元信息：John C. Hull《Options, Futures, and Other Derivatives》(Global Edition, 9th ed.)；负责 PDF 第 155–343 页（第 6–14 章）。原书页码 = PDF 页码 − 1。

第 6 章利率期货（Interest Rate Futures）（PDF p.155–174）

本章介绍美国最流行的两类利率期货：国债期货（Treasury bond futures）与欧洲美元期货（Eurodollar futures），并说明如何结合第 4 章的久期（duration）用利率期货对冲利率风险。世界上许多利率期货都仿照这两种合约设计。

6.1 计息天数与报价惯例（Day Count and Quotation Conventions）（PDF p.155–157）

**计息天数惯例（day count convention）**记为 X/Y：X 规定两个日期之间天数的计算方式，Y 规定参考期（如两次付息之间）的总天数计算方式。两日期之间累计利息为

\text{利息} = \frac{\text{两日期间天数}}{\text{参考期天数}} \times \text{参考期内利息}

美国常用三种：

actual/actual (in period)：美国国债（Treasury bonds）使用。例：本金 100，票息率 8%，付息日 3 月 1 日、9 月 1 日（每次付 4）。3 月 1 日到 7 月 3 日实际 124 天，参考期实际 184 天，利息 $= 124/184 \times 4 = 2.6957$。
30/360：美国公司债和市政债使用，每月按 30 天、每年按 360 天。3 月 1 日至 9 月 1 日为 180 天；3 月 1 日至 7 月 3 日为 $4\times30+2=122$ 天，利息 $=122/180\times4=2.7111$。
actual/360：美国货币市场工具使用。参考期为 360 天，90 天利息恰为报价利率的 1/4，365 天的一整年利息是报价利率的 365/360 倍。

国际差异：澳大利亚、加拿大、新西兰的货币市场工具用 actual/365；LIBOR 除英镑（actual/365）外均用 actual/360；欧元和英镑债券通常用 actual/actual。

Business Snapshot 6.1「计息天数可能具有欺骗性」：2015 年 2 月 28 日至 3 月 1 日之间，同票息、同报价的美国国债与公司债，应偏好公司债——30/360 下这段时间算 3 天，actual/actual 下只有 1 天，公司债约赚三倍利息。

美国国库券（Treasury bill）报价：用贴现率（discount rate）报价，即利息占面值（而非买入价）的百分比，按 360 天年化。例：91 天国库券报价 8，面值 100，则 91 天利息 $=100\times0.08\times91/360=2.0222$，对应真实期间收益率 $2.0222/(100-2.0222)=2.064\%$。一般关系：

P = \frac{360}{n}(100 - Y)

其中 $P$ 为报价，$Y$ 为现金价格（每 100 面值），$n$ 为剩余日历天数。例：90 天国库券现金价格 99，则报价为 4。

美国国债（Treasury bond）报价：以美元及 1/32 美元报价，针对面值 100。报价 90-05 即 $90\tfrac{5}{32}$，面值 10 万美元的债券报价为 90,156.25 美元。

报价称为净价（clean price），买方实际支付的称为全价（dirty price）： $\text{现金价格} = \text{报价} + \text{自上一付息日以来的应计利息（accrued interest）}$
例：2015 年 3 月 5 日，票息 11%、2038 年 7 月 10 日到期的债券，报价 95-16（= 95.50）。上次付息 2015-01-10，下次 2015-07-10；两者间实际 181 天，1 月 10 日到 3 月 5 日为 54 天；每次付息 5.50。应计利息 $=54/181\times5.50=1.64$，现金价格 $=95.50+1.64=97.14$，面值 10 万美元对应 97,140 美元。

6.2 国债期货（Treasury Bond Futures）（PDF p.158–163）

合约规格：CME Group 的国债期货允许交割在交割月第一天剩余期限 15–25 年的任一国债；2010 年推出的超长期国债期货（ultra T-bond）可交割期限 25 年以上的债券。10 年期国债票据期货（10-year Treasury note futures）可交割期限 6.5–10 年的国债；5 年期、2 年期票据期货交割剩余期限约 5 年、2 年（且原始期限小于 5.25 年）的票据。交易所根据空方选择交割的具体债券调整其收到的价格。

表 6.1（2013 年 5 月 14 日 CME 利率期货报价）：列出 Ultra T-Bond、Treasury Bonds、10/5/2 年 Treasury Notes（2 年期面值 20 万美元，其他 10 万美元）、30 天联邦基金利率期货（500 万美元）和欧洲美元期货（100 万美元，到期从 2013 年 6 月到 2019 年 12 月）的开盘、最高、最低、前结算、最新成交、变动、成交量。欧洲美元期货报价从 99.725（2013.6）递减到 96.760（2019.12），隐含向上倾斜的利率期限结构。10 年期票据期货成交量 115 万张，为最活跃。

报价方式：

国债与超长国债期货以 1/32 美元报价：144-20 表示 $144\tfrac{20}{32}=144.625$。
10 年期票据期货精确到半个 1/32：131-025 表示 $131\tfrac{2.5}{32}=131.078125$。
5 年、2 年期精确到 1/4 个 1/32：123-307 表示 $123\tfrac{30.75}{32}=123.9609375$；123-122 表示 $123\tfrac{12.25}{32}=123.3828125$。

转换因子（conversion factor, CF）：空方交割某债券时，适用的报价 = 转换因子 × 最近结算价。每 100 面值收到的现金为

(\text{最近结算价} \times \text{转换因子}) + \text{应计利息}

每张合约交割面值 10 万美元。例：结算价 90-00，CF = 1.3800，应计利息 3，则每 100 面值收 $1.38\times90+3=127.20$，一张合约收 127,200 美元。

转换因子的定义：假设所有期限利率均为 6%（半年复利），债券在交割月第一天每 1 美元本金的报价（净价）。计算时债券期限与付息时间向下取整到最近的 3 个月。若取整后恰为若干个 6 个月，则假设第一次付息在 6 个月后；若多出 3 个月，则假设第一次付息在 3 个月后，并扣除应计利息。

例 1：票息 10%、剩余 20 年 2 个月的债券，视为恰好 20 年，按每半年 3% 折现： $\sum_{i=1}^{40}\frac{5}{1.03^i}+\frac{100}{1.03^{40}}=146.23$ CF = 1.4623。
例 2：票息 8%、剩余 18 年 4 个月，视为 18 年 3 个月。先折现到 3 个月后的时点：$4+\sum_{i=1}^{36}\frac{4}{1.03^i}+\frac{100}{1.03^{36}}=125.83$。3 个月利率为 $\sqrt{1.03}-1=1.4889\%$，再折回今天得 $125.83/1.014889=123.99$，减去应计利息 2.0 得 121.99，CF = 1.2199。

最便宜可交割债券（cheapest-to-deliver bond, CTD）：空方收到 (结算价×CF)+应计利息，买入债券成本为报价+应计利息，故 CTD 是使

\text{债券报价} - (\text{最近结算价}\times\text{CF})

最小的债券。

例 6.1：结算价 93-08 = 93.25。债券 1：报价 99.50，CF 1.0382，成本 $99.50-93.25\times1.0382=2.69$；债券 2：143.50，CF 1.5188，成本 1.87；债券 3：119.75，CF 1.2615，成本 2.12。CTD 为债券 2。

影响 CTD 的因素：收益率高于 6% 时，转换因子体系倾向于低票息、长期限债券；收益率低于 6% 时倾向于高票息、短期限债券。收益率曲线向上倾斜时倾向长期限债券，向下倾斜时倾向短期限债券。（直觉：CF 用 6% 折现，市场收益率偏离 6% 时，久期较长的债券价格被 CF 高估/低估得更多。）

通配符期权（wild card play，Business Snapshot 6.2）：CME 国债期货结算价取芝加哥时间下午 2:00 的价格，但现货国债继续交易，空方可在当天晚些时候发出交割意向通知，发票价格仍按当日 2:00 的结算价计算。若下午 2:00 后债券价格下跌，空方可在如 3:45 发通知并在现货市场低价买债交割；若未下跌，就等到第二天再用同样策略。这一期权并非免费，其价值体现为期货价格偏低。

期货价格的确定：由于空方拥有交割时点与交割券的选择权，精确的理论价格难以计算。若假设 CTD 与交割日已知，国债期货就是对一个提供已知收入的可交易证券的期货，由式 (5.2)：

F_0 = (S_0 - I)e^{rT} \tag{6.1}

$I$ 为期货存续期内票息的现值，$T$ 为期货到期时间，$r$ 为对应期限的无风险利率。（脚注：实务中估计 CTD 时，分析师通常假设期货到期时的零息利率等于今天的远期利率。）

例 6.2（完整计算流程）：已知 CTD 为票息 12%、CF = 1.6000 的债券；270 天后交割；上次付息在 60 天前，下次付息在 122 天后，再下次在 305 天后；期限结构平坦，连续复利利率 10%；债券报价 115。

现金价格 $=115+\frac{60}{60+122}\times6=116.978$。
122 天（0.3342 年）后收到票息 6，现值 $6e^{-0.1\times0.3342}=5.803$。
期货存续 270 天（0.7397 年），以该债券为标的的现金期货价格 $=(116.978-5.803)e^{0.1\times0.7397}=119.711$。
交割时已有 148 天应计利息（下次付息到交割 148 天，交割到再下次付息 35 天），报价期货价格 $=119.711-6\times\frac{148}{148+35}=114.859$。
按 CF 定义，1.6 份标准债券等价于 1 份 12% 债券，故报价期货价格 $=114.859/1.6=71.79$。

要点：先算现金价格，减收入现值，按无风险利率复利到期货到期，再减掉交割时的应计利息得到净价，最后除以 CF。

6.3 欧洲美元期货（Eurodollar Futures）（PDF p.162–168）

定义：欧洲美元（Eurodollar）是存放在美国境外（美国或外国银行）的美元；欧洲美元利率是银行间欧洲美元存款利率，基本等同于 LIBOR。3 个月欧洲美元期货是对未来某 3 个月期间、100 万美元本金上将支付利息的期货，可用来投机或对冲未来 3 个月利率。到期月为 3、6、9、12 月，最长 10 年；短期合约也有其他月份。

结算机制：最后交易日为交割月第三个星期三之前两天（例：2013 年 6 月合约为 2013-06-17）。之前按常规每日结算；最后交易日上午 11 点最终结算价为 $100-R$，$R$ 为当日 3 个月 LIBOR 定盘利率（季度复利、actual/360）。若 2013-06-17 利率为 0.75%，最终结算价为 99.250。

$25/基点规则：报价变动 1 个基点（0.01）对应每张合约盈亏 25 美元。原因：利率变动 0.01% 使 100 万美元 3 个月利息变化 $1{,}000{,}000\times0.0001\times0.25=25$。例：结算价从 99.725 到 99.685，多头每张亏 $4\times25=100$ 美元。报价 = 100 − 期货利率，多头在利率下降时获利，空头在利率上升时获利。

合约价格定义为

10{,}000\times[100-0.25\times(100-Q)] \tag{6.2}

$Q$ 为报价。99.725 对应 999,312.5 美元；99.615 对应 999,037.5 美元，差 275 美元，与表 6.2（2013-05-13 至 06-17 的价格序列，累计变动 −0.110，累计亏损 275 美元）一致。

例 6.3（锁定投资利率）：投资者想锁定 9 月第三个星期三前两天开始的 3 个月期、1 亿美元本金的利率。9 月合约报价 96.50，可锁定 3.5%。买入 100 张合约。若届时 3 个月利率为 2.6%，最终结算 97.40，期货盈利 $100\times25\times(9740-9650)=225{,}000$；投资利息 $10^8\times0.25\times0.026=650{,}000$；合计 875,000，恰为 3.5% 下的利息。对冲并不完美，原因：(a) 期货每日结算；(b) 期货在合约到期时最终结算，而投资利息在 3 个月后支付。对 (b) 的近似调整：按 $1/(1+0.035\times0.25)=0.9913$ 缩减合约数，买 99 张而非 100 张（即对冲量的"tailing"折现）。

由表 6.1 前结算价推得：从 2013-06-17、2013-09-16、2013-12-16、2015-12-14、2017-12-18、2019-12-16 开始的 3 个月期货利率分别为 0.275%、0.295%、0.325%、0.900%、2.270%、3.324%，期限结构向上倾斜。

类似合约：CME 的 Euroyen；LIFFE（Euronext）的 3 个月 Euribor 与 Euroswiss 期货。

远期利率与期货利率（Forward vs. Futures Interest Rates）：欧洲美元期货与远期利率协议（FRA）类似，都锁定未来期间利率。短期限（约 1 年内）可视两者相等；长期限差异显著。对 $T_1$ 到 $T_2$ 期间的利率：欧洲美元期货每日结算，最终结算在 $T_1$；FRA 不每日结算，在 $T_2$ 结算（或在 $T_1$ 支付 $T_2$ 收益的现值）。两点差异：

每日结算 vs. 在 $T_1$ 一次性结算的假想远期。每日结算使利率高时现金流入、利率低时现金流出，对多利率方（收 $R_M-R_F$）有利，因此市场会把每日结算版本的固定利率 $R_F$ 定得更高；反过来说，从每日结算改为 $T_1$ 结算会降低 $R_F$。（利用第 5.8 节论证。）
在 $T_1$ 结算 vs. 在 $T_2$ 结算。$R_M$ 高时收益为正，但利率高使推迟到 $T_2$ 收取的代价较大；$R_M$ 低时收益为负，但利率低使推迟支付的好处较小。总体上更愿意在 $T_1$ 收取，若推迟到 $T_2$ 就要以更低 $R_F$ 补偿。两者都使远期利率低于期货利率；对长期合约，第一项影响远大于第二项。

凸性调整（convexity adjustment）：一种常用的调整（基于 Ho–Lee 模型，第 31 章；证明见 Technical Note 1）：

\text{远期利率} = \text{期货利率} - \frac{1}{2}\sigma^2 T_1 T_2 \tag{6.3}

$T_1$ 为期货到期时间，$T_2$ 为期货标的利率的到期时间，$\sigma$ 为短期利率 1 年内变化的标准差，两种利率都用连续复利表示。

例 6.4：$\sigma=0.012$，8 年期欧洲美元期货报价 94，$T_1=8$，$T_2=8.25$，调整量 $\frac12\times0.012^2\times8\times8.25=0.00475$（47.5 个基点）。期货利率 6%（actual/360、季度复利）即每 90 天 1.5%，换成连续复利、actual/365：$(365/90)\ln1.015=6.038\%$。远期利率估计为 $6.038\%-0.475\%=5.563\%$。调整量随期限增长：2 年 3.2bp，4 年 12.2bp，6 年 27.0bp，8 年 47.5bp，10 年 73.8bp，约与期限平方成正比（期限翻倍，调整约为 4 倍）。

用欧洲美元期货延伸 LIBOR 零息曲线：1 年以内的 LIBOR 零息曲线由 1、3、6、12 个月 LIBOR 决定；经凸性调整后的欧洲美元期货常用于延长零息曲线。设第 $i$ 份期货在 $T_i$ 到期，假设其远期利率 $F_i$ 适用于 $T_i$ 到 $T_{i+1}$ 期间（实际中近似成立）。由式 (4.5) $F_i=\frac{R_{i+1}T_{i+1}-R_iT_i}{T_{i+1}-T_i}$ 得自举（bootstrap）公式：

R_{i+1}=\frac{F_i(T_{i+1}-T_i)+R_iT_i}{T_{i+1}} \tag{6.4}

例 6.5：400 天零息利率 4.80%（连续复利）；400 天起 90 天远期利率 5.30%，491 天起 5.50%，589 天起 5.60%。491 天利率 $=\frac{0.053\times91+0.048\times400}{491}=4.893\%$；589 天利率 $=\frac{0.055\times98+0.04893\times491}{589}=4.994\%$。注意：虽然期货标的是 90 天利率，但被假定适用于相邻合约到期日之间的 91 或 98 天。Euroswiss、Euroyen、Euribor 用法相同。

6.4 基于久期的期货对冲策略（Duration-Based Hedging Strategies Using Futures）（PDF p.168–169）

定义：$V_F$ 为一张利率期货的合约价格；$D_F$ 为期货标的资产在期货到期时的久期；$P$ 为被对冲组合在对冲到期时的远期价值（实际常取今天的价值）；$D_P$ 为组合在对冲到期时的久期。假设所有期限收益率变动 $\Delta y$ 相同（仅平行移动），则近似有 $\Delta P=-PD_P\Delta y$，$\Delta V_F=-V_FD_F\Delta y$，所需合约数为

N^*=\frac{PD_P}{V_FD_F} \tag{6.5}

这称为基于久期的对冲比率（duration-based hedge ratio）或价格敏感度对冲比率（price sensitivity hedge ratio），使整个头寸久期为零。

要点与误区：

用国债期货对冲时，$D_F$ 必须基于对某一具体 CTD 债券的假设；若利率环境变化导致 CTD 改变，对冲必须调整，效果可能变差。
利率与利率期货价格反向变动：利率下降会亏损的公司应做多期货；利率上升会亏损的应做空期货。
应选择标的资产久期尽量接近被对冲资产久期的期货：欧洲美元期货用于短期利率敞口，超长国债、国债、国债票据期货用于长期利率敞口。

例 6.6：8 月 2 日，基金经理持有 1000 万美元国债，担心未来 3 个月利率剧烈波动，用 12 月国债期货对冲。期货价格 93-02 = 93.0625，合约价格 93,062.50 美元。组合 3 个月后久期 6.80 年；预计 CTD 为 20 年期 12% 票息债券，当前收益率 8.80%，期货到期时久期 9.20 年。需做空：

N^*=\frac{10{,}000{,}000}{93{,}062.50}\times\frac{6.80}{9.20}=79.42

取整做空 79 张。

6.5 资产与负债组合的对冲（Hedging Portfolios of Assets and Liabilities）（PDF p.170）

金融机构让资产平均久期等于负债平均久期（负债可视为债券空头），称为久期匹配（duration matching）或组合免疫（portfolio immunization），能保证小幅平行移动下资产与负债的盈亏相互抵消。缺点：不能防范零息曲线的非平行移动。实务中短期利率波动通常大于长期利率且二者不完全相关，甚至可能反向变动，因此久期匹配只是第一步。

Business Snapshot 6.3 银行的资产负债管理（ALM）：常用 GAP 管理——把零息收益率曲线分成若干区间（bucket，如 0–1 个月、1–3 个月……），考察某一区间零息利率变动而其他区间不变时对组合价值的影响。若存在错配，可调整存贷款利率（见 4.10 节），或使用互换、FRA、债券期货、欧洲美元期货等利率衍生品纠正。

小结与习题（PDF p.170–174）

小结要点：国债期货空方拥有三类交割选择权——交割月内任一天交割；可在多种债券中选择；在交割月任一天可在当天晚些时候按 2:00 结算价发出交割通知（通配符）。这些期权都会压低期货价格。欧洲美元期货是对交割月第三个星期三前两天的 3 个月欧洲美元利率的合约，常用于估计 LIBOR 远期利率、构造零息曲线，长期合约须做凸性调整。久期对冲的关键假设是平行移动；短期利率通常比长期利率更易波动，若期货标的债券久期与被对冲资产久期相差很大，对冲效果会很差。

延伸阅读：Burghardt & Hoskins (1995) 关于欧洲美元期货凸性偏差；Grinblatt & Jegadeesh (1996) 关于欧洲美元期货与远期的相对价格。

习题题型（6.1–6.31）：计息天数下应计利息（6.1、6.19、6.23，国债 vs 公司债）；净价→全价（6.2、6.9、6.23）；转换因子的计算与用途（6.3、6.30）；欧洲美元期货盈亏（6.4）；凸性调整原因与计算（6.5、6.21、6.22、6.26）；用期货远期利率自举零息利率（6.6、6.14）；久期对冲合约数（6.7、6.17、6.18 调整组合久期到 3 年、6.31 含 CTD 变化与非平行移动的影响）；国库券贴现报价换算为连续复利收益（6.8）；CTD 判别（6.10、6.24）；国债期货理论报价（6.11、6.27，类似例 6.2）；套利中交割选择权带来的复杂性（6.12）；由即期 LIBOR 推算欧洲美元期货报价（6.13、6.20）；对冲资产与期货标的利率波动性不同的影响（6.15）；用欧洲美元期货对冲商业票据发行（6.16）；锁定借款利率及时点错配（6.25）；LIBOR 与期货不一致的套利（6.28）；用欧洲美元期货与外汇远期合成加元 LIBOR 期货（6.29）。

第 6 章本章要点

计息天数惯例（actual/actual、30/360、actual/360）决定应计利息；国库券用面值贴现率报价；国债报净价，现金价格 = 净价 + 应计利息。
国债期货允许空方在多种债券中选择交割，通过 6% 收益率下定义的转换因子调整发票价格；CTD 使"报价 − 结算价×CF"最小；收益率高于/低于 6% 时分别偏向长久期/短久期债券。
假设 CTD 与交割日已知，期货价格 $F_0=(S_0-I)e^{rT}$，需在现金价/净价之间转换并除以 CF。空方的交割时点、交割券、通配符期权都压低期货价格。
欧洲美元期货报价 $100-R$，每基点 25 美元；可锁定未来 3 个月利率，但存在每日结算与支付时点错配。
期货利率高于远期利率，凸性调整 $\frac12\sigma^2T_1T_2$ 随期限平方增长；调整后的期货利率可通过自举延长 LIBOR 零息曲线。
久期对冲比率 $N^*=PD_P/(V_FD_F)$ 只对平行移动有效；银行 ALM 用分区间的 GAP 管理处理非平行移动。

第 6 章与量化交易的关联

定价与曲线构建：计息惯例、净价/全价转换、国库券贴现报价是任何固定收益系统的数据清洗基础，回测中处理错误会造成系统性偏差（如 Business Snapshot 6.1 的月末效应）。用期货利率自举零息曲线（式 6.4）及凸性调整是利率曲线构建模块的标准步骤（尽管 LIBOR 已被 SOFR 替代，SOFR 期货采用相同的思路）。
基差交易与相对价值：CTD 判别、转换因子偏差、隐含回购利率、交割期权价值是国债期货基差交易（basis trade）的核心；中国国债期货同样采用转换因子与 CTD 机制，可直接迁移。
风险建模与组合对冲：久期对冲比率是利率风险对冲最常用的一阶方法；GAP/bucket 分析对应现代的关键利率久期（key rate duration）和 DV01 分桶风险，是多因子利率风险模型（水平/斜率/曲率）的出发点。
执行与系统实现：报价精度（1/32、1/64、1/128）、合约面值、最小变动价位的处理是交易系统中的常见坑。

第 6 章推荐习题

6.2 / 6.9 / 6.23：净价与全价转换、两种计息惯例对比。
6.10 / 6.24 / 6.30：转换因子计算与 CTD 判别，6.30 完整走一遍 CF 规则。
6.11 / 6.27：国债期货理论价格（例 6.2 流程）。
6.14：用欧洲美元期货自举零息利率。
6.21 / 6.26：凸性调整的计算。
6.28：识别 LIBOR 与期货的套利机会。
6.31：久期对冲以及 CTD 改变、非平行移动对对冲的影响。

第 7 章互换（Swaps）（PDF p.175–207）

引言（PDF p.175–176）：场外互换市场起源于 1981 年 IBM 与世界银行的货币互换：世界银行有美元借款，IBM 有德国马克和瑞士法郎借款，世界银行（直接借马克、法郎受限）替 IBM 支付其外币借款利息，IBM 替世界银行支付美元借款利息。此后互换市场爆发式增长，据 BIS 统计，场外衍生品中约 58.5% 是利率互换，4% 是货币互换。

**互换（swap）**是两家公司之间约定在未来交换现金流的场外协议，规定支付日期和计算方式，通常涉及利率、汇率或其他市场变量的未来值。远期合约可视为最简单的互换：例如 2016-03-01 约定 1 年后以 1,500 美元/盎司买 100 盎司黄金，等价于在 2017-03-01 支付 150,000 美元、收取 $100S$（$S$ 为届时金价）的互换；区别在于远期只在一个日期交换，互换通常在多个日期交换。

最常见的普通（plain vanilla）利率互换是以 LIBOR 交换固定利率。估值需要"无风险"折现率；传统上用 LIBOR 作代理，这样折现率与互换参考利率相同，大大简化估值。2008 年后对有抵押交易改用其他无风险利率。本章假设 LIBOR 即无风险折现率，第 9 章再修正。

7.1 利率互换的机制（Mechanics of Interest Rate Swaps）（PDF p.176–181）

利率互换中，一方按预定固定利率在名义本金（notional principal）上向对方支付利息若干年，换取对方按浮动利率在同一本金、同一期限上支付的利息。

LIBOR：AA 评级银行向其他银行借款的利率，是国际金融市场贷款的参考利率（类似国内市场的 prime rate）。例：5 年期债券利率为 6 个月 LIBOR + 0.5%，寿命分 10 个半年期，每期利率在期初按当时 6 个月 LIBOR + 0.5% 确定，期末支付。以 LIBOR 换固定利率的互换称为"LIBOR-for-fixed"互换。

示例（Microsoft–Intel）：2014-03-05 开始的 3 年期互换，Microsoft 按年利率 5%（半年复利）在 1 亿美元本金上向 Intel 付固定利息，Intel 向 Microsoft 付 6 个月 LIBOR。Microsoft 为固定利率支付方，Intel 为浮动利率支付方，每 6 个月交换一次。

