动率 1.5531%），最优 $\alpha=0.08445$，$\beta=0.9101$，目标函数 10,228.1941，仅略低于 10,228.2349。

EWMA 估计：令 $\omega=0,\alpha=1-\lambda,\beta=\lambda$，只估一个参数。本例最优 $\lambda=0.9374$，目标函数 10,192.5104（明显低于 GARCH）。

数值实现技巧：可用 Excel Solver（或 Levenberg–Marquardt 等专用算法）。Solver 在待求参数量级相近时工作良好，因此可让单元格 A1、A2、A3 存 $\omega\times10^5$、$10\alpha$、$\beta$，再用 B1=A1/100000、B2=A2/10、B3=A3 计算似然。Solver 偶尔陷入局部最大，应尝试多个初值。

模型好坏检验（How Good Is the Model?）：GARCH 的前提是波动率聚集——$u_i^2$ 大时其后 $u_{i+1}^2,u_{i+2}^2,\dots$ 也倾向大。若 $u_i^2$ 存在自相关，好的 GARCH 模型应能消除它，即标准化序列 $u_i^2/\sigma_i^2$ 应几乎无自相关。

Table 23.2（S&P 500，滞后 1–15）：$u_i^2$ 的自相关全为正，在 0.121–0.431 之间（如滞后 1 为 0.183，滞后 2 为 0.385，滞后 11 为 0.431）；$u_i^2/\sigma_i^2$ 的自相关有正有负、绝对值都很小（如滞后 1 为 0.063，滞后 10 为 0.083，其余多在 0.04 以下）。

Ljung–Box 统计量（Ljung & Box 1978）：序列有 $m$ 个观测，

Q=m\sum_{k=1}^K w_k\eta_k^2,\qquad w_k=\frac{m+2}{m-k}

$\eta_k$ 为滞后 $k$ 的自相关，$K$ 为考虑的滞后数。$K=15$ 时，$Q>25$ 可在 95% 置信度下拒绝"零自相关"。本例 $u_i^2$ 序列 $Q\approx1566$（强自相关），$u_i^2/\sigma_i^2$ 序列 $Q=21.7$（自相关已被 GARCH 基本消除）。

23.6 用 GARCH(1,1) 预测未来波动率（PDF p.555–558）

由 $\sigma_n^2=(1-\alpha-\beta)V_L+\alpha u_{n-1}^2+\beta\sigma_{n-1}^2$ 得 $\sigma_n^2-V_L=\alpha(u_{n-1}^2-V_L)+\beta(\sigma_{n-1}^2-V_L)$。在未来第 $n+t$ 天同理成立，且 $E[u_{n+t-1}^2]=\sigma_{n+t-1}^2$，故 $E[\sigma_{n+t}^2-V_L]=(\alpha+\beta)E[\sigma_{n+t-1}^2-V_L]$，反复使用得

E[\sigma_{n+t}^2]=V_L+(\alpha+\beta)^t(\sigma_n^2-V_L)\tag{23.13}

（用第 $n-1$ 天末的信息预测第 $n+t$ 天方差。）

EWMA 中 $\alpha+\beta=1$：期望未来方差 = 当前方差（无均值回归）。
$\alpha+\beta<1$：末项随 $t$ 增大而衰减，预测趋向 $V_L$，回归速率 $1-\alpha-\beta$（图 23.3：当前方差高于/低于 $V_L$ 时的期望路径分别从上方/下方趋近 $V_L$）。
$\alpha+\beta>1$：长期方差权重为负，过程"均值逃离"（mean fleeing）。

数值例：S&P 500 数据 $\alpha+\beta=0.9935$，$V_L=0.0002075$，当前方差 0.0003（日波动 1.732%）。10 天后期望方差 $0.0002075+0.9935^{10}(0.0003-0.0002075)=0.0002942$（1.72%/天，仍明显高于长期 1.44%）；500 天后 $0.0002110$（1.45%/天，接近长期水平）。

波动率期限结构（Volatility Term Structures）：在第 $n$ 天定义 $V(t)=E(\sigma_{n+t}^2)$，$a=\ln\frac{1}{\alpha+\beta}$，则 $V(t)=V_L+e^{-at}[V(0)-V_L]$（$t$ 天后的瞬时方差率）。从今天到 $T$ 的平均日方差率：

\frac1T\int_0^T V(t)\,dt=V_L+\frac{1-e^{-aT}}{aT}[V(0)-V_L]

$T$ 越大越接近 $V_L$。定义 $\sigma(T)$ 为给 $T$ 天期权定价所用的年化波动率，按每年 252 个交易日：

\sigma(T)^2=252\Big(V_L+\frac{1-e^{-aT}}{aT}[V(0)-V_L]\Big)\tag{23.14}

当前波动率高于长期 → 期限结构向下倾斜；低于长期 → 向上倾斜。GARCH 估出的期限结构通常不等于市场隐含波动率期限结构，但常用来预测隐含波动率期限结构如何响应波动率变化。

数值：$a=\ln(1/0.99351)=0.006511$，$V(0)=0.0003$，$T$ 以天计。Table 23.3：期权期限 10/30/50/100/500 天 → 年化波动率 27.36%/27.10%/26.87%/26.35%/24.32%。

波动率变化的影响（Impact of Volatility Changes）：(23.14) 改写为 $\sigma(T)^2=252\big(V_L+\frac{1-e^{-aT}}{aT}\big(\frac{\sigma(0)^2}{252}-V_L\big)\big)$。$\sigma(0)$ 变化 $\Delta\sigma(0)$ 时，

\Delta\sigma(T)\approx\frac{1-e^{-aT}}{aT}\cdot\frac{\sigma(0)}{\sigma(T)}\,\Delta\sigma(0)\tag{23.15}

数值：$V(0)=0.0003$，$\sigma(0)=\sqrt{252}\sqrt{0.0003}=27.50\%$，瞬时波动率上升 100 基点到 28.50%（$\Delta\sigma(0)=1\%$）。Table 23.4：10/30/50/100/500 天期权的波动率上升 0.97%/0.92%/0.87%/0.77%/0.33%。

实务意义：许多金融机构据此确定账簿对波动率变化的暴露——计算 vega 时，不假设所有隐含波动率一律平移 1%，而是让冲击大小随期限递减（10 天期权用 0.97%，30 天用 0.92%……）。

23.7 相关系数（Correlations）（PDF p.558–560）

相关系数 $\rho=\dfrac{\text{cov}(X,Y)}{\sigma_X\sigma_Y}$，$\text{cov}(X,Y)=E[(X-\mu_X)(Y-\mu_Y)]$。相关系数更直观，但分析中的基本变量是协方差（如同前面 EWMA/GARCH 的基本变量是方差而非波动率）。

$x_i,y_i$ 为 $X,Y$ 第 $i$ 天的百分比变化；$\sigma_{x,n},\sigma_{y,n}$ 为第 $n$ 天日波动率估计，$\text{cov}_n$ 为协方差估计，相关系数估计 $=\text{cov}_n/(\sigma_{x,n}\sigma_{y,n})$。

等权、零均值时：$\sigma_{x,n}^2=\frac1m\sum x_{n-i}^2$，$\sigma_{y,n}^2=\frac1m\sum y_{n-i}^2$，

\text{cov}_n=\frac1m\sum_{i=1}^m x_{n-i}y_{n-i}\tag{23.16}

EWMA 版：$\text{cov}_n=\lambda\,\text{cov}_{n-1}+(1-\lambda)x_{n-1}y_{n-1}$。$\lambda$ 越小越重视近期。

例 23.3：$\lambda=0.95$，第 $n-1$ 天相关系数 0.6，$X,Y$ 波动率 1%、2%，则协方差 $0.6\times0.01\times0.02=0.00012$。当天 $X,Y$ 变动 0.5%、2.5%： $\sigma_{x,n}^2=0.95\times0.01^2+0.05\times0.005^2=0.00009625$； $\sigma_{y,n}^2=0.95\times0.02^2+0.05\times0.025^2=0.00041125$； $\text{cov}_n=0.95\times0.00012+0.05\times0.005\times0.025=0.00012025$。新波动率 0.981%、2.028%，新相关系数 $0.00012025/(0.00981\times0.02028)=0.6044$。

GARCH(1,1) 协方差：$\text{cov}_n=\omega+\alpha x_{n-1}y_{n-1}+\beta\,\text{cov}_{n-1}$，长期平均协方差 $\omega/(1-\alpha-\beta)$；可类比 (23.13)(23.14) 预测未来协方差和期权存续期平均协方差。可推广为多元 GARCH（multivariate GARCH），一致地更新整个协方差矩阵。

协方差一致性条件（Consistency Condition for Covariances）：$N\times N$ 方差–协方差矩阵 $\Omega$ 内部一致的条件是

w^T\Omega w\ge0\quad\text{对所有 }N\times1\text{ 向量 }w\tag{23.17}

即半正定（positive-semidefinite）。理由：$w^T\Omega w$ 是 $w_1x_1+\dots+w_nx_n$ 的方差，不可能为负。为保证半正定，方差与协方差必须用一致的方法计算（方差用最近 $m$ 天等权，协方差也要如此；方差用 $\lambda=0.94$ 的 EWMA，协方差也要用同一 $\lambda$）。

反例：相关矩阵 $\begin{pmatrix}1&0&0.9\\0&1&0.9\\0.9&0.9&1\end{pmatrix}$——变量 1、2 都与变量 3 高度相关，但 1、2 不相关，这很奇怪；取 $w=(1,1,-1)$ 时 $w^T\Omega w=3-3.6<0$，不是半正定。脚注：3×3 相关矩阵内部一致的条件为 $\rho_{12}^2+\rho_{13}^2+\rho_{23}^2-2\rho_{12}\rho_{13}\rho_{23}\le1$。

23.8 EWMA 应用于四指数例子（PDF p.561–562）

延续第 22.2 节：2008-09-25 的组合，DJIA $4M、FTSE 100 $3M、CAC 40 $1M、Nikkei 225 $2M，用截至该日的 500 天日收益。

等权：相关矩阵（Table 23.5）：DJIA–FTSE 0.489，DJIA–CAC 0.496，DJIA–Nikkei 0.062，FTSE–CAC 0.918，FTSE–Nikkei 0.201，CAC–Nikkei 0.211。协方差矩阵见 Table 23.6（对角线 0.0001227、0.0002010、0.0001950、0.0001909）。由式 (22.3)，组合损失（$000）方差 8,761.833，标准差 93.60，一日 99% VaR $=2.33\times93.60=217.757$，即 $217,757（对比历史模拟法 $253,385）。
EWMA（$\lambda=0.94$）：协方差矩阵 Table 23.7（对角线 0.0004801、0.0010314、0.0009535、0.0002541）。组合损失方差 40,995.765，标准差 202.474，一日 99% VaR $=2.33\times202.474=471.025$，即 $471,025，是等权结果的两倍多。
原因：多头组合的标准差随各资产波动率和相关系数上升而上升。Table 23.8 日波动率（%）：等权 1.11/1.42/1.40/1.38，EWMA 2.19/3.21/3.09/1.59——2008 年 9 月前夕波动率远高于 500 天中的其他时段。Table 23.9 EWMA 相关：DJIA–FTSE 0.611，DJIA–CAC 0.629，DJIA–Nikkei 0.113，FTSE–CAC 0.971，FTSE–Nikkei 0.409，CAC–Nikkei 0.342，相关系数也上升（脚注：相关性在不利市况下倾向上升）。
脚注：EWMA 计算中初始方差设为总体方差（而非 Table 23.1 那样用第一个收益平方），两种初始化对最终方差影响很小。

本章小结与习题（PDF p.563–566）

原书小结：BSM 等主流模型假设波动率恒定，但实际上波动率是随机且不可直接观测的变量。方差率是 $u_i^2$ 的加权平均，近期观测权重更大；EWMA 和 GARCH(1,1) 权重指数递减，GARCH(1,1) 还给长期平均方差率权重，便于预测未来方差。参数通常用极大似然估计；GARCH(1,1) 的好坏可用其消除 $u_i^2$ 自相关的程度来判断。每个方差模型都有对应的协方差模型，可用于更新 VaR 所需的整个协方差矩阵。

延伸阅读：Bollerslev (1986)；Cumby, Figlewski & Hasbrook (1993, EGARCH)；Engle (1982)；Engle & Mezrich (1995, 1996)；Engle & Ng (1993)；Noh, Engle & Kane (1994)。

习题题型概括：

23.1–23.2 概念：EWMA 原理；EWMA 与 GARCH(1,1) 区别。
23.3、23.7、23.17(a) EWMA 单步更新数值计算（由收盘价算收益再更新）；23.8、23.17(b) GARCH(1,1) 单步更新。
23.4 改变 $\lambda$（0.95→0.85）的影响；23.6 分别增加 $\omega,\alpha,\beta$ 的影响。
23.5 年化 30% 波动率下日变化 99% 置信区间。
23.9、23.11、23.18 用 EWMA/GARCH 更新协方差与相关系数。
23.10、23.20 GARCH 长期波动率、均值回归方程、未来 20/40/60 天波动率、期权定价波动率、冲击对期限结构的影响（式 23.13–23.15）。
23.12–23.13 汇率换算后指数的波动率和相关系数（$Z=XY$ 时百分比变化相加）。
23.14 证明 GARCH(1,1) 与连续时间随机波动率模型等价，并换算到以年计时间。
23.15、23.16、23.21 用作者网站表格改变四指数组合头寸或 $\lambda$ 重算 VaR。
23.19 以最小化 $\sum(v_i-\beta_i)^2$（$\beta_i$ 为之后 25 天已实现方差）选 $\lambda$（复现 RiskMetrics 方法）；23.22 用欧元/美元数据估计 EWMA 与 GARCH(1,1) 参数。

本章要点

日波动率估计常用简化：简单收益、零均值、除以 $m$；进而对 $u^2$ 加权，近期权重大。
EWMA：$\sigma_n^2=\lambda\sigma_{n-1}^2+(1-\lambda)u_{n-1}^2$，权重 $(1-\lambda)\lambda^{i-1}$；RiskMetrics 取 $\lambda=0.94$。
GARCH(1,1)：$\sigma_n^2=\omega+\alpha u_{n-1}^2+\beta\sigma_{n-1}^2$，$V_L=\omega/(1-\alpha-\beta)$，要求 $\alpha+\beta<1$，具有均值回归；EWMA 是 $\omega=0$ 的特例。
参数用极大似然：最大化 $\sum(-\ln v_i-u_i^2/v_i)$；可用 variance targeting 减少一个参数；用 $u_i^2/\sigma_i^2$ 的自相关和 Ljung–Box 统计量检验模型。
预测：$E[\sigma_{n+t}^2]=V_L+(\alpha+\beta)^t(\sigma_n^2-V_L)$；期权期限 $T$ 对应的波动率由 (23.14) 给出；瞬时波动率冲击对长期期权影响按 (23.15) 递减。
协方差用同样的 EWMA/GARCH 更新；方差与协方差必须用一致方法计算，以保证矩阵半正定。
四指数例子：EWMA 下 VaR 是等权的两倍多，因为危机前夕波动率和相关性同时上升。

与量化交易的关联

风险建模：EWMA/GARCH 是日常风控中协方差矩阵估计的标准工具（RiskMetrics 风格的 $\lambda$ 衰减，或 Barra 等风险模型中的半衰期加权，两者本质相同：半衰期 $h$ 对应 $\lambda=0.5^{1/h}$）。本章的半正定条件直接对应组合优化中协方差矩阵必须 PSD，否则优化器可能给出"负方差"组合；不同频率/不同窗口拼接协方差时最容易破坏 PSD。
组合优化与波动率目标：波动率目标策略（volatility targeting）、风险平价按 EWMA/GARCH 预测的波动率调仓；$\lambda$ 大小决定换手与反应速度的权衡。
定价与波动率交易：式 (23.14) 给出基于 GARCH 的波动率期限结构，可与隐含波动率期限结构对比寻找相对价值；式 (23.15) 是按期限缩放 vega 冲击的依据。
因子研究/信号：$\sigma_t$ 的预测值本身可作波动率因子或用于收益标准化（如用 EWMA 波动率归一化动量信号）；Ljung–Box 检验可用于检验残差是否仍有可利用的结构。
回测与系统实现：EWMA 递推只需存一个状态，适合流式计算；GARCH 的 MLE 需注意初始化（首个 $u^2$ 或样本方差）、参数缩放、多初值避免局部极值。回测中要用 $n-1$ 天末信息预测第 $n$ 天，避免前视偏差——本章的下标约定正好强调这一点。

第 24 章信用风险（Credit Risk）（PDF p.567–593）

本章从市场风险转向信用风险：借款人和衍生品交易对手可能违约。内容包括：估计违约概率的几种方法、风险中性与现实世界违约概率的关键区别、场外衍生品中的信用风险（CVA/DVA）与缓释条款、违约相关性、Gaussian copula 模型、信用 VaR。第 25 章将用这些概念为信用衍生品定价。

24.1 信用评级（Credit Ratings）（PDF p.567）

评级机构 Moody's、S&P、Fitch 对公司债信用质量评级。Moody's 从高到低：Aaa、Aa、A、Baa、Ba、B、Caa、Ca、C；S&P/Fitch 对应 AAA、AA、A、BBB、BB、B、CCC、CC、C。Baa/BBB 及以上为投资级（investment grade）。细分：Moody's 将 Aa 分为 Aa1/Aa2/Aa3，A 分为 A1/A2/A3 等；S&P/Fitch 将 AA 分为 AA+/AA/AA−，A 分为 A+/A/A− 等。Aaa/AAA 不细分，最低两档通常也不细分。

24.2 历史违约概率（Historical Default Probabilities）（PDF p.568–569）

Table 24.1（Moody's 1970–2012 平均累计违约率，%），期限 1/2/3/4/5/7/10/15/20 年：

Aaa：0.000/0.013/0.013/0.037/0.106/0.247/0.503/0.935/1.104
Aa：0.022/0.069/0.139/0.256/0.383/0.621/0.922/1.756/3.135
A：0.063/0.203/0.414/0.625/0.870/1.441/2.480/4.255/6.841
Baa：0.177/0.495/0.894/1.369/1.877/2.927/4.740/8.628/12.483
Ba：1.112/3.083/5.424/7.934/10.189/14.117/19.708/29.172/36.321
B：4.051/9.608/15.216/20.134/24.613/32.747/41.947/52.217/58.084
Caa–C：16.448/27.867/36.908/44.128/50.366/58.302/69.483/79.178/81.248

读法：Baa 债券第 1 年末前违约概率 0.177%，第 2 年末前 0.495%，第 2 年内违约概率 $0.495-0.177=0.318\%$。

规律：投资级债券每年违约概率随时间递增（A 级在 0–5、5–10、10–15、15–20 年间违约概率为 0.870%、1.610%、1.775%、2.586%）——发行人起初信用好，时间越长财务恶化可能越大。低评级债券则常随时间递减（B 级对应为 24.613%、17.334%、10.270%、5.867%）——头一两年最关键，活得越久财务好转可能越大。

风险率（Hazard Rates）：Caa 及以下债券第 3 年违约概率 $36.908-27.867=9.041\%$，称为无条件违约概率（从今天看第 3 年内违约）。存活到第 2 年末的概率 $72.133\%$，故第 3 年内条件违约概率（以此前未违约为条件）为 $0.09041/0.72133=12.53\%$。

风险率 $\lambda(t)$ 定义：$\lambda(t)\Delta t$ 为在 $t$ 前未违约条件下 $[t,t+\Delta t]$ 内违约的概率。设 $V(t)$ 为存活到 $t$ 的累计概率，则 $[V(t)-V(t+\Delta t)]/V(t)=\lambda(t)\Delta t$，取极限 $\frac{dV}{dt}=-\lambda(t)V(t)$，得 $V(t)=e^{-\int_0^t\lambda(\tau)d\tau}$。违约累计概率 $Q(t)=1-V(t)$：

Q(t)=1-e^{-\bar\lambda(t)t}\tag{24.1}

$\bar\lambda(t)$ 为 0 到 $t$ 的平均风险率。风险率又称违约强度（default intensity）。

24.3 回收率（Recovery Rates）（PDF p.569–570）

公司破产时债权人对资产提出索偿（美国债券持有人的索偿额为面值加应计利息）；或重组时债权人接受部分偿付，或清算人出售资产偿付；有些索偿有优先权。

债券回收率通常定义为违约后几天的债券市场价值占面值的百分比。Table 24.2（Moody's 1982–2012 平均回收率）：高级有担保（senior secured）51.6%，高级无担保（senior unsecured）37.0%，高级次级（senior subordinated）30.9%，次级（subordinated）31.5%，初级次级（junior subordinated）24.7%。

回收率与违约率负相关：2007 信用危机的教训之一是房贷违约率上升→止赎房屋增多→房价下跌→回收率下降。公司债同理：违约少的年份经济好，回收率可高达 60%；违约多的年份经济差，回收率可低至 30%。因此违约多的坏年份对贷款人是"双重打击"（Altman 等 2005）。

24.4 从债券收益率利差估计违约概率（PDF p.570–573）

收益率利差（yield spread）= 承诺收益率 − 无风险利率，通常假设它是对违约可能的补偿（不完美：流动性也影响价格，流动性越低价格越低）。

$T$ 年债利差为 $s(T)$，则 0 到 $T$ 平均损失率约为 $s(T)$/年；又平均损失率 $=\bar\lambda(T)(1-R)$，$R$ 为回收率。于是近似

\bar\lambda(T)=\frac{s(T)}{1-R}\tag{24.2}

该近似在很多场景下都很好。

例 24.1：1、2、3 年期债券利差 150、180、195 bp，$R=40\%$。平均风险率：第 1 年 $0.015/0.6=2.5\%$；前 2 年 $0.018/0.6=3.0\%$；前 3 年 $0.0195/0.6=3.25\%$。因此第 2 年平均风险率 $2\times0.03-1\times0.025=3.5\%$，第 3 年 $3\times0.0325-2\times0.03=3.75\%$。

匹配债券价格（Matching Bond Prices）：更精确的做法，类似第 4.5 节零息曲线的 bootstrap：按期限 $t_1<t_2<\dots$ 依次用最短债券确定 $[0,t_1]$ 风险率，次短债券确定 $[t_1,t_2]$ 风险率，依此类推。

例 24.2：无风险利率 5%（连续复利，所有期限），1/2/3 年期债券收益率 6.5%/6.8%/6.95%（连续复利，与例 24.1 一致），面值 100，半年付息、年息 8%（刚付过息）。由收益率得价格 $101.33、$101.99、$102.47；若无风险（按 5% 贴现）则为 $102.83、$105.52、$108.08。预期违约损失现值分别为 $1.50、$3.53、$5.61。设第 $i$ 年风险率 $\lambda_i$，$R=40\%$。

1 年期债券：前 6 个月违约概率 $1-e^{-0.5\lambda_1}$，后 6 个月 $e^{-0.5\lambda_1}-e^{-\lambda_1}$；假设违约只在区间中点（3 个月、9 个月）发生。3 个月时无风险（远期）价值 $4e^{-0.05\times0.25}+104e^{-0.05\times0.75}=104.12$，违约时债券值 $40（回收率定义为面值的 40%），损失现值 $(104.12-40)e^{-0.05\times0.25}=63.33$。9 个月时无风险价值 $104e^{-0.05\times0.25}=102.71$，损失现值 $(102.71-40)e^{-0.05\times0.75}=60.40$。解方程

(1-e^{-0.5\lambda_1})\times63.33+(e^{-0.5\lambda_1}-e^{-\lambda_1})\times60.40=1.50

得 $\lambda_1=2.46\%$。再依次用 2 年、3 年债券（使预期损失现值为 3.53、5.61）得 $\lambda_2=3.48\%$，$\lambda_3=3.74\%$，与例 24.1 的近似结果非常接近。

无风险利率的选择：上述方法严重依赖无风险利率。债券交易员通常以国债为基准（如"国债 + 250 bp"），但第 9.1 节指出国债利率太低，不适合作无风险利率代理。CDS 利差（第 7.11 节、第 25 章）提供不依赖无风险利率的信用利差估计。研究者比较债券收益率与 CDS 利差反推隐含无风险利率，发现接近 LIBOR/swap 利率，约比 LIBOR/swap 低 10 bp（Hull, Predescu & White 2004）。

资产互换利差（Asset Swap Spreads）：实务中信用计算常用 LIBOR/swap 利率作无风险基准，资产互换利差直接给出债券收益率相对 LIBOR/swap 曲线的利差。例：资产互换利差报价 150 bp：

债券按面值 100 交易：A 方支付债券（承诺的）票息，B 方支付 LIBOR + 150 bp；无论债券是否违约都交换。
债券低于面值如 95：A 方除票息外期初每 $100 名义本金另付 $5；B 方付 LIBOR + 150 bp。
债券高于面值如 108：B 方除 LIBOR + 150 bp 外期初另付 $8；A 方付票息。

效果：资产互换利差的现值 = 类似无风险债券价格（以 LIBOR/swap 曲线贴现）− 公司债价格（证明见习题 24.20），可直接用于例 24.2 类计算。

24.5 违约概率估计的比较（PDF p.573–576）

历史数据估计的违约概率通常远小于从债券利差推出的。2007 年中开始的信用危机期间差异尤大：投资者"逃向质量"（flight to quality）买国债，公司债价格跌、收益率与利差升，式 (24.2) 给出极高违约概率。

Table 24.3（7 年平均风险率，%/年；仅用危机前数据）：

评级	历史风险率	债券隐含风险率	比值	差值
Aaa	0.04	0.60	17.0	0.56
Aa	0.09	0.73	8.2	0.64
A	0.21	1.15	5.5	0.94
Baa	0.42	2.13	5.0	1.71
Ba	2.27	4.67	2.1	2.50
B	5.67	8.02	1.4	2.35
Caa 及以下	12.50	18.39	1.5	5.89

计算：历史列用 Table 24.1 的 7 年列（Merrill Lynch 债券期限约 7 年），$\bar\lambda(7)=-\frac17\ln[1-Q(7)]$；A 级 $Q(7)=0.01441$，$\bar\lambda=0.21\%$。债券列用式 (24.2)，Merrill Lynch 1996-12 至 2007-06 平均收益率，$R=40\%$，无风险利率取 7 年 swap 利率 − 10 bp。A 级：平均收益率 5.995%，7 年 swap 5.408%，无风险 5.308%，$\bar\lambda=(0.05995-0.05308)/0.6=1.15\%$。

结论：比值对投资级很高，随评级下降而下降；差值随评级下降而上升。

Table 24.4（债券预期超额收益，bp）：列为"对国债利差 / 无风险利率对国债利差 / 覆盖历史违约所需利差 / 超额收益"：Aaa 78/42/2/34；Aa 86/42/5/39；A 111/42/12/57；Baa 169/42/25/102；Ba 322/42/130/150；B 523/42/340/141；Caa 1146/42/750/354。以 A 级为例：对 7 年国债利差 111 bp，其中 42 bp 是国债与无风险代理之间的利差，12 bp 覆盖预期违约（历史风险率 0.21% × 0.6），剩余超额收益 57 bp。

违约概率估计的巨大比例差异只转化为较小（但显著）的超额收益：Aaa 比值 17，超额收益仅 34 bp。超额收益大体随信用质量下降而上升（B 级是例外）。
超额收益随时间变化：2001、2002 及 2003 上半年较高，之后到危机前较低。

现实世界 vs 风险中性概率：从利差推出的是风险中性违约概率，用于在风险中性世界计算含信用风险的期望现金流并以无风险利率贴现（例 24.2 即如此）。从历史数据算出的是现实世界（physical）违约概率。Table 24.4 的预期超额收益直接源于两者之差：若无超额收益，两者相同，反之亦然。

为什么差别这么大（等价于：为什么公司债平均赚得比无风险利率多）：

公司债流动性差，需要流动性补偿——成立，但研究（Dick-Nielsen, Feldhütter & Lando 2012）显示流动性成分相对较小，不能完全解释。
交易员的主观违约概率可能更高（考虑比历史更糟的萧条情景）——难以解释大部分超额收益。
最重要的原因：债券违约不独立。违约率逐年变化很大（Moody's 自 1970 年起年违约率从 1979 年 0.09% 到 2001 年 3.97%、2009 年 5.35%），产生不可分散的系统性风险，交易员因承担它而获得超额回报（类似 CAPM 中股票的风险溢价）。逐年变化可能来自宏观经济，也可能来自一家违约引发连锁违约，即信用传染（credit contagion）。
此外还有非系统性（特质）风险：股票组合 30 只即可大致分散，债券则不然——单只债券收益高度偏斜、上行有限（如 99.75% 概率得 7%，0.25% 概率得 −60%），需要数万只债券才能分散（Amato & Remolona 2003 "credit spread puzzle"）。实践中许多债券组合远未充分分散，因此也可能为特质风险获得补偿。

