元信息：John C. Hull《Options, Futures, and Other Derivatives》(Global Edition) 精读笔记；负责 PDF 第 344–543 页（第 15–22 章）。

第 15 章 Black–Scholes–Merton 模型（PDF p.344–376）

章首导言（PDF p.344）

20 世纪 70 年代初，Fischer Black、Myron Scholes 与 Robert Merton 取得欧式股票期权定价的突破，即 Black–Scholes–Merton（BSM，或简称 Black–Scholes）模型；1997 年 Merton 与 Scholes 获诺贝尔经济学奖（Black 已于 1995 年去世）。此前研究者已能算出欧式期权的期望收益（expected payoff），难点在于不知道该用什么贴现率（见第 13.2 节）。Black 和 Scholes 借助 CAPM 建立期权要求收益与股票要求收益之间的关系（该关系依赖股价与时间，故不易）；Merton 的方法更一般：用期权和标的股票构造一个无风险组合（riskless portfolio），论证其在极短时间内的收益必为无风险利率。这与第 13.1 节二叉树中的无套利论证相似，但组合需连续调整。Merton 方法不依赖 CAPM。本章内容：Merton 方法推导 BSM、历史波动率估计与隐含波动率、风险中性定价、含股息股票的欧式期权、含股息时的美式看涨期权。

15.1 股价的对数正态性质（Lognormal Property of Stock Prices，PDF p.345–346）

模型沿用第 14 章的几何布朗运动：极短时间内的百分比变化服从正态分布。记 $\mu$ 为股票年化期望收益，$\sigma$ 为年化波动率（volatility）。
离散形式（即式 14.9）： $\frac{\Delta S}{S}\sim\phi(\mu\Delta t,\ \sigma^2\Delta t)\tag{15.1}$ 其中 $\phi(m,v)$ 表示均值 $m$、方差 $v$ 的正态分布。
由第 14.7 节（Itô 引理作用于 $\ln S$）得到精确结论（非近似）： $\ln S_T-\ln S_0\sim\phi\!\left[\left(\mu-\tfrac{\sigma^2}{2}\right)T,\ \sigma^2T\right],\qquad \ln\frac{S_T}{S_0}\sim\phi\!\left[\left(\mu-\tfrac{\sigma^2}{2}\right)T,\ \sigma^2T\right]\tag{15.2}$ $\ln S_T\sim\phi\!\left[\ln S_0+\left(\mu-\tfrac{\sigma^2}{2}\right)T,\ \sigma^2T\right]\tag{15.3}$ 故 $S_T$ 服从对数正态分布（lognormal distribution），$\ln S_T$ 的标准差为 $\sigma\sqrt T$。
例 15.1：$S_0=40$，$\mu=16\%$，$\sigma=20\%$，$T=0.5$。$\ln S_T\sim\phi[\ln40+(0.16-0.02)\times0.5,\ 0.04\times0.5]=\phi(3.759,\ 0.02)$，标准差 $\sqrt{0.02}=0.141$。95% 置信区间：$3.759\pm1.96\times0.141$，即 $e^{3.759-1.96\times0.141}<S_T<e^{3.759+1.96\times0.141}$，得 $32.55<S_T<56.56$。
对数正态变量取值于 $(0,\infty)$，右偏，均值、中位数、众数互不相同（图 15.1）。由对数正态性质： $E(S_T)=S_0e^{\mu T}\tag{15.4}$ $\operatorname{var}(S_T)=S_0^2e^{2\mu T}\left(e^{\sigma^2T}-1\right)\tag{15.5}$ （证明见作者 Technical Note 2。）式 (15.4) 与"$\mu$ 是期望收益率"的定义吻合。
例 15.2：$S_0=20$，$\mu=20\%$，$\sigma=40\%$，$T=1$：$E(S_T)=20e^{0.2}=24.43$；$\operatorname{var}(S_T)=400e^{0.4}(e^{0.16}-1)=103.54$；标准差 $\sqrt{103.54}=10.18$。

15.2 收益率的分布（The Distribution of the Rate of Return，PDF p.346–347）

定义 $0$ 到 $T$ 实现的年化连续复利收益率 $x$：$S_T=S_0e^{xT}$， $x=\frac1T\ln\frac{S_T}{S_0}\tag{15.6}$ 由 (15.2)： $x\sim\phi\!\left(\mu-\frac{\sigma^2}{2},\ \frac{\sigma^2}{T}\right)\tag{15.7}$ 即年化连续复利收益率服从正态分布，均值 $\mu-\sigma^2/2$，标准差 $\sigma/\sqrt T$。$T$ 越大，标准差越小——我们对 20 年平均年收益的把握大于对单一年份收益的把握。
例 15.3：$\mu=17\%$，$\sigma=20\%$，$T=3$。均值 $0.17-0.04/2=0.15$；标准差 $\sqrt{0.04/3}=0.1155$。3 年平均年收益 95% 区间：$15\%\pm1.96\times11.55\%$，即 $-7.6\%$ 到 $+37.6\%$。

15.3 期望收益（The Expected Return，PDF p.347–348）

投资者要求的期望收益 $\mu$ 取决于股票风险和利率水平。幸运的是，期权价值（以标的股价表示时）与 $\mu$ 完全无关。
常见混淆：既然短期均值收益为 $\mu\Delta t$，似乎 $\mu$ 就是期望连续复利收益；但实际上 $E(x)=\mu-\sigma^2/2$。
直观一：把时间切成大量长度为 $\Delta t$ 的小区间，各区间收益 $\Delta S_i/S_i$ 的算术平均接近 $\mu\Delta t$；但整个时期上以 $\Delta t$ 为复利区间的实现收益接近 $\mu-\sigma^2/2$（几何平均）。
直观二：由 (15.4)，$\ln E(S_T)=\ln S_0+\mu T$。若误把 $\ln E(S_T)$ 当作 $E[\ln S_T]$ 就会得到 $E(x)=\mu$；但 $\ln$ 是凹函数（Jensen 不等式），$\ln E(S_T)>E[\ln S_T]$，故 $E(x)<\mu$。
脚注：术语"期望收益"有歧义，可指 $\mu$ 或 $\mu-\sigma^2/2$；本书默认指 $\mu$。
Business Snapshot 15.1 共同基金收益可能误导：某基金 5 年年收益（年复利）为 15%、20%、30%、−20%、25%。算术平均 14%；但 100 美元 5 年后为 $100\times1.15\times1.20\times1.30\times0.80\times1.25=179.40$，而 14% 年复利应得 $100\times1.14^5=192.54$。实际年化 12.4%（$100\times1.124^5=179.40$）。几何平均（1.124）总小于算术平均（1.140），而几何平均才等于 1 加实际实现收益。有些司法辖区要求基金按后一种方式报告。

15.4 波动率（Volatility，PDF p.347–352）

波动率 $\sigma$ 度量对股票收益的不确定性，股票通常在 15%–60%。由 (15.7)，波动率可定义为以连续复利表示的一年收益率的标准差。
$\Delta t$ 很小时，$\sigma^2\Delta t$ 近似为 $\Delta t$ 内百分比变化的方差，$\sigma\sqrt{\Delta t}$ 近似为其标准差。例：$\sigma=30\%$，$S=50$，一周百分比变化标准差 $30\times\sqrt{1/52}=4.16\%$，一个标准差的价格变动为 $50\times0.0416=2.08$。不确定性大致随时间跨度的平方根增长：4 周标准差约为 1 周的 2 倍。

用历史数据估计波动率（Estimating Volatility from Historical Data）

记 $n+1$ 个观测，$S_i$ 为第 $i$ 区间末股价（$i=0,\dots,n$），$\tau$ 为区间长度（年）。令 $u_i=\ln(S_i/S_{i-1})$。
样本标准差： $s=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n(u_i-\bar u)^2}=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum u_i^2-\frac{1}{n(n-1)}\Big(\sum u_i\Big)^2}$ （脚注：实务中常假设 $\bar u=0$。）
由 (15.2)，$u_i$ 的标准差为 $\sigma\sqrt\tau$，故 $\hat\sigma=s/\sqrt\tau$，其标准误约为 $\hat\sigma/\sqrt{2n}$。
选取 $n$ 的权衡：数据越多越精确，但 $\sigma$ 时变，太旧的数据不相关。经验做法：用最近 90–180 天日收盘价；或令 $n$ 等于波动率要应用的天数（为 2 年期期权估值则用过去 2 年日数据）。更复杂的 GARCH 方法见第 23 章。
例 15.4（表 15.1）：21 个交易日收盘价从 20.00 到 22.00（逐日：20.00, 20.10, 19.90, 20.00, 20.50, 20.25, 20.90, 20.90, 20.90, 20.75, 20.75, 21.00, 21.10, 20.90, 20.90, 21.25, 21.40, 21.40, 21.25, 21.75, 22.00），$n=20$，$\sum u_i=0.09531$，$\sum u_i^2=0.00326$。日收益标准差 $\sqrt{0.00326/19-0.09531^2/(20\times19)}=0.01216$（1.216%）。按每年 252 个交易日，$\tau=1/252$，年化波动率 $0.01216\sqrt{252}=0.193$（19.3%），标准误 $0.193/\sqrt{40}=0.031$（3.1%）。
含股息：包含除息日的区间收益改为 $u_i=\ln[(S_i+D)/S_{i-1}]$，其他区间不变。但除息日附近税收因素影响收益，最好直接剔除含除息日的区间。

交易日与日历日（Trading Days vs. Calendar Days）

研究表明交易所开市时波动率远高于闭市时，因此实务中估计与使用波动率时忽略非交易日： $\text{年化波动率}=\text{每交易日波动率}\times\sqrt{\text{每年交易日数}}$ 股票通常取 252 天。期权期限也按交易日计：$T=\dfrac{\text{距到期的交易日数}}{252}$。
Business Snapshot 15.2 波动率从何而来？ 直觉是新信息导致波动，但研究不支持。若按日历时间，周五收盘到周一收盘（3 天）的收益方差应是相邻交易日（1 天）的 3 倍；Fama (1965)、French (1980)、French & Roll (1986) 发现仅高 22%、19%、10.7%。或许是开市时到达的新闻更多？Roll (1984) 研究橙汁期货：最重要的信息是天气，任何时间到达概率相同，但周五到周一方差也只有 1.54 倍。结论：波动率在很大程度上由交易本身造成。

15.5 BSM 微分方程的思想（The Idea Underlying the BSM Differential Equation，PDF p.352–353）

BSM 微分方程是任何依赖于不付息股票的衍生品价格都须满足的方程。思路与第 13 章二叉树的无套利论证相同：用衍生品与股票构造无风险组合，无套利要求其收益等于无风险利率 $r$。
能构造无风险组合的原因：股价与衍生品价格受同一个不确定性来源（股价变动）驱动，极短时间内二者完全相关。
数值例：若 $\Delta c=0.4\Delta S$（图 15.2 斜率 0.4），则"买 40 股 + 卖 100 份看涨"无风险：股价涨 0.10，股票赚 $40\times0.1=4$ 美元，期权空头亏 $100\times0.04=4$ 美元。
与二叉树的关键区别：BSM 中组合只在瞬时内无风险，必须频繁再平衡（rebalancing，详见第 19 章）。如明天关系变为 $\Delta c=0.5\Delta S$，则每卖 100 份看涨需再买 10 股。但无论如何，无风险组合在任一极短期内收益必为无风险利率——这是 BSM 分析的核心。

假设（Assumptions，PDF p.354）

股价服从第 14 章过程，$\mu$、$\sigma$ 为常数；
允许卖空且可充分使用卖空所得；
无交易成本与税收，证券完全可分；
衍生品存续期内无股息；
无无风险套利机会；
证券交易连续进行；
无风险利率 $r$ 为常数且对所有期限相同。部分假设可放松：如 $\sigma$、$r$ 可为 $t$ 的已知函数；利率甚至可随机，只要期权到期时股价分布仍为对数正态。

15.6 BSM 微分方程的推导（PDF p.354–357）

记号：考虑一般时刻 $t$ 的衍生品价格，到期日 $T$，剩余期限 $T-t$。股价过程（第 14.3 节）： $dS=\mu S\,dt+\sigma S\,dz\tag{15.8}$ 衍生品价格 $f(S,t)$，由 Itô 引理（式 14.14）： $df=\left(\frac{\partial f}{\partial S}\mu S+\frac{\partial f}{\partial t}+\frac12\frac{\partial^2 f}{\partial S^2}\sigma^2S^2\right)dt+\frac{\partial f}{\partial S}\sigma S\,dz\tag{15.9}$ 离散形式： $\Delta S=\mu S\Delta t+\sigma S\Delta z\tag{15.10}$ $\Delta f=\left(\frac{\partial f}{\partial S}\mu S+\frac{\partial f}{\partial t}+\frac12\frac{\partial^2 f}{\partial S^2}\sigma^2S^2\right)\Delta t+\frac{\partial f}{\partial S}\sigma S\Delta z\tag{15.11}$ 两式中的 $\Delta z=\epsilon\sqrt{\Delta t}$ 是同一个，故可消去维纳过程。
组合：空 1 份衍生品，多 $\partial f/\partial S$ 股股票。组合价值 $\Pi=-f+\frac{\partial f}{\partial S}S\tag{15.12}$ $\Delta\Pi=-\Delta f+\frac{\partial f}{\partial S}\Delta S\tag{15.13}$ 代入得 $\Delta\Pi=\left(-\frac{\partial f}{\partial t}-\frac12\frac{\partial^2 f}{\partial S^2}\sigma^2S^2\right)\Delta t\tag{15.14}$ 不含 $\Delta z$，故在 $\Delta t$ 内无风险。若收益高于无风险利率，套利者借钱买入组合；若低于，则卖空组合买无风险资产。因此 $\Delta\Pi=r\Pi\Delta t\tag{15.15}$ 代入 (15.12)(15.14)： $\left(\frac{\partial f}{\partial t}+\frac12\frac{\partial^2 f}{\partial S^2}\sigma^2S^2\right)\Delta t=r\left(f-\frac{\partial f}{\partial S}S\right)\Delta t$ 得到 BSM 偏微分方程： $\boxed{\frac{\partial f}{\partial t}+rS\frac{\partial f}{\partial S}+\frac12\sigma^2S^2\frac{\partial^2 f}{\partial S^2}=rf}\tag{15.16}$
该方程有无穷多解，对应以 $S$ 为标的的各种衍生品；具体衍生品由**边界条件（boundary conditions）**确定。欧式看涨：$t=T$ 时 $f=\max(S-K,0)$；欧式看跌：$t=T$ 时 $f=\max(K-S,0)$。
例 15.5（远期合约）：不付息股票远期价值（式 5.5）$f=S-Ke^{-r(T-t)}$，$\partial f/\partial t=-rKe^{-r(T-t)}$，$\partial f/\partial S=1$，$\partial^2f/\partial S^2=0$；代入左边得 $-rKe^{-r(T-t)}+rS=rf$，满足方程。

永续衍生品（A Perpetual Derivative，PDF p.356）

永续衍生品在股价首次触及 $H$ 时支付固定金额 $Q$。价值与 $t$ 无关，$\partial f/\partial t=0$，PDE 变为 ODE。
若 $S<H$：边界 $f(0)=0$，$f(H)=Q$；解 $f=QS/H$ 满足边界与方程（代入：$rS\cdot Q/H=rQS/H$ ✓）。
若 $S>H$：边界 $S\to\infty$ 时 $f\to0$，$f(H)=Q$。试解 $f=Q(S/H)^{-\alpha}$（$\alpha>0$），代入方程得 $-r\alpha+\frac12\sigma^2\alpha(\alpha+1)-r=0$，解得 $\alpha=2r/\sigma^2$： $f=Q\left(\frac SH\right)^{-2r/\sigma^2}\tag{15.17}$ 习题 15.23 用它为永续美式看跌定价；第 26.2 节推广到带收益率 $q$ 的永续美式期权。

可交易衍生品的价格（The Prices of Tradeable Derivatives，PDF p.356–357）

任何满足 (15.16) 的函数 $f(S,t)$ 都是某个可交易衍生品的理论价格，不会产生套利；不满足 (15.16) 的函数不可能是衍生品价格。例：$e^S$ 不满足方程，若某工具价格恒为 $e^S$ 则有套利；$\dfrac{e^{(\sigma^2-2r)(T-t)}}{S}$ 满足方程，它是到期支付 $1/S_T$ 的衍生品价格。其他例子见习题 15.11、15.12、15.23、15.28。

15.7 风险中性定价（Risk-Neutral Valuation，PDF p.357–358）

风险中性定价是衍生品分析最重要的工具，源于 BSM 方程的关键性质：方程中不含受投资者风险偏好影响的变量。方程只含股价、时间、波动率、无风险利率，都与风险偏好无关；$\mu$ 依赖风险偏好（风险厌恶越强 $\mu$ 越高），而它恰好在推导中消去。
既然风险偏好不进入方程，就不影响其解，可任意假设风险偏好，特别是所有投资者风险中性。风险中性世界中：所有投资资产期望收益为 $r$（无需风险溢价）；任何现金流的现值 = 期望值按 $r$ 贴现。
单一时点支付衍生品的定价步骤：
1. 假设标的资产期望收益为 $r$（即令 $\mu=r$）；
2. 计算衍生品的期望收益；
3. 按无风险利率贴现。
风险中性定价只是求解 BSM 方程的人为技巧，所得解在所有世界都成立。从风险中性世界转到风险厌恶世界时，股价期望增长率和衍生品贴现率同时变化，两种变化恰好完全抵消。

应用：股票远期合约

设利率恒为 $r$（比第 5 章假设更严格）。到期价值 $S_T-K$，时刻 0 价值 $f=e^{-rT}\hat E(S_T-K)$，$\hat E$ 表示风险中性期望： $f=e^{-rT}\hat E(S_T)-Ke^{-rT}\tag{15.18}$ 风险中性下 $\mu=r$，由 (15.4)： $\hat E(S_T)=S_0e^{rT}\tag{15.19}$ 故 $f=S_0-Ke^{-rT}$，与式 (5.5) 一致。

15.8 BSM 定价公式（Black–Scholes–Merton Pricing Formulas，PDF p.358–361）

c=S_0N(d_1)-Ke^{-rT}N(d_2)\tag{15.20}

p=Ke^{-rT}N(-d_2)-S_0N(-d_1)\tag{15.21}

d_1=\frac{\ln(S_0/K)+(r+\sigma^2/2)T}{\sigma\sqrt T},\qquad d_2=\frac{\ln(S_0/K)+(r-\sigma^2/2)T}{\sigma\sqrt T}=d_1-\sigma\sqrt T

$N(x)$ 为标准正态累积分布函数（图 15.3）。$c,p$ 为欧式看涨、看跌价格，$S_0$ 为当前股价，$K$ 为执行价，$r$ 为连续复利无风险利率，$\sigma$ 为波动率，$T$ 为期限。
推导途径：（1）在边界条件下求解 PDE（15.16）（习题 15.17 验证 (15.20) 满足 PDE）；一般时刻 $t$ 的形式为 $c=SN(d_1)-Ke^{-r(T-t)}N(d_2)$，$d_1=\frac{\ln(S/K)+(r+\sigma^2/2)(T-t)}{\sigma\sqrt{T-t}}$，$d_2=d_1-\sigma\sqrt{T-t}$。（2）风险中性定价： $c=e^{-rT}\hat E[\max(S_T-K,0)]\tag{15.22}$ 本章附录证明其等于 (15.20)。
不付息股票的美式看涨永不提前行权（第 11.5 节），故 (15.20) 也是美式看涨价格。美式看跌没有精确解析式，数值方法见第 21 章。
实务中 $r$ 取期限 $T$ 的零息无风险利率；当 $r$ 为时间的已知函数时理论上正确；利率随机时，只要 $S_T$ 为对数正态且波动率参数选得恰当，也正确。时间按剩余交易日 / 年交易日计。

理解 $N(d_1)$ 与 $N(d_2)$

$N(d_2)$：风险中性世界中看涨期权被行权的概率。
$S_0N(d_1)e^{rT}$：风险中性世界中，把低于执行价的股价记为 0 时，$T$ 时刻股价的期望值。执行价只在 $S_T>K$ 时支付，概率 $N(d_2)$。故风险中性期望收益为 $S_0N(d_1)e^{rT}-KN(d_2)$，贴现即得 (15.20)。
另一种分解： $c=e^{-rT}N(d_2)\left[S_0e^{rT}N(d_1)/N(d_2)-K\right]$ $e^{-rT}$ 为贴现因子；$N(d_2)$ 为行权概率；$e^{rT}N(d_1)/N(d_2)$ 为行权条件下风险中性世界股价的期望增长倍数；$K$ 为行权时支付的执行价。

BSM 公式的极限性质

$S_0$ 很大：看涨几乎必被行权，近似于交割价 $K$ 的远期，价格应为 $S_0-Ke^{-rT}$。此时 $d_1,d_2\to\infty$，$N(d_1),N(d_2)\to1$，公式吻合；看跌价格趋于 0（$N(-d_1),N(-d_2)\to0$）。
$\sigma\to0$：股票几乎无风险，$S_T=S_0e^{rT}$，看涨收益 $\max(S_0e^{rT}-K,0)$，贴现得 $\max(S_0-Ke^{-rT},0)$。验证：若 $S_0>Ke^{-rT}$，则 $\ln(S_0/K)+rT>0$，$\sigma\to0$ 时 $d_1,d_2\to+\infty$，$c=S_0-Ke^{-rT}$；若 $S_0<Ke^{-rT}$，$d_1,d_2\to-\infty$，$c=0$。看跌同理趋于 $\max(Ke^{-rT}-S_0,0)$。

15.9 累积正态分布函数（Cumulative Normal Distribution Function，PDF p.361–362）

实现 (15.20)(15.21) 需要计算 $N(x)$：书末附表，或 Excel 的 NORMSDIST 函数。
例 15.6：$S_0=42$，$K=40$，$r=0.1$，$\sigma=0.2$，$T=0.5$。 $d_1=\dfrac{\ln(42/40)+(0.1+0.02)\times0.5}{0.2\sqrt{0.5}}=0.7693$，$d_2=\dfrac{\ln(42/40)+(0.1-0.02)\times0.5}{0.2\sqrt{0.5}}=0.6278$，$Ke^{-rT}=40e^{-0.05}=38.049$。 $N(0.7693)=0.7791$，$N(0.6278)=0.7349$，$N(-0.7693)=0.2209$，$N(-0.6278)=0.2651$。 $c=42\times0.7791-38.049\times0.7349=4.76$；$p=38.049\times0.2651-42\times0.2209=0.81$。不计时间价值，看涨买方需股价上涨 2.76 才盈亏平衡，看跌买方需下跌 2.81。

15.10 认股权证与员工股票期权（Warrants and Employee Stock Options，PDF p.362–364）

普通看涨期权行权不改变公司流通股数（卖方需从市场买股）；认股权证（warrants）和员工股票期权（ESO）行权时公司增发新股按执行价卖给持有人，稀释现有股东。
已发行的权证/ESO 估值时不应再考虑稀释：若市场有效，股价已反映全部潜在稀释（Business Snapshot 15.3）。（脚注：也有分析师假设"权益+权证"总值服从对数正态，得到以权证价值表示的 Black–Scholes 型方程，见 Technical Note 3。）
拟新发行权证的成本：公司有 $N$ 股、股价 $S_0$，拟发 $M$ 份期权，每份可按 $K$ 买 1 股。公司今日价值 $NS_0$ 不因发行而变。设无发行时到期股价为 $S_T$，则 $T$ 时权益加权证总值为 $NS_T$；若行权，现金流入使其变为 $NS_T+MK$，分摊到 $N+M$ 股，行权后股价 $\frac{NS_T+MK}{N+M}$。持有人收益 $\frac{NS_T+MK}{N+M}-K=\frac{N}{N+M}(S_T-K)$ 故每份权证价值 = $\frac{N}{N+M}$ 份普通看涨期权价值，总成本为其 $M$ 倍。若无补偿性收益，消息公布后权益总值立即下降该成本，股价下降额为 $\frac{M}{N+M}$ 乘以一份普通看涨（执行价 $K$、期限 $T$）的价值。
Business Snapshot 15.3 权证、ESO 与稀释：公司 10 万股、股价 50 美元，意外宣布授予员工 10 万份执行价 50 的期权。若市场认为对股东好处不大，股价立即下跌，比如跌到 45，现有股东稀释成本为每股 5 美元、共 50 万美元。3 年后股价 100 并全部行权，员工每份获 50 美元。认为"届时 10 万股每股 100 与 10 万股仅付 50 的新股合并、股价降到 75、员工每份只得 25"的论证是错的：行权早已被市场预期并反映在股价中。结论：市场有效时，稀释影响在公告时即反映于股价，估值时无须再次考虑。
例 15.7：公司 100 万股，股价 40，拟发 20 万份 5 年期权证，执行价 60，$r=3\%$，$\sigma=30\%$，无股息。5 年期欧式看涨 BSM 价值 7.04；每份权证价值 $\frac{1{,}000{,}000}{1{,}200{,}000}\times7.04=5.87$；总成本 $200{,}000\times5.87=117$ 万美元；若市场认为无收益，股价下跌 1.17 至 38.83。

15.11 隐含波动率（Implied Volatilities，PDF p.364–365）

BSM 中唯一不可直接观测的参数是波动率。交易员通常使用隐含波动率（implied volatility）：使模型价格等于市场价格的波动率。
例：不付息股票欧式看涨价格 1.875，$S_0=21$，$K=20$，$r=0.1$，$T=0.25$。(15.20) 无法解析反解 $\sigma$，用迭代搜索：$\sigma=0.20$ 得 $c=1.76$（偏低）；$c$ 随 $\sigma$ 递增，试 $0.30$ 得 $2.10$（偏高）；试 $0.25$ 仍偏高，故 $\sigma\in(0.20,0.25)$；每次区间减半（二分法），可达任意精度。答案 $\sigma=0.235$（23.5%）。美式期权可用二叉树配合同样的搜索。脚注：实务多用 Newton–Raphson 等更快方法。
用途：监测市场对某股票波动率的看法。历史波动率向后看，隐含波动率向前看。交易员常以隐含波动率报价而非价格，因为它比价格更稳定。第 20 章：用活跃期权的隐含波动率推断其他期权的合适隐含波动率。

VIX 指数（The VIX Index，PDF p.365）

CBOE 发布隐含波动率指数，最流行的 SPX VIX 是由大量看涨、看跌期权计算的标普 500 指数 30 天期期权隐含波动率指数，俗称"恐慌指数（fear factor）"；指数为 15 表示 30 天隐含波动率约 15%。计算方法见第 26.15 节。VIX 期货 2004 年开始交易，VIX 期权 2006 年，每份合约为指数 × 1,000。（类似的还有 NASDAQ 100 的 VXN、道琼斯工业指数的 VXD。）
例 15.8：以 18.5 买入 4 月 VIX 期货，在 19.3 平仓，盈利 $(19.3-18.5)\times1000=800$ 美元。
标普 500 期货/期权交易同时押注指数水平与波动率，VIX 期货/期权只押注波动率。图 15.4：2004 年 1 月至 2013 年 6 月，2004 至 2007 年中多在 10–20；2007 下半年到 30；雷曼破产后 2008 年 10–11 月创纪录 80；2010 年初回落，2010 年 5 月及 2011 下半年因金融市场压力再次飙升。

15.12 股息（Dividends，PDF p.366–369）

假设期权期内股息的金额与时间可确定预测（短期期权较合理；长期期权通常假设已知股息率，见第 17 章）。股息支付日按**除息日（ex-dividend date）**处理，当天股价下跌股息额。脚注：因税收原因股价跌幅可能小于现金股息；期权定价中"股息"应理解为除息日股价因股息而下降的量（若股息 1 美元而股价通常跌 80%，则取 0.80）。