第一次交换在 2014-09-05：Microsoft 付 250 万；Intel 付按 2014-03-05 的 LIBOR（4.2%）计算的 $0.5\times0.042\times100=2.1$ 百万。第一笔交换在签约时已确定，无不确定性。
第二次在 2015-03-05：浮动支付按 2014-09-05 的 LIBOR（4.8%）计算，为 2.4 百万。
浮动利率在支付日前 6 个月确定（期初定价、期末支付）。实际只支付差额：Microsoft 在 2014-09-05 净付 0.4 百万，2015-03-05 净付 0.1 百万。
表 7.1 给出完整的 6 次现金流（LIBOR 依次为 4.20、4.80、5.30、5.50、5.60、5.90%）：Microsoft 净现金流 −0.40、−0.10、+0.15、+0.25、+0.30、+0.45。（脚注：此处忽略计息天数惯例。）
本金只用于计算利息、不交换，故称名义本金（notional）。

互换 = 两个债券之差：在互换结束时加入一次本金互换（各付 1 亿）不改变价值（表 7.2，最后一期浮动收 102.95、固定付 102.50）。于是 Microsoft 相当于做多浮动利率债券、做空固定利率债券；Intel 相反。这也解释了为何浮动利率要提前 6 个月确定——浮息债券就是期初定息、期末付息。

用互换转换负债：

Microsoft 原有 LIBOR + 0.1% 的浮动借款，进入互换后：付 LIBOR+0.1%，收 LIBOR，付 5%，净付 5.1% 固定。
Intel 原有 5.2% 的 3 年固定借款：付 5.2%，付 LIBOR，收 5%，净付 LIBOR + 0.2%。（图 7.2）

用互换转换资产：

Microsoft 持有收益 4.7% 的债券：收 4.7%，收 LIBOR，付 5%，净得 LIBOR − 0.3%。
Intel 持有收益 LIBOR − 0.2% 的投资：收 LIBOR−0.2%，付 LIBOR，收 5%，净得 4.8%。（图 7.3）

金融中介的作用：两家非金融公司通常不直接交易，而是各自与银行交易。美国普通 LIBOR-for-fixed 互换中，金融机构在一对对冲交易上赚约 3–4 个基点。图 7.4：金融机构对 Intel 付 4.985% 收 LIBOR，对 Microsoft 收 5.015% 付 LIBOR，每年稳赚 0.03%×1 亿 = 3 万美元；Microsoft 最终借款成本 5.115%，Intel 为 LIBOR + 21.5bp。图 7.5（资产转换）：Microsoft 得 LIBOR − 31.5bp，Intel 得 4.785%。金融机构签的是两笔独立合约，一方违约仍须对另一方履约；3bp 价差部分用于补偿违约风险。

做市商（market makers）：两家公司同时要求恰好相反的互换不太可能，因此大型金融机构充当做市商，在没有对冲方的情况下也接受互换（称为 warehousing swaps），并用债券、FRA、利率期货等对冲风险。表 7.3 为做市商报价（买价 bid 是做市商愿意支付的固定利率、卖价 offer 是愿意收取的固定利率）：2 年 6.03/6.06（互换利率 6.045），3 年 6.21/6.24（6.225），4 年 6.35/6.39（6.370），5 年 6.47/6.51（6.490），7 年 6.65/6.68（6.665），10 年 6.83/6.87（6.850）。买卖价差 3–4bp，二者平均称为互换利率（swap rate）。（脚注：美国标准互换是固定端每半年付息、浮动端每 3 个月付 LIBOR。）

固定利率等于当前互换利率的新互换价值为零。定义 $B_{\text{fix}}$、$B_{\text{fl}}$ 为互换对应的固定、浮动利率债券价值，则

B_{\text{fix}} = B_{\text{fl}} \tag{7.1}

7.2 计息天数问题（Day Count Issues）（PDF p.181–182）

6 个月 LIBOR 是美国货币市场利率，按 actual/360 报价。表 7.1 的第一笔浮动支付严格来说应是 $100\times0.042\times184/360=2.1467$ 百万（2014-03-05 到 09-05 共 184 天）。一般地，浮动现金流为 $LRn/360$（$L$ 本金，$R$ 为 LIBOR，$n$ 为距上次支付的天数）。固定端通常按 actual/365 或 30/360 报价，所以各期固定支付可能不完全相等，且不能直接与 LIBOR 比较：须把 LIBOR 乘以 365/360，或把固定利率乘以 360/365。本章其余部分为简明起见忽略计息天数。

7.3 确认书（Confirmations）（PDF p.182–183）

**确认书（confirmation）是互换的法律协议，由双方代表签署。ISDA（International Swaps and Derivatives Association）制定的主协议（Master Agreement）**详细定义术语、违约处理等，覆盖双方之间所有未平仓交易。Business Snapshot 7.1 给出 Microsoft 与高盛之间（对应图 7.4）的假想确认书摘录：交易日 2014-02-27，生效日 2014-03-05，终止日 2017-03-05；固定端 Microsoft 付 5.015%，actual/365；浮动端高盛付 USD 6 个月 LIBOR，actual/360；付息日每年 3 月 5 日和 9 月 5 日；营业日惯例为"following business day"，节假日日历为美国。2016-03-05 是周六，因此当期支付顺延到 2016-03-07。

营业日惯例（脚注）：following——顺延到下一营业日；modified following——同上，但若下一营业日跨入下个月则改为前一营业日；preceding 与 modified preceding 类推。

7.4 比较优势论（The Comparative-Advantage Argument）（PDF p.182–186）

常见解释：有些公司在固定利率市场有比较优势，有些在浮动利率市场有比较优势，各自到有优势的市场借款，再用互换转换。

表 7.4：AAACorp 固定 4.0%、浮动 LIBOR − 0.1%；BBBCorp 固定 5.2%、浮动 LIBOR + 0.6%。BBBCorp 想借固定，AAACorp 想借浮动。BBBCorp 在固定市场多付 1.2%，在浮动市场只多付 0.7%，故 BBBCorp 在浮动市场有比较优势（并非绝对更便宜，而是"多付得少"；学生的总结："AAACorp pays more less in fixed-rate markets; BBBCorp pays less more in floating-rate markets"），AAACorp 在固定市场有比较优势。

直接互换（图 7.6）：AAACorp 借 4% 固定，BBBCorp 借 LIBOR+0.6%；AAACorp 向 BBBCorp 付 LIBOR，BBBCorp 向 AAACorp 付 4.35%。AAACorp 净付 LIBOR − 0.35%（比直接借浮动省 0.25%）；BBBCorp 净付 4.95%（比直接借固定省 0.25%）。

总收益公式：表观总收益恒为 $a-b$，$a$ 为两公司固定利率之差，$b$ 为浮动利率之差。本例 $a=1.2\%$，$b=0.7\%$，总收益 0.5%。收益可不均分。有金融中介时（图 7.7）：AAACorp 付 LIBOR − 0.33%，BBBCorp 付 4.97%，金融机构赚 4bp；各方收益 0.23%、0.23%、0.04%，合计仍为 0.5%。

对该论点的批评：为什么价差在固定与浮动市场不同、且长期未被套利消除？原因在于合约性质：4.0% 和 5.2% 是 5 年期固定利率，而 LIBOR−0.1% 与 LIBOR+0.6% 是 6 个月利率。浮动市场中贷款人每 6 个月可重新审视利率，若借款人信用下降可提高利差，甚至拒绝续贷；固定利率贷款人没有这个选择权。（脚注：若浮动贷款的利差事先保证不变，价差差异会消失。）低评级公司的违约概率随时间上升得比高评级公司快，所以 5 年期利差大于 6 个月期利差。

因此 BBBCorp 看似锁定 4.97% 固定成本，实际只有在其能持续以 LIBOR+0.6% 续借时才成立；若信用恶化续借利差升至 1.6%，成本就变成 5.97%。市场预期 BBBCorp 利差在互换期内平均会上升，其预期平均借款成本高于 4.97%。AAACorp 锁定 5 年 LIBOR − 0.33% 看似划算，但承担了金融机构在互换上违约的风险。

误区：比较优势带来的"收益"在利率互换中多半是虚幻的，反映的是浮动贷款中贷款方拥有的续贷选择权。

7.5 互换利率的性质（The Nature of Swap Rates）（PDF p.186）

互换利率是做市商买价（付固定收 LIBOR 的固定利率）与卖价的平均。与 LIBOR 一样，互换利率不是无风险利率，但在正常市场中接近无风险。金融机构可以这样赚到 5 年互换利率：(1) 把本金依次以 6 个月期借给 AA 借款人，每期到期后再借给其他 AA 借款人；(2) 进入互换，把 LIBOR 收入换成 5 年互换利率。所以 5 年互换利率对应"连续 10 笔给 AA 公司的 6 个月 LIBOR 贷款"的信用风险，7 年对应 14 笔。因此 5 年互换利率低于 5 年 AA 借款利率——每期期初都是 AA 的借款人，比只在 5 年开头是 AA 的单一借款人安全得多。Collin-Dufresne 与 Solnik 称互换利率为"持续刷新的（continually refreshed）LIBOR 利率"。

7.6 确定 LIBOR/互换零息利率（Determining LIBOR/Swap Zero Rates）（PDF p.187）

LIBOR 只能直接观测到 12 个月。通常用欧洲美元期货把零息曲线延伸到 2 年（有时 5 年），再用互换利率进一步延伸，结果称为 LIBOR/swap 零息曲线。

关键结论：以 LIBOR/swap 曲线折现时，新发行的 6 个月 LIBOR 浮息债券价值恒等于面值（利息恰好等于折现率）。由式 (7.1)，新互换的 $B_{\text{fix}}=B_{\text{fl}}=$ 名义本金，所以互换利率定义了一组平价收益率债券（par yield bonds）：如 2 年 LIBOR/swap 平价收益率为 6.045%，3 年为 6.225%。于是可像 4.5 节对国债那样用自举法求零息利率。（脚注：分析师常先在互换利率之间插值得到每半年一个的互换利率，如 2.5 年取 6.135%、7.5 年取 6.696%。）

例 7.1：6、12、18 个月零息利率为 4%、4.5%、4.8%（连续复利），2 年互换利率（半年付）5%，即面值 100、半年票息 5% 的债券以平价出售：

2.5e^{-0.04\times0.5}+2.5e^{-0.045\times1.0}+2.5e^{-0.048\times1.5}+102.5e^{-2R}=100

解得 2 年零息利率 $R=4.953\%$。

7.7 利率互换的估值（Valuation of Interest Rate Swaps）（PDF p.187–191）

互换签订时价值接近零，之后可正可负。在以 LIBOR/swap 利率折现的前提下有两种估值方法：视为两个债券之差，或视为一组 FRA 的组合。（DerivaGem 3.00 可用 LIBOR 或 OIS 折现估值。）

方法一：债券价格法。对浮动利率支付方（收固定）：

V_{\text{swap}} = B_{\text{fix}} - B_{\text{fl}}

对固定利率支付方：$V_{\text{swap}} = B_{\text{fl}} - B_{\text{fix}}$。

$B_{\text{fix}}$ 按 4.4 节对固定现金流折现。$B_{\text{fl}}$ 的关键：付息刚完成后浮息债券价值等于名义本金 $L$（此后每期都是"公平交易"）。设下一次交换在时刻 $t^*$，届时浮动支付 $k^*$（上次付息日已确定），则付息前瞬间价值为 $L+k^*$，故今天

B_{\text{fl}}=(L+k^*)e^{-r^*t^*}

$r^*$ 为期限 $t^*$ 的 LIBOR/swap 零息利率（图 7.8）。

例 7.2：金融机构收 6 个月 LIBOR、付 3%（半年复利），名义本金 1 亿，剩余 1.25 年。3、9、15 个月 LIBOR（连续复利）为 2.8%、3.2%、3.4%；上次付息日的 6 个月 LIBOR 为 2.9%（半年复利）。

固定债券现金流 1.5、1.5、101.5，折现因子 $e^{-0.028\times0.25}=0.9930$、$e^{-0.032\times0.75}=0.9763$、$e^{-0.034\times1.25}=0.9584$，$B_{\text{fix}}=1.4895+1.4644+97.2766=100.2306$。
$k^*=0.5\times0.029\times100=1.45$，$t^*=0.25$，$B_{\text{fl}}=101.45\times0.9930=100.7423$。
$V_{\text{swap}}=100.7423-100.2306=+0.5117$ 百万；若方向相反则为 −0.5117 百万。（未考虑计息天数与节假日。）

方法二：FRA 组合法。除第一次交换（签约时已知）外，其余每次交换都是一份 FRA（例如 2015-03-05 的交换是以 5% 交换 2014-09-05 观察到的 6 个月利率的 FRA）。由 4.7 节，FRA 可假设远期利率实现来估值，因此：

用 LIBOR/swap 零息曲线计算决定互换现金流的各期 LIBOR 远期利率；
假设 LIBOR 等于远期利率，计算互换现金流；
用 LIBOR/swap 零息曲线折现求和。

例 7.3（同例 7.2）：3 个月后交换已确定：固定 −1.5，浮动 +1.45，净 −0.05，现值 −0.0497。3–9 个月远期利率（连续复利）$=\frac{0.032\times0.75-0.028\times0.25}{0.5}=3.4\%$，换成半年复利为 $2(e^{0.034/2}-1)=3.429\%$，浮动流入 1.7145，净 +0.2145，现值 +0.2094。15 个月的同理：浮动 1.8672，净 +0.3672，现值 +0.3519。合计 +0.5117，与方法一一致。

7.8 期限结构效应（Term Structure Effects）（PDF p.191–192）

互换初始价值接近零，意味着其包含的 FRA 价值之和接近零，而非每份 FRA 都为零。对 Microsoft（付 5% 固定）而言：远期利率 > 5% 时 FRA 价值为正，= 5% 时为零，< 5% 时为负。若签约时期限结构向上倾斜，远期利率随期限上升，则前期远期利率低于 5%、后期高于 5%：对 Microsoft 前期 FRA 为负，后期为正。期限结构向下倾斜时相反。图 7.9：(a) 向上倾斜且收固定，或向下倾斜且收浮动——FRA 价值随期限递减（先正后负）；(b) 向上倾斜且收浮动，或向下倾斜且收固定——先负后正。这对信用风险评估很重要（见 7.12）。

7.9 固定对固定货币互换（Fixed-for-Fixed Currency Swaps）（PDF p.191–195）

交换一种货币的固定利率本息与另一种货币的固定利率本息。须分别规定两种货币的本金，通常在期初和期末交换本金；期初本金按当时汇率大致等值，期末交换时价值可能相差很大。

示例（IBM–BP）：2014-02-01 起 5 年，IBM 付 5% 英镑利息、收 6% 美元利息，每年付息一次，本金 1,500 万美元与 1,000 万英镑。期初本金流向与利息相反：IBM 付 1,500 万美元、收 1,000 万英镑；每年 IBM 收 0.90 百万美元、付 0.50 百万英镑；期末 IBM 收 1,590 万美元（含利息）、付 1,050 万英镑（表 7.7）。

用途：转换负债——IBM 可发行 1,500 万美元、6% 的美元债，经互换变为借入 1,000 万英镑、5%；转换资产——IBM 在英国有 5% 的 1,000 万英镑投资，但看好美元，可经互换变为 6% 的 1,500 万美元投资。

比较优势：表 7.8（已含税收影响调整）：GE 美元 5.0%、澳元 7.6%；Qantas 美元 7.0%、澳元 8.0%。Qantas 在美元市场多付 2%，在澳元市场只多付 0.4%，GE 在美元市场有比较优势，Qantas 在澳元市场有比较优势。与利率互换不同，这里比较的是两种货币的利率，比较优势更可能真实存在，例如税收（GE 借美元可能使全球所得税更低，Qantas 反之）。

GE 想借 2,000 万澳元，Qantas 想借 1,800 万美元，汇率 0.9 美元/澳元。总收益预期为 $2.0-0.4=1.6\%$/年。图 7.11 的安排：GE 借美元 5%，经互换变为澳元 6.9%（比直接借澳元好 0.7%）；Qantas 借澳元 8%，变为美元 6.3%（好 0.7%）；金融机构在美元上赚 1.3%（每年 234,000 美元 = 1.3%×1,800 万），在澳元上亏 1.1%（每年 220,000 澳元 = 1.1%×2,000 万），忽略币种差异净赚 0.2%；总计 1.6%。金融机构可每年在远期市场买入 220,000 澳元锁定美元净收益，消除汇率风险。也可重新设计让金融机构在美元上赚 0.2%（图 7.12：Qantas 付 1.1% 澳元和 5.2% 美元，承担部分汇率风险；图 7.13：GE 收 1.1% 美元、付 8% 澳元，承担部分汇率风险），但实务中很少用，因为通常由最善于对冲的金融机构承担汇率风险。

7.10 固定对固定货币互换的估值（PDF p.194–197）

债券价格法：收美元、付外币的互换以美元计价值为

V_{\text{swap}} = B_D - S_0 B_F

$B_F$ 为外币现金流对应债券的外币价值，$B_D$ 为本币债券价值，$S_0$ 为即期汇率（每单位外币的美元数）。收外币、付美元：$V_{\text{swap}}=S_0B_F-B_D$。

例 7.4：日美利率期限结构平坦，日元 4%、美元 9%（连续复利）。金融机构收 5% 日元、付 8% 美元，每年一次，本金 1,000 万美元与 12 亿日元，剩余 3 年，汇率 110 日元/美元。美元债券现金流 0.8、0.8、0.8+10，现值合计 $B_D=9.6439$ 百万美元；日元债券现金流 60、60、60+1,200，现值合计 $B_F=1{,}230.55$ 百万日元。互换价值 $=1230.55/110-9.6439=1.5430$ 百万美元。

远期合约组合法：每次交换是一份远期外汇合约，可假设远期汇率实现来估值（5.7 节）。

例 7.5（同例 7.4）：即期 0.009091 美元/日元，由式 (5.9) 1 年远期汇率 $0.009091e^{(0.09-0.04)\times1}=0.009557$，2、3 年分别为 0.010047、0.010562。第 1 年日元流入值 $60\times0.009557=0.5734$ 百万美元，净 −0.2266，现值 $-0.2266e^{-0.09}=-0.2071$；第 2 年净 −0.1972，现值 −0.1647；第 3 年利息净 −0.1663，现值 −0.1269；第 3 年本金交换：12 亿日元（1,200 百万）×0.010562=12.6746，净 +2.6746，现值 +2.0417。合计 1.5430 百万美元，与例 7.4 一致。

性质：货币互换初始价值接近零（若两本金初始等值，期初本金交换后仍接近零），但单个远期并不为零。两币种利率差异显著时，支付高利率货币的一方：前期利息交换对应的远期价值为负，期末本金交换的远期价值为正；支付低利率货币一方相反。这对评估信用风险很重要。

7.11 其他货币互换（Other Currency Swaps）（PDF p.197–198）

固定对浮动（fixed-for-floating）：如支付 700 万英镑本金上的英镑 LIBOR、收取 1,000 万美元本金上的 3%，每半年一次，期限 10 年，期初、期末有本金交换。可分解为一份固定对固定货币互换（收 3% 美元、付比如 4% 英镑）加一份英镑利率互换（收 4%、付 LIBOR）。估值：美元现金流用美元无风险利率折现；英镑现金流假设英镑 LIBOR 远期利率实现后用英镑无风险利率折现；按当前汇率换算后相减。
浮动对浮动（floating-for-floating）：如付英镑 LIBOR（700 万英镑）、收美元 LIBOR（1,000 万美元）。可分解为一份固定对固定货币互换加两种货币各一份利率互换。估值：假设两种货币的远期利率实现，分别以无风险利率折现，按当前汇率相减。

7.12 信用风险（Credit Risk）（PDF p.198–200）

金融机构持有两笔对冲的互换（图 7.4、7.5、7.7）时，若双方都不违约则完全对冲；但一方违约时它仍须履行另一方的合约。假设与 Microsoft 的交易对金融机构价值为正、与 Intel 的为负，且无其他交易、无抵押：若 Microsoft 违约，金融机构将损失全部正价值——为维持对冲须找第三方承接 Microsoft 头寸，并付给第三方约等于原合约价值的金额。若互换价值为负时对手陷入困境，理论上有意外收益，但实际上对手会出售合约或重组，因此现实的假设是：价值为正时对手违约会造成损失；价值为负时没有影响。信用敞口 $=\max(V,0)$（图 7.14，单笔无抵押互换的敞口呈期权形状）。

若前期交换价值为正、后期为负（图 7.9a，或货币互换中支付低利率货币的一方），互换在大部分时间价值为负，信用风险较小；反之较大。
互换违约的潜在损失远小于同等本金贷款违约的损失，因为互换价值通常只占本金的一小部分。
货币互换的潜在违约损失大于利率互换，因为期末交换两种货币的本金，违约时价值可能更大。
信用风险 vs. 市场风险：信用风险来自合约价值为正时对手违约；市场风险来自利率、汇率等变量变动使合约价值变负。市场风险较易通过对冲合约消除，信用风险较难对冲。

Business Snapshot 7.2 Hammersmith and Fulham 事件：1987–1989 年伦敦该区议会进行约 600 笔利率互换及相关交易，名义本金约 60 亿英镑，似为投机而非对冲，两名负责员工对风险只有粗浅了解。到 1989 年因英镑利率变动亏损数亿英镑，对手银行持有等额正价值并已做对冲。审计师请求宣布交易无效，理由是该区议会无权进行此类交易；英国法院一路判到上议院，最终认定其无权进行这些互换（但今后应有权为风险管理目的进行）。说明银行除市场风险与信用风险外还承担法律风险。

中央清算：监管要求标准化场外衍生品通过中央对手方（CCP）清算，CCP 向双方收取初始保证金和变动保证金，类似期货清算所。LCH.Clearnet（伦敦清算所与巴黎 Clearnet 合并）是最大的利率互换 CCP，2013 年清算名义本金超 350 万亿美元。

信用违约互换（credit default swap, CDS）：2000 年后重要性上升，类似针对某公司或国家（参考实体，reference entity）违约的保险。保护买方在合约期内或直到违约前向卖方支付保费（CDS 利差，CDS spread）。例：名义本金 1 亿美元、5 年期 CDS 利差 120bp，每年保费 120 万美元；若违约后参考实体债券值 40 美分/美元，卖方需支付 6,000 万美元，使持有 1 亿面值债券的买方回到 1 亿。详见第 25 章。

7.13 其他类型的互换（Other Types of Swaps）（PDF p.200–202）

标准利率互换的变体：

浮动端期限（tenor，即付息频率）可为 1、3、6、12 个月，不必与固定端一致（美国标准是浮动季付、固定半年付）。参考利率也可用商业票据（CP）利率等。
基差互换（basis swap）：如 3 个月 CP 利率 + 10bp 交换 3 个月 LIBOR，用于资产与负债挂钩不同浮动利率时的对冲。
摊还互换（amortizing swap）：本金按预定方式递减（对应贷款摊还）；递增互换（step-up swap）：本金按预定方式递增（对应贷款提款）；递延互换/远期互换（deferred/forward swap）：未来某日才开始交换；固定端与浮动端本金可以不同。
固定期限互换（CMS swap）：以 LIBOR 交换互换利率，如每 6 个月以 6 个月 LIBOR 交换 10 年期互换利率，持续 5 年；CMT 互换：以 LIBOR 交换某期限国债利率。
复利互换（compounding swap）：一方或双方利息按约定规则复利到期末，只在到期时支付一次。
LIBOR 后置互换（LIBOR-in-arrears swap）：用支付日当天观察到的 LIBOR 计算当期支付（标准互换用上一支付日的 LIBOR）。
区间累计互换（accrual swap）：一方利息只在浮动参考利率处于某区间时累计。

差额互换（diff swap / quanto）：在一种货币观察的利率作用于另一货币的本金，如美国 3 个月 LIBOR 交换英国 3 个月 LIBOR，都作用于 1,000 万英镑本金（第 30 章）。

股权互换（equity swap）：以股票指数总收益（股息 + 资本利得）交换固定或浮动利率，如每 6 个月以标普 500 总收益交换 LIBOR，用于把固定/浮动投资收益转换为指数收益或反之（第 33 章）。

含期权的互换：可延长互换（extendable swap）——一方可延长期限；可卖回互换（puttable swap）——一方可提前终止；互换期权（swaption）——未来以预定固定利率进入互换的权利（第 29 章）。

商品互换、波动率互换与其他奇异工具：商品互换本质上是一系列交割价相同、到期日不同的商品远期；**波动率互换（volatility swap）**每期一方支付预定波动率、另一方支付该期实现的历史波动率，乘以同一名义本金（第 26 章）。第 33 章将介绍宝洁与信孚银行（Bankers Trust）著名的 5/30 互换，其支付复杂地依赖于 30 天 CP 利率、30 年国债价格和 5 年国债收益率。

小结与习题（PDF p.202–207）

小结：最常见的互换为利率互换和货币互换。利率互换一般不交换本金；货币互换通常在期初和期末交换本金（支付外币利息的一方期初收外币本金、付本币本金，期末相反）。利率互换可转换浮动/固定贷款或投资，货币互换可转换贷款或投资的币种。估值有两种方法：分解为两个债券的多空组合，或视为远期合约组合。金融机构做一对对冲互换时面临信用风险；对手风险、抵押和净额结算详见第 24 章。

