元信息：Roger A. Horn & Charles R. Johnson《Matrix Analysis》(2nd ed., Cambridge University Press, 2013)；本块负责 PDF 第 556–665 页（原书页码 536–645；PDF 页码 = 原书页码 + 20）。内容：第 8 章「正矩阵与非负矩阵」后半（8.4 末尾—8.7）、附录 A–F、参考文献、符号表、提示（Hints）、索引。

第 8 章正矩阵与非负矩阵（Positive and Nonnegative Matrices）（接上一块）

8.4 不可约非负矩阵（Irreducible nonnegative matrices）（接上一块，PDF p.556–560）

Theorem 8.4.6 证明收尾（PDF p.556）：设 $A\in M_n$ 不可约非负，有 $k$ 个最大模特征值 $\rho(A)e^{i\varphi_m}$，$0=\varphi_0<\varphi_1<\dots<\varphi_{k-1}<2\pi$。记角集合 $\mathcal S=\{\varphi_0,\dots,\varphi_{k-1}\}$（在模 $2\pi$ 加法下封闭：因 $A$ 相似于 $e^{i\varphi}A$，若 $\varphi,\psi\in\mathcal S$ 则 $\varphi+\psi\in\mathcal S$）。证明要点：$\varphi_1,2\varphi_1,\dots,(k+1)\varphi_1$ 模 $2\pi$ 都在 $\mathcal S$ 中，而 $\mathcal S$ 只有 $k$ 个元素，故有 $r>s\ge1$ 使 $r\varphi_1\equiv s\varphi_1$，从而 $e^{i\varphi_1}$ 是单位根。令 $p$ 为使 $e^{ip\varphi_1}=1$ 的最小正整数（$p\le k$）。任取 $\varphi_m\in\mathcal S$，把 $[0,2\pi)$ 分成 $p$ 个长 $\varphi_1$ 的半开区间，存在 $q$ 使 $0\le\varphi_m-q\varphi_1<\varphi_1$；而 $\varphi_m-q\varphi_1\in\mathcal S$ 且 $\varphi_1$ 是 $\mathcal S$ 最小非零元，故 $\varphi_m=q\varphi_1$。于是 $\mathcal S\subseteq\{0,\varphi_1,2\varphi_1,\dots\}$，若 $p<k$ 则元素不足 $k$ 个，矛盾；所以 $p=k$，$\varphi_m=2\pi m/k$，最大模特征值恰为

\rho(A),\ e^{2\pi i/k}\rho(A),\ \dots,\ e^{2\pi i(k-1)/k}\rho(A).

推论性观察：由 8.4.6（$A$ 相似于 $e^{2\pi i/k}A$），$A$ 在任意圆周 $\{|z|=r>0\}$ 上的特征值个数（计重数）是 $k$ 的非负整数倍，因此 $k$ 整除 $A$ 的非零特征值个数。

练习：非负 $A$ 满足 $\operatorname{tr}A^m\ge0$；不可约非负 $A\in M_3$、$\rho(A)=1$ 能否有特征值 $1,i,-i$？（不能：由推论特征值集合须在旋转 $e^{2\pi i/k}$ 下不变，$k$ 只能为 1 或 3，均不符；或看 $\operatorname{tr}A^2=1-1-1=-1<0$ 与非负性矛盾。去掉不可约条件也不可能，因 $\operatorname{tr}A^2<0$。）

Corollary 8.4.7：$A\in M_n$ 不可约非负，若有 $k>1$ 个最大模特征值，则 $A$ 的主对角元全为 0；更一般，对每个不被 $k$ 整除的正整数 $m$，$A^m$ 的主对角元全为 0。证明：令 $\varphi=2\pi/k$，由 8.4.6a，$A$ 相似于 $e^{i\varphi}A$，故 $A^m$ 相似于 $e^{im\varphi}A^m$，$\operatorname{tr}A^m=e^{im\varphi}\operatorname{tr}A^m$。$e^{im\varphi}$ 为正实数当且仅当 $k\mid m$；若 $A^m$ 有正对角元，则 $\operatorname{tr}A^m>0$，只能 $k\mid m$。

练习：不可约非负 $A$ 只要有一个正对角元，$\rho(A)$ 就是唯一最大模特征值（充分条件）；但并非必要：$J_3-I=\begin{bmatrix}0&1&1\\1&0&1\\1&1&0\end{bmatrix}$ 对角全零，特征值 $2,-1,-1$，唯一最大模。（2×2 例子不存在：2×2 不可约且对角全零只能是 $\begin{bmatrix}0&a\\b&0\end{bmatrix}$，特征值 $\pm\sqrt{ab}$。）

循环块形（Frobenius normal form for cyclic matrices，式 (8.4.8)）：若 $A$ 不可约非负且有 $k>1$ 个最大模特征值，则存在置换矩阵 $P$ 使

PAP^T=\begin{bmatrix}0&A_{12}&&0\\ \vdots&0&\ddots&\\ 0&&\ddots&A_{k-1,k}\\ A_{k1}&0&\cdots&0\end{bmatrix}\tag{8.4.8}

主对角零块为方阵（参见 Bapat & Raghavan 1997, Thm 1.8.3）。直观：有向图的节点可分成 $k$ 个类，边只从第 $j$ 类指向第 $j+1$ 类（循环）。

8.4 习题概要（8.4.P1–P26，PDF p.557–560）

P1：8.2.11 中正矩阵的性质哪些对不可约非负矩阵不成立（举反例）。P2：$\rho(I+A)\ne\rho(A)+1$ 的例子；$\rho(I+A)=\rho(A)+1$ 的充要条件是 $\rho(A)$ 本身是 $A$ 的特征值（非负矩阵自动满足）。
P3：不可约只是非负矩阵有正特征向量的充分而非必要条件：$\begin{bmatrix}1&1\\0&0\end{bmatrix}$（特征值 1 的特征向量 $e_1$，特征值 0 的为 $(1,-1)$，无正特征向量）与 $\begin{bmatrix}1&0\\1&0\end{bmatrix}$（$(1,1)^T$ 是正特征向量）都可约，说明可约非负矩阵可有也可无正特征向量。
P4：不可约非负 $A$ 的 $(\rho(A)^{-1}A)^m$ 元素一致有界。P5：$AB$ 与 $BA$ 同特征值，但 $A=\begin{bmatrix}0&1\\0&1\end{bmatrix}$、$B=\begin{bmatrix}0&0\\1&1\end{bmatrix}$ 显示 $AB$ 不可约而 $BA$ 可约；不可约矩阵可（酉）相似于可约矩阵——不可约性不是相似不变量。
P6：8.3.P6(a) 中 $B$ 正可放宽为不可约非负。P7：多项式 $t^k-1$ 的友矩阵是有 $k$ 个最大模特征值（$k$ 次单位根）的非负矩阵。P8：构造 $p+q+r$ 阶非负矩阵，其最大模特征值为全部 $p$、$q$、$r$ 次单位根（直和三个循环置换）。
P9：不可约非负矩阵若有 $k$ 个最大模特征值称为指数为 $k$ 的循环矩阵（cyclic of index $k$）。P10：此时特征多项式形如 $p_A(t)=t^r(t^k-\rho(A)^k)(t^k-\mu_2^k)\cdots(t^k-\mu_m^k)$，$|\mu_i|<\rho(A)$；只有一个最大模特征值的判别可从多项式中非零系数的模式读出。
P11：$n$ 为素数时，不可约非负非奇异 $A$ 要么 $\rho(A)$ 是唯一最大模特征值，要么全部特征值都最大模（因 $k\mid n$）。
P12：多项式 $p(t)$（$a_0\ne0$）与 $\tilde p(t)=t^n-|a_{n-1}|t^{n-1}-\dots-|a_0|$：$\tilde p$ 有一个简单正根 $r$，不小于 $\tilde p$、$p$ 任何根的模（用友矩阵 + Perron–Frobenius，即 Cauchy 根界）。
P13（谱半径的灵敏度）：$x,y$ 为不可约非负 $A$ 的右、左 Perron 向量（$y^Tx=1$ 规范化），则 $\rho(A)$ 对 $a_{ij}$ 可微且 $\partial\rho(A)/\partial a_{ij}=x_iy_j>0$。P14：$A$ 不可约非负、$B\ge0$ 非零，则 $\rho(A+B)>\rho(A)$（两种证法：用 P13 积分，或用 8.4.5）。
P15：不可约非负矩阵的任何非负特征向量是 Perron 向量的正倍数；有两个线性无关非负特征向量的非负矩阵必可约。
P16：非负 $A$ 不可约 ⇔ 存在多项式 $p$ 使 $p(A)$ 每个元素非零；若 $\deg p\le d$ 则 $(I+A)^d>0$；若极小多项式次数为 $m$，则 $A$ 不可约 ⇔ $(I+A)^{m-1}>0$。
P17–P18（最佳秩一逼近）：非负 $A$，若 $AA^T$ 或 $A^TA$ 不可约，则 Frobenius 范数下最佳秩一逼近唯一、非负，$X=\sqrt{\rho(AA^T)}\,vw^T$，$v,w$ 为 $AA^T$、$A^TA$ 对应 $\rho(AA^T)$ 的正单位特征向量（即首奇异向量取正）。P18：对 $\begin{bmatrix}1&1\\1&1\end{bmatrix}$、$\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}$、$\begin{bmatrix}0&0\\1&1\end{bmatrix}$ 求最佳秩一逼近；$I_n$（$n>1$）的最佳秩一逼近不唯一。
P19：8.2.P9 的结论在不可约非负假设下成立。P20：实 $A$，$A^2$ 的负特征值代数、几何重数均为偶数；用若干例子（如 $\begin{bmatrix}0&2\\-1&-1/2\end{bmatrix}$、$\begin{bmatrix}0&-1&1\\0&0&1\\0&-1&0\end{bmatrix}$ 及一个 $n$ 阶例子）说明 $A^2\le0$ 且 $A^2\ne0$ 可能；$A^2$ 可以只有一个正元素而无零元；若 $A^2\le0$ 则 $A^2$ 必可约；若 $n>2$ 且至少 $n^2-n+2$ 个元素为负，则 $A^2$ 至少有一个正元。
P21：不可约非负 $A$，若非负非零 $x$ 与 $\alpha>0$ 满足 $Ax\le\alpha x$，则 $x>0$；推出非负特征向量必为 Perron 向量正倍数。
P22：$\mathbf R^n$ 中单位向量 $x_1,\dots,x_{n+2}$ 的 Gram 矩阵 $G$，若 $I-G\ge0$，则它（及 $G$）可约；推出 $\mathbf R^n$ 中两两夹角大于 $\pi/2$ 的向量至多 $n+1$ 个。
P23：不可约非负 $A$，$\operatorname{adj}(\rho(A)I-A)$ 是秩一正矩阵 $xy^T$ 的正倍数。
P24：非负 $A$、$\rho(A)>0$，若 $\lambda$ 是最大模特征值，则 $\lambda/\rho(A)=e^{i\theta}$ 是单位根且 $e^{ip\theta}\rho(A)$ 都是特征值（用 8.3.6 不可约标准形 + 8.4.6）；它们未必是全部最大模特征值，也未必简单。
P25（式 (8.4.9)）：$A_1=\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}$ 显示 $\lim(\operatorname{tr}A^m)^{1/m}$ 可不存在（8.2.P13 对非正矩阵不成立），但对任意非负 $A$： $\limsup_{m\to\infty}(\operatorname{tr}A^m)^{1/m}=\rho(A).\tag{8.4.9}$ 证明步骤：(a) $\operatorname{tr}A^m=|\sum\lambda_i(A^m)|\le\sum\sigma_i(A^m)=\|A^m\|_{\rm tr}$（迹范数）；(b) $\limsup\le\lim\|A^m\|_{\rm tr}^{1/m}=\rho(A)$（Gelfand 公式）；(c) 取不可约标准形中 $\rho(A_{i_\ell})=\rho(A)$ 的对角块，若它有 $k_\ell$ 个最大模特征值，则 $\rho(A)^{k_\ell}$ 是 $A_{i_\ell}^{k_\ell}$ 的 $k_\ell$ 重特征值，$\operatorname{tr}A_{i_\ell}^{pk_\ell}=\rho(A)^{pk_\ell}(k_\ell+o(1))$；取 $m_j$ 为诸 $k_\ell$ 公倍数的倍数；(d) $\operatorname{tr}A^{m_j}\ge(k_1+\dots+k_g+o(1))\rho(A)^{m_j}$；(e) 得下界。
P26：非负 $A$ 及非负 $x,y$ 满足 $Ax=\rho(A)x$、$y^TA=\rho(A)y^T$。则 $A$ 不可约 ⇔ $\rho(A)I-A$ 无零主子式 ⇔ $\operatorname{adj}(\rho(A)I-A)=cxy^T$ 为正。要点：不可约 ⇒ $\rho$ 简单、$x,y>0$，$\operatorname{adj}$ 的对角元 $cx_iy_i$ 等于 $\rho I-A$ 的 $n-1$ 阶主子式，非零故 $c>0$；反向用 8.3.P7。

8.5 本原矩阵（Primitive matrices）（PDF p.560–565）

动机：8.2.7（正矩阵 $(\rho^{-1}A)^m\to xy^T$）的证明对不可约非负矩阵依然有效，只要再加一个条件：除 $\rho(A)$ 外没有其他最大模特征值。

Definition 8.5.0：非负 $A\in M_n$ 称为本原的（primitive），若它不可约且只有一个非零最大模特征值。（概念源自 Frobenius 1912。）

Theorem 8.5.1：非负本原 $A$，$x,y$ 为右、左 Perron 向量（$x^Ty=1$），则

\lim_{m\to\infty}(\rho(A)^{-1}A)^m=xy^T>0\quad(\text{正秩一矩阵}).

证明：$\rho(A)$ 是简单特征值，有正的左右特征向量；做 8.2.7a 的分解 $\rho(A)^{-1}A=S([1]\oplus\rho(A)^{-1}B)S^{-1}$，$B$ 的特征值模均严格小于 $\rho(A)$，故 $(\rho(A)^{-1}B)^m\to0$。至此 Perron 定理全部从正矩阵推广到本原非负矩阵。

Theorem 8.5.2（本原的刻画）：非负 $A$ 本原 ⇔ 存在 $m\ge1$ 使 $A^m>0$。证明：若 $A^m>0$，则 $\Gamma(A)$ 中任意两节点间有长 $m$ 的有向路，强连通，$A$ 不可约；再由 8.4.3（$A^m$ 正 ⇒ 最大模特征值只有 $\rho$）。反之由 8.5.1，$(\rho^{-1}A)^m\to xy^T>0$，故某个 $m$ 使 $A^m>0$。练习：不可约非负且 $A^m>0$ ⇒ 对所有 $p>m$ 有 $A^p>0$（不可约保证每列有非零元，$A^{m+1}=A^mA>0$）。

Theorem 8.5.3（图论判据）：$A$ 不可约非负，节点 $P_1,\dots,P_n$；$L_i$ 为从 $P_i$ 出发回到 $P_i$ 的所有有向路（闭路）长度集合，$g_i=\gcd(L_i)$。则 $A$ 本原 ⇔ $g_1=\dots=g_n=1$。证明：不可约保证 $L_i$ 非空。若本原，则 $k\ge m$ 时 $A^k>0$，于是 $m+p\in L_i$ 对所有 $p\ge1$，$g_i=1$。若不本原、有 $k>1$ 个最大模特征值，由 8.4.7（书中引作 8.4.8），对 $k\nmid m$，$A^m$ 主对角全零，即不存在长 $m$ 的闭路，故 $L_i\subset\{k,2k,\dots\}$，$g_i\ge k>1$。 Romanovsky 定理：$A$ 不可约非负，则 $g_1=\dots=g_n=k$ 恰为最大模特征值个数（周期 period）。

Lemma 8.5.4：$A$ 不可约非负且主对角元全正，则 $A^{n-1}>0$，从而本原。证明：$\alpha=\min a_{ii}>0$，$B=A-\operatorname{diag}(a_{ii})\ge0$ 不可约，$A\ge\alpha I+B=\alpha(I+B/\alpha)$，由 8.4.1，$A^{n-1}\ge\alpha^{n-1}(I+B/\alpha)^{n-1}>0$。练习：非负 $A$ 对角为正时，$A^m$ 的 $(i,j)$ 元为正 ⇒ $A^{m+p}$ 的 $(i,j)$ 元为正。

Lemma 8.5.5：非负本原 $A$ 的所有幂 $A^m$ 仍非负本原。证明：$A$ 的充分大幂为正，故 $A^m$ 的充分大幂也为正；若 $A^m$ 可约，$A^{mp}$ 都可约，不可能为正，矛盾。（注意：不可约矩阵的幂可以可约，例 $\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}^2=I$。）

Theorem 8.5.6：非负本原 $A$，则存在 $k\le(n-1)n^n$ 使 $A^k>0$。证明：取 $P_1$ 回到自身的最短闭路长 $k_1\le n$，$A^{k_1}$ 的 $(1,1)$ 元为正且其任意幂亦然；$A^{k_1}$ 本原（8.5.5）故不可约，再取 $\Gamma(A^{k_1})$ 中 $P_2$ 的最短闭路长 $k_2\le n$，$A^{k_1k_2}$ 的 $(1,1),(2,2)$ 元为正；依次进行得 $A^{k_1\cdots k_n}$ 不可约且对角全正，由 8.5.4 得 $(A^{k_1\cdots k_n})^{n-1}>0$，而 $k_1\cdots k_n(n-1)\le n^n(n-1)$。

本原指数（index of primitivity）：使 $A^k>0$ 的最小 $k$，记 $\gamma(A)$。已知 $\gamma(A)\le n^n(n-1)$；对角全正时 $\gamma(A)\le n-1$。最短圈长度 $s$：$\Gamma(A)$ 中存在长 $s$ 的圈且无更短者。

Theorem 8.5.7：非负本原 $A$，$\Gamma(A)$ 最短圈长 $s$，则 $\gamma(A)\le n+s(n-2)$，即 $A^{n+s(n-2)}>0$。证明要点：最短圈长 $\le n$，设其节点为 $P_1,\dots,P_s$。$n+s(n-2)=n-s+s(n-1)$，考虑 $A^{n-s}(A^s)^{n-1}$。分块 $A^{n-s}=\begin{bmatrix}X_{11}&X_{12}\\X_{21}&X_{22}\end{bmatrix}$（$X_{11}\in M_s$）：因 $P_1..P_s$ 成圈，从圈上任一点出发任意长度 $m$ 都有路到达圈上某点，故 $X_{11}$ 每行有正元；圈外节点 $P_i$ 有长 $r\le n-s$ 的路到圈上，不足就绕圈补足到恰好 $n-s$，故 $X_{21}$ 每行有正元。再分块 $(A^s)^{n-1}=\begin{bmatrix}Y_{11}&Y_{12}\\Y_{21}&Y_{22}\end{bmatrix}$：$\Gamma(A^s)$ 在 $P_1..P_s$ 处有自环，$A^s$ 本原故不可约，任意 $P_i\to P_j$ 有长 $\le n-1$ 的路，先在自环上绕足够次数可使长度恰为 $n-1$，故 $Y_{11}>0$、$Y_{12}>0$。最后

A^{n-s}(A^s)^{n-1}\ge\begin{bmatrix}X_{11}Y_{11}&X_{11}Y_{12}\\X_{21}Y_{11}&X_{21}Y_{12}\end{bmatrix}