欧式期权

将股价分为两部分：对应期权期内已知股息的无风险部分（各股息从除息日按无风险利率贴现到现在的现值）和风险部分。到期时股息已付，无风险部分消失。故若 $S_0$ 取风险部分、$\sigma$ 取风险部分过程的波动率，BSM 公式正确。脚注：风险部分波动率与整股波动率不同（理论上二者不能同时服从 GBM），时刻 0 时风险部分波动率约等于整股波动率乘 $S_0/(S_0-D)$，$D$ 为股息现值。
操作：将股价减去期权期内所有股息（除息日在期内者）的现值，再代入 BSM。
例 15.9：除息日在 2 个月和 5 个月，各 0.50 美元；$S_0=40$，$K=40$，$\sigma=30\%$，$r=9\%$，$T=0.5$。股息现值 $0.5e^{-0.09\times2/12}+0.5e^{-0.09\times5/12}=0.9742$；$S_0=39.0258$。$d_1=\frac{\ln(39.0258/40)+(0.09+0.045)\times0.5}{0.3\sqrt{0.5}}=0.2020$，$d_2=0.0102$；$N(d_1)=0.5800$，$N(d_2)=0.4959$；$c=39.0258\times0.5800-40e^{-0.045}\times0.4959=3.67$。
批评与回应：有学者认为波动率应作用于整个股价而非扣除股息现值后的股价，并提出多种数值方法（如 Areal & Rodrigues 2013 的离散股息快速树）。若波动率来自历史数据，这些方法或有意义；但实务中波动率几乎总是从其他期权价格隐含得到（第 20 章），只要隐含和应用使用同一模型，价格就准确且不太依赖模型。另外实务中常以标的远期价格为欧式期权估值（第 18 章），无须显式估计资产收益；远期股价波动率等于"股价减股息现值"的波动率。两部分模型内部一致、广泛使用，第 21 章美式期权也用它。

美式看涨期权（PDF p.367–369）

第 11 章：无股息时美式看涨不应提前行权。有股息时，只可能在除息前瞬间提前行权最优。设 $n$ 个除息日 $t_1<\dots<t_n$，股息 $D_1,\dots,D_n$。
最后除息日 $t_n$：行权得 $S(t_n)-K$；不行权则股价跌为 $S(t_n)-D_n$，由式 (11.4) 期权价值大于 $S(t_n)-D_n-Ke^{-r(T-t_n)}$。若 $S(t_n)-D_n-Ke^{-r(T-t_n)}\ge S(t_n)-K\iff D_n\le K\left[1-e^{-r(T-t_n)}\right]\tag{15.24}$ 则在 $t_n$ 行权不是最优。反之若 $D_n>K\left[1-e^{-r(T-t_n)}\right]\tag{15.25}$ 则对任何合理的股价过程，当 $S(t_n)$ 足够高时在 $t_n$ 行权最优。当最后除息日接近到期（$T-t_n$ 小）且股息大时 (15.25) 易成立。
倒数第二个除息日 $t_{n-1}$：不行权的下界为 $S(t_{n-1})-D_{n-1}-Ke^{-r(t_n-t_{n-1})}$（最早下次行权时点为 $t_n$）。一般地，对 $i<n$，若 $D_i\le K\left[1-e^{-r(t_{i+1}-t_i)}\right]\tag{15.26}$ 则在 $t_i$ 前行权非最优。(15.26) 近似为 $D_i\le Kr(t_{i+1}-t_i)$；若 $K$ 接近股价，相当于股息率低于无风险利率，这通常成立。
结论：许多情况下，美式看涨最可能的提前行权时点是最后一个除息日之前；若对 $i=1,\dots,n-1$ 满足 (15.26) 且 (15.24) 成立，则提前行权从不最优，美式可按欧式处理。

Black 近似（Black's Approximation，PDF p.369）

分别计算到期日为 $T$ 和 $t_n$ 的欧式期权价格（用前述股息调整方法），取两者较大者作为美式看涨价格。它是近似，因为实际上假设持有人须在时刻 0 就决定在 $T$ 还是 $t_n$ 行权。（脚注：单一除息日情形有 Roll–Geske–Whaley 精确公式，涉及二元正态累积分布，见 Technical Notes 4、5。）

本章小结与延伸阅读（PDF p.369–370）

原书小结要点与上文一致：股价对数正态、连续复利收益正态、标准差随 $\sqrt{T}$ 增长；历史波动率估计；用无风险组合推导 PDE；$\mu$ 不出现导致风险中性定价；隐含波动率；股息调整；美式看涨在除息前行权与 Black 近似。延伸阅读涵盖股价变动分布（Fama 1965、Blattberg & Gonedes 1974 等）、BSM 原始论文、风险中性定价（Cox & Ross 1976）、波动率成因（French 1980、French & Roll 1986、Roll 1984）。

习题概览（PDF p.371–374）

概念题：BSM 对股价与收益分布的假设（15.1）、风险中性定价原理（15.3）、隐含波动率定义与计算（15.6）、基金"平均年收益"误导（15.10）、稀释是否应考虑（15.24）、Black 近似为何仍是近似及偏向（15.20）。
计算题：日波动率换算（15.2、15.26）；BSM 定价（15.4、15.13、15.14、15.30）；含股息调整（15.5、15.31）；收益率分布与股价分布及置信区间（15.7、15.9、15.27）；行权概率 $N(d_2)$（15.8、15.22）；隐含波动率（15.16、15.19 用 DerivaGem 将价格表转为隐含波动率并判断是否符合 BSM）；历史波动率及标准误（15.28，15 周周价）；美式看涨能否在除息日提前行权（15.15、15.21、15.32 用 Black 近似并求股息上限）；员工期权成本（15.25）。
证明/推导题：收益为 $\ln S_T$（15.11）、$S_T^n$（15.12，得 $h(t,T)=e^{[0.5\sigma^2n(n-1)+r(n-1)](T-t)}$）、$S_T^2$（15.29）的衍生品定价与 PDE 验证；完整验证 BSM 看涨满足 PDE 与边界（15.17，含 $SN'(d_1)=Ke^{-r(T-t)}N'(d_2)$、$\partial c/\partial S=N(d_1)$ 等）；BSM 满足平价关系（15.18）；永续美式看跌（15.23）。

附录：用风险中性定价证明 BSM 公式（PDF p.375–376）

关键结论：若 $V$ 服从对数正态，$\ln V$ 标准差为 $w$，则

E[\max(V-K,0)]=E(V)N(d_1)-KN(d_2)\tag{15A.1}

d_1=\frac{\ln[E(V)/K]+w^2/2}{w},\qquad d_2=\frac{\ln[E(V)/K]-w^2/2}{w}

证明：设 $g(V)$ 为 $V$ 的密度，$E[\max(V-K,0)]=\int_K^\infty(V-K)g(V)\,dV$（15A.2）。$\ln V$ 的均值

m=\ln E(V)-w^2/2\tag{15A.3}

令 $Q=(\ln V-m)/w$（15A.4），$Q$ 为标准正态，密度 $h(Q)=\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-Q^2/2}$。换元：

E[\max(V-K,0)]=\int_{(\ln K-m)/w}^\infty e^{Qw+m}h(Q)\,dQ-K\int_{(\ln K-m)/w}^\infty h(Q)\,dQ\tag{15A.5}

配方：$e^{Qw+m}h(Q)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{[-(Q-w)^2+2m+w^2]/2}=e^{m+w^2/2}h(Q-w)$，于是

E[\max(V-K,0)]=e^{m+w^2/2}\int_{(\ln K-m)/w}^\infty h(Q-w)\,dQ-K\int_{(\ln K-m)/w}^\infty h(Q)\,dQ\tag{15A.6}

第一个积分为 $1-N[(\ln K-m)/w-w]=N[(-\ln K+m)/w+w]$，代入 $m$ 得 $N(d_1)$；第二个积分为 $N(d_2)$。又 $e^{m+w^2/2}=E(V)$，得证。

BSM 结论：$c=e^{-rT}\hat E[\max(S_T-K,0)]$（15A.7）。风险中性下 $S_T$ 对数正态，$\hat E(S_T)=S_0e^{rT}$，$\ln S_T$ 标准差 $\sigma\sqrt T$。代入关键结论：$c=e^{-rT}[S_0e^{rT}N(d_1)-KN(d_2)]=S_0N(d_1)-Ke^{-rT}N(d_2)$，其中 $d_1=\frac{\ln[\hat E(S_T)/K]+\sigma^2T/2}{\sigma\sqrt T}=\frac{\ln(S_0/K)+(r+\sigma^2/2)T}{\sigma\sqrt T}$，$d_2$ 同理。

本章要点

几何布朗运动下 $\ln S_T$ 精确正态，$S_T$ 对数正态；$E(S_T)=S_0e^{\mu T}$；年化连续复利收益均值是 $\mu-\sigma^2/2$ 而非 $\mu$（算术与几何平均之差）。
历史波动率 = 对数收益样本标准差 / $\sqrt{\tau}$，标准误约 $\hat\sigma/\sqrt{2n}$；按交易日计时，年化因子 $\sqrt{252}$；波动率主要由交易本身产生。
空 1 份衍生品 + 多 $\partial f/\partial S$ 股构成瞬时无风险组合，推出 BSM PDE；不同衍生品由边界条件区分；满足 PDE 的函数才可能是可交易衍生品价格。
$\mu$ 不出现在 PDE 中 → 风险中性定价：令 $\mu=r$、求期望收益、按 $r$ 贴现；结果适用于真实世界。
BSM 公式 $c=S_0N(d_1)-Ke^{-rT}N(d_2)$；$N(d_2)$ 是风险中性行权概率；极限情况合理。
权证/新发 ESO 价值为 $N/(N+M)$ 份普通看涨；已公告的稀释已在股价中，不应重复调整。
隐含波动率通过数值反解获得，向前看；VIX 为 30 天标普 500 隐含波动率指数。
已知离散股息：股价减股息现值后代入 BSM；美式看涨只可能在除息前提前行权，最可能是最后除息日；Black 近似取两个欧式价格较大者。

与量化交易的关联

定价与系统实现：BSM 公式与 $N(x)$ 计算是任何期权定价库的基础函数；隐含波动率反解（二分法/Newton–Raphson，配合 vega）是期权做市、波动率曲面构建的核心例程，需处理无解（价格越界）与数值稳定问题。
风险建模与因子研究：历史波动率估计（对数收益、交易日年化、标准误 $\hat\sigma/\sqrt{2n}$、窗口长度权衡）直接用于风险模型、波动率因子与仓位缩放；"波动率由交易产生"、周末效应对日内/隔夜收益拆分、节假日处理有直接意义。
回测与业绩评估：算术平均与几何平均之差（$\mu$ vs $\mu-\sigma^2/2$，即波动率拖累 volatility drag）是计算年化收益、评估杠杆与再平衡策略、报告基金业绩时的常见陷阱。
波动率交易：隐含波动率与历史波动率对比是波动率风险溢价策略的基础；VIX 期货/期权提供纯波动率敞口（例 15.8 的合约乘数计算）。
事件驱动：除息日附近的美式看涨提前行权条件（15.24–15.26）可用于股息套利、期权做市的提前行权风险管理。
公司金融/基本面：权证与员工期权的稀释成本可用于估算股权激励对每股价值的影响。

第 16 章员工股票期权（Employee Stock Options，PDF p.377–389）

章首导言（PDF p.377）

员工股票期权（ESO）是公司授予员工的、以本公司股票为标的的看涨期权，让员工分享公司成长：股价高于执行价时，员工行权后按市价卖出获利。许多公司（尤其科技公司）认为这是吸引和留住人才的唯一办法；有的只授予高管，有的覆盖全员。微软是早期使用者，估计逾 1 万名员工因此成为百万富翁；但 2003 年微软宣布停用期权、改授股票。初创企业尤其青睐 ESO：现金不足以支付市场薪酬，以期权补足，若 IPO 成功则期权价值巨大（甚至暑期实习生也获得数十万美元）。本章讨论：合约安排、能否使股东与管理层利益一致、会计处理、估值方法、倒签丑闻。

16.1 合约安排（Contractual Arrangements，PDF p.377–378）

ESO 期限常长达 10–15 年，执行价通常等于授予日股价（初始平值）。典型特征：
1. 有等待期/归属期（vesting period），期间不能行权，可长达 4 年；
2. 等待期内离职（无论自愿与否）则期权作废；
3. 等待期后离职，虚值期权作废，实值的已归属期权须几乎立即行权；
4. 员工不得出售期权；
5. 行权时公司增发新股按执行价卖给员工。

提前行权决策（The Early Exercise Decision）

第 4 条影响重大：员工想兑现已归属期权的现金价值，只能行权并卖股，不能把期权卖给他人。因此 ESO 往往比同类交易所/场外看涨期权行权更早。第 11.5 节"不付息股票普通看涨永不提前行权"的论证（卖期权优于行权）对 ESO 不适用。员工为兑现或分散持仓而提前行权很常见。
员工是否应提前行权并继续持有股票？比较 ESO（期权 A）与可在市场出售的同条款普通期权（期权 B）。不付息时 B 不应提前行权，因此"行权 A 并持股"也非最优；若员工想保留公司股份，更好的做法是继续持有期权——推迟支付执行价并保留期权的保险价值。只有在行权 B 最优时（如即将派发较高股息，见 15.12 节），提前行权 A 并持股才可能理性（脚注：例外是高管想要投票权）。
实务中各公司差别很大：有的公司文化是不提前行权；有的员工在等待期结束后、即使只是略微实值也会行权卖股。

资本市场需要股东与管理层利益大体一致；管理者是股东的代理人，利益不一致造成的损失称为代理成本（agency costs）（第 8 章）。
初创公司：期权很有用。主要股东（多为高管）借此激励员工长时间工作；公司成功 IPO 员工大赚，失败则期权一文不值。
最具争议的是上市公司高管期权。估计美国高管薪酬约 50% 来自 ESO，被称为"按绩效付酬（pay for performance）"。但期权收益不对称：公司表现差时股东亏钱，高管只是没赚到，不承担损失。脚注：期权变虚值后公司有时用新的平值期权替换，称重新定价（repricing），使高管收益与股东更脱节。许多人认为**限制性股票单位（restricted stock unit，RSU）**更好：高管在归属日获得股票，盈亏与其他股东一致。期权的不对称性也可能诱使高管承担本不会承担的风险，未必符合股东利益。
诱惑：计划三个月后行权卖股的高管，可能调整好消息的发布时机或在季度间挪动利润，让股价在行权前上涨；若三个月后将获授平值期权，可能设法在授予日前压低股价。这类行为不可接受、可能违法，倒签丑闻表明确有高管行为不端。
即使无不当行为，期权也可能促使高管关注短期利润而牺牲长期表现；大型基金经理担心期权占薪酬比重太大，使管理层花太多时间琢磨自身薪酬而非经营公司。
内部人信息与交易的冲突：一个激进建议是要求高管提前（如一周）向市场预告买卖本公司股票的意图，预告后具有约束力；市场可自行判断其动机，股价可能在高管买入前上涨、卖出前下跌（脚注：行权并卖股也须预告卖出意图）。

16.3 会计问题（Accounting Issues，PDF p.380–381）

ESO 和其他薪酬一样是公司成本、员工收益。很多高管认为期权不实值就没有价值，因此平值期权对公司无成本——这是错误的：期权对员工有价值，就必然是股东的成本，没有免费午餐。成本来自公司承诺在股价表现好时以低于市价向员工卖股。
历史：1995 年前计入损益表的成本为内在价值（intrinsic value），平值授予则为零。1995 年 FAS 123 发布，原以为会要求按公允价值费用化，但经激烈游说后只是"鼓励"按公允价值计入损益表，不费用化则须在附注中披露。现在准则要求所有股权激励按公允价值计入损益表：2004 年 2 月国际会计准则理事会发布 IAS 2（应为 IFRS 2，原文如此），要求 2005 年起费用化；2004 年 12 月 FAS 123 修订，美国 2005 年起要求费用化。
新准则要求在授予日估值，并在授予当年计为费用，此后不要求重估。Hull 与 White 主张在每个财年末（或每季度）重估，直到行权或到期，像公司其他衍生品交易一样：期权增值则追加费用，贬值则增加收益。优点：累计费用等于期权真实成本（未行权为零，行权则为期权收益）；虽然每年费用依赖定价模型，累计费用不依赖模型（脚注：若期权以现金结算，本就适用此种处理，而现金结算与发新股在经济上无差别）；还能削弱倒签动机。常被引用的缺点是给损益表带来波动；但脚注指出重估反而可能降低波动：公司表现好时重估减少利润，表现差时增加利润。

股票期权的替代品（Alternatives to Stock Options，PDF p.381）

2005 年新规促使公司考虑替代方案：RSU 被广泛采用；变体市场杠杆股票单位（market-leveraged stock unit，MSU）：归属日获得的股数为 $S_T/S_0$（$S_0$ 为授予日股价，$S_T$ 为归属日股价）。脚注：有时设股数上下限，$S_0,S_T$ 可取授予日、归属日前若干天的均价。
大盘上涨时，即使本公司跑输市场，期权持有者也会获利。改进：执行价与标普 500 挂钩。例：授予日股价 30、标普 500 为 1,500，初始执行价 30；指数涨 10% 到 1,650，执行价升至 33；指数跌 15% 到 1,275，执行价降至 25.50。这样股价必须跑赢指数才实值。也可用同行业指数作为参照。

16.4 估值（Valuation，PDF p.381–385）

会计准则给公司较大的估值方法选择空间。

"快速粗略"法（The "Quick and Dirty" Approach）

基于期权预期期限（expected life）：员工持有期权直至行权或到期的平均时间，可由历史行权数据近似估计，反映了等待期、离职以及提前行权倾向。用 BSM，$T$ 取预期期限，波动率通常用数年历史数据估计（15.4 节）。
这在理论上没有依据：没有理由认为 $T$ 取预期期限的欧式期权价值约等于美式 ESO 价值；但结果并非不合理。公司在报告 ESO 费用时常披露所用波动率与预期期限。
例 16.1：2014 年 11 月 1 日授予高管 100 万份期权，股价与执行价均为 30，期限 10 年，3 年后归属。过去 10 年类似平值期权的平均行权/到期时间 4.5 年，故预期期限取 4.5 年；用 5 年历史数据估计长期波动率 25%；未来 4.5 年股息现值 4；4.5 年零息利率 5%。按股息调整后的 BSM：$S_0=30-4=26$，$K=30$，$r=5\%$，$\sigma=25\%$，$T=4.5$，每份 6.31 美元，损益表费用 631 万美元。

二叉树方法（Binomial Tree Approach）

构造第 13 章二叉树，倒推时调整规则以反映：(a) 期权是否已归属；(b) 员工离职概率；(c) 员工选择行权的概率。归属状态由条款决定；离职导致提前行权或作废的概率可由历史离职率估计；主动行权概率较难量化，它随股价/执行价之比上升、随剩余期限缩短而上升，数据充足时可估计为这两个变量的函数。
例 16.2：期限 8 年，3 年后归属，股价与执行价均为 40，$\sigma=30\%$，$r=5\%$，无股息。四步树（仅示意）：$\Delta t=2$，$a=e^{0.05\times2}=1.1052$，$u=e^{0.3\sqrt2}=1.5285$，$d=1/u=0.6543$，$p=(a-d)/(u-d)=0.5158$。可能提前行权的节点 D、G、H（B 点未归属，其余到期前节点虚值）。假设在 D、G、H 主动行权概率（以此前未行权为条件）分别为 40%、80%、30%；每一时间步离职概率 5%（约对应年离职率 2.5%），离职发生在期末；未归属或虚值时离职则作废，否则须立即行权。
- 终值节点为内在价值。6 年节点：I、J 必然导向零值，期权值 0。H 点（股价 61.14）：总行权概率 $0.3+0.7\times0.05=0.335$；行权价值 $61.14-40=21.14$；不行权价值 $e^{-0.05\times2}(0.5158\times53.45+0.4842\times0)=24.95$；H 值 $0.335\times21.14+0.665\times24.95=23.67$。G 点（股价 142.83）：$0.81\times102.83+0.19\times106.64=103.56$。
- 4 年节点：F 为 0；E（股价 40）：5% 离职作废，95% 保留，保留价值 $e^{-0.1}(0.5158\times23.67)=11.05$，故 $0.95\times11.05=10.49$；D（股价 93.45）：行权概率 $0.4+0.6\times0.05=0.43$，保留 0.57，值 56.44。
- 初始节点和 2 年节点未归属：5% 作废、95% 保留。初始价值 14.97，而同一棵树上普通期权价值 17.98。

行权倍数法（The Exercise Multiple Approach，PDF p.384–385）

Hull–White 模型：员工在期权归属后、一旦股价/执行价之比超过某水平即行权，该比值称行权倍数（exercise multiple）。用二叉树或三叉树估值；重要的是让树的节点落在触发行权的股价上（见 27.6 节）。例：执行价 30，倍数 1.5，则树应在 45 有节点。计算类似例 16.2，并考虑离职概率。估计行权倍数：用历史数据计算行权时股价/执行价比的平均值（不含到期行权和因离职被迫的行权）。它可能比预期期限更易从历史数据估计，因为后者高度依赖股价走过的具体路径。

市场化方法（A Market-Based Approach，PDF p.385）

看市场愿意付多少。思科 2006 年首先尝试，拟向机构投资者出售与其 ESO 条款完全相同的期权，SEC 以竞买者范围不够广为由否决。
Zions Bancorp 方案：出售收益复制员工实际所得的证券。如执行价 40，1% 员工恰在第 5 年股价 60 时行权、2% 在第 6 年股价 65 时行权……则投资者所持证券的 1% 在 5 年后付 20，2% 在 6 年后付 25，依此类推。以**荷兰式拍卖（Dutch auction）**出售：投标者提交价格与数量；清算价为使"出价不低于该价的总需求 ≥ 供给"的最高出价；高于清算价者全部按清算价成交，出价等于清算价者获得剩余部分。2007 年 10 月宣布获 SEC 批准，但未被广泛使用。

稀释（Dilution，PDF p.385）

行权时以低于市价增发新股，现有股东被稀释。直觉上稀释发生在行权时，实际不然：如 15.10 节所述，市场一得知授予消息股价就已稀释，可能的行权已被预期并反映在股价中（Business Snapshot 15.3）。只要用公告后的股价估值，就不必再为稀释调整。市场若预期公司定期授予，股价甚至在公告前就已反映。若授予会出乎市场意料，其成本可按例 15.7 计算，再与降低常规薪酬、减少离职等收益比较。

16.5 倒签丑闻（Backdating Scandals，PDF p.386–387）

倒签（backdating）：在文件上标注早于当前的日期。例：公司 4 月 30 日（股价 50）决定授予平值期权，若 4 月 3 日股价 42，就假装 4 月 3 日授予、执行价 42。若公司如实报告这些期权在 4 月 30 日决策日已实值 8 美元，则合法；若报告为 4 月 3 日授予的平值期权则违法——执行价 42 的期权在 4 月 3 日的价值远低于 4 月 30 日，股东被误导低估了成本。
证据：Yermack (1997) 发现报告的授予日后股价倾向上涨；Lie (2005) 发现授予日前股价倾向下跌，且这一模式随时间愈发明显。图 16.2 展示 1993–94、1995–98、1999–2002 三个时期授予日前后 ±30 天的平均异常收益（abnormal returns，即剔除市场组合收益与 beta 影响后的收益），呈先跌后涨的 V 形，统计上几乎不可能是偶然。2002 年学界与监管者认定倒签普遍；2002 年 8 月 SEC 要求上市公司在两个工作日内报告期权授予。Heron & Lie (2007) 表明此后授予日附近异常收益大幅减少（尤其对合规公司），有力排除了"只是在坏消息后/好消息前选择授予日"的解释。
规模：美国可能有数十至数百家公司非法倒签，许多公司认为倒签一个月以内可接受；部分 CEO 辞职。2007 年 8 月 Brocade 的 Gregory Reyes 成为首位因倒签受审的 CEO（据称说过"不被抓到就不违法"），2010 年 6 月被判 18 个月监禁、罚款 1,500 万美元。涉事公司须重述财报并面临股东集体诉讼，如 McAfee 2007 年 12 月宣布重述 1995–2005 年盈利 1.374 亿美元，2006 年预留 1,380 万美元应对诉讼。

本章小结（PDF p.387）

过去 20 年高管薪酬飞速增长，大部分来自期权行权。2005 年前平值期权对损益表无影响且对员工很有价值，极具吸引力；现在须费用化。估值方法：BSM 配预期期限；行权倍数（障碍）法；估计行权概率与价格比、剩余期限关系的树方法；创造复制期权收益的市场。学术研究确证许多公司非法倒签，首批起诉在 2007 年。

习题概览（PDF p.388–389）

概念/讨论：2005 年前授予平值期权为何有吸引力、2005 年变化（16.1）；ESO 与普通美式看涨的区别（16.2）；为何 ESO 常提前行权（16.3）；期权激励是否使高管符合股东利益、"像让球员赌比赛"（16.4、16.5）；倒签动机与 2002 年变化（16.6）；季度重估如何削弱倒签收益（16.7）；如何做出图 16.2 的事件研究（16.8）；CFO 抱怨会计处理（16.13）；对冲基金激励费与高管期权的类比（16.17）。
计算：行权对股价影响（16.9，答案：已被预期，无影响）；解读财报附注的预期期限 BSM（16.10）；荷兰式拍卖结果（16.11）；预期期限 BSM 计算费用（16.12、16.15 含股息）；例 16.2 的风险中性预期期限及对应 BSM 价值（16.14）；四步树估值，主动行权概率 $1-\exp[-a(S/K-1)/T]$，$a=2$，离职率 4%（16.16）。

本章要点

ESO 的关键特征：归属期、离职作废/强制行权、不可转让、行权时增发新股；不可转让导致提前行权。
期权收益不对称，可能诱发短视、操纵信息发布时间与过度冒险；RSU、MSU、指数挂钩执行价是替代方案。
会计上 2005 年起须按授予日公允价值费用化；Hull 主张定期重估。
估值：预期期限 + BSM（实务常用但无理论依据）；含归属、离职、行权概率的二叉树；行权倍数法；市场化拍卖。
稀释在公告时已反映于股价，估值不必再调整。
倒签可通过授予日前后异常收益的事件研究识别；2002 年两日报告规则后显著减少。

与量化交易的关联

事件研究方法：图 16.2 的异常收益（市场模型/CAPM 调整）分析是量化研究中事件驱动因子的标准工具，可直接迁移到公告效应、内部人交易、股权激励公告等信号研究。
基本面与因子：股权激励费用、潜在稀释影响 EPS 与估值；内部人行权和卖股行为（尤其行权时点与信息发布时点的关系）可作为另类数据信号。
定价建模：带归属、离职、行为性行权的二叉树是"非理性行权"建模的范例，类似思路用于可转债、按揭提前偿付等含行为期权的产品。
其余公司治理与会计内容与交易执行、组合优化无直接关联。

第 17 章股指期权与货币期权（Options on Stock Indices and Currencies，PDF p.390–405）

章首导言（PDF p.390）

第 10 章已介绍股指期权与货币期权。本章更详细讨论其运作与用途；后半章将第 15 章的结果推广到支付**已知股息率（known dividend yield）**股票的欧式期权，并论证股指与货币都类似于支付股息率的股票，从而可直接套用。

17.1 股指期权（Options on Stock Indices，PDF p.390–392）

多家交易所交易股指期权，有的跟踪整体市场，有的跟踪特定行业（计算机、油气、运输、电信）。CBOE 的股指期权包括：S&P 100 的美式（OEX）与欧式（XEO）、S&P 500 欧式（SPX）、道琼斯工业平均指数欧式（DJX）、Nasdaq 100 欧式（NDX）。CBOE 也提供指数的 LEAPS 和 flex 期权。
一份合约为指数的 100 倍（DJX 所用道指为通常报价的 0.01 倍）。现金结算（cash settled）：看涨持有人行权得 $(S-K)\times100$ 现金，$S$ 为行权日收盘指数；看跌得 $(K-S)\times100$。

组合保险（Portfolio Insurance）

经理管理 beta 为 1.0 的充分分散组合，假设组合股息率与指数相同，则组合百分比变化约等于指数百分比变化。指数现值 $S_0$，每 $100S_0$ 美元组合买 1 份执行价 $K$ 的看跌合约，即可防范指数跌破 $K$。
例：组合 50 万美元，指数 1,000，组合相当于 500 倍指数。为防组合 3 个月内跌破 45 万美元，买 5 份 3 个月期、执行价 900 的看跌合约。若指数跌至 880，组合约值 44 万，期权收益 $5\times(900-880)\times100=10{,}000$，总值回到保险水平 45 万。