习题题型（7.1–7.26）：设计中介互换并使双方收益相等（7.1 利率、7.2 日元/美元货币、7.9 投资端、7.11 美元浮动/加元固定、7.24 英镑/美元、7.26 结合国债收益率设计货币互换）；剩余期限非整期的利率互换估值（7.3 用债券法、7.23 季付互换）；互换利率与平价收益率的关系（7.4）；货币互换估值（7.5、7.25）；信用风险与市场风险区别（7.6、7.8）；比较优势论的漏洞（7.7）；对手违约时的损失计算（7.10 利率互换、7.12 货币互换）；远期对冲后中介价差（7.13）；高信用风险公司偏好付固定对互换组合风险的影响（7.14）；互换与贷款违约损失比较（7.15）；银行资产负债错配的互换对冲（7.16）；固定对浮动货币互换估值方法（7.17）；用互换利率自举零息曲线（7.18、7.22）；互换的美元久期（7.19）；用表 7.3 报价把借款/投资转换为浮动或固定（7.20、7.21）。

第 7 章本章要点

利率互换以名义本金交换固定与浮动（LIBOR）利息，浮动利率期初确定、期末支付，只支付差额；可用于转换负债或资产的利率性质。
金融中介赚取 3–4bp 价差并承担对手违约风险；做市商报买卖价，二者平均为互换利率。
比较优势论在利率互换中多为假象（浮动贷款人保留调整利差的权利）；货币互换中的比较优势（如税收）更可能真实。
互换利率是"持续刷新"的 AA 级 LIBOR 利率，定义一组平价债券，可自举出 LIBOR/swap 零息曲线。
估值：$V=B_{\text{fix}}-B_{\text{fl}}$，其中 $B_{\text{fl}}=(L+k^*)e^{-r^*t^*}$；或按远期利率实现构造 FRA 组合，两法等价。货币互换 $V=B_D-S_0B_F$ 或远期外汇组合。
初始零价值不代表各期 FRA/远期为零，期限结构形状决定价值分布，进而决定信用敞口；敞口 $=\max(V,0)$，货币互换的信用风险大于利率互换。
其他互换：基差、摊还、递增、远期起始、CMS/CMT、复利、后置、区间累计、diff/quanto、股权、可延长/可卖回、互换期权、商品、波动率互换、CDS。

第 7 章与量化交易的关联

定价与曲线构建：LIBOR/swap 曲线的自举（期货 + 互换利率）以及"浮息债券在重置日价值等于面值"是固定收益定价引擎的核心；如今以 SOFR/OIS 替代 LIBOR，方法相同。货币互换估值与利率平价相连，对跨币种基差交易有用。
风险建模：互换可分解为债券多空或 FRA 组合，意味着其风险可映射到零息曲线各期限的 DV01/关键利率久期，用于利率因子模型和组合对冲。
组合管理：股权互换、总收益互换是对冲基金和 Delta One 业务获得指数/股票敞口、实现杠杆和跨境投资的常用工具；方差/波动率互换是波动率交易的基础工具（后续章节）。
交易对手风险：$\max(V,0)$ 的敞口结构是 CVA/PFE 计算的出发点；中央清算对保证金与资金成本的影响直接进入交易成本模型。
系统实现：计息天数、营业日调整（following/modified following）、节假日日历是生成现金流时间表的必要模块，与回测和估值精度直接相关。

第 7 章推荐习题

7.1 / 7.11 / 7.24：设计中介互换，掌握"总收益 = $a-b$"。
7.3 / 7.23：非整期剩余的利率互换估值（两种方法互相验证）。
7.5 / 7.25：货币互换估值。
7.7：识别比较优势论的漏洞。
7.10 / 7.12：对手违约损失的计算。
7.18 / 7.22：用互换利率自举零息曲线。
7.19：互换的美元久期，连接第 4、6 章的久期概念。

第 8 章证券化与 2007 年信用危机（Securitization and the Credit Crisis of 2007）（PDF p.208–222）

远期、期货、互换、期权都用于在经济主体之间转移风险；证券化是另一种重要的风险转移方式。本章考察证券化本质及其在 2007 年开始的信用危机（credit crunch）中的作用：危机源自美国基于抵押贷款的金融产品，迅速蔓延到其他国家并从金融市场扩散到实体经济，部分金融机构倒闭，另一些须政府救助。

8.1 证券化（Securitization）（PDF p.208–212）

起源：传统上银行主要用存款为贷款融资。20 世纪 60 年代美国银行的存款增长跟不上住房抵押贷款需求，催生了抵押贷款支持证券（mortgage-backed security, MBS）：把抵押贷款组成组合，将其产生的利息与本金现金流打包为证券卖给投资者。1968 年美国政府设立 GNMA（Ginnie Mae），对合格抵押贷款的本息提供担保（收费）并创设证券。银行发放贷款但不留在资产负债表上，贷款增长可快于存款；GNMA 担保保护 MBS 投资者免受借款人违约（但投资者面临**提前还款（prepayment）**不确定性：利率低时提前还款最多，而此时再投资机会差，早期很多 MBS 投资者收益低于预期）。80 年代证券化扩展到汽车贷款、信用卡应收款等，并推广至世界各地，投资者逐渐接受没有违约担保的产品。

资产支持证券（asset-backed security, ABS）（图 8.1，2000–2007 年使用的结构）：发起银行把一组产生收入的资产（如贷款）卖给特殊目的载体（special purpose vehicle, SPV），资产现金流分配给不同分层（tranche）。简化示例：资产本金 1 亿美元，分为**优先级（senior）**8,000 万（LIBOR + 60bp）、**夹层（mezzanine）**1,500 万（LIBOR + 250bp）、**权益级（equity）**500 万（LIBOR + 2,000bp）。

权益级看似最划算，但本息都无保证：它最可能损失本金、最不可能拿到承诺利息。现金流按**瀑布（waterfall）**分配（图 8.2），本金与利息各自适用一条瀑布：本金先还优先级直到还清，再还夹层，最后才到权益级；利息先付优先级的承诺回报，再付夹层，剩余给权益级。

从损失角度：前 5% 的损失由权益级承担；损失超过 5% 时权益级全损，开始侵蚀夹层；损失超过 20% 时夹层全损，开始侵蚀优先级。评级机构（Moody's、S&P、Fitch）起关键作用：优先级通常评 AAA，夹层评 BBB（投资级），权益级不评级。实际中分层远不止三层，瀑布规则写在数百页法律文件中，且常有超额抵押（overcollateralization）——分层本金总额小于资产本金；以及分层承诺的加权平均回报低于资产加权平均回报（两者都可增加发起人利润）。

ABS CDO：AAA 优先级很容易卖出（相对 AAA 债券收益有吸引力）；权益级通常由发起人保留或卖给对冲基金；夹层难以卖出，于是出现"ABS 的 ABS"：把许多 ABS 夹层放进一个组合，再像图 8.1 那样分层，称为 ABS CDO 或 Mezz ABS CDO（图 8.3）。示例：ABS CDO 的优先级占夹层本金的 65%（AAA），夹层 25%（BBB），权益级 10%（不评级）。于是 AAA 产品合计约占底层组合本金的 $80\%+65\%\times15\%\approx90\%$；若进一步把 ABS CDO 分层再证券化（确有发生），比例还会更高。

损失计算（假设所有 ABS 组合违约率相同）：

ABS 的 AAA 分层在底层损失低于 20% 时毫发无损。
ABS CDO 的 AAA 分层只能承受 10.25% 的底层损失：底层损失 10.25% 时 ABS 夹层承担 $10.25\%-5\%=5.25\%$，占夹层本金 15% 的 $5.25/15=35\%$，恰好吃掉 ABS CDO 的权益级（10%）和夹层（25%），优先级勉强完好。
底层损失 17%：ABS 权益级承担 5%，ABS 夹层承担 12%，即夹层损失 $12/15=80\%$；前 35% 由 ABS CDO 的权益与夹层吸收，ABS CDO 优先级损失 $45/65=69.2\%$。

表 8.1（底层损失 → ABS 夹层损失 / ABS CDO 权益级 / 夹层 / 优先级损失）：

底层损失	ABS 夹层	CDO 权益	CDO 夹层	CDO 优先
10%	33.3%	100%	93.3%	0%
13%	53.3%	100%	100%	28.2%
17%	80.0%	100%	100%	69.2%
20%	100%	100%	100%	100%

一般公式：ABS 夹层损失率 $m=\min(\max(\ell-5\%,0),15\%)/15\%$；CDO 优先级损失率 $=\max(m-35\%,0)/65\%$；CDO 夹层损失率 $=\min(\max(m-10\%,0),25\%)/25\%$。

8.2 美国住房市场（The US Housing Market）（PDF p.211–215）

图 8.4 为 S&P/Case–Shiller 10 城综合房价指数（1987.1–2013.2）：约 2000 年起涨速远超前十年，2006 年见顶后大幅下跌。2002–2005 年超低利率是推手之一，但泡沫主要由抵押贷款发放行为推动。

次级贷款（subprime mortgage）：风险显著高于平均水平的抵押贷款。2000 年前多为第二抵押贷款，之后金融机构开始接受次级第一抵押贷款。

放松贷款标准：使原本不够信用资格的家庭能买房，需求上升推高房价；对经纪人和贷款人而言，更多贷款意味着更多利润，房价上涨又使抵押品覆盖充足。房价越高首次购房者越难负担，于是继续放松标准：贷款成数提高；推出可调利率抵押贷款（ARM），前 2–3 年为低"诱惑利率"（teaser rate，典型约 6%，甚至 1%–2%），之后变为 6 个月 LIBOR + 6% 之类的高利率（如"2/28 ARM"：前两年固定、后 28 年浮动；贷款人预期房价上涨时借款人会在诱惑期结束时再融资，但次级贷款的提前还款罚金往往很高）。申请表上的收入等信息常不核实。

次级贷款证券化：发起人知道贷款会被证券化（Keys 等 2010 的实证研究），审批问题从"这是我们愿承担的信用风险吗？"变成"这笔贷款能卖出去赚钱吗？"。买方认为知道每笔贷款的**贷款价值比（loan-to-value ratio, LTV）**和借款人 FICO 分数（300–850）就足够，其他信息被忽视。而这两个指标本身也可疑：评估师迫于贷款人压力高估房价；借款人被指导"刷"FICO 分（如在新信用卡上按时还款几个月）。政府为何不监管？自 90 年代起美国政府推动扩大住房拥有率，向贷款人施压增加对中低收入者的贷款；俄亥俄、佐治亚等州议员想遏制掠夺性贷款（predatory lending），但法院判定应以全国标准为准。"骗子贷款（liar loans）"、"NINJA（no income, no job, no assets）"等称呼由此而来。

泡沫破裂：2007 年诱惑利率到期，许多借款人无力还款，止赎（foreclosure）增加、房屋大量上市、房价下跌；近 100% 贷款购房者出现负资产（negative equity）。美国许多州抵押贷款为无追索权（nonrecourse）：违约时贷款人只能收房，不能追索其他资产，借款人相当于持有一份免费的美式看跌期权——可随时以未偿本金把房子"卖"给贷款人。负资产时最优决策是行权，贷款人再卖房，加剧房价下跌。违约者中很多是购买多套房出租的投机者，受害的是租户。例：两邻居房屋相同，各欠 25 万，房值 20 万，止赎拍卖预计 17 万，最优策略是各自行使看跌期权并买下对方的房子。英国等其他国家房价也大幅下跌。

损失：房价下跌 35% 并不意味违约贷款最多损失 35%——止赎房屋状况差，售价远低于危机前价值，2008–2009 年部分止赎贷款损失高达本金的 75%。ABX 指数显示原评级 BBB 的次级 ABS 分层到 2007 年底损失约 80%，2009 年中约 97%；TABX 指数显示由 BBB 分层构成的 ABS CDO 中原 AAA 分层到 2007 年底损失约 80%，2009 年中几乎一文不值。UBS、美林、花旗及为 AAA ABS CDO 分层提供保护的 AIG 损失惨重，许多机构需政府救助：贝尔斯登被摩根大通收购，美林被美国银行收购，高盛与摩根士丹利转为银行控股公司，雷曼兄弟破产。

信用危机：2006 年银行资本充足、贷款易得、信用利差（贷款利率超出无风险利率的部分）低；2008 年银行资本被侵蚀、惜贷，优质借款人也难借钱，信用利差急升，出现几代人以来最严重的衰退。压力指标 TED 利差（3 个月欧洲美元存款利率 − 3 个月国债利率）正常为 30–50bp，2008 年 10 月超过 450bp。

8.3 问题出在哪里？（What Went Wrong?）（PDF p.216–218）

格林斯潘的"非理性繁荣（irrational exuberance）"同样适用于危机前：贷款人、分层投资者、保护卖方都假定好时光永远持续、全国性房价下跌不会发生。多重因素：宽松贷款标准；把信用风险转给投资者的产品；评级机构从经验丰富的债券评级转向历史数据少的结构化产品；产品复杂，投资者和评级机构对底层资产信息不准确或不完整；投资者以为找到了"印钞机"，依赖评级而非独立判断；AAA 分层收益远高于 AAA 债券。

违约相关性（default correlation）是关键：衡量不同借款人同时违约的倾向。相关性低时 AAA 分层几乎不会受损；相关性升高时更脆弱；ABS CDO 分层对相关性更敏感。正常时期抵押贷款违约相关性适中，高违约率概率很小；但压力市场中违约相关性上升，使极高违约率成为可能。

评级的误用：人们倾向把某评级的分层等同于同评级债券。S&P 与 Fitch 使分层发生损失的概率与同评级债券相同；Moody's 使分层的预期损失与同评级债券相同。评级只匹配了损失分布的一个方面，其他方面可能截然不同。分层往往很薄：AAA 约占 80%，另有 15–20 个分层各宽 1%–2%，薄分层要么不损失、要么全损，部分回收的可能很小（如负责 5%–6% 损失的 BBB 分层：损失 <5% 安全，>6% 全损）。BBB 债券组合即使在极端情况下损失也很难超过 25%，而 BBB 分层组合 100% 损失相对容易发生（表 8.1），分层越薄越是如此。所以由 BBB 分层构造的 ABS CDO 远比由 BBB 债券构造的同类结构危险。

监管套利（regulatory arbitrage）：银行既发起贷款又是分层的主要投资者，原因在于持有分层所需的监管资本远低于直接持有抵押贷款。

激励问题与代理成本（agency costs）：发起人的激励是发放能被分层创设者接受的贷款；房屋评估师的激励是讨好贷款人、尽量高估以压低 LTV；分层创设者关心评级，利用评级机构公开的标准尽量多创造 AAA；评级机构由发行人付费，约一半收入来自结构化产品。员工薪酬（工资、年终奖、股票/期权）中年终奖关注短期业绩：今年大赚、明年巨亏也不用退回奖金。2006 年负责投资 ABS CDO 的员工即便意识到泡沫，只要泡沫在年底前不破，仍能拿到丰厚奖金。

8.4 后续影响（The Aftermath）（PDF p.218–219）

场外衍生品监管加强：多数标准化场外衍生品须通过 CCP 清算，缴纳初始保证金、变动保证金并出资违约基金；双边清算交易的抵押安排由立法规定。
奖金受到审查，部分司法辖区可能设上限；奖金改为分多年发放，业绩不佳可被追回。
美国 Dodd–Frank 法案及英国、欧盟的类似立法：限制吸储机构的自营交易（美国"沃尔克规则"；英国 Vickers 委员会提出零售业务"围栏"隔离；欧盟 Liikanen 委员会建议分离高风险交易）；系统重要性机构须准备"生前遗嘱（living will）"；证券化产品发行人须保留每个产品的 5%（风险自留）。
Business Snapshot 8.1 巴塞尔委员会：1988 年 Basel I（信用风险资本），1995 年纳入净额结算，1996 年发布市场风险资本要求（1998 年实施），1999 年提出 Basel II（修改信用风险计算并加入操作风险，2007 年起实施），危机后 Basel II.5 提高市场风险资本，2010 年发布 Basel III（提高资本数量与质量，引入流动性要求，至 2019 年分阶段实施），以抑制银行过度依赖短期负债为长期资金融资。

小结与习题（PDF p.219–222）

小结：证券化把贷款等资产变成证券出售，使银行贷款扩张更快。最早是 60–70 年代由 GNMA 担保的美国住房抵押贷款，后来扩展到汽车贷款、公司贷款、信用卡应收款和次级贷款，后者多无违约担保。危机中，次级贷款被分层，分层又被再证券化；政府鼓励住房拥有、低利率、贷款标准放松、承担信用风险者与原始贷款人分离、AAA 评级与较高收益吸引买家、短期导向的薪酬使银行忽视泡沫。诱惑利率结束后违约、止赎增加、房价逆转，负资产者违约进一步压低房价。银行为此付出代价：资本要求提高、流动性监管引入、场外衍生品监管收紧。

延伸阅读：Gorton (2009)；Hull (2008)；Hull & White (2012)；Keys 等 (2010)；Krinsman (2007)；Mian & Sufi (2010)；Zimmerman (2007)。

习题题型（8.1–8.20）：概念题——GNMA 作用、ABS 与 ABS CDO、夹层、瀑布、次级贷款、泡沫、贷款人不核实信息的原因、ABS CDO 风险被误判、代理成本、ABS CDO 的创设动机、年终奖为何是"短期薪酬"（8.1–8.4、8.6–8.11、8.14）；计算题——表 8.1 在 12%、15%（8.5）及 2%、6%、14%、18%（8.15）损失下的结果；分层比例改为 70/20/10 后重算表 8.1（8.16）；CDO 平方中 AAA 分层开始受损的底层损失阈值（8.18）；缩小 ABS 夹层宽度的影响（8.19）；10 年期结构在第 8 年损失 17% 时各分层的本息表现（8.20，LIBOR 3%）；违约相关性对优先级和权益级风险的影响（8.12）；为何 ABS CDO 的 AAA 比 ABS 的 AAA 更危险（8.13）；评论"再证券化是有缺陷的想法"（8.17）。

第 8 章本章要点

证券化通过 SPV 把资产现金流按瀑布分给优先、夹层、权益分层；损失自下而上吸收，各分层相当于底层损失分布上的一段"区间"。
ABS CDO 把 BBB 夹层再分层，能制造大量 AAA，但 AAA CDO 分层的损失阈值（示例中 10.25%）远低于 ABS AAA（20%），且对违约相关性极度敏感。
危机根源：贷款标准放松、诱惑利率 ARM、发起—分销模式下的激励错配、评级只匹配损失分布的单一特征、薄分层、监管套利、短期奖金。
无追索权抵押贷款相当于借款人持有免费美式看跌期权，负资产时集中行权加剧下跌。
危机后：中央清算、奖金递延追回、沃尔克规则、生前遗嘱、5% 风险自留、Basel II.5/III 的资本与流动性要求。

第 8 章与量化交易的关联

信用衍生品定价与风险建模：分层损失是底层组合损失的"看涨价差"（$\min(\max(L-a,0),d-a)$），其定价完全取决于违约相关性——这正是后续高斯 Copula 分层定价模型（第 25 章）的核心；本章的表 8.1 是理解相关性风险和分层杠杆的最直观算例。
压力测试与尾部风险：压力情形下相关性上升、薄分层"全有或全无"、评级只匹配期望损失或违约概率，这些都是风险模型（VaR/ES、情景分析）中"相关性崩溃"和"模型风险"的教科书案例。
市场指标：TED 利差、ABX/TABX、CDS 利差可作为宏观风险状态因子或体制切换（regime）信号。
MBS 提前还款：对固定收益量化（MBS 定价、负凸性对冲）有直接意义。
本章以叙事为主，与日常的因子研究、执行环节没有直接关联；对风控与制度设计（激励、监管资本）有参考价值。

第 8 章推荐习题

8.5 / 8.15：熟练计算瀑布下各分层损失。
8.16 / 8.19：改变分层结构对损失分布的影响，体会"分层宽度—杠杆"关系。
8.18：CDO 平方的损失阈值，理解再证券化的杠杆放大。
8.12 / 8.13：违约相关性与分层风险的定性分析。
8.20：一个完整的多期分层本息现金流计算。

第 9 章 OIS 折现、信用问题与融资成本（OIS Discounting, Credit Issues, and Funding Costs）（PDF p.223–235）

本章讨论 2007 年危机后衍生品市场变得重要的三个问题：(1) 无风险折现率的选择——几乎所有衍生品估值都要把期望现金流按无风险利率折现，危机前用 LIBOR/swap 曲线，危机后在某些情形下改用其他代理；(2) 信用风险——交易所和中央清算处理得好，双边清算的场外衍生品如何在估值中考虑信用风险（细节见第 24 章）；(3) 融资成本——是否应做"融资价值调整（FVA）"，存在争议。

9.1 无风险利率（The Risk-Free Rate）（PDF p.223–225）

标准估值思路是构建无风险组合，并论证在无套利世界中它应赚取无风险利率（如 4.7 节 FRA、5.7 节远期的估值）。互换是 FRA 或远期的组合，同样依赖无风险折现。

为何不用国债利率：美国政府几乎不会违约（可以"印钞"），但衍生品交易者认为国债利率被人为压低（Business Snapshot 9.1）：

金融机构因各种监管要求必须持有国债，需求推高价格、压低收益率；
持有国债所需的银行资本远少于持有其他极低风险工具；
美国国债利息免征州税，税收待遇优惠。（脚注：该"可印钞"论证不适用于欧元区国家，如意大利、西班牙无法控制欧洲央行。）

LIBOR 的问题：危机前用 LIBOR 与 LIBOR-for-fixed 互换利率作为无风险利率——AA 评级银行 1 年内违约概率被认为很小。危机期间银行间不愿互借，LIBOR 飙升：TED 利差正常时低于 50bp，2007 年 10 月至 2009 年 5 月间很少低于 100bp，2008 年 10 月峰值超 450bp。

危机后的实践：大多数银行对有抵押交易改用隔夜指数互换（OIS）利率折现，对无抵押交易仍用 LIBOR 甚至更高利率。其背后的理念是：折现率应反映银行的平均融资成本而非真正的无风险利率——无抵押衍生品的融资成本至少与 LIBOR 一样高；有抵押衍生品由抵押品融资，而 OIS 利率近似反映这类融资成本。

9.2 OIS 利率（The OIS Rate）（PDF p.225–228）

联邦基金利率（fed funds rate）：美国金融机构之间的隔夜无担保借款利率，通常由经纪人撮合；按交易规模加权的平均称为有效联邦基金利率（effective federal funds rate）。英国类似指标为 SONIA（sterling overnight index average），欧元区为 EONIA（euro overnight index average）。央行监控隔夜利率并可能干预。

隔夜指数互换（overnight indexed swap, OIS）：在一段时期（如 1 个月或 3 个月）内，以固定利率交换该期间隔夜利率的几何平均。银行若每日滚动借入（本息每日滚入）隔夜资金，该期支付的利率就是隔夜利率的几何平均；每日滚动借出亦然。因此 OIS 能把一段时间的隔夜借贷换成固定利率借贷，其固定利率称为 OIS 利率。若几何平均低于固定利率，期末由固定方向浮动方支付差额，反之亦然。

例 9.1：3 个月美国 OIS，名义本金 1 亿，OIS 利率 3%；期间有效联邦基金利率几何平均为 2.8%，则固定方支付 $0.25\times(0.030-0.028)\times10^8=50{,}000$ 美元（未考虑计息天数）。

OIS 期限通常较短（3 个月或更短），但 5–10 年的交易日渐常见；超过 1 年的 OIS 通常划分为 3 个月子期间，每个子期间末交换。正如互换利率是"持续刷新"的 LIBOR（7.5 节），OIS 利率是"持续刷新"的隔夜利率。

LIBOR–OIS 利差：设银行 A (1) 在隔夜市场借 1 亿美元 3 个月，每晚滚动；(2) 以 3 个月 LIBOR 借给银行 B；(3) 用 OIS 把隔夜借款换为 3 个月 OIS 固定利率。若 A 的信用一直被隔夜市场接受，A 收 3 个月 LIBOR、付 3 个月 OIS。看似两者应相等，但 OIS 通常更低：A 承担 B 在 3 个月贷款上违约的风险，需要补偿；而 A 的隔夜贷款人在 A 信用恶化时可随时停止放贷，承担的风险小得多。3 个月 LIBOR 超出 3 个月 OIS 的部分称为 3 个月 LIBOR–OIS 利差，是常用的金融市场压力指标（图 9.1，2002 年 1 月—2013 年 5 月）：正常约 10bp；2008 年 10 月达历史最高 364bp；一年后恢复正常；2011 年 12 月底因希腊等欧洲经济担忧升至约 50bp。

OIS 是无风险利率的良好代理：并非完全无风险，但两类风险都很小——金融机构之间隔夜贷款违约（任何信用问题迹象都会使其被排除出隔夜市场）；OIS 互换本身违约（对 OIS 利率的违约调整通常很小，有抵押时更小）。

构建 OIS 零息曲线：与 7.6 节 LIBOR/swap 曲线的自举相同，关键前提是被自举的利率与用于折现的利率相同，这样互换利率才定义一组平价债券。1 个月 OIS 利率即 1 个月零息利率，3 个月同理；有定期结算的 OIS，其利率定义一只平价债券。例：5 年 OIS 利率 3.5%、按季结算（每季度以 $0.25\times3.5\%=0.875\%$ 交换该季隔夜利率几何平均），则每季付 3.5% 年息的 5 年债券被假定按面值出售。