该用哪种概率：给信用衍生品估值、或估计违约风险对定价的影响 → 风险中性概率（计算期望现金流现值，几乎总是隐含使用风险中性估值）。做情景分析、估计未来潜在违约损失 → 现实世界概率。

24.6 用股价估计违约概率（Merton 模型）（PDF p.576–578）

信用评级调整不频繁，股价信息更及时。Merton（1974）：公司股权是公司资产的期权。简化假设公司只有一只 $T$ 到期的零息债券。符号：$V_0,V_T$ 今日与 $T$ 时资产价值；$E_0,E_T$ 股权价值；$D$ 为 $T$ 时应还债务；$\sigma_V$ 资产波动率（常数）；$\sigma_E$ 股权瞬时波动率。

$V_T<D$ 时理性违约，股权为 0；$V_T>D$ 时还债，股权为 $V_T-D$。故 $E_T=\max(V_T-D,0)$——股权是以资产为标的、行权价为债务还款额的看涨期权。由 BSM：

E_0=V_0N(d_1)-De^{-rT}N(d_2)\tag{24.3}

d_1=\frac{\ln(V_0/D)+(r+\sigma_V^2/2)T}{\sigma_V\sqrt T},\quad d_2=d_1-\sigma_V\sqrt T

债务今日价值 $=V_0-E_0$。风险中性违约概率为 $N(-d_2)$。

$V_0,\sigma_V$ 不可直接观测，但上市公司 $E_0$ 可观测（式 24.3 给一个方程）；$\sigma_E$ 可由历史数据或期权估计，由伊藤引理

\sigma_EE_0=\frac{\partial E}{\partial V}\sigma_VV_0=N(d_1)\sigma_VV_0\tag{24.4}

两式联立解 $V_0,\sigma_V$（Excel Solver：最小化 $F(x,y)^2+G(x,y)^2$）。

例 24.3：$E_0=3$（百万），$\sigma_E=0.80$，$D=10$，$T=1$，$r=5\%$。解得 $V_0=12.40$，$\sigma_V=0.2123$，$d_2=1.1408$，违约概率 $N(-d_2)=12.7\%$。债务市值 $V_0-E_0=9.40$，承诺还款现值 $10e^{-0.05}=9.51$，预期损失 $(9.51-9.40)/9.51\approx1.2\%$（相对无违约价值）。由于预期损失 EL = PD ×（1 − 回收率），回收率 $=1-\text{EL}/\text{PD}=1-1.2/12.7\approx91\%$（占无违约价值）。

扩展：资产跌破某障碍水平即违约（首次通过模型）；债务在多个时点付款。

实证表现：Merton 模型及扩展给出的违约概率排序很好（无论风险中性还是现实世界），因此可用单调变换把模型输出转换成好的现实世界或风险中性违约概率。Moody's KMV 将其转换为现实世界违约概率，称为 EDF（expected default frequency）；CreditGrades 用 Merton 模型估计信用利差（与风险中性违约概率密切相关）。把理论上属风险中性的 $N(-d_2)$ 用于估计现实世界概率，其隐含假设是：不同公司风险中性违约概率的排序与现实世界违约概率排序相同。

24.7 衍生品交易中的信用风险（PDF p.578–584）

讨论双边清算（bilaterally cleared）衍生品。通常受 ISDA 主协议（ISDA Master Agreement）约束。关键条款净额结算（netting）：所有未平仓交易在 (a) 违约时计算索偿、(b) 计算抵押品时视为单一交易。

违约事件：一方未按要求付款、未按要求缴纳抵押品或宣布破产，另一方有权终止所有未平仓交易。非违约方损失的两种情况：

交易总价值对非违约方为正且超过违约方所缴抵押品 → 非违约方就未抵押部分成为无担保债权人；
交易总价值对违约方为正，且非违约方所缴抵押品超过该值 → 非违约方就多缴抵押品的返还成为无担保债权人。（忽略替换交易的买卖价差成本。）

CVA 与 DVA（第 9 章已介绍）：CVA（credit value adjustment）是对手方违约给银行造成的预期成本现值；DVA（debit/debt value adjustment）是银行违约给对手方造成的成本现值——银行可能违约意味着可能不必付款，对银行是收益。设 $f_{nd}$ 为无违约价值（BSM 等模型给出的都是无违约价值），考虑违约后价值为

f_{nd}-\text{CVA}+\text{DVA}

最长交易期限 $T$，分为 $N$ 个子区间：

\text{CVA}=\sum_{i=1}^N q_iv_i,\qquad \text{DVA}=\sum_{i=1}^N q_i^*v_i^*

$q_i$ 为对手方在第 $i$ 区间违约的风险中性概率，$v_i$ 为对手方在区间中点违约时银行预期损失的现值；$q_i^*$、$v_i^*$ 为银行违约的对应量。

$q_i$ 的计算：必须是风险中性概率（在估值）。估计对手方多个期限的信用利差，插值得 $s(t_i)$；由 (24.2) 平均风险率 $s(t_i)/(1-R)$；由 (24.1) 存活到 $t_i$ 的概率 $\exp[-s(t_i)t_i/(1-R)]$，故

q_i=\exp\Big[-\frac{s(t_{i-1})t_{i-1}}{1-R}\Big]-\exp\Big[-\frac{s(t_i)t_i}{1-R}\Big]

$q_i^*$ 由银行自身信用利差同理算出。

$v_i$ 的计算（无抵押）：通常需要非常耗时的蒙特卡洛模拟：在风险中性世界模拟决定交易无违约价值的市场变量，每条路径在每个区间中点计算银行对对手方的敞口 $\max(V,0)$（$V$ 为全部交易对银行的总价值）；$v_i$ = 各路径平均敞口的现值 ×（1 − 回收率）。$v_i^*$ 同理由对手方对银行的敞口算出。

有抵押协议时：需在每条路径上估计违约时双方所持抵押品。通常假设对手方在违约前 $c$ 天停止缴纳抵押品、停止返还多余抵押品；$c$ 一般为 10 或 20 天，称补救期（cure period）或风险保证金期（margin period of risk）。因此要计算违约前 $c$ 天的交易价值。

例 24.4：双向零门槛抵押协议（每方须向另一方缴纳 $\max(V,0)$ 的抵押，$V$ 为交易对另一方的价值），补救期 20 天，$\tau$ 为某区间中点：

$\tau$ 时交易对银行值 50，20 天前 45 → 银行持有 45 抵押，敞口 5；
$\tau$ 时 50，20 天前 55 → 抵押充足，敞口 0；
$\tau$ 时 −50，20 天前 −45 → 银行缴纳的抵押少于 50，敞口 0；
$\tau$ 时 −50，20 天前 −55 → 对手方持有银行缴纳的 55 抵押且违约时不返还，银行敞口为多缴的 5。

峰值敞口（peak exposure）：各区间中点处模拟敞口的高分位数，如 97.5% 分位、10,000 次模拟则取第 250 大的敞口；最大峰值敞口为各中点峰值敞口的最大者。（脚注：峰值敞口属情景分析度量，理论上应用现实世界而非风险中性概率，但通常忽略。）

增量计算：银行通常存储所有模拟路径及每条路径上的估值，新交易只需在各路径上为新交易估值即可算出其对 CVA/DVA 的增量影响。新交易与现有交易正相关 → 可能增加 CVA、DVA；负相关（如部分平掉现有交易）→ 可能减少。

错向风险/正向风险：上述方法假设对手方违约概率与敞口独立。违约概率与敞口正相关称错向风险（wrong-way risk），负相关称正向风险（right-way risk），需更复杂的模型。

每个对手方有一个 CVA 和一个 DVA，可视为随市场变量、对手方信用利差、银行信用利差变化的衍生品，常像其他衍生品一样用希腊字母、情景分析管理风险。

信用风险缓释（Credit Risk Mitigation）：

净额结算：三笔无抵押交易价值 +10、+30、−25（百万），独立处理时敞口 10+30+0=40；净额结算后视为一笔价值 15 的交易，敞口降为 15。
抵押协议：抵押品可为现金（计息）或可交易证券；证券市值打折计为现金等价物，折扣称折扣率/估值折扣（haircut）。违约时衍生品享受优待：非违约方可保留对方所缴抵押品，通常无需昂贵冗长的法律程序。
降级触发条款（downgrade trigger）：主协议中规定对手方评级跌破某水平（如 BBB）时银行有权按市值平掉所有交易。不能防范评级大幅跳跃（如 A 直接违约）；且只有很少被使用时才有效。

Business Snapshot 24.1 降级触发与 Enron 破产：Enron 2001 年 12 月破产，直到最后几天仍为投资级（Moody's Baa3、S&P BBB）；但股价此前急跌，24.6 节类模型估计的违约概率急升。Enron 有大量带降级触发的衍生品：若在 2001 年 10 月被降至投资级以下，对手方会选择平掉对 Enron 价值为负的交易，Enron 需支付巨额现金而立即破产。教训：降级触发大量使用时可能导致公司提前破产。当时 Enron 正与 Dynegy 洽谈交易、仍有存活机会，提前逼其破产对债权人和股东都不利；评级机构陷入两难：降级等于签"死亡令"，不降则仍有生机。

特殊情形 1：单一无抵押、只在 $T$ 给银行支付的衍生品（如银行向对手方买入欧式期权）。未来任一时点敞口即衍生品的无违约价值，其现值就是今天的无违约价值，故对所有 $i$，$v_i=f_{nd}(1-R)$：

\text{CVA}=(1-R)f_{nd}\sum_i q_i,\qquad f=f_{nd}-(1-R)f_{nd}\sum_i q_i\tag{24.5}

（DVA = 0。）对手方发行的 $T$ 年零息债券是此类衍生品的特例（假设回收率相同）：$B=B_{nd}-(1-R)B_{nd}\sum q_i$（24.6）。于是 $f/f_{nd}=B/B_{nd}$；以 $y$ 和 $y_{nd}$ 分别为对手方债券与无风险债券收益率，$B=e^{-yT}$，$B_{nd}=e^{-y_{nd}T}$，得

f=f_{nd}e^{-(y-y_{nd})T}

即把风险中性期望收益的贴现率加上对手方 $T$ 年信用利差即可。

例 24.5：2 年期无抵押期权 BSM 价格 $3，期权卖方 2 年期零息债收益率比无风险高 1.5%，考虑违约后价值 $3e^{-0.015\times2}=\$2.91$（假设该期权单独存在、不与其他交易净额结算）。

特殊情形 2：无抵押远期。银行约定 $T$ 时以 $K$ 买入资产，$F_t$ 为 $t$ 时远期价格，交易价值 $(F_t-K)e^{-r(T-t)}$，敞口 $e^{-r(T-t)}\max(F_t-K,0)$。风险中性下 $E[F_t]=F_0$，$\ln F_t$ 标准差 $\sigma\sqrt t$，由式 (15A.1) 期望敞口

w(t)=e^{-r(T-t)}[F_0N(d_1(t))-KN(d_2(t))],\quad d_1(t)=\frac{\ln(F_0/K)+\sigma^2t/2}{\sigma\sqrt t},\ d_2=d_1-\sigma\sqrt t

$v_i=w(t_i)e^{-rt_i}(1-R)$。

例 24.6（远期 CVA）：银行与金矿公司约定 2 年后以 $1,500/盎司买 100 万盎司黄金，当前 2 年远期价 $1,600。两个 1 年区间，违约概率 $q_1=2\%$、$q_2=3\%$，$r=5\%$，$R=30\%$，$\sigma=20\%$，$t_1=0.5$，$t_2=1.5$。$d_1(t_1)=[\ln(1600/1500)+0.2^2\times0.5/2]/(0.2\sqrt{0.5})=0.5271$，$d_2(t_1)=0.3856$，$w(t_1)=e^{-0.05\times1.5}[1600N(0.5271)-1500N(0.3856)]=135.73$，$v_1=135.73e^{-0.025}\times0.7=92.67$；同理 $w(t_2)=201.18$，$v_2=130.65$。预期违约成本 $=0.02\times92.67+0.03\times130.65=5.77$。无违约价值 $(1600-1500)e^{-0.1}=90.48$（单位：百万美元），考虑对手方违约后 $90.48-5.77=84.71$。可扩展到更频繁的违约时点（习题 24.29）；DVA 同理（习题 24.30）。（注：原书此处与 24.8 节的 copula 模拟例都编号为 Example 24.6，习题 24.29/24.30 中的"Example 24.5"实指此远期例。）

24.8 违约相关性（Default Correlation）（PDF p.584–587）

违约相关性指两家公司在大致同一时间违约的倾向。成因：同行业或同地区公司受外部事件相似影响；宏观经济使某些年份平均违约率较高；一家违约引发另一家违约（信用传染）。违约相关性意味着信用风险不能完全分散，是风险中性违约概率高于现实世界违约概率的主要原因。它对确定多个对手方组合的违约损失分布非常重要。

两类模型：

简约式模型（reduced form models）：各公司风险率服从随机过程并与宏观变量相关。数学上方便，反映经济周期产生的违约相关；缺点是可达到的违约相关范围有限——即使两家风险率完全相关，同一短时期内同时违约的概率通常仍很低。同行业同国家或财务互相依赖的公司可能需要较高违约相关，解决办法是让风险率有大跳跃。
结构模型（structural models）：类似 Merton 模型，资产价值低于某水平即违约，令两家公司资产过程相关来引入违约相关。优点：相关性可任意高；缺点：计算较慢。

违约时间的 Gaussian copula 模型：实践中流行的工具，可证明与 Merton 结构模型相似。假设所有公司终将违约，刻画多家公司违约时间分布之间的相关。可配合现实世界概率（左尾由 Table 24.1 类评级数据估计）或风险中性概率（左尾由 24.4 节债券价格法估计）。

$t_1,t_2$ 为两公司违约时间，其分布远非正态，因此做"分位数对分位数"（percentile-to-percentile）变换：

x_1=N^{-1}[Q_1(t_1)],\qquad x_2=N^{-1}[Q_2(t_2)]

$Q_1,Q_2$ 为 $t_1,t_2$ 的累计分布，$N^{-1}$ 为标准正态分布函数的反函数。$t_1$ 分布的 5% 分位点变为 $x_1=-1.645$，10% 分位点变为 $-1.282$，等等。$x_1,x_2$ 按构造是标准正态；模型假设二者联合为二元正态——这就是"使用 Gaussian copula"。好处：$t_1,t_2$ 的联合分布完全由边缘累计违约概率 $Q_1,Q_2$ 加上一个相关参数决定。

推广到 $n$ 家公司：$x_i=N^{-1}[Q_i(t_i)]$，假设 $x_i$ 多元正态，$t_i,t_j$ 的违约相关以 $x_i,x_j$ 的相关度量，称 copula 相关（copula correlation）；近似上常用两家公司股票收益相关代替。Gaussian copula 的意义：把相关结构与边缘（无条件）分布分开估计；变量本身不是多元正态，但每个变量变换后假设为多元正态。

例（原书亦编号 24.6）——模拟 10 家公司 5 年内违约：两两 copula 相关 0.2，每家 1–5 年累计违约概率 1%、3%、6%、10%、15%。从两两相关 0.2 的多元正态抽样 $x_i$，再转换为违约时间：$x<N^{-1}(0.01)=-2.33$ → 第 1 年违约；$-2.33\sim N^{-1}(0.03)=-1.88$ → 第 2 年；$-1.88\sim N^{-1}(0.06)=-1.55$ → 第 3 年；$-1.55\sim N^{-1}(0.10)=-1.28$ → 第 4 年；$-1.28\sim N^{-1}(0.15)=-1.04$ → 第 5 年；$x>-1.04$ → 5 年内不违约。

基于因子的相关结构（单因子模型）：避免为每对公司单独定义相关：

x_i=a_iF+\sqrt{1-a_i^2}\,Z_i\tag{24.7}

$F$ 为影响所有公司的共同因子，$Z_i$ 为公司特有因子，$F$ 与各 $Z_i$ 为独立标准正态；$-1<a_i<1$；$x_i,x_j$ 相关为 $a_ia_j$。（$a_i$ 有时近似为公司股票收益与充分分散市场指数的相关系数。）

$T$ 前违约当且仅当 $N(x_i)<Q_i(T)$，即 $x_i<N^{-1}[Q_i(T)]$，等价于 $Z_i<\dfrac{N^{-1}[Q_i(T)]-a_iF}{\sqrt{1-a_i^2}}$。故给定因子 $F$ 的条件违约概率：

Q_i(T\mid F)=N\Big(\frac{N^{-1}[Q_i(T)]-a_iF}{\sqrt{1-a_i^2}}\Big)\tag{24.8}

同质情形 $Q_i=Q$、两两相关 $\rho$（$a_i=\sqrt\rho$）：

Q(T\mid F)=N\Big(\frac{N^{-1}[Q(T)]-\sqrt\rho F}{\sqrt{1-\rho}}\Big)\tag{24.9}

24.9 信用 VaR（Credit VaR）（PDF p.587–590）

定义与市场风险 VaR 类似：如 99.9% 置信度、1 年期的信用 VaR 是我们有 99.9% 把握 1 年内不会超过的信用损失。

Vasicek 公式：银行持有大量相似贷款（违约概率相同、两两相关相同）。在 Gaussian copula 下，(24.9) 右边近似等于到 $T$ 为止违约贷款的比例（作为 $F$ 的函数，大数定律）。$F$ 标准正态，有 $X\%$ 把握 $F>N^{-1}(1-X)=-N^{-1}(X)$。于是有 $X\%$ 把握 $T$ 年内大组合的违约比例小于

V(X,T)=N\Big(\frac{N^{-1}[Q(T)]+\sqrt\rho N^{-1}(X)}{\sqrt{1-\rho}}\Big)\tag{24.10}

（Vasicek 1987，2002 年发表于 Risk）。信用 VaR 粗略估计为 $L(1-R)V(X,T)$，$L$ 为贷款组合规模；单笔规模 $L_i$ 的贷款贡献 $L_i(1-R)V(X,T)$。这是监管信用风险资本部分公式（Basel IRB）的基础。

例 24.7：零售敞口 $1 亿，1 年平均违约概率 2%，平均回收率 60%，copula 相关 0.1。$V(0.999,1)=N\Big(\dfrac{N^{-1}(0.02)+\sqrt{0.1}N^{-1}(0.999)}{\sqrt{0.9}}\Big)=0.128$，即 99.9% 最坏违约率 12.8%；1 年 99.9% 信用 VaR $=100\times0.128\times0.4=\$5.13$ 百万。

CreditMetrics：对所有对手方的评级变化做蒙特卡洛模拟来估计信用损失分布。每次模拟抽样一年内所有对手方的评级变化与违约，重估未平仓合约得到当年信用损失总额；大量模拟后得损失分布，计算信用 VaR。计算量大，但优点是信用损失包括降级和违约造成的损失，还能近似纳入 24.7 节的缓释条款。

Table 24.5（Moody's 1970–2012 一年评级迁移矩阵，%，已调整撤销评级 WR），列依次为 Aaa/Aa/A/Baa/Ba/B/Caa/Ca–C/Default：

Aaa：90.59/8.31/0.89/0.17/0.03/0/0/0/0
Aa：1.25/89.48/8.05/0.90/0.20/0.04/0.01/0.01/0.08
A：0.08/2.97/89.80/6.08/0.79/0.13/0.03/0.01/0.10
Baa：0.04/0.30/4.58/88.43/5.35/0.84/0.14/0.02/0.30
Ba：0.01/0.09/0.52/6.61/82.88/7.72/0.67/0.07/1.43
B：0.01/0.05/0.16/0.65/6.39/81.69/6.40/0.57/4.08
Caa：0/0.02/0.03/0.19/0.81/9.49/72.06/4.11/13.29
Ca–C：0/0.03/0.12/0.07/0.57/3.48/9.12/57.93/28.69
Default：吸收态 100 （正文举例写"A 级一年后仍为 A 的概率 90.91%、违约 0.05%、降到 B 0.09%"，与表中数字不一致，应是沿用旧版数据，编写时以表为准。其他期限的迁移矩阵可由 1 年矩阵推出，见 Technical Note 11。）

不同对手方的评级变化不应假设独立，通常用 Gaussian copula 构造评级变化的联合分布，copula 相关一般取股票收益相关（用 24.8 节式的因子模型）。

示例：模拟一家 Aaa 和一家 Baa 公司 1 年评级变化，股票相关 0.2。每次抽相关 0.2 的 $x_A,x_B$。Aaa：$N^{-1}(0.9059)=1.3159$，$x_A<1.3159$ 保持 Aaa；$N^{-1}(0.9059+0.0831)=2.2904$，$1.3159\le x_A<2.2904$ 变 Aa；$N^{-1}(0.9979)=2.8627$，$2.2904\le x_A<2.8627$ 变 A；依此类推。Baa：$N^{-1}(0.0004)=-3.3528$，$x_B<-3.3528$ 变 Aaa；$N^{-1}(0.0034)=-2.7065$，介于两者变 Aa；$N^{-1}(0.0492)=-1.6527$，介于 $-2.7065$ 与 $-1.6527$ 变 A；……Aaa 一年内不会违约；Baa 在 $x_B>N^{-1}(0.9970)=2.7478$ 时违约。（注意此处映射方向：好评级在左尾，违约在右尾，与时间违约模型相反，只是约定。）

本章小结与习题（PDF p.590–593）

原书小结：违约概率可从历史数据、债券价格、股价估计。债券价格给出风险中性概率，历史数据给出现实世界概率；情景分析和信用 VaR 用现实世界概率，信用敏感工具估值用风险中性概率；风险中性概率常显著更高。CVA 是银行因对手方可能违约而对衍生品组合价值的调减，DVA 是因自身可能违约而调增，计算需耗时的蒙特卡洛模拟未来期望敞口。信用 VaR 可用违约时间 Gaussian copula（监管资本采用）或 CreditMetrics（评级变化的 Gaussian copula）计算。

延伸阅读：Altman (1989)；Altman 等 (2005)；Duffie & Singleton (1999)；Finger (2000)；Gregory (2012, CVA)；Hull, Predescu & White (2004)；Kealhofer (2003a,b)；Li (2000, copula)；Merton (1974)；Vasicek (2002)。

习题题型概括：

24.1–24.2、24.24–24.25、24.12–24.13：由利差或债券价格（假设违约发生在特定时点）反推风险率/风险中性违约概率（式 24.2 与 bootstrap）。
24.3、24.26：现实世界与风险中性概率的使用场合；24.26 还用迁移矩阵为评级下调衍生品估值。
24.4–24.5 回收率定义；无条件违约概率密度与风险率区别。
24.6 核对 Table 24.3/24.4 数字。
24.7 净额结算及新交易对敞口的影响；24.8 DVA 在银行陷入困境时"改善利润"的悖论；24.14 两笔对冲互换的违约成本、期望敞口、置信上限能否相加。
24.9 Gaussian copula 与 CreditMetrics 的区别。
24.10、24.20 资产互换结构与利差；24.11 违约索偿额（无违约价值 vs 面值加应计利息）对债券分解的影响。
24.15–24.19：信用风险下远期、配对远期（类似跨式）、利率互换 vs 货币互换的信用风险、货币互换中应向谁收取低利率货币、违约风险下买卖权平价是否成立。
24.21 证明 Merton 模型下零息债信用利差公式 $-\ln[N(d_2)+N(-d_1)/L]/T$，$L=De^{-rT}/V_0$；24.27 Merton 模型数值求解。
24.22 BSM 高估违约方卖出期权价值的幅度；24.23 正向/错向风险举例。
24.28 Vasicek 信用 VaR；24.29–24.30 远期例按月细分计算 CVA 与 DVA。

本章要点

风险率 $\lambda(t)$ 与累计违约概率关系 $Q(t)=1-e^{-\bar\lambda(t)t}$；无条件与条件违约概率要区分。
回收率按违约后债券市价占面值计，且与违约率负相关。
利差近似：$\bar\lambda=s/(1-R)$；精确做法按债券价格 bootstrap；无风险基准常用 LIBOR/swap − 10bp，资产互换利差直接给出相对 swap 曲线的利差。
债券隐含（风险中性）违约概率远高于历史（现实世界）违约概率，主要原因是违约相关带来的系统性风险及难分散的特质风险；估值用风险中性，情景分析/风险度量用现实世界。
Merton 模型：股权是资产的看涨期权，联立 $E_0$ 与 $\sigma_EE_0=N(d_1)\sigma_VV_0$ 求 $V_0,\sigma_V$，违约概率 $N(-d_2)$；排序能力好，经单调映射得 EDF。
CVA $=\sum q_iv_i$，DVA $=\sum q_i^*v_i^*$；需模拟敞口，抵押品要考虑补救期；净额结算、抵押、降级触发是主要缓释手段；单一单向支付衍生品可用"贴现率加对手方信用利差"简化。
Gaussian copula 把边缘违约分布与相关结构分离；单因子形式给出条件违约概率；Vasicek 公式 $V(X,T)$ 给出大组合在 $X$ 置信度下的最坏违约率，是监管资本的基础；CreditMetrics 模拟评级迁移。

与量化交易的关联

定价：信用利差 → 风险率 → 风险中性违约概率的链条是信用债、CDS（第 25 章）定价与相对价值交易的基础；资产互换利差、CDS-债券基差（basis）交易依赖本章框架。
因子研究：Merton 模型的距离违约（distance to default，$d_2$）、EDF 是常见的股票/信用因子，可用于违约风险因子、财务困境异象研究，以及股票–信用跨资产信号（股价下跌领先于评级下调，Enron 案例即为一例）。
风险建模：Vasicek 单因子公式、Gaussian copula 是信用组合风险与经济资本的标准工具；Table 24.5 迁移矩阵可直接用于信用组合的蒙特卡洛模拟。"相关性在压力时期上升""回收率与违约率负相关"是压力测试必须考虑的。
执行/对手方管理：做场外衍生品的量化机构需理解 CVA/DVA、净额结算、抵押与补救期对交易成本和报价的影响；新交易的增量 CVA 计算思路（存储路径、只重估新交易）是系统实现的常用模式。
常见误区：把风险中性违约概率当成真实违约频率去做回测或风险预算，会严重高估违约；反之用历史违约率定价会低估信用溢价。

第 25 章信用衍生品（Credit Derivatives）（PDF p.594–620）

导言（PDF p.594）：信用衍生品自 1990 年代末快速发展：2000 年未平仓名义本金约 8000 亿美元，2007 年信用危机时达 50 万亿美元，危机后萎缩，2012 年 12 月约 25 万亿美元。信用衍生品是收益依赖一个或多个公司/国家信用状况的合约，使机构能像交易市场风险一样交易信用风险：银行过去承担信用风险后只能等待，现在可主动管理信用组合。历史上银行是最大的保护买方，保险公司是最大的保护卖方。分类：单名（single-name，最流行的是 CDS）与多名（multi-name，如 CDO：指定一个债务工具组合，通过复杂结构把现金流分配给不同类别投资者；第 8 章讲过由住房按揭构造的多名产品）。本章讨论标的是公司或国家的情形，依次讲 CDS 及估值、信用指数、篮子 CDS、资产支持证券与 CDO，并把第 24 章的 Gaussian copula 用于 CDO 分档估值。

25.1 信用违约互换（Credit Default Swaps）（PDF p.595–598）

CDS（第 7.12 节已引入）是对特定公司违约风险的保险。该公司称参考实体（reference entity），其违约称信用事件（credit event）。保护买方在信用事件发生时有权按面值卖出参考实体发行的债券，卖方同意按面值买入；可卖出债券的总面值为 CDS 的名义本金。买方定期向卖方付款直至到期或信用事件发生，通常按季后付（in arrears），也有按月、半年、一年或预付的。违约结算为实物交割或现金结算。

例：2015-03-20 签 5 年 CDS，名义本金 1 亿美元，买方每年付 90 bp，按季后付（图 25.1）。无信用事件：自 2015-06-20 起每季付 $0.00225\times10^8=\$225{,}000$ 至 2020-03-20（受第 6 章日计数惯例影响会略有出入）。若 2018-05-20（第 4 年第 2 个月）通知信用事件：实物交割时买方有权以 1 亿美元卖出面值 1 亿美元的参考实体债券；现金结算（现已常见）时，由 ISDA 组织的拍卖确定信用事件数日后最便宜可交割债券的中间价，如每 $100 面值值 $35，则赔付 $6500 万。因为后付，信用事件后买方通常还需支付应计款（accrual payment）：2018-03-20 至 05-20 的应计费用约 $150,000，之后不再付款。

CDS 利差（CDS spread）：每年为买保护所付金额占名义本金的百分比（本例 90 bp）。若干大银行做市，如报价 bid 250 / offer 260 bp：愿付 250 bp 买保护、收 260 bp 卖保护。5 年期最流行，1/2/3/7/10 年也常见。合约通常在标准日期到期：3 月 20 日、6 月 20 日、9 月 20 日、12 月 20 日，因此实际期限与名义期限接近但不完全相同。如 2015-11-15 买 5 年保护，合约可能到 2020-12-20，首次付款 2015-12-20，覆盖 11-15 至 12-20（若距首个标准日不足 1 个月，首付在第二个标准日）。信用事件通常定义为到期未付款、债务重组、破产；北美合约有时排除重组，尤其是高收益债的情形。