组合 beta 不等于 1（When the Portfolio's Beta Is Not 1.0）

每 $100S_0$ 美元组合需买 $\beta$ 份看跌。上例若 $\beta=2.0$，需 $2.0\times\frac{500{,}000}{1{,}000\times100}=10$ 份。
执行价用 CAPM 确定（第 3 章附录）：组合超额收益 = $\beta$ × 指数超额收益。设无风险利率 12%，指数与组合股息率均为 4%，要求组合 3 个月内不低于 45 万。
表 17.1（3 个月后指数 1,040，$\beta=2$）：指数价格变化收益 4%；指数股息 $0.25\times4=1\%$；指数总收益 5%；无风险利率 3%；指数超额收益 2%；组合预期超额收益 $2\times2=4\%$；组合预期收益 $3+4=7\%$；组合股息 1%；组合预期增值 6%；组合预期价值 $500{,}000\times1.06=530{,}000$。
表 17.2 指数与组合价值对应：1,080→570,000；1,040→530,000；1,000→490,000；960→450,000；920→410,000；880→370,000。（指数每变动 40 点，组合变动 4 万。）故执行价应取 960。若指数跌至 880，组合约 37 万，看跌收益 $(960-880)\times10\times100=80{,}000$，恰好补足到 45 万。脚注：3 个月约有 1%（5,000 美元）股息；若保险水平要包含股息，可取对应 44.5 万的执行价 955。
结论：组合 beta 越高，对冲成本越高，原因有二：需要更多看跌期权，且执行价更高。

17.2 货币期权（Currency Options，PDF p.392–395）

主要在场外市场交易，优点是可做大额交易，执行价、到期日等可按公司财务主管需要定制；美国 NASDAQ OMX 也有交易所货币期权，但规模远小于场外。
例：欧式看涨，有权以 1.3000 美元/欧元买入 100 万欧元；到期汇率 1.3500 时收益 $1{,}000{,}000\times(1.35-1.30)=50{,}000$ 美元。欧式看跌，有权以 0.9000 美元/澳元卖出 1,000 万澳元；到期 0.8700 时收益 $10{,}000{,}000\times0.03=300{,}000$ 美元。
外汇对冲：将收到英镑的美国公司可买英镑看跌，保证汇率不低于执行价，同时保留有利变动的收益；将支付英镑者买英镑看涨，保证成本上限。远期锁定汇率且建立无成本；期权提供保险，但须预付期权费。

区间远期（Range Forwards）

美国公司 3 个月后收到 100 万英镑，3 个月远期汇率 1.5200。可做空远期锁定 152 万美元。
替代方案：买入执行价 $K_1$ 的欧式看跌、卖出执行价 $K_2$ 的欧式看涨，$K_1<1.5200<K_2$，称为空头区间远期（short range forward）（图 17.1a）。到期汇率 $<K_1$：行使看跌，以 $K_1$ 卖出；介于 $K_1,K_2$：都不行权，按市价卖；$>K_2$：看涨被行权，以 $K_2$ 卖出。实现汇率被限制在 $[K_1,K_2]$（图 17.2）。
若公司需支付英镑：卖出 $K_1$ 看跌、买入 $K_2$ 看涨，即多头区间远期（图 17.1b），支付汇率同样被限制在 $[K_1,K_2]$。
实务中设置使看跌价格 = 看涨价格，建立成本为零。例：美英利率均为 5%（即期=远期=1.5200），汇率波动率 14%，用 DerivaGem 得执行价 1.5000 的看跌与执行价 1.5413 的看涨价格相同（均为每英镑 0.03250），故 $K_1=1.5000$、$K_2=1.5413$ 为零成本合约。
当两执行价向中间靠拢至相等，区间远期退化为普通远期（空头→空头远期，多头→多头远期）。

17.3 支付已知股息率股票的期权（Options on Stocks Paying Known Dividend Yields，PDF p.395–397）

核心论证：股息使股价在除息日下跌，以速率 $q$ 支付股息率使股价增长率降低 $q$。若有股息率 $q$ 时股价从 $S_0$ 增长到 $S_T$，则无股息时会从 $S_0$ 增长到 $S_Te^{qT}$；等价地，无股息时从 $S_0e^{-qT}$ 增长到 $S_T$。故以下两种情形 $S_T$ 分布相同：(1) 股价 $S_0$，股息率 $q$；(2) 股价 $S_0e^{-qT}$，无股息。
规则：对期限 $T$、股息率 $q$ 的股票欧式期权，把当前股价从 $S_0$ 换成 $S_0e^{-qT}$，再按无股息股票估值。（脚注：类比 15.12 节离散现金股息时减去股息现值；此处按股息率贴现股价。）

期权价格下界

c\ge\max(S_0e^{-qT}-Ke^{-rT},\ 0)\tag{17.1}

直接证明：组合 A 为一份欧式看涨 + 现金 $Ke^{-rT}$；组合 B 为 $e^{-qT}$ 股股票（股息再投资于股票）。

p\ge\max(Ke^{-rT}-S_0e^{-qT},\ 0)\tag{17.2}

组合 C 为一份欧式看跌 + $e^{-qT}$ 股（股息再投资）；组合 D 为现金 $Ke^{-rT}$。

看涨-看跌平价（Put–Call Parity）

c+Ke^{-rT}=p+S_0e^{-qT}\tag{17.3}

组合 A 与组合 C 到期都值 $\max(S_T,K)$。美式期权（习题 17.12）：

S_0e^{-qT}-K\le C-P\le S_0-Ke^{-rT}

定价公式（Merton 1973）

c=S_0e^{-qT}N(d_1)-Ke^{-rT}N(d_2)\tag{17.4}

p=Ke^{-rT}N(-d_2)-S_0e^{-qT}N(-d_1)\tag{17.5}

由 $\ln(S_0e^{-qT}/K)=\ln(S_0/K)-qT$：

d_1=\frac{\ln(S_0/K)+(r-q+\sigma^2/2)T}{\sigma\sqrt T},\qquad d_2=d_1-\sigma\sqrt T

"股息"应定义为已宣告股息导致的除息日股价下降额。若股息率已知但非常数，公式仍成立，$q$ 取期权期内的平均年化股息率。

微分方程与风险中性定价

加入股息率后 PDE（证明见 Technical Note 6）： $\frac{\partial f}{\partial t}+(r-q)S\frac{\partial f}{\partial S}+\frac12\sigma^2S^2\frac{\partial^2f}{\partial S^2}=rf\tag{17.6}$ 不含风险偏好变量，可用风险中性定价。风险中性世界股票总收益为 $r$，股息贡献 $q$，故价格期望增长率 $r-q$： $dS=(r-q)S\,dt+\sigma S\,dz\tag{17.7}$ 期望股价 $S_0e^{(r-q)T}$；由第 15 章附录方法，看涨风险中性期望收益为 $e^{(r-q)T}S_0N(d_1)-KN(d_2)$，以 $r$ 贴现得 (17.4)。

17.4 欧式股指期权估值（Valuation of European Stock Index Options，PDF p.397–400）

如第 5 章对股指期货的处理，把指数视为支付已知收益率的资产：(17.1)(17.2) 为下界，(17.3) 为平价，(17.4)(17.5) 为定价公式，美式用二叉树。$S_0$ 为指数值，$\sigma$ 为指数波动率，$q$ 为期权期内平均年化股息率。
例 17.1：S&P 500 两个月欧式看涨，$S_0=930$，$K=900$，$r=8\%$，$\sigma=20\%$；第一、二个月预期股息率 0.2%、0.3%，合计 0.5%，即年化 3%，$q=0.03$，$T=2/12$。$d_1=\frac{\ln(930/900)+(0.08-0.03+0.02)\times2/12}{0.2\sqrt{2/12}}=0.5444$，$d_2=0.4628$；$N(d_1)=0.7069$，$N(d_2)=0.6782$；$c=930\times0.7069e^{-0.03\times2/12}-900\times0.6782e^{-0.08\times2/12}=51.83$。一份合约 5,183 美元。
$q$ 只应包含除息日落在期权期内的股息。美国除息日多集中在 2、5、8、11 月第一周，故合适的 $q$ 依期限而异；其他国家更明显，如日本公司多用相同除息日。
若假设已知的是成分股绝对股息额，可用"指数减股息现值"的方法（第 15 章），但对宽基指数需知道每只成分股的预期股息，难以实施。
有观点认为长期而言分散股票组合几乎必然跑赢债券；若如此，允许按债券组合价值卖出股票组合的长期看跌应很便宜——实际很贵（Business Snapshot 17.1）。

远期价格表示

指数远期价格 $F_0=S_0e^{(r-q)T}$（式 5.3），故 $c=F_0e^{-rT}N(d_1)-Ke^{-rT}N(d_2)\tag{17.8}$ $p=Ke^{-rT}N(-d_2)-F_0e^{-rT}N(-d_1)\tag{17.9}$ $d_1=\frac{\ln(F_0/K)+\sigma^2T/2}{\sigma\sqrt T},\qquad d_2=\frac{\ln(F_0/K)-\sigma^2T/2}{\sigma\sqrt T}$
平价改写为 $c+Ke^{-rT}=p+F_0e^{-rT}$，即 $F_0=K+(c-p)e^{rT}\tag{17.10}$ 交易所中同一到期日、同一执行价的看涨看跌常常都很活跃，可用 (17.10) 估计该期限的指数远期价格；得到多个期限的远期价格后即可估计远期价格期限结构，并用 (17.8)(17.9) 为其他期权估值，好处是无须显式估计股息率。

隐含股息率（Implied Dividend Yields）

需要股息率时（如美式期权估值），由 (17.3)： $q=-\frac1T\ln\frac{c-p+Ke^{-rT}}{S_0}$ 单一执行价/期限的估计不可靠，但综合多对看涨看跌可得到市场隐含的股息率期限结构。

Business Snapshot 17.1 能保证股票长期跑赢债券吗？

基金经理想向跟踪标普 500 的基金投资者保证 10 年收益不低于无风险债券；历史上美国股票几乎在任何 10 年都跑赢债券，似乎代价不大。设指数 1,000，股息率 1%，波动率 15%，10 年无风险利率 5%。股票需年化收益 >5%，股息提供 1%，资本利得需 4%，即 10 年后指数至少 $1{,}000e^{0.04\times10}=1{,}492$。该保证等价于 10 年后以 1,492 卖出指数的欧式看跌：$S_0=1000$，$K=1492$，$r=5\%$，$\sigma=15\%$，$T=10$，$q=1\%$，价值 169.7，约占基金 17%——绝不该白送。

17.5 欧式货币期权估值（Valuation of European Currency Options，PDF p.400–401）

$S_0$ 为即期汇率：1 单位外币值多少美元。外币类似支付已知股息率的股票，持有外币获得外国无风险利率 $r_f$。把 $q$ 换成 $r_f$： $c\ge\max(S_0e^{-r_fT}-Ke^{-rT},0),\qquad p\ge\max(Ke^{-rT}-S_0e^{-r_fT},0)$ $c+Ke^{-rT}=p+S_0e^{-r_fT}$ $c=S_0e^{-r_fT}N(d_1)-Ke^{-rT}N(d_2)\tag{17.11}$ $p=Ke^{-rT}N(-d_2)-S_0e^{-r_fT}N(-d_1)\tag{17.12}$ $d_1=\frac{\ln(S_0/K)+(r-r_f+\sigma^2/2)T}{\sigma\sqrt T},\quad d_2=d_1-\sigma\sqrt T$ （即 Garman–Kohlhagen 模型）。$r$、$r_f$ 均为期限 $T$ 的利率。
例 17.2：4 个月英镑欧式看涨，$S_0=K=1.6$，$r=8\%$，$r_f=11\%$，$T=0.3333$，期权价 4.3 美分（0.043）。试错：$\sigma=20\%$ 得 0.0639，$\sigma=10\%$ 得 0.0285……隐含波动率 14.1%。
对称性：以执行价 $K$ 用货币 B 卖出 1 单位货币 A 的看跌，等同于以执行价 $1/K$ 用货币 A 买入 $K$ 单位货币 B 的看涨（习题 17.8）。

使用远期汇率（Using Forward Exchange Rates，PDF p.401）

金融机构活跃交易外汇远期，常用远期汇率估值。$F_0=S_0e^{(r-r_f)T}$（式 5.9），故 $c=e^{-rT}[F_0N(d_1)-KN(d_2)]\tag{17.13}$ $p=e^{-rT}[KN(-d_2)-F_0N(-d_1)]\tag{17.14}$ $d_1=\frac{\ln(F_0/K)+\sigma^2T/2}{\sigma\sqrt T},\quad d_2=d_1-\sigma\sqrt T$ 与 (17.8)(17.9) 相同。第 18 章将说明：任何资产即期价格上的欧式期权，都可用期限相同的远期/期货价格通过 (17.13)(17.14) 估值。

17.6 美式期权（American Options，PDF p.401–402）

用第 13 章二叉树：$u=e^{\sigma\sqrt{\Delta t}}$，$d=1/u$，$p=(a-d)/(u-d)$；不付息股票 $a=e^{r\Delta t}$，而 $\text{指数：}a=e^{(r-q)\Delta t}\tag{17.15}$ $\text{货币：}a=e^{(r-r_f)\Delta t}\tag{17.16}$ 例 13.1（两步树，指数）、例 13.2（三步树，货币），更多例子见第 21 章。
美式货币/指数期权有时提前行权最优，因此价值高于欧式。高利率货币的看涨、低利率货币的看跌最可能提前行权（高利率货币预期贬值、低利率货币预期升值）；同理，高股息率指数的看涨、低股息率指数的看跌最可能提前行权。

本章小结与延伸阅读（PDF p.402–403）

交易所指数期权现金结算，乘数 100；组合保险每 $100S_0$ 美元买 $\beta$ 份看跌，执行价反映保险水平。货币期权多为场外，用于企业外汇对冲；区间远期是零成本的下行保护、放弃部分上行收益。BSM 可推广到已知股息率股票，从而为指数（$q$=成分股股息率）和货币（$q=r_f$）期权定价；美式用二叉树。延伸阅读：Biger & Hull (1983)、Garman & Kohlhagen (1983)、Grabbe (1983)、Bodie (1995) 论股票长期风险、Merton (1973)。

习题概览（PDF p.403–405）

组合保险：beta=1（17.1、17.16）、beta=2 并用 CAPM 求执行价（17.17）；beta 越高成本越高（17.15）。
下界与平价：指数看涨下界（17.3）、货币欧式/美式看涨下界（17.9）、由看涨价推看跌价（17.10）、货币平价（17.20）、证明 (17.1)–(17.3)（17.21）、美式期权平价不等式（17.12）、远期价格等于执行价时货币看涨=看跌（17.13）。
定价：指数看涨/看跌（17.6、17.11）、货币看跌（17.7）、二叉树货币期权欧式与美式（17.4）、三步树指数看跌（17.24）、加元期权与反向货币期权（17.25）、比索期权由远期汇率定价（17.30）。
隐含参数：隐含股息率（17.18、17.26 并求隐含波动率）、道指期权隐含波动率（17.23）。
区间远期：用途（17.5）、零成本上执行价及利差不变时与利率水平无关（17.28）。
其他：货币对称性证明（17.8）；指数波动率与个股波动率比较（17.14）；全收益指数的远期与期权（17.19）；交叉汇率期权能否由两个美元汇率期权构成（17.22）；货币 B 以 A 计价的过程（17.27）；保证 10 年收益非负的成本（17.29）。

本章要点

支付股息率 $q$ 的股票：用 $S_0e^{-qT}$ 替换 $S_0$ 即得下界、平价、BSM（Merton 公式）；风险中性漂移为 $r-q$。
股指：$q$ 为期内平均股息率；货币：$q=r_f$（Garman–Kohlhagen）。
用远期价格表示的 Black 型公式 (17.8)(17.13) 无须显式估计股息；平价关系可反推远期价格与隐含股息率。
组合保险：份数 $\beta\times$ 组合价值 /(100×指数)，执行价由 CAPM 映射得到。
区间远期 = 买看跌 + 卖看涨（零成本），把汇率锁定在区间内。
高收益率货币/指数的看涨、低收益率的看跌最可能提前行权。

与量化交易的关联

定价与系统实现：带连续收益率 $q$ 的广义 BSM 是期权库的统一接口（股票 $q$=股息率，指数，外汇 $q=r_f$，期货 $q=r$）；Black 型远期价格公式是做市系统的标准做法，用平价关系从期权报价反推远期/隐含股息率（隐含 borrow/股息）是构建波动率曲面前的必要步骤。
风险管理与组合对冲：基于 beta 的指数看跌保护计算、保护成本随 beta 上升，可直接用于尾部对冲预算；Business Snapshot 17.1 说明"长期股票必胜"保证的期权成本，适合评估保本产品。
因子/另类数据：从期权价格提取的隐含股息率、隐含远期可作为股息预期与借券成本信号。
外汇执行：区间远期（collar）是企业外汇套保的常见结构，对 FX 交易和结构化产品定价有直接意义。

第 18 章期货期权（Futures Options，PDF p.406–421）

章首导言（PDF p.406）

此前讨论的期权行权时立即买卖标的资产，称现货期权（spot options / options on spot）。本章讨论期货期权（futures options / options on futures）：行权使持有人获得一个期货头寸。美国 CFTC 1982 年试点批准期货期权交易，1987 年永久批准，此后迅速流行。本章内容：期货期权的运作及与现货期权的区别；用二叉树和类似 BSM 的公式（Black 模型）定价；期货期权与现货期权的相对定价；期货式期权。

18.1 期货期权的性质（Nature of Futures Options，PDF p.406–409）

期货期权是在某日期前以某期货价格进入期货合约的权利而非义务。看涨期货期权：以某价格建立期货多头的权利；看跌期货期权：建立期货空头的权利。通常为美式。
看涨行权：持有人获得标的期货多头，外加现金 = 最近结算期货价格 − 执行价；看跌行权：获得期货空头，外加现金 = 执行价 − 最近结算期货价格。有效收益为看涨 $\max(F-K,0)$、看跌 $\max(K-F,0)$，$F$ 为行权时期货价格。
例 18.1：8 月 15 日，持有 9 月铜期货看涨，执行价 320 美分/磅，一份期货 25,000 磅。当前 9 月期货价 331 美分，8 月 14 日收盘结算价 330。行权得现金 $25{,}000\times(330-320)$ 美分 = 2,500 美元，外加 9 月买入 25,000 磅铜的期货多头。若立即平仓，再得 $25{,}000\times(331-330)$ 美分 = 250 美元（上次结算以来的价格变化）。总收益 2,750 美元 = $25{,}000(F-K)$。
例 18.2：12 月玉米期货看跌，执行价 600 美分/蒲式耳，一份 5,000 蒲式耳；当前期货价 580，最近结算价 579。行权得现金 $5{,}000\times(600-579)$ 美分 = 1,050 美元，外加期货空头；平仓需减去 $5{,}000\times(580-579)$ 美分 = 50 美元，净收益 1,000 美元 = $5{,}000(K-F)$。

到期月份（Expiration Months）

期货期权以标的期货的交割月命名，而非期权到期月。到期日通常在标的期货最后交易日之前不久（如 CME 国债期货期权在期货交割月前一月月底之前至少两个营业日的最后一个周五到期）。例外：CME 中间曲线（mid-curve）欧洲美元期权，标的期货在期权到期后 1 或 2 年才到期。
美国热门合约：玉米、大豆、棉花、国际原糖、原油、天然气、黄金、长期国债、中期国债、5 年期国债、30 天联邦基金、欧洲美元、1 年和 2 年 mid-curve 欧洲美元、Euribor、欧洲 Bund、S&P 500。

利率期货期权（Options on Interest Rate Futures，PDF p.408–409）

美国交易最活跃的是长期国债期货、中期国债期货与欧洲美元期货的期权。
国债期货期权（CME）：标的为面值 10 万美元国债的期货合约；期权价格以面值百分比报价，精确到 1% 的 1/64。
欧洲美元期货期权（CME）：期货报价变动 1 个基点（0.01%）对应 25 美元盈亏；期权定价中 1 个基点同样代表 25 美元。
运作同其他期货期权：看涨行权后持有人得期货多头，卖方得空头；含期货头寸在内的总收益为 $\max(F-K,0)$。
利率期货价格随债券价格上涨（利率下降）而上涨。预期短期利率上升：买欧洲美元期货看跌；预期下降：买看涨。预期长期利率上升：买中/长期国债期货看跌；下降则买看涨。
例 18.3：2 月，6 月欧洲美元期货价 93.82（对应 3 个月利率 6.18%）；执行价 94.00 的看涨报价 0.1（10 个基点）。若利率下降约 100 基点，在期货价 94.78（利率 5.22%）时行权，收益 $25\times(94.78-94.00)\times100=1{,}950$ 美元；成本 $10\times25=250$ 美元；利润 1,700 美元。
例 18.4：8 月，12 月国债期货价 96-09（$96\frac{9}{32}=96.28125$），长期国债收益率约 6.4%。预期收益率下降者买执行价 98 的 12 月看涨，价格 1-04（$1\frac{4}{64}=1.0625\%$ 面值）。若长期利率降至 6%、期货价升至 100-00，每 100 美元面值净利 $100-98-1.0625=0.9375$；合约面值 10 万美元，每份利润 937.50 美元。

18.2 期货期权流行的原因（Reasons for the Popularity of Futures Options，PDF p.409）

期货合约在许多情况下比标的资产流动性更好、更易交易；期货价格从交易所即时可得，现货价格未必。
国债：国债期货市场远比任何单只国债活跃，期货价格即时可知，而债券价格需向一个或多个交易商询价；投资者更愿意交割期货而不是债券。
商品：交割活牛期货比交割活牛本身方便得多。
行权通常不导致标的资产交割，期货多在交割前平仓，期货期权最终多以现金结算，对资金有限、难以筹资买入现货的投资者有吸引力。
期货与期货期权在同一交易所并列交易，便于对冲、套利、投机，提高市场效率；许多情形下交易成本低于现货期权。

18.3 欧式现货期权与期货期权（European Spot and Futures Options，PDF p.409–410）

现货欧式看涨收益 $\max(S_T-K,0)$；期货欧式看涨收益 $\max(F_T-K,0)$。若期货与期权同时到期，$F_T=S_T$，两者等价；看跌同理。
交易的期货期权多为美式，但研究欧式期货期权很有用，因为其结果可用于为对应的欧式现货期权估值。

18.4 看涨-看跌平价（Put–Call Parity，PDF p.410–411）

组合 A：一份欧式看涨期货期权 + 现金 $Ke^{-rT}$；组合 B：一份欧式看跌期货期权 + 一份期货多头 + 现金 $F_0e^{-rT}$。
到期：A 的现金增长到 $K$，若 $F_T>K$ 看涨行权，A 值 $F_T$，否则值 $K$，故 A $=\max(F_T,K)$。B 的现金增至 $F_0$，看跌收益 $\max(K-F_T,0)$，期货收益 $F_T-F_0$（脚注：假设期货像远期一样到期才结算），B $=F_0+(F_T-F_0)+\max(K-F_T,0)=\max(F_T,K)$。
欧式不能提前行权，两组合今天价值相等。逐日结算使期货今日价值为零，故 $c+Ke^{-rT}=p+F_0e^{-rT}\tag{18.1}$ 与不付息股票平价 (11.6) 的区别：$S_0$ 替换为贴现期货价格 $F_0e^{-rT}$。
当期货与期权同时到期时，(18.1) 给出现货看涨、现货看跌与期货价格之间的关系。
例 18.5：6 个月现货白银欧式看涨价 0.56 美元/盎司，执行价 8.50；6 个月白银期货价 8.00，$r=10\%$。看跌价 $=0.56+8.50e^{-0.1\times6/12}-8.00e^{-0.1\times6/12}=1.04$。
美式期货期权（习题 18.19）： $F_0e^{-rT}-K\le C-P\le F_0-Ke^{-rT}\tag{18.2}$

18.5 期货期权的价格界限（Bounds for Futures Options，PDF p.411–412）

由 (18.1) 与 $p\ge0$： $c\ge\max[(F_0-K)e^{-rT},0]\tag{18.3}$ 由 $c\ge0$： $p\ge\max[(K-F_0)e^{-rT},0]\tag{18.4}$
深度实值时欧式价格非常接近下界：看涨深度实值时对应看跌深度虚值，$p\approx0$，而 $c$ 与其下界之差正是 $p$。
美式可随时行权：$C\ge\max(F_0-K,0)$，$P\ge\max(K-F_0,0)$。利率为正时，美式下界总高于欧式下界——美式期货期权总有一定提前行权的可能。

18.6 用二叉树为期货期权定价（Valuation Using Binomial Trees，PDF p.412–414）

关键区别：进入期货合约无需前期成本。
数值例：期货价 30，一个月后升到 33 或降到 28；一个月期看涨期货期权执行价 29，忽略逐日结算。上升时期权收益 4、期货价值 3；下降时期权收益 0、期货价值 −2（脚注：期货盈亏实际逐日实现，时间步越短近似越好）。
组合：空 1 份期权 + 多 $\Delta$ 份期货。上升值 $3\Delta-4$，下降值 $-2\Delta$，令相等得 $\Delta=0.8$。一个月后组合值 $-2\times0.8=-1.6$；$r=6\%$，今日值 $-1.6e^{-0.06/12}=-1.592$。期货今日价值为零，故期权价值 1.592。
一般化：期货价从 $F_0$ 升至 $F_0u$ 或降至 $F_0d$，期权收益 $f_u$、$f_d$（图 18.2）。无风险组合：空 1 份期权 + 多 $\Delta=\frac{f_u-f_d}{F_0u-F_0d}$ 份期货。$T$ 时组合值 $(F_0u-F_0)\Delta-f_u$，今日值 $[(F_0u-F_0)\Delta-f_u]e^{-rT}$，又等于 $-f$，化简得 $f=e^{-rT}[pf_u+(1-p)f_d]\tag{18.5}$ $p=\frac{1-d}{u-d}\tag{18.6}$ 与第 13.9 节一致，$p$ 为风险中性上涨概率。数值例：$u=1.1$，$d=0.9333$，$p=\frac{1-0.9333}{1.1-0.9333}=0.4$，$f=e^{-0.06/12}(0.4\times4+0.6\times0)=1.592$。
多步树：用于美式期货期权，与股票期权相同（13.9 节）；$u=e^{\sigma\sqrt{\Delta t}}$，$\sigma$ 为期货价格波动率；$p=(1-d)/(u-d)$。示例见例 13.3、例 21.3。

18.7 风险中性世界中期货价格的漂移（Drift of a Futures Price in a Risk-Neutral World，PDF p.414–415）

一般结论：风险中性世界中，期货价格的行为与支付股息率 $q=r$（本币无风险利率）的股票相同。
线索：期货二叉树的 $p$ 与股息率 $q=r$ 的股票相同（比较 (18.6) 与 (17.15)(17.16)，此时 $a=1$）；期货期权平价与股息率股票的平价在 $S\to F$、$q=r$ 时相同（比较 (18.1) 与 (17.3)）。
正式证明：结算日为 $0,\Delta t,2\Delta t,\dots$。时刻 0 建立多头价值为零，$\Delta t$ 时收益 $F_{\Delta t}-F_0$。以 $\Delta t$ 期短期利率 $r$ 风险中性定价：$e^{-r\Delta t}\hat E[F_{\Delta t}-F_0]=0$，故 $\hat E(F_{\Delta t})=F_0$；同理 $\hat E(F_{2\Delta t})=F_{\Delta t}$……串联得 $\hat E(F_T)=F_0$ 对任何 $T$ 成立。因此风险中性下期货价格漂移为零；由 (17.7)，相当于 $q=r$ 的股票。该结论极其一般，不依赖于利率、波动率等假设。脚注：更精确的说法（第 28 章）是"以货币市场账户为计价单位（numeraire）的传统风险中性世界中期货价格漂移为零"；零漂移过程称鞅（martingale）；远期价格则是以 $T$ 到期零息债为计价单位的风险中性世界中的鞅。
通常假设风险中性下期货价格过程： $dF=\sigma F\,dz\tag{18.7}$
微分方程：类似 15.6 节推导（Technical Note 7），依赖于期货价格的衍生品满足 $\frac{\partial f}{\partial t}+\frac12\sigma^2F^2\frac{\partial^2f}{\partial F^2}=rf\tag{18.8}$ 即 (17.6) 中 $q=r$ 的形式。