延伸长端：OIS 的流动期限不如 LIBOR 互换长。方法一：假设长端 OIS 与 LIBOR/swap 利率的利差等于最长可靠 OIS 期限处的利差。例：5 年以上无可靠数据，5 年 OIS 4.7%、5 年互换利率 4.9%，则假设 5 年以上所有期限 OIS 比 LIBOR/swap 低 20bp。方法二：使用 3 个月 LIBOR 交换平均联邦基金利率的基差互换，美国最长 30 年。（脚注：如 30 年 LIBOR 互换利率 5%，LIBOR 交换联邦基金平均 + 20bp，则可近似认为 30 年 OIS 为 4.8%；但该基差互换用的是隔夜利率的算术平均而非几何平均，理论上需要凸性调整，参见 Takada 2011。）

9.3 用 OIS 折现为互换和 FRA 估值（Valuing Swaps and FRAs with OIS Discounting）（PDF p.228–229）

得到 OIS 零息曲线后，许多衍生品可用 OIS 利率作为无风险折现率估值，例如远期合约用式 (5.4)，$r$ 取期限 $T$ 的 OIS 零息利率（所需远期价格 $F_0$ 通常由市场远期价格插值得到）。对互换与 FRA 还需先求出与 OIS 折现一致的远期 LIBOR。

原理：LIBOR-for-fixed 互换可假设远期 LIBOR 实现来估值；按当前中间价互换利率成交的互换价值为零。由此可反推远期 LIBOR。OIS 折现与 LIBOR 折现给出的远期 LIBOR 不同。

例 9.2（LIBOR 折现）：1 年 LIBOR 5%，2 年互换利率 6%（年付，均年复利）。6% 票息债券为平价债券：

\frac{6}{1.05}+\frac{106}{(1+R)^2}=100\ \Rightarrow\ R=6.030\%

1 年后起 1 年期远期 LIBOR $F=\frac{1.06030^2}{1.05}-1=7.0707\%$。校验：收固定方第 1 年交换为 $+1$（收 6 付 5），第 2 年为 $6-100F$，令 $\frac{1}{1.05}+\frac{6-100F}{1.06030^2}=0$，同样得 $F=7.0707\%$。

例 9.3（OIS 折现）：同样的 LIBOR 与互换利率，但 1、2 年 OIS 零息利率为 4.5%、5.5%（年复利，比 LIBOR 低约 50bp）。由互换价值为零：

\frac{1}{1.045}+\frac{6-100F}{1.055^2}=0\ \Rightarrow\ F=7.0651\%

从 LIBOR 折现切换到 OIS 折现，远期 LIBOR 从 7.0707% 变为 7.0651%，变化略多于半个基点——虽小但交易员不会忽视。影响大小取决于零息曲线的陡峭程度和远期利率的期限。

多曲线框架：用一系列每 3 个月交换的互换可构造 3 个月远期 LIBOR 曲线（作为期间起点的函数），用每 6 个月交换的互换构造 6 个月远期曲线，等等；中间点插值；1 个月对 6 个月 LIBOR 的基差互换提供额外信息。用 OIS 折现为互换估值时：从对应期限的远期 LIBOR 曲线取远期利率，假设其实现计算现金流，再用 OIS 零息利率折现。

9.4 OIS 还是 LIBOR：哪个正确？（OIS vs. LIBOR: Which Is Correct?）（PDF p.229–230）

多数交易商对有抵押衍生品（有 2.5 节所述抵押协议）用 OIS 折现，对无抵押衍生品用 LIBOR 折现，理由是融资成本：有抵押衍生品由抵押品融资，抵押品通常支付联邦基金利率（与 OIS 相连）；无抵押的融资成本更高。（LCH.Clearnet 2013 年清算名义本金超 350 万亿美元的利率互换，用初始与变动保证金抵押，也已跟随交易商改用 OIS 折现。）

Hull 的观点：基于融资成本的论证有问题——金融学的长期原则是投资的估值不应取决于其融资方式，重要的是风险和期望现金流。在构建了无风险组合的情形下，应使用无风险利率的最佳代理折现；OIS 零息曲线是最接近无风险的，因此无论是否有抵押都应使用 OIS 折现（参见 Hull & White 2013 "LIBOR vs. OIS"）。

9.5 信用风险：CVA 与 DVA（Credit Risk: CVA and DVA）（PDF p.230–232）

折现率不是用来处理信用风险的。前述估值（无论 OIS 或 LIBOR 折现）计算的都是假设双方都不违约的价值，称为无违约价值（no-default value） $f_{nd}$；信用风险通过单独计算处理。

净额结算（netting）：银行与交易对手的双边衍生品组合协议几乎都规定净额结算，违约时所有未平仓衍生品视为一个整体。一方破产、未按要求提交抵押品或有其他不履约行为时，另一方宣布违约事件，导致组合提前终止（early termination）。无抵押时：若终止时组合对银行价值为正，银行成为该金额的无担保债权人，可能无法全额回收；若对银行价值为负，银行向对手（或清算人）支付结算款，无损失。

信用价值调整（credit value adjustment, CVA）：银行对交易对手违约给自己造成的期望成本现值的估计。设最长交易期限 $T$ 年，分为 $N$ 个区间，对每个区间计算：$q_i$——该区间内因对手违约而提前终止的概率；$v_i$——若在区间中点提前终止，衍生品组合期望损失的现值。

\text{CVA}=\sum_{i=1}^N q_i v_i

公式看似简单，但 $v_i$ 的计算相当复杂（第 24 章）。考虑对手违约后组合价值为 $f_{nd}-\text{CVA}$。

借方（债务）价值调整（debit/debt value adjustment, DVA）：银行自身也可能违约，给对手造成损失，并给银行带来等额相反的收益。DVA 是银行从自身违约中获得的期望收益的现值：

\text{DVA}=\sum_{i=1}^N q_i^* v_i^*

$q_i^*$ 为银行在第 $i$ 个区间违约的概率，$v_i^*$ 为银行在区间中点违约时其收益（对手损失）的现值。综合后组合对银行的价值为

f_{nd}-\text{CVA}+\text{DVA}

抵押品：要求提交抵押品时计算更复杂：(1) 抵押品影响 CVA、DVA 的计算——需计算提前终止时双方提供的抵押品，通常假设违约方在提前终止前数天就停止提交抵押品、停止返还超额抵押品；(2) 现金抵押品的利息可能影响估值。抵押品可以是现金或可流通证券（可接受证券及折扣率 haircut 在抵押协议中规定）。现金抵押品通常付息：若利息等于无风险利率则无需调整；否则须估计"实际净利息超出按无风险利率支付的净利息"之期望现值，可正可负，称为抵押利率调整（collateral rate adjustment, CRA）：

f_{nd}-\text{CVA}+\text{DVA}-\text{CRA}

银行通常视 OIS 为有抵押交易的无风险利率；若隔夜现金抵押余额支付有效联邦基金利率（常见情形），则 CRA 为零。

9.6 融资成本（Funding Costs）（PDF p.231–233）

思想实验：无风险利率 5%，银行平均融资成本 7%，一个无风险项目回报 6%，是否应做？应当做：项目现金流的合适折现率为 5%，在此折现率下项目净现值为正。不能因为银行融资成本 7% 就只做回报超过 7% 的项目——银行项目平均回报应超过 7%，否则会亏损，但这不意味着每个项目都要超过 7%。原因：银行承接无风险项目时，其融资成本会下降，使无风险项目的增量融资成本为 5% 而非 7%。极端例子：银行完全靠无风险项目规模翻倍，融资成本变为 6%（旧项目 7%、新项目 5% 的平均），新项目的增量融资成本恰为 5%。若公司把平均融资成本作为所有项目的门槛利率，低风险项目会显得没吸引力、高风险项目显得有吸引力，公司会逐渐偏向高风险项目。

融资价值调整（funding value adjustment, FVA）：认为融资成本相关的银行对无抵押衍生品做 FVA，目的是把衍生品价值调整为"以银行平均融资成本作为'无风险'折现率"时的价值。例：平均融资成本 3.8%，银行使用的无风险折现率 3%，FVA 体现折现率提高 80bp 的影响。（脚注：利率在衍生品估值中有两个作用——定义折现率、定义风险中性世界中标的资产的增长率；FVA 只提高前者，因为用于对冲的标的资产头寸可以通过回购融资，成本接近无风险利率，而衍生品头寸不能回购。）

FVA 的争议：融资成本不应影响投资估值，风险才重要；CVA、DVA 应当做，但很多 FVA 争论源于把 FVA 与 DVA 混淆。高融资成本银行做 FVA 时，会对产生资金的衍生品（如卖出期权）报价更有竞争力；低融资成本银行做 FVA 时，对需要资金的衍生品报价更有竞争力。这会给终端用户制造套利：从高融资成本交易商买期权，再卖给低融资成本交易商。交易员可以用任何方法决定交易价格，但会计上每日逐日盯市（marking-to-market）须按退出价格（exit price）——银行当前可做对冲交易的市场价格，即出清市场的价格——估值，它不应依赖持有方的融资成本。

小结与习题（PDF p.233–235）

小结：危机使场外衍生品受到更严监管，也促使市场参与者重新审视做法。危机前 LIBOR 被视为无风险利率的合理代理（这使 LIBOR-for-fixed 互换估值很方便）；危机后至少对有抵押交易已改用 OIS 利率。OIS 利率是交换联邦基金隔夜利率几何平均的固定利率，不完全无风险，但远比 LIBOR 接近。改用 OIS 折现会改变远期 LIBOR 的估计：远期 LIBOR 必须使所有按中间价新成交的 LIBOR-for-fixed 互换价值为零。双边清算交易有两项调整：CVA（对手违约，降低价值）和 DVA（自身违约，提高价值）；有抵押组合若现金抵押品利息不等于无风险利率还需额外调整。金融理论表明融资方式不应影响估值，但部分银行仍做 FVA，使需要（产生）资金的组合被收取（获得）反映平均融资成本的金额，FVA 存在争议，可能导致会计、分析与交易人员之间的分歧。

延伸阅读：Demiralp 等 (2004) 隔夜同业市场；Filipović & Trolle (2013) 同业风险期限结构；Hull & White (2012) "The FVA Debate"、(2013) "LIBOR vs. OIS"、(2013) OIS 折现与利率衍生品定价；Smith (2013) 用 OIS 折现为利率互换估值。

习题题型（9.1–9.15）：3 个月 LIBOR 与 OIS 的含义及大小（9.1）；LIBOR–OIS 利差作为压力指标（9.2）；LIBOR 折现与 OIS 折现下的零息利率与远期 LIBOR（9.3、9.4、9.10、9.12、9.13，后者还要求为 3 年期互换估值）；为何需多条零息曲线（9.5）；CVA/DVA 含义（9.6）；银行违约概率上升对 DVA 与报告收益的影响（9.7，揭示"信用恶化反而增加利润"的悖论）；CRA 的含义及何时非零（9.8）；增量无风险项目对平均融资成本的影响（9.9）；CVA/DVA 为何按组合而非逐笔计算（9.11，净额结算）；DerivaGem 探究 OIS 与 LIBOR 折现下 10 年 LIBOR 零息利率随曲线陡峭度的差异（9.14）；用 OIS 折现重做习题 7.27（9.15）。

第 9 章本章要点

国债利率因监管需求、资本优惠、税收优惠而偏低，不作衍生品无风险利率；LIBOR 含银行信用风险，危机中失效。
OIS 交换隔夜利率的几何平均，OIS 利率是"持续刷新"的隔夜利率，是最佳无风险代理；LIBOR–OIS 利差是银行间信用压力指标（正常约 10bp，2008 年峰值 364bp）。
多曲线框架：OIS 曲线用于折现，远期 LIBOR 曲线通过"按市价互换价值为零"在 OIS 折现下反推；不同期限（1M/3M/6M）各有一条远期曲线。
折现不处理信用风险；价值 $=f_{nd}-\text{CVA}+\text{DVA}-\text{CRA}$，CVA $=\sum q_iv_i$，DVA 同理；计算在净额结算组合层面进行。
融资方式不应影响估值；FVA 有争议，可能造成套利且与按退出价格的公允价值会计冲突。

第 9 章与量化交易的关联

定价与曲线构建：多曲线（OIS 折现 + 分期限远期曲线）是现代利率衍生品定价引擎的标准架构；如今 LIBOR 已退出，SOFR、SONIA、€STR 等隔夜利率取代 OIS 角色，且 SOFR 互换直接基于复利隔夜利率，本章的几何平均与"持续刷新"概念直接适用。
风险指标与择时：LIBOR–OIS（及其继任者如 FRA–OIS）利差、TED 利差是流动性/信用压力因子，可用于风险状态判别、资产配置降杠杆信号或跨资产相关性分析。
交易对手风险与 XVA：CVA/DVA/FVA 是做市与场外衍生品业务的成本项，影响报价和净盈利；对量化团队而言，CVA 计算需要蒙特卡洛模拟未来敞口（第 24 章），是大型系统工程。
资本配置决策：9.6 节"用平均融资成本作门槛利率会偏向高风险项目"的论证，也适用于对冲基金在杠杆约束下的策略选择与绩效评估（应使用风险调整后的门槛而非统一资金成本）。

第 9 章推荐习题

9.3 / 9.4：对比 LIBOR 与 OIS 折现下的远期 LIBOR，掌握多曲线反推。
9.12：完整的多期限自举（LIBOR 折现与 OIS 折现两版）。
9.13：OIS 折现下求远期 LIBOR 并为互换估值。
9.7：DVA 悖论，理解自身信用对报告收益的影响。
9.9：增量融资成本的计算，理解 FVA 争议的核心论点。
9.11：净额结算对 CVA/DVA 的意义。

第 10 章期权市场的运作机制（Mechanics of Options Markets）（PDF p.236–256）

本章说明期权市场如何组织、术语、交易方式、保证金规定等，以股票期权为主，并简介货币期权、指数期权和期货期权（详见第 17、18 章）。期权与远期/期货的根本区别：期权赋予持有人权利而非义务；远期/期货双方都承诺采取行动。进入远期/期货除保证金外不花钱，而买期权需要预付期权费。绘制期权盈亏图时惯例忽略货币时间价值，利润 = 最终收益 − 初始成本。

10.1 期权类型（Types of Options）（PDF p.236–238）

看涨期权（call option）：在某日期前以某价格买入资产的权利；看跌期权（put option）：在某日期前以某价格卖出资产的权利。合约中的日期称为到期日（expiration date / maturity date），价格称为行权价/执行价（exercise price / strike price）。

**美式（American）**期权可在到期日前任何时间行权，**欧式（European）**期权只能在到期日行权（与地理无关）。交易所期权大多是美式，但欧式更容易分析，美式的许多性质常由欧式推出。

看涨期权例：买入行权价 100 美元、可买 100 股的欧式看涨期权，股价 98，4 个月到期，每股期权价 5 美元，初始投资 500 美元。到期股价低于 100 时不行权，损失全部 500；股价 115 时行权，每股赚 15，共 1,500，扣除成本净利 1,000。图 10.1：股价 120 时每股利润 15。误区：股价 102 时行权收益 2，总体亏 3，但不行权亏 5 更糟——到期时只要股价高于行权价就应行权（即使总体仍亏损）。

看跌期权例：买入行权价 70、可卖 100 股的欧式看跌期权，股价 65，3 个月到期，每股期权价 7，初始投资 700。到期股价 55 时，每股赚 15，共 1,500，净利 800；股价高于 70 则期权作废，亏 700（图 10.2）。

提前行权：交易所股票期权通常是美式，某些情形下提前行权是最优的（后续章节讨论）。

10.2 期权头寸（Option Positions）（PDF p.238–239）

每份期权都有多头（买方）和空头（卖方，即签发/写出期权，writing）。卖方预先收取现金，但承担潜在负债；其盈亏与买方相反（图 10.3、10.4）。四种基本头寸：多头看涨、多头看跌、空头看涨、空头看跌。

以 $K$ 为行权价、$S_T$ 为到期标的价格，欧式期权（不含期权费）的收益（payoff）：

多头看涨：$\max(S_T-K,0)$
空头看涨：$-\max(S_T-K,0)=\min(K-S_T,0)$
多头看跌：$\max(K-S_T,0)$
空头看跌：$-\max(K-S_T,0)=\min(S_T-K,0)$ （图 10.5 四幅折线图）

10.3 标的资产（Underlying Assets）（PDF p.239–240）

股票期权：主要在交易所交易。美国交易所包括 CBOE、NYSE Euronext（2008 年收购美国证券交易所）、International Securities Exchange、Boston Options Exchange。数千只股票有期权。一份合约对应 100 股（股票通常以 100 股为一手交易）。
外汇期权：多数在场外交易，交易所中有 NASDAQ OMX（2008 年收购费城证券交易所），提供多种货币的欧式合约，每份合约买卖 10,000 单位外币（日元为 1,000,000 单位）兑美元。
指数期权：美国最流行的有 S&P 500（SPX）、S&P 100（OEX）、Nasdaq-100（NDX）、道琼斯工业指数（DJX），均在 CBOE 交易；多为欧式，OEX 为美式。一份合约通常为指数的 100 倍，现金结算。例：行权价 980 的看涨合约在指数 992 时行权，卖方付 $(992-980)\times100=1{,}200$ 美元。
期货期权：交易所交易某期货时常同时交易其美式期权，期权寿命通常在期货交易结束前不久终止。看涨行权收益 = 期货价格 − 行权价；看跌 = 行权价 − 期货价格。

10.4 股票期权的合约规格（Specification of Stock Options）（PDF p.240–245）

美国标准交易所股票期权为美式、每份 100 股，到期日、行权价、分红处理、持仓上限等由交易所规定。

到期日：用到期月份描述（如 IBM 一月看涨）。精确到期日为到期月第三个星期五之后的星期六；最后交易日为第三个星期五；多头通常须在该星期五中部时间下午 4:30 前指示经纪人行权，经纪人须在次日晚 10:59 前完成通知交易所的手续。

到期循环：一月循环（1、4、7、10 月）、二月循环（2、5、8、11 月）、三月循环（3、6、9、12 月）。若本月到期日未到，交易本月、下月及循环中接下来两个月的期权；若已过，交易下月、下下月及循环中接下来两个月。例：IBM 属一月循环，1 月初交易 1、2、4、7 月；1 月底交易 2、3、4、7 月；5 月初交易 5、6、7、10 月。LEAPS（long-term equity anticipation securities）为长期期权，到期最长 39 个月，到期月总在 1 月。

行权价：间隔通常为 2.5、5 或 10 美元：股价 5–25 美元时间隔 2.5，25–200 美元时间隔 5，200 美元以上间隔 10。新到期日推出时通常选取最接近当前股价的两三个行权价；股价超出最高/最低行权价范围时增加新行权价。例：10 月期权开始交易时股价 84，先推出 80、85、90；股价升破 90 则可能新增 95，跌破 80 则可能新增 75。股票拆分和股票股利可能产生非标准行权价。

术语：同一股票同类型（看涨或看跌）的所有期权构成一个期权类别（option class）；同类别中到期日与行权价相同的期权构成一个期权系列（option series），即一个具体交易合约，如 IBM 200 October 2014 calls。4 个到期日 × 5 个行权价 × 2 类型 = 40 个合约。

实值（in the money）、平值（at the money）、虚值（out of the money）：看涨期权 $S>K$ 为实值、$S=K$ 平值、$S<K$ 虚值；看跌相反。无交易成本时，实值期权若此前未行权，到期必行权。（第 20.4 节给出交易员常用的另一种定义。）
内在价值（intrinsic value）：假设立即到期、必须马上决定行权时的价值，看涨 $\max(S-K,0)$，看跌 $\max(K-S,0)$。实值美式期权价值至少等于内在价值。持有人常常最好等待而非立即行权，此时期权具有时间价值（time value）。期权总价值 = 内在价值 + 时间价值。

FLEX 期权：CBOE 提供的股票与指数灵活期权，交易者可约定非标准条款（非标准行权价、到期日、欧式而非美式等），是交易所从场外市场夺回业务的尝试，设有最小规模（如 100 份合约）。

其他非标准产品（CBOE）：

ETF 期权（ETF 像股票一样交易，价格紧贴基金资产价值）；
Weeklys：周四创设、下周五到期；
二元期权（binary options）：达到行权价时固定支付 100 美元，如行权价 50 的二元看涨在到期股价高于 50 时支付 100（第 26 章）；
信用事件二元期权（CEBO）：参考实体在到期前发生信用事件（破产、未付本息、债务重组）时固定支付，到期日为某年 12 月，是一种 CDS；
DOOM 期权：深度虚值看跌期权，便宜，只在标的暴跌时支付，提供类似 CDS 的保护。

分红与拆股：早期场外期权有分红保护——宣布现金股息后，除息日行权价降低股息额。交易所期权通常不因现金股息调整，大额现金股息有时例外（Business Snapshot 10.1）。

交易所期权会因股票拆分调整。$n$ 拆 $m$（n-for-m）拆股后股价应变为原来的 $m/n$；期权行权价降为原来的 $m/n$，每份合约股数增为原来的 $n/m$，使双方头寸不变。例 10.1：以 30 美元买 100 股的看涨期权，2 拆 1 后变为以 15 美元买 200 股。

股票股利同样调整：20% 股票股利（每 5 股送 1 股）相当于 6 拆 5，股价应降至 5/6。例 10.2：以 15 美元卖 100 股的看跌期权，25% 股票股利（相当于 5 拆 4）后变为以 12 美元卖 125 股。配股（rights issues）：计算配股权的理论价格，从行权价中扣除。

Business Snapshot 10.1 Gucci 集团大额股息：现金股息很大（通常超过股价 10%）时，CBOE 的期权清算公司（OCC）委员会可决定调整条款。2003 年 5 月 28 日 Gucci 宣布每股 13.50 欧元（约 15.88 美元）股息，约为股价 16%，7 月 16 日股东大会批准。OCC 决定调整：看涨期权行权时持有人支付 100 倍行权价，得到 100 股外加 1,588 美元现金；看跌期权行权时持有人收 100 倍行权价，交付 100 股外加 1,588 美元现金——等价于行权价降低 15.88 美元。但并非总会调整：1998 年 3 月 10 日戴姆勒-奔驰意外宣布约 12% 股价的股息，德国期货交易所（Deutsche Terminbörse）选择不调整。

持仓限额与行权限额（position limits and exercise limits）：CBOE 规定投资者在市场"一侧"可持有的最大合约数——多头看涨与空头看跌视为同侧，空头看涨与多头看跌视为同侧。行权限额通常等于持仓限额，指任何个人（或一致行动的群体）在任意连续 5 个营业日内可行权的最大合约数。最大、最活跃股票的期权限额为 250,000 份，小市值股票为 200,000、75,000、50,000 或 25,000 份。目的在于防止个人或群体过度影响市场，但是否必要存在争议。

10.5 交易（Trading）（PDF p.246）

交易所过去需要大型交易大厅，现在大多已全电子化：International Securities Exchange 于 2000 年 5 月推出美国首个全电子股票期权市场；CBOE 超过 95% 的订单电子处理，其余多为需要交易员技巧的大额或复杂机构订单。

做市商（market makers）：被询价时同时报出买价（bid）和卖价（offer/ask）的人；报价时不知道询价者要买还是卖。卖价总高于买价，差额为买卖价差（bid–offer spread）。交易所设定价差上限，例如：期权价格低于 0.50 时不超过 0.25；0.50–10 美元不超过 0.50；10–20 美元不超过 0.75；20 美元以上不超过 1。做市商保证买卖单总能无延迟地按某价格成交，提供流动性；其利润来自买卖价差，并用第 19 章的方法对冲风险。

对冲平仓订单（offsetting orders）：买方可卖出相同数量期权平仓，卖方可买入相同数量平仓（与期货类似）。若成交双方都不是平仓，未平仓量（open interest）增加 1；一方平仓一方开仓，不变；双方都平仓，减少 1。

10.6 佣金（Commissions）（PDF p.246–247）

订单类型与期货类似（市价单立即执行、限价单规定最不利可接受价格等）。零售佣金差异很大，折扣经纪商低于全服务经纪商，通常为固定费用加交易金额比例。表 10.1（折扣经纪商示例）：交易金额 < 2,500 美元：20 美元 + 2%；2,500–10,000：45 美元 + 1%；> 10,000：120 美元 + 0.25%；前 5 份合约每份最多 30 美元，之后每份 20 美元；最低为第一份合约 30 美元、之后每份 2 美元。例：期权价 3 美元买 8 份合约，佣金 $20+0.02\times2{,}400=68$ 美元。

平仓需再付佣金；行权时佣金等同于买卖标的股票的佣金。例：股价 49 时买入 1 份行权价 50 的看涨，期权价 4.50，成本 450；买卖 1 份合约佣金均为 30。股价涨到 60 时行权，行权与卖股各付 0.75% 佣金，额外成本 $2\times0.0075\times60\times100=90$，总佣金 120，净利 $1{,}000-450-120=430$。若以 10 美元卖出期权而非行权，可省 60 美元佣金——佣金制度会推动散户卖出而非行权期权。

隐性成本：做市商买卖价差。若买入时 bid 4.00、offer 4.50，"公平"价格取中间价 4.25，买方和卖方各自承担 0.25/期权，即每份合约 25 美元。