由 8.1.14（每行有正元的非负矩阵乘正矩阵为正）得结论。

Corollary 8.5.8（Wielandt 定理）：非负 $A\in M_n$ 本原 ⇔ $A^{n^2-2n+2}>0$。证明：$n>1$ 时若最短圈长为 $n$，则每个圈长都是 $n$ 的倍数，由 8.5.3 不本原；故 $s\le n-1$，$\gamma(A)\le n+(n-1)(n-2)=n^2-2n+2$。Wielandt 给出例子（8.5.P4）说明对零对角矩阵此界是最优的。

Theorem 8.5.9（Holladay–Varga）：$A$ 不可约非负，有 $d$ 个正对角元（$1\le d\le n$），则 $A^{2n-d-1}>0$，即 $\gamma(A)\le2n-d-1$。证明：$A$ 必本原，$\Gamma(A)$ 有 $d$ 个长 1 的圈（自环），设在 $P_1..P_d$。$A^{2n-d-1}=A^{n-d}(A^1)^{n-1}$，分块方式同 8.5.7（$s$ 换成 1、块大小换成 $d$）：$X_{11},X_{21}$ 每行有正元，$Y_{11},Y_{12}>0$。练习：$A=\begin{bmatrix}0&1\\1&1\end{bmatrix}$ 本原，特征值 $(1\pm\sqrt5)/2$；8.5.7 给 $\gamma\le2+1\cdot0=2$，8.5.9 给 $\gamma\le2\cdot2-1-1=2$，实际 $\gamma(A)=2$（$A^2=\begin{bmatrix}1&1\\1&2\end{bmatrix}$）。

实用检验策略：验证本原性可检查不可约 + Wielandt 条件。不可约且有正对角元必本原。零对角的大型无结构矩阵，用反复平方：$n=10$ 时验证不可约只需算 $(I+A)^2,(I+A)^4,(I+A)^8,(I+A)^{16}$（4 次乘法而非 8.4.1 直接要求的 8 次，因 $(I+A)^{16}\ge(I+A)^9$ 的零模式包含关系）；验证本原需 $A^2,A^4,\dots,A^{128}$（$128\ge82=n^2-2n+2$，7 次乘法而非 81 次）。依据：8.5.P3 类型的事实（正性一旦出现在幂中则保持）。实际中只需关心零/非零模式（布尔矩阵乘法）。

8.5 习题概要（8.5.P1–P20，PDF p.564–565）

P1：另一定义“存在 $m$ 使 $A^m>0$”与 8.5.0 等价（即 8.5.2）。P2：本原时 $\lim_m(a_{ij}^{(m)})^{1/m}=\rho(A)$ 对所有 $i,j$。P3：本原矩阵之积未必本原（举例）。
P4 Wielandt 矩阵：$a_{12}=a_{23}=\dots=a_{n-1,n}=a_{n1}=a_{n2}=1$，其余 0（$n\ge3$）。图含长 $n$ 与 $n-1$ 的圈，不可约本原；$A^{n^2-2n+1}$ 的 $(1,1)$ 元为 0，而 $A^{n^2-2n+2}>0$——Wielandt 界紧。
P5：不可约非负且有正对角元 ⇒ 本原；该条件对 $n=2$ 必要，对 $n\ge3$ 不必要。P6：补全 8.5.9 证明。P7：讨论反复平方的计算捷径。
P8：幂等 $A$ 有 $A=\lim A^m$；不可约非负幂等矩阵是秩一正矩阵。P9：$\lim(\rho^{-1}A)^m$ 存在不需本原（可约、多个最大模特征值也可，如 $I$）。P10：部分逆命题：$A$ 不可约非负且极限存在 ⇒ 本原。P11：$\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}$ 不可约但平方可约，不与 8.5.5 矛盾（它不本原）。P12：不可约非负但极限不存在的例子。P13：$A$ 不可约非负、$\epsilon>0$ ⇒ $A+\epsilon I$ 本原；故不可约非负矩阵是本原矩阵的极限。
P14：组合对称（combinatorially symmetric）：$a_{ij}>0\Leftrightarrow a_{ji}>0$。组合对称本原 ⇒ $A^{2n-2}>0$。
P15：$n$ 素数、不可约非负非奇异 ⇒ 要么本原，要么相似于 $x^n-\rho(A)^n$ 的友矩阵（全部特征值最大模）。
P16 幂法（power method）：$x^{(0)}>0$、$\sum x_i^{(0)}=1$；$y^{(m+1)}=Ax^{(m)}$，$x^{(m+1)}=y^{(m+1)}/\sum_iy_i^{(m+1)}$。若 $A$ 本原，则 $x^{(m)}\to$ 右 Perron 向量，$\sum_iy_i^{(m+1)}\to\rho(A)$；收敛速率由 $|\lambda_2|/\rho(A)$ 决定；不本原时（如 $\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}$）可能振荡不收敛。（PageRank 计算的数学基础。）
P17：本原性只依赖零元的位置而与非零元大小无关。P18：对称不可约非负 $A$ 本原 ⇔ $A+\rho(A)I$ 非奇异（即 $-\rho(A)$ 不是特征值）；半正定时自动成立。（无向图邻接矩阵：本原 ⇔ 连通且非二部图。）
P19：对 8 个 2×2 0-1 矩阵求特征值、特征向量并按非负/不可约/本原/正分类。P20：8.5.7 证明中 $X_{11},X_{12}$ 每列有非零元、$Y_{21}>0$ 的理由。

延伸阅读：Romanovsky 定理见 V. Romanovsky, Acta Math. 66 (1936)；Wielandt 定理即 $A^{(n-1)^2+1}>0$；以极小多项式次数 $m$ 改进为 $A^{(m-1)^2+1}>0$ 见 J. Shen, LAA 216 (1995)。

8.6 一般极限定理（A general limit theorem）（PDF p.565–567）

即使 $A$ 不可约，$(\rho^{-1}A)^m$ 也可能无极限（如 $\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}$），但其 Cesàro 平均 有极限。

两个练习（引理）：

$\theta\in(0,2\pi)$：$(1-e^{i\theta})\sum_{m=1}^Ne^{im\theta}=e^{i\theta}-e^{i(N+1)\theta}$，故 $\frac1N\sum_{m=1}^Ne^{im\theta}=\frac{e^{i\theta}-e^{i(N+1)\theta}}{N(1-e^{i\theta})}\to0$。
$\rho(B)<1$：$(I-B)\sum_{m=1}^NB^m=B-B^{N+1}$，故 $\frac1N\sum_{m=1}^NB^m=\frac1N(B-B^{N+1})(I-B)^{-1}\to0$。

Theorem 8.6.1：$A\in M_n$ 不可约非负，$n\ge2$，$x,y$ 为右、左 Perron 向量（$x^Ty=1$），则

\lim_{N\to\infty}\frac1N\sum_{m=1}^N(\rho(A)^{-1}A)^m=xy^T\tag{8.6.2}

且存在有限正常数 $C=C(A)$ 使

\Big\|\frac1N\sum_{m=1}^N(\rho(A)^{-1}A)^m-xy^T\Big\|_\infty\le\frac CN,\quad N=1,2,\dots\tag{8.6.3}

证明：本原情形由分解 $\rho^{-1}A=S([1]\oplus B)S^{-1}$（$x$ 为 $S$ 首列，$y$ 为 $S^{-1}$ 首行的转置），$\rho(B)<1$，平均后 $\to S([1]\oplus0_{n-1})S^{-1}=xy^T$。若有 $k>1$ 个最大模特征值，$\theta=2\pi/k$，由 8.4.6(c)，$\rho^{-1}A$ 的最大模特征值 $1,e^{i\theta},\dots,e^{i(k-1)\theta}$ 都简单，故

\rho(A)^{-1}A=S([1]\oplus[e^{i\theta}]\oplus\dots\oplus[e^{i(k-1)\theta}]\oplus B)S^{-1},\ \rho(B)<1.

平均后为 $S([1]\oplus[\lambda_{1,N}]\oplus\dots\oplus[\lambda_{k-1,N}]\oplus\mathcal B_N)S^{-1}$，其中

\lambda_{j,N}=\frac{e^{ij\theta}-e^{i(N+1)j\theta}}{N(1-e^{ij\theta})}\to0,\qquad\mathcal B_N=\frac1N(B-B^{N+1})(I-B)^{-1}\to0\tag{8.6.4}

误差表示

\frac1N\sum(\rho^{-1}A)^m-xy^T=\frac1NS\big([0]\oplus[N\lambda_{1,N}]\oplus\dots\oplus[N\lambda_{k-1,N}]\oplus N\mathcal B_N\big)S^{-1}\tag{8.6.5}

括号内矩阵关于 $N$ 有界，得 $O(1/N)$ 界。直观：周期 Markov 链（周期 $k$）的转移概率不收敛，但时间平均收敛到平稳分布（遍历定理的矩阵版）。

8.6 习题概要

P1：$A=\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}$ 时计算 (8.6.5) 中的直和因子，说明 $O(1/N)$ 界不能改进（奇数 $N$ 时误差恰为 $\frac1{2N}$ 量级）。
P2：$A$ 不可约非负 ⇒ 对每对 $i,j$，$a_{ij}^{(m)}>0$ 对无穷多个 $m$ 成立；但也可能对无穷多个 $m$ 为 0（周期矩阵）。

8.7 随机矩阵与双随机矩阵（Stochastic and doubly stochastic matrices）（PDF p.567–573）

定义：非负 $A\in M_n$ 若 $Ae=e$（$e$ 为全 1 向量，每行和为 1），称为**（行）随机矩阵（row stochastic matrix）**，每行可视为 $n$ 点样本空间上的离散概率分布；**列随机矩阵（column stochastic）**是其转置，$e^TA=e^T$（8.0 节城市间人口迁移模型即此类）。随机矩阵出现于 Markov 链、经济学与运筹学建模。

由 $Ae=e$ 与 8.3.4，$+1$ 不仅是特征值，而且就是谱半径 $\rho(A)=1$。
随机矩阵集合是紧凸集（元素在 $[0,1]$；$(\alpha A+(1-\alpha)B)e=e$）。它们是“拥有同一正特征向量 $e$”的非负矩阵族，因此自动继承 8.1.30、8.1.31、8.1.33、8.3.4 等关于“有正特征向量的非负矩阵”的性质。
练习：$n\times n$ 随机矩阵至少有 $n$ 个非零元（每行至少一个）。

双随机矩阵（doubly stochastic）：$A$ 与 $A^T$ 均随机，即非负且 $Ae=e$、$e^TA=e^T$。集合为两个紧凸集的交，仍紧凸。特例：

4.3.49、6.3.5 中的正交随机 / 酉随机矩阵（orthostochastic / unistochastic） $A=[|u_{ij}|^2]$，$U$ 实正交或酉；
置换矩阵（构成群），是“原型”双随机矩阵——Birkhoff 定理说任何双随机矩阵都是有限个置换矩阵的凸组合。

练习：$n\ge2$，$A$ 双随机且某 $a_{ii}=1$，则 (a) 第 $i$ 行、第 $i$ 列其余元全为 0；(b) $A$ 置换相似于 $[1]\oplus B$，$B$ 双随机；(c) $B$ 的对角元即 $A$ 的对角元去掉一个 1；(d) $p_A(t)=(t-1)p_B(t)$。

Lemma 8.7.1：$A\in M_n$ 双随机且 $A\ne I$，则存在非恒等置换 $\sigma$ 使 $a_{1\sigma(1)}\cdots a_{n\sigma(n)}>0$。证明（反证）：设所有非恒等置换 $\sigma$ 的乘积都为 0，则由行列式展开 (0.3.2.1)

p_A(t)=\det(tI-A)=\prod_{i=1}^n(t-a_{ii})+\sum_{\sigma\ne\sigma_0}\Big(\operatorname{sgn}\sigma\prod_{i}(-a_{i\sigma(i)})\Big)=\prod_{i=1}^n(t-a_{ii}),

所以对角元就是特征值。1 是特征值，故某 $a_{ii}=1$；由上一练习 $A$ 置换相似于 $[1]\oplus B$，$p_B(t)=p_A(t)/(t-1)=\prod_{i=1}^{n-1}(t-b_{ii})$，对 $B$ 重复论证又得一个 $b_{ii}=1$；至多 $n-1$ 步后全部对角元为 1，$A=I$，矛盾。

练习：双随机矩阵若恰有 $n$ 个正元，则为置换矩阵；若非置换矩阵，零元至多 $n^2-n-1$ 个。

Theorem 8.7.2（Birkhoff 定理）：$A\in M_n$ 双随机 ⇔ 存在置换矩阵 $P_1,\dots,P_N$ 与正数 $t_1,\dots,t_N$，$\sum t_i=1$，使

A=t_1P_1+\dots+t_NP_N,\tag{8.7.3}

且可取 $N\le n^2-n+1$。证明（构造性算法）：充分性显然。若 $A$ 非置换矩阵，由 8.7.1 取非恒等 $\sigma$ 使 $a_{1\sigma(1)}\cdots a_{n\sigma(n)}>0$，令 $\alpha_1=\min_ia_{i\sigma(i)}$，$P_1$ 为 $p_{i\sigma(i)}=1$ 的置换矩阵。$\alpha_1=1$ 则 $A$ 已是置换矩阵，故 $0<\alpha_1<1$。令

A_1=(1-\alpha_1)^{-1}(A-\alpha_1P_1),

$A_1$ 双随机且比 $A$ 至少多一个零元，$A=(1-\alpha_1)A_1+\alpha_1P_1$。若 $A_1$ 非置换矩阵，重复得 $A_2=(1-\alpha_2)^{-1}(A_1-\alpha_2P_2)$，$A=(1-\alpha_1)(1-\alpha_2)A_2+(1-\alpha_1)\alpha_2P_2+\alpha_1P_1$，依此类推直到某 $A_k$ 为置换矩阵，得 $k+1$ 项表示。$A_k$ 至少 $k$ 个零元，而双随机矩阵至多 $n^2-n$ 个零元，故迭代至多 $n^2-n$ 次，项数 $\le n^2-n+1$。（8.7.P15 进一步改进到 $n^2-2n+2$。） 算法直观：每步“剥离”一个置换矩阵的正倍数并制造新零元（实践中寻找 $\sigma$ 是二分图完美匹配问题）。

Corollary 8.7.4：凸（凹）实值函数在双随机矩阵集合上的最大值（最小值）在某置换矩阵处取得。证明：设 $f$ 凸，最大值在 $A$ 取得，$A=\sum t_iP_i$，取 $f(P_k)=\max_if(P_i)$，则 $f(A)\le\sum t_if(P_i)\le f(P_k)$，故 $f(A)=f(P_k)$。凹函数最小值同理。（这正是 6.3.5 Hoffman–Wielandt 定理证明的关键；凸集、极点见附录 B。）

双次随机矩阵（doubly substochastic）：非负且 $Ae\le e$、$e^TA\le e^T$（行和、列和均 $\le1$）。

Lemma 8.7.5：双次随机 $A$ 必被某双随机矩阵 $S$ 控制：$A\le S$（逐元素）。证明：令 $N(S)$ 为行和与列和中小于 1 的个数；$N(A)=0$ 即双随机。若 $N(A)>0$，因行和总和 = 列和总和，必存在行 $i$ 与列 $j$ 的和都 $<1$，增大 $a_{ij}$ 直到第 $i$ 行或第 $j$ 列之和等于 1，得 $C\ge A$ 双次随机且 $N(C)<N(A)$；有限归纳完成。

练习：$U=[u_{ij}],V=[v_{ij}]$ 酉，则 $S=[|u_{ij}v_{ji}|]$ 双次随机（Cauchy–Schwarz：$\sum_j|u_{ij}v_{ji}|\le(\sum_j|u_{ij}|^2)^{1/2}(\sum_j|v_{ji}|^2)^{1/2}=1$）。

Theorem 8.7.6（von Neumann 迹定理，方阵情形）：$A,B\in M_n$ 奇异值 $\sigma_1(A)\ge\dots\ge\sigma_n(A)$、$\sigma_1(B)\ge\dots\ge\sigma_n(B)$，则

\operatorname{Re}\operatorname{tr}(AB)\le\sum_{i=1}^n\sigma_i(A)\sigma_i(B).

证明：SVD $A=V_1\Sigma_AW_1^*$，$B=V_2\Sigma_BW_2^*$，令 $U=W_1^*V_2=[u_{ij}]$、$V=W_2^*V_1=[v_{ij}]$（酉），则

\operatorname{Re}\operatorname{tr}(AB)=\operatorname{Re}\operatorname{tr}(\Sigma_AU\Sigma_BV)=\sum_{i,j}\sigma_i(A)\sigma_j(B)\operatorname{Re}(u_{ij}v_{ji})\le\sum_{i,j}\sigma_i(A)\sigma_j(B)|u_{ij}v_{ji}|.