18.8 期货期权的 Black 模型（Black's Model for Valuing Futures Options，PDF p.415–417）

Fischer Black 1976 年首先给出。假设期货价格服从对数正态过程 (18.7)，在 (17.4)(17.5) 中令 $S_0\to F_0$、$q=r$： $c=e^{-rT}[F_0N(d_1)-KN(d_2)]\tag{18.9}$ $p=e^{-rT}[KN(-d_2)-F_0N(-d_1)]\tag{18.10}$ $d_1=\frac{\ln(F_0/K)+\sigma^2T/2}{\sigma\sqrt T},\quad d_2=d_1-\sigma\sqrt T$ $\sigma$ 为期货价格波动率。当持有成本与便利收益仅为时间的函数时，期货价格波动率等于标的资产波动率。
例 18.6：商品期货欧式看跌，$T=4/12$，$F_0=K=20$，$r=9\%$，$\sigma=25\%$，$\ln(F_0/K)=0$：$d_1=\sigma\sqrt T/2=0.07216$，$d_2=-0.07216$；$N(-d_1)=0.4712$，$N(-d_2)=0.5288$；$p=e^{-0.09\times4/12}(20\times0.5288-20\times0.4712)=1.12$。

用 Black 模型替代 BSM（PDF p.416–417）

18.3 节：期权与期货同时到期时，欧式期货期权与欧式现货期权等价，故 (18.9)(18.10) 可为欧式现货期权估值。
例 18.7：6 个月现货黄金欧式看涨，执行价 1,200，6 个月黄金期货价 1,240，$r=5\%$，期货价格波动率 20%。等同于 6 个月期货上的 6 个月欧式期权：$d_1=\frac{\ln(1240/1200)+0.04\times0.5/2}{0.2\sqrt{0.5}}=0.3026$，$d_2=0.1611$，$c=e^{-0.025}[1240N(d_1)-1200N(d_2)]=88.37$。
交易员偏好用 Black 模型为欧式现货期权估值：适用面广，标的可以是消费型或投资型资产，可以有收益；$F_0$ 取与期权同时到期的期货或远期价格。(17.13)(17.14) 是 Black 模型用于货币现货期权，(17.8)(17.9) 用于指数现货期权。最大优点：无须估计标的资产的收益（或便利收益），期货/远期价格已包含市场对其的估计。
如 17.4 节，对有活跃期权的期限用平价反推远期价格，再插值得到其他期限的远期价格；该方法适用于多种标的。

18.9 美式期货期权与美式现货期权（American Futures Options vs. American Spot Options，PDF p.417）

交易的期货期权通常为美式。$r>0$ 时美式期货期权总有提前行权最优的可能，因此价值高于欧式。
即使期货与期权同时到期，美式期货期权一般不等于对应的美式现货期权（"对应"指执行价、到期日相同）。
- 正向市场（normal market），到期前期货价格始终高于现货：美式看涨期货期权价值 > 美式现货看涨（提前行权时期货期权获利更大）；美式看跌期货期权 < 美式现货看跌。
- 反向市场（inverted market），期货价格始终低于现货：相反。
当期货比期权晚到期时差异同样成立，且期货到期越晚，差异越大。

18.10 期货式期权（Futures-Style Options，PDF p.417–418）

一些交易所（尤其欧洲）交易期货式期权：以期权收益为标的的期货合约。普通期权买方前期付现金、卖方收现金；期货式期权双方像普通期货一样缴纳保证金、逐日结算，最终结算价为期权收益。期货是对资产未来价格的押注，期货式期权是对期权收益的押注。
利率为常数时，期货式期权的期货价格 = 以期权收益为标的的远期价格，即**延后支付（in arrears）**时的期权价格 = 普通期权价值按无风险利率复利到到期日。
由 Black 模型，看涨期货式期权的期货价格为 $F_0N(d_1)-KN(d_2)$，看跌为 $KN(-d_2)-F_0N(-d_1)$，与利率水平无关；对期货上的期货式期权，$F_0$ 为标的期货当前价格；对资产现货价值的期货式期权，$F_0$ 为与期权同时到期的期货价格。
平价：$p+F_0=c+K$。
美式期货式期权可提前行权，届时按内在价值立即最终结算。期货上的美式期货式期权永不应提前行权，因为其期货价格总大于内在价值，可按对应欧式处理。

本章小结与延伸阅读（PDF p.418–419）

期货期权行权时交割标的期货：看涨得期货多头 + 期货价超出执行价的现金；看跌得空头 + 执行价超出期货价的现金；交割的期货通常略晚于期权到期。期货价格如同股息率为 $r$ 的股票，第 17 章结果可直接套用；Black (1976) 给出欧式公式，假设到期时期货价格对数正态。同时到期时欧式期货期权 = 欧式现货期权，常用来为现货期权估值；美式不成立：正向市场美式看涨期货期权更贵、看跌更便宜，反向市场相反。延伸阅读：Black (1976)。

习题概览（PDF p.419–421）

概念：日元看涨与日元期货看涨的区别（18.1）；为何债券期货期权比债券期权活跃（18.2）；期货价格的"股息率"是多少（18.3）；期货期权平价与股票平价的差异（18.5）；美式期货看涨何时比现货期权更值钱（18.6）；平值欧式期货看涨=看跌的原因（18.17）。
行权机制：黄金期货看跌行权（18.8）、活牛期货看涨被行权（18.9）。
定价：一步二叉树（18.4、18.22）、两步树欧式与美式并验证平价（18.12、18.13）、三步树美式看跌（18.24）、Black 公式计算（18.7、18.14、18.15、18.28 含期货式期权的期货价格）、现货白银与 S&P 500 现货期权用 Black 模型（18.20、18.27）。
界限与套利：欧式/美式下界（18.10、18.11）、平价违背识别套利（18.16）、美式看跌价格界限（18.18、18.23）、证明 (18.2)（18.19）。
隐含波动率：玉米期货不同执行价的隐含波动率并评论（18.25，呈现波动率偏斜）、大豆期货（18.26）。
套保应用：用欧洲美元期货期权保证 3 个月后 90 天投资收益率不低于 6.5%（18.21）。

本章要点

期货期权行权得到期货头寸 + 现金差额，有效收益 $\max(F-K,0)$ / $\max(K-F,0)$；以标的期货交割月命名。
平价 $c+Ke^{-rT}=p+F_0e^{-rT}$；二叉树 $p=(1-d)/(u-d)$。
风险中性下期货价格是鞅（零漂移），等价于 $q=r$ 的股票；PDE 无一阶项。
Black 模型 $c=e^{-rT}[F_0N(d_1)-KN(d_2)]$，可为任意同期限欧式现货期权估值，无须估计收益/便利收益。
美式期货期权与美式现货期权在正向/反向市场中大小关系相反。
期货式期权价格与利率无关，期货上的美式期货式期权不会提前行权。

与量化交易的关联

定价系统：Black-76 是商品、利率期货期权及基于远期价格的所有欧式期权的行业标准定价引擎；"从平价反推远期 + 插值远期曲线"是期权做市与波动率曲面拟合的通用前处理。
商品与利率交易：理解期货期权行权机制、到期月命名、欧洲美元/国债期货期权报价单位（1 bp=25 美元、1/64）对回测和实盘下单、损益计算至关重要。
风险中性测度与鞅性质：期货价格为鞅是蒙特卡洛模拟时期货价格无漂移设定的依据，也是后续测度变换（第 28 章）的铺垫。
提前行权与期限结构：正向/反向市场对美式期货期权的影响，可用于商品期权的相对价值分析。
保证金与资金：期货式期权逐日结算、价格与利率无关，影响资金占用与对冲成本。

第 19 章希腊字母（The Greek Letters，PDF p.422–453）

章首导言（PDF p.422）

金融机构在场外市场向客户卖出期权后需管理风险。若与交易所期权相同，可在交易所买入同样期权中和；若是为客户定制的非标准期权，对冲困难得多。本章讨论希腊字母（Greek letters / Greeks）：每个希腊字母度量期权头寸风险的一个维度，交易员的目标是管理希腊字母使所有风险可接受。分析适用于交易所做市商与场外交易员。章末讨论合成期权（synthetic options）：合成某期权头寸等价于对冲相反的期权头寸，如合成看涨多头 = 对冲看涨空头。

19.1 示例（Illustration，PDF p.422–423）

贯穿全章的例子：金融机构以 30 万美元卖出 10 万股不付息股票的欧式看涨。$S_0=49$，$K=50$，$r=5\%$，$\sigma=20\%$，$T=20$ 周 $=0.3846$ 年，$\mu=13\%$（脚注：期望收益不影响定价，但会影响对冲方案的效果）。
BSM 价格约 24 万美元（每股期权 2.40 美元），即以高出理论值 6 万美元的价格卖出，但须对冲风险。

19.2 裸露头寸与有保护头寸（Naked and Covered Positions，PDF p.423）

裸露头寸（naked position）：什么都不做。20 周后股价低于 50 时效果好，净赚 30 万；若被行权，须按届时市价买 10 万股，成本为 10 万 × (股价 − 执行价)，如股价 60 时成本 100 万，远超 30 万。
有保护头寸（covered position）：卖出期权后立即买入 10 万股。被行权时效果好，否则可能大亏：股价跌到 40，股票亏 90 万。脚注：由平价，卖出有保护看涨的风险敞口等同于卖出裸露看跌。
两者都不是好的对冲。若 BSM 假设成立，两种方法的平均成本（准确说是按适当风险调整贴现率计算的期望成本现值）都是 24 万，但单次成本可能从 0 到 100 万以上。好的对冲应使成本总接近 24 万。

19.3 止损策略（A Stop-Loss Strategy，PDF p.423–425）

卖出执行价 $K$ 的看涨（1 股）：股价一升破 $K$ 就买入 1 股，一跌破 $K$ 就卖出。目标：$S<K$ 时裸露，$S>K$ 时有保护，保证到期时实值则持有股票、虚值则不持有。图 19.1：$t_1$ 买、$t_2$ 卖、$t_3$ 买、$t_4$ 卖、$t_5$ 买、$T$ 交割。
表面看总成本为初始内在价值： $Q=\max(S_0-K,0)\tag{19.1}$ 因为此后所有买卖都在 $K$ 进行；若成立，则对冲完美且成本总低于 BSM 价格，可无风险套利。
(19.1) 错误的两个原因：(1) 现金流发生在不同时间，须贴现；(2) 买卖不可能都恰好在 $K$（关键）。市场有效时，股价等于 $K$ 时无法知道它将向上还是向下。实务中买入价 $K+\epsilon$、卖出价 $K-\epsilon$，每次买入再卖出成本 $2\epsilon$（不计交易费）。更密切监控可减小 $\epsilon$，但交易更频繁；$\epsilon\to0$ 时期望交易次数趋于无穷（维纳过程在给定区间内触及任一值的期望次数无限）。
对虚值期权：股价从未触及 $K$ 则对冲零成本；股价路径多次穿越 $K$ 则代价高昂。
蒙特卡洛评估（表 19.1，100 万条路径，每隔 $\Delta t$ 观察一次股价；规则：区间内从下穿上则在区间末买入，从上穿下则卖出）。对冲绩效指标 = 对冲成本标准差 / BSM 价格（累计成本，不计利息与贴现），越接近 0 越好：

$\Delta t$（周）	5	4	2	1	0.5	0.25
绩效	0.98	0.93	0.83	0.79	0.77	0.76

无论 $\Delta t$ 多小都高于 0.7，止损不是好的对冲。

19.4 Delta 对冲（Delta Hedging，PDF p.425–432）

Delta（$\Delta$）：期权价格对标的资产价格的变化率，即期权价格-股价曲线的斜率（图 19.2）：$\Delta=\partial c/\partial S$。
例：股价 100、期权价 10、$\Delta=0.6$；投资者卖出 2,000 股的看涨（20 份合约），买入 $0.6\times2000=1200$ 股对冲。股价涨 1 美元，股票赚 1,200，期权约涨 0.60，期权空头亏 1,200；反之亦然。卖出 2,000 份期权的 delta 为 $0.6\times(-2000)=-1200$，股票 delta 为 1.0，1,200 股为 +1,200，总 delta 为零，称 delta 中性（delta neutral）。
delta 会变，头寸只在较短时间内保持 delta 中性，需周期性调整，称再平衡（rebalancing）。例：一天后股价涨到 110，delta 从 0.60 升至 0.65，需再买 $0.05\times2000=100$ 股。定期调整的为动态对冲（dynamic hedging）；建立后不再调整的为静态对冲（static hedging，"hedge-and-forget"）。
与 BSM 的联系：BSM 推导中的无风险组合即"空 1 份期权 + 多 $\Delta$ 股"；可以说期权估值就是构造 delta 中性头寸并论证其瞬时收益为无风险利率。

欧式股票期权的 delta

不付息股票欧式看涨：$\Delta(\text{call})=N(d_1)$（习题 15.17）。多头为 $N(d_1)$，空头为 $-N(d_1)$；卖出 1 份看涨需持有 $N(d_1)$ 股，买入 1 份看涨需卖空 $N(d_1)$ 股。
欧式看跌：$\Delta(\text{put})=N(d_1)-1<0$；看跌多头用股票多头对冲，看跌空头用股票空头对冲。
图 19.3：看涨 delta 随股价从 0 升至 1，看跌从 −1 升至 0，在 $K$ 附近变化最快。图 19.4：随到期临近，实值看涨 delta 趋于 1，虚值趋于 0，平值约在 0.5 附近。
例 19.1：$d_1=\frac{\ln(49/50)+(0.05+0.02)\times0.3846}{0.2\sqrt{0.3846}}=0.0542$，$\Delta=N(d_1)=0.522$。

Delta 对冲的动态过程（表 19.2、19.3）

卖出 10 万份看涨，每周再平衡。初始头寸 delta $=-52{,}200$，须借入 $52{,}200\times49=2{,}557{,}800$ 美元买 52,200 股；利率 5%，第一周利息约 2,500 美元。
表 19.2（到期实值，成本 263,300 美元）：第 1 周股价跌到 48.12，delta 降至 0.458，卖出 6,400 股，回笼 308,000，累计借款降至 2,252,300；第 2 周 47.37、delta 0.400……随后上涨，到期前 delta 趋于 1.0。主要节点（周：股价/delta）：0: 49.00/0.522；1: 48.12/0.458；2: 47.37/0.400；3: 50.25/0.596；4: 51.75/0.693；5: 53.12/0.774；9: 53.00/0.787；10: 49.88/0.550；11: 48.50/0.413；14: 52.13/0.768；17: 54.87/0.978；19: 55.87/1.000；20: 57.25/1.000。第 20 周完全有保护，累计成本含利息 5,263,300，收到执行价 500 万，总成本 263,300。
表 19.3（到期虚值，成本 256,600 美元）：股价最终 48.12，delta 趋于 0，第 20 周为裸露头寸，累计成本 256,600。
两例的成本贴现后接近但不完全等于 BSM 价格 24 万；若对冲完美，每条路径贴现成本都应恰好等于 BSM 价格。偏差源于每周才再平衡一次；越频繁偏差越小。两表是理想化的：波动率恒定、无交易成本。
表 19.4（100 万条路径，绩效 = 成本标准差 / BSM 价格）：

再平衡间隔（周）	5	4	2	1	0.5	0.25
绩效	0.42	0.38	0.28	0.21	0.16	0.13

delta 对冲远优于止损，且随监控频率提高稳步改善。

delta 对冲旨在使头寸价值尽量不变。表 19.2 第 9 周：期权价值 414,500，期权空头亏 174,500；现金头寸（累计成本）比第 0 周差 1,442,900；股票市值从 2,557,800 增至 4,171,100；净变化仅 4,100 美元。

成本从何而来（Where the Cost Comes From）

delta 对冲合成了等价的期权多头，中和卖出期权的空头。对冲空头期权意味着价格下跌后卖出、上涨后买入——"高买低卖"。24 万的平均成本来自买入价与卖出价之差的现值。

组合的 delta（Delta of a Portfolio）

依赖单一资产价格 $S$ 的组合 delta 为 $\partial\Pi/\partial S$；若组合含 $w_i$ 份期权 $i$：$\Delta=\sum_i w_i\Delta_i$。据此计算使组合 delta 为零所需的标的头寸。
例：(1) 多 10 万份 3 个月、执行价 55 的看涨，delta 0.533；(2) 空 20 万份 5 个月、执行价 56 的看涨，delta 0.468；(3) 空 5 万份 2 个月、执行价 56 的看跌，delta −0.508。组合 delta $=100{,}000\times0.533-200{,}000\times0.468-50{,}000\times(-0.508)=-14{,}900$，买入 14,900 股即 delta 中性。

交易成本（Transaction Costs，PDF p.432）

交易商通常每天再平衡一次。期权数量少时，买卖价差使之代价过高；大型组合则可行：只需在标的上做一笔交易即可使整个组合 delta 归零，价差成本被众多交易的利润吸收。

19.5 Theta（PDF p.432–434）

Theta（$\Theta$）：其他条件不变时组合价值对时间流逝的变化率，又称时间衰减（time decay）。不付息股票欧式看涨： $\Theta(\text{call})=-\frac{S_0N'(d_1)\sigma}{2\sqrt T}-rKe^{-rT}N(d_2)$ $N'(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}\tag{19.2}$ 为标准正态密度。欧式看跌： $\Theta(\text{put})=-\frac{S_0N'(d_1)\sigma}{2\sqrt T}+rKe^{-rT}N(-d_2)$ 因 $N(-d_2)=1-N(d_2)$，看跌 theta 比对应看涨大 $rKe^{-rT}$。
公式中时间以年计；报价时通常以天计：每日历日 theta = 公式值 / 365，每交易日 = 公式值 / 252（DerivaGem 按日历日）。
例 19.2：$\Theta=-4.31$（每年），即每日历日 $-0.0118$，每交易日 $-0.0171$。
期权 theta 通常为负：时间流逝期权价值下降。脚注例外：不付息股票的实值欧式看跌、利率很高货币的实值欧式看涨。图 19.5：股价很低时 theta 接近 0；平值看涨 theta 绝对值最大；股价很高时趋于 $-rKe^{-rT}$。图 19.6：平值看涨 theta 在临近到期时急剧变负。
theta 与 delta 不同类：未来股价不确定，时间流逝是确定的，对冲时间流逝毫无意义。但许多交易员视 theta 为有用的描述统计量，因为在 delta 中性组合中 theta 是 gamma 的代理。

19.6 Gamma（PDF p.434–437）

Gamma（$\Gamma$）：组合 delta 对标的价格的变化率，即组合价值对资产价格的二阶偏导： $\Gamma=\frac{\partial^2\Pi}{\partial S^2}$ gamma 小则 delta 变化慢，维持 delta 中性无须频繁调整；gamma 绝对值大则 delta 对价格很敏感，delta 中性组合放置不管风险很大。
图 19.7：股价从 $S$ 变到 $S'$，delta 对冲假设期权价从 $C$ 到 $C'$，实际到 $C''$，差额为对冲误差，取决于期权价格-股价关系的曲率，gamma 度量该曲率。
本章附录证明：忽略高于 $\Delta t$ 阶的项，delta 中性组合有 $\Delta\Pi=\Theta\Delta t+\frac12\Gamma\Delta S^2\tag{19.3}$ 图 19.8：gamma 为正时 theta 倾向为负——价格不变则组合贬值，大幅涨跌则增值；gamma 为负时相反——价格不变则增值，大幅变动则贬值。|gamma| 越大，组合对 $S$ 越敏感。
例 19.3：delta 中性组合 gamma 为 −10,000，短期内资产价格变动 ±2，则组合意外损失约 $0.5\times10{,}000\times2^2=20{,}000$ 美元。

使组合 gamma 中性（Making a Portfolio Gamma Neutral）

标的资产头寸 gamma 为零，不能改变组合 gamma，须用与标的非线性相关的工具（如期权）。delta 中性组合 gamma 为 $\Gamma$，可交易期权 gamma 为 $\Gamma_T$，加入 $w_T$ 份后组合 gamma 为 $w_T\Gamma_T+\Gamma$，故需 $w_T=-\Gamma/\Gamma_T$。加入期权会改变 delta，须再调整标的头寸恢复 delta 中性。gamma 中性也只维持短时间，需持续调整使期权头寸等于 $-\Gamma/\Gamma_T$。
delta 中性防范再平衡间的小幅价格变动；gamma 中性进一步防范较大变动，可视为对图 19.7 对冲误差的修正。
例：delta 中性组合 gamma 为 −3,000，可交易看涨 delta 0.62、gamma 1.50。买入 $3000/1.5=2000$ 份看涨使 gamma 中性；组合 delta 由 0 变为 $2000\times0.62=1240$，需卖出 1,240 单位标的保持 delta 中性。

Gamma 的计算

不付息股票欧式看涨或看跌： $\Gamma=\frac{N'(d_1)}{S_0\sigma\sqrt T}$ 多头 gamma 恒正。图 19.9：在 $K$ 附近最大。图 19.10：平值期权 gamma 随到期临近而增大；短期平值期权 gamma 极高，持有人头寸价值对股价跳跃高度敏感。
例 19.4：$\Gamma=0.066$，股价变动 $\Delta S$ 时 delta 变动 $0.066\Delta S$。

19.7 Delta、Theta 与 Gamma 的关系（PDF p.437–438）

单个衍生品满足 PDE (15.16)，其组合价值 $\Pi$ 也满足 $\frac{\partial\Pi}{\partial t}+rS\frac{\partial\Pi}{\partial S}+\frac12\sigma^2S^2\frac{\partial^2\Pi}{\partial S^2}=r\Pi$ 故 $\Theta+rS\Delta+\frac12\sigma^2S^2\Gamma=r\Pi\tag{19.4}$ 其他标的类似（习题 19.19）。delta 中性时 $\Theta+\frac12\sigma^2S^2\Gamma=r\Pi$：theta 大且为正时 gamma 倾向大且为负，反之亦然。这与图 19.8 一致，也解释了 delta 中性组合中 theta 可作 gamma 的代理。

19.8 Vega（PDF p.438–440）

实际中波动率随时间变化，衍生品价值也因波动率变动而变。组合的 vega（$\mathcal V$）是组合价值对标的波动率的变化率：$\mathcal V=\partial\Pi/\partial\sigma$（脚注：vega 不是希腊字母表中的字母）。vega 绝对值大则对波动率小幅变化敏感。
标的资产 vega 为零；可像 gamma 一样加入可交易期权调整：头寸 $-\mathcal V/\mathcal V_T$ 使组合瞬时 vega 中性。gamma 中性一般不是 vega 中性，反之亦然；同时实现两者通常至少需要两种依赖于该标的的可交易衍生品。
例 19.5：delta 中性组合 gamma −5,000、vega −8,000。期权 1：delta 0.6、gamma 0.5、vega 2.0；期权 2：delta 0.5、gamma 0.8、vega 1.2。买 4,000 份期权 1 可 vega 中性，delta 增至 2,400（需卖 2,400 单位资产），gamma 变为 −3,000。同时 gamma、vega 中性： $-5000+0.5w_1+0.8w_2=0,\qquad -8000+2.0w_1+1.2w_2=0$ 解得 $w_1=400$，$w_2=6000$。加入后 delta $=400\times0.6+6000\times0.5=3240$，需卖出 3,240 单位资产。
不付息股票欧式看涨或看跌： $\mathcal V=S_0\sqrt T\,N'(d_1)$ 欧式或美式多头 vega 恒正，图 19.11：在 $K$ 附近最大。
例 19.6：$\mathcal V=12.1$，波动率从 20% 升到 21%，期权价值约增 $0.01\times12.1=0.121$。
用假设波动率恒定的 BSM 计算 vega 看似矛盾，理论上应用随机波动率模型；但随机波动率模型算出的 vega 与 BSM vega 很接近（Hull & White 1987、1988），实务做法效果尚可。
gamma 中性防范再平衡之间标的价格大幅变动，vega 中性防范 $\sigma$ 变动。用某个可交易期权做 vega 还是 gamma 对冲更好，取决于再平衡间隔和波动率的波动率。
波动率变化时，短期期权隐含波动率变动大于长期期权；计算组合 vega 时常让长期期权波动率变动小于短期期权（见 23.6 节）。

19.9 Rho（PDF p.440–441）

Rho：组合价值对利率的变化率 $\partial\Pi/\partial r$。不付息股票欧式看涨：$\text{rho}(\text{call})=KTe^{-rT}N(d_2)$；看跌：$\text{rho}(\text{put})=-KTe^{-rT}N(-d_2)$。
例 19.7：rho $=8.91$，利率从 5% 升至 6%，期权价值约增 0.0891。

19.10 对冲的现实（The Realities of Hedging，PDF p.441–442）

理想中可频繁再平衡使所有希腊字母为零，实际不可能。管理依赖单一标的的大组合时，交易员通常至少每天一次通过交易标的使 delta 为零或接近零；gamma、vega 为零较难，因为难以以有竞争力的价格大量交易期权或其他非线性衍生品。
Business Snapshot 19.1 动态对冲实务：依赖某标的的衍生品组合由一名或一组交易员负责（如高盛某交易员负责所有依赖澳元的衍生品）。计算机系统计算组合价值与希腊字母，每个希腊字母设限额，日终超限需特批。delta 限额常表示为标的等值最大头寸，如某股票 delta 限额 100 万美元，股价 50 时 |delta| 不超过 20,000；vega 限额通常表示为波动率每变动 1% 的最大美元敞口。交易员每日收盘前使自己 delta 中性或接近中性；gamma、vega 受监控但通常不每日管理。机构与客户的业务多为卖出期权，因而积累负 gamma、负 vega，总在寻找以合理价格买入期权的机会。缓解因素：期权卖出时多接近平值，gamma、vega 较大；一段时间后标的价格变动使其深度实值或虚值，gamma、vega 变得很小。交易员的噩梦是卖出的期权临近到期仍非常接近平值。
衍生品交易有很大的规模经济：对少量期权每日维持 delta 中性因交易成本（每天按卖价买入或按买价卖出标的）通常不经济；大型组合每份期权的对冲成本则合理得多。

19.11 情景分析（Scenario Analysis，PDF p.442）

除监控 delta、gamma、vega 外，交易员常做情景分析：计算组合在指定期间内不同情景下的盈亏。期间长度取决于工具流动性；情景可由管理层选定或由模型生成。
例：银行持有某外币期权组合，价值主要依赖汇率与汇率波动率。当前汇率 1.0000，波动率 10%。表 19.5 列出 2 周内 7 个汇率 × 3 个波动率情景的盈亏（百万美元）。2 周一个标准差的汇率变动约 0.02，故所取汇率约为 0、1、2、3 个标准差：

波动率 \ 汇率	0.94	0.96	0.98	1.00	1.02	1.04	1.06
8%	+102	+55	+25	+6	−10	−34	−80
10%	+80	+40	+17	+2	−14	−38	−85
12%	+60	+25	+9	−2	−18	−42	−90

最大损失在右下角（波动率升至 12%、汇率升至 1.06）。最大损失通常出现在某个角落，但并非总是如此：如持有蝶式价差空头（12.3 节），汇率不动时损失最大。

19.12 公式的推广（Extension of Formulas，PDF p.442–444）

表 19.6 资产以收益率 $q$ 提供收益时欧式期权的希腊字母（$d_1,d_2$ 按 (17.4)(17.5)）：

希腊字母	看涨	看跌
Delta	$e^{-qT}N(d_1)$	$e^{-qT}[N(d_1)-1]$
Gamma	$\dfrac{N'(d_1)e^{-qT}}{S_0\sigma\sqrt T}$	同左
Theta	$-\dfrac{S_0N'(d_1)\sigma e^{-qT}}{2\sqrt T}+qS_0N(d_1)e^{-qT}-rKe^{-rT}N(d_2)$	$-\dfrac{S_0N'(d_1)\sigma e^{-qT}}{2\sqrt T}-qS_0N(-d_1)e^{-qT}+rKe^{-rT}N(-d_2)$
Vega	$S_0\sqrt T N'(d_1)e^{-qT}$	同左
Rho	$KTe^{-rT}N(d_2)$	$-KTe^{-rT}N(-d_2)$

$q$ 取指数股息率得指数期权；取 $r_f$ 得货币期权；$q=r$（$S_0\to F_0$）得期货期权的 delta、gamma、theta、vega；但期货期权 rho 为看涨 $-cT$、看跌 $-pT$（因期货价格本身不随 $r$ 变化，只有贴现因子变）。
货币期权有两个 rho：本币利率 rho 用表中公式（$d_2$ 按 (17.11)）；外币利率 rho：看涨 $-Te^{-r_fT}S_0N(d_1)$，看跌 $Te^{-r_fT}S_0N(-d_1)$。
美式期权希腊字母的计算见第 21 章。