10.7 保证金要求（Margin Requirements）（PDF p.246–249）

在美国买股票可向经纪人借入最多 50%，称为保证金买入（buying on margin）；股价下跌使贷款显著超过市值 50% 时触发追加保证金，不补则被卖出。

买期权：期限少于 9 个月的期权须全额付款，不能保证金买入（期权本身已含很高杠杆）；期限超过 9 个月可借入最多期权价值的 25%。

卖期权：须在保证金账户中维持资金，金额取决于头寸。

裸期权（naked option）：没有标的股票对冲头寸的期权。CBOE 对裸卖看涨的初始与维持保证金取以下两者较大值：

100% 卖出所得 + 20% 标的股价 − 虚值金额（若有）；
100% 卖出所得 + 10% 标的股价。

裸卖看跌取以下较大值：

100% 卖出所得 + 20% 标的股价 − 虚值金额（若有）；
100% 卖出所得 + 10% 行权价。

宽基指数期权中 20% 改为 15%（指数波动通常低于个股）。

例 10.3：裸卖 4 份看涨合约，期权价 5，行权价 40，股价 38（虚值 2）。计算一：$400\times(5+0.2\times38-2)=4{,}240$；计算二：$400\times(5+0.1\times38)=3{,}520$；初始保证金 4,240 美元。若为看跌（实值 2），保证金为 $400\times(5+0.2\times38)=5{,}040$。卖出所得可计入保证金账户。此后每天用当前期权市价替代卖出所得重复计算：所需保证金低于账户余额可提款，高于则追加保证金。

其他规则：CBOE 保证金手册对备兑看涨、保护性看跌、价差、组合、跨式、宽跨式等策略有专门规定（第 12 章）。例如备兑看涨（covered call）——卖出看涨且已持有可能需交付的股票，风险远低于裸卖看涨（最坏是以低于市价卖出已持有股票）；所卖期权无需保证金，但股票头寸只能借 $0.5\min(S,K)$ 而非通常的 $0.5S$。

10.8 期权清算公司（The Options Clearing Corporation）（PDF p.248–250）

OCC 对期权市场的作用类似期货清算所：保证卖方履约并记录所有多空头寸。所有期权交易须通过 OCC 会员清算，非会员经纪人须通过会员清算。会员须达到最低资本要求，并向特别基金出资，供会员违约时使用。买期权的资金须在交易后下一营业日上午存入 OCC。卖方在经纪人处维持保证金账户，经纪人在清算会员处维持，清算会员在 OCC 维持。（脚注：上述保证金是 OCC 规定的最低要求，经纪人可要求更高但不能更低；有些经纪人不允许零售客户卖出无备兑期权。）

行权流程：投资者指示经纪人行权 → 经纪人通知其清算会员 → 会员向 OCC 下达行权指令 → OCC 随机选择一个持有同一期权空头的会员 → 该会员按预定程序选择一名卖方投资者，称为被指派（assigned）：看涨则须以行权价卖股，看跌则须以行权价买股。买卖在行权指令后第三个营业日完成。行权使未平仓量减 1。到期时所有实值期权都应行权，除非交易成本高到吞掉收益；有些经纪人会在符合客户利益时自动行权，许多交易所也有到期实值自动行权规则。

10.9 监管（Regulation）（PDF p.250）

交易所和 OCC 有交易者行为规则，另有联邦与州监管机构。期权市场总体上表现出自律意愿，OCC 会员未发生重大丑闻或违约。联邦层面：SEC 监管股票、股指、货币和债券期权；CFTC 监管期货期权。主要期权市场在伊利诺伊州和纽约州，两州也执行各自关于不当交易的法律。

10.10 税收（Taxation）（PDF p.250–252）

美国一般规则（非专业交易者）：股票期权交易盈亏按资本利得/损失征税。对买方与卖方，在 (a) 期权未行权到期或 (b) 平仓时确认盈亏。若行权，期权盈亏并入股票头寸，在股票平仓时确认：看涨行权时，多方视为以"行权价 + 看涨期权价"买入股票，空方视为以"行权价 + 看涨期权价"卖出；看跌行权时，卖方视为以"行权价 − 看跌期权价"买入，买方视为以"行权价 − 看跌期权价"卖出。

洗售规则（wash sale rule）：股价从 60 跌到 40 时，投资者可能卖出后立即买回以实现 20 美元损失用于抵税。规定若在卖出前后 30 天内（共 61 天）回购，损失不可扣除；在此期间买入可获得该股票的期权或类似合约同样适用——亏损卖股并在 30 天内买看涨期权，损失不得扣除。

推定出售（constructive sales）：1997 年前，持有多头时卖空实质相同证券可推迟确认收益。1997 年《减税法案》规定，增值资产持有人做以下任一事项即视为推定出售：(1) 卖空相同或实质相同资产；(2) 签订交付相同或实质相同资产的期货/远期；(3) 建立消除几乎全部损失风险和获利机会的头寸。只降低损失风险或只降低获利机会的交易不构成推定出售，因此持股者买入实值看跌期权不会触发推定出售。

Business Snapshot 10.2 用期权进行税务筹划：A 国对利息和股息征税低、对资本利得征税高，B 国相反。让 A 国子公司合法持有证券，B 国子公司以当前价值为行权价从 A 国子公司买入看涨期权：期权存续期内证券收益在 A 国取得；价格大涨则行权，资本利得在 B 国实现；价格大跌则不行权，资本损失留在 A 国抵消其他利得。许多司法辖区正立法打击衍生品避税，进行此类交易前应研究若立法变化如何拆解及成本。

10.11 权证、员工股票期权与可转债（Warrants, Employee Stock Options, and Convertibles）（PDF p.252）

权证（warrants）：由金融机构或非金融公司发行的期权。例：金融机构发行 100 万盎司黄金的看跌权证并为其做市，行权时联系发行机构；非金融公司常在发债时发行本公司股票的看涨权证附于债券上以增加吸引力。
员工股票期权（employee stock options）：公司向员工发行的看涨期权，激励员工为股东利益行事（第 16 章），发行时通常平值，在多数国家现已计入利润表费用。
可转换债券（convertible bonds）：可在特定时间按预定比率转换为股票的债券，即内嵌公司股票看涨期权的债券。

共同特征：发行数量预先确定（交易所期权的未平仓数量随交易者开平仓变化）；行权时公司增发新股按行权价卖给持有人，流通股数增加（稀释）。交易所看涨期权行权时，空方在市场上买入已发行股票交付，与标的公司无关。

10.12 场外期权市场（Over-the-Counter Options Markets）（PDF p.252–253）

自 20 世纪 80 年代初以来场外期权市场日益重要，现已大于交易所市场。主要参与者为金融机构、公司财务主管和基金经理，外汇与利率期权尤其流行。主要缺点是卖方可能违约，买方承担信用风险，因此常要求提交抵押品（2.5 节）。场外产品常按客户需求定制行权日、行权价、合约规模，或采用非标准结构，称为奇异期权（exotic options）（第 26 章）。

小结与习题（PDF p.252–256）

小结：期权分看涨、看跌，有四种头寸；交易所规定合约规模、精确到期时间与行权价；美国股票期权每份 100 股，到期为到期月第三个星期五之后星期六的中部时间晚 10:59；行权价间隔 2.5、5 或 10 美元；现金股息通常不调整，股票股利、拆股、配股调整，以保持双方头寸不变；做市商提供流动性并赚取受交易所限制的买卖价差；卖方须维持保证金账户，层层上至 OCC；OCC 负责记录合约和处理行权；场外期权可定制。

延伸阅读：CBOE《Characteristics and Risks of Standardized Options》；CBOE《Margin Manual》。

习题题型（10.1–10.29）：画盈亏图并判断盈利/行权条件（10.1、10.2、10.9、10.10、10.12 宽跨式、10.26 领口及其加倍版本）；卖看涨 + 买看跌的头寸识别（10.3，即合成空头远期）；为何卖方需保证金（10.4）；到期循环中可交易月份（10.5、10.20）；拆股、股票股利、现金股利对条款的调整（10.6、10.17、10.24）；员工期权与资本结构（10.7）；交易所与场外货币期权的利弊（10.8）；远期 + 看跌 = 看涨的证明（10.11，平价关系的雏形）；美式 ≥ 欧式、美式 ≥ 内在价值（10.13、10.14）；卖看跌与买看涨的区别（10.15）；期权 vs 远期对冲外汇（10.16）；实值期权多是否意味股价上涨（10.18）；意外现金股息对期权价格的影响（10.19）；买卖价差的真实成本（10.21）；裸期权保证金计算（10.22、10.25）；从表 1.2/1.3 计算内在价值与时间价值（10.23）；员工期权设计的批评（10.27）；DerivaGem 计算美式看跌的内在价值与时间价值及时间价值为零的临界股价（10.28）；微软 2004 年特别股息对员工期权的调整方式与交易所方式的比较（10.29）。

第 10 章本章要点

期权是权利不是义务，买方付期权费；四种头寸的收益分别为 $\max(S_T-K,0)$、$-\max(S_T-K,0)$、$\max(K-S_T,0)$、$-\max(K-S_T,0)$。
美国股票期权：每份 100 股、美式、到期为第三个星期五后的星期六、三种到期循环、LEAPS 最长 39 个月、行权价间隔随股价分档。
期权类别/系列、实值/平值/虚值、内在价值与时间价值是基本术语；总价值 = 内在价值 + 时间价值。
现金股息一般不调整（大额特别股息例外），拆股与股票股利按 $m/n$ 调整行权价、按 $n/m$ 调整股数。
做市商价差、佣金构成交易成本；佣金结构可能使"卖出期权"优于"行权"。
裸卖期权保证金：max(期权价 + 20% 股价 − 虚值额, 期权价 + 10% 股价/行权价)；备兑看涨无需期权保证金。
OCC 随机指派行权；权证、员工期权、可转债行权会稀释股本；场外期权可定制但有对手风险。

第 10 章与量化交易的关联

回测与系统实现：期权数据处理必须正确处理到期日规则（第三个星期五、周度期权）、合约乘数、拆股/特别股息导致的非标准合约（行权价和乘数调整），否则时间序列会出现假跳变；期权链的类别/系列结构决定数据库设计。
交易成本建模：买卖价差（中间价作为公平价）、佣金分档、行权 vs 平仓的成本差异，直接影响期权策略的净回报和回测真实性；交易所价差上限可作为流动性约束。
风险与资本管理：裸期权保证金公式决定卖期权策略（如卖波动率、卖虚值看跌）的资本占用与杠杆，是收益率计算的分母；持仓/行权限额约束策略容量。
税务与制度：洗售规则、推定出售影响税后收益优化与 tax-loss harvesting 策略的实现。
公司金融类因子：权证、可转债、员工期权的稀释效应影响每股指标和可转债套利策略。

第 10 章推荐习题

10.3 / 10.11：用期权与远期构造等价头寸，为第 11 章的看涨-看跌平价做铺垫。
10.17 / 10.24：拆股、股票股利与现金股利对条款的不同处理。
10.22 / 10.25：裸期权保证金计算（含指数期权规则）。
10.23：拆分内在价值与时间价值。
10.26：领口策略的盈亏图。
10.29：特别股息调整方法的比较。

第 11 章股票期权的性质（Properties of Stock Options）（PDF p.257–276）

本章研究影响股票期权价格的因素，用无套利论证推导欧式、美式期权价格与股价之间的关系，最重要的是看涨-看跌平价（put–call parity）。并讨论美式期权是否应提前行权：无股息股票的美式看涨期权永远不应提前行权，美式看跌期权在某些情况下应提前行权；有股息时看涨与看跌都可能提前行权。本章结论不依赖股价波动的具体分布假设。

11.1 影响期权价格的因素（Factors Affecting Option Prices）（PDF p.257–261）

六个因素：当前股价 $S_0$、行权价 $K$、到期时间 $T$、股价波动率 $\sigma$、无风险利率 $r$、预期股息。图 11.1、11.2 以 $S_0=50$、$K=50$、$r=5\%$、$\sigma=30\%$、$T=1$、无股息为基准（看涨价 7.116，看跌价 4.677）展示单一因素变化的影响。

表 11.1（其他因素不变，某变量增加对期权价格的影响；+ 表示增加或不变，− 表示减少或不变，? 表示不确定）：

变量	欧式看涨	欧式看跌	美式看涨	美式看跌
当前股价	+	−	+	−
行权价	−	+	−	+
到期时间	?	?	+	+
波动率	+	+	+	+
无风险利率	+	−	+	−
未来股息	−	+	−	+

股价与行权价：看涨收益为股价超出行权价部分，故随股价上升、随行权价下降；看跌相反。
到期时间：美式期权期限越长价值至少不减——长期期权拥有短期期权的所有行权机会且更多。欧式期权通常随期限增加，但不必然：例如 1 个月与 2 个月到期的欧式看涨，若 6 周后有很大股息使股价下跌，短期期权可能更值钱（假设改变期限时股息及其时间不变）。
波动率：粗略地说是对未来股价变动不确定性的度量（精确定义见第 15 章）。波动率上升使股价大涨或大跌的可能都增加；对持股者两者相互抵消，但期权持有者的下行损失以期权费为限，只受益于有利方向，因此看涨和看跌都随波动率上升而增值。
无风险利率：利率上升时投资者要求的股票预期收益上升，同时期权持有人未来现金流的现值下降，综合效果使看涨增值、看跌贬值。注意这是在股价不变的假设下；实际中利率上升时股价往往下跌，综合效果可能使看涨贬值、看跌增值，反之亦然。
股息：股息使除息日股价下跌，对看涨不利、对看跌有利；期权价值与期权寿命内除息的股息大小对看涨负相关、对看跌正相关。

11.2 假设与记号（Assumptions and Notation）（PDF p.261）

假设存在某些市场参与者（如大型投行）满足：(1) 无交易成本；(2) 所有交易净利润适用相同税率；(3) 可按无风险利率借贷；且他们会迅速利用套利机会，故可假设不存在套利机会。

记号：$S_0$ 当前股价；$K$ 行权价；$T$ 到期时间；$S_T$ 到期股价；$r$ 期限 $T$ 的连续复利无风险利率；$C$、$P$ 为买/卖一股的美式看涨/看跌价值；$c$、$p$ 为欧式看涨/看跌价值。$r$ 为名义利率而非实际利率，并假设 $r>0$（否则无风险投资不优于现金）。

11.3 期权价格的上下界（Upper and Lower Bounds for Option Prices）（PDF p.261–264）

这些界只依赖 $r>0$，不依赖其他因素的假设；违背即存在套利。

上界：

c\le S_0,\quad C\le S_0 \tag{11.1}

看涨期权不可能比股票更值钱，否则买股票卖期权即可无风险获利。

P\le K \tag{11.2}

美式看跌最多值 $K$（股价最低为零）。

p\le Ke^{-rT} \tag{11.3}

欧式看跌到期最多值 $K$，故今天最多值其现值；否则卖出期权并把所得按无风险利率投资即可套利。

无股息股票欧式看涨的下界：$S_0-Ke^{-rT}$。

数值例：$S_0=20$、$K=18$、$r=10\%$、$T=1$，下界 $20-18e^{-0.1}=3.71$。若看涨价为 3.00：卖空股票、买入看涨，得现金 17.00，按 10% 投资 1 年得 $17e^{0.1}=18.79$。到期股价 > 18 时行权以 18 买股平空头，获利 0.79；股价 < 18 时在市场买股平仓，获利更多（如股价 17 时获利 1.79）。
正式论证：组合 A = 一份欧式看涨 + 到期支付 $K$ 的零息债券；组合 B = 一股股票。到期时 A 值 $\max(S_T,K)$，B 值 $S_T$，A 总不低于 B，故今天 $c+Ke^{-rT}\ge S_0$。又期权价值不能为负： $c\ge\max(S_0-Ke^{-rT},0) \tag{11.4}$
例 11.1：$S_0=51$、$K=50$、$T=0.5$、$r=0.12$，下界 $51-50e^{-0.06}=3.91$。

无股息股票欧式看跌的下界：$Ke^{-rT}-S_0$。

数值例：$S_0=37$、$K=40$、$r=5\%$、$T=0.5$，下界 $40e^{-0.025}-37=2.01$。若看跌价 1.00：借 38 买入看跌和股票，6 个月后需还 $38e^{0.025}=38.96$。股价 < 40 时行权以 40 卖股，获利 1.04；股价 > 40 时放弃期权在市场卖股获利更多（如 42 时获利 3.04）。
正式论证：组合 C = 一份欧式看跌 + 一股；组合 D = 到期支付 $K$ 的零息债券。到期 C 值 $\max(S_T,K)$，D 值 $K$，故 $p+S_0\ge Ke^{-rT}$： $p\ge\max(Ke^{-rT}-S_0,0) \tag{11.5}$
例 11.2：$S_0=38$、$K=40$、$T=0.25$、$r=0.10$，下界 $40e^{-0.025}-38=1.01$。

11.4 看涨-看跌平价（Put–Call Parity）（PDF p.264–268）

用组合 A（欧式看涨 + 面值 $K$ 零息债）与组合 C（欧式看跌 + 一股），二者行权价、期限相同，股票无股息。到期时（表 11.2）：$S_T>K$ 时 A 值 $(S_T-K)+K=S_T$，C 值 $0+S_T=S_T$；$S_T<K$ 时 A 值 $0+K=K$，C 值 $(K-S_T)+S_T=K$。两者都等于 $\max(S_T,K)$，欧式期权不能提前行权，故今天价值必须相等：

c+Ke^{-rT}=p+S_0 \tag{11.6}

这就是看涨-看跌平价：知道一个就能推出相同行权价、到期日的另一个。

套利示例（表 11.3）：$S_0=31$，$K=30$，$r=10\%$，3 个月期，看涨价 3。

情形一：看跌价 2.25。$c+Ke^{-rT}=3+30e^{-0.1\times3/12}=32.26$，$p+S_0=33.25$，组合 C 高估。买看涨、卖看跌、卖空股票，得 $-3+2.25+31=30.25$，投资 3 个月得 $30.25e^{0.025}=31.02$。到期无论看涨被行权（股价 > 30）还是看跌被行权（股价 < 30），都以 30 买入一股平空头，净利 1.02。
情形二：看跌价 1。$p+S_0=32.00<32.26$，组合 A 高估。卖看涨、买看跌、买股票，初始投资 $31+1-3=29$，借款到期还 $29e^{0.025}=29.73$。到期总以 30 卖出股票，净利 0.27。

Business Snapshot 11.1 平价关系与资本结构：Black、Scholes、Merton 在 20 世纪 70 年代初指出，可用期权刻画公司资本结构（现被金融机构广泛用于评估信用风险）。公司资产由 5 年后到期、本金 $K$ 的零息债和股权融资，无股息。5 年后资产 $A_T>K$ 时股东偿债，否则宣布破产、债权人拥有公司。股权价值 $\max(A_T-K,0)$，即以公司资产为标的、行权价 $K$ 的 5 年欧式看涨期权 $c$；债权人得 $\min(A_T,K)=K-\max(K-A_T,0)$，即今天价值 $\text{PV}(K)-p$。资产等于融资工具价值之和：$A_0=c+[\text{PV}(K)-p]$，整理得 $c+\text{PV}(K)=p+A_0$，正是对公司资产的看涨-看跌平价。（这是 Merton 结构化信用模型的基础。）

美式期权：平价只对欧式成立。无股息时可证明（习题 11.18）：

S_0-K\le C-P\le S_0-Ke^{-rT} \tag{11.7}

例 11.3：无股息股票美式看涨，$K=20$，5 个月，价 1.50；$S_0=19$，$r=10\%$。$19-20\le C-P\le19-20e^{-0.1\times5/12}$，即 $1.00\ge P-C\ge0.18$，故美式看跌价在 1.68 与 2.50 之间。

11.5 无股息股票的看涨期权（Calls on a Non-Dividend-Paying Stock）（PDF p.268–269）

结论：无股息股票的美式看涨期权永远不应提前行权。

直观例：1 个月到期、股价 70、行权价 40 的深度实值美式看涨。若投资者打算持股超过 1 个月，立即行权不是最佳：保留期权到月末再行权，40 美元可晚一个月支付，赚取利息；股票无股息，不损失任何收入；而且股价仍有（哪怕很小的）可能跌破 40，届时不行权会庆幸。若投资者认为股票高估、想行权后卖股，则应卖出期权而非行权——总有想持股的投资者愿意买（否则股价不会是 70），且期权售价高于内在价值 30。（脚注：也可保留期权并卖空股票，锁定比 10 更好的利润。）

正式论证：由 (11.4)，$c\ge S_0-Ke^{-rT}$；美式拥有欧式的全部行权机会，$C\ge c$，故 $C\ge S_0-Ke^{-rT}$。因 $r>0$，$T>0$ 时 $C>S_0-K$，即到期前 $C$ 总大于内在价值；而若某时提前行权是最优的，$C$ 那时应等于内在价值，矛盾。

两个原因总结：(1) 保险作用——持有看涨期权而非股票，相当于对股价跌破行权价投了保，一旦行权保险就消失；(2) 货币时间价值——行权价付得越晚越好。

界：因不提前行权，$C=c$，下界与上界为 $\max(S_0-Ke^{-rT},0)$ 与 $S_0$（图 11.3）。图 11.4：看涨价格作为 $S_0$ 的函数是一条凸曲线，位于 $\max(S_0-Ke^{-rT},0)$ 之上；$r$、$T$ 或波动率增加时曲线上移。

11.6 无股息股票的看跌期权（Puts on a Non-Dividend-Paying Stock）（PDF p.269–271）

无股息股票的美式看跌期权提前行权可能是最优的；在任何时刻，只要足够深度实值就应提前行权。

极端例：行权价 10，股价几乎为零。立即行权得 10；等待的收益不可能超过 10（股价不能为负），且今天的 10 优于将来的 10，因此应立即行权。看跌与股票组合同样提供保险（防股价跌破某水平），但与看涨不同，放弃保险以立即拿到行权价可能更优。一般地，$S_0$ 越低、$r$ 越高、波动率越低，提前行权越有吸引力。

界：欧式看跌 $\max(Ke^{-rT}-S_0,0)\le p\le Ke^{-rT}$；美式看跌由于随时可行权必有 $P\ge\max(K-S_0,0)$（比欧式下界更强），结合 (11.2)：

\max(K-S_0,0)\le P\le K

（图 11.5）。

图 11.6：美式看跌价格曲线在 $S_0$ 足够小时（点 A 以下）与内在价值 $K-S_0$ 重合（此时提前行权最优）；$r$ 下降、波动率上升、$T$ 增加时曲线向箭头方向（上）移动。

因有时提前行权可取，美式看跌总比相应欧式看跌更值钱；又因美式看跌有时恰等于内在价值，欧式看跌有时低于其内在价值。欧式看跌曲线位于美式曲线之下（图 11.7），其等于内在价值的点 B 对应的股价高于点 A；点 E 处 $S_0=0$，欧式看跌价为 $Ke^{-rT}$。

11.7 股息的影响（Effect of Dividends）（PDF p.272–273）

假设期权寿命内的股息已知（交易所期权多数寿命不到一年，此假设通常合理），记 $D$ 为期权寿命内股息的现值，股息视为在除息日发生。

下界：重新定义组合 A = 欧式看涨 + 现金 $D+Ke^{-rT}$，组合 B = 一股：

c\ge\max(S_0-D-Ke^{-rT},0) \tag{11.8}

组合 C = 欧式看跌 + 一股，组合 D = 现金 $D+Ke^{-rT}$：

p\ge\max(D+Ke^{-rT}-S_0,0) \tag{11.9}

提前行权：有股息时美式看涨可能在除息日前立即行权是最优的，其他时间行权都不是最优（详见 15.12 节）。

有股息的平价：

c+D+Ke^{-rT}=p+S_0 \tag{11.10}

美式期权的不等式（习题 11.19）：

S_0-D-K\le C-P\le S_0-Ke^{-rT} \tag{11.11}

小结与习题（PDF p.272–276）

小结：六个因素中，看涨通常随股价、期限、波动率、利率上升而增值，随行权价和预期股息上升而贬值；看跌通常随行权价、期限、波动率、预期股息上升而增值，随股价和利率上升而贬值。不需波动率假设即可得出一些结论，如看涨价低于股价、看跌价低于行权价。欧式看涨下界 $\max(S_0-Ke^{-rT},0)$，欧式看跌下界 $\max(Ke^{-rT}-S_0,0)$；有股息时分别为 $\max(S_0-D-Ke^{-rT},0)$ 与 $\max(Ke^{-rT}+D-S_0,0)$。平价关系 $c+Ke^{-rT}=p+S_0$，有股息时 $c+D+Ke^{-rT}=p+S_0$；美式期权不满足平价，但可得 $C-P$ 的上下界。第 15 章将加入股价概率假设得到精确定价公式，第 13、21 章用数值方法为美式期权定价。

延伸阅读：Broadie & Detemple (1996) 美式期权的新界与近似；Merton (1974) 公司债定价；Merton (1973) 平价关系评论；Stoll (1969) 看涨看跌价格关系。