$[|u_{ij}v_{ji}|]$ 双次随机，由 8.7.5 被某双随机 $C=[c_{ij}]$ 控制，故 $\le\sum\sigma_i(A)\sigma_j(B)c_{ij}\le\max_S\sum_{i,j}\sigma_i(A)\sigma_j(B)s_{ij}$。$f(S)$ 线性（故凸），由 8.7.4 最大值在置换矩阵 $P$（对应置换 $\pi$）处取得：$\le\sum_i\sigma_i(A)\sigma_{\pi(i)}(B)\le\sum_i\sigma_i(A)\sigma_i(B)$，末步为重排不等式 (4.3.52)。（这是 7.4.1.1 的方阵情形。）

8.7 习题概要（8.7.P1–P15，PDF p.571–572）

P1：（双）随机矩阵在乘法下构成半群。
P2：随机矩阵幂有界，故每个模为 1 的特征值都是半单（semisimple）的。P3：非负 $A$ 有正特征向量 $x$，$D=\operatorname{diag}(x)$，则 $\rho(A)^{-1}D^{-1}AD$ 是随机矩阵——许多问题可化归随机矩阵。P4：由此有正特征向量的非负矩阵的最大模特征值都半单。
P5：双随机矩阵 $\sigma_1(A)=\rho(A)=1$（谱矩阵 spectral matrix）；两种证法：用 (8.7.3) 与范数凸性，或用 2.6.P29。P6：由置换不变向量范数诱导的矩阵范数对双随机矩阵取值 1。
P7–P8：置换矩阵是双随机矩阵集合的极点（extreme point），且极点恰为置换矩阵。
P9：双随机矩阵不能恰有 $n+1$ 个正元；非置换矩阵时零元至多 $n^2-n-2$。P10：2×2 双随机矩阵对称且对角元相等（形如 $\begin{bmatrix}a&1-a\\1-a&a\end{bmatrix}$）。P11：(8.7.3) 表示不唯一。
P12：$A$ 双随机、对称、半正定，则 $A^{1/2}e=e$（$A^{1/2}$ 行列和为 1）；$A^{1/2}$ 一般未必非负，但 $n=2$ 时非负（从而双随机）。P13：酉不变矩阵范数满足 $\|A\|\le\|I\|$（$A$ 双随机）。P14：可约双随机矩阵置换相似于 $A_1\oplus A_2$（两块均双随机，即可约 ⇒ 完全可分解）。
P15（Birkhoff 项数改进）：双随机矩阵满足 $2n-1$ 个独立线性方程（$n$ 个行和 + $n-1$ 个列和）；写成 $A\operatorname{vec}S=e\in\mathbf R^{2n-1}$，$A\in M_{2n-1,n^2}$ 行满秩，零空间维数 $n^2-2n+1$，双随机矩阵集合是 $\mathbf R^{n^2-2n+1}$ 中的凸多面体；结合 Carathéodory 定理（附录 B）得任一双随机矩阵是至多 $n^2-2n+2$ 个置换矩阵的凸组合。

注记与延伸阅读：8.7.2 见 G. Birkhoff (1946, Univ. Nac. Tucumán Rev.)；D. Kőnig 1916 对非负有理元情形已得等价结论，故亦称 Birkhoff–Kőnig 定理。证明中唯一非构造的部分是找 $\sigma$ 使 $\prod a_{i\sigma(i)}>0$；构造性算法见 Bapat & Raghavan (1997) pp.64–65（该书第 2 章系统讨论双随机矩阵）。PDF p.574 为空白页。

第 8 章（本块所覆盖部分）本章要点

不可约非负矩阵的最大模特征值恰为 $\rho(A)$ 乘以全部 $k$ 次单位根（8.4.6），且都简单；$k$ 整除非零特征值个数；$k>1$ 时对角元为 0、可置换成循环块形 (8.4.8)。
本原 = 不可约 + 唯一最大模特征值 ⇔ 某幂为正（8.5.2）⇔ 各节点闭路长度 gcd 为 1（8.5.3）。本原时 $(\rho^{-1}A)^m\to xy^T$（8.5.1，即遍历 Markov 链收敛）。
本原指数界：对角全正 $\le n-1$（8.5.4）；最短圈 $s$ 时 $\le n+s(n-2)$（8.5.7）；Wielandt 一般界 $n^2-2n+2$ 且紧（8.5.8）；$d$ 个正对角元时 $\le2n-d-1$（8.5.9）。
不可约非负矩阵的 Cesàro 平均总收敛到 $xy^T$，误差 $O(1/N)$（8.6.1）。
随机矩阵谱半径为 1；双随机矩阵 = 置换矩阵的凸包（Birkhoff，8.7.2），凸函数在其上的最大值在置换矩阵取得（8.7.4）；由此推出 von Neumann 迹不等式（8.7.6）。

与量化交易的关联

Markov 链与状态转移：行随机矩阵即离散 Markov 链转移矩阵（信用评级迁移矩阵、市场状态 regime 切换模型、订单簿状态模型）。8.5.1 给出“本原（不可约且非周期）链 $P^m\to e\pi^T$”的严格依据，$\pi$ 为平稳分布（左 Perron 向量）；收敛速度由次大特征值模 $|\lambda_2|$ 决定（混合时间）。周期链只有 Cesàro 平均收敛（8.6.1）——蒙特卡洛模拟中用时间平均估计稳态是合理的。
评级迁移矩阵的多期推算：$P^m$ 的计算、判断某评级是否终会到达（不可约性、$(I+A)^{n-1}>0$ 检测）、用反复平方降低计算量（8.5 节末的技巧）。
幂法与 PageRank / 网络中心性：8.5.P16 幂法用于计算 Perron 向量，可用于资产关联网络（相关性网络、供应链网络、资金流网络）的特征向量中心性；本原性保证收敛。
谱半径灵敏度 8.4.P13：$\partial\rho/\partial a_{ij}=x_iy_j$，可用于系统性风险传染模型（如银行间敞口矩阵的放大因子）中识别最关键的连边。
Birkhoff 定理：在组合优化里，“分配问题”（如交易指令与执行通道/券商的一一匹配、配对交易中的资产配对）在线性目标下的 LP 松弛最优解必在置换矩阵取得（8.7.4），所以可用 LP 或匈牙利算法求整数解。
von Neumann 迹不等式：$\operatorname{tr}(AB)\le\sum\sigma_i(A)\sigma_i(B)$ 是 Procrustes 问题（因子旋转对齐、协方差矩阵的最近正交变换）和低秩逼近证明的核心工具，在因子模型的旋转、风险模型对齐中会用到。

附录（Appendices）

附录 A 复数（Complex Numbers）（PDF p.575–576）

定义与运算：$z=a+ib$，$a=\operatorname{Re}z$（实部 real part），$b=\operatorname{Im}z$（虚部 imaginary part），$i^2=-1$；共轭（complex conjugate）$\bar z=a-ib$。加法分量相加；乘法 $z_1z_2=a_1a_2-b_1b_2+i(a_1b_2+a_2b_1)$。$z\ne0$ 时 $\frac1z=\frac{a-ib}{a^2+b^2}=\frac{a}{a^2+b^2}+i\frac{-b}{a^2+b^2},\qquad \frac{z_1}{z_2}=\frac{z_1\bar z_2}{z_2\bar z_2}.$ $\mathbf C$ 是域，$\mathbf R$ 是其子域。
模（modulus / absolute value）：$|z|=+(z\bar z)^{1/2}=((\operatorname{Re}z)^2+(\operatorname{Im}z)^2)^{1/2}$；$|z|=0\Leftrightarrow z=0$。共轭与乘法交换 $\overline{z_1z_2}=\bar z_1\bar z_2$，$\bar{\bar z}=z$；$\operatorname{Re}z=\frac12(z+\bar z)$，$\operatorname{Im}z=\frac1{2i}(z-\bar z)$；实数 ⇔ $z=\bar z$。$\operatorname{Re}z\le|z|$，等号 ⇔ $z$ 为非负实数。
几何：复平面（实轴、虚轴）；共轭 = 关于实轴反射；开（闭）右半平面 $\operatorname{Re}z>(\ge)0$，上半平面 $\operatorname{Im}z>(\ge)0$；单位圆盘 $|z|\le1$；以 $a$ 为心半径 $r$ 的圆盘 $|z-a|\le r$。
极坐标：$z=re^{i\theta}$，$e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$，$\theta=\arg z$（辐角，模 $2\pi$ 确定，主值取 $[0,2\pi)$）；$|e^{i\theta}|=1$，$(e^{i\theta})^{-1}=e^{-i\theta}$，$|e^{i\theta}z|=|z|$。对每个 $z$ 存在实数 $\theta$ 使 $e^{-i\theta}z=|z|$。
三角不等式（triangle inequality）及等号条件：$|z_1+\dots+z_m|\le|z_1|+\dots+|z_m|$。证明：取 $\theta$ 使 $e^{-i\theta}\sum z_k=|\sum z_k|$，则 $|\sum z_k|=\sum\operatorname{Re}(e^{-i\theta}z_k)\le\sum|z_k|$；等号 ⇔ 每个 $z_k=e^{i\theta}|z_k|$ 落在同一射线 $\{re^{i\theta}:r\ge0\}$ 上。

附录 B 凸集与凸函数（Convex Sets and Functions）（PDF p.577–580）

凸组合（convex combination）：$\sum\alpha_iv_i$，$\alpha_i\ge0$，$\sum\alpha_i=1$。凸集：对凸组合封闭（等价于对两点凸组合封闭，即连接两点的线段在集合内）。凸锥（convex cone）：凸集且 $\alpha>0$ 时 $\alpha x\in K$。凸集（凸锥）的集合和与交仍为凸集（凸锥）。
极点（extreme point）：$z=\alpha x+(1-\alpha)y$（$0<\alpha<1$，$x,y\in K$）必有 $x=y=z$。闭凸集可有有限个（多面体）、无穷个（闭圆盘）或没有（$\mathbf R^2$ 闭上半平面）极点；紧凸集一定有极点。
凸包（convex hull） $\operatorname{Co}(S)$：$S$ 中点的所有凸组合 = 包含 $S$ 的最小凸集。Krein–Milman 定理：紧凸集是其极点凸包的闭包。有限个极点的紧凸集称有限生成，极点为生成元。Carathéodory（–Steinitz）定理：$S\subset\mathbf R^n$ 凸包中任一点是 $S$ 中至多 $n+1$ 个点的凸组合（8.7.P15 用到）。
分离超平面定理（separating hyperplane theorem）：实内积空间中，$K_1$ 闭凸、$K_2$ 紧凸且不相交，则存在超平面 $H=\{x:\langle x-p,q\rangle=0\}$（$q\ne0$）使 $K_1\subseteq H_0^+$，$K_2\subseteq H_0^-$（闭半空间 $H_0^\pm=H^\pm\cup H$，开半空间 $H^+=\{\langle x-p,q\rangle>0\}$，$H^-$ 类似）。若两者闭包不交，可严格分离。有界集凸包的闭包 = 所有包含它的闭半空间之交。$\mathbf C^n$ 时把 $x+iy$ 等同于 $\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}\in\mathbf R^{2n}$，用实内积 $\operatorname{Re}\langle\cdot,\cdot\rangle$（$\operatorname{Re}\langle x_1+iy_1,x_2+iy_2\rangle=\langle x_1,x_2\rangle+\langle y_1,y_2\rangle$）。
凸函数： $f(\alpha x+(1-\alpha)y)\le\alpha f(x)+(1-\alpha)f(y),\quad0<\alpha<1,\ x\ne y\tag{B1}$ 恒严格时称严格凸；反向为凹（concave）。几何：弦在图像上方。线性函数既凸又凹。$\mathbf R^n$ 开凸集上，Hessian $H(x)=[\partial^2f/\partial x_i\partial x_j]$ 对有界凸函数几乎处处存在且半正定（严格凸时正定）；反之 Hessian 处处半正定（正定）⇒ 凸（严格凸）。负定对应凹。
优化性质：紧凸集上凸（凹）函数的最大（最小）值在极点取得（8.7.4 即其特例）；凸集上凸函数的最小点集是凸的，局部极小即全局极小；严格凸函数至多在一点取最小值，临界点必为最小点。
经典不等式：
- (B2) $\min x_i\le\sum\alpha_ix_i\le\max x_i$。
- (B3) Jensen 型 $n$ 点不等式 $f(\sum\alpha_ix_i)\le\sum\alpha_if(x_i)$（由 (B1) 归纳）。
- (B4) 加权算术–几何平均不等式：对 $f=-\log x$ 得 $\sum\alpha_ix_i\ge\prod x_i^{\alpha_i}$（$x_i\ge0$）；(B5) $\alpha_i=1/n$ 时 $\frac1n\sum x_i\ge(\prod x_i)^{1/n}$，等号 ⇔ 全相等。
- (B6) Hölder 不等式：$\sum x_iy_i\le(\sum x_i^p)^{1/p}(\sum y_i^q)^{1/q}$，$x_i,y_i>0$，$p>1$，$1/p+1/q=1$（用 $f=x^p$），等号 ⇔ $[x_i^p]$ 与 $[y_i^q]$ 线性相关。(B7) $p=q=2$ 为 Cauchy–Schwarz。(B8) 极限情形 $\sum x_iy_i\le(\sum x_i)\max y_i$（$x_i,y_i\ge0$）。
- (B9) Minkowski 和不等式：$(\sum(x_i+y_i)^p)^{1/p}\le(\sum x_i^p)^{1/p}+(\sum y_i^p)^{1/p}$（$p>1$），由 Hölder 推出，等号 ⇔ 线性相关。
- (B10) Minkowski 积不等式：$(\prod(x_i+y_i))^{1/n}\ge(\prod x_i)^{1/n}+(\prod y_i)^{1/n}$（由 AM–GM 推出）。
- (B11)（书中称 Jensen 不等式）$\ell_p$ 范数关于 $p$ 递减：$0<p_1<p_2$ 时 $(\sum x_i^{p_1})^{1/p_1}>(\sum x_i^{p_2})^{1/p_2}$。证明：$\frac{(\sum x_i^{p_2})^{1/p_2}}{(\sum x_i^{p_1})^{1/p_1}}=\Big(\sum_i\big(\tfrac{x_i^{p_1}}{\sum_jx_j^{p_1}}\big)^{p_2/p_1}\Big)^{1/p_2}<\Big(\sum_i\tfrac{x_i^{p_1}}{\sum_jx_j^{p_1}}\Big)^{1/p_2}=1$（每项小于 1 且指数 $p_2/p_1>1$；$n\ge2$）。
延伸阅读：Valentine (1964) 凸几何；Boas (1972) 凸函数；B4–B11 证明见 Beckenbach & Bellman (1965)、Hardy–Littlewood–Pólya (1959)。

附录 C 代数基本定理（The Fundamental Theorem of Algebra）（PDF p.581）

动机：实系数多项式可无实根，如 $t^2-2t+2$ 的根为 $1\pm i$。$\mathbf C$ 是代数闭域（algebraically closed field）。
代数基本定理：次数 $\ge1$ 的复系数多项式在 $\mathbf C$ 中至少有一个根。由综合除法，$p(z)=0$ ⇒ $p(t)=(t-z)q(t)$，$\deg q=\deg p-1$。
Theorem：$n\ge1$ 次复系数多项式计重数恰有 $n$ 个复根。根 $z$ 的重数 = 使 $(t-z)^k\mid p(t)$ 的最大 $k$。故复多项式可分解为一次因式之积。
实系数多项式的非实根成共轭对（$p(\bar z)=\overline{p(z)}$）；$(x-z)(x-\bar z)=x^2-2\operatorname{Re}(z)x+|z|^2$，故实多项式可分解为实一次与不可约实二次因式之积。初等证明见 Childs (1979)。PDF p.582 为空白页。

附录 D 多项式零点与矩阵特征值的连续性（Continuity of Polynomial Zeroes and Matrix Eigenvalues）（PDF p.583–584）

$n$ 次多项式的零点连续依赖于系数（通常用复分析证明）。难点：零点没有自然的排序，不能直接定义“系数 → 零点”的函数，所以用“存在一个匹配置换”的定量形式表述。
Theorem D1：$p(t)=t^n+a_1t^{n-1}+\dots+a_n$，$q(t)=t^n+b_1t^{n-1}+\dots+b_n$，零点分别为 $\lambda_1..\lambda_n$、$\mu_1..\mu_n$（计重数）。令 $\gamma=2\max_{1\le k\le n}\{|a_k|^{1/k},|b_k|^{1/k}\}$，则存在置换 $\tau$ 使 $\max_{1\le j\le n}|\lambda_j-\mu_{\tau(j)}|\le2^{\frac{2n-1}{n}}\Big(\sum_{k=1}^n|a_k-b_k|\gamma^{n-k}\Big)^{1/n}.$
Theorem D2：$A,B\in M_n$，特征值 $\lambda_j$、$\mu_j$，存在置换 $\tau$ 使 $\max_j|\lambda_j-\mu_{\tau(j)}|\le2^{\frac{2n-1}{n}}(\|A\|_2+\|B\|_2)^{\frac{n-1}{n}}\|A-B\|_2^{\frac1n}$ （$\|\cdot\|_2$ 为谱范数）。要点：一般矩阵特征值对扰动只有 $1/n$ 次 Hölder 连续（Jordan 块 $J_n(0)$ 加 $\varepsilon$ 扰动角元，特征值变化 $\varepsilon^{1/n}$）；而 Hermitian/正规矩阵有 Weyl、Hoffman–Wielandt 的 Lipschitz 界。出处：Bhatia, Elsner, Krause, LAA 142 (1990)。

附录 E 连续性、紧性与 Weierstrass 定理（Continuity, Compactness, and Weierstrass's Theorem）（PDF p.585–586）

有限维赋范空间 $V$：闭球 $B_\epsilon(x)=\{\|y-x\|\le\epsilon\}$，开球（严格不等号）；开集、闭集（补集开 ⇔ 收敛序列极限仍在集内）、有界集（含于某有限半径球）、紧集（compact）= 有界闭集（有限维下）。
$\inf f$、$\sup f$ 可能不有限，有限也未必取到。连续、一致连续的 $\epsilon$-$\delta$ 定义。
Weierstrass 定理：$S$ 为有限维实/复赋范空间的紧子集，$f:S\to\mathbf R$ 连续，则存在 $x_{\min},x_{\max}\in S$ 使 $f(x_{\min})\le f(x)\le f(x_{\max})$ 对所有 $x\in S$。最值点可不唯一；紧性或连续性任一不满足结论可能失败；有限维不是本质的（一般拓扑空间的紧子集上亦成立）。参考 Kreyszig (1978) 第 2 章、Conway (1990) 第 3 章。

附录 F 典范对（Canonical Pairs）（PDF p.587–589）

任意 $A\in M_n(\mathbf C)$ 唯一分解为 $A=S(A)+C(A)$，$S(A)=\frac12(A+A^T)$ 对称、$C(A)=\frac12(A-A^T)$ 反对称；也唯一分解为 $A=H(A)+iK(A)$，$H(A)=\frac12(A+A^*)$、$K(A)=\frac1{2i}(A-A^*)$ 均 Hermitian。对 $(S(A),C(A))$ 的同时合同（congruence）对应 $A$ 的合同；对 $(H(A),K(A))$ 的同时 *合同（*congruence）对应 $A$ 的 *合同。因此 4.5 节合同 / *合同典范形可翻译为典范对（canonical pairs）。
使用的 $k\times k$ 矩阵：$M_k$（次对角与超对角全为 1 的对称三对角矩阵）、$N_k$（超对角为 1、次对角为 $-1$ 的反对称矩阵）、$X_k$、$Y_k$（反对角线附近带交错符号 $\pm1$ 的矩阵：$X_k$ 的反对角元自左下起为 $1,-1,1,\dots,(-1)^{k+1}$；$Y_k$ 的非零元位于反对角线下方相邻的一条斜线上，交错为 $1,-1,\dots$，右上角附近为 $(-1)^k$）；以及 4.5.19 第一类矩阵的两参数版 $\Delta_k(a,b)$（反对角元为 $a$，紧挨在反对角线下方的斜线元为 $b$，其余为 0）。
矩阵对：同阶方阵的有序对 $(A,B)$；直和 $(A_1,A_2)\oplus(B_1,B_2)=(A_1\oplus B_1,A_2\oplus B_2)$；斜和（skew sum） $[A\backslash B]=\begin{bmatrix}0&B\\A&0\end{bmatrix}$。$(A_1,A_2)$ 与 $(B_1,B_2)$ 同时合同（同时 *合同）：存在非奇异 $R$ 使 $A_1=R^TB_1R$、$A_2=R^TB_2R$（相应地用 $R^*$）。
Theorem F1(a)：对称 $S$ 与反对称 $C$ 的对 $(S,C)$ 同时合同于下列三型对的直和（除排列外唯一），对应 $A=S+C$ 的合同典范型 (4.5.25)：
- Type 0：$J_n(0)$ ↔ $(M_n,N_n)$；
- Type I：$\Gamma_n$ ↔ $n$ 奇数时 $(X_n,Y_n)$，$n$ 偶数时 $(Y_n,X_n)$；
- Type II：$H_{2n}(\mu)$ ↔ $([J_n(\mu+1)\backslash J_n(\mu+1)^T],\ [J_n(\mu-1)\backslash-J_n(\mu-1)^T])$，$0\ne\mu\ne(-1)^{n+1}$，$\mu$ 在 $\mu\leftrightarrow\mu^{-1}$ 意义下确定。 Type II 也可换成两种替代形式：$0\ne\mu\ne-1$（$n$ 奇时 $\mu\ne1$）时用 $([I_n\backslash I_n],[J_n(\nu)\backslash-J_n(\nu)^T])$，$\nu=\frac{\mu-1}{\mu+1}$（$n$ 奇时 $\nu\ne0$，$\nu\ne\pm1$，$\nu$ 在 $\nu\leftrightarrow-\nu$ 意义下确定）；$\mu=-1$、$n$ 奇时用 $([J_n(0)\backslash J_n(0)^T],[I_n\backslash-I_n])$。
Theorem F1(b)：Hermitian 对 $(H,K)$ 同时 *合同于下列四型对的直和（除排列外唯一），对应 $A=H+iK$ 的 *合同典范型 (4.5.21)：
- Type 0：$J_n(0)$ ↔ $(M_n,iN_n)$；
- Type I：$\lambda\Delta_n$，$|\lambda|=1$、$\lambda^2\ne-1$ ↔ $\pm(\Delta_n(1,0),\Delta_n(c,1))$，$c=\operatorname{Im}\lambda/\operatorname{Re}\lambda\in\mathbf R$；
- Type I：$\lambda\Delta_n$，$\lambda^2=-1$ ↔ $\pm(\Delta_n(0,1),\Delta_n(1,0))$；
- Type II：$H_{2n}(\mu)$，$|\mu|>1$ ↔ $([I_n\backslash I_n],[J_n(a+ib)\backslash J_n(a+ib)^*])$，$a=\frac{2\operatorname{Im}\mu}{|1+\mu|^2}$，$b=\frac{|\mu|^2-1}{|1+\mu|^2}>0$，$a+bi\ne i$。
出处：Horn & Sergeichuk, LAA 416 (2006)；其他版本见 Lancaster & Rodman (SIAM Review 2005；LAA 2005)、Thompson (LAA 1991)、Sergeichuk (1988)。PDF p.590 为空白页。