Business Snapshot 25.1 谁承担信用风险？：银行不愿把贷款留在资产负债表上（扣除监管资本后贷款回报不如其他资产），于是通过 ABS（第 8.1 节）和信用衍生品（1990 年代末、2000 年代初）把信用风险转给他人。承担风险的机构往往不是做信用审查的机构，2007 年起的危机表明这对金融体系未必是好事。

Business Snapshot 25.2 CDS 市场：ISDA 于 1998–1999 年制定标准合约。CDS 与保险的关键区别：保险保护的是买方拥有的资产，CDS 标的资产不必拥有。2007 年 8 月起的信用动荡中，监管者担心系统性风险：一家机构违约可能令其 CDS 对手方巨亏并引发连锁违约；AIG 大量出售按揭 AAA 分档的保护，损失惨重后被美国政府救助。2007–2008 年许多信用衍生品停止交易，但 CDS 仍活跃交易（保护成本大幅上升），因为其机制简单透明。一家公司的 CDS 规模常超过其债务，因此必须现金结算：2008 年 9 月 Lehman 违约时有约 4000 亿美元 CDS、1550 亿美元债务，ISDA 拍卖确定向保护买方支付本金的 91.375%。与其他场外衍生品（利率、汇率、股指、商品）不同，CDS 存在信息不对称（asymmetric information）问题：为公司提供咨询、贷款、承销的机构更了解其信用；金融机构强调买保护的决定通常由风险经理作出，不基于机构内别处的特殊信息。

CDS 与债券收益率：投资者以面值买入收益率 7% 的 5 年公司债，同时买入 5 年 CDS 保护（利差 200 bp），近似把公司债变成无风险债：不违约时净赚 5%/年；违约时违约前赚 5%，之后按 CDS 用债券换回面值，以无风险利率再投资。因此 $n$ 年公司债对无风险利率的利差应约等于 $n$ 年 CDS 利差：若明显更高，买债 + 买保护可获得超过无风险利率的收益；若明显更低，卖空债券 + 卖保护可以低于无风险利率借款。

\text{CDS–bond basis}=\text{CDS spread}-\text{Bond yield spread}

债券利差以 LIBOR/swap 利率为无风险利率计算，通常取资产互换利差。套利论证暗示基差接近 0，但实际上有时为正（如 2007 年前），有时为负（如 2007–2009），符号也可能因参考实体而异。

最便宜可交割债券（Cheapest-to-Deliver Bond）：回收率定义为违约后债券价值占面值的百分比，所以 CDS 赔付为 $L(1-R)$，$L$ 为名义本金。CDS 通常允许交付多只同优先级债券，但违约后它们价格可能不同（索偿额是面值加应计利息，应计利息高的债券违约后价格较高；重组中某些持有人可能待遇更好），于是买方拥有最便宜可交割债券期权。ISDA 拍卖确定最便宜可交割债券价值即赔付。

25.2 CDS 估值（PDF p.598–602）

设定：5 年 CDS，参考实体风险率整个期间为 2%/年；违约只发生在每年年中；CDS 每年年末付款一次；无风险利率 5%（连续复利）；回收率 40%；名义本金 $1。

Table 25.1：存活到 $t$ 的概率 $e^{-0.02t}$；年内违约概率 = 年初存活概率 − 年末存活概率。1–5 年末存活概率 0.9802/0.9608/0.9418/0.9231/0.9048，年内违约概率 0.0198/0.0194/0.0190/0.0186/0.0183（如第 3 年 $0.9608-0.9418=0.0190$）。

Table 25.2 期望付款现值（费率 $s$）：第 $t$ 年末付款的概率即存活概率，如第 3 次付款期望 $0.9418s$，现值 $0.9418se^{-0.15}=0.8106s$。各年现值 0.9324s/0.8694s/0.8106s/0.7558s/0.7047s（贴现因子 0.9512/0.9048/0.8607/0.8187/0.7788），合计 4.0728s。

Table 25.3 期望赔付现值：违约发生在 0.5/1.5/2.5/3.5/4.5 年，如第 3 年中违约概率 0.0190，期望赔付 $0.0190\times0.6=0.0114$，现值 $0.0114e^{-0.125}=0.0101$。各项 0.0116/0.0108/0.0101/0.0094/0.0088，合计 0.0506。

Table 25.4 应计付款现值：违约时需付半年应计 $0.5s$，如第 3 年 $0.0190\times0.5s=0.0095s$，现值 $0.0084s$。合计 0.0422s。

令付款现值 = 赔付现值：$4.0728s+0.0422s=4.1150s=0.0506$，得 $s=0.0123$，即中间价 CDS 利差 123 bp（DerivaGem CDS 工作表可得同样结果）。"违约只在付款日中点发生"的假设通常效果好，也可放宽为更多违约时点。

CDS 盯市（Marking to Market）：CDS 像其他互换一样每日盯市。若该 CDS 早先以 150 bp 成交，买方付款现值 $4.1150\times0.0150=0.0617$，赔付现值 0.0506，对卖方价值 $0.0617-0.0506=0.0111$（乘以本金），对买方为 $-0.0111$。

估计违约概率：CDS 估值必须用风险中性违约概率。可从债券价格或资产互换推出（第 24 章），或从 CDS 报价隐含——类似期权市场从活跃期权隐含波动率再为其他期权定价。例：若已知新 5 年 CDS 中间价 100 bp，反推隐含风险率为 1.63%/年；DerivaGem 可从信用利差期限结构算出风险率期限结构。

二元 CDS（Binary CDS）：结构同普通 CDS，但赔付为固定金额（如 $1 而非 $1-R$）。Tables 25.1、25.2、25.4 不变，Table 25.3 换为 Table 25.5（期望赔付现值 0.0193/0.0180/0.0168/0.0157/0.0146，合计 0.0844），由 $4.1150s=0.0844$ 得 $s=0.0205$，即 205 bp。

回收率有多重要？：无论用 CDS 利差还是债券价格估计违约概率都需要回收率。但只要 (a) 估计风险中性违约概率和 (b) 估值 CDS 时用同一回收率，CDS 价值（或利差）对回收率不敏感：隐含违约概率约与 $1/(1-R)$ 成正比，而 CDS 赔付与 $1-R$ 成正比，两者抵消。二元 CDS 不适用此论证（赔付与 $R$ 无关）；同时有普通 CDS 和二元 CDS 利差时，可同时估计回收率和违约概率（习题 25.25）。

25.3 信用指数（Credit Indices）（PDF p.602）

用于跟踪 CDS 利差，2004 年各指数提供商整合。两个重要标准组合：

CDX NA IG：北美 125 家投资级公司；
iTraxx Europe：欧洲 125 家投资级公司。每年 3 月 20 日、9 月 20 日更新（滚动新系列），剔除不再是投资级的公司、加入新的投资级公司。（2013-09-20 定义了 iTraxx Europe 第 20 系列、CDX NA IG 第 21 系列。）

例：5 年 CDX NA IG 报价 bid 65 / offer 66 bp（称指数利差 index spread）。粗略地说，交易员可按每家 66 bp 买全部 125 家的保护。每家买 $800,000 保护，年成本 $0.0066\times800{,}000\times125=\$660{,}000$；同理卖保护每年收 $650,000。某公司违约时，保护买方获得通常的 CDS 赔付，年付款减少 $660{,}000/125=\$5{,}280$。指数保护有 3、5、7、10 年期，通常到期日为 12 月 20 日和 6 月 20 日，因此"5 年"合约实际期限在 $4\frac34$ 到 $5\frac14$ 年之间。

指数大致是成分公司 CDS 利差的平均，更准确地说略低于平均：如两家公司利差 1000 bp 和 10 bp，买两家保护每家成本略低于 505 bp，因为 1000 bp 的公司预计付不了那么久（更可能先违约），权重应更小。另外 CDX NA IG 的违约定义包括重组，而成分公司 CDS 可能不包括（iTraxx Europe 无此问题）。

25.4 固定票息的使用（The Use of Fixed Coupons）（PDF p.603）

CDS 与 CDS 指数的实际交易方式：对每个标的和期限规定一个票息（coupon）和回收率，由报价利差按以下步骤算出价格：

假设每年 4 次、后付；
从报价利差隐含风险率（类似 25.2 节，迭代搜索使模型利差等于报价）；
计算 CDS 付款的"久期"（duration）$D$：利差乘以 $D$ 即利差付款现值（25.2 节例中为 4.1150，原书此处误印为 4.1130；此"久期"与第 4 章含义不同）；
价格 $P=100-100\times D\times(s-c)$，$s$ 为利差，$c$ 为票息（小数）。

买保护时，买方按剩余名义本金每 $100 支付 $100-P$（若为负则买方收钱）；之后每个付款日按票息乘剩余名义本金付款（单名 CDS 剩余名义本金在违约前为原值、违约后为 0；指数为未违约名称数 × 每名本金）。违约赔付照常计算。好处：工具像债券一样交易，买方季度付款与成交时利差无关。

例 25.1：iTraxx Europe 报价 34 bp、票息 40 bp，合约恰好 5 年，均为 actual/360 计（CDS 市场惯例）；换算为 actual/actual 为 0.345% 和 0.406%。收益率曲线平坦 4%（actual/actual，连续复利），规定回收率 40%，每年 4 次后付。隐含风险率 0.5717%，久期 4.447 年，价格 $100-100\times4.447\times(0.00345-0.00406)=100.27$。若每名保护 $100 万：起初保护卖方向买方支付 $\$1{,}000{,}000\times125\times0.0027$；之后买方按季后付，年率 $\$1{,}000{,}000\times0.00406\times n$（$n$ 为未违约公司数）；某公司违约时照常赔付，并由买方按 0.406%/年对 $100 万支付应计款。

25.5 CDS 远期与期权（PDF p.604）

CDS 远期（forward CDS）：在未来时刻 $T$ 买入或卖出特定参考实体特定 CDS 的义务；若参考实体在 $T$ 前违约，远期合约失效。例：银行约定 1 年后以 280 bp 卖出 5 年保护，若公司在 1 年内违约则合约失效。

CDS 期权（credit default swap option）：在未来 $T$ 买入或卖出特定 CDS 的权利。如以 280 bp 在 1 年后买入 5 年保护的权利为看涨期权：1 年后 5 年 CDS 利差高于 280 bp 则行权；以 280 bp 卖出保护的权利为看跌期权：利差低于 280 bp 则行权。期权费预付。CDS 期权通常也在参考实体于到期前违约时失效（估值见 Hull & White 2003）。

25.6 篮子 CDS（Basket Credit Default Swaps）（PDF p.604）

多个参考实体。累加篮子（add-up basket）CDS：任一实体违约都赔付。首次违约（first-to-default）CDS：仅第一次违约时赔付；第二次违约CDS：仅第二次违约时赔付；一般地，第 $k$ 次违约（kth-to-default）CDS 仅在第 $k$ 次违约时赔付。赔付计算同普通 CDS；相应违约发生并结算后互换终止，双方不再付款。

25.7 总收益互换（Total Return Swaps）（PDF p.604–605）

交换债券（或任意资产组合）的总收益与 LIBOR + 利差。总收益包括票息、利息以及互换期内资产的损益。

例（图 25.2）：5 年、名义本金 1 亿美元，以公司债总收益换 LIBOR + 25 bp。付息日支付方（payer）支付投资 1 亿美元债券所得票息；接收方（receiver）支付 1 亿美元本金上的 LIBOR + 25 bp（LIBOR 在一个付息日设定、下一个付息日支付，同普通利率互换）。到期时按债券价值变化结算：债券升值 10%，支付方付 1000 万；贬值 15%，接收方付 1500 万。债券违约时互换通常终止，接收方支付 1 亿美元超过债券市值的部分。

若在期末双方都加上名义本金：支付方支付投资 1 亿美元公司债的现金流，接收方支付 1 亿美元 LIBOR + 25 bp 债券的现金流。若支付方持有该债，TRS 将信用风险转给接收方；若不持有，相当于做空该债。

融资工具：接收方想融资 1 亿美元买该债，找支付方（通常为金融机构）做互换，支付方买入债券。接收方等同于以 LIBOR + 25 bp 借钱买债；支付方在互换期内保有债券所有权，比贷款给接收方并以债券作抵押承担更少信用风险——接收方违约时无需费力处置抵押品。TRS 与回购（repo，第 4.1 节）类似，都是为证券融资时最小化信用风险的结构。支付方收取的 LIBOR 利差是对接收方违约风险的补偿：在参考债券价格下跌时接收方违约，支付方会亏损。因此利差取决于接收方信用质量、债券发行人信用质量以及两者的相关性。变体：期末实物交割（支付方以资产换名义本金）；价值变化定期而非期末一次支付。

25.8 担保债务凭证（Collateralized Debt Obligations）（PDF p.606–608）

第 8 章讨论过 ABS（图 8.1）。标的资产是债券的 ABS 称 CDO。对债券利息和本金定义类似图 8.2 的瀑布（waterfall）规则，规则复杂，但保证更优先的分档更可能收到承诺的利息和本金。

合成 CDO（Synthetic CDOs）：由债券组合构造的称现金 CDO（cash CDO）。重要创新：持有公司债多头与卖出该公司 CDS 保护（空头 CDS）风险相似，由此产生合成 CDO。发起人选定公司组合与期限（如 5 年），对每家公司卖出 CDS 保护（期限等于结构期限），合成 CDO 本金 = 各 CDS 名义本金之和。发起人现金流入为 CDS 利差，流出为组合中公司违约的赔付；把流入流出分配给各分档，规则比现金 CDO 简单。

三档示例：

权益档（equity tranche）：承担 CDS 赔付直至合成 CDO 本金的 5%，对未偿分档本金收 1000 bp/年；
夹层档（mezzanine tranche）：承担 5% 以上至 20% 的赔付，收 100 bp/年；
高级档（senior tranche）：承担 20% 以上的赔付，收 10 bp/年。

本金 1 亿美元时，三档本金 500 万、1500 万、8000 万。若 1 年后违约导致 CDS 赔付 200 万，由权益档承担，其本金降至 300 万，1000 bp 按 300 万计。之后又有 400 万赔付：权益档累计需付 500 万，本金归零；夹层档付 100 万，本金降至 1400 万。

现金 CDO 需分档持有人初始投资（为标的债券融资）；合成 CDO 持有人无需初始投资，只需同意现金流计算规则，但实践中几乎总要求把初始分档本金作为抵押品缴存，承担 CDS 赔付时从抵押中扣除，抵押账户余额按 LIBOR 计息。

标准组合与单档交易（Standard Portfolios and Single-Tranche Trading）：合成 CDO 中分档持有人向发起人卖保护，发起人再向其他市场参与者卖 CDS 保护。创新：不实际构建空头 CDS 组合，直接交易某一分档，称单档交易。双方为分档保护买方与卖方；参考 CDS 组合只用来定义双方现金流而不实际创建。买方向卖方支付分档利差，卖方向买方支付参考组合中该分档应承担的损失。市场用 CDX NA IG 和 iTraxx Europe 组合定义标准合成 CDO 分档，交易非常活跃：

iTraxx Europe 六档：0–3%、3–6%、6–9%、9–12%、12–22%、22–100%；
CDX NA IG 六档：0–3%、3–7%、7–10%、10–15%、15–30%、30–100%。

Table 25.6（Creditex 5 年 iTraxx Europe 中间价）：除 0–3% 档外，报价为每年买分档保护的 bp（按随损失递减的分档本金计）；0–3%（权益档）的报价为除每年 500 bp 外须预付的分档本金百分比。

日期	0–3%	3–6%	6–9%	9–12%	12–22%	指数
2007-01-31	10.34%	41.59	11.95	5.60	2.00	23
2008-01-31	30.98%	316.90	212.40	140.00	73.60	77
2009-01-30	64.28%	1185.63	606.69	315.63	97.13	165

两年间信用利差剧增：指数从 23 bp 升到 165 bp，各档也大幅上升。原因一是市场评估的投资级公司违约概率上升；二是保护卖方普遍遭遇流动性问题，更加厌恶风险，要求更高风险溢价。

25.9 相关性在篮子 CDS 与 CDO 中的作用（PDF p.608）

第 $k$ 次违约 CDS 或 CDO 分档的保护成本关键取决于违约相关性。例：100 个参考实体，各自 5 年风险中性违约概率 2%。违约相关为 0 时由二项分布，5 年内至少 1 次违约概率 86.74%，至少 10 次违约概率 0.0034%：首次违约 CDS 相当有价值，第 10 次违约 CDS 几乎一文不值。相关性上升 → 至少 1 次违约的概率下降，至少 10 次违约的概率上升。极限完全相关时两者都等于 2%：所有实体实质相同，要么全部违约（2%）要么都不违约（98%）。

合成 CDO 分档同理：相关低时权益档很危险、高级档很安全；相关上升，初级档风险下降、高级档风险上升；完全相关且回收率为 0 时各档风险相同。

25.10 合成 CDO 估值（PDF p.608–615）

一般框架：分档付款日 $\tau_1,\dots,\tau_m$，$\tau_0=0$；$E_j$ 为 $\tau_j$ 时期望分档本金；$v(\tau)$ 为 $\tau$ 时收到 $1 的现值；分档利差 $s$（按剩余分档本金支付）。

A=\sum_{j=1}^m(\tau_j-\tau_{j-1})E_jv(\tau_j)\tag{25.1}

期望利差付款现值为 $sA$。$\tau_{j-1}$ 到 $\tau_j$ 的期望损失为 $E_{j-1}-E_j$，假设发生在区间中点：

C=\sum_{j=1}^m(E_{j-1}-E_j)v(0.5\tau_{j-1}+0.5\tau_j)\tag{25.2}

损失的应计付款为 $sB$：

B=\sum_{j=1}^m0.5(\tau_j-\tau_{j-1})(E_{j-1}-E_j)v(0.5\tau_{j-1}+0.5\tau_j)\tag{25.3}

对保护买方价值 $C-sA-sB$；盈亏平衡利差

s=\frac{C}{A+B}\tag{25.4}

关键：只要知道各付款日的期望分档本金和零息曲线，就能算出盈亏平衡利差。

用违约时间单因子 Gaussian copula（标准市场模型）：所有公司到 $t$ 的违约概率均为 $Q(t)$，条件于因子 $F$：

Q(t\mid F)=N\Big(\frac{N^{-1}[Q(t)]-\sqrt\rho F}{\sqrt{1-\rho}}\Big)\tag{25.5}

$\rho$ 为任意两家公司间相同的 copula 相关。$Q(t)$ 通常假设风险率恒定且与指数利差一致（用 25.2 节方法搜索使模型利差等于指数利差的风险率 $\lambda$）：

Q(t)=1-e^{-\lambda t}\tag{25.6}

条件于 $F$，各公司违约独立，故恰有 $k$ 次违约的概率服从二项分布：

P(k,t\mid F)=\frac{n!}{(n-k)!\,k!}Q(t\mid F)^k[1-Q(t\mid F)]^{n-k}\tag{25.7}

$n$ 为参考实体数。分档覆盖组合损失 $L$ 到 $H$：$L$ 称起赔点（attachment point），$H$ 称止赔点（detachment point）。定义 $n_L=\dfrac{Ln}{1-R}$，$n_H=\dfrac{Hn}{1-R}$，$m(x)$ 为大于 $x$ 的最小整数。设初始分档本金为 1：违约数 $k<m(n_L)$ 时分档本金为 1；$k\ge m(n_H)$ 时为 0；否则为 $\dfrac{H-k(1-R)/n}{H-L}$。故条件期望分档本金

E_j(F)=\sum_{k=0}^{m(n_L)-1}P(k,\tau_j\mid F)+\sum_{k=m(n_L)}^{m(n_H)-1}P(k,\tau_j\mid F)\frac{H-k(1-R)/n}{H-L}\tag{25.8}

条件值 $A(F),B(F),C(F)$ 由 (25.9)–(25.11) 给出（与 25.1–25.3 同式，只是 $E_j$ 换为 $E_j(F)$）。再对标准正态 $F$ 积分得无条件 $A,B,C$，盈亏平衡利差 $C/(A+B)$。权益档报价为在每年 500 bp 之外的预付款，盈亏平衡预付款为 $C-0.05(A+B)$。

高斯求积（Gaussian quadrature）：

\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-F^2/2}g(F)\,dF\approx\sum_{k=1}^M w_kg(F_k)\tag{25.12}

$M$ 越大越精确；$w_k,F_k$ 由 Hermite 多项式的根算出（作者网站、Technical Note 21）。$M$ 是 DerivaGem 中"积分点数"的两倍，积分点数取 20 通常已足够。

例 25.2：iTraxx Europe 5 年夹层档（3–6%），copula 相关 0.15，$R=40\%$：$L=0.03$，$H=0.06$，$n=125$，$n_L=6.25$，$n_H=12.5$。利率期限结构平坦 3.5%，按季付款，指数 CDS 利差 50 bp → 恒定风险率 0.83%（连续复利）。$M=60$。Table 25.7 摘录：权重 $w_k$ 为 0.1579、0.1579、0.1342、0.0969，对应因子值 $F_k$ 为 0.2020、−0.2020、−0.6060、−1.0104（抽取文本丢了负号，据期望本金单调性还原）。期望本金 $E_j(F_k)$：$j=1$ 时均为 1.0000；$j=19$ 时 0.9953/0.9687/0.8636/0.6134；$j=20$ 时 0.9936/0.9600/0.8364/0.5648。$A(F_k)$ 合计 4.5624/4.5345/4.4080/4.0361；$B(F_k)$ 合计 0.0007/0.0043/0.0178/0.0478；$C(F_k)$ 合计 0.0055/0.0346/0.1423/0.3823。积分得 $A=4.2846$，$B=0.0187$，$C=0.1496$，盈亏平衡分档利差 $0.1496/(4.2846+0.0187)=0.0348$，即 348 bp。DerivaGem：CDS 工作表把 50 bp 转为 0.83% 风险率，CDO 工作表用 30 个积分点。

第 $k$ 次违约 CDS 估值：同样条件于 $F$。第 $k$ 次违约发生在 $(\tau_{j-1},\tau_j]$ 的条件概率 = 到 $\tau_j$ 至少 $k$ 次违约的条件概率 − 到 $\tau_{j-1}$ 至少 $k$ 次违约的条件概率：

\sum_{q=k}^nP(q,\tau_j\mid F)-\sum_{q=k}^nP(q,\tau_{j-1}\mid F)

假设违约发生在区间中点，按 25.2 节方法算条件付款与赔付现值，再对 $F$ 积分。

例 25.3：10 只债券，风险率均 2%/年，第三次违约 CDS，每年后付，copula 相关 0.3，$R=40\%$，无风险利率 5%，$M=60$。每只债到 1–5 年的无条件累计违约概率 0.0198/0.0392/0.0582/0.0769/0.0952。条件于 $F=-1.0104$（原文抽取丢失负号），由 (25.5) 得 0.0361/0.0746/0.1122/0.1484/0.1830；二项分布给出到各年至少 3 次违约的条件概率 0.0047/0.0335/0.0928/0.1757/0.2717，故第三次违约发生在第 1–5 年的条件概率 0.0047/0.0289/0.0593/0.0829/0.0960。该 $F$ 下赔付、常规付款、应计付款现值为 0.1379、3.8443s、0.1149s。对 60 个因子值积分后无条件值 0.0629、4.0580s、0.0524s，盈亏平衡利差 $0.0629/(4.0580+0.0524)=0.0153$，即 153 bp。

隐含相关（Implied Correlation）：标准市场模型通常设 $R=40\%$，只剩 copula 相关 $\rho$ 一个未知参数，类似 BSM 只有波动率未知。市场从分档报价隐含相关，如同从期权价格隐含波动率。各档 $\{L,H\}$ 依次为 $\{\alpha_0,\alpha_1\},\{\alpha_1,\alpha_2\},\dots$，$\alpha_0=0$（iTraxx：0、0.03、0.06、0.09、0.12、0.22、1.00）。两种隐含相关：

复合相关（compound correlation，又称分档相关 tranche correlation）：对分档 $\{\alpha_{q-1},\alpha_q\}$，使模型利差等于市场利差的 $\rho$，迭代搜索。
基础相关（base correlation）：对 $q>1$，使 $\{0,\alpha_q\}$ 分档定价与市场一致的 $\rho$。步骤：(1) 求各档复合相关；(2) 用复合相关算各档存续期内期望损失现值占初始分档本金的百分比，即 $C_q$；(3) $\{0,\alpha_q\}$ 档期望损失现值占组合总本金的比例为 $\sum_{p=1}^qC_p(\alpha_p-\alpha_{p-1})$；(4) 除以 $\alpha_q$ 得 $\{0,\alpha_q\}$ 档的 $C$ 值，迭代求与之一致的 $\rho$。

图 25.3：2007-01-31 iTraxx Europe 的 0–X% 档期望损失现值（占总本金）随 X 变化，从 0 上升到约 1.1% 左右，凹形递增。Table 25.8（2007-01-31，平坦利率 3%，$R=40\%$，23 bp 指数利差对应风险率 0.382%）：

复合相关：0–3% 17.7%，3–6% 7.8%，6–9% 14.0%，9–12% 18.2%，12–22% 23.3%；
基础相关：0–3% 17.7%，0–6% 28.4%，0–9% 36.5%，0–12% 43.2%，0–22% 60.5%。复合相关呈"相关微笑"（correlation smile：随分档变高级先降后升）；基础相关呈"相关偏斜"（correlation skew：随止赔点递增）。若市场价格与单因子 Gaussian copula 一致，各档隐含相关应相同；明显的微笑与偏斜说明市场价格不符合该模型。

非标准分档估值（Valuing Nonstandard Tranches）：标准组合的标准分档可直接观察市场价，无需模型；但有时需为非标准分档报价，如 iTraxx 4–8% 档。旧方法：插值基础相关得到 0–4% 与 0–8% 档的基础相关，算出两者期望损失现值（占组合本金），相减即 4–8% 档期望损失，再隐含复合相关和盈亏平衡利差。更好的方法：直接对图 25.3 那样的 0–X% 档期望损失曲线插值，取 0–8% 与 0–4% 之差。无套利要求该期望损失随 X 递增且增速递减（凹）；插值基础相关再算期望损失常违反此条件（因为基础相关是期望损失的非线性函数），而直接插值期望损失可以保证满足。

25.11 标准市场模型的替代（PDF p.615–617）

异质模型（heterogeneous model）：标准模型是同质的（各公司违约时间分布相同、两两相关相同）。放宽后各公司违约概率不同，$P(k,t\mid F)$ 不能再用二项公式，需数值方法（Andersen, Sidenius & Basu 2003；Hull & White 2004 的递推法）。
其他 copula：Student t copula、Clayton copula、Archimedean copula、Marshall–Olkin copula 等。也可让 $F$ 和 $Z_i$ 服从均值 0、标准差 1 的非正态分布构造新的单因子 copula；Hull & White 发现 $F$ 与 $Z_i$ 都服从自由度为 4 的 t 分布时对市场拟合良好，称双 t copula（double t copula）。也可增加因子数，但需对多个正态分布积分，速度慢很多。
随机因子载荷（random factor loadings，Andersen & Sidenius 2004）：令式 (25.5) 中 $\rho$ 是 $F$ 的函数，通常 $F$ 下降时 $\rho$ 上升——违约率高的状态（$F$ 低）违约相关也高，有实证支持（Sevigny & Renault 2002；Das 等 2006；Hull, Predescu & White 2010；Ang & Chen 2002 股票组合的非对称相关）；对市场报价拟合远好于标准模型。
隐含 copula 模型（implied copula，Hull & White 2006、2010）：最简版本假设 CDO 存续期内组合所有公司适用某个平均风险率，该平均风险率的概率分布由分档价格隐含得出，概念上类似第 20 章由期权价格隐含股价分布。
动态模型：以上均为静态模型——本质上刻画 CDO 存续期的平均违约环境，5 年、7 年、10 年 CDO 的模型各不相同。动态模型刻画组合损失随时间的演化，分三类：(1) 结构模型：同时模拟多家公司资产价格，触及障碍即违约，资产过程相关；需蒙特卡洛实现，校准困难。(2) 简约式模型：对风险率建模，为获得现实的相关程度需假设风险率有跳跃。(3) 自上而下模型（top down）：直接对组合总损失建模，不考虑单个公司。