远期合约的 delta

不付息股票远期价值 $S_0-Ke^{-rT}$（式 5.5），股价变动 $\Delta S$，远期价值同样变动 $\Delta S$，故 1 股远期多头 delta 恒为 1.0：多头远期可卖空 1 股对冲，空头远期买入 1 股对冲（脚注：静态的"hedge-and-forget"，无须调整）。
收益率 $q$ 的资产：远期 delta 为 $e^{-qT}$（式 5.7）；指数远期 $q$ 取股息率；外汇远期 $q=r_f$。

期货合约的 delta

不付息股票期货价格 $S_0e^{rT}$（式 5.1），股价变动 $\Delta S$ 时期货价变动 $\Delta Se^{rT}$，逐日结算使多头几乎立即获得该收益，故期货 delta 为 $e^{rT}$；收益率 $q$ 的资产为 $e^{(r-q)T}$。逐日结算使期货与远期的 delta 略有不同，即使利率恒定、远期价格等于期货价格（参见 Business Snapshot 5.2）。
用期货实现 delta 中性：$T$ 为期货到期期限，$H_A$ 为所需标的资产头寸，$H_F$ 为替代的期货头寸： $H_F=e^{-rT}H_A\tag{19.5}$ $H_F=e^{-(r-q)T}H_A\tag{19.6}$ $H_F=e^{-(r-r_f)T}H_A\quad(\text{货币})\tag{19.7}$
例 19.8：美国银行的货币期权组合可用空 458,000 英镑实现 delta 中性；美国利率 4%，英国 7%。用 9 个月货币期货：空头 $e^{-(0.04-0.07)\times9/12}\times458{,}000=468{,}442$ 英镑；每份期货 62,500 英镑，卖空 7 份（$468{,}442/62{,}500$ 取整）。

19.13 组合保险（Portfolio Insurance，PDF p.445–447）

基金经理常希望持有组合的看跌期权：防范下跌并保留上涨潜力。方法一：买指数看跌（17.1 节）；方法二：合成期权。
合成期权：持有标的（或其期货）头寸，使 delta 等于所需期权的 delta。合成所需头寸与对冲该期权所需头寸相反（对冲即合成一个大小相等、方向相反的期权）。
合成而非直接购买的原因：(1) 期权市场流动性不足以吸收大基金的交易；(2) 基金经理所需执行价、到期日常与交易所期权不同。
用组合本身合成：组合欧式看跌 delta（表 19.6） $\Delta=e^{-qT}[N(d_1)-1]\tag{19.8}$ $d_1=\frac{\ln(S_0/K)+(r-q+\sigma^2/2)T}{\sigma\sqrt T}$ $S_0$ 为组合价值，$q$ 为组合股息率，$\sigma$ 为组合波动率（通常可取 beta × 分散化市场指数波动率），$T$ 为期限。任何时刻应卖出原组合的比例 $e^{-qT}[1-N(d_1)]$，所得投资于无风险资产。组合下跌时看跌 delta 更负，卖出比例增加；上涨时卖出比例减少（买回部分）。资金在股票与无风险资产间分配：股票涨则卖无风险资产加仓股票，跌则减仓股票买无风险资产。保险成本来自总在下跌后卖、上涨后买。
例 19.9：组合 9,000 万美元，需 6 个月欧式看跌，执行价 8,700 万；$r=9\%$，$q=3\%$，$\sigma=25\%$；标普 500 为 900。组合紧密跟踪标普 500，方法一：买 1,000 份执行价 870 的标普 500 看跌合约。方法二：合成，$S_0=90$，$K=87$（百万），$T=0.5$，$d_1=\frac{\ln(90/87)+(0.09-0.03+0.03125)\times0.5}{0.25\sqrt{0.5}}=0.4499$，delta $=e^{-qT}[N(d_1)-1]=-0.3215$。初始卖出 32.15% 组合投入无风险资产。一天后组合跌到 8,800 万，delta 变为 −0.3679，再卖 4.64%；若涨到 9,200 万，delta 变为 −0.2787，买回 4.28%。

用指数期货（Use of Index Futures）

指数期货交易成本一般低于成分股，更可取。由 (19.6)(19.8)，卖空期货的美元金额占组合价值比例： $e^{-qT}e^{-(r-q)T^*}[1-N(d_1)]=e^{q(T^*-T)}e^{-rT^*}[1-N(d_1)]$ $T^*$ 为期货到期期限。若组合值 $A_1$ 倍指数，每份期货为 $A_2$ 倍指数，卖空份数为 $e^{q(T^*-T)}e^{-rT^*}[1-N(d_1)]A_1/A_2$。
例 19.10：用 9 个月标普 500 期货，$T=0.5$，$T^*=0.75$，$A_1=100{,}000$，$A_2=250$，$d_1=0.4499$，卖空 122.96 ≈ 123 份；随时间与指数变动调整。
组合不跟踪指数时：(a) 计算组合 beta；(b) 求能提供所需保护的指数期权头寸；(c) 选择指数期货头寸合成这些期权。执行价应为组合达到保险价值时指数的预期水平（17.1 节），期权份数为 beta=1 时的 beta 倍。

19.14 股市波动率（Stock Market Volatility，PDF p.447）

组合保险策略可能加剧波动：市场下跌时卖股票或卖指数期货，直接压低指数，或通过指数套利（第 5 章）把期货抛压传导至股票；市场上涨时则买入，可能加剧上涨。许多投资者有意或无意地遵循自己的组合保险规则（如下跌时卖出限制损失）。
是否影响波动取决于市场吸收这些交易的能力：占比很小则无影响；若组合保险非常流行，可能破坏市场稳定，如 1987 年。
Business Snapshot 19.2 组合保险是 1987 年崩盘的罪魁吗？ 1987 年 10 月 19 日（周一）道指下跌逾 20%。当时有 600–900 亿美元股票资产受合成看跌的组合保险规则约束。10 月 14–16 日市场跌约 10%（多发生在周五下午），规则应产生至少 120 亿美元股票或指数期货卖出，实际只卖出 40 亿，周一前积压巨量待卖。估计 10 月 19 日三家组合保险机构的卖出程序占纽交所卖出的近 10%，组合保险卖出占指数期货市场全部卖出的 21.3%。其他投资者预期组合保险机构的抛售而大量卖出，可能加剧下跌。市场下跌太快、交易系统超载，许多保险机构无法执行模型交易，未获得所需保护。此后组合保险大幅降温。教训：当许多市场参与者都在做同一件事时，遵循某个交易策略——即使是对冲策略——也是危险的。

本章小结与延伸阅读（PDF p.447–449）

裸露与有保护头寸风险不可接受；止损策略表面诱人但对冲效果差。delta 对冲建立 delta 中性头寸，需频繁调整。delta 中性后关注 gamma（曲率），用 gamma 为 $-\Gamma$ 的可交易期权实现 gamma 中性。delta 与 gamma 对冲假设波动率恒定，vega 中性防范波动率变化，同时 gamma、vega 中性通常需两种可交易期权。theta 度量时间流逝影响，rho 度量利率影响。实务中至少每天再平衡 delta，gamma 与 vega 一般只监控，过大则采取纠正措施或减少交易。组合保险可交易组合本身或指数期货合成看跌，正常市况效果好，1987 年 10 月 19 日失灵。延伸阅读：Passarelli《Trading Option Greeks》、Taleb《Dynamic Hedging》。

习题概览（PDF p.449–452）

概念：止损为何对冲差（19.1）；delta 含义与对冲（19.2）；theta 含义及预期价格与波动率均不变时的头寸选择（19.4，卖出期权）；高度负 gamma 的风险（19.5）；合成与对冲互逆（19.6）；1987 年组合保险为何失灵（19.7）；平稳上涨 vs 剧烈震荡哪种使合成期权更贵（19.9）；多头/空头期权组合 delta 对冲在汇率平稳与剧烈波动下的结果（19.12、19.13）；何时加入一种期权即可同时 gamma 与 vega 中性（19.15）；远期与期货 delta 是否相同（19.21）。
计算：平值期权 delta（19.3）；止损策略期望交易次数（19.8）；白银期货期权 delta 及用 9 个月期货、现货、1 年期货对冲的头寸（19.10、19.11）；日元期权全部希腊字母并解读（19.14）；组合保险四种实现（指数看跌、看涨+无风险资产、部分转为无风险资产、9 个月指数期货）（19.16，19.17 beta=1.5）；700 亿资产组合保险在单日下跌 23% 时的卖出量（19.20）；delta=30,000、gamma=80,000 的外汇头寸解读与再平衡（19.22）；场外英镑期权组合的 delta+gamma、delta+vega 中性（19.24），再加第二种期权实现三者中性（19.25）；DerivaGem 验证希腊字母（19.26）；保本+40% 指数参与存款产品的期权分解与评价（19.27）；DerivaGem 验证 (19.4)、复现表 19.2 并检验 (19.3)（19.29、19.30）。
证明：验证 (19.4) 对看涨、看跌及其组合成立（19.18）；货币与期货标的的 (19.4) 对应式（19.19）；由平价推导看涨与看跌 delta、gamma、vega、theta 的关系（19.23）；期货期权 $F_0N'(d_1)=KN'(d_2)$、delta $e^{-rT}N(d_1)$、vega、rho 及 rho 为何不能类推（19.28）。

附录：泰勒展开与对冲参数（PDF p.453）

波动率恒定时 $\Pi=\Pi(S,t)$： $\Delta\Pi=\frac{\partial\Pi}{\partial S}\Delta S+\frac{\partial\Pi}{\partial t}\Delta t+\frac12\frac{\partial^2\Pi}{\partial S^2}\Delta S^2+\frac12\frac{\partial^2\Pi}{\partial t^2}\Delta t^2+\frac{\partial^2\Pi}{\partial S\partial t}\Delta S\Delta t+\cdots\tag{19A.1}$ delta 对冲消除第一项；第二项非随机；第三项（$\Delta S^2$ 为 $\Delta t$ 阶）通过 gamma 中性消除；其余为高于 $\Delta t$ 阶。delta 中性时略去高阶项即得 (19.3)。
波动率不确定时 $\Pi=\Pi(\sigma,S,t)$： $\Delta\Pi=\frac{\partial\Pi}{\partial S}\Delta S+\frac{\partial\Pi}{\partial\sigma}\Delta\sigma+\frac{\partial\Pi}{\partial t}\Delta t+\frac12\frac{\partial^2\Pi}{\partial S^2}\Delta S^2+\frac12\frac{\partial^2\Pi}{\partial\sigma^2}\Delta\sigma^2+\cdots$ delta 对冲消第一项，vega 中性消第二项，第三项非随机，gamma 中性消第四项。交易员有时为展开式中更高阶项定义其他希腊字母。

本章要点

裸露、有保护、止损策略都不能有效对冲；止损失败在于无法恰在 $K$ 买卖。
Delta：看涨 $N(d_1)$，看跌 $N(d_1)-1$（有收益率时乘 $e^{-qT}$）；delta 对冲需动态再平衡，频率越高对冲误差越小；对冲空头期权本质是"高买低卖"，其成本即期权价格。
Theta 一般为负，平值短期最大；Gamma $=N'(d_1)/(S_0\sigma\sqrt T)$，平值短期最大；Vega $=S_0\sqrt TN'(d_1)$；Rho 看涨 $KTe^{-rT}N(d_2)$。
delta 中性组合 $\Delta\Pi=\Theta\Delta t+\frac12\Gamma\Delta S^2$；$\Theta+rS\Delta+\frac12\sigma^2S^2\Gamma=r\Pi$，正 gamma 对应负 theta。
gamma、vega 只能用期权调整；同时中性需解线性方程组，通常需两种期权，再用标的修正 delta。
远期 delta 为 $e^{-qT}$，期货 delta 为 $e^{(r-q)T}$；用期货对冲 $H_F=e^{-(r-q)T}H_A$。
合成看跌（组合保险）= 动态卖出 $e^{-qT}[1-N(d_1)]$ 比例的组合或卖空指数期货；大规模同向执行在 1987 年导致失灵与市场不稳。

与量化交易的关联

风险建模与系统实现：希腊字母是期权组合风险系统的核心输出；按标的聚合 delta/gamma/vega 并设限额（Business Snapshot 19.1）是做市与自营风控的标准架构；情景分析表（表 19.5）是压力测试与 VaR 之外的重要工具。
执行与对冲算法：delta 对冲频率与交易成本的权衡、用期货替代现货对冲的换算系数 $e^{-(r-q)T}$、大组合汇总对冲的规模经济，直接影响对冲执行算法设计。表 19.1/19.4 的蒙特卡洛评估框架可复用于回测任意对冲规则。
波动率交易：(19.3) 揭示 gamma 多头的盈亏来自实现波动率与隐含波动率之差（$\frac12\Gamma\Delta S^2$ vs $\Theta\Delta t$），是 gamma scalping、方差交易的理论基础。
组合优化与资产配置：组合保险/CPPI 类策略、合成看跌的动态仓位公式可用于下行保护型策略；1987 年案例提醒拥挤交易与流动性风险（类似 2018 年 2 月短波动率事件）。
市场微观结构：组合保险的顺周期交易会放大波动，是研究流动性、负反馈交易与做市商 gamma 敞口对市场影响的经典案例。

第 20 章波动率微笑（Volatility Smiles，PDF p.454–472）

章首导言（PDF p.454）

期权市场价格与 BSM 预测有多接近？交易员是否真的用 BSM 定价？资产价格分布真是对数正态吗？本章回答：交易员确实用 BSM，但并非按原意使用——他们让定价所用的波动率依赖于执行价和期限。某一期限期权的隐含波动率关于执行价的图形称为波动率微笑（volatility smile）。本章描述股票和外汇市场的微笑，解释微笑与未来资产价格风险中性分布的关系，讨论交易员如何把**波动率曲面（volatility surface）**作为定价工具。

20.1 为何看涨与看跌的波动率微笑相同（PDF p.454–455）

资产收益率 $q$ 时的平价： $p+S_0e^{-qT}=c+Ke^{-rT}\tag{20.1}$ 平价基于简单无套利论证，不需要任何分布假设，无论是否对数正态都成立。
某一波动率下 BSM 价格满足 $p_{BS}+S_0e^{-qT}=c_{BS}+Ke^{-rT}$；无套利时市场价格也满足 $p_{mkt}+S_0e^{-qT}=c_{mkt}+Ke^{-rT}$。相减： $p_{BS}-p_{mkt}=c_{BS}-c_{mkt}\tag{20.2}$ 即 BSM 为欧式看跌定价的美元误差与同执行价同期限看涨的定价误差完全相同。若看跌隐含波动率为 22%（此时 $p_{BS}=p_{mkt}$），则 $c_{BS}=c_{mkt}$，看涨隐含波动率也是 22%。
结论：同执行价、同期限的欧式看涨与看跌隐含波动率总是相同；某期限的波动率微笑对看涨、看跌相同；更一般地，波动率曲面（执行价 × 期限）对二者相同。对美式期权近似成立。
例 20.1：外币价值 0.60 美元，美国利率 5%，外国 10%；1 年期、执行价 0.59 的欧式看涨市价 0.0236，DerivaGem 得隐含波动率 14.5%。由平价（$q=r_f$）：$p+0.60e^{-0.10}=0.0236+0.59e^{-0.05}$，$p=0.0419$；该看跌的隐含波动率同为 14.5%。

20.2 外汇期权（Foreign Currency Options，PDF p.456–459）

外汇期权的微笑（图 20.1）：平值隐含波动率相对较低，越往实值或虚值方向越高，呈 U 形"微笑"。
本章附录说明如何由某到期日的微笑推出该时刻资产价格的风险中性分布，称隐含分布（implied distribution）。图 20.2：隐含分布（实线）与同均值、同标准差的对数正态（虚线）相比两侧尾部更厚（脚注：即峰度 kurtosis；隐含分布也更"尖"——小幅和大幅变动都比对数正态更可能，中等幅度变动更不可能）。
一致性论证：深度虚值看涨（高执行价 $K_2$）只在汇率高于 $K_2$ 时有收益，隐含分布下此概率高于对数正态，故价格较高，隐含波动率较高；深度虚值看跌（低执行价 $K_1$）同理。两图一致。

实证结果（Empirical Results）

表 20.1（Hull & White 1998）：12 种汇率 10 年日变动，先算日百分比变动标准差，再统计超过 1、2……6 个标准差的天数比例，与正态（对数正态模型下一日百分比变动几乎正态）比较：

	真实世界	对数正态模型
>1 SD	25.04%	31.73%
>2 SD	5.27%	4.55%
>3 SD	1.34%	0.27%
>4 SD	0.29%	0.01%
>5 SD	0.08%	0.00%
>6 SD	0.03%	0.00%

超过 3 个标准差的天数是模型预测的约 5 倍；4、5、6 个标准差在模型下几乎不应出现。证实了厚尾与交易员使用的微笑。

Business Snapshot 20.1 用外汇期权赚钱：若市场普遍接受 BSM 对数正态假设，而你已知厚尾，应买入多种货币的深度虚值看涨和看跌并等待——它们便宜，实值概率高于模型预测，收益现值平均远超成本。20 世纪 80 年代中期少数知情交易员这么做并大赚；到 80 年代末大家都用微笑定价，机会消失。

外汇期权出现微笑的原因

资产价格对数正态的两个条件：(1) 波动率恒定；(2) 价格平滑变化、无跳跃。汇率两者都不满足：波动率远非恒定，且经常跳跃（脚注：有时是对央行行动的反应）。两者都使极端结果更可能。
影响依期限而变：期限越长，非恒定波动率对价格的百分比影响越显著，但对隐含波动率的百分比影响通常越弱；跳跃对价格与隐含波动率的影响都随期限增长而减弱（脚注：长期期权中跳跃被"平均掉"）。结果：期限越长，微笑越平。

20.3 股票期权（Equity Options，PDF p.459–460）

1987 年崩盘前股票期权没有明显微笑。此后个股与股指期权的微笑如图 20.3，常称波动率偏斜（volatility skew）：隐含波动率随执行价上升而下降。低执行价期权（深度虚值看跌/深度实值看涨）的波动率显著高于高执行价期权（深度实值看跌/深度虚值看涨）。
对应隐含分布（图 20.4）：与对数正态相比左尾更厚、右尾更薄。一致性：高执行价 $K_2$ 的深度虚值看涨，因 $S_T>K_2$ 概率较低而价格较低、隐含波动率较低；低执行价 $K_1$ 的深度虚值看跌，因 $S_T<K_1$ 概率较高而价格与隐含波动率较高。
原因一：杠杆效应（leverage）。股权价值下降 → 公司杠杆上升 → 股权风险加大、波动率上升；股权价值上升则杠杆下降、波动率下降。股票波动率应是股价的减函数。
原因二："崩盘恐惧"（crashophobia，Business Snapshot 20.2）：图 20.3 的模式只在 1987 年 10 月后出现，Mark Rubinstein 认为交易员担心再次崩盘并据此定价。实证支持：标普 500 下跌时偏斜趋于变陡，上涨时趋于变平。

20.4 刻画波动率微笑的其他方式（PDF p.460–461）

微笑与当前资产价格有关：外汇微笑最低点通常接近当前汇率；汇率上升微笑右移，下降左移。股票偏斜随股价上升右移、下降左移（脚注：Derman 1999 研究表明交易所期权的这种调整有时是"黏性的"）。故常把微笑表示为隐含波动率与 $K/S_0$ 的关系，更稳定。
改进：用 $K/F_0$，$F_0$ 为与期权同期限的远期价格；交易员常定义平值为 $K=F_0$ 而非 $K=S_0$，因为 $F_0$ 才是风险中性世界中到期日的期望价格。
另一方式：隐含波动率与期权 delta 的关系；有时可把微笑用于欧式/美式普通期权以外的期权。此时平值定义为 delta 0.5 的看涨或 delta −0.5 的看跌，称"50-delta 期权"。

20.5 波动率期限结构与波动率曲面（PDF p.461–462）

隐含波动率还依赖期限。短期波动率处于历史低位时，隐含波动率常是期限的增函数（预期波动率上升）；短期波动率处于历史高位时，常是期限的减函数（预期下降）。这称波动率期限结构（volatility term structure）。
波动率曲面 = 微笑 + 期限结构，给出任意执行价、任意期限期权应使用的波动率。表 20.2（外汇期权示例，行为期限，列为 $K/S_0$）：

期限 \ $K/S_0$	0.90	0.95	1.00	1.05	1.10
1 个月	14.2	13.0	12.0	13.1	14.5
3 个月	14.0	13.0	12.0	13.1	14.2
6 个月	14.1	13.3	12.5	13.4	14.3
1 年	14.7	14.0	13.5	14.0	14.8
2 年	15.0	14.4	14.0	14.5	15.1
5 年	14.8	14.6	14.4	14.7	15.0

部分格子对应有可靠市场数据的期权，直接由市价算出隐含波动率填入；其余通常插值得到。表中期限越长微笑越平（外汇及多数资产都如此）。

使用：为 9 个月、$K/S_0=1.05$ 的期权估值，在 13.4 与 14.0 间插值得 13.7%，代入 BSM 或二叉树；1.5 年、$K/S_0=0.925$ 的期权用二维（双线性）插值得 14.525%。
有些金融工程师把微笑定义为隐含波动率与 $\frac{1}{\sqrt T}\ln\frac{K}{F_0}$ 的关系，微笑对期限的依赖大大减弱。

20.6 希腊字母（Greek Letters，PDF p.462–463）

微笑使希腊字母计算复杂化。假设某期限期权的隐含波动率与 $K/S$ 的关系保持不变（脚注：Daglish、Hull、Suo 2007 指出该"自然模型"只有在所有期限微笑都平坦时才内部一致），资产价格变化时隐含波动率随**价值状态（moneyness）**改变，第 19 章公式不再正确。看涨 delta 为 $\frac{\partial c_{BS}}{\partial S}+\frac{\partial c_{BS}}{\partial\sigma_{imp}}\frac{\partial\sigma_{imp}}{\partial S}$ 股票期权隐含波动率是 $K/S$ 的减函数，因此 $S$ 上升时隐含波动率上升，$\partial\sigma_{imp}/\partial S>0$，delta 高于 BSM 给出的值。
实务中银行尽量使对波动率曲面最常见变动的敞口较小，识别这些变动的一种技术是主成分分析（第 22 章）。

20.7 模型的作用（The Role of the Model，PDF p.463）

既然每个期权都用不同波动率，模型还重要吗？可以认为 BSM 只是复杂的插值工具，确保期权定价与其他活跃期权的市价一致。若交易员改用另一合理模型，波动率曲面与微笑形状会变，但市场美元报价不会明显变；按上一节方式计算的 delta 随模型变化也不大。
当类似衍生品不活跃交易时，模型对定价影响最大，如后续章节许多非标准奇异衍生品的定价依赖模型。

20.8 预期单次大幅跳跃（When a Single Large Jump Is Anticipated，PDF p.463–465）

股价 50，几天后重要公告（收购结果或重大诉讼判决）预计使股价上涨或下跌 8 美元。1 个月后股价分布为两个对数正态的混合（图 20.5），是双峰分布。
极端情形：1 个月后股价只可能为 42 或 58，$r=12\%$（图 20.6）。二叉树：$u=1.16$，$d=0.84$，$a=1.0101$，$p=0.5314$。表 20.3：

执行价	看涨价	看跌价	隐含波动率(%)
42	8.42	0.00	0.0
44	7.37	0.93	58.8
46	6.31	1.86	66.6
48	5.26	2.78	69.5
50	4.21	3.71	69.2
52	3.16	4.64	66.1
54	2.10	5.57	60.0
56	1.05	6.50	49.0
58	0.00	7.42	0.0

图 20.7 的形状是"皱眉（frown）"——与外汇微笑相反，向实值或虚值方向隐含波动率都下降。用执行价 50 的隐含波动率为执行价 44 或 56 的期权定价会高估其价格。

本章小结与延伸阅读（PDF p.465–466）

BSM 假设对数正态，交易员不这么假设：股票分布左尾厚、右尾薄，汇率分布两尾都厚。交易员用波动率微笑反映非对数正态性：股票微笑向下倾斜（虚值看跌、实值看涨隐含波动率高；虚值看涨、实值看跌低）；外汇微笑呈 U 形。期限结构使隐含波动率依赖期限，与微笑合成波动率曲面。延伸阅读：Bakshi–Cao–Chen (1997) 模型实证、Bates (2000) 崩盘恐惧、Daglish–Hull–Suo (2007)、Derman (1999) 波动率机制、Jackwerth–Rubinstein (1996) 从期权价格恢复分布、Melick–Thomas (1997) 海湾危机原油隐含分布、Reiswich–Wystup (2010) 外汇微笑构造、Rubinstein (1985)。

习题概览（PDF p.466–469）

分布与微笑形状对应：两尾都更薄、右尾厚左尾薄时的微笑（20.1）；股票微笑（20.2）；跳跃导致的微笑及期限影响（20.3）；左尾厚右尾薄为何向下倾斜（20.5）；波动率与股价正相关时的微笑（20.9）；央行把汇率限制在 0.97–1.03 时的隐含波动率模式（20.11）；无负债、清算价值有底的公司股票的微笑（20.19）。
看涨看跌隐含波动率不同时的套利（20.4、20.13，套利不依赖对数正态假设）；由看涨的 BSM 误差推看跌市价（20.6）；波动率变化时同执行价看涨看跌价值变动相同（20.24）。
跳跃情景：公告前股价 ±5 时 BSM 的问题（20.8）；诉讼结果情景的风险中性概率与隐含波动率曲线（20.14、20.20）；新闻决定未来波动率为 10% 或 30% 时的微笑（20.21）。
概念：崩盘恐惧（20.7）；实证检验期权定价模型的困难（20.10）；为何深度虚值期权被称为"波动率期权"（20.12）；BSM 作为插值工具（20.17）。
计算：对数正态下汇率落入各区间的概率及市场微笑下哪些偏高偏低（20.15）；不同执行价隐含波动率与平价（20.16）；用表 20.2 插值（20.18、20.26）；由外汇微笑求隐含分布并与平坦波动率比较（20.25）；用作者网站数据复制表 20.1（20.22）、检验指数下跌 3σ 是否多于上涨 3σ（20.23）。

附录：由波动率微笑确定隐含风险中性分布（PDF p.470–472）

欧式看涨：$c=e^{-rT}\int_{K}^{\infty}(S_T-K)g(S_T)\,dS_T$，$g$ 为 $S_T$ 的风险中性密度。对 $K$ 求导：$\frac{\partial c}{\partial K}=-e^{-rT}\int_K^\infty g(S_T)\,dS_T$；再求导：$\frac{\partial^2c}{\partial K^2}=e^{-rT}g(K)$，故 $g(K)=e^{rT}\frac{\partial^2c}{\partial K^2}\tag{20A.1}$ （Breeden & Litzenberger 1978）。
有限差分：$c_1,c_2,c_3$ 为执行价 $K-\delta$、$K$、$K+\delta$ 的 $T$ 年期欧式看涨， $g(K)\approx e^{rT}\frac{c_1+c_3-2c_2}{\delta^2}\tag{20A.2}$
蝶式价差解释：买 $K-\delta$ 与 $K+\delta$ 看涨、卖 2 份 $K$ 看涨，价值 $c_1+c_3-2c_2$；收益为以 $K$ 为顶点、高 $\delta$、底宽 $2\delta$ 的三角形"尖刺"（图 20A.1），面积 $0.5\times2\delta\times\delta=\delta^2$；$\delta$ 小时区间内 $g(S_T)\approx g(K)$，价值 $=e^{-rT}g(K)\delta^2$，得 (20A.2)。
例 20A.1：不付息股票价格 10，$r=3\%$；3 个月期欧式期权执行价 6、7、…、14 的隐含波动率为 30%、29%、…、22%（每升 1 美元降 1%）。假设 $g$ 在 [6,7)、[7,8)、…、[13,14) 各段为常数 $g_1,\dots,g_8$。求 $g_1$：插值得执行价 6.5 的隐含波动率 29.5%；执行价 6、6.5、7 的期权价格 4.045、3.549、3.055；用 $K=6.5$，$\delta=0.5$：$g_1=e^{0.03\times0.25}\frac{4.045+3.055-2\times3.549}{0.5^2}=0.0057$。类似得 $g_2=0.0444$，$g_3=0.1545$，$g_4=0.2781$，$g_5=0.2813$，$g_6=0.1659$，$g_7=0.0573$，$g_8=0.0113$（图 20A.2）。分布下面积 0.9985，故 $S_T<6$ 或 $>14$ 的概率 0.0015。隐含分布左尾更厚、右尾更薄：单一 26% 波动率的对数正态下 $S_T\in[6,7)$ 概率 0.0031（隐含 0.0057），$[13,14)$ 概率 0.0167（隐含 0.0113）。