附录小结与量化关联

附录 B 是组合优化、均值–方差优化的基础：Hessian 半正定 ⇔ 凸（组合方差 $w^T\Sigma w$ 凸的依据）；局部最优即全局最优；分离超平面定理是对偶理论、无套利定理（Farkas 引理 / 资产定价基本定理）的几何核心；Carathéodory 定理说明有限资产时最优组合只需有限个“顶点”。Hölder、Minkowski、AM–GM 常用于风险度量与范数约束（$\ell_p$ 正则）的推导；(B11) 的 $\ell_p$ 范数单调性在换手率 / 稀疏约束比较中用得上。
附录 D 提醒：非对称矩阵（如 VAR 伴随矩阵、转移矩阵）的特征值对估计误差可能极其敏感（$\epsilon^{1/n}$），协方差等对称矩阵则稳定得多。
附录 E 的 Weierstrass 定理保证紧约束集（如带上下限、预算约束的权重集合）上连续目标函数有最优解。
附录 A、C、F 与量化实务无直接关联（A、C 为基础工具；F 为纯理论的合同典范形）。

参考文献（References）（PDF p.591–594，原书 p.571–574）

按作者字母排序的约 110 条专著与讲义（期刊论文已在各节“延伸阅读”中给出）。对编写教材较有用的条目：

非负矩阵：Bapat & Raghavan (1997) Nonnegative Matrices and Applications；Berman & Plemmons (1994) Nonnegative Matrices in the Mathematical Sciences；Berman, Neumann & Stern (1989)；Minc (1988)；Seneta (1973) Nonnegative Matrices（Markov 链方向）；Fallatt & Johnson (2011) Totally Nonnegative Matrices；Karlin (1960) Total Positivity。
矩阵分析 / 不等式：Bhatia (1987) Perturbation Bounds for Matrix Eigenvalues、(1997) Matrix Analysis、(2007) Positive Definite Matrices；Horn & Johnson (1991) Topics in Matrix Analysis；Marshall & Olkin (1979) Inequalities: Theory of Majorization；Zhan (2002) Matrix Inequalities；Hardy–Littlewood–Pólya (1959) Inequalities；Beckenbach & Bellman (1965)；Marcus & Minc (1964)；Stewart & Sun (1990) Matrix Perturbation Theory；Kato (1980)；Baumgärtel (1985)。
数值线性代数：Golub & Van Loan (1996) Matrix Computations 3rd ed.；Wilkinson (1965) The Algebraic Eigenvalue Problem；Parlett (1998) The Symmetric Eigenvalue Problem；Higham (2008) Functions of Matrices；Lawson & Hanson (1974) Solving Least Squares Problems；Householder (1964)；Stewart (1973)；Varga (2000) Matrix Iterative Analysis、(2004) Geršgorin and His Circles；Campbell & Meyer (1991) Generalized Inverses。
经典矩阵论与线性代数：Gantmacher (1959) The Theory of Matrices（2 卷）；Lancaster & Tismenetsky (1985)；Halmos (1958)；Hoffman & Kunze (1971)；Axler (1996)；Lax (2007)；Bellman (1997)；Horn & Sergeichuk 等关于典范形的工作；Gohberg–Lancaster–Rodman 系列（矩阵多项式、不定内积、不变子空间）；Zhang (2005) The Schur Complement and its Applications；Turnbull & Aitken (1962) 典范矩阵；Clark, O'Meara & Vinsonhaler (2011) Weyr 形。
统计 / 应用：Graybill (1983) Matrices with Applications to Statistics；Rogers (1980) Matrix Derivatives；Graham (1981) Kronecker Products and Matrix Calculus；Bapat (1993) Linear Algebra and Linear Models；Barnett 系列（控制理论）；Hirsch & Smale (1974)。
分析与凸性：Rudin (1976)；Kreyszig (1978)；Conway (1990)；Valentine (1964) Convex Sets；Boas (1972)；Childs (1979)。
历史：Muir (1930) 行列式史；Crilly (2006) Cayley 传；Parshall (2006) Sylvester 传；Kőnig (1936/1990) 图论。
量化相关的推荐延伸：Seneta（Markov 链/非负矩阵）、Golub & Van Loan（数值计算）、Higham（矩阵函数、最近相关矩阵）、Marshall & Olkin（优超与组合不等式）、Bhatia（扰动界）。

符号表（Notation）（PDF p.595–597，原书 p.575–577）

列出全书符号（PDF p.598 空白）。要点整理：

空间与矩阵：$\mathbf R,\mathbf C,\mathbf F$（域）；$\mathbf F^n$；$M_{m,n}(\mathbf F)$；$M_{m,n}=M_{m,n}(\mathbf C)$，$M_n=M_{n,n}$；$I_n$、$0_{m,n}$；$\bar A$、$A^T$、$A^*=\bar A^T$、$A^{-1}$、$A^{-T}$、$A^{-*}$；$|A|=[|a_{ij}|]$；$\operatorname{adj}A$（伴随，转置余子式矩阵）；$A^\dagger$（Moore–Penrose 逆）；$A^D$（Drazin 逆）；$\mathcal B$（基），$e_i$（标准基），$e$（全 1 向量；亦为自然对数底）；$[v]_{\mathcal B}$、${}_{\mathcal B_1}[T]_{\mathcal B_2}$（坐标与基表示）；$\binom nk$；$p_A(\cdot)$ 特征多项式，$q_A(\cdot)$ 极小多项式。
数值量：$\kappa(A)$ 条件数；$\det A$；$\oplus$ 直和；$\Gamma(A)$ 有向图；$\|\cdot\|^D$、$f^D$ 对偶（预）范数；$\lambda$、$[\lambda_i(A)]$ 特征值向量；$G_k(A)$、$G(A)$ Geršgorin 圆盘与区域；$GL(n,\mathbf F)$；$A\circ B$ Hadamard 积；$\gamma(A)$ 本原指数；$M(A)$ 指示矩阵；$J_k(\lambda)$ Jordan 块。
范数：$\|\cdot\|_1,\|\cdot\|_2$（向量 Euclid 范数；矩阵 Frobenius 范数）$,\|\cdot\|_\infty,\|\cdot\|_p$；$\|x\|_{[k]}$ 向量 $k$-范数；$\|A\|_1$ 最大列和、$\|A\|_2$ 谱范数（最大奇异值）、$\|A\|_\infty$ 最大行和（三者为诱导矩阵范数，书中用三竖线）；$N_\infty(A)$；$\|A\|_{\rm tr}$ 迹范数；$\|A\|_{[k]}$ Ky Fan $k$-范数；$r(A)$ 数值半径。
其他：$\perp$；$\operatorname{per}A$ 积和式；$\operatorname{rank}$；$\operatorname{sgn}\tau$；$\sigma$、$\sigma_1(A)$、$[\sigma_i(A)]$ 奇异值；$\operatorname{span}$、$\operatorname{range}$、$\operatorname{nullspace}$；$\rho(A)$ 谱半径；$\sigma(A)$ 谱；$A[\alpha,\beta]$、$A[\alpha]$ 子矩阵与主子矩阵；$\operatorname{tr}A$；$E_k(A)$ $k$ 阶主子式之和；$S_k(A)$ 特征值的第 $k$ 个初等对称函数；$A/A_{11}$ Schur 补；$C_r(A)$ 第 $r$ 复合矩阵；$\Lambda,\Sigma$ 对角阵；$[A,B]=AB-BA$ 交换子；$]A,B[=AB+BA$ Jordan 积；$C(a,b)=\begin{bmatrix}a&b\\-b&a\end{bmatrix}$ 实 Jordan 块；$w(A,\lambda)$ Weyr 特征；$x_i^\downarrow$、$x_i^\uparrow$ 递减 / 递增重排；$\Delta_k$、$H_{2k}(\mu)$、$\Gamma_k$ 合同 / *合同典范块；$\langle A,B\rangle_F$ Frobenius 内积；$B_{\|\cdot\|}(r;x)$ 范数球；$F(A)$ 数值域（field of values）；$R_i'(A)$、$C_i'(A)$ 去心行和 / 列和；$A\succeq B$ Loewner 偏序；$H(A)$ Hermitian 部分。

习题提示（Hints for Problems）（PDF p.599 起，原书 p.579 起）

按节给出部分习题的提示。下面逐节概括提示内容（只记录有实质思路的提示，供编写习题解答时参考）。

第 1 章

1.0.P1：$f(x)=x^TAx$ 在紧集（单位球面）上连续，用 Weierstrass 定理取到最值。
1.1.P7：$Ax=\lambda x$ ⇒ $x^*Ax=\lambda x^*x$，而 $x^*x>0$、$x^*Ax$ 为实数（Hermitian），故 $\lambda$ 实。
1.1.P13：$Ax=\lambda x$ ⇒ $(\det A)x=(\operatorname{adj}A)Ax=\lambda(\operatorname{adj}A)x$；$\lambda\ne0$ 时 $(\operatorname{adj}A)x=(\lambda^{-1}\det A)x$；$\lambda=0$ 时 $\operatorname{adj}A=0$（$\operatorname{rank}A<n-1$）或 $\operatorname{adj}A=\alpha xy^T$（$\operatorname{rank}A=n-1$，见 0.8.2）。
1.2.P10：实系数多项式的非实根成共轭对，$A$ 实时 $p_A$ 实系数。1.2.P11：取基 $\mathcal B$ 考虑 $[T]_{\mathcal B}$。1.2.P14：$\det(tI-A)$ 先按第一列再按第一行展开。1.2.P21：见例 1.2.8。1.2.P23：看 $p_A(t)$ 最后两项（1.2.13）。
1.3.P4：复习 1.3.12 证明，说明 $A,B$ 可同时对角化；用 0.9.11 与 Lagrange 插值，存在次数 $\le n-1$ 的多项式 $p$ 使 $B$ 的特征值为 $p(\alpha_i)$。
1.3.P7：$A^2=B$、$Ax=\lambda x$ ⇒ $\lambda^4x=B^2x=0$，故 $A$ 的特征值都为零；$\operatorname{tr}A=0$ 得 $A=\begin{bmatrix}a&b\\c&-a\end{bmatrix}$，$\det A=0$ 得 $a^2+bc=0$，再计算 $A^2$。
1.3.P10：若线性组合 $0=\sum_i\sum_jc_{ij}x_j^{(i)}=\sum_iy^{(i)}$，用 1.3.8（不同特征值的特征向量线性无关）证每个 $y^{(i)}=0$。1.3.P13：反例 $\begin{bmatrix}0&0\\0&0\end{bmatrix}$ 与 $\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}$（同特征值不相似）。1.3.P16：$p_A(t)=t^{n-r}(t^r-t^{r-1}\operatorname{tr}B+\dots\pm\det B)$，故 $E_r(A)\ne0$；考虑 $\begin{bmatrix}1&i\\i&-1\end{bmatrix}$（复对称幂零）。
1.3.P17：$S=C+iD$，$C=(S+\bar S)/2$、$D=(S-\bar S)/(2i)$；$AS=SB$、$A\bar S=\bar SB$ ⇒ $AC=CB$、$AD=DB$，仿 1.3.28 证明（实矩阵复相似 ⇒ 实相似）。1.3.P23：用 $\begin{bmatrix}I_n&X\\0&I_m\end{bmatrix}$ 做相似（Sylvester 方程与块对角化）。1.3.P26(b)：$\tilde A_{pq}=\sum P_{pi}A_{ij}P_{qj}^T=\sum(e_p^TA_{ij}e_q)\varepsilon_i\varepsilon_j^T$。
1.3.P35（Burnside 型定理）：(f) 若 $\mathcal A^*x$ 不是全空间，取与之正交的 $z\ne0$；(g) 设 $d=\min\{\operatorname{rank}A:0\ne A\in\mathcal A\}>1$，取秩 $d$ 的 $A_d$、$B$ 使 $B(A_de_i)=e_j$，由 $A_dB$ 在 $\operatorname{range}A_d$ 上有特征向量构造 $A_dBA_d-\lambda_0A_d$ 秩更小且非零，矛盾，故 $d=1$；(h) $\eta\zeta^*=A(yz^*)B\in\mathcal A$，所以 $\mathcal A=M_n$。1.3.P40(b)：$B=\sum\alpha_iA_i=0$ ⇒ $0=\,]A_i,B[\,=\alpha_iA_i^2$。1.3.P41(a)：考虑 $D_2D_1AD_2D_1^{-1}$ 类型的对角相似。
1.4.P6(a)：双正交原理（biorthogonality）。1.4.P7（幂法收敛证明）：设 $\lambda_n=1$ 为严格占优特征值，$x^{(0)}=\sum\alpha_iy^{(i)}$（$\alpha_n\ne0$），$x^{(k)}=c_k(\alpha_1\lambda_1^ky^{(1)}+\dots+\alpha_{n-1}\lambda_{n-1}^ky^{(n-1)}+\alpha_ny^{(n)})$，$|\lambda_i|^k\to0$，故收敛到 $y^{(n)}$ 的倍数。1.4.P9(b)：$S=\begin{bmatrix}I&0\\z^T&1\end{bmatrix}$ 相似（收缩 deflation）。1.4.P11：为何 $A-\lambda I$ 前 $n-1$ 列线性无关（不可约三对角 ⇒ 特征值几何重数 1）。1.4.P15：$(A-\lambda I+\kappa zw^*)u=0$ ⇒ $w^*u=0$ ⇒ $u=\alpha x$ ⇒ $w^*x=0$。
1.4.P16（三对角 Toeplitz 矩阵的特征值）：$A$ 主对角 $a$、超对角 $b$、次对角 $c$。$(A-\lambda I)x=0$ 化为二阶差分方程 $x_{k+1}+\frac{a-\lambda}bx_k+\frac cbx_{k-1}=0$，边界 $x_0=x_{n+1}=0$；特征方程根 $r_1r_2=c/b$、$r_1+r_2=-(a-\lambda)/b$；重根导致 $x=0$，故 $r_1\ne r_2$，$(r_1/r_2)^{n+1}=1$，$r_1/r_2=e^{2\pi i\kappa/(n+1)}$，于是特征值为 $\lambda_\kappa=a+2\sqrt{bc}\cos\frac{\pi\kappa}{n+1},\quad\kappa=1,\dots,n.$