本章小结与习题（PDF p.617–620）

原书小结：信用衍生品使机构能主动管理信用风险，可转移或分散信用风险。最常见的是 CDS：一方向另一方购买针对第三方（参考实体）违约的保险，赔付通常是参考实体债券面值与违约后价值之差；可通过风险中性世界中期望付款现值与期望赔付现值分析。CDS 远期是在特定日期进入特定 CDS 的义务，CDS 期权是权利，参考实体提前违约则两者失效。第 $k$ 次违约 CDS 在组合第 $k$ 次违约时赔付。TRS 将信用敏感资产组合的总收益换为 LIBOR + 利差，常作融资工具，可降低金融机构对借款方违约的暴露。CDO 用规则分配信用损失，从组合中创造出评级很高和很低的证券；合成 CDO 用 CDS 构造。第 $k$ 次违约 CDS 与合成 CDO 分档的标准市场定价模型是违约时间单因子 Gaussian copula。

延伸阅读：Andersen & Sidenius (2004)；Andersen, Sidenius & Basu (2003)；Das (2005)；Hull & White (2004, 2006, 2010)；Laurent & Gregory (2005)；Li (2000)；Schönbucher (2003)；Tavakoli (1998)。

习题题型概括：

概念：25.1 普通 vs 二元 CDS；25.3 两种结算方式；25.4 现金与合成 CDO 构造；25.5、25.11 首次/第 $n$ 次违约 CDS 价值随违约相关的变化；25.6 风险中性 vs 现实世界概率；25.7、25.15、25.20 TRS 的融资用途、与普通互换/资产互换的区别；25.16 CDS 远期与期权结构；25.17 CDS 买方 ≈ 多无风险债 + 空公司债；25.18 信息不对称；25.19 用现实世界概率估值会高估还是低估；25.22 基础相关 vs 复合相关；25.26 相关上升对各档收益的影响。
计算：25.2 列出 CDS 卖方现金流；25.8–25.10、25.24 按 25.2 节方法算 CDS 利差、盯市价值、二元 CDS 利差；25.12–25.13 赔付公式、证明普通 CDS 利差 = $(1-R)$ × 二元 CDS 利差；25.14 验证 100 bp ↔ 1.63% 并检验风险率 ∝ $1/(1-R)$；25.25 由普通与二元 CDS 同时求 $R$ 与 $\lambda$；25.27 CDS–债券套利；25.30 由 CDS 期限结构 bootstrap 风险率。
copula 与 CDO：25.21 给定因子值求条件违约概率与条件下多于 10 次违约的概率；25.23、25.29 例 25.2 设定下 9–12%、6–9% 档利差；25.28 例 25.3 设定下首次、第二次违约 CDS 利差；25.31 用 2008-01-31 报价隐含基础相关。

本章要点

CDS：买方定期付利差，信用事件时获得 $L(1-R)$；现金结算由 ISDA 拍卖确定最便宜可交割债券价值；违约时需付应计款；标准到期日为 3/6/9/12 月 20 日。
CDS 利差 ≈ 债券对无风险（LIBOR/swap）利差，差为 CDS–债券基差，理论上近 0 但可正可负。
CDS 估值：令期望付款现值（含应计）= 期望赔付现值，求盈亏平衡利差；使用风险中性违约概率，可从 CDS 报价反推；只要估计和估值使用同一 $R$，结果对 $R$ 不敏感（二元 CDS 例外）。
信用指数（CDX NA IG、iTraxx Europe，各 125 家，每半年滚动）；实际交易用固定票息 + 预付款 $100-P$，$P=100-100D(s-c)$。
篮子 CDS、TRS（融资工具，类似回购）、现金/合成 CDO 与标准分档单档交易。
违约相关决定第 $k$ 次违约 CDS 和 CDO 分档价值：相关上升使权益档/首次违约变便宜，高级档/高次违约变贵。
合成 CDO 估值：期望分档本金 → $A,B,C$ → $s=C/(A+B)$；单因子 Gaussian copula 下条件二项分布 + 高斯求积；隐含相关有复合相关（微笑）与基础相关（偏斜），非标准分档应插值期望损失而非基础相关；替代模型包括异质、双 t、随机因子载荷、隐含 copula 和动态模型。

与量化交易的关联

定价：CDS 定价公式（存活概率加权的利差腿 vs 违约腿）是信用量化的基本工具，也是从 CDS 曲线 bootstrap 风险率、构建信用曲线的基础；"久期 $D$"即 CDS 的风险年金（RPV01/risky annuity），用于盯市与对冲。
相对价值交易：CDS–债券基差交易、指数与成分 CDS 的指数基差（index skew）、分档相关交易（delta-hedged equity tranche 等）都直接建立在本章框架上；2005 年相关性危机和 2007–2009 分档报价剧变是模型风险的经典案例。
风险建模：单因子 Gaussian copula + 条件二项分布 + 高斯求积是计算组合损失分布的高效半解析方法，可推广到任何"条件独立"的组合违约/尾部事件建模；"相关性在坏状态更高"（随机因子载荷）是压力测试和尾部风险建模的重要事实。
因子研究：CDS 利差变化可作为股票的领先信息（信息不对称问题提示 CDS 市场可能领先股票）；信用指数利差是常用的宏观风险偏好因子。
系统实现：CDS 定价中的日历（IMM 标准日期）、日计数（actual/360）、应计、预付款约定是实现中最易出错的细节。
误区：隐含相关不是"真实相关"，而是把模型错设压缩到一个参数里的"错误数字放进错误公式"；插值基础相关可能产生套利价格。

第 26 章奇异期权（Exotic Options）（PDF p.621–646）

导言（PDF p.621）：欧式/美式看涨看跌是普通（plain vanilla）产品，性质标准、交易活跃，交易所或经纪商定期报价或报隐含波动率。场外市场中金融工程师设计的非标准产品称奇异期权（exotics）。虽然在交易商组合中占比不大，但利润远高于普通产品。产生原因：真实的对冲需求；税务、会计、法律或监管原因；表达对市场变量的观点；偶尔是交易商设计得看起来比实际更有吸引力，以吸引不够警觉的企业司库或基金经理。本章假设标的资产提供收益率 $q$（股指取股息率；货币取外币无风险利率；期货期权取本币无风险利率）。很多期权可用 DerivaGem 估值。

26.1 组合产品（Packages）（PDF p.621–622）

组合（package）由标准欧式看涨/看跌、远期、现金和标的资产构成，第 12 章的牛市/熊市价差、蝶式、日历价差、跨式、宽跨式等都属此类。交易员常把组合设计成初始零成本，如区间远期（range forward，第 17.2 节；又称零成本领口 zero-cost collar、flexible forward、cylinder option、option fence、min–max、forward band）：多头看涨 + 空头看跌（或反之），看涨行权价高于看跌行权价，并使两者价值相等。

任何衍生品都可通过延迟付款至到期变成零成本产品：欧式看涨在 0 时付款成本为 $c$，在到期 $T$ 付款则为 $A=ce^{rT}$，收益为 $\max(S_T-K,0)-A$，即 $\max(S_T-K-A,-A)$。当 $K$ 等于远期价格时，这种延迟付款期权又称 break forward、Boston option、forward with optional exit、cancelable forward。

26.2 永续美式看涨和看跌期权（PDF p.622–623）

有收益率 $q$ 时衍生品价格满足微分方程 (17.6)：

\frac{\partial f}{\partial t}+(r-q)S\frac{\partial f}{\partial S}+\frac12\sigma^2S^2\frac{\partial^2f}{\partial S^2}=rf

首次触及 $H$ 时支付固定额 $Q$ 的衍生品（$S<H$）：边界条件 $S=H$ 时 $f=Q$，$S=0$ 时 $f=0$。$f=Q(S/H)^\alpha$（$\alpha>0$）满足边界条件，代入方程（与 $t$ 无关）得 $(r-q)\alpha+\frac12\alpha(\alpha-1)\sigma^2=r$。正根 $\alpha=\gamma_1$：

\gamma_1=\frac{-w+\sqrt{w^2+2\sigma^2r}}{\sigma^2},\qquad w=r-q-\sigma^2/2

所以价值为 $Q(S/H)^{\gamma_1}$。

永续美式看涨：若在 $S=H$ 时行权，收益 $H-K$，价值 $(H-K)(S/H)^{\gamma_1}$。持有人可选择 $H$ 使价值最大，求导得

H_1=K\frac{\gamma_1}{\gamma_1-1}

$S<H_1$ 时价格为 $\dfrac{K}{\gamma_1-1}\Big(\dfrac{\gamma_1-1}{\gamma_1}\dfrac SK\Big)^{\gamma_1}$；$S>H_1$ 时应立即行权，价值 $S-K$。

永续美式看跌：$S>H$，从上方触及 $H$ 时支付 $Q$，边界 $S=H$ 时 $f=Q$，$S\to\infty$ 时 $f\to0$。$f=Q(S/H)^{-\alpha}$，$\alpha=\gamma_2$：

\gamma_2=\frac{w+\sqrt{w^2+2\sigma^2r}}{\sigma^2}

在 $H$ 行权价值 $(K-H)(S/H)^{-\gamma_2}$，最优 $H_2=K\dfrac{\gamma_2}{\gamma_2+1}$；$S>H_2$ 时价格 $\dfrac{K}{\gamma_2+1}\Big(\dfrac{\gamma_2+1}{\gamma_2}\dfrac SK\Big)^{-\gamma_2}$；$S<H_2$ 时立即行权，价值 $K-S$。第 15.6 节和习题 15.23 是 $q=0$ 的特例。

26.3 非标准美式期权（PDF p.623）

标准美式期权可在存续期任何时间以固定行权价行权。场外美式期权的非标准特征：

只能在特定日期提前行权——百慕大期权（Bermudan option，百慕大位于欧洲和美洲"之间"）；
只允许在部分时间提前行权，如初始"锁定期"（lock out）不可行权；
行权价在存续期内变化。公司对自身股票发行的认股权证（warrant）常有这些特征，例：7 年期权证只能在第 3–7 年特定日期行权，行权价第 3–4 年 $30，之后 2 年 $32，最后 1 年 $33。通常用二叉树估值，在每个节点按条款调整提前行权检验。

26.4 缺口期权（Gap Options）（PDF p.624）

缺口看涨：当 $S_T>K_2$ 时支付 $S_T-K_1$。与行权价 $K_2$ 的普通看涨相比，$S_T>K_2$ 时收益增加 $K_2-K_1$（可正可负）。价值：

S_0e^{-qT}N(d_1)-K_1e^{-rT}N(d_2)\tag{26.1}

d_1=\frac{\ln(S_0/K_2)+(r-q+\sigma^2/2)T}{\sigma\sqrt T},\quad d_2=d_1-\sigma\sqrt T

比行权价 $K_2$ 的普通看涨高 $(K_2-K_1)e^{-rT}N(d_2)$：行权概率为 $N(d_2)$，行权时多得 $K_2-K_1$。

缺口看跌：$S_T<K_2$ 时支付 $K_1-S_T$，价值

K_1e^{-rT}N(-d_2)-S_0e^{-qT}N(-d_1)\tag{26.2}

例 26.1：资产现值 $500,000，1 年波动率 20%，$r=5\%$，无收益。保险公司同意若 1 年后资产跌破 $400,000 则以 $400,000 买入——普通看跌，用 (15.21) 估值得 $3,436。若转让资产成本 $50,000 由投保人承担，则只有资产低于 $350,000 时才会索赔，保险公司成本为 $S_T<K_2$ 时的 $K_1-S_T$（$K_2=350{,}000$，$K_1=400{,}000$），即缺口看跌，价值 $1,896。考虑索赔成本后保单成本降低约 45%。

26.5 远期开始期权（Forward Start Options）（PDF p.625）

未来某时刻才开始的期权。员工股票期权有时可视为远期开始期权（公司承诺将来授予平值期权）。

$T_1$ 开始、$T_2$ 到期的平值欧式看涨：平值期权价值与资产价格成正比，所以 $T_1$ 时价值为 $cS_1/S_0$，$c$ 为今天期限 $T_2-T_1$ 的平值期权价值。风险中性估值：$e^{-rT_1}\hat E[cS_1/S_0]$，又 $\hat E[S_1]=S_0e^{(r-q)T_1}$，故价值为

ce^{-qT_1}

无股息股票 $q=0$ 时，价值与期限相同（$T_2-T_1$）的普通平值期权完全相同。

26.6 棘轮期权（Cliquet Options）（PDF p.625）

又称 ratchet 或 strike reset option：一系列看涨或看跌期权，按规则确定行权价。重置日 $\tau,2\tau,\dots,(n-1)\tau$，$n\tau$ 为结束。简单结构：第 1 个期权行权价 $K$（可等于初始价），覆盖 $0$ 到 $\tau$；第 2 个在 $2\tau$ 支付，行权价为 $\tau$ 时的资产价；第 3 个在 $3\tau$ 支付，行权价为 $2\tau$ 时的资产价……即 1 个普通期权 + $n-1$ 个远期开始期权，可按 26.5 节估值。复杂的棘轮对整个期间总收益设上下限，或在资产价处于某区间时提前终止；无解析解时通常用蒙特卡洛。

26.7 复合期权（Compound Options）（PDF p.625–626）

期权的期权，四类：看涨的看涨（call on call）、看涨的看跌（put on call）、看跌的看涨（call on put）、看跌的看跌（put on put）。有两个行权价和两个行权日。以 call on call 为例：在 $T_1$ 持有人可支付 $K_1$ 得到一个看涨期权，该看涨期权赋予在 $T_2$ 以 $K_2$ 买入标的资产的权利；只有当 $T_1$ 时该看涨期权价值大于 $K_1$ 才行权。

几何布朗运动下欧式复合期权有基于二元正态分布的解析解（Geske 1979；Rubinstein 1991/92）：

call on call：$S_0e^{-qT_2}M(a_1,b_1;\sqrt{T_1/T_2})-K_2e^{-rT_2}M(a_2,b_2;\sqrt{T_1/T_2})-e^{-rT_1}K_1N(a_2)$
put on call：$K_2e^{-rT_2}M(-a_2,b_2;-\sqrt{T_1/T_2})-S_0e^{-qT_2}M(-a_1,b_1;-\sqrt{T_1/T_2})+e^{-rT_1}K_1N(-a_2)$
call on put：$K_2e^{-rT_2}M(-a_2,-b_2;\sqrt{T_1/T_2})-S_0e^{-qT_2}M(-a_1,-b_1;\sqrt{T_1/T_2})-e^{-rT_1}K_1N(-a_2)$
put on put：$S_0e^{-qT_2}M(a_1,-b_1;-\sqrt{T_1/T_2})-K_2e^{-rT_2}M(a_2,-b_2;-\sqrt{T_1/T_2})+e^{-rT_1}K_1N(a_2)$

其中

a_1=\frac{\ln(S_0/S^*)+(r-q+\sigma^2/2)T_1}{\sigma\sqrt{T_1}},\ a_2=a_1-\sigma\sqrt{T_1};\quad b_1=\frac{\ln(S_0/K_2)+(r-q+\sigma^2/2)T_2}{\sigma\sqrt{T_2}},\ b_2=b_1-\sigma\sqrt{T_2}

$M(a,b;\rho)$ 为相关系数 $\rho$ 的二元标准正态累计分布函数（第一个变量小于 $a$ 且第二个小于 $b$ 的概率；数值方法见 Technical Note 5）。$S^*$ 为使 $T_1$ 时（内层）期权价格等于 $K_1$ 的资产价：$T_1$ 时资产价高于 $S^*$ 则行使外层看涨（对 call on call 而言）。（以上符号按 Hull 原书标准公式还原，抽取文本丢失了负号。）

26.8 选择者期权（Chooser Options）（PDF p.626–627）

又称 "as you like it" 期权：经过一段时间（$T_1$）后持有人选择它是看涨还是看跌。$T_1$ 时价值 $\max(c,p)$。若两者均为欧式且行权价 $K$、到期 $T_2$ 相同，由买卖权平价：

\max(c,p)=\max\big(c,\ c+Ke^{-r(T_2-T_1)}-S_1e^{-q(T_2-T_1)}\big)=c+e^{-q(T_2-T_1)}\max\big(0,\ Ke^{-(r-q)(T_2-T_1)}-S_1\big)

因此选择者期权 = (1) 行权价 $K$、到期 $T_2$ 的看涨 + (2) $e^{-q(T_2-T_1)}$ 份行权价 $Ke^{-(r-q)(T_2-T_1)}$、到期 $T_1$ 的看跌，可直接估值。若看涨与看跌行权价或期限不同，则不是组合，性质类似复合期权。

26.9 障碍期权（Barrier Options）（PDF p.627–629）

收益取决于标的价格在某期间是否触及某水平。比对应普通期权便宜，因而受欢迎。分敲出（knock-out：触及障碍即失效）和敲入（knock-in：触及障碍才生效）。

普通期权（17.4、17.5）：$c=S_0e^{-qT}N(d_1)-Ke^{-rT}N(d_2)$，$p=Ke^{-rT}N(-d_2)-S_0e^{-qT}N(-d_1)$。

记

\lambda=\frac{r-q+\sigma^2/2}{\sigma^2},\quad y=\frac{\ln[H^2/(S_0K)]}{\sigma\sqrt T}+\lambda\sigma\sqrt T,\quad x_1=\frac{\ln(S_0/H)}{\sigma\sqrt T}+\lambda\sigma\sqrt T,\quad y_1=\frac{\ln(H/S_0)}{\sigma\sqrt T}+\lambda\sigma\sqrt T

向下敲出/敲入看涨（down-and-out / down-and-in call，障碍 $H$ 低于初始价）：

$H\le K$：$c_{di}=S_0e^{-qT}(H/S_0)^{2\lambda}N(y)-Ke^{-rT}(H/S_0)^{2\lambda-2}N(y-\sigma\sqrt T)$，$c_{do}=c-c_{di}$（因为敲入 + 敲出 = 普通期权）。
$H>K$：$c_{do}=S_0N(x_1)e^{-qT}-Ke^{-rT}N(x_1-\sigma\sqrt T)-S_0e^{-qT}(H/S_0)^{2\lambda}N(y_1)+Ke^{-rT}(H/S_0)^{2\lambda-2}N(y_1-\sigma\sqrt T)$，$c_{di}=c-c_{do}$。

向上敲出/敲入看涨（障碍高于当前价）：$H\le K$ 时 $c_{uo}=0$，$c_{ui}=c$。$H>K$ 时

c_{ui}=S_0N(x_1)e^{-qT}-Ke^{-rT}N(x_1-\sigma\sqrt T)-S_0e^{-qT}(H/S_0)^{2\lambda}[N(-y)-N(-y_1)]+Ke^{-rT}(H/S_0)^{2\lambda-2}[N(-y+\sigma\sqrt T)-N(-y_1+\sigma\sqrt T)]

$c_{uo}=c-c_{ui}$。

向上敲出/敲入看跌：$H\ge K$ 时 $p_{ui}=-S_0e^{-qT}(H/S_0)^{2\lambda}N(-y)+Ke^{-rT}(H/S_0)^{2\lambda-2}N(-y+\sigma\sqrt T)$，$p_{uo}=p-p_{ui}$。$H\le K$ 时

p_{uo}=-S_0N(-x_1)e^{-qT}+Ke^{-rT}N(-x_1+\sigma\sqrt T)+S_0e^{-qT}(H/S_0)^{2\lambda}N(-y_1)-Ke^{-rT}(H/S_0)^{2\lambda-2}N(-y_1+\sigma\sqrt T)

$p_{ui}=p-p_{uo}$。

向下敲出/敲入看跌：$H>K$ 时 $p_{do}=0$，$p_{di}=p$。$H<K$ 时

p_{di}=-S_0N(-x_1)e^{-qT}+Ke^{-rT}N(-x_1+\sigma\sqrt T)+S_0e^{-qT}(H/S_0)^{2\lambda}[N(y)-N(y_1)]-Ke^{-rT}(H/S_0)^{2\lambda-2}[N(y-\sigma\sqrt T)-N(y_1-\sigma\sqrt T)]

$p_{do}=p-p_{di}$。（抽取文本丢失负号，以上按原书标准形式还原。）

观测频率：以上公式假设对数正态且连续观测（有时确实如此——例如向交易所挂在障碍价的限价单，看是否成交）。合约常规定离散观测（如每天下午 3 点一次）。Broadie, Glasserman & Kou（1997）的连续性修正：向上障碍把 $H$ 换为 $He^{0.5826\sigma\sqrt{T/m}}$，向下障碍换为 $He^{-0.5826\sigma\sqrt{T/m}}$，$m$ 为观测次数（$T/m$ 为观测间隔）。直观：离散观测更难触及障碍，相当于障碍向外移。

性质与常见误区：障碍期权性质与普通期权差别很大，如 vega 可能为负：资产价接近障碍的向上敲出看涨，波动率上升使触及障碍概率上升，价格反而下降。

巴黎期权（Parisian option）：普通障碍期权会因价格"尖刺"而被敲入/敲出。巴黎期权要求价格在障碍之上/之下停留一段时间才敲入/敲出。例：向下敲出巴黎看跌，行权价为初始价 90%，障碍 75%，价格低于障碍 50 天则敲出；确认书可规定"连续 50 天"或"存续期内任意 50 天"。比普通障碍期权难估值（Chesney 等 1997），可用第 27.5、27.6 节增强的蒙特卡洛和二叉树。

26.10 二元期权（Binary Options）（PDF p.629–630）

收益不连续。

现金或无看涨（cash-or-nothing call）：$S_T>K$ 时付固定额 $Q$，否则 0。风险中性下到期高于行权价概率 $N(d_2)$，价值 $Qe^{-rT}N(d_2)$。现金或无看跌：$Qe^{-rT}N(-d_2)$。
资产或无看涨（asset-or-nothing call）：$S_T>K$ 时支付资产价格，价值 $S_0e^{-qT}N(d_1)$；资产或无看跌：$S_0e^{-qT}N(-d_1)$。
分解：普通欧式看涨 = 多头资产或无看涨 + 空头现金或无看涨（现金额 $=K$）；普通欧式看跌 = 多头现金或无看跌（现金额 $=K$）+ 空头资产或无看跌。这正是 BSM 公式两项的含义。

26.11 回望期权（Lookback Options）（PDF p.630–632）

收益取决于存续期内资产价格的最大值或最小值。

浮动回望看涨（floating lookback call）：收益 = 最终价 − 期间最低价。浮动回望看跌：收益 = 期间最高价 − 最终价。估值公式（Goldman, Sosin & Gatto 1979；Garman 1989）：

c_{fl}=S_0e^{-qT}N(a_1)-S_0e^{-qT}\frac{\sigma^2}{2(r-q)}N(-a_1)-S_{\min}e^{-rT}\Big[N(a_2)-\frac{\sigma^2}{2(r-q)}e^{Y_1}N(-a_3)\Big]

a_1=\frac{\ln(S_0/S_{\min})+(r-q+\sigma^2/2)T}{\sigma\sqrt T},\ a_2=a_1-\sigma\sqrt T,\ a_3=\frac{\ln(S_0/S_{\min})+(-r+q+\sigma^2/2)T}{\sigma\sqrt T},\ Y_1=-\frac{2(r-q-\sigma^2/2)\ln(S_0/S_{\min})}{\sigma^2}

$S_{\min}$ 为至今最低价（新发行时 $S_{\min}=S_0$）。$r=q$ 情形见习题 26.23。

p_{fl}=S_{\max}e^{-rT}\Big[N(b_1)-\frac{\sigma^2}{2(r-q)}e^{Y_2}N(-b_3)\Big]+S_0e^{-qT}\frac{\sigma^2}{2(r-q)}N(-b_2)-S_0e^{-qT}N(b_2)

b_1=\frac{\ln(S_{\max}/S_0)+(-r+q+\sigma^2/2)T}{\sigma\sqrt T},\ b_2=b_1-\sigma\sqrt T,\ b_3=\frac{\ln(S_{\max}/S_0)+(r-q-\sigma^2/2)T}{\sigma\sqrt T},\ Y_2=\frac{2(r-q-\sigma^2/2)\ln(S_{\max}/S_0)}{\sigma^2}

浮动回望看涨让持有人以期间最低价买入；浮动回望看跌让持有人以期间最高价卖出。

例 26.2：新发行浮动回望看跌，无股息，$S_0=S_{\max}=50$，$\sigma=40\%$，$r=10\%$，$T=0.25$：$b_1=-0.025$，$b_2=-0.225$，$b_3=0.025$，$Y_2=0$，价值 7.79；同股票新发行浮动回望看涨价值 8.04。

固定回望（fixed lookback）：指定行权价。固定回望看涨收益同欧式看涨，但最终价换为期间最高价；固定回望看跌则换为期间最低价。令 $S^*_{\max}=\max(S_{\max},K)$，$p^*_{fl}$ 为把 $S_{\max}$ 换成 $S^*_{\max}$ 的同期浮动回望看跌，则（类似买卖权平价的论证，Wong & Kwok 2003）

c_{fix}=p^*_{fl}+S_0e^{-qT}-Ke^{-rT}

同理 $S^*_{\min}=\min(S_{\min},K)$，$p_{fix}=c^*_{fl}+Ke^{-rT}-S_0e^{-qT}$。

回望期权吸引投资者，但比普通期权贵得多；价值对观测频率敏感，以上公式假设连续观测，离散观测修正见 Broadie, Glasserman & Kou（1998）。

26.12 喊价期权（Shout Options）（PDF p.632）

欧式期权，持有人可在存续期内某一次向卖方"喊价"，到期时获得普通欧式收益与喊价时内在价值中的较大者。例：行权价 $50 的看涨在标的 $60 时喊价：最终价低于 $60 得 $10；高于 $60 得最终价 − $50。性质类似回望但便宜得多。在 $\tau$ 时以价格 $S_\tau$ 喊价，收益为

\max(0,S_T-S_\tau)+(S_\tau-K)

所以喊价时价值 = $S_\tau-K$（在 $T$ 收到）的现值 + 行权价 $S_\tau$ 的欧式期权（BSM）。估值：构造二叉或三叉树，倒推时在每个节点比较喊价与不喊价的价值取较大者——与普通美式期权估值过程类似。

26.13 亚式期权（Asian Options）（PDF p.632–634）

收益取决于存续期内标的价格的算术平均。平均价格看涨收益 $\max(0,S_{ave}-K)$，平均价格看跌 $\max(0,K-S_{ave})$。比普通期权便宜，且更适合某些企业司库需求：如美国公司预计未来一年从澳大利亚子公司均匀收到 1 亿澳元，希望保证一年内平均汇率高于某水平，平均价格看跌比普通看跌更有效。

估值（矩匹配）：几何布朗运动下几何平均精确对数正态，算术平均近似对数正态。流行做法（Turnbull & Wakeman 1991）：用对数正态匹配 $S_{ave}$ 的前两阶矩 $M_1,M_2$，再用 Black 模型（式 18.9、18.10）：

F_0=M_1\tag{26.3}

\sigma^2=\frac1T\ln\Big(\frac{M_2}{M_1^2}\Big)\tag{26.4}

连续平均、$r,q,\sigma$ 常数时（DerivaGem 用法）：

M_1=\frac{e^{(r-q)T}-1}{(r-q)T}S_0

M_2=\frac{2e^{[2(r-q)+\sigma^2]T}S_0^2}{(r-q+\sigma^2)(2r-2q+\sigma^2)T^2}+\frac{2S_0^2}{(r-q)T^2}\Big[\frac{1}{2(r-q)+\sigma^2}-\frac{e^{(r-q)T}}{r-q+\sigma^2}\Big]

离散平均（观测时点 $T_i$，$1\le i\le m$）：

M_1=\frac1m\sum_{i=1}^mF_i,\qquad M_2=\frac1{m^2}\Big[\sum_{i=1}^mF_i^2e^{\sigma_i^2T_i}+2\sum_{j=1}^m\sum_{i=1}^{j-1}F_iF_je^{\sigma_i^2T_i}\Big]

$F_i,\sigma_i$ 为期限 $T_i$ 的远期价格与隐含波动率（证明见 Technical Note 27）。

例 26.3：新发行平均价格看涨，无股息，$S_0=K=50$，$\sigma=40\%$，$r=10\%$，$T=1$。连续平均：$M_1=52.59$，$M_2=2{,}922.76$，$F_0=52.59$，$\sigma=23.54\%$，Black 公式得 5.62。用 12、52、250 次观测平均时价格为 6.00、5.70、5.63。

已部分观测的亚式期权：平均期由已观测的 $t_1$（期间平均价 $\bar S$）和剩余 $t_2$ 组成。平均价格看涨收益

\max\Big(\frac{\bar St_1+S_{ave}t_2}{t_1+t_2}-K,0\Big)=\frac{t_2}{t_1+t_2}\max(S_{ave}-K^*,0),\qquad K^*=\frac{t_1+t_2}{t_2}K-\frac{t_1}{t_2}\bar S

$K^*>0$：按新发行亚式期权估值，行权价改为 $K^*$，结果乘以 $t_2/(t_1+t_2)$。$K^*<0$：必然行权，按远期估值，价值 $\dfrac{t_2}{t_1+t_2}[M_1e^{-rt_2}-K^*e^{-rt_2}]$。