习题题型（11.1–11.30）：列举六因素（11.1）；计算下界（11.2、11.3、11.9、11.10）；无股息美式看涨不提前行权的两个理由（11.4，其一须在零利率下仍成立——保险价值）；美式看跌提前行权是时间价值与保险价值的权衡（11.5、11.13）；有股息美式看涨不低于内在价值而欧式不一定（11.6）；由平价求看跌价（11.7、11.14 有两次股息）；为何平价论证不适用美式（11.8）；识别下界被违背时的套利（11.11 有股息看涨、11.12 看跌、11.15、11.17、11.24）；美式 $C-P$ 界的计算与证明（11.16、11.18、11.19）；员工期权不可转让对提前行权的影响（11.20）；DerivaGem 验证图形（11.21、11.28、11.29 求点 B）；在只有看涨交易时合成看跌（11.22）；由平价反推隐含无风险利率（11.23）；看涨价格对行权价的凸性 $c_2\le0.5(c_1+c_3)$ 及看跌对应结论（11.25、11.26，即蝶式价差非负）；高杠杆公司的所有者头寸以期权表示及增加其价值的方法（11.27，即资产替代/提高波动率）；欧式看跌价格随期限增加而下降的例子（11.30）。

第 11 章本章要点

表 11.1 总结了六因素的方向；欧式期权对期限的依赖可能不单调（大额股息、深度实值看跌）。
界：$c\le S_0$，$P\le K$，$p\le Ke^{-rT}$；$c\ge\max(S_0-D-Ke^{-rT},0)$，$p\ge\max(D+Ke^{-rT}-S_0,0)$，美式看跌 $P\ge\max(K-S_0,0)$。
看涨-看跌平价 $c+D+Ke^{-rT}=p+S_0$，由"两个组合到期价值相同"的复制论证得出；违背即可构造无风险套利。美式只有不等式 $S_0-D-K\le C-P\le S_0-Ke^{-rT}$。
无股息美式看涨不应提前行权（$C=c$），理由是保险价值与延迟付款的时间价值；美式看跌在深度实值时应提前行权，$P>p$，欧式看跌可低于内在价值。
有股息时美式看涨可能在除息日前提前行权。
公司股权 = 资产上的看涨期权，债权 = 无风险债 − 看跌期权（Merton 模型）。

第 11 章与量化交易的关联

定价与数据校验：上下界和平价关系是期权数据清洗与报价合理性检查的第一道关口；回测中违反平价或下界的报价往往是陈旧报价或数据错误，而非真实套利机会。
隐含参数提取：用平价可从期权链反推隐含股息、隐含借券费（hard-to-borrow 股票的平价偏离）和隐含利率（习题 11.23），这些是量化期权策略中的常用信号。
套利与盒式价差：平价套利是做市和统计套利的基础；美式期权的提前行权与股息风险（股息套利、除息前行权）是实盘中常见的风险点。
信用风险建模：Merton 结构化模型（Business Snapshot 11.1）是 KMV 违约距离、股票—信用相对价值策略和资本结构套利的理论基础。
波动率交易：期权价值随波动率单调上升是"交易波动率"的前提，看涨价格对行权价的凸性（11.25）对应隐含分布的非负性与蝶式价差无套利约束，是构建无套利波动率曲面的必要条件。

第 11 章推荐习题

11.4 / 11.5 / 11.13：提前行权的直觉。
11.11 / 11.12 / 11.24：识别并执行违背下界/平价的套利。
11.14 / 11.15：含离散股息的平价与套利。
11.18 / 11.19：证明美式期权的 $C-P$ 不等式。
11.23：由平价反推隐含利率。
11.25 / 11.26：期权价格对行权价的凸性（无套利约束）。
11.27：用期权语言表述股东与债权人，理解资产替代问题。

第 12 章期权交易策略（Trading Strategies Involving Options）（PDF p.277–296）

第 10 章讨论单一期权的盈亏模式，本章研究期权与其他资产组合的性质：(a) 期权 + 零息债券；(b) 期权 + 标的资产；(c) 同一标的上的两个或多个期权。交易者的选择取决于其对价格走势的判断和风险承受意愿：极度厌恶风险但有方向观点的人可选保本票据（12.1）；愿多承担一些风险可选牛市/熊市价差（12.3）；再多则直接买看涨/看跌。预期大幅波动但方向不明：风险厌恶者可选反向蝶式价差（小赚小亏），激进者选跨式或宽跨式（12.4）。其他策略见后续章节：第 17 章指数期权管理股票组合风险与区间远期（range forward）对冲外汇；第 19 章希腊字母风险管理；第 26 章奇异期权与静态复制。

12.1 保本票据（Principal-Protected Notes）（PDF p.277–279）

期权常用于为零售市场构造保本票据（principal-protected notes）：收益取决于股票、指数等风险资产的表现，但初始本金无风险，吸引保守型投资者。

例 12.1：3 年期利率 6%（连续复利），$1{,}000e^{-0.06\times3}=835.27$ 美元 3 年后增长到 1,000，差额 164.73。某股票组合价值 1,000，股息率 1.5%。若 3 年期平值欧式看涨期权价格低于 164.73（DerivaGem 显示组合波动率低于约 15% 时成立），银行可向客户提供 1,000 美元的投资：(1) 本金 1,000 的 3 年零息债券；(2) 该组合的 3 年平值欧式看涨期权。组合上涨时投资者得到 1,000 投资于组合后的价值（零息债支付 1,000，恰等于行权价）；组合下跌时期权作废，零息债保证收回 1,000。最坏情况只是损失了这段时间的利息、股息等收入。变体：看跌型——零息债 + 看跌期权，适合看空者。

对散户是否划算：银行总会嵌入利润（零息债 + 期权成本低于 1,000）；投资者还承担发行银行到期无力支付的风险（2008 年雷曼倒闭时一些散户在其保本票据上亏损）。有时散户自行买期权、余款投无风险资产更好；但散户面对的期权买卖价差更宽、能拿到的利率更低，因此银行也可能在赚钱的同时为投资者增加价值。

对银行的可行性：关键在于利率水平和波动率。利率 3% 时只有 $1{,}000-1{,}000e^{-0.03\times3}=86.07$ 可买期权；利率 6% 但波动率 25% 时期权约 221 美元，均无法盈利。可行的调整：提高行权价（如组合需涨 15% 投资者才获利）；给收益设上限（相当于给投资者一个牛市价差）；收益取决于平均价格而非期末价格；设置敲出障碍等。延长期限也常有效：利率 3%、波动率 15%、股息率 1.5% 时，3 年平值期权约 119 美元 > 可用资金 86.07；10 年期权约 217 美元 < 可用资金 $1{,}000-1{,}000e^{-0.3}=259.18$，可行；20 年期权约 281 美元，远小于可用资金 451.19，更有利可图。股息率是关键变量：越高对银行越有利；股息率为零时，无论期限多长都不可能盈利（由式 11.4，$c\ge S_0-Ke^{-rT}$，即平值看涨价不低于零息债节省的资金）。

12.2 期权与标的资产的组合（Trading an Option and the Underlying Asset）（PDF p.278–281）

假设标的为股票，利润 = 最终收益 − 初始成本（不折现）。图中虚线为单个证券的盈亏，实线为组合的盈亏（图 12.1）：

(a) 备兑看涨（writing a covered call）：多头股票 + 空头看涨，股票头寸"覆盖"股价大涨时空头看涨的支付。盈亏形状类似空头看跌。
(b) 反向备兑：空头股票 + 多头看涨，形状类似多头看跌。
(c) 保护性看跌（protective put）：多头看跌 + 多头股票，形状类似多头看涨。
(d) 反向保护性看跌：空头看跌 + 空头股票，形状类似空头看涨。

用平价关系解释：

p+S_0=c+Ke^{-rT}+D \tag{12.1}

多头看跌 + 多头股票 = 多头看涨 + 现金 $Ke^{-rT}+D$，所以 (c) 像多头看涨；变形为 $S_0-c=Ke^{-rT}+D-p$：多头股票 + 空头看涨 = 空头看跌 + 现金，所以 (a) 像空头看跌。

12.3 价差（Spreads）（PDF p.280–288）

**价差（spread）**策略指持有两个或多个同类型期权（都是看涨或都是看跌）的头寸。

牛市价差（bull spread）：买入行权价 $K_1$ 的欧式看涨，卖出相同到期日、更高行权价 $K_2$ 的欧式看涨（图 12.2）。看涨价格随行权价递减，卖出的期权价值较低，故用看涨构造需要初始投资。收益（表 12.1）：$S_T\le K_1$ 时 0；$K_1<S_T<K_2$ 时 $S_T-K_1$；$S_T\ge K_2$ 时 $K_2-K_1$。牛市价差同时限制上行收益和下行风险——相当于持有行权价 $K_1$ 的看涨，并通过卖出 $K_2$ 看涨放弃部分上行以换取其期权费。三种类型：(1) 两个看涨都虚值——最激进，成本很低，以小概率获得较高收益 $K_2-K_1$；(2) 一个实值一个虚值；(3) 两个都实值——最保守。

例 12.2：以 3 美元买 3 个月行权价 30 的看涨，以 1 美元卖 3 个月行权价 35 的看涨，成本 2。利润：$S_T\le30$ 时 −2；$30<S_T<35$ 时 $S_T-32$；$S_T\ge35$ 时 3。

用看跌构造牛市价差：买低行权价看跌、卖高行权价看跌（图 12.3）。与看涨构造不同，期初有正现金流入（忽略保证金），而收益为负或零。

熊市价差（bear spread）：预期股价下跌。用看跌构造：买入较高行权价 $K_2$ 的看跌，卖出较低行权价 $K_1$ 的看跌（图 12.4），需初始投资。收益（表 12.2）：$S_T\le K_1$ 时 $K_2-K_1$；$K_1<S_T<K_2$ 时 $K_2-S_T$；$S_T\ge K_2$ 时 0。

例 12.3：以 3 美元买行权价 35 的看跌，以 1 美元卖行权价 30 的看跌，成本 2。利润：$S_T\le30$ 时 +3；$30<S_T<35$ 时 $33-S_T$；$S_T\ge35$ 时 −2。

熊市价差同样限制上行与下行。也可用看涨构造：买高行权价看涨、卖低行权价看涨（图 12.5），期初现金流入。

盒式价差（box spread）：行权价 $K_1$、$K_2$ 的牛市看涨价差 + 相同行权价的熊市看跌价差。收益恒为 $K_2-K_1$（表 12.3：$S_T\le K_1$ 时 $0+(K_2-K_1)$；中间时 $(S_T-K_1)+(K_2-S_T)$；$S_T\ge K_2$ 时 $(K_2-K_1)+0$），故价值必为 $(K_2-K_1)e^{-rT}$，否则有套利：价格过低时买入盒式（买 $K_1$ 看涨、买 $K_2$ 看跌、卖 $K_2$ 看涨、卖 $K_1$ 看跌）；过高时卖出盒式（反向操作）。盒式价差套利只对欧式期权有效。

Business Snapshot 12.1 盒式价差亏钱：股价 50、波动率 30%、无股息、无风险利率 8%。有人提议你在 CBOE 以 5.10 美元卖出行权价 55 与 60 的 2 个月盒式价差。理论上收益确定为 5，现值 $5e^{-0.08\times2/12}=4.93$，以 5.10 卖出看似稳赚。但 CBOE 股票期权是美式的。DerivaGem 价格：看涨 60：欧式/美式均 0.26；看涨 55：均 0.96；看跌 60：欧式 9.46、美式 10.00；看跌 55：欧式 5.23、美式 5.44。牛市看涨价差 $0.96-0.26=0.70$（无股息时欧美式看涨相同）；熊市看跌价差欧式 $9.46-5.23=4.23$、美式 $10.00-5.44=4.56$。欧式盒式合计 4.93，美式合计 5.26。以 5.10 卖出美式盒式不是好交易——你卖出的行权价 60 看跌深度实值，几乎会被立即行权。

蝶式价差（butterfly spread）：用三个行权价。买入较低行权价 $K_1$ 的看涨，买入较高行权价 $K_3$ 的看涨，卖出两份居中行权价 $K_2=(K_1+K_3)/2$ 的看涨，$K_2$ 通常接近当前股价（图 12.6）。股价在 $K_2$ 附近时获利，大幅变动时小亏，适合认为股价不会大幅波动的投资者，初始投资小。收益（表 12.4）：$S_T\le K_1$ 时 0；$K_1<S_T\le K_2$ 时 $S_T-K_1$；$K_2<S_T<K_3$ 时 $K_3-S_T$；$S_T\ge K_3$ 时 0。

例：股价 61，6 个月欧式看涨价格：行权价 55 为 10，60 为 7，65 为 5。买 55 和 65 各一份、卖两份 60，成本 $10+5-2\times7=1$。6 个月后股价高于 65 或低于 55 时收益为零，净亏 1；股价在 56 到 64 之间获利；股价恰为 60 时最大利润 4。

也可用看跌构造：买低、高行权价看跌各一份，卖两份中间行权价看跌（图 12.7）；由平价可证两种构造的初始投资相同。卖出（做空）蝶式：卖出 $K_1$、$K_3$，买入两份 $K_2$，股价大幅变动时有适度利润。

日历价差（calendar spread）：行权价相同、到期日不同。卖出某行权价的欧式看涨，买入相同行权价、更长期限的欧式看涨，通常需初始投资。盈亏图惯例画在短期期权到期时、假设长期期权届时平仓（图 12.8），形状与蝶式类似：到期时股价接近行权价则获利，远高于或远低于行权价则亏损。解释：股价很低时，短期期权作废，长期期权接近零，亏损约为建仓成本；股价很高时，短期期权需付 $S_T-K$，长期期权价值约 $S_T-K$，亏损同样约为建仓成本；股价接近 $K$ 时，短期期权几乎不需支付，长期期权仍有相当价值，净利显著。中性日历价差选接近当前股价的行权价，**看涨（bullish）**的选较高行权价，**看跌（bearish）**的选较低行权价。也可用看跌构造（买长期看跌、卖短期看跌，图 12.9）。反向日历价差：买短期、卖长期，股价远离行权价时小赚，接近时亏损。

对角价差（diagonal spread）：牛市、熊市价差是同到期日不同行权价，日历价差是同行权价不同到期日；对角价差的行权价和到期日都不同，盈亏模式更丰富。

12.4 组合（Combinations）（PDF p.288–291）

**组合（combination）**同时持有同一股票的看涨和看跌期权。

跨式（straddle）：买入相同行权价、相同到期日的欧式看涨和看跌（图 12.10）。到期股价接近行权价时亏损，任一方向大幅变动时显著获利。收益（表 12.5）：$S_T\le K$ 时 $K-S_T$；$S_T>K$ 时 $S_T-K$，即 $|S_T-K|$。适合预期大幅变动但方向不明的投资者。例：股价 69，买 3 个月行权价 70 的看涨（4 美元）和看跌（3 美元），成本 7。股价保持 69 时亏 6（看跌值 1）；股价 70 时亏 7（最坏）；股价涨到 90 时赚 13；跌到 55 时赚 8。也称底部跨式（bottom straddle）或跨式买入（straddle purchase）。反向为顶部跨式（top straddle）或卖出跨式（straddle write）——卖出看涨与看跌，股价接近行权价时获利，但大幅变动时损失无限，风险极高。

Business Snapshot 12.2 如何通过跨式赚钱：公司面临收购要约或重大诉讼结果即将公布，预期股价大幅变动，跨式看似自然。但若你的看法与市场其他参与者一致，期权价格已反映这一预期，其期权会显著贵于没有预期跳跃的类似股票，V 形盈亏曲线整体下移，需要更大的股价变动才能获利。要使跨式有效，你必须相信股价会大幅变动，且这一看法不同于多数投资者——市场价格包含了参与者的信念，任何策略想赚钱都必须持有与市场不同的观点并且正确。

条式与带式（strips and straps）：条式（strip）= 一份看涨 + 两份看跌（同行权价、同到期），押注大幅变动且认为下跌可能性更大；带式（strap）= 两份看涨 + 一份看跌，押注大幅变动且认为上涨可能性更大（图 12.11）。

宽跨式（strangle），也称底部垂直组合（bottom vertical combination）：买入相同到期日、不同行权价的欧式看跌和看涨，看涨行权价 $K_2$ 高于看跌行权价 $K_1$（图 12.12）。收益（表 12.6）：$S_T\le K_1$ 时 $K_1-S_T$；$K_1<S_T<K_2$ 时 0；$S_T\ge K_2$ 时 $S_T-K_2$。与跨式相比，股价需要变动得更远才能获利，但股价停在中间时的下行风险较小；两行权价相距越远，下行风险越小，获利所需变动越大。卖出宽跨式称为顶部垂直组合（top vertical combination），适合认为股价不会大幅变动的投资者，但同样有无限潜在损失。

12.5 其他收益形态（Other Payoffs）（PDF p.291–292）

若对到期日 $T$ 的每个可能行权价都有欧式期权，理论上可构造到期日任意收益函数。最简单的例子是蝶式价差：买 $K_1$、$K_3$，卖两份 $K_2$（$K_3-K_2=K_2-K_1$），收益呈"尖峰（spike）"（图 12.13）；$K_1$ 与 $K_3$ 越接近，尖峰越小。通过组合大量很小的尖峰，可以任意精度逼近任何收益函数。（这是静态复制和 Breeden–Litzenberger 由期权价格提取风险中性密度的思想雏形。）

小结与习题（PDF p.292–296）

小结：保本票据由零息债和欧式看涨构成，发行人保证返还本金。单一期权与股票的组合：备兑看涨（买股票卖看涨）类似卖看跌，保护性看跌（买看跌买股票）类似买看涨。价差：牛市价差（买低行权价看涨/看跌、卖高行权价）、熊市价差（买高行权价看跌/看涨、卖低行权价）、蝶式（买高低两端、卖两份中间）、日历（卖短期买长期）、对角（行权价与到期日都不同）。组合：跨式（同行权价同到期的看涨 + 看跌）、条式（一看涨两看跌）、带式（两看涨一看跌）、宽跨式（不同行权价的看涨 + 看跌）。期权能产生的收益形态远不止这些。

延伸阅读：Bharadwaj & Wiggins (2001) S&P 指数 LEAPS 市场的盒式价差与平价检验；Chaput & Ederington (2003) 期权价差与组合交易；McMillan《Options as a Strategic Investment》；Rendleman (2001) 期望效用视角下的备兑看涨；Ronn & Ronn (1989) 盒式价差套利条件。

习题题型（12.1–12.28）：保护性看跌及其等价看涨头寸（12.1）；熊市价差的两种构造（12.2）、激进熊市价差（12.9）；蝶式价差的适用条件与构造及盈亏表（12.3、12.4、12.22，用看跌）；反向日历价差（12.5）；宽跨式与跨式的区别及盈亏（12.6、12.7、12.17 看跌行权价高于看涨时的情形、12.21 卖出宽跨式的盈利区间）；平价关系推出看涨/看跌构造的牛市价差和蝶式价差成本关系（12.8、12.11）；用看跌构造牛/熊市价差的盈亏表（12.10、12.13、12.20）；跨式盈亏与亏损区间（12.12）；预期大跳跃时的六种策略比较（12.14）；用期权合成远期（12.15）；盒式价差 = 一个多头远期 + 一个空头远期（12.16）；DerivaGem 计算外汇蝶式价差成本（12.18）、各类价差/组合成本（12.25）、保本票据的盈利所需期限（12.19）、牛市价差保本票据的最大行权价比率（12.28）；对角价差盈亏图（12.23）；股票与不同数量空头看涨组合（12.24）；多头宽跨式 + 空头跨式 = 卖出蝶式类（12.26）；买高行权价看涨 + 卖低行权价看跌（风险逆转），两行权价相等时成为远期（12.27）。

第 12 章本章要点

保本票据 = 零息债 + 看涨期权，可行性取决于利率、波动率、股息率和期限；低利率高波动下可通过提高行权价、设上限、平均价、障碍或延长期限来实现。
期权 + 股票：备兑看涨 ≈ 卖看跌，保护性看跌 ≈ 买看涨，由平价关系解释。
价差：牛市/熊市价差限定上下行；盒式价差收益确定为 $K_2-K_1$，价值为其现值，但仅对欧式成立（美式提前行权会破坏套利）；蝶式价差押注低波动；日历价差押注到期时价格接近行权价；对角价差更灵活。
组合：跨式、条式、带式、宽跨式押注大幅波动；卖出跨式/宽跨式有无限损失风险。
任何策略获利的前提是与市场共识不同且判断正确——预期中的事件已反映在期权价格中。
足够多的行权价下，蝶式"尖峰"可以拼出任意到期收益函数。

第 12 章与量化交易的关联

策略构建与回测：这些价差与组合是期权策略库的基本模块；回测时需按各腿逐笔计算成交价（买卖价差在多腿策略中被放大）、保证金（组合保证金规则）和到期/提前行权处理。
波动率交易：跨式、宽跨式是做多/做空波动率的经典工具；蝶式、日历价差分别对应对隐含分布峰度和期限结构的押注。Business Snapshot 12.2 提醒：事件驱动的波动率交易必须比较隐含波动率与对实际波动的独立预测，这正是"隐含波动率 vs 实现波动率"类信号的核心。
无套利约束与数据检验：盒式价差（隐含融资利率）、蝶式非负（价格对行权价凸）、日历价差非负等约束用于清洗期权数据、构建无套利波动率曲面；盒式价差还常被用作隐含的无风险融资利率。
结构化产品：保本票据的定价分析展示了利率、波动率、股息对结构化产品可行性的影响，是理解零售结构化产品、雪球类产品对冲盘的入门。
静态复制与风险中性密度：用蝶式尖峰合成任意收益是静态复制和从期权价格中提取风险中性分布（Breeden–Litzenberger）的思想基础，常用于事件概率估计与尾部风险定价。

第 12 章推荐习题

12.4 / 12.22：蝶式价差构造与盈亏表。
12.8 / 12.11：用平价证明不同构造的价差成本关系。
12.14：大跳跃预期下的多策略比较。
12.16：盒式价差 = 两个方向相反的合成远期，理解其套利本质。
12.19 / 12.28：保本票据可行性的定量分析。
12.24 / 12.26 / 12.27：多头寸组合的收益形态识别。

第 13 章二叉树（Binomial Trees）（PDF p.297–324）

**二叉树（binomial tree）是表示期权寿命内股价各种可能路径的图，基本假设是股价服从随机游走：每个时间步以一定概率上涨某个百分比、以一定概率下跌某个百分比。时间步趋于零时，该模型与第 15 章的 Black–Scholes–Merton（BSM）模型等价；附录证明欧式期权的二叉树价格收敛到 BSM 价格。本章的重要性：(1) 阐明期权估值中的无套利论证；(2) 介绍广泛用于美式期权等衍生品的二叉树数值方法；(3) 引入风险中性定价（risk-neutral valuation）**原理。构树方法来自 Cox、Ross、Rubinstein（1979）的重要论文（CRR），更多数值细节见第 21 章。

13.1 单步二叉树模型与无套利论证（A One-Step Binomial Model and a No-Arbitrage Argument）（PDF p.297–300）

数值例：股价 20，3 个月后为 22 或 18；为行权价 21 的 3 个月欧式看涨定价。期权到期价值：股价 22 时为 1，18 时为 0（图 13.1）。

思路：只需假设无套利。构造股票与期权的组合，使 3 个月后价值确定；无风险组合必须赚取无风险利率，由此求出建仓成本，从而得到期权价格。两种证券、两种结果，总能构造无风险组合。

组合：多头 $\Delta$ 股、空头 1 份看涨。股价上涨时价值 $22\Delta-1$，下跌时 $18\Delta$。令二者相等：$22\Delta-1=18\Delta$，$\Delta=0.25$。此时两种情形组合价值都是 4.5。无风险利率 12% 时，今天价值 $4.5e^{-0.12\times3/12}=4.367$。今天组合价值又是 $20\times0.25-f=5-f$，故 $f=0.633$。若期权价高于 0.633，组合建仓成本低于 4.367，收益高于无风险利率；若低于 0.633，做空组合就能以低于无风险利率的成本借钱。实践中可理解为卖 400 份期权、买 100 股。每卖一份期权需买 $\Delta$ 股形成无风险组合，$\Delta$ 在对冲中至关重要（第 19 章）。

一般化：股价 $S_0$，期权（或任何依赖股价的衍生品）价格 $f$，期限 $T$。股价上涨到 $S_0u$（$u>1$）或下跌到 $S_0d$（$d<1$），对应期权收益 $f_u$、$f_d$（图 13.2）。组合（多 $\Delta$ 股、空 1 份期权）在两种情形价值相等：$S_0u\Delta-f_u=S_0d\Delta-f_d$，

\Delta=\frac{f_u-f_d}{S_0u-S_0d} \tag{13.1}

即在 $T$ 时刻两节点间期权价格变化与股价变化之比。无套利要求 $S_0\Delta-f=(S_0u\Delta-f_u)e^{-rT}$，代入 $\Delta$ 整理得

f=e^{-rT}[pf_u+(1-p)f_d] \tag{13.2}

p=\frac{e^{rT}-d}{u-d} \tag{13.3}

唯一假设是无套利。数值例中 $u=1.1$，$d=0.9$，$r=0.12$，$T=0.25$，$f_u=1$，$f_d=0$：$p=\frac{e^{0.03}-0.9}{0.2}=0.6523$，$f=e^{-0.03}(0.6523\times1)=0.633$，与前面一致。

股票预期收益无关：式 (13.2) 不含股价上涨或下跌的（真实）概率——上涨概率为 0.5 或 0.9 时期权价格相同。这初看违反直觉，原因在于我们是相对于标的股票价格为期权定价，未来涨跌概率已经体现在股价中，无需再计入。