第 2 章

2.1.P2：用 2.1.4(g) 与 1.1.P1。2.1.P14：$U^{-1}=U^T=U^*$。2.1.P16(g)：$[w\ x]^T[-(w^Tw)^{-1}w\ y]\in M_2(\mathbf R)$ 的特征值为 $\frac12(x^Ty-1\pm i(1-(x^Ty)^2)^{1/2})$。2.1.P24(b)：$\det B\le\sqrt{27}$。2.1.P25：比较 $C_r(U^*)$ 与 $C_r(U^{-1})$（复合矩阵保持酉性）。2.1.P28(a)：把上一题构造（Householder 型）先作用于第一列（$k=n-1$），再作用于变换后第二列（$k=n-2$）——即逐列化为 Hessenberg / 三角形的思路。
2.2.P8–P9：$\operatorname{tr}C=?$，$\begin{bmatrix}0&b\\a&0\end{bmatrix}^2=?$；写 $A=UBU^*$，$B$ 对角全零（迹零矩阵酉相似于零对角矩阵），再分 $B=B_L+B_R$（下三角含对角部分与严格上三角部分）——用于证明迹零矩阵是交换子。2.2.P10：$\lambda_\ell=0$ 时 $|a_i|\le\sum_{j\ne i}|a_j|$。
2.3.P6：两个上三角矩阵的交换子主对角为零。2.3.P8：$\begin{bmatrix}a&b\\0&c\end{bmatrix}$ 何时复正交。2.3.P11：严格上三角 $T$ 的幂逐次把非零带推向右上，$T^n=0$。2.3.P12：原书印作 $C_r(UTU^*)=C_r(U)C_r(T)C_r(T)^*$，按 0.8.1 应为 $C_r(U)C_r(T)C_r(U)^*$（疑为排印错误；配合 2.1.P25）。2.3.P13：2.3.4。2.3.P14：由 2.3.1，$\sum|\lambda_i|=\operatorname{tr}(DT)=\operatorname{tr}(DU^*AU)$，$D$ 为适当对角酉阵。
2.4.P12（交换子 $C=AB-BA$ 相关）：(b) 可设 $A,B$ 上三角、$C$ 严格上三角；(c) $A=S\Lambda S^{-1}$，$\Lambda=\lambda_1I_{n_1}\oplus\dots$ 互异，若 $\Lambda$ 与 $\mathcal C=S^{-1}CS$ 交换则 $\mathcal C$ 块对角，而 $\mathcal C=\Lambda\mathcal B-\mathcal B\Lambda$ 对角块为零，故 $C=0$；(f) $C=0$ 或 $\operatorname{rank}C=1$，用 Laffey 定理；(g) $A,B,C$ 幂零但 $B^2-C^2$ 不是，$A+B$ 甚至非奇异；(h) $A=\operatorname{diag}(e^{4i\theta},e^{2i\theta},e^{2i\theta})$、$B$ 为 3 阶循环置换、$\theta=\pi/3$：$C^3=0$ 而 $AB$ 某特征值不是 $e^{ik\theta}$ 形式。
2.4.P14：$U_2$ 的列为 $A^*$ 零空间的标准正交基，$U=[U_1\ U_2]$，$U^*AU=\begin{bmatrix}U_1^*AU_1&U_1^*AU_2\\0&0\end{bmatrix}$，再对 $U_1^*AU_1=V\Delta V^*$ 做 Schur 分解，$W=V\oplus I_{n-r}$。2.4.P15(c)：$p_{A,I}(1,t)$ 是什么，为何 $p_{A,I}(I,A)=0$。2.4.P19：若 $A,B$ 可同时上三角化，则对任何非交换二元多项式 $p$，$p(A,B)(AB-BA)$ 幂零（2.4.8.7）。2.4.P22：$K_m=[\sum_k\nu_k\mu_k^{i+j-2}]=\sum\nu_kv_k^{(m)}(v_k^{(m)})^T$（Hankel 矩阵的 Vandermonde 分解），$\operatorname{rank}K_m\le d$，$K_d$ 非奇异 ⇒ $\operatorname{rank}K_m\ge d$。2.4.P27：取 $p(t)=p_{CB}(t)$。2.4.P28：0.4.6(e)。2.4.P31：此时 $p_A(t)$ 为何。2.4.P33：仿 2.4.6.1，$A=SDS^{-1}$，$D=A_{11}\oplus A_{22}$，$S=\begin{bmatrix}I_k&S_{12}\\0&I_{n-k}\end{bmatrix}$，$C=S^{-1}BS$，$C^p=D$ ⇒ $D$ 与 $C$ 交换 ⇒ $C$ 块对角。2.4.P35：$\mathbf F=\mathbf C$ 取 $U=\operatorname{diag}(e^{i\theta_1},\dots)$；$\mathbf F=\mathbf R$ 取 $\operatorname{diag}(\pm1)$（$n-1$ 个同号、1 个异号）；并考虑 $\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}\oplus I_{n-2}$ 的变形。
2.5 节：P18 考虑 $A=\begin{bmatrix}0&1\\2&0\end{bmatrix}$ 与 $A^2$；P20 正规矩阵 $\|(A-\lambda I)x\|_2=\|(A-\lambda I)^*x\|_2$（故 $A$ 与 $A^*$ 特征向量相同）；P26(h) 都是经典多项式插值问题（0.9.11.4）；P27：(a) 2.5.16，$(AB^*)A=A(B^*A)$；(b) $B=A\bar A$ 的正规性推导；P28(b) $(AB)A=A(BA)$；P31 用 2.5.8；P33：$U$ 同时对角化族 $\mathcal F$，$B=U\operatorname{diag}(1,\dots,n)U^*$，Lagrange 插值多项式 $p_\alpha(k)=\lambda_k^{(\alpha)}$ 使 $A_\alpha=p_\alpha(B)$（交换正规族都是同一矩阵的多项式）；P35：$xx^*=yy^*$、$x_k\ne0$ ⇒ $x_j=\overline{(y_k/x_k)}y_j$；$AA^*=A^*A\Leftrightarrow uu^*=vv^*$；P43 用正规性亏量（defect from normality，2.5.P42）；P44(b) $\operatorname{tr}(A^2B^2)=\operatorname{tr}((AB)(AB)^*)$；P46 实 $A$ 的 Schur 形 $T$ 与 $\bar T=U^TA\bar U$ 对角元集合相同（非实特征值成共轭对）；P49 $A=S\Lambda S^{-1}$，$S=RQ$，则 $R^{-1}AR$ 正规；P57 用 2.5.17 判断哪些块（反）对称；P60 $x^T(ne_j-e)=nx_j$ 用 Cauchy–Schwarz；P67 $\Lambda=\Lambda_r\oplus0$，$\Lambda B=0$ ⇒ $B_{11}=B_{12}=0$ ⇒ $B_{21}=0$ ⇒ $B\Lambda=0$；P68 $A$ 酉相似于 $A_r\oplus0_{n-r}$，$A_r$ 非奇异；P69 比较 $M_AW=WM_B$ 的分块，从 $(k,1)$ 块开始向右再逐行上移；P74 考虑 $A=\begin{bmatrix}0&i\\i+1&0\end{bmatrix}$、$B=A^T$、$X=\operatorname{diag}(i,i+1)$。
2.6 节（SVD）：P3（$\Sigma B^*$、$B^*\Sigma$ 正规时的同时 SVD）：设 $A=\Sigma$，$\Sigma\Sigma^TB=B\Sigma^T\Sigma$，$\Sigma=[\Sigma_q\ 0]$，$\Sigma_q=s_1I_{n_1}\oplus\dots\oplus s_dI_{n_d}$，推出 $B_1$ 块对角且各块正规，$s_d=0$ 时对 $[B_{dd}\ C]$ 做 SVD；P8 $\operatorname{rank}AB=\operatorname{rank}\Sigma W^*B$ 且 $\Sigma W^*B$ 至多 $\operatorname{rank}A$ 个非零行；P9 $D=\Sigma_1\oplus I_{n-r}$，$(AWD^{-1})^*(AWD^{-1})=I_r\oplus0$，故 $AWD^{-1}=[V_1\ 0]$；P13 只需考虑 $A=\Sigma$；P14(b) $A$ 正规 ⇔ $\Sigma^2$ 与 $W^*V$ 交换；P19（CS 分解相关）：比较 $U^*U=I$、$UU^*=I$ 的对角块，$U_{11}U_{11}^*=I_k-U_{12}U_{12}^*$ ⇒ $\sigma_i^2(U_{11})=1-\sigma_{k-i+1}^2(U_{12})$；P21 复对称矩阵的 Takagi 型结论（$A=U\Sigma U^T$，$\Sigma\bar{\mathcal B}$ 正规且 $\mathcal B$ 对称 ⇒ 块对角，用 2.5.P57、2.6.6a）。
2.6 节（续）：P25 $A=V\Sigma W^*$，$\Sigma=\Sigma_r\oplus0$，写 $A=V\Sigma(W^*V)V^*$ 并分块 $W^*V=\begin{bmatrix}K&L\\M&N\end{bmatrix}$；P26 $L=0\Rightarrow M=0\Rightarrow K$ 酉；P28 $W_1=V_1U$ ⇒ $A=V\begin{bmatrix}\Sigma_1U&0\\0&0\end{bmatrix}V^*$；P32 考虑 $\begin{bmatrix}0&I_n\\I_n&0\end{bmatrix}\mathcal A$ 并用 2.6.P7；P33 $C_r(V\Sigma W^*)=C_r(V)C_r(\Sigma)C_r(W)^*$（复合矩阵的奇异值是奇异值的 $r$ 元乘积）；P35 对 $A-(\frac1n\operatorname{tr}A)I$ 用 2.6.9。
2.7 节（CS 分解 / 压缩的酉扩张）：P1 置换并分块；P2：$m=n$，$A=V\Sigma W^*$，$\Sigma=C\oplus I_{n-\nu}$，$C=\operatorname{diag}(c_j)$，$c_j\in[0,1)$，$S=\operatorname{diag}((1-c_j^2)^{1/2})$，则 $(V_1\oplus V)\begin{bmatrix}C&S&0\\-S&C&0\\0&0&I_{n-\nu}\end{bmatrix}(W_1\oplus W)^*\in M_{n+\nu}$ 是 $A$ 的酉扩张（unitary dilation）；$m\ne n$ 时补零块。P6(b)：$u_{12}\ne0$、$u_{12}/u_{21}=e^{i\phi}$ 时用 $D=\operatorname{diag}(1,e^{i\phi/2})$ 做相似。

第 3 章

3.1.P12(e)：两者都说明 Jordan 形中恰有 $k$ 个大小 $p$ 的块 $J_p(\lambda)$。3.1.P16–P20：分别用 3.1.18、3.1.P16、3.1.P17 与 1.3.22、3.1.18、1.3.P16。3.1.P22：(a) 存在正对角 $D$ 使 $DAD^{-1}$ 对称（三对角且 $a_{i,i+1}a_{i+1,i}>0$），再用 3.1.P21；(b) 扰动 + 连续性。3.1.P23：(a) 取正对角 $D$ 使 $DAD^{-1}$ Hermitian；(c) 考虑 $iA$ 与 1.4.P4。3.1.P24(d)：看 $A,B$ 的有向图（6.2）。3.1.P26：只需证 $A^2x=0\Rightarrow Ax=0$（正规矩阵指标 $\le1$）：$0=\|A^2x\|^2=x^*A^*A^*AAx=x^*A^*AA^*Ax=\|A^*Ax\|^2$ ⇒ $0=x^*A^*Ax=\|Ax\|^2$。3.1.P27：$A=S\Lambda S^{-1}=QR\Lambda R^{-1}Q^*$ ⇒ $R\Lambda R^{-1}$ 正规且上三角，故对角。
3.2.P2：可设 $A$ 为 Jordan 矩阵；若 $A=J_k(\lambda)\oplus J_\ell(\lambda)\oplus J$，任意多项式 $p(A)$ 前 $k+\ell$ 个对角元都等于 $p(\lambda)$，但 $-I_k\oplus I_\ell\oplus I$ 与 $A$ 交换却不是 $A$ 的多项式（与 $A$ 交换的矩阵都是 $A$ 的多项式 ⇔ $A$ 非减次 nonderogatory）。3.2.P3：1.3.P20(f)。3.2.P15：用前两题。3.2.P19：1.4.7。3.2.P20(a)：3.2.11.1。
3.2.P24（$AB-BA^T$ 型交换问题，Jacobson 引理的应用）：(a) $A^T=SAS^{-1}$，$D=AB-B(SAS^{-1})$ ⇒ $DS=A(BS)-(BS)A$，又 $A(DS)=(DS)A$，由 Jacobson 引理（与 $A$ 交换的交换子 $[A,X]$ 幂零）得 $DS$ 幂零；(b) 可对角化情形 $\mathcal D=0$；(c) $D^2=A(BD)-(BD)A$ 且 $AD^2=D^2A$ ⇒ $D^2$ 幂零；(d) Jordan 形 $J=J_{n_1}(\lambda_1)\oplus\dots$，$\mathcal D_i=J_i\mathcal B_i-\mathcal B_iJ_i^T$，$J_i^T=S_iJ_iS_i^{-1}$，再用 Jacobson 引理。3.2.P26：$(B-B^T)A=0$，$\operatorname{rank}(B-B^T)\le1$，见 2.6.P27。3.2.P29(a)：$\operatorname{tr}C=0$ 或 Jacobson 引理。3.2.P31：(c') 存在非奇异 $X$ 使 $XA=A^TX$；(d') 非奇异 $Y$ 使 $YA_{11}^T=A_{11}Y$，$C=Y\oplus0$；(f') $B=CX$ 则 $AB=BA$。3.2.P32：可对角化情形见 2.4.P12(c)；只需考虑 $A=J_2(\lambda)$，用 3.2.4.2 证 $C$ 严格上三角，进而 $B$ 严格上三角。3.2.P33：用 2.3.1 酉相似成上三角，$B$ 既是 $A$ 的多项式又是 $A^*$ 的多项式，故既上三角又下三角。3.2.P34(a)：$\bar A$、$A^T$ 都是 $A$ 的多项式，故交换。3.2.P36(a)：3.2.5.2。
3.3.P3：$t^2-t$ 零化 $A$（幂等矩阵可对角化）。3.3.P10：余子式展开求行列式。3.3.P13：1.2.20。3.3.P19：设 $C^{n-1}\ne0$，用 3.2.4.2。3.3.P22：3.2.P4。3.3.P26(f)：$(\lambda_iI-A)q_i(A)=q_A(A)$。3.3.P28：$K^2=I$，极小多项式三种可能。3.3.P29：$K=SDS^{-1}$，$D=I_m\oplus(-I_{n-m})$，$\mathcal A=S^{-1}AS$，$KA$ 相似于 $DA$，$\mathcal A=D\mathcal AD$ ⇒ $\mathcal A_{12}=\mathcal A_{21}=0$。3.3.P30：$T=iI_m\oplus I_{n-m}$，计算 $T\mathcal BT^{-1}$。3.3.P31：3.3.4。3.3.P33：对 $p$ 的友矩阵用 Schur 不等式 2.3.2a（得根的模平方和上界）。
3.4.P1：$A$ 的实 Jordan 形。3.4.P4：(a) 用 3.4.2.10 与 3.4.2.12；(b) $w_i(A,\lambda_j)^2\ge w_i(A,\lambda_j)$。3.4.P5：仿 3.4.3.3 用 3.4.3.1，酉 Weyr 形仍是 2×2 分块但 $F_{12}$ 列满秩。3.4.P8(c)：$W$ 恰有 $p$ 个对角块时分析 $P^TWP$ 的前 $p$ 行列、领先 $p\times p$ 主子矩阵，以及 $w_p(J,0)>1$ 或 $=1$ 的情形。

第 4 章

4.1.P3：$A=SBS^{-1}$（$A,B$ Hermitian）⇒ $A=U\Lambda U^*$、$B=V\Lambda V^*$，故 $U^*AU=\Lambda=V^*BV$（相似的 Hermitian 矩阵酉相似）。4.1.P6：$x^*Ax=0\ \forall x$ ⇒ $A$ Hermitian（4.1.4），且每个特征值为 0，故 $A=0$。4.1.P9：$|x^*Ax|=|x^*Bx|$ 型条件：取 $x=e_i$、$y=e_j$ 得 $|a_{ij}|=|b_{ij}|$；取 $x=e_i$、$y=se_j+te_k$ 得 $|sa_{ij}+ta_{ik}|^2=|sb_{ij}+tb_{ik}|^2$，从而 $\operatorname{Re}(s\bar t[a_{ij}\bar a_{ik}-b_{ij}\bar b_{ik}])=0$，推出 $a_{ij}/b_{ij}=a_{ik}/b_{ik}$。4.1.P12：反例 $\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}$。4.1.P13：2.4.P2、4.1.P12。4.1.P18：2.5.P44。4.1.P19：$x=(I-A)x+Ax$ 是零空间与值域向量之和；若二者正交则 $x^*Ax=x^*(A^*A)x$ 实。4.1.P20：$(A-A^*)^3=0$ 且 $A-A^*$ 正规 ⇒ $A=A^*$。4.1.P25：0.8.1、2.3.P12。
4.2.P3：取 $x=e_i$。4.2.P7（维数公式）：$X\in M_{n,p}$、$Y\in M_{n,q}$ 分别为 $S_1,S_2$ 的基，$Z=[X\ Y]$，$\operatorname{rank}Z=\dim(S_1+S_2)$，$\operatorname{rank}+\operatorname{nullity}=p+q$，只需证 $\operatorname{nullity}Z=\dim(\operatorname{range}X\cap\operatorname{range}Y)$。4.2.P8：$x^*(A+B)x=x^*Ax+x^*Bx\ge x^*Ax$（$B$ 半正定，特征值单调性）。
4.3 节：P5 用交错；P6 考虑 $\begin{bmatrix}0&i&1\\-i&0&1\\1&1&0\end{bmatrix}$；P8 用 4.3.48、4.3.49 或定义；P9 取 $x=e$ 与 $x=e_i$；P12：$\sum_{i,j\le m}|b_{ij}|^2\le\sum|b_{ij}|^2+\sum|c_{ij}|^2\le\sum_{i\le m}R_i^2\le\sum_{i\le m}\sigma_i^2$，若 $\sum\sigma_i^2=\sum|b_{ij}|^2$ 则 $\sum|c_{ij}|^2=0$（Ky Fan 型等号情形）；P14、P29 用准线性化 4.3.39；P15(b) $X=VR$，$\det X^*X=\det R^*R$；P16 (a) $A=U^*\Lambda U$，$\Lambda=\lambda_1I+(\lambda_2-\lambda_1)E_{22}$，$a_{12}=(\lambda_2-\lambda_1)\bar u_{21}u_{22}$，(b) 交错；P17 (a) 看 $Ax=\lambda x$ 第 $n$ 个分量，(f) $p_n(\lambda)=p_{n-1}(\lambda)=0\Rightarrow\dots\Rightarrow p_0(\lambda)=0$（三对角矩阵特征值的 Sturm 序列论证，矛盾说明特征值简单）；P19 计算 $\operatorname{tr}(A+zz^*)$；P20 1.2.P13；P21 特征值交错；P22 为何 $\operatorname{rank}A\le2$，$a_i\ne a_j$ 时主子矩阵 $\begin{bmatrix}2a_i&a_i+a_j\\a_i+a_j&2a_j\end{bmatrix}$ 一正一负特征值（行列式 $-(a_i-a_j)^2<0$），对比 1.3.25；P23 考虑 $A=\operatorname{diag}x$、$B=\operatorname{diag}y$；P25 (a) $AA^*$ 的元素，(b) 对 $AA^*$ 用 4.3.P17；P30：$U_{ii}^*A_{ii}U_{ii}=\Lambda_i$，$U=\oplus U_{ii}$，$d(A)$ 被 $\lambda(A_{11}\oplus\dots\oplus A_{kk})=d(U^*AU)$ 优超，而 $d(U^*AU)$ 被 $\lambda(A)$ 优超（Schur 优超定理的分块推广）。
4.4 节（复对称矩阵、Takagi 分解）：P1 用 4.4.4c，$S=U\Sigma^{1/2}$；P4 $A=Q\Lambda Q^T$（实），$\Lambda=\Sigma D^2$，$U=QD$，何时 $A=U\Sigma U^T$ 的因子可全取实；P5 $W=U^*V$ 按 $\Sigma$ 分块，$\Sigma\bar W=W\Sigma$ ⇒ $s_iW_{ij}=s_j\bar W_{ij}$ ⇒ $s_i\ne0$ 时 $W_{ii}$ 实且 $(s_i-s_j)\operatorname{tr}W_{ij}W_{ij}^*=0$；P6 考虑 $p_{A\bar A}$ 的判别式 $r(A)=(\operatorname{tr}A\bar A)^2-4|\det A|^2$ 符号，$A\bar A$ 有两个负特征值时 $\operatorname{tr}A\bar A<0$，特征值之积为 $|\det A|^2$；P9(b) 4.4.P1；P19 用 4.4.10 表示与 Schur 不等式、4.4.11a,b、4.4.12a,b 证 $\operatorname{tr}AA^*\ge\operatorname{tr}\Delta\Delta^*+\sum\operatorname{tr}\Gamma_{jj}\Gamma_{jj}^*\ge\operatorname{tr}\Delta\bar\Delta+\operatorname{tr}\Gamma\bar\Gamma=\operatorname{tr}A\bar A$；P22 3.3.P28；P23 0.9.8；P24 1.4.12(a)/(b) 或 2.4.11.1(b)；P26 $Q$ 复正交、$A=QBQ^T$ 时每个字 $W(A,A^*)=W(A,A^T)$ 经 $Q$ 相似于 $W(B,B^T)=W(B,B^*)$，用 2.2.6 与 2.5.21；P28 $\det(I+X)=\prod(1+\lambda_i(X))$ 与 4.4.13；P29 (b) 0.8.5.1、上题及连续性，(e) 3.4.1.7，(f) 3.2.P30；P30 $SAS^{-1}=SBS^TS^{-T}CS^{-1}$；P31 4.4.25；P32 3.2.3.1 与 3.2.11；P33(b) 证两条件的否定互推，用 3.1.P12；P35 2.5.3 与 2.5.14；P38(d) 1.3.P19；P39 $A=B\Lambda B^{-1}=B^{-T}\Lambda B^T$ ⇒ $B^TB\Lambda=\Lambda B^TB$ ⇒ $S\Lambda=\Lambda S$ ⇒ $A=Q\Lambda Q^T$（可对角化的复对称矩阵可复正交对角化）；P44(a) $A\bar A=AA^*$ 对 4.4.31 分块意味着什么；P45 4.4.22；P46(b) 2.5.P69–P70；P47(a) 按 2.5.P69(a) 的提示；P48 2.5.10。
4.5 节（合同 / *合同、惯性）：P2 4.4.19；P4：用 1.3.2 与 4.5.17(a) 证明；$SA_1^{-1}A_iS^{-1}$ 都实对角，令 $B_i=S^{-*}A_iS^{-1}$ 为交换 Hermitian 族，存在酉 $U$ 使 $UB_iU^*$ 都对角，$T=US$ 给出所需 *合同（同时 *合同对角化）；P10 由 4.5.P9(c)，$A=U(B\oplus0)U^*=U_1BU_1^*$，取置换 $P$ 使 $PU_1=\begin{bmatrix}X\\Y\end{bmatrix}$，$X$ 非奇异，求 $PAP^T$；P11 (a) 为何 $0_{n-r}$ 是关于 *合同的奇异部分、$\Lambda$ 是正则部分，$\Lambda$ 的 *余平方（cosquare）是什么，(b) 用酉 *合同对角化并用 4.5.21 的唯一性；P13 酉矩阵的 Jordan 形与 *合同典范形；P14 (b) $Ax=0$ ⇒ $H^{-1}Kx=ix$，(c) 4.5.23；P18 $A^{-1}B$ 的特征值；P20(d)：连续函数 $a_{n-r}(A)$ 在连通集 $\mathcal S$ 上符号不变；若 $A,B\in\mathcal S$ 惯性不同，取连续路径 $f:[0,1]\to\mathcal S$，考虑 $g(t)=a_{n-r}(f(t))$（介值定理）；P22：若交错不等式 4.3.18 不成立，取最小 $k$ 使 (a) $\lambda_k(A)>\lambda_k(B)$ 或 (b) $\lambda_k(B)>\lambda_{k+1}(A)$；对 (a) 取 $\alpha\in(\lambda_k(B),\lambda_k(A))$，$B-\alpha I$ 非奇异，由 Haynsworth 定理 $i_-(A-\alpha I)\ge i_-(B-\alpha I)$，而 $A-\alpha I$ 只有 $k-1$ 个负特征值、$B-\alpha I$ 至少 $k$ 个，矛盾；P26 用 4.5.27 及其前的练习，$H_{2k}(\mu)$ 与 $H_{2k}(\bar\mu)$ 的余平方相似 ⇔ $\mu=\bar\mu$ 或 $\mu=\bar\mu^{-1}$；P31 $A$ 非奇异且 *合同于实矩阵 ⇒ $A^{-*}A$ 相似于实矩阵；P33 $J_k(0)$ 用 3.2.3，$\Gamma_k$、$H_{2k}(\mu)$ 用 4.5.27；P34 $J_k(\mu)^T=SJ_k(\mu)S^{-1}$，$\mathcal S=\begin{bmatrix}0_n&S^*\\S^{-1}&0_n\end{bmatrix}$ 则 $\mathcal SH_{2k}(\mu)^T\mathcal S^*=H_{2k}(\mu)$。
4.5.P36(c)（若 $x^*Ax=0\Rightarrow x^*Bx=0$，则 $B$ 是 $A$ 的实倍数一类结论）：由 4.5.7 化为 $A=I_{i_+}\oplus(-I_{i_-})\oplus0_{i_0}$，$i_+i_->0$，指标集 $\alpha,\beta,\gamma$。用模 1 的可调参数 $c,d$ 选取一系列使 $x^*Ax=0$ 的测试向量：(1) $x=e_1+ce_j$（$j\in\beta$）得 $b_{jj}=-b_{11}$；$x=e_i+ce_j$ 得 $b_{ij}=0$、$b_{ii}=b_{11}$，于是 $B[\alpha,\beta]=0$、$\operatorname{diag}B[\alpha]=b_{11}e$、$\operatorname{diag}B[\beta]=-b_{11}e$；(2) $x=e_k$（$k\in\gamma$）得 $b_{kk}=0$，$x=e_i+ce_j+de_k$ 得 $|b_{ik}|=\pm|b_{jk}|$，进而 $B[\alpha,\gamma]=B[\beta,\gamma]=0$；(3) $|\gamma|>1$ 时 $x=e_i+ce_j$（$i,j\in\gamma$）得 $B[\gamma]=0$；(4) $|\alpha|>1$ 时 $x=3e_i+4ce_j+5e_k$ 得 $B[\alpha]=b_{11}I_{i_+}$；(5) $|\beta|>1$ 时 $x=5e_i+3e_j+4ce_k$ 得 $B[\beta]=-b_{11}I_{i_-}$。结论 $B=b_{11}A$。
4.6 节（$A\bar A$、反线性 / 共轭相似、复对称的 coninvolutory 等）：P3 若 $z=\sum c_kx_k=0$ 则 $A\bar z=\lambda\sum\bar c_kx_k=0$，从而实部、虚部组合分别为零（$\mathbf C$ 上与 $\mathbf R$ 上线性无关的关系）；P6 4.4.4(c)；P7 用 4.6.9 表示；P9 为何 $A\bar A$ 至少有一个非负特征值；P14 $\mu\ne0$ 时考虑 $H_{2k}(\mu)^{-1}\overline{H_{2k}(\mu)}$；P16 (a) $A\bar Az_j=?$，(b) 看 Type I 块，(c) $\mathbf C$ 上无关 ⇒ $\mathbf R$ 上无关，(d) 此情形下（一般不成立）反之亦然；P17 线性系统 $A\bar x_1=Xb_1$ 的相容性（0.4.2）与唯一性；P18(f) $g$ 等于 $\sigma^2$ 作为 $R_2(A)^2$ 特征值几何重数的一半，即 $\sigma^2$ 作为 $A\bar A$ 特征值的几何重数；P19 1.3.P21(m)(c) 与 4.6.18；P21 4.6.11、4.6.7、4.6.P17、P20；P24(b) 1.3.P19；P26 $D^2\Delta=\Delta\bar\Delta\Delta=\Delta(\overline{\Delta\bar\Delta})=\Delta D^2$（注：原书写法以共轭记号表示）；P27(a) 从 4.6.3 出发，若 $A$ 酉合同于 $\Delta$，正规性保证 $\Delta$ 块对角，分 $\Delta_j\bar\Delta_j=0$ 与 $\Delta_j\bar\Delta_j=\lambda I_{n_j}$（$\lambda>0$）两种情形。