平均行权价期权（average strike option）：看涨收益 $\max(0,S_T-S_{ave})$，看跌 $\max(0,S_{ave}-S_T)$。可保证一段时期内频繁买入资产的平均价格不高于最终价（或频繁卖出的平均价不低于最终价）。假设 $S_{ave}$ 对数正态时可作为交换期权估值。

26.14 资产交换期权（Options to Exchange One Asset for Another）（PDF p.634–635）

又称交换期权（exchange options）。例：对美国投资者，用澳元买日元的期权是用一种外币资产交换另一种；股票要约收购是用一种股票交换另一种股票的期权。欧式期权：在 $T$ 放弃价值 $U_T$ 的资产、换取价值 $V_T$ 的资产，收益 $\max(V_T-U_T,0)$。Margrabe（1978）公式：$U,V$ 都服从几何布朗运动，波动率 $\sigma_U,\sigma_V$，瞬时相关 $\rho$，收益率 $q_U,q_V$：

V_0e^{-q_VT}N(d_1)-U_0e^{-q_UT}N(d_2)\tag{26.5}

d_1=\frac{\ln(V_0/U_0)+(q_U-q_V+\hat\sigma^2/2)T}{\hat\sigma\sqrt T},\quad d_2=d_1-\hat\sigma\sqrt T,\quad \hat\sigma=\sqrt{\sigma_U^2+\sigma_V^2-2\rho\sigma_U\sigma_V}

（第 28 章证明。）公式与无风险利率 $r$ 无关：$r$ 上升时风险中性世界中两资产增长率都上升，恰被贴现率上升抵消。$\hat\sigma$ 是 $V/U$ 的波动率。与 (17.4) 比较：价格等于 $U_0$ 份以 $V/U$ 为标的、行权价 1.0、无风险利率 $q_U$、股息率 $q_V$ 的欧式看涨。Rubinstein（1991）表明美式版本同样可看作 $U_0$ 份这样的美式期权，可用二叉树估值（第 21 章）。

取两资产较好/较差者：

\min(U_T,V_T)=V_T-\max(V_T-U_T,0),\qquad \max(U_T,V_T)=U_T+\max(V_T-U_T,0)

26.15 多资产期权（Options Involving Several Assets）（PDF p.635–636）

涉及两个以上风险资产的期权有时称彩虹期权（rainbow options），如 CBOT 国债期货（第 6 章）空头可在大量债券中选择交割。最流行的是欧式篮子期权（basket option）：收益取决于一篮子资产（个股、股指或货币）的价值。可假设资产服从相关几何布朗运动用蒙特卡洛估值；更快的方法是计算到期时风险中性篮子价值的前两阶矩，假设其对数正态，用 Black 模型和式 (26.3)(26.4)：

M_1=\sum_{i=1}^nF_i,\qquad M_2=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^nF_iF_je^{\rho_{ij}\sigma_i\sigma_jT}

$F_i,\sigma_i$ 为第 $i$ 个资产的远期价格和波动率，$\rho_{ij}$ 为相关系数（Technical Note 28）。（注：此处 $F_i$ 应理解为篮子中第 $i$ 项头寸的远期价值。）

26.16 波动率互换与方差互换（Volatility and Variance Swaps）（PDF p.636–639）

波动率互换：交换资产在 $0$ 到 $T$ 的已实现波动率与预先约定的固定波动率。已实现波动率按第 15.4 节计算但假设日均收益为 0，$n$ 个日观测：

\bar\sigma=\sqrt{\frac{252}{n-2}\sum_{i=1}^{n-1}\Big[\ln\frac{S_{i+1}}{S_i}\Big]^2}

（有时用 $n-1$ 代替 $n-2$。）$T$ 时对固定波动率支付方的收益为 $L_{vol}(\bar\sigma-\sigma_K)$，$L_{vol}$ 为名义本金。期权对价格和波动率的暴露复杂，波动率互换只暴露于波动率。

方差互换：交换已实现方差率 $\bar V=\bar\sigma^2$ 与约定方差率 $V_K$，对固定方支付方收益 $L_{var}(\bar V-V_K)$。方差互换比波动率互换更容易估值，因为 $0$ 到 $T$ 的方差率可由看涨/看跌期权组合复制。名义本金常按 $L_{var}=L_{vol}/(2\sigma_K)$ 换算。

方差互换估值（Technical Note 22；Demeterfi, Derman, Kamal & Zou 1999）：对任意资产价 $S^*$，

\hat E(\bar V)=\frac2T\ln\frac{F_0}{S^*}-\frac2T\Big(\frac{F_0}{S^*}-1\Big)+\frac2T\Big[\int_0^{S^*}\frac1{K^2}e^{rT}p(K)\,dK+\int_{S^*}^\infty\frac1{K^2}e^{rT}c(K)\,dK\Big]\tag{26.6}

$F_0$ 为 $T$ 到期的远期价格，$c(K),p(K)$ 为行权价 $K$、期限 $T$ 的欧式看涨、看跌价格。收取已实现方差、支付 $V_K$ 的合约价值

L_{var}[\hat E(\bar V)-V_K]e^{-rT}\tag{26.7}

离散实现：已知行权价 $K_1<\dots<K_n$ 的期权价格，取 $S^*$ 为低于 $F_0$ 的第一个行权价：

\int_0^{S^*}\frac{e^{rT}p(K)}{K^2}dK+\int_{S^*}^\infty\frac{e^{rT}c(K)}{K^2}dK\approx\sum_{i=1}^n\frac{\Delta K_i}{K_i^2}e^{rT}Q(K_i)\tag{26.8}

$\Delta K_i=0.5(K_{i+1}-K_{i-1})$（$2\le i\le n-1$），$\Delta K_1=K_2-K_1$，$\Delta K_n=K_n-K_{n-1}$。$Q(K_i)$：$K_i<S^*$ 时取看跌价，$K_i>S^*$ 时取看涨价，$K_i=S^*$ 时取看涨与看跌价的平均。

例 26.4：3 个月合约，收取指数已实现方差、支付 0.045，本金 1 亿美元。$r=4\%$，股息率 1%，指数 1020。行权价 800/850/…/1200 的 3 个月隐含波动率 29%/28%/27%/26%/25%/24%/23%/22%/21%。$n=9$，$F_0=1020e^{0.03\times0.25}=1027.68$，$S^*=1000$。$Q(K_i)$ 为 2.22、5.22、11.05、21.27、51.21、38.94、20.69、9.44、3.57，$\Delta K_i=50$，$\sum\frac{\Delta K_i}{K_i^2}e^{rT}Q(K_i)=0.008139$。

\hat E(\bar V)=\frac2{0.25}\ln\frac{1027.68}{1000}-\frac2{0.25}\Big(\frac{1027.68}{1000}-1\Big)+\frac2{0.25}\times0.008139=0.0621

互换价值 $100\times(0.0621-0.045)e^{-0.04\times0.25}=1.69$（百万美元）。

波动率互换估值：需要 $\hat E(\bar\sigma)$。$\bar\sigma=\sqrt{\hat E(\bar V)}\sqrt{1+\frac{\bar V-\hat E(\bar V)}{\hat E(\bar V)}}$，二阶泰勒展开后取期望：

\hat E(\bar\sigma)=\sqrt{\hat E(\bar V)}\Big[1-\frac18\frac{\text{var}(\bar V)}{\hat E(\bar V)^2}\Big]\tag{26.9}

即需要估计平均方差率的方差（凸性调整：由 Jensen 不等式 $E[\sqrt V]<\sqrt{E[V]}$）。收取已实现波动率、支付 $\sigma_K$ 的价值 $L_{vol}[\hat E(\bar\sigma)-\sigma_K]e^{-rT}$。

例 26.5：沿用例 26.4，收取已实现波动率、支付 23%，本金 1 亿美元。$\hat E(\bar V)=0.0621$，假设 3 个月平均方差的标准差为 0.01，$\text{var}(\bar V)=0.0001$。$\hat E(\bar\sigma)=\sqrt{0.0621}\big(1-\frac18\times\frac{0.0001}{0.0621^2}\big)=0.2484$，价值 $100\times(0.2484-0.23)e^{-0.01}=1.82$（百万美元）。

VIX 指数：把 (26.6) 中 $\ln(F_0/S^*)$ 用二阶展开 $\big(\frac{F_0}{S^*}-1\big)-\frac12\big(\frac{F_0}{S^*}-1\big)^2$ 近似，风险中性期望累计方差为

\hat E(\bar V)T=-\Big(\frac{F_0}{S^*}-1\Big)^2+2\sum_{i=1}^n\frac{\Delta K_i}{K_i^2}e^{rT}Q(K_i)\tag{26.10}

自 2004 年起 VIX（第 15.11 节）基于此式：每天对到期日紧邻 30 天上下的两组期权算 $\hat E(\bar V)T$，插值得 30 天期望累计方差，乘以 365/30 后开平方即为指数（详见 CBOE VIX 白皮书）。

26.17 静态期权复制（Static Options Replication）（PDF p.639–641）

用第 19 章方法对冲奇异期权，有的容易，有的因不连续性非常困难。静态期权复制（Derman, Ergener & Kani 1995）：寻找一个近似复制奇异期权的活跃交易期权组合，做空该组合即为对冲。

原理：两个组合若在某个边界上价值相等，则在边界内部所有点价值也相等（PDE 唯一性）。

例：9 个月向上敲出看涨，无股息，$S_0=50$，$K=50$，障碍 60，$r=10\%$，$\sigma=30\%$。$f(S,t)$ 为期权价值。选择边界（图 26.1）$S=60$ 与 $t=0.75$：

$f(S,0.75)=\max(S-50,0)$，$S<60$；
$f(60,t)=0$，$0\le t\le0.75$。第一条边界由 1 份 9 个月、行权价 50 的欧式看涨（期权 A）匹配。第二条边界：把期限分为 $N$ 步、每步 $\Delta t$；选行权价 60、$N\Delta t$（9 个月）到期的看涨匹配 $\{60,(N-1)\Delta t\}$ 点；选行权价 60、$(N-1)\Delta t$ 到期的看涨匹配 $\{60,(N-2)\Delta t\}$ 点……依次选择，使每个期权在先前已匹配的边界部分上价值为 0（不是必需的；也可选 $K$ 个期权解 $K$ 个线性方程）。

$\Delta t=0.25$：除 A 外，还用行权价 60、9/6/3 个月到期的欧式看涨 B、C、D。在 $\{60,0.5\}$ 点 B 值 4.33、A 值 11.54，B 的头寸 $-11.54/4.33=-2.66$；在 $\{60,0.25\}$ 点 C 值 4.33，A 与 B 头寸合计 −4.21，C 的头寸 $4.21/4.33=0.97$；同理 D 的头寸 0.28。

Table 26.1：A（$K=50$，0.75 年）+1.00，初值 +6.99；B（60，0.75）−2.66，−8.21；C（60，0.50）+0.97，+1.78；D（60，0.25）+0.28，+0.17。组合初值 0.73，而解析公式给出的向上敲出看涨价值 0.31。差异因只在第二条边界上匹配 3 个点；匹配 18 个点（每半个月到期的期权）时降至 0.38，匹配 100 个点时降至 0.32。

对冲时做空复制组合，触及边界任何部分时平仓。相对 delta 对冲的优势：无需频繁再平衡；适用范围广；边界和所用期权选择灵活。

Business Snapshot 26.1 奇异期权的 delta 对冲更容易还是更难？：平均期覆盖整个存续期的平均价格期权较容易对冲：随时间推移越来越多价格已观测，收益不确定性下降，最后几天 delta 趋于 0。障碍期权较难：如外汇向下敲出看涨在汇率仅比障碍高 0.0005 时，触及障碍则一文不值，否则可能很值钱，delta 在障碍处不连续，常规对冲非常困难。

本章小结与习题（PDF p.641–646）

原书小结：本章讨论 15 类奇异期权：组合、永续美式、非标准美式、缺口、远期开始、棘轮、复合、选择者、障碍、二元、回望、喊价、亚式、资产交换、多资产期权。它们在 BSM 同样的假设下估值：有的有解析解（公式复杂得多），有的用解析近似，有的用第 21 章数值方法的扩展（第 27 章还会给出更多数值方法）。有的奇异期权比普通期权容易对冲（亚式期权收益越临近到期越确定），有的更难（障碍期权 delta 在障碍处不连续）；静态期权复制通过找在某边界上与奇异期权价值相同的普通期权组合并做空来对冲。

延伸阅读：Carr & Lee (2007)；Clewlow & Strickland (1997)；Demeterfi 等 (1999)；Derman, Ergener & Kani (1995)；Geske (1979)；Goldman, Sosin & Gatto (1979)；Margrabe (1978)；Rubinstein & Reiner (1991，障碍与二元)；Rubinstein 1991 年 Risk 系列文章；Stulz (1982，两资产最大/最小期权)；Turnbull & Wakeman (1991)。

习题题型概括：

概念与关系证明：26.1 远期开始 vs 选择者；26.2 浮动回望看涨 + 看跌的收益（= 期间最高价 − 最低价）；26.3 选择期可在 2 年内任意时间的选择者期权是否会提前选择；26.4 证明 $c_1+c_2-c_3=p_1+p_2-p_3$（平均价格、平均行权价、普通期权之间的平价）；26.5 选择者期权的另一种分解；26.6 $H=K$ 时两个向下敲出公式一致；26.7 障碍高于行权价时向下敲出看跌价值为 0；26.8 行权价按 $g<r$ 增长的美式看涨不应提前行权；26.10 算术平均的过程；26.11 亚式期权 delta 对冲为何更容易；26.13 资产与期货上的向下敲出期权是否等价；26.14 复合期权的平价关系；26.15–26.16 观测频率对回望与障碍期权价值的影响；26.17 敲入 + 敲出 = 普通（欧式成立，美式不成立）；26.23 $r=q$ 时公式调整；26.25 与第 15.6 节一致性；26.35 普通、二元、缺口看涨之间的关系。
计算：26.9 行权价为开始时股价 110% 的远期开始看跌；26.12 白银换黄金的交换期权；26.18、26.26 现金或无期权；26.19 白银期货向下敲出/敲入看涨；26.20 浮动回望；26.21、26.30 亚式期权（连续与季度观测）；26.22 敲出 + 敲入 = 普通的数值验证；26.24、26.34 方差互换估值（不同波动率微笑、不同期限）；26.27 向上敲出看涨的希腊字母可正可负；26.36 棘轮期权估值公式。
对冲与实验：26.28、26.29 静态复制；26.31 比较普通期权与平均价格期权的 delta 对冲效果；26.32 复合期权的 delta-gamma 对冲；26.33 优胜证书（outperformance certificate）分解为组合并估值。

本章要点

任何衍生品可通过延迟付款变为零成本；区间远期是典型零成本组合。
永续美式期权有闭式解：$Q(S/H)^{\gamma}$ 型解 + 最优执行边界 $H_1=K\gamma_1/(\gamma_1-1)$、$H_2=K\gamma_2/(\gamma_2+1)$。
缺口、二元期权由 BSM 公式两项直接组合；普通期权 = 资产或无 − $K$ × 现金或无。
远期开始期权价值 $ce^{-qT_1}$；棘轮 = 普通期权 + 一串远期开始期权；选择者 = 看涨 + 调整后的看跌；复合期权用二元正态分布。
障碍期权：8 类公式，敲入 + 敲出 = 普通；离散观测用 $e^{\pm0.5826\sigma\sqrt{T/m}}$ 修正；vega 可为负，delta 在障碍处不连续，难对冲；巴黎期权避免尖刺触发。
回望期权昂贵，浮动/固定回望可互相转换；喊价期权用树逐点比较。
亚式期权用矩匹配 + Black 模型；已部分观测时调整行权价 $K^*$；平均行权价期权可作交换期权处理。
Margrabe 交换期权与 $r$ 无关，等价于以比值 $V/U$ 为标的的期权；篮子期权同样用矩匹配。
方差互换可由 OTM 期权组合静态复制（式 26.6），波动率互换需凸性调整；VIX 即此公式的离散版本。
静态期权复制：边界匹配，无需频繁再平衡。

与量化交易的关联

波动率交易：方差互换复制公式（26.6/26.8/26.10）是 VIX、方差风险溢价（variance risk premium）研究与交易的核心：用期权价格算隐含方差，与已实现方差比较可得方差风险溢价因子；波动率互换的凸性调整提醒"隐含波动率 ≠ 期望已实现波动率"。
定价与系统实现：障碍、回望、亚式期权的闭式公式是定价库的基础组件；离散观测修正（0.5826）在实盘结构化产品（雪球、凤凰、鲨鱼鳍等国内常见障碍类产品）定价中非常实用；亚式期权矩匹配适用于大宗商品和汇率的平均价结算产品。
对冲与执行：障碍期权 delta 不连续导致的"障碍附近对冲"问题直接影响做市商在障碍价附近的交易行为（可能造成标的价格的钉住或冲击效应），这对短线微观结构研究有意义；静态复制思想可用于构建低换手对冲。
多资产与相关性：Margrabe 公式、篮子期权矩匹配可用于配对交易中"相对价值期权"的定价，以及评估价差策略的期权性价值。
常见误区：用普通期权的波动率曲面直接给奇异期权定价可能完全错误（第 27 章展开）；离散/连续观测差异在短期限、高波动下很大。

第 27 章模型与数值方法补充（More on Models and Numerical Procedures）（PDF p.647–677）

导言（PDF p.647）：前面的模型都基于 BSM 背后的几何布朗运动，数值方法也较简单。第 20 章说明交易员用波动率曲面弥补几何布朗运动的缺陷：曲面给出普通期权代入 BSM 的波动率，但对第 26 章奇异期权公式该用什么波动率几乎没有指导——曲面显示 1 年期、行权价 $40 普通期权该用 27%，用它给 1 年期、行权价 $40 的障碍期权定价可能完全不合适。本章前半部分介绍能更好拟合普通期权价格的替代过程，以便更有信心地给奇异期权定价；后半部分扩展数值方法：可转换债券、路径依赖衍生品的树方法、障碍期权的数值难题、两相关变量的树、带提前行权的蒙特卡洛。仍假设标的提供收益率 $q$。

27.1 Black–Scholes–Merton 的替代模型（PDF p.648–653）

BSM 假设价格连续变化且任意未来时刻服从对数正态。替代思路三类：(1) 保持连续但换成非几何布朗运动的过程；(2) 在连续变化上叠加跳跃；(3) 所有变化都是跳跃。分别以 CEV、Merton 跳跃扩散、方差–伽马为例（DerivaGem 3.00 均已实现）。这类过程统称 Lévy 过程（粗略地说，平稳独立增量的连续时间随机过程）。

常弹性方差模型（CEV, constant elasticity of variance）（Cox & Ross 1976）：风险中性过程

dS=(r-q)S\,dt+\sigma S^\alpha\,dz

$\sigma$ 为波动率参数，$\alpha>0$。

$\alpha=1$：几何布朗运动。
$\alpha<1$：股价下降时波动率上升（更可能继续走低；股价上升时波动率下降，更难继续走高），产生左尾厚、右尾薄的分布，与股票观察到的分布一致（图 20.4）。
$\alpha>1$：股价上升时波动率上升，右尾厚、左尾薄，对应隐含波动率随行权价递增的微笑，有时见于期货期权。

欧式期权公式（$\chi^2(z;k,v)$ 为自由度 $k$、非中心参数 $v$ 的非中心卡方分布累计概率，计算见 Technical Note 12）：

$0<\alpha<1$：$c=S_0e^{-qT}[1-\chi^2(a;b+2,c)]-Ke^{-rT}\chi^2(c;b,a)$，$p=Ke^{-rT}[1-\chi^2(c;b,a)]-S_0e^{-qT}\chi^2(a;b+2,c)$
$\alpha>1$：$c=S_0e^{-qT}[1-\chi^2(c;-b,a)]-Ke^{-rT}\chi^2(a;2-b,c)$，$p=Ke^{-rT}[1-\chi^2(a;2-b,c)]-S_0e^{-qT}\chi^2(c;-b,a)$

a=\frac{[Ke^{-(r-q)T}]^{2(1-\alpha)}}{(1-\alpha)^2v},\quad b=\frac1{1-\alpha},\quad c=\frac{S^{2(1-\alpha)}}{(1-\alpha)^2v},\quad v=\frac{\sigma^2}{2(r-q)(\alpha-1)}\big[e^{2(r-q)(\alpha-1)T}-1\big]

（负号按原书还原。）CEV 适合给股票奇异期权定价；参数通过最小化模型价与普通期权市场价的平方差和来拟合。

Merton 跳跃扩散模型（Mixed Jump–Diffusion）（Merton 1976）：$\lambda$ 为年均跳跃次数，$k$ 为平均跳跃幅度（占资产价百分比），跳幅服从某分布。$\Delta t$ 内跳跃概率 $\lambda\Delta t$，跳跃带来的平均增长率为 $\lambda k$。风险中性过程

\frac{dS}{S}=(r-q-\lambda k)\,dt+\sigma\,dz+dp

$dp$ 为产生跳跃的 Poisson 过程，与 $dz$ 独立。重要特例：$\ln(1+\text{跳幅})$ 正态、标准差 $s$。此时欧式期权价格为

\sum_{n=0}^\infty\frac{e^{-\lambda'T}(\lambda'T)^n}{n!}f_n,\qquad \lambda'=\lambda(1+k)

$f_n$ 为 BSM 价格，其中股息率 $q$，方差率 $\sigma^2+\dfrac{ns^2}{T}$，无风险利率 $r-\lambda k+\dfrac{n\gamma}{T}$，$\gamma=\ln(1+k)$。（即按跳跃次数做 Poisson 加权的 BSM 价格。）该模型左右尾都比 BSM 厚，可用于货币期权；参数同样以最小化定价误差平方和拟合。

蒙特卡洛实现跳跃：Poisson 过程下 $\Delta t$ 内恰 $m$ 次跳跃的概率 $e^{-\lambda\Delta t}(\lambda\Delta t)^m/m!$。例：$\lambda=0.5$，2 年内跳跃次数分布（Table 27.1，可用 Excel POISSON 函数）：$m=0$：0.3679（累计 0.3679）；1：0.3679（0.7358）；2：0.1839（0.9197）；3：0.0613（0.9810）；4：0.0153（0.9963）；5：0.0031（0.9994）；6：0.0005（0.9999）；7：0.0001（1.0000）；8：0.0000。每次模拟：抽 0–1 随机数查表定跳跃次数（0–0.3679 无跳，0.3679–0.7358 一次，0.7358–0.9197 两次……），再对每次跳跃抽跳幅。Merton 模型中扩散部分（按 21.6、21.7 节）与跳跃部分分别抽样；为保证总期望收益为无风险利率，扩散部分漂移须为 $r-q-\lambda k$。

方差–伽马模型（Variance-Gamma, VG）（Madan, Carr & Chang 1998）：流行的纯跳跃模型。$g$ 为时间 $T$ 内一个均值速率 1、方差速率 $v$ 的伽马过程的变化（伽马过程是纯跳跃过程：小跳频繁、大跳偶尔）。密度

\frac{g^{T/v-1}e^{-g/v}}{v^{T/v}\Gamma(T/v)}

（Excel GAMMADIST(g, T/v, v, TRUE/FALSE)。）风险中性下，条件于 $g$，$\ln S_T$ 正态，条件均值 $\ln S_0+(r-q)T+\omega+\theta g$，条件标准差 $\sigma\sqrt g$，其中

\omega=\frac Tv\ln\Big(1-\theta v-\frac{\sigma^2v}{2}\Big)

三个参数：$v$（伽马过程方差率）、$\sigma$（波动率）、$\theta$（偏度参数：$\theta=0$ 对称，$\theta<0$ 负偏如股票，$\theta>0$ 正偏）。注意从现实世界变到风险中性世界时这些参数都可能改变（不同于纯扩散模型中波动率不变）。

Excel 抽样步骤（10,000 个 $S_T$ 样本）：E1–E7 放 $T,v,\theta,\sigma,r,q,S_0$，E8 放 $\omega$。(1) A 列 =GAMMAINV(RAND(),$E$1/$E$2,$E$2) 抽 $g$；(2) B 列抽 $z\sim N(\theta g,\sigma^2g)$：=A1*$E$3+SQRT(A1)*$E$4*NORMSINV(RAND())；(3) $S_T=S_0\exp[(r-q)T+\omega+z]$。

图 27.1：$S_0=100$，$T=0.5$，$v=0.5$，$\theta=0.1$（原文如此），$\sigma=0.2$，$r=q=0$ 的 VG 分布与 20% 波动率几何布朗运动的对数正态分布对比，VG 尾部更厚（图中不明显）。

直观：$g$ 刻画时间 $T$ 内信息到达的速率——$g$ 大则信息多，第 2 步正态样本均值方差都大；$g$ 小则反之。$T$ 是日历时间，$g$ 称为经济时间（economic time，按信息流调整的时间）。Madan 等给出欧式期权的半解析公式。VG 模型倾向产生 U 形波动率微笑，不一定对称；短期限非常明显，长期限逐渐消失。可拟合股票或外汇普通期权价格。

27.2 随机波动率模型（Stochastic Volatility Models）（PDF p.653–655）

BSM 假设波动率恒定，但第 23 章说明波动率随时间变化。VG 用 $g$ 反映这点（$g$ 低 = 信息到达慢 = 低波动）。另一种做法是显式指定波动率过程。

确定性时变波动率：

dS=(r-q)S\,dt+\sigma(t)S\,dz\tag{27.1}

此时只要把方差率设为期权存续期内的平均方差率，BSM 公式仍然正确（习题 27.6）。例：1 年内前 6 个月波动率 20%、后 6 个月 30%，平均方差率 $0.5\times0.2^2+0.5\times0.3^2=0.065$，用 BSM 时波动率取 $\sqrt{0.065}=25.5\%$。

随机波动率：两个随机变量——股价和波动率：

\frac{dS}{S}=(r-q)\,dt+\sqrt V\,dz_S\tag{27.2}

dV=a(V_L-V)\,dt+\xi V^\alpha\,dz_V\tag{27.3}

$a,V_L,\xi,\alpha$ 为常数，$V$ 为方差率，以速率 $a$ 回归 $V_L$。

Hull–White（1987）结果：波动率随机但与资产价格不相关时，欧式期权价格 = BSM 价格对存续期内平均方差率 $\bar V$ 的风险中性分布积分：

\int_0^\infty c(\bar V)g(\bar V)\,d\bar V

（与方差率的具体过程无关。）由此可证 BSM 对平值或近平值期权高估，对深度实值/虚值期权低估——这与货币期权的隐含波动率形态（微笑，第 20.2 节）一致。

相关时更复杂，可用蒙特卡洛；$\alpha=0.5$ 时 Hull & White（1988）给出级数展开，Heston（1993）给出解析解。波动率与资产价格负相关时的隐含波动率形态与股票观察到的偏斜（第 20.3 节）相似（原因同 CEV：价跌→波动升）。

第 23 章的 EWMA 和 GARCH(1,1) 也是刻画随机波动率的方式；Duan（1995, 1996）表明可以以 GARCH(1,1) 为基础构建内部一致的期权定价模型（GARCH 与随机波动率的等价见习题 23.14）。

随机波动率模型可拟合普通期权价格后用于奇异期权定价（Hull & Suo 2002）。对 1 年以内期权，随机波动率对价格的绝对影响较小（深度虚值期权的百分比影响可能很大），随期限增加而增大。随机波动率对 delta 对冲效果影响通常很大，因此交易员计算 vega 监控波动率暴露（第 19 章）。

27.3 隐含波动率函数模型（IVF Model）（PDF p.655–656）

上述模型只能近似拟合某天的普通期权价格。金融机构有时需要精确拟合（实际原因：若内部模型不能精确拟合，交易员可能把时间花在套利本行内部模型上）。1994 年 Derman & Kani、Dupire、Rubinstein 提出隐含波动率函数模型（implied volatility function，IVF），又称隐含树模型（implied tree）或局部波动率模型，无论波动率曲面形状如何都能精确拟合当天欧式期权价格。

风险中性过程

dS=[r(t)-q(t)]S\,dt+\sigma(S,t)S\,dz

$r(t)$ 为到期 $t$ 合约的瞬时远期利率，$q(t)$ 为时变股息率，$\sigma(S,t)$ 使所有欧式期权价格与市场一致。Dupire 及 Andersen & Brotherton-Ratcliffe 证明可解析计算（Dupire 公式）：

[\sigma(K,T)]^2=2\,\frac{\partial c_{mkt}/\partial T+q(T)c_{mkt}+K[r(T)-q(T)]\partial c_{mkt}/\partial K}{K^2\,\partial^2c_{mkt}/\partial K^2}\tag{27.4}