13.2 风险中性定价（Risk-Neutral Valuation）（PDF p.300–302）

原理：为衍生品定价时，可以假设投资者是风险中性的——即不因风险增加而要求更高预期收益。我们生活的世界并非风险中性（风险越高要求收益越高），但假设风险中性世界得出的期权价格对现实世界同样正确，几乎"奇迹般"地绕过了我们对期权买卖双方风险厌恶程度一无所知的问题。直觉：在以股价表示期权价格时风险偏好不重要——投资者越厌恶风险，股价越低，但联系期权价格与股价的公式不变。

风险中性世界的两个特征：(1) 股票（或任何投资）的预期收益为无风险利率；(2) 期权（或任何工具）预期收益的折现率为无风险利率。

式 (13.2) 中 $p$ 应解释为风险中性世界中上涨的概率（假设 $u>e^{rT}$，从而 $0<p<1$），$pf_u+(1-p)f_d$ 是风险中性世界中期权的预期收益，期权今天的价值 = 风险中性预期收益按无风险利率折现。验证：当 $p$ 为上涨概率时

E(S_T)=pS_0u+(1-p)S_0d=pS_0(u-d)+S_0d=S_0e^{rT} \tag{13.4}

即股价平均以无风险利率增长，正是风险中性世界中应有的行为。风险中性定价是一般性结论：可以证明它不依赖股价演化的具体假设。应用步骤：先算风险中性世界中各结果的概率，再算衍生品的预期收益，按无风险利率折现。

回顾单步例：$22p+18(1-p)=20e^{0.12\times3/12}$，$4p=20e^{0.03}-18$，$p=0.6523$；期权预期价值 0.6523，折现得 0.633，与无套利结果相同。

真实世界与风险中性世界：$p$ 是风险中性概率，一般不等于真实概率。若真实世界股票预期收益为 16%，则真实上涨概率 $p^*$ 满足 $22p^*+18(1-p^*)=20e^{0.16\times3/12}$，$p^*=0.7041$，期权真实预期收益为 0.7041。但不知道真实世界中该用什么折现率：股票要求 16%，看涨期权风险更高，折现率高于 16%，但高多少未知。（脚注：由已知正确价格 0.633 反推，正确的真实世界折现率为 42.58%：$0.633=0.7041e^{-0.4258\times3/12}$。）风险中性定价解决了这一问题：风险中性世界中所有资产的预期收益（即所有预期收益的折现率）都是无风险利率。

13.3 两步二叉树（Two-Step Binomial Trees）（PDF p.302–305）

股价 20，两个时间步各 3 个月，每步上涨或下跌 10%，无风险利率 12%，6 个月期、行权价 21 的欧式看涨（图 13.3、13.4）。末端节点：D（24.2）期权值 3.2；E（19.8）、F（16.2）为 0。节点 C 通向 E、F，期权值为 0。节点 B（22）：$p=0.6523$，$f_B=e^{-0.03}(0.6523\times3.2+0.3477\times0)=2.0257$。初始节点 A：$f_A=e^{-0.03}(0.6523\times2.0257)=1.2823$。本例 $u$、$d$ 和时间步在各节点相同，因此 $p$ 处处相同。

一般化（图 13.6）：时间步长 $\Delta t$，

f=e^{-r\Delta t}[pf_u+(1-p)f_d] \tag{13.5}

p=\frac{e^{r\Delta t}-d}{u-d} \tag{13.6}

f_u=e^{-r\Delta t}[pf_{uu}+(1-p)f_{ud}],\quad f_d=e^{-r\Delta t}[pf_{ud}+(1-p)f_{dd}] \tag{13.7–13.9}

代入得

f=e^{-2r\Delta t}[p^2f_{uu}+2p(1-p)f_{ud}+(1-p)^2f_{dd}] \tag{13.10}

$p^2$、$2p(1-p)$、$(1-p)^2$ 是到达上、中、下末端节点的风险中性概率，期权价格等于风险中性预期收益按无风险利率折现。步数增加时原理依然成立。

13.4 看跌期权例（A Put Example）（PDF p.305–306）

2 年期欧式看跌，行权价 52，股价 50，两个 1 年步，每步涨跌 20%，$r=5\%$（图 13.7）。$u=1.2$，$d=0.8$，$\Delta t=1$，$p=\frac{e^{0.05}-0.8}{0.4}=0.6282$。末端股价 72、48、32，$f_{uu}=0$，$f_{ud}=4$，$f_{dd}=20$。

f=e^{-0.1}(0.6282^2\times0+2\times0.6282\times0.3718\times4+0.3718^2\times20)=4.1923

逐步倒推：节点 B（60）1.4147，节点 C（40）9.4636。

13.5 美式期权（American Options）（PDF p.306–307）

从树的末端向前倒推，在每个节点检验提前行权是否最优。末端节点价值与欧式相同；之前节点的价值取以下两者较大者：(1) 由式 (13.5) 给出的继续持有价值；(2) 立即行权的收益。

图 13.8（同 13.7 但为美式）：节点 B 继续持有价值 1.4147，行权收益为负（−8），不行权，取 1.4147；节点 C 继续持有价值 9.4636，行权收益 $52-40=12$，提前行权最优，取 12；节点 A 继续持有价值 $e^{-0.05}(0.6282\times1.4147+0.3718\times12)=5.0894$，行权收益 2，不行权。美式看跌价值 5.0894（高于欧式 4.1923）。

13.6 Delta（PDF p.307–308）

Delta（$\Delta$）：股票期权价格变化与标的股价变化之比，是"希腊字母（Greek letter）"之一；也是为每份卖出的期权构造无风险组合所需持有的股数，与 13.1 节中的 $\Delta$ 相同。构建无风险组合称为 Delta 对冲（delta hedging）。看涨期权 delta 为正，看跌为负。

图 13.1：$\Delta=\frac{1-0}{22-18}=0.25$。
图 13.4：第一步 $\Delta=\frac{2.0257-0}{22-18}=0.5064$；第二步若第一步上涨 $\Delta=\frac{3.2-0}{24.2-19.8}=0.7273$，若下跌 $\Delta=\frac{0-0}{19.8-16.2}=0$。
图 13.7（看跌）：第一步 $\Delta=\frac{1.4147-9.4636}{60-40}=-0.4024$；第二步 $\frac{0-4}{72-48}=-0.1667$ 或 $\frac{4-20}{48-32}=-1.0000$。

delta 随时间变化，因此用期权和股票维持无风险对冲需要定期调整股票持仓（第 19 章）。

13.7 用 $u$、$d$ 匹配波动率（Matching Volatility with u and d）（PDF p.308–310）

构造步长 $\Delta t$ 的二叉树需三个参数 $u$、$d$、$p$。给定 $u$、$d$ 后，$p$ 须使预期收益为无风险利率：

p=\frac{e^{r\Delta t}-d}{u-d} \tag{13.11}

$u$、$d$ 用来匹配波动率。股票波动率 $\sigma$ 定义为：短时间 $\Delta t$ 内收益率的标准差为 $\sigma\sqrt{\Delta t}$，即方差 $\sigma^2\Delta t$（第 15 章详述）。由方差定义 $E(X^2)-[E(X)]^2$，一步内收益率以概率 $p$ 为 $u-1$、以概率 $1-p$ 为 $d-1$，匹配条件为

p(u-1)^2+(1-p)(d-1)^2-[p(u-1)+(1-p)(d-1)]^2=\sigma^2\Delta t \tag{13.12}

代入 $p$ 化简为

e^{r\Delta t}(u+d)-ud-e^{2r\Delta t}=\sigma^2\Delta t \tag{13.13}

忽略 $\Delta t^2$ 及更高阶项（利用 $e^x=1+x+x^2/2!+\cdots$），一个解为

u=e^{\sigma\sqrt{\Delta t}},\qquad d=e^{-\sigma\sqrt{\Delta t}}

这正是 CRR 使用的参数。

在真实世界中匹配波动率结果相同：设真实上涨概率 $p^*$、真实预期收益 $\mu$，则 $p^*u+(1-p^*)d=e^{\mu\Delta t}$，$p^*=\frac{e^{\mu\Delta t}-d}{u-d}$ (13.14)；用 $p^*$ 代替 $p$ 写方差匹配方程，得 $e^{\mu\Delta t}(u+d)-ud-e^{2\mu\Delta t}=\sigma^2\Delta t$，忽略高阶项后解相同（图 13.9：真实世界与风险中性世界的树，节点值相同，只有概率不同）。

Girsanov 定理：从风险中性世界转到真实世界，股票预期收益改变，但波动率不变。更一般地，从一种风险偏好的世界转到另一种时，变量的预期增长率改变而波动率保持不变（第 28 章详述）。改变风险偏好称为改变测度（changing the measure）：真实世界测度称 P 测度，风险中性测度称 Q 测度（本章记号中 $p$ 是 Q 测度下的概率，$p^*$ 是 P 测度下的概率）。

13.8 二叉树公式（The Binomial Tree Formulas）（PDF p.310–311）

步长 $\Delta t$ 的树由以下公式定义：

u=e^{\sigma\sqrt{\Delta t}} \tag{13.15}

d=e^{-\sigma\sqrt{\Delta t}} \tag{13.16}

p=\frac{a-d}{u-d} \tag{13.17}

a=e^{r\Delta t} \tag{13.18}

例：美式看跌，$S_0=50$，$K=52$，$r=5\%$，2 年，两步，$\Delta t=1$，$\sigma=30\%$：$u=e^{0.3}=1.3499$，$d=1/1.3499=0.7408$，$a=e^{0.05}=1.0513$，$p=\frac{1.0513-0.7408}{1.3499-0.7408}=0.5097$。图 13.10：节点股价 50；67.49、37.04；91.11、50、27.44。末端看跌值 0、2、24.56；上节点继续价值 0.93；下节点（37.04）提前行权值 $52-37.04=14.96$（行权）；期权价值 7.43（不同于图 13.8 用 $u=1.2$、$d=0.8$ 得到的值）。

13.9 增加步数（Increasing the Number of Steps）（PDF p.311–312）

一两步的二叉树只能给出粗略近似。实务中通常把期权寿命分为 30 步或更多。30 步有 31 个末端股价，隐含考虑 $2^{30}$（约 10 亿）条路径。无论多少步，公式 (13.15)–(13.18) 不变。例：上例改为 5 步，$\Delta t=0.4$，$u=e^{0.3\sqrt{0.4}}=1.2089$，$d=0.8272$，$a=e^{0.02}=1.0202$，$p=\frac{1.0202-0.8272}{1.2089-0.8272}=0.5056$。步数增加时，二叉树对股价行为的假设与 BSM 模型相同，欧式期权价格收敛到 BSM 价格（附录证明）。

13.10 使用 DerivaGem（Using DerivaGem）（PDF p.311–313）

在 DerivaGem 3.00 的 Equity_FX_Indx_Fut_Opts_Calc 工作表中选 Equity、Binomial American，输入股价 50、波动率 30%、利率 5%、期限 2、行权价 52、步数 2，选 Put 计算得 7.428，Display Tree 显示与图 13.10 相同的树（红色数字表示行权节点）。5 步时价值 7.671；软件最多显示 10 步树，但可计算 500 步：500 步时美式看跌为 7.47（精确到两位小数）。改为 Binomial European、500 步，欧式看跌为 6.76，与 Black–Scholes European 公式结果 6.76 一致。可改 Underlying Type 处理其他资产。

收敛性要点：二叉树价格随步数增加以振荡方式收敛（2 步 7.43、5 步 7.67、500 步 7.47），需要足够多的步数。

13.11 其他资产上的期权（Options on Other Assets）（PDF p.312–315）

指数、货币、期货期权的二叉树构造与股票期权完全相同，只是 $p$ 的公式（即 $a$）改变；节点价值（考虑提前行权前）仍为 $p$ 乘上行价值加 $1-p$ 乘下行价值，按无风险利率折现。

连续股息率 $q$ 的股票：风险中性世界总收益为 $r$，股息贡献 $q$，资本利得须贡献 $r-q$，故 $pS_0u+(1-p)S_0d=S_0e^{(r-q)\Delta t}$，$p=\frac{e^{(r-q)\Delta t}-d}{u-d}$。仍取 $u=e^{\sigma\sqrt{\Delta t}}$、$d=1/u$，只需令 $a=e^{(r-q)\Delta t}$。

股票指数：假设指数成分股提供股息率 $q$（与第 5 章期货定价一致），处理同上。例 13.1：指数 810，波动率 20%，股息率 2%，$r=5\%$，6 个月欧式看涨，行权价 800，两步。$\Delta t=0.25$，$u=e^{0.2\sqrt{0.25}}=1.1052$，$d=0.9048$，$a=e^{0.03\times0.25}=1.0075$，$p=\frac{1.0075-0.9048}{1.1052-0.9048}=0.5126$；每步折现因子 0.9876。节点指数：810；895.19、732.92；989.34、810.00、663.17。末端看涨值 189.34、10.00、0；中间节点 100.66、5.06；期权价值 53.39（图 13.11）。

货币：外币可视为提供外国无风险利率 $r_f$ 收益的资产，令 $a=e^{(r-r_f)\Delta t}$。例 13.2：澳元 0.6100 美元，波动率 12%，澳元利率 7%，美元利率 5%，3 个月美式看涨，行权价 0.6000，三步。$\Delta t=0.08333$，$u=e^{0.12\sqrt{0.08333}}=1.0352$，$d=0.9660$，$a=e^{(0.05-0.07)\times0.08333}=0.9983$，$p=\frac{0.9983-0.9660}{1.0352-0.9660}=0.4673$；期权价值 0.019（图 13.12，部分高位节点提前行权）。

期货：建立期货多头或空头不需成本，因此风险中性世界中期货价格的预期增长率为零（18.7 节详述）。$pF_0u+(1-p)F_0d=F_0$，$p=\frac{1-d}{u-d}$，即令 $a=1$。例 13.3：期货价 31，波动率 30%，$r=5\%$，9 个月美式看跌，行权价 30，三步。$\Delta t=0.25$，$u=e^{0.3\times0.5}=1.1618$，$d=0.8607$，$a=1$，$p=\frac{1-0.8607}{1.1618-0.8607}=0.4626$；期权价值 2.84（图 13.13）。

统一形式：$a=e^{(r-q)\Delta t}$，其中 $q$ 分别为 0（无股息股票）、股息率（股票/指数）、$r_f$（外汇）、$r$（期货，即 $a=1$）。

小结（PDF p.315–316）

单步二叉树下可用股票与期权构造无风险组合，在无套利世界中它必须赚取无风险利率，从而以股价为期权定价，不需要对涨跌概率做任何假设。多步树时可逐步分别处理，从期权到期往回倒推求得当前价值，同样只用无套利论证。风险中性定价是非常重要的原理：通过数值例和代数证明，无套利论证与风险中性定价等价。Delta 衡量股价小幅变动对期权价格的影响，即期权价格变化与股价变化之比；无风险头寸要求每卖出一份期权买入 $\Delta$ 股；delta 在期权寿命中变化，因此对冲需定期调整股票持仓。为指数、货币、期货期权构树与股票期权非常相似。第 21 章将进一步讨论二叉树的实践细节。

延伸阅读：Coval & Shumway (2001) 期权预期收益；Cox, Ross & Rubinstein (1979)；Rendleman & Bartter (1979) 两状态期权定价；Shreve《Stochastic Calculus for Finance I》。

习题（PDF p.317–320）

习题题型（13.1–13.29）：单步树为欧式看涨/看跌定价（13.1、13.4、13.9、13.10 用无套利，13.11、13.21 两种方法验证一致）；无套利与风险中性两种方法的解释（13.2）；delta 的含义（13.3）；两步树为看涨/看跌定价并验证平价关系（13.5、13.6、13.12、13.13 并判断美式看跌是否提前行权）；$u$、$d$ 与波动率的关系（13.7）；为何两步树中无法构造整个寿命期都无风险的静态组合（13.8，delta 变化）；收益为 $S_T^2$ 的衍生品定价（13.14）；外汇树参数（13.15）；用 CRR 参数两步树定价并计算对冲所需股数（13.16、13.19、13.20 各期对冲股数）；指数美式看跌（13.17、13.28 并计算提前行权价值及发生节点）；期货美式看涨与看跌（13.18、13.26）；欧式与美式看跌比较（13.22）及立即行权最优的临界行权价试算（13.23）；收益为 $[\max(30-S_T,0)]^2$ 的衍生品及其美式版本（13.24）；DerivaGem 下步数增加的收敛（13.25）；真实世界折现率对看跌为 −52.5%，解释与看涨 42.6% 差异巨大的原因（13.27，看跌 beta 为负）；三步树为外汇美式看涨定价并给出初始对冲头寸（13.29）。

附录由二叉树推导 Black–Scholes–Merton 期权定价公式（PDF p.321–324）

用 $n$ 步树为行权价 $K$、期限 $T$ 的欧式看涨定价，每步长 $T/n$。$j$ 次上涨、$n-j$ 次下跌后股价为 $S_0u^jd^{n-j}$，收益 $\max(S_0u^jd^{n-j}-K,0)$。$j$ 次上涨的概率为二项分布 $\frac{n!}{(n-j)!j!}p^j(1-p)^{n-j}$。风险中性预期收益按无风险利率折现：

c=e^{-rT}\sum_{j=0}^n\frac{n!}{(n-j)!j!}p^j(1-p)^{n-j}\max(S_0u^jd^{n-j}-K,0) \tag{13A.1}

非零项条件 $S_0u^jd^{n-j}>K$，即 $\ln(S_0/K)>-j\ln u-(n-j)\ln d$。代入 $u=e^{\sigma\sqrt{T/n}}$、$d=e^{-\sigma\sqrt{T/n}}$，得 $\ln(S_0/K)>n\sigma\sqrt{T/n}-2j\sigma\sqrt{T/n}$，即

j>\alpha,\qquad \alpha=\frac n2-\frac{\ln(S_0/K)}{2\sigma\sqrt{T/n}}

于是 $c=e^{-rT}(S_0U_1-KU_2)$ (13A.4)，其中

U_1=\sum_{j>\alpha}\frac{n!}{(n-j)!j!}p^j(1-p)^{n-j}u^jd^{n-j}\ \ (13A.2),\qquad U_2=\sum_{j>\alpha}\frac{n!}{(n-j)!j!}p^j(1-p)^{n-j}\ \ (13A.3)

求 $U_2$：$n\to\infty$ 时二项分布趋于正态，均值 $np$、标准差 $\sqrt{np(1-p)}$。$U_2$ 是成功次数大于 $\alpha$ 的概率：

U_2=N\!\left(\frac{np-\alpha}{\sqrt{np(1-p)}}\right)=N\!\left(\frac{\ln(S_0/K)}{2\sigma\sqrt T\sqrt{p(1-p)}}+\frac{\sqrt n(p-\tfrac12)}{\sqrt{p(1-p)}}\right) \tag{13A.5–13A.6}

$N$ 为标准正态累积分布函数。由 $p=\frac{e^{rT/n}-e^{-\sigma\sqrt{T/n}}}{e^{\sigma\sqrt{T/n}}-e^{-\sigma\sqrt{T/n}}}$ 级数展开，$n\to\infty$ 时 $p(1-p)\to\frac14$，$\sqrt n(p-\tfrac12)\to\frac{(r-\sigma^2/2)\sqrt T}{2\sigma}$，故

U_2=N\!\left(\frac{\ln(S_0/K)+(r-\sigma^2/2)T}{\sigma\sqrt T}\right) \tag{13A.7}

求 $U_1$：$U_1=\sum_{j>\alpha}\frac{n!}{(n-j)!j!}(pu)^j[(1-p)d]^{n-j}$ (13A.8)。定义

p^*=\frac{pu}{pu+(1-p)d} \tag{13A.9}

则 $1-p^*=\frac{(1-p)d}{pu+(1-p)d}$，$U_1=[pu+(1-p)d]^n\sum_{j>\alpha}\frac{n!}{(n-j)!j!}(p^*)^j(1-p^*)^{n-j}$。风险中性下 $pu+(1-p)d=e^{rT/n}$，所以 $U_1=e^{rT}\times$（以 $p^*$ 为成功概率的二项分布中成功次数大于 $\alpha$ 的概率）。同理正态近似，并由级数展开 $p^*(1-p^*)\to\frac14$，$\sqrt n(p^*-\tfrac12)\to\frac{(r+\sigma^2/2)\sqrt T}{2\sigma}$，得

U_1=e^{rT}N\!\left(\frac{\ln(S_0/K)+(r+\sigma^2/2)T}{\sigma\sqrt T}\right) \tag{13A.10}

结论：

c=S_0N(d_1)-Ke^{-rT}N(d_2)

d_1=\frac{\ln(S_0/K)+(r+\sigma^2/2)T}{\sigma\sqrt T},\qquad d_2=\frac{\ln(S_0/K)+(r-\sigma^2/2)T}{\sigma\sqrt T}=d_1-\sigma\sqrt T

即欧式看涨的 BSM 公式（第 15 章讨论，其附录给出另一推导）。直观：$N(d_2)$ 是风险中性下到期行权（$S_T>K$）的概率；$N(d_1)$ 是以股票为计价单位的测度（概率 $p^*$）下的行权概率。

第 13 章本章要点

单步二叉树中，持有 $\Delta=\frac{f_u-f_d}{S_0u-S_0d}$ 股并卖出一份期权构成无风险组合，由无套利得 $f=e^{-r\Delta t}[pf_u+(1-p)f_d]$，$p=\frac{a-d}{u-d}$。
期权价格与股票的真实预期收益和真实概率无关；$p$ 是风险中性概率，在其下股价期望以无风险利率增长。风险中性定价：衍生品价值 = 风险中性预期收益按无风险利率折现，对真实世界同样正确；真实世界的正确折现率难以确定（例中看涨为 42.58%）。
多步树从末端倒推；美式期权在每个节点取 max(继续持有价值, 立即行权收益)。
delta 随节点变化，对冲需动态调整。
CRR 参数 $u=e^{\sigma\sqrt{\Delta t}}$、$d=1/u$ 匹配波动率；真实世界与风险中性世界波动率相同、只有漂移不同（Girsanov 定理，P 测度与 Q 测度）。
其他资产只需改变 $a$：股息/指数 $e^{(r-q)\Delta t}$，外汇 $e^{(r-r_f)\Delta t}$，期货 1。
步数趋于无穷时欧式期权二叉树价格收敛到 BSM 公式 $c=S_0N(d_1)-Ke^{-rT}N(d_2)$。

第 13 章与量化交易的关联

定价引擎：二叉树是为美式期权、可提前赎回/转换的债券（可转债）、含股息期权定价的主力数值方法，实现简单（$O(n^2)$ 时间、$O(n)$ 空间的倒推），也是检验更复杂模型（有限差分、蒙特卡洛 LSM）的基准；实现时要注意价格随步数的振荡收敛，常用奇偶步平均或 Richardson 外推改善。
对冲与执行：delta 对冲的离散调整思想直接对应做市和波动率交易中的对冲频率、对冲成本权衡；delta 随价格变化（gamma）意味着对冲误差与交易成本是期权策略回测必须建模的部分。
风险中性 vs 真实测度：定价用 Q 测度，而预测收益、风险管理（VaR、情景分析）和 alpha 研究用 P 测度。混淆两者是常见误区——例如用风险中性概率当作事件真实概率，或用真实漂移给衍生品定价。期权隐含概率与真实概率的差异本身（方差风险溢价、偏度溢价）就是可交易的因子。
统一框架：$a=e^{(r-q)\Delta t}$ 的统一处理，在系统实现中可抽象为"持有成本（cost of carry）"参数，使同一定价代码适用于股票、指数、外汇、期货期权。

第 13 章推荐习题

13.1 / 13.11 / 13.21：单步树两种方法对照，夯实无套利与风险中性定价。
13.8：理解为何需要动态对冲。
13.13 / 13.22 / 13.23：美式看跌的提前行权判断。
13.14 / 13.24：非标准收益衍生品的定价，体会方法的一般性。
13.16 / 13.20 / 13.29：计算对冲头寸，理解 delta 的动态。
13.25：步数与收敛（建议自己编程实现 CRR 树）。
13.27：真实世界折现率的不确定性，理解风险中性定价的必要性。

第 14 章维纳过程与伊藤引理（Wiener Processes and Itô's Lemma）（PDF p.325–343）

随机过程（stochastic process）：值随时间不确定地变化的变量所遵循的过程。按时间分为离散时间（只在固定时点变化）与连续时间（任何时刻都可变化）；按取值分为连续变量（可取某区间内任意值）与离散变量（只能取某些离散值）。本章为股价建立连续变量、连续时间的随机过程，这是理解期权及更复杂衍生品定价的第一步。实际中股价只取离散值（如美分的整数倍）、只在交易时段变化，但连续模型在许多用途上很有用。理解连续时间随机过程的最大障碍是记号，本章逐步讲解，并介绍对衍生品定价至关重要的伊藤引理（Itô's lemma）。

14.1 马尔可夫性质（The Markov Property）（PDF p.325–326）

马尔可夫过程（Markov process）：只有变量的当前值与预测未来相关，过去的历史及当前值如何从过去演变而来都无关。通常假设股价服从马尔可夫过程：股价现为 100，则对未来的预测不受一周、一月或一年前价格的影响。对未来的预测以概率分布表示，马尔可夫性意味着未来任意时刻价格的概率分布不依赖过去的具体路径。（脚注：股价历史的统计性质——如波动率——可用于确定随机过程的特征；无关的是过去的具体路径。）