第 5 章（范数）

5.1.P4(a)：用内积表达 5.1.9 的四项（极化恒等式）。5.1.P10：$\|\vec0\|=\|0\vec0\|=0$；$0=\|x-x\|\le2\|x\|$ ⇒ 非负性（范数公理中非负性可由其余公理推出）。5.1.P14（样本偏离均值的界）：$\sum(x_i-\mu)=0$ ⇒ $(x_j-\mu)^2=(\sum_{i\ne j}(x_i-\mu))^2\le(n-1)\sum_{i\ne j}(x_i-\mu)^2=n(n-1)\sigma^2-(n-1)(x_j-\mu)^2$，故 $|x_j-\mu|\le\sqrt{n-1}\,\sigma$（$\sigma^2$ 为总体方差 $\frac1n\sum(x_i-\mu)^2$）——即 Samuelson 不等式。
5.2.P6：2.1.13。5.2.P7：(a) $\|x\|\,\big\|\frac x{\|x\|}-\frac y{\|y\|}\big\|\le\|x-y\|+|\|y\|-\|x\||\le2\|x-y\|$（Massera–Schäffer 型不等式）；(c) 内积范数下 $\|x\|\|y\|\big\|\frac x{\|x\|}-\frac y{\|y\|}\big\|^2=\|x-y\|^2-(\|x\|-\|y\|)^2$，并推出更精细的估计。5.2.P9：考虑单位向量 $u(t)=(b-a)^{-1/2}$，$\lambda=(b-a)^{1/2}(\alpha+\beta)/2$、$\mu=(b-a)^{1/2}(\gamma+\delta)/2$。5.2.P11：设 $\|x\|\le\|y\|$，把 $x+y$ 写成 $\frac{\|x\|}{\|x\|}x+\frac{\|x\|}{\|y\|}y+(1-\frac{\|x\|}{\|y\|})y$ 得上界 $\|x\|+\|y\|+\|x\|(\|\frac x{\|x\|}+\frac y{\|y\|}\|-2)$，类似得下界。5.2.P12：由 5.2.16，$\max\{\|x\|,\|y\|\}\|\frac x{\|x\|}-\frac y{\|y\|}\|\le\|x-y\|+|\|x\|-\|y\||$。5.2.P13(a)：为何 $\langle H,iK\rangle_F+\langle iK,H\rangle_F=0$（Hermitian 部分与反 Hermitian 部分 Frobenius 正交）。
5.3.P2：考虑 $y=e_2$、$z=e_1$。
5.4.P3（$\ell_p$ 范数比较）：$0<p_1<p_2$，由 Hölder：$\|x\|_{p_1}^{p_1}=\sum|x_i|^{p_1}\le(\sum|x_i|^{p_2})^{p_1/p_2}(\sum1)^{(p_2-p_1)/p_2}=n^{(p_2-p_1)/p_2}\|x\|_{p_2}^{p_1}$，即 $\|x\|_{p_2}\le\|x\|_{p_1}\le n^{1/p_1-1/p_2}\|x\|_{p_2}$（前一不等式即附录 B 的 (B11)）。5.4.P4：$f(x)=1/\|x\|_\alpha$ 在 $\|\cdot\|_\beta$ 单位球面上若无界则与范数等价矛盾。5.4.P8：$1<k<n$ 时化为在 $y_1\ge\dots\ge y_n\ge0$、$x_1\ge\dots\ge x_k\ge0$、$x_k=\dots=x_n$、$\sum_{i\le k}x_i=1$ 下最大化 $\sum x_iy_i$；令 $x_i=x_k+t_i$，目标在凸集 $\mathcal S=\{kx_k+t_1+\dots+t_{k-1}=1,\ \ge0\}$ 的极点取最大：$x_k=1/k$、$t_i=0$，或 $x_k=0$、某 $t_i=1$（向量 $k$-范数的对偶范数计算）。5.4.P9：5.4.13、5.4.14 配合 $A=\begin{bmatrix}1&-1\\0&1\end{bmatrix}$、$\|x\|=\|Ax\|_1$。5.4.P12：$\|A^*y\|^D=\max_{\|x\|=1}|y^*Ax|=\max_{\|A^{-1}z\|=1}|y^*z|=\|y\|^D$。5.4.P13（$\ell_p$ 等距同构，$p\ne2$）：等距 $A$ 满足 $\|Ae_j\|_p=1$ ⇒ $\sum_i|a_{ij}|^p=1$、$|a_{ij}|\le1$、$\sum_{i,j}|a_{ij}|^p=n$；对 $A^*$ 与对偶指数 $q$ 同理 $\sum|a_{ij}|^q=n$；但 $|a_{ij}|^q\le|a_{ij}|^p$ 等号仅当 $a_{ij}\in\{0\}\cup\{|a|=1\}$，所以每列恰一个单位模非零元——$\ell_p$（$p\ne2$）的等距矩阵是广义置换矩阵（置换 × 单位模对角）。5.4.P18：考虑连续函数 $\det Y$，$Y=[y_1\dots y_n]$。
5.5.P8：5.4.16 与 5.5.14。5.5.P10：5.4.22 与对偶定理。5.5.P11：$\|[x_1\dots\alpha x_k\dots x_n]^T\|=\|(1-\alpha)[\dots0\dots]^T+\alpha x\|\le\|x\|$（单调范数相关，$0\le\alpha\le1$）。
5.6 节（矩阵范数）：P7 $\max_kN_k(A)=N_j(A)$ 时 $\|AB\|\le(\max_kN_k(A))\|B\|\le\dots\le\|A\|\|B\|$；P9 考虑 $N_1=\|\cdot\|_1$、$N_2=\|\cdot\|_2$、$A=\begin{bmatrix}0&1\\0&1\end{bmatrix}$、$B=A^T$；P10：(a) 诱导范数特征的推导；(d) $|\det B|\le\rho(B)^n$；(g) $|\det(AD_A^{-1})|\le1$ 只需 $\rho(AD_A^{-1})\le1$，但非必要：$A=\begin{bmatrix}1&1\\1&2\end{bmatrix}$ 时 $\rho(AD_A^{-1})\approx1.37$，而 $1=|\det A|\le\|a_1\|_2\|a_2\|_2=\sqrt{10}<\|a_1\|_1\|a_2\|_1=6$（Hadamard 型列范数积不等式）；P12(a) Hermitian 矩阵特征值与奇异值关系，$A-\frac12\|A\|_2I$ 的特征值在 $[-\frac12\|A\|_2,\frac12\|A\|_2]$；P17 级数中仅三项非零；P18 选对角 $D$ 使 $DA$ 对角全为 1；P19(c) 考虑 $\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}$ 等四个 2×2 矩阵；P20 Frobenius 范数酉不变且单调，$\|\Sigma C\|_2^2=\sum|\sigma_ic_{ij}|^2\le\sigma_1^2\sum|c_{ij}|^2$；P21 $\rho(AA^*)\le\|AA^*\|$；P22 关于 $\|A\|^D$ 与 $\|I\|$ 的对偶论证（$\|I\|\ge1$ 对任何矩阵范数）。
5.6.P23（$M_n$ 上六个常用范数之间的最佳常数表）：记 (1) $\|A\|_1$ 最大列和；(2) $\|A\|_2$ 谱范数；(3) $\|A\|_\infty$ 最大行和；(4) $\|A\|_1$ 元素绝对值和（$\ell_1$）；(5) $\|A\|_2$ Frobenius；(6) $\|A\|_\infty$ 最大元素模。提示逐项给出 $\|A\|_\alpha\le C_{\alpha\beta}\|A\|_\beta$ 的推导与取等矩阵（$I$、$J=ee^T$、$A_1=ee_1^T$（第一列全 1）、$E_{11}$）。代表性的：最大列和 $\le\ell_1\le n\cdot$最大行和（取等 $A_1$）；$(\text{最大列和})^2\le\sum_j(\sum_i|a_{ij}|)^2\le n\|A\|_F^2$（Cauchy–Schwarz，取等 $A_1$）；最大列和 $\le n\max|a_{ij}|$（取等 $J$）；$\sigma_1\le\|A\|_F$（取等 $A_1$）；$\ell_1\le n\cdot$最大列和（取等 $I$）；$(\ell_1)^2\le n^2\|A\|_F^2$ 由 AM–GM（取等 $J$）；$\ell_1\le n^2\max|a_{ij}|$（$J$）；$\|A\|_F^2\le n(\max\text{列和})^2$（$I$）；$\|A\|_F^2=\operatorname{tr}A^*A=\sum\sigma_i^2\le n\sigma_1^2$（$I$）；$\|A\|_F^2\le(\ell_1)^2$（$E_{11}$）；$\|A\|_F^2\le n^2\max|a_{ij}|^2$（$J$）；$\max|a_{ij}|\le$ 最大列和（$I$）；$\max|a_{ij}|^2\le\max_i(A^*A)_{ii}\le\rho(A^*A)$（4.2.P3，$I$）；$\max|a_{ij}|\le\ell_1$、$\max|a_{ij}|^2\le\|A\|_F^2$（$E_{11}$）；(4,2) 用 Fourier 矩阵（2.2.P10）取等。其余项由对称性（$A\mapsto A^*$，5.6.21）或两步复合得到。
5.6 节（续）：P24 $\operatorname{rank}A$ = 非零奇异值个数，$\|A\|_F=(\sum\sigma_i^2)^{1/2}$；P25 用 2.2.9 与 0.9.6.3，$C_n$ 酉；P26：$\rho(A)<1$ 时 Neumann 级数 $I+A+A^2+\dots$ 收敛到 $(I-A)^{-1}$；P36 $\|\hat A\|_2=\rho(\hat A^*\hat A)^{1/2}$；P37 考虑 $\begin{bmatrix}1&0\\1&0\end{bmatrix}$、$\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}$ 与平行四边形恒等式；P38：(⇒) $B=A/\|A\|$，$\|B^m\|$ 有界，若 $B$ 有 $J_k(e^{i\theta})$（$k>1$）块则其幂无界；(⇐) 非数量阵时用 3.1.21 与范数 $\|X\|=\|S(\varepsilon)^{-1}XS(\varepsilon)\|_\infty$（$0<\varepsilon<\max\{\rho(A)-|\lambda|\}$）——"存在矩阵范数使 $\|A\|=\rho(A)$" 的刻画；P39(b) Schur 三角化 $A/\rho(A)=UTU^*$，模小于 1 的特征值排前，谱范数为 1 则每列欧氏范数 $\le1$，看含模 1 对角元的列；(c) 见 5.6.9 后练习；P40 $\|Ax\|_2=\||Ax|\|_2\le\||A||x|\|_2\le\|B|x|\|_2$（$|A|\le B$ 时谱范数单调）；P41 绝对范数 / 单调范数下 $\||A|\|$ 与 $\|A\|$ 的关系，$\||A|\|_2\le\|A\|_F$ 类结论；P43 $T$ 对角元 $\lambda_i$ ⇒ $e^T$ 对角元 $e^{\lambda_i}$（$\det e^A=e^{\operatorname{tr}A}$）；P44 考虑矩阵范数 $n\|\cdot\|_\infty$；P47：$B=A-(A-B)=A(I-A^{-1}(A-B))$ 奇异 ⇒ $\|A^{-1}(A-B)\|\ge1$（到奇异矩阵的距离 $\ge1/\|A^{-1}\|$）；P48(c) 5.6.55；P56 $\|A\|_2^2=\rho(A^*A)\le\|A^*A\|\le\|A\|^2$；P58(b) $(AB)^*(AB)=(A^*B)^*(A^*B)$ 且 $\|\cdot\|_2$ 自伴。
5.7 节（广义矩阵范数、谱半径函数 $m(G)$、数值半径）：P3 若 $Ax=\lambda x$ 考虑 $G(A^kxe^T)$，(c) 用向量范数讨论矩阵幂级数收敛；P11(b) 前题说明 $r(J_2(0))r(J_2(0)^T)\ge1$ 是相容的必要条件；P16 (a) $N$ 相似于 $2N$（幂零），(b) 零对角 $B$ 是幂零矩阵的线性组合故 $G(B)=0$，用 2.2.3 与 5.1.2 得 $G(A)=G((n^{-1}\operatorname{tr}A)I_n+B)=n^{-1}|\operatorname{tr}A|G(I_n)$（相似不变的广义范数只能是 $|\operatorname{tr}|$ 的倍数，故不存在相似不变的矩阵范数）；P19：需证 $m(\alpha G_1+(1-\alpha)G_2)\le\alpha m(G_1)+(1-\alpha)m(G_2)$，即 $\max\frac{\rho(A)}{\alpha G_1(A)+(1-\alpha)G_2(A)}\le\dots$，归结为 $f(x)=x^{-1}$ 的凸性 $(\alpha a+(1-\alpha)b)^{-1}\le\alpha/a+(1-\alpha)/b$；P20(d) $A=H(A)+iK(A)$，$\|A\|_2\le\|H\|_2+\|K\|_2=r(H)+r(K)\le r(A)+r(A^*)=2r(A)$（谱范数 $\le2\times$数值半径），(e) 用 $E_{11}$、$J_2(0)$ 的 $n$ 阶版本说明常数最优；P23 Cauchy–Schwarz 或 5.6.41(a)；P25(b) $p(z)=\frac1m\sum_j(1-z^m)/(1-w_jz)$ 次数 $\le m-1$ 且 $p(z)=p(w_jz)$，故为常数 $p(0)=1$（$w_j$ 为 $m$ 次单位根）。
5.8.P7：考虑 $A=\lambda I$。5.8.P14：3.3.17。