$c_{mkt}(K,T)$ 为市场欧式看涨价格。若市场有足够多的看涨价格，可据此估计 $\sigma(S,t)$（通常需要先平滑观察到的波动率曲面）。Dupire 考虑 $r=q=0$，Andersen & Brotherton-Ratcliffe 考虑一般情形，并结合隐式有限差分实现；Derman–Kani 与 Rubinstein 的隐含树方法则构造与市场期权价格一致的资产价格树。

实务中 IVF 每天按普通期权价格重新校准，用来让奇异期权与普通期权定价一致。普通期权决定了未来每个时刻资产价格的风险中性边缘分布，所以 IVF 能正确给出所有未来时刻的边缘分布，因此只在单一时点支付的期权（如全或无、资产或无期权）定价正确。但它未必给出两个或多个时刻的联合分布，所以复合期权、障碍期权等可能定价错误。Hull & Suo 假设真实世界由随机波动率模型生成来检验 IVF：对复合期权效果尚可，对障碍期权有时误差严重。

27.4 可转换债券（Convertible Bonds）（PDF p.656–659）

可转债：持有人可在未来某些时间把债券换成发行公司股票。转换比率（conversion ratio）为每张债可换股数（可随时间变化）。几乎总是可赎回的（发行人可在某些时间按预定价格买回）；被赎回时持有人总有权先转换，因此赎回条款通常是迫使持有人比自愿更早转换的手段。有时发行人的赎回权以股价高于某水平为条件。

信用风险很重要：忽略信用风险会高估票息和本金的价值。Ingersoll（1977）用类似 Merton（1974）的模型：对发行人总资产假设几何布朗运动，把股权、可转债、其他债务都作为资产的或有索取权，只有资产超过所欠金额时债权人才足额受偿。

实践中常用的简化模型：对股价建模，股价服从几何布朗运动，但每个 $\Delta t$ 内有 $\lambda\Delta t$ 的违约概率，违约时股价跌到 0，债券获得回收。$\lambda$ 为第 24.2 节的风险中性风险率。修改二叉树，每个节点：

概率 $p_u$ 上涨比例 $u$；
概率 $p_d$ 下跌比例 $d$；
概率 $\lambda\Delta t$（更准确地 $1-e^{-\lambda\Delta t}$）违约，股价变为 0。

匹配股价分布前两阶矩的参数：

p_u=\frac{a-de^{-\lambda\Delta t}}{u-d},\quad p_d=\frac{ue^{-\lambda\Delta t}-a}{u-d},\quad u=e^{\sqrt{(\sigma^2-\lambda)\Delta t}},\quad d=\frac1u,\quad a=e^{(r-q)\Delta t}

树的期限等于可转债期限。末端节点按持有人的转换权估值；倒推时，在允许转换的节点检查转换是否最优，并检查发行人赎回能否改善其地位（若赎回则再检查转换）。等价于节点价值

\max[\min(Q_1,Q_2),Q_3]

$Q_1$ 为倒推得到的价值（既不转换也不赎回），$Q_2$ 为赎回价，$Q_3$ 为转换价值。

例 27.1：XYZ 公司 9 个月零息债，面值 $100，可随时换 2 股；可随时以 $113 赎回。股价 $50，波动率 30%，无股息，$\lambda=1\%$/年，无风险利率 5%，违约时债券值 $40（回收率 40%）。三步树（$\Delta t=0.25$）：$u=e^{\sqrt{(0.09-0.01)\times0.25}}=1.1519$，$d=0.8681$，$a=e^{0.0125}=1.0126$，$p_u=0.5167$，$p_d=0.4808$，每步违约概率 $1-e^{-0.0025}=0.002497$；三个违约节点股价 0、债券 40。

图 27.2 节点（股价 / 可转债价）：A 50.00 / 106.93；B 57.60 / 115.19；C 43.41 / 101.20；D 66.34 / 132.69；E 50.00 / 106.36；F 37.68 / 98.61；G 76.42 / 152.85；H 57.60 / 115.19；I 43.41 / 100.00；J 32.71 / 100.00。

末端：G、H 转换（值 2 倍股价），I、J 不转换（值 100）。
节点 E：转换值 100；不转换 $(0.5167\times115.19+0.4808\times100+0.002497\times40)e^{-0.0125}=106.36$ > 100，不转换；发行人不会以 113 赎回价值 106.36 的债券。
节点 B：转换值 $2\times57.596=115.19$，不转换值 118.31，持有人不转换；但发行人会以 113 赎回，持有人此时选择转换优于被赎回，节点值 115.19。
节点 D：不转换值 132.79，但被赎回迫使转换，值降为 132.69。
可转债价值为 A 点的 106.93。

扩展：有票息时，在不转换情形下的估值中加入下一步应付利息的现值；$\lambda$ 可从债券价格或 CDS 利差估计；$\sigma,\lambda,r$ 为时间函数时改用三叉树（21.4 节）。缺点：违约概率与股价无关；有研究者建议用隐式有限差分实现、让 $\lambda$ 是股价和时间的函数（如 Andersen & Buffum 2003/04 假设 $\lambda\propto S^{-\alpha}$）。

27.5 路径依赖衍生品（Path-Dependent Derivatives）（PDF p.659–663）

路径依赖（历史依赖）衍生品的收益取决于标的路径而不仅是终值，如亚式、回望期权。无解析解时可用蒙特卡洛（第 21 章）：风险中性下抽样路径、算收益、按无风险利率贴现、取均值。问题：达到所需精度的计算时间可能过长；美式路径依赖衍生品难以处理。Hull & White（1993）把二叉树扩展到某些路径依赖衍生品：能处理美式，且对欧式比蒙特卡洛更高效。两个条件：

收益只依赖路径的单一函数 $F$；
$\tau+\Delta t$ 时的 $F$ 可由 $\tau$ 时的 $F$ 和 $\tau+\Delta t$ 时的标的价格算出（可递推）。

示例：美式浮动回望看跌（无股息；在 $\tau$ 行权得到 0 到 $\tau$ 最高价超过当前价的部分）：$S_0=50$，$\sigma=40\%$，$r=10\%$，期限 3 个月，三步树：$\Delta t=0.08333$，$u=1.1224$，$d=0.8909$，$a=1.0084$，$p=0.5073$。$F$ 为至今最高价。图 27.3 中每个节点列出股价、到达该节点的可能最高价、对应的衍生品价值。末端价值 = 最高价 − 股价。在节点 A（股价 50，可能最高价 56.12 或 50）：

最高价为 50：上涨则最高价变 56.12、价值 0；下跌则最高价仍 50、价值 5.45；不提前行权价值 $(0\times0.5073+5.45\times0.4927)e^{-0.1\times0.08333}=2.66$；行权收益 0，不行权。
最高价为 56.12：不行权价值 $(0\times0.5073+11.57\times0.4927)e^{-0.008333}=5.65$；行权得 6.12，应提前行权。倒推得美式回望看跌价值 $5.47。（更高效的美式回望方法见 Technical Note 13。）

一般化：回望例中 $n$ 步树每个节点最高价的可能值不超过 $n$ 个，计算可行。若 $F$ 可能值很多，则在每个节点只对少量代表值计算，其他值用插值。步骤：(1) 正向遍历树确定每个节点 $F$ 的最大、最小值（由条件 2 可递推）；(2) 选代表值（简单规则：最大、最小及其间等距若干值）；(3) 倒推时对每个代表值估值，需要的其他 $F$ 值用插值。

示例：算术平均价格看涨（例 26.3：$S_0=K=50$，$r=10\%$，$\sigma=40\%$，$T=1$）。20 步：$\Delta t=0.05$，$u=1.0936$，$d=0.9144$，$p=0.5056$。图 27.4：节点 X（0.2 年中心节点，股价 50）的平均值范围 46.65–53.83（平均含初始与最终价）；可到达 Y（股价 54.68，平均范围 47.99–57.39）与 Z（股价 45.72，平均 43.88–52.48）。每节点取 4 个等距代表值：X 为 46.65、49.04、51.44、53.83；Y 为 47.99、51.12、54.26、57.39；Z 为 43.88、46.75、49.61、52.48。以 X 处平均 51.44 为例：上行到 Y 新平均 $(5\times51.44+54.68)/6=51.98$，在 Y 的 51.12（值 8.101）与 54.26（值 8.635）间线性插值：$\dfrac{(51.98-51.12)\times8.635+(54.26-51.98)\times8.101}{54.26-51.12}=8.247$；下行到 Z 新平均 $(5\times51.44+45.72)/6=50.49$，插值得 4.182。X 处价值 $(0.5056\times8.247+0.4944\times4.182)e^{-0.1\times0.05}=6.206$。

全树（20 步、每节点 4 个平均）给出 7.17；60 步、每节点 100 个平均时收敛到 5.58；例 26.3 连续平均解析近似为 5.62。美式版本：对每个节点的每个代表值检验提前行权（行权决策依赖路径函数值和标的价格），20 步 4 平均为 7.77，60 步 100 平均为 6.17。用二次插值代替线性插值可提高效率。

27.6 障碍期权的数值方法（PDF p.663–666）

原则上可用二叉/三叉树：如向上敲出期权，按普通期权估值，但遇到障碍以上的节点时价值设为 0。三叉树优于二叉树，但简单方法收敛很慢，需大量步数。原因（Boyle & Lau 1994）：树假设的障碍与真实障碍不同。定义内障碍（紧靠真实障碍内侧的节点）和外障碍（紧靠外侧的节点）（图 27.5）。通常的树计算隐含地把外障碍当真实障碍（障碍条件首先作用在外障碍节点上）。时间步长 $\Delta t$ 时节点纵向间距为 $O(\sqrt{\Delta t})$，误差也是 $O(\sqrt{\Delta t})$。

方法一：分别假设内障碍、外障碍为真实障碍计算价格，然后插值。

方法二：让节点恰好落在障碍上。三叉树中价格每步上升比例 $u$、不变、下降比例 $d=1/u$。选择 $u$ 使 $H=S_0u^N$（$N$ 为正或负整数），即 $\ln H=\ln S_0+N\ln u$。21.4 节建议 $u=e^{\sigma\sqrt{3\Delta t}}$，这里使 $\ln u$ 尽量接近 $\sigma\sqrt{3\Delta t}$ 且满足上述条件：

\ln u=\frac{\ln H-\ln S_0}{N},\qquad N=\text{int}\Big[\frac{\ln H-\ln S_0}{\sigma\sqrt{3\Delta t}}+0.5\Big]

（图 27.6。）匹配收益前两阶矩的概率：

p_d=-\frac{(r-q-\sigma^2/2)\Delta t}{2\ln u}+\frac{\sigma^2\Delta t}{2(\ln u)^2},\quad p_m=1-\frac{\sigma^2\Delta t}{(\ln u)^2},\quad p_u=\frac{(r-q-\sigma^2/2)\Delta t}{2\ln u}+\frac{\sigma^2\Delta t}{2(\ln u)^2}

自适应网格模型（Adaptive Mesh Model）（Figlewski & Gao 1999，21.4 节已介绍）：上述方法在初始价不靠近障碍时效果较好；初始价接近障碍时，在粗树上需要的区域"嫁接"细树以提高效率。对障碍期权，在障碍附近用细树（图 27.7），几何安排使节点落在障碍上，分支概率照常匹配前两阶矩。先在粗树上照常倒推，再用虚线分支计算附加节点的价值，最后在细树上倒推。

27.7 两个相关资产的期权（Options on Two Correlated Assets）（PDF p.666–669）

对依赖两个相关资产的美式期权，三种建树方法：

方法一：变量变换（Hull & White 1990）。两个不相关变量容易建三维树：各建二维树（如 CRR），合并后每个节点 4 个分支，概率为对应概率之积：$p_1p_2$（都上）、$p_1(1-p_2)$（$S_1$ 上 $S_2$ 下）、$(1-p_1)p_2$、$(1-p_1)(1-p_2)$。相关时，风险中性过程 $dS_i=(r-q_i)S_i\,dt+\sigma_iS_i\,dz_i$，相关 $\rho$，$d\ln S_i=(r-q_i-\sigma_i^2/2)dt+\sigma_idz_i$。定义两个不相关变量

x_1=\sigma_2\ln S_1+\sigma_1\ln S_2,\qquad x_2=\sigma_2\ln S_1-\sigma_1\ln S_2

dx_1=[\sigma_2(r-q_1-\sigma_1^2/2)+\sigma_1(r-q_2-\sigma_2^2/2)]dt+\sigma_1\sigma_2\sqrt{2(1+\rho)}\,dz_A

dx_2=[\sigma_2(r-q_1-\sigma_1^2/2)-\sigma_1(r-q_2-\sigma_2^2/2)]dt+\sigma_1\sigma_2\sqrt{2(1-\rho)}\,dz_B

$dz_A,dz_B$ 不相关。对 $x_1,x_2$ 各建二叉树（$\Delta t$ 内以概率 $p_i$ 升 $h_i$、$1-p_i$ 降 $h_i$，匹配前两阶矩），合并为三维树；每个节点由逆变换求资产价：$S_1=\exp\big(\frac{x_1+x_2}{2\sigma_2}\big)$，$S_2=\exp\big(\frac{x_1-x_2}{2\sigma_1}\big)$。倒推方式与二维树类似。

方法二：非矩形树（Rubinstein 1994 "Return to Oz"）。从节点 $(S_1,S_2)$ 以各 0.25 的概率移到 $(S_1u_1,S_2A)$、$(S_1u_1,S_2B)$、$(S_1d_1,S_2C)$、$(S_1d_1,S_2D)$：

u_1=\exp[(r-q_1-\sigma_1^2/2)\Delta t+\sigma_1\sqrt{\Delta t}],\quad d_1=\exp[(r-q_1-\sigma_1^2/2)\Delta t-\sigma_1\sqrt{\Delta t}]

A=\exp[(r-q_2-\tfrac{\sigma_2^2}2)\Delta t+\sigma_2\sqrt{\Delta t}(\rho+\sqrt{1-\rho^2})],\quad B=\exp[(\cdot)\Delta t+\sigma_2\sqrt{\Delta t}(\rho-\sqrt{1-\rho^2})]

C=\exp[(\cdot)\Delta t-\sigma_2\sqrt{\Delta t}(\rho-\sqrt{1-\rho^2})],\quad D=\exp[(\cdot)\Delta t-\sigma_2\sqrt{\Delta t}(\rho+\sqrt{1-\rho^2})]

（$(\cdot)=r-q_2-\sigma_2^2/2$；原文第四点误印为 $S_2d_1$。）相关为 0 时等价于对 $S_1,S_2$ 分别用 21.4 节的另一种二叉树构造（等概率树）。

方法三：调整概率（Hull & White 1994 两因子利率树中提出）。先假设不相关，对 $S_1,S_2$ 都用 21.4 节等概率（0.5）二叉树，合并后四个分支概率均为 0.25（Table 27.2）；再按相关 $\rho$ 调整（Table 27.3）：两者同向（都上或都下）概率 $0.25(1+\rho)$，反向（一上一下）概率 $0.25(1-\rho)$。

27.8 蒙特卡洛模拟与美式期权（PDF p.669–673）

蒙特卡洛适合路径依赖和多随机变量期权；树和有限差分适合美式期权。两者兼具时怎么办？27.5 节是一种树方法；许多研究者（最早 Tilley 1993）寻求用蒙特卡洛给美式期权估值。两种方法：

最小二乘法（Least-Squares Approach，Longstaff & Schwartz 2001，LSM）：每个提前行权点要在行权与继续持有之间选择。行权价值易得；继续持有价值通过最小二乘回归——在每个决策时点拟合"继续持有价值"与相关变量值的最佳关系。

例（取自 Longstaff–Schwartz 论文）：3 年美式看跌，无股息，只能在第 1、2、3 年末行权，$r=6\%$（连续复利），$S_0=1.00$，$K=1.10$。8 条样本路径（Table 27.4，时刻 1/2/3 的股价）：

路径 1：1.09、1.08、1.34；路径 2：1.16、1.26、1.54；路径 3：1.22、1.07、1.03；路径 4：0.93、0.97、0.92；
路径 5：1.11、1.56、1.52；路径 6：0.76、0.77、0.90；路径 7：0.92、0.84、1.01；路径 8：0.88、1.22、1.34。（实务中要抽样多得多的路径。）

只在第 3 年行权时的现金流（Table 27.5）：路径 3、4、6、7 分别为 0.07、0.18、0.20、0.09，其余为 0。
第 2 年：实值路径为 1、3、4、6、7，$S$ 为 1.08、1.07、0.97、0.77、0.84；继续持有价值（贴现到第 2 年）为 0、$0.07e^{-0.06}$、$0.18e^{-0.06}$、$0.20e^{-0.06}$、$0.09e^{-0.06}$。回归 $V=a+bS+cS^2$（最小化 $\sum(V_i-a-bS_i-cS_i^2)^2$）得 $V=-1.070+2.983S-1.813S^2$。拟合的继续价值为 0.0369、0.0461、0.1176、0.1520、0.1565；行权价值为 0.02、0.03、0.13、0.33、0.26。故路径 4、6、7 在第 2 年行权（Table 27.6：路径 3 第 3 年得 0.07；路径 4、6、7 第 2 年得 0.13、0.33、0.26）。
第 1 年：实值路径为 1、4、6、7、8，$S$ 为 1.09、0.93、0.76、0.92、0.88；继续价值（贴现到第 1 年）为 0、$0.13e^{-0.06}$、$0.33e^{-0.06}$、$0.26e^{-0.06}$、0。回归得 $V=2.038-3.335S+1.356S^2$，继续价值 0.0139、0.1092、0.2866、0.1175、0.1533；行权价值 0.01、0.17、0.34、0.18、0.22。故路径 4、6、7、8 在第 1 年行权（Table 27.7：路径 3 第 3 年 0.07；路径 4、6、7、8 第 1 年 0.17、0.34、0.18、0.22）。
期权价值 $=\frac18(0.07e^{-0.18}+0.17e^{-0.06}+0.34e^{-0.06}+0.18e^{-0.06}+0.22e^{-0.06})=0.1144$，大于立即行权价值 0.10，因此不立即行权。

注意：回归只用实值路径；用回归值决定是否行权，但计入的现金流是路径上实际实现的现金流（而不是拟合值），这是 LSM 的关键细节。扩展：可行权时点很多时取大量行权点近似；可用更复杂的函数形式（如三次）；可处理多状态变量（假设函数形式，用最小二乘估计参数）。

行权边界参数化方法（Exercise Boundary Parameterization，Andersen 2000）：把提前行权边界参数化，从期末向前迭代确定最优参数。看跌期权例中，$t$ 时边界由临界价 $S^*(t)$ 表示：$S<S^*(t)$ 行权，否则不行权。$S^*(3)=1.10$。

确定 $S^*(2)$：若 $S^*(2)<0.77$，第 2 年都不行权，8 条路径第 2 年价值为 0、0、$0.07e^{-0.06}$、$0.18e^{-0.06}$、0、$0.20e^{-0.06}$、$0.09e^{-0.06}$、0，均值 0.0636。$S^*(2)=0.77$ 时（路径 6 行权得 0.33）均值 0.0813；$S^*(2)$ 取 0.84、0.97、1.07、1.08 时均值为 0.1032、0.0982、0.0938、0.0963。最优 $S^*(2)=0.84$（准确地说 $0.84\le S^*(2)<0.97$），此时各路径第 2 年价值 0、0、0.0659、0.1695、0、0.33、0.26、0，均值 0.1032。
确定 $S^*(1)$：若 $S^*(1)<0.76$ 都不行权，第 1 年价值 $0.1032e^{-0.06}=0.0972$；$S^*(1)=0.76$ 时均值 0.1008；取 0.88、0.92、0.93、1.09 时均值为 0.1283、0.1202、0.1215、0.1228。最优 $S^*(1)=0.88$（$0.88\le S^*(1)<0.92$）。
0 时不行权价值 $0.1283e^{-0.06}=0.1208$，大于立即行权的 0.10。

实务中用数万次模拟确定边界，然后丢弃这些路径，用新的独立模拟按该边界估值（避免样本内最优化带来的偏差）。本例边界可完全由当时股价刻画；更复杂的情形需对边界的参数化形式作假设。

上界（Upper Bounds）：两种方法都假设了次优行权边界，因而倾向低估美式期权价格（给出下界）。Andersen & Broadie（2004）提出原始–对偶（primal-dual）方法给出上界，可与任何产生下界的算法结合，更精确地锁定真实价值。

本章小结与习题（PDF p.673–677）

原书小结：为拟合实际观察到的波动率微笑发展了多种模型。CEV 模型产生类似股票期权的微笑；跳跃扩散产生类似货币期权的微笑；方差–伽马与随机波动率模型更灵活，两种形态都能产生；IVF 模型更灵活，能精确拟合任何欧式期权价格形态。路径依赖期权的自然方法是蒙特卡洛，但较慢且难处理美式；许多路径依赖衍生品可用树：在每个节点为路径函数选代表值，倒推时对每个值估值。二叉树可扩展到可转债：加入违约分支，倒推时反映持有人转换权与发行人赎回权。障碍期权用树收敛慢，改进方法：让节点落在障碍上；用插值修正树隐含障碍与真实障碍的差异；在障碍附近用更细的树。两个相关资产的期权：变换为不相关变量；安排节点位置反映相关；先假设不相关再调整概率。蒙特卡洛处理美式期权：最小二乘回归继续价值；参数化行权边界并从后往前迭代确定。

延伸阅读：Andersen (2000)；Andersen & Brotherton-Ratcliffe (1997/98)；Bodurtha & Jermakyan (1999)；Boyle & Lau (1994)；Cox & Ross (1976)；Derman & Kani (1994)；Duan (1995, 1996)；Dupire (1994)；Figlewski & Gao (1999)；Heston (1993)；Hull & White (1987, 1993)；Hull & Suo (2002)；Longstaff & Schwartz (2001)；Madan, Carr & Chang (1998)；Merton (1976)；Rebonato (2004)；Ritchken & Trevor (1999)；Rubinstein (1994)；Stutzer (1996)；Tilley (1993)。

习题题型概括：

模型性质：27.1 验证 CEV 满足买卖权平价；27.3 验证对数正态跳幅时 Merton 模型满足平价；27.5 跳跃使价格归零时等价于无风险利率变为 $r+\lambda$；27.6 时变 $r,\sigma$ 下 $\ln S_T\sim\phi[\ln S_0+(\bar r-\bar V/2)T,\bar VT]$；27.4 分段波动率的等效波动率；27.11 VG 模型 $v\to0$ 的极限；27.8–27.9 IVF 不一定正确刻画波动率曲面演化，但单时点收益衍生品定价正确。
计算：27.2 Merton 跳跃扩散定价；27.16 随机波动率（离散平均方差分布）下按 Hull–White 加权 BSM 定价；27.22 校准 CEV、跳跃扩散、VG 使平值价格与 BSM 相同，再比较各模型的波动率微笑；27.20 用波动率微笑给牛市价差定价，说明奇异期权"正确波动率"可能违反直觉。
数值方法：27.7 写出随机波动率模型的模拟方程；27.10、27.19 树方法给回望期权定价；27.12 几何平均美式看跌；27.13 "行权前 3 个月平均"能否用 27.5 节方法；27.14 验证图 27.4 中的数值；27.15、27.21 LSM 与边界参数化比较（含 $K=1.13$ 的重做）；27.17 双障碍下使节点落在两个障碍上；27.18、27.23 可转债树（含票息、赎回、转换比率变化、股息）。

本章要点

替代模型：CEV（$\alpha<1$ 产生股票型偏斜，非中心卡方解）、Merton 跳跃扩散（Poisson 加权 BSM，左右尾都厚）、方差–伽马（纯跳跃，经济时间 $g$，参数 $v,\sigma,\theta$）。都通过最小化与普通期权价格的平方误差校准。
确定性时变波动率只需用平均方差；随机波动率与价格不相关时，期权价 = BSM 对平均方差分布的积分，BSM 高估平值、低估深度虚/实值；负相关产生股票型偏斜；Heston 有解析解。
IVF/局部波动率（Dupire 公式）精确拟合欧式期权，边缘分布正确，但多时点联合分布未必正确，障碍期权可能误差大。
可转债：在股价树中加入违约分支（风险中性风险率 $\lambda$），节点值 $\max[\min(Q_1,Q_2),Q_3]$。
路径依赖衍生品可在树上对路径函数的代表值倒推并插值，能处理美式。
障碍期权数值方法：节点落在障碍上、内外障碍插值、自适应网格。
两相关资产：变量变换、非矩形树、调整概率。
美式期权蒙特卡洛：LSM 回归继续价值、行权边界参数化；两者给下界，可用对偶方法求上界。

与量化交易的关联

定价与模型风险：本章是"波动率微笑建模"的入门；Heston、局部波动率（Dupire）、跳跃扩散、VG 是期权做市与奇异期权定价系统的标准模型。理解"边缘分布 vs 联合分布"有助于判断哪些产品对模型选择敏感（远期开始、障碍、棘轮对微笑动态敏感）。
因子研究/风险：跳跃与随机波动率解释了收益厚尾和波动率聚集，对尾部风险建模、期权隐含偏度/峰度因子研究有直接意义；隐含分布与真实分布的差异是波动率风险溢价、偏度溢价研究的基础。
回测与执行：可转债树模型是可转债量化策略（如国内可转债的估值偏离、双低策略的理论依据）定价引擎的雏形，其中赎回、转股、违约分支的处理直接对应 A 股转债的强赎、下修等条款建模。
系统实现：LSM 是带提前行权/路径依赖产品的通用定价方法（百慕大期权、可赎回结构、雪球类自动敲出产品），实现时注意只对实值路径回归、用实现现金流、样本外重估；路径函数代表值 + 插值是树方法处理路径依赖的通用技巧；节点对齐障碍、自适应网格是提升收敛的工程技巧。
误区：用局部波动率模型给依赖未来微笑形态的产品定价可能系统性出错；LSM 结果偏低（下界），需用足够路径和合适基函数。

第 28 章鞅与测度（Martingales and Measures）（PDF p.678–695）

导言（PDF p.678–679）：此前估值期权时都假设利率不变；本章放松该假设，为第 29–33 章利率衍生品估值做准备。风险中性估值原则：(a) 假设标的资产期望收益等于无风险利率计算期望收益，(b) 以无风险利率贴现。利率不变时这清晰明确；利率随机时含义模糊：期望收益等于"每天的 1 天利率""每年的 1 年利率"还是"5 年期初的 5 年利率"？5 年后的期望收益能否用今天的 5 年利率贴现？本章给出随机利率下风险中性估值的理论基础，并说明在给定情形下可以假设许多不同的风险中性世界。先定义风险的市场价格，证明任何衍生品短期内超额收益与各标的随机变量的风险市场价格线性相关；"传统风险中性世界"假设所有风险市场价格为 0，但其他假设在某些情形下也有用。鞅（martingale）是零漂移随机过程；测度（measure）是为证券价格计价的单位。核心结果等价鞅测度（equivalent martingale measure）：以某可交易证券价格为计价单位时，存在一个风险市场价格使所有证券价格都服从鞅。本章用它把 Black 模型推广到随机利率、给交换期权估值；第 29 章用它理解利率衍生品标准市场模型，第 30 章估值非标准衍生品，第 32 章建立 LIBOR 市场模型。

28.1 风险的市场价格（The Market Price of Risk）（PDF p.679–682）

考虑只依赖单一变量 $\theta$ 的衍生品，$\theta$ 服从

\frac{d\theta}{\theta}=m\,dt+s\,dz\tag{28.1}

$m,s$ 为期望增长率和波动率，只依赖 $\theta$ 与 $t$。$\theta$ 不必是投资资产价格，甚至可以是新奥尔良市中心的气温。

设 $f_1,f_2$ 为只依赖 $\theta,t$、期间无收益的两个衍生品价格：$df_i/f_i=\mu_i\,dt+\sigma_i\,dz$（同一个 $dz$，因为它是唯一不确定性来源）。离散形式 $\Delta f_i=\mu_if_i\Delta t+\sigma_if_i\Delta z$（28.2–28.3）。构造组合：$\sigma_2f_2$ 份第一个衍生品、$-\sigma_1f_1$ 份第二个：

\Pi=(\sigma_2f_2)f_1-(\sigma_1f_1)f_2,\qquad \Delta\Pi=(\mu_1\sigma_2f_1f_2-\mu_2\sigma_1f_1f_2)\Delta t\tag{28.4–28.5}

无风险，故 $\Delta\Pi=r\Pi\Delta t$，得 $\mu_1\sigma_2-\mu_2\sigma_1=r\sigma_2-r\sigma_1$，即

\frac{\mu_1-r}{\sigma_1}=\frac{\mu_2-r}{\sigma_2}\tag{28.6}

左边只依赖 $f_1$ 的过程参数，右边只依赖 $f_2$。记为 $\lambda$。一般地，若 $df/f=\mu\,dt+\sigma\,dz$（28.7），则