本章要点

平价不依赖分布 → 同执行价、同期限看涨看跌隐含波动率相同，微笑/曲面对二者通用。
外汇：U 形微笑，两尾厚（随机波动率 + 跳跃），实证中 3σ 以上日变动远多于正态预测；期限越长微笑越平。
股票：1987 年后的向下偏斜，左尾厚右尾薄，原因为杠杆效应与崩盘恐惧。
微笑常用 $K/S_0$、$K/F_0$、delta 或 $\ln(K/F_0)/\sqrt T$ 表示；波动率曲面靠市场点 + 插值构建。
微笑下 delta 需加上 $\frac{\partial c}{\partial\sigma}\frac{\partial\sigma_{imp}}{\partial S}$ 修正；BSM 本质上是插值工具，模型风险集中在缺乏可比交易的奇异产品。
预期单次大跳跃 → 双峰分布 → "皱眉"形隐含波动率。
Breeden–Litzenberger：$g(K)=e^{rT}\partial^2c/\partial K^2$，可从期权价格恢复风险中性密度。

与量化交易的关联

定价与系统实现：波动率曲面的构建（市场点反解、插值/参数化、按 $K/F$ 或 delta 坐标存储）是期权定价与做市系统的核心模块；表 20.2 的双线性插值是最简实现，实务中需进一步保证无套利。
风险建模：厚尾实证（表 20.1）直接挑战正态 VaR 假设；"黏性"规则（sticky strike / sticky moneyness）决定 delta 计算方式，影响对冲比率；曲面变动的主成分分析是 vega 风险分解的标准方法。
因子研究与信号：隐含偏斜（skew）、风险中性密度的高阶矩、期限结构斜率都是常用的期权隐含因子，可预测股票收益或尾部风险；Breeden–Litzenberger 提供了从期权价格提取市场隐含分布的工具（如事件前隐含的涨跌幅预期）。
事件驱动交易：20.8 节说明财报、诉讼、并购等二元事件前的隐含波动率"皱眉"形态，以及用平值隐含波动率为翼部定价会高估，可用于事件期权定价与交易。
策略回测：Business Snapshot 20.1 是"统计发现定价偏差→买入被低估的尾部期权"的经典案例，同时说明这类优势会随市场学习而消失。

第 21 章基本数值方法（Basic Numerical Procedures，PDF p.473–516）

章首导言（PDF p.473）

没有 BSM 那样的解析解时，用三种数值方法为衍生品估值：(1) 树（trees），第 13 章已介绍；(2) 蒙特卡洛模拟（Monte Carlo simulation），第 14 章简单提过；(3) 有限差分法（finite difference methods）。蒙特卡洛通常用于收益依赖标的变量历史路径或有多个标的变量的衍生品；树和有限差分通常用于美式期权等持有人在到期前需做决策的衍生品。三种方法都能计算 delta、gamma、vega 等希腊字母。这些基本方法能处理实务中大多数估值问题，特殊情形需按第 27 章改进。

21.1 二叉树（Binomial Trees，PDF p.473–481）

第 15、17、18 章的 BSM 及其推广给出欧式期权解析值（脚注：BSM 与二叉树假设相同，附录 13 证明步数趋于无穷时二叉树欧式价格收敛到 BSM）；美式期权没有解析解（脚注：有解析近似，如 Technical Note 8 的二次近似法），二叉树对其最有用。
把期权期限分成许多长度为 $\Delta t$ 的小区间，每个区间内资产价格从 $S$ 变为 $Su$ 或 $Sd$（$u>1$，$d<1$），上升概率 $p$，下降概率 $1-p$（图 21.1）。

风险中性定价：(1) 假设所有交易资产期望收益为无风险利率；(2) 以收益期望值按无风险利率贴现为衍生品估值。

确定 $p,u,d$

须使 $\Delta t$ 内资产价格变化的均值与方差正确。资产收益率 $q$ 时，风险中性下资本利得期望收益 $r-q$，区间末期望价格 $Se^{(r-q)\Delta t}$： $e^{(r-q)\Delta t}=pu+(1-p)d\tag{21.1}$
方差：令 $R$ 为 $\Delta t$ 内百分比变化，$1+R$ 以概率 $p$ 取 $u$、$1-p$ 取 $d$，方差 $pu^2+(1-p)d^2-e^{2(r-q)\Delta t}$，加常数不改变方差，等于 $\sigma^2\Delta t$。由 (21.1)，$e^{(r-q)\Delta t}(u+d)=pu^2+(1-p)d^2+ud$，故 $e^{(r-q)\Delta t}(u+d)-ud-e^{2(r-q)\Delta t}=\sigma^2\Delta t\tag{21.2}$
Cox–Ross–Rubinstein（CRR, 1979）第三个条件： $u=1/d\tag{21.3}$
忽略高于 $\Delta t$ 阶的项，解为 $p=\frac{a-d}{u-d}\tag{21.4}$ $u=e^{\sigma\sqrt{\Delta t}}\tag{21.5}$ $d=e^{-\sigma\sqrt{\Delta t}}\tag{21.6}$ $a=e^{(r-q)\Delta t}\tag{21.7}$ $a$ 称为增长因子（growth factor）。脚注验证：(21.4)(21.7) 精确满足 (21.1)(21.3)；展开 $u\approx1+\sigma\sqrt{\Delta t}+\frac12\sigma^2\Delta t$，$d\approx1-\sigma\sqrt{\Delta t}+\frac12\sigma^2\Delta t$，$e^{(r-q)\Delta t}\approx1+(r-q)\Delta t$，代入可验证 (21.2) 在 $\Delta t$ 阶成立。

资产价格树（图 21.2，四步）：时刻 $i\Delta t$ 有 $i+1$ 个价格 $S_0u^jd^{i-j}$，$j=0,\dots,i$。利用 $u=1/d$，如 $j=2,i=3$ 时 $S_0u^2d=S_0u$。树是重合的（recombining）：先升后降与先降后升价格相同。

倒推：从到期日 $T$ 开始（看跌 $\max(K-S_T,0)$，看涨 $\max(S_T-K,0)$），每个节点值为下一步期望值按 $r$ 贴现 $\Delta t$；美式期权在每个节点比较提前行权与继续持有。

例 21.1：5 个月美式看跌，不付息股票，$S_0=K=50$，$r=10\%$，$\sigma=40\%$，$T=0.4167$，$q=0$；分 5 步，$\Delta t=0.0833$：$u=1.1224$，$d=0.8909$，$a=1.0084$，$p=0.5073$，$1-p=0.4927$，每步贴现因子 0.9917（图 21.3）。
- 节点 A（$i=4,j=1$）股价 $50\times1.1224\times0.8909^3=39.69$；终值节点 G 股价 35.36，期权值 $50-35.36=14.64$。
- 节点 E（股价 50）：不行权值 $(0.5073\times0+0.4927\times5.45)e^{-0.1\times0.0833}=2.66$；行权值 0，故取 2.66。
- 节点 A：不行权值 $(0.5073\times5.45+0.4927\times14.64)e^{-0.00833}=9.90$；行权值 $50-39.69=10.31>9.90$，应行权，取 10.31。
- 节点 B（$i=2,j=0$，股价 39.69）：行权 10.31，不行权 $(0.5073\times6.38+0.4927\times14.64)e^{-0.00833}=10.36$，不应行权——实值并不总意味着应提前行权。
- 初始节点价值 4.49。实务中用更多步：30、50、100、500 步分别得 4.263、4.272、4.278、4.283。

代数表达

期限分 $N$ 段，节点 $(i,j)$ 表示时刻 $i\Delta t$ 自下而上第 $j$ 个节点（$0\le i\le N$，$0\le j\le i$），资产价格 $S_0u^jd^{i-j}$，期权值 $f_{i,j}$。
终值：看涨 $f_{N,j}=\max(S_0u^jd^{N-j}-K,0)$；看跌 $f_{N,j}=\max(K-S_0u^jd^{N-j},0)$。
从 $(i,j)$ 以概率 $p$ 到 $(i+1,j+1)$，以 $1-p$ 到 $(i+1,j)$。无提前行权：$f_{i,j}=e^{-r\Delta t}[pf_{i+1,j+1}+(1-p)f_{i+1,j}]$。
美式看涨：$f_{i,j}=\max\{S_0u^jd^{i-j}-K,\ e^{-r\Delta t}[pf_{i+1,j+1}+(1-p)f_{i+1,j}]\}$；美式看跌：$f_{i,j}=\max\{K-S_0u^jd^{i-j},\ e^{-r\Delta t}[\cdots]\}$。
因为从 $T$ 倒推，$i\Delta t$ 时的值不仅反映该时刻的提前行权，还反映之后各时刻的提前行权。$\Delta t\to0$ 时得到美式看跌精确值；实务中 $N=30$ 通常已合理。图 21.4 显示例 21.1 价格随步数增加呈振荡收敛。
复杂度：$N$ 步树有 $O(N^2)$ 个节点，计算量 $O(N^2)$。

估计 delta 等希腊字母

Delta：$\Delta t$ 时有 $S_0u$ 对应 $f_{1,1}$、$S_0d$ 对应 $f_{1,0}$： $\Delta=\frac{f_{1,1}-f_{1,0}}{S_0u-S_0d}\tag{21.8}$
Gamma：$2\Delta t$ 时两个 delta 估计，分别在 $(S_0u^2+S_0)/2$ 处为 $(f_{2,2}-f_{2,1})/(S_0u^2-S_0)$，在 $(S_0+S_0d^2)/2$ 处为 $(f_{2,1}-f_{2,0})/(S_0-S_0d^2)$，两点间距 $h=0.5(S_0u^2-S_0d^2)$： $\Gamma=\frac{[(f_{2,2}-f_{2,1})/(S_0u^2-S_0)]-[(f_{2,1}-f_{2,0})/(S_0-S_0d^2)]}{h}\tag{21.9}$ 这些分别是 $\Delta t$ 时的 delta 和 $2\Delta t$ 时的 gamma，实务中也作为时刻 0 的估计（脚注：要更精确，可从 $-2\Delta t$ 开始建树，让 $S_0$ 位于该时刻中间节点，从而在时刻 0 得到三个股价下的期权价格）。
Theta：$f_{0,0}$ 与 $f_{2,1}$ 股价相同： $\Theta=\frac{f_{2,1}-f_{0,0}}{2\Delta t}\tag{21.10}$
Vega：把波动率改变 $\Delta\sigma$，步数不变，重建树得 $f^*$，$\mathcal V=(f^*-f)/\Delta\sigma$；rho 类似。
例 21.2（接例 21.1）：$f_{1,0}=6.96$，$f_{1,1}=2.16$，$\Delta=\frac{2.16-6.96}{56.12-44.55}=-0.41$；由节点 B、C、F：$\Gamma=\frac{[(0.64-3.77)/(62.99-50.00)]-[(3.77-10.36)/(50.00-39.69)]}{11.65}=0.03$；由节点 D、C：$\Theta=\frac{3.77-4.49}{0.1667}=-4.3$ 每年，即每日历日 $-0.012$。50 步时 DerivaGem 给出 delta −0.415、gamma 0.034、theta −0.0117；改变参数重算得 vega 0.123、rho −0.072。

21.2 用二叉树为指数、货币、期货期权定价（PDF p.481–483）

指数、货币、期货可视为提供已知收益率的资产：指数取成分股股息率，货币取外国无风险利率，期货取本国无风险利率；只需正确解释 (21.7) 中的 $q$。
例 21.3：4 个月美式指数期货看涨，$F_0=K=300$，$r=8\%$，$\sigma=30\%$，$T=0.3333$，4 步 $\Delta t=0.0833$。期货相当于 $q=r$，$a=1$；$u=e^{0.3\sqrt{0.0833}}=1.0905$，$d=0.9170$，$p=\frac{1-d}{u-d}=0.4784$，$1-p=0.5216$（图 21.5）。估值 19.16；50 步 20.18，100 步 20.22。
例 21.4：1 年美式英镑看跌，$S_0=1.61$，$K=1.60$，$r=8\%$，$r_f=9\%$，$\sigma=12\%$，4 步 $\Delta t=0.25$。$a=e^{(0.08-0.09)\times0.25}=0.9975$，$u=1.0618$，$d=0.9418$，$p=0.4642$（图 21.6）。估值 0.0710；50 步和 100 步均为 0.0738。

21.3 付息股票的二叉树（Binomial Model for a Dividend-Paying Stock，PDF p.483–488）

"股息"仍指除息日因股息导致的股价下降额。

已知股息率（Known Dividend Yield）

长期期权常为方便假设已知连续股息率 $q$，按指数期权方法处理。
更精确：假设已知股息率离散支付。单次股息、股息率 $\delta$（股息占股价比例）已知时，$u,d,p$ 按无股息计算；除息前时刻 $i\Delta t$ 节点价格 $S_0u^jd^{i-j}$，除息后为 $S_0(1-\delta)u^jd^{i-j}$（图 21.7），树仍重合。多次除息：若 $\delta_i$ 为 0 到 $i\Delta t$ 间所有除息日的总股息率，节点价格 $S_0(1-\delta_i)u^jd^{i-j}$。

已知美元股息（Known Dollar Dividend）

期权期限较短时，假设已知股息金额更现实。若股票波动率 $\sigma$ 恒定，树如图 21.8 不重合，节点数可能急剧膨胀。单次股息 $D$，除息日 $\tau$ 在 $k\Delta t$ 与 $(k+1)\Delta t$ 之间：$i\le k$ 时节点 $S_0u^jd^{i-j}$；$i=k+1$ 时 $S_0u^jd^{i-j}-D$；$i=k+2$ 时 $(S_0u^jd^{i-1-j}-D)u$ 与 $(\cdots-D)d$，共 $2i$ 个而非 $i+1$ 个节点；$i=k+m$ 时有 $m(k+2)$ 个节点而非 $k+m+1$ 个。多次除息时增长更快。
实务解决（与 15.12 节一致）：股价 = 不确定部分 + 期权期内股息现值。美式期权须与欧式期权用同一模型（否则不应提前行权的美式期权价格将不等于欧式价格），这同时解决了节点膨胀问题。单次除息日 $\tau$，$k\Delta t\le\tau\le(k+1)\Delta t$，不确定部分 $S^*$：$i\Delta t>\tau$ 时 $S^*=S$；$i\Delta t\le\tau$ 时 $S^*=S-De^{-r(\tau-i\Delta t)}$。设 $\sigma^*$ 为 $S^*$ 的波动率，用 $\sigma^*$ 代替 $\sigma$ 计算 $p,u,d$，按常规为 $S^*$ 建树（脚注：实务中分析师用模型从市价隐含出的正是 $\sigma^*$，一般无须显式区分）；在每个节点加上未来股息现值，转为 $S$ 的树：$i\Delta t<\tau$ 时节点价格 $S_0^*u^jd^{i-j}+De^{-r(\tau-i\Delta t)}$，$i\Delta t>\tau$ 时 $S_0^*u^jd^{i-j}$。树重合，时刻 $i\Delta t$ 有 $i+1$ 个节点；可直接推广到多次股息。
例 21.5：5 个月美式看跌，期内单次股息 2.06，除息日在 3.5 个月；$S_0=52$，$K=50$，$r=10\%$，$\sigma=40\%$。股息现值 $2.06e^{-0.2917\times0.1}=2.00$，$S_0^*=50$。若 40% 指 $S^*$ 的波动率，则图 21.3 就是 $S^*$ 的树；每个节点加股息现值得图 21.9（概率仍为 0.5073/0.4927），倒推得期权价格 4.44；50 步 4.202，100 步 4.212。

控制变量技术（Control Variate Technique，PDF p.485–486）

用同一棵树同时计算美式期权 $f_A$ 与对应欧式期权 $f_E$，再用 BSM 算欧式真值 $f_{BSM}$。假设树为欧式定价的误差 $f_{BSM}-f_E$ 等于为美式定价的误差，则美式估计为 $f_A+(f_{BSM}-f_E)$
例：图 21.10 把图 21.3 的期权当作欧式，得 $f_E=4.32$；BSM 欧式真值 $f_{BSM}=4.08$；$f_A=4.49$。控制变量估计 $4.49+(4.08-4.32)=4.25$，而 100 步的良好估计为 4.278，明显优于原始 4.49。本质上是用树计算美式与欧式价格之差。

21.4 构造树的其他方法（Alternative Procedures for Constructing Trees，PDF p.488–491）

风险中性下 $\Delta t$ 内 $\ln S$ 变化均值 $(r-q-\sigma^2/2)\Delta t$、标准差 $\sigma\sqrt{\Delta t}$。可令 $p=0.5$， $u=e^{(r-q-\sigma^2/2)\Delta t+\sigma\sqrt{\Delta t}},\qquad d=e^{(r-q-\sigma^2/2)\Delta t-\sigma\sqrt{\Delta t}}$ 优点：无论 $\sigma$ 和步数如何，概率总是 0.5（脚注：时间步太大以致 $\sigma<|(r-q)\sqrt{\Delta t}|$ 时，CRR 树会出现负概率，此方法没有该缺陷）。缺点：树不再以初始股价为中心，从树上算 delta、gamma、theta 没那么直接。
例 21.6：9 个月美式外币看涨，$S_0=0.79$，$K=0.795$，$r=6\%$，$r_f=10\%$，$\sigma=4\%$，$T=0.75$，3 步 $\Delta t=0.25$，$p=0.5$：$u=e^{(0.06-0.10-0.0008)\times0.25+0.04\sqrt{0.25}}=1.0098$，$d=e^{(\cdots)\times0.25-0.02}=0.9703$（图 21.11），期权值 0.0026。

三叉树（Trinomial Trees）

每个节点三个分支（图 21.12），概率 $p_u,p_m,p_d$。对股息率 $q$ 的资产，匹配 $\ln S$ 变化均值与标准差的参数： $u=e^{\sigma\sqrt{3\Delta t}},\quad d=1/u$ $p_d=-\sqrt{\frac{\Delta t}{12\sigma^2}}\left(r-q-\frac{\sigma^2}{2}\right)+\frac16,\quad p_m=\frac23,\quad p_u=\sqrt{\frac{\Delta t}{12\sigma^2}}\left(r-q-\frac{\sigma^2}{2}\right)+\frac16$
计算类似二叉树，从后往前，每个节点比较行权值与继续持有值 $e^{-r\Delta t}(p_uf_u+p_mf_m+p_df_d)$。三叉树等价于显式有限差分法（21.8 节）。
Figlewski & Gao 的自适应网格模型（adaptive mesh model）：在低分辨率（大 $\Delta t$）树上嫁接高分辨率（小 $\Delta t$）树；对普通美式期权，最需要高分辨率的是期权到期前执行价附近的区域。

21.5 时变参数（Time-Dependent Parameters，PDF p.491–492）

实务中 $r,q,r_f,\sigma$ 通常随时间变化，$t$ 到 $t+\Delta t$ 之间取其远期值（脚注：远期股息率与远期方差率的计算方式与远期利率相同；方差率为波动率的平方）。
CRR 树中令时刻 $t$ 节点 $a=e^{[f(t)-g(t)]\Delta t}\tag{21.11}$ $f(t)$ 为 $t$ 到 $t+\Delta t$ 的远期利率，$g(t)$ 为 $q$（或 $r_f$）的远期值。$u,d$ 不依赖 $a$，树的几何不变；分支概率 $p=\frac{e^{[f(t)-g(t)]\Delta t}-d}{u-d},\qquad 1-p=\frac{u-e^{[f(t)-g(t)]\Delta t}}{u-d}\tag{21.12}$ （脚注：步数足够多时概率总为正。）$t$ 到 $t+\Delta t$ 的贴现用 $f(t)$。
时变波动率较难。设 $\sigma(t)$ 为期限 $t$ 期权定价所用的波动率，一种方法是令每步长度与该步平均方差率成反比，使 $u,d$ 处处相同、树仍重合：定义 $V=\sigma(T)^2T$，$t_i$ 为第 $i$ 步终点，选 $t_i$ 使 $\sigma(t_i)^2t_i=iV/N$，令 $u=e^{\sqrt{V/N}}$，$d=1/u$，$p$ 按常数波动率公式。可与时变利率方法结合。

21.6 蒙特卡洛模拟（Monte Carlo Simulation，PDF p.492–498）

Business Snapshot 21.1 用蒙特卡洛计算 π：边长 1 的正方形内切半径 0.5 的圆，面积 $\pi/4$。随机投掷飞镖，落入圆内比例乘 4 即为 π 的估计。Excel：A1、B1 = RAND()，C1 = IF((A1−0.5)^2+(B1−0.5)^2<0.5^2,4,0)，复制 100 行，C102 = AVERAGE 得 3.04，C103 = STDEV 得 1.69（表 21.1）。增加试验次数可提高精度，但收敛到 3.14159 很慢。
用于期权估值时基于风险中性定价：在风险中性世界抽样路径求期望收益，再按无风险利率贴现。依赖单一变量 $S$、在 $T$ 支付的衍生品，利率恒定时：
1. 在风险中性世界抽样 $S$ 的一条随机路径；
2. 计算衍生品收益；
3. 重复 1–2 得到大量收益样本；
4. 求样本均值，估计风险中性期望收益；
5. 按无风险利率贴现得衍生品价值估计。
风险中性过程 $dS=\hat\mu S\,dt+\sigma S\,dz\tag{21.13}$ $\hat\mu$ 为风险中性期望收益（脚注：不付息股票 $\hat\mu=r$，汇率 $\hat\mu=r-r_f$ 等；风险中性与真实世界波动率相同，见 13.7 节）。离散化： $S(t+\Delta t)-S(t)=\hat\mu S(t)\Delta t+\sigma S(t)\epsilon\sqrt{\Delta t}\tag{21.14}$ $\epsilon$ 为标准正态随机样本。一次试验需 $N$ 个正态样本构造完整路径。
实务中模拟 $\ln S$ 更精确。由 Itô 引理 $d\ln S=\left(\hat\mu-\frac{\sigma^2}{2}\right)dt+\sigma\,dz\tag{21.15}$ $S(t+\Delta t)=S(t)\exp\left[\left(\hat\mu-\frac{\sigma^2}{2}\right)\Delta t+\sigma\epsilon\sqrt{\Delta t}\right]\tag{21.16}$ 若 $\hat\mu,\sigma$ 为常数，该式对任意 $T$ 精确成立（(21.14) 只在 $\Delta t\to0$ 时精确）： $S(T)=S(0)\exp\left[\left(\hat\mu-\frac{\sigma^2}{2}\right)T+\sigma\epsilon\sqrt T\right]\tag{21.17}$ 可为 $T$ 时刻支付非标准收益的衍生品估值，也可检验 BSM。
优点：收益依赖路径（如 0 到 $T$ 的平均价格）或仅依赖终值都可处理；收益可在期内多次发生；可容纳任何随机过程；可推广到多标的变量。缺点：计算非常耗时；难以处理提前行权（脚注：第 27 章介绍若干扩展方法）。

依赖多个市场变量的衍生品

收益依赖 $n$ 个变量 $\theta_i$，$s_i$ 为波动率，$\hat m_i$ 为风险中性期望增长率，$\rho_{ik}$ 为驱动 $\theta_i,\theta_k$ 的维纳过程的相关系数（脚注：均可依赖于 $\theta_i$）。离散过程： $\theta_i(t+\Delta t)-\theta_i(t)=\hat m_i\theta_i(t)\Delta t+s_i\theta_i(t)\epsilon_i\sqrt{\Delta t}\tag{21.18}$ 每次试验从多元标准正态分布抽取 $N$ 组 $\epsilon_i$，生成各变量路径，计算衍生品样本值。

Business Snapshot 21.2 用 Excel 检验 BSM（表 21.2）：$S_0=K=50$，$r=0.05$，$\sigma=0.3$，$T=0.5$，$d_1=0.2239$，$d_2=0.0118$，BSM 价格 4.817。A1 = $C$2*EXP(($E$2−$F$2*$F$2/2)*$G$2+$F$2*NORMSINV(RAND())*SQRT($G$2))（即 (21.17)，NORMSINV(RAND()) 生成标准正态样本）；B1 = EXP(−$E$2*$G$2)*MAX(A1−$D$2,0)（收益现值）；复制 1,000 行，均值 4.98，标准差 7.68。

生成正态随机样本

两个相关系数为 $\rho$ 的标准正态样本：先取独立 $x_1,x_2$，令 $\epsilon_1=x_1$，$\epsilon_2=\rho x_1+x_2\sqrt{1-\rho^2}$。
一般 $n$ 个、相关系数 $\rho_{ij}$： $\epsilon_1=\alpha_{11}x_1,\quad \epsilon_2=\alpha_{21}x_1+\alpha_{22}x_2,\quad \epsilon_3=\alpha_{31}x_1+\alpha_{32}x_2+\alpha_{33}x_3,\ \dots\tag{21.19}$ 逐步确定系数使方差和相关正确：$\alpha_{11}=1$；$\alpha_{21}\alpha_{11}=\rho_{21}$；$\alpha_{21}^2+\alpha_{22}^2=1$；$\alpha_{31}\alpha_{11}=\rho_{31}$；$\alpha_{31}\alpha_{21}+\alpha_{32}\alpha_{22}=\rho_{32}$；$\alpha_{31}^2+\alpha_{32}^2+\alpha_{33}^2=1$……此即 Cholesky 分解（Cholesky decomposition）。脚注：若方程无实数解，说明假设的相关结构内部不一致（即相关矩阵非正定，见 23.7 节）。

试验次数（Number of Trials）

记折现收益样本均值 $\mu$、标准差 $\omega$，$M$ 为试验次数，估计的标准误 $\omega/\sqrt M$；95% 置信区间 $\mu-\frac{1.96\omega}{\sqrt M}<f<\mu+\frac{1.96\omega}{\sqrt M}$ 不确定性与试验次数平方根成反比：精度翻倍需试验次数乘 4，精度提高 10 倍需乘 100。
例 21.7：π 估计，$\omega=1.69$，$M=100$，标准误 0.169，95% 区间 2.71–3.37（含真值）。
例 21.8：表 21.2，$\omega=7.68$，$M=1000$，标准误 $7.68/\sqrt{1000}=0.24$，95% 区间 4.51–5.45，包含 BSM 价格 4.817。

在树上抽样（Sampling through a Tree）

不从随机过程抽样，而在 $N$ 步二叉树的 $2^N$ 条路径中抽样。如上升概率 0.6：每个节点抽 0–1 随机数，小于 0.4 走下，大于 0.4 走上；得到完整路径后计算收益，重复多次，平均收益按无风险利率贴现（脚注：Mintz 1997 讨论如何高效实现）。
例 21.9：用图 21.3 的树为收益 $\max(S_{ave}-50,0)$ 的期权估值，$S_{ave}$ 为 5 个月平均股价（含首尾价格），即亚式期权（Asian option）。10 次试验（表 21.3）路径与收益：UUUUD 平均 64.98 收益 14.98；UUUDD 59.82/9.82；DDDUU 42.31/0；UUUUU 68.04/18.04；UUDDU 55.22/5.22；UDUUD 55.22/5.22；DDUDD 42.31/0；UUDDU 55.22/5.22；UUUDU 62.25/12.25；DDUUD 45.56/0。平均收益 7.08，价值 $7.08e^{-0.1\times5/12}=6.79$（仅示意，实际需更多步和试验）。

计算希腊字母

对 $x$（标的变量或参数）的偏导：先用蒙特卡洛得 $\hat f$，再把 $x$ 增加 $\Delta x$ 得 $\hat f^*$，估计 $(\hat f^*-\hat f)/\Delta x$。为减小标准误，两次计算应使用相同的时间区间数 $N$、相同的随机样本和相同的试验次数 $M$（公共随机数）。

应用

三个或更多随机变量时蒙特卡洛通常更有效：其耗时大致随变量数线性增长，而多数其他方法呈指数增长。优点：能给出估计的标准误；可容纳复杂收益和复杂随机过程；收益可依赖整条路径的函数。