第 6 章（特征值的定位与扰动）

6.1.P3（Hadamard 型行列式界）：若某列 $a_j=0$ 无需证明；否则 $B=A\operatorname{diag}(\|a_1\|_1,\dots,\|a_n\|_1)^{-1}$，由 6.1.5 得 $\rho(B)\le1$，故 $|\det B|\le1$，即 $|\det A|\le\prod\|a_j\|_1$。6.1.P4：对 $\lambda I-A$ 用 6.1.10a（对角占优非奇异）。6.1.P6：对主子矩阵用 6.1.10 与 0.4.4d。6.1.P9：推论 6.1.5。6.1.P10（秩的下界）：$\operatorname{rank}A=\operatorname{rank}(AD)$，可设 $a_{ii}\ge0$、列 $\ell_1$ 范数为 0 或 1，此时特征值都在单位圆盘内，$\sum a_{ii}=\sum\lambda_i\le\sum|\lambda_i|\le$ 非零特征值个数 $\le\operatorname{rank}A$——即 $\operatorname{rank}A\ge\sum_i|a_{ii}|/\|a_i\|_1$。6.1.P11：类似地可设 $\|a_i\|_2\in\{0,1\}$，证 $\operatorname{rank}A\ge\sum|a_{ii}|^2=\sum|e_i^*a_i|^2$：取 $\operatorname{span}\{a_i\}$ 的标准正交基 $v_1..v_k$，$a_i=\sum_j(v_j^*a_i)v_j$，由 Cauchy–Schwarz $\sum_i|e_i^*a_i|^2\le\sum_i\sum_j|e_i^*v_j|^2=k$。6.1.P13：取实正交对角 $D$ 使 $DA$ 对角为正，用 6.1.10(b)。6.1.P16(b)：$|a^{-1}|\sum|y_j|<1$ 等条件推出 Schur 补仍严格对角占优：$\sum_{j\ne i}|c_{ij}|=\sum_{j\ne i}|b_{ij}-a^{-1}x_iy_j|\le\sum_{j\ne i}|b_{ij}|+|x_i|(|a^{-1}|\sum|y_j|)$；(c) Schur 补的唯一性 0.8.5(a)。6.1.P18：选置换 $P_1$ 把第一列模最大元放到 $(1,1)$，$R_1=\begin{bmatrix}e^{i\theta}&z^*\\0&I_{k-1}\end{bmatrix}$ 使 $P_1XR_1=\begin{bmatrix}\|x_1\|_\infty&0\\ *&X_2\end{bmatrix}$，仿 2.3.1 依次收缩，得 $P$、上三角 $R$ 使 $PXR$ 上三角且对角元为各列最大范数，令 $Y=XR$。6.1.P20：上一题。
6.2.P4：先处理无零元的 $A$，再连续性论证。6.2.P5：$a_0\ne0$ 时友矩阵 $C(p)$（3.3.12）不可约。6.2.P8：6.2.26 与 6.2.1a。
6.3.P1：对 $B=\operatorname{diag}(a_{11},\dots,a_{nn})$、$E=A-B$ 用 6.3.5（Hoffman–Wielandt）。6.3.P3：(a) $B\xi=\beta\xi$ 单位向量，$x=\begin{bmatrix}\xi\\0\end{bmatrix}$，考虑残差 $Ax-\beta x$；(b) 2.5.P37。6.3.P4：$A$ 正规时 $B=(A-\gamma I)^*(A-\gamma I)$ 的特征值为 $|\lambda_i-\gamma|^2$；若对子空间 $\mathcal S$ 中单位向量 $x^*Bx\le\delta^2$，用 4.2.10(b)（Courant–Fischer）得至少 $\dim\mathcal S$ 个特征值落在以 $\gamma$ 为心、半径 $\delta$ 的圆盘内。6.4.P7：6.4.7。

第 7 章（正定矩阵）

7.1.P1：7.1.2 与 7.1.5。7.1.P3：用适当对角矩阵做合同。7.1.P5：$A$ 半正定 ⇒ $(\operatorname{tr}A)^2\ge\operatorname{tr}A^2$。7.1.P7：$\det[f(t_i-t_j)]\ge0$（正定函数），(a) 取 $n=1$，(b) $n=2$，(c) $n=3$ 得 $f(0)\ge0$、$|f(t)|\le f(0)$ 等。7.1.P10：$\cos t=(e^{it}+e^{-it})/2$。7.1.P14：7.1.10。7.1.P15：考虑 $t_1=0,t_2=-\tau,t_3=-t$ 的 $[f(t_i-t_j)]$。7.1.P16：考虑 $\int_0^\infty|\sum x_ke^{-\lambda_ks}|^2ds\ge0$（Cauchy 型矩阵 $[1/(\lambda_i+\bar\lambda_j)]$ 正定）；若 $f(s)=\sum x_ke^{-\lambda_ks}\equiv0$，则 $f(0)=f'(0)=\dots=f^{(n-1)}(0)=0$，得关于 $x$ 的 Vandermonde 线性方程组，$x=0$。7.1.P18：(a) 上题；(b) 排序对应 min 矩阵的置换相似，(a) 的表示中部分加项为零；(c) 考虑 $[\min\{\beta_i^{-1},\beta_j^{-1}\}]$。
7.1.P19：把积分写成 $[0,N]$ 上等距分划 Riemann 和的极限（积分核正定 ⇒ 离散矩阵正定）。7.1.P20：二重积分写成累次积分再分部积分。7.1.P21：(f) $A^{-1}=(S^{-*})D^{-1}(S^{-*})^*$，或 $A^{-*}$ *合同于 $A=A^{-*}AA^{-1}$ 且 $H(A^{-*})=H(A^{-1})$；(g) 直和项对应 *合同典范形中 Type 0、Type I 块的 Toeplitz 分解各种可能。7.1.P24：$\operatorname{rank}A\le\operatorname{rank}[A_{11}\ A_{12}]+\operatorname{rank}[A_{12}^*\ A_{22}]=\operatorname{rank}[A_{11}\ A_{11}X]+\operatorname{rank}[A_{22}Y\ A_{22}]$（半正定矩阵 $A_{12}=A_{11}X$，秩不超过对角块秩之和）。7.1.P26：7.1.2 与 3.5.3。7.1.P27：(a) $A=\begin{bmatrix}A_{11}&A_{11}X\\ \star&\star\end{bmatrix}$、$B=\begin{bmatrix}B_{11}&\star\\Y^*B_{11}&\star\end{bmatrix}$，$(AB)[\alpha]=A_{11}(I+XY^*)B_{11}$；$A=B$ 时 $X=Y$，$I+XX^*$ 正定；(c) $\operatorname{rank}A^{2^k}[\alpha]\le\operatorname{rank}A^k[\alpha]\le\operatorname{rank}A[\alpha]$。7.1.P28：(b) $X^*B=Y^*B$ ⇒ $X^*BX=Y^*BX=Y^*BY$；(c) 取 $X=B^{-1}C$（Schur 补的极值刻画）。7.1.P29：$A=S_1DS_1^*$、$B=S_2DS_2^*$，$D=\operatorname{diag}(e^{i\theta_j})$，$\theta_j\in(-\pi/2,\pi/2)$；$D=\Gamma+i\Sigma$，$\Gamma=\operatorname{diag}(\cos\theta_j)$、$\Sigma=\operatorname{diag}(\sin\theta_j)$；(b) 相似于 $D^2$，在开右半平面有唯一平方根；(d) 相似于 $T=\operatorname{diag}(\tan\theta_j)$。
7.2 节：P6 交错——若 $A$ 最小特征值为负，则其非零特征值比 $B$ 多；P10 $A^*=BAB^{-1}$、$B$ 正定 ⇒ $B^{-1/2}A^*B^{1/2}=B^{1/2}AB^{-1/2}$（Hermitian，故 $A$ 相似于实对角）；反之 $A=S\Lambda S^{-1}$ 时 $A=BA^*B^{-1}$，$B=SS^*$；P11 (a) $\operatorname{adj}(\operatorname{adj}A)=(\det A)^{n-2}A$（原书印作 $n+2$，疑误），(c) 2.5.P47 或 $A_\epsilon=A+\epsilon I$，(d) $n\ge3$、$\operatorname{rank}A\le n-2$ 时 $\operatorname{adj}A=0$；P12（Markov 矩阵 $M(r,n)=[r^{|i-j|}]$）：(a) $i=1,j>2$ 时 $M_{1j}$ 的第一列是第二列的倍数（余子式为零，逆矩阵三对角）；(e) $s=i/m$、$t=j/m$，$f(s-t)=e^{-|i-j|/m}=r^{|i-j|}$，$r=e^{-1/m}\in(0,1)$，取极限证 $e^{-|t|}$ 正定；P13 由 7.2.P12(a) 及 $MM^{-1}=I$ 定逆矩阵元素；P14(f) 仿 7.2.P12(e)（$e^{-t^2}$）；P15 用 $A+cI_n$、$B+cI_{n+1}$ 化为半正定情形（仿 4.3.17 证明）；P17 令 $D=A^{1/2}+BA^{-1/2}$，计算 $DD^*$；P18 $B=A(I+(A^*A)^{-1})$；P19：(a) $\|x\|_2^2=(A^{1/2}x)^*(A^{-1/2}x)$ 用 Cauchy–Schwarz 得 $(x^*Ax)(x^*A^{-1}x)\ge\|x\|^4$，(b) 取 $x=e_i$ 得 $a_{ii}(A^{-1})_{ii}\ge1$；P20(c) $A=SBS^*$ ⇒ $B^{1/2}AB^{1/2}=(B^{1/2}SB^{1/2})^2$；P21(a) 4.1.6；P22(d) 7.2.P21；P23（几何平均）(c) 上题，(e) $GA^{-1}G=\bar A$ ⇒ $\bar A=\bar GA^{-1}\bar G$，(f) $GA^{-1}G=A^{-T}$ ⇒ $A^{-T}=G^{-T}A^{-1}G^{-T}$；P24(b) 7.2.10；P26 Frobenius 内积的 Cauchy–Schwarz、5.4.P3 的表与 AM–GM；P27 $\operatorname{tr}((\sum A_i)^*(\sum A_i))=\sum_{i,j}\operatorname{tr}(A_iA_j)\ge\sum\operatorname{tr}A_i^2$；P28(b) $x_i=-\sum_{j\ne i}b_i^*b_jx_j$；P29(a) 7.1.P1；P30 (a) $A^{-1/2}ABA^{1/2}=A^{1/2}BA^{1/2}$ 与 4.5.8，(b) 反例 $A=\begin{bmatrix}1&0\\0&0\end{bmatrix}$、$C=\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}$；P33(b) 7.2.P30(c)；P34(c) Frobenius 内积的 Cauchy–Schwarz；P36 (a) $X^*RX$ 与 $R^{1/4}XR^{1/2}X^*R^{1/4}$ 半正定，(e) 5.6.P58。
7.3 节（极分解、奇异值）：P6(c) 考虑 $\frac{d}{dt}\sigma_1(A(t_0)+tE)|_{t=0}$，$E=0_n\oplus[1]$；P7(f)（Moore–Penrose 逆唯一性）：若 $X,Y$ 都满足 (a)–(c)，则 $X=X(AX)^*=XX^*A^*=X(AX)^*(AY)^*=XAY=(XA)^*(YA)^*Y=\dots=Y$；或写出 $A^\dagger$ 的 SVD 证明三因子由 (a)–(c) 唯一确定；P11 $|x^*Ay|\le\|x\|_2\|Ay\|_2$；P13 对 $P$ 用谱定理；P14 $A=S\Lambda S^{-1}$，$S=PU$；P16 (c) $A=\operatorname{diag}(1,0)$、$B=\operatorname{diag}(0,1)$，(d) $\sigma_i(A)=\sigma_i((A+B)-B)\le\sigma_i(A+B)+\sigma_1(B)$（Weyl 型奇异值扰动）；P19(d) $\Lambda,M$ 对角、$U$ 酉时 $\Lambda UM$ 与 $\bar\Lambda U\bar M$ 对角酉等价；P22 2.4.P9；P23(a) 7.3.1；P25 (a) $\operatorname{tr}(UA)=\sum u_{ij}a_{ji}$，(b) $\operatorname{tr}\Sigma=\operatorname{tr}(V^*AW)=\operatorname{tr}(WV^*\Sigma)$（$\max_U\operatorname{Re}\operatorname{tr}(UA)=\sum\sigma_i$）；P26(a) 用 $p_A(A)=0$ 证 $(A^{1/2})^2=A$；P28(c) $A=V\Sigma W^*$，分 $A$ 非奇异与奇异两情形；P34 $m\ge n$ 时 $A^*A=R^*R$（$R$ 上三角，QR 与 Cholesky 的关系）；P35 $A$ 正规时 7.3.1 中 $P=Q$；P36 用极分解 $A=PU$ 与上题；P37 $A=SBS^{-1}=S^{-*}BS^*$ ⇒ $B$ 与 $S^*S$ 交换，从而与 $Q$ 交换；P38 $V=SWS^*$ ⇒ $P^{-1}V=(UWU^*)P$ ⇒ $V=UWU^*$（极分解酉因子唯一）；P39–P41 前题；P43 7.3.P35，$\|AB\|=\|BA^*\|=\|BPU^*\|=\|BPU\|=\|BA\|$（$A$ 正规时酉不变范数下 $\|AB\|=\|BA\|$ 类结论）。
7.4 节（Kantorovich、奇异值不等式）：P3：$B=U\Lambda U^*$、$C=UMU^*$，换元 $y=U^*x$、$z=(\Lambda M)^{1/2}y$，对 $B=\Lambda M^{-1}$ 用 7.4.12.1，得最优常数形如 $\lambda_1\lambda_n\mu_j\mu_k/(\lambda_1\mu_j+\lambda_n\mu_k)^2$，最小者在 $j=1,k=n$；P4 取 $B=A^{1/2}$、$C=I$；P5 $|x^*Ax|^2=|x^*PUx|^2\le(x^*Px)((Ux)^*P(Ux))$，两次用 7.4.12.1；P10(a) $x^*y=(A^{1/2}x)^*(A^{-1/2}y)$；P11 (a) 0.8.5.10，(d) 写 $A=\begin{bmatrix}A_n&\xi\\\xi^*&a_{nn}\end{bmatrix}$ 代入 7.4.12.20 证 7.4.12.19（$i=n$），再置换得一般情形；P13 $A-\frac12(A+A^*)=\frac12(A-H)+\frac12(H-A^*)$ ⇒ $\|A-\frac12(A+A^*)\|\le\frac12\|A-H\|+\frac12\|H-A^*\|$（最近 Hermitian 矩阵是 Hermitian 部分）；P16 上界用 7.3.P16 证 $\sigma_i(A-U)\le\sigma_i(A)+1$，即 $\|A-U\|_{[k]}\le\|\Sigma(A)+I\|_{[k]}$，再用 7.4.8.4（最近酉矩阵是极分解酉因子）；P17(d)：用 4.3.51 取等条件 4.3.52a，$w_i=\sigma_i(A)$、$y_i=\lambda_i$、$x_i=\sigma_i(B)$，按不同奇异值 $s_1>\dots>s_d$ 由上而下逐层推出 $\lambda_1=\dots=\lambda_{n_1}=s_1$ 等；(e) 2.6.5；P18 $\sigma_k(A)\le\sigma_k(|A|)$：$\|Ax\|_2\le\||A||x|\|_2$，再用 7.3.8 与 7.4.8.4。
7.5 节（Hadamard 积、Schur 积定理）：P1(a) 7.2.7；P3 考虑 $A\circ\bar A$；P7（正定核的矩阵刻画）：充分性用 Riemann 和逼近 $\iint K(x,y)f(x)\bar f(y)dxdy\approx\sum K(x_i,x_j)f(x_i)\bar f(x_j)\Delta x_i\Delta x_j$；必要性取 $f=\sum a_i\delta_\epsilon(x-x_i)$（近似 δ 函数）并令 $\epsilon\to0$；P11 7.1.P16；P12 对 $A$ 与 $A^{(-1)}$（Hadamard 逆）都用 7.1.P1 的不等式，得所有 2 阶主子式为零，再用 7.2.P24；P14(a)：$x$ 单位向量，$B=A^{1/2}(\operatorname{diag}x)A^{-1/2}$ 特征值为 $x_i$，$\|B\|_F^2\ge\|x\|^2=1$；$x^*(A\circ A^{-1})x=\operatorname{tr}((\operatorname{diag}\bar x)A(\operatorname{diag}x)A^{-1})=\operatorname{tr}(B^*B)=\|B\|_F^2$，故 $A\circ A^{-1}\succeq I$（Fiedler 不等式）；P15(c) 7.5.9(b) 取 $f(t)=1/(1-t)$；P17 (c) 7.1.P18，(d) 7.5.9(b) 取 $f_k(t)=e^{t\ln p_k}$；P18 $t>0$ 时 $tA$ 半正定（无穷可分性）；P20 $n=2$ 显然；$n\ge3$，$\alpha=a_{pp}$，置换后 $p=1,q=2$，领先 2×2 主子矩阵 $P=\begin{bmatrix}\alpha&\alpha\\\alpha&\alpha\end{bmatrix}$，由 7.1.10 每个 $\begin{bmatrix}a_{1j}\\a_{2j}\end{bmatrix}$ 在 $P$ 的值域中；P22(d) 0.9.11；P23(b) 7.5.P21 与 7.5.P22 的思路；P25(b) $H=\alpha(X\circ Y)$，$\alpha>0$，$X$ 半正定 / 正定，$Y$ 是对角为正的秩一半正定矩阵。
7.6 节（同时对角化、乘积的特征值、椭球）：P1(d) $A^*=S^{-1}AS$ ⇒ $AS$ Hermitian，用 7.6.4；P5 7.6.4 后练习；P6 7.6.4；P7 $A+B=A(I+A^{-1}B)$；P8(b) 上题；P10：$S=(AB)C=EC$，$E$ 特征值为正；若 $S$ Hermitian，$E=SC^{-1}$ 与 $S$ 正特征值个数相同，故 $S$ 正定；反例矩阵 $\begin{bmatrix}10&0\\0&1\end{bmatrix}$、$\begin{bmatrix}1&-1\\-1&2\end{bmatrix}$、$\begin{bmatrix}3&5\\5&10\end{bmatrix}$；P12(a) 交错，$B_{11}$ 是 $S^{-*}BS^{-1}$ 的主子矩阵；P15 上题；P16 7.6.3；P17 $\mu\ge\det((A_1+A_2)/2)\ge(\det A_1\det A_2)^{1/2}=\mu$（$\log\det$ 凹性）；P18 5.2.6；P19：椭球 $\mathcal E(A)=\{x:x^*Ax\le1\}$ 体积 $=\int_{\|y\|_2\le1}|\det J(y)|dV(y)$，$J$ 为换元 $y=A^{1/2}x$ 的 Jacobi 矩阵，故体积 $=(\det A)^{-1/2}\times$单位球体积；P20 (b) 5.4.4，(e) 7.6.P17；P21 (b) 7.6.P20，(c) $(LAL^{-1})^*(LAL^{-1})=?$；P24 $U_k$ 为第 $k$ 个对角元 $+1$ 其余 $-1$ 的对角阵，是 $\|\cdot\|$ 的等距，由 7.6.11 与 $Q$ 交换，依次取 $k$ 并用 2.4.4.3；P25 上题保证 $L$ 为正对角；对任意置换 $P^TL^2P=L^2$；$\|x\|$ 的单位球包含于（并触及）$\mathcal E(\alpha^2I)$，故 $\|x/\|x\|\|_2\le\alpha^{-1}$；P26 5.4.21；P27(a) $Q=[q_{ij}]$，$e_i^*Qe_i\le\|e_i\|^2$，Hadamard 不等式 $\prod\|e_i\|^2\ge\prod q_{ii}\ge\det Q$。
7.7 节（Loewner 序）：P6 7.7.3(a) 与 7.2.6(c)；P7 上题与 7.7.2（$A$ 非奇异），奇异时用 SVD 化归；P9 $B=A^{1/2}XC^{1/2}$；P10 用 7.7.11、7.7.16 或 Cauchy–Schwarz $x^*y=(A^{-1}x)^*(Ay)$；P14(a) 7.6.4；P15 (a) 7.7.14，(b) 幂级数与三角不等式；P16 仿 7.7.12 证明，(b) 写作 $\overline{x^*Ax}+y^*Ay\ge2|x^TBy|$，令 $x\to\bar x$，对 $A\to\bar A$、$B^*=\bar B$ 用 7.7.9，$(\bar A+\varepsilon I)^{-1/2}B(A+\varepsilon I)^{-1/2}$ 对称；P17 用上题 (c)；P19 上题；P21 需 $cA\succeq J=ee^T$；P22 对实 $x$ 考虑 $x^*Ax$；P25 见上题 (b)；P30 看 $A^{-1}$ 元素的余子式表示；P31 7.7.15；P33(a) 上题；P34(b) 7.7.4(d)；P35：$A=PU=UQ$ 极分解，$A^*(AA^*)^{-1/2}A=(U^*P)P^{-1}(UQ)=Q=(A^*A)^{1/2}$；P37 考虑 7.7.11(b)、$\begin{bmatrix}A&I\\I&A^{-1}\end{bmatrix}$ 与 $\begin{bmatrix}B^{-1}&I\\I&B\end{bmatrix}$（均半正定，用于 $A\succeq B\Rightarrow B^{-1}\succeq A^{-1}$）；P41（广义 Schur 补的单调性 / 超可加性）：(a) $H_2-\begin{bmatrix}0&0\\0&S_{H_2}(A_2)\end{bmatrix}\succeq0$ 且 $H_1\succeq H_2$ ⇒ $S_{H_1}(A_1)\succeq S_{H_2}(A_2)$；(b) $S_{H_1+H_2}(A_1+A_2)\succeq S_{H_1}(A_1)+S_{H_2}(A_2)$；(c) 7.7.P4；P42 $\operatorname{Re}z>0$ 时 $(\operatorname{Re}z)^{-1}\ge\operatorname{Re}(z^{-1})$；P43 $\det(A+B)=\det A\det(I+A^{-1}B)$ 且 $\rho(A^{-1}B)\le1$。
7.8 节（行列式不等式）：P2 对 $A^*A$ 用 Fischer 不等式并用 $|\det B|\le\|B\|_2^k$（$B\in M_k$）；P3 7.8.18：$(a_{11}\cdots a_{nn}-\det A)\det B+(b_{11}\cdots b_{nn}-\det B)\det A\le0$（Oppenheim 型）；P4(a) 7.6.2b 与 AM–GM：$\sum\lambda_i(AB)\ge n(\prod\lambda_i(AB))^{1/n}$，即 $\operatorname{tr}(AB)\ge n(\det A\det B)^{1/n}$；P6 7.7.4(e)；P9 $V=[v_1\dots v_n]$，对 $V^*AV$ 用 7.8.2（Hadamard）；P11 $\det A=\det A_{11}\det(A/A_{11})$ 且 $A_{11}\succeq A/A_{22}$；P13 $E_k(\lambda)$ 是 $k$ 阶主子式之和，每个被 $k$ 个不同对角元之积控制（$E_k(\lambda(A))\le E_k(\operatorname{diag}A)$）；P17 $\prod|\cos\theta_j|+\prod|\sin\theta_j|\le|\cos\theta_1\cos\theta_2|+|\sin\theta_1\sin\theta_2|\le1$；P18、P19 用 Minkowski 积不等式 (B10)：$(\prod\cos^2\theta_j)^{1/n}+(\prod\sin^2\theta_j)^{1/n}\le1$。