\frac{\mu-r}{\sigma}=\lambda\tag{28.8}

$\lambda$ 称为 $\theta$ 的风险市场价格（market price of risk；在业绩评估中即夏普比率）。$\lambda$ 可依赖 $\theta$ 和 $t$，但不依赖衍生品 $f$ 的性质：无套利要求同一时刻所有仅依赖 $\theta,t$ 的衍生品 $(\mu-r)/\sigma$ 相同。

改写为

\mu-r=\lambda\sigma\tag{28.9}

$\sigma$ 可粗略理解为 $f$ 中所含 $\theta$ 风险的"数量"，$\lambda$ 为风险的"价格"，左边是补偿该风险所需的超额期望收益——类似 CAPM。（风险市场价格的计量留到第 35 章实物期权。）

注意：$\sigma$ 可以为负——当 $f$ 与 $\theta$ 负相关（$\partial f/\partial\theta<0$）时；$|\sigma|$ 才是 $f$ 的波动率（把 $dz$ 换成 $-dz$ 统计性质不变）。

第 5 章区分了投资资产与消费资产。(28.8) 对所有不提供收益、只依赖 $\theta$ 的投资资产成立。若 $\theta$ 本身是这样的资产，则 $\frac{m-r}{s}=\lambda$；其他情况未必成立。

例 28.1：某衍生品价格与油价正相关、无其他随机变量，期望收益 12%，波动率 20%，$r=8\%$，油的风险市场价格 $=(0.12-0.08)/0.2=0.2$。油是消费资产，不能用投资于油的期望收益和油价波动率代入 (28.8) 计算其风险市场价格。

例 28.2：两种证券都与 90 天利率正相关，第一种期望收益 3%、波动率 20%，第二种波动率 30%，瞬时无风险利率 6%。利率风险市场价格 $=(0.03-0.06)/0.2=-0.15$。第二种期望收益 $0.06-0.15\times0.3=0.015$，即 1.5%。（利率风险的市场价格为负。）

不同的世界（Alternative Worlds）：$df=\mu f\,dt+\sigma f\,dz$，$\mu$ 取决于投资者风险偏好。风险市场价格为 0 时 $\mu=r$，$df=rf\,dt+\sigma f\,dz$，称传统风险中性世界。取其他 $\lambda$ 定义其他内部一致的世界：$\mu=r+\lambda\sigma$，

df=(r+\lambda\sigma)f\,dt+\sigma f\,dz\tag{28.10}

变量的风险市场价格决定所有依赖它的证券的增长率；从一个风险市场价格换到另一个时，期望增长率改变，波动率不变——这就是 Girsanov 定理（13.7 节在二叉树中演示过）。选择某个风险市场价格也称定义概率测度。某个 $\lambda$ 值对应"现实世界"及实际观察到的证券价格增长率。

28.2 多个状态变量（Several State Variables）（PDF p.682–683）

$n$ 个变量 $d\theta_i/\theta_i=m_i\,dt+s_i\,dz_i$（28.11）。由多变量伊藤引理（14A.10），依赖 $\theta_i$ 的证券价格过程有 $n$ 个随机成分：

\frac{df}{f}=\mu\,dt+\sum_{i=1}^n\sigma_i\,dz_i\tag{28.12}

$\sigma_i\,dz_i$ 为收益风险中归因于 $\theta_i$ 的部分。Technical Note 30 证明

\mu-r=\sum_{i=1}^n\lambda_i\sigma_i\tag{28.13}

$\lambda_i$ 为 $\theta_i$ 的风险市场价格。$\lambda_i\sigma_i>0$：投资者为 $\theta_i$ 风险要求更高回报；$<0$：对 $\theta_i$ 的依赖使投资者要求更低回报——当该变量降低（而非增加）典型投资者组合风险时出现。

例 28.3：股价依赖油价、金价、股指，风险市场价格分别为 0.2、−0.1、0.4，对应 $\sigma_i$ 为 0.05、0.1、0.15。超额收益 $0.2\times0.05-0.1\times0.1+0.4\times0.15=0.06$，即 6%/年。若还有其他变量影响股价，只要它们的风险市场价格为 0，结果不变。

(28.13) 与 Ross（1976）套利定价理论（APT）密切相关；连续时间 CAPM 是其特例：CAPM 认为投资者只为与股市收益相关的风险（系统性风险）要求超额回报，其他（非系统性）风险不要求。若 CAPM 成立，$\lambda_i$ 与 $\theta_i$ 变化和市场收益的相关系数成正比；与市场不相关时 $\lambda_i=0$。

28.3 鞅（Martingales）（PDF p.683–684）

鞅是零漂移随机过程：$d\theta=\sigma\,dz$（$\sigma$ 本身可随机，可依赖 $\theta$ 等）。性质：任何未来时刻的期望等于当前值，$E(\theta_T)=\theta_0$——每个极小区间的变化均值为 0，总变化是许多小变化之和，期望也为 0。（形式定义：$E(X_i\mid X_{i-1},\dots,X_0)=X_{i-1}$。）

等价鞅测度结果：$f,g$ 为依赖同一不确定性来源、期间无收益的可交易证券价格（有收益见习题 28.8），定义 $\phi=f/g$——以 $g$ 而非美元计价的 $f$ 的相对价格，$g$ 称为计价单位（numeraire）。无套利时，存在某个风险市场价格使 $\phi$ 为鞅；而且对给定的 $g$，同一个风险市场价格使所有证券 $f$ 的 $f/g$ 都是鞅：该风险市场价格就是 $g$ 的波动率 $\sigma_g$。（风险市场价格与波动率量纲相同，都是"每单位时间的平方根"。）

证明：在 $\lambda=\sigma_g$ 的世界中，由 (28.10)：

df=(r+\sigma_g\sigma_f)f\,dt+\sigma_ff\,dz,\qquad dg=(r+\sigma_g^2)g\,dt+\sigma_gg\,dz

伊藤引理：$d\ln f=(r+\sigma_g\sigma_f-\sigma_f^2/2)dt+\sigma_fdz$，$d\ln g=(r+\sigma_g^2/2)dt+\sigma_gdz$，相减

d\ln\frac fg=-\frac{(\sigma_f-\sigma_g)^2}{2}dt+(\sigma_f-\sigma_g)dz

再由伊藤引理

d\Big(\frac fg\Big)=(\sigma_f-\sigma_g)\frac fg\,dz\tag{28.14}

零漂移，得证。称 $\lambda=\sigma_g$ 的世界为关于 $g$ 的远期风险中性世界（forward risk neutral with respect to $g$）。于是

\frac{f_0}{g_0}=E_g\Big[\frac{f_T}{g_T}\Big],\qquad f_0=g_0E_g\Big[\frac{f_T}{g_T}\Big]\tag{28.15}

28.4 计价单位的不同选择（PDF p.684–688）

货币市场账户作计价单位：美元货币市场账户 0 时值 $1，任意时刻以瞬时无风险利率 $r$（可随机）增长（极限意义：每个 $\Delta t$ 按当时的 $\Delta t$ 期利率滚动再投资）。$dg=rg\,dt$（28.16），漂移随机但波动率为 0，所以 $f/g$ 在风险市场价格为 0 的世界——传统风险中性世界——中是鞅：

f_0=g_0\hat E\Big[\frac{f_T}{g_T}\Big]\tag{28.17}

$g_0=1$，$g_T=e^{\int_0^Tr\,dt}$，故

f_0=\hat E\big[e^{-\int_0^Tr\,dt}f_T\big]\tag{28.18}

f_0=\hat E\big[e^{-\bar rT}f_T\big]\tag{28.19}

$\bar r$ 为 0 到 $T$ 的平均短期利率。含义：给利率衍生品估值的一种方法是在传统风险中性世界模拟短期利率路径，每条路径按该路径平均短期利率贴现收益。$r$ 为常数时退化为 $f_0=e^{-rT}\hat E(f_T)$。

零息债券价格作计价单位：$P(t,T)$ 为 $t$ 时到期 $T$ 付 $1 的无风险零息债价格，$E_T$ 表示关于 $P(t,T)$ 的远期风险中性世界的期望（称 $T$-远期测度）。$g_T=P(T,T)=1$，$g_0=P(0,T)$，

f_0=P(0,T)E_T(f_T)\tag{28.20}

与 (28.19) 比较：(28.19) 中贴现在期望算子内部，(28.20) 中贴现 $P(0,T)$ 在外部——对只在 $T$ 支付的证券大大简化。

非利率变量 $\theta$ 的远期合约（$T$ 时支付 $\theta_T-K$）价值 $f_0=P(0,T)[E_T(\theta_T)-K]$；远期价格是使 $f_0=0$ 的 $K$：

F=E_T(\theta_T)\tag{28.21}

即任何变量（利率除外）的远期价格是其在 $T$-远期测度下的期望未来即期价格。对比：18.7 节表明期货价格是传统风险中性世界中的期望未来即期价格。因此：只在 $T$ 支付的证券可这样估值——在 $T$-远期测度下算期望收益（期望时可令标的变量的期望等于其远期值），再按 $T$ 期无风险利率贴现。

$T$-远期测度下的利率：$R(t,T,T^*)$ 为 $t$ 时看到的 $T$ 到 $T^*$ 远期利率，复利期为 $T^*-T$（如 $T^*-T=0.5$ 为半年复利）。$T$ 到 $T^*$ 零息债的远期价格为 $P(t,T^*)/P(t,T)$。远期利率的定义与其他变量的远期值不同：它是零息债价格隐含的利率，

\frac1{1+(T^*-T)R(t,T,T^*)}=\frac{P(t,T^*)}{P(t,T)}\ \Rightarrow\ R(t,T,T^*)=\frac1{T^*-T}\cdot\frac{P(t,T)-P(t,T^*)}{P(t,T^*)}

令 $f=\frac{1}{T^*-T}[P(t,T)-P(t,T^*)]$（可交易组合），$g=P(t,T^*)$，由等价鞅测度结果，$R(t,T,T^*)$ 在关于 $P(t,T^*)$ 的远期风险中性世界中是鞅：

R(0,T,T^*)=E_{T^*}[R(T,T,T^*)]\tag{28.22}

即 $T$ 到 $T^*$ 的远期利率等于以 $T^*$ 到期零息债为计价单位的世界中期望的未来实现利率。与 (28.20) 结合，是下一章利率上限标准市场模型的关键。

年金因子作计价单位：考虑 $T$ 开始、付款日 $T_1,\dots,T_N$ 的 LIBOR 换固定互换（$T_0=T$，本金 $1）。$t$ 时远期互换利率 $s(t)$（使互换价值为 0 的固定利率），固定端价值 $s(t)A(t)$，

A(t)=\sum_{i=0}^{N-1}(T_{i+1}-T_i)P(t,T_{i+1})

（年金因子 annuity factor）。假设 LIBOR 贴现：在最后付款日加上本金后，浮动端在起始日价值等于本金（相当于以 LIBOR 贴现的 LIBOR 浮动利率票据，见 7.7 节）。所以 $T_N$ 加 $1 后浮动端在 $T_0$ 值 $1，$t$ 时浮动端价值 $P(t,T_0)-P(t,T_N)$。令固定端 = 浮动端：

s(t)=\frac{P(t,T_0)-P(t,T_N)}{A(t)}\tag{28.23}

取 $f=P(t,T_0)-P(t,T_N)$、$g=A(t)$，得

s(t)=E_A[s(T)]\tag{28.24}

即在关于 $A(t)$ 的远期风险中性世界（互换测度/年金测度）中，期望未来互换利率等于当前远期互换利率。对任意证券

f_0=A(0)E_A\Big[\frac{f_T}{A(T)}\Big]\tag{28.25}

与 (28.24) 结合，是下一章欧式互换期权标准市场模型的关键（可推广到 OIS 贴现）。

28.5 推广到多因子（Extension to Several Factors）（PDF p.688–689）

$n$ 个独立因子（不独立时可正交化），传统风险中性世界中

df=rf\,dt+\sum_{i=1}^n\sigma_{f,i}f\,dz_i,\qquad dg=rg\,dt+\sum_{i=1}^n\sigma_{g,i}g\,dz_i

由 28.2 节，以风险市场价格 $\lambda_i$ 可定义其他内部一致的世界：

df=\Big(r+\sum\lambda_i\sigma_{f,i}\Big)f\,dt+\sum\sigma_{f,i}f\,dz_i,\qquad dg=\Big(r+\sum\lambda_i\sigma_{g,i}\Big)g\,dt+\sum\sigma_{g,i}g\,dz_i

其中之一是现实世界。把"关于 $g$ 的远期风险中性"推广为对所有 $i$ 取 $\lambda_i=\sigma_{g,i}$；由伊藤引理（$dz_i$ 不相关）可证此时 $f/g$ 零漂移（习题 28.12），因此 (28.15) 及之后结果仍成立。

28.6 再论 Black 模型（Black's Model Revisited）（PDF p.689）

18.8 节在常数利率下用远期/期货价格给欧式期权定价（Black 模型）。现在证明随机利率下以远期价格表示的 Black 模型仍成立。行权价 $K$、到期 $T$ 的欧式看涨，由 (28.20)：

c=P(0,T)E_T[\max(S_T-K,0)]\tag{28.26}

$F_0,F_T$ 为 0 时和 $T$ 时到期 $T$ 远期价格，$S_T=F_T$，故 $c=P(0,T)E_T[\max(F_T-K,0)]$。假设在该世界中 $F_T$ 对数正态，$\ln F_T$ 标准差 $\sigma_F\sqrt T$（例如远期价格过程波动率为 $\sigma_F$）。由 (15A.1)：

E_T[\max(F_T-K,0)]=E_T(F_T)N(d_1)-KN(d_2)\tag{28.27}

由 (28.21)，$E_T(F_T)=E_T(S_T)=F_0$，所以

c=P(0,T)[F_0N(d_1)-KN(d_2)]\tag{28.28}

p=P(0,T)[KN(-d_2)-F_0N(-d_1)]\tag{28.29}

d_1=\frac{\ln(F_0/K)+\sigma_F^2T/2}{\sigma_F\sqrt T},\quad d_2=\frac{\ln(F_0/K)-\sigma_F^2T/2}{\sigma_F\sqrt T}

适用于投资资产和消费资产；只要 $F_0$ 是远期价格，在随机利率下也成立。$\sigma_F$ 解释为远期价格的波动率。

28.7 资产交换期权（Option to Exchange One Asset for Another）（PDF p.690–691）

用价值 $U$ 的投资资产换价值 $V$ 的投资资产（26.14 节），波动率 $\sigma_U,\sigma_V$，相关 $\rho$。先设无收益，取 $g=U$ 为计价单位，$f=V$ 代入 (28.15)：

V_0=U_0E_U\Big[\frac{V_T}{U_T}\Big]\tag{28.30}

取 $f$ 为期权价值，$f_T=\max(V_T-U_T,0)$：

f_0=U_0E_U\Big[\max\Big(\frac{V_T}{U_T}-1,0\Big)\Big]\tag{28.31}

$V/U$ 的波动率为 $\hat\sigma$，$\hat\sigma^2=\sigma_U^2+\sigma_V^2-2\rho\sigma_U\sigma_V$（习题 28.13）。由 (15A.1)，$f_0=U_0\big[E_U(V_T/U_T)N(d_1)-N(d_2)\big]$，$d_1=\frac{\ln(V_0/U_0)+\hat\sigma^2T/2}{\hat\sigma\sqrt T}$，$d_2=d_1-\hat\sigma\sqrt T$。代入 (28.30)：

f_0=V_0N(d_1)-U_0N(d_2)\tag{28.32}

有收益 $q_f,q_g$ 时（习题 28.8）$f_0=g_0e^{(q_f-q_g)T}E_g[f_T/g_T]$，于是 $E_U[V_T/U_T]=e^{(q_U-q_V)T}V_0/U_0$，$f_0=e^{-q_UT}U_0E_U[\max(V_T/U_T-1,0)]$，结果

f_0=e^{-q_VT}V_0N(d_1)-e^{-q_UT}U_0N(d_2),\quad d_1=\frac{\ln(V_0/U_0)+(q_U-q_V+\hat\sigma^2/2)T}{\hat\sigma\sqrt T}

即式 (26.5) 的证明。

28.8 计价单位变换（Change of Numeraire）（PDF p.691–692）

可交易证券 $f$ 在 $dz_i$ 风险市场价格为 $\lambda_i$ 的世界中：$df=(r+\sum\lambda_i\sigma_{f,i})f\,dt+\sum\sigma_{f,i}f\,dz_i$；换成 $\lambda_i^*$ 时漂移变为 $r+\sum\lambda_i^*\sigma_{f,i}$。从第一个世界到第二个世界，期望增长率增加 $\sum_i(\lambda_i^*-\lambda_i)\sigma_{f,i}$。

对非可交易证券价格的变量 $v$，Technical Note 20 证明其期望增长率对风险市场价格变化的反应与可交易证券相同：增加

\alpha_v=\sum_{i=1}^n(\lambda_i^*-\lambda_i)\sigma_{v,i}\tag{28.33}

$\sigma_{v,i}$ 为 $v$ 波动率的第 $i$ 个分量。

从计价单位 $g$ 换到 $h$：$\lambda_i=\sigma_{g,i}$，$\lambda_i^*=\sigma_{h,i}$。定义计价单位比率（numeraire ratio）$w=h/g$，由伊藤引理 $\sigma_{w,i}=\sigma_{h,i}-\sigma_{g,i}$（习题 28.13），于是

\alpha_v=\sum_{i=1}^n\sigma_{w,i}\sigma_{v,i}\tag{28.34}

\alpha_v=\rho\sigma_v\sigma_w\tag{28.35}

$\sigma_v,\sigma_w$ 为 $v,w$ 的总波动率，$\rho$ 为 $v$ 与 $w$ 变化的瞬时相关（脚注推导：$\Delta v,\Delta w$ 的协方差在忽略高阶项后为 $\sum\sigma_{w,i}\sigma_{v,i}$）。结论简洁：换计价单位时，变量期望增长率的调整 = 该变量百分比变化与计价单位比率百分比变化的瞬时协方差。 第 30 章的时间调整（timing adjustment）和 quanto 调整将用到此结果。

特例：从现实世界到传统风险中性世界（所有风险市场价格为 0），由 (28.33) $v$ 的增长率变化 $-\sum\lambda_i\sigma_{v,i}$，与可交易证券的 (28.13) 一致。一般而言，非可交易变量在世界之间转换的方式与可交易证券相同。

本章小结与习题（PDF p.692–695）

原书小结：变量的风险市场价格定义了依赖该变量的可交易证券的风险收益权衡；单变量时衍生品超额收益 = 风险市场价格 × 波动率，多变量时为各变量之和。风险中性估值（第 13、15 章引入）表明假设世界风险中性来估值，在所有世界都得到正确答案；传统风险中性世界中所有风险市场价格为 0。本章把风险中性估值推广：利率随机时，有许多有用的替代"风险中性世界"。鞅是零漂移过程，未来任意时刻期望等于当前值。等价鞅测度结果：若 $g$ 是证券价格，存在一个世界使所有 $f/g$ 为鞅；恰当选择计价单位可简化许多利率衍生品估值。本章据此把 Black 模型推广到随机利率并给交换期权估值；第 29–33 章将用于利率衍生品。

延伸阅读：Baxter & Rennie (1996)；Cox, Ingersoll & Ross (1985)；Duffie (2001)；Harrison & Kreps (1979)；Harrison & Pliska (1981)。

习题题型概括：

风险市场价格：28.1 非投资资产变量的风险市场价格如何定义；28.2 风险市场价格为 0、储存成本 1% 时黄金期望增长率；28.3 由两证券期望收益反推第二个的波动率；28.4 石油勘探公司"探明储量"的风险市场价格符号（不可分散的特质风险 → 0）；28.6 平方根利率过程在传统风险中性世界中的过程（漂移加 $-\lambda c\sqrt x$ 项）；28.9 利率在风险中性世界的期望是否大于现实世界，对利率及债券风险市场价格的含义；28.15 两因子证券的期望收益与波动率。
推导：28.5 用两个可交易证券构造无风险组合得出 PDE；28.7、28.8 有收益时的修正；28.12 多因子鞅证明；28.13 比率的波动率分量相减；28.14 "期望值是鞅"（条件期望过程是鞅）。
测度变换：28.10 资产在不同货币风险中性世界、不同远期测度下的过程；28.11 远期利率与其他远期价格定义的区别；28.16 零息债与衍生品在各种测度下的远期价格过程；28.17 期货价格是传统风险中性世界的鞅、远期价格是 $T$-远期测度的鞅，两者漂移差与 5.8 节期货–远期价差的关系。

本章要点

依赖同一变量的所有衍生品具有相同的 $(\mu-r)/\sigma=\lambda$（风险市场价格，即夏普比率）；多变量时 $\mu-r=\sum\lambda_i\sigma_i$，与 APT/CAPM 一致。
改变 $\lambda$ 改变漂移不改变波动率（Girsanov）；选 $\lambda$ 即选概率测度。
等价鞅测度：以可交易证券 $g$ 为计价单位、取 $\lambda=\sigma_g$，则所有 $f/g$ 为鞅，$f_0=g_0E_g[f_T/g_T]$。
三个关键计价单位：货币市场账户（传统风险中性，贴现在期望内）；零息债 $P(t,T)$（$T$-远期测度：远期价格 = 期望即期价，远期利率 $R(0,T,T^*)$ 在 $T^*$-远期测度下为鞅）；年金因子 $A(t)$（互换测度：远期互换利率为鞅）。
随机利率下 Black 模型仍成立（用远期价格与远期价格波动率）；交换期权的 Margrabe 公式可用 $U$ 作计价单位一行推出。
换计价单位时漂移调整 $=\rho\sigma_v\sigma_w$（与计价单位比率的协方差）。

与量化交易的关联

定价：这是利率衍生品、可转债、多资产与跨币种产品定价的理论核心；"选对计价单位"是把复杂估值化为 Black 型公式的关键手段（caplet 用 $T^*$-远期测度、swaption 用年金测度、交换期权用资产自身测度、quanto 用换币测度）。
因子研究与风险：式 (28.13) 本质上是多因子定价模型——超额收益 = 因子暴露 × 因子风险价格，与量化多因子模型的结构完全一致；夏普比率就是风险市场价格。理解现实世界测度与风险中性测度的区别，有助于区分"预测期望收益（P 测度，alpha 研究）"与"无套利定价（Q 测度，衍生品定价）"两类问题，避免把隐含概率当作真实预测。
回测/系统实现：蒙特卡洛定价时贴现必须与测度匹配（货币市场账户测度下按路径贴现，$T$-远期测度下用 $P(0,T)$ 在外部贴现）；期货与远期价格的差别（测度不同）影响期货基差与展期收益的建模。
本章偏理论，对纯股票类日频策略没有直接的操作性用途，但它是读懂利率/波动率模型文献的必备语言。

第 29 章利率衍生品：标准市场模型（Interest Rate Derivatives: The Standard Market Models）（PDF p.696–715，章末习题续见下一块）

导言（PDF p.696）：利率衍生品的收益以某种方式依赖利率水平。1980–90 年代场外与交易所利率衍生品交易量迅速增长，新产品不断出现，关键挑战是找到稳健的定价与对冲方法。利率衍生品比股票、外汇衍生品更难估值，原因：

单个利率的行为比股价或汇率更复杂；
许多产品需要描述整条零息收益率曲线的模型；
收益率曲线不同点的波动率不同；
利率既用于定义收益，也用于贴现。本章介绍三种最流行的场外利率期权：债券期权、利率上限/下限、互换期权，以及它们的标准市场模型（都是 Black 模型的变体）。

29.1 债券期权（Bond Options）（PDF p.696–701）

在特定日期前以特定价格买卖特定债券的期权。除场外交易外，常嵌入债券发行条款中。

嵌入式债券期权：

可赎回债券（callable bond）：发行人可在未来某些时间以预定价格买回。持有人相当于向发行人卖出了看涨期权，行权价即赎回价。通常有前几年不可赎回的锁定期（lock-out period），之后赎回价通常随时间递减。例：10 年期可赎回债，前 2 年不可赎回，第 3–4 年赎回价 110，第 5–6 年 107.5，第 7–8 年 106，第 9–10 年 103。可赎回债收益率一般高于不可赎回债。
可回售债券（puttable bond）：持有人可在某些时间要求按预定价格提前偿还，相当于持有债券 + 看跌期权，收益率较低。简单例：10 年期债，持有人有权在第 5 年末要求还款（有时称 retractable bond）。
贷款和存款工具：可随时无罚金提前支取的 5 年期定期存款含有债券的美式看跌期权（投资者可随时按面值把债券"卖回"给金融机构）；贷款和按揭的提前还款权是债券的看涨期权。
贷款承诺是债券看跌期权：银行向潜在借款人报 5 年期利率 5%，有效期 2 个月——客户相当于获得在 2 个月内按面值向银行卖出 5% 票息 5 年期债券的权利，利率上升时行权。

欧式债券期权（标准市场模型）：假设远期债券价格的波动率为 $\sigma_B$，使用 28.6 节 Black 模型（$\sigma_F=\sigma_B$，$F_0=F_B$）：

c=P(0,T)[F_BN(d_1)-KN(d_2)]\tag{29.1}

p=P(0,T)[KN(-d_2)-F_BN(-d_1)]\tag{29.2}

d_1=\frac{\ln(F_B/K)+\sigma_B^2T/2}{\sigma_B\sqrt T},\quad d_2=d_1-\sigma_B\sqrt T

$K$ 为行权价，$T$ 为期权期限，$P(0,T)$ 为无风险贴现因子。由 5.5 节：

F_B=\frac{B_0-I}{P(0,T)}\tag{29.3}

$B_0$ 为当前债券价格，$I$ 为期权存续期内票息现值。$B_0$、$F_B$ 都是现金价格（cash/dirty price，全价），而非报价（quoted/clean price，净价），关系见 6.1 节。行权价 $K$ 也须是现金行权价：若合约中行权价是行权时交换的现金额，$K$ 取该值；若（更常见）行权价是行权时的报价，则 $K$ = 行权价 + 期权到期日的应计利息。

例 29.1：10 个月欧式看涨，标的为 9.75 年期、面值 $1,000 债券（期权到期时剩 8 年 11 个月）。现金债券价 $960，行权价 $1,000，10 个月无风险利率 10%，10 个月远期债券价格波动率 9%。年票息 10%（半年付），3 个月和 9 个月后各付 $50（应计利息 $25，报价 $935）。3、9 个月利率 9.0%、9.5%。票息现值 $50e^{-0.25\times0.09}+50e^{-0.75\times0.095}=95.45$，$F_B=(960-95.45)e^{0.1\times0.8333}=939.68$。 (a) 行权价为现金价：$F_B=939.68$，$K=1000$，$P(0,T)=e^{-0.1\times10/12}=0.9200$，$\sigma_B=0.09$，$T=10/12$，看涨价 $9.49。 (b) 行权价为报价：期权在付息日后 1 个月到期，$K$ 加 1 个月应计利息：$1000+100\times0.08333=1008.33$，看涨价 $7.97。

债券价格对数的标准差（图 29.1）：今天为 0（无不确定性），到期时也为 0（必等于面值），中间先升后降（"拉向面值" pull-to-par）。欧式债券期权所用波动率

\sigma_B=\frac{\text{期权到期时债券价格对数的标准差}}{\sqrt{\text{期权期限}}}

标的债券固定时，$\sigma_B$ 通常随期权期限增加而下降（图 29.2）。

收益率波动率（Yield Volatilities）：债券期权常报收益率波动率而非价格波动率，市场用久期（第 4 章）转换。$D$ 为期权到期时标的债券的修正久期，$\Delta F_B/F_B\approx-D\Delta y_F=-Dy_F\cdot\Delta y_F/y_F$，所以 Black 模型中远期债券价格波动率与远期收益率波动率 $\sigma_y$ 近似关系

\sigma_B=Dy_0\sigma_y\tag{29.4}

$y_0$ 为初始远期收益率。报收益率波动率时，惯例是按 (29.4) 转为价格波动率后代入 (29.1)/(29.2)。例：期权到期时修正久期 5 年，远期收益率 8%，经纪商报远期收益率波动率 20%，则 $\sigma_B=5\times0.08\times0.2=8\%$。远期债券价格波动率随期权变化（图 29.2），而远期收益率波动率更稳定，所以交易员偏好后者。DerivaGem Bond_Options 工作表选 Black-European 即按此处理。

例 29.2：10 年期债券（本金 100，年票息 8%，半年付）的欧式看跌，期限 2.25 年，行权价 115，远期收益率波动率 20%，零息曲线平坦 5%（连续复利）。DerivaGem：债券报价 122.82；行权价为报价时期权价 $2.36，为现金价时 $1.74（手算见习题 29.16）。