21.7 方差缩减方法（Variance Reduction Procedures，PDF p.498–501）

按 (21.13)–(21.18) 直接模拟通常需要极多试验才能达到合理精度，计算代价高。以下方法可大幅节省时间。

对偶变量技术（antithetic variable technique）：每次试验计算两个值：$f_1$ 按常规；$f_2$ 把所有标准正态样本取相反号（$\epsilon\to-\epsilon$）。试验的样本值为 $\bar f=(f_1+f_2)/2$。一个高于真值时另一个往往低于真值。最终估计为 $\bar f$ 的均值，标准误 $\omega/\sqrt M$（$\omega$ 为 $\bar f$ 的标准差，$M$ 为配对数），通常远小于 $2M$ 次独立试验的标准误。
控制变量技术（control variate technique）：有两个相似衍生品 A（待估）与 B（有解析解）。用相同随机数流和相同 $\Delta t$ 并行模拟，得 $f_A^*$、$f_B^*$，改进估计 $f_A=f_A^*-f_B^*+f_B\tag{21.20}$ $f_B$ 为 B 的解析真值。Hull–White (1987) 研究随机波动率对欧式看涨价格的影响时，A 为随机波动率下的期权，B 为常数波动率下的期权。
重要性抽样（importance sampling）：为深度虚值欧式看涨定价时，常规抽样大多数路径收益为零，浪费计算。设 $F$ 为 $T$ 时股价的无条件分布，$q$（此处指 $S_T>K$ 的概率）解析已知，则 $G=F/q$ 为 $S_T>K$ 条件下的分布。从 $G$ 抽样，期权估计 = 平均折现收益 × $q$。
分层抽样（stratified sampling）：抽取代表值而非随机值。要取 1,000 个样本，把分布分成 1,000 个等概率区间，每区间取代表值（通常均值或中位数）。标准正态分 $n$ 个区间时第 $i$ 个代表值 $N^{-1}\left(\frac{i-0.5}{n}\right)$，如 $n=4$ 时为 $N^{-1}(0.125)$、$N^{-1}(0.375)$、$N^{-1}(0.625)$、$N^{-1}(0.875)$；$N^{-1}$ 可用 Excel 的 NORMSINV。
矩匹配（moment matching）：调整标准正态样本使一阶、二阶（甚至更高阶）矩匹配。样本 $\epsilon_i$ 的均值 $m$、标准差 $s$，调整后 $\epsilon_i^*=(\epsilon_i-m)/s$，均值恰为 0、标准差恰为 1，用于所有计算。节省计算时间但可能造成内存问题（所有样本须保存到模拟结束）。又称二次重抽样（quadratic resampling），常与对偶变量结合：对偶变量自动匹配所有奇数阶矩，矩匹配则只需匹配二阶、可能还有四阶矩。
准随机序列（quasi-random sequences / low-discrepancy sequences）：概率分布的代表性样本序列（脚注："准随机"用词不当，序列是完全确定性的）。可使标准误与 $1/M$ 而非 $1/\sqrt M$ 成正比。类似分层抽样，但分层抽样要事先知道样本数，准随机更灵活——样本总是"填补"已有样本之间的空隙，任何阶段样本点都大致均匀分布在概率空间中。图 21.14 为 Sobol' 序列二维前 1,024 个点。参考 Brotherton-Ratcliffe (1994)、Press 等《Numerical Recipes》。

21.8 有限差分法（Finite Difference Methods，PDF p.501–511）

通过求解衍生品满足的微分方程估值：把微分方程转为差分方程，迭代求解。以股息率 $q$ 的股票美式看跌为例，PDE（式 17.6）： $\frac{\partial f}{\partial t}+(r-q)S\frac{\partial f}{\partial S}+\frac12\sigma^2S^2\frac{\partial^2f}{\partial S^2}=rf\tag{21.21}$
网格：期限 $T$ 分 $N$ 段，$\Delta t=T/N$，时间点 $0,\Delta t,\dots,T$ 共 $N+1$ 个；$S_{max}$ 足够高使看跌几乎无价值，$\Delta S=S_{max}/M$，价格点 $0,\Delta S,\dots,S_{max}$ 共 $M+1$ 个，$S_{max}$ 的选取使当前股价恰为网格点之一。共 $(M+1)(N+1)$ 个点（图 21.15）；$(i,j)$ 点对应时间 $i\Delta t$、股价 $j\Delta S$，期权值 $f_{i,j}$。

隐式有限差分法（Implicit Finite Difference Method）

内部点 $\partial f/\partial S$ 的近似：前向差分 $\frac{f_{i,j+1}-f_{i,j}}{\Delta S}$（21.22）、后向差分 $\frac{f_{i,j}-f_{i,j-1}}{\Delta S}$（21.23），采用二者平均的中心差分 $\frac{\partial f}{\partial S}=\frac{f_{i,j+1}-f_{i,j-1}}{2\Delta S}\tag{21.24}$ 时间用前向差分 $\frac{\partial f}{\partial t}=\frac{f_{i+1,j}-f_{i,j}}{\Delta t}\tag{21.25}$ 二阶导：$(i,j+1)$ 与 $(i,j)$ 处后向差分之差除以 $\Delta S$： $\frac{\partial^2f}{\partial S^2}=\frac{f_{i,j+1}+f_{i,j-1}-2f_{i,j}}{\Delta S^2}\tag{21.26}$
代入 (21.21)，$S=j\Delta S$： $\frac{f_{i+1,j}-f_{i,j}}{\Delta t}+(r-q)j\Delta S\frac{f_{i,j+1}-f_{i,j-1}}{2\Delta S}+\frac12\sigma^2j^2\Delta S^2\frac{f_{i,j+1}+f_{i,j-1}-2f_{i,j}}{\Delta S^2}=rf_{i,j}$ $j=1,\dots,M-1$，$i=0,\dots,N-1$。整理： $a_jf_{i,j-1}+b_jf_{i,j}+c_jf_{i,j+1}=f_{i+1,j}\tag{21.27}$ $a_j=\tfrac12(r-q)j\Delta t-\tfrac12\sigma^2j^2\Delta t,\quad b_j=1+\sigma^2j^2\Delta t+r\Delta t,\quad c_j=-\tfrac12(r-q)j\Delta t-\tfrac12\sigma^2j^2\Delta t$
边界条件（网格三条边）： $f_{N,j}=\max(K-j\Delta S,0),\ j=0,\dots,M\tag{21.28}$ $f_{i,0}=K,\ i=0,\dots,N\tag{21.29}$ $f_{i,M}=0,\ i=0,\dots,N\tag{21.30}$
求解：先处理 $T-\Delta t$： $a_jf_{N-1,j-1}+b_jf_{N-1,j}+c_jf_{N-1,j+1}=f_{N,j}\tag{21.31}$ 右边已知，又 $f_{N-1,0}=K$（21.32），$f_{N-1,M}=0$（21.33），得 $M-1$ 个方程解 $M-1$ 个未知数。脚注：无须求逆矩阵——由 $j=1$ 方程用 $f_{N-1,1}$ 表示 $f_{N-1,2}$，结合 $j=2$ 方程表示 $f_{N-1,3}$……直到用 $j=M-1$ 方程解出 $f_{N-1,1}$，再回代（即三对角系统的追赶法，复杂度 $O(M)$）。然后每个 $f_{N-1,j}$ 与 $K-j\Delta S$ 比较，若小于则提前行权最优，令 $f_{N-1,j}=K-j\Delta S$。$T-2\Delta t$ 等依此类推，最终得 $f_{0,1},\dots,f_{0,M-1}$，其中之一即所求期权价。总计算量 $O(MN)$。
控制变量可与有限差分结合：用同一网格为有解析解的类似期权估值，再用 (21.20)。
例 21.10：用隐式法为例 21.1 的美式看跌定价，$M=20$、$N=10$、$\Delta S=5$（股价 0 到 100 每 5 美元一格，时间每半个月一格），表 21.4 给出全网格。期权价 4.07；同网格欧式价 3.91；BSM 欧式真值 4.08；控制变量估计 $4.07+(4.08-3.91)=4.24$。表中股价 ≤40 的行在各时点都等于内在价值（提前行权区域），如 40→10.00（剩余 3 个月以内）。

显式有限差分法（Explicit Finite Difference Method）

隐式法非常稳健，$\Delta S,\Delta t\to0$ 时总收敛到微分方程的解（脚注：一般规则是 $\Delta S$ 应与 $\sqrt{\Delta t}$ 成比例地趋于零）；缺点是每步需解 $M-1$ 个联立方程。若假设 $(i,j)$ 点的 $\partial f/\partial S$、$\partial^2f/\partial S^2$ 与 $(i+1,j)$ 点相同： $\frac{\partial f}{\partial S}=\frac{f_{i+1,j+1}-f_{i+1,j-1}}{2\Delta S},\qquad\frac{\partial^2f}{\partial S^2}=\frac{f_{i+1,j+1}+f_{i+1,j-1}-2f_{i+1,j}}{\Delta S^2}$ 差分方程整理为 $f_{i,j}=a_j^*f_{i+1,j-1}+b_j^*f_{i+1,j}+c_j^*f_{i+1,j+1}\tag{21.34}$ $a_j^*=\frac{1}{1+r\Delta t}\left(-\tfrac12(r-q)j\Delta t+\tfrac12\sigma^2j^2\Delta t\right),\ b_j^*=\frac{1}{1+r\Delta t}(1-\sigma^2j^2\Delta t),\ c_j^*=\frac{1}{1+r\Delta t}\left(\tfrac12(r-q)j\Delta t+\tfrac12\sigma^2j^2\Delta t\right)$ （脚注：若对 $\partial f/\partial t$ 用后向差分而非前向差分，也得到显式法。）图 21.16：隐式法联系 $i\Delta t$ 的三个值与 $(i+1)\Delta t$ 的一个值；显式法联系 $i\Delta t$ 的一个值与 $(i+1)\Delta t$ 的三个值，可直接逐点计算。
例 21.11：显式法、同样 $M=20$、$N=10$、$\Delta S=5$，表 21.5 给出期权价 4.26；表左上角出现负数和不一致（见下文解释）。

变量替换（Change of Variable）

标的为几何布朗运动时，以 $Z=\ln S$ 为变量更高效。(21.21) 变为 $\frac{\partial f}{\partial t}+\left(r-q-\frac{\sigma^2}{2}\right)\frac{\partial f}{\partial Z}+\frac12\sigma^2\frac{\partial^2f}{\partial Z^2}=rf$ 网格对 $Z$ 等距。隐式法： $\alpha_jf_{i,j-1}+\beta_jf_{i,j}+\gamma_jf_{i,j+1}=f_{i+1,j}\tag{21.35}$ $\alpha_j=\frac{\Delta t}{2\Delta Z}\left(r-q-\frac{\sigma^2}{2}\right)-\frac{\Delta t}{2\Delta Z^2}\sigma^2,\quad\beta_j=1+\frac{\Delta t}{\Delta Z^2}\sigma^2+r\Delta t,\quad\gamma_j=-\frac{\Delta t}{2\Delta Z}\left(r-q-\frac{\sigma^2}{2}\right)-\frac{\Delta t}{2\Delta Z^2}\sigma^2$ 显式法： $\alpha_j^*f_{i+1,j-1}+\beta_j^*f_{i+1,j}+\gamma_j^*f_{i+1,j+1}=f_{i,j}\tag{21.36}$ $\alpha_j^*=\frac{1}{1+r\Delta t}\left[-\frac{\Delta t}{2\Delta Z}\left(r-q-\frac{\sigma^2}{2}\right)+\frac{\Delta t}{2\Delta Z^2}\sigma^2\right]\tag{21.37}$ $\beta_j^*=\frac{1}{1+r\Delta t}\left(1-\frac{\Delta t}{\Delta Z^2}\sigma^2\right)\tag{21.38}$ $\gamma_j^*=\frac{1}{1+r\Delta t}\left[\frac{\Delta t}{2\Delta Z}\left(r-q-\frac{\sigma^2}{2}\right)+\frac{\Delta t}{2\Delta Z^2}\sigma^2\right]\tag{21.39}$ 系数与 $j$ 无关。多数情况下 $\Delta Z=\sigma\sqrt{3\Delta t}$ 是好的选择。

与三叉树的关系（Relation to Trinomial Tree Approaches）

显式有限差分法等价于三叉树（脚注：隐式法等价于每个节点有 $M+1$ 个分支的多叉树）。(21.34) 中：$-\frac12(r-q)j\Delta t+\frac12\sigma^2j^2\Delta t$ 为股价从 $j\Delta S$ 降到 $(j-1)\Delta S$ 的概率；$1-\sigma^2j^2\Delta t$ 为不变的概率；$\frac12(r-q)j\Delta t+\frac12\sigma^2j^2\Delta t$ 为升至 $(j+1)\Delta S$ 的概率（图 21.17）。三者之和为 1，期望增量 $(r-q)j\Delta S\Delta t=(r-q)S\Delta t$（风险中性期望），$\Delta t$ 小时方差 $\sigma^2j^2\Delta S^2\Delta t=\sigma^2S^2\Delta t$，与 $S$ 的随机过程一致。$f_{i,j}$ 即下一步期望值按无风险利率贴现。
显式法要表现良好，三个"概率"都须为正。例 21.11 中 $j>13$（$S>65$）时 $1-\sigma^2j^2\Delta t<0$，解释了表 21.5 左上角的负价格和不一致。这是显式法的主要问题：概率可能为负，结果不一定收敛（脚注：Hull & White 1990 给出解决方法；此处用 $\ln S$ 网格即可保证收敛）。
变量替换后 $Z$ 下降 $\Delta Z$、不变、上升 $\Delta Z$ 的概率分别为 (21.37)–(21.39) 括号中的项（不含贴现因子），对应股价 $S\to Se^{-\Delta Z}$、$S$、$Se^{\Delta Z}$。令 $\Delta Z=\sigma\sqrt{3\Delta t}$，树与概率与 21.4 节的三叉树完全相同。

其他有限差分法

跳格法（hopscotch method）：节点间交替使用显式和隐式计算（图 21.18）。每个时刻先在"显式节点"E 按常规计算，再处理"隐式节点"I，此时相邻节点值已知，无须解联立方程。
Crank–Nicolson 方法：$\frac{f_{i+1,j}-f_{i,j}}{\Delta t}$ 的估计取隐式法与显式法的平均。

有限差分法的应用

可处理与树相同类型的问题，适用于美式与欧式，但难以处理收益依赖标的历史路径的情形；以大幅增加计算时间为代价可处理多个状态变量（网格变为多维）。
希腊字母：delta、gamma、theta 直接由网格上的 $f_{i,j}$ 计算；vega 需微调波动率并用同一网格重算。

本章小结与延伸阅读（PDF p.511–513）

三种方法：树（每个 $\Delta t$ 股价乘 $u$ 或 $d$，参数使风险中性均值与标准差正确，从后往前倒推，美式取立即行权与继续持有的较大者）；蒙特卡洛（随机抽样风险中性路径，计算收益并按无风险利率贴现，平均即估值）；有限差分（把 PDE 转为差分方程，从后往前；显式法功能上等同三叉树；隐式法更复杂但无须特别措施即可保证收敛）。方法选择取决于衍生品特征和精度要求：蒙特卡洛从前往后，适合欧式及复杂收益，标的变量越多越相对高效；树和有限差分从后往前，可处理美式，但难以处理路径依赖，变量达三个或更多时计算量剧增。延伸阅读：Clewlow & Strickland、Numerical Recipes；树方法 CRR (1979)、Figlewski & Gao (1999)、Hull & White (1988)、Rendleman & Bartter (1979)；蒙特卡洛 Boyle (1977)、Boyle–Broadie–Glasserman (1997)、Broadie–Glasserman–Jain (1997)；有限差分 Hull & White (1990)、Wilmott (1998)。

习题概览（PDF p.513–516）

概念：单棵二叉树能估计哪些希腊字母（21.1：delta、gamma、theta 可以，vega、rho 需重建树）；控制变量在树中的实现（21.3）及对 delta 的改进（21.15）；"终价超过平均价"的期权能否用二叉树（21.5）；付息股票树为何不重合而减去股息现值后重合（21.6）；CRR 负概率条件（21.7）；蒙特卡洛为何难以处理美式（21.9）；随机波动率下对偶 + 控制变量为何每次试验算六个值（21.16）；显式法中 $S=0$、$S\to\infty$ 边界何时影响结果（21.21）；对偶变量改进表 21.2（21.22）；可转债的边界条件与有限差分设计（21.23）；三个相关正态样本公式（21.24）。
二叉树计算：美式看跌（21.2、21.10）；玉米/小麦/白银期货美式看涨（21.4、21.11 含 delta、21.26 含控制变量）；离散美元股息美式看涨（21.12、21.27 与 Black 近似比较）；DerivaGem 四步树 + 控制变量（21.13）；指数美式看跌（21.14、21.33 含希腊字母）；瑞郎美式看跌及 delta（21.25）；由铜期货价格期限结构建树（期货价 = 风险中性期望价格）为美式看涨及支付 $x^2$ 的证券估值（21.19、21.20）；例 21.3 的希腊字母（21.31）；例 21.4 最低节点提前行权的收益（21.32）；收敛性与控制变量、隐含波动率随步数变化（21.30）。
有限差分：显式法美式看跌（21.18）、英镑美式看涨（21.28）；隐式法用于美式货币看涨时 (21.27)–(21.30) 的变化（21.17）。
其他：分层抽样改进 π 估计（21.8）；替代树的均值方差一致性证明与 1/6、2/3、1/6 三叉树构造（21.29）。

本章要点

CRR 二叉树：$u=e^{\sigma\sqrt{\Delta t}}$，$d=1/u$，$p=(a-d)/(u-d)$，$a=e^{(r-q)\Delta t}$；指数 $q$=股息率，货币 $q=r_f$，期货 $q=r$。美式期权逐节点比较行权值与继续值。
树上希腊字母：(21.8)–(21.10)；vega、rho 需扰动参数重建树。
离散美元股息：对"股价减股息现值"建树再加回现值，保持重合；控制变量 $f_A+(f_{BSM}-f_E)$ 显著提高精度。
等概率树、三叉树（$u=e^{\sigma\sqrt{3\Delta t}}$，$p_m=2/3$）、自适应网格、时变参数（远期利率/调整步长）。
蒙特卡洛：模拟 $\ln S$ 精确离散化；标准误 $\omega/\sqrt M$；Cholesky 生成相关正态；适合路径依赖与高维；希腊字母用公共随机数差分。
方差缩减：对偶变量、控制变量、重要性抽样、分层抽样、矩匹配、准随机（Sobol'）序列。
有限差分：隐式（稳健、解三对角方程）、显式（等价三叉树，概率可能为负导致不收敛，用 $\ln S$ 网格且 $\Delta Z=\sigma\sqrt{3\Delta t}$ 解决）、跳格法、Crank–Nicolson。

与量化交易的关联

定价与系统实现：这是衍生品定价库的核心算法章节。二叉/三叉树（美式期权、离散股息）、有限差分（PDE 求解、三对角追赶法、Crank–Nicolson）、蒙特卡洛（路径依赖、多资产、xVA）是实际系统必须实现的引擎；控制变量、Cholesky 分解、准随机序列是生产环境中常用的加速与精度手段。
风险建模：蒙特卡洛与 Cholesky 分解直接用于组合 VaR、情景生成；希腊字母的扰动估计（公共随机数）与第 22 章的风险汇总衔接。
回测与策略研究：蒙特卡洛模拟 GBM 路径（式 21.16/21.17）是策略压力测试、期权策略回测和仓位规则评估的基础工具；标准误公式用于判断模拟次数是否充分，也可类比到回测统计显著性。
数值稳定性：显式法负概率、CRR 在大步长下负概率等问题提醒在实现时检查稳定性条件；收敛振荡（图 21.4）提示需要平滑或外推技术。

第 22 章风险价值（Value at Risk，PDF p.517–543）

章首导言（PDF p.517）

第 19 章的 delta、gamma、vega 描述衍生品组合风险的不同侧面。金融机构通常每天对其暴露的每个市场变量计算这些指标，而市场变量常有成百上千个，delta–gamma–vega 分析每天产生大量风险指标——对交易员有价值，但无法衡量机构承担的总风险。**风险价值（Value at Risk, VaR）**试图用单一数字概括金融资产组合的总风险，被企业财务主管、基金经理和金融机构广泛使用，银行监管者传统上用它确定银行必须持有的资本。本章介绍 VaR 度量及两种主要计算方法：历史模拟法（historical simulation）与模型构建法（model-building approach）。

22.1 VaR 度量（The VaR Measure，PDF p.517–520）

VaR 回答的陈述形式："我们有 X% 的把握，未来 N 天内损失不会超过 V 美元。" $V$ 即 VaR，是时间跨度 $N$ 天与置信水平 $X\%$ 的函数：N 天内损失超过它的概率只有 $(100-X)\%$。监管要求银行市场风险 VaR 用 $N=10$、$X=99$。
以收益分布看，VaR 是 N 天组合价值变化（收益）分布的第 $(100-X)$ 百分位对应的损失（损失为负收益，VaR 关注左尾）；以损失分布看则关注右尾。例：$N=5$、$X=97$ 时 VaR 是 5 天收益分布的第 3 百分位（图 22.1）。
优点：易懂，回答"情况能糟到什么程度"，高管乐于把所有市场变量的所有希腊字母压缩为一个数。
缺点：可能诱使交易员选择图 22.2 那样的收益分布——与图 22.1 VaR 相同，但尾部潜在损失大得多。
预期亏损（expected shortfall，ES，又称 C-VaR、尾部损失 tail loss）：VaR 问"情况能糟到什么程度"，ES 问"如果情况真变糟，预期会损失多少"，即 N 天损失超过 VaR 条件下的期望损失。例：$X=99$、$N=10$ 时 ES 是 10 天损失超过 10 天 99% VaR 时的平均损失。脚注：Artzner、Delbaen、Eber、Heath (1999) 提出好的风险度量应具备的性质（一致性风险度量 coherent risk measures），标准 VaR 并不全部满足（不满足次可加性）。
Business Snapshot 22.1 银行监管者如何使用 VaR：巴塞尔银行监管委员会 1988 年发布 Basel I，规定信用风险资本计算。1996 年修正案（1998 年实施）要求为市场风险也持有资本，区分交易账户（trading book）（每日重估的股票、债券、互换、远期、期权等）与银行账户（banking book）（主要是贷款，通常不定期重估）。交易账户资本用 $N=10$、$X=99$ 的 VaR 计算，资本 = $k$ × VaR（另加特定风险调整），乘数 $k$ 由监管者按银行逐一设定，至少 3.0；VaR 程序完善、检验充分的银行通常为 3.0。Basel II（约 2007 年实施）用 1 年期、99.9% 的 VaR 计算信用风险和操作风险资本；Basel II.5（2012 年实施）修改市场风险资本计算，引入压力 VaR（stressed VaR）——基于特别不利时期市场变量变动的 VaR；Basel III 提高资本数量及其中权益占比。2012 年 5 月巴塞尔委员会发布讨论稿，考虑对市场风险由 VaR 改用预期亏损。

时间跨度（The Time Horizon）

实务中先算 $N=1$ 的市场风险 VaR，因为通常没有足够数据直接估计市场变量更长期的行为。通常假设 $N\text{ 天 VaR}=1\text{ 天 VaR}\times\sqrt N$ 当组合价值逐日变化独立同分布且为均值零的正态时精确成立，否则为近似。

22.2 历史模拟法（Historical Simulation，PDF p.520–524）

用过去数据指引未来。例：1 天、99%、501 天数据（501 天产生 500 个情景）。第一步识别影响组合的市场变量（利率、股价、商品价格等），全部以本币计量（如德国银行的一个市场变量是以欧元计的标普 500）。
收集最近 501 天市场变量的变动，得到 500 个"今天到明天"的情景。数据第一天记为 Day 0。情景 1：所有变量的百分比变化与 Day 0→Day 1 相同；情景 2：与 Day 1→Day 2 相同……对每个情景计算组合今天到明天的美元价值变化，得到日损失（收益为负损失）的概率分布。99 百分位估计为第 5 大损失（脚注：也可用第 6 大或二者平均；Excel PERCENTILE 函数在 $n$ 个观测、$k$ 为整数时把排名 $k+1$ 的观测作为 $k/(n-1)$ 百分位，其他用线性插值）。若过去 501 天的变化能代表明天，则有 99% 把握损失不超过该 VaR。
代数表达：$v_i$ 为第 $i$ 天市场变量值，今天为第 $n$ 天，第 $i$ 个情景下明天的值为 $v_n\frac{v_i}{v_{i-1}}$

示例：四个股指组合

美国投资者 2008 年 9 月 25 日持有 1,000 万美元组合（表 22.1，单位千美元）：DJIA 4,000；FTSE 100 3,000；CAC 40 1,000；Nikkei 225 2,000。作者网站有 501 天收盘价、汇率与完整计算的 Excel 表。（脚注：为简化，只用四个指数都交易的日子，不考虑股息。）
外国指数须换算为美元：如 2008 年 8 月 10 日 FTSE 100 为 5,823.40，汇率 1.8918 美元/英镑，美元计值约 11,016.71。表 22.2（美元计值）：Day 0（2006-08-07）DJIA 11,219.38、FTSE 11,131.84、CAC 6,373.89、Nikkei 131.77；Day 1（08-08）11,173.59、11,096.28、6,378.16、134.38；……Day 500（2008-09-25）11,022.06、9,599.90、6,200.40、112.82。
背景：2007 年 8 月开始的信用市场动荡已持续一年多，股价连月下跌，波动率上升，雷曼十天前破产，7,000 亿美元 TARP 尚未获国会通过。
情景 1：DJIA 值 $11{,}022.06\times\frac{11{,}173.59}{11{,}219.38}=10{,}977.08$；FTSE、CAC、Nikkei 分别为 9,569.23、6,204.55、115.05。组合值（千美元） $4000\times\frac{10977.08}{11022.06}+3000\times\frac{9569.23}{9599.90}+1000\times\frac{6204.55}{6200.40}+2000\times\frac{115.05}{112.82}=10{,}014.334$ 即收益 14,334 美元（损失 −14.334）。表 22.3 列出 500 个情景，如情景 2 组合 10,027.481（损失 −27.481），情景 3 为 9,946.736（损失 53.264），情景 499 为 9,857.465（损失 142.535），情景 500 为 10,126.439（损失 −126.439）。图 22.3 为损失直方图。
表 22.4 按损失从大到小排序：情景 494（雷曼破产时的变动）477.841；339 345.435；349 282.204；329 277.041；487 253.385；227 217.974；131 202.256；238 201.389……1 天 99% VaR 取第 5 大损失 253,385 美元；10 天 99% VaR $=\sqrt{10}\times253{,}385=801{,}274$ 美元。
每天用最近 501 天数据更新：9 月 26 日（Day 501）用 Day 1 至 Day 501（不再使用 Day 0）；9 月 29 日（Day 502）用 Day 2 至 Day 502，依此类推。
实务中银行组合远比这复杂：成千上万头寸，含远期、期权等衍生品，组合每天变化。交易使组合风险加大，VaR 通常上升，反之下降。VaR 按"组合在下一个营业日保持不变"计算。
常需考虑数百上千个市场变量。利率方面，银行需多币种的多条零息利率期限结构，所考虑的市场变量是用于构建这些期限结构的变量（第 4 章），每条零息曲线可能多达 10 个市场变量。

22.3 模型构建法（Model-Building Approach，PDF p.524–527）

日波动率（Daily Volatilities）

期权定价中时间以年计，波动率为"每年波动率"；模型构建法中时间以天计，用"每日波动率"。假设一年 252 个交易日，由 (15.2)，一年连续复利收益标准差为 $\sigma_{year}$ 或 $\sigma_{day}\sqrt{252}$： $\sigma_{year}=\sigma_{day}\sqrt{252},\qquad\sigma_{day}=\frac{\sigma_{year}}{\sqrt{252}}$ 日波动率约为年波动率的 6%。
15.4 节指出 $\sigma_{day}$ 近似等于一天百分比价格变化的标准差；计算 VaR 时假设严格相等，即日波动率定义为一天百分比变化的标准差。后续假设已有日波动率与相关系数的估计（第 23 章讨论如何估计）。

单一资产（Single-Asset Case）

持有 1,000 万美元微软股票，$N=10$，$X=99$，先考虑 1 天。微软日波动率 2%（约年化 32%），头寸日变化标准差 $2\%\times1000$ 万 $=20$ 万美元。
惯例假设该期间市场变量期望变化为零。不严格成立但合理：短期期望变化远小于标准差。如微软期望年收益 20%，1 天期望收益 $0.20/252\approx0.08\%$，标准差 2%；10 天期望约 0.8%，标准差 $2\%\times\sqrt{10}\approx6.3\%$。
假设变化正态（脚注：为与第 15 章一致可假设明日股价对数正态，但一天很短，与正态几乎无差别）。$N^{-1}(0.01)=-2.326$，1% 概率正态变量下降超过 2.326 个标准差。1 天 99% VaR $=2.326\times200{,}000=465{,}300$ 美元；10 天 99% VaR $=465{,}300\times\sqrt{10}=1{,}471{,}300$ 美元。
AT&T 500 万美元，日波动率 1%（约年化 16%）：日标准差 5 万；1 天 99% VaR $=50{,}000\times2.326=116{,}300$；10 天 $=367{,}800$ 美元。