第 8 章（非负矩阵）

8.0.P2(f)：令 $B_\epsilon=(1+\epsilon)A_\epsilon$，仿正文做对角化。
8.1.P5：参看 8.1.26 之前的说明。8.1.P8：$\|A\|_2^2=\rho(A^TA)$，为何 $A^TA\ge B^TB$（$A\ge B\ge0$ 时谱范数单调）。8.1.P9：$\rho(A^*A)\le\rho(|A^*A|)$。8.1.P10（分块矩阵谱半径的上界）：$|A|>0$ 时取 $x>0$ 使 $|A|x=\rho(|A|)x$，按块分 $x=[x_1^T\dots x_k^T]^T$，$\xi_i=\|x_i\|$，则 $\rho(|A|)\xi_i=\|\sum_j|A_{ij}|x_j\|\le\sum_jG(|A_{ij}|)\xi_j$，即 $\mathcal A\xi\ge\rho(|A|)\xi$，由 8.1.29 得 $\rho(|A|)\le\rho(\mathcal A)$（$\mathcal A=[G(|A_{ij}|)]$ 为块范数构成的 $k\times k$ 矩阵）；有零元时用 $A+\epsilon J_n$ 与连续性。8.1.P11：$A^n$ 的对角元 $=\sum a_{ii_2}a_{i_2i_3}\cdots a_{i_ni}$，为何 $\gamma$ 是其中一项（8.1.20）。
8.2.P1：三种情形 $A^m\to0$、发散、收敛到正矩阵，分别刻画。8.2.P5：取 $A$ 的 Perron 向量 $x$ 使 $Ax>Bx$。8.2.P9(a)：若 $\min_i\sum_ja_{ij}=\rho(A)$，取 $x_p=\min x_i$，则 $\rho(A)x_p=\sum_ja_{pj}x_j\ge\sum_ja_{pj}x_p\ge\rho(A)x_p$，故所有 $x_i=x_p$（行和相等的刻画）。8.2.P10：交错与 8.2.8 保证每个 2×2 主子矩阵恰有一个正特征值。8.2.P11(j)：1.4.P13，非实特征值成共轭对。8.2.P13：对任意 $\varepsilon$ 存在 $N$，$m>N$ 时 $1-\varepsilon<\operatorname{tr}((\rho^{-1}A)^m)=1+r_2^m+\dots+r_n^m<1+\varepsilon$（$r_k=\lambda_k/\rho$），故 $(\operatorname{tr}A^m)^{1/m}\to\rho(A)$。8.2.P14(c)：8.2.P11。8.2.P15(b)：若 $A$ 有零元，略微增大得正矩阵 $A'$，$0\le A'\le B$、$A'\ne B$；$y$ 为 $A'$ 的左 Perron 向量、$x$ 为 $B$ 的右 Perron 向量，则 $\rho(B')y^Tx=y^TB'x<y^TAx=\rho(A)y^Tx$（严格单调性）。
8.3.P1：考虑 $\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}$、$I_2$、$\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}$。8.3.P2：$x>0$、$A^kx=\rho(A^k)x$ ⇒ $A^k(Ax)=\rho(A^k)(Ax)$，用 8.2.5 与 8.3.4。8.3.P3：次、超对角元都正时存在正对角 $D$ 使 $D^{-1}AD$ 对称，再取极限。8.3.P6(b)：$BAx=ABx=\rho(B)Ax$，用 8.2.6 与 8.3.4；或 $B=S([\rho(B)]\oplus B_1)S^{-1}$、$A=S([\lambda]\oplus A_1)S^{-1}$，$S$ 首列为 $B$ 的 Perron 向量（交换的非负矩阵有公共 Perron 向量）。8.3.P9：$\lambda I+A$ 特征值为 $\lambda+\lambda_i$。8.3.P10：由 8.3.1，$\rho(A)\le\max\{y^TAy:y\ge0,\|y\|_2=1\}\le\max\{y^TH(A)y\}$，即 $\rho(A)\le\lambda_{\max}(H(A))$。8.3.P12：(a) $\lambda\in\sigma(A)$ 实则 $r-\lambda\ge0$，非实则 $\bar\lambda\in\sigma(A)$ 且 $(r-\lambda)(r-\bar\lambda)>0$（所以 $\det(rI-A)\ge0$ 类结论），(b) 5.6.16，(c) 连续性。8.3.P13：1.2.13、1.2.15 与上题；$\rho(A)$ 不简单 ⇒ $S_{n-1}(\rho I-A)=0$ ⇒ $E_{n-1}=0$ ⇒ $\operatorname{tr}\operatorname{adj}(\rho I-A)=0$ ⇒ 各对角元为零。8.3.P16(a)：$Ax\ge0\Rightarrow x\ge0$（单调矩阵 monotone matrix）；$Ax=0$ ⇒ $x\ge0$ 且 $-x\ge0$ ⇒ $A$ 非奇异；$z$ 为 $A^{-1}$ 的列 ⇒ $Az=e_i\ge0$ ⇒ $z\ge0$，即 $A^{-1}\ge0$。
8.4 节：P6 8.4.1；P16(c) $(1+t)^{n-1}=q_A(t)h(t)+r(t)$，$\deg r\le m-1$；P17 用 7.4.1 的最佳秩一逼近刻画；P19：由 8.2.P9 的提示，$a_{pj}>0$ 时 $x_j=x_p$；不可约性给出路径 $p=k_1\to k_2\to\dots\to k_m=q$ 且各边正，故 $x_p=x_{k_2}=\dots=x_q$；P20 (c) $A^2$ 不可约、非正、非零时考虑负特征值 $-\rho(A^2)$ 的重数，(d) 可约矩阵最少有多少零元；P21(a) $(I+A)x\le(\alpha+1)x$ ⇒ $(I+A)^{n-1}x\le(\alpha+1)^{n-1}x$；P22(a) $\operatorname{rank}G\le n$ ⇒ $1$ 是 $I-G$ 至少二重特征值；P24 $A_1=\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}$、$A_2$ 为 $t^3-1$ 的友矩阵，考虑 $A_1\oplus A_1$ 与 $A_1\oplus A_2$；P26 (a) 1.4.11、8.3.P12–P13，(b) 8.3.P14。
8.5 节：P3 考虑 $\begin{bmatrix}1&1\\1&0\end{bmatrix}$ 与 $\begin{bmatrix}0&1\\1&1\end{bmatrix}$（两个本原矩阵之积不本原？）；P4 把 Wielandt 矩阵看作作用在标准基上的线性变换：$A:e_i\to?$，$A^{n-1}:e_i\to?$，$A^{(n-1)(n-1)}:e_1\to?$；P10 若 $|\mu|=\rho(A)$、$\mu\ne\rho(A)$、$Az=\mu z$，则 $(\rho^{-1}A)^mz$ 不收敛；P14 考虑 $A^2$，用 8.5.5、8.5.6、8.5.8。
8.7 节：P2 上题与 3.2.5.2；P4 前几题；P5 $\|A\|_2\le\sum\alpha_i\|P_i\|_2=1$；P6 $Ae=e$ ⇒ $\|A\|\ge1$，$\|P\|=1$ ⇒ $\|A\|\le1$；P7 $A=\alpha_1B+\alpha_2C$（$\alpha_i\in(0,1)$），$A$ 的零元位置上 $B,C$ 也为零（用于证明置换矩阵是极点）；P8 8.7.2；P9：若有 $n+1$ 个正元，某行至少两个正元，于是两列各至少两个正元，其余 $n-2$ 列至多 $n-3$ 个正元，矛盾；P13 用 Fan 优势定理（Fan dominance theorem）与 8.7.3；P14 若 $A$ 置换相似于 6.2.21 的分块形式，块 $B$ 的列和是多少，其行和之和必须为多少。

（PDF p.626 后半页空白，习题提示到此结束。）

索引（Index）（PDF p.627–663，原书 p.607–643）

按英文字母排序的主题索引（含人名），条目下分子条目并给原书页码（原书页码 + 20 = PDF 页码）。PDF p.664 为空白页，p.665 为电子档生成说明页（非原书内容）。以下摘录编写教材时最常需要回查的条目（原书页码）：

分解与典范形：Cholesky factorization 441–442（推出 QR 456）；LU / LDU / PLU / LPU 216–222；QR factorization 89–94、155；SVD 150–159（thin SVD 450、456；与极分解等价 454）；polar decomposition 449–458；Schur triangularization 101（实 Schur 形 103）；Jordan canonical form 164–191；Weyr canonical form 204–211；Autonne–Takagi factorization $A=U\Sigma U^T$ 153、263、278；CS decomposition 160–162；spectral theorem 133–135、229、234。
特征值理论：Courant–Fischer（min-max）236；Rayleigh quotient 234；Cauchy 交错定理 242、298；Weyl 定理 239–241、454；Lidskii 优超不等式 250、259；Schur majorization theorem 249；Hoffman–Wielandt 407、451、468；Bauer–Fike 405；Geršgorin 388–398；Brauer / Ostrowski 卵形 415–424；Gelfand formula 349；Perron 定理 526；Perron–Frobenius 定理 534；Romanovsky 541；Wielandt 本原指数 543；Birkhoff 定理 253、548；von Neumann 迹定理 458、550（等号情形 460）。
正定矩阵：定义 429；Sylvester 判据 439；Gram 矩阵 440–446；Schur 补 25、437、453、495–504；Loewner 偏序 493–505（逆的反单调 495、平方根单调 495、$\log\det$ 严格凹 488、$\operatorname{tr}A^{-1}$ 严格凸 489）；Hadamard 不等式 93、443、505–514；Fischer 不等式 506–514；Oppenheim 不等式 509；Schur 乘积定理 479；Kantorovich 不等式 470–473；Markovian / Gaussian 矩阵 443–444；相关矩阵 434、445；协方差矩阵 280、426；positive definite function 435、482；Bochner 定理 427；Mercer 定理 478。
范数：向量范数 314–340；对偶范数 329–339；矩阵范数 340–370；诱导范数 344–358；谱范数 346；Frobenius 范数 321、341；Ky Fan $k$-范数 466；Schatten $p$-范数 465；酉不变范数 357、464–470（symmetric gauge function 464）；条件数 382–386；Neumann series 365；矩阵指数 350、369。
非负矩阵（本块正文涉及）：irreducible 402、532–538；primitive matrix 540–545；stochastic / doubly stochastic 547–553；M-matrix 533；power method 81、545；Perron vector 525–534。
最佳逼近：最近奇异矩阵 369、461；最近秩 $k$ 矩阵 462；最近酉矩阵 476；最近 Hermitian 矩阵 476；最小二乘 379、453、462；Moore–Penrose 逆 453–454；unitary Procrustes problem 463。
其他常查：Sherman–Morrison–Woodbury 19；Cauchy–Binet 28；Sylvester 惯性定律 282；Hessian 225、426、558；Toeplitz / Hankel / circulant 33–35、100、427；Vandermonde 37；Kronecker 定理 27；Jensen 不等式 333、560；Hölder 不等式 414、559；Minkowski 不等式 320、510–511、560；Samuelson 319（样本偏离均值界）。

全块总结

本块要点

第 8 章后半完成了 Perron–Frobenius 理论：不可约 → 最大模特征值的旋转对称（单位根）结构；本原 ⇔ 幂为正 ⇔ 非周期；本原指数的各种上界（Wielandt $n^2-2n+2$）；Cesàro 极限定理；随机与双随机矩阵、Birkhoff 定理与 von Neumann 迹不等式。
附录给出全书依赖的分析基础：复数、凸集与凸函数（含 Hölder、Minkowski、AM–GM 等不等式与分离超平面、Krein–Milman、Carathéodory）、代数基本定理、特征值的连续性（$1/n$ 次 Hölder 界）、Weierstrass 定理、合同典范对。
习题提示部分为第 1–8 章大部分重要习题提供了关键一步，编写习题解答时可直接对照本笔记的“习题提示”节。

与量化交易的关联（全块）

Markov 链 / 评级迁移 / 状态切换模型：本原性与 Perron 向量决定平稳分布与收敛速度；周期链用时间平均（8.5、8.6）。
网络与系统性风险：Perron 根灵敏度、幂法、特征向量中心性（8.4.P13、8.5.P16）。
组合优化：凸性判据、分离超平面（无套利）、Birkhoff 定理（分配 / 匹配问题的 LP 整数性）、Weierstrass 存在性（附录 B、E，8.7）。
风险模型：von Neumann 迹不等式与 Procrustes 问题（因子对齐），范数比较常数（5.6.P23 提示表）用于误差界换算；附录 D 提示非对称矩阵特征值估计的不稳定性。
参考文献、符号表、索引与量化无直接关联，只作查阅工具。

第 8 章正矩阵与非负矩阵（Positive and Nonnegative Matrices）（接上一块）

8.4 不可约非负矩阵（Irreducible nonnegative matrices）（接上一块，PDF p.556–560）

8.4 习题概要（8.4.P1–P26，PDF p.557–560）

8.5 本原矩阵（Primitive matrices）（PDF p.560–565）

8.5 习题概要（8.5.P1–P20，PDF p.564–565）

8.6 一般极限定理（A general limit theorem）（PDF p.565–567）

8.6 习题概要

8.7 随机矩阵与双随机矩阵（Stochastic and doubly stochastic matrices）（PDF p.567–573）

8.7 习题概要（8.7.P1–P15，PDF p.571–572）

第 8 章（本块所覆盖部分）本章要点

与量化交易的关联

推荐习题

附录（Appendices）

附录 A 复数（Complex Numbers）（PDF p.575–576）

附录 B 凸集与凸函数（Convex Sets and Functions）（PDF p.577–580）

附录 C 代数基本定理（The Fundamental Theorem of Algebra）（PDF p.581）

附录 D 多项式零点与矩阵特征值的连续性（Continuity of Polynomial Zeroes and Matrix Eigenvalues）（PDF p.583–584）

附录 E 连续性、紧性与 Weierstrass 定理（Continuity, Compactness, and Weierstrass's Theorem）（PDF p.585–586）

附录 F 典范对（Canonical Pairs）（PDF p.587–589）

附录小结与量化关联

参考文献（References）（PDF p.591–594，原书 p.571–574）

符号表（Notation）（PDF p.595–597，原书 p.575–577）

习题提示（Hints for Problems）（PDF p.599 起，原书 p.579 起）

索引（Index）（PDF p.627–663，原书 p.607–643）

全块总结

本块要点

与量化交易的关联（全块）

推荐习题（全块）

第 8 章 正矩阵与非负矩阵（Positive and Nonnegative Matrices）（接上一块）

8.4 不可约非负矩阵（Irreducible nonnegative matrices）（接上一块，PDF p.556–560）

8.4 习题概要（8.4.P1–P26，PDF p.557–560）

8.5 本原矩阵（Primitive matrices）（PDF p.560–565）

8.5 习题概要（8.5.P1–P20，PDF p.564–565）

8.6 一般极限定理（A general limit theorem）（PDF p.565–567）

8.6 习题概要

8.7 随机矩阵与双随机矩阵（Stochastic and doubly stochastic matrices）（PDF p.567–573）

8.7 习题概要（8.7.P1–P15，PDF p.571–572）

第 8 章（本块所覆盖部分）本章要点

与量化交易的关联

推荐习题

附录（Appendices）

附录 A 复数（Complex Numbers）（PDF p.575–576）

附录 B 凸集与凸函数（Convex Sets and Functions）（PDF p.577–580）

附录 C 代数基本定理（The Fundamental Theorem of Algebra）（PDF p.581）

附录 D 多项式零点与矩阵特征值的连续性（Continuity of Polynomial Zeroes and Matrix Eigenvalues）（PDF p.583–584）

附录 E 连续性、紧性与 Weierstrass 定理（Continuity, Compactness, and Weierstrass's Theorem）（PDF p.585–586）

附录 F 典范对（Canonical Pairs）（PDF p.587–589）

附录小结与量化关联

参考文献（References）（PDF p.591–594，原书 p.571–574）

符号表（Notation）（PDF p.595–597，原书 p.575–577）

习题提示（Hints for Problems）（PDF p.599 起，原书 p.579 起）

索引（Index）（PDF p.627–663，原书 p.607–643）

全块总结

本块要点

与量化交易的关联（全块）

推荐习题（全块）

第 8 章正矩阵与非负矩阵（Positive and Nonnegative Matrices）（接上一块）