29.2 利率上限与下限（Interest Rate Caps and Floors）（PDF p.701–707）

上限（cap）：考虑按 LIBOR 定期重置利率的浮动利率票据，重置间隔称期限（tenor），如 3 个月：头 3 个月用初始 3 个月 LIBOR，接下来 3 个月用 3 个月时的 LIBOR，依此类推。利率上限为票据利率超过某水平（上限利率 cap rate）提供保险。例：本金 1000 万美元，tenor 3 个月，期限 5 年，上限利率 4%（季度复利）。忽略日计数（每期恰 0.25 年）。某重置日 3 个月 LIBOR 为 5%，票据需在 3 个月后付利息 $0.25\times0.05\times10^7=\$125{,}000$；按 4% 为 $100,000，故上限赔付 $25,000——在 3 个月后而非观察到 5% 的重置日支付（反映利率观察与付款之间的通常时滞）。LIBOR < 4% 则无赔付。通常规定初始 LIBOR 即使高于上限利率也不产生首个重置日的赔付。所以 5 年期上限共 19 个重置日（0.25, 0.50, …, 4.75 年），19 个潜在赔付（0.50, 0.75, …, 5.00 年）。

上限作为利率期权组合：期限 $T$、本金 $L$、上限利率 $R_K$，重置日 $t_1,\dots,t_n$，$t_{n+1}=T$，$R_k$ 为 $t_k$ 观察的 $t_k$ 到 $t_{k+1}$ LIBOR。在 $t_{k+1}$ 的赔付

L\delta_k\max(R_k-R_K,0)\tag{29.5}

$\delta_k=t_{k+1}-t_k$；$R_k$、$R_K$ 都按重置频率复利。每一项是对 $t_k$ 观察的 LIBOR 的看涨期权，在 $t_{k+1}$ 支付，称为上限单元（caplet）；上限是 $n$ 个 caplet 的组合。

上限作为债券期权组合：(29.5) 在 $t_{k+1}$ 的赔付等价于在 $t_k$ 的 $\dfrac{L\delta_k}{1+R_k\delta_k}\max(R_k-R_K,0)$，化简为

\max\Big(L-\frac{L(1+R_K\delta_k)}{1+R_k\delta_k},0\Big)\tag{29.6}

$\frac{L(1+R_K\delta_k)}{1+R_k\delta_k}$ 是 $t_k$ 时在 $t_{k+1}$ 支付 $L(1+R_K\delta_k)$ 的零息债价值。所以 (29.6) 是到期 $t_k$、标的为 $t_{k+1}$ 到期、面值 $L(1+R_K\delta_k)$ 的零息债、行权价 $L$ 的看跌期权——上限 = 零息债欧式看跌期权组合。

下限与领口（Floors and Collars）：下限（floor）在利率低于某水平时赔付：$t_{k+1}$ 赔付 $L\delta_k\max(R_K-R_k,0)$；是利率看跌期权组合或零息债看涨期权组合，单个称下限单元（floorlet）。领口（collar，又称 floor–ceiling agreement）保证 LIBOR 浮动利率票据的利率始终处于两个水平之间：多头上限 + 空头下限，通常构造为上限价格等于下限价格，零成本进入。

Business Snapshot 29.1 上限与下限的平价：

\text{上限价值}=\text{下限价值}+\text{互换价值}

三者行权价同为 $R_K$、期限与付款频率相同；互换为收 LIBOR、付固定 $R_K$，且首个重置日无交换。理由：多头上限 + 空头下限在 LIBOR > $R_K$ 时得 LIBOR − $R_K$，LIBOR < $R_K$ 时付 $R_K$ − LIBOR，即任何情况下都是 LIBOR − $R_K$，正是互换现金流。注意普通互换首个重置日按 0 时 LIBOR 付款，而上限下限首个重置日无赔付，所以平价中的互换是非标准的。

上限与下限估值（标准市场模型）：caplet 价值

L\delta_kP(0,t_{k+1})[F_kN(d_1)-R_KN(d_2)]\tag{29.7}

d_1=\frac{\ln(F_k/R_K)+\sigma_k^2t_k/2}{\sigma_k\sqrt{t_k}},\quad d_2=d_1-\sigma_k\sqrt{t_k}

$F_k$ 为 0 时 $t_k$ 到 $t_{k+1}$ 的远期利率，$\sigma_k$ 为该远期利率波动率。是 Black 模型的自然扩展：$\sigma_k$ 乘 $\sqrt{t_k}$（利率在 $t_k$ 观察），贴现因子用 $P(0,t_{k+1})$（在 $t_{k+1}$ 支付）。floorlet 价值

L\delta_kP(0,t_{k+1})[R_KN(-d_2)-F_kN(-d_1)]\tag{29.8}

例 29.3：对 1000 万美元在 1 年后开始的 3 个月期 LIBOR 设上限 8%（季度复利）——一个 caplet。用 LIBOR/swap 利率作无风险贴现率，零息曲线平坦为 7%（季度复利），对应连续复利 6.9395%；3 个月远期利率波动率 20%。$F_k=0.07$，$\delta_k=0.25$，$L=10$，$R_K=0.08$，$t_k=1.0$，$t_{k+1}=1.25$，$P(0,1.25)=e^{-0.069395\times1.25}=0.9169$，$\sigma_k=0.20$。 $d_1=\dfrac{\ln(0.07/0.08)+0.2^2\times1/2}{0.20\times1}=-0.5677$，$d_2=-0.7677$。 caplet 价格 $=0.25\times10\times0.9169[0.07N(-0.5677)-0.08N(-0.7677)]=0.005162$（百万美元），即 $5,162。

即期波动率与平坦波动率（Spot vs Flat Volatilities）：每个 caplet/floorlet 都要按 (29.7)/(29.8) 单独估值。若每个 caplet 用不同波动率，称即期波动率（spot volatilities）；若同一个上限中所有 caplet 用同一波动率、但该波动率随上限期限变化，称平坦波动率（flat volatilities）。市场报价通常是平坦波动率；但许多交易员喜欢估计即期波动率，以识别定价偏高/偏低的 caplet。3 个月 LIBOR 的 caplet/floorlet 与欧洲美元期货的看跌/看涨期权非常相似，二者的即期波动率常被比较。两者可互相推算（习题 29.20：从短到长逐个 bootstrap）。

波动率驼峰（Volatility Hump）（图 29.3）：平坦波动率类似即期波动率的累计平均，变化较小。通常在 2–3 年处出现峰值，无论是期权隐含还是历史数据计算的都有。原因无定论，一种解释：短端利率由央行控制；2–3 年利率很大程度上由交易员决定，可能对短端变化过度反应，使其波动高于短端；超过 2–3 年后利率的均值回归（第 31 章）使波动率下降。

Table 29.1 典型美元上限/下限平坦隐含波动率经纪报价（%/年，tenor 3 个月，平值：上限/下限利率等于同付款日互换的互换利率）：

期限	上限 bid	上限 offer	下限 bid	下限 offer
1 年	18.00	20.00	18.00	20.00
2 年	23.25	24.25	23.75	24.75
3 年	24.00	25.00	24.50	25.50
4 年	23.75	24.75	24.25	25.25
5 年	23.50	24.50	24.00	25.00
7 年	21.75	22.75	22.00	23.00
10 年	20.00	21.00	20.25	21.25

体现了驼峰形态。

模型的理论依据：在关于 $t_{k+1}$ 到期无风险零息债的远期风险中性世界（$t_{k+1}$-远期测度）中，由 28.4 节：(1) 任何证券当前价值 = 该世界中 $t_{k+1}$ 时期望值 × $P(0,t_{k+1})$（式 28.20）；(2) $t_k$ 到 $t_{k+1}$ 无风险利率的期望 = 远期利率（式 28.22）。由 (1)，caplet 价格

L\delta_kP(0,t_{k+1})E_{k+1}[\max(R_k-R_K,0)]\tag{29.9}

假设远期利率波动率为常数 $\sigma_k$，则 $R_k$ 在该世界对数正态，$\ln R_k$ 标准差 $\sigma_k\sqrt{t_k}$；由 (15A.1) 得 $L\delta_kP(0,t_{k+1})[E_{k+1}(R_k)N(d_1)-R_KN(d_2)]$。由 (2)，$E_{k+1}(R_k)=F_k$（LIBOR 贴现时由 28.22 成立；29.4 节说明 OIS 贴现下只要远期 LIBOR 与 OIS 贴现一致地确定也成立）。合起来得 (29.7)：只要令期望利率等于远期利率，就可以用今天市场上 $t_{k+1}$ 期利率贴现。

DerivaGem 使用：Cap_and_Swap_Option 工作表选 Cap/Floor 与 Black-European；输入连续复利 LIBOR/swap 零息曲线（OIS 贴现还需 OIS 零息曲线）、上限覆盖期起止日、平坦波动率、结算频率（tenor）。付款日从期末往前推算，初始 caplet 覆盖 0.5–1.5 个常规期。例：覆盖 1.22–2.80 年、按季结算，有 6 个 caplet：2.55–2.80、2.30–2.55、2.05–2.30、1.80–2.05、1.55–1.80、1.22–1.55 年。

日计数惯例的影响：若 $R_K$ 按 actual/360（美国常用），公式中 $\delta_k$ 应换成 $t_k$ 到 $t_{k+1}$ 的计息分数 $a_k$。例：$t_k$ 为 5 月 1 日、$t_{k+1}$ 为 8 月 1 日，92 天，$a_k=92/360=0.2556$。$F_k$ 也须按 actual/360 计，由 $1+a_kF_k=P(0,t_k)/P(0,t_{k+1})$ 求得。效果大致等同于按 actual/actual 计算 $\delta_k$、把 $R_K$ 从 actual/360 转为 actual/actual，并由 $1+\delta_kF_k=P(0,t_k)/P(0,t_{k+1})$ 计算 actual/actual 的 $F_k$。

29.3 欧式互换期权（European Swap Options）（PDF p.707–711）

互换期权（swaption）：在未来某时进入某利率互换的权利（不必行使）。许多向企业客户提供互换的大型金融机构也买卖互换期权。

用途例：公司知道 6 个月后将签 5 年期浮动利率贷款，并打算把浮动利息互换成固定。付出一定成本，买入一个互换期权：有权在 6 个月后进入收 6 个月 LIBOR、付固定 3% 的 5 年期互换。若届时 5 年期互换固定利率低于 3%，不行权，按市场正常做互换；若高于 3%，行权，获得比市场更有利的互换。互换期权保证公司未来贷款的固定利率不超过某水平；替代方案是远期互换（forward/deferred swap）：无前期成本但有义务进入互换。互换期权既获得有利变动的好处又得到不利变动的保护——两者的区别类似外汇期权与外汇远期的区别。

Business Snapshot 29.2 互换期权与债券期权：利率互换可视为交换固定利率债券与浮动利率债券（第 7 章），互换开始时浮动利率债券价值总等于本金。所以互换期权是用固定利率债券交换本金的期权——一种债券期权。付固定收浮动的互换期权 = 以本金为行权价的固定利率债券看跌期权；付浮动收固定 = 固定利率债券看涨期权。

欧式互换期权估值（标准市场模型）：通常假设期权到期时标的互换利率对数正态。持有人有权在 $T$ 年后进入一个 $n$ 年期、付固定 $s_K$ 收 LIBOR 的互换，每年 $m$ 次付款，名义本金 $L$；先忽略日计数，每次固定付款 = 固定利率 × $L/m$。若 $T$ 时 $n$ 年互换利率为 $s_T$，比较固定利率 $s_T$ 与 $s_K$ 的互换现金流可知互换期权的收益是一串现金流

\frac Lm\max(s_T-s_K,0)

在 $n$ 年内每年收 $m$ 次，付款日 $T_1,\dots,T_{mn}$（约 $T_i=T+i/m$）。每一笔是对 $s_T$ 的看涨期权。上限是多个利率期权的组合，而互换期权是对互换利率的单个期权、带重复支付。 付固定 $s_K$ 的互换期权价值

\sum_{i=1}^{mn}\frac LmP(0,T_i)[s_0N(d_1)-s_KN(d_2)]

d_1=\frac{\ln(s_0/s_K)+\sigma^2T/2}{\sigma\sqrt T},\quad d_2=d_1-\sigma\sqrt T

$s_0$ 为由 (28.23) 算出的 0 时远期互换利率，$\sigma$ 为远期互换利率波动率（$\sigma\sqrt T$ 为 $\ln s_T$ 标准差）。令 $A=\frac1m\sum_{i=1}^{mn}P(0,T_i)$（每个 $T_i$ 支付 $1/m$ 的合约价值），

LA[s_0N(d_1)-s_KN(d_2)]\tag{29.10}

收固定 $s_K$ 的互换期权（收益 $\frac Lm\max(s_K-s_T,0)$，对 $s_T$ 的看跌）：

LA[s_KN(-d_2)-s_0N(-d_1)]\tag{29.11}

DerivaGem：Cap_and_Swap_Options 工作表选 Swap Options 与 Black-European。

例 29.4：LIBOR 曲线（用于贴现）平坦 6%（连续复利）。互换期权：有权在 5 年后进入 3 年期互换、付 6.2%；远期互换利率波动率 20%；半年付款；本金 1 亿美元。 $A=\frac12(e^{-0.06\times5.5}+e^{-0.06\times6}+e^{-0.06\times6.5}+e^{-0.06\times7}+e^{-0.06\times7.5}+e^{-0.06\times8})=2.0035$。6% 连续复利 = 6.09% 半年复利，所以 $s_0=0.0609$，$s_K=0.062$，$T=5$，$\sigma=0.2$： $d_1=\dfrac{\ln(0.0609/0.062)+0.2^2\times5/2}{0.2\sqrt5}=0.1836$，$d_2=0.1836-0.2\sqrt5=-0.2636$。价值 $=100\times2.0035\times[0.0609N(0.1836)-0.062N(-0.2636)]=2.07$（百万美元），与 DerivaGem 一致。

经纪商报价：经纪商提供欧式互换期权隐含波动率表（由 29.10/29.11 隐含的 $\sigma$），标的通常平值（行权互换利率等于远期互换利率）。Table 29.2（美元，中间价，%/年），行为期权期限，列为期权到期时标的互换期限 1/2/3/4/5/7/10 年：

1 个月：17.75/17.75/17.75/17.50/17.00/17.00/16.00
3 个月：19.50/19.00/19.00/18.00/17.50/17.00/16.00
6 个月：20.00/20.00/19.25/18.50/18.75/17.75/16.75
1 年：22.50/21.75/20.50/20.00/19.50/18.25/16.75
2 年：22.00/22.00/20.75/19.50/19.75/18.25/16.75
3 年：21.50/21.00/20.00/19.25/19.00/17.75/16.50
4 年：20.75/20.25/19.25/18.50/18.25/17.50/16.00
5 年：20.00/19.50/18.50/17.75/17.50/17.00/15.50 1 年期互换一列呈与上限类似的驼峰；标的互换越长，驼峰仍在但越不明显。

理论依据：在关于年金 $A$ 的远期风险中性世界（年金/互换测度）中，由 28.4 节：(1) 任何证券当前价值 = 年金当前价值 × 该世界中 $\dfrac{T\text{ 时证券价格}}{T\text{ 时年金价值}}$ 的期望（式 28.25）；(2) $T$ 时互换利率期望 = 远期互换利率（式 28.24）。由 (1)，互换期权价值 $LAE_A[\max(s_T-s_K,0)]$，由 (15A.1) 得 $LA[E_A(s_T)N(d_1)-s_KN(d_2)]$；由 (2) $E_A(s_T)=s_0$（LIBOR 贴现时成立；OIS 贴现下只要远期互换利率与 OIS 贴现一致地确定也成立）。结论：只要令期望互换利率等于远期互换利率，贴现时可把利率当作常数。

日计数影响：互换固定利率按某日计数惯例（如 actual/365 或 30/360）表示。$T_0=T$，$T_{i-1}$ 到 $T_i$ 的计息分数为 $a_i$（例：3 月 1 日到 9 月 1 日，actual/365，$a_i=184/365=0.5041$）。公式不变，只需把年金因子定义为

A=\sum_{i=1}^{mn}a_iP(0,T_i)

LIBOR 贴现下远期互换利率按 (28.23) 计算。

29.4 OIS 贴现（OIS Discounting）（PDF p.711）

前述论证假设 LIBOR 既决定现金流又决定无风险贴现率。改用 OIS 贴现时，可用 9.3 节方法确定远期 LIBOR：$t_k$ 到 $t_{k+1}$ 的远期 LIBOR 为 $E_{k+1}(R_k)$，$R_k$ 为该期实现的 LIBOR，$E_{k+1}$ 为关于 $t_{k+1}$ 到期无风险（OIS）零息债的远期风险中性世界的期望。

上限：(29.9) 仍正确；把 $F_k$ 定义为 $E_{k+1}(R_k)$、$P(0,t_{k+1})$ 由 OIS 零息曲线计算，即得 (29.7)。
互换期权：(29.10)(29.11) 仍正确；年金因子 $A$ 由 OIS 零息曲线计算；远期互换利率 $s_0$ 由远期 LIBOR 计算，使远期互换在 OIS 贴现下价值为 0。（第 32.3 节进一步讨论。）

29.5 利率衍生品的对冲（Hedging Interest Rate Derivatives）（PDF p.711–712）

把第 19 章希腊字母推广到利率衍生品。Delta 风险是零息曲线移动的风险；曲线移动方式很多，可算多种 delta：

零息曲线平行移动 1 bp 的影响，称 DV01；
构建零息曲线所用各工具报价的小变化的影响；
把零息曲线（或远期曲线）分成若干区段（buckets），每次只移动一个区段 1 bp、其余不变（见 Business Snapshot 6.3，即关键利率久期/分桶 delta）；
做主成分分析（22.9 节），对前几个因子分别计算 delta：第一个衡量近似平行移动，第二个衡量扭转（twist），依此类推。实践中交易员偏好第 2 种：零息曲线只有在构建它的某个工具报价改变时才会改变，所以关注这些工具价格变化带来的暴露最合理。

Gamma：多个 delta 对应多种 gamma。若用 10 个工具构建曲线并对各报价算 delta，gamma 为 $\partial^2\Pi/\partial x_i\partial x_j$，共 55 个不同的 gamma，可能信息过载。做法：忽略交叉 gamma，只看 10 个 $i=j$ 的偏导；或对零息曲线平行移动计算单一 gamma；或对主成分分析前两个因子计算 gamma。

Vega：衡量对波动率变化的暴露。一种做法是对所有上限和欧式互换期权的 Black 波动率作相同小变化，但这假设一个因子驱动所有波动率，可能过于简化；更好的做法是对上限和互换期权波动率做主成分分析，对前 2–3 个因子计算 vega。

本章小结与习题（PDF p.712–715）

原书小结：Black 模型及其扩展是给欧式利率期权估值的流行方法，核心是假设期权标的变量在期权到期时对数正态：欧式债券期权假设标的债券价格对数正态；上限假设各 caplet 的标的利率对数正态；互换期权假设标的互换利率对数正态。每个模型内部一致，但彼此不一致：债券价格对数正态时利率和互换利率不是对数正态，反之亦然。这些模型难以推广到美式互换期权等产品；第 31、32 章将给出更一般的利率模型。Black 模型的做法是令变量期望等于其远期值来计算期望收益，再以今天市场零息利率贴现——对本章普通产品是正确的，但下一章将看到并非所有情形都正确（需凸性、时间、quanto 调整）。

延伸阅读：Black (1976)；Hull & White (2013, OIS discounting)。

习题题型概括（本块覆盖到 29.25）：

概念：29.1 上限的赔付金额与时间；29.2 互换期权为何是债券期权；29.4 用即期与平坦波动率给 5 年上限估值的区别；29.6 用 5 年期权隐含的价格波动率给 9 年期权定价会偏高还是偏低（$\sigma_B$ 随期限下降 → 偏高）；29.9 行权价相同的零成本领口等价于什么（互换，公共行权价等于互换利率）；29.12 上限与下限隐含波动率不同是否构成套利（由平价，应相同）；29.13 债券价格对数正态时收益率能否为负；29.15 用伊藤引理证明零息债价格波动率在到期时趋于 0。
平价推导：29.10 欧式债券期权平价；29.11 欧式互换期权平价；29.18 证明 $V_1+f=V_2$（付固定互换期权 + 收固定远期互换 = 收固定互换期权），行权利率等于远期互换利率时两类互换期权价值相等。
计算：29.3、29.7、29.21 Black 模型债券期权（含现金/报价行权价区分）；29.8 收益率波动率换算价格波动率；29.16 手算例 29.2；29.5、29.22 caplet/上限定价（含欧洲美元期货与 actual/360）；29.14、29.19、29.23、29.25 互换期权定价（LIBOR 与 OIS 贴现，以及错误混用两者的误差）；29.17、29.24 上限平坦波动率反推、零成本领口下限利率、OIS 贴现领口；29.20 平坦与即期波动率互推。（第 29 章剩余习题如在 PDF p.716 之后，续见下一块。）

本章要点

嵌入式债券期权无处不在：可赎回/可回售债、可提前支取存款、可提前还款贷款、贷款承诺。
欧式债券期权：Black 模型，用远期全价 $F_B=(B_0-I)/P(0,T)$ 与现金行权价（报价行权价需加到期应计利息）；收益率波动率按 $\sigma_B=Dy_0\sigma_y$ 换算；价格波动率先升后降、随期权期限递减。
上限 = caplet 组合 = 零息债看跌组合；下限 = floorlet 组合；领口 = 多上限 + 空下限；上限 − 下限 = 互换（首期无交换）。
caplet：$L\delta_kP(0,t_{k+1})[F_kN(d_1)-R_KN(d_2)]$，依据 $t_{k+1}$-远期测度；即期 vs 平坦波动率，2–3 年处驼峰。
互换期权：$LA[s_0N(d_1)-s_KN(d_2)]$，依据年金测度；付固定互换期权 = 固定利率债看跌。
OIS 贴现下公式形式不变，但贴现因子/年金用 OIS 曲线，远期 LIBOR 和远期互换利率要与 OIS 贴现一致地确定。
利率 delta：DV01、按构建工具报价、分桶、主成分；gamma 与 vega 也宜用分桶或主成分降维。
各 Black 型模型内部一致但彼此不一致，不能直接用于美式或路径依赖利率产品。

与量化交易的关联

定价与做市：Black caplet/swaption 公式与 Table 29.1/29.2 那样的波动率矩阵（swaption cube 的平值切片）是利率期权做市与估值的日常工具；即期波动率 bootstrap 用于识别曲线上相对贵/便宜的 caplet，是利率波动率相对价值交易的基础。
固定收益风险建模：DV01、关键利率（分桶）delta、主成分 delta 是债券与利率衍生品组合风险归因与对冲的标准做法，也直接用于固收量化中的久期中性、曲线（陡峭化/平坦化、蝶式）策略构造；PCA 因子（水平、斜率、曲率）同样是利率因子模型的基础。
嵌入期权：可赎回债、按揭提前还款（MBS 负凸性）、国内可转债赎回/回售条款都是本章嵌入式债券期权的实例，定价与对冲需要把期权价值从债券收益率中剥离（OAS 思想）。
系统实现：现金价 vs 报价、应计利息、actual/360 计息分数、付款日从后往前排、首个 caplet 无赔付、LIBOR vs OIS 双曲线框架，是利率定价库实现中最常见的出错点。
局限：本章模型只适用欧式普通产品；美式/百慕大互换期权、路径依赖利率产品需要第 31–32 章的短期利率模型或 LIBOR 市场模型。

第 23 章 波动率与相关系数的估计（Estimating Volatilities and Correlations）（PDF p.544–566）

23.1 估计波动率（PDF p.544–546）

23.2 指数加权移动平均模型 EWMA（PDF p.546–547）

23.3 GARCH(1,1) 模型（PDF p.548–549）

23.4 模型选择（PDF p.549–550）

23.5 极大似然方法（Maximum Likelihood Methods）（PDF p.550–555）

23.6 用 GARCH(1,1) 预测未来波动率（PDF p.555–558）

23.7 相关系数（Correlations）（PDF p.558–560）

23.8 EWMA 应用于四指数例子（PDF p.561–562）

本章小结与习题（PDF p.563–566）

本章要点

与量化交易的关联

推荐习题

第 24 章 信用风险（Credit Risk）（PDF p.567–593）

24.1 信用评级（Credit Ratings）（PDF p.567）

24.2 历史违约概率（Historical Default Probabilities）（PDF p.568–569）

24.3 回收率（Recovery Rates）（PDF p.569–570）

24.4 从债券收益率利差估计违约概率（PDF p.570–573）

24.5 违约概率估计的比较（PDF p.573–576）

24.6 用股价估计违约概率（Merton 模型）（PDF p.576–578）

24.7 衍生品交易中的信用风险（PDF p.578–584）

24.8 违约相关性（Default Correlation）（PDF p.584–587）

24.9 信用 VaR（Credit VaR）（PDF p.587–590）

本章小结与习题（PDF p.590–593）

本章要点

与量化交易的关联

推荐习题

第 25 章 信用衍生品（Credit Derivatives）（PDF p.594–620）

25.1 信用违约互换（Credit Default Swaps）（PDF p.595–598）

25.2 CDS 估值（PDF p.598–602）

25.3 信用指数（Credit Indices）（PDF p.602）

25.4 固定票息的使用（The Use of Fixed Coupons）（PDF p.603）

25.5 CDS 远期与期权（PDF p.604）

25.6 篮子 CDS（Basket Credit Default Swaps）（PDF p.604）

25.7 总收益互换（Total Return Swaps）（PDF p.604–605）

25.8 担保债务凭证（Collateralized Debt Obligations）（PDF p.606–608）

25.9 相关性在篮子 CDS 与 CDO 中的作用（PDF p.608）

25.10 合成 CDO 估值（PDF p.608–615）

25.11 标准市场模型的替代（PDF p.615–617）

本章小结与习题（PDF p.617–620）

本章要点

与量化交易的关联

推荐习题

第 26 章 奇异期权（Exotic Options）（PDF p.621–646）

26.1 组合产品（Packages）（PDF p.621–622）

26.2 永续美式看涨和看跌期权（PDF p.622–623）

26.3 非标准美式期权（PDF p.623）

26.4 缺口期权（Gap Options）（PDF p.624）

26.5 远期开始期权（Forward Start Options）（PDF p.625）

26.6 棘轮期权（Cliquet Options）（PDF p.625）

26.7 复合期权（Compound Options）（PDF p.625–626）

26.8 选择者期权（Chooser Options）（PDF p.626–627）

26.9 障碍期权（Barrier Options）（PDF p.627–629）

26.10 二元期权（Binary Options）（PDF p.629–630）

26.11 回望期权（Lookback Options）（PDF p.630–632）

26.12 喊价期权（Shout Options）（PDF p.632）

26.13 亚式期权（Asian Options）（PDF p.632–634）

26.14 资产交换期权（Options to Exchange One Asset for Another）（PDF p.634–635）

26.15 多资产期权（Options Involving Several Assets）（PDF p.635–636）

26.16 波动率互换与方差互换（Volatility and Variance Swaps）（PDF p.636–639）

26.17 静态期权复制（Static Options Replication）（PDF p.639–641）

本章小结与习题（PDF p.641–646）

本章要点

与量化交易的关联

推荐习题

第 27 章 模型与数值方法补充（More on Models and Numerical Procedures）（PDF p.647–677）

27.1 Black–Scholes–Merton 的替代模型（PDF p.648–653）

27.2 随机波动率模型（Stochastic Volatility Models）（PDF p.653–655）

27.3 隐含波动率函数模型（IVF Model）（PDF p.655–656）

27.4 可转换债券（Convertible Bonds）（PDF p.656–659）

27.5 路径依赖衍生品（Path-Dependent Derivatives）（PDF p.659–663）

27.6 障碍期权的数值方法（PDF p.663–666）

27.7 两个相关资产的期权（Options on Two Correlated Assets）（PDF p.666–669）

27.8 蒙特卡洛模拟与美式期权（PDF p.669–673）

本章小结与习题（PDF p.673–677）

本章要点

与量化交易的关联

推荐习题

第 28 章 鞅与测度（Martingales and Measures）（PDF p.678–695）

28.1 风险的市场价格（The Market Price of Risk）（PDF p.679–682）

第 23 章波动率与相关系数的估计（Estimating Volatilities and Correlations）（PDF p.544–566）

第 24 章信用风险（Credit Risk）（PDF p.567–593）

第 25 章信用衍生品（Credit Derivatives）（PDF p.594–620）

第 26 章奇异期权（Exotic Options）（PDF p.621–646）

第 27 章模型与数值方法补充（More on Models and Numerical Procedures）（PDF p.647–677）

第 28 章鞅与测度（Martingales and Measures）（PDF p.678–695）

第 29 章利率衍生品：标准市场模型（Interest Rate Derivatives: The Standard Market Models）（PDF p.696–715，章末习题续见下一块）