两资产（Two-Asset Case）

组合 = 1,000 万微软 + 500 万 AT&T，二者收益二元正态，相关系数 0.3。统计结论： $\sigma_{X+Y}=\sqrt{\sigma_X^2+\sigma_Y^2+2\rho\sigma_X\sigma_Y}$ $\sigma_X=200{,}000$，$\sigma_Y=50{,}000$：$\sqrt{200000^2+50000^2+2\times0.3\times200000\times50000}=220{,}200$。1 天 99% VaR $=220{,}200\times2.326=512{,}300$；10 天 $=1{,}620{,}100$ 美元。

分散化的好处（The Benefits of Diversification）

10 天 99% VaR：微软 1,471,300；AT&T 367,800；合计组合 1,620,100。$(1{,}471{,}300+367{,}800)-1{,}620{,}100=219{,}000$ 美元即分散化收益。若完全相关，组合 VaR 等于两者之和；相关性不完全则部分风险被"分散掉"（脚注：Markowitz 1952 最早研究分散化收益，1990 年获诺贝尔奖）。

22.4 线性模型（The Linear Model，PDF p.527–532）

组合价值 $P$，$n$ 种资产，投资于资产 $i$ 的金额 $\alpha_i$，$x_i$ 为资产 $i$ 一天收益： $\Delta P=\sum_{i=1}^n\alpha_i\Delta x_i\tag{22.1}$ 上例（百万美元）$\alpha_1=10$，$\alpha_2=5$，$\Delta P=10\Delta x_1+5\Delta x_2$。
若 $\Delta x_i$ 多元正态，则 $\Delta P$ 正态，只需均值和标准差；设各 $\Delta x_i$ 期望为零，则 $\Delta P$ 均值为零。$\sigma_i$ 为资产 $i$ 日波动率，$\rho_{ij}$ 为收益相关系数： $\sigma_P^2=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\rho_{ij}\alpha_i\alpha_j\sigma_i\sigma_j\tag{22.2}$ 等价于 $\sigma_P^2=\sum_i\alpha_i^2\sigma_i^2+2\sum_i\sum_{j<i}\rho_{ij}\alpha_i\alpha_j\sigma_i\sigma_j$。N 天变化标准差 $\sigma_P\sqrt N$，N 天 99% VaR $=2.326\sigma_P\sqrt N$。
组合一天收益 $\Delta P/P$ 的方差 $\sum_i\sum_j\rho_{ij}w_iw_j\sigma_i\sigma_j$，$w_i=\alpha_i/P$ 为权重——组合经理常用的形式。
验证：$\sigma_1=0.02$，$\sigma_2=0.01$，$\rho_{12}=0.3$，$\sigma_P^2=10^2\times0.02^2+5^2\times0.01^2+2\times10\times5\times0.3\times0.02\times0.01=0.0485$，$\sigma_P=0.2202$（百万美元/天），10 天 99% VaR $=2.326\times0.2202\times\sqrt{10}=1.62$ 百万美元，与上节一致。

相关矩阵与协方差矩阵（Correlation and Covariance Matrices）

相关矩阵（表 22.5）：第 $i$ 行第 $j$ 列为 $\rho_{ij}$，对角线为 1，对称。配合日标准差即可用 (22.2) 算组合方差。
分析师也常用方差与协方差：$\text{var}_i=\sigma_i^2$，$\text{cov}_{ij}=\sigma_i\sigma_j\rho_{ij}$： $\sigma_P^2=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\text{cov}_{ij}\alpha_i\alpha_j\tag{22.3}$ 协方差矩阵（表 22.6）对角线为方差，故又称方差-协方差矩阵（variance–covariance matrix），对称。矩阵形式： $\sigma_P^2=\boldsymbol\alpha^{\mathsf T}C\boldsymbol\alpha$ $\boldsymbol\alpha$ 为第 $i$ 元素是 $\alpha_i$ 的列向量，$C$ 为方差-协方差矩阵。方差协方差通常由历史数据计算（23.8 节对四指数例子示范）。

处理利率（Handling Interest Rates）

不可能为每个债券价格或利率单独定义市场变量，须简化。一种方法：只假设收益率曲线平行移动，只需一个市场变量（平移量），用久期关系 $\Delta P=-DP\Delta y$ $D$ 为修正久期，$\Delta y$ 为一天的平行移动。通常不够精确。
常用做法：以标准期限零息债价格为市场变量：1 个月、3 个月、6 个月、1 年、2 年、5 年、7 年、10 年、30 年。把组合中工具的现金流映射到标准期限上。例：100 万美元 1.2 年期国债，半年付息 6%，在 0.2、0.7、1.2 年付息、1.2 年还本，先视为 3 万美元 0.2 年零息债 + 3 万美元 0.7 年零息债 + 103 万美元 1.2 年零息债；再把 0.2 年头寸替换为近似等价的 1 个月和 3 个月零息债，0.7 年替换为 6 个月和 1 年，1.2 年替换为 1 年和 2 年。最终该附息债被视为 1 个月、3 个月、6 个月、1 年、2 年零息债的组合。此即现金流映射（cash-flow mapping）（方法见 Technical Note 25）。历史模拟法无须现金流映射，因为每个情景都可由所考虑的变量算出完整利率期限结构。

线性模型的应用

最简单：无衍生品的股票与债券组合；现金流映射把债券转为标准期限零息债，组合价值变化与股票和这些零息债的收益成线性。
外汇远期：到期 $T$ 的买入外币远期 = 外币 $T$ 期零息债多头 + 本币 $T$ 期零息债空头，各自做现金流映射。
利率互换：（第 7 章）浮动利率债与固定利率债的交换。固定利率债为普通附息债；浮动利率债在下一付息日后值面值，可视为到期日为下一付息日的零息债。互换化为债券多空组合，用现金流映射处理。

线性模型与期权（The Linear Model and Options）

单一股票（价格 $S$）的期权组合，delta 为 $\delta$（本节与下节用小写 $\delta$、$\gamma$ 避免与 $\Delta$ 混淆）。近似 $\delta=\Delta P/\Delta S$，即 $\Delta P=\delta\Delta S\tag{22.4}$ 令 $\Delta x=\Delta S/S$ 为一天百分比变化，得 $\Delta P=S\delta\Delta x$。多个市场变量时 $\Delta P=\sum_{i=1}^nS_i\delta_i\Delta x_i\tag{22.5}$ $S_i$ 为第 $i$ 个市场变量值，$\delta_i$ 为组合对它的 delta，对应 (22.1) 中 $\alpha_i=S_i\delta_i$，可用 (22.2)(22.3) 计算 $\Delta P$ 的标准差。
例 22.1：微软期权 delta 1,000，AT&T 期权 delta 20,000；股价分别为 120 和 30。$\Delta P=120\times1000\Delta x_1+30\times20000\Delta x_2=120{,}000\Delta x_1+600{,}000\Delta x_2$（相当于投资 12 万微软、60 万 AT&T）。日波动率 2% 与 1%，相关 0.3，$\Delta P$ 标准差（千美元）$\sqrt{(120\times0.02)^2+(600\times0.01)^2+2\times120\times0.02\times600\times0.01\times0.3}=7.099$。$N(-1.645)=0.05$，5 天 95% VaR $=1.645\times\sqrt5\times7{,}099=26{,}110$ 美元。

22.5 二次模型（The Quadratic Model，PDF p.532–534）

含期权时线性模型只是近似，没有考虑 gamma（组合价值与市场变量关系的曲率）。
图 22.4：gamma 为正时组合价值分布正偏，为负时负偏。图 22.5：多头看涨（正 gamma）把一天后资产价格的正态分布映射为正偏的期权价值分布（脚注：VaR 计算中可用正态近似对数正态）；图 22.6：空头看涨（负 gamma）映射为负偏分布。
VaR 关键取决于左尾。正 gamma 组合左尾比正态薄，若假设 $\Delta P$ 正态，算出的 VaR 偏高；负 gamma 组合左尾更厚，正态假设下 VaR 偏低。
更精确：由第 19 章附录，单一资产组合 $\Delta P=\delta\Delta S+\frac12\gamma(\Delta S)^2$ （脚注：泰勒展开为 $\Delta P=\Theta\Delta t+\delta\Delta S+\frac12\gamma(\Delta S)^2$，实务中 $\Theta\Delta t$ 很小，通常忽略。）令 $\Delta x=\Delta S/S$： $\Delta P=S\delta\Delta x+\frac12S^2\gamma(\Delta x)^2\tag{22.6}$
$n$ 个市场变量且每个工具只依赖一个变量：$\Delta P=\sum_iS_i\delta_i\Delta x_i+\sum_i\frac12S_i^2\gamma_i(\Delta x_i)^2$。工具可能依赖多个变量时： $\Delta P=\sum_{i=1}^nS_i\delta_i\Delta x_i+\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\frac12S_iS_j\gamma_{ij}\Delta x_i\Delta x_j\tag{22.7}$ $\gamma_{ij}=\frac{\partial^2P}{\partial S_i\partial S_j}$ 为交叉 gamma（cross gamma）。
(22.7) 不如 (22.1) 好用，但可用于计算 $\Delta P$ 的各阶矩，再用统计学中的 Cornish–Fisher 展开由矩估计分布百分位（Technical Note 10）。单一变量时（$\sigma$ 为日波动率）： $E(\Delta P)=0.5S^2\gamma\sigma^2,\quad E(\Delta P^2)=S^2\delta^2\sigma^2+0.75S^4\gamma^2\sigma^4,\quad E(\Delta P^3)=4.5S^4\delta^2\gamma\sigma^4+1.875S^6\gamma^3\sigma^6$ DerivaGem Sample Application E 实现了该方法。

22.6 蒙特卡洛模拟（Monte Carlo Simulation，PDF p.534–535）

模型构建法也可用蒙特卡洛生成 $\Delta P$ 分布。1 天 VaR 步骤：
1. 用当前市场变量值按常规为组合估值；
2. 从 $\Delta x_i$ 的多元正态分布抽样一次（方法见 21.6 节）；
3. 用抽样的 $\Delta x_i$ 确定一天后各市场变量值；
4. 按常规重估一天后组合价值；
5. 第 4 步减第 1 步得一个 $\Delta P$ 样本；
6. 重复 2–5 多次，构建 $\Delta P$ 的概率分布。
VaR 为该分布的相应百分位。如 5,000 个样本，1 天 99% VaR 为第 50 差结果，95% VaR 为第 250 差结果（脚注：与历史模拟一样，可用极值理论平滑尾部以更好估计极端百分位）。N 天 VaR 通常取 1 天 VaR × $\sqrt N$（脚注：组合含期权时这只是近似，但多数 VaR 方法实务中都如此假设）。
缺点：慢，因为整个组合（可能数十万工具）须多次重估（脚注：Jamshidian & Zhu 1997 提出限制重估次数的方法）。加速：假设 (22.7) 描述 $\Delta P$ 与 $\Delta x_i$ 的关系，从第 2 步直接跳到第 5 步，无须完整重估，称部分模拟法（partial simulation approach）；历史模拟法有时也用类似做法。

22.7 方法比较（Comparison of Approaches，PDF p.535–536）

模型构建法优点：结果产出很快；易与波动率更新方法（下一章）结合。主要缺点：假设市场变量多元正态，而实际日变化的尾部常与正态差异很大（表 20.1）。另一缺点：对低 delta 组合效果差（习题 22.21）。
历史模拟法优点：由历史数据决定市场变量的联合分布；无须现金流映射。缺点：计算慢；不易采用波动率更新方法（脚注：Hull & White 1998 给出把波动率更新纳入历史模拟的方法）。

22.8 压力测试与回测（Stress Testing and Back Testing，PDF p.536）

压力测试（stress testing）：估计组合在过去 10–20 年最极端市场变动下的表现。如测试美股极端变动，可设所有市场变量百分比变化等于 1987 年 10 月 19 日（标普 500 变动 22.3 个标准差）；若太极端，可用 1988 年 1 月 8 日（6.8 个标准差）。测试英国利率极端变动，可用 1992 年 4 月 10 日（10 年期国债收益率变动 7.7 个标准差）。
情景也可由高管提出：定期开会"头脑风暴"，结合当前经济环境与全球不确定性构想极端情景。
压力测试用于考虑偶尔确实会发生、但在假设分布下几乎不可能的极端事件。如日变动 5 个标准差，正态假设下约 7,000 年一次，实际上每 10 年见到一两次并不罕见。
2007–2008 年信用危机后，监管者提出压力 VaR：基于压力市场时期（如 2008 年）市场变量变动的历史模拟 VaR。
回测（back testing）：检验 VaR 估计在过去表现如何，是重要的现实检验。对 1 天 99% VaR，统计实际日损失超过当日 VaR 的天数比例：约 1% 则方法尚可；若为 7% 则方法可疑。

22.9 主成分分析（Principal Components Analysis，PDF p.536–540）

处理一组高度相关市场变量风险的方法。PCA 是标准统计工具，用市场变量变动的历史数据定义一组解释变动的成分或因子。
示例：1、2、3、4、5、7、10、30 年期互换利率，2000–2011 年 2,780 个日观测。表 22.7 为八个因子（主成分）的因子载荷（factor loadings）（每个因子载荷平方和为 1；所有载荷同时变号不改变因子）。前三个因子（符号依原书及文中计算还原）：

期限	PC1	PC2	PC3
1y	0.216	−0.501	0.627
2y	0.331	−0.429	0.129
3y	0.372	−0.267	−0.157
4y	0.392	−0.110	−0.256
5y	0.404	0.019	−0.355
7y	0.394	0.194	−0.195
10y	0.376	0.371	0.068
30y	0.305	0.554	0.575

（PC4–PC8 载荷见原书表 22.7，抽取文本中负号丢失，此处从略。）

PC1 约为收益率曲线平行移动：一单位该因子使 1 年利率上升 0.216 bp、2 年上升 0.331 bp……
PC2 为扭转（twist）/斜率变化：1–4 年与 5–30 年反向变动。
PC3 为弯曲（bowing）：短端（1、2 年）与长端（10、30 年）同向，中间期限反向。
8 个利率、8 个因子，任一天的利率变化都可通过解 8 元线性方程组表示为因子的线性组合；某天某因子的数量称因子得分（factor score）。
因子重要性由其因子得分的标准差衡量。表 22.8（基点）：PC1 17.55，PC2 4.77，PC3 2.08，PC4 1.29，PC5 0.91，PC6 0.73，PC7 0.56，PC8 0.53。1 个标准差的 PC1 对应 1 年利率变动 $0.216\times17.55=3.78$ bp，2 年变动 $0.331\times17.55=5.81$ bp，等等。
性质：因子得分在样本中互不相关（如平移量与扭转量在 2,780 天中不相关）；因子得分方差之和等于原数据总方差：$17.55^2+4.77^2+2.08^2+\cdots+0.53^2=338.8$。第一因子解释 $17.55^2/338.8=90.9\%$，前两个解释 $(17.55^2+4.77^2)/338.8=97.7\%$，第三个再解释 1.3%。利率变动风险大部分由前两三个因子解释，可把利率组合的风险与这些因子而非 8 个利率挂钩。图 22.7 绘出前三个因子（脚注：几乎任何国家的任何收益率曲线做 PCA 都得到类似结果）。

用 PCA 计算 VaR

表 22.9：利率变动 1 bp 时组合价值变化（百万美元）：3 年 +10，4 年 +4，5 年 −8，7 年 −7，10 年 +2。用前两个因子（解释 97.7% 方差）。
对第一因子的敞口（百万美元/因子得分基点）：$10\times0.372+4\times0.392-8\times0.404-7\times0.394+2\times0.376=0.05$；对第二因子：$10\times(-0.267)+4\times(-0.110)-8\times0.019-7\times0.194+2\times0.371=-3.87$。
因子得分 $f_1,f_2$（基点）：$\Delta P=0.05f_1-3.87f_2$。因子得分不相关，标准差见表 22.8： $\sigma_{\Delta P}=\sqrt{0.05^2\times17.55^2+3.87^2\times4.77^2}=18.48$ 1 天 99% VaR $=18.48\times2.326=42.99$（百万美元）。该组合几乎不暴露于第一因子而显著暴露于第二因子；只用一个因子会显著低估 VaR（习题 22.11）；只考虑平行移动的久期法同样会严重低估。
PCA 理论上可用于利率以外的变量，如多个股指：识别描述指数变动的因子，用最重要的几个替代指数做 VaR 分析；效果取决于变量间相关程度。由于 VaR 通常把组合变化与市场变量的百分比变化 $\Delta x_i$ 联系，对百分比变化而非绝对变化做 PCA 可能更合适。

本章小结与延伸阅读（PDF p.540–541）

VaR 陈述"我们有 X% 把握未来 N 天损失不超过 V"。历史模拟法：建立所有市场变量的日变动数据库，第 $i$ 次试验假设各变量百分比变化与数据第 $i$ 天相同，计算 $\Delta P$，取相应百分位。模型构建法：若 (1) $\Delta P$ 与市场变量百分比变化线性相关，(2) 百分比变化多元正态，则 $\Delta P$ 正态，有解析公式。含期权时非线性，可由 gamma 得近似二次关系，再用蒙特卡洛估计 VaR。下一章讨论波动率与相关系数的估计与监控。延伸阅读：Artzner 等 (1999) 一致性风险度量、Basak & Shapiro (2001)、Boudoukh–Richardson–Whitelaw (1998)、Dowd (1998)、Duffie & Pan (1997)、Embrechts 等 (1997) 极值、Hull & White (1998) 两篇、Jackson 等 (1997)、Jamshidian & Zhu (1997)、Jorion《Value at Risk》、Longin (2001)、Marshall & Siegel (1997)、Neftci (2000)、Rich (2003)。

习题概览（PDF p.541–543）

线性模型计算：两资产 5 天 99% VaR（22.1）；黄金白银组合 10 天 97.5% VaR 及分散化收益（22.17）；外汇期权组合 delta 56.0 的线性关系与 10 天 99% VaR（22.3），加入 gamma 16.2 后的二次关系（22.4）；两个 PCA 因子的 5 天 90% VaR（22.5）；外汇远期视为两零息债的标准差与 10 天 99% VaR（22.10）；单资产期权组合 delta 12、gamma −2.6 的 1 天 95% VaR 及二次关系在蒙特卡洛中的用法（22.18）。
利率与 PCA：模型构建法中处理利率工具的三种方法及历史模拟法下如何处理（22.2）；互换的现金流映射（22.7）；表 22.9 例用一个与三个因子的 VaR（22.11）；债券组合 2、3 年多头与 5 年空头对 1–5 年利率的敞口，用 1、2、3 个因子算 20 天 95% VaR（22.19）；久期模型 20 天 90% VaR 及其缺陷与替代（22.16）。
概念：股票债券组合下线性模型与历史模拟的假设（22.6）；VaR 与预期亏损的区别（22.8）；线性模型对期权组合为何只是近似（22.9）；delta 接近零时模型构建法为何失效（22.21）。
期权组合与模拟：delta −30、gamma 5 的解读与 VaR（22.12），再加 vega 的模型（22.13）；看涨+看跌空头的 10 天 99% VaR，分别用 delta、部分模拟、完全模拟（22.20）。
用作者网站表格：四指数例 95%、97% VaR（22.14）；等权组合（22.15）；改变权重（22.22）。

本章要点

VaR = N 天收益分布的 $(100-X)$ 百分位损失；监管市场风险用 10 天 99%，资本 = $k$（≥3）× VaR；$N$ 天 VaR ≈ 1 天 VaR × $\sqrt N$。
VaR 不反映尾部损失大小，预期亏损（ES）弥补这一缺陷且满足一致性。
历史模拟：用过去 500 个日百分比变化生成情景，第 5 大损失为 1 天 99% VaR；无须分布假设与现金流映射，但计算慢、难以纳入波动率更新。
模型构建（方差-协方差）法：$\sigma_P^2=\boldsymbol\alpha^{\mathsf T}C\boldsymbol\alpha$，VaR $=2.326\sigma_P\sqrt N$；快，但依赖多元正态；利率工具需现金流映射；期权用 delta 线性化（$\alpha_i=S_i\delta_i$）或 delta-gamma 二次模型 + Cornish–Fisher / 蒙特卡洛 / 部分模拟。
正 gamma 组合在正态假设下 VaR 偏高，负 gamma 偏低。
压力测试与压力 VaR 补充极端事件；回测检验例外率是否接近 $(100-X)\%$。
利率曲线 PCA：平移、扭转、弯曲三个因子解释约 99% 方差；因子得分互不相关，可大幅降维计算 VaR。

与量化交易的关联

风险建模与组合管理：方差-协方差 VaR、历史模拟 VaR、蒙特卡洛 VaR 是量化基金风控系统的标准模块；$\boldsymbol w^{\mathsf T}\Sigma\boldsymbol w$ 也是组合优化（均值-方差、风险平价、风险预算）的核心表达；分散化收益的计算直接对应边际/成分风险贡献分析。
因子研究：PCA 是构建统计风险因子、利率曲线因子（水平/斜率/曲率）、降维协方差估计的基础工具；"因子得分互不相关、方差可加"的性质用于风险归因。
回测与模型验证：VaR 回测（例外率检验）、压力测试情景（1987、2008 等历史日）是策略上线和风控审核的必备环节；表 22.4 展示历史模拟中单个极端日（雷曼破产）对尾部的主导作用，提示窗口选择与压力 VaR 的必要性。
期权组合风险：delta-gamma 近似、交叉 gamma、部分模拟法是期权做市风险系统常用的快速重估技术；低 delta 组合下线性模型失效需特别处理。
系统实现：多币种数据对齐（只用共同交易日）、外币资产按本币计值、滚动 501 天窗口、百分位插值规则、现金流映射到标准期限节点，都是 VaR 系统实现中的具体细节。

希腊字母	看涨	看跌
Delta	\(e^{-qT}N(d_1)\)	\(e^{-qT}[N(d_1)-1]\)
Gamma	\(\dfrac{N'(d_1)e^{-qT}}{S_0\sigma\sqrt T}\)	同左
Theta	\(-\dfrac{S_0N'(d_1)\sigma e^{-qT}}{2\sqrt T}+qS_0N(d_1)e^{-qT}-rKe^{-rT}N(d_2)\)	\(-\dfrac{S_0N'(d_1)\sigma e^{-qT}}{2\sqrt T}-qS_0N(-d_1)e^{-qT}+rKe^{-rT}N(-d_2)\)
Vega	\(S_0\sqrt T N'(d_1)e^{-qT}\)	同左
Rho	\(KTe^{-rT}N(d_2)\)	\(-KTe^{-rT}N(-d_2)\)

第 15 章 Black–Scholes–Merton 模型（PDF p.344–376）

章首导言（PDF p.344）

15.1 股价的对数正态性质（Lognormal Property of Stock Prices，PDF p.345–346）

15.2 收益率的分布（The Distribution of the Rate of Return，PDF p.346–347）

15.3 期望收益（The Expected Return，PDF p.347–348）

15.4 波动率（Volatility，PDF p.347–352）

15.5 BSM 微分方程的思想（The Idea Underlying the BSM Differential Equation，PDF p.352–353）

15.6 BSM 微分方程的推导（PDF p.354–357）

15.7 风险中性定价（Risk-Neutral Valuation，PDF p.357–358）

15.8 BSM 定价公式（Black–Scholes–Merton Pricing Formulas，PDF p.358–361）

15.9 累积正态分布函数（Cumulative Normal Distribution Function，PDF p.361–362）

15.10 认股权证与员工股票期权（Warrants and Employee Stock Options，PDF p.362–364）

15.11 隐含波动率（Implied Volatilities，PDF p.364–365）

15.12 股息（Dividends，PDF p.366–369）

本章小结与延伸阅读（PDF p.369–370）

习题概览（PDF p.371–374）

附录：用风险中性定价证明 BSM 公式（PDF p.375–376）

本章要点

与量化交易的关联

推荐习题

第 16 章 员工股票期权（Employee Stock Options，PDF p.377–389）

章首导言（PDF p.377）

16.1 合约安排（Contractual Arrangements，PDF p.377–378）

16.2 期权能否使股东与管理层利益一致？（Do Options Align the Interests of Shareholders and Managers?，PDF p.379–380）

16.3 会计问题（Accounting Issues，PDF p.380–381）

16.4 估值（Valuation，PDF p.381–385）

16.5 倒签丑闻（Backdating Scandals，PDF p.386–387）

本章小结（PDF p.387）

习题概览（PDF p.388–389）

本章要点

与量化交易的关联

推荐习题

第 17 章 股指期权与货币期权（Options on Stock Indices and Currencies，PDF p.390–405）

章首导言（PDF p.390）

17.1 股指期权（Options on Stock Indices，PDF p.390–392）

17.2 货币期权（Currency Options，PDF p.392–395）

17.3 支付已知股息率股票的期权（Options on Stocks Paying Known Dividend Yields，PDF p.395–397）

17.4 欧式股指期权估值（Valuation of European Stock Index Options，PDF p.397–400）

17.5 欧式货币期权估值（Valuation of European Currency Options，PDF p.400–401）

17.6 美式期权（American Options，PDF p.401–402）

本章小结与延伸阅读（PDF p.402–403）

习题概览（PDF p.403–405）

本章要点

与量化交易的关联

推荐习题

第 18 章 期货期权（Futures Options，PDF p.406–421）

章首导言（PDF p.406）

18.1 期货期权的性质（Nature of Futures Options，PDF p.406–409）

18.2 期货期权流行的原因（Reasons for the Popularity of Futures Options，PDF p.409）

18.3 欧式现货期权与期货期权（European Spot and Futures Options，PDF p.409–410）

18.4 看涨-看跌平价（Put–Call Parity，PDF p.410–411）

18.5 期货期权的价格界限（Bounds for Futures Options，PDF p.411–412）

18.6 用二叉树为期货期权定价（Valuation Using Binomial Trees，PDF p.412–414）

18.7 风险中性世界中期货价格的漂移（Drift of a Futures Price in a Risk-Neutral World，PDF p.414–415）

18.8 期货期权的 Black 模型（Black's Model for Valuing Futures Options，PDF p.415–417）

18.9 美式期货期权与美式现货期权（American Futures Options vs. American Spot Options，PDF p.417）

18.10 期货式期权（Futures-Style Options，PDF p.417–418）

本章小结与延伸阅读（PDF p.418–419）

习题概览（PDF p.419–421）

本章要点

与量化交易的关联

推荐习题

第 19 章 希腊字母（The Greek Letters，PDF p.422–453）

章首导言（PDF p.422）

19.1 示例（Illustration，PDF p.422–423）

19.2 裸露头寸与有保护头寸（Naked and Covered Positions，PDF p.423）

19.3 止损策略（A Stop-Loss Strategy，PDF p.423–425）

19.4 Delta 对冲（Delta Hedging，PDF p.425–432）

19.5 Theta（PDF p.432–434）

19.6 Gamma（PDF p.434–437）

19.7 Delta、Theta 与 Gamma 的关系（PDF p.437–438）

19.8 Vega（PDF p.438–440）

19.9 Rho（PDF p.440–441）

19.10 对冲的现实（The Realities of Hedging，PDF p.441–442）

19.11 情景分析（Scenario Analysis，PDF p.442）

19.12 公式的推广（Extension of Formulas，PDF p.442–444）

19.13 组合保险（Portfolio Insurance，PDF p.445–447）

19.14 股市波动率（Stock Market Volatility，PDF p.447）

本章小结与延伸阅读（PDF p.447–449）

习题概览（PDF p.449–452）

第 16 章员工股票期权（Employee Stock Options，PDF p.377–389）

第 17 章股指期权与货币期权（Options on Stock Indices and Currencies，PDF p.390–405）

第 18 章期货期权（Futures Options，PDF p.406–421）

第 19 章希腊字母（The Greek Letters，PDF p.422–453）

第 20 章波动率微笑（Volatility Smiles，PDF p.454–472）

第 21 章基本数值方法（Basic Numerical Procedures，PDF p.473–516）

第 22 章风险价值（Value at Risk，PDF p.517–543）