马尔可夫性与**弱式市场有效性（weak form of market efficiency）**一致：当前股价已包含历史价格记录中的全部信息。若弱式有效不成立，技术分析者可通过解读历史价格图获得超额收益，但几乎没有证据表明他们能做到。市场竞争保证了弱式有效与马尔可夫性：若发现某种价格形态总带来 65% 的大涨概率，投资者会在形态出现时立即买入，需求上升使价格立即上涨，效应和获利机会随之消失。

14.2 连续时间随机过程（Continuous-Time Stochastic Processes）（PDF p.326–330）

引例：马尔可夫变量当前值为 10，一年内变化服从 $\phi(0,1)$（$\phi(m,v)$ 表示均值 $m$、方差 $v$ 的正态分布）。两年内的变化是两个独立正态之和，均值相加、方差相加，为 $\phi(0,2)$，标准差 $\sqrt2$。6 个月的变化：一年方差等于两个半年方差之和且二者相等，故为 $\phi(0,0.5)$，标准差 $\sqrt{0.5}$；3 个月为 $\phi(0,0.25)$；任意长度 $T$ 为 $\phi(0,T)$；极短时间 $\Delta t$ 为 $\phi(0,\Delta t)$。马尔可夫过程中相继时段变化的方差可加，标准差不可加（严格说不应称该变量标准差为"每年 1.0"）。这解释了为什么不确定性与时间的平方根成正比。

维纳过程（Wiener process）：漂移为零、方差率为每年 1.0 的马尔可夫随机过程，物理学中用于描述受大量微小分子冲击的粒子运动，也称布朗运动（Brownian motion）。变量 $z$ 服从维纳过程需满足：

性质 1：小时间段 $\Delta t$ 内的变化 $\Delta z=\epsilon\sqrt{\Delta t} \tag{14.1}$ 其中 $\epsilon\sim\phi(0,1)$。故 $\Delta z$ 正态分布，均值 0，标准差 $\sqrt{\Delta t}$，方差 $\Delta t$。
性质 2：任意两个不同的短时间段 $\Delta t$ 内的 $\Delta z$ 相互独立（由此 $z$ 是马尔可夫过程）。

较长时间 $T$ 内的变化 $z(T)-z(0)$ 可视为 $N=T/\Delta t$ 个小区间变化之和：

z(T)-z(0)=\sum_{i=1}^N\epsilon_i\sqrt{\Delta t} \tag{14.2}

$\epsilon_i$ 独立同分布于 $\phi(0,1)$，故 $z(T)-z(0)$ 正态，均值 0，方差 $N\Delta t=T$，标准差 $\sqrt T$。

例 14.1：维纳过程变量初值 25（时间以年计），1 年后服从均值 25、标准差 1.0 的正态；5 年后均值 25、标准差 $\sqrt5=2.236$。不确定性按展望期的平方根增长。

记号：类似普通微积分中 $dx=a\,dt$ 表示 $\Delta t\to0$ 时 $\Delta x=a\Delta t$，随机微积分中称 $dz$ 为维纳过程，指 $\Delta t\to0$ 极限下具有上述性质。图 14.1 显示 $\Delta t\to0$ 时路径非常"锯齿状"，因为 $\Delta t$ 很小时 $\sqrt{\Delta t}$ 远大于 $\Delta t$。由此两个奇特性质：(1) 任意时间区间内路径的期望长度为无穷；(2) 任意时间区间内 $z$ 等于某特定值的期望次数为无穷（若在某时刻等于 $v$，在其邻近等于 $v$ 的期望次数无穷）。

广义维纳过程（generalized Wiener process）：单位时间平均变化称漂移率（drift rate），单位时间方差称方差率（variance rate）。基本维纳过程漂移率 0、方差率 1.0。变量 $x$ 的广义维纳过程定义为

dx=a\,dt+b\,dz \tag{14.3}

$a$、$b$ 为常数。$a\,dt$ 项表示单位时间期望漂移 $a$：若无 $b\,dz$ 项，$dx/dt=a$，积分得 $x=x_0+at$，时间 $T$ 内增加 $aT$。$b\,dz$ 项给路径加入噪声，其方差率为 $b^2$。离散形式 $\Delta x=a\Delta t+b\epsilon\sqrt{\Delta t}$，故 $\Delta x$ 正态，均值 $a\Delta t$，标准差 $b\sqrt{\Delta t}$，方差 $b^2\Delta t$；任意时段 $T$ 内变化正态，均值 $aT$、标准差 $b\sqrt T$、方差 $b^2T$（图 14.2，$a=0.3$，$b=1.5$）。

例 14.2：公司现金头寸（千美元）服从漂移 20/年、方差率 900/年的广义维纳过程，初值 50。1 年后服从均值 70、标准差 $\sqrt{900}=30$ 的正态；6 个月后均值 60、标准差 $30\sqrt{0.5}=21.21$。（现金可为负，表示借款。）

伊藤过程（Itô process）：参数 $a$、$b$ 是标的变量 $x$ 与时间 $t$ 的函数的广义维纳过程：

dx=a(x,t)\,dt+b(x,t)\,dz \tag{14.4}

期望漂移率和方差率都可随时间变化。$t$ 到 $t+\Delta t$ 间 $\Delta x=a(x,t)\Delta t+b(x,t)\epsilon\sqrt{\Delta t}$（小的近似：假设区间内漂移率和方差率保持为 $t$ 时刻的值）。该过程是马尔可夫的，因为 $t$ 时刻的变化只依赖 $t$ 时刻的 $x$；若 $a$、$b$ 依赖 $t$ 之前的值则成为非马尔可夫过程。

14.3 股价过程（The Process for a Stock Price）（PDF p.330–333）

为何不用广义维纳过程：常数期望漂移忽略了关键事实——投资者要求的预期百分比收益与股价水平无关（股价 10 美元时要求 14%，50 美元时也要求 14%）。因此应假设预期收益（期望漂移除以股价）为常数：$S$ 的期望漂移率为 $\mu S$，$\Delta t$ 内期望增量为 $\mu S\Delta t$，$\mu$ 为股票的预期收益率。

若无不确定性，$\Delta S=\mu S\Delta t$，极限 $dS=\mu S\,dt$，即 $dS/S=\mu\,dt$，积分得

S_T=S_0e^{\mu T} \tag{14.5}

即股价以连续复利率 $\mu$ 增长。

加入不确定性：合理假设短时间 $\Delta t$ 内收益的变动性与股价水平无关（股价 50 与 10 时同样不确定），即 $\Delta t$ 内变化的标准差与股价成正比：

dS=\mu S\,dt+\sigma S\,dz\quad\text{或}\quad\frac{dS}{S}=\mu\,dt+\sigma\,dz \tag{14.6}

这是最广泛使用的股价模型，称为几何布朗运动（geometric Brownian motion, GBM）。$\mu$ 为预期收益率，$\sigma$ 为股价波动率（volatility），$\sigma^2$ 为方差率。式 (14.6) 描述真实世界中的股价过程；在风险中性世界中 $\mu$ 等于无风险利率 $r$。

离散时间模型：

\frac{\Delta S}{S}=\mu\Delta t+\sigma\epsilon\sqrt{\Delta t} \tag{14.7}

\Delta S=\mu S\Delta t+\sigma S\epsilon\sqrt{\Delta t} \tag{14.8}

左边是 $\Delta t$ 内收益的离散近似，$\mu\Delta t$ 为期望值，$\sigma\epsilon\sqrt{\Delta t}$ 为随机部分，方差 $\sigma^2\Delta t$，与 13.7 节的波动率定义一致。即

\frac{\Delta S}{S}\sim\phi(\mu\Delta t,\sigma^2\Delta t) \tag{14.9}

例 14.3：无股息股票，波动率 30%，连续复利预期收益 15%。$dS/S=0.15dt+0.30dz$。取 1 周 $\Delta t=0.0192$ 年：$\Delta S/S=0.15\times0.0192+0.30\sqrt{0.0192}\,\epsilon$，即

\Delta S=0.00288S+0.0416S\epsilon \tag{14.10}

蒙特卡洛模拟（Monte Carlo simulation）：对随机过程抽样随机结果的方法。用式 (14.10) 反复从 $\phi(0,1)$ 抽 $\epsilon$ 模拟 10 周路径。Excel 中 =RAND() 生成 0–1 均匀数，NORMSINV 为标准正态逆累积分布，故 =NORMSINV(RAND()) 生成标准正态样本。表 14.1：初始价 100，第一期 $\epsilon=0.52$，$\Delta S=0.00288\times100+0.0416\times100\times0.52=2.45$，变为 102.45；第二期 $\epsilon=1.44$，$\Delta S=6.43$，变为 108.88；……第 10 周末为 111.54（各期 $\epsilon$ 有正有负）。过程是马尔可夫的，各期 $\epsilon$ 应独立抽取。表中只是一条可能路径；任意小 $\Delta t$ 均可用，$\Delta t\to0$ 时完美描述过程；期末价格是 10 周后价格分布的一个随机样本，反复模拟可得完整分布。（脚注：实践中对 $\ln S$ 抽样更有效，见 21.6 节。）

14.4 参数（The Parameters）（PDF p.333–334）

$\mu$ 是投资者在短时间内获得的年化预期收益。多数投资者要求更高预期收益以承担更高风险，所以 $\mu$ 取决于股票收益的风险（更准确地说，取决于不可分散的部分），也取决于经济中的利率水平（利率越高，要求的预期收益越高）。幸运的是，依赖股票的衍生品价值一般与 $\mu$ 无关，不必深究其决定因素。相反，波动率 $\sigma$ 对许多衍生品的价值至关重要（估计方法见第 15 章），股票的典型值为 0.15–0.60（15%–60%）。

短时间 $\Delta t$ 内股价比例变化的标准差为 $\sigma\sqrt{\Delta t}$；作为粗略近似，较长时间 $T$ 内为 $\sigma\sqrt T$，因此波动率可近似理解为股价一年内变化（比例）的标准差。第 15 章将证明波动率恰好等于股票一年连续复利收益的标准差。

14.5 相关过程（Correlated Processes）（PDF p.334–335）

两个变量 $dx_1=a_1dt+b_1dz_1$、$dx_2=a_2dt+b_2dz_2$，$dz_1$、$dz_2$ 为维纳过程。离散近似 $\Delta x_1=a_1\Delta t+b_1\epsilon_1\sqrt{\Delta t}$，$\Delta x_2=a_2\Delta t+b_2\epsilon_2\sqrt{\Delta t}$。若不相关，每期的 $\epsilon_1$、$\epsilon_2$ 独立抽样；若相关系数为 $\rho$，则 $\epsilon_1$、$\epsilon_2$ 应从相关系数为 $\rho$ 的二元正态分布抽样，此时称 $dz_1$、$dz_2$ 相关系数为 $\rho$。

抽样方法：取独立标准正态 $u$、$v$，令

\epsilon_1=u,\qquad\epsilon_2=\rho u+\sqrt{1-\rho^2}\,v

（这是二维 Cholesky 分解。）参数 $a_1,a_2,b_1,b_2$ 可以是 $x_1$、$x_2$ 和 $t$ 的函数（如 $a_1$、$b_1$ 可依赖 $x_2$）。三个变量需从三元正态抽样，$n$ 个相关变量需从相应多元正态抽样（方法见第 21 章）。

14.6 伊藤引理（Itô's Lemma）（PDF p.335–336）

股票期权价格是标的股价和时间的函数；更一般地，任何衍生品价格都是其标的随机变量和时间的函数，因此需要理解随机变量函数的行为。数学家伊藤清（K. Itô）1951 年发现的重要结果称为伊藤引理。

设 $x$ 服从伊藤过程

dx=a(x,t)\,dt+b(x,t)\,dz \tag{14.11}

（漂移率 $a$，方差率 $b^2$），则 $x$ 与 $t$ 的函数 $G$ 服从

dG=\left(\frac{\partial G}{\partial x}a+\frac{\partial G}{\partial t}+\frac12\frac{\partial^2G}{\partial x^2}b^2\right)dt+\frac{\partial G}{\partial x}b\,dz \tag{14.12}

其中 $dz$ 与 (14.11) 中是同一个维纳过程。故 $G$ 也是伊藤过程，漂移率 $\frac{\partial G}{\partial x}a+\frac{\partial G}{\partial t}+\frac12\frac{\partial^2G}{\partial x^2}b^2$，方差率 $\left(\frac{\partial G}{\partial x}\right)^2b^2$。严格证明超出本书范围，附录说明它是普通微积分结果的推广。

对股价模型

dS=\mu S\,dt+\sigma S\,dz \tag{14.13}

$S$ 与 $t$ 的函数 $G$ 服从

dG=\left(\frac{\partial G}{\partial S}\mu S+\frac{\partial G}{\partial t}+\frac12\frac{\partial^2G}{\partial S^2}\sigma^2S^2\right)dt+\frac{\partial G}{\partial S}\sigma S\,dz \tag{14.14}

$S$ 与 $G$ 受同一不确定性来源 $dz$ 驱动，这在推导 BSM 结果时极其重要（可构造消除 $dz$ 的无风险组合）。

应用于远期合约：无股息股票远期，利率对所有期限恒为 $r$。由式 (5.1) $F_0=S_0e^{rT}$；在一般时刻 $t<T$，

F=Se^{r(T-t)} \tag{14.15}

$\frac{\partial F}{\partial S}=e^{r(T-t)}$，$\frac{\partial^2F}{\partial S^2}=0$，$\frac{\partial F}{\partial t}=-rSe^{r(T-t)}$。由 (14.14)：$dF=[e^{r(T-t)}\mu S-rSe^{r(T-t)}]dt+e^{r(T-t)}\sigma S\,dz$，以 $F$ 代入：

dF=(\mu-r)F\,dt+\sigma F\,dz \tag{14.16}

远期价格也服从几何布朗运动，预期增长率为 $\mu-r$（股票超出无风险利率的收益），而非 $\mu$；波动率与股票相同。

14.7 对数正态性质（The Lognormal Property）（PDF p.336–337）

令 $G=\ln S$，$\frac{\partial G}{\partial S}=\frac1S$，$\frac{\partial^2G}{\partial S^2}=-\frac1{S^2}$，$\frac{\partial G}{\partial t}=0$，由 (14.14)：

dG=\left(\mu-\frac{\sigma^2}{2}\right)dt+\sigma\,dz \tag{14.17}

$\mu$、$\sigma$ 为常数，故 $\ln S$ 服从广义维纳过程，漂移率 $\mu-\sigma^2/2$（注意减去 $\sigma^2/2$ 的伊藤修正项），方差率 $\sigma^2$。因此 0 到 $T$ 之间 $\ln S$ 的变化正态分布：

\ln S_T-\ln S_0\sim\phi\!\left[\left(\mu-\frac{\sigma^2}{2}\right)T,\ \sigma^2T\right] \tag{14.18}

\ln S_T\sim\phi\!\left[\ln S_0+\left(\mu-\frac{\sigma^2}{2}\right)T,\ \sigma^2T\right] \tag{14.19}

若变量的自然对数服从正态分布，则该变量服从对数正态分布（lognormal distribution）。GBM 模型意味着给定今天价格，$T$ 时刻股价服从对数正态分布，$\ln S_T$ 的标准差为 $\sigma\sqrt T$，与展望期平方根成正比。

常见误区：$E(S_T)=S_0e^{\mu T}$，但 $\ln S_T$ 的期望增长率是 $\mu-\sigma^2/2$——算术平均收益与几何（对数）平均收益之差为 $\sigma^2/2$（第 15 章详述）。

小结（PDF p.337–338）

随机过程描述变量值随时间的概率演化。马尔可夫过程只有当前值与预测未来相关。维纳过程 $dz$ 是描述正态分布变量演化的马尔可夫过程，漂移为零、方差率为每单位时间 1.0，初值 $x_0$ 时 $T$ 时刻服从均值 $x_0$、标准差 $\sqrt T$ 的正态。广义维纳过程有常数漂移 $a$ 与方差率 $b^2$，$T$ 时刻均值 $x_0+aT$、标准差 $b\sqrt T$。伊藤过程的漂移和方差率可依赖 $x$ 与时间，短时间内变化近似正态，长时间内可能非正态。模拟是理解随机过程的直观方法：把时间区间分成许多小步并随机抽样路径，得到未来的概率分布（第 21 章详述蒙特卡洛）。伊藤引理由变量的随机过程求其函数的随机过程，关键在于变量与其函数受同一个维纳过程驱动。股价通常假设服从几何布朗运动：短时间内收益正态、不重叠时段收益独立、未来股价对数正态；BSM 模型即基于此假设。

延伸阅读：有效市场与马尔可夫性——Brealey (1986)，Cootner 编 (1964)；随机过程——Cox & Miller (1977)，Feller (1968)，Karlin & Taylor (1975)，Shreve《Stochastic Calculus for Finance II》(2008)。

习题（PDF p.338–341）

习题题型（14.1–14.18）：气温是否马尔可夫（14.1）；基于历史价格的交易规则能否持续超额收益（14.2，弱式有效）；现金头寸广义维纳过程的概率计算（14.3 求使一年后负现金概率低于 5% 的初值；14.14 不同时点的分布、负现金概率及概率最大的时点）；两个广义维纳过程之和（不相关与相关系数 $\rho$，14.4）；分段常数参数下的分布（14.5）；$S$ 的预期收益增加 $\lambda\sigma_S$ 时 $G$ 的增长率增加 $\lambda\sigma_G$（14.6，风险市场价格的雏形）；两只 GBM 股票之和是否 GBM（14.7，否）；比较四种离散模型并说明为何 GBM 最合适（14.8）；均值回复利率过程 $dr=a(b-r)dt+rc\,dz$ 的性质（14.9）；$S^n$ 服从 GBM（14.10）；零息债与永续债收益率过程推出价格过程（14.11、14.15）；Excel 模拟单只与两只相关股票路径（14.12、14.18）；次日股价的期望、标准差与 95% 置信区间（14.13）；$2S$、$S^2$、$e^S$、$e^{r(T-t)}/S$ 的过程（14.16）；两年后股价超过 80 的概率（14.17，用对数正态）。

附录伊藤引理的推导（Derivation of Itô's Lemma）（PDF p.341–343）

普通微积分：连续可微函数 $G(x)$，$\Delta G\approx\frac{dG}{dx}\Delta x$（14A.1），误差为 $\Delta x^2$ 阶；更精确用泰勒展开 $\Delta G=\frac{dG}{dx}\Delta x+\frac12\frac{d^2G}{dx^2}\Delta x^2+\frac16\frac{d^3G}{dx^3}\Delta x^3+\cdots$。两变量 $G(x,y)$：$\Delta G\approx\frac{\partial G}{\partial x}\Delta x+\frac{\partial G}{\partial y}\Delta y$（14A.2），泰勒展开

\Delta G=\frac{\partial G}{\partial x}\Delta x+\frac{\partial G}{\partial y}\Delta y+\frac12\frac{\partial^2G}{\partial x^2}\Delta x^2+\frac{\partial^2G}{\partial x\partial y}\Delta x\Delta y+\frac12\frac{\partial^2G}{\partial y^2}\Delta y^2+\cdots \tag{14A.3}

极限下 $dG=\frac{\partial G}{\partial x}dx+\frac{\partial G}{\partial y}dy$（14A.4）。

推广到伊藤过程：$x$ 服从 $dx=a(x,t)dt+b(x,t)dz$（14A.5），$G=G(x,t)$，类比 (14A.3)：

\Delta G=\frac{\partial G}{\partial x}\Delta x+\frac{\partial G}{\partial t}\Delta t+\frac12\frac{\partial^2G}{\partial x^2}\Delta x^2+\frac{\partial^2G}{\partial x\partial t}\Delta x\Delta t+\frac12\frac{\partial^2G}{\partial t^2}\Delta t^2+\cdots \tag{14A.6}

离散化 $\Delta x=a\Delta t+b\epsilon\sqrt{\Delta t}$（14A.7）。关键差异：

\Delta x^2=b^2\epsilon^2\Delta t+\Delta t\text{ 的更高阶项} \tag{14A.8}

即 $\Delta x^2$ 项含 $\Delta t$ 阶成分，不能忽略。由 $E(\epsilon)=0$、$\text{Var}(\epsilon)=1$ 得 $E(\epsilon^2)=1$，故 $E(\epsilon^2\Delta t)=\Delta t$；而 $\epsilon^2\Delta t$ 的方差为 $2\Delta t^2$（标准正态性质）。随机变量在 $\Delta t$ 内变化的方差与 $\Delta t$ 成正比，而 $\epsilon^2\Delta t$ 的方差是 $\Delta t^2$ 阶，太小而没有随机成分，所以 $\Delta t\to0$ 时可将 $\epsilon^2\Delta t$ 视为确定性的、等于其期望 $\Delta t$，即 $\Delta x^2\to b^2dt$（$(dz)^2=dt$ 规则）。取极限：

dG=\frac{\partial G}{\partial x}dx+\frac{\partial G}{\partial t}dt+\frac12\frac{\partial^2G}{\partial x^2}b^2dt \tag{14A.9}

代入 $dx$ 即得伊藤引理 (14.12)。

多变量推广（Technical Note 29）：$G$ 是 $x_1,\dots,x_n$ 的函数，$dx_i=a_idt+b_idz_i$，$\rho_{ij}$ 为 $dz_i$ 与 $dz_j$ 的相关系数：

dG=\left(\sum_{i=1}^n\frac{\partial G}{\partial x_i}a_i+\frac{\partial G}{\partial t}+\frac12\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\frac{\partial^2G}{\partial x_i\partial x_j}b_ib_j\rho_{ij}\right)dt+\sum_{i=1}^n\frac{\partial G}{\partial x_i}b_idz_i \tag{14A.10}

单变量受多个不确定性来源驱动 $dx=a\,dt+\sum_{i=1}^mb_idz_i$：

dG=\left(\frac{\partial G}{\partial x}a+\frac{\partial G}{\partial t}+\frac12\frac{\partial^2G}{\partial x^2}\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^mb_ib_j\rho_{ij}\right)dt+\frac{\partial G}{\partial x}\sum_{i=1}^mb_idz_i \tag{14A.11}

第 14 章本章要点

马尔可夫性 ⇔ 弱式有效：价格历史路径对预测无用。
维纳过程：$\Delta z=\epsilon\sqrt{\Delta t}$，增量独立；$T$ 期变化 $\sim\phi(0,T)$；方差随时间线性累加，标准差按 $\sqrt T$ 增长；路径处处锯齿、长度无穷。
广义维纳过程 $dx=a\,dt+b\,dz$；伊藤过程 $dx=a(x,t)dt+b(x,t)dz$。
股价模型 GBM：$dS=\mu S\,dt+\sigma S\,dz$，真实世界漂移 $\mu$，风险中性世界漂移 $r$；衍生品价值一般与 $\mu$ 无关，但对 $\sigma$ 敏感。
伊藤引理：$dG=(G_xa+G_t+\frac12G_{xx}b^2)dt+G_xb\,dz$，核心是 $(dz)^2=dt$，函数与原变量共享同一 $dz$。
应用：远期价格 $dF=(\mu-r)F\,dt+\sigma F\,dz$；$d\ln S=(\mu-\sigma^2/2)dt+\sigma dz$，股价对数正态，$\ln S_T\sim\phi[\ln S_0+(\mu-\sigma^2/2)T,\sigma^2T]$。
相关正态抽样 $\epsilon_2=\rho u+\sqrt{1-\rho^2}v$；多变量伊藤引理含交叉项 $b_ib_j\rho_{ij}$。

第 14 章与量化交易的关联

因子研究与择时：马尔可夫性/弱式有效是技术分析类信号的"零假设"；实证中短期反转、动量等异象就是对这一假设的偏离，任何价格形态信号都需检验是否仅为噪声，并考虑竞争导致的衰减（14.1 的论证）。
风险建模：$\sigma\sqrt T$ 缩放规则是 VaR、波动率年化（日波动率 × $\sqrt{252}$）的基础；但其前提是收益独立同分布，存在自相关、波动聚集或厚尾时会失效，风险模型需修正。对数收益与 $\mu-\sigma^2/2$ 的波动拖累（volatility drag）对长期复利、杠杆 ETF 损耗、组合几何收益最大化（Kelly）至关重要。
组合与模拟：Excel/代码中的蒙特卡洛路径生成、相关正态抽样（Cholesky）是组合压力测试、策略情景分析、期权定价和回测合成数据的基本工具；应对 $\ln S$ 精确抽样而非欧拉离散 $\Delta S$。
定价：伊藤引理是推导 BSM 偏微分方程、Greeks 动态和任何连续时间模型（利率、随机波动率）的核心工具；14.6 中"同一 $dz$"是 delta 对冲能消除风险的数学原因。均值回复过程（习题 14.9）是配对交易/统计套利价差建模（Ornstein–Uhlenbeck）的原型。
执行与系统实现：实际价格离散（最小报价单位）、仅交易时段可变，与连续模型存在差异，在高频与执行建模中需特别处理。

第 14 章推荐习题

14.3 / 14.14：广义维纳过程下的概率计算（现金管理的首达风险）。
14.4 / 14.7：相关过程之和，理解 GBM 组合不再是 GBM。
14.8：比较四种离散模型，理解为何用比例漂移与比例波动。
14.9：均值回复利率过程（统计套利价差模型的原型）。
14.10 / 14.16：熟练运用伊藤引理。
14.11 / 14.15：由收益率过程推导债券价格过程。
14.13 / 14.17：对数正态分布下的置信区间与概率计算。
14.12 / 14.18：编程模拟单只与相关股价路径。

第 6 章 利率期货（Interest Rate Futures）（PDF p.155–174）